diferencialinis ir integralinis skaiciavimas. 1 dalis [v.pekarskas] (2005) by cloud dancing

V i d m a n t a s P E K A R S K A S

1 DALIS Į

Vidmantas PEKARSKAS

DIFERENCIALINIS IR INTEGRALINIS

SKAIČIAVIMAS 1 DALIS

Vadovėlis aukštosioms mokykloms

Scanned by Cloud Dancing

r ^ TECI TECHNOLOGIJA KAUNAS · 2005

Recenzavo':

matematikos mokslų daktarė docentė N. Janušauskaitė

matematikos mokslų daktaras docentas J. Kleiza

gamtos mokslų daktaras docentas G. Dosinas

Redagavo Z. Šliavaitė

Ketvirtasis pataisytas leidimas

ISBN 9986-13-416-1 (1 dalis)

ISBN 9986-13-417-Х (2 dalys)

© V. Pekarskas, 2005

Pekarskas V.

Pe 58 Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas.

I dalis - K.: Technologija, 1996. - 386 p. 157 pav.

ISBN 9986-13-416-1 (1 dalis)

ISBN 9986-13-417-Х (2 dalys)

Šis vadovėlis skiriamas aukštųjų technikos mokyklų

studentams. Jame išdėstytas vieno ir kelių kintamųjų funkcijų

diferencialinis skaičiavimas bei vieno kintamojo funkcijų

integralinis skaičiavimas, pateikta nemažai pavyzdžių,

iliustruojančių teorinę medžiagą, taip pat uždavinių savarankiškam

studentų darbui.

U D K 511 (075.8)

PRATARMĖ

Šis vadovėlis skirtas aukštųjų technikos mokyklų studentams. Jo pa-

grindas yra matematinės analizės paskaitos, 1965-1996 m. autoriaus skai-

tytos Kauno technologijos universitete.

Knygą sudaro dvi dalys. Pirmojoje išdėstytas vieno ir kelių kintamųjų

funkcijų diferencialinis skaičiavimas bei vieno kintamojo funkcijų integra-

linis skaičiavimas. Antrojoje dalyje pateiktas kelių kintamųjų funkcijų

integralinis skaičiavimas, paprastosios diferencialinės lygtys, eilutės, lauko

teorijos elementai, optimizavimo pradmenys.

Autorius yra tos nuomonės, kad matematikos dėstymas technikos uni-

versitete turi būti pakankamai griežtas, tačiau matematinių metodų pa-

grindimas, kuris paprastai yra subtilus ir sudėtingas, neturi užgožti tų meto-

dų esmės. Rašydamas šią knygą, autorius stengėsi rasti kompromisą tarp

tikslumo ir vaizdumo, nors padaryti tai ir nebuvo lengva. Kaip pavyko įgy-

vendinti šj sumanymą, galės nuspręsti knygos skaitytojai.

Sis vadovėlis pirmiausia adresuotas techniškųjų specialybių studen-

tams, tačiau kartu jis tiks ir tiems studentams, kurie plačiau studijuoja

matematiką. Todėl čia skaitytojai ras ir subtilesnių analizės klausimų, pa-

vyzdžiui, Koši kriterijų, tolygųjį tolydumą. Tokius skyrelius (jie pažymėti

besišypsančio žmogelio veidu) skaitytojai galės praleisti arba apsiriboti tik

pirmąja pažintimi su pačiomis sąvokomis, nes autorius juos stengėsi išdės-

tyti taip, kad, atsisakius šių klausimų, nebūtų suardyta vadovėlio visuma.

Autorius pataria skaitytojui atidžiai perskaityti I skyrių, nes jame pa-

aiškintos tos matematinės logikos ir aibių teorijos sąvokos bei joms žymėti

naudojami simboliai, kurie toliau vartojami formuluojant apibrėžimus bei

įrodant teoremas. Sie simboliai pratina skaitytoją būti lakonišku, moko

trumpai ir aiškiai reikšti mintis.

Teorija knygoje iliustruota išspręstais pavyzdžiais, kiekvieno skyriaus

pabaigoje pateikta uždavinių, kuriuos siūlome studentamas išspręsti

savarankiškai. Jų paskirtis - ne tiek sudaryti sprendimo įgūdžius (tam skirti

uždavinynai), kiek išmokyti taikyti teoriją. Teoremos įrodymo, pavyzdžio

sprendimo pabaiga knygoje žymima ženklu • .

Autorius nuoširdžiai dėkoja Kauno technologijos universiteto doc. dr.

G. Dosinui, doc. dr. N. Janušauskaitei, doc. dr. A. Pekarskienei ir Vilniaus

Gedimino technikos universiteto doc. dr. J. Kleizai, - atidžiai perskaičiu-

siems rankraštį ir davusiems vertingų patarimų, bei knygos redaktorei

Z. Šliavaitei už kruopštų redagavimą.

V. Pekarskas

T U R I N Y S

L MATEMATINĖS LOGIKOS IR AIBIŲ

TEORIJOS PRADMENYS 13

1. Matematinės logikos elementai 13

1.1. Teiginių logika 13

1.2. Predikatų logika. Kvantoriai 16

1.3. Teoremų struktūra 17

1.4. Matematinės indukcijos metodas 18

2. Aibių teorijos elementai 18

2.1. Aibės ir veiksmai su jomis 18

2.2. Aibių atvaizdis, funkcijos sąvoka 21

2.3. Aibių rėžiai. Įdėtųjų atkarpų lema 22

2.4. Skaičiosios aibės 23

2.5. Kontinuumo galios aibės 24

2.6. Realiojo skaičiaus modulis 25

2.7. Aibės R poaibių klasifikavimas 26

Uždaviniai 27

Atsakymai 30

I L KOMPLEKSINIAI SKAIČIAI 31

1. Algebrinė kompleksinių skaičių forma 31

1.1. Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas 31

1.2. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais 32

2. Trigonometrinė kompleksinių skaičių forma 34

2.1. Kompleksinių skaičių geometrinė interpretacija 34

2.2. Polinė koordinačių sistema ir trigonometrinė

kompleksinių skaičių forma 35

2.3. Kompleksinių skaičių, išreikštų trigonometrine forma,

daugyba, dalyba ir kėlimas laipsniu 37

2.4. Šaknies iš kompleksinio skaičiaus, išreikšto

trigonometrine forma, traukimas 39

3. Rodiklinė kompleksinių skaičių forma 40

Uždaviniai 41

Atsakymai 42

I I L RIBŲ TEORIJA 43

1. Funkcija. Funkcijų klasifikacija 43

1.1. Funkcijos sąvoka ir jos kitimo charakteristikos 43

1.2. Atvirkštinės funkcijos sąvoka 44

1.3. Pagrindinės elementariosios funkcijos 45

1.4. Sudėtinė funkcija 50

1.5. Elementariosios funkcijos, jų klasifikacija 50

1.6. Parametrinės kai kurių kreivių lygtys 52

2. Skaičių seka ir jos riba 55

2.1. Skaičių sekos sąvoka 55

2.2. Sekos ribos sąvoka 56

2.3. Konverguojančių sekų savybės 59

2.4. Sekos ribos egzistavimo požymiai 61

2.5. Skaičius e 62

2.6. Hiperbolinės funkcijos 64

2.7. Bolcano ir Vejerštraso principas 66

2.8. Koši sekos ir Koši kriterijus 67

3. Funkcijos riba 70

3.1. Funkcijos ribos taške sąvoka 70

3.2. Vienpusės funkcijos ribos 73

3.3. Funkcijos riba, kaix-»co 74

3.4. Neaprėžtai didėjančios funkcijos 76

3.5. Aprėžtosios ir neaprėžtosios funkcijos 77

3.6. Nykstamosios funkcijos 79

3.7. Nykstamųjų funkcijų savybės 80

3.8. Ribų dėsniai 82

3.9. Neapibrėžtieji reiškiniai 84

3.10. Funkcijos ribos egzistavimo požymiai 86

3.11. Riba I i m ^ 87 x->0 X

3.12. Riba Iim ( l + - l , χ eR 89

.V—>±oo V χ)

3.13. Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios

nykstamosios funkcijos 92

3.14. Ekvivalenčių nykstamųjų funkcijų naudojimas

apskaičiuojant ribas 93

3.15. Funkcijos Koši kriterijus 95

4. Funkcijos tolydumas taške 96

4.1. Funkcijos tolydumo taške sąvoka 96

4.2. Funkcijos trūkio taškai 98

4.3. Aritmetinės operacijos su tolydžiosiomis funkcijomis 99

4.4. Tolydžiųjų funkcijų superpozicija 99

4.5. Monotoninės funkcijos tolydumo sąlyga 100

4.6. Elementariųjų funkcijų tolydumas 101

5. Tolydžiųjų atkarpoje funkcijų savybės 102

5.1. Pirmoji Bolcano ir Koši teorema 102

5.2. Antroji Bolcano ir Koši teorema 103

5.3. Pirmoji Vejerštraso teorema 103

5.4. Antroji Vejerštraso teorema 104

5.5. Atvirkštinės funkcijos tolydumas 104

5.6. Tolygusis tolydumas 105

Uždaviniai 108

Atsakymai 112

I V , VIKNO KINTAMOJO FUNKCIJŲ

DIFERENCIALINIS SKAIČIAVIMAS 113

1. Funkcijos išvestinė 113

1.1. Funkcijos išvestinės sąvoka 113

1.2. Funkcijos išvestinės mechaninė ir geometrinė prasmė 116

1.3. Funkcijos išvestinės ir jos tolydumo ryšys 118

1.4. Funkcijų diferencijavimo taisyklės 119

1.5. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinės 121

1.6. Išvestinių lentelė 124

1.7. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas 125

1.8. Logaritminisdiferencijavimas 125

1.9. Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis,

diferencijavimas 127

2. Funkcijos diferencialas 128

2.1. Funkcijos diferencijuojamumas ir diferencialas 128

2.2. Diferencialo formos invariantiškumo savybė 130

3. Aukštesniųjų eilių išvestinės ir diferencialai 130

3.1. Aukštesniųjų eilių išvestinės 130

3.2. Neišreikštinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės 131


aukštesniųjų eilių išvestinės 132

3.4. Niutono binomas 133

3.5. Leibnico formulė 134

3.6. Aukštesniųjų eilių diferencialai 134

4. Vidurinių reikšmių teoremos 135

4.1. Ferma teorema 135

4.2. Rolio teorema 136

4.3. Koši teorema 137

4.4. Lagranžo teorema 138

4.5. Lopitalio teorema 139

4.6. Lopitalio taisyklė 140

5. Teiloro formulė 142

5.1. Daugianario Teiloro formulė 142

5.2. Funkcijos reiškimas Teiloro formule 143

5.3. Kai kurių elementariųjų funkcijų reiškimas Makloreno

formule 146

5.4. Funkcijų reikšmių apskaičiavimas 148

6. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos 149

6.1. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos sąvoka 149

6.2. Vektorinės funkcijos riba, tolydumas ir išvestinė 150

7. Kai kurios kreivių teorijos žinios 152

7.1. Plokščiosios kreivės kreivis 152

7.2. Kreivio apskritimas 155

7.3. Evoliutė ir evolventė 156

8. Funkcijų tyrimas 157

8.1. Funkcijos pastovumo sąlyga 157

8.2. Funkcijos monotoniškumas 158

8.3. Funkcijos ekstremumai, būtinos jų sąlygos 158

8.4. Pakankamos ekstremumų sąlygos 160

8.5. Funkcijos didžiausioji ir mažiausioji reikšmė atkarpoje ....162

8.6. Kreivės iškilumas ir perlinkio taškai 164

8.7. Grafiko asimptotės 166

8.8. Bendroji funkcijos tyrimo ir jos grafiko braižymo

schema 168

Uždaviniai 171

Atsakymai 175

V . NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS 177

1. Pirmykštė funkcija 177

1.1. Pirmykštės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo sąvokos ..177

1.2. Neapibrėžtinių integralų lentelė 180

2. Pagrindiniai integravimo metodai 182

2.1. Tiesioginio integravimo metodas 182

2.2. Integravimas keičiant kintamąjį 183

2.3. Integravimo dalimis metodas 186

3. Įvairių reiškinių integravimas 189

3.1. Funkcijų, kurių išraiškoje yra kvadratinis trinaris,

integravimas 189

3.2. Racionaliosios trupmenos. Paprasčiausių racionaliųjų

trupmenų integravimas 192

3.3. Taisyklingosios racionaliosios trupmenos reiškimas

paprasčiausių trupmenų suma 196

.3.4. Racionaliųjų trupmenų integravimas 198

3.5. Dviejų tipų iracionaliųjų funkcijų integravimas 201

3.6. Integralai Jtf^Jt, -Jax2 +bx+cj dx . Oilerio keltiniai 203

3.7. Diferencialinių binomų integravimas 206

3.8. Trigonometrinių reiškinių integravimas 209

4. Integralai, neišreiškiami elementariosiomis funkcijomis 213

Uždaviniai 215

Atsakymai 217

V I . APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS IR JO

TAIKYMAS 219

1. Apibrėžtinio integralo sąvoka 219

1.1. Kreivinės trapecijos plotas ir apibrėžtinio

integralo sąvoka 219

1.2. Darbu sumos 222

1.3. Darbu sumų savybės 2?3

1.4. Rymano integralo egzistavimo sąlyga 224

1.5. Integruojamųjų funkcijų klasės 225

1.6. Apibrėžtinio integralo savybės 226

2. Niutono ir Leibnico formulė 229

2.1. Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu 229

2.2. Niutono ir Leibnico formulė 231

3. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimo metodai 232

3.1. Kintamųjų keitimo metodas 232

3.2. Integravimas dalimis 235

π/2 π/2

3.3. Integralai jsin"xi£r, Jcos i iXiit (n e N) 235

0 O

4. Apibrėžtinio integralo apytikslis skaičiavimas 237

4.1. Stačiakampių formulė 237

4.2. Trapecijų formulė 239

4.3. Parabolių (Simpsono ) formulė 239

4.4. Pavyzdžių sprendimas 241

5. Geometrinis ir mechaninis apibrėžtinio integralo taikymas....246

5.1. Figūros ploto apskaičiavimas stačiakampėje

koordinačių sistemoje 246

5.2. Figūros ploto apskaičiavimas polinių koordinačių

sistemoje 248

5.3. Kreivės lanko ilgis 250

5.4. Kūno tūrio apskaičiavimas pagal skerspjūvio plotą 254

5.5. Apibrėžtinio integralo taikymo schema 256

5.6. Apibrėžtinio integralo taikymas mechanikoje 259

6. Netiesioginiai integralai 267

6.1. Netiesioginiai integralai su begaliniais integravimo

rėžiais 267

6.2. Netiesioginių integralų su begaliniais rėžiais

konvergavimo požymiai 270

6.3. Absoliutusis ir reliatyvusis netiesioginių integralų

konvergavimas 274

6.4. Trūkiųjų funkcijų netiesioginių integralų apibrėžimas.

Niutono ir Leibnico formulės taikymas 277

6.5. Trūkiųjų funkcijų netiesioginių integralų konvergavimo

požymiai 279

6.6. Beta ir gama funkcijų konvergavimo sąlygos 283

6.7. Pagrindinė netiesioginio integralo reikšmė 284

Uždaviniai 286

Atsakymai 292

V I L K E L I Ų KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS 293

1. Aibės plokštumoje ir erdvėje 293

1.1. Euklido erdvės 293

1.2. Taško aplinka erdvėje R". Atvirosios ir uždarosios aibės...295

2. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka ir geometrinis

vaizdavimas 296

2.1. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka 296

2.2. Sukimosi paviršiai 297

2.3. Elipsoidai 298

2.4. Hiperboloidai 299

2.5. Elipsiniai paraboloidai 300

2.6. Hiperbolinis paraboloidas 300

2.7. Kūgiai 301

2.8. Cilindriniai paviršiai 302

3. Kelių kintamųjų funkcijos riba ir tolydumas 303

3.1. Funkcijos riba taške 303

3.2. Kartotinės ribos 304

3.3. Kelių kintamųjų funkcijų tolydumas 306

4. Kelių kintamųjų funkcijų diferencijavimas 308

4.1. Dalinės išvestinės 308

4.2. Pilnasis funkcijos pokytis 310

4.3. Pilnasis diferencialas 312

4.4. Pilnojo diferencialo taikymas apytiksliame skaičiavime 314

4.5. Sudėtinių funkcijų išvestinės 315

4.6. Pirmojo diferencialo formos invariantiškumas 318

4.7. Neišreikštinės funkcijos diferencijavimas 318

4.8. Aukštesniųjų eilių išvestinės 320

4.9. Aukštesniųjų eilių diferencialai 323

4.10. Dviejų kintamųjų funkcijos Teiloro formulė 324

5. Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumai 327

5.1. Būtinos ekstremumo sąlygos 327

5.2. Pakankamos ekstremumo sąlygos 328

5.3. Sąlyginiai ekstremumai 331

5.4. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmė

uždaroje srityje 335

5.5. Mažiausių kvadratų metodas 336

6. Skaliarinis laukas 340

6.1. Skaliarinis laukas. Lygio paviršiai 340

6.2. Kryptinė išvestinė 341

6.3. Gradientas 343

7. Geometrinis diferencialinio skaičiavimo taikymas 346

7.1. Erdvinės kreivės liestinė ir normalioji plokštuma 346

7.2. Paviršiaus liečiamoji plokštuma ir normalė 348

Uždaviniai 351

Atsakymai 355

VlIL INTEGRALAI, PRIKLAUSANTYS NUO

PARAMETRO 356

1. Tiesioginiai integralai, priklausantys nuo parametro 356

1.1. Integralų, priklausančių nuo parametro, sąvoka ir

tolydumas 356

1.2. Integralų, priklausančių nuo parametro,

diferencijavimas 357

1.3. Integralų, priklausančių nuo parametro, integravimas 360

2. Netiesioginiai integralai, priklausantys nuo parametro 363

2.1. Tolygusis integralų konvergavimas 363

2.2. Netiesioginių integralų tolydumas, diferencijavimas

ir integravimas 365

2.3. Netiesioginių integralų apskaičiavimas, diferencijuojant

ir integruojant juos parametro atžvilgiu 366

3. Oilerio integralai 370

3.1. Beta funkcija ir jos savybės 370

3.2. Gama funkcija ir jos savybės 372

3.3. Gama ir beta funkcijų sąryšis 373

3.4. Papildinio formulė 374

3.5. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimas naudojant

Oilerio integralus 375

Uždaviniai 377

Atsakymai 379

DALYKINĖ RODYKLĖ 380

LITERATŪRA 385

MATEMATINĖS LOGIKOS IR AIBIŲ TEORIJOS PRADMENYS

1. Matematinės logikos elementai

Samprotaudami žmonės iš tam tikrų prielaidų gauna vienokias ar

kitokias išvadas. Labai svarbu žinoti, kokios yra tos išvados - teisingos ar

klaidingos, kaip reikia samprotauti, kad išvengtume klaidingų išvadų. Sie

klausimai rūpėjo jau senovės mąstytojams. Buvo sukurtas mokslas, vadi-

namas logika, kuris ir tiria priimtinus samprotavimo būdus. Logikos atsi-

radimas paprastai siejamas su graikų filosofo Aristotelio* vardu. Jo sukur-

tos logikos pagrindu X I X a. susiformavo šiuolaikinė matematinė logika,

kurios pradininku laikomas airių matematikas Dž. Bulis**. Jis sukūrė algeb-

rą, kurioje tradiciniai loginiai uždaviniai sprendžiami algebriniais

metodais. Pagrindiniai šios algebros objektai - teiginiai bei loginės

operacijos su jais.

1.1. Teiginių logika

Pagal matematinę logiką, teiginys yra bet kuris sakinys, kuris gali būti

teisingas arba klaidingas, bet negali būti vienu metu ir teisingas, ir

klaidingas.

Teiginių pavyzdžiai:

1 ) 2 x 2 = 4 ;

Aristotelis (384-322 m. pr. Kr.) - graikų filosofas.

** Džordžas Bulis (G. Boole, 1815-1864) - airių matematikas.

2) trikampio kampų suma lygi π ;

3) sin 30° = 2 .

Pirmieji du teiginiai teisingi, trečiasis - klaidingas. Teiginius sutarsime

žymėti raidėmis p, q,... .

Iš kelių teiginių, vartojant logines jungtis „arba", „ ir" bei kitas, galima

sudaryti naujus, sudėtinius teiginius.

1 apibrėžimas. Teiginys, sudarytas iš kitų teiginių, sujungtų logine

jungtimi „arba ", vadinamas disjunkcija, arba teiginių logine suma.

Teiginių p ir q disjunkcija žymima pvq ir skaitoma „p arba q ". Iš karto

pabrėšime, kad jungtis „arba" šnekamojoje kalboje vartojama šiek tiek

kitaip negu matematinėje logikoje. Išnagrinėkime, pavyzdžiui, sakinį

„Manęs pasitikti ateis brolis arba sesuo". Taip sakydamas, žmogus turėjo

galvoje, kad jo pasitikti ateis arba brolis, arba sesuo, bet ne abu kartu.

Matematinėje logikoje jungtis „arba" jau neturi skiriamojo atspalvio. Dis-

junkcija p\/q teisinga tada, kai p - teisingas, q - klaidingas teiginys, arba q -

teisingas, op - klaidingas teiginys, arba p, q - abu teisingi teiginiai.

Disjunkcija klaidinga tik tada, kai abu teiginiai p ir q yra klaidingi.

2 apibrėžimas. Teiginys, sudarytas iš kitų teiginių, sujungtų logine

jungtimi „ir", vadinamas konjunkcija, arba teiginių logine sandauga.

Teiginių p ir q konjunkcija žymima p/\q. Konjunkcija teisinga, kai abu

teiginiai p ir q yra teisingi.

Įvairių teoremų formuluotėse dažnai vartojama jungtis „jei ..., tai".

Pavyzdžiui, „Jei keturkampio dvi priešingos kraštinės yra lygios ir

lygiagrečios, tai toks keturkampis yra lygiagretainis".

3 apibrėžimas. Teiginys, sudarytas iš keleto teiginių, sujungtų logine

jungtimi „jei..., tai", vadinamas implikacija.

Implikacija žymima ženklu =>, kuris dažnai dar vadinamas išvados

ženklu. Teoremos sąlygą ir išvadą pažymėję atitinkamai raidėmis p ir q,

teoremą galėtume simboliškai parašyti taip:

skaitome: „Jei p, tai q'\ „Išp išplaukia q", „Sąlygap yra pakankama išvados

q sąlyga" arba „Sąlyga q yra būtina, kad galiotų sąlyga p".

Implikacija yra teisinga, jei iš teisingos prielaidos gaunama teisinga

išvada, ir klaidinga, jei iš teisingos prielaidos gaunama klaidinga išvada.

Sutarta implikaciją laikyti teisinga, kai abu teiginiai p ir q klaidingi arba kai

p - klaidingas, o q - teisingas.

Sukeitę teoremos p =>q prielaidą ir išvadą vietomis, gautume teoremą

kuri vadinama atvirkštine duotajai.

Kai teorema p => q yra teisinga, atvirkštinė jai gali būti ir teisinga, ir

klaidinga. Pavyzdžiui, teorema „Jei keturkampis yra rombas, tai jo įstri-

žainės viena kitai statmenos" yra teisinga, o jai atvirkštinė teorema „Jei

keturkampio įstrižainės yra statmenos viena

kitai, tai jis - rombas" yra klaidinga. Tuo

įsitikiname, pasižiūrėję į 1 paveikslą. Jame

nubraižyto keturkampio įstrižainės viena kitai

statmenos, tačiau tas keturkampis nėra rombas.

O štai Pitagoro teorema ir jai atvirkštinė abi yra

teisingos.

Kai abi teoremos - tiesioginė p => q ir

atvirkštinė ą => p - teisingos, rašome p <=» ą.

Kadangi iš p išplaukia q ir iš q išplaukia p, tai

kiekviena sąlyga yra būtina ir pakankama, kad j p a v

galiotų kita sąlyga. Dažnai, formuluodami

teoremas, vietoj žodžių „p yra būtina ir pakankama sąlyga, kad galiotų ą "

sakome „p tada ir tik tada, kai q ".

4 apibrėžimas. Du teiginiai, sujungti logine jungtimi „ tada ir tik tada,

kai", vadinami logiškai ekvivalenčiais.

Todėl posakis „p yra būtina ir pakankama sąlyga, kad galiotų q"

išreiškia ne ką kita, kaip teiginių p ir q ekvivalentumą. Taigi dviejų teiginių

ekvivalentumo įrodymas yra būtinos ir pakankamos sąlygos įrodymas arba

atvirkštinės ir tiesioginės teoremos įrodymas.

Loginis ekvivalentumas p <=> q teisingas, kai p ir q yra kartu teisingi

arba kartu klaidingi.

Pažymėję teiginio teisingumą vienetu, o klaidingumą nuliu, išdėstytus

samprotavimus apie operacijų teisingumą apibendrinsime jų teisingumo

reikšmių lentele:

P я pvq PAq Р=><7 P^q

1 1 1 1 1 1

O 1 1 О 1 О

1 O 1 О О О

O O О О 1 1

Iš kiekvieno teiginio, neigiant jį, t.y. tvirtinant, kad jis yra neteisingas,

gaunamas naujas teiginys, kuris vadinamas duotojo teiginio neiginiu.

Neiginį žymime p; skaitome: „Netiesa, kad p " arba „Ne p". Jo teisingumo

reikšmių lentelė pateikta žemiau.

Neigimo operacija yra unarinė, t.y. atliekama su vienu teiginiu, kitos

operacijos - binarinės, nes jos atliekamos su dviem teiginiais.

Suformuluosime svarbiausius logikos dėsnius.

1. Neprieštaravimo dėsnis. Du vienas kitam

priešingi teiginiai p ir p negali būti vienu metu teisingi:

p a p = O .

P P

1 о

о 1

2. Negalimo trečiojo dėsnis. Iš dviejų priešingų teiginių p ir p vienas

visuomet yra teisingas:

p v p = 1 .

3. Teisingos išvados dėsnis (modus ponens). Iš teisingos prielaidos

išplaukia tik teisinga išvada.

4. Klaidingos išvados dėsnis (modus tollens). Klaidinga išvada išplau-

kia tik iš klaidingos prielaidos.

1.2. Predikatų logika. Kvantoriai

Panagrinėkime sakinį „x yra upė". Šis sakinys nėra teiginys, nes

neaišku, ar jis teisingas, ar klaidingas. Tikrai, jei vietoj „x" įrašytume

Nemunas, gautume teisingą teiginį, o jeigu įrašytume Baltija - klaidingą.

Tokie sakiniai vadinami predikatais arba teiginio funkcijomis. Predikatus

žymėsime A(x), B(x).

Predikatus galima paversti teiginiais dvejopai. Pirmąjį būdą, kai vietoj

χ įrašomas konkretus objektas, jau aptarėme. Antrasis būdas pagrįstas

kvantorių naudojimu. Paprastai naudojami du kvantoriai - bendrumo ir

egzistavimo. Terminas „kvantorius" kilęs iš lotyniško žodžio quantum -

„kiek" ir kiekybiškai apibūdina teiginį.

Simboliu V žymimas bendrumo kvantorius; jis vartojamas vietoj žodžių

„bet kuris", „kiekvienas", „visi". Pavyzdžiui, teiginį „Kad ir koks būtų rea-

lusis skaičius*, visada x+2=2+x " galima parašyti taip:

Vxe R: x+2= 2+x .

Simboliu 3 žymimas egzistavimo kvantorius; jis vartojamas vietoj žodžių

„egzistuoja bent vienas", „galima rasti". Pavyzdžiui, teiginį „Galima rasti

tokią natūraliąją χ reikšmę, su kuria x+2=5" parašome simboliškai taip:

ЗхеУУ: x+2= 5 .

Iš predikato A(x) galima gauti teiginius, parašant priešais jį bendrumo

arba egzistavimo kvantorių. Sakiniai: Vx A(x) - su visais χ predikatas A(x)

yra teisingas, 3x A(x) - yra toks x, su kuriuo A(x) teisingas, jau yra

teiginiai. Pavyzdžiui, sakinys „x - pirminis skaičius" yra predikatas, o

sakiniai „Bet kuris skaičius χ yra pirminis" ir „Egzistuoja skaičius χ, kuris

yra pirminis" - jau teiginiai; pirmasis jų yra klaidingas, antrasis - teisingas.

Simboliu Ί A žymėsime teiginio A neiginį. Taigi Λ A = A .

Sakykime, kad visi χ e M turi savybę a (x ) :

Vx € M: α (χ) .

Šio teiginio neiginys skamba taip: „Yra bent vienas elementas χ e M ,

kuris neturi savybės α (χ ) , o turi savybę l a (x ) . Vadinasi, teisingas sąryšis

eA/: α(χ) З х е M : Ι α (χ).

Gavome labai svarbų rezultatą: neigdami teiginį, prasidedantį bendrumo

kvantoriumi V, pastarąjį pakeičiame egzistavimo kvantoriumi Ξ ir kartu

neigimo operaciją priskiriame savybei a ( x ) .

Analogiškai įrodytume sąryšį

Ί Ξ х е М : a (x ) o V x e M : Ία (χ) .

1.3. Teoremų struktūra

Jau aptarėme, kad teoremą „Jei p, tai q" galima užrašyti kaip

implikaciją

o jai atvirkštinę teoremą - kaip

q=>p.

Teorema p => q vadinama priešingąja, o teorema q=> p - priešingąja

atvirkštinei.

Vėl grįžkime prie nagrinėto pavyzdžio. Tarkime, kad tiesioginė

teorema yra „Jei keturkampis yra rombas, tai jo įstrižainės viena kitai

statmenos". Suformuluokime šiai teoremai atvirkštinę, priešingąją ir prie-

šingąją atvirkštinei teoremas: jei keturkampio įstrižainės viena kitai stat-

menos, tai jis - rombas (atvirkštinė); jei keturkampis ne rombas, tai jo

įstrižainės nėra statmenos viena kitai (priešingoji); jei keturkampio įstri-

žainės nėra statmenos viena kitai, tai jis - ne rombas (priešingoji at-

virkštinei). Aišku, kad šiame pavyzdyje atvirkštinė ir priešingoji teorema

yra klaidingos, o priešingoji atvirkštinei - teisinga. Pastarasis faktas nėra

atsitiktinis dalykas, o atspindi bendrą svarbią taisyklę, būtent, tiesioginė ir

priešinga atvirkštinei teoremos yra ekvivalenčios:

p=>qoq=>p .

Si savybė yra įrodymo prieštaros metodu (lotyniškai reductio ad

absurdum - „suvedimas į absurdą") pagrindas; vietoj teoremos p =>q ,

kurią reikėjo įrodyti, įrodome teoremą q => p. Kitaip sakant, norėdami

įrodyti teoremą p => q , darome prielaidą, kad galioja q, t. y. teiginys q yra

neteisingas, ir bandome įrodyti, jog galioja p , t. y. teiginys p irgi yra

neteisingas. Jei tai padaryti pavyksta, pradinė teorema p=> q laikoma

įrodyta.

1.4. Matematinės indukcijos metodas

Tai labai svarbus teoremų įrodymo būdas. Priminsime pagrindinius jo

momentus.

Sakykime, reikia įrodyti, kad tam tikras teiginys A(n) (n - natūralusis

skaičius) teisingas. Įrodome dviem etapais:

1. Patikriname, ar teisingas teiginys A(I).

2. Tardami, kad teiginys A(n) teisingas, kai n = k, įrodome, jog jis tei-

singas, kai n-k+l, t.y. įrodome, jogy4(&) = > T a d a galėsime tvir-

tinti, kad teiginys A(n) teisingas ir su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi n.

Matematinės indukcijos metodu įrodysime nelygybę

n\>2n~l ;

čia n - natūralusis skaičius, n >2.

Kai n-2, tai 2! = 2 2 " 1 , taigi teiginys A(2) yra teisingas.

Tarkime, kad nelygybė

k\> 2k~x (1)

yra teisinga. Įrodysime, kad bus teisinga nelygybė

[k + \)\>2k.

Abi (1) nelygybės puses padauginame iš (&+1) ir gauname:

k\(k + l)>2k-i(k + l),

+ l ) ! > 2k~1(k + 1). (2)

Kadangi k+1 >2, kai k > 2, tai iš (2) nelygybės, įrašę į ją vietoj k+1 skaičių

2, gauname:

(к + 1)!>2к-1(к + 1)> 2к~х2 = 2к.

Vadinasi, (/с+1)! > 2к, kai к>2. Ši nelygybė tampa lygybe, kai к = 1. Todėl

(к+\)\>2к, kai к> 1. Kadangi A(k)=>A(k+Y), tai nelygybė n\>2""1

teisinga

su \fn > 2 .

2. Aibių teorijos elementai

2.1. Aibės ir veiksmai su jomis

Aibės sąvoka yra neapibrėžiama, pirminė, sąvoka. Aibe laikome

objektų, kuriems būdingas tam tikras požymis, visumą.

Pavyzdžiui, studentų aibė, figūrų, homotetiškų duotajai, aibė, natūra-

liųjų skaičių aibė.

Priminsime, kad elementariojoje matematikoje nagrinėjamos tokios

skaičių aibės: N - natūraliųjų skaičių aibė, Z - sveikųjų skaičių aibė, Q -

racionaliųjų skaičių aibė, R - realiųjų skaičių aibė.

Aibę A , sudarytą iš elementų a, b, c,..., žymėsime taip:

A = {a, b, c,... }.

Norėdami pažymėti, kad elementų χ aibė turi savybę P(x), rašome

{χ I P(x)}. Pavyzdžiui, užrašas {(x; y) \ y1- 4χ > 0} reiškia aibę taškų (x; y),

kurių koordinatės tinka nelygybei y2- 4x > 0. Atkarpą [a; b], intervalus (a;

b), (-oo; a) ir kitus galime užrašyti taip:

[a; b] = {χ I xe/?, a<x<b},

(a; b) = {x \xeR, a<x<b},

(-oo; a) = {x \xeR, -oo<jc < a},

R = (-oo; +oo)= {x1 -oo < χ < +oo} .

Aibė A, kurios kiekvienas elementas kartu yra ir aibės B elementas,

vadinama aibės B poaibiu. Žymime AaB arba BzdA. Pavyzdžiui, NczZ,

ZaQ, QczR.

Aibės A ir B yra lygios tada ir tik tada, kai AczB ir B czA. Taigi

A=B o ACBABczA .

Rašoma A=B.

Aibė, neturinti elementų, vadinama tuščiąją ir žymima simboliu 0 .

Aibių A ir B sąjunga vadiname aibę A[]B , sudarytą iš elementų, pri-

klausančių bent vienai aibių A, B : AlJB = {X\X&A wx&B] .

Aibių A ir B sankirta vadiname aibę AHB, sudarytą iš elementų, pri-

klausančių abiem aibėms :

AftB = {x IxeA AXeB} .

Pavyzdžiui, kai A = { 1, 2, 3, 4, 5}, B={-1, O, 1, 2}, tai AliB =

= {1,0,1,2,3,4,5}, AHB ={1,2}.

Baigtinio kiekio aibių Ai, A2,..., An sąjungą žymime n n

A1IJ A2D--UAn arba (JĄ-, o sankirtą - A1 CiA2 П·--DAn , arba f ) A ' ·

i=l i=l

Kai i įgyja visas natūraliąsias reikšmes, tai aibių sąjungą žymime

OO OO

|J A1 , o sankirtą - [^Ai .

i=\ /=1

OO

Pavyzdys. Raskime Q A „ , k a i An =

n=1

S p r e n d i m a s

A1HA2= (0,1) Π (θ, I) = (θ, i) . A, ClA2HA3 = (θ, £) Π (θ, =

x\ χ e R, O <x < — ,n sN \. n

0, — . Taikydami matematinės indukcijos metodą įrodytume, kad

Aibių A ir B skirtumu vadiname aibę A\B, sudarytą iš tų aibės A

elementų, kurie nepriklauso aibei B:

Pavyzdžiui, к а Ы = {1, 2, 3, 4, 5}, B={-1, 0,1, 2} taiA\B={3, 4, 5}.

Aibės AczE papildiniu iki aibės E vadiname aibę Ac, sudarytą iš tų aibės

E elementų, kurie nepriklauso A:

Ac = [χ \ χ & E л χ £ A] = E \ A .

Kadangi A ir Ac neturi bendrų elementų, tai^4 f|Ac = 0 .

Jeigu aibes A ir B schemiškai pavaizduotume plokščiomis figūromis,

tai 2 paveiksle subrūkšniuotos dalys būtų atitinkamai A UB, A Π B, A\B ir

Išvardysime pagrindines minėtų operacijų savybes:

\) AUB = BUA, A f]B = B f) A - komutatyvumo (perstatomumo)

savybė;

2) (A [j B) [j C =A [j (B [j C); (A Π B) f] C =A f] (B f] C) - asociatyvumo

(jungiamumo) savybė;

3) (A UB) Π C=(Af)C) U (B Π C) - distributyvumo (skirstomumo)

savybė;

4)AcAUB; 5) А ПВсА; 6)AU0=A; 7)Af)0=0; 8)AUB=Bir

A f)B=A, kai AczB.

3.

A \B={x I x&A лxiB} .

Ac.

AUB АПВ

A\B Ac

Įrodysime, pavyzdžiui, 3 savybę. Įrodymo eiga tokia. Pažymėkime

E=(A U5 ) Π C ir F= (А П C) U (B Π C); toliau, tarę, kad xe E, įrodome, jog

Xe F, vadinasi, Ec.F. Atvirkščiai, tarę, k a dxeF , įrodome, jog xeE, todėl

FczE. Iš sąlygų £ c F ir FczE išplaukia, kad E=F. Taigi įrodinėjame:

xeE=(AUB)f)C =^xe(AUB) лхеС^>(хеА v x e В)лхеС => (хеА л

лхеС ) v (ХЕВ л х е С ) => хе(АГ\С) U ( S f I C ) = F ; vadinasi, XSE =>xeF ,

todėl E d F .

Sąlyga FczE įrodoma analogiškai.

2.2. Aibių atvaizdis, funkcijos sąvoka

Tarkime, kad duotos bet kokios dvi aibės X ir Y.

1 apibrėžimas. Funkcija arba atvaizdžiu, apibrėžtu aibėje X su reikš-

mėmis aibėje Y, vadiname taisyklę f, pagal kurią kiekvienam aibės X ele-

mentui χ priskiriamas vienas aibės Y elementas f (x).

Rašome: f: X~>Y arba f(x). Elementas f(x) vadinamas elemento χ

vaizdu, arba funkcijos/reikšme taške x.

Dažnai pati funkci ja/žymima simboliu f(x). Toks simbolio f(x) dvily-

pumas nesudaro keblumų, nes jo prasmė paprastai būna aiški iš konteksto.

Aibę X vadiname funkcijos / apibrėžimo aibe, o visų jos elementų

vaizdų aibę (y | y=f(x),xeX} - funkcijos/reikšmių aibe; ją žymime f(X).

Atvaizdis gali būti dvejopas: visi aibės Y elementai yra aibės X

elementų vaizdai (3 pav., a) arba aibėje У yra elementų, kurie nėra aibės X

elementų vaizdai (3 pav., b). Pirmuoju atveju sakome, kad aibė X atvaiz-

duojama į aibę Y, o antruoju - aibė X atvaizduojama aibėje Y.

Matematikoje labai svarbus yra aibės atvaizdis į aibę, kai vieną ele-

mentą хе X atitinka vienas yeY, ir atvirkščiai. Toks atvaizdis vadinamas

abipusiškai vienareikšmiu Xatvaizdžiu į Y, arba bijekcija.

2 apibrėžimas. Funkcija f: X^Y vadinama bijekcija, jeigu f(X) = Y ir

skirtinguose aibės X taškuose funkcija f įgyja skirtingas reikšmes f(xi)*f(x2),

kai χ\φχ2, Vx1 ,x2 e l .

3 apibrėžimas. Jeigu tarp dviejų aibių A ir B nustatyta abipusiškai viena-

reikšmė atitiktis, tai sakome, kad aibės A ir Byra ekvivalenčios. ŽymimeA—B.

Aibių ekvivalentumo savybės:

1) A - A - refleksyvumo sa-

vybė;

3 )A~B лВ ~ C=>A~C-

tranzityvumo savybė.

2) A-B => B-A - simetriš-

kumo savybė;

a) b)

2.3. Aibių rėžiai. Įdėtųjų atkarpų lema

Aibė AczR vadinama aprėžtąja iš viršaus, jeigu egzistuoja realusis

skaičius M, su kuriuo x<M, Vxe/I. Analogiškai, jeigu egzistuoja skaičius m,

su kuriuo x>m, VxeA , tai aibė A vadinama aprėžtąja iš apačios. Kai

m<x<M, Vxe/1, tai aibė A vadinama aprėžtąja. Skaičiai m ir M vadinami

tos aibės apatiniu ir viršutiniu rėžiais.

Pavyzdžiui, aibė v4 = j x|x = —, Vn e N j iš viršaus aprėžta skai-

čiumi 1, o iš apačios - skaičiumi 0. Beje, pirmasis rėžis aibei priklauso,

antrasis - ne.

Nesunku suvokti, kad aibė, turinti vieną viršutinį rėžį, kartu jų turi be

galo daug, todėl galima kalbėti apie mažiausią iš tų rėžių.

1 apibrėžimas. Mažiausias iš visų viršutinių aibės A rėžių vadinamas

tiksliuoju viršutiniu tos aibės rėžiu ir žymimas sup Λ arba sup {χ} (lotyniškai

supremum - „aukščiausias").

2 apibrėžimas. Didžiausias iš visų apatinių aibės A rėžių vadinamas

tiksliuoju apatiniu rėžiu ir žymimas inf A arba inf{x} (lotyniškai infimum -

„žemiausias").

Jau minėtos aibės Λ = |χ|χ = —, V« e i v j tikslieji rėžiai yra šie:

supA = I, inf A=O, be to, sup^4e^, iniAeA.

Kai aibė A nėra aprėžta iš viršaus (apačios), sutarsime, kad sup A

= +oo (inf Л = - сю).

Be įrodymo suformuluosime tiksliųjų rėžių teoremą, kuri dar vadi-

nama Boleano* teorema.

1 teorema. Jei aibė aprėžta iš viršaus (apačios), tai ji turi ir tikslųjį

viršutinį (apatinį) rėžį.

Panagrinėkime atkarpų [a„;b„], neN, а ^

visumą, pasižyminčią tokia savybe (4 pav.): n * n * 1

[a1;bl]zD[a2-,b2]zD...ZD[an-,bn]zD... [ [ ] ]

Tokios atkarpos vadinamos įdėtosiomis. Эп bn

Suformuluosime vadinamąją įdėtųjų at-

karpų lemą. ^ Pav· 2 teorema. Egzistuoja realusis skaičius, priklausantis visoms įdėtosioms

atkarpoms [an\ bn],neN.

Į r odymas . Jei m<n , tai [a„; bn]cz [am; bm], todėl am<an< b„< bm.

Iš sąlygų am < bn ir an < bm išplaukia, kad ak<bi su visais natūraliaisiais

k ir / nepriklausomai nuo to, kokie jie yra: ar k>l, ar k<l. Sąlyga ak<bt

reiškia, kad bh VleN- aibės {ak} rėžis, todėl, remiantis Boleano teorema,

Bernardas Bolcanas (B. Bolzano, 1781-1848) - čekų filosofas ir matematikas.

galima teigti, kad egzistuoja sup {ak}=c, kuris iš visų viršutinių rėžių yra

mažiausias, vadinasi, c<bk . Antra vertus, c yra aibės {ak} viršutinis rėžis,

todėl ak < c, Vfce N. Taigi

ak<c <bk , Vfce N,

o tai reiškia, kad c - bendras visų atkarpų [ak ; bk] taškas. •

2.4. Skaičiosios aibės

Sakykime, A - bet kokia aibė. Pažymėkime In={1, 2, ... ,

n} hN={1,2, ...,n,...}.

1 apibrėžimas. Aibė A vadinama baigtine, kai A-In.

Priešingu atveju ji yra begalinė.

2 apibrėžimas. Aibė A vadinama skaičiąja, kai A-N. Kitaip sakant, A

yra skaičioji aibė, kai visus jos elementus galima sunumeruoti visais

natūraliaisiais skaičiais, be to, taip, kad skirtingi elementai gautų skirtingus

numerius.

Pavyzdys, {rodykime, kad visų sveikųjų skaičių aibė Z yra skaičioji.

Aibes Z ir N surašykime taip:

Z={0,1, -1,2,-2, 3 ,-3 , . . . } ,

N={1,2, 3, 4, 5, 6, 7,... } .

Antroje eilutėje surašytus skaičius priskirkime pirmos eilutės skai-

čiams, kitaip sakant, pirmos eilutės skaičius sunumeruokime. Galima pa-

rašyti ir funkciją

χ , n -lyginis, / = 2

i

— — , n - nelyginis,

kuri nustato abipusiškai vienareikšmę atitiktį / : N-^> Z . •

oo

1 teorema. Jei An - skaičioji aibė, tai Į J An- irgi skaičioji aibė.

n=l

Į rodymas . Kadangi kiekviena aibė An yra skaičioji, tai visus jos

elementus galima sunumeruoti ir surašyti taip: {ani, an2, an3, ..., ann, ...}.

Pirmasis dviženklio indekso skaitmuo yra aibės numeris n, o antrasis -

aibės elemento numeris. Visų aibių elementus surašykime lentele.

oo

Joje yra visi aibės [J An elementai. Tų ele-

/1=1

mentų numeravimo tvarką pavaizduokime

rodyklėmis ir juos visus surašykime seka

«11, fl21> 12, Язь «22, «13, «41, «32, «23, «14, —

^ 1 / ^ 2 / ^ 1 3 βψ4

«24

-«31 «32 α33 α34

«4-f «42 «43 ^44

Narių ank, kurių indeksų skaitmenų suma lygi n+k, yra baigtinis skaičius

(jų yra n+k-1), todėl kiekvienam ank bus priskirtas tam tikras numeris. Jei

kuris nors elementas kartotųsi, tai, turint galvoje aibių lygybės apibrėžimą,

jj reikėtų praleisti. Taigi įrodėme, kad suskaičiuojamo kiekio skaičiųjų

aibių sąjunga yra skaičioji. •

2 teorema. Racionaliųjų skaičių aibė Qyra skaičioji.

Į r odymas . Pažymėkime Л „ = | — , k e Z, rcewj. Tuomet

oo

Q= [J An . Aibė An yra skaičioji, nes ją galima išreikšti dviejų skaičiųjų

n=i

aibių sąjunga:

л , ={o . - . — . - , · } υ { 0 · - — · · · • • • } •

[ n n n J I n n n J

Tuomet Q - suskaičiuojamo kiekio skaičiųjų aibių sąjunga, todėl Q -

irgi skaičioji aibė. •

2.5. Kontinuumo galios aibės

Siame skyrelyje susipažinsime su neskaičiosiomis aibėmis.

Teorema. Atkarpos [0; 1] taškų aibė yra neskaičioji.

Į r odymas . Tarkime priešingai, kad ši aibė yra skaičioji.

Tuomet visus jos elementus galima sunumeruoti ir surašyti

tokia seka: X1, x2, ..., xk, ... Padalykime atkarpą [0; 1] į tris lygias dalis:

1 1 2 —; 1 — ? — * — ir —; 1

3_ _3 3_ 3 . Kiekvienas atkarpos [0; 1] taškas priklauso vienai

arba dviem (kai jis yra dalijimo taškas) jos dalims. Taigi tikrai yra dalis,

kuriai taškas X\ nepriklauso; ją pažymėkime Δι. Atkarpą Δι vėl padalykime

į tris lygias dalis ir simboliu Δ2 pažymėkime tą jos dalį, kuriai nepriklauso

taškas X2- Procesą tęskime. Gausime įdėtųjų atkarpų visumą

[0; I J d A 1 D A 2 D . . . D i t =>...;

čia XkiAk . Remdamiesi įdėtųjų atkarpų lema, galime tvirtinti, kad visos

šios atkarpos turi bendrą tašką c. Kadangi jis yra kiekvienos atkarpos Ak

(keN) taškas, tai jis nesutampa nė su vienu iš taškų xh x2, ..., xk, ... (jeigu c

sutaptų, pavyzdžiui, s u ą , tai būtų CiAk ). Taigi nustatėme, kad taškas c,

būdamas atkarpos [0; 1] taškas, nesutampa nė su vienu sekos xi,x2, -,Xk, —

tašku. Si prieštara įrodo, kad aibė [0; 1] nėra skaičioji. •

Apibrėžimas. Aibės, ekvivalenčios atkarpai [0; 1], vadinamos konti-

nuumo galios aibėmis, arba tiesiog kontinuumais.

Sudarę atitikt\f(x)=a+(b-a)x , įsitikintume, kad atvaizdis/: [0; l]->

—>[a; b] yra bijekcija, todėl aibė [0; 1 ]~[a; b]. Vadinasi, atkarpa [a; b] -

kontinuumas. Toliau pasiremsime teiginiu, kurį pateikiame be įrodymo:

neskaičiosios aibės galia nepasikeičia, kai iš jos pašalinamas baigtinis kiekis

taškų. Iš to išplaukia, kad intervalai [Α; ft), (A; b] ir (a; b) irgi yra

kontinuumai. Kadangi funkcija y=tgx nusako abipusiškai vienareikšmę

atitiktį tarp intervalų (-π / 2 ; π /2) ir (-co; +00), tai šie intervalai ekvi-

valentus, todėl realiųjų skaičių aibė R=(-co; +00) irgi yra kontinuumas.

Iracionaliųjų skaičių aibė irgi yra neskaičioji, nes jeigu ji būtų skaičioji,

tai tuomet realiųjų skaičių aibė, kaip dviejų skaičiųjų aibių, sudarytų

atitinkamai iš racionaliųjų bei iracionaliųjų skaičių, sąjunga irgi būtų

skaičioji.

Taigi galutinai aibės N, Z, Q - skaičiosios, o iracionaliųjų bei realiųjų

skaičių aibės - kontinuumai.

2.6. Realiojo skaičiaus modulis

Apibrėžimas. Realiojo skaičiaus a moduliu vadinamas neneigiamas

skaičius, apibrėžiamas lygybe

. , f a, kai a > O , a = i , .

[-a, kai a < O.

Iš modulio apibrėžimo išplaukia, kad |х|<а<=>-а<л:<й, o

I χ I >aox<-avx>a. Išvardysime keletą modulio savybių:

i) \ab\ = |a|-|ь| ;

2) i "

3) |а + ь|<|й| + |ь| ;

4) j |Й| -\b\I < |а - .

Įrodysime 3 ir 4 savybes. Sudėję savaime aiškias nelygybes

-1 я I < а |a|-|ft|<|fl-ft|

ft| = | f t-a+a|<] f t- f l| + |fl|=>|ft|-|a|<|ft-a| = |a-ft|<=>

<=> Ια |-|ft I >-\a -ft I.

Taigi gavome - |a-ft|<|a|-|ft|<|a-ft| <=> I I a | -1 b \ | < | fl - ft |.

2.7. Aibės R poaibių klasifikavimas

1 apibrėžimas. Sakykime, ae R ir δ> 0. Inter\>alas (α-δ; a + δ)

vadinamas taško a δ spindulio aplinka.

Žymime K8 (a). Taško a aplinka vadiname ir kiekvieną aibę VczR, jei ji

turi poaibį F8 (я). Suprantama, kad taškas я turi be galo daug aplinkų.

2 apibrėžimas. Taškas a vadinamas aibės EciR ribiniu (sankaupos)

tašku, jei kiekvienoje jo aplinkoje yra dar bent vienas aibės E taškas,

nesutampantis su a.

1 teorema. Jei a - ribinis aibės E taškas, tai kiekvienoje jo aplinkoje yra

be galo daug aibės E taškų.

Į rodymas . Tarkime priešingai, kad yra tokia taško я aplinka К8(я),

kurioje yra baigtinis aibės E taškų skaičius. Atstumus nuo я iki tų taškų

pažymėkime di, d2, ... , dn , o min{i/j , d2, - , dn }=d. Sudarykime naują

taško я aplinką, kurios spindulys δι < d . Tuomet šioje aplinkoje nebus nė

vieno aibės E taško, o tai prieštarauja sąlygai, kad a - ribinis taškas. Gauta

prieštara ir įrodo teoremą. •

Pavyzdžiui, tiek intervalo (я; b), tiek ir atkarpos [я; b] visi taškai yra

ribiniai.

3 apibrėžimas. Jei kiekvienas ribinis aibės E taškas priklauso tai aibei,

tai aibė vadinama uždarąja.

Tokia, pavyzdžiui, yra atkarpa [я; b], todėl ji dažnai vadinama už-

daruoju intervalu.

4 apibrėžimas. Taškas a vadinamas aibės E vidiniu tašku, jei yra bent

viena to taško aplinka V^(a)czE.

Pavyzdžiui, intervalo (я; b) visi taškai yra vidiniai, atkarpos [я; b] visi

taškai, išskyrus galus я ir b, taip pat yra vidiniai.

5 apibrėžimas. Jei kiekvienas aibės taškas yra jos vidinis taškas, tai tokia

aibė vadinama atvirąja.

Pavyzdžiui, tokia yra aibė (a; b), todėl šis intervalas dažnai vadinamas

atviruoju. Taško я aplinka irgi yra atviroji aibė.

Prisiminę 2.1 skyrelyje suformuluotą aibės papildinio apibrėžimą,

galime sakyti, kad aibės E papildinys Ec bus aibė visų taškų ae R, bet ai E.

Įrodysime teoremą, kuri sieja atvirąsias ir uždarąsias aibes.

2 teorema. Aibė E yra atvira tada ir tik tada, kai aibė Ec uždara.

Į r odymas . Priminsime, kad loginė jungtis „tada ir tik tada" sieja du

ekvivalenčius teiginius. Teiginių ekvivalentumo įrodymas susideda iš būti-

nos ir pakankamos sąlygų įrodymo.

Būtinumas. Tarkime, kad aibė E yra atvira. Įrodysime, kad Ec uždara.

Sakykime, kad я - ribinis Ec taškas. Tuomet kiekvienoje jo aplinkoje К8(я)

yra aibės Ec taškų, todėl К8(я) negali būti aibės E poaibis, o tai reiškia, kad

я nėra vidinis E taškas. Kadangi E, kaip atviroji aibė, sudaryta tik iš vidinių

taškų, tai at E => ae Ec, todėl Ec - uždaroji aibė.

Pakankamumas. Tarkime, kad aibė Ec yra uždara. Įrodysime, kad E

atvira. Imkime ae E, tuomet ai Ec. Kadangi visi ribiniai Ec taškai jai

priklauso, tai a negali būti ribinis Ec taškas. Vadinasi, yra tokia a aplinka

V&(a), kurioje nėra Ec taškų, todėl Vs(a)<zE. Taigi a - vidinis E taškas, be

to, ae E. Tai ir reiškia, kad aibė E atvira. •

6 apibrėžimas. Taškas a vadinamas aibės E sienos tašku, jei kiekvienoje

jo aplinkoje yra ir aibės E taškų, ir taškų, nepaklausančių E. Visų aibės E

sienos taškų aibė vadinama aibės E siena.

Pavyzdžiui, atkarpos [a\ b] sieną sudaro dviejų taškų aibė {a, b}.

Uždaviniai

1. Nustatykite, kurie šių sakinių yra teiginiai ir kokie jie yra - teisingi

ar klaidingi:

a) Trakai yra Lietuvos sostinė;

b) Nemunas įteka į Kuršių marias;

c) romaną „Viešnia iš šiaurės" parašė Antanas Vienuolis;

d) prašyčiau atnešti knygą;

e) apskritimu vadinama aibė visų plokštumos taškų, kurių kiekvienas

yra nutolęs nuo pasirinkto šios plokštumos taško vienodu atstumu;

f) apskritimo spindulys lygus bet kurio jo taško atstumui iki apskritimo

centro;

g) egzistuoja toks natūralusis skaičius* , su kuriuo 2 χ - 8 = 9 ;

h) visi lygiapločiai trikampiai yra lygūs;

i) kur yra Neries ir Nemuno santaka?

2. Suformuluokite šiuos teiginius ir nustatykite, kokie jie yra - teisingi

ar klaidingi (.x,y e R).

2 -9 a) Vx 3y : x + y = 9 ; b) Эх : Ixl < O ; c) Vx: = x + 3 ;

χ - 3

d) Vx Vy: x + _y = 9 ; e) Vx: х > 5 л х > 6 <=> 5 < x < 6 ;

f) Vx: x 2 > x <=> x > l v x < 0 .

3. Panaudodami loginius simbolius, suformuluokite matematinės in-

dukcijos metodą.

4. Panaudodami bendrumo ir egzistavimo kvantorius, dviem būdais

užrašykite teiginį: „Nėra tokio racionaliojo skaičiaus, kurio kvadratas lygus

2".

5. Panaudodami loginius simbolius, užrašykite šiuos teiginius; sufor-

muluokite ir parašykite jų neiginius:

a) skaičiusio - lygties/(jc)= O sprendinys;

b) skaičius X0 - vienintelis lygties f(x)= O sprendinys.

6. Išskirkite kiekvienos šių implikacijų sąlygą ir išvadą.

Suformuluokite implikaciją, priešingą duotajai ir atvirkštinę priešingajai.

Nustatykite, kokios jos yra - teisingos ar klaidingos:

a) jei aš studijuoju, man daugiau kaip dešimt metų;

b) jei paskutinis skaičiaus 17 skaitmuo lygus 5, tai 17 dalijasi iš 5;

c) jei skaičiaus 23 skaitmenų suma dalijasi iš 5, tai šis skaičius

dalijasi iš 5.

7. Logikas pateko j piratų nelaisvę ir buvo uždarytas oloje, turinčioje

du išėjimus. Piratų vadas pasiūlė tokį šansą išsigelbėti: „Vienas išėjimas

veda į laisvę, kitas - į mirtį. Tu gali pasirinkti bet kurį jų. Tau padės du

mano piratai. Vienam iš jų gali pateikti vienintelį klausimą. Bet perspėju,

kad vienas šių piratų visada sako tiesą, o kitas visada meluoja." Neilgai

galvojęs, logikas paklausė ir išgirdo atsakymą, kuris padėjo jam pasirinkti

išėjimą, vedantį į laisvę. Koks buvo logiko klausimas?

8. Matematinės indukcijos metodu įrodykite šiuos sąryšius (čia ns N):

a) I2 + 22 + 32 +...+ n2 = n(n + \)(2n + \)

6

с)1-2 + 2-3 + 3-4 + ... + п(п + 1) = п ( п + 1 ) (и + 2 )

; c) 1-2 + 2-3 + 3-4 + ... + n(n + \) =

i l l 2/1-1 1

f) (i + *)" > 1 + n* , kai jc >-1 (Bernulio* nelygybė);

n šaknų

* Jakobas Bernulis (J. Bernoulli, 1654-1705) - šveicarų matematikas ir fizikas.

9. Tarkime, kad A=(-3; 4] , B=[2; 8). Raskite aibes AU B, Af]B,

A\B, Bl Л ir pavaizduokite jas skaičių tiesėje.

12. Raskite A\B, kai A = {2; 4;...; 2n;...}, B = {3; 6;...; 3n;...}; ne N.

13. Įrodykite, kad:

a) A\(BUC) = (Л\Д)П(Л\С) ;

b) Л\(ЯПС) = (Л\Я)и(Л\С) ;

c)A=(Af]B)U(A\B) ;

d) л и ( в п с ) = ( л и в ) п и и с ) .

14. Įrodykite de Morgano* dėsnius:

a) [A{]B)c=Acf\Bc ; b) (ЛПВ) С = U ^ c .

15. Tarkime, kad / : X^Y, aibės A1, A2 c l Įrodykite, kad:

/ ( Λ ι α 4 2 ) * / ( Λ ι ) η / μ 2 ) .

16. Tarkime, kad f: X-^Y, aibės Л , B c * ir / ( Л П В ) = / ( Л ) П / ( В ) ·

Įrodykite, kad atvaizdis / skirtingiems aibės X elementams priskiria skir-

tingus aibės У elementus.

17. Įrodykite, kad šios aibės yra skaičiosios:

а) {/г e N I n = 2k, k e N) ;

11. Raskite Į J a + —; b ir Q f l > b + —\;neN.

a) I(A1UA2) = Z(A1)Uf[A2) ;

b) I(A1KA2) ^ f (A1)Kf (A2) ;

c) pateikite pavyzdį, kai

* Ogastas de Morganas (A. de Morgan, 1806 -1871) - anglų matematikas ir logikas.

18. Įrodykite, kad bet kuris begalinis skaičiosios aibės poaibis yra

suskaičiuojamas.

Pasinaudodami šiuo rezultatu, įrodykite, kad aibė

{« e Z | n = k2 - k + 1, A: e /V j yra skaičioji.

19. Aibę sudaro plokštumos taškai, kurių koordinatės yra racionalieji

skaičiai. Įrodykite, kad tokia aibė yra skaičioji.

20. Įrodykite, kad daugianarių, kurių koeficientai - racionalieji skai-

čiai, aibė yra skaičioji.

21. Plokštumos apskritimų spinduliai ir centrų koordinatės yra racio-

nalieji skaičiai. Įrodykite, kad tokių apskritimų aibė yra skaičioji.

22. Raskite aibių A tiksliuosius rėžius sup Λ ir inf,4, kai:

a) A = \x e R\ χ = —, neN 1 2"

b) = ^л:e/?J x = —, m,neN ir m<n I n

c) A = {X&Q \ X2 <2} .

23. Tarkime, kad X ir Y - dvi netuščiosios realiųjų skaičių aibės, be to,

aibė X aprėžta iš viršaus ir Y с X . Įrodykite, kad aibė Y irgi aprėžta iš

viršaus ir sup У < s u p X

24. Duotos tokios plokštumos aibės:

a) skritulys, kurio spindulys 1, be jį ribojančio apskritimo;

b) skritulys, kurio spindulys 1;

c) kuri nors baigtinė aibė; d) aibė Z;

e) skaičių — (n e N) aibė; f) visa plokštuma. n

Kokios yra šios aibės - atvirosios ar uždarosios?

Atsakymai

1. a) Klaidingas; b) teisingas; c) teisingas; e) teisingas; f) teisingas; g) klaidingas;

h) klaidingas; 2. a) Teisingas; b) klaidingas; c) klaidingas; d) klaidingas; e) teisingas;

f) teisingas. 3. Įrodomą teiginį pažymėkime A (n); B={n I A(n)}; (IeB л ne B) => (n +1) e B.

4.1 3X <=Q:x2=2 <=> VXEQ: V = 2 . 5. a) 5λγ0:/(λ:ο)=0; b) Здс0:Д*о)=0 аУхфх0 =>/(*)* 0. 7. Galimas klausimo variantas - „Ar tiesa, kad šis išėjimas veda į laisvę tada ir tik tada,

kai tu - melagis?" 9.y4uB=(-3; 8), АГЛВ = {2\ 4],Л\В = (-3; 2), BV4 = (4; 8). 11. (α; b).

12. A\B = { 2; 8; 14; ...; 6N^· ...}u{4; 10; 16; ...; 6N-2; ...}. 22. a) sup/i = 1/2, inM=0; b)

sup/l = l, inf/l=0; c) s up / l =V2 , i n f A = - ^ . 24. a) Neuždara, atviroji; b) uždaroji,

neatvira; c) uždaroji, neatvira; d) uždaroji, neatvira; e) neuždara, neatvira; f) uždaroji, atviroji.

KOMPLEKSINIAI SKAIČIAI

1. Algebrinė kompleksinių skaičių forma

1.1. Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas

Iš mokyklos kurso žinome, kad kvadratinės šaknies traukimo ope-

racija apibrėžta ne su visais realiaisiais skaičiais, o tik su neneigiamais.

Todėl kvadratinė lygtis, kurios diskriminantas neigiamas, realiųjų šaknų

neturi. Sprendžiant antrojo ir aukštesniojo laipsnio lygtis, matematikams

iškilo daug klausimų, kurie privertė išplėsti realiųjų skaičių aibę.

1 apibrėžimas. Kompleksiniu skaičiumi vadinamas reiškinys z=x+yi; čia

χ, y- realieji skaičiai, i - menamasis vienetas, turįs savybę Z2=-I.

Taip apibrėžę kompleksinį skaičių, galime sakyti, kad lygtis x2+1=0

turi dvi kompleksines šaknis X\j2=±i, o lygtis x2+6x+\3=() - dvi komp-

leksines šaknis JCti2= -3 ±2 i. Taigi, kai kvadratinė lygtis turi šaknį χ +yi, tai

ji turi ir kitą šaknį χ -yi. Kompleksiniai skaičiai x+yi ir x-yi vadinami

jungtiniais ir žymimi z= x+yi, z = χ - yi.

Skaičius χ vadinamas kompleksinio skaičiaus z realiąja dalimi ir žymi-

mas Re z, o skaičius y - menamąja dalimi ir žymimas Imz (iš prancūzų

kalbos reele - „realusis" ir imaginaire - „menamas is " ) . Pavyzdžiui ,

Re (-3 + 2 0 = - 3 , Im(-3 ± 2i ) = ±2.

Kompleksinių skaičių aibę žymime simboliu C. Taigi C={x+yi\ x,

yeR}.

2 apibrėžimas. Du kompleksiniai skaičiai z1=X\+y1i ir Z2 = X2 +>'2'

vadinami lygiais tada ir tik tada, kai Rezi = Rez2 ir Imzi = Imz 2 . Taigi

Zi =Z2 ^ x 1 =X2 Ayl =y2.

1.2. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais

Kompleksinių skaičių sudėtį ir daugybą apibrėšime aksiomiškai, o

atimtį bei dalybą - kaip veiksmus, atvirkštinius minėtiesiems.

1 apibrėžimas. Kompleksinių skaičių Z\=X\+y\i ir Z2 = x2+y2i suma

vadinamas kompleksinis skaičius

z = x+ yi = Z1+z2 = ( x , +x2)+ [yι + y2)i • (1)

Pavyzdžiui, (2 + 3/ ) + (5 - Ai ) = 7- / .

2 apibrėžimas. Kompleksinių skaičių Z1 =X1 +y μ ir Z2 =x2+y2i skirtumu

vadinamas kompleksinis skaičius z = x+yi = Z1-Z2, su kuriuo Z1=Z +Z2 .

Iš sąlygosZ1=Z + Z2 turime:

X]+y\i = χ + x2 + (y + y2)i.

Remdamiesi kompleksinių skaičių lygybe, gauname: X1 =x +X2 ir у г=

=y +y2. Todelx =Xi-X2 ir y =y\-y2. Taigi

z = Z1-Z2 =(X1-X2)+ Iy1 - y2)i . (2)

Pavyzdžiui, (4 - 3 / ) - (5 -6i ) = - 1 + 3/.

3 apibrėžimas. Kompleksinių skaičių Z1 =X^y1I ir Z2=X2+y2i sandauga

vadinamas kompleksinis skaičius

z = X+ yi = Z1Z2 = ( X ] X 2 -У\Уг)+(х\Уг + x2У\У · ( 3 )

Pavyzdžiui, (3-2/ )· (4+7/) = (12+14) + (21- 8)/ = 26+13/. 4 apibrėžimas. Kompleksinių skaičių Z1 =X1+^/ ir Z2 =X2 +y2i dalmeniu

vadiname kompleksinį skaičių z = χ +yi = — (Z2 5*0), su kuriuo Z1 = z Z2 . z2

Iš sąlygos Z1 = zz2 išplaukia, kad

X1 + y\i = XX2 -УУ2 +(Х2У + хУгУ •

Remdamiesi kompleksinių skaičių lygybės apibrėžimu, gauname

sistemą

X1 =xx2-yy2 ,

У\ =Х2У + ХУ2 >

turinčią vienintelį sprendinį

_ X1X2+У1У2 ., _ -*1У2

9 о nes X2 + y 2 * O . jei tik Z2 * O .

Taigi

i L = *lx2 + 3^2 + ^ 1 - ^ 2 į ( 4 )

Z2 xj+yl Х2+У2

J v . . 2 - i 5 5 . 1 1 . Pavyzuziui, = г= / .

3 + i 10 10 2 2

Imkime du kompleksinius skaičius Z1 = X1 + 0 /, Z2 = X 2 + 0 / , ku-

rių menamosios dalys lygios nuliui, ir apskaičiuokime jų sumą, skirtumą,

sandaugą ir dalmenį, remdamiesi (1)-(4) formulėmis:

Z1 + z 2 = X1 + X2 + (0 + 0)/,

Z 1 - Z 2 = X J - X 2 + (0 - O)/ ,

Z 1 · ζ 2 =X 1 X 2 + 0 · i ,

— = — + 0 • / . Z2 х2

Iš šių rezultatų matyti, kad tokių kompleksinių skaičių aibė ekvivalenti

realiųjų skaičių aibei, todėl galime tiesiog rašyti Ζι=Χι + 0 · /=Χι ir

z 2 = x2 + 0 · / = x 2 . Be to, aišku, kad realiųjų skaičių aibė yra sudedamoji

kompleksinių skaičių aibės dalis: RczC .

Dabar nagrinėsime kompleksinį skaičių z = 0 +yi, kurio realioji dalis

Re z = 0 . Jis rašomas tiesiog z =yi ir vadinamas menamuoju skaičiumi.

Apskaičiuokime dviejų menamųjų skaičių Z1 = y i r Z2 = y2i san-

daugą Z1Z2 . Pritaikę (3) formulę, gauname:

Z1Z2 = (0 - yxy2 ) + (0 + 0)/ = -yxy2 .

Kai Z [ = i ir Z 2 = / , tai

z j Z2 = /· / = /2 = -1. (5)

Taigi (5) formulė paaiškina menamojo vieneto, panaudoto apibrėžiant

kompleksinį skaičių, prasmę.

Nesunkiai galėtume įsitikinti, kad (1) ir (3) formulėmis apibrėžtiems

sudėties ir daugybos veiksmams galioja komutatyvumo, asociatyvumo ir

distributyvumo savybės. Todėl sudėti, atimti bei dauginti kompleksinius

skaičius galima kaip įprastus dvinarius algebroje, o sandaugą i2 reikia

pakeisti skaičiumi -1. Kartu yra teisingos ir greitosios daugybos formulės.

Pavyzdžiui, (3-4/ )(7+5/) = 21-28/+15/ -20 i2 = 21-13/+20 = 41-

13/; (3-4/) (3+4/) = 9-16 z2 = 9+16 = 25.

Taigi nereikia specialiai įsidėmėti (1)-(3) formulių, taip pat ir (4)

formulės. Tokį pat rezultatą gautume, jeigu trupmenos — (z2 * 0) skaitiklį

ir vardiklį padaugintume iš skaičiaus, jungtinio z2 • Vadinasi,

Z 1 Z 1 J 2

z, z 2 2

Pavyzdžiui,

2 - 3ί _ (2 - 3/)(4 - i) _ 8 - 12ί - 2i + 3i2 8-14/-3 5-14/

4 + /' (4 + /)(4 - i) 16-i 16 + 1 17

2. Trigonometrinė kompleksinių skaičių forma

2.1. Kompleksinių skaičių geometrinė interpretacija

Apibrėžėme kompleksinius skaičius ir keturis aritmetikos veiksmus su

jais. Dabar išmoksime tuos skaičius vaizduoti geometriškai. Tai labai

svarbu, norint kompleksinius skaičius taikyti praktikoje.

Sutarsime kompleksinį skaičių z = χ +yi vaizduoti plokštumos tašku

M(x;y), kurio koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje yra л: ir y

(5 pav.). Realiuosius skaičius z = χ atitiks abscisių ašies Ox taškai (jk; 0), o

menamuosius z = yi - ordinačių ašies Oy taškai (0; y). Todėl ašis Ox

vadinama realiąja ašimi, ašis Oy - menamąja ašimi.

Taigi kiekvieną kompleksinį skaičių atitinka vienintelis plokštumos

taškas ir, atvirkščiai, kiekvieną plokštumos tašką atitinka tik vienas

kompleksinis skaičius. Todėl dažnai kompleksinį skaičių z vadiname tiesiog

tašku z.

Kompleksinį skaičių z=x+iy galima taip pat vaizduoti plokštumos

spinduliu vektoriumi, kurio koordinatės yra* ir_y (5 pav.). Šio vektoriaus

ilgį vadiname kompleksinio skaičiaus moduliu ir žymime |z| arba r, t.y.

|z| = r = ^x2 +y2 ; čia simbolis žymi aritmetinę šaknį.

M(x;y) Z1 4-Z2

5 pav. 6 pav.

Kadangi χ2 + у 2 = ζ ζ , tai |ζ|2 = ζ ζ .

Kompleksinius skaičius patogu vaizduoti vektoriais todėl, kad tuomet

tų skaičių atimtis ir sudėtis atitinka vektorių sudėtį ir atimtį (6 ir 7 pav.). Iš

tiesų, sudedami bei atimdami kompleksinius skaičius, šias operacijas at-

liekame su jų realiosiomis bei menamosiomis dalimis. Tokias pat

operacijas atliekame su atitinkamomis vektorių koordinatėmis, kurios

sutampa su kompleksinių skaičių realiosiomis ir menamosiomis dalimis.

P a v y z d y s . Kompleksiniai skaičiai z tenkina sąlygą |z + 2+z | =

= |z-l -Ai I. Kur yra taškai z , vaizduojantys šiuos skaičius?

Sprend imas . Kadangi Ui-Z2I yra atstumas tarp taškų, vaizduojan-

čių skaičius Zj ir Z2 (7 pav.), tai skaičius |z+2+z I = U - (-2-i ) lyra at-

stumas tarp taško z ir taško Af (- 2; -1), o skaičius | z—1—4/1 = U-(1+401 -

atstumas tarp taško z ir taško N(1; 4). Sąlyga |z+2+/1 = U-1-4; I reiškia,

kad ieškomieji taškai z yra vienodai nutolę nuo taškų Л/ ir N. Vadinasi,

ieškomieji taškai yra tiesėje, statmenoje atkarpai MN ir einančiai per tos

atkarpos vidurį. •

2.2. Polinė koordinačių sistema ir trigonometrinė

kompleksinių skaičių forma

Taško padėtį plokštumoje galima nusakyti ne tik stačiakampėmis

Dekarto koordinatėmis. Pasirinkime spindulį Ox (8 pav.) ir jame pažy-

mėkime tašką O. Šį tašką vadinsime poliumi, o ašį Ox - poline ašimi.

Tuomet taško M padėtį plokštumoje apibūdinsime dviem dydžiais: poliniu

spinduliu r>0 - taško Af atstumu iki poliaus O ir poliniu kampu φ, kurį

sudaro spindulys r su poline ašimi; kampas φ atskaitomas priešinga

laikrodžio rodyklės judėjimo kryptimi. Dydžiai r ir φ vadinami polinėmis

taško Af koordinatėmis. Neneigiamo skaičiaus r reikšmė vienareikšmiškai

apibrėžta visiems plokštumos taškams. Polinio kampo φ reikšmė visiems

taškams, nesutampantiems su poliumi, apibrėžta dėmens, kartotinio 2π,

tikslumu; poliui ji neapibrėžta iš viso.

Jei polių O sutapatintume su stačiakampės koordinačių sistemos

pradžia, o polinę ašį - su abscisių ašimi (9 pav.), tai nesunkiai gautume

ryšio formules

y n M

O X O X

7 pav. 8 pav.

χ = r cos φ ,

у = r sin φ .

Be to, -I X 2 + y 2 (6)

Dydį r jau pavadinome kompleksinio skai-

čiaus z = x + y i moduliu. Kampas φ vadinamas to

skaičiaus argumentu ir žymimas φ = Arg z .

Kompleksinio skaičiaus z = O argumentas neapibrėžiamas, o jo mo-

dulis |zl = o .

Tą patį kompleksinį skaičių z atitinka be galo daug argumento reikš-

mių, kurios viena nuo kitos skiriasi dydžiu 2 n k , ksZ. Iš jų išskiriame

pagrindinę argumento reikšmę φ0 = argz , tenkinančią sąlygą 0<argz < 2π

arba - π < argz < π .

Tada iš 9 paveikslo matome, kad Argz = argz +2nk, keZ,

y χ = /-coscpo, y = rsincpo, tg(p0= — .

X

Todėl

z = x + y i = r cos ср0+г> Sincp0 = r (coscpo +; sincp0),

be to, kai pagrindinė argumento reikšmė tenkina sąlygą - π< φ0 < π , tai

.У

Фо = argz:

arctg—, kai χ > 0 ,

υ π + arctg —, kai χ < 0, у > 0 ,

Χ

у - π + arctg—, kai χ < 0 , y < 0 .

JC

(V)

Kaix = 0 arbay = 0, kampą φ0 = argz patogiausia nustatyti iš brėžinio.

Apibrėžimas. Kompleksinio skaičiaus z išraišką z = |z| (cosArgz+

+i sin Argz ) vadiname jo trigonometrine forma.

Kadangi cos Argz = cos argz ir sin Argz = sin argz, tai išraiška

z = |z| (cosargz +i'sinargz)=r(coscpo+isin(po)

bus taip pat kompleksinio skaičiaus z trigono-

metrinė forma.

1 pavyzdys. Parašykime skaičių z = 5 i

trigonometrine forma.

S p r end imas . Iš 10 paveikslo matome, kad

y n

5 ,, z

Фо

10 pav.

Фо = 2 ' r = 'Z' = 5 '

Todėl z = 5/ = 5 I cos— + гsin —

2 pavyzdys. Parašykime skaičių z =

= - l-V3 i trigonometrine forma (11 pav.).

Sprendimas. Remdamiesi (6) formule,

rašome: z| = J (- l ) 2+ (-V^ ) =2 , o

pritaikę (7) formulę, gauname:

π 2π φΠ = -π + arctg —.—r^ = -π + — = υ (-1) 3 3

Iš brėžinio matyti, kad

Φο =2 π -2π 4π

У .

-1 r γ A o *

/ •-л/3

11 pav.

Kampai φ0 (-π < φ0<π) ir φ0 (0< φ0 < 2π) nurodo tą patį spindulį

vektorių z. Tada Z=-I--Jbi = 2 J cos + i sin ~

4π . . 4π ;— + isin —

3 3

kompleksinio skaičiaus trigonometrinės formos. •

I— 4JI 47C arba z =-1-л/3 i = 2 I cos—+/s in—j . Abi šios išraiškos yra duoto

2.3. Kompleksinių skaičių, išreikštų trigonometrine forma,

daugyba, dalyba ir kėlimas laipsniu

Jei Zi =ri(cos(pi+f'sin(pi), z2 = r2(coscp2+;sin<p2), tai daugindami Z1

Z2 kaip dvinarį iš dvinario, gauname:

Zi-Z2 = /vr2 (cos φι cos φ2 - sin φ, sin φ2 + i cos φι sin φ2 +

+ i sin φι cosφ2)= rrr2(cos (φι + φ2)+isin (φ, + φ2)) . (8)

Iš čia išplaukia, kad

U1-Z2I = ri r2 = IZi I · Iz2I,

Arg(z! ·ζ2)= φι+ φ2 = ArgZi+ Argz2.

Skaičius Z] irz2 (z2*0) dalysime taip:

Zx-T1 _ /Į(cos(PI +tsincpĮj-r^cosĮ-cpzj + isi^-cpz)) _ ±L_ =

Z2 Z2 · Z2

Λ

2 r2

= -i-(cos(9! - Φ2) + 'sin(<Pi - Φ2))' t-y·

IL _ η KJ Z2 r2 hi

IL z2

Jei (8) formulėje vietoj z\ ir z2 įrašytume z (zj =Z2 = z =x+iy =

= r (cos φ + i sin φ ) ) tai būtų

ζ · ζ = ζ 2 = r2(cos2cp + isin2(p).

Įrašę toje pačioje formulėje vietoj Z\ skaičių z2, o vietoj z2 - skaičių z,

gauname:

z 3 = z 2 - z = r3(cos3cp + i'sin3(p).

Panaudoję matematinės indukcijos metodą, įrodytume, kad

z n = r«(cosn(p + /sinn(p), ne N.

Si formulė vadinama Muavro' formule. Iš jos išplaukia, kad

= r"=\z\n ir Arg ^zn j = n Arg z .

. . ( Γ \60

Pavyzdys. Apskaičiuokime I v3 - n .

Sp r end imas . Parašysime skaičių z =л/з - i trigonometrine forma.

Kadangi |z| = R = д/(л/з) +(-l)2 = 2 , o φ 0 = arctg

π 11π

S t ^ : -arctg — =

— (arba φ 0 = 2 π - — = — - ) (12 pav.), tai z = V 3 - i = 6 6 6

: 2 C O S + г sin - arba z = V3 — i = 2 11π . . 11π

cos + «sin

Pritaikę Muavro formulę, gausime:

, - - ( V S - f . W J J E t l 4 ¾ =

У 1

r o V ° Я χ

N J

= 260(cos 10π -1 sin 10π) = 2 6 0

arba г6 0 = (л/3 - г)6° =

чбоГ --η 11π · · СП = 2 cos 60 +1 sin 60

\ 6 6

= 2 6 0 (cos 110π + / sin 110π) = 2

12 pav.

Abrahamas Muavras (A. de Moivre, 1667-1754) - anglų matematikas.

2.4. Šaknies iš kompleksinio skaičiaus, išreikšto

trigonometrine forma, traukimas

Apibrėžimas. Kompleksinį skaičių ω vadiname n-tojo laipsnio šaknimi iš

kompleksinio skaičiaus z, jei ω" =z . Žymime ω = rfz .

Jei z = r(cos<po +/sin<p()), o ω = p ( c o s 0 + i s i nΘ ) , tai iš lygybės

ω " = z ir Muavro formulės išplaukia, kad

p" (cosn0 + /sin/j©) = r(coscpo + г sin φ 0 ) .

Tokia lygybė teisinga, kai

p " = / - , ηθ = φ 0 + 2 π £ , keZ.

Iš čia

p = ^ ; Q=<>0+2nk.

Vadinasi,

(9) n n

Norėdami iš (9) formulės gauti visas galimas skirtingas 0¾ reikšmes, turi-

me imti k =0,1, . . . , n -1. Taigi rfz turi n skirtingų reikšmių.

Pavyzdys. Raskime visas šaknies 4V=I reikšmes.

Sp r end imas . Skaičių-1 užrašome trigonometrine forma:

-1 = cos π + i sin π .

Taigi

r = Įz| = 1 , o (po = π .

Todėl iš (9) formulės išplaukia

π + 2kn . . π + 2кк COS hi Sin k=О,1,2,3 .

