Diferenciación numérica

¿Qué es la diferenciación numérica?

• Cuando se va a aplicar la operación de derivada a una función tabulada, el camino a seguir es aproximar la tabla por alguna función y efectuar la operación en la función aproximada.

• Si la aproximación es polinomial, la diferenciación numérica consiste simplemente en diferenciar la fórmula del polinomio interpolante que se utilizó en general.

Polinomio de Newton (X0, X1, X2,…, Xna intervalos iguales h)

• Sea f(x)=Pn(x)

• La primera derivada queda:

• Si las abscisas dadas X0, X1, …, Xn están espaciadas por intervalos de longitud h, entonces el polinomio Pn(x) se puede expresar como el polinomio de Newton en dif finitas

1

POLINOMIO GRADO 1, LINEA RECTA

APROXIMACIÓN LINEAL DE LA PRIMERA DERIVADA

Donde ∆2𝑓 𝑥0 = [𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥1)]- [f(x1)-f(x0)]

Donde Δ𝑓 𝑥0 = [𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0)]

De igual manera se obtienen las distintasderivadas para n>2

POLINOMIO SEGUNDO GRADO

EJEMPLO 1, polinomio de Newton con “h”

USANDO UN POLINOMIO DE GRADO 2

LA DERIVADA NUMÉRICA USANDO UN POLINOMIO DE GRADO 2 NO DIO UN RESULTADO DE -0.00506

TAREA OPCIONAL PARA VACACIONESGENERAR UN CODIGO-PROGRAMA EN OCTAVE-MATLAB PARA RESOLVER UN SISTEMA DE “n” ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE:

GAUSS JORDAN 10-11 am

GAUS SIEDEL 4 a 5 pm

CHOLESKY 5-6 pm

ENTREGAR EN UN CD PROGRAMA Y REPORTE. ENTREGAR IMPRESO EL REPORTE DEL PROGRAMA EN DONDE SE INCLUYA, EL CODIGO, LA EXPLICACIÓN DEL PROGRAMA LINEA A LINEA Y TAMBIEN EL DIAGRAMA DE DESICIONES (O DE FLUJO DEL MISMO).

Entregar el lunes 13 de abril

Polinomio de Newton y su derivada numérica para cuando los intervalos de x, no son iguales

2

FORMA GENERAL POLINOMIO DE NEWTON DIFERENCIAS DIVIDIDAS

EJEMPLO 2. Polinomio de Newton , no “h”

(x-x0)(x-x1)= 𝑥2 − 𝑥 ∗ 𝑥0 − 𝑥 ∗ 𝑥1 − 𝑥0 ∗ 𝑥1

Usando los puntos x0, x1 y x2, polinomiogrado 2

DERIVADA NUMÉRICA USANDO EL POLINOMIO DE LAGRANGE

Para obtener la segunda derivada se deriva la expresión de la primera derivada

Primera derivada polinomio grado 2

3

Ejemplo 3. Polinomio Lagrange

TRABAJO Y/O TAREA

PROBLEMA 1

RESULTADOSPROBLEMA 1

RESULTADOSPROBLEMA 1

PROBLEMA 2.USANDO UNA APROXIMACION POLINOMIAL SIMPLE DE GRADO 2, usando los puntos donde Вigual a 9, 10 y 11 por estar alrededor del valor máximo de la permeabilidad es cual el 1340

Resultado problema 2

Problema 3: obtenga la primera y segunda derivada evaluada en x igual a 3.7 para la función que se da enseguida, use los puntos 2, 3 y 4 con un polinomio de Newton de grado 2

Problema 4. En la tabla siguiente d es la distancia en metros que recorre una bala a lo largo de un cañon en t segundos. Encuentre la velocidad de la bala en t=0.05 seg. Use un polinomio de newton de grado 2, con los puntos marcados

resultadosProblema 3) primera derivada 1.927419Segunda derivada 0.02503Problema 4) 97.09 m/s

d

El fin…

TEMAS EXAMEN1./ gauss seidel2./ minimos cuadrados3./ derivada numérica, polinomio de newton endif divididas grado 2

Formulario (solo éstaformula mínimoscuadrados, polinomiogrado 2)