Tada

π . . π Я . 4 ϊ α>η = cos— + /sin— = — + ι — ;

υ 4 4 2 2

3π . . 3π λ/2 M ωι =Cos !-/sin — = h ι —;

1 4 4 2 2

5π . . 5π л/2 . л/2 оь = c o s — + г s i n— = 1 — ;

4 4 2 2

7π . . 7π л/2 . л/2 аь = cos 1-г s i n— = г — .

J 4 4 2 2

ωι

У -

С% ωι С%

\ — \4 / l

/ЛЛ 4

/ о Ix

Oh (Oi Oh (Oi

Visas šias skirtingas reikšmes atidėję plokštumoje, matome, kad jos

sutampa su taisyklingojo keturkampio, įbrėžto į apskritimą, kurio centras

koordinačių pradžioje, o spindulys lygus 1, viršūnėmis (13 pav.). •

Bendru atveju visos šaknies ω ^ = (čia k = 0, 1, 2, ..., n-i)

reikšmės yra taisyklingojo /г-kampio, įbrėžto į spindulio R = '^jzf apskri-

+

timą, kurio centras koordinačių pradžioje, viršūnės.

3. Rodiklinė kompleksinių skaičių forma

Tokia kompleksinio skaičiaus forma gaunama panaudojant Oilerio*

formulę

ei(p = cos φ + / sin φ ,

kurią pateikiame be įrodymo. Tuomet

z = r (cos φ + i sin φ) = re,>?.

Ši išraiška ir vadinama rodiklinė kompleksinio skaičiaus forma. Ją patogu

naudoti dauginant ir dalijant kompleksinius skaičius. Tikrai, kai

Z1 = rxe,φι , z2 =Г2е1<?2, tai

Z x Z 1 = T x T 1 M ^ ir ϋ - = ^<·(Φι-Φ2) ( 2 2*o) . ^2 R2

Be to,

<'(φ+2πΑ:)

Z N = Z - V m p ir ψ ζ = ψ τ ε " , čia k = 0,1,2, . . . , / /-1. +

1 pavyzdys. Parašykime skaičių z = 1 + i rodiklinė forma ir ap-

skaičiuokime z4.

i \ i— Sp r end imas . Kadangi 1 + /= -J2 cos — + г sin— , tai 1+ i = 4le 4

ir z 4 = [-Щ = Aein= 4 ( « « π + г sin π) = - 4 . A

2 pavyzdys. Raskime skaičiaus z = ε 7 π , + 2 re

S p r e nd imas . Pritaikome Oilerio formulę:

,«U

2 pavyzdys. Raskime skaičiaus z = ε Ί π ' + 2 realiąją ir menamąją dalis.

* Leonardas Oileris (L. Euler, 1707-1783) - šveicarų kilmės matematikas, mechanikas ir

fizikas, gyvenęs ir dirbęs Rusijoje.

£Ίπϊ+2 _ g2 ^ π ι = е2(со8 7л + г" sin 7π) = e2 (cos π + г sin π) = -e 2 .

Todėl Rez = -e2, Imz = O . •

Uždaviniai

1. Atlikite veiksmus:

a) ( 3 - 4 0 ( 2 + 7 0 ; c) ( I + / ) 1 6 ;

/1 Λ 2 2 4 к

d) ( 4-7 / ) 3 ; e ) [ i ± i ) ; f) ( l + /VJ)15 .

2. Apskaičiuokite sumą 1 + α + α 2 + ... + α 1 9 , k a i α = ^=- .

3. Raskitex ir y, kai

1 + i

Z - I 7 1 4. Jei menamasis skaičius (z = a+bi, z * -1), tai a " + b = 1 .

z +1

Įrodykite.

5. Parašykite kompleksinius skaičius trigonometrine forma:

a) ctg α - / , kai O < α < j ; b) tg α - i , kai O < α < π , α * у ;

1 л/з с) -1 + г'л/з ; d ) - + / — ; e) 2-2/л/З ; f) s ina + /(1 - cosa) .

6. Raskite šių šaknų reikšmių aibes ir pavaizduokite jas geometriškai:

a) V/ ; b) 3/-1 + / ; c) t/-2 - 2/л/З .

7. Kokias geometrines taškų vietas nusako šie sąryšiai:

a) 2 < |z +1 - 2г| < 3 ; b) |z|/ + z = 2 + / ;

c) |z-2/ j < 1,5, γ < argz < ~ ;

I l l l l I I |2 I |2 d) |z-/| = |z + /| = |z- l + z'|; e) |z-2| +|z + 2| = 2 6 ;

I I2-I 1+1 f) log1/2|z-2|>log1/2|z|; g) l oSVI 2 + ĮZ| ^ 2 ?

8. Panaudodami veiksmų su kompleksiniais skaičiais geometrinę

interpretaciją, įrodykite žinomą geometrijos teoremą: „Lygiagretainio

įstrižainių kvadratų suma lygi jo kraštinių kvadratų sumai".

9. Panaudodami Muavro formulę, išveskite formules: •2

a) sin Зх = 3 sin χ - 4 sin χ; о

b) eos Ъх = 4 cos χ - 3 cos χ .

10. Išspręskite lygtis:

a) χ 2 + χ +1 = 0 ; b) χ 3 - 8 = 0 ; с) χ 4 +81 = 0 ;

d) χ 5 + 32 = 0; e) χ 4 + 6х3 + 14х2 + 6х + 13 = O ,

kai žinoma viena lygties šaknis i.

11. Apskaičiuokite sumas:

a) COSx + cos2x + cos3x + ... + cosnx ;

b) COSx + cos 3x + cos 5x + ... + cos (2«-l)x;

c) sinx + sin Зх + sin 5x + ... + sin (2n-l)x.

Atsakymai

1. a) 34+13/; b) i с) 256; d) -524+7/; e) 1; f) -32768.2.1 + į f i + l)i .

3.(11; -2). 5.a) — — (cos(2n-a) + isin(2jt-a)) ; b) —ί— (cosi-^ + a) + /sin(4f + cx)), kai sinav ' cosa\ w ' w '>

0<α<π/2 ir y—!—j-(cos(-f- + a) + /sin(-f- + a ) ) , kai π/2<α<π; c) 2(cos-^-+i'sin·^·);

d) cos-j+; siny; e) 4(cos-^-+/sin-^ ) ; f) 2sinf (cosf+ /sin ) , kai s i n f > 0 ;

-2мп*(сов(я + * ) + /яп(я + * ) ) , Ы sin^-<0.6.a) ± ^ ( l + /) ;b) ^2 ^ + / ;

^ c o s 165° + /sin 165° j ; (cos285° + /sin285° j ; c) + ; ±^у(-л/з+ /) .

7. a) Žiedas, apribotas koncentrinių apskritimų, kurių centras (-1; 2), o spinduliai 2 ir 3

(vidinio apskritimo taškai nepriklauso); b) taškas (2; -3/2); c) skritulio, kurio spindulys 1,5 ir

centras

(0; 2), taškai, esantys tarp spindulių, išeinančių iš koordinačių pradžios ir sudarančių su

abscisių ašimi kampus π/З ir 2π/3 (spindulių taškai nepriklauso); d) taškas (1/2; 0); e)

apskritimas, kurio centras (0; 0) ir spindulys 3; f) pusplokštumė, esanti į dešinę nuo tiesės x=l (tiesės taškai nepriklauso), iš kurios pašalintas taškas (2; 0); g) skritulys, kurio centras (0; 0) ir

spindulys 5.

10. a) - — ±•— i ; b) 2, - I t i- J i ; c) Ą - l ± i ) ; — ( l ± « ) ; 2 2 2 v ' 2 v

d) -2, - 2 ( c o s ^ ± / sin-y- ) , 2(cos-| ± /sin-| j ; e) +/, -3±2/.

. n χ n+1 · Λ -2 s i n ^ - c o s ^ — X S in 2 nx sin nx

11. a) 2 2 — ; b) ; с) . sin-f 2 sinx sin л:

RIBŲ TEORIJA

1. Funkcija. Funkcijų klasifikacija

1.1. Funkcijos sąvoka ir jos kitimo charakteristikos

Bendrą funkcijos sąvoką apibrėžėme I skyriaus 2.2 skyrelyje. Dabar

nagrinėsime tik skaitines funkcijas. Tai funkcijos, kurių ir argumentai, ir

reikšmės yra realieji skaičiai.

1 apibrėžimas. Skaitine funkcija vadinamas realiųjų skaičių aibės R

poaibio D atvaizdis į aibės R poaibį E. Aibė D vadinama apibrėžimo sritimi,

aibė E - reikšmių sritimi.

Poaibio D elementus pažymėję raide x, poaibio E - raide y, o taisyklę,

pagal kurią atvaizduojame, - raide / , funkciją galėsime užrašyti taip: x-*y

arba y =f(x). Vartosime ir tokius žymenis:/: D->E,f: X->Y; č i aX, Y- taip

pat aibės R poaibiai.

Skaitines funkcijas galima išreikšti trimis būdais:

1) surašant argumento ir funkcijos reikšmes lentelėje;

2) pateikiant funkcijos grafiką;

3) nusakant funkciją formule, kurioje nurodoma, kokius veiksmus rei-

kia atlikti su kintamojo л: reikšme, norint rasti atitinkamą y reikšmę.

Trečiasis reiškimo būdas vadinamas analiziniu ir naudojamas daž-

niausiai.

Priminsime iš mokyklos kurso žinomas funkcijos kitimo charakteris-

tikas.

Tarkime, kad funkcijos y=f(x) apibrėžimo sritis D yra simetriška

koordinačių pradžios atžvilgiu.

2 apibrėžimas. Funkcija f vadinama lygine, jei su kiek\'ienu χ e D

teisinga lygybė / ( -x )= / (x ) . Jeigu su kiekvienu χ e I) / ( -x ) = -/ (x) , tai

funkcija vadinama nelygine.

Lyginės funkcijos grafikas simetriškas ašies Oy atžvilgiu, o nelyginės -

koordinačių pradžios atžvilgiu.

3 apibrėžimas. Funkcija f vadinama periodine su periodu T> O, kai su

kiekvienu xsD taškai (x+T) ir (x-T) irgi priklauso sričiai D ir yra teisinga

lygybė

Kai skaičius Tyra funkcijos/periodas, tai skaičius kT (k - bet kuris

sveikasis skaičius, nelygus nuliui) irgi yra tos funkcijos periodas.

Kalbant apie funkcijos periodą, paprastai turimas galvoje mažiausias

teigiamas periodas.

4 apibrėžimas. Funkcija f vadinama didėjančia intervale (a; b), jeigu iš

nelygybės X\ < x 2 (xi e (a ; b), x 2 e (a ; b)) išplaukia nelygybė f (χ ι )<f(x2).

Kai iš nelygybės X1 <x 2 išplaukia nelygybė f {x\ ) > / (x 2 ) , funkcija vadinama

mažėjančia.

Jeigu iš X1 < X2 =>/(xi) </(x2) (/(X1 )>/(x2)), tai funkciją vadiname

nemažėjančia (nedidėjančia) intervale (a; b).

Visų šių tipų funkcijos bendrai vadinamos monotoninėmis.

Sakykime, kad atvaizdis f: D-* E yra bijekcija. Tuomet kiekvieną y e E

atitinka tik vienas elementas xe D. Taisyklė / " ' , kuri vaizdui y priskiria

elementą χ, vadinama atvirkštiniu atvaizdžiu, arba atvirkštine funkcija

Norėdami rasti analizinę atvirkštinės funkcijos išraišką, lygybę y = / (x )

sprendžiame kaip lygtį ir gauname χ prieklausą nuo y : x=f~x(y). Funk-

cijoms / ir / " ' būdinga tai, kad D ( / ) = £ ( f ' ) , E(f)=D(f~l). Viena kitai

Д х ) = / ( х + Г ) .

1.2. Atvirkštinės funkcijos sąvoka

f~l:E^>D.

atvirkštinių funkcijų / 1 ir f grafikai

sutampa. Atvirkštinės funkcijos ar-

У—Х gumentą, kaip įprasta, pažymėkime

raide χ , o pačią funkciją - raide y.

Taigi vietoj funkcijos / " ' (y) imkime

funkciją

/-'(x) . Funkcijų / ( χ ) ir T 1 ( X )

grafikai jau skiriasi, jie yra simetriški

vienas kitam tiesės y =x atžvilgiu.

14 pav.

Pavyzdys. Raskime funkciją,

atvirkštinę funkcijai x3, ir nubrai-

žykime jos grafiką.

Sp rend imas . Iš lygybės

y =x3 gauname χ = \[y .

Vietoj χ įrašome y, o vie-

toj y - raidę χ: y = Ux .

Taigi л/х yra atvirkštinė

funkcijai x3. Funkcijos

Ux grafiką gausime at-

vaizdavę funkcijos χ gra-

fiką simetriškai tiesės

y=x atžvilgiu (14 pav.). •

O X 1

Vb

O

Tarkime, kad / - 15 pav.

funkcija, apibrėžta atkarpoje [a; b]. Jeigu ši funkcija nemonotoninė, tai dvi

skirtingas argumento reikšmes gali atitikti ta pati funkcijos reikšmė

(15 pav.):/(xi)=y(i ir/(x2)=yu. Konstruodami atvirkštinę funkciją, iš sąlygos

y=/(x) turime išreikšti x=/~'(y). Tačiau šį kartą y(l reikšmę atitiks dvi

skirtingos argumento χ reikšmės xx ir x2 . Tokiu atveju sakysime, kad

funkcija, grafiškai pavaizduota 15 paveiksle, atvirkštinės funkcijos neturi.

Funkcija, turinti atvirkštinę, vadinama apgręžiamąja, o neturinti

atvirkštinės - neapgręžiamąja.

Pavyzdžiui, funkcija x2, kaixe R, yra neapgręžiamoji, nes dvi skirtingas

argumento reikšmes X I = 2 , X 2 = - 2 atitinka ta pati funkcijos reikšmė

y=(±2)2=4. Tačiau, kai xe[0; +OO), ta pačia formule y =X2 apibrėžta

funkcija jau yra apgręžiamoji. Iš lygybės y =x2, turėdami galvoje, kad χ > O,

randame X= Y[y . Sukeitę raides χ ir y vietomis, gauname atvirkštinę

funkciją y = Г х . Jos grafikas pavaizduotas 16 paveiksle.

Atvirkštinės funkcijos egzistavimo sąlygas suformuluosime vėliau,

nagrinėdami funkcijos tolydumą (žr. šio skyriaus 5.5 skyrelį).

Išvardysime funkcijų, vadinamų pagrindinėmis elementariosiomis,

klases. Tos funkcijos detaliai nagrinėjamos mokyklos kurse, todėl čia

pateiksime tik jų apžvalgą. Išimtį sudarys atvirkštinės trigonometrinės

funkcijos, apie kurias kalbėsime plačiau.

Prie pagrindinių elementariųjų funkcijų priskiriamos laipsninės, ro-

diklinės, logaritminės, trigonometrinės ir atvirkštinės trigonometrinės

funkcijos.

1. Laipsnine vadinama funkcija x°; čia α e R. Keletas šios funkcijos

grafikų pavaizduota 14, 16-22 paveiksle. Kai α - sveikasis teigiamas

skaičius, tai laipsninė funkcija apibrėžta intervale (-oo; +oo) (14, 17 pav.).

1.3. Pagrindinės elementariosios funkcijos

y = X

у=4х

О 1

\ I \\ •к Il

Il 4,

V· 0 1 χ

18 pav.

Ki

/ = X 3 у = X

20 pav. 21 pav. 22 pav.

Kai α - sveikasis neigiamas skaičius, tai ši funkcija apibrėžta visoje skaičių

tiesėje, išskyrus χ = 0 (18,19 pav.).

2. Rodiklinė yra funkcija ax\ čia a >0, a* 1 (23 pav.). Jos apibrėžimo

sritis D = (-co; +oo), reikšmių sritis £ = ( 0 ; +oo).

3. Logaritmine vadinama funkcija IogaX ; čia a>O, a* 1 (24 pav.). Ši

funkcija yra atvirkštinė rodiklinei funkcijai. Logaritminės funkcijos api-

brėžimo sritis/) = (0; +oo), reikšmių sritis £=(-<»; +oo).

23 pav. 24 pav.

4. Trigonometrinėmis vadinamos funkcijos sinx, cosx, tgx ir ctgx.

Funkcijos sinx apibrėžimo sritis D=(-со; +oo), reikšmių sritis

E=[ 1; 1]. Ši funkcija nelyginė, periodinė, jos periodas 2π. Funkcijos sinx

grafikas vadinamas sinusoide (25 pav.).

Y i \

1 /=Sinx

/ - X π У o π 3π /2ъ χ 2 2

-1

25 pav.

Funkcijos COSx apibrėžimo sritis £)=(-oo; +oo), reikšmių sritis

£ = [ 1; 1]. Ši funkcija lyginė, periodinė, jos periodas 2π. Funkcijos cosx

grafikas vadinamas kosinusoide (26 pav.).

r y=tg χ I

r Π π u 2 / π 3π у

/ 2

i .

Funkcijos tgx grafikas

pavaizduotas 27 paveiksle.

Apibrėžimo sritis D =

= (-— + kn; — + kn , keZ; 1V 2 2 J

reikšmių sritis £=(-oo; +oo).

Ši funkcija nelyginė, periodinė,

jos periodas π.

Funkcijos ctgx grafikas


Apibrėžimo sritis D=(kn; π+

kn), keZ; reikšmių sritis E=

=(-oo; +oo). Ši funkcija

27 pav. nelyginė, periodinė, jos pe-

riodas π.

5. Atvirkštinėmis trigo-

nometrinėmis funkcijomis va-

dinamos funkcijos arcsinx,

arccosx, arctgx ir arcctgx.

Išnagrinėsime, kaip kons-

truojamos šios funkcijos.

Funkcija arcsinx. Funk-

cija sin χ apibrėžta intervale

D = (-co; +oo), jos reikšmių

aibė £=[-1; 1]. Ši funkcija yra

neapgręžiamoji, nes bet kuri

tiesė y=a (|α|<1), lygiagreti

ašiai Ox, kerta funkcijos sinx

grafiką daugelyje taškų, va-

dinasi, tą pačią reikšmę y=a

28 pav. sinusas įgyja daug kartų.

Išskiriame apibrėžimo srities

atkarpą [- f- ! y ] · Joje sinusas įgyja visas reikšmes iš atkarpos [-1; 1] ir

kiekvieną reikšmę - tik vieną kartą. Taigi funkcija sinx atkarpoje y ;-f]

yra apgręžiamoji. Atvirkštinė jai funkcija vadinama arksinusu ir žymima

arcsinx. Taigi D(arcsinx) = [-1; 1], £(arcs inx)= y ;-f]. Kadangi

atvirkštinių funkcijų grafikai yra simetriški tiesės y=x atžvilgiu, tai

arksinuso grafiką gausime, tiesės y=x atžvilgiu simetriškai atvaizdavę

funkcijos y=s inx grafiko dalį, esančią atkarpoje [ _ y ^ y ] (29 pav.).

y=arccosx

/ = C O S X

29 pav. 30 pav.

Funkcija arcsinx nelyginė: arcsin (-x)—arcsinx.

Funkcija arceosx. Žinome, kad funkcijos cosx Z) = (-co; +oo), £=[-1;

1]. Ši funkcija taip pat yra neapgręžiamoji, nes bet kuri tiesė y=a (| a | < 1),

lygiagreti abscisių ašiai, funkcijos cosx grafiką kerta daugelyje taškų,

vadinasi, tą pačią reikšmę y=a funkcija įgyja daug kartų. Išskyrę

apibrėžimo srities atkarpą [0; π], matome, kad joje funkcija cosx kiekvieną

reikšmę įgyja tik vieną kartą. Atvirkštinė jai funkcija vadinama arkkosinusu

ir žymima arc cosx. Z)(arccosx)=[-l; 1], £(arccosx)=[0; π].

Arkkosinuso grafiką gausime, tiesės y=x atžvilgiu simetriškai

atvaizdavę funkcijos cosx grafiko dalį, esančią atkarpoje [0; π] (30 pav.).

Funkcija arccosx yra nei lyginė, nei nelyginė, be to, arccos (-χ)= π-

arccosx.

Funkcija arctgx. Ji yra atvirkštinė funkcijai tgx ir konstruojama ana-

logiškai arksinusui, išskyrus funkcijos tgx apibrėžimo srities intervalą

( - f ; f ) .D (arc tgx) = (-oo; +oo),

E (arctgx) = ( - f i f ) · Grafikas


Funkcija arctgx yra nelyginė:

aretg (-x )=- arctgx.

Funkcija arcctgx. Jos grafi-

kas pavaizduotas 32 paveiksle.

D(arcctgx) = (-co; +со),

£(arcctgx) = (0; π) .

Funkcija arcctgx yra nei

lyginė, nei nelyginė, be to,

arcctg (-χ)=π-arctgx.

aretg χ

У k

у=х

2 y=arcctg χ

O Έ X 2 \

32 pav.

1.4. Sudėtinė funkcija

Nagrinėsime funkciją f (u), kurios argumentas u kartu yra kintamojo*

funkcija: Μ=φ (x). Įrašę j lygybę y= f ( u ) vietoj u šią funkciją, gauname

y=f(ę(x)). Sakome, kad atlikome funkcijų y=f (u) ir u=ę(x ) superpoziciją.

Taip gauta funkcija / (φ(χ) ) vadinama sudėtine funkcija, o argumentas u -

tarpiniu argumentu. Pavyzdžiui, atlikę funkcijų Y=IgM ir m=tgx super-

poziciją, gauname sudėtinę funkciją lgtgx. Kartais sudėtinė funkcija

/(<p(x)) žymima simboliu/° φ.

Sudarydami sudėtinę funkciją, galime imti tik tas χ reikšmes, su kurio-

mis apskaičiuotos u reikšmės priklauso funkcijos f (u) apibrėžimo sričiai.

Štai sudėtinė funkcija Igtgx apibrėžta tik su tomis χ reikšmėmis, su ku-

riomis tgx >0, kadangi logaritminė funkcija apibrėžta tik su teigiamomis

argumento reikšmėmis.

Galima sudaryti sudėtines funkcijas, turinčias keletą tarpinių argu-

mentų. Pavyzdžiui, tarkime, kad y=cos v, v = >/l - u2 , u= Igx . Tada

funkcija cos^/l - Ig2 χ bus kintamojo χ sudėtinė funkcija, o v ir u -

tarpiniai argumentai. Sudarydami šią funkciją, panaudojome dvi

superpozicijas.

Šios funkcijos sudaro paprasčiausių analizėje nagrinėjamų funkcijų

klasę.

Elementariosiomis vadinamos funkcijos, kurios gaunamos iš skaičių ir

pagrindinių elementariųjų funkcijų, naudojant keturis aritmetinius veiks-

mus bei superpozicijas ir atliekant visas šias operacijas baigtinį skaičių

1.5. Elementariosios funkcijos, jų klasifikacija

/— 5x-3 kartų. Pavyzdžiui, taip sudaryta funkcija Iog2 arcsinv* + , todėl ji

tgx

yra elementarioji.

Elementariosios funkcijos skirstomos į algebrines ir transcendentines

(lotyniškai transcendens - išeinantis už ribų). Algebrinių klasę sudaro

racionaliosios bei iracionaliosios funkcijos. Racionaliosios dar skirstomos į

sveikąsias racionaliąsias bei trupmenines racionaliąsias. Visa tai pavaiz-

duojame tokia schema:

Sveikosiomis racionaliosiomis funkcijomis (daugianariais) vadinamos

funkcijos

P(x) = a0xn +CI1X

N i

+CI2XN'2 +... + AN-\X + AN \

čia flu, fli, A2, ... , an - realieji skaičiai (a0*0) , vadinami koeficientais, n -

natūralusis skaičius, vadinamas daugianario laipsniu. Šios funkcijos

apibrėžimo sritis D = ( - o o ; +00). Trupmenine racionaliąja funkcija vadinamas dviejų daugianarių

dalmuo

-P(x) a0xn +A1X

n-1 +... + an_\X + an

Q{x) b0xm + bxx

m"1 + . . . + bm_xx + bm

Ši funkcija apibrėžta visoje skaičių tiesėje, išskyrus tas χ reikšmes, su

kuriomis vardiklis lygus nuliui.

Jeigu, apskaičiuojant funkcijos reikšmę / (x ) , atliekamos sudėties,

atimties, dauginimo, dalijimo ir kėlimo laipsniu, kurio rodiklis yra

trupmeninis racionalusis skaičius, operacijos, tai taip sudaryta funkcija

Paminėsime, kad išvardyti trys algebrinių funkcijų tipai neaprėpia visų

algebrinių funkcijų. Yra bendresnis algebrinių funkcijų apibrėžimas, kurio

čia nepateikiame.

Funkcija, kuri nėra algebrinė, vadinama transcendentine. Pavyzdžiui,

tokios yra trigonometrinės, atvirkštinės trigonometrinės, rodiklinė ir kitos

funkcijos.

1.6. Parametrinės kai kurių kreivių lygtys

Nagrinėsime dvi kintamojo t funkcijas

tardami, kad t kinta atkarpoje [i0; Т]. Kiekvieną t reikšmę atitinka viena χ

ir y reikšmių pora. Jeigu tą porą traktuosime kaip plokštumos χ Oy taško

koordinates, tai kiekvieną reikšmę t atitiks vienas tos plokštumos taškas.

Kai t reikšmės kinta nuo tu iki T, tai šis plokštumos taškas nubrėžia tam

tikrą kreivę, todėl (1) lygtys vadinamos parametrinėmis kreivės lygtimis, o

kintamasis t - parametru.

Tarkime, kad iš lygties χ=φ (i) galima išreikšti parametrą t: ί=Φ(χ) .

Įrašę šią t reikšmę į lygtįy=(p(i), gaunamey=cp((x)).

Taigi (1) lygtys y apibūdina kaip kintamojo χ funkciją, todėl sakome,

kad ši funkcija yra apibrėžta parametriškai.

Išvesime kai kurių kreivių parametrines lygtis.

Apskritimas. Apskritimas, kurio centras O ir spindulys R (33 pav.),

nusakomas lygtimi

( 1 )

χ2 +y2=R2.

Mx,y)

Imkime šio apskritimo kintamą taškąM(x;y)

ir sujunkime jį su kordinačių pradžia. Kampą,

kurį sudaro teigiama ašies Ox kryptis su spinduliu

OM, pažymėkime raide t. Tuomet

X

[y = R s i n i , O < i < 2π.

Tai ir bus parametrinės apskritimo lygtys. Pakėlę

abi jų puses kvadratu ir sudėję lygtis, gausime:

2 2 2 • 2 cos i + sin ί

arba x2+y2=R2

Elipsė. Elipsės, kurios pusašės lygios a ir b, lygtis yra tokia:

Λ .

2 2

a2 b2

(2)

У1

At \) ^ „ L l o Ql p Jla χ

34 pav.

Pažymėkime: x=a cos t. Įrašę šią χ

reikšmę j elipsės lygtį, gausime

Я 2COS2 t y2

— + — = 1 ; A2 Ь2

iš čia y = ^ s i n i .

Lygtys

ί χ = a cos t ,

Įy = b sin i , O < t < 2π,

yra elipsės parametrinės lygtys.

Išsiaiškinkime parametro t geometrinę prasmę. Nubrėžkime du

apskritimus, kurių centrai būtų koordinačių pradžios taške ir spinduliai я ir

b (34 pav.). Imkime kintamą elipsės tašką

MQc; y ) ir per jį nubrėžkime statmenį PB ašiai Ox. Tašką B sujunkime su

koordinačių pradžia. Kampą, kurį sudaro teigiama ašies Ox kryptis su

spinduliu OB, pažymėkime raide t. Tuomet, atsižvelgę į 34 paveikslą,

galėsime parašyti:

χ = OP = a cost,

CQ = b sin t .

Remdamiesi (2) lygtimis, galime tvirtinti, kad CQ=y, vadinasi, tiesė CM

yra lygiagreti ašiai Ox.

Taigi elipsės parametrinių lygčių parametras t reiškia kampą, kurį

sudaro teigiama ašies Ox kryptis su spinduliu OB.

Cikloidė. Cikloide vadinama kreivė, kurią brėžia apskritimo taškas,

kai tas apskritimas neslysdamas rieda tiese (35 pav.).

2πα X

36 pav.

Lygtys

Tarkime, kad riedančio ap-

skritimo taškas M iš pradžių buvo

koordinačių pradžioje. Taško M ko-

ordinates po to, kai apskritimas

pasisuko kampu t , pažymėkime χ ir

y:

X=OP=OB-PB= OB-MK,

y=PM=BK= CB-CK.

Jeigu apskritimo spindulys lygus a,

tai MK = a sin t, CK = a cos t .

Kadangi apskritimas rieda ne-

slysdamas, tai OB= MB = at, todėl

χ = at-a sini = a ( i - s i n i ) ,

y= a-a cost = a (I-cost) .

χ = a (/ - sin ή,

у = а(1 -eos i )

yra parametrinės cikloidės lygtys. Kai parametras t kinta nuo O iki 2π,

gauname pirmąją cikloidės arką.

Astroidė. Astroide vadinama kreivė, kurią brėžia apskritimo su spin-

a

duliu 4 taškas, kai tas apskritimas neslysdamas rieda kitu apskritimu,

kurio spindulys a, be to, mažesnis apskritimas visą laiką yra didesniojo

viduje (36 pav.). Astroidės parametrinės lygtys tokios:

Jjc = a cos31 ,

įy = α sin3 t , O < i < 2π ,

(šių lygčių išvedimo nepateikiame). Pakėlę abiejų lygčių kairiąją ir

dešiniąją puses laipsniu 2/3 bei sudėję lygtis, gauname:

X 2 / 3 + Y 2 / 3 = A 2 / ^ cos2 i + sin2 11 =

Taigi astroidės lygtis yra

X 2 / 3 + Y 2 / 3 = A 2 / 3 _

2. Skaičių seka ir jos riba

2.1. Skaičių sekos sąvoka

Apibrėžimas. Skaičių seka (arba kintamuoju dydžiu) vadinama skaitinė

funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje N.

Šios funkcijos apibrėžimo sritis - aibė N, reikšmių sritis - tam tikras

aibės R poaibis.

Sekos bendrąjį narį pažymėję xn (čia n - nario numeris), galėsime

parašyti n ~+xn , arbax„ =f(n). Seką žymėsime simboliu {x„ }.

Paminėsime du svarbiausius sekų reiškimo būdus.

1. Seka reiškiama formule x„ =f(n ), nurodančia, kaip pagal numerį n

apskaičiuojamas atitinkamas narys xn. Pavyzdžiui, formulė xn = n +1

apibrėžia seką

I i l l l n

2 ' 3 ' 4 ; 5 ; 6 ; " ' ; n + i ; · "

2. Seka reiškiama rekurentiškai: nurodomas pirmasis sekos narys

(arba keli pirmieji nariai) ir taisyklė, pagal kurią galima nustatyti (« + l)-ąjį

narį, kai žinomas numeris n > 1 ir sekos nariai, kurių numeriai ne didesni

už n.

Pavyzdys. Raskime xn, kai seka {x„ } apibrėžta formule

(n + l)(n + 2) л«+1 лп ~ 2 '

(N + \)(N + 2) . .

Sp rend imas . Lygybeje xn+\=xn + ^ vietoj n įrašę

skaičius 1, 2, 3, gauname:

2-3 3-4 x2 = x\ + = 1 + 3 = 4 , X3 =X2+ -γ- = 4 + 6 = 10 , ...

Pastebėję, kad

, 1-2-3 , 2-3-4 1П 3-4-5 χ, = I = - — , X2 = 4 = — — , X3 =10 = — — , ... ,

6 o o

suvokiame, jog

л(я + 1Хя + 2)

6

Šią formulę nesunkiai galėtume pagrįsti, taikydami matematinės in-

dukcijos metodą. •

Jeigu pagal kurią nors taisyklę išrinktume tam tikrus sekos {x„} narius

ir surašytume juos ta tvarka, kokia jie pateikti sekoje {x„ }, tai gautume

naują seką, vadinamą sekos {x„ } posekiu. Posekį žymime |χ„λ j , keN; be

to, nIc < Kici tada ir tik tada, kai k\< k2. Pavyzdžiui, galima išskirti sekos

(—1)" J du posekius: pirmasis posekis {1, 1, 1, ...} gaunamas parenkant

narius su lyginiais numeriais, antrasis {-1, -1, -1, ...}.- su nelyginiais

numeriais.

2.2. Sekos ribos sąvoka

Pradėsime nuo pavyzdžio. Sakykime, duota seka {xn}, kurios bend-

n -1 rasis narys xn = . Apskaičiuokime jos narius, imdami n = 1, 2, 3,... :

2 n

n· i- i · 1· 2- J L JL-' 4' 3' 8' 5' 12' 14 ' " '

Nesunku suvokti, kad, didėjant numeriui n, sekos nariai „artėja" prie j .

Pavyzdžiui, kai n = 101, tai xn = . Bendrąjį narįx„ parašysime taip:

n-1_ 1 1 Xfi .

2 n 2 2 n

Didėjant n, dėmuo — „artėja prie nulio", todėl xn iš tiesų artėja prie · 2n l

Šį faktą pažymime simboliais:

n—><» 2n 2

Juo didesnes n reikšmes imame, juo mažiau xn skiriasi nuo savo ribos,

lygios j . Vadinasi, ribą galėtume apibrėžti taip: skaičius a yra sekos xn

riba, kai, imant pakankamai didelius n, xn ir a skirtumo modulis pasidaro

kiek norima mažas. Toks apibrėžimas gana aiškus, bet netikslus. Kokius n

laikyti pakankamai dideliais, ką reiškia „kiek norima mažas"?

Patikslinkime suformuluotą apibrėžimą. Skirtumo x„-a modulis turi

būti mažesnis už bet kurį pasirinktą teigiamą skaičių ε. Nustatysime, kokie

turi būti šią sąlygą tenkinančių sekos narių numeriai. Grįžkime prie

pavyzdžio. Reikalaujame, kad

1 /7-1 1 1 < ε <=> < ε <=> — < ε <=> < ε <=> —

2 n 2 2n

Išsprendę šią nelygybę, gauname:

1 n > — .

2ε

— pažymėkime raide N. Vadinasi, nelygybė 2ε

< ε teisinga su

visais n >N= — . Kadangi numeris N gali buti tik sveikasis skaičius, tai N 2ε

imame lygų — sveikajai daliai: 2ε

N = J _

2ε

Apibrėžimas. Skaičius a vadinamas sekos {x„} riba, kai kiekvieną

teigiamą skaičių ε atitinka toks natūralusis skaičius N, kad su visais n >N

teisinga nelygybė

\xn - a\ < ε .

Šį apibrėžimą parašykime simboliais: Iim xn = a , jeigu n—>oo

\/ε>0 3N: n>N => \xn-a\<z .

Šiuo atveju taip pat sakoma, kad kintamasis xn artėja prie a, ir rašoma

xn-+ a.

Seką, kuri turi ribą, vadiname konverguojančiąja seka. Dar kartą

akcentuojame: norėdami įrodyti, kad seka {xn } konverguoja prie a, pagal

laisvai pasirinktą ε turime rasti tokį numerį N, kad su visais n>N galiotų

nelygybė \xn—a I < ε .

8л+ 7 1 pavyzdys, {rodykime, kad Iim

oo 2n

Sp rend imas . Iš nelygybės

8/J + 7

= 4 . Kam lygus N, kai ε=0,04 ?

2 n < ε

gauname:

7 7 — < ε » n > — In 2ε

Paėmę N 1_

2ε turėsime: n >N => \xn - 4| < ε , todėl Iim xn = 4 .

Kai ε=0,04 , tai — = =87,5 . Taigi N=87. • 2ε 0,08

Išsiaiškinsime sekos ribos geometrinę prasmę. Nelygybė

Taigi skaičius a yra sekos {xn} riba, kai kiekvieną ε>0 atitinka toks

numeris N, kad visi sekos nariai su didesniais numeriais priklauso taško a

X/V-l ^N

α-ε

f -σ σ+ε

— ι —

37 pav.

ε spindulio aplinkai

^ Κε (α). Tuomet tos

X aplinkos išorėje bus tik

baigtinis skaičius sekos

narių (37 pav.).

2 pavyzdys. Įrodykime, kad 1 yra skaičių sekos xn riba.

Sprend imas . Remdamiesi sekos ribos apibrėžimu, sudarome

nelygybę

^ -1| = (-1)"

1 + L J 1 < ε ,

iš kurios gauname n > Iog2 - . Todėl imame N= Iog2-

= 10. Tarkime, kad laisvai pasirinkome ε = 2 10 . Tada N= Ilog2 210

Vadinasi, kai ε = 2~10, tai, imdami natūraliąsias n reikšmes, didesnes

už N= 10, gausime \xn -1| < ε . Taigi, kai

ε = 2 -IO

3N = 10: n>N-. < ε

Nelygybės \xn -ΐ|<ε o 1 - ε < x n <1 + ε nusako taško 1 ε spindulio

aplinką (38 pav.).

( -1 )" Vadinasi, kai skaičių seka x„ = 1 + ^n artėja prie ribos 1, tai laisvai

pasirinktą ε = atitinka numeris /V=10, nuo kurio pradedant, visi

tolimesni sekos nariai

X7 X9

1 - 8 H—

1+ε — t —

XlO Xe

38 pav.

χ - I - - L x U - 1 211

X12 - 1 '

:1 2 1 3 ' " "

patenka į taško 1 ε spindulio aplinką (žr. 38 pav.). •

3 pavyzdys. Įrodykime, kad skaičius — nėra sekos xn = ^n + ^ riba.

7 IN-5

Sprend imas . Žinome, kad, neigdami teiginį, kvantorių V

pakeičiame kvantoriumi Ξ, ir atvirkščiai. Vadinasi, skaičius a nėra sekos

{xn } riba, jei

3ε > O V/V : 3 n> N => Vxn - a > ε .

4/1 + 2 3 In + 29 1 In + 29

Tn - 5 7 7(7« - 5) 7 In - 5 . Ka-Apskaičiuojame \xn - a\ =

,, Tn + 29 „ . , , , ι 1 _ . , 1 dangi su Vn — — > 1, tai su Vn \xn -a\> —. Parinkę ε = — , gauname:

3 ε = — V « => |x„ - αϊ > ε . 7 1 " 1

3 Taigi a = ~ n® r a duotosios sekos riba. •

2.3. Konverguojančių sekų savybės

1 teorema. Jei seka tun ribą, tai tik vieną.

Į r odymas . Tarkime priešingai, kad seka {x„ } turi ribas a ir b, be to,

a φ b . Vadinasi,

V ε > O 3 N1: n > Nx => \xn - a <

ν ε > 0 3 N2: n> N2 =>\x„ - b\<— .

Parinkime N = max{/V j , N2}; tuomet abi nelygybės \x„ - a | < ^ ir

I I g . . I l

Ixn ~ b I < ~ t>us teisingos kartu. Įvertinkime skirtumą | a-b \:

\a-b\=\a-xn +xn -b\<\xn -a\ + \xn -6|<-| + | = ε .

Matome, kad dviejų skaičių skirtumo modulis yra mažesnis už bet kurį kiek

norima mažą skaičių ε>0. Tai reiškia, kad a-b = O, taigi a = b, o tai prieš-

tarauja prielaidai, kad a φ b. Teorema įrodyta. •

2 teorema. Konverguojanti seka yra aprėžta.

Į r odymas . Sakykime, kadxn-+a. Pagal ribos apibrėžimą

jc„ -> a o V ε > O 3 N : n > N => \xn -a\< ε .

Paskutinioji nelygybė ekvivalenti dvigubajai nelygybei a - ε <

< xn < a + ε , kai n>N. Ji reiškia, kad seka aprėžta, pradedant (A^-l-l)-uoju

nariu. Kadangi už intervalo (я-ε; я +ε) ribų yra baigtinis skaičius sekos

narių, tai tą intervalą galima išplėsti taip, kad į j į patektų ir sekos nariai

x b x 2 , --,XN • Tuometxn e (я-ε; я +ε) su V η e/V. O tai ir reiškia, kad seka

(x„} yra aprėžta (žr. I skyriaus 2.3 skyrelyje pateiktą bet kokios aibės

aprėžtumo apibrėžimą: m < x < M o x e [m; M]). A

3 teorema. Jei x„—>α ,y„—»fr ir xn >y„ (neN), tai a>b.

Į r odymas . Tarkime priešingai, kad a<b. Tuomet b-a> 0.

Pažymėkime: b-a = ε >0, b = α+ε. Pasiremkime ribos apibrėžimu:

ι ι ε xn -» a <=> \/ε > 0 (kartu ir ε = b-a) BTV1: n > TV1 => \xn-a | < —,

j„->6»Ve> 0 BN2: n > N2 =>\yn

Pastarosios nelygybės bus teisingos kartu, kai parinksime N=max{NhN2}·

Toliau

k \ a~ \<xn <fl + f' \Уп-Ь <=> ь~^<Упb-^ = a + e-^ = a + ^>xn

Gavome yn>xn, bet tai prieštarauja teoremos sąlygai xn >y„ .

Vadinasi, prielaida, kad a <b, yra neteisinga. Teorema įrodyta.

Kitaip sakant, ši teorema teigia, kad nelygybėje yra teisingas ribinis

perėjimas:xn>yn => Iim xn > Iim yn. • я—>00 rc—>00

Dar paminėsime, kad apskritai iš nelygybės x„ > yn => Iim xn > n—WO

> Iim yn, o ne būtinai Iim xn > Iim yn. Pavyzdžiui, — > —-, bet п-усс Л->оо Л-> OO n n

Iim - = I i m i - - J = 0 .

n—>00 n n—>oo\ Tl J

Išvada. Jei xn < M ir χ n —» a ,tai a < M .

Ši išvada tiesiogiai išplaukia iš 3 teoremos, nes Iim M = M. Л—>00

4 teorema. Jei xn —» a, yn —> b (a ir b - baigtinės ribos), tai:

1) xn + yn a + b ;

2) cxn -> ca , c = const;

3) xn - Уп ^ a b ;

4) , b * O . Уп b

Šios teoremos dabar neįrodinėsime, nes vėliau įrodysime tokią pačią

teoremą, pritaikytą funkcijoms.

2.4. Sekos ribos egzistavimo požymiai

1 apibrėžimas. Seka {xn} vadinama didėjančiąja, kai su kiekviena n

reikšme teisinga nelygybė

XN +1 ^XN ,

t.y. kai didesnius narių numerius atitinka didesni sekos nariai.

2 apibrėžimas. Seka {x„} vadinama mažėjančiąja, kai su kiekviena n

reikšme teisinga nelygybė

XN +1 < XN .

Kai xn+\ >x„, turime nemažėjančią seką, kai xn+\ <xn - nedidėjančią

seką.

Nemažėjančios ir nedidėjančios (kartu didėjančios ir mažėjančios)

sekos vadinamos monotoninėmis sekomis.

2.3 skyrelyje įrodyta 2 teorema liudija, jog aprėžtumas yra būtina

sekos ribos egzistavimo sąlyga. Nesunku įsitikinti, kad šios sąlygos dar

nepakanka sekai konverguoti. Štai, pavyzdžiui, seka {(-1)"} yra aprėžta,

bet ribos neturi. Tačiau, kai seka yra monotoninė, aprėžtumas kartu yra ir

pakankama jos konvergavimo sąlyga.

1 teorema. Monotoninė ir aprėžta seka turi ribą.

Į r odymas . Tarkime, kad seka {xn} yra didėjanti ir aprėžta iš viršaus.

Tuomet ji turi tikslų viršutinį rėžį sup {xn} = a, be to,xn< a. Įrodysime, kad

būtent a yra šios sekos riba.

Nesunku suvokti, jog Vs > O 3 N, su kuriuo teisinga nelygybė χΝ>α-ε.

Kadangi seka didėjanti , tai iš nelygybės n > N => xn > x N > a - ε . Taigi

xn>a -εοα-χη <ε <=> |xn-a \ <ε. O tai reiškia, kadx„-»a. •

Pavyzdys. Įrodykime, kad seka {xn}, apibrėžta formule

Г - n 4- P l J- I Pn xn - P o + - + ··· + —Г '

10 ί ο "

konverguoja; p į (/=1, 2, ... , n) - sveikieji neneigiami skaičiai, mažesni

už 9.

S p r end imas . Apskaičiuojame

xn+1 - xn = T77 - 0 ' 10"+1

iš čia x n + i > x n , n e N .

Vadinasi, seka yra monotoninė. Įrodysime, kad ji aprėžta. Kadangi

Pi <9, tai

9 9 9

9 9 9 Reiškinys —- + — - + ... + — - yra geometrinės progresijos, kurios vardiklis

10 ί ο 2 10"

1 . . . 9 . . . . <7 = — ir pirmasis narys X1 = — , suma. Ji lygi

9 9

10 10"+1 Į 9 ; χ

1 _ J _ 10"

10

Taigi 0 < x n < p 0 +1; seka yra aprėžta. Kadangi seka tenkina abi teo-

remos sąlygas, tai ji turi ribą. •

Paminėsime, kad ši teorema nenurodo, kaip rasti ribą, o tik teigia, kad

sekos riba egzistuoja.

Suformuluosime dar vieną sekos ribos egzistavimo teoremą, kuri kar-

tais irgi būna naudinga.

2 teorema (tarpinio kintamojo ribos teorema). Jei xn <zn < yn

(n eN) ir xn -» a, y„ -» a, tai ir zn -» a .

Į r odymas .

χ „ - » α » ν ε > 0 3 N χ. n > N j => \xn- α|<ε <=> a - ε < x n < a + ε ;

yn -> a <=> Ve > 0 3 N 2 n> N2 =5> \yn- fl| < ε <=> a - ε < yn < α + ε .

Parenkame N = max (./V1, JV2}, su kuriuo kartu bus teisingos abi

nelygybės. Surašome nelygybių grandinėlę

a- ε<χη < zn <yn < α + ε .

Iš jos išplaukia, kad α-ε < zn < a +ε a> \zn -a\< ε , kai neN. O tai

reiškia, kad zn a . Teorema įrodyta. •

Matematikai šią teoremą juokais vadina „dviejų policininkų" teorema.

Mat jeigu tarp dviejų policininkų xn ir y„ svyruoja girtuoklis Zn, tai jis

atsidurs nuovadoje a, į kurią policininkai jį ir veda.

2.5. Skaičius e

Išnagrinėsime vieną nuostabią ribą ir susipažinsime su svarbia mate-

matine konstanta, vadinama skaičiumi e.

f O"

Imkime seką {xn}, kurios bendrasis narys xn =^1 + -J , neN. {ro-

dykime, kad ji turi ribą. Norėdami pritaikyti monotoninės sekos ribos

egzistavimo požymį, turime įrodyti, kad pasirinktoji seka yra didėjanti ir

aprėžta iš viršaus.

Pritaikome Niutono binomo formulę (žr. šios knygos IV skyriaus 3.4

skyrelį) ir parašome xn dėstinį:

^ 1 + ^ = 1 + ¾ - I ^ i r * Jfc=I

, " n(n-i)...(n-k + l) 1 , " 1 n-1 n-2 n-k + 1 = 1+ > — -— = 1+ > ...

k=1 n k=1k\ n n n

~ 1+ n)(1_ л) '"i1 V

Vietoj n įrašę dydį n +1, kiekvieną suskliaustą dauginamąjį padidintume,

todėl xn+i>xn. Be to, xn+1 dėstinyje atsiranda dar vienas papildomas tei-

giamas narys, vadinasi, neabejotinaixn+i>xn . Taigi pasirinktoji seka didėja.

Kadangi

k , 2 k ' ·

tai jc„ >2. Antra vertus,

1 xn < 1 + У — ,

l· ι k=iK •

nes kiekvienas suskliaustas dauginamasis yra mažesnis už 1. Pasinaudoję

nelygybe A:!>2^ _ 1 (žr. I

sumos formule, gauname:

Xn <1+ Σ -T-T <1 + 2T- = 1 + 2 Ц- = 3 ί-<3 n t—* >yk-1 1 7n-1 7n-l

nelygybe k!> 2k 1 (žr. I skyriaus 1.4 skyrelį) ir geometrinės progresijos

I - 1

Jfc=Iz 1 - -2

Taigi įrodėme, kad 2 < xn < 3 . Seka {xn} yra monotoninė ir aprėžta,

todėl ji turi ribą. Si riba ir buvo pavadinta skaičiumi e:

( l V Iim 1 +— = e .

n—>cc\ nJ

Kadangi 2 < xn < 3 , tai ir 2<e < 3. Apytikslė skaičiaus e reikšmė 15

ženklų po kablelio tikslumu yra tokia:

e=2,718281828459045 .

1873 m. Sarlis Hermitas* įrodė, kad skaičius e yra transcendentinis.

Taip vadinamas realusis arba kompleksinis skaičius, kuris nėra algebrinės

Šarlis Hermitas (Ch. Hermite, 1822-1У01) - prancūzų matematikas.

lygties su sveikaisiais koeficientais šaknis. Beje, transcendentinis yra ir

skaičius π.

Skaičius e dar vadinamas Neperio skaičiumi pagal škotų matematiko

Neperio* pavardę, nes būtent Neperis logaritmus skaičiavo pagrindu

/ 7 \ 1 0

I l + IO"7 I

Logaritmai, kurių pagrindas yra e, vadinami natūraliaisiais ir žymimi

ženklu In. Taigi

In χ = Ioge χ .

Rodiklinė funkcija, kurios pagrindas e, turi specialų pavadinimą ir žymė-

jimą; ji vadinama eksponentine funkcija ir žymima taip:

expx = ex .

Toks išskirtinis dėmesys eksponentinei funkcijai yra neatsitiktinis, nes su

šia funkcija dažnai tenka susidurti nagrinėjant įvairius gamtoje vykstančius

procesus.

2.6. Hiperbolinės funkcijos

Taip vadinamos funkcijos, apibrėžiamos naudojant skaičių e:

e —e , e +e sh χ = , ch χ =

Pirmoji jų yra hiperbolinis sinusas, antroji - hiperbolinis kosinusas (39 pav.).

Naudojantis šiomis funkcijomis, apibrėžiamos dar dvi funkcijos:

shx .

39 pav.

hiperbolinis tangentas th χ = ir

hiperbolinis

chx

kotangentas

. chx . . ex-e x

cth χ = —— . Taigi thx shx e*+e"*

Cthx = ex +e x

ex-e~x Jų grafikai

pavaizduoti 40 ir 41 paveiksle.

Funkcijų shx, chx, thx apibrėžimo

sritis D=(- oo; +oo), o funkcija Cthx

apibrėžta visur, išskyrus tašką x=0.

Nesunkiai galėtume įsitikinti, kad

7 2 ch χ - sh χ = 1.

Džonas Neperis (J. Napier, 1550-1617) - škotų matematikas.

У' iv

V y = c t h χ

1

O χ л -1

40 pav. 41 pav.

Gana įdomiomis savybėmis pasižymi hiperbolinio kosinuso grafikas,

kuris dar vadinamas grandinine kreive. Taip jis pavadintas dėl to, kad už

galų pakabinta grandinė nukardama įgyja hiperbolinio kosinuso grafiko

formą.

Sukdami grandininę kreivę apie ašį Ox, gauname paviršių, vadinamą

katenoidu (lotyniškai catena - grandinė) (42 pav.). Katenoidas priklauso

vadinamųjų minimaliųjų paviršių klasei: jo paviršiaus plotas yra

mažiausias, palyginti su visais paviršiais, einančiais per apskritimus γι ir γ2,

kurie gaunami kertant katenoidą statmenomis jo sukimosi ašiai

plokštumomis.

Funkcijos shx ir chx pavadintos hiperbolinėmis neatsitiktinai. 9 9 v

Nagrinėkime hiperbolę, kurios lygtis χ - y = 1. Sios hiperbolės

kintamojo taško M koordinates pažymėkime χ ir y. Tarę, kad χ = ch /, gautume ch2i-

Vadinasi,

I . Kadangi žinome, jog ch /-sh t = 1, tai y = shi.

χ = ch t ,

y = shr

У'

V / \ / M M

X

/ oAir "

42 pav. 43 pav.

yra hiperbolės parametrinės lygtys. Neįrodinėdami paminėsime, kad

parametras t lygus dvigubam hiperbolinės išpjovos AOM plotui (43 pav.).

2.7. Bolcano ir Vejerštraso* principas

Pirmiausia įrodysime vieną papildomą teiginį, tiesiogiai

išplaukiantį iš įdėtųjų atkarpų lemos (žr. I sk. 2.3 skyrelį).

1 teorema (susitraukiančiųjų atkarpų lema). Jei [a„; -

įdėtųjų atkarpų seka ir Iim [ bn - a A = O , tai abu kintamieji a„ ir Л—>00

bn turi bendrą ribą Iim an = Iim bn =c. л-»оо TJ->00

Į r odymas . Kadangi [a„; bn ] - įdėtosios atkarpos, tai jos turi bendrą

tašką c, su kuriuo teisinga nelygybė

an<c<bn .

Iš čia

O < c - an < bn - an —> O ,

todėl c - an —> O, t. y. an —> c. Analogiškai įrodytume, kad ir bn c . •

Tikriausiai suvokėte, kad susitraukiančiosios atkarpos bus tokios

įdėtosios atkarpos, kurių ilgis bn-an -> O.

Dabar aptarsime sąlygas, kuriomis seka turi konverguojantį posekį.

Aišku, kad kiekviena konverguojanti seka turi ir konverguojantį po-

sekį. Jei seka neturi ribos, tai dar nereiškia, kad ta seka neturi kon-

verguojančio posekio. Pavyzdžiui, seka, kurios bendrasis narys xn = (-1)" ,

neturi ribos, tačiau ji turi du konverguojančius posekius:

1, 1, ..., 1, ...

-1, -1, ..., -1, ...

Pirmasis gaunamas imant lygines n reikšmes ir artėja prie 1, o antrasis

gaunamas, kai n reikšmės nelyginės, ir artėja prie -1. Pasirodo, kad tai

būdinga visų aprėžtųjų sekų savybė.

2 teorema (Bolcano ir Vejerštraso lema). Kiekviena aprėžta seka turi

konverguojantį posekį.

Į r odymas . Kadangi seka {xn} aprėžta, tai visus jos narius galima su-

talpinti kurioje nors atkarpoje [a; b]. Šią atkarpą padalijame pusiau ir pa-

sirenkame tą jos dalį, kurioje yra be galo daug sekos narių; tokia atkarpos

dalis tikrai yra, nes priešingu atveju ir visoje atkarpoje būtų baigtinis skai-

čius sekos narių, o to būti negali. Pasirinktąją atkarpą pažymėkime

*

Karlas Teodoras Vilhelmas Vejerštrasas (K. Th. W. WeierstraB, 1815-1897) - vokiečių

matematikas.

[flj; Ь)] ir vėl padalykime pusiau. Simboliu Ia2 ; ^2] pažymėkime tą jos

dalį, kurioje yra be galo daug sekos narių. Gausime įdėtųjų atkarpų

sistemą:

[O1; bi]z>[e2; b2]^...z>[ak; bk]z>...

Remdamiesi įdėtųjų atkarpų lema, tvirtiname, kad yra realusis skaičius c,

priklausantis visoms atkarpoms [ak; bk ], k e N .

Kadangi bk -ak = -> O, kai k -> 00 , tai pagal susitraukiančiųjų

atkarpų lemą ak c ir bk -> c .

Dabar posekį jJtnjfc j sudarome induktyviai. Pirmiausia pasirenkame

kurį nors vieną sekos narį Jtn , esantį atkarpoje [aj; b\ ], po to - kurį nors

kitą sekos narį х , ь e[a2 ; b2] ir pagaliau x„k bk ]. Taip padaryti

visada galima, nes kiekvienoje atkarpoje [a^; bk ] yra be galo daug sekos

narių. Kadangi

ak<x„k<bk k ak^>c,bk->c,

tai, remiantis „dviejų policininkų" teorema, galima teigti, kad ir Xn^ -» c .

Teorema įrodyta. •

Įrodydami 2 teoremą, taikėme nuoseklaus dalijimo metodą, kuris bus

naudingas ir ateityje.

2.8. Koši* sekos ir Koši kriterijus

Apibrėžimas. Seka {xn} vadinama Koši seka, jei V e > O 3 N:

n> N лт> N => |jtn - xm I < ε .

Įrodysime dvi Koši sekų savybes.

1 teorema. Kiekviena konverguojantį seka yra Koši seka.

Į rodymas . Tarkime, kad xn -> a. Tuomet

xn->a <=> Vs > O 3N: n>N => |jtn-a|<-^ .

Kadangi numeriui n keliamas vienintelis reikalavimas, kad būtų n>N, tai

n vaidmenį gali atlikti bet kuris natūralusis skaičius m>N. Todėl

I I ε jt,,-»a<=> ν ε > 0 3N: m>N => |jtm - a\ < — . Įvertinkime skirtumą:

\xn ~xm\ = \[xn - a) + { a - xmj\-\xn-а\ + \хт-а\<^ + = г .


Ogiustenas Luji Koši (A. L. Cauchy, 1789-1857) - prancūzų matematikas.

2 teorema. Kiekviena Koši seka yra aprėžta.

Į r odymas . Iš sąlygos \xn -xm\ < ε turime xm - ε < Xn < xm + ε . Fiksavę

numerį m, kartu pasiektume, jog dydžiai xm - ε ir xm + ε būtų pastovūs.

Taigi sąlyga xm - ε < xn < xm + ε reikštų, kad sekos nariai yra aprėžti, kai

n>N. Kadangi už intervalo [xm - ε; xm + ε) ribų yra baigtinis kiekis

sekos narių, tai rėžius xm - ε ir xm + ε galima išplėsti taip, kad į

intervalą ( x m - ε; xm + ε) patektų ir sekos nariai x\,x2, ··· , Xy· Tai, kad

visi sekos nariai patenka į intervalą (xm - ε; xm + ε), reiškia, jog seka yra

aprėžta. •

Dabar suformuluosime labai svarbų sekos konvergavimo požymį,

kuris net turi specialų pavadinimą.

3 teorema (Koši kriterijus,). Seka {xn} konverguoja tada ir tik tada, kai

ji yra Koši seka.

Į r odymas . Primename: teoremos formuluotėje panaudota loginė

jungtis „tada ir tik tada" reiškia, kad teoremos įrodymas susideda iš dviejų

dalių - būtinumo (atvirkštinės teoremos) ir pakankamumo (tiesioginės

teoremos) įrodymo.

Būtinumas išplaukia iš šiame skyrelyje įrodytos 1 teoremos.

Įrodysime pakankamumą. Pagal tik ką šiame skyrelyje įrodytą 2 teore-

mą kiekviena Koši seka yra aprėžta. O iš bet kurios aprėžtos sekos {x„}, re-

miantis Boleano ir Vejerštraso lema, galima išskirti konverguojantį posekį

x„, —» c. Tuomet

Kadangi {x„} yra Koši seka, tai \xn - xm | < .

Numeriams nk ir m keliamas tas pats reikalavimas, todėl m gali atstoti

Taigi Ixn - c < ε , o tai reiškia, kad xn -> c . Teorema įrodyta. A

Šiek tiek pakeisime Koši sekos apibrėžimą, vietoj m imdami skaičių

n +p; čia p - bet kuris natūralusis skaičius. Taip daryti galima, nes iš sąlygos

n> N => n + p > N , o skaičius m ir turi būti didesnis už N. Todėl Koši

seką dar apibrėšime taip: seka {x„} vadinama Koši seka, jei

I I ε X N C < = > V E > O B N : Щ > N = > I X N - С < —

ι ε ε - с < — + — = ε .

I 2 2

νε>0 BN: η> N AVpeN => \χη+ρ -Xn < ε .

Taip suformuluotas Koši kriterijus dažniausiai taikomas sprendžiant

uždavinius.

Pavyzdys. Įrodykime, kad seka

sinl sin 2 x„ = h —

" 1-2 2-3 + ... + -

Sin n

n[n +1)

konverguoja.

S p r e nd imas . Apskaičiuojame skirtumą:

xn+p ~ xn = xn+1 + xn+2 + ··· + xn+p

_ sin(n +1) + ... +

sin(n + p)

(.n +1 )(n + 2) (n + p)(n + p + l)

Tuomet

\xn+p xn —

in [n +1)|

(n + l)(n + 2) + ... +

Sini

1

(n +1 ){n + 2)

Pasinaudokime tapatybe

+ ... +

(n + p)(n + p +1)

1

(n + p)(n + p +1)

1 1

n(n +1) n n + \

Gausime:

X J < 1 . + • 1 1 1

n+1 n+2 n+2 n+3 n+3 n+4 + ...

. . . + 1 1

< n+p n+p+l n+1 n+p+1 n+1

1 1 Pareikalaukime, kad butų < ε . Tuomet bus n > 1 . Parinkę N=

n + l ε

A - i ε

, turesime:

ν ε > 0 3Ν : η> N \χη+ρ Χη И" ®

nepriklausomai nuo ρ reikšmės. Taigi duotoji seka konverguoja.

3. Funkcijos riba

3.1. Funkcijos ribos taške sąvoka

Prieš apibrėždami funkcijos ribą, išnagrinėkime pavyzdį. Sakykime,

duota funkcija

2x2-8

Ji neapibrėžta taške x=2. Imkimex reikšmes, artimas skaičiui 2, ir apskai-

čiuokime funkcijos reikšmes šiuose taškuose:

X 1,9 1,95 1,995 2,0005 2,001

У 7,8 7,9 7,99 8,001 8,002

|x-2 I 0,1 0,05 0,005 0,0005 0,001

I y - S l 0,2 0,1 0,01 0,001 0,002

Iš lentelės matome, kad kuo arčiau skaičiaus 2 yra χ reikšmė, tuo

funkcijos reikšmė artimesnė skaičiui 8. Taigi, mažėjant reiškinio | jc — 2 |

reikšmėms, mažėja ir reiškinio |y-8| reikšmės. Kitaip tariant, kai χ reikš-

mės pakankamai artimos skaičiui 2, atitinkamos funkcijos reikšmės kiek

norima mažai skiriasi nuo skaičiaus 8. Tuomet sakome, kad skaičius 8 yra

2

funkcijos 2 x - 8

riba, kai χ artėja prie 2. Žymime

Iim = 8 jc—>2 χ - 2

Patikslinsime posakio „Kai χ reikšmės pakankamai artimos skaičiui 2,

atitinkamos funkcijos reikšmės kiek norima mažai skiriasi nuo skaičiaus 8"

prasmę. Funkcijos reikšmės kiek norima mažai skirsis nuo skaičiaus 8,

jeigu

|y-8|<6 ;

čia ε - bet kuris kiek norima mažas teigiamas skaičius. Kai χ * 2, turime:

2(x - 2)(x + 2) |y-8|-2x2 - 8 .

8 < ε <=> χ - 2 χ - 2

< ε <=>

<=> 12(x + 2) - 8| < ε <=> |2x - 4| < ε <=> |x - 2| < j .

Vadinasi, kad ir koks mažas būtų teigiamas skaičius ε, pagal jį galima

parinkti tokį teigiamą skaičių δ (šiame pavyzdyje δ=ε/2) , kad iš nelygybės

\x - 2| < δ išplauktų nelygybė |y - 8| < ε . Cia ir yra teiginio

Ix 2 - 8 Iim = 8 prasmė. л:—>2 χ -2

Tarkime, kad funkcija f:X -> У apibrėžta tam tikroje taško a aplin-

koje, galbūt išskyrus patį tašką a. Šią savybę kaip tik turėjo funkcija

2x^ — 8 ; taške x=2 ji buvo neapibrėžta, o bet kokioje šio taško aplinkoje

χ - 2

apibrėžta. Dar tarkime, kad a - ribinis aibės X taškas, vadinasi, bet kurioje

jo aplinkoje yra be galo daug aibės X taškų.

1 apibrėžimas. Skaičių b vadiname funkcijos f riba taške a (arba kai

x^a ),jei

Vs >O 3δ: |χ-α|<δ, χ Φα => |/(χ)-6|<ε . (3)

Žymime Iim f (χ) = b arba /(x) -» b , kai χ a .

*->a

Taip suformuluotas funkcijos ribos apibrėžimas vadinamas Koši ribos

apibrėžimu arba apibrėžimu „ε-δ kalba".

Sąlygas \x - α| < δ ir χΦα galima parašyti taip: O < \x - a\ < δ . Ši

nelygybė ekvivalenti nelygybei

α-δ<χ<α+δ , χ Φα . (4)

Iš nelygybės |/(jk) - b\ < ε gauname:

b - ε < f (χ) b , kai χ a .

Kadangi iš (4) nelygybės išplaukia (5) nelygybė, tai skaičius b bus funkcijos

/ r i ba taškex=a , jeigu bet kurį ε>0 atitiks tokia taško a aplinka K5(a) \a

(iš aplinkos pašalintas taškas a), kad su visais χ iš šios aplinkos atitinkamos

funkcijos reikšmės pateks į 2ε plo-

čio juostą, apribotą tiesių y=b-z ir

y=b+z. Intervalas (b-ε; έ>+ε) bus

taško b aplinka Vz (b). Taigi

f(x)^>b, kai χ-+a, jeigu iš

χ e K8(a) (jc Фа) => y e Vt(b). Be

to, iš 44 paveikslo matyti, kad δ

priklauso nuo pasirinkto ε. Maži-

nant taško b aplinkos spindulį,

mažėja ir taško a aplinkos spin-

44 p a v - dūlys. Vadinasi, δ = δ (ε).

Vi

b+ε J л b i i • i

i f] 11

M / У 2 ε

b-ε /. JJJ.. /1 .

b-ε

0 α - δ α α + δ χ

Jt2 -16 1 pavyzdys. Įrodykime, kad Iim

x—>4 дг-4

Sp r end imas . Funkcija apibrėžta visoje skaičių tiesėje, išskyrus tašką

χ2 -16 χ = 4. Kai χ Φ 4, tai = x + 4 . Taigi turime parodyti, kad pagal ε >0

X - A

galima parinkti tokį δ > O, kad iš nelygybės 0 < \x - 4| < δ išplauktų nely-

gybė χ 2 - 1 6

< ε , arba |x + 4 - 8| < ε . Iš čia |x - 4| < ε . Vadinasi, x - 4

reikia parinkti δ = ε . •

2 pavyzdys. Įrodykime, kad Iim χ = A . x-*2

Sp r end imas . Reikia įsitikinti, jog

ν ε > O 3δ > O: Ix - 2| < δ

Nelygybė χ 2 - 4 < ε ekvivalenti nelygybei 4 - ε < χΔ < 4 + ε .Iš pastaro-

sios, atsižvelgę į tai, kadx>0 (x->2), gauname:

-J A - ε < χ < -JA + ε .

Atėmę iš visų dalių po 2, turime:

л/4 - ε - 2 < χ - 2 < л/4+ ε - 2 . (6)

Kadangi -JA - ε - 2 < 2 - л/4 + ε (tuo įsitikinti nesunku), tai, galiojant

nelygybei

2-л/4 + е < Х - 2 < Л / 4 + Е- 2 , (7)

bus teisinga ir (6) nelygybė. (7) nelygybė ekvivalenti nelygybei

Ix - 2| < л/4 + ε - 2 .

Taigi, paėmę δ = л/ΪΤε - 2 , gausime: |χ-2|<δ => |x2-4| < ε . Tei-

ginys įrodytas. A

Pateiksime kitą funkcijos ribos apibrėžimą, kuris vadinamas Heinės*

ribos apibrėžimu arba apibrėžimu „sekų kalba".

Kaip ir anksčiau, sakykime, kad funkcija f: X -> Y apibrėžta taško a

aplinkoje, galbūt išskyrus patį tašką a.

2 apibrėžimas. Skaičius b vadinamas funkcijos f riba taške a,

jei bet kurią konverguojančią prie a argumento reikšmių seką {x„}

(x„*fl) atitinka konverguojanti prie b funkcijos reikšmių seka

{/(x„)}, kai n-»oo.

χ 2 - 4 < ε .

Л

Heinrichas Eduardas Heinė (H. E. Heine, 1821-1881) - vokiečių matematikas.

Taigi

Iim f (χ) = b <=> У{хп}: xn a , xn φ a => f(xn) -» b . (8)

Įrodysime, kad Koši ir Heinės apibrėžimai ekvivalentus, t. y. kad

(3)<=>(8).

Sakykime, (3) sąryšis teisingas. Turime įrodyti teiginį: (3)=>(8). Jei

xn -» a, tai V5 > O 3N : n > N => \xn - a\ < δ . Kadangi (3) sąryšyje tei-

giama, kad iš nelygybės \x - a\ < δ => |f(x) - b\ < ε , tai iš \xn - a\ < δ

=> Jf(xn) - < ε . Nelygybė \f(xn) - b\ < ε ir reiškia, kad f(xn) -> b.

Išsiaiškinome, kad teisingas (8) sąryšis.

Dabar sakykime, kad (8) sąryšis yra teisingas. Turime įrodyti, kad iš

(8)=>(3). Tarkime priešingai. Vadinasi, taško a δ spindulio aplinkoje

atsiras bent vienas taškas χ ' , su kuriuo iš nelygybės

\x' - α| < δ => I f (x') - b\ > ε ; čia ε > O - tam tikras skaičius.

Sudarykime teigiamų skaičių δ„ seką, konverguojančią prie nulio,

pavyzdžiui, δ„ = —, n e N. Kiekvieną δ = δ „ atitiks x' = x'n, be to, iš n

nelygybės \x'n - a\ < — => \f(x'n) - b\ > ε . Pastaroji nelygybė reiškia, kad

f(x'n) nekonverguoja prie b, o tai prieštarauja (8) sąryšiui. Gautoji prieš-

tara ir įrodo reikiamą teiginį: iš (8)=> (3). •

3.2. Vienpusės funkcijos ribos

Iki šiol nagrinėjome funkcijos ribą taške, kai χ įgyja visas reikšmes iš

taško a δ spindulio aplinkos (išskyrus patį tašką x = a) tiek iš kairės, tiek iš

dešinės to taško pusės.

Jeigu, ieškant ribos, kai x->a, apsiribojama tik χ reikšmėmis, esan-

čiomis į kairę nuo a, tai tokia riba vadinama

funkcijos riba iš kairės ir žymima

Iim / ( * ) = I i m / ( * ) = Z(A-O) = ^ 1 , Λ->α-0

χ <a

o jeigu apsiribojama tik χ reikšmėmis iš

dešinės taško a pusės, tai tokia riba vadi-

nama funkcijos riba iš dešinės ir žymima

Iim f(x) = Iim f(x) = f (a + 0 ) = b2. χ—>α+0 χ—>a

χ >a

Funkcijos ribos iš kairės ir dešinės va-

dinamos vienpusėmis ribomis.

- 2

О

Z = - X 2 - 2

Funkcijos vienpusės ribos pavaiz-

duotos 45 paveiksle. Kai bi=b2,

sakoma, kad funkcija/taške a turi ribą,

o kai b ι ^b2, tai taške a funkcija /r ibos

neturi.

Pavyzdys. Raskime 46 paveiksle

pavaizduotos funkcijos

2 m=· -x~ - 2 , kai χ > O,

1-х, kai χ < O,

vienpuses ribas taške χ = 0.

Sp r end imas .

/ (+0)= Iim (-χ2 -2 ) = -2 , Л-+0

46 pav.

Kadang i / (-0) / / (+0) , tai duotoji funkcija neturi ribos taške χ = 0.

/ ( - 0 ) = Hm ( l -x ) = l . дг->-0

3.3. Funkcijos riba, kai »oo

Panagrinėkime funkciją / ( x ) =2+ -ί . Aišku, kad, didėjant x, trupme-X

nos — reikšmių moduliai mažėja. Taigi, kai χ reikšmės yra didelės, χ 1

funkcijos / reikšmės mažai skiriasi nuo 2. Sakoma, kad / riba lygi 2, kai

χ o o , ir rašoma Iim / ( x ) = Iim 2 + — =2. *->co x->co V X/

Nagrinėkime funkciją/, apibrėžtą visoje skaičių tiesėje.

Apibrėžimas. Skaičius b vadinamas funkcijos f riba, kai χ со, jei

Vs>O 3Μ(ε)>0: |x|>M =>|/(х)-Ь <ε .

Žymima Iim / ( χ ) = b arba /(χ) b, kai χ oo. Čia M = Μ(ε) yra pakan-X—>00

karnai didelis skaičius, priklausantis nuo pasirinktojo ε.

Šio apibrėžimo užrašą x-»oo, suprantame kaip du užrašus: x-»+co

arba χ —> — oo. Jei funkcija yra tokia, kad šiuos atvejus reikia nagrinėti

atskirai, tai rašome:

Iim / (x ) = b arba Iim / ( x ) = b . X->+CO X—>—СО

Funkcijos / riba, kaix->+oo ir kaix-+-oo, apibrėžiama analogiškai,

kaip ir Iim / ( x ) , tik apibrėžimo formuluotėje sąlyga |x I >M pakeičiama

atitinkama sąlyga χ > M arba χ < - M .

Grįžkime prie skyrelio pradžioje nagrinėtos funkcijos ir įrodykime,

kad Iim (2 + - ) = 2 . χ—>co V χ J

Remdamiesi apibrėžimu, sudarome nelygybę

I f ( x ) ~ b \ 2 + - I - 2 χ

= -j-r < ε \x\

Iš jos \x > - . ε

1 Skaičius ε yra kiek norima mažas, o skaičius - - jau didelis, todėl,

ε

parinkę M= — , gausime: ε

Ve > О ЗМ = - > O: \х\> M ε

2 + - I - 2 л:

< ε .

Vadinasi, Iim (2 + - ) = 2 . X—>oo\

Interpretuokime apibrėžimą geometriškai. Kadangi

\x\>M <=> χ e(-co;-M)U(A/; + co) ,

tai su kiekviena χ reikšme iš šių intervalų funkcijos reikšmės skiriasi nuo

ribos kiek norima mažai (47 pav.).

V

\ y=2 + 1 X

2+ε ^ I/—O

2-ε y—Δ

x<-/W x>M

-M \ 0 M X

3.4. Neaprėžtai didėjančios funkcijos

Be išnagrinėtų funkcijos/baigtinės ribos sąvokų, ka ix-»a arbax-»co,

vartojama ir begalinės ribos sąvoka. Pavyzdžiui, funkcija -ί-, apibrėžta su χ

visais ΧΦΟ (48 pav.), įgyja kiek norima dideles reikšmes, kai x-+0. Tuo

atveju sakoma, kad funkcijos riba taške χ = O yra begalinė, ir rašoma

Iim -Kr = oo . x-»0 Xz

1 apibrėžimas. Funkcijos f riba taške a yra begalybė, jeigu

VM > O 3δ = δ(Μ) > О : |χ-α| < δ,χ * α => |/(x)| > M .

Žymima Iim f [χ) = oo, arba /(x) oo , kai χ a .

Jeigu funkcija / (x) -» oo, kai χ -» a, įgydama tik teigiamas arba tik nei-

giamas reikšmes, tai atitinkamai rašome Iim f(x) =+co arba Iim f(x) = x—>a χ—>ct

=—00.

1 pavyzdys. Įrodykime, kad Iim : +00 .

Sp rend imas . Pagal 1 apibrėžimą, kad ir koks didelis būtų skaičius

M > O, turi būti teisinga nelygybė

|/(x)| > M , arba >M .

χ I < -L·= . Pažymėję -L·= raide δ (δ > 0), ЫМ л/м

V M > 0 36 = - p L > 0 : Ixl < δ, χ ^ О => Vm 1 1

ι ι => —y > M , todėl Iim —- = +oo .

χ2 χ^ο χ2

Tai galima interpretuoti geometriškai.

Kadangi |x| < δ <=> -δ < χ < δ , tai su kiek-

viena χ (χ *0 ) reikšme iš šio intervalo

funkcijos reikšmės bus dar didesnės už

skaičių M > O, kad ir kokį didelį jį

pasirinktume (žr. 48 pav.). •

Dar apibrėšime begalinės ribos bega-

lybėje sąvoką, t. y. Iim /(x) = oo .

2 apibrėžimas. Jeigu VM > O 37V>0: |x|>JV => |/ (x)|>M, tai

Iim f(x) = со, arba f (χ) —>co, kai x—>oo. x->co

Atskiru atveju gali būti nagrinėjamos ribos:

Iim f (x ) = +со, Iim /(jc) = +со, X—>+00 X—>-00

Iim / (χ) = -oo, Iim f (χ) = -oo. X—>+00 X—>-00

2 pavyzdys. Iim χ = +со , Iim χ = -oo ir pan. A Χ—>00 X—>—GO

Funkcijos, kurių ribos (tam tikrame taške arba begalybėje) lygios be-

galybei, vadinamos neaprėžtai didėjančiomis.

3.5. Aprėžtosios ir neaprėžtosios funkcijos

1 apibrėžimas. Funkcija f vadinama aprėžta tam tikrame intervale, jeigu

egzistuoja toks skaičius M> O, kad su visomis χ reikšmėmis iš duoto intervalo

teisinga nelygybė |/(x)| ^ M .

Pavyzdžiui, funkcija sinx aprėžta visoje savo apibrėžimo srityje, nes

|sinx|<l , Vx e (-co; + со); č i a M = l .

Dabar, panaudodami bendrąjį funkcijos aprėžtumo apibrėžimą, su-

formuluosime funkcijos aprėžtumo apibrėžimus, kai χ -» a ir χ -> oo.

2 apibrėžimas. Funkcijafvadinama aprėžta, kai χ —> a ,jeigu egzistuoja

tokia taško a aplinka Vs(a)\a, kurioje ta funkcija yra aprėžta.

3 apibrėžimas. Funkcija f vadinama aprėžta, kai χ со, jeigu egzistuoja

toks skaičius N> O, kad su visomis χ reikšmėmis, tinkančiomis nelygybei

|x I >N, funkcija f yra aprėžta.

Kai funkcija / yra aprėžta, tai teisinga nelygybė l / (x) I <M arba jai

ekvivalenčios n e l y g y b ė s - M < f ( x ) < M . N e l y g y b ė A < f ( x ) < B , k a i A ir

B - bet kokie realieji skaičiai, irgi yra

funkcijos aprėžtumo sąlyga.

Pavyzdžiui, funkcija — i — 1 + χ

(49 pav.) yra aprėžta visoje savo

apibrėžimo srityje, nes

1 0 < - <1 .

1 + χ-

o funkcija 21//x (50 pav.) yra aprėžta

iš viršaus skaičiumi 1, kai x—>-oo;

skaičiumi 1 ji aprėžta ir iš apačios,

kai x-> +со; taip pat galima tvir-

tinti, kad funkcija yra aprėžta

iš apačios skaičiumi O visoje apibrė-

žimo srityje.

Iš ribų Iim /(x) = со arba χ—>a

Iim /(x) = со apibrėžimo išplau-

X—><x> kia, kad funkcija yra neaprėžta, kai

ji neaprėžtai didėja. Atvirkščias

teiginys ne visada teisingas: neap-

rėžta funkcija gali ir nebūti

neaprėžtai didėjanti.

Pavyzdžiui, funkcija χ sinx yra neaprėžta, kai x->co, nes VA/> O

galima rasti tokias χ reikšmes, su kuriomis |xsinx|>M (51 pav.). Bet ši

funkcija nėra neaprėžtai didėjanti, nes taškuose χ = O, ±π, ±2π, ... ji lygi

nuliui.

/ = x sin χ

50 pav.

51 pav.

1 teorema. Jeigu funkcija tun baigtinę ribą b taške χ = a, tai ji yra

aprėžta, kai χ —» a.

Į rodymas . Kadangi pagal ribos apibrėžimą

Iim f(x) = b <=> ν ε > O 35 > 0 : O < |x - α| < δ => I f (χ) - b\ < ε , л:~>a

\f(x)\ = I f(x) -b + b\a. •

2 teorema. Jei Iim f (χ) = /?#(), tai funkcija yra aprėžta, kai f(x) x—>a

χ—>a.

Į r odymas . Kadangi Iim /(x) = b , tai teigiamą skaičių ε= | b | atitin-x—>a

ka tokia taško a aplinka F8 (a)\ a, kurioje

ι / ы _ й | < 1 = М . 1 2 2

Tuomet

\f(x)\ = \b-(b-f(x))\>\b\-\b-f(x)\>\b\-^ = ^>0,kaixeV5(a)\a .

Vadinasi, 2

/ W " H

O tai ir reiškia, kad funkcija ~~~~ yra aprėžta, kaix->a . •

/ W

3.6. Nykstamosios funkcijos

Apibrėžimas. Funkcija a(x) vadinama nykstamąja, kai x^>a (arba kai

χ—» oo), jeigu jos riba lygi nuliui.

Taigi funkcija a(x) nyksta, kaix—>a, jeigu

\/ε > O 3δ > O : О < \x - a\ < δ => |α(χ)| < ε ,

ir nyksta, kai χ oo, jeigu

ν ε > 0 ЗМ > О : \х\> M => |α(χ)|<ε .

Pavyzdžiui, funkcija sinx nyksta, kai χ О, о funkcija — - kai χ—>οο.

χ

Analogiškai seka {α„ } yra nykstamoji, jei a„ -> O .

Suformuluosime svarbią teoremą, susiejančią funkciją, jos ribą ir nyks-

tamąją funkciją.

Teorema. Funkcija f(x) taške a turi baigtinę ribą b tada ir tik tada, kai ji

išreiškiama suma b + a(x), kurioje a(x) yra nykstamoji funkcija, kai x—>a.

Trumpai tariant, funkcija skiriasi nuo savo ribos nykstamąja funkcija, pa-

našiai kaip kintamasis dydis - nykstamuoju dydžiu. Į rodymas . Būtinumas. Tarkime, kad Iim /(x) = b . Tuomet \/ε > O

X -»ū

atitinka tokia taško a δ spindulio aplinka Vs(a)\a, kurios taškuose teisinga

nelygybė | / (x )-b|<E . Pažymėkime: a(x) = f(x) - b. Tuomet /(x) =

= b + α (χ) , be to, |α(χ)| < ε , todėl Iim a(x) = O .

Pakankamumas. Jeigu f (χ) = b + a(x) ir Iim α (χ) = O, tai Ve>Oati-χ—>a

tinka tokia taško a δ spindulio aplinka V6(a)\a, kurios taškuose I a(x) \ <s.

Tada ir f(x)-b <ε . Vadinasi, Iim f(x) = b . Teorema įrodyta. • 1 1 x^ya

3.7. Nykstamųjų funkcijų savybės

Įrodysime keletą nykstamųjų funkcijų savybių, kurias nesunkiai galė-

tume pritaikyti nykstamiesiems kintamiesiems dydžiams. Savybes įrody-

sime, kai χ-+a, tačiau jos bus teisingos ir kaix->oo.

1 teorema. Baigtinio skaičiaus nykstamųjų funkcijų suma yra nykstamoji

funkcija.

Į rodymas . Tarkime, kad sumą sudaro dvi nykstamosios funkcijos

a(jt) ir β(χ), kai х->я. Kadangi Iim a(x) = 0 ir Iim β(χ) = 0 , tai x->a χ—>u

Ve > 0 35] > 0 : 0<|χ-α|<δ 1 => Į c x ( j c )|< ,

Vs > 0 3δ2 > 0 : 0<|л:-а|<δ2 => |β(*)|<^ ·

Pasirinkime δ = min(5j, δ 2 ) , t. y. mažesniąją iš dviejų taško a

aplinkų. Pasirinktoje aplinkoje F8(a)\a kartu bus teisingos abi nelygybės:

|α(*)|<·| ir |β(χ)|<- - . Tuomet, remdamiesi modulio savybėmis, galėsime

parašyti:

|α(*) + β ( φ | α ( φ | β ( * ) | < | + | = ε ,

todėl

l im(a(*) + p(jt)) = 0 . x->a

Pritaikę matematinės indukcijos metodą, teoremą galėtume apibend-

rinti, kai nykstamų dėmenų skaičius yra bet koks baigtinis. •

2 teorema. Aprėžtosios ir nykstamosios funkcijų sandauga yra

nykstamoji funkcija.

Į r odymas . Tikrai, jei funkcija/(x) aprėžta, kaix-+a, tai

3 M > 0 3 5 j > 0 : 0 < Įjc - α| < S1 => \f(x)\<M,

o jei a(x) nyksta, kaix-»a, tai

Vs > 0 3δ2 > 0 : 0 < \x - a\ < δ 2 => Įot(x)| < — .

Parinkę 6 = min(6 b δ2), sužinotume, kad aplinkoje Vs(a)\a kartu bus

teisingos abi nelygybės: |/(jc)| < M ir jtx(jc)| < — . Tuomet

|/(χ)·α(χ)| = |/(χ)|·|α(χ)|<Μ.^ = ε ,

todėl

1ίπι(/(χ)·α(χ)) = 0 . • jt->a

Iš šios teoremos tiesiogiai išplaukia tokios išvados.

1 išvada. Dviejų nykstamųjų funkcijų sandauga yra nykstamoji funkcija.

Tikrai, nes sąlyga |α(χ)| < ε reiškia, kad bet kuri iš šių funkcijų yra

aprėžta.

2 išvada. Konstantos ir nykstamosios funkcijos sandauga yra nykstamoji

funkcija.

3 teorema. Jei funkcija a(x) nyksta, kai x->a ir Iim f(x) = b*O, tai

CL\X) funkcija —f nyksta, k a i a .

/W Į rodymas . Kadangi Iim f(x) = b tai pagal 3.5 skyrelio 2 teoremą

x—ya

„ , .. 1 ГГ, « ( * ) , - .V lunkcija —r— yra aprėžta. Tuomet . : yra nykstamosios ir aprėžtosios

/W fix)

Cti JC) funkcijų sandauga. Vadinasi, funkcija , . yra nykstamoji. •

/ W

Nykstamąsias ir neaprėžtai didėjančias funkcijas sieja gana paprastas

ryšys, nusakomas šia teorema.

4 teorema. Jei funkcija f(x) neaprėžtai didėja, kai χ-»й, tai funkcija

a(x ) = j nyksta, kai χ—> a .

Ax)

Į rodymas . Kadangi l im/(jc) = oo, tai kiek norima mažą skaičių X-Mi

ε > 0 atitinka tokia taško a δ spindulio aplinka Κδ(α)\α, kurios taškuose

|/(jc)| > — = M ; čia M>O - jau didelis skaičius. Tuomet |a(x)|= < ε

tuose pačiuose taškuose. Vadinasi, l ima(x) = 0. • jt->a

Pavyzdžiui, — O, kai χ -> oo. JC

Panašiai įrodomas ir atvirkščias teiginys: jei funkcija a(x) nyksta, kai

χ a, tai funkcija — — neaprėžtai didėja, kai χ -> a . Analogiškai įro-a(x)

doma, kad 4 teorema teisinga ir tada, kai χ -» oo.

Ši teorema įteisina tokius simbolinius užrašus, naudojamus skai-

čiuojant ribas:

C C C C C C = + 0 0 , = - O O , = + 0 , = - 0 , — = 0 , — = 0 0 ,

+0 -O +00 -oo oo O

čia c> O, c=const.

3.8. Ribų dėsniai

Šiame skyrelyje suformuluoti dėsniai tinka ir kintamiesiems dydžiams,

ir funkcijoms. Kai kurie jų jau įrodyti I I I skyriaus 2.3 skyrelyje, kitus

įrodysime dabar. Įrodinėdami tarsime, kad χ -> a, tačiau žinoma, jog visi

teiginiai yra teisingi ir tada, kai χ -> oo.

1 teorema. Jeifunkcija kuriame nors taške turi ribą, tai tik vieną.

Įrodoma analogiškai, kaip ir 2.3 skyrelio 1 teorema. •

2 teorema. Jei dvi funkcijos f ir g tenkina nelygybę f(x) > g(x), kai

χ-+a ,ir abi turi baigtines ribas, tai Iim f(x) > Iim .

Įrodoma analogiškai, kaip ir 2.3 skyrelio 3 teorema. •

3 teorema. Jei dvi funkcijos f ir g turi baigtines ribas Iim f(x) = A , χ—

Iim g(x) = B (A, B eR), tai:

1) Iim ( / (* ) + *(*)) = Λ + Я ; χ -иг

2) Iim cf[x) = сА, C=Const; аг->а

3) Iim (f{x)-g{xj) = AB ; χ-иг

4) I i m 4 4 = " , · х^а В

Į r odymas . 1) Remdamiesi teorema, siejančia funkciją ir jos ribą,

gauname lygybes

f(x)=A+a(x),

g(x) = B+p(x)·,

čia α (χ) ir β (χ) nyksta, kai χ -» a . Tada

f(x)+g(x) = A+B+(a(x)+P(x)).

Kadangi dviejų nykstamųjų funkcijų suma α ( r ) + β ) yra nykstamoji

funkcija, tai pagal tą pačią teoremą

l im(/(x) + g(x)) = 4 + 5 .

2) ir 3) sąryšiai įrodomi analogiškai.

4) Remdamiesi vėl ta pačia funkcijos ir jos ribos sąryšio teorema,

gauname:

f (x)=A + a Qc), g(x) = B + p(x)·,

čia α Qc) ir β Qc) nyksta, kai χ -+ a . Pertvarkykime:

f(x) _ A + a(x) _ A A + a(x) A _

g(x) ~ B + β(χ) ~ B Β+β(χ) B

_A | Βα(χ)-Αβ(χ) _Ą |

B β (β + β(χ)) в ' '

Dydžiai Ba(x) ir A[i(x) yra konstantų ir nykstamųjų funkcijų san-

daugos, todėl jie nyksta, taigi nyksta ir jų skirtumas Ba(x) -Αβ(χ). Trup-

mena γ(χ) (pagal 3.7 skyrelio 3 teoremą) yra nykstamoji funkcija, nes jos

O skaitiklis nyksta, o vardiklis turi ribą B Φ O , kai χ -+ a . Todėl

x->a g(x) B

Remdamiesi šiais dėsniais ir nykstamųjų funkcijų savybėmis, apskai-

čiuojame ribas.

5x2 - Ix + 4 7 4

5x2-7x + 4 2 ^ Pavyzdys. Iim —5 = Iim — ^ j l = Iim f—^ r - =

*->«> 2 x + 8x - 3 χ—>«> 2x + Sx — 3 -^co-i , 1 _ „ z + 2

X 2

I i m i 7 4

5 + X->00 V X X2 J 5 1 A · ' A 1 •

= 7 r- = — , nes » O ir — O , kai χ -» 00. 4*

Iim 2 ^ - Λ 2 * X->goV χ χ )

P (x) Apskritai, apskaičiuodami ribas Iim — (Pn(x), Qm (x) ~ daugia-

x^Qm{x)

nariai), skaitiklį ir vardiklį dalijame iš xk ; čia k = max{n, m }. Štai

X3 -4x2 + Ix - Ъ ,. x 3 -4x 2 +7x-3 ,. x3

hm r = Iim r— χ-*°ο χ +2x-l l χ + 2x -11

3 χ

4 2 L 3 1 1 1

= Iim — r ^ — — - p — = 00, nes >0, -» O , —^ -+ O , kai x->°o 1 2 11 x X

J

+ 2 3 X X X

c χ —> 00. Taigi galiausiai gauname reiškinį — = 00 .

Apskaičiuokime dar vieną ribą:

x + 2 1 2 + -

Iim 2 X + 2 - Iim . x = Iim x , x

Ί = O , .v->oo χ ~4χ + η χ >co χ - 4χ + 7 χ >co j _ Z +

χ2 * ^2

nes — O , -į--> O, kai χ-><x>.

3.9. Neapibrėžtieji reiškiniai

Į Išnagrinėjome reiškinių f+g, fg, — ribas, kai funkcijos f ir g turėjo

g

baigtines ribas (dalmenyje vardiklio g riba negalėjo būti lygi nuliui). Dabar

panagrinėkime, kokios gali būti šių reiškinių ribos, kai / ir g ribos yra

begalinės arba g riba lygi nuliui. Dažnai pasitaiko vadinamieji keturių tipų

neapibrėžtumai.

f(x] 1. Nagrinėkime santykį ——-

g(x)

arba — I ir tarkime, kad abi

Уп

funkcijos

f(x) ir g(x) (arba Jtn ir yn) kartu artėja prie nulio, kai jt-»α arbax->oo.

Nors funkcijų f(x) ir g(x) ribos žinomos, apie jų santykio ribą nieko

bendra pasakyti negalima. Si riba priklausomai nuo abiejų funkcijų kitimo

dėsnio gali turėti įvairias reikšmes arba net visai neegzistuoti. Tai bus aišku

iš šių pavyzdžių:

1) Tarkime, kad f(x) = - ί , g(x) = —. Kai χ -»oo, tai f(x) -» O , X X

, . f(x) 1 g(x) g[x) -> O ir Iim ^ = hm — = O, o hm v = Iim χ = oo .

X->co д х ) X—>°o X X—/W Л'->00

2 3 2) Dabar tarkime, kad f(x) = —, o g(x) = —. Kai χ oo, tai

χ χ

fix) 2 /(χ) —> O ir g(x) O. Tuomet Iim = - .

Jt->oo g(x) 3

3) Pagaliau imkime dvi natūraliojo argumento funkcijas x„ = -—-— n

I X n+1 ir yn = — (abiejų ribos lygios nuliui). Jų santykis — = (-1)" visai neturi

л Уп

ribos.

Taigi nors visų pavyzdžių skaitiklio ir vardiklio ribos lygios nuliui,

tačiau santykio ribos yra skirtingos ir betarpiškai priklauso nuo pačių

funkcijų pobūdžio. Sakome, kad reiškinys —, kai f -> O ir g O , yra 8

neapibrėžtumas ^ .

f(x] f χ ) 2. Panaši padėtis susidaro ir nagrinėjant santykį ; ' arba — ,

8{x) \ ynJ

kurio f ( x ) i r g (x ) (arbax„ iry„) neaprėžtai didėja. Šio santykio riba gali

būti ir baigtinė, ir begalinė, ir iš viso gali neegzistuoti. Pailiustruosime

pavyzdžiais. j j

1) Tarkime, /(x) = — , g(x) = —— . Kai x—>0, tai / ( * ) - • °°, χ χ

/ ( * ) §[*) 1 g(x) —> oo, o Iim —7—f = Iim χ = O, Iim -)—!- = Iim — = со.

м о д х ) x->0 f [Χ) x->OX

2) Dabar tarkime, kad f(x) = 2x, g(x) =x. Kai со , tai f(x)->со ir

g(x)->oo,o Iim 4 4 = 2 . i^m g(x)

3) Pagaliau sakykime, kad xn = (2 + (-l)"+1 j · n , yn = n. Tada x„-> 00,

y„—> со, kai n-> 00, o santykis — = 2 + (-l)"+1 visai neturi ribos. Уп

f 00 Reiškinys —, kurio/-» 00 ir g -»00, vadinamas neapibrėžtumu — .

8 00

3. Toliau nagrinėkime dviejų funkcijų sandaugą f{x)g(x) (arba xn 'У n)· Jei f ( x ) (arba x„)->0, o g(x)(arba y„)-»co, gauname neapi-

brėžtumą O · со . Pailiustruosime pavyzdžiais.

1) Kai χ ->oo, tai f(x) = ——>0, g(x) = χ ->oo, of(x)-g(x)= — ->0 . X2 X

2) Kaix-»0, ta i / (x) =x-+0,g(x) = - I r-* 0 0 , of(x)-g(x)= — -»oo. X X

3) Ka i*-» O, ta i / (x) =2 r-»0 ,g (x ) = -—>00, o Iim f(x)-g(x) = 2. χ x->0

(-l)"+l

4) Tarkime, xn = -—-— , yn = n. Tada, kai n 00, xn —> O, y„ -> 00, o и

sandauga x„ -y„ =(-l )"+ 1 ribos neturi.

4. Pagaliau išnagrinėkime sumą f(x)+g(x) (arba xn+y„), kurios

dėmuo / ( * )-> 00, o g (χ) —>-oo. Turime neapibrėžtumą 00-00. Įvairias

pasitaikančias galimybes pailiustruosime pavyzdžiais. Kaix->+00, tai:

1) f (χ) = 2x +CO , g(x) = -χ -CO, O f [χ) + g(x) = χ +00;

2) /(χ) = χ +со , g(x) = -2χ -> -co , ο /(χ) + g(x) = -χ -oo ;

3) / ( * ) = χ - 3 +oo, g(x) = -χ -» -oo, Iim (f (χ) + g(x)) = -3 .

4) Tarkime, kad χη=η + [-1)", yn=-n. Tada, kai и-» oo,

+oo , y n -со , о хп + у„ = (-1)" ribos neturi.

Taigi, net žinodami funkcijų / ir g ribas, ne visada galime nustatyti iš

šių funkcijų sudarytų aritmetinių reiškinių ribas. To padaryti neįmanoma,

kai pasitaiko keturių tipų neapibrėžtumai:

O CO — , , 0-OO, 00 — 00. O OO

3.10. Funkcijos ribos egzistavimo požymiai

Suformuluosime teoremą apie monotoninės funkcijos f: X -+Y ri-

bos egzistavimą, analogišką šio skyriaus 2.4 skyrelio 1 teoremai.

Sakykime, kad a - aibės Xribinis taškas, be to, χ <a.

1 teorema. Monotoniškai didėjanti (mažėjanti) ir aprėžta iš viršaus (iš

apačios) aibėje X funkcija turi baigtinę ribą, kai x-»a. Priešingu atveju ji

artėja prie +oo.

Į r odymas . Tarkime, kai x-»a, funkcija / didėja ir yra aprėžta iš

viršaus. Kadangi tokios funkcijos reikšmių aibė {/(x)} aprėžta, tai egzis-

tuoja sup {f(x)}=b, be to, / (x) 0; tuomet b - ε nėra aibės f(x) viršutinis rėžis. Vadinasi,

yra toks taškas χ ' , kuriame / (x ' ) > b - ε . Funkcija yra didėjanti, todėl iš

sąlygos χ > χ' => /(χ) > / ( x ' ) , taigi f(x)>b-e. Iš čia b-f(x)<e.

Kadangi / (x) |<ε, kai x'<x<a, o tai reiškia, kad Iim f(x) = b. Šį kartą

χ—>a

pakanka parinkti δ=α - χ ' , tuomet iš sąlygos χ' <χ turime a-x<8.

Kai funkcija yra neaprėžta iš viršaus, tai VM atitinka χ ' , su kuriuo

f(x') > M . Iš sąlygos χ > x' => / (x) > M , todėl Iim / (x) = +oo .

x—>a

Teorema teisinga ir tada, kai χ a , bet χ >a. •

Suformuluosime teoremą, analogišką šio skyriaus 2.4 skyrelio 2 teore-

mai, kurią pavadinome „dviejų policininkų" teorema.

2 teorema (tarpinės funkcijos ribos teorema). Jei funkcijų u, z ir v

reikšmės tenkina nelygybes ii[x) < z(x) < v(x) ir Iim u(x) = Iim v(x) =b,

tai ir Iim z(x) = b. χ—>a

Į r o d y m a s . Iš nelygybių u < z < v išplaukia nelygybės u-b < z-b<

<v-b. Kadangi Wmu=b\x Wmv = b, tai x-кг x->a

Vs > O 3 δ ! > 0 : 0<|χ-α|<δ 1 => \u-b\<s,

Vs > O 3δ2 > O : O < |x - д| < δ 2 => |ν - b\ < ε

Parinkime δ = m i n ^ į , δ 2 ) , t. y. aplinką К8(а)\я. Joje kartu galios abi

nelygybės \u - b\ < ε ir |v - b\ < s arba joms ekvivalenčios nelygybės

-£<u-b < ε ir -ε < v - b < ε .

Parašę nelygybių grandinėlę - z < u - b < z-b < v-b < ε , gauname

nelygybę -ε < z - b < ε , teisingą aplinkoje V&(a)\a. Vadinasi, Iim z = b.

Šią teoremą pritaikysime įrodydami dvi nuostabias ribas:

\ χ

I i m = I i r Iim Į 1 + —I = χ-»0 X x->±ooV X

e.

3.11. Riba Hm — ^ O д;

Apskaičiuodami šią ribą, susiduriame su neapibrėžtumu — . Pirmiau-0

sia įrodysime papildomą nelygybę

sinx < χ < tgx , kai 0 < χ < — .

Nagrinėkime apskritimą, kurio spindulys

/ ? = ! (52 pav.). Centrinį kampą AOC pa-

0 < χ < —. Aišku, 2

kad žymėkime x,

QAOAC < & P j . 0 4 C < QAOAB ; čia simboliu Q

pažymėtas atitinkamos figūros plotas. Kadangi

QAOAC = - ° A C D = - 1 sinx, 2 2

Qispj.OAC =J-OC2-X= J-I-X, Qaqab = J-OA-AB = j-l-tgx, tai

gauname

1 . 1 1 — sinx < — χ < — tgx , 2 2 2

arba

sinx < χ < tgx .

Padaliję visus narius iš teigiamo dydžio sinx, gausime

1 * 1

1< < . s m x COSX

Tuomet cosx < < 1, nes sinx > O, cosx > O, kai О < χ < —. Pertvarkę χ 2

šią nelygybę, turime:

„ 1 sinx . _ . 2 χ O < I — < 1 - cos χ = 2 sm —

9 X Kadangi sin — <

is cia

. χ sin—

2

χ <J—1 , tai

2

n 1 s m x I l O < 1 < χ ;

1 I l s i n * 1 l - x < < 1.

χ

Bet Iim (l-|x|) = 1, I i m l = I , todėl pagal tarpinės funkcijos ribos x->+Ov ' χ—>+0

.. sinx . π . .( χ sin(-x) sinx teoremą ir hm = 1. Kai — < χ < О, tai / (-χ) = — 1 — - = , ο

χ->+0 χ 2 - X X

tai reiškia, kad su neigiamomis χ reikšmėmis riba yra ta pati:

.. sinx Iim = 1 .

χ—»-0 X

Sujungę abu atvejus, gauname:

,. sin χ . hm = 1 . x->0 χ

sin χ Funkcijos grafikas pavaizduotas 53 paveiksle. Iš jo matyti, kad

χ

,. sinx hm = O .

X-»co X

53 pav.

Išspręskime keletą pavyzdžių.

. ч ,. sin Зх 1) hm = hm

sin3x

Ъх •Зх

х-»0 sin7x х->0 sin7x

Ix •Ίχ

.. Зх = Iim —

jc—>0 Ix

2) Iim -— C ° S X = Iim J C - > 0 χ Δ J C - > 0

2 s i n 2 -

2 ^ = I i m f 2 *->0 2

\ 2

sin

X

2 /

tgx ,. sinx ,. sinx ,. 1 3) Iim - 5 - = Iim = Iim Iim

X - > 0 X * - > ( ) X C O S X X - » 0 X J C - > 0 C O S X

: 1 .

3.12. Riba Iim (l + i Y , х еД χ ±00 V XJ

Įrodysime, kad ši riba lygi skaičiui c, turėdami galvoje, kad

( Л" e= Iim 1 + — , neN. Išnagrinėsime atskirai šią ribą, kaix->+oo irx->- oo.

n - > ooV nJ

l)x->+oo.

Kadangi kiekvienas realusis skaičius χ yra tarp dviejų gretimų natū-

1 1 1 raliųjų skaičių и ir л +1, tai п<х<п+1, < — < — . Pridėję prie visų

n +1 χ n

nelygybės narių po 1 ir pakėlę atitinkamais laipsniais, turėsime:

J s » / л Л /· + l

1 + 1 < 11 + — I <11 + n +1

Apskaičiuokime ribas:

Iim f l + —j = Iim ( l + —) · Iim f l + —) = e> n e s H m f l + A j = 1 . 72—>00 V П Л-> OOV n/ OOV n

n+l

Iim f l + —-—I = I i m f l + 1

n—>oo V n + 1/ л->oo V n + 1/ AI—>00 \ Π + 1 • Iim 1 +

1 -1

= e , nes

-i

Iim 1 + — =1 .

/I —>co V л + 1/

Todėl, remdamiesi tarpinės funkcijos ribos teorema, gauname:

( iY Iim 1 + — = e . X->+00 v χ J

2)x->-co.

Iim 1 + A = Hm X—>-00 V XJ X—>+00 V χJ χ->+oo V χ J хн

Iim

X—>+oo V X - B

X-I = Iim f l + — l l = Iim f l + — 1 = Iim f l + — X—>+OOV X- I J X—>+oo V X-W X—>+GO V X-I

1 χ Iim ( l + ——] =e , nes Iim ( l +

X->+oo V X-IJ х->+oo V X-I = 1 .

Vadinasi, Iim 1 + — I = e . X—>oo V XJ

Funkcijos 11 + —J grafikas pavaizduotas 54 paveiksle.

У'

1

- 1 O

54 pav.

X

1 išvada. I i m f l + z)2 = e . z->0 '

Tikrai, jei pažymėtume dydį

1 raide χ, tai χ oo, kai z O ir

z

tuomet gautume

Lim f 1 + — ] = e. X—>00 V XJ

2 išvada. Sakykime, kad

z = a(x) ir Iim a (x ) = O . Tada

Iim (l + а ( х ) ) а И = Iim (l + z)2 = e . χ—>я z->0

Remdamiesi šiomis ribomis, įrodysime, kad:

log„(l + x) 1) Iim — L = \ogae ;

x->Q X

ax -1 2) Iim = 1пй .

x->0 X

1) Tikrai* Iim ^ += J jm I o g J l + x)7 = Ioga Iim (l + x) 7 =

.*->0 χ x—>0 -

= Iogfl e .

Atskiru atveju, kai a = e, gauname:

*->0

ln(l + x) = 1 Iim x->0 χ

2) Pažymėkime OX-I = U, a* = u + l. Kaix->0, tai 0. Apskaičiuo-

jame ribą:

u 1 1 Iim -. r = — , , — M^O Iogfl (u +1) Iogfl (u + 1) Iogfl e

u-> O U

Ina .

Atskiru atveju, kai a =e, gauname:

e x - 1 Iim - = 1 . *->o χ

Pavyzdys. Iim f ———j χ->oo V2x + 3 J

At l . ч A t i 5 ,. (2х + Ъ-2\ 5

= hm χ->οο ν 2χ + 3

= Iim 1 + -- 2 ^

2χ + 3

. -2 3χ-2 2 ι· "χ 2χ±ΐλ ШЗ 5 -1 Iim " T l , m r i

3-1 χ ^ χ~*οο2+—

= e

-11 -1 5 2 5

•e =e

Čia sukeisti vietomis ribos ir logaritmo simboliai. Kad taip galima daryti, įrodysime

vėliau, kalbėdami apie elementariųjų funkcijų tolydumą.

3.13. Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios

nykstamosios funkcijos

Sakykime, kad funkcijos α ir β nyksta, kai x->a (arba x-»co), t. y.

Iim a(x) = O ir Iim β(χ) = O. Tokias funkcijas palyginame, atsižvelgdami į χ->a χ ->a

a(x ) jų santykio ribą hm , jei ta riba egzistuoja.

x->a β(χ)

1 apibrėžimas. Jei santykio riba, kai Χ —» a, yra Iim = ЬФ O, β(χ) x->a β(χ)

tai α ir β vadinamos tos pačios eilės nykstamosiomis funkcijomis.

1 pavyzdys. Kai α(χ)=2κ3 ir β(χ)=5χ3 yra tos pačios eilės

nykstamosios funkcijos, nes

r a W 2 Π ж hm —)-f = — Φ O . •

x->0 β(χ) 5

Ctl X) 2 apibrėžimas. Jei Iim ' =0, tai a vadinama aukštesnės eilės negu β

Х->Я β(χ)

nykstamąja funkcija. Žymime α(χ)=ο(β(χ)).

1 3 2 pavyzdys. Kai χ-wo, a(x) = j ir β(χ) = — — nyksta.

1 + χ 1 + χ

Apskaičiuojame:

J _ I

l i m 4 4 = Iim = - I i m ^ f = O . 3 X-»00 . 1

1 2 X

, : = lim η -γ->β(χ) Χ—>α> M 4· X I •

Taigi j = o Į J , kai jc —> oo. •

Vadinasi, kaix-»co, α yra aukštesnės eilės nykstamoji funkcija negu β.

l + x2 Vl + x^

3 apibrėžimas. Jei a(x) ir (β(χ)/ (k>0), kai x^a, yra tos pačios eilės

nykstamosios funkcijos, tai a vadinama k-tosios eilės nykstamąja funkcija,

lyginant su β.

4 apibrėžimas. Dvi nykstamosios funkcijos a ir β, kai x—>a (x —>со),

ct(x I vadinamos ekvivalenčiomis, jei lim — ~ =1. Žymime a(x)~β(χ), kai x—>a

x-»a β(χ)

(χ со).

Išvardysime keletą ekvivalenčių nykstamųjų funkcijų,

sinjt 1) Kadangi lim = 1, tai sinx~x , kai χ O .

x->0 χ

2) Kadangi Iim = 1, tai tgx ~x , kai χ -> O . χ~»0 χ

3) Įrodykime, kad

arcsinx . Iim = 1 .

x->0 χ

Pažymėję arcsinx raide y, turėsime: x= siny ir y->0, kai x->0.

Tuomet ,. arcsinx У Λ ι· sin.F i Iim = hm —— = I , nes hm = I . x-»0 χ y->O siny >>->0 y

Vadinasi, arcsinx ~x , kai χ O .

4) Analogiškai įrodytume, kad

I i m ^ = I . x - > 0 X

Todėl arctgx ~x , kai χ -> 0 .

5) Kadangi

1 - cosx I Iim =— = —

x - > 0 X 2 2

(žr. šio skyriaus 3.11 skyrelio 2 pavyzdį), tai

l-cosx~ , kaix—>0. 2

Šio skyriaus 3.12 skyrelyje įrodėme, kad

г Ч 1 + *) i · ,· hm — - = 1 ir Iir Iim —-—— = 1 ir Iim = 1 . χ—»0 χ x->0 X

Iš to gauname dar du sąryšius.

6) In ( l+x)~x, kaix-»0 .

7) έ - l ~ x , kaix->0 .

3.14. Ekvivalenčių nykstamųjų funkcijų naudojimas

apskaičiuojant ribas

Įrodysime teoremą, kuria remsimės apskaičiuodami ribas.

Teorema. Dviejų nykstamųjų funkcijų santykio riba nepasikeičia pakei-

tus tas funkcijas joms ekvivalenčiomis funkcijomis.

Į rodymas . Tarkime, kad a ~ a b β ~ βι, kaix—

Iim —7"-τ = 1, H m 4 4 = l · Х->Й 0 l ] ( x ) χ~+αβ\(χ)

Apskaičiuojame:

Iim — χ-»α β χ—>ΰ P1 CC1 β χ->« Pj χ-»α a j х-»я β Iim — = Iim · — · — = Iim — · Iim — · Hm A

Kadangi lim — = 1, lim — = 1, tai galutinai lim — = lim — . X-^aa j χ->β β х-*а β x->a β!

. - ,. sin Зх ,. Зх 3 1 pavyzdys, lim = lim — = — . •

х-»0 sin8x х->0 8х 8

. , .. sin4x .. 4х 4 2 pavyzdys, lim = lim — = — . •

х->0 tg5x χ—>0 5х 5

πχ ·ίπ π ) π π cos smIJ-JxJ V - T j c

3 pavyzdys. Iim — = lim = lim — — = — χ->1 1-х х->1 1-х χ->ι 1-х 2

π

. .. Incosx ,. ln(l + cosx-l) ,. cosx-1 4 pavyzdys. Iim -— = lim — = lim —

X->0 X2 χ—>0 X2 χ-»0 X2

ι 2 * 1

= Iim — 2 — = —- . • χ-»0 X2 2

5 pavyzdys. Iim I tg— toS2

I χ \ cos Sp r end imas . Pažymėkime: lim tg— 2 =A. Išlogaritmavę šį reiš-

X—>πν 4J

kinį ir sukeitę logaritmo bei ribos simbolius vietomis, gauname:

1пЛ = In lim Į tg j c°s 2 = lim In Į t g ^ p " ' 2 = l i m — — In Į tg :

" " χ-»π x

cos-

ln^l + t g ^ - l j t g į - 1 t g ^ - t g ^

= lim 7 r— = lim — = lim — -χ—>π . f π χ I χ —>TT π x χ->π π x

sin V2 2) 2 2 2 2

. χ π sin

V 4 4/ (χ πλ 1

χ π V4 47 2 π

cos — cos — cos —

= lim 4 4_ = l i m 4. = T o d ė l A = e-1 = I

χ-»π x-*ic _ e

2 2 2 2

Palyginkime 5-ojo pavyzdžio ir 3.12 skyrelio pavyzdžio rezultatus.

Abiejuose pagrindai artėja prie 1 ( g į U l , kai X—»00,

χ Ϊ f 3x - 2 tg— —> 1, kai χ —> TiJ , o laipsnio rodikliai - prie oo — » oo , kai x->oo;

1 π >oo, kaix->7t, nes cos— = .0 . Tačiau atsakymus gavome skirtingus:

cos — 2

1 e ir — . Sakome, kad susidūrėme su neapibrėžtumu Icc.

e

Tokių laipsninių neapibrėžtumų yra dar du: O0 ir oo°. Visi šie trys

neapibrėžtumai: 1°°, O0 ir oo°- atsiranda apskaičiuojant uv ribą, kai u -»1,

v—»oo; u —> O, v->0; и-+со, v->0. Įsitikinsime tuo. Pažymėkime: uv = A .

Išlogaritmavę šią lygybę, gauname:

InA = vInii .

1) Kai u -» 1, v oo, tai v In u yra neapibrėžtumas oo · O, nes In »-> O ;

2) kai u —> O, v —» O, tai v In u yra neapibrėžtumas O • oo, nes In u —» - со;

3) kai u oo, v O, tai v In u yra neapibrėžtumas O · oo, nes In u -> oo.

Kadangi visais trimis atvejais gavome neapibrėžtumą O -oo, tai jis

generuoja ir kitus tris neapibrėžtumus : Icc, O0 ir oo°.

3.15. Funkcijos Koši kriterijus

Suformuluosime dar vieną funkcijos / : X—>Y ribos egzis-

tavimo požymį, analogišką sekų Koši kriterijui (žr. šio skyriaus

2.8 skyrelio 3 teoremą). Įrodysime, kad jis teisingas, ka ix-»a

(jis teisingas ir tada, kaix-»oo).

Teorema. Funkcija f turi baigtinę ribą taške a tada ir tik tada, kai

\/ε > O 3δ > 0: |x' -a\ < δ л Įx" -α| <Ъ,х ' Φ α, χ" φ α =>

^ | / ( χ ' ) - / ( χ " ) | < ε . ( 9 )

Į rodymas . Būtinumas. Tarkime, kad egzistuoja baigtinė riba

Iim / (x) = b . Pagal ribos apibrėžimą дс-»я

Iim /(χ) = b <=> Ve > O 3δ > 0:|χ-α| < δ , χ Φ α => |/(χ) -b\ < — . x-ya 2

Vadinasi, jei tik |χ'-α|<δ ir |χ"-α|<δ, χ 'Φα , χ" Φ α , tai teisingos

nelygybės |/(x')-b\<— ir |/(x")-b\< —. Tuomet

<\f(x')-b\ + \f(x")-b\<^ + ^<e . ε ε —+ —

2 2

Pakankamumas. Įrodinėdami sąlygos pakankamumą, pasinaudosime

funkcijos ribos apibrėžimu „sekų kalba". Sakykime, kad teisingas (9) sąry-

šis. Išrinkime iš X seką ->a. Žinome, kad

δ ι , δ — л xm - а < — . 2 1 2

—> а <=> V5 > O 3N:n > N лт> N ^>\хп -а\< — л |д:т -й| < -

х , г- й |<- л |л: о т-а|<- => |/ (х„)-/ (х т )|< ε .

δ δ

Tuomet \xn - | = |( xn - a) + (а - xm )| < \xn - a\ + \xm - a| < — + — = δ . Tai-

gi \xn - xm \ < δ . Remiantis (9) sąryšiu, iš sąlygų δ I I δ — л xm - а < — 2 ι m I 2

Gavome

=> | / ( * „ ) - / ( * m ) |<e ,

vadinasi, { / (¾ )} yra Koši seka, todėl ji konverguoja. Taigi

*n ->a => f{xn) b >

o tai pagal Heinės apibrėžimą reiškia, kad lim / (x ) = b . Teorema

я:—>a

įrodyta. •

Dar Koši kriterijų pritaikysime funkcijai, kai χ oo. Skamba jis taip:

funkcija f turi baigtinę ribą, kai χ —> oo, tada ir tik tada, kai

ν ε > 0 3 Μ > 0 : \x'\> M л\х"\> M =>\f(x') - f(x")\< ε .

4. Funkcijos tolydumas taške

4.1. Funkcijos tolydumo taške sąvoka

1 apibrėžimas. Funkcija f: X~>Y vadinama tolydžia taške x0e X, jeigu ji

apibrėžta šiame taške ir jo aplinkoje, be to,

lim f(x) = f(x0) , X—^ ATq

trumpai tariant, jeigu funkcijos riba taške X0 lygi jos reikšmei tame taške.

Prisiminę funkcijos ribos apibrėžimą, galime sakyti, kad funkcija/yra

tolydi taške X0, jei

V e > O 3δ > 0: O < |JC — J C 0 1 < δ => \f(x) - f(x0 )| < ε .

Skirtumas X-XQ vadinamas argu-

mento pokyčiu ir žymimas Δχ=χ-χ 0 ,

o skirtumas f(x) -f(x 0) vadinamas

funkcijos pokyčiu ir žymimas Ay =

=Δ/(χ0)=/(χ)-/(χo). Kadangi Χ =X0 + +Ar (čia Δχ>0 arba Δχ<0) , tai

funkcijos pokytis Ay =f(xn+Ax)-f(x0)

(55 pav.).

Tuomet iš 1 apibrėžimo išplaukia,

kad

Hm ( / ( * ) - / ( *o )) = 0 ,

У *

Уо+Ау

Уо

M

M 0 / ^ = f M

О Χ 0 +ΔΧ

55 pav.

arba

Iim Δ v = 0 , nesx->x0, kai Δχ-> 0. Δ χ - > 0

Taigi tolydžią taške funkciją galima apibrėžti ir taip.

2 apibrėžimas. Funkcija f vadinama tolydžia taške X 0 , jeigu nykstamą

argumento pokytį atitinka nykstamas funkcijos pokytis:

Iim Ay = 0<=>Vs>035>0 : |Δ χ I < δ |Δ y| < ε . ΔΪ—>0

1 ir 2 apibrėžimai yra ekvivalentus.

Kadangi Iim χ = x 0 , tai, remdamiesi 1 apibrėžimu, gauname: X—^ Xn

Iim f(x) = / ( Iim x ) .

Iš šios lygybės darome svarbią išvadą: jeigu funkcija tolydi, tai ribos ir

funkcijos simbolius galima sukeisti vietomis.

Apibrėšime vienpusį funkcijos tolydumą taške.

3 apibrėžimas. Funkcija f vadinama tolydžia taške X 0 iš kairės, jei f (xu) =

=/(xo-O) = Iim / (x ) , ir tolydžia iš dešinės, jei /(x0) =f(x0+ 0) = X—>Хц-0

= l i mn / W · X—>Xp + U

Iš čia išplaukia, kad funkcija / yra tolydi taške x0 , jei ji tame taške

tolydi iš kairės ir iš dešinės:

/ ( x 0 ) = / ( X 0 - O ) = / (x 0 +0) .

Sakysime, kad funkcija yra tolydi intervale (a; b), jeigu ji tolydi

kiekviename to intervalo taške. Funkcija bus tolydi atkarpoje [a; b], jeigu

intervale (a; b) ji tolydi, taške a tolydi iš dešinės, o taške b - iš kairės.

Tolydžios atkarpoje [a; b] funkcijos grafikas yra ištisinė,

nenutrūkstanti kreivė šioje atkarpoje.

4.2. Funkcijos trūkio taškai

Taškas xa bus funkcijos/: X—>Y trūkio taškas, jei šiame taške funkcija

yra neapibrėžta arba netolydi.

Suklasifikuokime funkcijos trūkio taškus.

1 apibrėžimas. Taškas Xil vadinamas funkcijos f pirmosios rūšies trūkio

tašku, jeigu jame egzistuoja baigtinės ribos iš kairės f (Xil-O) ir iš dešinės

f(xo+O), bet jos nėra tarpusavyje lygios: f(x0 - 0) &f(x0+0).

Sakoma, kad taške x0 funkcijos grafikas daro baigtinį šuolį (56 pav.).

1 pavyzdys. Išnagrinėkime funkcijos [x\ pobūdį (57 pav.) taškuose

χ e Z. Kadangi, pavyzdžiui,/(2-0) = 1,/ (2+0) = 2, t a i / ( 2-0 ) ^ / ( 2+0 ) ir

taškas χ = 2 yra pirmosios rūšies trūkio taškas. Tokios pat rūšies yra ir kiti

taškai χ e Z. •

2 apibrėžimas. Kai bent viena vienpusė funkcijos f riba taške neegzistuo-

ja arba yra begalinė, tai taškas xQ vadinamas šios funkcijos antrosios rūšies

trūkio tašku.

2 pavyzdys. Taškas χ = -2 yra funkcijos —-— (58 pav.) antrosios rū-X + 2

šies trūkio taškas, nes jame ribos iš kairės ir iš dešinės yra begalinės, be to,

/ ( _ 2 - 0 ) = -«>, / (2+0) = + » . •

3 apibrėžimas. Taškas Xo vadinamas funkcijos f pašalinamuoju trūkio

tašku, jei

f (X0-O) = / ( r 0+0)*/ (*„ ) ·

Šį trūkio tašką pašaliname, funkcijos reikšmę f(x0) pakeisdami jos riba

Iim f(x) .

3 pavyzdys. Išnagrinėkime funkciją

ZiW =

Sinx

X 0 ,

kai χ Φ 0,

kai χ = 0.

v> L

f[x0+0)

f{xo - 0)

f[x0+0)

f{xo - 0) f

šuolis

0 X o X

Yf 2

1

- I

K=M

O 1

-1

2 3 X

56 pav. 57 pav.

Kadangi Iim f\{x) = Iim s m ^ = 1, У л

дг—>0 x->0 X

o Z I (0) = 0 , tai Iim Z I (χ) * Z I (O), vadi-χ-+0

nasi, χ = 0 - trūkio taškas. Jis yra

pašalinamasis, nes galima sudaryti naują

funkciją / 2 (x ) , tolydžią taške x = 0 ir

apibrėžtą taip:

- 2

K x+2 O

sinx .

/ 2 ( * ) = — k a i X " ° ' 58 pav. [ 1, kai χ = 0.

Šiame pavyzdyje funkcijos reikšmę Z1(O) pakeitėme tos funkcijos ri-

bos taške x = 0 reikšme Iim Z1 (x) = 1 . • x-*0

4.3. Aritmetinės operacijos su tolydžiosiomis funkcijomis

Teorema. Jei funkcijos f ir g tolydžios taške X0, tai ir funkcijos f+g, f-g,

f — (g (x0) * 0) tolydžios tame taške. g

Į rodymas . Teoremos teisingumu įsitikinsime, pasinaudoję ribų dės-

f niais. Įrodysime, pavyzdžiui, kad dalmuo — tolydus. Iš kiekvienos

g

funkcijos tolydumo išplaukia, kad Iim / (x ) =Z(XQ), Iim g(x) =g(x0); χ—«o χ—>χο

remdamiesi ribų dėsniais, gauname:

IimZM X м f M

X->X0 g(x) I i m g ( x ) g ( x 0 )

X—^XQ

f Vadinasi, — tolydi taške X 0 . A

g

4.4. Tolydžiųjų funkcijų superpozicija

Įrodysime, kad tolydžiųjų funkcijų superpozicijos rezultatas - sudėtinė

funkcija - irgi yra tolydi funkcija.

Teorema. Jei funkcija g tolydi taške x0, o funkcija f - atitinkamame taške

VO = g(Xii), tai sudėtinė funkcija f (g(x)) irgi tolydi taške X0.

Į r odymas . KadangiZtolydi taškey0, tai

Ve>0 3ų>0 : |у-у01<Л => 1/0)-/(Уо) I < ε .

Pagal teoremos sąlygą g tolydi taške X0, todėl \/Η, kartu ir jau

parinktąjį η atitiks toks δ>0 , kad iš sąlygos |χ-χ0|<δ => |g(x)-g(x0) I <

< η . Taigi gavome:

U-X 01 <δ => |g(x)-g(x0)|<n => \f(g(x))-f(jį(x{))) I <ε .

Si nelygybė rodo, kad/(g(x)) - tolydi taškex(, funkcija. Teorema įrodyta. •

Kadangi f(g(x)) - tolydi taške x0 funkcija, tai

Hm f(g(xj) =ZfefXo)) = / ( Hm g(x) ). X—^ Xq X—^XQ

Remdamiesi šia lygybe, galime tvirtinti, kad tolydžiosios funkcijos ir

jos ribos simbolius galima sukeisti vietomis ir tada, kai funkcija yra

sudėtinė.

4.5. Monotoninės funkcijos tolydumo sąlyga

Įrodysime monotoninės funkcijos tolydumo intervale X

požymį. Šis intervalas gali būti baigtinis, begalinis, uždaras,

pusiau atviras arba atviras.

Teorema. Jei monotoniškai didėjančios (mažėjančios) inter-

vale X funkcijos f reikšmių aibė yra inten'ale Y ir užpildo jį ištisai, tai funkcija

f intervale Xyra tolydi.

Į rodymas . Tarkime, kad f - didėjanti funkcija. Parinkime tokį tašką

X0 EX, kuris nesutaptų su intervalo X dešiniuoju galu. Įrodykime, kad

šiame taške funkcija yra tolydi iš dešinės. Analogiškai galėtume įrodyti, kad

taške x0 funkcija yra tolydi iš kairės, kai X0 - ne kairysis X galas. Tuomet

galėsime tvirtinti, kad funkcija apskritai yra tolydi taške X0.

Pažymėkime: f(x0) =yo· Reikšmė y0sY ir y0 nėra dešinysis Y galas.

Parinkime tokį kiek norima mažą ε>0, kad y\ = у0+г irgi priklausytų Y.

Kadangi Y sudaro tik funkcijos f reikšmės, tai aibėje X būtinai yra taškas

Xi, kuriame f(x\)=y\.

Funkcija f yra didėjanti ir

y i >y „ , todėl x !>x 0 .

Pažymėkime: Χι -χ»=

= δ. Pasirinkę XQ < X < X I

(59 pav.), turėsime

Z ( X 0 ) < f (χ) < f (X1).

Taigi iš nelygybės 0 < x -

-x„ < δ 0 <f(x)-f(x0)<

<ε, o tai reiškia, kad

lim / (x ) = / (x 0 ) . лг-»дг0+0

Vadinasi, funkcija f tolydi

taške X0 iš dešinės. Tai ir

reikėjo įrodyti. •

Kl * ^ ^ . У ε

Ko V

' < δ

0 Xg X X1 X

X

4.6. Elementariųjų funkcijų tolydumas

1. Kadangi funkcija χ yra tolydi intervale (-oo; +oo), tai, remdamiesi

aritmetinėmis operacijomis su tolydžiomis funkcijomis, galime teigti, jog

sveikoji racionalioji funkcija

α^χη +A1JC"-1 + ... + αη_γχ + a n

yra tolydi intervale (-oo; +oo), kartu šiame intervale bus tolydi ir trup-

meninė racionalioji funkcija

a qx" +ЙГ[ХЛ~' + ...+an_\X + a n

b0xm+b\xm 1 + ...+bm_\x + bn

išskyrus taškus, kuriuose vardiklis lygus nuliui.

Kalbėdami apie kitų pagrindinių elementariųjų funkcijų tolydumą,

remsimės monotoninės funkcijos tolydumo požymiu.

2. Rodiklinė funkcija Ox (я>1) yra didėjanti, kai xe(-oo; +oo), jos

reikšmės yra teigiamos ir ištisai užpildo aibę Y = (0; +oo), todėl ax - tolydi

intervale (-oo; +oo) funkcija.

3. Logaritminė funkcija IogAX (я>1) yra didėjanti, kai xe(0; +oo), jos

reikšmės ištisai užpildo aibę Y = (-oo; +oo), todėl Ιο&,χ - tolydi intervale

(0; +со) funkcija.

4. Laipsninė funkcija xa=ealrur yra dviejų tolydžių funkcijų /<=alnx ir

e" superpozicijos rezultatas, todėl ji irgi tolydi savo apibrėžimo srityje.

π π 5. Trigonometrinė funkcija sinx didėja, kai χ e

2 2

ištisai užpildo aibę Y = [-1; 1], todėl sinx - tolydi atkarpoje

, jos reikšmės

π π

2 ; 2

funkcija. Tą patį galėtume pasakyti ir apie jos tolydumą kitose atkarpose,

todėl sinx - tolydi intervale (-oo; +oo).

Analogiškai įsitikintume, kad cosr irgi tolydi intervale (-oo; +oo).

Funkcijų tgx ir Ctgx tolydumas jų apibrėžimo srityse išplaukia iš to,

kad šios funkcijos yra tolydžių funkcijų sinx ir cosr aritmetinių operacijų

rezultatas.

reikšmės ištisai užpildo aibę Y= , todėl arcsinx - tolydi atkarpoje

6. Atvirkštinė trigonometrinė funkcija arcsinx didėja, kaixe[-l; 1], jos

π π

. 2 ; 2 .

[-1; 1] funkcija.

Analogiškai įsitikintume, kad funkcija arccosx tolydi atkarpoje [-1; 1],

o funkcijos arctgx ir arcctgx tolydžios intervale (-oo; +oo).

Taigi reziumuodami galime tvirtinti, kad visos pagrindinės elemen-

tariosios funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityse.

Kadangi iš pagrindinių elementariųjų funkcijų, panaudodami baigtinį

kiekį aritmetinių operacijų ir superpozicijų, gauname visas elementariąsias

funkcijas, tai ir jos yra tolydžios savo apibrėžimo srityse. Taigi, apskai-

čiuodami elementariųjų funkcijų ribas taške a, galime jas pakeisti funkcijų

reikšmėmis tame taške.

5. Tolydžiųjų atkarpoje funkcijų savybės

5.1. Pirmoji Boleano ir Koši teorema

Tai teorema apie funkcijos virtimą nuliu.

Teorema. Jei tolydi atkarpoje [a; b] funkcija f tos atkarpos

galuose įgyja priešingų ženklų reikšmes, tai tarp a ir b būtinai yra

toks taškas c, kuriame / (c)=0.

Į rodymas. Tarkime, kad f{a)< 0 ir/(b)>0. Tašku ~~~ atkarpą [a·, b]

padalykime pusiau. Jei būtų ] = 0> t a · teorema būtų įrodyta. Sa-

kykime, Simboliu [a\, fei] pažymėkime tą atkarpos [a; b] dalį,

kurios galuose funkcijos reikšmės yra priešingų ženklų. Tarkime, kad

/ (αι)< 0 ir f(bi)>0. Pratęsę procesą, gausime atkarpą [an; bn], kurios

galuose f(an)< 0 ir f(bn)> 0. Kadangi atkarpos [an; bn] ilgis -—- -» 0 , kai 2 n

n ->oo, tai turime susitraukiančiųjų atkarpų seką

[а-Ь]^^] =>...=>[<*„;&„] з . . .

Tokiu atveju abu kintamieji an ir bn turi bendrą ribą c:

lim an = lim bn = c . П—»00 n-¥ oo

Kadangi funkci ja /yra tolydi, tai Iim f{an) = f{c) ir Iim f(bn) = / ( c ) . Π—>00 П-* OO

Iš sąlygų f(an) < 0 ir f(bn) > O išplaukia, kad Iim f[an) < 0 ir п-нc

Iim f(bn) > O . Taigi vienu metu /(c)<0 ir /(c)>0. Vadinasi, /(c) = 0.

«-»00

Teorema įrodyta. A

Geometrinė teoremos prasmė labai aiški: tolydi kreivė gali pereiti iš

vienos ašies Ox pusės į kitą, tik perkirsdama tą ašį (60 pav.). Teoremos

įrodymo būdą galima pritaikyti sprendžiant lygtį f(x)= 0. Pirmiausia

randame atkarpą [a; b], kurios galuose f(a) ir f(b) yra priešingų ženklų.

Tuomet atkarpos viduje tikrai yra lygties /(χ ) = 0 šaknis. Dalydami tą

atkarpą pusiau ir pasirinkdami tą dalį, kurios galuose funkcijų reikšmės yra

priešingų ženklų, bei tęsdami procesą, galėsime kiek norima tiksliai

priartėti prie šaknies.

5.2. Antroji Bolcano ir Koši teorema

Tai teorema apie tarpinę funkcijos reikšmę.

Teorema. Jei tolydi atkarpoje [α; b] funkcija f atkarpos

galuose įgyja nelygias reikšmes f(a)=A ir f(b)=B (A<B), tai

kiekvieną dydį C, tenkinantį sąlygą A<C<B, atitinka atkarpos

[a; b] taškas c, kuriame f (c)=C.

Į rodymas . Sudarykime pagalbinę funkciją cp(x) = / ( x ) - C . Tuomet

cp(fl) = f (a)-C =A-C<0, 4>(b)=f(b)-C = B-C> 0. Dabar galime remtis

pirmąja Bolcano ir Koši teorema: tarp taškų α ir b turi būti taškas c, ku-

riame φ (c) = 0; iš čia f (c) = C. Teorema įrodyta. •

Kitaip sakant, įrodytoji teorema tvirtina, kad tolydi atkarpoje [a; b]

funkcija įgyja visas tarpines reikšmes tarp f (a) ir/(i>).

Tačiau priešingas teiginys, kad funkcija, įgyjanti visas tarpines reikš-

mes, yra tolydi, gali būti ir klaidingas. Tokia, pavyzdžiui, yra funkcija

/ W = - K ' ^ 0 ' [ 0, x = 0.

Ji įgyja reikšmes tarp -1 ir 1, tačiau taške x=0 yra trūki, nes r ibos/(-0) ir

/(+0) neegzistuoja.

5.3. Pirmoji Vejerštraso teorema

Įrodysime teoremą apie funkcijos aprėžtumą.

Teorema. Tolydi atkarpoje [a; b] funkcija f yra aprėžta toje

atkarpoje, t. y. egzistuoja skaičiai m ir M, su kuriais

m <f(x)<M.

Į r odymas . Tarkime priešingai, kad, pavyzdžiui, / nėra aprėžta iš

viršaus. Tuomet kiekvieną neN atitiks atkarpos [я; b] taškas x„, kuriame

f(x„)>n. Kadangi sekos {x„} nariai priklauso atkarpai [a; b], tai seka {xn}

yra aprėžta. Žinome, kad iš aprėžtos sekos galima išskirti konverguojantį

posekį x„k -> c . Kadangi/ - tolydi funkcija, tai f(x„k) -> / (c ) . Tačiau tai

prieštarauja sąlygai f Unk) -nk> kuri reiškia, kad f[xUk Gautoji

prieštara ir įrodo teoremą. A

Sutarkime funkcijos / tiksliaisiais rėžiais vadinti jos reikšmių aibės

if(x)} tiksliuosius rėžius.

5.4. Antroji Vejerštraso teorema

Įrodysime teoremą apie didžiausią ir mažiausią funkcijos

reikšmę.

Teorema. Tolydi atkarpoje [a\ b] funkcija f pasiekia savo

tiksliuosius rėžius. Kitaip sakant, yra du atkarpos [a; b] taškai,

kuriuose funkcija įgyja savo didžiausią ir mažiausią reikšmę.

Į r odymas . Pagal ankstesniąją teoremą tolydi atkarpoje [a; b]

funkcija yra aprėžta. Sutarkime kalbėti apie aprėžtumą iš viršaus. Tuomet

ji turi tikslųjį viršutinį rėžį sup{/(jc)}=M. Tarkime priešingai, kad šio rėžio

funkcija nepasiekia, t. y.f(x)<M. Sudarykime pagalbinę funkciją

Kadangi f(x)<M, tai M-f(x)*O ir funkcija φ yra tolydi atkarpoje [α; b].

Remiantis pirmąja Vejerštraso teorema, galima teigti, kad φ(χ) šioje at-

karpoje yra aprėžta: φ (χ) < μ.

Išsprendę nelygybę Ц—- < μ , gauname: f (χ) < M -— . M - f (χ) μ

Taigi skaičius M -— yra funkcijos/viršutinis rėžis, mažesnis užjos tikslųjį μ

viršutinį rėžį M=sup{/(jt)}, o taip būti negali. Gautoji prieštara ir įrodo

teoremą. •

5.5. Atvirkštinės funkcijos tolydumas

Įrodysime teoremą, kurioje nusakomos sąlygos, kada funk-

cija turi atvirkštinę, be to, tolydžią funkciją.

Teorema. Jei tolydi intervale X funkcija f didėja (mažėja), tai

jos reikšmių aibėje Y egzistuoja vienareikšmė didėjanti (mažėjanti)

ir tolydi funkcija f '1.

Į rodymas . Tarkime, kad funkcija/didėja. Kadangij i tolydi, tai aibę

Y ištisai užpildo tos funkcijos reikšmės. Vadinasi, kiekvieną y0 e Y atitinka

nors viena reikšmė x0 e X , su kuria f(x0) =y 0 . Kadangi funkcija didėjanti,

tai ši reikšmė X0 yra tik viena. Iš tiesų, jei butų ir kita χ reikšmė XQ ,

pavyzdžiui, Xq>X0, su kuria / (хо) = Уо> t a · iš sąlygos χό>χ0 =>

f[x'o) > f{xo) > ° t a i neįmanoma, nes / ( 4 ) = f(x0) = y0 .

Taigi, priskyrę y0 vienintelę reikšmę x0 , kartu gausime vienareikšmę

atvirkštinę funkciją χ =g(y).

Įrodysime, kad ši funkcija irgi didėja. Parinkime dvi reikšmes y' ir

y" > y'. Sakykime, kad jas atitinka reikšmės x" ir χ', su kuriomis

f(x") = y" ir f(x') = y' • Jei būtų χ" <x', tai dėl funkcijos / monotoniš-

kumo turėtume: / (χ " ) < / ( χ ' ) , t. y. y" < y', bet tai prieštarauja sąlygai

y" > y'. Taigi iš sąlygos y" > y' => χ" > χ', o tai rodo, kad funkcija f~l

didėja.

Ši funkcija tolydi, nes ji yra monotoninė ir jos reikšmės ištisai užpildo

intervalą X. Taigi ji tenkina visus reikalavimus, suformuluotus funkcijos

tolydumo sąlygoje (žr. šio skyriaus 4.5 skyrelio teoremą). A

5.6. Tolygusis tolydumas

Tarkime, k a d / - tolydi intervaleXfunkcija. Kartuj i tolydi

ir bet kuriame taške X0 e X. Tai reiškia, kad

Ve > 0 35 > 0: - Jt01 < δ => Į/(jc) —/(лг0)| < ε .

Bendru atveju 5 yra ne tik ε, bet irX0 funkcija: δ=δ(ε,Λ;ο). Tai iliustruoja 61

paveikslas.

Pareikalaukime, kad 5 priklausytų tik nuo ε, o nuo X0 nepriklausytų.

Taip priartėjame prie funkcijos tolygaus tolydumo sąvokos.

Apibrėžimas. Funkcija f: X^>Y vadinama tolygiai tolydžia intervale X,

jei

Vs > 0 35 > 0: \x' - x"\ < 5 =>\f(x') - f{x")\< ε ,

nesvarbu, kokia yra taškų x' ir x" padėtis intervale X.

Šį kartą δ priklauso tik nuo pasirinktojo ε: δ = δ(ε).

Pabrėšime, kad iš funkcijos tolydumo dar nebūtinai išplaukia jos

1 ( 2 tolygusis tolydumas. Imkime, pavyzdžiui, funkciją /(x) = sin— , χ e 0; —

Nesunkiai galėtume įsitikinti, kad intervale 0; funkcija yra tolydi.

Parinkime du taškus x' = 2 1

r— ir x" = — (ne N). Tuomet (2n + 1)π ηπ

χ'-χ"=-1

n( 2 n + ΐ)π

I / И - / И =

-> 0 , kai n oo, o

. π(2 n + l) Sin — - Sin 7Ш

2 = 1 .

Taigi, jeigu pasirinktume 0<ε<1, tai iš nelygybės \x' -x"\ < δ , nors ir kiek

mažas būtų δ, išplauktų nelygybė \f(x') - / (x " )| > ε , kuri reikštų, kad f

nėra tolygiai tolydi intervale 0; — v π

Tačiau, pasirodo, jei tik apibrėžime minėtas intervalas X yra uždaras,

tai tolydumo jau pakanka, kad funkcija būtų ir tolygiai tolydi.

Kantoro* teorema. Tolydi atkarpoje [a; b] funkcija joje yra ir tolygiai

tolydi.

Į r odymas . Tarkime priešingai, kad atkarpoje [a; b] tolydi funkcija

nėra šioje atkarpoje tolygiai tolydi. Prisiminkime sąryšį 1 VxeM: a(x) <=>

З х е М : 1α(χ). Šį kartą jis reiškia, kad yra toks ε>0 bei du taškai x' ir χ" ,

kuriuose

\f(x')-f(x")\>e, nors |jc'-x"| <5 ;

čia 5>0 - bet kuris kiek norima mažas skaičius. Pasirinkime, pavyzdžiui,

seką 5,,=

kuriuose

1 • 0. Kiekvieną δ„ atitiks du atkarpos [α; b\ taškai x'n ir х"г,

f{*n)-f(*n ) > ε , nors < δ»

Georgas Kantoras (G. Cantor, 1845-1918) - vokiečių matematikas.

Kadangi seka { x'n } sudaroma iš atkarpos [a; b] taškų, tai ji yra aprėžta.

Tuomet pagal Boleano ir Vejerštraso lemą ji turi konverguojantį posekį

>x0. Dėl tos pačios priežasties ir seka {Xf l } turi konverguojantį

posekį хЦк. Iš sąlygos |xį ~x'nk\ < ^nk " •O aišku, kad ir x"h ->x0. Pagal

sąlygą funkcija / y r a tolydi, todėl f[x'„kj / ( x 0 ) ir f(x^ ) - > / ( x 0 ) , tuo-

met f[xnk) ~ f(xnk bet tai prieštarauja nelygybei

f(x'nk) - f(xnk ) ^ ε· Teorema įrodyta. •

Iš šios teoremos gausime vieną svarbią išvadą.

Atkarpą [я; b] taškais

Я =X0 <Χι<Χ2< ... < Xi-\ < Xi < ... <x„=b

bet kaip padalykime į n dalių (62 pav.). Didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę, įgyjamą atkarpoje

[x/_i;x,], pažymėkime atitinkamai Mi= supj/(x)}, χ e [x;_|; ir

nij= in f j / (x ) J , χ e [x;_!; x,]. Tuomet skirtumą Mi-Zni = ω, vadinsime

funkcijos svyravimu i-tajame intervale [x,_i;x/]· Jei funkcija tolydi

atkarpoje [я; b], tai ji yra ir tolygiai tolydi, todėl

Vs > 0 35 > 0: |X,-_Į - X , | < δ => |/(x,_I) -/(x;-)| < ε ,

nepriklausomai nuo taškų Xi irx, padėties. Dėl šitos priežasties taškus x,_i

ir Xi galima parinkti taip, kad juose funkcija įgytų reikšmes M1 ir m , .

Tuomet turėsime

Vs > 0 3δ > 0: |x(_j -Xį\ < δ => ω,· < ε .

Išvada. Kai f - tolydi atkarpoje funkcija, tai tą atkarpą visada galima

padalyti į dalis taip, kad funkcijos svyravimas kiekvienoje dalyje, kurios ilgis

mažesnis už δ, būtų kiek norima mažas.

/ I

y=f[x)

Δχ, O χ, X, b X

Uždaviniai

1. Duota funkcija/: D -» E. Raskite aibę E, kai:

a) D = - U I -2 <x< 3 }, x->x2; b)D={x\ l < x < 1000 }, x->lgx;

I 7ΓΧ I c) D = {x I 0 <x< 1 }, x-> t g — ; d) D= {χ \ 0 < χ < π }, x->sin2r .

4

2. Nubraižykite funkcijos sgnx (lot. signum - ženklas) grafiką:

-1, kai χ < 0,

sgn χ = \ 0, kai χ = 0,

1, kai χ > 0.

3. Funkcija {x} (trupmeninė skaičiaus χ dalis) apibrėžiama taip: {x} =

= x-[x]; čia [x]- sveikoji skaičiaus χ dalis. Nubraižykite funkcijos {x}

grafiką.

4. Raskite / ( 0 ) , f(-x), f(x -1 ) , / Q ) , kai f(x) = .

5. Įrodykite, kad

f(x + 3 )-3/ (x + 2) + 3/(x +1 )- f ( x ) = 0 ,kai f(x) = ax2+bx + c.

λ 2 6. Raskite f(x), kai: a) f(x - 2) = χ2 - 4x + 7; b) / ( — - j = χ

+ x2

7. Raskite fn(x) = / ( / ( . . . / ( * ) ) ) , kai f(x) = -=

" VZ- ' n kartų

8. Raskite šių funkcijų apibrėžimo sritis:

a) y = arccos + V l 6 - x 2 ; b) y = arcsini Iog3 — ] + Jcosx- — ; 2+ sinx V 2/ v 2

c)y= Jcos2X + Ig ^ 4 - ^ — ; d)y=arcsin(tgx)+ л

4 χ2 - 5x + 6 ' ](x-3)j5-2x '

9. Tarkime, kad/ : X->Y,A, BDY. Įrodykite, kad:

а) г\аНВ)=г\а)НГ\в)·, b) f-i{Y\B) = X\f~i(B).

10. Raskite funkcijos y =x2- 8 ϊ+ 13 (x<4) atvirkštinę funkciją. Raskite

aibę/(^4), ka\A = {xeR \ 2<x < 3} ir/ _1(B), kai B={yeR | -3<y<22} .

11. Seka xn apibrėžiama tam tikra rekurentine formule. Parašykite x„

išraišką:

A ) X N + L = X N + 7 I V > X I = 7 Ι B ) X N + 1 - X N = N , X 1 = 1 . (n + 2J(rt + 3) 3

12. Pasinaudodami sekos apibrėžimu, įrodykite, kad šios lygybės yra

teisingos:

Зп + 2 . _ , . . . « " - 2 1 a) Iim =1 ,5 ; b) lim =-

П-> OO 2 n ГС->оо 3

? 5" с) lim ——— =2 ; d) lim ^ = 1 , a > 1.

n->00 5" — 1 n->co

2n 13. Įrodykite, kad lim =2. Raskite sekos numerį Af, kuriuo

И—>00 /7 + 3

pradedant 2 " - 2 < 0,01.

n + 3

14. Apskaičiuokite ribas:

. . . Г1 3 5 2η-ί\ .. a) hm —+ ^ r + -=- + ...+ ; b) hm

n-xAl 22 2 3 2" J "->«

c) hm fV2. t /2-^/2 . . . . . 2T^l .

r 1 1 1 + + ...+— r

yl-2 2-3 n(n + \)y

15. Pasinaudodami teorema apie monotoninės ir aprėžtos sekos ribos

egzistavimą, įrodykite, kad šios sekos konverguoja:

ч 6«-5 1 1 1 a)xn=—:—; b) Xn=-T-T + -—+··· +

2 n 2 + 1 2 + 1 2 " + l

d) xn=\+— + — + ·•·+— -Inn (pasinaudokite nelygybeJt > In(l+x), x>0); 2 3 n

e) xn = J5 + ^5 + -^5+ ... + л/5 ; raskite šios sekos ribą.

n šaknų

16. Jei seka turi ribą a, tai bet kuris jos posekis irgi turi ribą a.

Įrodykite.

17. Jei seka konverguoja, tai, pašalinę baigtinį kiekį jos narių,

gauname konverguojančią seką, turinčią tą pačią ribą, kaip ir pradinė seka. Įrodykite

18. Jei seka yra monotoninė ir turi bent vieną aprėžtą posekį, tai ji

aprėžta. Įrodykite.

19. Įrodykite, kad seka turi ribą a tada ir tik tada, kai bet kuris jos

posekis turi posekį, konverguojantį prie a.

20. Įrodykite, kad monotoninė seka konverguoja tada, kai ji turi kon-

verguojantį posekį.

21. Įrodykite, kad seka turi ribą tada ir tik tada, kai ji yra aprėžta ir

turi vieną dalinę ribą (daline riba vadiname posekio хПк ribą).

22. Įrodykite, kad seka JCN = ( - 1 ) " diverguoja.

23. Panaudodami Koši kriterijų, įrodykite, kad šios sekos konverguoja:

. cosl cos 2 cos n , . . 1 1 1 a ) x „ = — + - 2 - + - + ^ Γ ; + 2+- + —'>

J 3 3 2 3 n

, , 1 1 1 c) x„ =1+ — + — + ··· + — .

2! 3! n\ 24. Suformuluokite sąlygas, reiškiančias, kad duotoji seka netenkina

Koši kriterijaus.

25. Taikydami Koši kriterijų, įrodykite, kad sekos diverguoja: ч 1 1 1 КЧ 1 1 1

a ) x „ = l + —+ ··· + — ; b) xn = + + ··· + .

2 n In 2 In 3 In n

26. Panaudodami funkcijos ribos apibrėžimą, įrodykite, kad lygybės

teisingos: X2 -9

a) Iim = 6 ; b) Iim χ 2 = 9 ; x-»3 X - 3 x->3

c) Iim -Jx = 2 ; d) Iim ax =I (a > 1) . x->4 x->0


. ,. Vx+3-3 14 ,. Vx2 + Зх + 10 -2 a) Iim ; b) hm -= ;

x->6 χ-6 χ->-2 χ -4χ-12

c) Iim ^ x + ^ x + -; d) Iim f · /*+ Vx +Vx -Vx l ; χ->4 4 -у/χ + 12 x->+coV у

e) Iim [ л/х3 +Зх2 -Vx2 -2χ] ; f) Iim xfVx2+2χ-2Vx2+χ+χ] ·

28. Įrodykite, kad funkcija fix) = —cos— yra neaprėžta bet kurioje

χ χ

taško χ=0 aplinkoje, tačiau ji nėra neaprėžtai didėjanti, kai x—» 0 .

29. Apskaičiuokite ribas: π

sinl X + ч r X 3J u 4 .. V2 tg 6x

a) hm — ; b) hm —Į=

COSX-A X ^ y j l х-*-- COSX-3 2

cos4x

ч ,. cos2x-sin2x-l V2sinx + 3 -V6s inx-1 c) hm j = ; d) hm

χ—>0 а/ЛТ-1 X ^ ciZ2x 2

tg

N

ex -e

y \ i- 4 7 r\ i- /1 \cosecx ч ,. es ' n 2 i —cosx

e) hm 3- ; f) l im(l + tgx) ; g) hm cos— x->0v ' " χ—>0 X

h) lim у/cos χ ; i) lim sm* ; j) lim

1 Ini e*2 + 2 Vxl

x->0 ' X-Wv X J ' x->+0 tgVx

k) lim / ^ r Z V ; 1) I i m i ,

m) l im( j l + x)(l + x2)( l + x 4 ) . . . ( l + x 2 " J| , kai UI < 1 ;

n) lim cos—cos—...cos— . ' n^yoX 2 4 I n )

30. Nustatykite šių nykstamųjų funkcijų eilę, lygindami jas su x, kai

x-»0 :

a) л/l + x + x2 -л/l-x+x2 ; b)ecosx-e·, с) 1пМ+хл/2-хе

d) arcsinjVy + x3 -3 j ; e) Vcosx -Vcosx .

31. Parinkite tokį skaičių A, kad funkcija

f Π

X 2 - I

r _ ι > kai χ it 1, b ū t ų t o l y d i taške x= l .

A, kai χ = 1,

32. Parinkite tokius skaičiusi ir B, kad funkcija

1

X kai χ > 1,

butų tolydi visoje skaičių tiesėje.

Ax + B, kai χ < 1,

33. Panaudodami loginius simbolius, užrašykite teiginį, reiškiantį, kad

funkcija nėra tolydi taške X0 e D .

34. Ištirkite Dirichlė* funkcijos

, . iO, kai χ-iracionalusis skaičius,

= { 1, kai χ - racionalusis skaičius,

tolydumą bet kuriame taške. Raskite jos trūkio taškus ir nustatykite jų rūšį.

35. Nustatykite šių funkcijų trūkio taškų rūšį:

a ) / W = Sgnx; b) /(x) = 3* ; c ) / ( x ) = — ;

e +1

Peteris Gustavas Leženas-Dirichlė (P. G. Leujene-Dirichlet, 1805-1859) - vokiečių

matematikas.

d) /(χ) = arctg - J — , kai /(±1) = į . X - I 2

36. Funkcija / (x) = ^ + X — - neapibrėžta taške x=0. Kokia turi būti

šios funkcijos reikšmė / (0 ) , kad funkcija būtų tolydi taške x=O ?

37. jrodykite, kad funkcija |/(x)| yra tolydi taške X0 , jeigu šiame taške

tolydi funkcija / (x ) . Ar teisingas atvirkščias teiginys?

38. Tarkime, kad funkcija / apibrėžta ir tolydi atkarpoje [a; b] ir

/ (x) > O su visais xs[a; b\. Įrodykite, kad egzistuoja c>0, su kuriuo

/ (x) >c visuose atkarpos [a\ b] taškuose.

39. Ar šios lygtys turi šaknis, priklausančias nurodytai atkarpai:

a) X5 - 4x3 + 3x - 2 = O, xe[0 ,2] ; b ) s i n x - x = 0, x e

40. Ar yra toks atkarpos [-6; 6] taškas, kuriame funkcija

X TLX

f(x) = — + cos— įgyja reikšmę, lygią 8? 16 2

41. Įrodykite, kad intervale (0; 1) funkcija /(x) = A yra tolydi, bet ne

tolygiai tolydi.

Atsakymai

1. a) [0; 9]; b) [0; 3]; c) [0; 1]; d) [-1; 1]. 4. - ; ; — - ; ί . 6. a) x2+3; 2 2-х ' i. 2x + \

b)

d)

. I - J

X , . . "2 π^ U

~5π f πΊ 7. . 8. a) [-4; π] U [0; π]; b) — ; — U — ; 6 ;c) 0 ; -Vl + nx2 _3 3. 3 V 3.

U(3; 4);

ψ , 2,5) 10.X = 4 - ; [-2; 1]; [-1; 4]. 11. a) ^ ± 1 ; b) 1+

1 + V2T 13. N=598 . 14. a) 3; b) 1; c) 2. 15. e) . 27. a) - ; b) — ; c) — ; d) — ; e) 2;

2 6 96 27 2

f) - I . 29. a) - į : b) 3; c)-4; d) — ; e) ~ ; f) e; g) 2; h) 1; i) 1; j) 2; k) e; 1) 4 V3 5 3π 3

m) —!— ; n) S ' n Į: . 30. a) Ekvivalenčios; b) antros; c) tos pačios; d) trečios; e) antros. χ

31. A=2.32. A = I, B=0.36.3/2. 39. a) Taip; b) ne. 40. Taip.

VIENO KINTAMOJO FUNKCIJŲ DIFERENCIALINIS

SKAIČIAVIMAS

1. Funkcijos išvestinė

1.1. Funkcijos išvestinės sąvoka

Išvestinės sąvoka yra viena svarbiausių matematikos sąvokų. Funkcijos

išvestinės radimą vadiname tos funkcijos diferencijavimu.

Tarkime, kad funkcija/apibrėžta tam tikrame intervale X. Jame pasi-

rinkime dvi nepriklausomo kintamojo reikšmes: χ irx0. Jų skirtumas χ - X0

vadinamas nepriklausomo kintamojo, arba argumento, pokyčiu ir žymimas

Vadinasi, kai Ax =x -x0, tai χ =X0 + Αχ. Sakoma, kad nepriklauso-

mo kintamojo pradinė reikšmė X0 įgijo pokytį Ax.

Skirtumas f(x0 -I- Ax) -f(x0) vadinamas funkcijos / pokyčiu taške X0 ir

žymimas simboliu Af (x0). Taigi

AfŲco) = ./'(*() + Ax ) -f (X0) .

Dydis Af(x0) tiesiog vadinamas funkcijos pokyčiu ir žymimas Af arba

Ay (55 pav.).

Funkcijos ir jos argumento pokyčių santykis išreiškia funkcijos kitimo

vidutinį greitį atkarpoje [ χ ο ; χ 0 + Δ ϊ ] , kai arba atkarpoje

[x0 + Ax\ x 0] , kai Δχ <0:

Af[xo) / ( χ 0 + Δ χ ) - / ( χ 0 ) Vvid л л · Ax Ax

Vidutinio greičio riba, kai nepriklausomo kintamojo pokytis artėja

prie nulio,

Iim ΔΑ*θ) = l im /(*о + А * ) ~ / Ы

Δϊ->0 Δχ ΔΧ->0 Ax

vadinama funkcijos kitimo greičiu taške x(1, arba išvestine.

Apibrėžimas. Jei egzistuoja baigtinė funkcijos pokyčio Af(X0) ir jį sukė-

lusio argumento pokyčio Ax santykio riba, kai Ax artėja prie nulio, tai ji vadi-

nama funkcijos y =f(x) išvestine argumento χ atžvilgiu taške X0 .

Išvestinę žymime / ' (x 0 ) arba j 'Į v=JCo . Taigi

f U ) = lim M č o ) = l i m f(xo + Ax)-f(xo) . Δϊ—>0 Ax Δ»:—>0 Ax

Kadangi Ax = χ -X0 ir Af (x0) = f(x0 + Ax ) -f(x0)=f(x) - / (x 0 ) , o

χ—»x0, kai Ax -»0, tai išvestinę galima parašyti kitaip:

/ ' ( X 0 ) = Hm M z A x A . .r-» JCQ X-XQ

Išvestinė, apskaičiuota su bet kuria kintamojo χ e X reikšme, bend-

ruoju atveju yra kintamojo χ funkcija, todėl žymima f'(x), y'x • Šiuos sim-

bolius pasiūlė G. V. Leibnicas. Dar vartojamas Ž. L. Lagranžo * žymėjimas

dy — . Jj kol kas traktuosime tik kaip išvestinės simbolį, nesuteikdami jam dx

trupmenos prasmės. Koši siūlė išvestinę žymėti simboliais Dy arba Df (x0),

tačiau jie neprigijo.

Dar apibrėžiamos vienpusės išvestinės taške x0: išvestinė iš kairės

/ ' ( X 0 - O ) = lim f^zAxA X-^Xq-O X-XQ

ir išvestinė iš dešinės

/ " M O ) = lim M z A x A . X—>XQ+0 X - X Q

Aišku, kad funkcijos išvestinės tam tikrame taške egzistavimas

ekvivalentus jos vienpusių išvestinių tame taške lygybei.

Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (G. W. Leibniz, 1646 - 1716) - vokiečių matematikas ir

filosofas.

Zozefas Luji Lagranžas (J. L. Lagrange, 1736 - 1813) - prancūzų matematikas ir

mechanikas teoretikas.

1 pavyzdys. Apskaičiuo-

kime funkcijos /(x) = |x| (63

pav.) išvestinę taške X0=O.

Sp r end imas . Pagal iš-

vestinės apibrėžimą

/ ' ( O ) = I i m M ^ i O ) -O

0

Af->0

= Iim -x-+0 χ

1, kai χ -» +0,

[-1, kai χ —» -0.

Taigi /'(+0) = 1, / '(-0) = -1.

Kadangi vienpusės išvestinės

taške Xo=O tarpusavyje nely-

gios, tai funkcija/šiame taške

išvestinės neturi. A

2 pavyzdys. Apskai-

čiuokime funkcijos У = ТХ

(64 pav.) išvestinę taške

X 0 = 0 . Sp rend imas .

f ( x ) - m _ /'(O) = Ii"},

x - > 0 X - O

: Iim — — - = Iim χ—>ο χ

1 = +OO ,

63 pav.

64 pav .

Kadangi gautoji riba yra begalinė, tai funkcija taške χ» = 0 išves-

tinės neturi (apibrėždami išvestinę, reikalavome, kad pokyčių santykio riba

būtų baigtinė). A

3 pavyzdys. Raskime funkcijos y =x 2 išvestinę bet kuriame taške x.

Sp r end imas . Pagal išvestinės apibrėžimą

, . ( χ + Δ χ ) 2 - χ 2 . 2 χ Δ χ + ( Δ χ ) 2

f ' (χ) = Iim ^ '- = hm * '— = Δτ-»0 Δ X ΔΪ->0 Δ X

= Iim (2χ + Δ χ) = 2 χ . Δχ->0

Taigi (χ 2 ) = 2χ.

1.2. Funkcijos išvestinės mechaninė ir geometrinė prasmė

Funkcijos f(x) išvestinę taške jc0 apibrėžėme kaip funkcijos kitimo

greitį tame taške. Šiuo apibrėžimu ir apibūdinama išvestinės mechaninė

prasmė: kūno nueitojo kelio išvestinė laiko atžvilgiu yra to kūno greitis, o

greičio išvestinė (kelio antroji išvestinė) laiko atžvilgiu - pagreitis:

a = v\t) = s"(t) .

Prieš pradėdami nagrinėti išvestinės geometrinę prasmę, apibrėšime

kreivės liestinės sąvoką.

Apskritimo liestine vadinama tiesė, turinti su apskritimu tik vieną

bendrą tašką. Ne kiekvienai kreivei toks liestinės apibrėžimas tinka. Todėl

bet kurios kreivės / liestinę taške M0 reikia nusakyti kitaip. Per tašką M0 ir

kitą tos kreivės tašką M (65 pav.) nubrėžkime kirstinę M0M. Kai taškas M,

judėdamas kreive /, artėja prie

taško M0, kirstinė sukasi apie

tašką M0.

Apibrėžimas. Ribinė padėtis

M0T, kurią užima kreivės kirstinė

M0M, kai taškas M kreive artėja

prie taško M0, vadinama tos

kreivės liestine taške M0.

Tarkime, kad duotoji kreivė

yra funkcijos y = f(x) grafikas

(66 pav.). Nesunku suprasti, jog

santykis lygus kampo φ Δ χ

65 pav. tangentui:

Χ0 + ΔΧ

tg<p = Ay

Ax

Sakykim, taškas M, ju-

dėdamas funkcijos y =f(x) gra-

fiku, artėja prie taško M0. Tada

Δχ artėja prie nulio, o kirstinė

M0M - prie ribinės padėties, t.y.

liestinės M0T. Jei liestine M0T

sudaro su teigiamąja ašies Ox

kryptimi kampą a, tai φ α.

Kai liestine nelygiagreti ašiai

Oy, tai dėl tangento tolydumo

tg φ tg α . Todėl

k = t g a = I i m t g φ = lim = f'(x0) • A X - > 0 Δ.Ν—»0 Δ X

Taigi

к = /'(х,о).

Vadinasi, funkcijos у =/(x) grafiko liestinės, nubrėžtos per tašką

MQIXQ- f(xQ)), krypties koeficientas k lygus išvestinės f'(x) reikšmei, aps-

kaičiuotai lietimosi taške χ = X0 ·

Pasinaudoję tiesės, einančios per tašką М 0 ( х 0 ; / ( х 0 ) ) ir turinčios

krypties koeficientą k, lygtimi

У - A x o ) = k *o) .

gauname kreivės liestinės lygtį

y - Ą x o ) = f X х o ) ( * - * o ) ·

Tiesė, einanti per lietimosi tašką statmenai liestinei, vadinama kreivės

normale. Kadangi statmenų tiesių krypčių koeficientai k, ir k2 tenkina

sąlygą k\ = ——, tai normalės lygtis bus tokia: h

У - /(XO)

1

f U) ( x - x 0 ) .

C J f (X0) = +00 f (X0)=- CO

O

y n

O

f [X0- 0) = +oo

f (x0+0)=-o)

O ^o

H x 0 - O ) = - O )

f ' (x0+0) = +oo

Jeigu funkcijos /(χ) vienpusės išvestinės taške X0 tarpusavyje nelygios,

galime kalbėti apie vienpuses kreivės liestines, kurių krypčių koeficientai

f'{xo + O) ir f'(xg - θ). Kai funkcijos išvestinė taške x0 yra begalinė, tai

kreivės liestinė šiame taške yra statmena ašiai Ox (67 pav.).

1.3. Funkcijos išvestinės ir jos tolydumo ryšys

Sj ryšį apibūdina tokia teorema.

Teorema. Jei funkcija f(x) turi išvestinę taške X0, tai ji šiame taške yra

tolydi.

Į r odymas . Kadangi funkcija turi išvestinę taške x0, tai egzistuoja

baigtinė riba

/ '(x0)= "m . v ' Ax-»0 Δ X

Pasiremkime teiginiu, kad funkcija skiriasi nuo savo ribos nykstamąja

funkcija. Todėl

A Z = / ' ( x 0 ) + a ; Δχ v

čia a—> 0, kai Δχ —> 0. Tuomet

Ay = / ' ( χ 0 )Δχ +αΔχ .

Iš šios lygybės išplaukia, kad

Iim Ay= Iim / ' ( χ 0 ) Δχ+ Iim « Δ χ = 0 . Δχ-»0 Δχ->0 Лх->0

Taigi nykstamą argumento pokytį atitinka nykstamas funkcijos pokytis, o

tai reiškia, kad taške x0 funkcija yra tolydi. •

Atvirkščias teiginys gali būti ir neteisingas: iš funkcijos tolydumo tam

tikrame taške dar neišplaukia, kad tame taške funkcija turi išvestinę. Jį

patvirtina anksčiau išnagrinėti du pavyzdžiai: funkcijos |x| ir yra toly-

džios taške X0 = 0, tačiau jame išvestinės neturi.

Taigi funkcijos tolydumas taške yra tik būtina tos funkcijos išvestinės

egzistavimo sąlyga. Trūkio taškuose funkcija negali turėti išvestinės.

Pavyzdys. Įrodykime, kad funkcija

m= XsinA j JfaJ x Φ o,

χ 0, kai x = 0,

yra tolydi taške x0 = 0, tačiau jame neturi išvestinės.

S p r e nd imas . Apskaičiuokime

Iim / (x) = Iim χ sin — . χ-»0 x-»0 X

Kaix->0, funkcija sin — ribos neturi, tačiau yra aprėžta, nes χ

sin χ

<1 .

Žinome, kad aprėžtos ir nykstamosios funkcijos sandauga yra nykstamoji

funkcija, todėl

Iim χ sin A = 0 . x->0 X

Taigi Iim Дх ) = 0 = / (0) , o tai reiškia, kad funkcija tolydi taške X 0 = 0. x->0

Raskime /'(0):

/ ' ( 0 ) = I im A O I A x H M = ^ f(Ax)-f(0) =

Ax^-O A x Δχ—>0 Δ X

Δ χ sin — 0 Δχ ,. . 1

= hm = Iim sin . Δχ—>0 Δ χ Δχ—>0 Δ χ

Kadangi ši riba neegzistuoja, tai duotoji funkcija neturi išvestinės taške

X 0 = O . •

1.4. Funkcijų diferencijavimo taisyklės

1 teorema. Jei funkcijos u ir v turi išvestines taške x, tai funkcijos Cu (C -

konstanta), u+v, uv ir — irgi turi išvestines šiame taške, be to, v

(Cu) = Cu',

t (m+ v) =U1 + v',

r (uv) =u'v + uv',

U I U V-UV - = 2 ' V J V

Kaip pavyzdį įrodysime trečiąją šių formulių:

, . u(x + Δχ) v(x + Δχ) -м(х) V(X) (uv) = hm — — -

Δχ->0 Ax

U ( X + Δ Χ ) - Μ ( Χ ) , , ν(χ + Δχ)-ν(χ) , , = Iim - i — ν(χ + Δχ) + hm — '- у-+-и(х) =

Δχ—>0 Δ χ Δχ-»0 Δ χ

= м'(х) ν(χ) + ν'(χ) м(х), nes Iim ν(χ + Δχ) = ν(χ) . Δχ^Ο

Taip yra todėl, kad funkcija v turi išvestinę, vadinasi, ji kartu yra ir

tolydi. •

2 teorema (sudėtinės funkcijos diferencijavimas). Tarkime, kad

funkcija u = u(x) taške X0 turi išvestinę u'x = u'(x0), o funkcija y =f(u)

atitinkamame taške UIL = u (X11) - išvestinę y'U=F\uo)· Tada sudėtinė

funkcija Y = f(u(xjj taške X0 taip pat turi išvestinę Y'X, lygią išvestinių Y'U ir

u'x sandaugai:

Ух = У'и u'x-

Į r odymas . Kadangi funkcija y = f(u) taške u0 turi išvestinę, tai

egzistuoja riba

lim = f'(u0). Δ«—»0 Ali

Iš šios lygybės išplaukia, kad

AZ=/'(Mo)+a; Au

čia α 0 , kai Δ u -» 0. Išreiškiame pokytį Ay\

Ay = / ' ( «o ) ' Au +a · Au .

Padaliję abi šios lygybės puses iš pokyčio Ax Φ 0, apskaičiuosime

abiejų pusių ribas, kai Ax->0 (dėl u (x) tolydumo Au -*0, kai Ax->0):

l im —— = Z1IUQ)- l im + l im a - l im , Δϊ^ΟΔΧ ΔΪ->0ΔΧ Δ*->0 Δ*->0ΔΧ

arba

У(*о ) = / ' ( " o ) " ' ( * o ) +0-м'(дг0),

Ух=Уиих- А

3 teorema (atvirkštinės funkcijos diferencijavimas). Tarkime, kad

funkcija y =f (x) turi ah'irkštinę funkciją χ =g (y). Jeigu funkcija y =f(x) taške

x=x0 turi baigtinę ir nelygią nuliui išvestinę f'(x0), tai atitinkamame taške

y0 =f(xo) egzistuoja atvirkštinės funkcijos χ = g (y) išvestinė, lygi —γ-—r. Taigi fVo)

x'=-L У Ух'

Į rodymas . Suteikę argumentuiy pokytį Ay, apskaičiuojame funkcijos

x = g(y) pokytį:

Ax =g(y0+Ay)-g(y0) • Pagal sąlygą funkcija y =f(x) turi atvirkštinę funkciją, vadinasi, ji yra

vienareikšmė, todėl Ax Φ0 , kai Ду^О. Turime:

Ax 1

Ay~ Ay_

Ax

Kai Ay -+ O, tai dėl funkcijos

χ = g (y) tolydumo ir pokytis

Ax->0. Tuomet —^-~+y'x, Ax

Ax o > x'v . Gavome formulę

Ay y

1

Ух

Y i

х=д[у)

Ко

p /

/ /

α

0 X0 χ

68 pav.

Paaiškinsime jos geometrinę prasmę. Žinome, kad y'x = tga (68 pav.).

Atvirkštinės funkcijos χ = g (y) grafikas sutampa su y = / (x ) grafiku, tik jos

argumentas atidedamas ašyje Oy. Todėl x'y = tg β; čia β - kampas, kurį ta

pati liestine sudaro su ašimi Oy. Taigi išvestoji formulė išreiškia žinomą

prieklausą

tgp = - ^ - , tga

к siejančią kampų α ir β tangentus, kai tų kampų suma lygi — .

1.5. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinės

1. Jeiy=const, tai Ay = O su bet kuriuo Ax, todėl y' = 0.

2. Trigonometrinių funkcijų sinx, cosx, tgx (χ +kn, k e Z) ir ctgx

2 (χ Φ kn, k e Ζ) išvestinės.

a) Argumento pokytį Ax atitinka toks funkcijos sinx pokytis Ay:

Ay = sin(x+Ax) - sinx = 2 sin-^--cos^x + -^^

Todėl

- . Ax f Ax 2 sin cos χ +

/ . / .. Ay 2 V 2 (sinx) = Iim —— = Iim —

Δχ-»θΑχ Δχ—»0 Ax

= 2 cosx Iim

. Ax sin

2 _

Δχ->0 A x

Ax

Δχ—>0 A x

.· 7 1 = 2 cosx Iim —^— = 2cosx·— = cosx,

. Δχ Δχ nes sin , kaiAx-»0

2 2

b) (cos χ) = ^sin - x j j =

= C0S(f _JC)'(_1) nes sin - x'j yra sudėtinė χ funkcija.

c) (tgx)'

C0S(f-X)(f"X

sinx ,

d) (ctgx)

R ' '

f sin χ _ (sinx) -cosx-sinx-(cosx)

VcosxJ C O S 2 X _ cosx-cosx-sinx-(-sinx) _ cos2x + sin2x _ 1 _ _ _

COS X C O S " X COS X

cosx] -sinx sinx-cosx-cosx 1

Sinxy sin2x sin2x

3. Logaritminės funkcijos у = In χ, χ > O išvestinė.

χ + Δχ j Y1 | Δχ

,, / ,. 1η(χ + Δχ)-1ηχ ~ Π' Inx = Iim —1 = Iim = Iim

> A - - . ί\ Λ „ . . П Λ . . 1 Δχ—»0 Δ χ Δχ->·0 Δ χ Δχ->0 Δ Χ

Δχ

= Iim -^l- = —, Δχ—»0 Δ χ X

Δ Τ nes In(1+α) ~ α, kai α->0; čia α = >O, kai Δ χ 0 .

χ

In χ 1 ' j Kadangi I o g a X = - — , tai (Ioga χ) =-—( Inx ) = — — .

Ιηα Ιηα χ Ιηα

4. Rodiklinės funkcijos у = αχ, α > O, α Φ1, -οο<χ< +oo išvestinė.

1 Sudarome atvirkštinę funkciją χ = Ioga y ir remiamės formule y'x = —

x'

^r t j = !—γ = — j — = y Ina = Ox Ina .

(Ioga y) — — y In a

Atskiru atveju, kai a=e, gauname:

įex)j = ^ Ine = ^ .

5. Laipsninės funkcijos y=xa,aeR,x>0 išvestinė.

Remdamiesi tapatybe A log"'' = b, gauname: χ = elnx . Todėl laipsni-

nę funkciją galima išreikšti taip:

χ α = p n x j a= g a l n . r _

Tuomet ( X A ) = ( E A L N * ) = E a l n * - ( a l n x ) ' = X T T - a - ( I n x ) ' =

= χ α · α · - = α χ " " 1 , χ

6. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų arcsinx, arccosx, arctgx ir

arcctgx išvestinės.

л a) Funkcijosy = arcsinx išvestinę nagrinėsime, kai |х|<1, |y|< у .

71 К Atvirkštinė funkcija χ = siny intervale y e (-— ) turi teigiamą išvestinę

x'y = cos y. Todėl

i • \ 1 1 1 1

(arcsinx] =

(siny)' c o s ^ Jl-Sin2y V b χ2

л nes cosy > O, kai |y | < — . Taigi

(arcsinx) = , ^ .

^ x 2

b) Funkcija y = arccosx (|х|<1, 0<y <π) yra atvirkštinė funkcijai

x = cosy , kuri intervale ye(0; π) turi neigiamą išvestinę x'y = - sin y .

Todėl

1 1 1 1 (arccosx) =

(cosy)' - s i n ^ V^ — cos2 y V b

Taigi / 1

(arccos χ)

χ2

VT X

Ti

c) Funkcija у = arctgx (χ s R, \y \ < —) yra atvirkštinė funkcijai

χ = tgy. Todėl I 1 1 1 1

(arctgx)

(tgy)' l/cos2 y l + tg2y 1 + χ2 '

d) Analogiškai apskaičiuojama funkcijos y = arcctgx (χ ей, 0<y <π )

išvestinė.

(arcctgx) =•

(ctgy)' -l/s in2 у 1 + ctg2>> 1 + x2

Taigi

(arcctgr) = — j . 1 + x

Gautus rezultatus pateiksime lentele.

1.6. Išvestinių lentelė

1. ( x a ) = a / " 1 .

r

2. [ax j = a*\m .

3. (ex) = ^ .

4·

5. (Inx)' = — .

χ I

6. (sinx) = cosx. r

7. (cosx) = -sinx.

8. ( t g x ) ' = - i - · cos X

9. ( c t g x ) ' = - —

10. (arcsinx) =

sin χ

1

V l ^ ' ι

11. (arccosx) = -

л/Г-X-2 ι — л

12. (arctgχ) = - 2" · 1 + x

I \ 13. (arcctgx) = — j .

1 + x

1.7. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas

Funkcija y = / (x ) paprastai vadinama išreikštine, nes kintamasis y

išreikštas kintamuoju χ .

Dabar tarkime, kad kintamieji χ ir y susieti tam tikra lygtimi

F{x,y) = 0 ,

be to, kiekvieną intervalo X reikšmę χ atitinka viena y reikšmė, nustatoma

iš tos lygties. Tuomet kintamąjį y galima laikyti kintamojo χ funkcija, api-

brėžta intervale X. Sakome, kad lygtis F (χ, y) = 0 apibrėžia neišreikštinę

funkciją.

Pavyzdžiui, išsprendę lygtį

x 2+y-8 = 0

kintamojoy atžvilgiu, sužinome, kad ji apibūdina funkciją y = 8-x2.

Tačiau ne kiekvieną neišreikštinę funkciją galima pakeisti išreikštine,

nes kartais iš lygties F (χ, y) = 0 neįmanoma kintamojo y išreikšti kinta-

muoju χ. Pavyzdžiui, tokia yra lygtis

2y + x-jtgy = 0.

Dabar aptarsime, kaip galima apskaičiuoti neišreikštinės funkcijos išves-

tinę, nekeičiant tos funkcijos išreikštine. Lygtį F(x, y) = 0 panariui dife-

rencijuojame argumento χ atžvilgiu, kartu turėdami galvoje, kad y yra argu-

mento χ funkcija (remiamės sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisykle).

Pavyzdys. Raskime y ' , kai funkcija apibrėžta lygtimi

X 4 + Y 4 - 4 x y = 6 .

S p r end imas . Diferencijuojame abi duotosios lygties puses:

4x3 + 4y3· y' - 4 (y+xy ' ) = 0 .

Iš šios lygybės, kaip iš lygties, randame y ' :

4 x 3 -4y χ 3 - y У -3 O · ^

4x-4y х-y

1.8. Logaritminis diferencijavimas

Kartais, prieš diferencijuodami funkciją, ją išlogaritmuojame, ypač kai

toji funkcija išreikšta kelių dauginamųjų sandauga.

1 pavyzdys. Išdiferencijuokime funkciją

(3x + l)5

е * х -(4-х)7

jos apibrėžimo srityje.

Sp r end imas . Išlogaritmavę turime:

Iny = 5 ln(3x +1) + -ln(x - 4) - tgx - 7 ln(4 - x) .

Abi gautos lygybės puses diferencijuojame argumento χ atžvilgiu:

1 - 5 ч 1 1 7 / 1\ — y = - 3 + — r = -1 . У 3x +1 3(x-4) Cos2X 4 - х v ;

Iš čia

У =У 15 1 1 7

3x +1 3(x-4) Cos2X 4 - х

15 1 1 7 + -

3x + l 3(x-4) Cos2X 4

(3x + l)5 Vx- 4

etgJC - (4-х) 7

Funkcija y = w(x)1 (u (x) > 0) vadinama sudėtine rodiklinė funkcija.

Jos išvestinė randama, tą funkciją logaritmuojant ir pritaikant sudėtinės

funkcijos bei funkcijų sandaugos taisykles išvestinei rasti:

I ' (Iny) = (v(x) · 1пм(х)) ,

1 , „ 1 , — y = v In m + v — u , У

u

Taigi

y' = v' · Inw + v · -

(mv) = v-u"-1 -u'+ uv lnu-v' .

okime funkc

y = ( * 2 + i)c

2 pavyzdys. Išdiferencijuokime funkciją

NCtgJC

jos apibrėžimo srityje.

S p r end imas .

y' = ctgx · (x2 + I p " 1 · (x2 +1) + (x2 + l p X ln(x2 + lj(ctgx) =

= 2xctgx·^. 2 лс'е^-1

χ +1) (M Ctg дг

sin2 χ -InI

( * 4 ·

diferencijavimas

Sakykime, funkcija y = / (x ) apibūdinta parametrinėmis lygtimis

I * = <P (ή,

Dar tarkime, kad egzistuoja šių funkcijų išvestinės x\, y't, o funkcija

χ = φ(ί) turi atvirkštinę funkciją t = Φ(χ) , kuri taip pat turi išvestinę.

Tuomet funkciją y = ψ(ί) galime laikyti sudėtine funkcija:

y = ψ(ί), kurios t = Φ(χ) .

Pasinaudoję sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisykle, gauname:

y'x=y'ft'x •

Tačiau t'x = —, todėl χ',

y'x=y'rjr=į- {'i*o). Λ, Į JLI

Pavyzdys. Cikloidės χ = a (i-sini) , y = a (1-cosi) liestine nubrėžta

71

per tašką Mih kurį atitinka parametro reikšmė / = y . Parašykime tos

liestinės lygtį.

S p r end imas . Pirmiausia apskaičiuokime taško A/ 0 (x 0 ;y 0 ) koordi-

nates: X 0 = a j^y-sin-^j = , y0 = fl^l-cosyj = a. Liestinės krypties koeficientas lygus y'x reikšmei taške M 0 . Randame tą reikšmę:

. π , · , flSin —

yt _ asmt I 2

x; « ( 1- co s i ) ' Ух\М» f , πΛ r v ' α 1 - cos —

Todėl liestinės lygtis yra tokia:

' π

2

π у - й = X - A l

2. Funkcijos diferencialas

2.1. Funkcijos diferencijuojamumas ir diferencialas

1 apibrėžimas. Funkcija f vadinama diferencijuojama taške X0 , kai jos

pokytį Ay = f(x0+Ax) - f (X(j) galima išreikšti suma dviejų dėmenų, kurių

pirmasis yra tiesinis Ax atžvilgiu, o antrasis - aukštesnės eilės negu Ax nyksta-

moji funkcija, t.y.

Ay = A Ax + o (Δχ) ;

ο(Δχ) čia A = const, lim — — - = 0.

Δ*->0 Ax

Teorema. Funkcija y =f(x) yra diferencijuojama taške X0 tada ir tik tada,

kai taške X0 egzistuoja išvestinė /'(x0) =A.

Į r odymas . Būtinumas. Kai funkcija/(x) yra diferencijuojama taške

x0, tai pokytį Ay galima išreikšti lygybe

Ay = A Ax + o (Δχ) ,

iš kurios išplaukia, kad

A y ^A ι Ax Ax

Tuomet

/ ' ( X 0 ) - l im ^ = l im [ А + ° - Щ = А + l i m = A . Ax->0 Ax ΔΛ—>0 v Ax ) Δ.τ-»0 AX

Taigi f'(xo)=A.

Pakankamumas. Tarkime, kad A = f'(xn). T u o m e t i = lim . Iš V Ax->0AX

Ay šios lygybės gauname: —— =A + α ; čia α —> O, kai Ax —> 0. Vadinasi ,

Δχ

CL Ax Ay = (A + α ) Δχ, arba Ay = AAx + α Δ χ . Kadangi lim =

Δ*—>0 Ax

= lim α = 0, tai α Ax = o (Δχ). Taigi Ay = A Ax + o (Δχ). • Δϊ—»0

Iš įrodytos teoremos išplaukia, kad teiginiai "funkcija turi išvestinę" ir

"funkcija yra diferencijuojama" yra ekvivalentūs.

Dydis A Ax yra pagrindinė pokyčio Ay dalis.

2 apibrėžimas. Reiškinys f '(χ0) Δχ vadinamas funkcijos f (x) diferen-

cialu taške X0 ir žymimas df(xįį) arba dy.

Taigi

dy = f'(χ) Αχ.

Pasinaudoję šia formule,

kai y = x , gauname:

dx = x' • Ax = 1 • Δχ = Δχ.

Tuomet

dy = f'(x)dx.

Išsiaiškinkime diferencialo

g e o m e t r i n ę p r a s m ę . Iš 69

paveikslo aišku, kad

BC

AB

todėl

i

У D.V=W

A W— - 8

a

0 X0 x0+Ax χ

= tga = / ' ( x 0 ) , 69 pav.

BC= f'(X0) AB= f'(x0)Ax .

Taigi df(x()) = ВС. Prieiname tokią išvadą: funkcijos diferencialas lygus liestinės,

nubrėžtos per taškų x(), ordinatės pokyčiui, atitinkančiam argumento pokytį Ax.

Suformuluosime diferencialo savybes, tiesiogiai išplaukiančias iš

diferencijavimo taisyklių bei diferencialo apibrėžimo:

d(au + βν) = a du + β ί/ν, α, β-const,

d(uv) = udv + vdu ,

u '\ vdu - udv

Panaudodami diferencialą, galime apytiksliai apskaičiuoti funkcijos

reikšmes. Kadangi

Ay = dy + o (Δχ),

tai Ay ^dy . Vadinasi,

/ (χ 0 +Δχ)-/ (χ 0 ) « / ' (x 0 ) Δχ,

/(xo+Δχ) ~f(xo) + / '(*θ) Δχ.

Pavyzdys. Apskaičiuokime ^26,8 .

S p r end imas . Pažymėkime:/(x) = Гх , Xo — 21, f (х0) = 3, Δχ =-0,2.

_ 2

Tuomet / ' ( * ) = V 3 , / ' ( x 0 ) = - _ = ± ir Ц Ш + ^- (-0 ,2 ) =

= 2,99. •

2.2. Diferencialo formos invariantiškumo savybė

Raskime sudėtinės funkcijos y = /(x), x = φ (t) diferencialą.

Įrašę j y=f(x) vietoj argumento χ jo išraišką χ = φ(ί), gausime

funkciją y = / ( φ (i)) = F (t), priklausančią nuo t . Todėl

dy = y', dt.

Kadangi y't = y'x • x't, tai dy = y'x • x't dt = y'xdx , nes pagal diferencialo

apibrėžimą dx = x't dt.

Vadinasi, diferencialo išraiška visada apibrėžiama formule

dy = f(x)dx,

nesvarbu, kokia yra funkcija f(x)'· sudėtinė ar nesudėtinė. Ši savybė ir

vadinama diferencialo formos invariantiškumo savybe. Iš paskutiniosios

formulės išplaukia, kad

= f -dy

Taigi trupmena — yra ne tik išvestinės simbolis, bet ir dviejų diferencialų dx

santykis.

3. Aukštesniųjų eilių išvestinės ir diferencialai

3.1. Aukštesniųjų eilių išvestinės

Tarkime, kad/(x) - diferencijuojama kiekviename taške χ e X funk-

cija. Jos išvestinė f'(x) yra nauja kintamojo χ funkcija g(x): f'(x) = g{x)·

Jei funkcija g(jc) diferencijuojama, tai galima kalbėti apie jos išvestinę t

§'(•*) ={f'{x)) > kuri vadinama funkcijos f(x) antrąja išvestine ir žymima

f"[x)' У'хх a f ba —r- . Analogiškai, kai f"(x) irgi diferencijuojama dx

funkcija, tai apibrėžiame trečiosios eilės išvestinę / " ' ( * ) = ( / " (^) ) > kurią

d\

žymime — γ . Apskritai, kai taške χ egzistuoja (n-l)-osios eilės išvestinė dx

/ ("_1 ) (x), tai «-tosios eilės išvestinę apibrėžiame taip:

dar rašome:

/<»>(*)- (/(»-O (χ)) ;

y(»)Jy M ) V ,a rba ^ = ^ 7 V J Иг" Ch

Funkcija vadinama n kartų diferencijuojama taške J t e I , jei šiame taške

egzistuoja visų eilių tos funkcijos išvestinės imtinai iki n-tosios eilės.

Pavyzdys. Raskime funkcijos /(x) = sinx «-tosios eilės išvestinę.

Sprendimas. Nuosekliai diferencijuojame:

/'(x) = (sinx) = cos χ = sin + xj ,

/ " ( χ ) = (cosχ) =-s inx = sin^y-2 + xJ ,

/'"(x) = (-sinx) = -cosx = sin^y-3 + x

Darome išvadą, kad

/ W ( X ) : sinl ~ n + x

Norėdami įrodyti, kad ši formulė tikrai teisinga, galėtume pasinaudoti

matematinės indukcijos metodu.

3.2. Neišreikštinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės

Kaip ieškomos neišreikštinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės,

parodysime spręsdami pavyzdį.

Pavyzdys. Raskime funkcijos, apibrėžtos lygybe

arctg ^ = | l n ( x 2 + y 2 ) ,

antrąją išvestinę.

Sprendimas. Diferencijuojame abi lygybės puses, nepamiršdami,

kad y yra kintamojo χ funkcija:

1 y'χ-y _ 1 1

1 + K 2 2 2 2 '(2x + 2yy')

y y X z 2 X z + y z

Išsprendę šią lygtį y' atžvilgiu, gauname:

, Х + У У = ·

x-y

Vėl diferencijuojame abi lygybės puses χ atžvilgiu:

..„ _ (l + / ) ( x-y )- ( l -> " ) ( x + ,v) _ 2(xy'-y)

(*-y)2 ' (*-y?

Į gautą lygybę įrašę y' išraišką ir sutvarkę, turime:

X + y 2 χ·'

Х-У -y) _2(x2+y2)

(χ-у)2 [х-УУ


aukštesniųjų eilių išvestinės

Funkcijosy, nusakytos parametrinėmis lygtimis

ίχ = φ(ή,

j ν = Ψ(ί),

pirmoji išvestinė randama pagal formulę

yi= 4 = 4 O - (O JC t

Sudarykime naują funkciją

χ = φ(ί),

y i = η(0·

Išdiferencijavę ją kintamojo χ atžvilgiu, gausime jau antrąją išvestinę,

kuri, remiantis (1) formule, apskaičiuojama taip:

Л - Щ - . P ) X1

Analogiškai galėtume rasti ir aukštesnių eilių išvestines.

Pavyzdys. Raskime funkcijos χ = a cos3?, y = a sin3i antrąją išvestinę

У»·

Sprendimas. Pasinaudokime (1) formule:

За sin2 t cost Ух = 2 ! • = " t S i ·

За cos t (-sin t)

Dabar taikykime (2) formulę:

! _ (- tS i ) ' _ cos21

yix = 3acos2 i (-sini) 3acos2 i (-sini) 3acos4 is in i

3.4. Niutono binomas

Nagrinėsime funkciją Pn(x) = (x + а ) " , kuri yra n - tojo laipsnio

daugianaris

Pn(x) = (a + x)n = A0 + A1X + A2X2 + — l · ANXN ; ( 3 )

čia A0, Ah ... ,An - koeficientai.

Įrašę į ją reikšmę χ = O, gauname A0=a". Abi (3) lygybės puses

diferencijuojame:

P;(x) = n(a + x)n~l =Α1+2Α2χ + ··· + ηΑηχη~1 . (4)

Kai χ = O, gauname A\=na"~\ Išdiferencijavę abi (4) lygybės puses,

turime:

Р Д х ) = n(n - 1)(а + x ) " ~ 2 = IA2 + 2 · 3 A 3 X + 3 · 4 A 4 X 2 + · · · +

+ n(n-l)Anxn~2 . (5)

2 n(n — l) n_2 Kaix = 0, tai IA2 = n(n-\)a ir ^l2

= — я • Išdiferencijuojame

abi (5) lygybės puses ir įrašome į ją χ reikšmę, lygią nuliui:

2 · 3A3 = n(n - 1)(ai - 2)a"~3 ; iš čia A3 = ~ an~3.

Pratęsę procesą, gautume:

n ( n - l ) . . . ( n - m + l ) f l > l_m > w = 0 ) 1 > 2 ) n

m!

Įrašę šias koeficientų išraiškas į (3) formulę, gauname vadinamąją

Niutono binomo formulę, būtent,

/ \n n n-1 A I ( W - I ) „ _ 2 2 а + X = a +nan 1X + -^ j O n z x z + ••· +

' 2 !

и ( и - 1 ) - ( и - / п + 1) я-w w ... „_ i

m !

Izaokas Niutonas (I. Newton, 1643 - 1727) - anglų fizikas ir matematikas.

„ .v, . . n(n -1) ...(n -m +1) „ .. ^ m . n Reiškinį — -—1 - pažymėję Cn ir sutarę, kad Cn = 1 ,

m\

pertvarkome Niutono binomo formulę:

(a + x)n = Cnan + C1

NUN-1X + C1NUN-1X1 + ••• + Cna"-mxm +••• + CN

NXN ,

(a + x)n = JCman~mxm .

m=O

Koeficientai Cm vadinami binominiais koeficientais; jie pasižymi įdomia

savybe:

J j C m = 2 " .

m=O

3.5. Leibnico formulė

Išveskime sandaugos uv n-tosios eilės išvestinės formulę, kai u ir v

turi išvestines iki «-tosios eilės:

(UV) =u'v + uv',

n t t

(.UV) =(u'v) +(kv') = u"v + u'v' + uv" + u'v' = u"v + 2u'v' + uv" .

Išdiferencijuojame dar kartą:

(uv)'" = u"'v + 3u"v' + 3u'v" + uv'" .

Supratę, kad koeficientai 1, 3, 3 ir 1 yra binominiai koeficientai, ir

apibendrinę, galime parašyti:

n (m)

H w = Σ Ο 1 " -

m=O

Norėdami įrodyti, kad ši formulė tikrai teisinga, galėtume panaudoti

matematinės indukcijos metodą.

3.6. Aukštesniųjų eilių diferencialai

Sakykime, kad / - diferencijuojama funkcija ir dy = f'(x)dx - jos

diferencialas. Antrosios eilės diferencialu d2y vadinamas pirmosios eilės

diferencialo diferencialas, t.y. dy = d(dy). Apskritai d"y = dįdn~1y).

Kai χ - nepriklausomas kintamasis, tai dx = Ax = const, todėl

ify = d(dy) = (dy) dx = (f'(x) dx) dx = f"(x) dxdx = f"(x)(dx)2 .

Pažymėję (dx)2 = dx2, gauname:

d2y = f"(x) dx2 .

Analogiškai įsitikintume, jog

d3y = f'"(χ) dx3 ,

dny = f^n\x)dxn .

Taigi gauname formulę

dny

Vadinasi, šiuo atveju reiškinys — y r a ne tik n - tosios eilės išvesti-

nės simbolis, bet ir trupmena, lygi tam tikrų dydžių santykiui.

Dabar sakykime, kad χ - priklausomas kintamasis: χ = φ (t). Tuomet

funkcija/(x) bus sudėtinė. Raskimejos antrosios eilės diferencialą: d2y = d(dy) = d(f'(x) dx) = d(f'(x)) dx + /'(*) d(dx) =

= f "(x)dx2 +f'(x)d2x.

Kaip matome, ši formulė nesutampa su formule d2y = f"(x)dx2 , todėl

antrosios eilės diferencialas, kartu ir aukštesniųjų eilių diferencialai, neturi

dny formos invariantiškumo savybės. Taigi šiuo atveju reiškinį galima

dxn

traktuoti tik kaip išvestinės simbolį, nesuteikiant jam santykio prasmės.

4. Vidurinių reikšmių teoremos

Įrodysime kelias teoremas, kuriomis pagrįstas įvairus išvestinių taikymas.

4.1. Ferma* teorema

Sakykime, kad funkcija f (x) yra apibrėžta intervale (a ; b), o jo vidiniame

taške c įgyja didžiausią (mažiausią) reikšmę. Jei tame taške egzistuoja baigtinė

išvestinė f '(c), tai būtinai f'(c) = 0.

Pjeras Ferma (P. de Fermat, 1601 - 1665) - prancūzų teisininkas ir matematikas.

Į rodymas . Sakykime, / (c )

- didžiausia reikšmė, t.y. su

У visomis intervalo (a; b) χ

reikšmėmis

/ ( x ) < / ( c ) « / ( x ) - / ( c ) < 0.

Pagal išvestinės apibrėžimą

0 α

f '(c) = lim • _ ^ x—>c X-C

Ši riba nepriklauso nuo to, ar χ

artėja prie c iš kairės, ar iš deši-

70 pav. nės, nes išvestinė taške χ = c

egzistuoja.

f(x) - f (c) Kai χ > c, tai χ — c > 0, todėl w y ' < 0 . Tuomet

X-C

lim M z / l f l < 0 ir / ' (c) <0. x->c+0 X-C

Kaix < c, tai A x ) ~ f { c ) > q į r l i m Л Х ) ~ Л С ) > Q t o d ė ] л > 0

X-C X^c-0 X-C

Gavome: / ' (c) < 0 ir f'(c) > 0. Iš šių dviejų nelygybių išplaukia, kad

f'(c) = 0. A

Geometrinė lygybės prasmė tokia: c - vidinis intervalo (a; b) taškas,

per kurį išvesta kreivės y = f (x) liestinė yra lygiagreti ašiai Ox. Esminis šios

teoremos reikalavimas, kad taškas c būtų intervalo (a ; b) vidinis taškas, nes

reikėjo ieškoti vienpusių ribų jame.

Jeigu funkcija didžiausią (mažiausią) reikšmę įgytų atkarpos (a ; b)

gale (70 pav.), tai liestinė galėtų ir nebūti lygiagreti ašiai Ox, todėl ir

išvestinė tame taške galėtų nebūti lygi nuliui.

4.2. Rolio* teorema

Sakykime, kad funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a; b], diferencijuojama

bent intervale (a; b), be to, f (a) = f (b). Tada tarp a ir b yra bent vienas

taškas c (a <c <b), kuriame f'(c) = 0 .

Į r odymas . Iš ankstesnio kurso žinome, kad tolydi atkarpoje funkcija

įgyja tiek mažiausią reikšmę m, tiek ir didžiausią M.

Jei M=m, ta i / (x) =M = m = const visame intervale ir / '(x) = 0 su

Vx s(a-,b).

Mišelis Rolis (M.Rolle, 1652 - 1719) - prancūzų matematikas.

Yi

s—N4 K

r . a 0 C1 C 2 b χ 0 1 χ

7 1 Pav- 72 pav.

Jei МФГП, tai abi reikšmės negali būti įgyjamos atkarpos galuose, nes

f (a) = f (b). Vadinasi, didžiausia arba mažiausia reikšmė įgyjama kuriame

nors vidiniame taške c. Tada pagal Ferma teoremą / '(c) = 0. •

Geometrinė šios teoremos prasmė tokia: jei funkcijos reikšmės atkar-

pos galuose lygios, tai egzistuoja bent vienas vidinis atkarpos taškas,

kuriame liestine lygiagreti ašiai Ox (71 pav.).

Visi Rolio teoremos reikalavimai yra esminiai. Pateiksime pavyzdžių.

1 pavyzdys. Nagrinėkime funkciją f(x) = |x[, χ e[-l; l].

Nors /(-1) = / (1) = 1, tačiau nė viename atkarpos [-1; 1] taške

f'(x)* O, nes netenkinamas diferencijuojamumo intervale (-1; 1) reika-

lavimas (jau anksčiau išsiaiškinome, kad taške x = 0 funkcija |x| yra

nediferencijuojama). •

2 pavyzdys. Funkcija f(x) = x-{x\ (72 pav.) atkarpoje [0; 1]

apibūdinama sąryšiu

, j i , kai O < χ < 1,

/ l * J - { 0 , kai χ = I.

Nors ši funkcija diferencijuojama intervale (0; 1) ir / (0 ) = / (1 ) = O, tačiau

/ ' ( * ) * O visuose intervalo (0; 1) taškuose. Taip yra todėl, kad funkcija

trūki taške* = 1. •

4.3. Koši teorema

Sakykime, kad funkcijos f(x) ir g(x) yra tolydžios atkarpoje [a\ b],

diferencijuojamos bent intervale (a; b), be to, g'(x) * O intervale (a; b).

Tada tarp a ir b yra taškas c, kuriame

f (b)-f (a) f'(c)

g(b)-g(a) g'(c)"

Ši formulė vadinama Koši formule, o pati teorema - Koši, arba

baigtinių pokyčių, teorema.

Į r odymas . Skirtumas g(b)-g(a) ^ O, nes priešingu atveju būtų

g (b) = g(a), tuomet pagal Rolio teoremą g'(x) kuriame nors intervalo

taške būtų lygi nuliui, o tai prieštarautų teoremos sąlygai.

Sudarome pagalbinę funkciją

F(x) = f(x)-f(a)-^M(g(x)-g(a)).

Ji tenkina visas Rolio teoremos sąlygas:

1) F (x) tolydi su Vx e [a; b], nes f(x) ir g (x) tolydžios;

2) F'(x) egzistuoja su VJC e (α ; b):

3) F(a) = O, F(f>) = /(i>) - / ( „ ) - M (g( i) - s H ) =O .

Todėl pagal Rolio teoremą tarp a ir b yra taškas c, kuriame F'(c) = O .

Įrašę į (6) formulę vietoj χ dydį c ir prilyginę išvestinę nuliui, gauname:

Iš šios lygybės ir išplaukia Koši formulė. •

4.4. Lagranžo teorema

Lagranžo teorema yra Koši teoremos atskiras atvejis, kai g (χ) = x.

Tuome tg ( a )=a i r g ( b ) = b ir = 1 ^O su Vx e(a; b).

Teorema. Jei funkcija y = f(x) yra tolydi atkarpoje [a; b] ir diferen-

cijuojama intervale (a ; b), tai tarp a ir b yra taškas c, kuriame f (b) - f (a) =

= f'(c)-(b-a).

Į r odymas . Kaig(x) =x , iš Koši teoremos išplaukia, kad yra taškas c

(a < c < b), kuriame

fiT-a a )

=Ψ~ ' a r b a W - M = Пс)-(Ь-а). A

Si formulė vadinama Lagranžo formule.

Išnagrinėkime Lagranžo teoremos geometrinę prasmę (73 pav.).

Kadangi b-a =AC, Vk

f(b)-f(a)=BC, tai m

B

Sąlyga tga = / ' (c) reiškia, kad

c - toks taškas, kuriame kreivės

liestinė lygiagreti stygai AB.

f(a) /

C

Kadangi c yra tarp a ir b, tai

a <c <b i r O < c-a < b-a, todė l

c-a = Θ (b-a); čia O < Θ < 1. Taigi

с =a + Θ (b-a). Tuomet Lagranžo

formulę galima parašyti taip:

O C

73 pav .

f(b)-f{a)=f\a + Q(b-a)){b-a).

Nors Lagranžo formulėje yra nežinomas taškas c arba nežinomas

dydis Θ, tačiau tai nekliudo šią formulę taikyti, ypač kai reikia pertvarkyti

dviejų funkcijos reikšmių skirtumą. Tuo įsitikinsime vėliau ne vieną kartą.

4.5. Lopitalio* teorema

Tarkime, kad f ir g - tolydžios ir diferencijuojamos taško a aplinkoje,

galbūt išskyrus patį tašką a, funkcijos,

be to, g'{x) Φ O minėtoje aplinkoje. Tuomet, jeigu egzistuoja , tai

Į r odymas . Funkcijos f(x) irg(x) gali būti neapibrėžtos taške a, todėl

tarsime, k a d / ( a ) = O, g (a)= 0. Tuomet funkcijos f(x) ir g (x) bus tolydžios

taške a ir tenkins Koši teoremos sąlygas. Galima parašyti Koši formulę:

lim f(x) = lim g(x) = 0,

egzistuoja ir riba lim ir kartu teisinga lygybė

/ W = M z M = Z M g(x) g(x)-g(a) g'(c) '

Gijomas Fransua Antuanas de Lopitalis (G. F. A. de L'Hospital, 1661 - 1704) -

prancūzų matematikas.

kurioje χ < c <a arba a <c <x. Kai χ ->a, tai c ->a . Vadinasi,

*->a g(x) c->a g'(c) x-+a g'(x)

4.6. Lopitalio taisyklė

Ši taisyklė taikoma neapibrėžtumams aiškinti. Ji remiasi įrodytąja

Lopitalio teorema, iš kurios formuluotės aišku, kad Lopitalio taisyklė

taikytina neapibrėžtumui -jj-.

1 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą

ex -1 lim .

>o χ

Sp r end imas .

H m M l = W - l i m i l - 1 . A

x—>0 X VO J л;->0 1

Jeigu, pritaikius vieną kartą Lopitalio taisyklę, neapibrėžtumas -Ц

neišnyksta, taisyklė taikoma dar kartą.

,. ex-e~x-2x Г ОЛ ,. е*+<Г*-2 f O 2 pavyzdys. Iim = — = lim = —

x—>0 x-s i nx VOy >0 l-cosx VO

= H m M M J M l i m M M = 2 . A

x->0 sinx vO/ *->0 cosx

Teoremą įrodėme taikydami neapibrėžtumui -Ц, kai χ ->a . Tačiau ji

OO teisinga ir tada, kai χ ^>oo. Be to, ją galima taikyti ir neapibrėžtumui — ,

OO

kai χ ->a arba χ oo. Šių teiginių įrodymo čia nepateikiame.

xn

3 pavyzdys. Apskaičiuokime lim , kai a > O, n > O . X—•+со Qax

OO Sp r end imas . Kaix->+oo, turime neapibrėžtumą — . Pritaikę Lopi-

oo

talio taisyklę n kartų, gauname:

г x " ν "Xn'1 v " ( " - 1 K ' 2 n\ . д lim = lim = lim — — j 1 = ... = lim =0. • X->+oo Cax

X->+oo (Igax x ->+oo a Cax x ->+co CJnCax

Lopitalio taisyklę galima taikyti ir tada, kai turime neapibrėžtumus

O-co, oo -oo, 0°, oo0, Iе0. Tačiau pirmiausia juos reikia pertvarkyti j neapi-

brėžtumus — arba — . Neapibrėžtumus 0°, oo°, ir V galima pakeisti

O oo

neapibrėžtumu O со, išlogaritmavus duotąjį reiškinį. Pavyzdžiui, neapi-

brėžtumą O -oo, kuris atsiranda apskaičiuojant sandaugos ribą, ka i /-^0 , O oo f g

g -+со, taip pakeičiame neapibrėžtumu — arba — : fg= ~, arba . O oo 1 1

g 7

Reiškinį f-g, iš kurio gauname neapibrėžtumą со^зо, kai f—><x>, ir g —><x>,

pertvarkome šitaip:

1 _ 1

ι ι _ 8 f f~8 =

I I I I

f 8 f 8

ir gauname neapibrėžtumą —. Išspręsime dar keletą pavyzdžių.

. JC - A sin-

• X-Cl ш ч ,. 2 4 pavyzdys. Iim sin t g — =(0 • ooj = Iim — =

χ—>a 2 2a x—>a 1

tg ^ 2a

. J C - a J C - a 1 1 Sin /r.\ COS —

= Iim — — = i—1 = Iim - 2 _ 2 _ = __2_ = _ « . A x ^ a c t e— ^ x ^ a . π — π

2 a s i n 2 — 2 a 2 a

2 a

,· Γ 1 1 "l / \ ,· * - l - l n * (O 5 pavyzdys. Iim = ( 0 0 - g cJ = bm -; г = — *-*ιν1ηχ x-\) x->i ( J C - I j l n J C vO

l - I , - JC , · Г 0 Л , . 1 1 : Iim — - = Iim = — = Iim = —.

injc + ^ 1 X^ixlnx + x - l VoJ X-+1 l n x + x l + 1 2

X JC

ι

6 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą Iim (— arccosjc] 1 . x->ov π J

π 1 S p r e n d i m a s . Kaix->0, tai arccosx — ir >00, todėl čia turime

2 χ

neapibrėžtumą I х . Pažymėkime: l imf—arccosx)A = A . Abi šios lygybės x-»0V π J

puses išlogaritmuojame:

1

InA = In I imf—arccosx)x = Iim Ini—arccosx] л = Iim — Inf—arccosx] = *->ον π J ν π J Х-УОХ ν π J

ln(^-arccosxj I n - + Inarccos л:

= (со · 0) = Iim = — = Iim _π

χ->0 χ VO J χ->ο χ

1 1

arccosx Γ-, ~2 ι τ = Iim V 1 χ = - Iim = - -

^ 0 1 j m 0 V I - X 2 arccosx 71

2 2

Taigi InA = — , todėl A = e π . • π

5. Teiloro formulė

Išvesime labai svarbią formulę, kuri funkciją išreiškia tam tikru

daugianariu.

5.1. Daugianario Teiloro formulė

Sakykime, kad Pn(x) yra n -tojo laipsnio daugianaris

Ρη(χ) = α 0 + α ι ( χ - χ 0 ) + · · ·+α η (χ-χ 0 ) η .

Išdiferencijąvę jį n kartų, gauname:

Pn(x) = ai + 2a2(x-xo) + 3a?,(x-Xo)2 +'" + nan{x ~ xo)" ^

Pn(x) = 2a2 + 2-3a3(x-X0)+---+n(n - 1 )a„(x-x0)" 2,

P™(x) = 2 • 3a3 + · · ·+ n(n - l)(/i - 2) an(x - x 0 ) "~ 3 ,

pįn\x) = n(n-l)(n-2)...3-2 Ian .

Brukąs Teiloras (B.Taylor, 1685 - 1731) - anglų matematikas.

Įrašykime j daugianario ir jo išvestinių išraiškas vietoj χ dydįx0:

PN(X0) = a o , Pn(x0) = ax , Pn(x0) = Ha2 , P"(x0) = 3!a3 ,...

···. Pnn\*0) = nlan.

Iš šių lygybių išplaukia, kad

«о= Pn(x0), "i=Pn(xo)> a2 = ,

РпЫ Лк)Ы

Įrašę šias koeficientų išraiškas j pradinę daugianario išraišką,

gauname vadinamąją daugianario Teiloro formulę:

Pn(x) = PN(X0)+ P^(x0)(x-x0)+ X0)2+•••+

)-. (7) n\

5.2. Funkcijos reiškimas Teiloro formule

Nagrinėkime bet kurią n +1 kartą diferencijuojamą tam tikrame

intervale X funkciją/(x), kuri apskritai nėra daugianaris. Pagal analogiją su

(7) formule sudarykime daugianarj

Pn(x) = f(x0)4U)(x-x 0 ) + ^ ( χ - χ 0 ) 2+ · · · + ^ ^ ( χ - χ 0 ) η · ,

čia χ ir x0 e X. Nors šio daugianario ir funkcijos/(x) reikšmės taške x(1 bei jų

atitinkamų išvestinių iki «-tos eilės reikšmės taške x() sutampa, tačiau

bendru atveju, kai pati funkcija /(x) nėra daugianaris, negalima tvirtinti,

kad/(x)=F„(x). Sakykime, f(x) nuo P„(x) skiriasi dydžiu rn (x):

r„ (χ)= f (x)-Pn(x) ,

t.y.

rn (x) = f(x) - f (X0) - f'(x0)(x -X0)- X - X0)2 - . . . -

-I^M(X-X0)". ' · (8) n\

Dydis rn (x) vadinamas liekana, arba liekamuoju nariu.

Apibrėžtumo dėlei tarkime, kad χ > x0. Analogiškai, kaip ir (8) formu-

lėje, dydį Xo pakeitę kintamuoju z, sudarykime pagalbinę funkciją

φ(ζ) = f (χ) - f (ζ) - f'(z)(x - ζ) - - ζ)2 - · · · - ^ ( χ - ζ)" , (9)

apibrėžtą atkarpoje [лг(); jc]. Kadangi funkcija f (χ) yra n kartų diferencijuojama, tai funkcijos

/ , / ' , / " , . . . , tolydžios intervaleX, todėl funkcija φ(ζ) irgi tolydi tame

intervale. Be to, ji ir diferencijuojama, o jos išvestinė lygi

φ'(ζ) = -f (z) - f"(z)(x - z) + f'(z)-£№-(x -Z)2+ f"(z)(x - z) - . . . -

f{n+l\z)( чи-1 f{n + % ) , λη n m

Pasirinkime dar vieną tolydžią atkarpoje [jr0; x] ir diferencijuojamą

intervale funkciją ψ ( ζ ) , kurios ψ ' ( ζ ) * 0 . Funkcijos ψ(ζ)

išraiškos kol kas nesukonkretiname. Funkcijos φ(ζ) ir ψ(ζ) tenkina Koši

teoremos sąlygas, todėl joms atkarpoje [xa; χ ] pritaikome Koši formulę:

φ(*)-φ(*θ) _ Ф'(с) • čia xt)<c <x .

ψ(χ)-ψ(Λ:ο) Ψ'(c)

Iš (9) ir (10) formulių turime:

/·(/! +1)/ \

cp(x) = 0 , ср(дс0) = /·„(*), ф'(с) = - у ^ ( д с - с ) " .

Taigi

f(n+%) 0 _ и! -(χ - с ) "

is cia

ψ(* )-ψ ( *ο ) Ψ ' Μ

= лт! ψ-įc) W ^ M •

Parinkę skirtingas ψ(ζ) išraiškas, gauname nevienodos formos

liekamuosius narius. Kai ψ(ζ) =(x-z)"+ ' (tokia funkcija tinka, nes ji

tenkina keliamus jai reikalavimus), tai \| / (Д : ) = 0 , Ψ ( Λ : 0 ) = ( Χ - * О ) " + 1 >

ψ'(ζ) = -(n + l ) ( j t-z)" , ψ'(с) = -(n + l ) (x-c)" .

Tuomet

n+1 &+%)(χ-ή", , r η _ /"+%),

r n { x ) - ~ n U n + l ) ( X - c ) " \ ' { X ~ X 0 )

Liekamasis narys, nusakomas šia lygybe, vadinamas Lagranžo formos

liekamuoju nariu. Jo išraiška labai panaši į Teiloro formulės (n + l)-ojo

nario išraišką — — - 0^ (x - χο)"+1 ; yra tik vienintelis skirtumas -(n + 1)!

liekanoje išvestinės reikšmė apskaičiuojama ne taške x a , bet tarpiniame

taške се(х0\ x) . Atsižvelgdami į tai, kad f(x)=Pn (x)+rn (x), parašome

galutinę Teiloro formulės išraišką:

f(x) = f (xo) + Χ -X0)+ ^ ( x - xo)2 + - +

\n,ft+1\c)t \n+\ ί Λ Λ , + +- į—.WT(X-XQ) • ( U )

П! (n + 1)!

Pažymėję x-x0 = Δ χ , f(x)-f(x0) = Af(x0), gauname dar vieną Teiloro

formulės išraišką

Af(X0) = f'(x 0) Ax + I ^ A x 2 +..·+ AX" +

f(n+1)(

C)Ax"+1

(n + 1)!

Jeigu parinktume ψ(ζ) = x-z, tai gautume Koši formos liekamąjį narį.

Tuomet ψ(χ) = 0 , ψ(^ο) -x-xo , ψ'(ζ) = - 1 , todėl

Φ ) =~^(x~c)n(X-X0) • (12)

Prisiminę, kad C galima pakeisti C = X0 + Θ(χ-χ()), 0 < Θ < 1 ,

gauname

X - C = x-x0 - Θ (X-XQ) = (1 - Θ) (χ-χ0).

Įrašę šią χ - c išraišką į (12) formulę, gauname galutinę Koši formos

liekamojo nario išraišką

i i ! V N l i 1 n v r rn(x) = i -(1-©) (*-*o)

5.3. Kai kurių elementariųjų funkcijų reiškimas

Makloreno* formule

Teiloro formulė, kurios x0 = O, vadinama Makloreno formule.

Remiantis (11) formule, galima parašyti tokią Makloreno formulės

išraišką:

1! 2! n\

+ f{n+\)xn,

(и + 1)! (13)

Rasime kai kurių elementariųjų funkcijų dėstinius, gaunamus pri-

taikius (13) formulę.

l . / ( x ) = Kadangi f{n\x) = e*, / ( " } (0 ) = 1 su Vn eN , tai

у . X X X ( \ e =l + x + — + — +··· + — + /Jx ;

2! 3! n\ ' (14)

čia r„(x) = —r-x"+1, O < c <x. (n +1)!

2.f(x) = s i n x Įrodėme, kad

/ W ( x ) = s i n [n^ + xj . Tuomet/ ( n )(0) = sin

k s Z. Todėl

mz O, n = 2k,

(-1)*, n = 2k +1,

χ3 χ5 χ 1 \k χ

2k + l

SinX = X H H H ( — l ) , , 3! 5! 7! v ' (2k +1)!

+ г2к+з{х) ; ( !5)

čia \г2к+з{х)\ = Лк+3

(2 к + 3) jSin((2A: + 3 ) | + c}

Лк+г

(2& + 3)! COSC

3. / (χ) = cosx. Kadangi f^"\x) = c o s y + xj , tai analogiškai

sinusui gauname:

X 2 X 4 X 6 K X2K

Cosx = I 1- + •··+(-1) 7—r- + /71-+2(*) ; (16) 2! 4! 6! y 1 (2k)\ v '

ia 1¾+2 W l = cia

Лк+2

(2k + 2)\ COS C

Kolinas Maklorenas (C.Maclaurin, 1698 -1746) - škotų matematikas.

4.f (χ) = ln(l+jt). Randame išvestines:

{l + x)

Apskaičiuojame jų reikšmes taške χ = 0:

/ (0 ) = 0, / ' (0) = 1, /"(0) = -1, . . . , /(")(0) = (- I r 1 (M- I ) !

Vadinasi,

ln(l + x) = x - ^ - + y - ^ - + - + ( - l У ' ^ + ф ) ;

cia r

n+1

( l + c)"+1(n +1)

(17)

5. fix) = (l+лг)01, kai α ей.

Kadangi f(n\x) = α ( α - 1 ) . . . ( α - n + 1) (ΐ + χ) α~", tai

/ (0 ) = 1, / '(0) = α, / " (0) = a ( a - l ) , . . . , / W ( 0 ) = α ( α - 1)... ( α - n + 1).

Tuomet

ι, \a , α (α -1) τ α ( α -1). . . (α - η +1) η /1ПЧ ( l + x) = l + c a + v ^ i 'χ2 + ···+ — — ^ '-x"+rnix); (18)

2! η!

cia r, . ( r ) α ( α ~ ΐ ) - ( α - η ) / Ί ла-и-l „+ι

Iš šios formulės, kai а = n e N, gauname Niutono binomo formulę, nes

tuomet rn (x) = 0 .

Remdamiesi išvestomis (15) - (18) formulėmis, galime tam tikru tiks-

lumu funkciją pakeisti daugianariu, kurio reikšmė pasirinktame taške

apskaičiuojama atliekant aritmetinius veiksmus. Tokie funkcijų dėstiniai

naudojami apskaičiuojant funkcijų reikšmes su ESM.

5.4. Funkcijų reikšmių apskaičiavimas

1 pavyzdys. 0,0001 tikslumu apskaičiuokime J e .

S p r e nd imas . Įrašę į (14) formulę vietoj χ skaičių j ,gauname:

n 2 i i ) 3 f I х "

4~e=e2 = + + (19) 2 2! 3! n\

ec 1 1 - 1 čia r„= - - , 0< c < —. Kadangi ec < e2 <2, tai rn <

(n +1)!2"+1' 2 " ' (И + 1)!2Я

Norėdami išsiaiškinti, kiek reikia imti (19) sumos dėmenų, kad galėtume

J e apskaičiuoti duotuoju tikslumu, reikalaujame, kad liekamasis narys

būtų mažesnis už duotąjį tikslumą, t.y.

<0,0001 .

(n + 1) !2"

Ši nelygybė jau teisinga, kai n = 5 , nes tuomet

— = — < 0,0001 . 6! 2 32-720

Taigi -Te « 1 + - + - M + + — — + M - «1,6487. • 2 2 -2! 2 ·3! 2 -4! 2 5 ·5!

2 pavyzdys. 10 ~4 tikslumu apskaičiuokime sin I 0 .

S p r end imas . Įrašykime į (15) formulę tokį keitinį:χ = — ( l 0 = — r a d ) . 180 180

Gausime:

3 , 2k+l • ,o π π ι л\к π

Sinl = 5 +•••+ -1 —Γ—, Ьг^+з ; 180 1803-3! V ' 180 (2k +1)!

cia Ы+з| :

2fc+3

COSC

1802*+3 (2k + 3)!

Pareikalaukime, kad būtų

2k+3

, nes lcoscl < 1. 180 (2k + 3)!

2к+Ъ

< 0,0001 . 1802/с+3 (2к + 3)!

Kadangi ši nelygybė jau teisinga, kai k = 0 , tai

sin I 0 « — я 0,0175. 180

6. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos

6.1. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos sąvoka

Sakykime, kad kiekvieną argumento t e [i0; T] reikšmę atitinka spin-

dulio vektoriaus r taško M(x; y; z) (74 pav.) koordinatės, apskaičiuotos

pagal formules

χ = x(t), χ i

<y = y{t), (20)

z = z(t).

Kintant parametro t reikšmei,

kis ir taško M padėtis. Taigi

spindulys vektorius r brėš erdvinę

kreivę, vadinamą to spindulio

vektoriaus hodografu (graikiškai 0 У

hodos - „kelias"). ^ ^ ^

(20) lygtys vadinamos para- >r

metrinėmis kreivės lygtimis, o * 74 av

lygtis i = r (i)=(χ (t); y (/); 2 (i)) PaV'

vadinama vektorine kreivės lygtimi. Funkcija r (i) vadinama skaliarinio argu-

mento vektorine funkcija.

Išvesime sraigtinės kreivės lygtį. Šią kreivę gauname vyniodami statųjį

trikampį ABC aplink cilindrą (75 pav.). Pėdsakas, kurį cilindro šoniniame

paviršiuje palieka to trikampio įžambinė, ir yra sraigtinė kreivė.

Pažymėkime: AO = α , ZMAN' = Θ , Z AON= t. Tuomet taško

M(x; y ; z ) koordinatės bus χ = a cos t, y = a sin i,

U

z = MN= M'N' = NA- tg Θ = AN- tg Θ = at • tg Θ . Vadinasi, sraigtinės

kreivės parametrinės lygtys yra tokios:

X = ACOSi,

• y = asini,

z = atgO -t.

6.2. Vektorinės funkcijos riba, tolydumas ir išvestinė

Tarkime, kad l i m x ( i ) = x 0 , Iim y(t) = y 0 , Iim z(t) = z0. Vektorius t^tO '^tO t^tO

r0 = (x 0 ^ 0 ' ½ ) vadinamas funkcijos r(i) riba, kai t->t0. Taigi

Iim r( i) = r0 . Jeigu x0 =x(t0),y0 =y(t0), Z0 = z (i0), tai funkcija r( i ) vadi-n o

nama tolydžiąja taške t0. Tuomet

Iim f(i) = F(i0).

Apibrėšime vektorinės funkcijos išvestinę. Sakykime, kad parametro

reikšmę t atitinka kreivės taškas M, o reikšmę t + At - taškas Mi (76 pav.). —>

Tuomet MM 1 = r (i + Δί) - r(i) = Ar .

Apskaičiuokime Δ? koordinates:

Δ γ = (x(i + At) - x(i); y(t + At) - y(t); z(t + At) - z(i)) =

(Δχ; Лу; Az) .

. Ar f Ax _ Ay Az^

At Sudarome santykį — = — ; ——; — . Jo ribą, kai Δί->0, ir vadi-

At At At

dr name vektorinės funkcijos išvestine. Žymime — . Jeigu funkcijos χ (i), y (i) ir

dt

z (t) turi išvestines, tai vektoriaus — = : ; — koordinatės artėja Δί U i At At) J

. dx dy dz , . , _ _ . . prie — , — , — , kai Δ i -» O. Taigi

dt dt dt

d į _ _ ( < b . 4 L . d z \ _ , τ + v ' - l + z ' - k

dt ~{dt'dt'dt)~X' 1+У' i + Zt k

Išsiaiškinsime geometrinę išvestinės pras-

Ar mę. Vektorius — yra kolinearus vektoriui

At

Ar . Kai A/-»0, tai taškas M i kreive artėja

prie taško M, o styga MM1 ribiniu atveju uži-

ma liestinės, nubrėžtos per tašką M, padėtį.

Ar Tokia pati bus ir ribinė vektoriaus —

F At

padėtis. Vadinasi, — bus nukreiptas išilgai dt 76 pav.

kreivės liestinės, nubrėžtos per tašką M, be to,

parametro t didėjimo kryptimi. Kitaip sakant, jį galėsime laikyti kreivės

liestinės krypties vektoriumi s = (x't; y't; zį). Liestinės, nubrėžtos per tašką

M 0 (X0; y o; z0), lygtys bus tokios:

Z-Z n * - * o _ У - У o _ ^

x\ y[ z;

Plokštuma, nubrėžta per lietimosi tašką stamenai liestinei, vadinama

normaliąja kreivės plokštuma. Kadangi liestinė statmena šiai plokštumai, tai

liestinės krypties vektorių s galima laikyti normaliosios plokštumos

normaliuoju vektoriumi i i = (jc't; y't; z't ). Tuomet normaliosios plokštu-

mos lygtis bus tokia:

jc;(jc-x0) + y ; ( y-y 0 ) + z ; ( z - z 0 ) = o .

Teisingos šios vektorinių funkcijų diferencijavimo formulės:

. d - ч Jr1 db 1) Γι + Г? ) = i- + - - · ' dr 1 21 dt dt

dr , , α — j

dt dt 2) į ( a r ) = α eR:

.. d /_ „ , dri _ _ dr2 4 ) •

Visos šios formulės įrodomos analogiškai, kaip ir skaitinių funkcijų

diferencijavimo formulės. Kaip pavyzdį įrodysime 4) formulę. Žinome, kad

i j k F1Xr2=X1 yx Z1 .

X2 y 2 Z2

Pasiremkime determinanto diferencijavimo formule, kurią čia

pateikiame be įrodymo:

X 1 Ч J I ζί xI У\ zI X1 У\ zI

x2 Уг zI - χ2 У2 ζ2 + χ2 У 2 ζ2 + χ2 У 2 ζ2

Уъ zI * 3 Уъ ζ3 χ3 Уз ζ3 χ3 Уз ζ3

Vadinasi,

I r (F 1 Xi 2 ) =

d r, - _ dr7 = X r7 + Γι X -

dt 1 1 dt

0 0 0 i j к i j к

X1 У1 zI + X J У1 zI + xI У\ zI χ2 У2 ζ2 χ2 У2 ζ2 χ2 У2 z2

de

Pavyzdys. Įrodykime, kad e ± — , k a i |e| =1.

Sprend imas . Kadangi |e| =1, tai её =1, todėl

- ( е ё ) = O . dty '

Antra vertus,

d de _ _ de „ de _ — ее = e + e = 2 e = U . dt dt dt dt

Lygybė ^ e = O ir reiškia, kad vektoriai e ir yra tarpusavyje

statmeni.

7. Kai kurios kreivių teorijos žinios

7.1. Plokščiosios kreivės kreivis

Kreivės formą galima apibūdinti jos išlinkiu. Tarkime, duota kreivė,

kuri kiekviename taške turi liestinę. Pažymėkime kreivės tašką A ir

nubrėžkime jos liestinę AM (77 pav.). Sakykime, kad lietimosi taškas buvo

perkeltas į tašką B, tada liestinė AM užėmė padėtį BN. Kampą MCB

pažymėkime α .

1 apibrėžimas. Lanko AB vidutiniu

kreiviu /cvjd vadinamas dydis

Ia l ^vid

AB

2 apibrėžimas. Kreivės kreiviu taške A

vadinama vidutinio kreivio riba, kai taškas

B artėja prie taško A :

kA = Iim kvid B^A

Iim B->A

u , \AB

77 pav.

1 pavyzdys. Apskaičiuokime apskri-

timo (78 pav.), kurio spindulys r, kreivį

bet kuriame taške.

S p r end imas . Kadangi AB = α ·r ,

tai

ir

cvid α

ar

kA = Iim ArvItJ = Iim — = — . B^>A B-*A r r 78 pav.

Taigi apskritimo kreivis kiekvie-

name jo taške vienodas ir lygus — . •

r

Išveskime kreivėsy = f(x) kreivio formulę bet kuriame taške M(x; y)

(79 pav.). Parinkime dar vieną kreivės tašką M1, kurio abscise χ+Ax ir

nubrėžkime dvi liestines: vieną - per tašką M, kitą - per M1 . Jų su ašimi

Ox sudaromus kampus pažymėkime φ ir φ + Δ φ . Tuomet Z MiNT = Δ φ. u

Lanko M 0 M ilgį nuo tam tikro taško M0 pažymėkime s . Tuomet jo

U U U

pokytis Δ s, atsiradęs dėl χ pakitimo, bus Δ 5 = M 0 M 1 - M 0 M = M M 1 .

Taigi

dų ^•'vid — - M * = I i m M =

As—>0 As | δ j ds

Dydžiai φ ir i priklauso nuo χ, todėl lygtis φ = φ (χ) ir .s = ί (x)

galima laikyti parametrinėmis funkcijos φ lygtimis, priklausančiomis nuo

parametro χ , todėl

άφ

dy _~dx

ds ds^ '

cbc

79 pav.

Rasime išvestines — ir — . Kadangi tg φ = y', tai φ = aretg y' ir dx dx

•y-d(Į> _ 1

dx i + y ' 2

Iš 80 paveikslo matome, kad

MM1 = As* \MMX\ = JAx2+Ay2 ,

As ^ JAX2 +Ay2 I | f Ay

Δϊ Δχ V ΐΔχ ,

ds v As , Ay ... .„ v. As — = lim — , o y - lim — , todėl is sąrysio — dx Δ*—>0 Ax Δτ->0 Ax Δχ V V Ar

l + l —

gauname: — = J l + у ' 2 . Tuomet dx

У dų> _ 1 +у'2 '

( ι + у 2 у

к = \у"\

(I + / 2 ) '

7.2. Kreivio apskritimas

Dydis R = — vadinamas kreivės kreivio taške M spinduliu. Per tašką

M (x; y) nubrėžiame kreivės / normalę MP (81 pav.) ir nuo taško M atstu-

mu

R = — pažymime tašką M0, be to, toje pusėje nuo M, iš kurios žiūrint k

kreivė atrodo esanti įgaubta. Taškas M0 vadinamas kreivės kreivio taške M

1 centru, o apskritimas, kurio centras taške M0 ir spindulys R= kreivio

k

apskritimu. Rasime to apskritimo centro M0 koordinates α ir β.

Į normalės lygtį

įrašę vietoj X ir Y dydžius α ir β,

turime:

P - y = - i - ( a - x ) . (21) y'

Iš sąlygos \MQM\=R, panaudoję

atstumo tarp dviejų taškų M0 ir M for-

mulę, gauname:

д/(а - χ ) 2 + ( β - y ) 2 = R . (22)

K a

о

81 pav.

Į (22) lygtį įrašome β -y išraišką, apibrėžiamą (21) lygtimi, ir pertvarkome

gautą lygtį:

(α -χ)2 ί ~ ( α - χ ) 2 =R2,

(а - χ)2 R у'2 R2

1 i + - V 1 + 3 7

j ' 2

,2

Iš čia

Tuomet

α-χ = R\ У'

λ/Ϊ+7 ,2

α = χ ±

7 1 + y ,2

•R.

P = y + •R .

\3/2

\у"~

(ι+У'2)3

Įrašę j pastarąsias formules vietoj R reiškinį - — j — f — , gauname:

y'{ 1 + y ' 2 )

[y" I

_ 1 + V ' 2

а = дс± V—i . β = ^ + — И ' Dabar turime nuspręsti, kurį ženklą pasirinkti. Iš 81 paveikslo aišku,

kad β > y , kai kreivė yra įgaubta, todėl pasirenkame apatinį ženklą.

Kadangi y" > O , tai \y"\ = y" . Vadinasi,

W 1 + / 2 ) 1 + y'2

а = * Ч г - ^ , P = y + (23) y " y "

Analogiškai įrodytume, kad šios formulės teisingos ir tada, kai kreivė

iškila.

7.3. Evoliutė ir evolventė

Kreivės kreivio centrų geometrinė vieta vadinama kreivės evoliute, o

pati kreivė evoliutės atžvilgiu - evolvente (arba involiute).

Pavyzdys. Išveskime elipsės χ = a cos t , y = b sin / evoliutės lygtį.

S p r e nd imas . Apskaičiuojame:

y't b cost b Ух = — = — = — ctgi,

χ', -as in i a

b 1

„» - ( ½ ) ' - a sin2 t Ух -a sint a 2 sin3 i '

Įrašę šias reikšmes į (23) formules ir atlikę veiksmus, gauname:

b ctgi

а = a cos t - -

i O \ i b 2 1 H—o-ctg i

V a 2 Ι 2

a — b 3 cos t ,

a 2 • "i

a sin"51

β = bsini +

1 b2 2 1 + - C t g _ i b2 - a2 . 3

sin t .

2 · 3 a sin t

Eliminavę iš šių lygybių parametrą t , gauname evoliutės lygtį

82 pav.

α

2

- I i

a)

a2-b2

ab

83 pav.

84 pav.

Ši lygtis panaši į astroidės lygtį

2 2 2 χ3 уЗ = c3 todėl ir elipsės evo-

liutė savo forma panaši į astroidę

(82 pav.). •

Iš evoliutės apibrėžimo aišku,

kad evoliutės liestine yra evolventės

normalė. Todėl kreivės evoliutę

galima gauti taip: per kiekvieną kreivės tašką brėžiame jos normalę ir

randame kreivę, liečiančią visas šias normales (83 pav.). Jei kiekviena

normale paleistume šviesos spindulį, tai šviesa koncentruotųsi evoliutėje.

Todėl optikoje evoliutė vadinama kaustika (graikiškai kaustikos -

deginantis).

Technikoje dažnai naudojama apskritimo evolventė, t.y. kreivė, kurią

brėžia ant apskritimo vyniojamo siūlo galas (84 pav.). Šios kreivės formą

turi dantračių profiliai, turbinos rato mentės, pakeliamojo tilto mecha-

nizme įtaisytas skridinys ir kt.

8. Funkcijų tyrimas

8.1. Funkcijos pastovumo sąlyga

Teorema. Jei diferencijuojamos inter\'ale (a; b) funkcijos išvestinė

tapačiai lygi nuliui, tai funkcija f(x) tame intervale yra pastovi.

Į r odymas . Pasirinkime du intervalo (a; b) taškus X\, хг ir

pritaikykime Lagranžo teoremą:

/ ( * 2 ) - / ( * l ) = / ' ( c ) ( x 2 - * l ) ;

čia X1 < c <x2 . Kadangi f'(c) = O, tai f(x2) -f(xi) = O, f(x2) = f(xi). O

tai reiškia, kad/'(x) = const, χ e (я; b). A

Išvada. Jei dviejų funkcijų f (x) irg(x) išvestinės intervale (a; b) sutampa,

tai tos funkcijos tame intervale skiriasi tik konstanta. I

Iš tiesų, jei f'(x) = g'(x), tai (f(x)-g(x)) = 0. Remiantis įrodytąja

teorema, galima parašyti, kad/(x) - g (x) = const.

8.2. Funkcijos monotoniškumas

Teorema. Jei diferencijuojamos inten'ale (a; b) funkcijos išvestinė yra

teigiama (neigiama), tai funkcija tame intervale didėja (mažėja).

Į r odymas . Įrodysime, kad funkcija didėja, kai f'(x) > 0, χ e (a; b).

Pasirinkime du intervalo (a; b) taškus Xi, x2 (χλ <x2) ir pritaikykime

Lagranžo formulę:

/ ( X 2 ) - Z ( X 1 ) = Z - ( C ) ( X 2 - X 1 ) .

Kadangi f'(c) > 0, X 2 - X 1 > 0, tai f'(c) (x2 - X1) > 0, tuomet f (X2)-f(xi) > 0.

Iš čia f (x2) > f(xI). Taigi iš X 2 > X\ =>

= > Z ( * 2 ) >f(x 1)· Vadinasi, funkcija f(x)

didėja. •

Paminėsime, kad teoremoje su-

formuluotoji sąlyga f'(x) >0 nėra bū-

tina funkcijai didėti. Teoremos teiginys

teisingas ir tada, kai intervalo (a\ b)

— • viduje yra baigtinis skaičius taškų,

kuriuose f'(x) = 0 (85 pav.). Tai taškai,

kuriuose liestinė yra lygiagreti ašiai Ox. 85 pav.

8.3. Funkcijos ekstremumai, būtinos jų sąlygos

Apibrėžimas. Funkcijos f(x) reikšmė f(x0) vadinama tos funkcijos

maksimumu (minimumu), kai yra taško x0 aplinka (xo - δ; Χο+δ), kurioje su

visais χ teisinga nelygybė f (x0) > Z ( * ) ( Z ( * o ) -f(x)) (86, 87 pav.).

Kitaip sakant, taškas X 0 yra funkcijos maksimumo (minimumo) taškas,

jei reikšmė f(x0) yra didžiausia (mažiausia) iš visų reikšmių, įgytų tam

tikroje taško X 0 aplinkoje. Todėl taip apibrėžti maksimumas ir minimumas

χ0-δχ0χ0+δ χ

86 pav.

О χ , - δ X D X d + 6 X

86 pav.

88 pav. 89 pav.

vadinami lokaliaisiais (lotyniškai localis - „vietinis"). Maksimumas ir

minimumas kartu vadinami ekstremumais.

Iš pradžių tarkime, kad intervale (я; b) funkcija turi baigtinę išvestinę.

Jei taškas x0 yra funkcijos ekstremumo taškas, tai egzistuoja aplinka

(x0 - δ; X0 + δ), kurios vidiniame taške x0 funkcija įgyja didžiausią arba

mažiausią reikšmę. Tuomet pagal Ferma teoremą / ' ( x 0 ) = 0 . Tai tik

būtina ekstremumo sąlyga, ir nereikia manyti, kad kiekviename taške,

kuriame / ' (x 0 ) = 0, funkcija turi ekstremumą. Štai, pavyzdžiui, funkcijos

•y J

y = x (88 pav.) išvestinė y' = 3x taške χ = 0 yra lygi nuliui, tačiau šiame

taške funkcija ekstremumo neturi. Ekstremumas gali būti ir tokiame taške,

kuriame funkcija neturi išvestinės. Funkcija y = |x| taške x = 0 neturi

išvestinės (žr. šio skyriaus 1.1 skyrelio 1 pavyzdį ir 63 pav.), tačiau χ = 0 yra

jos minimumo taškas. 89 paveiksle pavaizduotas grafikas funkcijos

У = 1 - х 3 kuri neturi išvestinės taške χ = 0, bet šiame taške įgyja

maksimumą. Tačiau nereikia manyti, kad kiekviename taške, kuriame

išvestinė neegzistuoja, funkcija turi ekstremumą. Pavyzdžiui, funkcija

У = Тх taške χ = O neturi išvestinės, tačiau ji tame taške ir ekstremumo

neturi (64 pav.).

Taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja,

vadinami kritiniais taškais.

8.4. Pakankamos ekstremumų sąlygos

Dabar suformuluosime sąlygas, kurių pakanka, kad egzistuotų eks-

tremumas. Sakykime, kad x0 yra vienas iš funkcijos kritinių taškų; jame

f'(xo) lygi nuliui arba neegzistuoja.

1 teorema. Tarkime, kad funkcija f(x) taško X0 aplinkoje (.X0 - δ; JC0 + δ),

(išskyrus gal būt tašką X0) turi baigtinę išvestinę f'{x). Kai /'(*)> O

intervale (xn - δ; x0) ir f'(x) < 0 intervale (jto; xu + δ), tai taškas x0 yra

funkcijos f (x) maksimumo taškas. Kai f'[x) < 0 intervale (x0 - δ; X0) ir

f'(x) > 0 intervale (x0; X0 + δ), tai taškas XIL yra funkcijos f(x) minimumo

taškas.

Paprastai ši teorema formuluojama trumpiau: kai χ einant per tašką

x0, išvestinė pliuso ženklą keičia į minuso ženklą, tai X0 yra maksimumo

taškas; kai minusą keičia pliusu, tai X0 yra minimumo taškas.

Į r odymas . Įrodysime tik pirmąją teoremos dalį apie maksimumą.

Antroji dalis įrodoma analogiškai. Sakykime, kad

f'(x) > 0 , kai χ < x0,

f'(x) < 0, kai x>x0.

Pritaikykime Lagranžo formulę:

f(x)-f(x0) = f'(c)(x-x0) ;

čia c yra tarp л: ir X0.

1) Kaix <x0 , tai f'(c) > 0 ir x-x0 < 0, todėl iš f '(c) (x-x0)< 0 =>

=>f(x)-f(xo) < 0, arba/(xo) >f(x).

2) Ka i * >x0 , tai f'(c) < 0 ir x-x0 > 0, todėl iš f'(с) (д:-л:0)< 0 =>

=>/Ы >f(x).

Taigi funkcijos reikšmė taške X0 yra didžiausia, lyginant ją su kitomis

funkcijos reikšmėmis, paimtomis iš intervalo (JC0 - δ; x0 + δ). Tuomet

taškas X0 pagal apibrėžimą yra maksimumo taškas. •

Įrodytoji teorema vadinama pirmąja pakankama ekstremumo egzista-

vimo taisykle. Geometriškai ji iliustruojama taip.

Kai f'(xo) = 0, tai liestinė, einanti per tašką x0 (90 pav.), yra lygiagreti

ašiai Οχ, o kai f'(x0) neegzistuoja, tai liestinė yra lygiagreti ašiai Oy

(91 pav.). Jeigu, be to, dar

išvestinė keičia ženklą, pavyz-

džiui, iš pliuso į minusą, tai

kreivė iki taško X0 kyla į viršų,

po to, perėjusi per tašką x0,

leidžiasi žemyn. Tai bus maksi-

mumo taškas. Jeigu išvestinės

ženklas nesikeičia, tai kreivė, ir

praėjusi tašką x0, lieka tokia

pati, kokia buvo: arba kylanti

aukštyn, arba besileidžianti

žemyn; taške x0 ji tik persi-

lenkia.

Suformuluosime dar vieną

pakankamą ekstremumo egzis-

tavimo sąlygą, paprastai vadi-

namą antrąja taisykle.

Sakykime, kad taško X0

aplinkoje egzistuoja pirmoji ir

antroji funkcijos išvestinės.

2 teorema. Tarkime, kad

f'(x0) =0, o f"(xo)*0. Taškas

X0 yra maksimumo taškas, kai

/ " ( * „ ) <0 , ir minimumo taš-

kas, kai f"(x()) >0.

Vl W = ū max

T A .

min

g -¾, e iš

I

o

90 pav.

f (X0) neegzist. max ima

A ж , mirt

0

91 pav.

Į rodymas . Vėl įrodysime tik pirmąją teoremos dalį.

Kadangi antroji išvestinė yra pirmosios išvestinės f'(x) išvestinė, tai

/ ' ( * ) - / ' ( * o ) _ l i m / ' ( * )

χ • f "(χ o ) = lim nes

XO χ

Tarkime, kad / " ( ^ 0 ) < 0. Tuomet ir / 'W

/ '( j rO) = 0.

< 0 . X — XQ

Kai X<XQ, tai x-x0 < 0, todėl f'(x) > 0, o kai χ >xa , tai x-x0 > 0,

todėl f'(x) < 0. Išvestinė pakeitė ženklą iš pliuso į minusą, todėl pagal

pirmąją taisyklę taškas xf) - maksimumo taškas. •

Antroji taisyklė netinka, kai taške x„ f'(x0) neegzistuoja. Ji netinka ir

tada, kai f " ( x 0 ) = 0. Tuomet reikia taikyti pirmąją taisyklę. Taigi pirmoji

taisyklė taikoma plačiau negu antroji.

8.5. Funkcijos didžiausioji ir mažiausioji reikšmė

atkarpoje

Funkcijos ekstremumai (minimumai ir maksimumai) ne visuomet

sutampa su didžiausiomis ir mažiausiomis reikšmėmis atkarpoje. Tai

parodysime brėžinyje (92 pav.). Kaip matyti iš grafiko, mažiausiąją reikšmę

funkcija įgyja taške x3 - viename iš minimumo taškų, didžiausiąją -

dešiniajame intervalo gale, t.y. taške b, kuriame funkcija neturi ekstre-

mumo (nes dešiniau taško b funkcija neapibrėžta).

Suformuluosime taisyklę, kaip apskaičiuoti funkcijos didžiausiąją ir

mažiausiąją reikšmę atkarpoje.

Norint rasti funkcijos mažiausiąją ir didžiausiąją reikšmę, reikia

sužinoti atkarpoje esančius funkcijos kritinius taškus, apskaičiuoti funkci-

jos reikšmes juose bei atkarpos galuose ir iš visų gautų reikšmių išrinkti

mažiausią ir didžiausią reikšmę.

1 pavyzdys. Raskime funkcijos y didžiausiąją ir mažiau-

siąją reikšmę atkarpoje [-4; 3].

S p r e nd imas . Randame

У = —

л/25-x2

ir kritinį tašką χ = O, kuriame y' = 0. Kiti kritiniai taškai χ = ± 5,

kuriuose y' neegzistuoja, nepriklauso atkarpai [-4; 3]. Apskaičiuojame

y (0) = 5, y (-4) = 3, y(3) = 4 . Vadinasi,

max y = 5, miny = 3 . •

*<e[-4;3] xe[-4;3]

2 pavyzdys. Skritulys, kurio spindulys R, padarytas iš filtravimo popie-

riaus. Iš skritulio reikia išpjauti tokią kampo α išpjovą, kurią sulankstę į

kūgį, gautume didžiausio tūrio filtrą (93 pav.). Apskaičiuokime šio filtro

tūrį.

Уi

\ X / σ X1 0 λ 2 b *

93 pav.

Sp rend imas . Tarkime, kad gauto kūginio filtro spindulys yra r, aukš-

tinė - h. Jo sudaromoji bus R. Apskaičiuojame tūrį:

F= -7ir2/z = Inr2 JR2-r2 .

3 3 v

Kūgio pagrindo apskritimo ilgis 2π r lygus lanko / ilgiui, o šis lygus Ra. Todėl

2nr = Λα. β

Iš čia r = — α . Įrašę šią reikšmę į tūrio formulę, gauname: 2 π

R t α) = τ-α 2ν4π 2 - a 2

K ( a ) o , 2

24π

Aišku, kad 0< α < 2π . Vadinasi, uždavinys bus išspręstas, kai rasime

funkcijos V maksimumo tašką intervale (0; 2π ).

Ieškome šios funkcijos išvestinės:

V(a) = R3

24π 2ал/4тг2 - а 2

R 3 α^8π2 - З а 2 j

2-\/4π2 - α 2 J 24π2 y lAn 2 -а 2

2а

Šios funkcijos kritinis taškas а 0 = 2π^— rad (α0 « 294°). Kadangi

F'(А) > O, kai А < OT0 ir F'(А) < O, kai А > OF L , tai taškas OT0 - maksimumo

3 pavyzdys. Įrodykime, kad su visais jc e ( - oo; + oo) yra teisinga

nelygybė

1 x2+x + l 3 — < <— . 2 * 2 + l 2

Sp r end imas . Išnagrinėkime funkciją y = χ2 + χ +1 ., . v

χ , apibrėžtą χ2 + 1

visoje skaičių tiesėje. Nelygybė bus įrodyta, jeigu įrodysime, kad jos

3

didžiausioji ir mažiausioji reikšmė intervale (- oo; + со) atitinkamai lygi —

ir — . Kadangi funkcija apibrėžta visoje skaičių tiesėje ir lim y = 1, tai 2 x - > ± x

jos didžiausioji ir mažiausioji reikšmė sutaps su maksimumu ir minimumu.

Ieškome šios funkcijos ekstremumų:

y' = O, kai x = - l ir χ = 1. Patikrinę, kad taške χ = -1 funkcija įgyja mini-

mumą, o taške x = 1 - maksimumą, apskaičiuojame ym in= —, ymax = ~ •

1 3 Vadinasi, — < y < — . •

2 2

8.6. Kreivės iškilumas ir perlinkio taškai

1 apibrėžimas. Kreivė vadinama iškila aukštyn (žemyn) taške x0, jeigu

egzistuoja to taško aplinka FG ( X Q ) , kurioje visi tos kreivės taškai yra po

liestine (virš liestinės), nubrėžta per kreivės tašką X0 (94 pav.).

2 apibrėžimas. Taškas M, kuris atskiria iškilą aukštyn kreivės dalį nuo

iškilos žemyn dalies, vadinamas kreivės perlinkio (vingio) tašku (95 pav.).

1 teorema. Jei taške X0 funkcija f(x) turi tolydžią antrąją išvestinę, kuri

yra neigiama (teigiama), tai kreivė tame taške yra iškila aukštyn (žemyn).

Į rodymas . Sakykime, kad f(x 0 ) < 0. Nagrinėkime taško X0 aplinką

K5 (x0). Per tašką x0 nubrėžiame liestinę T (96 pav.) ir parašome jos lygtį

yi~f{xo) = f'{xo){x-xo)> У1 = fixo) + f'{xo){x-xo)•

Norėdami įrodyti, kad kreivė taške x0 yra iškila aukštyn, turime įrodyti,

kad to taško aplinkoje liestinės taškai yra virš kreivės taškų, t.y. kad

У a - Ув > 0 . Funkciją/(x) išreiškiame taško X0 aplinkoje Teiloro formule:

У'

(2x + l)(x2 + l )~ ( * 2 +x+ l ) 2x 1_χ2

f (χ) = f(x0) + f'(x0 )(x - X 0 ) + - xo У2;

čia c ε Κ δ ( χ 0 ) . Randame skirtumą:

УА-УВ =YI~f(x)=f{x о) +

+ / ' ( * o ) ( *-*o ) - f[хо) -

у ii

f"(c)

2!

r

X0-S Xo Xo+δ

94 pav.

M

0 X

95 pav.

- X 0 ) 2 .

Iš sąlygos f{x0) < O ir

/ " (x 0 ) tolydumo išplaukia, kad

ir f "(c) < O pakankamai mažoje

aplinkoje. Kadangi

(x-x0) > O, tai у а -у в > 0.

Teorema įrodyta.

2 teorema (būtina perlinkio

taško sąlyga). Jeigu funkcija f

taške X0 turi tolydžią antrąją

išvestinę ir taškas X0 yra kreivės

perlinkio taškas, tai / " (x 0 ) = 0.

Į rodymas . Jei taškex0 būtų

/ " ( x 0 ) > 0 (arba / " ( * „ ) <0 ) ,

tai remiantis 1 teorema, kreivė y n

šiame taške būtų iškila žemyn

(arba aukštyn). Iš to ir išplaukia

teoremoje suformuluotas rezul-

tatas.

3 teorema. Jei / " (x 0 ) = 0

ir antroji išvestinė, eidama per 0

tašką X0, keičia ženklą, tai taškas

X0 - perlinkio taškas. 96 pav.

Į r odymas . Jeigu f"(x) <0,

kai χ <x0 ir f " (x ) > 0, kai χ >x 0 , tai į kairę nuo taško X0 kreivė yra iškila

aukštyn, o į dešinę nuo x0 - iškila žemyn. Tuomet pagal apibrėžimą taškas

X0 - perlinkio taškas. •

8.7. Grafiko asimptotės

Apibrėžimas. Tiesė vadinama kreivės asimptote, kai bet kurio kreivės

taško atstumas iki tos tiesės artėja prie nulio, taškui tolstant kreive (97 pav.).

Asimptotės skirstomos į vertikaliąsias ir pasvirąsias.

1. Vertikaliosios asimptotės. Jei nors viena šių ribų lim f{x), x->a-O

lim /(JC) , lim /(JC) yra begali-

jt->a+0 Jt->a

nė, tiesė x = a yra vertikalioji

asimptotė (97 pav., c).

1

O)

yn

O Γ\ O

C)

Pavyzdžiui, kreivės y = jc + 3

vertikalioji asimptotė yra tiesė

JC = -3, nes

1 lim

j t - > - 3 - 0 JC + 3

lim ^ = + OO

x - > - 3 + 0 JC + 3

2. Pasvirosios asimptotės. Sa-

kykime, kad tokios asimptotės

lygtis y = kx + b. Rasime koefi-

cientus k ir b.

Taškas M(x;y) yra kreivės

taškas, o N(x;yN) - asimptotės

taškas, a - kampas, kurį asimptotė

sudaro su teigiama ašies Ojc kryptimi (98 pav.).

Pagal apibrėžimą, kai / yra asimp-

totė, tai lim MP = 0. Iš Δ MNP X->00

MP turime:

MN cos α

π αφ —

2

f ... MP todel MN=

cos α

MP ->0. Todėl

ir M/V—>0, kai

I i m M A f = 11т(у-удг) = *->co X >co

= lim (/(*)-fee-ft) = 0 .

Pritaikę ribų dėsnius, gauname:

b = l im (/(JC) - kx] .

Be to,

l i m (/(JC) - K X - B J =

= lim JC x—>cc

М . к Л j . o .

Kadangi sandaugos riba lygi nuliui,

JC Φ O, tai antrojo dauginamojo riba turi

būti lygi nuliui. Todėl

lim X-*<x>

M \ χ

- k - b -

Xa

Ol X

98 pav .

= 0 .

Tačiau > 0 , kai JC - > oo, vadinasi, χ

lim JC—>QO

/W -к = 0 ,

fl· к = lim

X—>co X

Atskiru atveju, kai к = O, asimptotė y = b yra tiesė, lygiagreti ašiai Ox.

Jei, apskaičiuodami koeficientus к arba b, sužinome, kad bent viena

iš ribų yra begalinė arba neegzistuoja, tai funkcijos grafikas pasvirosios

asimptotės ne t u r i . Be to, ieškodami koeficientų к ir b, privalome nepa-

miršti, kad užrašas JC - > со suvokiamas kaip du: JC - oo ir JC + oo.

Todėl, jeigu reikia, atskirai apskaičiuojame ribas, kai JC - > + oo ir JC - > - oo,

nes jos gali būti ir skirtingos.

Pavyzdys. Raskime funkcijos y = - J C - 3JC + 2

JC + 7

Sp rend imas . Vertikalioji asimptotė

lim y = +oo. Apskaičiuojame koeficientus: χ->-7+0

asimptotės.

tiesė JC = - 7 , nes

,. -jcz-3JC + 2 к = lim — r

л:->+oo (χ+ 7)-JC = - 1

b = lim *->±G0

F - X 2 - 3 X + 2

x + 7 - + χ r 4 x + 2 л = lim = 4 .

χ—>±oo x + 7

Todėl pasvirosios asimptotės lygtis tokia: y = -x + 4 .

8.8. Bendroji funkcijos tyrimo ir jos grafiko braižymo

schema

Funkciją tiriame pagal tokią schemą.

1. Nustatome funkcijos /(x) apibrėžimo sritį. Jeigu yra trūkio taškų,

apskaičiuojame funkcijos ribas jiems iš kairės ir iš dešinės, taip pat ribas

apibrėžimo srities galuose.

2. Ištiriame, kokia yra funkcija: lyginė ar nelyginė, periodinė ar ne-

periodinė.

3. Išsprendę lygtį f(x)= O, randame taškus, kuriuose funkcijos grafikas

kerta ašį Ox. Įrašę į funkcijos išraišką χ reikšmę, lygią nuliui, randame

tašką, kuriame grafikas kerta ašį Oy.

4. Išdiferencijuojame funkciją. Randame lygties f'(x) = O šaknis.

Prijungę prie jų taškus, kuriuose f '(x) neegzistuoja, gauname visus kriti-

nius taškus. Jie padalija apibrėžimo sritį į tam tikrus intervalus. Nustatę

išvestinės ženklą kuriame nors pasirinktame intervalo taške, sužinome,

koks yra išvestinės ženklas visame tame intervale. Taip tvirtinti galime štai

kodėl. Jeigu intervale išvestinė keistų ženklą, tai tame intervale dar turėtų

būti taškas, kuriame išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja, t.y. turėtų būti

kritinis taškas. Tačiau visi kritiniai taškai jau surasti. Ištyrę, koks yra

išvestinės ženklas kiekviename intervale, sužinome funkcijos didėjimo ir

mažėjimo intervalus bei ekstremumo taškus. Apskaičiuojame funkcijos

ekstremumus.

5. Randame funkcijos antrąją išvestinę. Išsprendžiame lygtį

f"(x) = O. Prie jos šaknų prijungę dar ir taškus, kuriuose f"(x) neegzis-

tuoja, sužinome, kurie iš jų gali būti perlinkio taškai. Sie taškai apibrėžimo

sritį padalija į tam tikrus intrevalus. Nustatę antrosios išvestinės ženklą

kiekviename tokiame intervale, sužinome grafiko iškilumo intervalus bei

perlinkio taškus. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes perlinkio taškuose.

6. Randame vertikaliąsias ir pasvirąsias grafiko asimptotes.

7. Braižome funkcijos grafiką.

Sprend imas . 1. Funkcija egzistuoja, kai χ φ\. Todėl jos apibrėžimo

sritis tokia: (-oo; l )u ( l ;oo ) . Apskaičiuojame

Pavyzdys. Ištirkime funkciją y = (* + l)3

ir nubraižykime jos grafiką. ( , - I ) 2

Iim y =+oo , Iim y =-oo, Iim у = + с о . jc->1+0 лг-»+со

2. Funkcija nei lyginė, nei nelyginė, nes

фу (χ) bei y (-χ) Φ -y (χ).

Funkcija neperiodinė.

3. Funkcijos grafikas kerta ašį Ox taške χ = -1, nes šiame taške y = O,

o ašį Oy- taške y = 1.

4. Randame

„ , , t i i M

~ . (X-I)3 ' y' = O, kai χ — -1 arba χ = 5. Šie taškai apibrėžimo sritį padalija į inter-

valus ( - o o ; -1), ( -1 ; 1), (1; 5) ir (5; oo). Paėmę kurią nors χ reikšmę iš

vieno šių intervalų, ištiriame, koks yra y ' ženklas (jį žymime simboliu

sgny ' ) šiame taške. Toks pat y ' ženklas bus ir visame intervale. Taip pat

nustatome y' ženklą ir kituose intervaluose. Sudarome lentelę.

1 l en te l ė

X ( - o o ; - 1 ) - 1 ( - i ; υ ( i ; 5) 5 ( 5 ; oo)

sgn y ' + 0 + - 0 +

У ekstr . n ė r a Ч m i n .

Apskaičiuojame ymį„ taške χ = 5: ymi„ = 13,5. Taške χ = -1 ekstremu-

mo nėra, nes pirmoji išvestinė, eidama per šį tašką, ženklo nepakeitė.

5. Randame

24(^+1)

' " ( - D 4 ^ y " =0 , kai χ = -1. Sudarome y" ženklo tyrimo rezultatų lentelę.

2 l en te l ė

χ ( - o o ; - 1 ) - 1 ( - 1 ; i ) ( 1 ; oo)

S g n у " - 0 + +

K r e i v ė n p e r l i n k i s U u

Apskaičiuojame урегИпк, kai χ = -1 : урегИпк = 0.

6. Grafikas turi vertikaliąją asimptotę x = l . Randame pasvirosios

asimptotėsy = kx+b koeficientus:

χ3 +3x2 + 3x +1 k = lim + = lim

*->·±α0(χ-ΐ) χ *->±<» χ - 2 x +χ = 1,

b = lim X->±°0 (χ- I ) 2

5x + 2x + 1 = lim —-z = 5 .

* - > ± o o JC2 - 2 x + 2

0 χ

99 pav.

Todėl pasvirosios asimptotės lygtis y = χ + 5.

7. Grafiką braižome taip:

1) Pažymime taškus, kuriuose funkcija neegzistuoja, bei taškus, ku-

riuose grafikas kerta ašį Ox ir ašį Oy.

2) Nubrėžiame asimptotės.

3) Pažymime maksimumo, minimumo, perlinkio taškus.

4) Braižome kreivę, atsižvelgdami į abi lenteles: imame pirmą inter-

valą ir žiūrime, kokia yra funkcija - didėjanti ar mažėjanti - ir koks jos

grafikas šiame intervale - iškilas aukštyn ar žemyn, ir 1.1., pavyzdžiui, iš

pirmos lentelės matyti, kad intervale (-oo; -1) funkcija didėja, o iš antros

lentelės - kad šiame intervale kreivė yra iškila aukštyn. Todėl šiame

intervale grafiko dalis gali atrodyti tik taip, kaip parodyta 99 pav., a.

5) Braižydami grafiką, būtinai atsižvelgiame į ribas, kurias apskai-

čiavome pirmajame tyrimo punkte. Ištirtos funkcijos grafikas pavaizduotas

100 paveiksle.

y n

13,5

01 5 χ

Uždaviniai

1. Pasinaudodami išvestinės apibrėžimu, raskite f'(x), kai:

a) f{x) = χ3; b) fix) = cosx; c) fix) = tgx; d) /(χ) = e1.

2. Tarkime, kad funkcijos/(χ) ir g (x) taške χ = O turi išvestines,

/ (0 ) = g(0) = 0. Įrodykite, kad:

. , b f i . / t o ) ; b) = x->0 X K ' *->0 g(x) g'(0)

3. Jei/(x) turi išvestinę taške x 0 , tai

* / ( *o )-*o f {χ Iim

X^rX X — XQ / ( *o )-*o / ' ( *o )

Įrodykite.

4. Išdiferencijuokite funkcijas:

a)y = |x|; b ) y = x | x | ; c ) y = l n | x | ; d)y = |cos3x |.

5. Funkcija y = | cosx | tolydi su kiekviena χ reikšme. Įsitikinkite,

к kad taškuose — + π n (n e Z) ji neturi išvestinės.

6. Raskite šių funkcijų išvestines taške x 0 :

i ! -cosx . a ) / ( * ) = χ , k a i x *U , b ) / w =

[O, kai x = 0, X0 = 0;

c)/(x) = Γ 2 s i n į ' k a i * * 0 ' d)/(x) =

10, kai x = 0, X0 = 0;

. π X sin—

e x - 1, kai χ Φ 0,

0, kai x = 0, X0 = 0;

f l + x z - l , kai χ Φ 0,

χ 0 , kai χ = 0, X0 = 0.

7. Išdiferencijuokite funkcijas:

a )y-Χ2-4 +

χ 2 - 4 + 4 Inl ( x 2 - 4 ) ; b ) y = ( 3 ^ - 4 ) ^ + 1 ) 3 ;

d) y = sin2(cosx) + cos2(sinx);

f) y = 2 V 1 + X2 + 31n(x + yfv+л

c)y = arctg(e* -e jcJ;

e)y = ^sinln(Ctgx) ;

g)y = -i(tg3x + Incos2 3x) ; h)y=xarccos J X ^ + Vx -arctg Vx ;

i )y = X

cos — I 2

+ 2arctgJcos — - In

1 + , I r

1 + , I COS — Il 2

1 - , I *

1 - , 11 cos •—

j )y = aretg j t g \ + l n ^ 2 + tg2x + tgx j ;

f2 + tg2x

k)y = Xх , χ > O ; \)y= (sinx)'8*; t t

m )У - (chx)sh i (prieš tai įrodykite, kad (shx) = chx, (chr) = shr).

8. Įrodykite, kad n-tosios eilės determinanto išvestinė apskaičiuojama

pagal formulę

/ n W /12(-*) · •f 1η{χ) /11W / I 2 W - •ЛЛ W

A i W Л 2 М · - Z t n W

Il

fili*) Z t 2 W - ••/te W

/ / J lW / л 2 ( * ) · ••/ил W / n l W fn2ix) · • / n « W

9. Tarkime, kad /(x) ir g(x) diferencijuojamos intervale (a; b)

funkcijos ir f(x) > g(x). Ar teisingas intervale (a; b) sąryšis

f{x) > *'(*) ?

10. Įrodykite formules:

a) l + 2x + 3x +--- + WC „_ ! = l - ( n + l)x" +

(1-х) 2

nx n+1

+2

b) I 2 +22 - x + 32 - x2 + ··· + n 2 x " _ 1 =

l + x - ( n + l ) 2 x " + (2n2 +2 n- 1 )x"+1 - я 2 х "

= ί 7 ? 11. Raskite y'x , kai:

a) χ = 2 cos t, y = 3 sin t; b) χ = cos31, у = sin31;

c)χ = ln( l-f ) , у = arccos Vf ;

d) χ = arcsin

л/Г+ f

у = arccos 1

2 Vi + ί2

12. Raskite y'x , kai funkcija apibrėžta neišreikštine lygtimi:

b) + ^ = ;

У

2 2 \ x У 1 a) — + — = 1 ; > 4 9

c)y+xexy = 0;

X2

13. Per hiperbolės —τ-α

Parašykite jos lygtį.

d) aretg — = xy . χ

V2

= 1 tašką (xo;yo) nubrėžta liestinė. b

14. Įrodykite, kad apskritimo x2+y2 = a2 liestinė yra to apskritimo

evolventės χ = a (cos t + i sin f), y = a (s ini-rcos/) normalė.

15. Įrodykite, kad traktrisės χ = a (^lntgy+ cosij , y = as in i (a>0,

ie(0; π)) liestinės atkarpos tarp lietimosi taško ir ašies Ox ilgis yra

pastovus.

16. Raskite šių funkcijų diferencialus dy, kai:

a)y = ^4 + x2 ; b )у = 1п|з~л/х) ; c)y = arcsin|x| .

17. Taikydami formulę / (χ + Δ χ ) « f(x) + f'(x) Ax , įrodykite apytik-

sles lygybes (Ax - mažas): 2

a) ( l + Δϊ) я 1 + •—; b ) s i n A x « A x ; n

c) e"x * 1 + Δ* ; d) In (1+ Δχ ) « Δχ ;

e) Ux + Ax ~ Ifx H -==.

3 ίχ2

18. 0,001 tikslumu apskaičiuokite apytiksles reikšmes:

a) sin 61°; b) arcsin0,49 ; c )^ / įoT; d)eH'2.

19. Raskite y" , kai:

а)y = In sin*; b)y = W l + x2 ; с)у = е'Щх;

20. Raskite y ^ , kai:

A )y=x", n s N; b ) y = COSA:; C )y=——-· cx+ d

i_

21. Įrodykite, kad funkcija f(x) =e x~ , kai χ i r / (0 ) = 0 , turi

antros eilės išvestinę taške x0 = O .

22. Raskite y"x , kai:

a) χ = л/1 - t 2 , _y = arcsini; b)x = c h i , y = \п[е1 +e~' j .

23. Suteikite Rolio ir Lagranžo teoremoms fizikinę prasmę, tarę, kad

χ - laikas, o /(x) - judančio tiese materialaus taško koordinatė laiko

momentu x.

24. Ar galima taikyti Rolio teoremą šioms funkcijoms:

a ) f ( x ) =TXa - 3x2 - 8 atkarpoje [- 1; 1]; b) / (x) = -Jjxf atkarpoje [- 2; 2]?

25. Taikydami Lagranžo formulę, įrodykite, kad šios nelygybės yra

teisingos:

χ — y X X-V a) — < In— < — , kaiO<_y<x; b) |cosx-cos_y| < |x-.y| .

χ y y

26. Tarkime, kad funkcija / (x) : 1) atkarpoje [a·, b] turi tolydžią

išvestinę; 2) intervale (a; b) turi antrąją išvestinę; 3) f (a) = f(a) =0,

f (b) =0. Įrodykite, kad yra taškas c e (a·, b), kuriame f "(c) = 0.

27. Sakykime, kad funkcijoms f(x) ir g(x) atkarpoje [a; b] galima

taikyti Lagranžo formulę: f [b)-f[a) = f'[c)(b-a), g(b)~

-g(a) = g'(c){b-a), ce(a\b). Padaliję vieną lygybę iš kitos, gauname:

f (b) - f ja) = f'{c)

g{b)~g{a) g'{c)

28. Tarkime, kad funkcijos f(x) ir g(x) apibrėžtos ir diferencijuo-

jamos, ka ix>x 0 , be to,/(x0) = g(x0), / ' ( * ) > g'[x), kai л: >x0. Įrodykite,

kad f(x)>g (r) , kai χ > x0.

29. Taikydami Lopitalio taisyklę, apskaičiuokite šias ribas:

In sin 3x

Ar galima tokiu budu įrodyti Koši teoremą?

a) Iim VCOSX- 1

*->0 sin2 2x b) Iim

lntg5x

c) Iim x->2 ln(x-l) χ -2

d) Iim t gx-π

χ

e) Iim te χ x-+o{ W

t —

o;™/2-!) g) Iim I— arcctgx

Χ->-αο\ π h) Iim-

x->0

-Vi + X COS X л

tg χ

30. Daugianarjx4 - Tr3 + Sr2 - 5x + 3 išreikškite dvinario χ - 2 laipsniais.

31. Šias funkcijas išreikškite Makloreno formule, apsiribodami

pirmaisiais keturiais nariais:

a) f (χ) = V^TT; b) f (χ) = ^-f ; = "T · χ+ 2 e

x

32. Apskaičiuokite 10 " 3 tikslumu:

a) Ųe ; b) In 1,3 ; c) cos 72°; d) л/ΪΟ .

33. Raskite funkcijų didėjimo ir mažėjimo intervalus:

a) f (x)=x + 1

b)f(x)= sin— , k a i x > 0 . \+χΔ Χ

34. Taikydami funkcijos monotoniškumo sąlygą, įrodykite, kad šios

nelygybės yra teisingos:

&)Ec>l+X, kai ΧΦΟ ; b ) x > l n ( l + x ) , k a i x > 0 ;

c) 2x arctg χ > In (1 -fx2).

35. Su kuriomis realiomis p reikšmėmis funkcija y = q - px - sin25x

didėja visoje skaičių tiesėje?

36. Tarkime, kad funkcija f(x) didėja intervale (a\b). Ar iš to išplau-

kia, kad f'(x) irgi didėja intervale (a; b ) ?

37. Tarkime, kad

f(x) = к 1 Д 2 > kai χ Φ O, g^Axe~x'xl, kai χ Φ О,

[θ , kai χ = O, } O , kai χ = 0.

Įrodykite, kad /(χ) taške χ = 0 turi minimumą, o g (x) taške χ = 0 ekstre-

mumo neturi.

38. Raskite funkcijų didžiausias ir mažiausias reikšmes nurodytoje

atkarpoje:

b) y = In2X - 2 lnc, Χ E [ 1 ; 5 ] . . 1 1 1

а)У=- + ~т τ, * χ2 x j

39. Apskaičiuokite plotą didžiausio stačiakampio sklypo, kurį galima

aptverti ilgio a tvora, kai iš vienos pusės sklypą riboja tiesi siena.

40. Sijos skerspjūvis yra stačiakampis, sijos stipris proporcingas jos

pločiui b ir aukštinės h kvadratui. Sija tašoma iš rąsto, kurio spindulys R.

Koks turi būti santykis h/b, kad sija būtų stipriausia?

41. Išveskite šviesos atspindžio dėsnį (kritimo kampas lygus atspindžio

kampui), taikydami šitaip nusakomą principą: šviesos spindulys sklinda iš

taško A į tašką B taip, kad kelyje jo sugaištas laikas yra minimalus.

42. Du kanalai, kurių plotis a ir b, susikerta stačiu kampu. Kokio

didžiausio ilgio rąstą galima nuplukdyti iš vieno kanalo į kitą?

43. Ištirkite funkcijas ir nubraižykite jų grafikus:

ίχ + ί)2 -a)y = x _ 2 > b ) y = ( x 2 - ; c ) J = x e J r ;

d) y = χ2 In χ.

Atsakymai 1 3 1

4. a) sgnx (л:*0); b)2|x|; c) — (x*0); d) sin2r |cosx|. 6. a) — ; b) neegzistuoja; χ 2 2

1 X5 2\e2x e3x+ex

c)0;d)-. 7. a) ; b) ; c) -j- =T-—; d)-sinx sin(2cosx)-2 (*2-4

Ф х + 1 e

~e +1

W . · cosln(ctgx) 2x + 3 . , - COSx sin (2 sinx); e) . ' — , f) . - ; g)(l-tg3x) ;

sin2x Jsinln(ctgx) Vl+x2

h) arc cos i) j) Jtg2X + 2 ; k) / ( l n r + l ) ; V х + 1 . x 3 x

sin—JCOS — 2 V 2

1) ( s i n x ) t g i i l + i i ^ l ; m) ( c h x f j ^ f s h 2 χ + ch 2 x lnchx) . 9. V C O S " X ) * '

Bendru atveju ne.

1 h - r 9x v2

11. a) - 1 , 5 ctg t; b) - tg f ; c) - J ; d ) s g n r . 12. a ) - — ; b) - ; 2 V t 4y y Xi

C) - 1 ¾ ) ; d ) 4 ¾ ¾ . 13. 1 6 . a ) 1 + χ e x ( l - x 2 - J 2 ) " a2 b2 • · ' ^

b) ; c) s S n x t f o , 0. 18. a) 0,875; b) 0,512 rad, arba 29°20'; 2Л/7(З -Л}' Vb

, Х ( 2 Х 2 + З ) e~ t g t ( l - s i n 2 x )

V ; b) T i — c > — 1 -(l + *2) co

b) cos[x + y · ] ; с) ( -1) л _ 1 л! c"~\ad - bc)(cx+d)~n~\ 22. а)

c) 1,003; d) 1,2. 19. a) — ; b) ; c) 2 0 . a) n!; + χ2j cos *

2

- ; b) -t ('••T

24. a) Taip; b) ne. 27. Ne. 29. a) ~ ; b) 1; c) j ; d) 0; e) e ~2; f) e2/n ; g) el/n ; h) - .

30. (x - 2)"+(x - 2)3 - 10(x - If - 25(x-2) - 15. 31. a) l + ^ x - - x 2 + — X3 + й5(х); 2 8 16

2 3 3 4

b) - 1 + х - + ^ - + д 5 ( х ) ; с) X - X 2 + +«<*)• 32. a) 1,396; b) 0,262;

c) 0,309; d) 3,162. 33. a) Didėja visoje skaičių tiesėje; b) didėja intervaluose

i — - — ; — - — I , mažėja intervaluose (2; со) ir f — - — ; — - — I , k = 0 ,1 , 2, ... 35.p < - 5 . U * + 3 4/fc + l J U J t + 5 4k+3J

36. Ne. 38. a) min / ( x ) = - 8 9 0 taške 1/10, max / ( x ) = l taške x = l ;

b) m i n / ( x ) = - l taške X = e, m a x / ( x ) = 0 taške χ = 1 . 39. a2/8. 40. h/b =-Jl.

42. [а2!3 + . 43. a) J M A X = O taške x = - l , J M I N = 12 taške x = 5 , didėjimo intervalai

(-00; -1 ) , (5; oo), mažėjimo - (-1; 2), (2; 5), perlinkio taškų nėra, iškilumo aukštyn intervalas

(-00; 2), žemyn - (2; oo), asimptotės χ = 2, j = x + 4; b) J m i n = - 4 taške χ = 1, didėjimo

intervalas (1; со), mažėjimo - (0; 1), perlinkio taškų nėra, iškilumo žemyn intervalas, (0; со),

asimptočių nėra; c) Jmin = e taške χ = 1, didėjimo intervalai (-oo; 0), (1; oo), mažėjimo -

(0; 1), perlinkio taškų nėra, iškilumo aukštyn intervalas (-со; 0), žemyn - (0; oo), asimptotė

y = x + 1, / ( - 0 ) = - 0 ; d) J r a i n = — t a š k e χ = e ^ 2 , didėjimo intervalas (e"'/2;co), 2e \ '

mažėjimo - JperImk = " γ τ t a ^ e x = e > iškilumo aukštyn intervalas

|θ; e~3/2 j , žemyn - |e~3/2;ooj , asimptočių nėra, / ( + 0 ) = - 0 .

NEAPIBREZTINIS INTEGRALAS

1. Pirmykštė funkcija

1.1. Pirmykštės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo sąvokos

Diferencialinio skaičiavimo pagrindinis uždavinys - rasti funkcijos

F(x) išvestinę F'(x) = / ( x ) arba diferencialą dF(x) = f(x)dx. Dažnai

tenka spręsti atvirkštinį uždavinį - ieškoti funkcijos F(x), kai žinoma šios

funkcijos išvestinė f(x) arba diferencialas f(x)dx. Jei prisimintume

išvestinės mechaninę prasmę, tai atvirkštinis uždavinys skambėtų taip:

atkurti materialiojo taško tiesiaeigio judėjimo dėsnį, kai žinomas to taško

greitis.

1 apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykšte

funkcija atkarpoje [a; b], jeigu visuose šios atkarpos taškuose χ teisinga lygybė

F'(x)=f(x) arba dF{x) =f(x)dx.

Analogiškai apibrėžiama funkcijos f(x) pirmykštė funkcija

begaliniame bei atvirame intervale (a; b).

1 pavyzdys. Funkcijos f(x) = X5 pirmykštės funkcijos F(x) intervale

X 6 X 6

( — G O ; + O O ) yra šios: F(x)= — , F(x)= — +7, F(x)= 3,2, F(x) 6 6 6

χ 6

= 1-C (čia C - laisvoji konstanta), nes

fvM (J> fx6 λ (χ6 Л F\x)= — = - + 7 = - — 3 , 2 = — + С = x 5 = / ( x ) . •

I 6 J I 6 ) I 6 ) I 6

2 pavyzdys. Funkcijos / ( x ) = — — pirmykštės funkcijos F(x) cos χ

f Я я 1

intervaluose ( n k - —; nk + —J (čia k e Z ) yra šios: F(x)=tgx,

F(x) = tgx+π,F(x) = tgx-5, F(x) = tgx+C, nes

F ' ( x )= ( t gx ) ' = (tgx + π)' = ( tgx-5) ' = (tgx + С) ' = —\— = / ( x ) . A COS X Vadinasi, jei funkcija/(x) turi vieną pirmykštę funkciją F(x), tai ji turi

jų be galo daug ir jos apibūdinamos formule F(x)+C. Tačiau kyla klau-

simas, ar visos pirmykštės funkcijos gaunamos iš formulės F(x)+C,

keičiant konstantos C reikšmes.

Į šį klausimą atsako tokia teorema.

Teorema. Jei F\ (x) ir F2(x) yra dvi funkcijos f (x) pirmykštės funkcijos

atkarpoje [a ; b], tai jos viena nuo kitos skiriasi tik konstanta C:

F1(X)-F2(X)=C.

Į r odymas . Pagal pirmykštės funkcijos apibrėžimą visuose atkarpos

[a ; b] taškuose χ teisingos lygybės:

F/(x) = / ( x ) ,

^ i W = m -

Iš jų gauname: F{(x) = Fj(x) su kiekviena reikšme iš atkarpos [a ; b].

Toliau belieka pasiremti IV skyriaus 8.1 skyrelio išvada, teigiančia, kad dvi

funkcijos tam tikrame intervale skiriasi tik konstanta, jeigu jų išvestinės

lygios tame intervale. Apie tokias funkcijas dar sakoma, kad jos yra lygios

konstantos tikslumu. •

Išvada. Kai F(x) yra viena funkcijos f(x) pirmykščių atkarpoje [a; b\

funkcijų, tai kiekviena kita tos funkcijos pirmykštė šioje atkarpoje išreiškiama

suma F(x)+C; čia C - laisvoji konstanta.

Pavyzdžiui, funkcijų -Jx , sinx, e* pirmykštės funkcijos yra tokios:

—xj~x +C, - cosx+C, ex+C.

2 apibrėžimas. Jeigu funkcija F(x) yra funkcijos f(x) pirmykštė

funkcija, tai reiškinys F(x)+C (čia C - konstanta) vadinamas funkcijos f(x)

neapibrėžtiniu integralu. Jis žymimas simboliu jf(x)dx.Ženklas j ,

vadinamas integralo ženklu, yra stilizuota raidė „s" ir kilęs iš lotyniško

žodžio summa pirmosios raidės.

Funkcija /(x) vadinama pointegraline funkcija, f (x)dx - pointegraliniu

reiškiniu, χ - integravimo kintamuoju.

Vadinasi,

kai

\f(x)dx = F(x)+C , C = const ,

F'{x)=f(x)

y n

У \ 7

K = X 2 + 3

/ = X 2 + 2

K=X 2

/ =X 2 -S

Veiksmas, kuriuo randama duotosios funkcijos pirmykštė funkcija,

vadinamas integravimu. Jis yra atvirkštinis diferencijavimui.

Geometriškai neapibrėžtinis integralas reiškia šeimą kreivių

y = F(x) +C, kurių kiekviena gaunama lygiagrečiai pastumiant funkcijos

y = F(x) grafiką ašies Oy kryptimi j viršų

ar j apačią. 101 paveiksle pavaizduotos

kelios ^lxdx =X2+C šeimos kreivės.

Ar kiekviena funkcija, apibrėžta

kuriame nors intervale, turi pirmykštę?

Pasirodo, kad bendruoju atveju

tenka atsakyti neigiamai. Tačiau, kai

funkcija f(x) yra tolydi atkarpoje [a ; b],

tai jos pirmykštė funkcija (kartu ir —

neapibrėžtinis integralas) egzistuoja vi-

sada. Šį teiginį įrodysime vėliau.

Suformuluosime pagrindines neapi-

brėžtinio integralo savybes:

/r , ч 101 pav. 1) (jf{x)dx) =/(*);

2) d(\f{x)dx)=f(x)dx·,

3) \dF(x) = F(x)+C.

4) J(a/(x) + pg(x))iic = a^f(x)dx + α,β-const.

Paskutinioji savybė vadinama neapibrėžtinio integralo tiesiškumo

savybe. Pirmosios trys tiesiogiai išplaukia iš neapibrėžtinio integralo

apibrėžimo, o ketvirtąją įrodysime.

Kadangi diferencijavimas turi tiesiškumo savybę, tai

(a jf{x)dx + V\g{x)dx)

=a f(x) + Vg(x).

Antra vertus,

(J(a/(x) + pg (x ) ) ^ ) =af(x)+pg(x).

4) lygybės abiejų pusių išvestinės lygios, todėl ši lygybė teisinga

konstantos tikslumu.

1.2. Neapibrėžtinių integralų lentelė

Jeigu F'(x)=f(x), tai

jf{x)dx =F(x)+C,

todėl, žinodami elementariųjų funkcijų išvestines, galime sudaryti

neapibrėžtinių integralų lentelę.

1. jdx =x+C.

a+l

2. f x a d x = - +C ( a * - l ) . J a + l V

'

4. \axdx = — +C. J Ina

5. fexdx = e* +C.

6. Jsinxctc = - c o s * + C .

7. Jcosxctc = sinx +C.

9. L ^ - = - c t g x + C . J sin χ

,2. ί *

J V T v =arcsinx+C = - arccosx+C.

13. f dx . χ , = arcsin—I-C.

14. Jtgxiic = - I n I cosx I+C .

15. jctgxiir =In I sinx I+C .

Γ dx

J s

ί:

16.

17

= In t *

~2 +C.

= In

18.

19.

ί:

ί

S I N X

dx

cosx

1 .

π χ

T + Y +C.

χ - α

χ + α +C.

dx = In х + л/х2 ±β2 +C.

11 ir 13 - 19 formulių pirmykščių funkcijų nėra išvestinių lentelėje. Šių

formulių teisingumu galėtume įsitikinti, išdiferencijavę dešinėse jų pusėse

esančius reiškinius. Visais atvejais gautume atitinkamas pointegralines

funkcijas.

Paaiškinsime 3 formulę. Žinome, kad

i Inx , kai χ > O,

1 ln(-x), kai χ < O, In χ

todėl

( l n M ) =

kai χ > O,

(-1), kai χ < 0. -χ

Taigi abiem atvejais nepriklausomai nuo χ ženklo

1

( l n M ) = T '

vadinasi, f — = In \x | +C . J χ

1 pavyzdys. |(3х2 - 2 sin χ + 6л/х) dx = J3x2 i fe-J2 sin xdx + |б-Jxdx =

P — 3 2 = 3jx2dx- 2 Jsinxdtc + 6 I x 2 dx = 3· — +2cosx+ +C=

2

=x 3+2cosx+4xVx+C. •

2 pavyzdys. J t g 2 X i f o = Г S ' n * dx = Γ - — X dx J cos X J COS X

= j ] — 1]dx = j — ^ Jiic = tgx-x+C. • J ν cos x ^ J cos χ

2. Pagrindiniai integravimo metodai

2.1. Tiesioginio integravimo metodas

Šis metodas pagrįstas integravimo formulių invariantiškumu.

Įrodysime tokią teoremą.

Teorema. Jeigu jf(x)dx = F(x) + C ir u = cp(x) - funkcija, turinti toly-

džią išvestinę, tai

\f(u)du=F{u) + C.

Į r odymas . Kadangi jf(x)dx =FQc)+C, tai F'(x)=f(x) arba

dF(x) =f(x)dx . Imkime sudėtinę funkciją F (u ) = f((p(x)) . Žinome, jog

pirmosios eilės diferencialui būdinga formos invariantiškumo savybė, todėl

dF(u) = F '(u) du=f (u) du.

Tuomet j f (u) du = jdF(u) =F(u)+C. •

Vadinasi, pagrindinių integralų formulės visada yra teisingos; ir

nesvarbu, ar integravimo kintamasis yra nepriklausomas, ar bet kuri dife-

rencijuojama to kintamojo funkcija. Pavyzdžiui,

a+l

\uadu= +C ( a * - l ) , (1) J n J . 1

f

a + l

- = I n U I + C . (2) u

1 pavyzdys. J ( 3 x + 5)1996dx . Kadangi d(3x+5)=3dx, tai

dx=^d(3x+5) ir J ( 3 x + 5)1996<£t = - | J ( 3 x + 5)1996J(3x + 5) =

1 (3x + 5)1997

= — -—YŲŲj (pritaikėme (1) formulę). •

Apskritai visada galima dx pakeisti d(ax+b), nes d(ax+b)= adx ir

dx= — d (ax+b), a φ O. a

2 pavyzdys. j"x2t/x3 +Adx = J x 2 ( x 3 +4j4 dx. Kadangi dįx3 +4j =

=3x2tfc,taix2i& = |d (x 3 +4) . Tuomet J x 2 t/x3 +4 iit =

5

= i J (x3 + 4 ) Ϊ rf(x3 + 4) = l ^ 3 ; 4 ) 4 +C = ^ + +C.

(pritaikėme (1) formulę). •

3 pavyzdys. Jsin(2x - 3)dx = — Jsin(2x - 3)d{2x - 3) =

1 : - -cos(2x-3)+C.

4 pavyzdys

= In

(Į6x-5)dx ęd(3x2 -5χ + ή ^ Γ (6x-5)dx _ Γ

J Зх 2 - 5x + 7 ^ J Зх 2 -5x + 7

= - In cosx +С

Зх2 -5х + 7 j +С (pritaikėme (2) formulę). А

r , f sin χ , f i i (cosx) 5 pavyzdys, tgxdx = I dx = - I

J Jcosx J cosx

(pritaikėme (2) formulę). Gavome integralų lentelės 14 formulę. •

Toliau išnagrinėsime du pagrindinius integravimo metodus.

2.2. Integravimas keičiant kintamąjį

Sakykime, kad, norėdami rasti integralą jf(x)dx, kintamąjį pakei-

čiame pagal formulę χ= φ(ί) . Dar tarkime, kad funkcijos / (χ) , φ ( i ) ir

φ'(ί) yra tolydžios, o funkcija χ=φ ( ί ) turi atvirkštinę funkciją. Tada

dx= (p'(t)dt. Įrodysime, kad teisinga lygybė

jf(x)dx= | / (φ ( / ) )φ ' ( ί )Λ . (3)

Į r odymas . Išdiferencijavę kairiąją lygybės pusę, gauname:

(if{x)dx)^ =/(*).

Dešiniąją įrodomos lygybės pusę diferencijuosime kaip sudėtinę

funkciją, kintamąjį t laikydami tarpiniu argumentu. Todėl

(ί/Μ')) Φ'(') =(№(')) Φ'(0 dtX • 'i = /М')М0 • =

= /(φ(0) =f(x)' n e s tX = ~ = ~7П\ • ( 3 ) !ygybė įrodyta. А XT φ ^rj

Suintegravus reikia grįžti prie senojo kintamojo χ .

Integruojant kartais tinka keitinys t=\\i(x) . Sakykime, reikia rasti in-

tegralą j*^7 } dx . Pažymėkime: f= ψ(χ) , dt = ψ'(χ) dx . Gausime: J ψ(*)

1 pavyzdys. Г ^x = -Ą- f ——— . Parenkame keitinį t = —; Jaz +xz a2 J . ί χ Υ a

1 +

dx = adt. Tada

f dx I f adt 1 ^ 1 χ _ т = ~? j = — arctg ί+C= — arctg—l-C.

Ja + χ α J 1 + Г a a a

Gavome integralų lentelės 11 formulę. •

dx 2 pavyzdys, i , = — Γ-

J y /a 2 -X 2 a J I - I -

a

,2 X

1 C adt f

β J V w r " J VT

t = —, dx = adt a

d t • Χ ^ /

= arcsin/+C = arcsin—I-C (a>0) . ,2 a

Gavome integralų lentelės 13 formulę. •

Paminėsime trigonometrinius keitinius: 1) x=a smt, x=a cos i;

2)x=a tgi, x=a etgč; 3) x= — — , x= . Pirmąjį tikslinga taikyti, kai cos / sini

2 „2

/ 7 9

pointegraliniame reiškinyje yra dauginamasis Vfl ~x , antrąjį - kai yra

:iąjį - kai y Vfl2 + χ2 , trečiąjį - kai yra Vx" - a

3 pavyzdys. • χ2 dx

χ = asini,

dx = a cos t dt

= JVa2 - fl2 sin2 t a costdt = a2 Jcos2 t dt =

= a2 Ι ^ ψ ^ - Λ = + i Jcos2 i d{2t)] Ąsin2i] +C.

Iš keitinio — =sini , tardami, kad t kinta atkarpoje α

• χ · „ • ^x Г. . 2 me: i = arcsin—, sin2i = 2 sinf cosi = 2—Vl - sin t =

π π

' 2 ; 2 , gauna-

- 2 Ϊ . 1 - : 2x V 7 7

. Tuomet IVfl - x iir = — aresin—l-2 fl

+ -Vf l 2 -X 2 + c . • 2

4 pavyzdys i Vx2+fl2

t=X+\X +fl

X + Vx2 + fl2 , ai = —, —flx,

Jx2Ta2

dt =

Vx2+fl2

dx dt

dx,

Vx2+fl2 '

= J y = InH-C = In (х + л/х2 + α 2 ) +С.

Analogiškai gautume: 1 dx

Jxr-U2

= In χ + +С.

Įrodėme integralų lentelės 19 formulę.

5 pavyzdys. f dx

s h ™ J V e j c + !

Jex + 1= t,

ex + 1 = t2,

exdx = 2ίώ,

=

2 tdt

Γ 2tdt Γ t/f

= J (^2 - l ) r ^ J z 2 - I

In f - 1

f +1 + C = I n

ex + 1 - 1

Cjr +1 +1

+C.

2.3. Integravimo dalimis metodas

Išnagrinėsime dar vieną efektyvų integravimo metodą.

Tarkime, kad u=u(x) ir v=v(x) - kintamojo χ funkcijos, turinčios

tolydžias išvestines. Tuomet šių funkcijų sandaugos diferencialą galėsime

užrašyti taip:

d(uv )=udv+vdu;

iš čia udv=d(uv)-vdu.

Integruodami šios lygybės abi puses, gauname:

judv = Je/(m·) - ^vdu ,

Judv = uv - ^vdu .

Tai ir yra integravimo dalimis formulė. Kad galėtume tinkamai pasinaudoti

ja, privalome pointegralinį reiškinį suskirstyti į du dauginamuosius u ir dv

taip, kad pavyktų suintegruoti diferencialinius reiškinius - iš pradžių dv, po

to vdu; todėl metodas ir vadinamas integravimo dalimis metodu.

Daugumą integralų, integruojamų šiuo metodu, galima suskirstyti į

tris grupes.

1) Integralai Jp(x) lnxi£t , JP(x)arcsinxdr , |P(x)arctgxiic , ...;

čia P(x) - daugianaris; žymime u= lnx, M = arcsinx, M = arctgx,...

2) Integralai ^P{x)eaxdx , Jp(x)cosoxi£c , JP(x) sin ях cit ; čia a -

realusis skaičius, P(x) - daugianaris; žymime u =P(x).

3) Integralai Jeax cosbxdx , Jea* sinbxdx, Jsin( In χ) dx , Jeos(Inx) dx,

...; žymime U=Cax (arba и = cosbx), u =sin(lnx). Pažymėję bet kurį šios

grupės integralą raide / ir du kartus pritaikę integravimo dalimis formulę,

gausime pirmojo laipsnio lygtį integralo / atžvilgiu. Išsprendę ją, rasime I .

Aišku, kad yra ir kitokių integralų, kuriuos galima suintegruoti

dalimis.

1 pavyzdys. Jxsin2xdx . Pažymėkime: u = x, dv=sin2xdx. Tada

1 1 du=dx, v= Jsin2x<ic = — Jsin2xJ(2x) =- —cos2x. Taigi Jxsin2xi£t =

1 1 1 1 = ——xcos2x + — Jcos2xiit = -—xcos2x + — Jcos2xd(2x) = C-

- — xcos2x + — sin2x. • 2 4

2 pavyzdys. Jarctgxtic =

u = arctgx, du = l + x

-dx,

= xarctgx-f xdx

iYTT

dv = ώc, v = Jūtc = .

H2L = xarctgx-1 H 2 J 1

= xarctgx-+ X

| ln ( l + x 2 )+C. i

3 pavyzdys. I= j"V X 2 + a 2 dx =

U = -J. χ2 + a2, du =

dv = dx, v

Vx 2 + O2

= J<ic = χ

-dx,

Γ"2 2 •хл]х +a f J x r T a 2

dx = xVx" + a~ -2 , „ 2 J" ( x 2 +a 2 ) -

Tx2Ta1 - dx =

dx

^ T a 2

/~~2 2 xylx +a -= xVx2 +a2 - JVx 2 + a2 dx + a2 j"

- JVx 2 + a2 dx + a2 In^x + -Jx2 +a2 j ,

I= xVx2 +a2 - / + a2 ln(x + Vx2 +a 2 j .

Taigi dešinėje pusėje gavome pradinį integralą, kurį perkėlę į kairiąją

pusę, turėsime:

21= xyIx2 + a2 + a2 I n fx+Vx 2 +a 2

2

Todėl JVx 2 +a2 dx =^yjx2+а2 + - l n ( x + Vx 2 + α 2 ] +С.

x + Vx 2 - я 2

Analogiškai gautume:

,2

In f Г"2 2* . ^ r~2 2 й Vx - α ar = — i χ -a J 2 2

4 pavyzdys. I= Jeax cos fox dx =

U = Cax, dv = cosbxdx,

+C.

du = CieaxCbC, v = — sin fox

= ê i u rSin fox-- Cei" sin bx dx b b J

u = e dv = sin fee ik ,

du = Ueaxdx, v = - — cos bx

= — e ^ sinfox -— ( - —îur cosfox + — Feax cosbxdx] = êajrSinfox

b b\ b b j J b

f-

+

+ Areax cosbx-Ar Ieax cosbxdx = e ^ i — sinfox + ^-cosfoxl - Ar I.

Perkėlę dydį —γΐ į kairiąją pusę, gausime: b

Γ „2 nI (

1 + -S-I=CaxI

l b2V { — sin bx + Ar cos bx I .

f e^ibsmbx + acosbx) Tada \e cosbxdx = ^ -+C.

Analogiškai

a2+b2

\e sin bxdx = e^^asinbx -bcosbx)

a2+b2 +C.

3. Įvairių reiškinių integravimas

3.1. Funkcijų, kurių išraiškoje yra kvadratinis trinaris,

integravimas

I f dx

Nagrinėkime integralą l\ = — ; čia a ^0, b, c - realieji

J ax" +bx + c

skaičiai. Pertvarkykime vardiklyje esantį kvadratinį trinarį, išskirdami

dvinario kvadratą:

f 2 b c) χ + — x + —\= a

\ a a) 2a v 2 a J a v 2 a v

= a b Y Aac-b* χ + — + ^ —

2a Aai x + ±] ±k2

2a.

cia Aac-b'

Aaz = I k 2 0. Pliuso ženklą rašome tada, kai reiškinys

Aac - b2

Aa >0 arba kai trinaris ax2+bx+c neturi realiųjų šaknų; minuso

kai . Aae-b2

Aaz

Tada

<0 arba kai trinario šaknys realios.

A= f — ^ = ^ f J ax +bx + e aJ

dx

V ,2 χ + — ±kl

2a)

Parinkę keitinį χ H = t ,dx = dt, turėsime: 2a

h - 4 a J

dt

t2 ±k2

Gavome integralų lentelės 11 ir 18 formules.

1 pavyzdys. f ±Χ = [-5 — = Γ Jxz+2x + 3 Jxz+2x + l + 2 J (χ + ψ +2

ί d(x + l) 1 χ + 1 ^

'72 arasUT + c -

Mx + N II. Nagrinėkime integralą I2 = I— dx ; čia M, N, a, b, c -J

ax + bx + c - h realieji skaičiai. Pertvarkykime pointegralinę funkciją:

m H u\ (M MbΊ „ .— [2ax + b) + \N f Mx+ N J C 2a 'V 2 aJ ,

12 = I —~ dx = I dx = J ax" +bx + c J ax~+bx + c

= M_ C{2ax + b)dx f N МЬЛ C dx _M Max2+bx + c)

2<*Jax2+bx + c ^ IaJJax2+bx + c 2 ^ J ax2+bx + c

fAr Mb), M l l 2 u I ( x r МЬЛТ + \N III = — I n I ax + bx + с \ + N h •

V 2a J 2a V 2a J

f dx

III . Nagrinėkime integralą / 3 = I ; a, b, с - realieji

J Vox2 +bx + c

skaičiai. Pertvarkę analogiškai kaip ir I atveju, turėsime integralus:

dt

+

i VP kai a > 0 ,

±k'

arba

dt

f Vfc2-i2

kai a < 0, ir trinaris ax1 + bx + c turi realias šaknis.

Gavome integralų lentelės 19 ir 13 formules.

f Mx+ N IV. Nagrinėkime integralą /4 = I dx . Pertvarkę

I ax + bx + c

analogiškai kaip ir I I atveju, gausime:

f Mx+ N , M f 2 ax + b ц = I — = ^ = = dx - — I —===== dx +

J л/яг2 +br + r 2й JJnr^+hr + r

+ (N-Щ f * = ^ f ( « 2 + f a + c p 4 1 2 j J V « x 2+ 6 x + c

2 f l J l j 1 + bx + c I 2 c/l αχ2 + Ьх + c I +

, лг МЛ Γ M ΓΊ—Γ ίΛΤ Mb, τ + ι N / , = —Vax" + bx + C + N I Z3.

2α у α ν 2 α

" ί 2 pavyzdys. I 2-Y ^ _ J j i

V T -X-X 2

Sp r end imas . Sudarykime skaitiklyje pošaknio 1 - х - X 2 išvestinę bei

išskirkime šiame trinaryje dvinario kvadratą:

dx f . 2 * - 8 d* = -!,-2*-1 dx -9

J V l - X - X 2 J V l - X - X 2 J vn X - X

• f ( l - x - x 2 p c / ( l - x - x 2 ) - 9 f , * J l - X - X 2 ^

J 1 ' [ j J U x ' + x - i ) i F i

f , * = - 2 j i ^ 7 - 9 f · J M 1 1 ι Λ J

2

cit

_ Į J t 2 + 2 . i j r + i _ i _ 1 l - |5 Г Γ 2

, x +

14 V 2

1 Parinkę keitinį x + — = t, dx = dt, turėsime:

j* dx Γ dt

J 1 5 r i ) 2 = ] M 7

-4 V * +2 J V4

. t . 2r aresin —=• = aresin -7=,

V5 V5

Todėl galutinai . 2x +1 f 2x-8 , „ Γ T r> · ·

I — P = = O x = C - 2 V l - x - x -yarcsin- _ .

J V l - X - X 2 Vš

i;

dx V. Nagrinėkime integralą Z5 = I = = = = = ; čia M ^ 0.

ax + bx

1 1 Parinkę keitinį Mx+ N= - , c/x= — c/i , gauname Z1 tipo integralą.

t Mt2

3 pavyzdys. Lx + l

dx

(x + l)Vx2 +1

л: +1 = —, t

dx = — d t , Г

χ = - - 1

t

- f dt

2t + 2t

1 Γ A

4 Ϊ J f JN2 J "

i — + -

= C — ^ l n V2

f + . r - i + -2 V 2

= C — = I n V2

l - j c + , 2 U +1

2(jc +1)

3.2. Racionaliosios trupmenos. Paprasčiausių racionaliųjų

trupmenų integravimas

Priminsime, kad racionaliąja trupmena vadinamas dviejų daugianarių

santykis

F(Jc) _ я 0х" + A1Xn-1 +... + an-\x + a„

Q(x) ' b0xm + bxx

m~l + ... + bm_xx + bm '

č i a F ( x ) , Q (x ) - daugianariai, neturintys bendrų šaknų, я 0 * 0 , b0*0 .

Racionalioji trupmena vadinama taisyklingąja, kai skaitiklyje esančio

daugianario laipsnis n yra mažesnis už vardiklyje esančio daugianario

laipsnį m. Priešingu atveju racionalioji trupmena yra netaisyklingoji. Jeigu

racionalioji trupmena netaisyklinga, tai, padaliję skaitiklio daugianarį iš

vardiklio daugianario, šią trupmeną galime išreikšti naujo daugianario

S ( x ) ir taisyklingosios racionaliosios trupmenos suma:

Q(x) S(X)+Q(x)'

v. R(x) . . , , . . . . , . . . cia —7—- j au taisyklingoji racionalioji trupmena.

Q(x)

_ . I x i - 4x 2 + 5x-3 62x - 57 Pavyzdys. = Ix-18+ •

x 2 + 2x - 3 χ2 +2x-3

Šį rezultatą gavome taip:

Ixi- 4 x 2 +5x-3 Į X2+2X-3

"7X3+14X2-21X IX- 18

-18rz+26x- 3

"-18*2-36x+54

62*-57 A

Dabar išnagrinėsime, kaip integruojamos vadinamosios paprasčiausios

racionaliosios trupmenos. Jos esti keturių tipų:

I. - A - ; „ . ^ x~a (x-a)k '

J1J Mx + N Mx+ N 2 ' , ч i· '

χ + px + q ' *· ^x2 + px + q^

čia a, A, M, N, p, q - realieji skaičiai, k - natūralusis skaičius, be to,

k > 2, diskriminantas D = p2-Aq <0 .

Pažvelgę į diskriminantą apibūdinančią nelygybę, matome, jog lygtis

. r + px + q = 0 realiųjų šaknų neturi.

Suintegruosime pateiktas trupmenas.

(χ-α) ι ι - =A In\x-a I +C . ι. =

J x-a J x

II. f Л , dx = A \lx-a)-kd(x-a) = A ^ X ' ^ +C=

x-a

-k+1

Л + C .

( l -A^X- f l ) * " 1

M - > f „ Mp (2x + p ) + A r - ^

III. i - ^ L * = f 2 2

l ^ = J x +px + <7 J jc + +q

f M — z J x +px + q v z 7 J x +px + g

m r * ( * 2 + * * + g ) , Гд , Μ/Λ f Л

J x 2 + p x + o ^ 2 У J 2 J χ 2 +px + 9 2 J J 2 2

x z + 2· —-χ + - - + q - ± — 2 4 4

dx

2 2 (

v 4 " , ^ +

2

Parinkę keitinį x + = t , dx = dt ir pažymėję q- raide b2,

gausime:

f Мк + ЛГ , M . Į 2 \l(Kr Μρλ C dt

ί τ ^ Γ ^ ' Ύ ^ + " H + r - - J J t t f -

= y ln(x2 + px + ¢) + ( n - · I arctg i + C =

M 1 / 2 \ 2 N - M p 2x + p = —ln(xz +px + q) + . ^ arctg +C.

2 V ' ^q-P2 ^Aq-P2

IV. f ^ + t Ą .

J + px + gj

Pertvarkę analogiškai kaip ir I I I trupmeną, gausime:

Γ Mx + N Jx _M ęd(x2+px + q) ^

J ( * 2 + / « + *)* 2 - K * 2 + ^ + ?)* +

+ - τ - ) J ^ * = f ί ( * 2 + ^ + « Γ + +

+ f Д M ^ +

2 ; j ( / 2+ 6 2 ) " 2 ( 1 - ^ ) ( * 2 + ^ )

+ U V -

ip Ą г_ 2 %

л

Gautąjį integralą pažymėkime Ik ir pertvarkykime:

Г dx C dt _1 f

= \x2+Px + q)k = \t2+b2)k J'(f

2+b2f

i'2+*2)- / 2

-dt =

J _ f dt 1_ f t1 dt

= b2 }įt2+b2 j * " 1 V J ( f 2 + b 2 j *

Antrąjį integralą integruosime dalimis:

u = t, du = dt,

dv = tdt

(t2+b2)k'V J (t2+b2)k

-\(t2 +b2)~kd(t2 +b2)

f< tdt

Taigi

2(k -\){t2+b2)k'x

. _ f dt _ J _ Г dt

181 k = \ t2

+ b 2 f b 2 ) [ t , + b 2 ^ -

£ 1 Г dt

Kadangi I —

J i i

dt

h =

(t2+b2)

h-1 +

=Λ-ι , tai

2{k-l)[ t2+b2

.Jfc-i 2(* - 1)

' J f c - I

Zfc = i

2 (*-!)(•

2 j t-3 . - + h (4)

Vadinasi, integralo Γ + ^—— iic apskaičiavimas pakeičiamas

J (χ2 + pjt + gj

integralo Ik apskaičiavimu, o tai galima padaryti naudojant

rekurentinę formulę. Kai k= 1, gauname integralą

f dt 1 i _ /1= H τ = — arctg— + C.

J i 2 + b 2 b b

Žinodami I1, rasime I2:

dt

h 4/, (, i,2)2 ""H2I'2^2) 2

1 i t 1 t) ^ + —arctg— +C .

Ii =

Ib2 W2 + b2 b b

Žinodami I2 , galime rasti Z3 ir 1.1.

3.3. Taisyklingosios racionaliosios trupmenos reiškimas

paprasčiausių trupmenų suma

Jau išsiaiškinome, kaip integruojamos paprasčiausios trupmenos. Bet

kuri taisyklingoji racionalioji trupmena integruojama remiantis teiginiu,

kad ją galima išskaidyti paprasčiausių trupmenų suma. Sis teiginys, kaip ir

toliau suformuluota teorema, įrodomi algebros kurse, čia tuos tvirtinimus

pateiksime be įrodymo.

Pix) Sakykime, kad — y r a taisyklingoji racionalioji trupmena, kurios

Q{x)

skaitiklyje ir vardiklyje esantys daugianariai P(x) ir Q(x) neturi bendrų

šaknų. Trupmenos vardiklio daugianario Q ( x ) šaknys gali būti realios ir

skirtingos, kai kurios realios ir kartotinės, jungtinės kompleksinės

skirtingos ir jungtinės kompleksinės kartotinės. Realią nekartotinę šaknį α

vardiklio Q(x) skaidinyje atitinka dauginamasis x-a, «- to jo karto-

tinumo realią šaknį β - dauginamasis (x-β)", jungtinių kompleksinių

šaknų nekartotinę porą - dauginamasis x2 + px + q , kurio diskriminantas

neigiamas, k - tojo kartotinumo jungtinių kompleksinių šaknų porą - dau-

, P(x) ginamasis (x"+rx+s) . Tuomet trupmenos —)—^ skaidymą paprasčiau-

s i * )

šiųjų trupmenų suma apibūdina tokia algebros teorema.

P(x) Teorema. Jei — - taisyklingoji racionalioji trupmena, kurios

Q[x)

vardiklis išskaidytas šitaip:

Q(x)=(x- α)...(χ - β)'\..|χ2 + p χ + q^...(^x2 + rx + i j ,

tai ją galima išreikšti paprasčiausių trupmenų suma:

P(x) A Bn Bn, B1 — — = 1- H 1 — 1- H i 1- +

QH X-O. (χ-β)η (χ-β) " " 1 * - β

2 χ +px + q

Cx+ D

(Χ2 + R X + S

Mk-\x + Nk_x

/ , \k-1 +...+

M1X + N] 2 '

X + ГХ + 5 (5)

čia Л, B i, ..., C, D, Mu Ni, ..., Mk, Nk - realieji neapibrėžti koeficientai

(kai kurie jų gali būti lygūs nuliui).

Norėdami apskaičiuoti šiuos koeficientus, sudedame trupmenas,

parašytas dešinėje (5) lygybės pusėje ir sulyginame skaitikliuose esančius

daugianarius. Kadangi du daugianariai tapačiai lygūs tik tada, kai lygūs jų

koeficientai, esantys prie vienodų χ laipsnių, tai galime sulyginti šiuos

koeficientus. Gausime tiesinių lygčių sistemą, kurią išsprendę rasime

minėtus koeficientus. Šis metodas vadinamas neapibrėžtųjų koeficientų

metodu. Kartais koeficientus galima apskaičiuoti paprasčiau. Kadangi,

sulyginę skaitiklius, dešinėje ir kairėje lygybės pusėje gauname tapačiai

lygius daugianarius, tai ir jų reikšmės su bet kuriomis χ reikšmėmis turi

būti lygios. Įrašę tam tikras χ reikšmes, gauname lygtis, iš kurių galime

rasti minėtus koeficientus. Geriausia parinkti χ reikšmes, lygias realio-

sioms vardiklio šaknims.

paprasčiausių trupmenų suma.

Sprend imas . Kadangi trinario χ2 + χ +1 šaknys kompleksinės, tai,

remdamiesi suformuluota teorema, gauname lygybę

Pavyzdys. Taisyklingąją trupmeną 2x3 + 4x2 + χ + 2

( x- l ) +x + l išreikškime

2x3 + 4x2 + χ + 2 A B Cx+ D

Sudėję dešinėje jos pusėje parašytas trupmenas, gauname:

2x3 + 4x2 + x + 2

ή + Β(χ- l)(x2 + χ +1) + (Cx + D)(x -1)2

Sulyginame skaitiklius:

2r3 +4x2 +χ +2=A (χ2 +χ 4-l)+fi(x3-l) + (Cx+Z))(x2-2r +1) . (6)

Taikome neapibrėžtųjų koeficientų metodą. Sulyginę koeficientus

prie χ3, χ2, χ1, x°, sudarome lygčių sistemą:

-3 B+ C = 2,

A-2C+D = 4,

A + C-2D = 1,

Г A-B+D = 2.

Ją išsprendę, randame A = 3, B = 2, C = O, D = I . Todėl

2x3 + 4x2 +x + 2 3 2 1

r

χ2

r1

„0

(x-Ij2Ix2+χ+ ή (χ-if ι x2+x + l

Minėtus koeficientus galėjome rasti ir kitaip: kadangi vardiklio viena

šaknis x = l reali, tai, įrašę į (6) lygybę vietoj χ skaičių 1, gautume:

9=3A, A= 3.

Kitus tris koeficientus rastume išsprendę trijų lygčių sistemą, kurią

gautume sulyginę koeficientus prie vienodų χ laipsnių. •

3.4. Racionaliųjų trupmenų integravimas

fP(x) P(x) Nagrinėkime integralą I—7—-rdx . Jeigu racionalioji trupmena —7—r

J Q(X) Q(x)

netaisyklinga, tai pirmiausia ją išreiškiame tam tikro daugianario S ( x ) ir

R(x) taisyklingosios racionaliosios trupmenos — s u m a :

Q(x) Plx) ч R(x) -H- = S(x)+ -H·. Q{x) K ' Q[x)

Integruodami šią lygybę, gauname:

JeW J 1 ; J Q(x)

Kadangi 5 ( x ) - daugianaris, tai jį suintegruoti lengva.

CRix) R(x) Belieka rasti integralą I—-г^-dx . Išreiškę trupmeną — p a p -

J Q(X) Q(X)

rasčiausių trupmenų suma, racionaliosios trupmenos integravimą

pakeisime paprasčiausių trupmenų integravimu.

1 pavyzdys. Raskime integralą i, ^x2 + 2)dx

(χ + ΐ ) 3 (χ-2)

Sp r end imas . Pointegralinį reiškinį sudarančios trupmenos vardiklio

šaknys yra realios, todėl, remdamiesi 3.3 skyrelio (5) lygybe, tą trupmeną

išreiškiame paprasčiausių trupmenų suma:

X 2 + 2 A B C D - + + -

(JC + 1)3(X-2) (* + l )3 (x + l )2 * + l x - 2 '

Sudėję dešinėje lygybės pusėje parašytas trupmenas, gauname:

X 2 + 2 _ A(x - 2) + B(x + 1 ) ( J C - 2) + c(x + 1 ) 2 ( J C - 2) + D(x +1)3

(χ + ΐ)3(χ-2) (x + lf(x-2)

Sulyginame skaitiklius:

x2+2=A(x-2)+B(x + l)(x-2)+C(x + l)2(x-2)+D(x+\f . (7)

Įrašę į (7) lygybę reikšmę χ = -1 , gauname: 3 = -3A, arba A=-I.

2 Įrašę reikšmę χ = 2, gauname 6 = 27D, arba D= — . Kitiems dviem

koeficientams rasti užtenka dviejų lygčių. Pertvarkome (7) lygybę:

x2+2=(C+D)x3+(B+3D)x2+(A-B-3C+3D)x+(-2A-3B-2C + D).

Sulyginę koeficientus, esančius prie JC3 , x2, gauname sistemą

χ3

χ2

C+ D = O,

B+3D = 1;

2 1 iš jos randame C = — , B = — . Tada

J 9 3

χ2 +2 1

(x + l)3[x-2) (χ + 1)3 3(л: +l) 2 9(* + l) 9 (x-2) '

f * 2 ; 2 ^ = - i — — — j — — f - ^ + J (JC + 1 ) ( J C - 2 ) J ( J C + 1 ) 3 3 J ( X + 1 ) 2 9 J J C + 1

=-i{x+l)~3d{x+1) 4 + l)~2d{x+-_ 2 ?d(x + \) 2 M j c - 2 ) _ Į 1 2

" 9 J л:+ 1 + 9 J A C - 2 ~ 2(x +1)2 3(JC + 1) 9

2 + -9

2 , I ,1 In JC + 1 +

+ - l n | x - 2 | + C = C - 2 X \ + - I n - \2 9

x - 2

6(x + iy

2 pavyzdys. Raskime integralą J; x + 1

2x3 +Ax2 +x + 2

( x - l ) 2 ( x 2 + x + l)

dx .

C J - T 2 x 3 + 4 x 2 + x + 2 .„ S p r e n d i m a s . Trupmeną —• r įsreiskeme papras-

( - i ) 2 ! · χ + x + l

čiausių trupmenų suma 3.3 skyrelyje išspręstame pavyzdyje. Pasinau-

dokime gautu rezultatu, ieškodami integralo:

ί 2x3 +Ax2 + χ+ 2

( x - l ) 2 ( x 2 + x + l)

2 ^ = + 2 f - ^ + f-

ΐϊ J ( X - I ) 2 J ^ - I J

dx

1K*"·>•=г J f ^ + J t ^ χ + — +

2

/ /—л 2 л/3

χ +x + l

= C -

V 2 ,

x - 1 • +

ι ι 2 2x +1 +2 In I x-11 + —pr arete — . A

л/3 л/3

3 pavyzdys. Raskime integralą Гх 4 +2x 2

J (x 2 +l )^

+ χ ūk .

S p r e nd imas . Kadangi trupmena X 4 + 2x2 + χ _ χ 4 + 2x2 + χ

χ 4 +2x2 +1 P + 1)2 yra

netaisyklinga, tai pirmiausia jos skaitiklį padalijame iš vardiklio:

X4+2X2+X Į x4+2T2+1

г4+2Г+1 1

х - 1

T . . . χ 4 + 2x2 + χ x - 1 t f x 4 + 2 x 2 + x , Todel — = 1 -I — . Tuomet I — dx =

x 4 + 2 X 2 + 1 < 2 + Л 2 J < χ 2 + Λ 2

f \ X - I

с = \dx + Г —-dx- Г ^x =

J J ( x 2+ l ) 2 J ( x 2

+ l ) 2

x + A f ix 2 +l)~2d(x2 +l) - f ( 1 + " 2 ) ' f dx=x- , 1 , 2 J 1 ' 1 1 J ( x 2+ l ) 2 2 ( x 2

+ l )

Γ dx Г X2 dx 1 — + Τ = χ - ~ Γ ~ η г-arctg X-

J * + 1 J ( x 2+ l ) 2 2 P + l)

U = X, du = dx,

dv = ——— ν =

( x 2+ l ) Z ' 2 ( x 2

+ l )

χ l f i f o χ +1 1 _ --j— γ + — =X--J- arctg χ + -arctg x + C =

2lx2 + l) 2 J Χ2 +1 2IX2+1) 2

* + l I = x 7 r arctgx+C.

2 ( x 2+ l ) 2

3.5. Dviejų tipų iracionaliųjų funkcijų integravimas

Šiame skyrelyje nagrinėsime du tipus iracionaliųjų funkcijų, kurių

integralai, parinkus keitinį, pakeičiami racionaliųjų funkcijų integralais,

kitaip sakant, jų pointegraliniai reiškiniai racionalinami.

I. Nagrinėkime integralą

p ' m /Л

ί « Χ,Χ" , . . . , X i

J ι /

dx. Simboliu R žymime

kintamųjų x, x n _..., x s atžvilgiu racionaliąją funkciją. Pavyzdžiui, jei

\2 /

, tai f (x)=R

_ (х + 4)(л/х + 5

П Х ) ~ ( 2 - ^ p c - l )

1 1

X, X 3 , X 4 , X 5

r ι m

i" XtXn ,.

J V J

dx pointegralinis reiškinys racionalina-

mas naudojant keitinį Vx = t; iš čia X=Ik, dx = kf ldt, k lygus trupmenų

m r — ,..., — bendrajam vardikliui. Iš tikrųjų

i' = J/ψ* ,tni,... )ktk^ dt = jR^dt.

( m r ' mk rk N

X, X n ,. ..,Xi dx = fl tk,t " ,. t s • > 1

I J /

ktk~l dt =

Wik rk Kadangi n\ = , ..., S1 = — yra sveikieji skaičiai, tai pointegralinė

n s

funkcija yra racionalioji.

Integralų |/?((ί)ί/ί integravimą jau aptarėme anksčiau.

1

1 pavyzdys. Γ -Jx dx _ f χ2

• J t p T T J y -3

X4 +1

dx .

1 3

S p r end imas . Kadangi trupmenų — ir — bendrasis vardiklis yra 4,

tai, parinkę keitinį i/x = t, χ = t4, dx = Atidt, gausime:

. 4 Ο Ι . Λ * . 4 f ^ L . 4 L· . ^ L ) * -

= 4 ! 2 , Λ t 2 , 4 ' 3 4 f 4 3 + 1 ) 4 3 4 , γ dt-A - dt =—— - L = -t3--In J J i 3 + ! 3 3 J , 3 + 1 3 3

/ 3 + 1 +C=

= I ^ - I n I 4 V x 3+ 1 +C. A

II. Nagrinėkime integralą

m

f OX+ ЬЛ n

ίτ· \cx + d

ax + b

cx+ d dx;

čia a, b, с, d - realieji skaičiai, ad-bc φ 0 . Šio integralo pointegralinis

reiškinys racionalinamas naudojant keitinį

ax + b ax + b k dtk - b , ad-bc , , =t, =Г,х= -r- , dx= —k - t dt;

cx+ d cx+ d a-et" {a~ct)

čia k - trupmenų — ,..., — bendrasis vardiklis. Tuomet n s

f u\~ km f # \ — kr αχ + ΐΛ n = - = t>h ^ 5 Г αχ + ΐΛ s = - = f„ .

Kcx+ dJ \cx + dJ

čia nЬ . . . , S 1 - sveikieji skaičiai. Įrašę šiuos reiškinius į pradinį integralą,

gautume integralą

J a-ct

ad-bc _ktk-ldt=\R2{t)dt.

(a-ctk f

čia R2(t)~ racionalioji funkcija.

U -2 pavyzdys. Г — - · ^ U U z r .

J (1-х) Vl-x

Sp rend imas . Parinkę keitinį 31^+ x = t , ^ + X = f 3 , X = -^5—-' ' 1 - х 1 - х /3+1

6 ' 2 J , 2 f 1 J l + x 7

йх= — dt , 1 - χ = j , gausime: | — ox = * f - 4 - ^

( i 3+ l ) Z " J ( I - X ) 2

J 4 . ^ з + ]|2 2 2 4 8 ν 1 - χ / γ 1 - χ

3.6. Integralai J / i ^x ,Vax 2 + Z>x + cJ dx . Oileriokeitiniai

Nesunkiai galėtume įsitikinti, kad tokių integralų pointeg-

raliniai reiškiniai racionalinami, naudojant vieną šių trijų

Oilerio keitinių:

1) kai a >0 , tai

2) kai с > 0 , tai

Vox2 +bx + c =x /±Vč ;

3) kai kvadratinis trinaris ax2+ bx+ c turi skirtingas realias šaknis x\

ir X2, tai

-Jax2 +bx + c = /(x-x) ;

čia χ kuri nors viena trinario šaknis.

1 pavyzdys. Raskime I = P « 1

- Λ / Χ 2 + 3 X + 2 dx.

χ+ Vx2 +3x + 2

Sp r end imas . Kadangi šiame pavyzdyje α = 1 > 0 , c = 2 > 0 ir trinaris

x 2 +3x+2 turi dvi realiąsias šaknis X 1 = - I , X 2 = - 2 , tai tinka bet kuris

Oilerio keitinių. Panaudosime trečiąjį:

is cia χ= t 2 - 2

I - / 2 ir dx =

Vx2 t- 3x + 2 = /(x + l ) ;

Itdt

M 2 . Įrašę šiuos reiškinius į pradinį integ-

ralą, gauname:

i 2 - 2

Γ \-t'

JT2T

' t 2 - 2

I l - / 2 + 1

y

- + /

f "> ~ ^

Г -2 , ^ +1

v 1-/

2 / ώ

M _ 2 [ J 4 l

J (/ + l ) 3 ( /-2)( /-1)

Pointegralinę funkciją išskaidome paprasčiausių trupmenų suma:

/4 β г2 +2/ +

(/ + l ) 3 ( /-2) ( /-1) (/ + I)3 (/ + 1)'

Apskaičiavę koeficientus, gauname:

C D E + + + / + 1 / - 2 t-l

1 5 17 8 3 A = -— , B = —— , C = —— ,D = — ir E =—

6 36 216 27 8

Tuomet

/ = 1 - i f dt 5_ Γ dt _ YT_ Γ dt _ _H> Γ dt

~ 3 J ( f + i ) 3 + 1 8 J ( i + 1)2 108 J / +1 27 J / -2 '(/ + l)

3 f dt 1 5 17 , ι , ι 16 . ι „ ι - = r- 7 In (+1 In i-2 + 4 J i - I 6(f +1) 18(/ + 1) 108 27

+ - ln| i-11 +C; 4

cia / = л1х2 +3X + 2

χ +1

Kai kuriuos nagrinėjamo tipo integralus galima rasti paprasčiau, ne-

taikant Oilerio keitinių. Reiškinyje ax2 + bx + c (a * 0) išskirkime dvinario < /-

c b1

I = a \ χ + —I + a a

kvadratą: ax2 + bx + c = a \ x2 + —χ+ —]= a a 4a2

JJ

b ^2 . 4ac-b2 2 , 2. v. b - a χ + ·— -1 = at±n ; čia χ 4 t, dx = dt,

V 2a J 4a 2a

4ac-b2 , 2 / r>4 — =±n (n φ 0 ) .

4 a •

Kadangi a gali būti ir teigiamas, ir neigiamas, tai raide a pažymėję

reiškinį ±m2, integralą Jft^x, Vax2 +bx + c^dx pakeičiame vienu šių

integralų:

I. Jm2I2 +n2^jdt; (8)

II. ^R[t,4m2t2 -n2^jdf, (9)

III. ^R{t,yln2-m2t2Jdt. (10)

Sie integralai, atitinkamai parinkus keitinius, pakeičiami trigo-

nometrinių funkcijų integralais. Keitiniai gali būti tokie:

(8) integralui tinka keitinys t = —Igz arba t = — ctg z , m V m J

(9) integralui-keitinys / = — secz = — - — arba t = —— m wcosz V ms inz

(10) integralui - keitinys / = — sinz arba t = — cosz . m V m J

2 pavyzdys. Suintegruokime i dx

Sp r end imas . Šis integralas yra III tipo, todėl, parinkę keitinį

x = 3sinč, dx = 3costdt, gausime:

dt j* dx f 3 cos t dt _ j*3cosidi _ 1 j* iJf^W » J 2 COS t

= l t g / + C = A — + C = A , sin' + C - I - - J b + C -9 9 c o s ' 9 V T w T 9 Π Τ 1-

9

9-у9-2

•+C. •

3.7. Diferencialinių binomų integravimas

Reiškinys xm[a + bx")P dx vadinamas diferencialiniu binomu",

a, b - bet kokios konstantos, m , n , p- racionalieji skaičiai.

Kalbėsime apie tokių reiškinių integravimą. Įrodyta, kad diferen-

cialinio binomo integralas ^xm [a + bxn)P dx, kai m, n, p- racionalieji

skaičiai, išreiškiamas elementariosiomis funkcijomis tik tada, jeigu kuris

nors vienas iš skaičių:

1) P,

2) n

3) +p,

n

yra sveikasis (teigiamas, neigiamas).

Išnagrinėkime, kaip kiekvienu atveju integruojamas diferencialinio

binomo integralas.

1) Jeigu p yra sveikasis teigiamas skaičius, tai, panaudoję Niutono

binomo formulę, pointegralinę funkciją išreiškiame racionaliąja funkcija ir

ją žinomais metodais suintegruojame. Jeigu p < 0 , tai, parinkę keitinį

Vx = t, X = S (k - trupmenų m ir n bendrasis vardiklis), pointegralinę

funkciją išreiškiame racionaliąja funkcija.

r tn +1 2) Tarkime, kad p - trupmena, p = - , o sveikasis skaičius.

s n

Reiškinį Xm (a+bx"ydx pertvarkome pažymėję x" raide 2. Tada

m+1

j > ( a + bxn fdx=^ J (a + bz)pz » ~\z.

Kadangi — + ^ - sveikasis skaičius, tai ą = m + ^ _ ] irgi sveikasis skai-n n

čius, todėl

jxm (a + bx"Y dx = I J ( f l + bz)pzUz = I J / ? ( z , ( e + bz)p)jdz.

Iš 3.5 skyrelio žinome, kad tokio tipo pointegralinė funkcija racionalinama

naudojant keitinį a+bz= ts , t.y. a+bx" = ts.

3) Tarkime, kad p = — bei m + - trupmenos, bet ^ L t l +p _ s n n

sveikasis skaičius. Integralą pertvarkome:

|(fl + bz)pzUz = || a + bz

:p+qdz.

Kadangi p + q = m +1

n 1 +p - sveikasis skaičius, tai

^(a + bz)pz4z = J f l L a + bz

dz,

o tokio tipo pointegralinė funkcija racionalinama, naudojant keitinį

a + bz = ts , t.y. a+bx"= χ"t

s

r - i f 2 ^

f 3 1 +Jt3

J I J

\~2

dx.

1 2

Sp r end imas . Cia m = -— , n=—, p=-2 ((1) atvejis). Parinkę

keitinį t = Ux , x = /3, dx=3t2dt, gausime: Л i 1 \ -2

J' и Jil

1 + J C 3

V y

M (-2)2

(ir J 1 1 J ( i + i

2 ) 2

3 1 3 - - l T + C = C - , - = C-2 1 + r2

21 1 + Vx2

2 pavyzdys, f X ^ x = f x 3 ( l - x 2 ) 2 dx .

J V1-х 2 J

1 m + 1 S p r e n d i m a s . Cia m = 3 , n = 2 , p = — , = 2-sveikasis

2 n

i

skaičius ((2) atvejis). Parinkę keitinį 1-х2 = ?2, x = ( l - i 2 j 2 ,

l

dx = -[l-t2) 2 tdt, gausime:

= C -χ

3 (2 + x 2 ) .

3 pavyzdys. , =7 |x~2(l + x 2 | 2dx. K2^ J 1 j

». „ „ 3 m +1 . S p r end imas . Cia m=-2 , n = 2 , p = , Vp=-Z

2 n

sveikasis skaičius ((3) atvejis). Parinkę keitinį l + x 2 = 12X2 , χ2 = tL

-1

i. J

χ= (t2 - l j 2 ; dx = ~[t2 - l j 2 tdt, gausime:

X 2 J l + x 2

= Γ 1 - '

J ί 2

- ί 2 W 1 . ^ JC V 1 + χ2

-dt =C 1 = C-2 ' J l T x 2

3.8. Trigonometrinių reiškinių integravimas

Nagrinėsime integralus J/?(sinx,cosx)i£t; čia R - kintamųjų sin χ ir

cosx racionalioji funkcija. Si funkcija visada racionalinama parinkus

χ

keitinį tg — = t, kuris dėl šios priežasties vadinamas universaliuoju. Iš

sąlygos t g y = i turime:

Idt 2tgf 21 x = 2arctgi, dx = — , sinx= — = —,

1 + i l + t g 2 ± l + t 5 2

1-¾ 2 ! , - , 2

COSX = — = T- . 1 + t g 2 * i + t

5 2

Todėl

f/?(sinx,cosx)iZr = [r\ A r , ^ - A r \ R \ ( t ) d t . 1 J u + t2 l + t J 1 + t2 J

X Nors universalusis keitinys tg — = t visada racionalina funkciją

/?(sinx, cosx), tačiau kartais ją galima racionalinti paprastesniais kel-

tiniais.

1) Sakykime, pointegralinė funkcija F (sinx, cosx) yra nelyginė funk-

cijos sinx atžvilgiu (pakeitus funkcijos sinx ženklą, pointegralinė

funkcija pakeičia ženklą), t.y.

R (-s inx , cosx)= -R (sinx, cosx).

. з

Tokia yra, pavyzdžiui, funkcija R (sinx, cosx) = , nes cosx-3

D, • ч (-sinx)3 sin3x , . . R (-s inx , cosx)= = = -R (sinx, cosx). cosx-3 cosx-3

Tada tinka keitinys cosx = t, χ = arccos t, dx= ^t

JT- r

2) Sakykime, pointegralinė funkcija R (sinx, cosx) yra nelyginė

funkcijos cosx atžvilgiu, t.y.

R(s inx , - cosx)= - R (sinx, cosx).

Siuoatvejutinkakeitinys sinx = i, χ = aresin t, dx =

cosx

V T ^ '

3) Sakykime, pointegralinė funkcija R (sinx, cosx) yra lyginė funk-

cijų sin χ ir cos χ atžvilgiu, t.y.

R ( - sinx, - cosx) = R (sinx, cosx).

Pavyzdžiui, .R(sinx, cosx)= sin2x+3 sinx cosx+5 yra lyginė sinx ir

cosx atžvilgiu, nes

i?(-sinx, -cosx)=(-sinx)2 + 3(-sinx)(-cosx)+5=

=sin2x +3 sinx cosx: +5 = R (sinx, cosx).

Tuomet tinka keitinys tgx = t, χ = aretgt, dx = ^t , , 1 + t

tg x t 1 1 sinx = , = , , cosx = -

y]l + tg2x Vl + tz ' V^Ttg2X Vl + t2

cos χ - 3

Sprend imas . Pointegralinė funkcija yra nelyginė funkcijos sinx atž-

1 pavyzdys. I S m X dx. J '

vilgiu, todėl tinka keitinys cosx = t , sinx = V l- t 2 , dx= ^t .

V l- t 2

Tuomet

3

. 3 „ Γ 11 — i " 1 2 d t n Л гЛ

-J

fjūiiLA _ f ('-'2^rfli •• fiz£i*_ fiizl

J cos χ - 3 J i J t-3 J t-3

( /-3)(1- г2 )

(--9)

dt

+ о Г dt t^ = J(i + 3)dt + 8 J y ^ - = — +3i +8 In I ί-З I +C=

t-3

COS2 X I ι +3cosx+81n cosx-3 +C. •

2

2 pavyzdys

• i tie

o 2 sin χ + 5 sin χ cos χ - 2

Sprendimas. Pointegralinė funkcija yra lyginė sinx ir cosx atžvil-

giu, nes

2(-sin χ)2 + 5(-sin x)(-cos χ) - 2 2sin2 χ + 5sinxcosx - 2

dt . t 1 Parinkę keitaų tgx=/ , dx = γ , sinx = - = = , cosx=

1 + i 2 ' Vl + /2 ' Vl + /2

gausime: dt

l·^-^ 4 J2sin χ + 5sinxcosx-2 J

I + /2

2/2 5/

I + /2 + I + /2

d/

J 2/-2 +5/-2-2/ 2 J 5/-2 5 J 5/-2 5

I + /2

= |ln|5tgx-2| +C.

3 pavyzdys. f

J 5 + 4 cos χ

χ Sprendimas. Parenkame universalųjį keitinį tg—= /. Tuomet

2 dt

I-12 Idt . f dx Γ i + t2

cosx = " \ , dx= ir I - — = I-t l 1 +1 J 5 + 4cosx J

5 + 4·

Ί I - / 2

1 + /'

f dJ- = 2 j*——— = 2 f-J 5 + 5/2 +4-4/2 J / 2 + 9 J

— ^ — = 2—arctg— + C = /2 +32 3 ё 3

χ

2 t g i ^ a r c t g y 2 +C.

4 pavyzdys i dx

•s χ 3 Sin X COS X

Sprendimas. Kadangii?(sinx, cosx)= — з sm XCOSX

1 1 R ( - sin χ, - cos χ) = = — τ , tai

(-sinx) (-cosx) sin χ cosx

R (sin χ , cosx) = R (-sin χ , - co sx ) . Vadinasi, tinka keitinys tgx = f .

~ , , dt t 1 Tuomet αχ= =- , sinx = —= , cosx = — ρ = ir

+ ί2 1 + г2 ' VTT7 ' Λ/Γ dt dt

Γ dx Γ 1 + f2 Γ 1 H2

J s i n 3 xcosx J t3 t J ί3

1 + t2

Į1+t2j2 ^i + ί212

f i + ί 2 , f л Γώ _ ι ι ι ι , ι ι — d t = -r-+ — = C T + I n I i I = C ζ - + I n ItgX I. A

J ί 3 J ί 3 J i It Itg2X

5 pavyzdys

• ΐ dx

sinx

χ Sprendimas.Panaudosime keitinį tg — = t .

„ 2t , Idt . Iuomet sinx = =-, dx = ir

1 + t 1 + t2

r dx rdt , į ι , = — = In i + C = In

J sin χ J t + C.

Gavome integralų lentelės 16 formulę A

Kai kurie integralai J/?(sinx,cosx)<& nesunkiai suintegruojami

naudojant trigonometrines formules

2 l + cos2x . , l -cos2x cos χ = , surx =

2 ' 2 '

cos mx cos nx = I (cos (m + n)x + cos(m -rc)x),

sin rax cosnx = I (s in (m + n)x + sin(ra - n)x),

I

sin mx sin/ix = I (cos (m - n)x - cos[m + «)x) .

6 pavyzdys. Raskime Jsin4 χ dx.

Sp rend imas . Jsin4 χ = J | s i n 2 xj dx =

dx = I 1 -2cos2x + cos2 2xjc£c = 1 - cos2x^2

= i ^ Jiie - 2 Jcos 2 χ ifc+ -- J(l + cos4x)čitj =

1 Γ 1 1 ^ - Ix — sin 2x л— ^dx н— Jcos Ax dx j = = 4 "

ι Г · „ ι ι . „ , „ = — χ - sin2x + —χ + —sin4x +C :

1 f3 . „ I . . = — — x-sin2x + — sin4x +C. •

4 l 2 8

γ 7 pavyzdys. JsinIx cos5xdx = — J(sinl2x + sin2x)dr =

If 1 1 1 1 cosl2x —cos2x +C = C cos 12x— cos2x.

12 2 J 24 4

4. Integralai, neišreiškiami elementariosiomis funkcijomis

1.1 skyrelyje minėjome, kad kiekviena funkcija f(x ), tolydi kuriame

nors intervale, tame intervale turi pirmykštę funkciją. Kitaip sakant, toly-

džių funkcijų integralai egzistuoja. Tačiau tai nereiškia, kad tolydžios funk-

cijos integralą visada galima išreikšti elementariąja funkcija. Kai kurių net

labai paprastų elementariųjų funkcijų integralai gali būti neelementario-

sios funkcijos. Tokius integralus vadiname „nesuintegruojamais", turėdami

galvoje, kad jų negalima išreikšti elementariosiomis funkcijomis.

Jau minėjome, kad integralas Jxm įa + bxn j^ dx neišreiškiamas ele-

mentariosiomis funkcijomis, kai nei p, nei m + ^ ; nei m + ^ + p n ė r a n n

sveikieji skaičiai. Tokie pat yra ir integralai je~x dx , Js"1* dx =six

(integralinis sinusas), =ciχ (integralinis kosinusas), Jsinx2 dx ,

f dx (Vsinx dx , I =Iix (integralinis logaritmas) ir 1.1., kurių irgi nega-J J Inx

Įima išreikšti baigtiniu elementariųjų funkcijų kombinacijų skaičiumi.

Vadinasi, tokie integralai minėta prasme yra „nesuintegruojami". Esti

integralų, kurie neišreiškiami elementariosiomis funkcijomis, tačiau daug

r - X 2

kur naudojami. Pavyzdžiui, toks yra integralas Ie dx , plačiai taikomas

tikimybių teorijoje. Integralas Jsinx2 άκ naudojamas šviesos difrakcijos

klausimams spręsti.

Prie neapibrėžtinių integralų, kurių nepavyksta išreikšti baigtiniu

elementariųjų funkcijų kombinacijų skaičiumi, priskiriami elipsiniai integralai. Taip jie buvo pavadinti dėl to, kad pirmiausia su šiais integralais

teko susidurti apskaičiuojant elipsės ilgį (žr. V I skyriaus 5.3. skyrelį).

Elipsiniai integralai būna trijų tipų:

Is

/ - f dx f χ 2 dx

2 " J ^ ( l - x 2 ) ( l - i t 2 x 2 )

dx

+ / z x 2 U i l - x 2 ) ( l - £ 2 x 2

čia 0 < / c < l , h gali įgyti ir menamąsias reikšmes. Jie vadinami pirmojo, antrojo ir trečiojo tipo elipsiniais integralais. Z. Liuvilis įrodė, kad šie

integralai yra neelementariosios funkcijos. A. M. Ležandras" dar labiau

suprastino minėtus integralus, panaudojęs keitinį χ = sin φ ^O < φ < у ] :

άψ

, 2 - 2 к sin φ

f * . Z 2 = - L f

j V l - I t 2 S m 2 φ t 2 I j l -

- - L f j T Š ^ į . f * * J " ί 1 + /гsin φΜΐ-k sin φ

Sie integralai taip pat vadinami pirmojo, antrojo ir trečiojo tipo Ležandro elipsiniais integralais.

Ypač svarbūs ir dažniausiai taikomi integralai

άφ

ί

F -J l-k 2 sin2 φ

1 - k sin φ dų>.

Žozefas Liuvilis (J. Liouville, 1 8 0 9 - 1 8 8 2 ) - p r a n c ū z ų matematikas.

Adrienas Mari Ležandras (A. M. Legendre, 1752 - 1 8 3 3 ) - p r a n c ū z ų matematikas.

Uždaviniai

1. Suintegruokite tiesioginio integravimo metodu:

a) j"sin2xVl + cos2 χ dx ;

с) ί sin2 χ

cos4 χ\ dx

(l + tg3x)

e) J(l + c tg 2xy^ xdx ;

b)

d)

f)

In χ dx

χ

arcsin -Jx

In2 χ

dx ;

ί

Vx-.

In (χ+ Vl-KX2

J u x 2

dx .

2. Suintegruokite keisdami kintamąjį:

a)

d)

J i

χ-Ί

Jl-x

dx

dx ;

X2Vx z +4

3. Suintegruokite dalimis:

a) Jxsinx dx ; b) jVxlnx<£c ;

b)

e)

Cjxdx c) j* e3xdx

J ^ + i ' c JVTTI ' j* χ5 dx ^ Γ dx

J VTT^; JxVTT

d) j|x2 - 3x + l)e~xdx; e) i e x cos χ dx ;

c) Jarcsinxtic

f) Jcos In xiic

4. Raskite šiuos racionaliųjų funkcijų integralus:

a)

c)

e)

J J J

dx ;

(x-l)i ie

х2(Х-2)(Х + 1)"

Зх + 5x +12

χ 2 + 1 dx :

b)

d)

f)

X 4 - 5 x 2 +4 J f dx

J T r T i

Г Зх+1

J x ( l + x 2 ) 2

dx ;

-dx .

a) J

5. Raskite šiuos iracionaliųjų funkcijų integralus:

-Jx dx

V + l

b) ii-x2 i i + χ

- X

dx;

с) Jjc3Vl-X2 dx ;

e) J" dx

χ6 ЪТ?

J J

dx

xV 1-2x + 7x2

χ2 +4x

Vx2 + 2x + 2 dx .

6. Raskite šiuos trigonometrinių funkcijų integralus:

a) \fc I cos 3 χ Sin3Xiic ;

c) Jsin4xdx ;

J A

J e)

g)

a)

8 - 4sinx + 7cosx

dx 2 ^ 1

7cos x + 2sin~x

J 7. Suintegruokite:

-Ixdx

л/27-j

c) Jx7e ;

e) Jln3 Xiic;

sin2xiie g)

i)

k)

4 • 4 COS X + Sin X

χ arctg χ čir

K f dx

χVx 5+9

m) JVl + sec Xiie ;

b) J COS3X

Sin7X iie ;

d) Jsin3x sin7x<£e ;

dx O

h)

b)

d)

f)

h)

J J J

J J

J

3 + 5cosx

dx

i 4'sin 3x Cos5X

dx

1 6 - χ 4 '

dx

ί* Sin X COS' X

aresin χ -dx ;

dx

V e2x +ex +1

j) J l n 2 ( x + Vl j)

1)

n)

+ χ \dx;

J ^ j x 2 -a2 j3cie ;

(4-x)<±e

J χ2 h x 2 +2x-4

Atsakymai

l. С (l + cos2*)4/3; b) С— л/5 — In2 χ; с)|ΐη(ΐ + tg3x) + С; d) (arcsin-v/x)2 + С;

e) C- ectg*; f) ln2(x + J1 + χ2) + C. 2. а) 10л/2 - χ +jyĮ(2-xf + C;

b) _ + 2λ/7 - + 6arctg^x + С; с) j ^ ' + l f ' J ^ * + 1 f +

+ 2л/777 + С; d e) С- J ^ J + | į f r f --j J f T f ;

f) — arccos — + C. 3. a) sinx-χ cost +C; b)—X3^2I I nx— + C ; c) χ arcsinx +

•Vl-x2 +C; d) (T^jx-χ2 j + C ; e) e" (sinx-cosx)+C; f) y (cos Inx +

+sin Inx)+C. 4. a)x+ln χ - 3

x + 3 + C; b) -In 7 3

(x + lf(x-2)

- l)(x + 2) + C; c) C—--

2x

--In |xI + — In|x-21 — + —InU+l l ; d) -In 4 36 3(x +1) 9 4

ч ^ V3 „ χ 9 5 X2 +1 e) C —— arctg + - arctg χ + -ln-j-^-

X-I

x + l - — arctgx +C;

; f) In |x I- —ln(l + χ2 j •

3 4 + — arctgx+ C. 5. a) —

3 3 Г X4 - In X4 +1 + C; b) J-

\ !

/

l + x + C; c) C

3x +1

>(x2 + l)

-H l-x z +

+ j Jh-χ2 \5

) ; ^ In

χ + •J\-2x + 1 + C; e)-

5x5 + C;

f) —(x + 5)4 x2 + 2x + 2 --In

b) 1 1

4 sin4x 6 sin6x

e) In

+ C; c) C+

χ +1 + Jx2 + 2x + 2

1 Γ sin4x

4 — 4 -+ C. 6. a)—Cos4X—cos4x + C;

' 15 7

161 2

tgy-5

tg--3 2

+ C; f) -In ; 4

χ , g2

4sin2x + 6x|; d) — sin4x- — sinIOx+ C; J 8 20

+ C; g) - j = arctg . - tgx +C; Vl4

h) 4^/tgT + C. 7. a) l a r e s i n J + C ; b) A-In 2 + χ

2-х + ±a r c t g£ + C ;

c) C-- (x6 + 3x4 + 6x2 + б) ; d) 2y[tįx + C; e) x(ln3x-31n2x + όΐηχ-б) + C;

f) С arcsinx- In χ

1 +Vl-X2

; g) С - arctg (cos 2x);

h) x-ln(2+ex +2-Jl + ex +e2x) +C; i) . * , + - arctgx- ^rctSx

^ > 4(1 + *2) 4 2Į1 + x j

j) .vIn2(x + Vl + x2) — 2t]\ + x2 In^x + V l+ χ2) + 2x + С; к) C In ' 15

+ C;

3 + Vx5 + 9 2V^

,. 1 I 2 2\3 3α χ Π 2 3a4, f Π 2 1) — X^X -a j —νχ- -a + —^-ln^x +V* -a

m) C+ 2arccos|Včosxj ; n)

+ С;

Зх" + 2х - 4 + С.

APIBRĖŽTIMS INTEGRALAS IR JO TAIKYMAS

1. Apibrėžtinio integralo sąvoka

1.1. Kreivinės trapecijos plotas ir apibrėžtinio integralo

sąvoka

Sakykime, kad atkarpoje [a; b] apibrėžta teigiama ir tolydi funkcija

f(x). Figūra, apribota iš apačios abscisių ašies, iš šonų - tiesių χ = a ir

χ = b, iš viršaus - funkcijos f(x) grafiko, vadinama kreivine trapecija (102 pav.).

Apskaičiuosime šios trapecijos plotą. Atkarpą [ a; b ] taškais

a=x(i<x !<... < Jt;_i<x, <... <x„= b bet kaip padalykime j n dalių.

Kiekvienoje dalyje bet kur pasirinkime po tašką c, ir suraskime funkcijos

reikšmę/(c,) šiame taške. Kiekvieną atkarpą [*, _!; Xi] laikydami kraštine,

nubraižykime stačiakampį, kurio pagrindas Axi= Xį-Xi_\, o aukštinė lygi

f(cį) [i = 1, n). Gausime laiptuotą figūrą

(103 pav.). Apskaičiuokime jos plotą.

Kiekvieno stačiakampio plotas lygus

f(ci)Axį, todėl visos laiptuotos figūros

plotas σ lygus tokių dėmenų sumai.

Taigi

n

σ = Σ/(Γ/)Δχ< · ί=1

Aišku, kad laiptuotos figūros plotas

bus tuo artimesnis kreivinės trapecijos

0

y=W

a

103 pav.

plotui, juo bus mažesnės atkarpos [JC,_I ; . Pažymėkime тахДх,· raide λ .

Tikslią kreivinės trapecijos ploto reikšmę S gausime apskaičiavę sumos σ

ribą, kai λ —> 0 (tuomet n neaprėžtai didėja). Vadinasi,

и

5 = Iim σ = Iim V/(c . · ) Axi . (1) λ->0 λ->0 '

Aprašytą procedūrą pritaikykime bet kokiai tolydžiai funkcijai f(x),

apibrėžtai atkarpoje [a; b ]:

n

1) sudarykime sumą ^ / ( c , · ) Axi , kuri vadinama Rymano' integraline

1 = 1

suma;

2) apskaičiuokime šios sumos ribą, kai λ -> 0 :

n Iimi Y f (Ci) A Xi .

Apibrėžimas. Jei egzistuoja baigtinė integralinės sumos riba, kai Л

nepriklausanti nuo atkarpos [ a; b ] skaidymo būdo bei nuo parinktų taškų

CĮ, tai ta riba vadinama funkcijos F(X) apibrėžtiniu integralu atkarpoje [a; b ].

Apibrėžtims integralas žymimas simboliu"

b

\f(x)dx.

a

Taigi

b n

\f(x)dx =Wm^f(Ci)Axi. (2) λ—>0

a ' - I

Skaičiai α ir b vadinami apatiniu ir viršutiniu integravimo rėžiais.

Georgas Fridrichas Bernhardas Rymanas (G. F. B. Riemann, 1826 - 1866) - vokiečių matematikas.

Taip žymėti pasiūlė prancūzų matematikas Žanas Baptistas Zozefas Furjė (J. B . J .Four ie r , 1768-1830) .

(2) formulė rodo, kaip galima formaliai integralinės sumos ribą

pakeisti apibrėžtiniu integralu: pirma, ribos ir sumos ženklas keičiami

b

simboliu j , antra, funkcijos reikšmė tarpiniame taške /(c,) keičiama f(x), o

a

dydis A Xi - reiškiniu dx. Šią pastabą vertėtų įsidėmėti, nes tokiu būdu

toliau ne kartą nuo integralinės sumos pereisime prie apibrėžtinio

integralo.

Jeigu funkcijos f(x) integralinė suma turi baigtinę ribą, tai funkciją

vadiname integruojama Rymano prasme atkarpoje [ a; b ] arba integruojama

atkarpoje [a; b ].

i

Pavyzdys. Taikydami apibrėžimą, apskaičiuokime fx2dx .

o

Sp r end imas . Šiame pavyzdyje/(JC) =x2, a = O, b = 1; atkarpą [0; 1]

padalijame į n lygių dalių:

л '-O 1 v. . τ— Δ Xį = = — ; cia ι = \,n.

n n

Gauname tokius dalijimo taškus: x0 = 0, x\ = — ,X2= — , . . . , Jt,·_i = - — , n n n

i Yi XI= — , ... , XN= — = 1. Tašką c, parenkame per vidurį tarp taškų jc,_i ir

n n

i-1 | i

Xj, todėl jo koordinatė lygi + . Vadinasi, c, = — — = ——-. 2 2 2n

2

Apskaičiuojame/(c,)= — — . Tuomet 2 n

n (li-\)2 _ 12 +32 +52 +...+ (2k-1)2

P(Ci)Axi=^i

i,^4n2 - lj

;_l 4«3 4/73

/ = 1

Pasinaudoję formule I 2 + 32 + 52 + ... +(2л-1)2

j

apskaičiuojame integralą:

į 2 , " K " 1 ) 4 „ 2 - l 4 1 \x ax = Iim — -r-1- = hm j- = — = —. A Q «->00 3 • 4n «->00 I2nz 12 3

Iš (1) formulės išplaukia, kad kreivinės trapecijos (102 pav.) plotas

b

S= \f(x)dx.

Tai ir yra apibrėžtinio integralo geometrinė prasmė. O kokia jo

fizikinė prasmė?

Tarkime, kad taškas juda skaičių tiese tiesiai tolydžių greičiu v(f);

t e [/0; Т]. Tuomet per trumpą laiką Ati = ί, - ί,·_i jis nueina apytiksliai

v(c;) · Δ i, kelią; čia c, e [ Z i i ; f,·]. Kelias s, nueitas per laiką nuo t0 iki T, bus

n

apytiksliai lygus sumai Σ v(c, )Δ/, , o tiksli kelio reikšmė bus jau integralas

/=1

τ

s = jv(t)dt.

'o

Dabar išsiaiškinsime, kokios turi būti sąlygos, kad integralinė suma

turėtų baigtinę ribą. Aišku, kad funkcija f(x) turi būti aprėžta, nes

priešingu atveju, jei ji atkarpoje [я; b] būtų neaprėžta, tai tokia ji būtų

kuriame nors daliniame intervale, kartu neaprėžtas būtų ir dėmuo

f(Ci) AXi, atitinkantis tą intervalą. Tokia integralinė suma baigtinės ribos

neturėtų. Taigi funkcijos f(x) aprėžtumas yra būtina jos integruojamumo

Rymano prasme sąlyga. Kaip žinome, šią sąlygą tenkina tolydi atkarpoje

[ a; b ] funkcija.

1.2. Darbu* sumos

Išnagrinėkime dar dvi integralines sumas, šiek tiek papras-

tesnes už Rymano sumą. Pažymėkime:

Mi = sup{/(x)|, χ e [x, _i -,Xi],

ra, = in f j / ( x )J , χ € [jCį-ь Xi], i = \,n.

Sudarykime sumas

n

S = YjMiAxi,

; = 1

n

s = Y^ml • Axi.

(=1

Pirmoji jų vadinama viršutine Darbu suma, antroji - apatine Darbu

suma. Kadangi

ra, < f(Ci) < Mi, Ci E [x,_| -,Xi], (3)

* v

Žanas Gastonas Darbu (J. G. Darboux, 1 8 4 2 - 1917) - prancūzų matematikas.

tai teisinga nelygybė, kuri gaunama padauginus (3) nelygybės narius iš

Axi > O ir susumavus juos pagal i :

n n n

JjMi-Axi < JjI(Ci)Axi < X MiAxi , t.y. s < σ < S . (4)

/=I ;=1 ί=1

Geometriškai apatinė suma i lygi laiptuotos figūros, esančios kreivinės

trapecijos viduje, plotui (104 pav.), o viršutinė suma S - laiptuotos figūros,

kurios viduje yra kreivinė trapecija, plotui (105 pav.).

1.3. Darbu sumų savybės

Įrodysime tris šių sumų savybes.

1 savybė. Prie turimų skaidinio taškų pridėjus naujų, apatinė

Darbu suma gali tik padidėti, o viršutinė - tik sumažėti.

Į rodymas . Tarkime, kad tarp taškų x,:_i irx, (i = \,n) pažymėtas dar

vienas dalijimo taškasx,_i < χ < χ,. Pažymėkime:

m, = inf j / ( x ) J , χ e [x;_, ;xf] ,

coi = inf{/(*)} , Χ e [x,_i;x] , W2 = inf j / ( x ) J , X G [χ;χ,· ] ,

J - apatinė Darbu suma, atitinkanti naują padalijimą. Aišku, kad ω! > m,

ir CO2 > m,.

Sumos s ir 7 skiriasi tik tais dėmenimis, kurie atitinka dalį [x,_i; x (]:

sumoje s - tai dėmuo m, (x, -x, _i), o sumoje J - du dėmenys: coi (χ -χ,·_ι )4-

+ ω 2 (χ , _ι - χ ). Kiti sumų i ir 7 dėmenys vienodi, todėl

7-s= C0]|x-x,-_i | + ω2|χ/-x)-m,(x ; ·-x,_i) =

= ω](χ-χ;·_|) + ω2(χ,· - χ)-m,(χj - χ + χ -χ,·_ι) =

= (χ -x,'_])(cO] -mi) + (xi -χ)(ω2 ~щ).

Kadangi Χ - XI _Χ > 0 , XI-X > 0, Щ-MI > 0 ir (о2-тг· > 0, tai

J- s > 0 , t.y. J > s . Analogiškai įrodytume viršutinių Darbu sumų

sąryšį. •

2 savybė. Apatinė Darbu suma yra ne didesnė už viršutinę, net jeigu jos

atitinka skirtingus atkarpos [a\b] skaidinius.

Į r odymas . Darbu sumas, atitinkančias vieną skaidinį, pažymėkime

raidėmis Si ir S b Darbu sumas, atitinkančias kitą skaidinį -S2 ir S2 ir Darbu

sumas, atitinkančias skaidinį, sudarytą iš pirmojo ir antrojo skaidinio

taškų - s3 ir S3. Tuomet remdamiesi (4) nelygybe ir tik ką įrodyta savybe,

galėsime parašyti: S1 < s 3 < S 3 < S2.

Taigi Si < S2. Savybė įrodyta. •

Įsitikinome, kad visa apatinių sumų aibė {s} aprėžta iš viršaus bet

kuria viršutine suma S, todėl egzistuoja tos aibės tikslusis viršutinis rėžis

sup {s} = / , be to, / < S; analogiškai dėl viršutinių sumų aibės {5}

aprėžtumo iš apačios dydžiu / egzistuoja tos aibės tikslusis apatinis rėžis

inf {S} = I , be to,

/ < I . Įrodėme dar vieną savybę.

3 savybė, s < / < 7 <S . (5)

1.4. Rymano integralo egzistavimo sąlyga

Teorema. Funkcija f(x) atkarpoje [a·, b] integruojama

Rymano prasme tada ir tik tada, kai kiekvieną ε > O atitinka toks

skaidinys, kad

S-s < z . (6)

Į r odymas . Būtinumas. Tarkime, kad funkcija integruojama, t. y.

egzistuoja Iim σ = /. Vadinasi, λ - > 0

Vs > O 3δ > 0: λ < δ = > I σ - / I < - , 2

σ - Ι I < - о / - - < в < / + ε

2 2 2

Fiksuokime atkarpos [α; b] skaidinį, tuomet sumos s ir S bus

pastovios, o suma σ kis. Aišku, kad sumos s ir S bus sumų σ aibės tikslusis

apatinis ir viršutinis rėžis. Todėl

2

Iš šios nelygybės išplaukia:

I- - < s < σ < S <1 + - .

S I - — . 2 2

Iš pirmosios nelygybės atėmę antrąją, gauname: S - s < ε . Tai ir

reikėjo įrodyti.

Pakankamumas. Tarkime, kad (6) sąlyga teisinga; tuomet iš (5)

išplaukia, kad

L = 7-

Jų bendrąją reikšmę pažymėkime raide I , t. y. / = / = / . Iš (5)

turėsime s < / <S. Iš anksčiau žinome, kad s < σ < S. Kadangi dydžiai / ir

σ yra tarp s ir S, kurių skirtumas mažesnis už ε , kai Axi pakankamai maži,

tai I / - σ I < ε tuo labiau, o tai reiškia, kad

Iim σ = I .

λ ->0

Taigi funkcija/(x) integruojama atkarpoje [a; b] . •

Paminėsime vieną įdomų dalyką. Įrodinėdami pakankamumą, gavome

sąlygą / = 1 = 1, kuri kartais laikoma funkcijos integruojamumo

atkarpoje apibrėžimu. Sis apibrėžimas ir ankstesnis Iim σ = I yra ekvi-λ - > 0

valentūs. Prisiminę, kad ω , = M , - m , , apskaičiuojame skirtumą S-s:

n n

S-s = J(Mį -mAAxi = Jj(S)i Axi .

i=1 /=1

Tuomet funkcijos integruojamumo sąlygą galėsime užrašyti taip:

n

\/ε > O Ξ δ > O: λ < δ = > Jai-Axi < ε .

;=1

Dabar šią sąlygą pritaikysime išsiaiškindami, kokių klasių funkcijos yra

integruojamos.

1.5. Integruojamųjų funkcijų klasės

Pagrindinę integruojamųjų funkcijų klasę sudaro tolydžios

atkarpoje [a ; b ] funkcijos.

1 teorema. Tolydi atkarpoje [ a; b ] funkcija f(x) yra integ-

ruojama Rymano prasme.

Į rodymas . Kadangi funkcija /(x) tolydi atkarpoje [a\b], tai jai

galima pritaikyti Kantoro teoremos išvadą, kad funkcijos svyravimas

i - tajame intervale ω , gali būti kiek norima mažas. Todėl Ve > O 3 δ > O:

Axi < δ =>

=> ω, < —-— . Tuomet b - a

" ε " ε J a i • Axi < JAxi = (b -a) = ε,

/=1 b - α /=1 b -α

ο tai reiškia, kad funkcija f(x) yra integruojama. A

2 teorema. Monotoniška atkarpoje [ a ; b ] funkcija f(x) yra integ-

ruojama Rymano prasme.

Į r odymas . Tarkime, kad funkcija/(x) yra didėjanti. Jos mažiausioji ir

didžiausioji reikšmės daliniame intervale [xt , x, ] bus lygios:

m, = f(x,-\), Mi = fix,).

Tuomet

S-s= i(f (X1) ~f (Xl^)AXi =

i = 1

= (f(xi)-f(Xid +Kx2) -KxO +/(Xi) - f(Xi)+ - +

+ f(XN) -f(xn~ι)) ΔΧ, = (f(XN) - f(XO))AXĮ = (f(b) -/(fl)) Ax1.

Kai Axi 0 , tai aišku, kad ir 5 - s -» 0. Teorema įrodyta. •

Apibrėžimas. Funkcija vadinama dalimis tolydžiąja atkarpoje [a; b],

kai ji šioje atkarpoje turi baigtinį kiekį pirmojo tipo trūkio taškų.

1 teoremos rezultatą apibendrina tokia teorema (ją pateikiame be

įrodymo).

3 teorema. Dalimis tolydi atkarpoje [ a ; b ] funkcija yra integruojama

Rymano prasme.

1.6. Apibrėžtinio integralo savybės

Sakykime, kad/(x) ir g(x) - integruojamos atkarpoje [a;b] funkcijos.

Tuomet teisingi šie teiginiai:

b b b

1. J(a/(x) + Pg(x)) dx = α |/(χ)ί& + β Jg(x) dx ; čia α , β - bet kokie

a a a

realieji skaičiai.

Į r odymas . Pritaikę integralo apibrėžimą, gauname:

b n

J(q f(x) + ^x))dx = Iim ^ ( « / ( c , ) + pg(c,)) A x,· =

o

n n b b

= α Iim Y f ( C i ) A x i + P l i m ^ g ( C j ) A x , = α|/(χ)ί&; + β Jg(x)i& . •

^ 0 I = I a a

b

2. Įvesdami apibrėžtinio integralo ^f(x)dx sąvoką, darėme prielaidą,

a

kad a < b. Kai b < a, tai sutarsime, kad

b a

\f(x)dx = -\f(x)dx.

a b

a

Dar paminėsime, kad pagal apibrėžimą ^f(x)dx = 0.

a

3. Kad ir kokie butų skaičiai a, b, c, teisinga lygybė

b c b

| / ( X ) Ū 6 C = J f ( x ) d x + \f{x)dx,

a a

jei tik visi trys integralai egzistuoja.

Į r odymas . Sakykime, kad a < c < b . Minėjome, kad integralinės

sumos ribos reikšmė nepriklauso nuo [a ;b] skaidymo į dalis, jei tik

funkcija integruojama. Todėl atkarpą [a; b] galima suskaidyti j dalis taip,

kad taškas c būtų dalijimo taškas. Tuomet

b c b

Jf(Ci)Axi =Jf(Ci)Axi + Jf(Ci)Axi .

a a

Perėję prie ribos, kai λ 0 , gauname reikiamą lygybę.

Dabar tarkime, kad taškas c yra atkarpos [ a ; b ] išorėje, pavyzdžiui,

a 0 atkarpoje [a; b ], tai

b

\f(x)dx> 0.

a

Į r odymas . Kadangi bet kuriame atkarpos [a; b] taške c, /(c,) > 0 ir

b

Axi > 0, tai J f [cį)Axj > 0. Perėję prie ribo£ kai λ —> 0, gauname

a

reikiamą nelygybę. •

5. Jei /(x) >g(x) atkarpoje [a; b ], tai

b b

\f(x)dx> |g(x)cfe.

a a

Į r odymas . Iš nelygybės f(x) >g(x) išplaukia nelygybė f(x)-g(x) > 0.

Tuomet pagal 4 savybę

b b b

J(/(x)-g(x))<&>0,t.y. \f(x)dx>\g{x)dx. •

a a a

6. Tarkime, kad m = min f(x), M = max f (χ). Tada xĄa-,b\

m(b -a) < \f(x)dx <M(b-a) . (7)

a

Į r odymas . Kadangi m < /(c,) < M ir Ax1 > O, tai

Σ m A x i ^ Σ /(с ,- )Δχ ( · < Σ · ( 8 )

/=I /=1 (=1

η η

Apskaičiuosime sumą JmAxi =InjAxi = m(b -a). Dabar aišku,

/=1 /=1

kad, perėję prie ribos (8) nelygybėje, gauname (7) nelygybę. •

7. Vidurinės reikšmės teorema. Sia savybe remiamasi dažnai, todėl ją

suformuluosime kaip teoremą.

Teorema. Jeigu funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a; b], tai egzistuoja tos

atkarpos taškas c, kuriame b

\f(x)dx=f(c)(b-a).

a

Į r odymas . Kadangi funkcija tolydi atkarpoje [a; b], tai ji šioje at-

karpoje įgyja mažiausią ir didžiausią reikšmę m ir M , todėl m < /(x) < M.

Tuomet teisingos (7) nelygybės. Padaliję jas iš b - a > O, gauname:

I й

m < \f(x)dx<M. a a

{ b Dydis ff(x]dx yra tarp funkcijos/(x) mažiausios ir didžiausios

b-a J

a

reikšmių m ir M , taigi pagal teoremą apie tolydžios atkarpoje funkcijos

tarpinę reikšmę jis yra funkcijos/(x) tarpinė reikšmė, įgyjama, pavyzdžiui,

kuriame nors taške c. Todėl

1 6

ff{x)dx = /(c); b-a J

a

iš čia

b

\f(x)dx=(b-a)f(c). •

a

Reikšmė /(c) vadinama vidutine funkcijos /(x) reikšme atkarpoje

[a; b].

1 pavyzdys. Įrodykime, kad

2 < JA/4 + x2dx < VŠ .

o

Sp rend imas . Apskaičiuosime tolydžios atkarpoje [0; 1] funkcijos

fix) = л/4+ χ2 reikšmes ra ir M. Randame f'(x)= . . Kadangi 2

л/4 + X

f (x)> 0 atkarpoje [0;1], tai funkcija J 4 + x2 šioje atkarpoje didėja,

todėl mažiausią reikšmę ra ji įgyja kairiajame atkarpos gale, o didžiausią

reikšmę M - dešiniajame. Taigi

m = / (0 ) = V? = 2, M=f( 1) = л/4 + 1 = VŠ.

Vadinasi,

2 < }л/4 + x2dx < VŠ . •

o

2 pavyzdys. Įvertinkime integralą

2π J r CtX

P л/5 + 2 sin χ

Sp rend imas . Apskaičiuosime tolydžios atkarpoje [0 ;2π] funkcijos

f(x) = =- reikšmes ra ir M. Radę / ' fx) = - bei л/5 + 2 sin χ J{5 + 2smx)3

išsprendę lygtį / ' (χ) = 0, t.y. cosx = 0, kai χ e [0; 2π] nustatome

7t Зя I f{x) kritinius taškus — ir — . Toliau apskaičiuojame: / (0) = -=·,

Z Z yj 5

/ ( 2 π ) = - į , , / ( f ) = , / ( ¾ = Aišku, kad ra = - ^ , M f J = .

Todėl, pritaikę (7) formulę, gauname

2π < abr < 2π ^

V7 ~ J л/5 + 2 sin χ ~ 7з '

2. Niutono ir Leibnico formulė

2.1. Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu

Jei funkcija/(x) integruojama atkarpoje [a; b ], tai ji bus integruojama

χ

ir atkarpoje [α;χ], x e [a; b]. Nagrinėsime integralą jf(t)dt, kuris

a

geometriškai reikštų kreivinės trapecijos (106 pav.), turinčios kintamą

0 σ χ χ+Δχ b χ

106 pav.

kraštinę AB, plotą. Aišku, kad

tokios trapecijos plotas bus kinta-

mas ir priklausys nuo χ. Todėl

X

\f(t)dt = φ(χ).

a

Teorema. Jei funkcija f(x)

tolydi atkarpoje [a; b], tai

(Φ(χ))' = f (χ) šios atkarpos taš-

kuose.

Į r odymas . Kintamajam χ suteikiame pokytį Ax ir apskaičiuojame

pokytį Δ Φ :

χ+Δχ χ χ χ+Δχ χ χ+Δχ

Δ Φ = Φ(χ +Δχ) - Φ (*) = J - J = J + J - J = { / ( Ή ·

χ+Δχ

Integralui \f(t)dt taikome vidurinės reikšmės teoremą:

χ+Δχ

Δ Φ = \f(t)dt =f(c)(x + Ax-x)=f(c)Ax;

čia c yra tarp je ir χ + Ax . Tuomet

ΔΦ _ f (c) Ax

Ax Ax =M-

Pasinaudosime išvestinės apibrėžimu:

/ , ΔΦ , ч Φ'(χ) = Iim = Iim f (c).

Δχ—>0 Δ χ Δχ—>0

Kadangi с -> χ, kai Δχ —> 0, tai dėl Дх) tolydumo

Iim f (с) = Iim f (с) =/(x). Δχ-»0 с—>x

Taigi

Ф ' ( х ) = / ( х ) . А

Ši lygybė reiškia, kad funkcija Ф(х) yra funkcijos /(x) pirmykštė

atkarpoje [ a ; b ].

Iš to gauname svarbią išvadą: kiekviena tolydi atkarpoje [ a ; b ] X

funkcija f(x) turi pirmykštę funkciją Ф(х) = J/(/) dt.

a

Taigi įrodėme dar V skyriaus 1.1 skyrelyje suformuluotą teiginį apie

pirmykštės funkcijos egzistavimą.

2.2. Niutono ir Leibnico formulė

Išvesime svarbiausią matematinės analizės formulę, kuri apibrėžtinj

integralą susieja su pointegralinės funkcijos pirmykšte funkcija.

Teorema. Jeifunkcija f(x) tolydi atkarpoje [ a ; b ] ir F(x) - kuri nors jos

pirmykštė šioje atkarpoje, tai

b

\f(x)dx =F(b) - F (a).

a

Į r odymas . Remiantis ankstesne teorema, galima teigti, kad tolydi

л

atkarpoje [a; b] funkcija f(x) turi pirmykštę, lygią J / ( i ) dt. Kadangi pagal

a

sąlygą F(x) irgi yra funkcijos /(x) pirmykštė, tai jos turi skirtis tik

konstanta, todėl

X

I f (t) dt =F(x) + C.

a

Įrašę į šią lygybę reikšmę χ = a , gauname:

a

jf(t)dt = F (a) + C,

a

O = F(a) + C, C = - F(a).

X

Taigi jf(t)dt = F(x) -F(a). Vietoj χ įrašome reikšmę b:

a

b

\f(t)dt = F(b)-F(a). A

Ši formulė vadinama Niutono ir Leibnico formule. Skirtumą F(b)-F(a)

'Ъ . Tuomet Niutono ir Leibnico formulė rašoma taip: įprasta žymėti F(x)

b

\f(x)dx = F (b) - F (a) = F(x)

a K.

1 pavyzdys. Apskaičiuokime Ij —L— + cosx j Λ . ^VcoszX J

Sp rend imas . Kadangi — p i r m y k š t ė lygi tgx, o cosx pirmykštė COS- X

lygi sinx, tai

f—L— + cosx )dx = (tgjc + sinx) J v COS X ' O

= ( tg f+s in f ) -(tgO + sinO) = l + . •

2 pavyzdys. Apskaičiuokime funkcijos f(x) = 10 + 2 sinx + 3cosx

vidutinę reikšmę atkarpoje [0; 2π].

S p r end imas .

2π

Ac) _ O

j( 10 + 2sinx + 3cosx)i/x (l Ox + 2 cosx-3 sin χ) 2π

О

2π - О 2π

20π

2π = 10.

3. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimo metodai

3.1. Kintamųjų keitimo metodas

Šis metodas pagrįstas tokia teorema.

b

1 teorema. Tarkime, kad integrale j/(x)<ix kintamasis χ pakeistas pagal

a

formulę χ = φ(ί). Jeigu:

1) Дх) tolydi atkarpoje [a; b],

2) φ(ί) ir tp'f / ) tolydžios atkarpoje [ α ; β ],

3) φ(ί) reikšmių aibė yra atkarpa [a; b], be to, φ (α) = a, φ (β) = b ,

b β

tai \Ąx)dx= //(φ(ί))φ'(ί)Λ.

α α

Į r odymas . Sakykime, kad F(x) - funkcijos/(x) pirmykštė atkarpoje

[a; b]. Tuomet, panaudoję Niutono ir Leibnico formulę, gauname:

b

\f(x)dx = F(b) -F(a) = F(<p(P)) -F(q>(a)) =

a

β β = J^ (cp(0) = {^'(ср(О)л.

a a

Išvestinę F'(cp(i)) apskaičiuosime, taikydami sudėtinės funkcijos dife-

rencijavimo taisyklę

Vadinasi,

ί-'(φ(0) = / (φ (0 )φ ' ( 0 ·

b β \f{x)dx = //(φ(/))φ'(ί)ώ. a

α

64

1 pavyzdys. Apskaičiuokime -η=—^= . J-v/X+VX

Sp r end imas . Kintamąjį pakeiskime taip, kad išsitrauktų abiejų rūšių

šaknys: tfx = t, χ = t'\ Tuomet dx = 6t5dt. Į keitinį §Jx = t vietoj χ

įrašome skaičius 1 ir 64: л/Г = t, л/б4 = i; iš čia t = 1 ir t = 2. Todėl

64 2 , 2 , 2 f dx f bt dt s ft dt z f|

J v r T / r = J 7 7 7 = 6J7TT = 6JI 1 . 1 1 1

t 2 - t + I - - L t + \

dt =

i

f 3 2 + ? - lnl/ +1|

3 2 1 1

Baigti siūlome skaitytojams. •

2 pavyzdys. Apskaičiuokime χ2 dx .

Sp rend imas , χ = a sini, O < t < — , dx = acostdt. Į keitinį vietoj χ

įrašoma O ir a: a sini = O, a sini = a; iš čia sini = O, sini = 1 ir i = O,

i = —. Tuomet 2

JVo2 -X1 dx = JVa2 - a2 sin2

t a cost dt =

π Л 2

= a2 Jcos2tdt = A- J(l + cos2i)t/i = A-^i + -sin2i 2 _

2 teorema. Tarkime, kad f(x) - io/ydi atkarpoje [ - α ; a ] (a > 0)

funkcija. Tuomet

\f(x)dx = 2 J / ( x ) dx , kai / ( x ) - lyginė funkcija;

O O , kai / (x) - nelyginė funkcija.

a О a

Į r odymas . J/(X)Ū&C = | / ( Χ ) Ί & + J/(x)atc.

-a -a O

P irmajame integrale pakeisime kintamąjį : Χ = -1, dx = - dt. Ka i

χ = - a, tai iš χ = - / gauname t = a, o kai χ = O, tai iš tos pačios lygybės

turime t = O, todėl

O O α α

|/(x)Jx = - / / ( - 0 dt = \f(-i)dt = J / ( - x ) A .

-α α O O

Tuomet

a a a a

\f(x)dx = J/(-x)i/x + //(д)оЬг = J(/ (-x) + /(x))i/x.

-a O 0 0

Jei/(x) - lyginė funkcija, tai/(-x) = /(x) ir/(-x) + /(x) = 2/(x). Jei

/(x) - nelyginė funkcija, tai /(-x) = -/(x) ir /(-x) + /(x) = O. Iš to ir

išplaukia reikiama lygybė. •

3 pavyzdys. Įrodykime, kad

A+T jf(x)dx

a

nepriklauso nuo a, kai /(x) - tolydi ir periodinė funkcija, kurios periodas

lygus T.

a+T 0 T a+T Sp r end imas . j/(x)ūtc = J + j + J .

a a 0 T

a+T

Apskaičiuosime \ f(x)dx:

τ

χ - T = z, dx = dz,

a+T a

\f{x)dx = \f(z+T)dz.

T o

Kadangi funkcija/(x) yra periodinė, tai f(z + T) = /(z), todėl

a+T a a

\f(x)dx = \f(z)dz = J f(x)dx.

τ 0 0

α+γ 0 T a a T a T

Taigi jf(x)dx = J + J + J = - J + J + J = J f(x)dx,

a a 0 0 0 0 0 0

o tai reiškia, kad duotasis integralas nepriklauso nuo a. •

X T a+T

Z 0 a

3.2. Integravimas dalimis

Šis metodas pagrįstas tokia teorema.

Teorema. Sakykime, kad u(x) ir v(x) - diferencijuojamos atkarpoje

[a; b] funkcijos. Tuomet

b b

judv = uvb- Jvc/м.

a a

Į r odymas . Panaudoję lygybę d(uv) = udv + vdu bei Niutono ir

Leibnico formulę, gauname:

b b

jd(uv) = uvb = j(udv + vdu).

b b

Taigi judv + Jvdu = UV ; is cia

b

judv = uvb— jvdu . •

a a

e

Pavyzdys. Apskaičiuokime Jxlnxdx .

i

S p r end imas . Pažymėsime Inx = u, o xdx = dv. Tuomet du = -jdx

2

ir V c

= \xdx = -y- •

e

jxlnxdx -- Inx 2 χ J Jxcfct

e χ 2 4 1 4 4

1 _ ez+l

π/2 π/2

3.3. Integralai J sin"x<ir, j cos"xdx (n e N) o o

Pirmiausia įrodysime, kad šie integralai yra lygūs. Pakeiskime kinta-

m ą j į : * = -f -t, dx = -dt. Tuomet

/2 °f n/f

Jsin "xdx = - [sin" ( f -t)dt = [sin "Įf-tjdt =

π/2

i O

π/2

π/2 π/2

fcosntdt = JcosnXifr.

о о

π '2 .

Dabar apskaičiuosime integralą In = Jsin nxdx. Integruosime

o

dalimis: u = sin"-1 χ, dv = s'mxdx. Tuomet du = (Ji-I)Sin^2X cosx dx,

v = -cosx. Vadinasi, π/2 π/2

In= Jsin nxdx = -cosxsin"-1 χ|π^2 + J [η-1) sin"-2 χ cos2 χ dx =

о о

π/2 f π/2 π/2 Ν

= (и-l) J sin"-2 x|l-sin2 x^dx = (я-l) J sin"-2xdx- Jsin"xdr . O V O O J

π/2 π/2

Kadangi Jsinnxdx = I n , tai Jsinn~2 xdx =1,,-2- Taigi gavome

о о

rekurentinj sąryšį

In = (n-l)(/„_2-/„),

In = (n-l)/„_2-(«-l)/„,

/„ + (и-1)/„=(п-1)/„_2)

I — w-1 τ In — 'n-2-

Panaudoję šią formulę, gautume

todėl

τ — n-3 j 'n-2 - TJZf7"-4

I — n-\ n-3 τ in .. ' ^ - 4 и n-2

Pratęsę šį procesą, gautume I h kai n - nelyginis, arba I0, kai n

lyginis.

Kai n - lyginis (n = 2m), tai

_ (2w-1)(2m-3)-..,3-l

2m(2m-2)-..,4-2 ° !

π/2 π/2

čia I0= J s i n 0 X i f o = ^dx = . π/2 _ π O 2

O O

Kai n - nelyginis (n = 2m + \), tai

_ 2m(2m-2)-...-4-2 . '2/ϊ!+1 —ηζ ггтт —, T-T-M ί

(2w + 1)(2/и -1)-...-5-3

π/2

cia Zi= Jsin χ ί/χ = O

-cosx π / 2

= 1.

Simboliu n\\ (skaitysime "dvigubas faktorialas") pažymėsime vien tik

lyginių skaičių iki n sandaugą, jei n - lyginis, ir vien tik nelyginių iki n

skaičių sandaugą, jei n - nelyginis. Pavyzdžiui:

5!! = 1 - 3-5 = 15, 6!! = 2-4-6 = 48.

Tuomet

_ ( 2m- l ) ! ! π _ 2от!! 12т — > '2m + l — ч ' ·

2 m\\ 2 (2/И + 1)!!

Trumpiau šias dvi lygybes galima parašyti taip:

(w - O- π . . . . , kai n - lyginis;

In = и!! 2

( " - 0 " ,kai n - nelyginis.

JL

Pavyzdys. Apskaičiuokime Jsin8 dx .

χ Sp rend imas . Pakeiskime kintamąjį: — = t, dx = 2dt. Tuomet

π/2

7!! π 7-5-3 π 35π ж = 2 -·— = . •

8!! 2 8-6-4-2 2 128

η >ν

J s i n 8 ^ x = 2 Jsin8 / dt = 2-

о

4. Apibrėžtinio integralo apytikslis skaičiavimas

Apibrėžtinį integralą lengva apskaičiuoti, kai žinoma pointegralinės

funkcijos pirmykštė. Tačiau kartais ji yra labai sudėtinga arba visai

neišreiškiama elementariosiomis funkcijomis. Tuomet apibrėžtinį integralą

skaičiuojame apytiksliai.

4.1. Stačiakampių formulė

Kreivinės trapecijos (107 pav.), kurią riboja kreivė y = f(x), ašis Ox ir

tiesės* = a be i* = b, plotas lygus integralui

ь

j/(x)dx, /(*)> 0.

a

Apskaičiavę apytikslę tos kreivinės trapecijos ploto reikšmę, kartu apskai-

čiuosime ir integralą.

107 pav.

Atkarpą [a\ b] taškais a =X0 , X\, Хг, ..., x„ = b padalijame į n lygių

dalių (žr. 107 pav.), kurių kiekvienos ilgis Δχ = ———. Kiekvienos tokios

n

dalies ilgis dar vadinamas integravimo žingsniu.

Nubrėžę per dalijimo taškus tieses, lygiagrečias ašiai Oy, kreivinę

trapeciją padalijame į n vienodo pločio juostelių. Kiekvieną tokią juostelę

pakeičiame stačiakampiu, kurio aukštinė lygi funkcijos /(x) reikšmei,

apskaičiuotai atkarpų [χ0;χι], [xi;x2], —, [ x n - i \ x n ] vidurio taškuose.

Tuos taškus pažymime X\n, x3/2, ..., х„-ш, o atitinkamas ordinates -

У m, Уъа, —, У n -1/2 · Tuomet laiptuotos figūros plotas

S = y 112 · Δ χ + У З / 2 ' Δ Χ + . . . + УП-1/2' Δ χ =

= Δχ (уι/2 + Уз/2 + - + Уп-т)· b

Kadangi J/(x)<& « S, tai gauname formulę

a

b

\f(x)dx « - I f y u 2 + y3l2 + ... + y„.V2), (9) J n

a

kuri vadinama stačiakampių formule. (9) formulės paklaida vadiname kairiosios ir dešiniosios (9) apytikslės

lygybės pusių skirtumą, kuris paprastai žymimas Rn. Jeigu atkarpoje

[ a; b ] funkcija /(x) turi antrosios eilės tolydžią išvestinę, tai paklaida

išreiškiama formule (čia ir toliau dydžių Rn formulės pateikiamos be

įrodymo)

R n = ; (10) IAn

čia a < ξ < b.

4.2. Trapecijų formulė

Dabar kiekvieną juostelę pakeičiame trapecija (108 pav.) ir apskai-

čiuojame visų tokių trapecijų plotų sumą

5 = Z O l Z L Д , + Z i l Z l Λ , + . , .+ Ζ - ι ΐ Ζ - Λ , ,

= δ*I Уо*Уп + У1+У2 + -+Уп-1

Ją ir laikysime apytiksle integralo j f ( x ) d x reikšme. Taigi

\f(x)dx b-a f У p + У„

+ У1+У2 + ... + Уя-1 ( 1 1 )

Ši formulė vadinama trapecijų formule.

Paklaidą Rn apskaičiuojame pagal formulę

čia a < ξ < b.

Rn

Un 1 • / " ( ξ ) ; (12)

/ Y0

s X

K1 У* VnTyn

X0 Xi X2 *„-, Xn X

108 pav.

4.3. Parabolių (Simpsono*) formulė

Atkarpą [a; b] dalijame į lyginį skaičių 2n lygių dalių ir atitinkamas

funkcijos reikšmes pažymime yQ, y\, y2, ..., у-ы-г, VinУь>- Kreivinės

trapecijos dalį, atitinkančią atkarpą [xQ;x2], pakeičiame kreivine trapecija,

kuri apribota jau ne kreivės y = f(x), o parabolės

y =Ax2 + Bx + C,

* Tomas Simpsonas (T. Simpson, 1710 - 1761) - anglų matematikas.

einančios per tris taškus M0(x0, ), M\(x\, y i ) , M2(x2, Уг) (109 pav.).

Apskaičiuosime tokios parabolinės trapecijos plotą.

i( Axa +Bx+ C

X0

^dx =

Г 3 2 Ax Bx _

+ — + Cx 3 2

x2

xO

= — —-Xo) + ~(x2-Xo)+ C(X2-X0) =

1{2A{x2 + X2Xo + xO ) + 3 β ( χ 2 + ^o) + 6c j . X2-XQ

Kadangi M0, M1, M2 - parabolės taškai, tai jų koordinatės turi tenkinti

įbolė

lygybes:

parabolės lygtį. Turėdami galvoje, kad Xi = — — — , gauname tokias tris

y0 = Axo2 + Bx0 + C,

yx = Ax12+Bx1 +C = A

XQ -f Xj

2 + B

xO +x2 + C

A 2 A A 2 B S _ = — Jtn H X0Xi H JC? H—JCo "t xI + C . 4 2 4 2 2

Л уг = Ax2 Л- BX2 + С.

Padauginę antrosios lygybės abi puses iš 4, po to sudėję ją su pirmąja

ir trečiąja lygybėmis bei atlikę veiksmus, gauname:

Уо +Ąy\ +У2 =2л(хо +Χοχ2 +x2) + 3B(x0 +x2) + 6C

Vadinasi, parabolinės trapecijos plotas

У i l

M1

S= i2_iSL(y0 + 4yi +y2) =

M M2 „_ y=f[x) 6

6л (У0 + ^+У21

7 i

i Vi У

X0 X1 x :

109 pav.

todėl

ч

K2

J / ( x ) A * ^ ( У а + 4y, +y2). on

xO

Analogiškai

XĄ Į) _ Q

\f{x)dx « (>>2 + 4y3 +^4);

xIn b-a

\f(x)dx ~ ——(Ут-2 + 4_У2«-1 +У m)• J 6 n x2n-2

Sudėję šiuos integralus, gauname parabolių (Simpsono) formulę

b b a

\f{x)dx* —-((уо+ут)+ 4(У] + y3 + ... + y^-i) + 6 n

a

+ 2(У2+УА + - +Уъ-г))· (13)

Paklaidą Rn apskaičiuojame pagal formulę

* - f c ^ z w W i i") čia a < ξ < b.

4.4. Pavyzdžių sprendimas

Pateiktos paklaidų formulės naudojamos, norint nustatyti, j kiek dalių

reikia padalyti atkarpą [я; b], kad būtų galima apskaičiuoti integralą

pasirinktu tikslumu. Jeigu tikslumas ε > O, tai, pažymėję

Mk = max , iš (10), (12) bei (14) formulių gauname nelygybes дге[а;Ь] I l

|Л„| (15) 24/;

< ί ^ - Μ 2 < ε , (16) 1 2 «

|Я„|< ( 6 7 ) 5 Μ 4 < ε . (17) 180•(2л)

Išsprendę jas, randame n reikšmę.

Visų šių paklaidų nustatymo praktinė reikšmė nedidelė, nes įvertinti

f " {x ) (o juo labiau f^A\x)) dažniausiai sunku, ypač jei funkcija išreikšta

lentele. Todėl paklaidai skaičiuoti taikomas toks metodas.

Bet kuriuo būdu parinkus integravimo žingsnius h ir H = 2h, du

b

kartus apytiksliai apskaičiuojamas / = J f{x)dx ir gaunamos jo apytikslės

a

reikšmės ^ ir ^ . Tada gaunama tokia stačiakampių ir trapecijų

formulių paklaida

Ώ _ Σ/,

* 3 — '

ir Simpsono formulės paklaida

R _ Σ/, ~Ση

15 Apytikslia integralo I reikšme laikoma

1 = Th

+ R-

Taikant šį metodą, stačiakampių ir trapecijų formulėse n turi būti

lyginis, o Simpsono formulėje - skaičiaus 4 kartotinis.

3,2

1 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą J ln cos dx, pasirinkę žingsnį

1,6 0,2. Įvertinkime paklaidą.

S p r e nd imas . Šį integralą apskaičiuosime panaudodami (11) bei (13)

formules ir dviem būdais įvertinsime paklaidas.

Sudarysime lentelę:

H = Ih = 0,4 h = 0,2 f ( x ) = lncos [- ^x j

i Xi y> i -r, yi

f ( x ) = lncos [- ^x j

O 1,6 Уо 0 1,6 Уо -0,13203

1 1,8 yi -0,16921

1 2,0 У\ 2 2,0 У2 -0,21194

3 2,2 Уз - 0,26070

2 2,4 У2 4 2,4 У4 -0,31612

5 2,6 У5 - 0,37900

3 2,8 Уъ 6 2,8 У6 - 0,45032

7 3,0 У7 -0,53139

4 3,2 У4 8 3,2 У8 - 0,62394

a) Trapecijų metodas (a = 1,6; b = 3,2; n = 8).

3,2

J l n c o s ( ^ x ) * « ^-[У0+2У* +У1+У2+Уъ + У4+У5+Уб+У1) ;

1,6

У1 + У2 +Уз +У4 + }¾ +Jb +У7 = - 2,31868

| уд + Vg _-0,62394-0,13203 ^ 0 3 7 7 9 9

2 2

Σ = - 2,69667

ft-a _ 3,2-1,6 _ 0 2

η 8

3,2

J l n c o s ^ x j i i c « - 2,69667 • 0,2 « - 0,539334.

1,6

Paklaidą įvertinsime panaudodami (16) formulę:

ι ι ( b - a ) h 2 ι , \Rn\<{ > · max |/"(x

12

2

10

max e[I,6; 3,2]'

max H 1,6; 3,2]

/ " M = 1 ^ 7 γ , Jnax |/"(x)| = /"(3,2) « 0,3438.

l o W f ^ x ) - Γ · " '

Tuomet I Rn \ < (3 '2 ^6)-(0,2) ^ 0,00184 < 0,002. 12

3,2

Todėl Jlncos xj dx = - 0,539 ± 0,002.

1,6 b) Simpsono metodas (a = 1,6; b = 3,2; n = 4).

3,2 w ι -χ \dx = lncos — ;

J Vio 1,6

6« "(уо + У% + 4{у\ + Уг + У5 + У1) + 2 {У2 + J4 + Уб)) 5

УО +у8 = -0,75597

+ 4 ( y i + у з + Л + У?) = -5 ,36120

+ 2(у2+у4+Уб) = - 1,95676

X =-8,07393

3,2

In cos I — χ I dx 10

b-a _ 3,2-1,6 _ 1,6

6η 6-4 ~ 24

1,6 24

( - 8,07393) « - 0,538262.

1,6

Paklaidą įvertinsime, panaudodami (17) formulę:

I l ^ [b-a)n m a x (4)

180 χ e[l,6; 3,2]

/ W ( X ) 2 t c J

IO4

1 + 2sin •21 π

10

cos 41

10'

max χ e[l,6; 3,2]

/(4)w / (4 ) (3 ,2 ) : 0,5733.

Tuomet

IRJ <

Todėl

(3,2-1,6)-(0,2)4 _

180 0,5733 » 0,0000082 < 0,00001.

3,2

J l n cos (yb· xj dx = - 0,53826 ± 0,00001.

1,6

c) Trapecijų metodo paklaidą įvertinsime, taikydami formulę

ΣΑ ~Σ# Turime =-0,539334.

Apskaičiuojame :

^ _ 3,2-1,6( Jo+^4 + J l +У2 +Уз =

= 0,4- ( - ° ' 1 3 2 0 3 - ° ' 6 2 3 9 4 -0,21194-0,31612-0,45032]

= 0,4 · ( - 1,35637) = - 0,542548.

Tuomet paklaida

Λ = Σ* ~ΣΗ = -0,539334 + 0,542548 = ^ 1 0 7 < ^ _

Taigi 3,2

Ilncos — J VlO

x\dx =-0,539 + 0,002. 10

1,6

d) Simpsono metodo paklaidą įvertinsime, taikydami formulę

Ση "ΣΗ 15

Turime ^ =-0,538262.

Apskaičiuojame ΣΗ '•

Σ Η = 3 Į ~ 2 ' 6 ^ 0 + У 4 + 4 ^ 1 + + 2 ^ ) =

( - 0,13203 - 0,62394 + 4(- 0,21194 - 0,45032) +

6-2

16

12

+ 2 · (- 0,31612)) = ^ - ( - 4,03725) = - 0,538300.

Tuomet paklaida

Λ = Σ „ - Σ Η = -0,538262 + 0,538300 = ^ ^ <

15 15

Galiausiai 3,2

r"-x\ dx =-0,53826 ± 0,00001. I In cos — ; J VlO

1,6 _ 2

2 pavyzdys. Iš anksto pasirinktu tikslumu ε = 0,5 · 10 trapecijų

metodu apskaičiuosime integralą

1,2

j In^l + χ2 j ;

0

Integravimo žingsnį parinksime atsižvelgdami į paklaidos vertinimo

formulę.

! ( · - 2 ) Sprend imas . Randame / " ( * )

H )

Įsitikiname, kad max |/"(jc)| = |/"(θ)| = 2.

Tuomet

, , Įb-aį* ^ , w | č i a h = b - a .

1 2 *e[o; 1,2] I"7 w I ' n Taigi I l ( ,b-af _ (1,2-o)3 _ 1,728 _ 0,288 I Kn I ь 2 ' / 5 = . 12n 6 n2 6 n2 n2

Pagal sąlygą turi būti I Rn I <0,5-IO" 2 , todėl gauname nelygybę

Π 988 ^ = P <0,5-IO-2 , arba n2 >57,6.

n Išjos matyti, kad užtenka paimti n = 8. Todėl

1,2

J ln(l + χ2

o

= 0,15 [ ° + ° 28 9 2 0 + 0,0223 + 0,0862 + 0,1844 + 0,3075 + 0,4463 +

4- 0,5933 + 0,7431) = 0,15 · 2,8291 = 0,4244.

Vadinasi,

1,2

|ln(l + x 2 ) ^ = 0,424 ±0,005. •

o

5. Geometrinis ir mechaninis apibrėžtinio integralo

taikymas

5.1. Figūros ploto apskaičiavimas stačiakampėje koordinačių

sistemoje

Jau žinome, kad kreivinės trapecijos, apribotos funkcijos f(x) > 0

grafiko, abscisių ašies ir tiesių χ = a bei χ = b , plotas lygus

b

S = \f{x)dx

a

b

Jeigu f(x) < 0 atkarpoje [a; b ], tai \f{x)dx < 0 , tačiau jo modulis lygus

a

figūros plotui. Todėl

\,l Va + V» DX * T Α +У\+У2+Уъ+УА+У5 + У(,+У1 =

S = -\į\x)dx. y ^

a

Kai/ (r ) atkarpoje [a; b] kelis

kartus keičia ženklą (110 pav.),

tai atkarpą [ a; b ] išskaidome į

atkarpas [a\c], [c; d], [d\b]

ir apskaičiuojame kiekvienos

dalies plotą. Įvertinę integralų

ženklus, gauname:

c d b

S= \f(x)dx - \f{x)dx + \f{x)dx ,

a c d

arba trumpiau

b

S = \\f{x)\dx.

a

Jei figūrą riboja dviejų lunkcijų/(x) irg(x) grafikai (111 pav.), tai

b b b

S = S E A M C F - SEBNDF = \f{x)dx - \g[x)dx = J(/(x) -g(x)) dx .

a a a

1 pavyzdys. Apskaičiuokime figūros, apribotos kreivių y = x2 ir

y = -Jx (112 pav.), plotą.

S p r end imas . Pirmiausia turime rasti tų kreivių susikirtimo taškų

abscises. Tuo tikslu sprendžiame lygtį χ2 = Jx ; iš čia X1 = 0, x2 = \.

Tuomet

111 pav. 112 pav.

1

5 = = |

О

1 X 3

о о

2 2 X V

2 pavyzdys. Apskaičiuokime figūros, apribotos elipsės + r = 1

a" b

(113 pav.), plotą.

S p r e nd imas . Apskaičiuokime

plotą tos figūros dalies, kuri yra pir-

majame ketvirtyje, po to gautą re-

zultatą padauginsime iš 4. Elipsės ka-

noninę lygtį pakeičiame parametri-

nėmis lygtimis χ = a cost, y = b sin t.

Pirmajame ketvirtyje χ kinta nuo O

к

iki a, todėl t kinta nuo — iki O (to-

kias t reikšmes gavome, įrašę į lygtį χ = a cos i vietoj χ jo reikšmes O ir a),

b

Į formulę S = Jydx vietoj y įrašykime y = b sin t, o vietoj dx - jo reikš-

a

mę, gautą iš lygybesx = a cos t , t.y. dx = x\dt = - a sin/Λ. Tuomet

y<

МШ\

0 Уo χ

113 pav.

o π/2

S = - Jb sin t a sin / dt = ab J sin 2tdt =

π/2 O

, 1!! π 1 π τνώ = ab = ab · — · — = .

2!! 2 2 2 4

Visos figūros, kurią riboja elipsė, plotas lygus • 4 = каЬ. 4

5.2. Figūros ploto apskaičiavimas polinių koordinačių

sistemoje

Tarkime, kad polinėmis koordinatėmis p ir φ apibūdintos kreivės

lygtis yra tokia: p = / ( φ ) ; čia / (φ ) - tolydi funkcija, kai α < φ < β.

Apskaičiuosime plotą išpjovos OAB, kurią riboja kreivė p = / ( φ ) ir

spinduliai vektoriai φ = α ir

φ = β (114 pav.).

Šią išpjovą spinduliais vektoriais bet kaip padalykime į n dalių.

Raskime dalies, apribotos spindulių cp,_] ir φ,, plotą. Kampą tarp šių

spindulių pažymėsime Δ φ, = φ, - φ,_ι. Šioje dalyje bet kur nubrėžkime

114 pav.

spindulį vektorių p, ir tą dalį pakeiskime skritulio, kurio centras taške O ir

_ 1—2 spindulys P i , išpjova. Jos plotas lygus — p, Δ φ, . Tokių išpjovų plotų suma

1 " -Zpi2 A(p i 1 i=1

bus apytiksliai lygi duotosios figūros plotui. Tikslią ploto reikšmę gausime

apskaičiavę ribą, kai λ = max Δ φ, -> O. Kadangi ši suma yra funkcijos

P2 = ( / ( Φ ) )2 integralinė suma, tai jos riba, kai λ O, lygi apibrėžtiniam

1 β

integralui — Jp2dų>. Taigi figūros plotas

β

\ Jp2^cp ·

Pavyzdys. Apskaičiuokime figūros, apribotos polinio spindulio at-

karpos ir esančios tarp pirmosios (O < φ < 2π) ir antrosios (2π < φ < 4π)

logaritminės spiralės p = ae°'2v (a > 0) vijų (115 pav.), plotą.

S p r end imas . Pirmoji vija susidaro, kampui pasikeitus nuo 0 iki 2π,

o antroji - nuo 2π iki 4π. Todėl

4π 2π

s = \ \a2e°Mdv - \ I a 2 ^ = i^5 f l i

2π

f e0,4<p

4π _ е0,4Ф

λ 2π

V 2π ο ,

= 1,25a (e ' - 1) . A

Vijų pavadinimai - pirmoji ir antroji - yra sąlyginiai, nes logaritminė

spiralė iš tikrųjų daug kartų apsisuka apie polių, asimptotiškai artėdama

prie jo. Beje, logaritminė spiralė pasižymi įdomia savybe. Visi iš poliaus

nubrėžti spinduliai kerta ją vienodu kampu. Gyvojoje gamtoje yra būtybių,

augančių pagal logaritminę spiralę. Štai, daugelio minkštakūnių bei sraigių

kriauklės (žr. knygos viršelį), taip pat kai kurių žinduolių ragai susisukę

pagal logaritminę spiralę. Šios kreivės savybės taip nustebino Jakobą

Bernulį, kad jis ją pavadino spira mirabilis (stebuklingąja spirale) ir prisakė

iškalti antkapyje bei parašyti: Eatem mutata, resurgo (pasikeitusi gimstu iš

naujo).

5.3. Kreivės lanko ilgis

1. Kreivės lanko ilgis stačiakampėje koordinačių sistemoje. Tarkime, kad

stačiakampėse koordinatėse nusakyta kreivė, kurios lygtis y = f(x). Ra-

sime šios kreivės lanko AB ilgį (116 pav.). Pirmiausia apibrėšime, ką

vadiname kreivės lanko ilgiu. Tuo tikslu lanką AB bet kaip taškais

A = M 0 , M1,..., Mį-1, M , . . . , Mn = B, padalykime į n dalių. Sakykime, kad

šių taškų abscisės yra a = x0, X\, ..., x„ ..., xn = b. Per gautus taškus

išveskime stygas AMi, M 1 M 2 , ..., M1^M1, ..., Mn_įB. Stygos M1^M1 ilgį

\ Mi в

M i , / ^

y=f[x) Δ Κ

/ AX i

At

0 a b χ

pažymėkime Asi. Tuomet laužtės, įbrėžtos į lanką AB, ilgis bus lygus

Σ As į . Pažymėkime max Axl raide λ. /=1

Apibrėžimas. Kreivės lanko AB ilgiu L vadinama riba, prie kurios artėja

įbrėžtos į tą kreivę laužtės ilgis, kai λ —> O.

Taigi

n

L = Iim V Asi .

Dar tarkime, kad funkcija f(x) ir jos išvestinė f'(x) atkarpoje [a\b]

tolydžios. Pažymėkime: Ayi =I(Xi) -/(*,_1) · Pagal Pitagoro teoremą

Asi = J(Axi)2 +(Ayi)

2=.

/ , \

H1 + i—] V ,AxiJ

2

Axi.

Skirtumui Ayi = f(xt) -/(*,_ ι) pritaikome Lagranžo teoremą. Tuomet

Ay, = f'(ct) (Xi-Xr l) = f'(cj) Axi; Ci e Xi). Todėl

^ = 1 ^ = T(C1)

Axi Axi .

Δί,· = Jl+ (/'(Ci))2 Axi.

Vadinasi,

L = HmYAv, = Hm Y )/1 + ( / ' Ы ) Δ*,· .

' = I / = 1

Kadangi f'(χ) tolydi atkarpoje [a; b], tai -Jl + (f'(x))2 irgi tolydi, todėl

egzistuoja parašytos integralinės sumos riba, kuri lygi apibrėžtiniam

integralui:

L = j^l + (f'(x)f dx = jVl + y'2 dx =^ds-

a a a

čia ds = Jl + y'2 dx . Dydis ds vadinamas kreivės lanko ilgio diferencialu.

з

1 pavyzdys. Apskaičiuokime kreivės y = χ2 ,0<x <4 lanko ilgį.

i

S p r end imas . Randame y' = — x2 , yl + y' =Jl + - χ . Tuomet ,Ji^y7 = Ii

- J f F H J i Il + -xdx = - II 1 +—χ 12 d\ \+—x I =

о

3

I 2 i + ^ 2

9 3V 4 Η ( . ο Λ - ι ) . O z /

Jau minėjome (žr. V skyriaus 4 skyrelį), kad elipsės ilgis išreiškiamas

elipsiniu integralu. Dabar įsitikinsime tuo, apskaičiuodami elipsės

2 2 X F

+ y = 1 ( a > b ) ilgį. Iš elipsės lygties randame a b

b Γ2 2 ' = — \a - χ

Todėl

У-a

2 2 2 bx Γ "T α —k χ

Γ~2 2 a\a - χ

. ^ = I - 2 2 a - χ

a 2 - ft2

čia A2 = 2 — (taigi /с - elipsės ekscentricitetas). Tuomet elipsės ilgis a

a Γ^2~^72~ΊΓ 2 ι

£ = 4 [,Г , ^ ^x = 4fl fVl -n V 0 - х 2 ^

A:2 s in 2 / dt

O O

(keitinys χ = α sini)·

Taigi gavome apibrėžtinį integralą, kuris irgi vadinamas antrojo tipo

elipsiniu integralu. Jis žymimas simboliu:

φ ,

£(Λ:;φ)= J v l - £ 2 sin2 t dt .

O

Panašiai žymimas ir pirmojo tipo elipsinis integralas:

dt F(k- φ) = J t =

o Vi •k2 sin2 ?

Yra sudarytos šių integralų reikšmių lentelės.

Vadinasi, elipsės ilgis

L = AaE\ H). Pavyzdžiui, kai a = 2, b = V3 , tai A: = 0,5 ir £(0,5; ) = 1,4675.

TuometL = 11,74.

2. Kreivės lanko ilgis, kai kreivė duota parametrinėmis lygtimis. Tarkime,

kreivės lygtys yra tokios: χ = φ (t), y = ψ (t), te [/(l; T]; čia φ (i) ir ψ (t) -

tolydžios atkarpoje [ί0; T] funkcijos, turinčios tolydžias išvestines. Tuomet

y'x = — ,dx = ψ',άίϊτ Jl + y'2 dx = J(p'2 +ψ}2 dt. Vadinasi, jeigu φι

b T T

φ (ί0) = a, φ (T) = b, tai L = J ^ l +y'2dx = ^x'2 + y'2dt = Jds ;

a 'o 'o

čia ds = τJx' į2 +y'2 dt.

2 pavyzdys. Apskaičiuokime

cikloidės χ = a(t - sin/), y = a ( l - c o s i )

(a > 0) pirmosios arkos ilgį (117 pav.).

S p r end imas . Pirmoji cikloidės arka

gaunama, kai parametras t kinta nuo 0 iki

2π. Randame:

x't = a ( l - c o s / ) , y't = as in i ,

yjx'2 +y'2 = Ja2 (l - 2 cost + cos2/) + a2sin2/ = ^2a 2 ( l-cos i ) =

= J 4 a 2 sin2 - = 2 a t

sin— 2

2asin^-, nes sin >0, kai i e [0; 2π].

2π 2π

f t J Л t Is in-й - = -4а cos— J 2 IJ 2 0

2π = 8fl.

3. Kreivės lanko ilgis polinių koordinačių sistemoje. Tarkime, kad

kreivės lygtis polinių koordinačių sistemoje yra p = / ( φ ) , φ e [α; β]. Šią

lygtį galima pakeisti parametrinėmis lygtimis, naudojant ryšio tarp

stačiakampių ir polinių koordinačių formules χ = p cos φ, у = p sin φ .

Tuomet, įrašę į šias lygtis vietoj p dydį / ( φ ) , gauname:

x = / ( ψ ) c o s Ф, У = / ( φ ) sin φ ;

čia parametras φ vaidina parametro t vaidmenį.

β

Tuomet L = J ^ x į 2 + у'2 сЛр . Randame:

α

χ'φ = p{p cos φ - ρ sin φ , γ'φ = p į sin φ + ρ cos φ , todėl

I η β I 7 β

V 4 2 +K 2 = V P 2 + Ρφ i r L = W P 2 + Ρφ dV = I d s '>

čia ds = ^p2 + ρ'2 dų>.

118 pav.

3 pavyzdys. Apskaičiuokime kardioidės

p = α (1+cosφ) (118 pav.) ilgį.

S p r end imas . Pirmiausia apskaičiuo-

sime viršutinio lanko, kuris gaunamas, kai

polinis kampas φ kinta nuo O iki π, ilgį.

Turime:

Ρφ = - a sin φ ,

Jp2 + ρ'φ = Jla2 +2α2 cos<p = ^2a2(l + cos(p) = J4a2 cos „2Ф

2

= 2 a cos- . Tuomet

L1

π

= 2 a\ cos Φ ί/φ = 2a Jcos- -c/φ = 2a • 2 sin ^ = 4 a . 2 2

O

GalutinaiL = 2L, = 8a. •

5.4. Kūno tūrio apskaičiavimas pagal skerspjūvio plotą

Tarkime, duotas tam tikras kūnas. Bet kurio pjūvio, nubrėžto per

tašką χ e [a; b], statmenai ašiai Ox, plotas priklausys nuo taško χ

padėties, todėl jis bus kintamojo χ funkcija. Ją pažymėsime Q(x).

Sakykime, kad Q(x) - tolydi atkarpoje [a ; b ] funkcija. Sudarykime skaidinį

a = x0 < X\ < ... <x„ = b (119 pav.). Bet kur atkarpoje ; Xi ] parinkime

tašką Ci ir per jį nubrėžkime pjūvį, statmeną ašiai Ox. Šio pjūvio plotas bus

lygus Q(Ci). Laikydami šį pjūvį pagrindu, nubrėžiame cilindrinį kūną

ABCDEF', kurio sudaromosios lygiagrečios ašiai Ox. To kūno tūris lygus

Q(c,:). (Xi-Xi_0 = Q(Ci)AX,

Tuomet duotojo kūno tūris apytiksliai lygus tokių cilindrinių kūnų tūrių

sumai:

υ» Σΰ{φχ> • i=1

Z '

4 ^ s

V z

О

120 pav. 121 pav.

Tikslią tūrio reikšmę gausime apskaičiavę ribą, kai λ = max Δ X1 0 :

V = Iim ^Q(Ci)Axl,. λ-»0/=1

Prisiminę, kaip integralinės sumos riba formaliai keičiama integralu,

gauname:

b

V = \Q{x)dx . (18)

а

- 2 3 2 1 pavyzdys. Apskaičiuokime kuno, apriboto paraboloido z = x" + —y

ir plokštumos z = 4, tūrį (120 pav.).

S p r end imas . Jeigu paraboloidą kirstume plokštuma z = const, tai

jo pjūvyje gautume elipsę

kurios kanoninė lygtis

Χ 2 + V = Z ,

2 *

2 2

—Z

Tos elipsės pusašės lygios а = •Jž, b =A=-Z . Kadangi Q(z) = rnib (žr. 5.1

skyrelio 2 pavyzdį), tai Q(z) = π -Jz • J^z = π z. Tuomet

V = Ιπ,—zdz= π,ί—· — J V 3 V 3 2 (

8лл/б

(18) formulę panaudosime, išvesdami sukinio

tūrio formulę. Sakykime, kad sukinys gautas sukant

kreivinę trapeciją aABb apie ašį Ox (121 pav.).

Pjūvis, nubrėžtas per tašką χ statmenai ašiai Ox,

yra skritulys. Jo spindulys lygus y = /(x). Todėl

b

Q(X) = Ky1 = K (f(x))2 ir V = π fy2dx .

2 pavyzdys. Skritulys, apribotas apskritimo

χ2+ (y-a)2 = b2 (a > b), sukamas apie ašį Ox

(122 pav.). Apskaičiuokime gauto sukinio, vadina-

mo toru, tūrį.

S p r e nd imas . Toro tūris lygus dviejų sukinių

tūrių skirtumui: pirmasis sukinys gaunamas sukant

kreivinę trapeciją ABCDE, o antrasis - trapeciją

ABFDE. Išsprendžiame lygtį x2 + (y-a)2 = b2 kintamojo y atžvilgiu:

(y-a)2 = b2-χ2 , y-a = ±Jb2

y = a ±^2

122 pav.

^ 2 - X 2

^2 -X2

Lanko BCD lygtis v'i = a + ^lb2 - χ 2 , o lanko BFD -уь = a- "Jb2

Tuomet toro tūris bus lygus

'b ^ ь Л b

\y\dx - \yldx = 2 π \(yf - y i ] d x = V = 2π

Vo

= 2π j [a + yjb2 - x 2 dx = 8 πα μ b2 -χ2 dx.

о

Pažymėkime: χ = b sin t, dx = b cos t dt. Gausime:

π/2

,2 1ϋ π V= 8nabz \cosztdt = 8nabz- — -- = 2n2ab2.

2!! 2

5.5. Apibrėžtinio integralo taikymo schema

Siame skyrelyje paaiškinsime, kaip dažniausiai praktikoje taikomas

apibrėžtinis integralas.

Sakykime, tam tikras dydis Q siejasi su atkarpa [a\ b \ ir turi tokią

savybę: kiekvieną atkarpos [a; b] dalį [α; β] atitinka tam tikra dydžio Q

dalis, be to, jei atkarpa [α; β] susideda iš dalių [α; γ] ir [γ; β], tai

β [ α ; β ] = β [ α ; γ ] + β[γ;β].

Si lygybė rodo, kad dydis Q turi adityvumo savybę.

Kaip dydžio Q pavyzdį galime

paminėti kreivinės trapecijos

ABCD plotą (123 pav.), lanko

CD ilgį, sukinio, gauto sukant

šią trapeciją apie ašį Ox, tūrį,

nes visi šie trys dydžiai yra

"atkarpos [a·, b] funkcijos", be

to, turi minėtą savybę.

Uždavinio tikslas - apskai-

čiuoti dydžio Q reikšmę, atitin-

kančią visą atkarpą [a; b].

Tarkime, kad "elementą-

Y=№

X+AX

123 pav.

riąją atkarpą" [χ; χ +Δχ] atitinka dydžio Q "elementas" AQ. Šį elementą

stengiamės pakeisti apytiksliu reiškiniu q(x)Ax, kuris būtų tiesinis Ax

atžvilgiu, o nuo AQ skirtųsi ne daugiau kaip nykstamu dydžiu, be to,

aukštesnės eilės negu Ax. Tuomet bus teisinga apytikslė lygybė

AQ &q(x)Ax.

Ji bus tuo tikslesnė, kuo mažesnis Ax.

Pavyzdžiui, apskaičiuodami kreivinės trapecijos plotą, elementariąją

juostelę KLMN pakeičiame įbrėžtiniu stačiakampiu KLPN, kurio plotas

lygus f{x) Ax, todėl šiame pavyzdyje

Δ £?« / ( * ) Δ* ·

Atkarpą [A ·, b] taškais Ū — Xo? ···> XN = b suskaidome į

elementarias atkarpas [a\xi], [X1IX2], ..., [xn-i ;b]. Tuomet kiekvieną

atkarpą [л',_| atitiks dydžio Q dalis, apytiksliai lygi £/(x,)Ar,; o visas

dydis Q bus apytiksliai išreiškiamas suma

n

Qx Σ<ι{χί)Αχί •

i=1

Ši lygybė bus tuo tikslesnė, kuo smulkesnės elementariosios atkarpos, todėl

aišku, kad Q bus minėtos sumos riba. Vadinasi, Q bus išreiškiamas

apibrėžtiniu integralu b

Q = Jq(x) dx .

Paprastai lygybė Δ Q « q(x)Ax rašoma šitaip:

dQ = q(x) dx , (19)

ir po to, norint gauti Q išraišką, belieka tuos "elementus" dQ "susumuoti".

1 uždavinys. Kreivinė trapecija ABCD (124 pav.) sukama apie ašį Oy.

Apskaičiuokime gauto sukinio tūrį.

Sp r end imas . Išskiriame elementą KMPL ir apskaičiuojame sukinio,

gauto sukant šį elementą apie ašį Oy, tūrį. Šio sukinio tūris bus lygus

dviejų ritinių tūrių skirtumui: pirmojo ritinio spindulys yra OK =x,

antrojo - OL = χ + dx, jų abiejų aukštinė lygi KM = y. Todėl elemen-

tarusis tūris

dV = π(χ + dx)2y - nx2y = Iiixydx -t- ny (dx)2.

Beje, tai dar ne (19) formulė; reikia atmesti antrąjį dėmenį vy(dx)2,

nes jis yra aukštesnės eilės nykstamasis dydis negu dx. Todėl

dV = 2 Tixydx.

"Sumuodami" iš čia apskaičiuojame sukinio tūrį:

b

V = 2π jxydx . A

a

2 uždavinys. Lankas AB, χ e [a, b] (125 pav.) sukamas apie ašį Ox.

Apskaičiuokime gauto sukimosi paviršiaus plotą.

Sp r end imas . Išskiriame kreivės elementą ds. Jį apytiksliai laikysime

styga. Apskaičiuosime paviršiaus, kuris gaunamas sukant trapeciją KMNL

apie ašį Ox, plotą. Kadangi gautas paviršius bus nupjautinio kūgio, kurio

pagrindų spinduliai y ir y + dy, o sudaromoji ds, šoninis paviršius, tai jo

plotas lygus

y + (y + dy) dQ= 2π — -ds =2nyds+ndyds.

Atmetę nykstamųjų dydžių sandaugą ndyds, turime:

dQ = 2nyds,

todėl

b

Q = 2k \yds. •

a

5.6. Apibrėžtinio integralo taikymas mechanikoje

1. Kintamos jėgos darbas. Tarkime, kad taškas, veikiamas kintamos

jėgos F(x), juda atkarpa [a; b], be to, jėgos kryptis sutampa su judėjimo

kryptimi. Apskaičiuokime darbą, kurį atlieka jėga, perkeldama tašką iš

padėties a į padėtį b. Išskirkime elementarųjį kelią nuo taško χ iki taško

χ + dx. Jėgos reikšmė taške* bus lygi F(x). Tarkime, kad tokia jos reikšmė

išlieka nuo taško jc iki jc -+- dx. Tuomet elementarusis darbas bus lygus jėgos

ir nueito kelio sandaugai:

1 pavyzdys. Vienas spyruoklės galas įtvirtintas, o kitas tempiamas

(126 pav.). Apskaičiuokime, kokio dydžio darbas bus atliktas tempiant

spyruoklę.

S p r end imas . Pasinaudosime Huko dėsniu, teigiančiu, kad

tamprumo jėgos didumas yra tiesiog proporcingas deformacijai: F{x) = kx;

čia k - proporcingumo koeficientas. Tuomet darbas

2 pavyzdys. Cilindrinės horizontaliai gulinčios cisternos ilgis a,

pagrindo spindulys R (127 pav.). Apskaičiuokime, koks darbas atliekamas,

išsiurbiant iš jos per viršutinę kiaurymę tepalą, kurio tankis γ.

S p r end imas . Sakykime, tepalo elementariojo sluoksnio aukštis

lygus dx. Apskaičiuokime to sluoksnio tūrį dV:

dA « F(x)-dx ;

iš čia

b

A = \F[x)dx.

a

126 pav.

0

A / ' f i У

dx

P

2 R /

rX

AB = JAP2-PB2 =

127 pav.

Suintegruokime:

2 R

= J r 2 - ( R - χ ) 2 = J l R X - X 2 ;

tuomet dV = 2a JlRx - x2 dx. Pakeliant

šį sluoksnį į aukštį x , atliekamas ele-

mentarusis darbas

dA = yxdV = 2ayx^lRx - χ2 dx,

todėl

2 R

A=2ay ^x^2Rx-x2 dx .

jxyllRx - χ2 dx = - j j(2R-2x)y/lRx-x2 dx + R ^lRx-X2 dx =

0 0 0

2 R J 2 R

= -- \{2Rx-x2y~d(2Rx-x2) + R J^/л2 -(x-R)2 dx =

[lRx-x2 j 3/2

3/2

2 R

+ R

0

' R2 .x-R x-R arcsin +

2 R l л/2 RX-XA

V

2 R

R3 R1

= — (arcsin 1 - arcsin ( -1 ) ) = — π π — + —

2 2

nR

Taigi A = π а у Ri. •

3 pavyzdys. Vertikali pusskritulio formos plokštelė panardinta į

vandenį taip, kad jos skersmuo yra vandens paviršiuje (128 pav.). Apskai-

čiuokime vandens slėgį į šią plokštelę, jeigu jos skersmuo lygus 6 m.

S p r e nd imas . Apskaičiuodami skysčio slėgį p, remsimės Paskalio

dėsniu, kuris teigia, kad skysčio slėgis į

plokštelę lygus jos plotui S, padaugintam

iš panardinimo gylio h ir skysčio tankio

β Y γ, t.y. p = y Sh.

Išskiriame elementariąją plokštelės

juostelę, kurios plotas apytiksliai lygus

dS = AB • dx. Kadangi apskritimo lygtis

X2+y2 = 9, tai CB =y= V9-x 2 . Ele-

mentarioji juostelė panardinta gylyje χ,

todėl slėgio elementas dp = yxdS = y χ ABdx = γχ · 2 CBdx =

= 2γχ л!9-X2 dx. Tuomet

3/2 = 18γ

2. Nevienalyčio strypo masė. Tarkime, kad ašies Ox atkarpoje [a\b]

yra nevienalytis strypas, kurio ilginis tankis γ(χ). Apskaičiuokime to strypo

masę.

Išskiriame elementariąją strypo dalį dx ir tariame, kad visos tos dalies

tankis lygus γ (χ). Tuomet elementarioji tos dalies masė dm = γ (.χ) d χ, о

viso strypo masė

b

m = |γ (x)dx .

4 pavyzdys. Apskaičiuokime 100 cm ilgio strypo masę, kai jo ilginis

tankis γ (χ) = 2 + 0,001 χ2 ( g / cm ) .

Sp r end imas .

100 /

m= J(2 +0,00 Ix2 = I 2x-

0

0,001 3 : + χ

100 1

„ = 5 3 3 I ®

3. Plokščiosios figūros statiniai momentai ir masės centro koordinatės.

Apskaičiuokime plokščiosios figūros ABCD (129 pav.) statinius momentus

ir masės centro koordinates.

Žinome, kad materialiojo taško M statinis momentas K kurios nors

ašies atžvilgiu lygus md\ čia m - taško M masė, d - jo atstumas nuo tos

ašies. Jeigu turime sistemą materialiųjų taškų Mi, kurių kiekvieno masė

m, , o atstumas nuo ašies d ,

tai tokios sistemos statinis

momentas išreiškiamas suma:

K= Z n u d l .

I=1

Tarkime, kad kreivinės

trapecijos ABCD masė pasis-

kirsčiusi tolygiai, todėl jos

paviršinis tankis γ = const.

Išskiriame elementarųjį sta-

čiakampį (jis subrūkšniuotas)

ir apskaičiuojame jo elemen-

tariąją masę, kuri lygi jo ploto ir tankio γ sandaugai:

dm =yydx.

χ x+dx b χ

129 pav.

Toliau dar tarkime, kad visa to elementaraus stačiakampio masė

sukoncentruota jo centre N, kurio koordinatės χ +^dx ir ^y. Kadangi

šio taško atstumas iki ašies Ox lygus ^y, o iki ašies Oy - χ + dx, tai

statinių momentų Kx ir Ky elementai lygūs

dKx = ^yyydx = jyy2dx,

1 1 dKy = (x + ~^dx)yydx = yxydx + yy(dx)2.

Atmetę paskutiniosios lygybės antrąjį dėmenį, gauname:

dKy = yxydx.

Vadinasi,

J b b

Kx = -y fy2dx , Ky= y fxydx.

a a

Figūros masę pažymėkime m, o jos masės centro koordinates - xc ir

yc Tuomet

Ky = mxc ir Kx = myc

Iš čia

b b b

y ^xydx y xydx ^xydx Kv

χ - У_ _ __a _a a ' m m b b

y ^ydx \ydx

Kx 2 a

Ус= — =-f m

\ydx

(20)

У = χ


vienalytės figūros (γ = const),

apribotos kreivių y = x2 ir

y = J x (130 pav.), masės

centro koordinates.

S p r e nd imas . Išvestose masės

centro koordinačių formulėse

vietoj y turėsime įrašyti У2-У1,

nes šį kartą toks yra subrūkš-

niuoto 129 paveiksle stačia

kampio aukštis. Samprotaudami, kaip ir anksčiau, galėtume išvesti tokias

formules:

b

\Х{У2 -y\)dx

\{У2 - У \)dx

a

\)(y\-yl)d>

- r

\{y2-y\)dx

Todėl

i j i

Jx[^[x -x2^dx —J įx — j : 4 j dx

x = O e _ L = ISL L· = ! c 1 r» ' Уc i 20 V/ r- 20 dx J ( 4 ^ - x 2 ) d x \ Ų ^ - x 2 y

0 O

4. Kreivės lanko statiniai momentai ir masės centro

koordinatės.Tarkime, kad materialios kreivės tankis γ = const. Išskirkime

kreivės lanko elementą ds; tuomet jo masė bus dm =yds. Pažymėkime bet

kurį kreivės lanko elemento tašką Tuomet statinių momentų

elementai bus lygūs

d Kx = y γ ds, dKy = χ yds,

o patys statiniai momentai

iO iO

Kx= y Jyds , Ky= y Jxds,

0 0

jei tarsime, kad parametras s kinta nuo 0 iki s0. Kadangi kreivės lanko ilgis iO

lygus Jcfe, tai tos kreivės lanko masės centro koordinatės būtų išreiškia-

o

mos formulėmis: i

O -5

O

Jxds Jyds

xc = -7 , Λ = Ą · (21) IO SO Jds Jds ds

0 o

6 pavyzdys. Apskaičiuokime apskritimo p = 2a sin φ statinį momentą

polinės ašies atžvilgiu, kai tankis jo taškuose lygus 1.

Sp rend imas . Kadangi polinė ašis sutam-

pa su ašimi Ox (131 pav.), tai ieškomasis

statinis momentas Kx = ^yds. Kreivės lygtis

o

išreikšta polinėmis koordinatėmis, todėl į šią

formulę turėsime įrašyti:

y = p sin φ = 2α sin φ sin φ = 2a sin2 φ ,

ds = Jp2 + p'2 d(p =

/ 9 9 9 9

= -\j4a sin φ + 4a cos φ dų>= 2adų ;

integralo rėžiai bus kampo φ kitimo rėžiai. Taigi π π

Kx= J2asin2 φ·2α dq> = 4α2 Jsin2 φ<Λρ =

: 2a2 J(l — соз2ф)с/ф = 2a2^(p--^-sin2(pj 2πα . •

5. Plokščiosios figūros ir kreivės lanko inercijos momentai. Žinome, kad

materialiojo taško M inercijos momentas ašies arba kito taško atžvilgiu 'j

lygus md ; čia m - taško masė, d - jo atstumas nuo ašies ar kito taško.

Materialiųjų taškų Mh kurių kiekvieno masė m t, sistemos inercijos

momentai ašių Ox, Oy ir koordinačių pradžios atžvilgiu bus lygūs

n n

Ix = ,· ·yf , Iy = YjmI "xI2 ' 7O = L + h· •

/=1 /=I

Samprotaudami taip pat, kaip darėme išvesdami statinių momentų

formules, nustatytume, kad plokščiosios figūros inercijos momentai lygūs

b b

Ix= Ί , Iy =Y \x2ydx, a a

o kreivės lanko inercijos momentai lygūs

-5O sO

Ix=y\y2ds, Iy=y\x2ds.

0 0

6. Guldino* teoremos. Suformuluosime dvi teoremas, kurios geo-

metrines sukimosi paviršių charakteristikas sieja su sukamų kreivių ir jų

apribotų figūrų masės centro koordinatėmis.

Paulius Guldinas (P. Guldin, 1577 - 1643) - šveicarų matematikas.

Iš (21) formulės JO ->0

j yds J'yds

Ус= V " = -IO

ids

(L - kreivės lanko ilgis) gauname:

[yds =Lyc\

O

iš čia

«0

2π yds = 2πν, · L . Jyds = 2лус

о

Šio skyriaus 5.5 skyrelyje sužinojome, kad dydis 2π Jyds lygus pavir-

ti

šiauš, gauto sukant kreivę apie ašį Ox, plotui; dydis 2лyc lygus apskritimo,

kurį nubrėžia sukamos kreivės masės centras, ilgiui. Taigi įrodėme teiginį,

kuris vadinamas pirmąja Guldino teorema.

1 teorema. Paviršiaus, gauto sukant kreivę apie kurią nors tos kreivės

nekertančią ašį, plotas lygus tos kreivės lanko ilgiui, padaugintam iš apskri-

timo, kurį nubrėžia sukamos kreivės masės centras, ilgio.

Remdamiesi šia teorema, galime rasti kreivės lanko masės centro

koordinatę yc, kai žinomas kreivės lanko ilgis L ir jos nubrėžto paviršiaus

plotas Q.

7 pavyzdys. Apskaičiuokime cikloidės χ = a ( i - s i n / ) , y = a ( l - cos t)

pirmosios arkos masės centro koordinates.

Sp r end imas . Žinome, kad tos arkos ilgis L = 8a (žr. šio skyriaus 5.3

skyrelio 2 pavyzdį). Spręsdami tą patį pavyzdį, gavome:

ds = 2a sin — dt: 2

tuomet

2π „ 2π

2 J 2 O z o z

Q = 2π ja(l-cos/)2iisin^-d/ = 8πα2 jsin3^-d/ =

!π

К 2π

Il-COS2 . . . 2) У 2

= -16πα2 I 1-cos2— d cos—I =

о

= - 1 6 π α '

3 t cos —

' 2 cos —

2 3

4

2π

16πα -2 + - =

Vadinasi,

64 πα

2

У'--t

2 _ а

jydx

64 πα

3 _ 4 α

2π·8α ~ Τ '

Iš kreivės simetriškumo išplaukia, kad xc = πα.

Remdamiesi (20) formule

A f d x \)/ct

(S - figūros plotas), gauname:

1 b

-\y2dx = Syc-

is cia

π jy2dx = 2πγα · S.

Žinome, kad dydis n^y2dx lygus sukinio, gauto sukant kreivinę

a

trapeciją apie ašį Ox, tūriui, o dydis 2nyc - apskritimo, kurį nubrėžia

sukamos kreivinės trapecijos masės centras, ilgiui. Taigi įrodėme teiginį,

kuris vadinamas antrąja Guldino teorema.

2 teorema. Sukinio, gauto sukant plokščią figūrą apie jos nekertančią

ašį, tūris lygus tos figūros plotui, padaugintam iš apskritimo, kurį nubrėžia

sukamos figūros masės centras, ilgio.

Šią teoremą irgi galima panaudoti ieškant masės centro koordinačių.

6. Netiesioginiai integralai

6.1. Netiesioginiai integralai su begaliniais

integravimo rėžiais

b

Apibrėždami integralą Jf(x)dx, funkciją /(x) laikėme tolydžia

a

atkarpoje [a\b], o integravimo rėžius - baigtiniais. Apibrėžtinio integralo

sąvoką apibendrinsime dviem kryptimis, tardami, kad integravimo rėžiai

yra begaliniai arba kad pointegralinė funkcija yra trūki. Šiame skyrelyje

nagrinėsime integralus su begaliniais rėžiais.

Tarkime, kad funkcija /(x) apibrėžta ir tolydi visuose intervalo

\a \ +oo) taškuose. Tuomet ji integruojama bet kurioje atkarpoje [a; b],

b > a. Vadinasi, integralas

b

\f(x)dx (22)

a

turi prasmę. Nagrinėsime šio integralo ribą, kai b -> +oo.

1 apibrėžimas. Jeigu egzistuoja (22) integralo baigtinė riba, kai b —» +oo,

tai ji vadinama funkcijos fŲc) netiesioginiu integralu intervale [а; +со), arba

pirmojo tipo netiesioginiu integralu, ir žymima simboliu +OO b

\f[x\dx = Iim \f[x\dx. b—•+со J

Šiuo atveju sakome, kad netiesioginis integralas Jf(x)dx konverguoja.

a

Priešingu atveju, kai minėtoji riba yra begalinė arba neegzistuoja, sakome,

kad netiesioginis integralas diverguoja.

Išsiaiškinsime netiesioginio integralo

geometrinę prasmę, kai f(x) > 0. Integ-

ь

ralas Jf(x)dx reiškia figūros aABb, apri-

botos kreivės y = f(x), ašies Ox ir tiesių

χ = a, χ = b (132 pav.), plotą, o netie-

+00

sioginis integralas Jf(x)dx - begalinės

a

figūros, apribotos kreivės y = f(x), ašies

Ox ir tiesės χ = a (133 pav.), plotą.

V JV(X)CfX a

\ β

/ J X

0 α b X

У' L oo

J f ( X ) O f X ^ ^ ^ ^ α

O O X

133 pav. 134 pav.

Analogiškai apibrėžiame:

b

^f(x)dx = Iim J/(x)cfe,

\f{x)dx = \f(x)dx + f/(x)dx= Iim \f(x)dx + \\m \f(x)dx.

a

+00 dx

1 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą f — (134 pav.).

J o l + ^ 2

S p r e n d i m a s . Remdamiesi apibrėžimu, galime užrašyti:

-OJ J U j +CU . V 7 O ι· dx r dx r dx ,. r dx ,. r

I F= J 2 + I T= h m J 7 + l lm J i , 1 + JC T \ + X2 n \+X A->^°:\ + X2 B^+COĮ

dx

1 + X2

= Iim arctgjc a-»-oo

+ Iim arctgjc i->+oo

b ,. ,. , π π = - hm arctgcr + Iim arctgo = —h — = π .

O α—>x> й-»+оо 2 2

Taigi integralas konverguoja. •

+00

2 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą Jeaxdx , a < O (135 pav.).

o

S p r e nd imas .

+00 b

f e ^ d x = Iim Ieaxdx =

O ^ + 0 o O

= i Iim e M K a b—»+со

1 i:™ t„ab

" ) - 7 ·

Integralas konverguoja. A

= — Iim Ie a 6->+oo\

Šiuose pavyzdžiuose integralą apskaičiavome, pirma radę pirmykštę

funkciją, po to - jos ribą. Abu šiuos momentus galima išreikšti viena

formule.

Kadangi funkcija/(χ) tolydi atkarpoje [a; b], tai šioje atkarpoje

egzistuoja jos pirmykštė funkcija F(x). Todėl pagal Niutono ir Leibnico

formulę

b

jf{x)dx = F(b)-F(a)=F(x)ba.

a

Iš šios lygybės matyti, kad netiesioginis integralas Jf(x)dx konver-

a

guoja tada ir tik tada, kai egzistuoja baigtinė riba

Iim F(b) = F(+oo); o

tuomet

+00

\f(x)dx = F(+ao)-F(a) = F(x)

a

Iš netiesioginio integralo apibrėžimo ir tik ką gautos formulės išplau-

kia, kad, apskaičiuodami netiesioginius integralus, galime taikyti integra-

vimo dalimis ir kintamųjų keitimo metodus.

π/2

, dx 3 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą M J l + -· —sin2x O 6

.2 7 t

Sp rend imas . Panaudokime keitinį tgx = t, sin"x = ———, l + r

dx = ^t . Tuomet l + r

π/2

dt f ώ Γ

6.2. Netiesioginių integralų su begaliniais rėžiais

konvergavimo požymiai

Dažnai pakanka tik ištirti, ar netiesioginis integralas konverguoja, ar

diverguoja, neapskaičiuojant jo reikšmės. Tam tikslui suformuluosime

kelias teoremas, kurios vadinamos konvergavimo požymiais.

Pradėsime nuo bendriausio požymio, tinkančio ir tada, kai funkcija

yra teigiama (arba neigiama), ir tada, kai ji intervale [a; +00) keičia

ženklą.

+00

1 teorema (Koši kriterijus). Integralas ^f(x)dx konverguoja tada ir tik

tada, kai У ε > 0 3 A0 > a: A > A0 л A' > A \f(x) dx < ε .

Į r odymas . Pažymėkime \f(x)dx = Ф И ) . Integralas \f(x)dx

a a

konverguoja, kai egzistuoja baigtinė riba Iim Ф(Л) , o šios egzistavimą A-y+co

nusako Koši kriterijus, teigiantis, kad baigtinė riba Iim Ф(Л) egzistuoja Л-»+оо

tada ir tik tada, kai

Ve > 0 3 A 0 > a : A > A 0 A A ' > А =>|ф(л')-ф(л)| < ε .

Apskaičiavę

|φ(Λ')-Φ(Λ)| = \Ąx)dx- \f(x)dx

A A' A

J + J - J a A a

A'

\f(x)ch

įsitikiname, kad iš to išplaukia ir reikiama nelygybė. Teorema įrodyta. •

Sprendžiant uždavinius, Koši kriterijus taikomas retai; dažniausiai

paisoma kitų, paprastesnių, požymių. Suformuluosime juos, o įrodinėdami

pasiremsime Koši kriterijumi.

Kita vertus, toliau pateikti požymiai, priešingai negu Koši kriterijus,

tinka tik tada, kai pointegralinė funkcija yra teigiama.

2 teorema (palyginimo požymis). Jeigu su visomis x>a reikšmėmis

teisinga nelygybė

0 <f(x)<g(x) (23)

+00 +OO

ir jeigu integralas ^g(x)dx konverguoja, tai konverguoja ir integralas ^f{x)dx ,

a a

+00 +00

jeigu diverguoja integralas J f(x)dx , tai diverguoja ir integralas ^g(x)dx.

a a

Įrodymas. Kai A > A0 л А' > A, tai iš (23) nelygybės išplaukia,

kad

J / M dx A'

Jg(x)<& (24)

1) Tarkime, kad integralas Jg(x)dx konverguoja. Remdamiesi Koši

a

kriterijumi, gauname:

A'

\/ε > 03 A0> a: A > A0 л A' > A-

Tuomet iš (24) nelygybės išsyk gauname:

A'

< ε .

Jg{x)dx < ε .

\f(x)dx

A

o tai ekvivalentu integralo J f(x)dx konvergavimui.

a +00 +00

2) Tarkime, kad Jf(x)dx diverguoja; turime įrodyti, kad jg(x)dx

a a

+00

irgi diverguoja. Jeigu sakytume priešingai, kad Jg(x) dx konverguoja, tai,

a

remdamiesi tik ką įrodyta pirmąja teoremos dalimi, gautume, kad integ-

+00

ralas J f (x)dx irgi konverguoja. Tai jau prieštarauja teoremos sąlygai. •

a

+00

Tiriant integralo Jf(x)dx konvergavimą, iš anksto nėra žinoma, su

a

kokia funkcija reikia palyginti pointegralinę funkciją. Labai dažnai

palyginimui naudojama laipsninė funkcija — . Išnagrinėkime integralą

J f ( O > 0 ) .

Tarkime, kad α * 1; tada

+00

= _ L x l - a

J x a 1-a

+OO

a (1-a). .a-l

Jeigu α > 1, tai α - 1 > O ir — ^ — > О, kai χ -» +oo, todėl J-^- =

' . Taigi integralas konverguoja. ( a - l ) d

Jeigu α < 1, tai a - 1 < O, 1 - a > O ir x 1 _ a +со, kai л: +oo,

todėl integralas diverguoja.

Kai α = 1, tai

?dx - I — = Inx

+ C O

= +00 . a

Cdx _ Гс

J x a ~ J a a

+00 Cdx Vadinasi, integralas — konverguoja, kai α > 1, ir diverguoja, kai J Ya

a< 1. +00

1 pavyzdys. Ištirkime integralo N^-c/x konvergavimą.

ЯГ

Sp r end imas . K a i x > e , t a i l n x > l , todėl >—Jrr-. Kadangi v χ X1

+00 1 i* dx

a = - < 1, tai integralas diverguoja; tuomet pagal 2 teoremą 3 J Vx

+00 *lnx

diverguoja ir integralas 1-^=-*. • J \x e

Praktikoje naudingas dar ir toks požymis.

3 teorema (ribinis palyginimo požymis). Tarkime, kad intervale

[a; +oo) apibrėžtos dvi teigiamos funkcijos f(x) ir g(x). Jeigu egzistuoja

baigtinė riba

f(x) Iim = K > O,

*->+« g(x)

+00 +00

tai netiesioginiai integralai j/(x) dx ir Jg(x)dr kartu konverguoja arba

a a

diverguoja.

Į rodymas . Žinome, kad

hm Ц-!- = J C o V e > O 3 M > 0: χ > M => ^ f - f

M x )

K < ε o

f ( x ) <=>AT-ε < ^ f J . < / с + ε .

Kadangig(x) > O, tai gauname (/v - ε )g(x) < /(χ) < + ε)#(χ).

Dabar belieka pritaikyti palyginimo požymį. Iš nelygybės

+CC

/(jc) < (K + ε)#(χ) aišku, kad, konverguojant integralui Jg(x)c/x, kartu ir

a

+00 +00

integralui + turi konverguoti ir integralas J/(x)c/x. O iš a a

nelygybės (K - ε ) g(x) < f(x) irgi aišku, kad, konverguojant integralui

+00 +00

J/(x)i/x , turi konverguoti integralas ^(K-ε)g{x)dx ir kartu integralas

a

+со

jg(x)ctc. Analogiškai samprotaudami, galėtume įrodyti ir integralų

divergavimą. •

+00 'dx

Prisiminę, kad integralas I — konverguoja, kai α > 1, ir diverguoja, J χ

kai α < 1, iš šio požymio tiesiogiai gauname išvadą, kurią patogu taikyti

tiriant integralų konvergavimą.

Išvada. Jei funkcija f(x), lyginant ją su —, kai χ —> +oo, yra α > O eilės χ

+00

nykstamoji funkcija, tai integralas ^ f(x)dx konverguoja, kai a > 1, irdiver-

a

guoja, kai α < 1.

2 pavyzdys. Ištirkime integralų

+OO +00 + 0

f arctgx , f dx f Vjc , I Tirdx , I 1 ir I dx

Ul + x2)' J j c 3 V I ^ r Л + *

konvergavimą.

Sp r end imas . Apskaičiuojame ribas:

arctgx

I 2\3/2

V + X ) — г x3arctgx _ π Iim τ 1 = Iim _ L 2\3/2 2 '

X 3

1

I1"2)

,. x 3Vl + x2 ,· χ i Iim ^l- = Iim , = 1,

X—»+00 1 X->+CO I Γ χ2

X4

Iim 1 + * = Iim — = 1.

.t-»+00 Į x->+co 1 + X

X 1 / 2

Kadangi pointegralinės funkcijos, kai χ -»+ да, yra atitinkamai α = 3,

α = 4 ir α = i eilės nykstamosios funkcijos, tai pirmieji du integralai

konverguoja, o trečiasis diverguoja. •

Pastaba. Kai kalbame apie abiejų integralų konvergavimą kartu, tai K

gali būti ir lygus nuliui.

6.3. Absoliutusis ir reliatyvusis netiesioginių integralų

konvergavimas

+00

Nagrinėsime J/ (x) dx, kai/(x) intervale [a; +да) turi pastovų ženklą

a

arba jį keičia.

+00

1 apibrėžimas. Integralas Jf{x)dx vadinamas absoliučiai konverguo-

a

+00

jančiu, jei konverguoja integralas j]/(x)| dx .

a

Teorema. Absoliučiai konverguojantis integralas konverguoja. Kitaip +00

sakant, jei konverguoja integralas j]/(x)|o!x, tai juo labiau konverguoja

integralas J / (x) dx.

Į r odymas . Koši kriterijų taikome integralui J|/(*)| dx:

a

A'

V ε > 03A0> a: A > А0л A'> A => \\f(x)\dx

A

A'

<i=> J|/(x)\dx < ε.

< ε <=>

А'

Iš savaime aiškios nelygybės J / M dx

A'

< J|/( x)| dx ir ankstesnės

turime \f(x)dx

A

+00

ε, o tai reiškia, kad integralas J/(x)cfx konverguoja.

LCOS X pavyzdys. Ištirkime integralo J — — dx konvergavimą.

S p r end imas . Kadangi IcosxI < 1 , tai COSX

< — . Pastarosios χ2

Cdx funkcijos integralas l-r- konverguoja. Remiantis palyginimo požymiu,

J χ

galima teigti, kad

TW

I COSX

dx konverguoja, o tai reiškia, jog —-—dx yra

-uu

i COSX

absoliučiai konverguojantis. •

Atvirkščias teiginys gali būti ir neteisingas. Iš to, kad konverguoja

+OO +00

J/ (x) dx, dar neišplaukia, kad konverguoja J|/(x) | dx . Išnagrinėkime

a a

pavyzdį. +00

2 pavyzdys. Ištirkime integralo I S m X dx konvergavimą. J χ i

S p r end imas . Pritaikykime integravimo dalimis metodą. Pažymė-

kime: u = — ,du = ——z-, sin xdx = dv, v = - cosx. Tuomet * χ2

+CO +00 +00 Г sin X , COSX +00 fcosx , . fcosx ,

dx = —г dx = C o s l - I—-—dx. i χ X 1 J χ 2 J X 2

1 1 1 +00

Г cos χ Kaip jau įsitikinome, integralas — — dx konverguoja. Taigi integralas

J χ

+00 +00

JfilLLdx irgi konverguoja. Dabar išnagrinėkime integralo J l i t H dx

konvergavimą, pasiremdami sąryšiu | sinx | > sin χ = -—C°S~A , ir tuo, kad

+CO +00 +00 "cos2x f1-cos2x^ _ fdx f c

J 2x J 2x J 2x

i

;2x . — . ir

2

dx.

1 +00

Integralas f — = — In χ ' = +oo, o integralas — Γ c o s ^ x ^ry konVer-w 2 χ 2 2 J χ 1 1

guoja (tuo galėtume įsitikinti panašiai, kaip ir nagrinėdami integralą

+CO +00

ΓSinjX ^ ^ Tokiu atveju integralas Π — c o s 2 x J x diverguoja. Remdamiesi J x J 2x

palyginimo požymiu teigiame, kad integralas

+00 Sinx

dx irgi diverguoja.

+00 +OO1

sinx dx Taigi integralas J s t n x ^ x konverguoja, o integralas J

diverguoja. •

+00 +00

2 apibrėžimas. Jei integralas J f(x)dx konverguoja, o integralas J|/(x)|c?x a a

+00

diverguoja, tai integralas J f(x)dx vadinamas reliatyviai konverguojančiu.

a +00

Toks yra integralas I S ' " A dx . J χ

6.4. Trūkiųjų funkcijų netiesioginių integralų apibrėžimas.

Niutono ir Leibnico formulės taikymas

Tarkime, kad funkcija f(x) yra tolydi intervale (a; b], o taške χ = a

turi antrosios rūšies trūkį. Taigi taške χ = a ji yra neaprėžta, kartu dėl šios

priežasties neintegruojama atkarpoje [a; b]. Tačiau tarkime, kad į dešinę

nuo taško a, pavyzdžiui, atkarpoje [a + e\b] (0< ε <b-a) ji jau yra

b

integruojama. Tuomet ribinę integralo Jf(x)dx reikšmę, kai ε -> O,

α+ε

b

natūralu laikyti integralo Jf(x)dx reikšme.

a

b

Apibrėžimas. Jeigu egzistuoja baigtinė riba Iim f f ( x ) d x , tai ši riba ε->0 J

α+ε

b

vadinama trūkiosios funkcijos f(x) netiesioginiu integralu ff{x)dx arba

a

antrojo tipo netiesioginiu integralu intervale (a; b].

Taigi b b

Jf(x)dx = Iim Jf(x)dx, ε > 0.

a ε _

b

Jeigu riba Iim \f(x)dx yra baigtinė, tai sakome, kad integralas ε-»0

α+ε

Jf(x)dx konverguoja, priešingu atveju - diverguoja.

Jeigu funkcija f(x) turi antrosios rūšies trūkį taške χ = b, tai

b b-ε

Jf(x)dx = Iim Jf(x)dx , ε > 0. a ε—»0 a

Jeigu funkcija f(x) turi antrosios rūšies trūkį vidiniame atkarpos

[a;fe]taške χ = c, tai

b c b

\f(x)dx = \f(x)dx + \f(x)dx ,

a a c

h c'-ε, b

\f(x)dx = Iim f f (x )dx + Iim \f{x)dx . (25) ε,->0 ε,-»0

a 1 α ζ c+ε2

1 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą [ĖL.

J x 2 "

Sp r end imas . Funkcija y = \ truki taške χ = 0. Remdamiesi (25)

lygybe, galime parašyti:

i 0-ε,

f dx .. Cdx ,. f I r = hm I v + hm I

J x 2 ε , ->0 i χ1 ε2->0 J x

-1 0+ε,

dx

Iim — ε,—)-0 χ

- Iim — -1 ε2->0 X ει— Ov —ε

1 = - Iim —— + I l - Iim

η

1 ε2->ον ε 2

= +00 .

Taigi integralas diverguoja. •

Jeigu, apskaičiuodami integralą, neatsižvelgtume j funkcijos trūkio

tašką x = 0, tai gautume

i ' dx

T J x 2

1 1 1 = 1 1 -

X -1 -1

2.

Šis rezultatas, aišku, yra klaidingas, nes teigiamos funkcijos integralas

negali būti neigiamas.

Sakykime, kad b - funkcijos f(x) antrosios rūšies trūkio taškas ir

funkcija/(x) intervale [ a ; b ) turi pirmykštę funkciją F(x). Tuomet

b b-e

J/(x)ūtc = Iim |/(x)obc = Iim F(x) ε = Ihn F ( ^-e )-F ( a ) .

Taigi netiesioginio integralo egzistavimas ekvivalentus baigtinės ribos

Iim F(b - ε) egzistavimui. Jeigu ši riba egzistuoja, tad ją natūralu laikyti

ε—>0

pirmykštės funkcijos F(x) reikšme taške b, tuomet F(x) bus tolydi visoje

atkarpoje [ a ; b ]. Vadinasi, kai F(x) tolydi atkarpoje [ a ; b ], tai

netiesioginį integralą apskaičiuojame taikydami Niutono ir Leibnico

formulę b

\f{x)dx = F(b)-F(a) = F(x) .

Ta pati formulė tinka ir tada, kai trūkio taškas yra atkarpos viduje

arba kai jų yra keli, svarbu tik, kad pirmykštė funkcija būtų tolydi visuose

atkarpos [ a ; b ] taškuose.

2 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą

e

J: dx

л/ Inx

Sprendimas. Integralas yra netiesioginis, nes pointegralinė funkcija

nutrūksta taške χ = 1.

e e

f dx _ Γ

J χ V Inx J ¢/( In χ) ι - )= J- = 2 Vlnx Vlnx

Kadangi pirmykštė funkcija 2Vlnx tolydi atkarpoje [ 1; e], tai galima

taikyti Niutono ir Leibnico formulę. Todėl

e;

b Vlnx = 2Vlnx = 2 Vln Inl = 2 .

Apskaičiuojant trūkiųjų funkcijų netiesioginius integralus, galima

taikyti integravimo dalimis ir kintamųjų keitimo metodus. Reikalavimų,

kurie tuomet keliami pointegralinėms funkcijoms, čia neformuluosime.

3 pavyzdys. Apskaičiuokime JxlnxJx .

i

Sprendimas. JxlnxJx =

1 u = lnx, du = —dx,

χ 2

xdx = dv, v = ·

-In; i 1 T , I i 1 1 ,· 2, 1

- — χαχ = — In 1 Iim χ lnx O Ί J Ί Ί - νη 4

O

Inx — - — Iim . 4 2ι-»ο 1

2*->·ο J_

1 1 , χ Iim -jlT-

4 2 χ—>ο 2

1 1 , - 2 1 + - hm χ ζ = .

4 4 χ—>0 4

6.5. Trukiųjų funkcijų netiesioginių integralų konvergavimo

požymiai

Be įrodymo suformuluosime palyginimo ir ribinį palyginimo požy-

mius, analogiškus suformuluotiems pirmojo tipo netiesioginių integralų

konvergavimo požymiams. Pirmieji du taikytini tik funkcijoms, kurios yra

teigiamos intervale (o; b].

1 teorema (palyginimo požymis). Jeigu funkcijos f(x) ir g(x) intervalo

(a; b\ taške χ = a turi antrosios rūšies trūkį ir su visais χ iš šio intervalo

b

teisinga nelygybė 0 <f(x)<g(x), tai, konverguojant integralui ^g(x)dx,

a

b b

konverguos ir integralas Jf(x)dx, o diverguojant integralui

a a

b

diverguos ir integralas \g(x)dx .

a

b

Tirdami integralo J/(jc) dx konvergavimą, labai dažnai palyginimui

a

1 naudojame funkciją

(x-a)a

Ь dx F UX Išnagrinėkime integralą — (b > a). Tarkime, kad ir

* (x-d)a

a

b b b

ε > 0; tuomet f — — — = Iim f — — — = Iim -.—-— Ux-a)a ^O J (χ_α)α Ηθ1-α ι ;

' α+ε

α+ε

= Iim ε->0

(b-a) 1-α „ l-α

1 - α 1 - α = ti^ - Iim 1 ,

1 - α ε->ο ( 1-α ) ε

Jeigu α > 1, tai α - 1 > 0 ir ——г > oo , kai ε 0, todėl integralas ε α

diverguoja. Jeigu α < 1, tai α - 1 < 0 ir J 1 = ε1_α -» 0 , kai ε -> 0, ε

todėl f c^ = ——— . Taigi integralas konverguoja, kai α < 1. (x-a) a 1 - α

b

Kai α = 1, tai f — — — = \—X = Iim [ iA- = I im ln ix-я ) Чу-п\а J Χ-α ε-»0 J χ-α ε—>0 v

(.x-a) χ-α ε—>0 •> χ-α a α+ε

b

α+ε

dx = 1ίπι(ΐη(ό-α)-1ηε) = oo. Vadinasi, integralas ί ——— konverguoja,

J (χ-α)α ε->0

kai α < 1, ir diverguoja, kai α > 1.

1,5

Γ cos χ 1 pavyzdys. Ištirkime integralo I—j=-dx konvergavimą.

J VX O

COS JC Sp rend imas . Funkcija y = r yra trūki taške χ = 0. Bet, kai

Vx

χ e (0 ; 1,5], tai

cosx 1

л/х л/х

1,5

Kadangi α = — < 1, tai integralas [-J= dx konverguoja. Tuomet 2 J Vx

o

1,5

i COS JC

pagal 1 teoremą integralas I — ^ d x konverguoja. A Гх

1

2+ sin χ 2 pavyzdys. Ištirkime integralo I γ άχ konvergavimą.

o v

2 + sin χ Sp r end imas . Funkcija — yra truki taške χ = 1. Kadangi su

( x - l )

visomis χ reikšmėmis 2 +sinx > 1, tai

2 + sin χ 1

(x- l ) 2 (x- l ) 2

i

f dx Kadangi šiame pavyzdyje α = 2 > 1, tai integralas I - diver-

o

2+ sin χ guoja. Tuomet pagal 1 teoremą integralas I —dx diverguoja. A

J(x-1)2

o v '

2 teorema (ribinis palyginimo požymis). Tarkime, kad intervale (a; b]

apibrėžtos dvi teigiamos funkcijos f(x) ir g(x), kurios taške a turi antrosios

rūšies trūkį. Jeigu egzistuoja baigtinė riba

/ М Iim ^7-4 = K > O,

g(x)

b b

tai netiesioginiai integralai Jf[x)dx ir Jg(x)dx kartu konverguoja arba

diverguoja.

3 pavyzdys. Ištirkime integralo h dx

1-х 0

konvergavimą.

S p r end imas . Integralas yra netiesioginis, nes pointegralinė funkcija

nutrūksta taške χ = I. Apskaičiuojame

1 1

6^ 6 = I i m

χ—> 1 Iim

V T r ^ I + x + x2)(l + x 3 )

х-И ·

O - r ( 1 - Γ

Aišku, kad šio santykio riba bus konstanta, lygi , kai α = — . Kadangi

integralas i; dx

(1-х) 1 / 6

konverguoja, tai kartu konverguoja ir integralas

i

i dx

1 - X 6

Kai funkcija fŲc) intervale (a; b] (a - antrosios rūšies trūkio taškas)

keičia ženklą, pritaikę Koši kriterijų, gauname bendrą egzistavimo sąlygą.

b

3 teorema (Koši kriterijus). Netiesioginis integralas Jf{x)dx konver-

guoja tada ir tik tada, kai

ν ε > 0 3 δ > 0 : 0 < η < δ Λ 0 < η ' < δ < ε .

α+η

f/(x)dx

α+η

Antrojo tipo netiesioginių integralų absoliutusis ir reliatyvusis konver-

gavimas apibrėžiamas taip pat, kaip ir pirmojo tipo netiesioginių integralų.

Ir šį kartą absoliučiai konverguojantis antrojo tipo netiesioginis integralas

konverguoja.

6.6. Beta ir gama funkcijų konvergavimo sąlygos

Integralas \xa~x(\-x)h ldx vadinamas beta funkcija ir žymimas

o

B(a, b). Išnagrinėkime, su kuriomis a ir b reikšmėmis šis integralas

konverguoja. Kai a < 1, tai pointegralinė funkcija trūki taške л: = O, kai

b < 1, - taške χ = 1, todėl šis integralas yra netiesioginis. Jj išreiškiame

dviejų integralų suma:

1/2 , ι B (a, b)= \xa~\\ -x) dx + \xa~\\-xyldx .

O 1/2

1/2 b x

Integralas j xa~\\ - χ) clx , kai a > 1, yra tiesioginis, todėl konverguoja. o

Kai a < 1, jis yra netiesioginis. Pritaikysime ribinį palyginimo požymį:

Iim Ц — ^ = 1. v—>+0 i

X 1 -

1/2

f dx Kadangi integralas I konverguoja, kai 1 - a < 1, t.y. kai a > 0, tai

o

1/2

su šia a reikšme konverguoja ir integralas \xa~x(\-x) dx . Taigi o

pastarasis integralas, kaip netiesioginis, konverguoja, kai 0 < a < 1, o kaip

1/2 tiesioginis, kai a > 1. Vadinasi, integralas |x f l _ 1 ( l -x ) dx konverguoja,

o

kai a > 0 . Analogiškai įsitikintume, kad integralas \xa'x(\-x)b~Xdx 1/2

konverguoja, kai b > 0 . Galutinai funkcija B (a, b) konverguoja, kai vienu

metu a > 0 ir b > 0 . +0° -i -

Integralas j xa e Xdx vadinamas gama funkcija ir žymimas Γ(α). Jį o

išreiškiame dviejų integralų suma:

1/2 +со Γ (a) = \ xa-le~xdx + I xa~le~xdx .

O 1/2

Kai a < 1, pirmasis integralas yra antrojo tipo netiesioginis integralas, nes

pointegralinė funkcija trūki taške χ = 0. Kai a > 1, jis konverguoja kaip

tiesioginis integralas. Apskaičiuojame:

ха_1е~л

Iim = 1;

χ—>+0 1

X 1 " *

1/2 _ iš čia integralas j x" e Xdx, kaip netiesioginis, konverguoja, kai

o

1 - a < 1, t.y. kai a > 0. Galutinai šis integralas, nekreipiant dėmesio,

kokio tipo jis yra, konverguoja, kai a > 0.

Antrajam integralui irgi taikome ribinį palyginimo požymį:

xa~Xe~x xa+a~]

Iim 1 = Iim — = 0.

x-»+oo 1 *-»+00 gX

X A

Sis sąryšis teisingas su bet kuria α reikšme, kartu ir su α > 1. Taigi +00 _1

integralas Į x" e Xdx konverguoja su bet kuria a reikšme. Todėl gama 1/2

funkcija konverguoja, kai a > 0.

6.7. Pagrindinė netiesioginio integralo reikšmė

+00

Netiesioginį integralą J/(x)i/x apibrėžėme taip:

—00

+CO c b

j f ( x ) d x = Iim \f(x)dx + Iim |/(x)Jx. a-+-0o J b-*+OO

-oo a C

Dabar imkime a = b. Tuomet

+oo c a

j f ( x ) d x = Iim \f(x)dx + Iim \f(x)dx = Iim \ f(x)dx . a-*-ooJ a-»+oo a-*+ oo

-oo a c -a

Jeigu ši riba egzistuoja, tai ji vadinama pagrindine netiesioginio

+00

integralo J/(x)c/x reikšme Koši prasme ir žymima

—00

+oo a

v.p. \f(x)dx = Iim j f[x)dx. a-»+oo

-oo -a

Simbolis v.p. kilęs iš prancūzų kalbos žodžių valeur principai -

„pagrindinė reikšmė".

Analogiškai apibrėžtume antrojo tipo netiesioginio integralo

b

kai f(x) turi antrosios rūšies trūkį vidiniame [ a ; b ] taške c,

pagrindinę reikšmę:

b fc-ε b

v.p. [Ąx)dx= I im \f{x)dx+ f f(x)dx

v a c+ε J

Jeigu netiesioginis integralas konverguoja, tai aišku, kad jis konver-

guoja ir pagrindinės reikšmės prasme. Atvirkščias teiginys gali būti ir

klaidingas. Tai iliustruosime pavyzdžiu.

Pavyzdys. Įrodykime, kad integralas

TW

f x + \ , ,. αχ diverguoja įprastąja

χ +1

prasme, bet konverguoja pagrindinės reikšmės prasme.

Sprend imas .

-OO +GO +00

Γχ + 1 _ Γ χ dx + Г dx

J x 2 + 1 X J χ2 +1 J χ2 +1

= π + Γ xdx

J 7 7 T (žr. 6.1 skyrelio 1 pavyzdį).

+00

= 1 l i m ln(x2 +1)

J v 2+ 1 2 I )

= — Iim In + * . 2 £->-oo b +1

6 -»+00

Ši riba neegzistuoja, kai b —» - oo ir b' —> + oo nepriklausomai vienas

nuo kito. Taigi integralas f * + ^ dx diverguoja. Tuo tarpu

X 2 + 1

v.p.

+00

J

xdx 1 ,. -z = — Iim In1

χ +1 2 6—»+oo ( < 4 -b = O, todėl v.p.

+00

f * + l ^ I — dx = π.

J x 2 + 1

U ž d a v i n i a i

1. Taikydami apibrėžimą, apskaičiuokite integralus:

1 1 1

a) jxdx ; b) jexdx; c) Jx3dx.

0 0 0

2. Įvertinkite integralus:

π 2 2.

dx a) J b ) f-y—-; c) f

; J χ +1 J 5 + 3eos2 χ i

b

3. Duoti integralai Jf(x)dx. Sudarykite apatinę ir viršutinę Darbu

a

sumas s ir S, dalydami atkarpą [ a ; b ] į n lygių dalių, po to sudarykite

sumas i ir 5 , dalydami į 2n lygių dalių. Įsitikinkite, kad s < š < S < S.

2 π Cdx

a) Jsinxeic,n = 3; b) I —,n = 5 .

o Jl +χ o

4. Įrodykite, kad Dirichlė funkcija (žr. III skyriaus 34 uždavinį)

neintegruojama atkarpoje [ 0 ; 1 ].

χ

5. Raskite funkcijos y = I dt kritinius taškus intervale ( 0 ; oo ). Jt2+5 o

ex

C/4 -16 6. Raskite funkcijos y = I -(//ekstremumą.

+1

ό

χ

cos л/7 7. Įrodykite, kad funkcija y = I—T=—dt tenkina sąlygą

J -Jt \

„ „ y' sinVx 2 v" + — + = 0 .

X X

У X 8. Raskite y'x, kai Jcos/ dt + Jsin t dt = O

0 0


JcosZ2Ji j-J^gtdt

a) Iim ; b) Iim -S . JT->0 Χ *->+( )

JVsin t dt

O

10. Apskaičiuokite integralus, tiesiogiai taikydami Niutono ir Leibnico

formulę:

π

a) f - 7 = = ; b W V ^ J x ; c) Jv;

d)

j~7== ; b) jV4-x 2Jx ; с) Γ J V l + χ o J

0 o

1 -1 1/2 ln3

Г 2x - 3 ^ Г dx j* e

J Vx2 -3x + 5 ' 6 J χ2 + 6x +13' J -e2*

11. Keisdami kintamąjį, apskaičiuokite šiuos integralus:

13 In 3 4

a) I* xdx ^ Г dx c j*

J Vx-4 ' J Vejr - Г J i

Jx

5 In 2

3π π π

d) 4 f s in 6—Jx ; e) Ϊ * ; f) f

J 3 J1 +sinx+ Cosx J О О О

J (χ2+16) 3/2 '

Jx

l + 4sin2x

12. Ar galima šiuos integralus suintegruoti, panaudojant nurodytus

keitinius:

2 ^ 1 , j

a) fx 2 J r , χ2 = i; b) fVx 2 +Ux , χ = ; J J cos/ -i o 1 2л-

, f ώ 1 C dx Χ r,

o J r 7 p r , d )

5 - 3 cos χ 2 -i o

13. Integravimo dalimis metodu apskaičiuokite šiuos integralus: π

2 3- 2π a) f(3x + 2)lnx Jx ; b) I л V ; c) |x2cosxJr;

, I sin'jr * 1 ·> O

ι S

d) fln(l +x)dx; e) Jxarctg xdx.

0 O

14. Pakeitę kintamąjį, įrodykite šias lygybes:

1 1/Л' А л Г Иг С Их

a) J ^ r = j (χ > 0); b) \Ąx)dx = \f(b - x)dx ;

ι „ 2

ι \ 1 c) \x f [x2 jcfc = - \xf(x)dx (a > 0);

2 о о

π/2 π/2 π π/2

d) J/(cosx)t/x= J/(sinx)i/x; e) Jx/(sinx)t/x = π J/(sinx)afx;

0 0 0 0

f) \xm(\-x)"dx = \xn(\-x)mdx.

0 0

15. Funkcija /(x) yra nelyginė atkarpoje L L 2' 2

, periodinė ir turi

periodą, lygų T. Įrodykite, kad \f(t)dt yra periodinė funkcija ir jos

a

periodas lygus T.

. ^ t , , · , , πΛ 2 n r (2 n)', π 16. Įrodykite, kad j cos xdx = —j .

o 2 " ·(«!)

π

'sinwx , fO, kai m - lyginis, Ii 17. Įrodykite, kad I -dx = • sin χ [π, kai m - nelyginis.

0

18. Tarkime, kad f"(x) - tolydi atkarpoje [a ; b\ funkcija. Įrodykite,

kad

b

I xf "(x)dx = (bf '(b) - f (b)) - (af '(a) - f (a)).

a

19. Apskaičiuokite integralus:

3 2 3π/2

a) Jsgnix4 - 13x2 + 7>6\dx; b) JfexIaix ; c) Jxsgn(sinx)a5c.

- 2 0 0

20. Apskaičiuokite figūrų, kurias riboja duotosios kreivės, plotą:

а)y = 6 r-x 2 -7 , у = x - 3 ; Ъ)<į\x\ + J\y\ =-Ja , y = 0\

с)у =х-х2, у = ху/ 1-х ; d)x2y2 = 4(х - 1), χ = 5;

e) χ = 2 cos t - cos 21, у = 2 sin t - sin 21 (kardioidė);

f) p = 2 л/3 coscp, ρ = 2sin φ; g) (χ2 + у2)2 = 2а2 χ у (lemniskatė).

21. Kreivė у = e "ctxSin β χ (χ > 0) kerta ašį Ox taškuose xk = k π/ β

(fc = O, 1, 2,...). Įrodykite, kad ašies Ox ir kreivės pusbangių apribotų

figūrų plotai sudaro geometrinę progresiją, kurios vardiklis q = e "απ/ρ.

22. Tarkime, kad p > 1, q > 1, —+ — = 1. Pasinaudodami plotų

P 4

savybėmis, įrodykite, kad su bet kuriomis teigiamomis a ir b reikšmėmis

teisinga nelygybė

aP ьч — + — >ab. P 4

23. Apskaičiuokite šių kreivių lankų ilgį:

a) y2 = χ3, nukirstos tiese χ = 4 / 3;

b)у = - V x + 12 , - 11 < x < - 3 ; 6

c)y = 2л1\ + ех/2 , In 9 <x < In 64;

d)χ = sin 41, y = cos2 f, O < f < π/2;

C2 C2

e) χ = — c o s 3 Z; y = — s i n 3 ? , 0 < ί < 2 π , c2 = a2-b2 (elipsės α b

evoliutė);

f) p = a coscp;

g) ρ = α(1 - sin<p), - π /2 < φ < - π / 6 .

24. Sakykime, kad /(i) tris kartus tolydžiai diferencijuojama

intervale (a; b) funkcija. Raskite kreivės χ = / " ( / ) cos t + / ' ( / ) sin i,

y= f'(t) cosi- f "(t) sin/ (α < t\<t<t2 <b) lanko ilgį.

t t

25. Apskaičiuokite kreivės χ = j * c o s z ^ z ^ y - Jfi iLi tZ z lanko ilgį

ι i

nuo koordinačių pradžios iki artimiausio jos susikirtimo su vertikaliąja

liestine taško.

2 2 - X V

26. Kuną riboja paraboloidas z = v-— (žr. V I I skyriaus 2.5 sky-4 8

relį) ir plokštuma z = 10. Apskaičiuokite kūno tūrį.

X2 V2 (z-3)2

27. Kuną riboja kūgis + — z ~ ^ (^r- VI I skyriaus 2.7

skyrelį) ir plokštuma z = 0. Apskaičiuokite kūno tūrį.

28. Įrodykite, kad piramidės, kurios pagrindo plotas S, o aukštinė H,

29. Nupjautinio kūgio pagrindai - elipsės, kurių pusašės lygios a, b ir

a', b', jo aukštinė lygi H. Apskaičiuokite to kūgio tūrį.

30. Apskaičiuokite tūrį sukinių, kurie gaunami duotų kreivių apribotas

figūras sukant apie nurodytas ašis:

a) y = χ2 - &t + 15, y = O (apie ašį Ox, apie ašį Oy);

b)_y = arcsinx, y = O < χ < 1 (apie ašį Ox);

c) 2.py = χ2, y = Ul (apie ašį Ox);

d) y = e" + 6, y = e2*, χ = O (apie ašį Oy).

31. Duotoji kreivė sukama apie ašį Ox. Apskaičiuokite gauto sukimosi

paviršiaus plotą:

а)y = Vx , 3/4 < χ < 15/4; Ъ)у = 1/4 + χ2, O < χ < 1/2;

с) χ2 + 4у2 = 36.

32. Įgaubtojo veidrodžio paviršius yra sukimosi paraboloido nuopjova.

Jos aukštis 4 dm, pagrindo spindulys 6 dm. Apskaičiuokite veidrodžio

paviršiaus plotą.

33. Į skystį, kurio tankis γ, panardinta (viršūne aukštyn) trikampė

plokštelė taip, kad jos viršūnė yra vandens paviršiuje. Raskite skysčio slėgį į

plokštelę, jei trikampio pagrindas a, o aukštinė h.

34. Kokio didumo darbas atliekamas išsiurbiant skystį iš cilindrinio

rezervuaro, kai to skysčio tankis γ, rezervuaro aukštis h, o pagrindo

skersmuo d ?

35. Raskite elipsės χ = a cos t, y = b sin t apribotos figūros inercijos

momentą ašies Oy atžvilgiu.

36. Raskite pusapskritimio y = -Jr2 - x2 ir jo bei ašies Ox apriboto

pusskritulio svorio centro koordinates.

37. Apskaičiuokite pirmojo tipo netiesioginius integralus:

turis lygus — SH.

+CO +OO

O

e

+00

g)

+

I O

38. Ištirkite šių integralų konvergavimą:

a)

+00 +00 ^ +00

b) fcrfr c) h xdx

xą + \

d)

1 О r / 2

sin^ xdx

+GO +00 +00 ..4 ρ · 2

2 О

39. Apskaičiuokite antrojo tipo netiesioginius integralus (arba

įsitikinkite, kad jie diverguoja):

O 0,5 π/2

. f dx f dx f sinx a ) 7 — л з Т = ! ; b ) c ) T = ^ c f e ;

J (x + l)Vx + l J x l n χ Jvcosx -2 O -π/2

2 2 j 1 Γ χ2dx . f - dx r4 f In χ , e ) h ; 0Jwift'

0 0 0

40. Ištirkite šių integralų konvergavimą: 1 4 I

a) Cdx , . f cos2 Vx , . f Jx

Jt/r?; b) H ^ i f t ; c)J X - S i n x

0 O

f dx e ) H ^ E

Jlnfe*+1-е) ' J л/х sin Vx 1 \ ' n

d) - r - e) I — J= dx.

J ln\ex +1-е]

41. Apskaičiuokite:

+00

a) v.p. Γ—— ; b) v.p. f sin χ Jx ; c) v.p. Γ — .

J (x-4 ) 5 1 J *

riomis

f ^ * ; ь) P J x J sir

3

42. Su kuriomis k reikšmėmis konverguoja integralai:

dx 9

sin/c χ O O

43. Su kuriomis α ir β reikšmėmis konverguoja integralai:

+со π/2

a) [-^—r-dx, β > 0; b) Tsina χ cosp χ Jx ? J l + χμ J о о

Atsakymai

1. a) 1/2; b)e-l; с) 1/4. 2. а) 4 <1 < 2·>/30 ; b ) | < / < ^ ;

b) s = 0,945, 5 = 1,265,

— 4 sin χ S = 1,027, S =1,187. S.nk,keN. 6. 151η3. 8. - . 9 . a ) l ; b ) l . 10. а) 2;

3 cosv

л/2 . J4 15π .

64 ' b) π; с) 2/3; d) 2(л/з -VJ ) ; e) j ; f) . 11. a) 100/3; b) 2^arctg2--jj ; c) — ; d)

ttoJI: e) In2; f) . 12. a) Ne; b) ne; c) ne; d) ne. 13. a) 10In2-17/4; b) π ί - - — 2V5 И

9

/- 2 c) 4π; d) In— ; e) — - —-. 19. a) 3; b) 14 - ln(7!); c) - — . 20. a) 4,5; b) а2/з ; c) 0,1;

e 3 2 8

d) 8(2-arctg2); e) 6π; f) 5π/6->/з ; g) α2. 23. а) 112/27; b) 25/3; с) 2(1 + In 1,5);

d) (2-^5 + 1^2 + ,/5))/4 ; e)4įa3-b^/ab·, f) πα; g) 2a. 24. j|/"'(i) + f'(t) | dt. 25.1ηπ/2.

26. 200π>/2. 27. π·/77 . 29. — ((2α + α') b + (a + 2a') b') . 30. a) 16π/15, 32π/3; 6 ν

b) π(π2-8)/4; ε)32πρ3/15; d)3π(2In3- 1)1η3. 31.а)28тс/3; b) (зln(V2 +1) + 7-^2) π/32;

c) 2-*/3π(4π + Зл/З); 32. 49 π. 33. rah2/3. 34./hnd2l&. 35.πα3ί>/4. 36. Xc = 0, yc = 2τ/π;

л:£. = 0, ус = 4г/3к. 37. а) 1/3; b) π/VF; с) π/6; d) 1; e)2( l-ln2); f) 13 π/4; g) n!; h) 1/4.

38. a) Diverguoja; b) konverguoja; c) diverguoja; d) konverguoja;

e) diverguoja; f) konverguoja. 39. a) Diverguoja; b)-1/2 In2 2; c) 4; d) π; e) diverguoja;

9

f) — . 40. a) Konverguoja; b) konverguoja; c) diverguoja; d) diverguoja; e) konverguoja.

41. a) 15/64; b) 0; c) 0.42. a) k < 3; b) k < 1. 43. a) α > - 1, β > α + 1; b) α > - 1, β >- 1.

KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS

1. Aibės plokštumoje ir erdvėje

1.1. Euklido* erdvės

Taško padėtis skaičių tiesėje apibūdinama viena koordinate x,

plokštumoje - dviem koordinatėmis χ ir y, erdvėje - trimis koordinatėmis

χ, y ir z. Šios koordinatės yra realieji skaičiai. Apibendrindami tai,

sutarkime nagrinėti taškus ( j u o s dar vadinsime vektoriais), turinčius n

koordinačiųXb X2, — , xn\ čiax„

i = 1, n - realieji skaičiai. Tokius vektorius žymėsime χ = (X1; x2; ... ; x„), o

jų aibę - R". Šią aibę dar kartais vadinsime erdve R". Erdvė R1 (visų

realiųjų skaičių aibė) paprastai vadinama realiąja tiese, R2 - plokštuma, R3

- trimate erdve. Imkime dar vieną vektorių y = (уь y2; ...; y„). Dabar

panašiai, kaip darėme vektorinėje algebroje, apibrėžiame dviejų vektorių

sudėtį ir vektoriaus daugybą iš realiojo skaičiaus α :

X + y = (Χι + У ь Х 2 + y 2 ; . . . \Xn +Уп),

αχ = (ахь ах 2 ; . . . ; ах„),

vadinasi, x+y s R", αχ e R".

Euklidas (Euklides, 365 - 300 m. pr. Kr.) - graikų matematikas.

Apibrėžti veiksmai pasižymi komutatyvumo, asociatyvumo ir distribu-

tyvumo savybėmis, nes jos būdingos realiesiems skaičiams.

Nuliniu vektoriumi O laikysime vektorių, kurio visos koordinatės lygios 0.

Apibrėžkime dar dvi sąvokas:

1) dviejų vektorių skaliarinę sandaugą

n

x y = Σ х1У1; I=I

2) vektoriaus normą (ilgį)

Il X 11 = (X-X) i ^ = ν Σ ι '

Aišku, kad pastarosios dvi formulės apibendrina analogiškas vektorinės

algebros formules.

Vektorių χ = (χχ·, x2; ...; xn) aibę Rn , kurioje tokiu būdu apibrėžtos

sudėties ir daugybos iš skaičiaus operacijos, skaliarinė sandauga ir norma,

vadinsime η-mate Euklido erdve.

Pavyzdžiui, kai χ eRl, t.y. kai χ =(X\), tai ||x|| = JXf = | X11 . Kadangi

n n

pačios skaliarinės sandaugos xy = Σ x iУ^ ir χ·χ = Σ χ ? Уга r e a l i e j '

(=1 /=I

skaičiai, tai

n n n

/=I

todėl Il x-y y > χ · y ir Il X-X Il = x-x. Šių dviejų sąryšių prireiks vėliau, įrodant

teoremą.

Teorema. Jei x, y, z e Rn , α e R1, tai:

n n

χ y Il = Σ x^l ir I x-x I = Σ xI /=I /=I

1 . | x | | > 0 Il χ Il = 0 < = > χ = 0 ;

2 . α χ- = |α| •II χ II;

3 . I x - y Il ^

Il χ II-II у II;

4 . I χ + у I I χ Il + I l y II;

5 . |χ-ζ|| l l χ - y Il + l l y - z

Į rodymas . 1 ir 2 savybės yra trivialios. Įrodysime 3 savybę, kuri vadi-

nama Koši nelygybe. Išreiškę vektorius χ ir y koordinatėmis, matome, kad turime įrodyti

nelygybę

ΣΧι>'ι /=1

s J l -Ii = I r (1)

n n

ΣWi - 4 - T x I ^ y f -

Norėdami ją įrodyti, pasirinkime savaime teisingą nelygybę

t(xiU + y i )2 > 0.

i=l

Pertvarkę ją, gauname kvadratinę u atžvilgiu nelygybę

n n n

u2 ς 4 + ^ Σ ^ ι + Zyf *

/= 1 ;=1 J=1 9 . . . .

Kadangi koeficientas prie u yra teigiamas, tai ši nelygybe teisinga su

visomis u reikšmėmis, kai kvadratinio trinario diskriminantas D < 0.

Randame

f JL λ 2

D = 4-

Vj=I j J=1 J=I

Pertvarkę nelygybę D < 0, gauname reikiamą (1) Koši nelygybę.

Įrodysime 4 savybę.

Il χ + y Il 2 =(x + y)-(x + y)= X-X + 2 x-y 4- y-y .

Kadangi X-X = || χ·χ || = || χ ||2 , x-y < || x-y || < || χ ||·|| y ||, tai

I lx + у Il2 ^ I lχ Il2 + 2 Il χ IHl у Il + Il у Il2 = ( Il χ Il + Il у I l ) 2 ;

iš čia

Il χ 4-у Il < Il χ I l+ 11 у Il.

5 savybę gauname iš 4 savybės, vietoj χ įrašę χ - y, o vietoj y įrašę

y - z . A

1.2. Taško aplinka erdvėje R". Atvirosios ir uždarosios

aibės

Įveskime atstumo erdvėje Rn tarp dviejų taškų x = (xi;x2',—;xn) ir

у = (у\;У2>—1Уп) sąvoką. Tai padarysime, apibendrindami žinomą atstu-

mo analizinėje geometrijoje formulę, ir atstumą ρ (x, y) tarp taškų χ ir y

apibrėšime taip:

p ( x , y )= , Z i x J - ^ - ) = I I х -У II· Vj=I

Erdvė Rn, kai joje apibrėžta atstumo sąvoka, vadinama metrine erdve R".

Sakykime, kad x° = χ® ; ^ ; · · · ; ^ I - tam tikros aibės E c:R" taškas.

1 apibrėžimas. Taško x° ε > 0 aplinka VE (X°) vadinsime visumą aibės

E taškų χ, kurie tenkina sąlygą p (χ, x°) < ε.

ι

Erdvėje R2 aplinka - skritulys, kurio centras taške x°, o spindulys ε, be

jį ribojančio apskritimo; erdvėje R3 aplinka - rutulys, kurio centras taške

x°, o spindulys ε, be jį ribojančios sferos.

Analogiškai, kaip ir I skyriaus 2.7 skyrelyje, apibrėžiami ribiniai ir

vidiniai taškai bei atvirosios ir uždarosios aibės. Trumpai priminsime šiuos

apibrėžimus.

Taškas vadinamas ribiniu aibės E tašku, kai kiekvienoje jo aplinkoje

yra be galo daug tos aibės taškų. Jis vadinamas vidiniu aibės E tašku, jei yra

tokia jo aplinka, kuri yra aibės E poaibis.

Aibė vadinama uždarąja, kai visi jos ribiniai taškai kartu yra ir jos

taškai. Atvirąja vadinama aibė, sudaryta tik iš vidinių taškų. Atviros aibės,

pavyzdžiui, yra taško x° aplinkos Ve (x°).

2 apibrėžimas. Aibė vadinama jungiąja, jei bet кипе du jos taškai gali

būti sujungti laužte, sudaryta tik iš tos aibės taškų. Atvira jungi aibė vadinama

sritimi.

3 apibrėžimas. Aibė vadinama aprėžtąja, jei egzistuoja taškas χΘ ir

skaičius M, su kuriais p (x, x°)< M. Kitaip sakant, aibė yra aprėžta, kai visus

jos taškus galima patalpinti n-mačiame rutulyje, kurio centras taške x°, o spin-

dulys M.

2. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka ir geometrinis

vaizdavimas

2.1. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka

Tarkime, kad D - tam tikra erdvės Rn taškų aibė.

Ap i b r ė ž imas . Taisyklė f, pagal kurią kiekvienam aibės D taškui

χ = (XiIX2;.xn) priskiriamas vienas realusis skaičius u, vadinama n kinta-

mųjų funkcija u = f(x^,-.,Xn). Aibė D vadinama tos funkcijos apibrė-

žimo sritimi, aibė E = {u e R\u = f(x\,x2,...,xnų - jos reikšmių aibe; D a R",

E<zR\

Dviejų kintamųjų funkcija z = f(x, y) gaunama, kai skaičius z priskiria-

mas plokštumos taškui (x; y), o trijų kintamųjų funkcija u = f(x, y, z), kai

skaičius u priskiriamas erdvės R3 taškui (x;y; z).

1 pavyzdys. Jeix, y, z- stačiakampio gretasienio matmenys, tai jo tūris

V = xyz yra trijų kintamųjų funkcija, apibūdinanti atitiktį

f: (х, y, z) ->xyz.

2 pavyzdys. Raskime funkcijos

z = Inxy+ 1 - х 2 - y 2

apibrėžimo sritį.

S p r end imas . Funkcija bus apibrėžta, kai

χ > O,

y > 0 , arba Į xy > O,

[1-х2 -J^z >0

χ2 +y2 <1

r

r. ; X \

Щ 0 f /

136 pav. χ < 0,

X 2 + y 2 < 1.

Nelygybė χ +y <1 apibrėžia skritulį (136 pav.), o nelygybės χ > 0,

y > 0 arba χ<0, y <0 pirmąjį ir trečiąjį koordinatinius ketvirčius. Apibrė-

žimo sritis - 136 paveiksle subrūkšniuotos skritulio dalys; ašių Ox ir Oy

taškai apibrėžimo sričiai nepriklauso. •

Išsiaiškinkime, koks yra dviejų kintamųjų funkcijos z = f(x,y)

geometrinis vaizdas. Apskaičiavę kiekviename apibrėžimo srities D taške

(x;y) funkcijos reikšmę z, gauname skaičių trejetą (x, y, z), kuris erdvėje R3

nusako tašką M (x; y; f (x, y)). Tokių taškų visuma sudaro tam tikrą pavir-

šių erdvėje R3. Taigi funkcija z = f (x, y) erdvėje .R3 apibrėžia paviršių.

Toliau išvesime svarbiausių paviršių lygtis.

2.2. Sukimosi paviršiai

Tarkime, kad plokštumoje

χ O z duota kreivė /, kurios lygtis

F(X,Z) = 0 (137 pav.). Sukdami

šią kreivę apie ašį Oz ,

gauname sukimosi paviršių.

Išvesime to paviršiaus lygtį.

Kintamąjį sukimosi pa-

viršiaus tašką pažymėkime

M(x;y; z); prieš tai didžiosiomis

raidėmis X , Z pažymėjome

kreivės kintamojo taško N

(X;0;Z) koordinates, kad jos

skirtųsi nuo paviršiaus kinta-

mojo taško koordinačių. Taškai

M ir N priklauso tam pačiam

apskritimui, kurio centras ,4 (0; 0; z), todėl

\χ\ =AN=AM= y/(x-0)2 +(y-0)2 + (z-z) 2 =Jx2+y2 .

Kadangi taškai M k N yra toje pačioje plokštumoje, statmenoje ašiai

Oz, tai jų aplikatės lygios, todėl Z = z. Įrašę į lygtį F (X, Z) = 0 gautas X ir

Z išraiškas, gauname sukimosi paviršiaus lygtį

{ d X2+y2, Z I =0.

Palyginę sukamos kreivės / lygtį F (χ, z) = 0 ir gauto sukinio lygtį

Jx2 + y2, z j = 0, darome išvadą: norėdami gaud sukimosi paviršiaus

lygtį, turime sukamos kreivės lygtyje palikti nepakeistą kintamąjį, žymintį

sukimosi ašį, o kitą kintamąjį pakeisti kvadratine šaknimi (su ženklu ± prieš

šaknį) iš likusių dviejų koordinačių kvadratų sumos.

Pasinaudodami šia išvada, išvesime svarbiausių sukimosi paviršių

lygtis.

2.3. Elipsoidai

Sukimosi elipsoidais vadinami paviršiai, kurie gaunami sukant elipsę

apie jos simetrijos ašis. Tarkime, plokštumoje χ Oz duota elipsė

χ2 z2

— + — = 1 (a>c), kuri sukama apie ašį Ox (138 pav.). Gautas paviršius

a c

vadinamas ištemptu sukimosi elipsoidu. Jei šią elipsę suktume apie ašį Oz ,

gautume suspaustą sukimosi elipsoidą. Pirmojo elipsoido lygtis

2 2 2 x +y + z _ ,

o antrojo -

2 2 a c

2 2 2

a2 c2

Perkirtę ištemptą sukimosi elipsoidą statmena sukimosi ašiai

plokštuma χ = h (h <a), joje gauname apskritimą

/ + z 2 ^

c2 - V '

arba

ICirsdami sukimosi elipsoidą plokštumomis, statmenomis ašims Oz ir

Oy, pjūviuose gautume elipses.

138 pav.

Visus pjūviuose gautus (2) apskritimus pakeičiame elipsėmis

h1 2 2 2 χ y Z

At- + =γ = 1 - = γ , kurios bus paviršiaus + -Ar + — = 1 susikirtimo su b2 cz

2 2 У z

a a2' b2' c2

2 2 2 χ y Z

plokštumomis χ = h rezultatas. Paviršius -γ + -γ + -γ = 1 vadinamas

a b~ с

triašiu elipsoidu, skaičiai a, b, c - jo pusašėmis. Visuose triašio elipsoido

pjūviuose, statmenuose trims ašims Ox, Oy ir Oz , jau gaunamos elipsės.

Kai a = b = c, gauname sferą, kurios Iygtisx2 + y2 + z2 = a2.

2.4. Hiperboloidai

Vienašakis sukimosi hiperboloidas gaunamas, kai hiperbolė

i i i i

a 2 c2 ~

sukama apie ašį Oz (139 pav.), o dvišakis - kai ta pati hiperbolė sukama

apie ašį Ox (140 pav.). Pirmojo hiperboloido lygtis

2 2 2 X Z + Y Z Z Z _

2 2 a c

antrojo -2 2

y + Z = 1.

a c

Panaudodami šias lygtis, panašiai kaip darėme anksčiau, išvestume

vienašakio hiperboloido lygtį 2 2 2

a2 b2 c2

139 pav. 140 pav.

У = 1 .

Paminėsime įdomią vienašakio hiperboloido savybę - per kiekvieną

hiperboloido tašką eina dvi jo paviršiuje esančios tiesės, taigi jis tarytum

išaustas iš tiesių. Šią savybę išnaudojo statybininkai, statydami bokštus.

Juos sudaro kelios viena ant kitos pastatytos vienašakių hiperboloidų dalys,

o kiekviena dalis pagaminta iš tiesių sijų, sujungtų susikirtimo taškuose.

Panašiai sukonstruotas ir garsusis Eifelio bokštas Paryžiuje.

2.5. Elipsiniai paraboloidai

Sukimosi paraboloidą gauname

sukdami parabolę x2 = 2pz apie ašį Oz

(141 pav.). Jo lygtis

X2 + y2 = 2pz , p >0 .

Iš šios lygties, panašiai kaip ir

anksčiau, gauname elipsinio parabo-

loido lygtį:

2 2 X y — + — = z ; 2 p Iq

čia p > 0, q > O arba p < O, q < 0.

.i ι Z

£ X 0 4r

141 pav.

2.6. Hiperbolinis paraboloidas

Taip vadinamas paviršius, apibrėžiamas lygtimi

Jis nėra sukimosi paviršius,

be to, jo lygties negalima

gauti iš sukimosi paviršių χ lygties, kaip tai darėme

anksčiau.

Kaip geometriškai atro-

do hiperbolinis paraboloidas,

nustatysime, kirsdami jį

įvairiomis plokštumomis.

Kirsdami šį paraboloidą

plokštuma z = h, pjūvyje

X2 v2 X2 v2

gauname hiperbolę — - - —— = 1 . Kai h = O, tai hiperbolė — Iph Iqh 1 p 2 q

142 pav.

išsigimsta į dvi susikertančias tieses У = 0 ir * r + . y 0,

JTp Jlq J l p Jlq

einančias per koordinačių pradžią. Plokštumos* = 0 ir y = 0 iš hiperbolinio 9 9

paraboloido iškerta paraboles y = -2qz ir л; =2pz .

Hiperbolinis paraboloidas pavaizduotas 142 paveiksle. Šis paviršius

dar vadinamas balnu.

2.7. Kūgiai

χ z Sukdami tiesę — = — c#0)apie ašį Oz (143 pav.), gauname

a c

sukimosi kūgį

_z

arba 2 2 2

x z +y z _

2 ~ ~ '

a c

Iš čia gauname elipsinio kūgio lygtį

2 2 2

a 2 b2 c2

144 pav. pavaizduoti kūgiai z = Jx2 +y2 ,

z = A-Ijx2 +y2 , ir y = 9-3 Vx2 +z2 .

Elipsoidai, hiperboloidai, paraboloi-

dai ir kūgiai vadinami antros eilės pa-

viršiais.

2.8. Cilindriniai paviršiai

Taip vadinamas paviršius, kurį nubrėžia tiesė, judėdama lygiagrečiai

pasirinktai tiesei ir kirsdama duotąją

kreivę. Ši kreivė vadinama vedamąja, o

pasirinktoji tiesė - sudaromąja.

Nagrinėsime paprasčiausius atve-

jus, kai sudaromosios yra lygiagrečios

koordinačių ašims.

Tarkime, kad vedamoji / yra plokš-

tumoje χ Oy ir jos lygtis F (x, y) = 0, o

sudaromosios yra lygiagrečios ašiai Oz .

Pasirinkime kintamąjį cilindrinio pavir-

šiaus tašką M (x; y; z) (145 pav.). Jei

taško N fx; y) koordinatės tinka kreivės

cr b y

Z "

M(x;y;z)

I N(XiY)

145 pav.

I lygčiai, tai šiai lygčiai tinka ir taško M (x; y; z) koordinatės, nes abu tie taš-

kai yra tiesėje, lygiagrečioje ašiai Oz. Taigi vedamosios lygtis F (x, y) = 0

erdvėje nusakys cilindrinį paviršių, kurio sudaromosios lygiagrečios ašiai

Oz. Analogiškai, lygtys F(x, z) = 0 ir F (y, z) = 0 apibūdins cilindrinius

paviršius, kurių sudaromosios lygiagrečios atitinkamai ašims Oy ir Ox .

2 2 X V 2

Parinkę vedamosiomis antros eilės kreives — + = 1, y = 2px ir a~ b"

2 2 χ y — - = 1, gausime antros eilės cilindrinius paviršius: elipsinį cilindrą, a" b"

parabolinį cilindrą ir hiperbolinį cilindrą (146 pav.).

3. Kelių kintamųjų funkcijos riba ir tolydumas

3.1. Funkcijos riba taške

Kad būtų vaizdžiau, funkcijos ribos ir tolydumo sąvokas apibrėšime

turėdami galvoje dviejų kintamųjų funkcijas.

Tarkime, kad funkc i ja / : D ^ E apibrėžta taško Мо(л:0;уо;) e£>

aplinkoje, išskyrus galbūt patį tašką M 0 .

Apibrėžimas. Skaičius b vadinamas funkcijos f riba taške M0, jei kiek-

vieną ε > 0 atitinka toks δ > O , kad visuose taško MQ δ aplinkos taškuose M,

nesutampančiuose su MQ , teisinga nelygybė

\ f ( M ) - b \ < ε .

Rašome:

Iim f(x,y) = b , arba Iim f(x,y) = b.

Panaudodami kvantorius, šį apibrėžimą užrašome taip:

Iim f(x,y) = b<z>Ve>0 38>0: MsV5 (M0)\M„ =>\f(M)-b\ < ε . ( 3 ) M—>M0

2 2 Xy

Pavyzdys. Ištirkime, ar funkc i ja / (x ,y) = turi ribą taške X +y

0(0; 0). Sp rend imas . Taškas M prie taško O gali artėti įvairiais keliais. Pasi-

rinkime tiesesy = kx . Tuomet

2 2 2, 2 2 ,2 χ y .. χ k χ k

Iim . —j- = hm — M - > 0 X4 + y 4 X-^o X 4 + k 4 X 4 1 + k 4

Taigi, kai taškas M artėja prie taško O skirtingais keliais, gaunamos

skirtingos ribos reikšmės. Vadinasi, funkcija ribos taške O neturi. •

Kelių kintamųjų funkcijų ribos pasižymi tomis pačiomis savybėmis,

kaip ir vieno kintamojo funkcijų ribos. Suformuluokime šias savybes.

tai

1. Kai Iim / ( M ) = A , Iim g(M) = B , (A, B - baigtiniai dydžiai), M - > M 0 M - > M 0

Iim (f(M) + g(M)) = A + B, M->M Q

Iim f(M)g(M) = AB, M-^M0

l i m M i , A , B t 0 . м->м0 g(M) B

2. Jei funkcija f tun taške MQ ribą, tai egzistuoja to taško aplinka,

kurioje funkcija yra aprėžta.

3.2. Kartotinės ribos

Nagrinėsime funkcijos f(x,y) ribas, kai vienas argumentų yra fik-

suotas. Sakykime, kad toks yra y. Tuomet f(x, y) bus vieno kintamojo χ

funkcija, o riba lim f(x,y) bus kintamojo y funkcija, t.y. Х-»ЛГ(|

lim f(x,y) =9(y) . Taigi yra prasmė kalbėti apie šios funkcijos ribą, kai X->XFL

y —> y0 , t.y. Iim cp(y) = lim lim f(x,y) • Toji riba vadinama kartotine.

Analogiškai galima gauti ir tokią kartotinę ribą lim lim f(x,y) •

Anksčiau apibrėžtą ribą lim f(x,y), kai abu kintamieji χ ir y kartu (x;y)->(xn ;>>(,)

artėja prie X0 ' r Уо > vadiname dvilype riba.

Kyla klausimas, ar kartotinės ribos yra lygios viena kitai ir kaip jos

siejasi su dvilype riba. Išnagrinėkime du pavyzdžius.


2 2

f(x,y)- x y 4 4

X +y

kartotines ribas taške (0; 0).

Sp rend imas .

Iim Iim X = Iim —-^— = 0, »0_y—>0 χ + y Μ θ χ 4 + 0

Iim Iim X — = Iim — — = 0 . y^Ox^O χ4 + y4 y->0y4+0

Taigi šios funkcijos kartotinės ribos yra lygios. Kaip jau ištyrėme anksčiau,

(3.1 skyrelyje), šios funkcijos dvilypė riba taške (0; 0) neegzistuoja. •


3 3 t! \

X У f(x,y) = %

X +y

kartotines ribas taške (0; 0).

S p r end imas .

3 3 3

Iim Iim — = Iim ^ r = 1, jf->0_y->0 χ0 +ул χ

3 3 3 χ — y —y

Iim Iim — ; — ~ = Iim = -1. y->0x^>0 χ +y y->0 y

Taigi šios funkcijos kartotinės ribos yra skirtingos. Nesunkiai įsitikintume,

kad dvilypė šios funkcijos riba taške (0; 0) neegzistuoja:

X 3 - y 3 ,. X3-Zc3X3 I - к 3 4

hm — j — h m — 5 τ~Ύ = T · ^ ( д с ; ? ) - ^ ) ^ + / Х^0х3+к3х3 \ + k3

y=kx

Iš šių dviejų pavyzdžių išplaukia, kad funkcijos kartotinės ribos gali

būti ir lygios, ir nelygios, o dvilypė riba gali neegzistuoti net ir tada, kai

kartotinės ribos egzistuoja ir net yra lygios.

Toliau įrodysime svarbią teoremą, kuri nustato kartotinių bei dvilypių

ribų sąryšį.

Teorema. Jei egzistuoja (baigtinė arba begalinė) dvilypė riba

Iim f(x,y) = b ir su kiekvienu y egzistuoja baigtinė riba (x;y)->(x0;y0)

Iim f (χ,y) = φ (y), tai egzistuoja ir kartotinė riba x~yxO

Iim cp(y) = Iim Iim / ( x , y ) , У~>Уо У->Уох~>хо

Į r odymas . Teoremą įrodysime tarę, kad хо,.Уо, b - baigtiniai. Kadan-

gi egzistuoja dvilypė riba

lim f(x,y) = b, O \y)^>(x0\y0)

tai, remdamiesi (3) sąryšiu, gauname: VE >0 35 >0: 0< \x - X 0 \ < δ,

0<|y - yQ I<δ =>I/(χ, у) - b |<ε. Dabar fiksuokime y taip, kad būtų

0<|у-уо| < δ, o nelygybėje |/(x,_y)-fc| < ε pereikime prie ribos, kai

χ -> X0 · Tuomet, turėdami galvoje, kad lim / (x ,y) = cp(y), iš nelygybės x->x0

|/ (x ,y)-b| <ε gauname |cp(y)-b| <ε, kai 0<|y-y o|<6, o tai reiškia,

kad lim φ (_y) = b. Teorema įrodyta. •

3.3. Kelių kintamųjų funkcijų tolydumas

Tarkime, kad taškas A/0(x0;_y0) priklauso funkcijos z=f(x,y)

apibrėžimo sričiai.

Apibrėžimas. Funkcija z =f(x, y) vadinama tolydžiąja taške xO'>'o) > jei j°s riba taške M0 lygi funkcijos reikšmei tame taške, t.y.

Iim f(x,y) = f(x0,y0).

Tą patį apibrėžimą suformuluosime " ε - δ kalba": funkcija f (χ, y) vadinama

tolydžiąja taške A/()(x0;_y0), kai

ν ε > 0 3δ>0: Me V5 (M0) => | (f (M) - f (M0) |<ε, arba detaliau

νε>0 3δ>0:|χ- X0 I < δ ir |у - y 0 | < δ => | / ( x , y )- / ( х 0 , у 0 ) I < ε ·

Kai funkcija tolydi kiekviename srities D taške, tai ji vadinama

tolydžiąja srityje D.

Laikydami skirtumus χ - X 0 ir y - y0 argumentų pokyčiais Δ χ ir Δ у,

o skirtumą f(x,y)-/(½,}¾) ~ funkcijos pokyčiu Δ z, išsiaiškiname, kad

funkcija yra tolydi, kai nykstamus argumentų pokyčius atitinka nykstamas

funkcijos pokytis.

Anksčiau apibrėžtas funkcijos tolydumas taške yra jos tolydumo abiejų

kintamųjų χ ir_y atžvilgiu apibrėžimas. Fiksavę vieną kintamąjį, pavyzdžiui,

y = yQ, gausime vieno kintamojo funkciją φ(χ) = / ( x , y 0 ) . Jei ši funkcija

bus tolydi taške x 0 , tai sakysime, kad funkcija f(x, y) yra tolydi taške

(X0Jy0) kintamojo χ atžvilgiu. Analogiškai apibrėžiamas funkcijos f(x, y)

tolydumas taške (x0 ;y0) kito kintamojo y atžvilgiu. Aišku, kad tolydi

abiejų kintamųjų atžvilgiu funkcija yra tolydi ir kiekvieno kintamojo

atžvilgiu. Atvirkščias teiginys yra neteisingas. Tą faktą galima pailiustruoti

pavyzdžiu.

Pavyzdys. Nagrinėkime funkciją

Rx,y) =

p - į · , kai (x,y) (0,0), χ +y

0, kai(x,y) = (0,0).

Prieš tai įsitikinome, kad ši funkcija neturi ribos taške (0; 0), todėl ji

nėra tolydi šiame taške. Ištirkime jos tolydumą atskirai kiekvieno

kintamojo atžvilgiu. Apskaičiuokime ribas, kai kintamieji fiksuoti:

Iim f i x , 0) = Iim Д- = 0 ir

Iim /(0, y) = Iim -¾- = 0.

Kadangi šios ribos lygios funkcijos reikšmei taške (0; 0), tai funkcija

x2y2 l(xA +y 4 j šiame taške tolydi skyrium paimtų kintamųjų χ ir y

atžvilgiu. •

Suformuluosime kelių kintamųjų tolydžiųjų funkcijų savybes, kurios

yra analogiškos vieno kintamojo tolydžiųjų funkcijų savybėms.

1 savybė (operacijos su tolydžiosiomis funkcijomis). Jei f ir g - toly-

džios taške M0 funkcijos, tai f + g, f g ir f Ig (g (M0) * 0) irgi yra tolydžios

šiame taške funkcijos.

2 savybė (sudėtinės funkcijos tolydumas). Tarkime, kad z=f(x, y) -

sudėtinė funkcija, kudos kintamieji χ ir y yra naujų kintamųjų u ir v funkcijos:

χ = φ (u, v), y = ψ (u, v). Jei funkcijos φ ir ψ yra tolydžios taške (и0;v0), o

funkcija f yra tolydi atitinkamame taške (φ (m0;v0), ψ (M0JV0)), tai sudėtinė

funkcija z = f (ψ (ιι, v), ψ (m, V)) irgi yra tolydi taške (U0; V0).

3 savybė (tarpinės funkcijos reikšmės teorema). Tarkime, kad funkcija

z = f (x, y) tolydi jungioje aibėje D ir f (A), f (B) - jos reikšmės taškuose

A, B e D. Jeif(A) <C <f(B), tai yra srities D taškas c, kuriame f (c) = C.

4 savybė (aprėžtumo teorema). Jei funkcija z =f(x, y) tolydi aprėžtoje

uždaroje aibėje D, tai ji aprėžta toje aibėje; be to, yra aibės D taškai M\ ir

M2, kuriuose ši funkcija įgyja didžiausią ir mažiausią reikšmę.

4. Kelių kintamųjų funkcijų diferencijavimas

4.1. Dalinės išvestinės

Tarkime, kad srityje D apibrėžta dviejų kintamųjų funkcija z =f(x, y),

taškas M0(x0;y0) e D. Fiksuokime kintamojo y reikšmę, tardami, kad

У = УО- Tuomet funkcija z = f(x,Y0) bus vieno kintamojo funkcija.

Apskaičiuojame šios funkcijos pokytį, kuris atsiranda dėl argumento

pokyčio Ax. Jį pažymime Axz ir vadiname daliniu funkcijos pokyčiu. Taigi

Α χ Ζ = Д * о + У o ) - f (x0 ,Уо)·

Analogiškai apibrėžiame pokytį

\ z = f ( x 0 , y 0 +Ay)- f ( x 0 , y 0 ) .

Pokytis, kuris atsiranda pakitus abiem argumentams χ ir y, vadinamas

pilnuoju ir žymimas Az. Taigi

Δ z = f(x0+Ax,y0+Ay)-f(x0,y0).

Bendru atveju Az # Axz + Ayz. Pavyzdžiui, kai z =xy, tai

Axz = (x+Ax)y -xy = yAc, Ayz = x(y+Ay) -xy =xAy

Az = (x+Ax)(y+Ay) -xy = xA y + yAx+ AxAy.

Taigi šiame pavyzdyje Az = Axz + AyZ + AxAy, todėl Az *Axz + Δ ν ζ .

Kadangi funkcija z = f(x,y0) yra vieno kintamojo funkcija, tai galima

kalbėti apie šios funkcijos diferencijavimą kintamojo χ atžvilgiu, kai kitas

argumentas fiksuotas. Taip gauta funkcijos išvestinė vadinama daline

dz kintamojo χ atžvilgiu ir žymima — . Pagal išvestinės apibrėžimą ji lygi ribai

dx

Hm bL = l i m / (*o + Уо) - f{xp, У o) ;

Ax->0 Ax Ax—*0 Ax

jei ši riba egzistuoja ir yra baigtinė.

Analogiškai

Ё1 = Hm V = J i m / (хо,Уо + Ау)-/ (х 0 ,Уо )

ду Ду^о Ay д_у->о Ay

Galima vartoti ir tokius žymėjimus: z'x,z'y,fx(x0,y0).

Kai duota trijų kintamųjų funkcija u =f(x,y, z), tai nagrinėjame tokias

, ,. .v . du du . du , , dalines įsvestmes: — , — ir — . Pirmoji jų gaunama tarus, kad fiksuoti

дх dy dz

kintamieji y ir z, antroji - kai fiksuoti χ ir z, o trečioji - kai fiksuoti χ ir y. Iš to aišku, kad dalinė išvestinė apskaičiuojama taip pat, kaip ir

paprasta išvestinė, nes kiti kintamieji laikomi konstantomis.

Pavyzdys. Raskime funkcijos

vz

U = X -

dalines išvestines jos apibrėžimo srityje.

S p r end imas .

xy Inx-Zy z"1 , du z yz-\ — = y χ- , Sx

du

Š 7

du

Yz = x-v Inx-yz - Iny .

Pirmoji šių išvestinių apskaičiuota kaip laipsninės funkcijos, o kitos

dvi- kaip rodiklinių funkcijų, nes funkcija u kintamojo χ atžvilgiu yra

laipsninė, o kintamųjų y ir z atžvilgiu - rodiklinė. •

Išsiaiškinkime dalinių išvestinių geometrinę prasmę. Apskaičiuodami

dz išvestinę — , tariame, kad_y = v»o. Geometriškai tai reiškia, kad paviršius

Sx

z =f(x,y) kertamas plokštuma y = v( l. Ši plokštuma iš paviršiaus z = /fx, y)

iškerta kreivę z = f(x,y0), esančią plokštumoje, lygiagrečioje plokštumai

χ Oz (147 pav.). Remdamiesi vieno kintamojo funkcijos išvestinės geo-

metrine prasme, galime tvirtinti, kad dalinės išvestinės — reikšmė, Sx

z=f{x,y)

apskaičiuota taške M 0 , bus lygi tangentui kampo a, kurį kreivės

z = f(x,yo) liestinė T sudaro su tiese, lygiagrečia ašiai Ox.

Bz(M0) Analogiškai — bus lygi tangentui kampo, kurį kreives

dy

z = f (x0 ,y) liestinė sudaro su tiese, lygiagrečia ašiai Oy .

4.2. Pilnasis funkcijos pokytis

Nustatysime ryšį, kuris pilnąjį pokytį

Az= f(x0 + Ax,y0+Ay)-f(x0,y0)

susieja su funkcijos z = f(x, y) dalinėmis išvestinėmis — ir — , kai

dx dy

pastarosios egzistuoja taško (х&у^) aplinkoje ir jame yra tolydžios.

Parinkime tašką (x0 + Ax,y0 + Ay) taip, kad jis priklausytų minėtai

aplinkai ir sudarykime pilnąjį pokytį Az = f(x0 + Ax,y0 + Ay)-f(x0,y0). Po

to prie Az išraiškos pridėkime ir atimkime reiškinį f(x0,y0 + Ay). Tuomet

Az = f(x0 + Ax,y0 + Ay) - f(x0,y0 + Ay) + f(x0,y0 + Ay)- f(x0,y0). (4)

Reiškinį f(x0,y0 + A y ) - f ( x 0 J o ) galima traktuoti kaip vieno kin-

tamojo funkcijos f(x0,y) dviejų reikšmių skirtumą, nes kintamasis л:

fiksuotas. Šiam skirtumui taikome Lagranžo formulę:

f(x0,y0+Ay)-f(x0,y0) = f;(x0,y)(y0 + Ay - y 0); (5)

čia y 0 < y < y o +Ay.

Analogiškai taikome Lagranžo formulę ir skirtumui

f(x0 + Ax,y0 + Ay)-f(x0,y0 + Ay), tačiau šį kartą fiksuotas kintamasis

y+Ay. Gauname:

f(x0 + Ax,y0 + Ay)-/(x0,y0 + Ay) = y0 + Ау)(х0 + Ax - х0); (6)

Čia XQ < Х< XQ + ΑΧ .

Įrašę (5) ir (6) išraiškas į pilnojo pokyčio (4) formulę, gauname:

Az = / ; (x ,y 0+Ay)-Ax + / ; (x 0 ,y)-Ay . (7)

Kadangi dalinės išvestinės yra tolydžios taške (x0, Уо), tai

,, 1™ 1ппМх>Уо+ Ьу) = К(*о>Уо) > (Дд:, Д_у) (0,0)

.л }[Ψ t n J y ( x O j ) = fy(xo^o),

nes χ -» X0 ir у -» y 0 , kai Δ χ -> O ir Ay —> О.

Toliau panaudokime iš anksčiau žinomą teiginį, kad funkcija nuo savo

ribos skiriasi nykstamąja funkcija. Todėl

/ ; ( х ,у 0 + Ау) = / ; ( х 0 , у 0 ) + а , (8)

/ ; ( * о , ю = / ; ( * ο ^ ο ) + β ; (9)

čia α priklauso nuo Δχ ir а -> O, kai Ax 0; β priklauso nuo Ay ir β -> 0,

kai Ay —^ 0.

Įrašę (8) ir (9) išraiškas į (7) formulę, gauname:

Δζ ={&(х0,Уо) + a)Ax + (f;(x0,y0) + P)Ay =

= fx( Xo, У о) Δ·* + fy (•χο, У о)Δ У + α Δ * + β Δ У .

arba trumpiau

Az= — Ax + — Ay + αΔτ + βΔy . (10)

дх ду

Taigi, kai funkcijos z =f(x, y) dalinės išvestinės yra tolydžios taške

(x 0 , y 0 ) , tai tos funkcijos pokytį galima išreikšti (10) formule. Tuomet, kai

Ax 0, Ay 0, tai ir Az -> 0, o tai reiškia, kad pati funkcija yra tolydi

taške (x 0 ;y 0 ) .

Pažymėję p = -JAx2 + Ay2 , (10) reiškinį galėsime parašyti kompak-

tiškiau. Tikrai tuomet, kai p Φ 0,

f Ax ΔιΛ α Δ x + β Δ y = a + β · — · ρ = ε p;

V p ρ J

čia α · — + β — = ε ir ε->0, kai ρ->0, nes α->0 , β->0, ο dydžiai P P

Δχ . Δν . ν . — ir — yra aprėžti: P P

Δχ < 1 ir < 1

P P

Vadinasi,

Λ d Z Л ^ 2 А Az= — Δ хн Ay + ερ . дх ду

Kadangi Iim — = Iim ε = 0 , tai ε p = o (p). ρ->0 P p-»0

Todėl pilnąjį pokytį galima užrašyti taip:

Δ z = z'x Ax + z'y Ay + o (p).

4.3. Pilnasis diferencialas

Nagrinėdami vieno kintamojo funkciją / , ją pavadinome diferencijuo-

jama taške x 0 , kai jos pokytį Ay = / ( x 0 + A x ) - / ( x 0 ) galima išreikšti suma

Ay = A Ax+ o (Ax);

čia A = const, o (Ax) - aukštesnės eilės nykstamoji funkcija, lyginant su Ax.

Dabar šį apibrėžimą apibendrinsime taikydami kelių kintamųjų

funkcijai. Kad būtų paprasčiau, imkime dviejų kintamųjų funkciją z =f(x,

У)·

Taigi funkcija z =f(x, y) vadinama diferencijuojama taške (x 0 ;y 0 ) , jei

jos pilnąjį pokytį galima išreikšti suma

Az = AAx + BAy + o(p)\ (11)

čia A, B - konstantos, o (p) - aukštesnės eilės nykstamoji funkcija, lyginant

su p = yjAx2 +Ay2 .

Suformuluosime sąlygas, kada funkcija z =/(x, y) yra diferencijuojama

taške (x 0 ;y 0 ) .

1 teorema (būtina funkcijos diferencijuojamumo sąlyga). Jei funkcija

z= f(x, y) yra diferencijuojama taške (Xg;>'o), tai šiame taške egzistuoja

dalinės išvestinės —, , be to, jų reikšmės, apskaičiuotos šiame taške, дх ду

atitinkamai lygios A ir B.

dz Į r odymas . Norėdami rasti — , fiksuokime y. Tuomet, įrašę į (11)

дх

lygybę vietoj Ay nulį (Ay = 0), gauname:

A V Z = A Ax + O ( | A X | ) .

Iš čia

+ (12) Ac Ax

o(\Ax\) Kadangi Iim — — - = 0 , tai iš (12) išplaukia, kad egzistuoja

Ax->0 Ax

dz ,. A„z — = Iim = A . дх Δχ—»0 Ax

dz Analogiška i įsit ikintume, kad egzistuoja ir — = B. Teorema

ду

įrodyta. •

Jau anksčiau minėjome, kad funkcija z = f (х, y) yra tolydi, kai ją

galima išreikšti (10) arba jai analogiška (11) formule. Vadinasi, diferen-

cijuojama taške funkcija šiame taške yra tolydi.

Tačiau, kaip ir vieno, taip ir kelių kintamųjų funkcijos atveju, iš

funkcijos tolydumo, taip pat ir dalinių išvestinių egzistavimo dar neišplau-

kia jos diferencijuojamumas.

4.2 skyrelyje, nagrinėdami pilnąjį funkcijos pokytį, įrodėme, kad

funkciją z= f(х, y) galima išreikšti (10) arba (11) formule, kai taško

(x0 ;y0) aplinkoje egzistuoja dalinės išvestinės, tolydžios šiame taške. Tai

ir yra funkcijos

z=f(x, y) pakankamos diferencijuojamumo sąlygos. Vadinasi, įrodėme

tokią teoremą.

2 teorema (pakankama funkcijos diferencijuojamumo sąlyga). Jei

funkcijos z =f(x, y) dalinės išvestinės — ir — egzistuoja tam tikroje taško

дх ду

(х0;у0) aplinkoje ir šiame taške yra tolydžios, tai funkcija yra diferenci-

juojama tame taške.

Funkcija, turinti tolydžias dalines išvestines, vadinama tolydžiai diferencijuojama arba glodžiąja funkcija.

Oz Qz Kai galioja (11) lygybė, tai reiškinys — Ax + — Ay vadinamas

дх ду

dz dz funkcijos pilnuoju diferencialu ir žymimas d z = —Ax-\ Ay. Kadangi

дх ду

nepriklausomų kintamųjų pokyčiai Ax, Ay sutampa su jų diferencialais dx,

dy, tai galutinė pilnojo diferencialo išraiška tokia:

dz , dz , dz = — άχΛ dy.

dx dy

Reiškiniai — dx ir —dy vadinami daliniais diferencialais ir žymimi dx dy

d z = —dx , d z = —dy . dx y dy

Aišku, kad dz = dxz+dvz.

Dviejų kintamųjų funkcijos pilnojo diferencialo formulę nesunku

apibendrinti ir bet kokiam kintamųjų skaičiui. Pavyzdžiui, kai duota trijų

kintamųjų funkcija u =f(x, y, z), tai jos pilnasis diferencialas

du , du , du //v X W , T _L

4.4. Pilnojo diferencialo taikymas apytiksliame

skaičiavime

Kadangi pilnasis pokytis ir pilnasis diferencialas skiriasi tik aukštesnės

eilės nykstamuoju dydžiu, lyginant su p, tai Az & dz\ iš čia gauname

formulę, kurią naudojame apytiksliame skaičiavime:

f (x0 + Δχ, y0 + Ay)« f (x0, y0 ) + / ; (x0, y0 )A* + / ; (x0 , y0 )Ay, (13)

1 pavyzdys. Apskaičiuokime apytiksliai -^6,022 +7,962 .

Sprendimas.Pažymėkime f(x, y) = -Jx2 +y2 . Tuomet ieškomoji

reikšmė bus/(6,02; 7,96).

Parinkime X 0 = 6, y0 = 8, tuomet Δχ = 0,02, Ay=-0,04 ir

ι 1 χ f(x0, y 0 ) = л/36 + 64 = 10. Randame f'x = — ·2χ

2^fx2+y2

ί

n =

ί χ2 + у 2

> 0.3¾) = 0,6, / ; ( х 0 , у 0 ) =

χ 2 + /

• = o,s л/36 + 64 П ' ; л/ 36 + 64

Taikome (13) formulę:

•J6,022 +7,962 =/(6,02; 7,96) » 10 + 0,6 · 0,02 + 0 ,8-(- 0,04) « 9,98. А

Parodysime, kaip pilnasis diferencialas taikomas, įvertinant paklaidas.

Tarkime, kad dydis u yra kintamųjų χ ir y funkcija: u =/ (x , y). Jeigu,

matuodami χ ir y, darome paklaidas Δχ ir Ay, tai funkcijos u reikšmė bus

apskaičiuota su paklaida Au=f(x + Δχ, y + Δ y) - f (χ, y). Kai paklaidos

Ax ir Ay yra pakankamai mažos, tai Au u, todėl

Δ u « — zlx + — Ay, дх ду

o absoliučioji paklaida

df | Δ Μ |

Я f Ax + —Ay

дх ду < df

• Ι Δ Χ Ι + df

дх ду АУ

Maksimalias absoliučiąsias argumentų paklaidas pažymėkime |A*X| , A * y ,

o dydžio u - AtU . Tuomet galime tarti, kad

А*гл = df

Δ*χ + df A*y

1 1 дх dy A*y

Santykine paklaida δχ vadinamas absoliučiosios paklaidos ir apy-

tikslės dydžio reikšmės santykis:

δχ= — , χ

ο maksimaliąja santykine paklaida - dydis

Δ'χ

δ*χ

Todėl

B e t I

δ и

А и J _

I/1

df

дх

л* I j . 1

' и '

df

ду

Л* Ay

δ и дх

Ν/Ι)

L(Inlz l) , 1 Š L = — ( У / 1 ) . Tuomet / дх дх[ Ul> f ду Sy1 1П>

д A χ +

ау M A y А* 1п|/|

Taigi maksimali santykinė funkcijos paklaida lygi jos natūraliojo

logaritmo maksimaliai absoliučiajai paklaidai.

2 pavyzdys. Išveskime sandaugos ir dalmens maksimalios santykinės

paklaidos formules.

Sprend imas .1 . u =xy. Randame

į- (lnN)= —-y = - ' į - ΗΝ) = — *= - ' дх v ' xy χ ду x xy y

δ u

Δ χ A* I Δ y

+ = δ*χ + 5*y .

2. u = —. Randame У

_D_

дх

δ и

f л

In X

In -

v y\>

A* Δ χ

|x| +

I A

χ ' ду

A'у

In 1

У

= δ*χ + ю*у

4.5. Sudėtinių funkcijų išvestinės

Tarkime, srityje D apibrėžta sudėtinė funkcija z = f (u, v), kurios argu-

mentai u ir v yra kintamųjų χ ir y funkcijos: u=u(x, y), v = v fx, y). Kartu

pareikalaukime, kad, kintant χ ir y, taškas (u; v) priklausytų D. Dar

tarkime, kad funkcija z turi argumentų u ir v atžvilgiu tolydžias išvestines

dz . dz , , .. . . „ . du du dv — ir — , o funkcijos u ir v - argumentų χ ir y atžvilgiu — , — , — du dv dx dy dx

. dv ir .

Suteikime argumentui χ pokytį Ax, laikydami y fiksuotu. Tuomet

atsiras pokyčiai

AxU = u(x + Ax,y)~ u(x,y) ir

Axv = v(x + Ax,y) - v(x,y).

Kartu pakitus u ir v, pasikeis ir z - atsiras pilnasis pokytis

Az = f (u +Axu, v + Axv)-f(u,v),

kurį galima išreikšti (10) formule. Taigi

D Z Λ S Z * Л D A Az = —Axu + — Δ^ν + αΔ^Μ + ρΔ^ν.

du dv

Abi šios lygybės puses dalijame iš Δχ^Ο :

Az _ dz Ax u dz Δ χ v αAxu + βΔ^ν

Δχ du Ax dv Ax Ax Ax

Kai Ax—> 0, tai ir Δ^,Η—>0, Axv—>0, nes funkcijos u ir v yra

tolydžios. Tuomet a - » 0 ir β-»0. Apskaičiuojame ribą:

Δζ dz ,. ArU dz Arv Iim — = — lim — — H lim —— ;

ΔΧ->οΔϊ du Δχ—>0 Ax Bv Δχ->0 Ax

iš čia gauname

dz dz du dz dv — = + . (14) Sx du Sx Sv Sx

Analogiškai įrodytume, kad

Sz _ Sz du + Sz Sv

dy du dy dv dy

1 pavyzdys. Raskime — ir — , kai z = arcsin —, u = X2 - y2, v=xy. Sx dy v

Sprend i m as. Pritaikysime (14) ir (15) formules. Pirmiausia randame

dalines išvestines:

Sz 1 1 1 dz I f u

du v Jv2-U2 '

, 2 Г V2

du dv du „ dv = 2x, — = y, — = -2y, --=x.

Vylv2-U2 дх дх дУ дУ

Tuomet

dz 1 _ u 1 f „ M>' — = , 2x , y = , 2x - —

V v2_w2 ν Λ/ ν2_Μ2 * ^v 2 -K 2 I V

δζ 1 . . . u 1 Γ . MX — = I . , · R y ) 7 = = X = 7 = = -2^ S j VV2-M2 VA/v2-m2 VV2-M2

(14) ir (15) formules galima apibendrinti bet kokiam kintamųjų

skaičiui. Jeiguz =f(u, v, w), o u, v, w yra χ bei y funkcijos, tai

(16) dz _ dz du dz dv dz dw + . — + dx du dx dv dx dw dx

dz _ dz du dz dv dz 1 dw

dy du "dy

, dv ' dy dw "dy

(17)

Tarkime, kad z = f(x, u, v), o u = u (x) ir v = v (x). Vadinasi,

z= f (x, u (x), v(x)) ir yra vieno kintamojo funkcija, todėl kalbėsime apie

jos pilnąją išvestinę — . Ją rasime taikydami (16) formulę ir laikydami, dx

kad χ yra irgi tarpinis argumentas, kaip u ir v, o jo ryšys su galutiniu

argumentu χ nusakomas lygybe χ = χ. Kadangi u ir v yra vieno kintamojo

funkcijos, tai vietoj dalinių išvestinių rašysime pilnąsias. Tuomet

dz _ dz dx dz du ^ dz dv _ dz dz du +

dx dx dx du dx dv dx dx du dx

+ (18) dv dx

d 2 2 2 pavyzdys. Raskime — , kai χ = , u = sin t, v = In t.

_ „ , dx dx dx du Sprendimas.Taikome (18) formulę: — = — + +

dt dt du dt

2 2 dx dv „ dx u-v dx 2u dx 2v du — . Randame —- = ^ — , — = — , — = , — = cos t, dv dt dt t2 du t dv t dt

i ? dv 1 _ dx u -v 2u 2v — = - . Tuomet — = -z 1 cos t —тг. A dt t dt t t t

4.6. Pirmojo diferencialo formos invariantiškumas

Sakykime, kad funkcija z =f(u, v) turi tolydžias dalines išvestines z'u

ir z[,, o kintamieji u ir v yra naujų kintamųjų χ ir y funkcijos: u = u (x, y),

v= v(x, y). Sudėtinės funkcijos z = f(u (x, y), v(x, y)), priklausančios nuo

argumentų χ ir y, diferencialas apibrėžiamas formule

. dz , dz , dz = dx + dy .

dx dy (19)

Išvestines — ir — rasime taikydami (14) ir (15) formules, [rašę jų d x d y

išraiškas į (19) formulę, gauname:

. f dz du dz Sv^l , dz — + dx +

\du dχ dv dxj

dz du ^ dz dv

V du dy dv dyy

dy

Bet

Tuomet

dz_

du

du du , —dx H dv dx dy

4- * dv

dv , dv , —dx H dv dx dy

du , du , — dx + — dy = du, dx dy

dz

dv , dv , , — dx + —dy = dv. dx dy

dz dz = — du-\ dv.

du dv

Tokia pilnojo diferencialo išraiška būtų, jei u ir v būtų nepriklausomi

kintamieji. Taigi pilnojo diferencialo išraiška nepriklauso nuo to, kokie yra

kintamieji u ir v; ji yra tokia pati ir kai u, v - nepriklausomi kintamieji, ir

kai u, v - kitų kintamųjų funkcijos. Vadinasi, pirmasis diferencialas

pasižymi formos invariantiškumo savybe.

4.7. Neišreikštinės funkcijos diferencijavimas

Nagrinėkime dviejų kintamųjų funkciją F(x, y). Iš analizinės geo-

metrijos žinome, kad lygybė F (x, y) = O apibrėžia tam tikrą kreivę plok-

štumoje xOy. Norėdami y išreikšti kintamojo χ funkciją y =f(x), turime

išspręsti lygtį F (х, y) = O kintamojo y atžvilgiu. Tokiu atveju sakome, kad

lygtis F(x, y) = O nusako neišreikštinę funkciją y =f(x). Kadangi / (x) -

lygties F (x, y) = 0 sprendinys, tai F (x, f (χ)) = 0.

Kyla klausimas, kokia turi būti funkcija F, kad vienareikšmiškai

galėtume iš lygties F(x, y) = 0 rasti у =/ (x)? Į šį klausimą atsako neiš-

reikštinės funkcijos egzistavimo teorema, kurią pateikiame be įrodymo.

Teorema. Tarkime, kad funkcija F (x, y) ir jos dalinės išvestinės Fx bei

Fy tolydžios tam tikroje taško (x0;y0) aplinkoje. Jei

^ 1 ( W o ) = O ir F;(x0,y0)* O ,

tai yra taško (x0 ;y0) aplinka, kurioje lygtis F(x, y) = O turi vienintelį spren-

dinį y = f(x), tenkinantį sąlygą y0= f (x 0). Be to, funkcija f (x) bei jos išves-

tinė yra tolydžios taško x0 aplinkoje.

Dabar išnagrinėkime neišreikštinės funkcijos, apibrėžtos lygtimi

F (x, y) = 0, diferencijavimą. Apie tai jau kalbėjome, tačiau bendros formu-

lės neišvedėme, o nagrinėjome tik atskirus pavyzdžius.

Tarkime, kad lygtis F(x, y) = 0 apibrėžia funkciją y =f(x). Tuomet

F(x, f (x))= 0. Diferencijuojame abi šios lygybės puses, panaudodami

sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę. Gauname:

F' + F' =0 · * y dx '

iš čia

dy _ F'x x_

dx Fį

1 pavyzdys. Raskime — , kai y ex + χ ey = 0 . dx

2 2 2

Sp rend imas . F(x, y) =y ex + χ ey , F'x=yex • 2x + ey

(20)

Fy= ex +xey -2y, todėl

dy _ 2xyex +e 2 2

* 4- рУ

dx 2xyey2+ex2 '

Toliau nagrinėsime lygtį

F(x,y,z) = 0.

Jeigu kiekvieną skaičių χ ir y porą iš tam tikros srities atitinka viena arba

kelios z reikšmės, tenkinančios lygtį F(x, y, z) = 0 , tai ši lygtis apibrėžia

vieną arba kelias neišreikštines funkcijas z. Pavyzdžiui, lygtis

χ2 + y2 - z2 = 0 apibrėžia dvi kintamųjų χ ir y funkcijas

• = -Jx2 + y2 ir z = —J. X2 +y2

Tarkime, kad funkcija F (x, y, z) ir jos dalinės išvestinės F'x, F'y, F!.

yra tolydžios tam tikroje taško (x 0 ;y 0 ; z 0 j aplinkoje, be to,

dz Oz Tuomet funkcijos z dalines išvestines — ir — rasime taikydami (20)

Bx By

formulę. Iš pradžių tarkime, kad fiksuotas yra y, po tox. Taigi

dz F'x dz Fy

dx F z Sy F'z

2 pavyzdys. Raskime — ir — , kai exyz - xyz = 0 . Bx By

S p r e n d i m a s .

Bz exyz - y z -yz у Λ Bx exyzxy -xy xy I

Sz

By

exyz-XZ-XZ XZ (l-exyz)

• x y - x y xyexyz-1

z

У

4.8. Aukštesniųjų eilių išvestinės

Funkcijos z =/(χ, y) dalinės išvestinės — ir — yra naujos Bx dy

kintamųjų χ ir y funkcijos, kurios irgi gali turėti dalines išvestines to paties

arba kito argumento atžvilgiu. Jos bus pradinės funkcijos z =f(x, y)

antrosios eilės dalinės išvestinės (arba antrosios dalinės išvestinės).

Jei pirmoji išvestinė buvo rasta argumento χ arba y atžvilgiu, tai jos

išvestinės χ ir y atžvilgiu žymimos taip:

= A f i l d2 z = d_ f Bz_'

B2 z

BxydxJ' dx dy dy\Bx_

d2z

dy2 dy

dz

d dz

dy Bx Sxl4 By

arba atitinkamai zxx, zxy, zyy, Zyx .

Analogiškai apibrėžiamos trečiosios, ketvirtosios ir 1.1, eilės išvestinės.

Išvestinės skirtingų kintamųjų atžvilgiu vadinamos mišriosiomis.

1 pavyzdys. Duota funkcija u = x 2y z 3 + χ y 3 z 4 . Raskime mišriąsias

M) , W jos įsvestines Uyxxyz ir Uy

vxzx .

Sp r end imas . u'x = 2 x y z 3 + y 3 z 4 , u'^x = 2 y z 3 , Ut^xy = 2 z 3 ,

= 6 z 2 · uxxyz >

и' = x2z3 + 3xy2z4, u" = Ixzi +3y2z4, u'" = 6xz2 +Uy2Z3,

J 4 ) = 6 z 2

"yxzx u ^

Matome, kad u^4\yz = u\4\zx

У 2 pavyzdys. Duota funkcija z = arctg— . Tada χ δχ χ2+y2'

θ2z _ 2xy θ3z _ 2 x ( x 2 - 3 y 2

9x2 (x2+y2f 9x2дУ {x2+y2

dz X d2 z y2-X2 d3 z 2x[x2-3 y21

Sy X2 + y2 ' dy dx ^ 2 +y2)2 ' dy dx2 įx2+y2į

Matome, kad d3z _ d3z

dx2 dy dy dx2

Taigi šiuose pavyzdžiuose mišriosios išvestinės, apskaičiuotos tų pačių

kintamųjų atžvilgiu, bet skirtinga tvarka, sutampa. Pasirodo, kad tai nėra

atsitiktinis dalykas.

Teorema. Jei taško M0(Хо.'Уо) aplinkoje egzistuoja funkcijos z=f(x,y)

dalinės išvestinės f x , f'y, f^y ir fyx, o jos mišriosios išvestinės fjL ir fyx

dar ir tolydžios taške M 0 (x0; y0), tai tame taške

/ '" r= f"

xy Jyx •

Į rodymas . Nagrinėkime reiškinį

A = (f(x{) + Δχ, y,) + Ay) -/(χо + Δχ, y0)) - (f(xa, y0 + Ay) -f(x0, y»)). (21)

Pažymėkime: φ (χ) = f (χ, y0 + Ду) - f (χ, yo). Tuomet

А = φ (х„ + Δχ) - φ (χ0) .

Kadangi taško M0 (χ0; yo) aplinkoje egzistuoja išvestinė f x , tai funkcija

φ(χ) diferencijuojama atkarpoje [χ0 ;χ0+Δχ], Tuomet

skirtumui φ(χ0 + Δχ) - φ (x0) galima taikyti Lagranžo formulę. Taigi

gauname

Α = φ'χ (χ)(χ0+Δχ-χ0) = φ'χ ( χ ) ·Δχ ;

čia X0 <χ <X() + Δχ. Įrašę į šią lygybę cp(x) išraišką, turime:

A = ( f x ( х , Уо + A y )~ f i ( χ , yo))· Δχ .

Kadangi / " apibrėžta taško M 0 aplinkoje, tai funkcija f'x diferen-

cijuojama atkarpoje [у 0 ;у 0+Лу]. Tuomet gautajam skirtumui galima

taikyti Lagranžo formulę. Todėl

A = f Чу [χ, у)-Ax Ay; (22)

čia yt)<y <yQ + Ay.

(21) formulės vidurinius dėmenis sukeitę vietomis, gauname:

A = (f(x0 + Ax, y0 + Ay) -f (χ о, y0 + Ay)) - (/(*,, + Аде, y0) -f(x0, y0)) .

Pažymėję

Ψ 00 = f(xo + Ax, y) - f (xo, y) ,

turime:

A = ψ (уо + Ay) - ψ (уо).

Šiam skirtumui taikome Lagranžo formulę:

A = ψ^ (y)-Ay ;

čiay0 < y <yo + Ay. Tuomet

A = (f;(x0+Ax,y)-f;(x0,y))Ay.

Pritaikę dar kartą Lagranžo formulę, gauname:

A = / / , U y) b x A y , (23)

čia xa < χ oco + Ax Sulyginę (22) ir (23) lygybes, darome išvadą, kad

(24)

Kadangi išvestinės fx'y ir fyx tolydžios taške M 0 (хо/Уо), tai

.л A l im = f"y (X ih У"}' (Δλγ,Δ>»)->( 0,0)

l im f y ' x ( Ž J ) = fZ(xo,yo)-

(Ax,Ay)->(0,0) ' v ' У

Tuomet, suradę abiejų (24) lygybės pusių ribas, gauname:

fx"y (*o, Уо) = fyx (χο, Уо)·


Iš šios teoremos išplaukia tokia išvada: jei mišriosios išvestinės

d" f d"f -T-1: τ ir „ n_L k yra tolydžios, tai jos yra lygios. дхкдуп к ду" кдхк

4.9. Aukštesniųjų eilių diferencialai

Tarkime, kad funkcija z =f(x, y) turi tolydžias aukštesniųjų eilių dali-

nes išvestines. Tuomet jos pirmasis diferencialas

, dz . dz , dz - — dx + — dy

dx dy (25)

yra nauja kintamųjų χ iry funkcija, nes dx ir dy, kaip nepriklausomų kinta-

mųjų χ ir y pokyčiai, yra pastovūs. Vadinasi, galima nagrinėti šios naujos

funkcijos diferencialą, kitaip tariant, funkcijos z diferencialo d z pilnąjį

diferencialą d (dz), kurį vadiname antrosios eilės diferencialu (arba tiesiog 9 · 9

antruoju diferencialu). Jis žymimas d z =d(dz). Ieškodami d z , pasinau-

dosime (25) formule, tik įrašysime joje vietoj z reiškinį d z:

d2z = d (dz) = — (dz) dx + — (dz) dy = dx dy

_d_

дх ŠL дх'

dz

dy

dz dz dx + —dy dx -\ —dx + —dy dy

d2 z . d2 z —Tdx + дх2 ду dx

dy dx+

d y v Sx

( d2z , d2z Л

dx + dxdy ду

ду

2 Φ dy.

Pažymėję, kaip ir anksčiau, dx • dx = (d χ) = d χ2, dy dy = dy2 , galu-

tinai turime:

,2 d2 z 2 . τ d2 z d z = —;r dx +2

d2 z

дх' я я dxdy + —у dy- . дхду дуz

Pirmąjį diferencialą simboliškai užrašome šitaip:

dz = I — dx + — dy I-z. V δχ ду J

Tuomet antrąjį diferencialą, tarytum iškėlę z už skliaustų, simboliškai gali

me parašyti taip:

' я я ^ 2 д . d ,

— Й Х Н dy ·ζ . v δχ ду J

d2 ζ =

Tęsdami toliau, indukcijos metodu galėtume įrodyti, kad

dnz = d[dn~xz\ =

Štai, pavyzdžiui,

d ^ д

, —ax + —dy dx dy

d \ . ' д , 5 / V —dx + —dv -Z= дх ду • J

V . 3 , & —rdx +3 дх dxLdy

dx2dy + 3—-—- dx d\>2 + -^-—dy3

дх ду' ду •z =

дх3 dx* + 3

d3z

дх2 ду dx dy + 3

a3z

дх ду2 dx dy2 + - -γ d v3 .

d y

Dabar išnagrinėkime sudėtinės funkcijos z=f(x, y), x=x(u, v), y = = y (u, v) antrąjį diferencialą. Žinome, kad ir šį kartą pirmasis diferencialas

dėl formos invariantiškumo savybės turi (25) išraišką

, dz , dz , dz = — dx + — dy,

дх ду

tačiau dabar dx ir dy nėra pastovūs, o jau priklauso nuo u ir v, todėl

reiškinius — dx ir — dy turime diferencijuoti kaip sandaugas. Tuomet дх ду

d1 z =d (dz) = d ' S z л

dx. dx + — d(dx)+d

dx

d Δζ , 2 —τ dx + dx2

d2z

dz_

ду.

S2Z . , dz ,2 dxdy -\—-d χ +

dx dy dx dydx

d y + į d ( d y ) = dy

2 . , d z , 2 dz j2

dxdy + —-rrdy +—d у = dy2 dy

A dy

dz dz = \—dx +—dy -z + —d χ + —d у .

dx dy

Palyginę šią d z išraišką su (26) formule, matome, kad antrasis dife-

rencialas formos invariantiškumo savybės jau neturi. Aišku, kad ši išvada

tinka ir aukštesniųjų eilių diferencialams.

4.10. Dviejų kintamųjų funkcijos TeiIoro formulė

Tarkime, kad funkcija z =f(x, y) apibrėžta tam tikroje taško

M0(x0;y0)

ε aplinkoje ir joje turi tolydžias dalines išvestines iki n +1 eilės imtinai.

Pažymėkime tašką M ^ x 0 + Ax\ y0 +Ay) taip, kad ir jis priklausytų taško

M0 ε aplinkai. Taškus M 0 ir M 1 sujunkime atkarpa, kurios parametrinės

lygtys

Įrašę šias χ ir y reikšmes j funkciją f(x, y), gauname vieno kintamojo t

sudėtinę funkciją

z = f(x0+t Ax, y0+t Ay) = F(t),

kurios pokytis Az = f(x0+Ax, y0 + Ay)-f(x0,y0) = F ( I ) -F (O ) .

Funkcija F (?) yra vieno kintamojo funkcija ir turi n +1 išvestinę, todėl

ją galima išreikšti Makloreno formule su liekamuoju Lagranžo formos

Р Щ ( + F ^ 2 + + + ( П + 1 ;

nariu:

F(t)=F(0) + - — l T ——. —. , —— 1! 2! n\ +

čia c = O +Θ (t - 0) = © t, Θ e (0; 1).

Įrašę į F (i) išraišką t = 1, gauname:

F'(0) F"(0) f W ( 0 ) F("+ 1 ' (0) F( I ) = F O + + — Y + . . . + P + į r - l .

1! 2 ! n\ (« + 1)!

Tuomet

+ (27)

t l t ! +

Dabar rasime F (t) išvestines, diferencijuodami ją kaip sudėtinę funkciją.

Taigi

= df(x0+tAx,y0+tAy) d(x0+tAx) +

Bx dt

Kadangi

| df(x0+tAx,y0+tAy) d(y0+tAy)

dy dt

d(x0+t A*) d(y0 + 'AjQ

dt dt y

F'(0) = d f ^ y ° ] Лх + д / ( ^ У 0 ) Ay = df(M0).

Analogiškai

d2 f (χ*+1 Ах,y *+t Ay) , d2 f(xn+t Ax,yn+t Ay) F"(t) = V 0 ^ -Ax + 2 v 0 — -AxAy +

' d χ2 dxdy

B2f(x0+tAx,y0+tAy) δ 2 = (d_^x+d_

dy2 У UJC X dy 2 Ay2 = \—Ax + — Ay\ f(x0+tAx,y0+tAy),

F „ ( 0 ) = d2f(y o ) v + 2 ^ I M dIlbfA^ дх дхду ду

= d 2 f ( M 0 ) .

Tęsdami gautume:

/ л k

F^\t)=^į-Ax + į-Ayj f(x0 + tAx, y0+tAy)·,

iš čia

^k

F^(O) = [į-Ax + į-Ayj f(xo, y 0 ) = ^ / ( M 0 ) ,

/ yi+1

F^ + 1 ' ( Θ ) = I^-ΔΑ: + — A y J f(x0 + 0 A x , y o +QAy) =

= ^ + 1 / ( х о + © А х , у о + 0 А у ) .

Įrašę gautas išvestinių reikšmes į (27) formulę, galutinai turime:

Az = f(x0 + Ax, y 0 + Ay) - f(x0,y0) =

= df{xp,yo) d2f(x0,y0) dnf(x0,y0)

1! 2! "' л!

+ — ^ t — ^ r j — — > Θ e 1 · 2 8

(« + 1)!

Si formulė ir vadinama dviejų kintamųjų funkcijos Teiloro formule su

Lagranžo formos liekamuoju nariu.

χ — V Pavyzdys. Funkciją z = arctg — išreikškime Teiloro formule taš-

1 + xy

ko (0; 0) aplinkoje, apsiribodami trečiosios eilės diferencialais.

χ — v S p r e nd imas . Kadangi arctg — = arctg χ - arctg y, tai

l + xy

d f _ 1 df_ = 1_

дх l + x2 ' ду \ + y 2

todėl

5/(0,0) = 1 S/(0,0) = 1

дх ' ду

Toliau

δ 2 / _ 2x δ 2 / _ Q d2 f _ 2V

δχ2 (1 + x 2 j 2 ' δχδ.ν ' 5 y 2 +

todėl

S V ( O 1 O ) = O ^ Z M = O

δχ2 ' d y2

Randame

o, ^ M = O, δχ ду

δ 3 / . 2^3x2 - l) δ 3 / ( 0 , 0 )

δχ3

M 3 '

δχ2 бу

s3/ 2 ( l - Зу 2 ) δ 3 / ( 0 , 0 )

Sy3 ('-2)4' δχ3 -2, -2 .

δ /

Įrašę šias išvestinių reikšmes į (28) formulę, o dydžius X0 + Δ χ = χ ir

Уо + Δ у = y pakeitę dydžiais Δχ = χ ir Ay = у, (х ( ) = 0, у0 = 0 ) gauname:

arctg = I x - 1 - у + 1 (-2х 3 +2 у 3 ) + Я 4 (х ,у) = 1 + ху 3! \ I

= х - у + -^ ( у 3 -х 3 )+д 4 ( х , у ) ;

čia R4(x,y) - liekamasis narys. •

5. Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumai

5.1. Būtinos ekstremumo sąlygos

Nagrinėkime dviejų kintamųjų funkciją 2 = f(x, y), apibrėžtą srityje D .

Sakykime, kad taškas M 0 (x0; y 0 ) - vidinis srities D taškas.

Apibrėžimas. Taškas MQ vadinamas funkcijos z = f (х, y) lokaliojo

maksimumo (minimumo) tašku, jei yra tokia taško M 0 aplinka, kurios

visuose taškuose teisinga nelygybė/(x0,y0) ^ /(x,y) ( / (x 0 ,y 0 ) ^ /(x,y))·

Kadangi / (x ,y) - / (хо .Уо) = Δζ , tai taške M 0 yra maksimumas (mini-

mumas), kai Az < 0 (Δζ > 0).

Maksimumas ir minimumas kartu vadinami ekstremumais.

Teorema. Jei taškas M0(JC0Jy0) yra diferencijuojamos funkcijos

Z = / ( J C , y) ekstremumas, tai

( 2 9 ) dx dy

Į rodymas . Fiksuokime kintamąjį y, tardami, kady = y 0 . Tuometz =/(JC, y)

bus vieno kintamojo funkcija, kuri taške JC 0 įgyja ekstremumą. Todėl jos

išvestinė argumento JC atžvilgiu tame taške turi būti lygi nuliui, bet ši

išvestinė dviejų kintamųjų funkcijai yra jos dalinė išvestinė. Vadinasi,

Sfjx0, y θ) =

SJC

Analogiškai įrodytume, kad ^ ( * 0 ' ^ ° ) = o. A dy

Taigi ekstremumas gali būti tik taškuose, kuriuose funkcijos pirmosios

dalinės išvestinės lygios nuliui (arba kuriuose bent viena pirmoji dalinė

išvestinė neegzistuoja). Tokie taškai vadinami kritiniais funkcijos taškais. (29) sąlygos yra tik būtinos, bet ne pakankamos funkcijos ekstremumo

v 9 9 sąlygos. Stai, pavyzdžiui, funkcijos Z = JC - Y (žr. 142 pav.) dalinės išves-

dz dz tines — = 2JC, — = - 2y taške ( 0 ; 0 ) lygios nuliui, tačiau šis taškas nėra

SJC S Y

ekstremumo taškas, nes jo aplinkoje yra taškų, kuriuose funkcijos reikšmės

didesnės už z (O, 0) ir kuriuose jos mažesnės už z (O, 0).

5.2. Pakankamos ekstremumo sąlygos

Išnagrinėsime sąlygas, kurių pakanka, kad kritiniame taške funkcija

turėtų ekstremumą. Tarkime, kad funkcija Z = / (JC, y) yra apibrėžta, tolydi

ir turi tolydžias pirmos ir antros eilės dalines išvestines taško M0(jc0;y0)

aplinkoje, o pats taškas M0 yra kritinis, t.y.

Sf(xQJo) = 0 ir Sf(x0,y0) = o

SJC Sy

Pažymėkime:

Λ _ S2f(xQJo) B = S2f(xoJo) c = S2f(x0,y0)

SJC2 ' SJC Sy ' S y 2

Parašykime Teiloro formulę, apsiribodami tik antros eilės nariais:

A z J f M A x + d f M A y +

дх ду

2

+ -2 g 2 / ( y o ) Ах2+2Э

2ГЫУО) Ax Ay + d2f(X 0>У0) Ay2

дх1 дхду ду2

d3f(x0+®Ax, Уо+QAy) Qe^1J + 3!

Kadangi pirmosios išvestinės taške M0 lygios nuliui, tai

d2f(xo + Θ Δχ, y0 + Θ Ay) Δζ = -(A Ax2 + 2BAxAy + CAy2) +

2V ' j I 3!

Kai dydžiai |Δχ|, [Ду yra maži, tai trečios eilės nariai yra žymiai

mažesni už antros eilės narius, todėl Az ženklas tam tikroje taško M0

aplinkoje priklauso nuo reiškinio

P(Ax, Ay) = AAx2 + IBAxAy + CAy2

ženklo (koeficiento nerašome, nes jis neturi įtakos ženklui). Taigi, kai

P(Ac, Ay) > O su visais Δχ * O, Ay Φ O, tai Az > O ir taške M0 bus

minimumas. Kai P( Ax, Ay) < O, tai ir Az < O, todėl taške M0 bus

maksimumas. Jei Ac, Ay) = O, tai pokyčio Az ženklas jau priklauso nuo

trečios eilės narių ir tuomet reikalingas tolimesnis tyrimas (čia šio klausimo

nenagrinėsime).

Ac Iškėlę prieš skliaustus Ay2 (Ay φ 0) ir pažymėję — = t , gauname, kad

Ay

P(Ax, Ay) = Ay2 (At2+2Bt +C).

Žinome, kad kvadratinis trinaris At2+2Bt +C su visomis t (taigi su visomis

Δχ Φ 0, Ay Φ 0) reikšmėmis yra arba tik teigiamas, arba tik neigiamas,

kai jo diskriminantas yra neigiamas. Todėl turi būti B2 -AC < 0, t. y.

AC - B2 > 0. Tokiu atveju trinario ženklas priklauso nuo koeficiento A

ženklo (kai AC -B2 > 0, tai AC > B2 > 0, todėl A ir C yra vienodų ženklų).

Vadinasi, P(Ac, Ay) > 0, kai A > 0, ir P( Ac, Ay) < 0, kai A < 0. Todėl ir

Az >0 (Δζ <0), kai A > 0 (A < 0).

K a M C -B 2 < 0, tai trinaris gali būti tiek teigiamas, tiek ir neigiamas,

todėl ir dydis Ac, Ay), kartu ir Az, gali keisti ženklą taško M0 aplinkoje.

Tuomet taške M0 ekstremumo nėra. Jeigu AC - B2 = 0, tai P( Ac, Ay) gali

pasirodyti lygus nuliui, tuomet taške M0 gali būti ekstremumas, bet gali ir

nebūti. Apibendrinę tyrimą darome tokią išvadą.

Išvada. Jeigu AC -B2 >0, tai taške M0 yra ekstremumas: maksimumas,

kai A < 0, ir minimumas, kai A > 0. Jeigu AC - B2 < 0, tai taške M0

ekstremumo nėra. Jeigu AC-B2 = 0, tai lieka neaišku ar taške M0 yra

ekstremumas ar jo nėra.

1 pavyzdys. Ištirkime funkcijos

z = χ3 + у3 + Ъху

ekstremumus.

Bz 9 S p r e n d i m a s . Suradę dalines išvestines — = 3xz + 3y ir

dx

dz „o .v . — = 3y + 3x, is sistemos

|3x2 + 3y = 0,

{Зу 2+Зх = 0

randame du kritinius taškus (0; 0) ir (- 1; - 1).

Apskaičiuojame antrosios eilės išvestines:

d2z „ S2Z „ d2 z = 6x, = 3, — - = 6y

Sx2 ' Bx By ' dy2

ir jų reikšmes kritiniuose taškuose:

taške (0; 0) A = 0, B = 3, C = 0 ir,4C - B 2 = - 9 < 0;

taške (- 1; - 1) A = - 6, B = 3, C = - 6 ir AC-B2 =36 - 9>0,A < 0.

Taigi taške (0; 0) funkcija ekstremumo neturi, o taške (-1; -1) ji turi

maksimumą z m a x = 1. •

2 pavyzdys. Ištirkime funkcijos

Z = (x-yf +(y-1)3

ekstremumus.

Bz Sp r end imas . Suradę dalines išvestines — = 2 (x-y) ir

Bx

— = -2(x -y) + 3(y -1)2 ir prilyginę jas nuliui, gauname sistemą By

I x - y = 0,

|З(У-1) 2-2(*-У) = 0 ,

ό ζ όζ iš kurios randame kritinį tašką M0 (1; 1). Kadangi — T = 2 , = -2 ,

дх- дхду

PjI

——r = 2 + б(у -1) = 6y - 4 , tai A = 2, B =-2, C = 2. Taigi AC- B2 = O d y

ir kol kas neaišku, ar taške M0 yra ekstremumas, ar jo nėra.

Norėdami tai išsiaiškinti, apskaičiuokime funkcijos pokytį

Az = z ( l+Ax , l+Ay ) - z ( l , 1) = (Ax-Ay )2+Ay3. Parinkime Ax = Ay .

Tuomet Az = Ay3, todėl Az > O, kai Ay > O ir Az < O, kai Ay < 0.

Kadangi Az keičia ženklą taško M0 aplinkoje, tai taške M0 ekstremumo

nėra. •

5.3. Sąlyginiai ekstremumai

2 2 -X - y (148 pav.) turi Išnagrinėkime tokį pavyzdį. Funkcija z = -ĮR2

maksimumą taške (0; 0). Kitų taškų, kuriuose ji turėtų ekstremumą, nėra. β

Kirskime paviršių kokia nors plokštuma, pavyzdžiui, y = — . Ji paviršiuje

iškerta kreivę, kurios taške M aplikatė pasiekia maksimalią reikšmę. Si

R_ reikšmė irgi yra funkcijos z = JR 2-X2 - y maksimumas, kai y :

Toks maksimumas vadinamas sąlyginiu.

Apibrėžimas. Funkcijos z=f(x, y) ekstremumai, kai kintamieji χ ir y

susieti tam tikra lygtimi φ (χ, у) = 0, vadinami sąlyginiais ekstremumais.

Lygtis φ (χ, у) = 0 vadinama ryšio lygtimi.

Išnagrinėkime du sąlyginių ekstremumų radimo būdus.

Tarkime, kad funkcijos f(x, y) ir φ(χ, y) ekstremumo taško aplinkoje

turi tolydžias dalines išvestines.

Iš ryšio lygties φ (χ, у) = 0, jei tik įmanoma, vieną kintamąjį

išreiškiame kitu, pavyzdžiui, y = ψ (χ),

χ e [a;b], ir įrašome į z = / ( x , y).

Gauname vieno kintamojo funkciją

z =/(x, ψ(-ϊ)), χ e [a\b].

Telieka rasti didžiausią ir mažiausią jos

reikšmę atkarpoje [a;fo].

1 pavyzdys. Raskime funkcijos z =xy

sąlyginius ekstremumus, kai

χ 2 + y 2 =18 . 148 pav.

Sp r end imas . Iš sąlygos J t 2+y 2 =18 turime: y = ±Vl8-x 2 ,

χ e —s/T8; a/TŠ . Įrašę šią y reikšmę į z=xy, gauname vieno kintamojo

funkciją z = ±x Vl8 - χ2 , apibrėžtą atkarpoje [-Λ/Ϊ8; VT8 j .

Raskime didžiausią ir mažiausią jos reikšmę šioje atkarpoje.

Pirmiausia randame kritinius taškus:

4 = ± -X 18-2x2

V18 — χ2 J V 18-x2

z ; = O, kai 18-2л;2 = O, arba x = ±3.

Abu šie taškai priklauso atkarpai -Vl8; VTŠj. Apskaičiuojame funkcijų

Zj = χ V18 - χ2 ir Z2 = - X Vl8 - χ2 reikšmes šios atkarpos galuose ir

kritiniuose taškuose:

Z12 (—VTŠ) = 0 , Z12 (Vis) = 0 , Zj(3) = 9, 2,(-3) = -9,

Z2(3) = -9, Z2(-3) = 9.

9 9

Taigi funkcija z=xy, kai χ +y =18 , taškuose(3; 3) ir (-3; -3)

įgyja sąlyginį maksimumą z m a x = 9 , o taškuose (-3; 3) ir (3; -3) - sąlyginį

minimumą z m i n = -9. •

Išnagrinėsime bendresnį sąlyginių ekstremumų radimo metodą, kuris

vadinamas Lagranžo daugiklių metodu. Tuose taškuose, kuriuose funkcija z =/(x, y) gali turėti sąlyginius ekstre-

mumus, kai jos argumentus sieja ryšio lygtis φ(χ, y) = 0, funkcijos f(x, y)

pilnoji išvestinė* atžvilgiu turi būti lygi nuliui.

Iš sąlygos z =f(x, y) rasime — , turėdami galvoje, kady yra χ funkcija: dx

ĖL:=ĖL +

dx дх ду dx

Ekstremumo taškuose d-L + ? L . ± = o. (30)

дх ду dx

Išdiferencijavę ryšio Iygtjx atžvilgiu, turime:

дх ду dx

Ši lygybė teisinga su visomis χ ir y reikšmėmis, kurios tinka lygčiai

φ (х, У) = 0.

Padauginę (31) lygybės abi puses iš kol kas nenustatyto daugiklio λ Φ 0

ir sudėję gautą lygybę su (30) lygybe, gauname:

V дх dy dx, +λ

5 φ + = Q

^dx dy dx)

arba

дх дх ду ду dx

(32) lygybė teisinga visuose ekstremumų taškuose.

Daugiklį λ parinkime taip, kad būtų teisinga lygybė

ду ду

Tuomet iš (32) formulės išplaukia, kad ir

дх дх

Vadinasi, ieškomieji ekstremumo taškai tenkina trijų lygčių sistemą:

дх дх

ду ду

(р(х,у) = 0

(32)

(33)

su trimis nežinomaisiais χ, y ir λ. Išsprendę ją, rasime taškus (x; y),

kuriuose funkcija z = f(x, y) gali turėti sąlyginius ekstremumus ir kurie ten-

kina ryšio lygtį φ (χ, у) = 0. Kadangi (33) lygtys nusako tik būtinas sąlyginio

ekstremumo sąlygas, tai reikia papildomai ištirti, kurie iš gautųjų kritinių

taškų yra ekstremumo taškai. Konkrečiuose uždaviniuose išvada apie eks-

tremumo egzistavimą ir rūšį kai kada išplaukia iš uždavinio esmės, todėl

pakankamų sąlyginių ekstremumų egzistavimo sąlygų čia neformuluosime.

Nesunku suvokti, kad (33) lygtys nusako trijų kintamųjų funkcijos

F(x, y, λ) =f (χ, у) + λ φ (χ, y) būtinas ekstremumo sąlygas.

Išnagrinėtą būdą galima apibendrinti bet kuriam kintamųjų skaičiui.

Sakykime, reikia rasti n kintamųjų funkcijos u = / ( ^ , ¾ , . . . , ¾ ) sąlyginius

ekstremumus, kai kintamieji x\,x2,...,xn susieti ryšio lygtimis

Φι(*ι ,χ2,-,xn) = О,

c p 2 ( x i , x 2 , . . . , χ η ) = О,

Фот(х1'х2' ···'хп) - 0;

čia т < п .

Norėdami rasti taškus (х\,х2,...,хп), kuriuose funkcija u gali įgyti

sąlyginius ekstremumus, sudarome pagalbinę funkciją

F (X1 ,X2,.. • ,Xn , X1,λ2,...,Xm)= f (X1,X2,...,xn) +

+ ΧΙΨ^^Ί X I , X 2 , . . . , X N ) + ... + X M U M ( X L J X 2 , . . . , X N ),

randame dalines jos išvestines χ1 ,χ2 , . . . ,χη atžvilgiu ir prilyginame jas

nuliui:

ŽL S x 1

+ λ ! d t p i |

<Эх Į . + Xm

δ φ m

S x | = 0 ,

d f _

S x 2

+ λ ( d < P l +

S x 2

.. + Xm З ф т

S x 2

= 0 ,

dx„ + λ ]

d < P i ,

S x n

.. + Xm δ φ m

дхп

= 0 .

(35)

Iš (34) ir (35) lygčių sudarome m + n lygčių sistemą, iš kurios randame

nežinomuosius x1,x2,...,xn ir X1,X2,...,Xm. Ar gautuose taškuose

funkcija tikrai turi sąlyginį ekstremumą, ar neturi jo iš viso, bendruoju

atveju nenagrinėsime.

2 pavyzdys. Stačiakampio gretasienio tūris lygus V. Kokie turi būti

gretasienio matmenys, kad jo paviršius būtų mažiausias?

S p r e nd imas . Gretasienio matmenis pažymėkime x, y ir z (x > 0,

y > 0, z > 0). Tuometjo paviršius

S = 2 xy + 2 yz + 2 xz.

Vadinasi, turime rasti S minimumą, kai xyz = V. Sudarome pagalbinę

funkciją F = 2 xy + 2yz + 2 χ z + X (xyz - V), ją išdiferencijuojame x, y, z

atžvilgiu ir gautas išvestines prilyginame nuliui:

2_y + 2z + Xyz = O,

2x + 2 z + Xxz = O,

2y + 2x + Xxy = 0.

Pirmąją lygtį padauginame išx, antrąją - iš y, o trečiąją - iš z. Iš pirmosios

atėmę antrąją, o iš antrosios - trečiąją, gauname lygtis 2 zx - 2 zy = O ir

2 xy - 2 xz = 0. Iš jų išplaukia, kad x=y =z, o iš sąlygos χ y z = V gauname

X= W . Taigi iš visų duotojo tūrio stačiakampių gretasienių minimalų

paviršių turi kubas. Kad tai iš tikrųjų yra sąlyginis minimumas, aišku iš

geometrinių samprotavimų: gretasienio paviršius negali būti neribotai

mažas, todėl natūralu manyti, kad, tinkamai parinkus gretasienio kraštines,

jo paviršius įgis mažiausią reikšmę. •

5.4. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmė uždaroje

srityje

Tarkime, kad funkcija z= f (х, y) apibrėžta ir tolydi uždaroje srityje D,

apribotoje kreivės L, be to, diferencijuojama jos vidiniuose taškuose.

Tuomet pagal funkcijos aprėžtumo teoremą (žr. šio skyriaus 3.3 skyrelio 4

savybę) yra taškai, kuriuose funkcija/įgyja didžiausią ir mažiausią reikšmę.

Tai gali būti vidiniai srities taškai arba kreivės L taškai. Jei didžiausią ir

mažiausią reikšmę funkcija įgyja vidiniuose taškuose, tai tie taškai turi būti

kritiniai funkcijos taškai.

Taigi, norėdami rasti uždaroje srityje didžiausiąją ir mažiausiąją

funkcijos reikšmes M ir m, turime:

1) rasti srities D vidinius taškus Pi, kuriuose funkcija gali įgyti

ekstremumus;

2) apskaičiuoti funkcijos reikšmes šiuose taškuose f (PI );

3) rasti kreivės L taškus QJ, kuriuose funkcija gali įgyti sąlyginius

ekstremumus, ir apskaičiuoti jų reikšmes J (Q1);

4) iš skaičių / ( P i ) ir f (Qj) išrinkti didžiausią skaičių M ir mažiausią

skaičių m.

Pavyzdys. Raskime funkcijos z = χ y (2 - χ - y) didžiausiąją ir ma-

žiausiąją reikšmę trikampyje, apribotame tiesių y = 0, y =x, χ + y = 2 (149 pav.).

Sprend imas . Randame dalines išvestines z'x

-2 z' = χ y (4 - 2x - 3y). Išsprendę lygčių

JTy2 (6 - 4x b),

sistemą [ х У ( б - 4 х - З у ) = 0,

Įx3y(4 -2x — 3y) = 0,

randame vienintelį kritinį tašką m §

esantį

z(P) =

srities viduje. Apskaičiuojame I

. Funkcijos reikšmės kraštinės y = 0

taškuose lygios nuliui. Rasime didžiausiąją ir mažiausiąją funkcijos reikšmę

kraštinės y = χ taškuose. Įrašę y = χ j z išraišką, turime z = 2 x5 (1 - x), kai

χ e [0; 1]. Apskaičiuojame z (0) = 0, z (1) = 0. Išsprendę lygtj z'x =

=2 χ4 (5 - 6x) = 0, randame kritinį tašką χ = —, esantį atkarpos [0; 1] 6

viduje. Toliau apskaičiuojame

Analogiškai rasime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę kraštinės α o

y = 2-х taškuose. Tačiau, įrašę į z = χ y (2 - χ - y) šią y išraišką,

gauname z = 0. Taigi visuose kraštinės χ + y = 2 taškuose z = 0. Norėdami

rasti didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes M ir m, turime palyginti skaičius

z(P)= — я0,148, z ( 0 ) = z (1) = 0, z ( - ) -0,134 ir z = 0 kraštinių y = 0 ir 27 v 6/

4 χ +y =2 taškuose. Vadinasi, didžiausioji reikšmė M = z(P)= — įgyjama

vidiniame srities taške, o mažiausioji z = 0 - kraštinių y = 0 ir χ + y = 2

taškuose. •

5.5. Mažiausių kvadratų metodas

Dažno eksperimento tikslas - nustatyti tam tikro dydžio y priklauso-

mybę nuo kito dydžio x, imant baigtinį skaičių atskirų reikšmių Xi, i = 1, n .

Tokio eksperimento rezultatas - Xi ir jas atitinkančių eksperimentinių y,

reikšmių lentelė arba kreivė, nubrėžta per taškus (X i I y i ) . Siame skyrelyje

išnagrinėsime vieną būdą, kaip gauti tą kreivę atitinkančios analizinės

funkcijos išraišką. Tokias funkcijas vadinsime empirinėmis, (gr. empeiria -

„pažinimas, paremtas patyrimu") o jų ieškojimo procesą - aproksimavimu (lot. approximo - „artėju"). Kadangi kiekvienos funkcijos analizinėje

išraiškoje, be jos argumento x, yra ir tam tikri skaitiniai koeficientai, tai

bendroji empirinės funkcijos analizinė išraiška yra tokia:

y =f(x, a, b, c,...). (36)

Išsiaiškinkime, kaip reikia parinkti empirinės funkcijos parametrus

a, b, c,..., kad gauta empirinė funkcija geriausiai atitiktų eksperimentu

nustatytą priklausomybę. Tokio uždavinio sprendimas priklauso nuo to, ką

sutarsime laikyti „geriausiu" atitikimu. Galima, pavyzdžiui, reikalauti, kad

maksimalūs atstumai tarp empirinės (36) kreivės ir eksperimento taškų

arba atstumų tarp empirinės kreivės ir eksperimento taškų moduliai būtų

minimalūs. Labiausiai paplitęs tokių uždavinių sprendimo būdas yra

mažiausių kvadratų metodas.

Sakykime, kad argumento Xi reikšmę atitinka eksperimentu gauta y,

reikšmė. Įrašę Xį reikšmę j empirinės funkcijos (36) išraišką, gausime

funkcijos re ikšmę/ (X i , a, b, c, ...), paprastai nelygią y,·, nes y,· reikšmėms

turi įtaką eksperimento paklaidos. Skirtumą y,· - / ( x , , a, b, c, ...)

vadiname empirinės funkcijos nuokrypiu. Mažiausių kvadratų metodo

reikalavimas yra toks: parametrai a, b, c,... turi būti tokie, kad nuokrypių

kvadratų suma būtų minimali. Taigi

" , s = Σ ( Y I - F ( X I , A , B , C , . . . ) ) —> m i n .

1=1

Tokiu atveju funkcijos S dalinės išvestinės kintamųjų a, b, c,... atžvilgiu turi

būti lygios nuliui:

^ = 0 , ^ = 0 , ^ = 0 , . . . da db dc

Išdiferencijavę S parametrų a, b, c, ... atžvilgiu ir prilyginę gautas dalines

išvestines nuliui, gauname lygčių sistemą, sudarytą iš tiek lygčių, kiek

parametrų turi funkcijay =/ (* , a, b, c,...):

^ y i - f (Xi,a,b,c,..))^ = 0,

i=t

(37)

(=1

Toliau išnagrinėsime dažniausią atvejį, kai funkcijay =f(x, a, b, c, ...)

yra tiesinė, t.y.

y = ax + b.

Kadangi — = x , = 1, tai iš (37) sistemos gauname sistemą da db

n

/ = 1

n

£(у г ·- (a* , ·+6))=0 ,

i= l

kuri pertvarkoma į tokią:

n n n aYxI +bJ^Xi = Y4Xiyi,

• , = 1 , = 1 , = 1 (38)

η η

ClYjXi+Hb=Yyi.

ι =1 / = 1

2 Kai funkcija y =f(x, a, b, c, ...) yra kvadratinė, t. y . y = a x +bx + c ,

tai — = χ2, — = χ, — = 1. Tuomet iš (37) sistemos gauname trijų да дь дс

lygčių sistemą

n n n n

"Υ4 +bYxf +cYxf = Yxfyi,

J=1 I=1 /=1 I=I

n n n n ^Yxf +bYxf +CYxi = Yxl У

I=I i = l ; = 1 i = l

n n n aY xf +hlLxi +nc = Yyi,

I = I I = I i=l

iš kurios galėsime rasti parametrus a, b ir c.

Imkime dvi praktikoje paplitusias funkcijas: laipsninę y = Axb ir ro-

diklinęy = Aabx. Išlogaritmavę gauname:

Igy = lg^4 + Mgx ir Igy = Igyl + (blgfl) x.

Pažymėję Igy raide Y, Igx - raide X, IgA - raide c, Iga - raide B, turime

tokias dvi lygtis:

Y = c + bX ir Y = c + Bx,

kurios yra tiesių lygtys. Taigi laipsninės funkcijos grafikas yra tiesė koordi-

načių sistemoje, kurios abiejose ašyse atidėtos ne x, ir y,· reikšmės, o jų

logaritmai, o rodiklinės funkcijos grafikas yra tiesė koordinačių sistemoje,

kurios ordinačių ašyje atidėtos ne y,· reikšmės, o jų logaritmai. Tokios

koordinačių sistemos vadinamos atitinkamai logaritminiu ir pusiau logarit-

miniu tinkleliu. Šiuos požymius galime panaudoti, norėdami nustatyti, ar

gautoji kreivė nėra laipsninės arba rodiklinės funkcijos grafikas. Imkime

pavyzdį.

Pavyzdys. Eksperimento rezultatai pateikti lentelėje

X 1 2 3 4 5 6

У 2 2,8 3,5 4 4,5 4,9

Raskimejuos aproksimuojančią funkciją.

Sp r end imas . Atidėję šias

reikšmes įprastoje koordinačių

sistemoje (150 pav.), matome, kad

gauta kreivė panaši į laipsninės

arba rodiklinės funkcijos grafiką.

Todėl, norėdami išsiaiškinti

empirinės funkcijos išraišką,

eksperimentinius duomenis

atidedame pusiau logaritminiame ir

logaritminiame tinkleliuose

(151 pav.), prieš tai sudarę naują

lentelę

I l ί 0 1 2 3 4 5 6 X

150 pav.

X 1 2 3 4 5 6

Igx 0 0,301 0,477 0,602 0,699 0,778

įgy 0,301 0,447 0,544 0,602 0,653 0,690

ig/

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3 0,2

ig/

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3 0,2

~ ! •• r ~

; ;

0 1 2 3 4 5 6 χ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Igx

151 pav.

Kadangi eksperimentiniai taškai logaritminiame tinklelyje sudaro

tiesę, tai empirinė kreivė turi išraišką

Igy = a Igx + b.

Parametrus a π b rasime iš (38) sistemos, įrašę į ją Ig Xi ir Ig y,· vietoj

Xi ir y į, t.y. iš sistemos

n n n a Z 1 S 2 * ; +bYlgxi = Ylgxi-Igyi, i=1

n

i=1 ;=1 n

CiYlgxi+nb= Y Igyi.

(=1 (=1

X Igx Ig2X igr lgx-lgy y -7 <j«*

1 0 0 0,301 0 1,995

2 0,301 0,0906 0,447 0,1345 2,827

3 0,477 0,2275 0,544 0,2595 3,469

4 0,602 0,3624 0,602 0,3624 4,007

5 0,699 0,4886 0,653 0,4564 4,483

6 0,778 0,6053 0,690 0,5368 4,913

Σ 2,857 1,7744 3,237 1,7496

Taigi turime sistemą

i 1,7744 a + 2,857/) = 1,7496,

[2,857a + 6b = 3,237,

iš kurios gauname: a = 503, b = 0,300. Tuomet empirinė kreivė apibūdi-

nama lygtimi

Igy = 0,503 Igx + 0,300;

iš čia

y = IO0'3 · χ0 '503 = l,995x0 '503.

Lentelės paskutiniame stulpelyje, kad galėtume palyginti, pateiktos y

reikšmės, apskaičiuotos pagal gautą empirinę formulę. •

6. Skaliarinis laukas

6.1. Skaliarinis laukas. Lygio paviršiai

Sakykime, kad kiekvieną srities D tašką M atitinka skaliarinė dydžio u

reikšmė, kurią žymėsime u (M). Tokiu atveju sakoma, kad srityje D

apibrėžtas skaliarinis laukas. Jeigu kiekvienam srities D taškui būtų

priskirtas vektorinis dydis, tai turėtume vektorinį lauką. Skaliarinio lauko

pavyzdys - netolygiai įkaitusio kūno taškų temperatūra, kitaip sakant,

temperatūrų laukas. Vektorinio lauko pavyzdys - magnetinis laukas.

Jeigu skaliariniame lauke parinktume koordinačių sistemą, tai

skaliarinį lauką apibūdintų taškų M(x;y; z) koordinačių funkcija u (M), t.y.

trijų kintamųjų funkcija u (x,y, z).

Prilyginę u (χ, y, z) reikšmes konstantai C, gauname lygtį u (x, y, z) = C,

kuri geometriškai reiškia tam tikrą paviršių. Toks paviršius vadinamas lygio

paviršiumi, visuose jo taškuose funkcijos u reikšmės yra pastovios.

Fizikoje, nagrinėjant potencialo lauką, tokie paviršiai vadinami ekvi-

potencialiniais.

Kai skaliarinis laukas yra plokščias ir jį apibūdina dviejų kintamųjų

funkcija u (x,y), tai gauname lygio linijas u (x,y) = C. Tai bus kreivės, kurių

taškuose funkcijos u reikšmės yra pastovios. Tokios kreivės žymimos

žemėlapiuose, norint parodyti kalnų aukštį.

Tarkime, kad skaliarinį lauką srityje D nusako funkcija u = u (дс, y, z).

Parinkime tašką M (χ, y, z) ir kokį nors vektorių I , išeinantį iš to taško

(152 pav.). Sakykime, kad tas vektorius su ašimis Ox, Oy ir Oz sudaro

kampus a, β, γ. Tuomet jo vienetinio vektoriaus koordinatės bus cos a,

cos β, cosy. Parinkime dar vieną tašką M\(x + Ax;y + Ay; z +Az), per

kurį eina vektorius I . Atstumą | M M 1 | pažymėkime Al; čia

Sakykime, kad funkcija u (x, y, z) yra tolydi srityje D ir turi tolydžias

išvestines u'x , u' ir u'z . Tuomet jos pilnąjį pokytį Au = u (MX)-U (M)

galima išreikšti taip:

du du du . Au=— Ax H АуЛ -Az + γ Į AX+ γ 2 Ay + γ 3 Az;

дх ду dz

čia γ ι , у2 , Уз - nykstamosios funkcijos, kai Δ/->0.

Apibrėžimas. Jeigu egzistuoja baigtinė santykio — riba, kai A /—»0, tai Al

ši riba vadinama funkcijos u išvestine vektoriaus I kryptimi arba tiesiog

kryptine išvestine. Ji žymima simboliu —.

6.2. Kryptinė išvestinė

dl

Taigi du ,. Aii — = Iim — dl Δ/—»0 Al

z

du Az Ax

Kadangi Ax Ay Az — = cos α, —- = cos β, — = cos γ, tai Al Al Al

du du du du — = — cos α Ч cos β H cos γ, dl dx dy dz

nes paskutiniai trys dėmenys artėja prie nulio, kai Δ/->0.

-3 -2 o Pavyzdys. Raskime funkcijos u = χ y z kryptinę išvestinę taške

M 0 (2; -1; 3) vektoriaus M 0 M 1 kryptimi, kai M 1 (3; 2; 4).

S p r e n d i m a s . Randame

> , * , , r- 1 M 0 M 1 =(1; 3; 1), | M 0 M 1 |= Vl + 9 + 1 = V l l , tuomet c o s a = - j = ,

cos β = —p=, cos γ = —j= . Toliau randame išvestines — л/И VlT dx

3x2y3z3,

du

dy

Л Л Л Зы -1 Л Л = Зх у ζ , — = 3χ у z ir apskaičiuojame jų reikšmes taške M 0 :

dz

du

dx M, O •324,

du

MR = 648,

du

MN = - 2 1 6 .

jO dz

Įrašę šias išvestinių ir krypties kosinusų reikšmes į (39) formulę, gauname:

du_ _ 1424 A

~dl V n

Imkime du lygio paviršius u (x, y, z) = C\,u (x, y, z) = C2 (153 pav.)

ir pažymėkime jų taškus M, M 1 ir M2 • Kadangi taškai M 1 ir M 2 priklau-

so tam pačiam lygio paviršiui, tai U(M1) = U(M2). Tuomet skaliarinio

lauko pokytis Au tiek kryptimi M M 1 , tiek kryptimi M M 2 yra toks pat:

Au = u (M 1 ) - u (M) = u ( M 2 ) - u ( M ) . To lauko vidutinis kitimo greitis

kryptimi M M 1 lygus Au

M M 1

, o kryptimi M M 2 lygus Au

MM-

Kadangi | M M 1 M M 2 |, tai vidutinis lauko kitimo greitis skirtin-

gomis kryptimis yra skirtingas. Momentinis lauko kitimo greitis,

u(x,K,z)=C2

U(X1KZ)=C,

153 pav.

pavyzdžiui, kryptimi M M 1 , bus lygus pokyčio Au

M M 1

Au

~Al ribai, kai

Δ/-»0. Taigi lauko kitimo greitis taške M kryptimi M M 1 bus lygus

du kryptinei išvestinei

dl

Vadinasi, kryptinė išvestinė apibudina lauko kitimo greitį taške

pasirinktąja kryptimi.

6.3. Gradientas

Diferencijuojamos funkcijos u = u (x,y,z) gradientu taške M vadina-

. . . . . du du du T. v mas vektorius, kurio koordinates lygios — M , — M , — . Jis zy-

dx dy dz M

mimas grad и arba Vm. Taigi

du τ du - du -grad u = — i H j H k .

dx dy dz

. . . . . . . . . . . . du du du Nesunku suvokti, kad kryptine įsvestine — = — cos α H cos β 4-

dl дх dy

ir (cos α , cos β, cos γ ) du . . . . f du du du

+ — cosy yra dviejų vektorių — , — , —

dz \dx dy dz)

skaliarinė sandauga. Pirmasis jų yra tik ką apibrėžtas grad м, O antrasis

vektoriaus I vienetinis vektorius e/. Taigi

du , _ — = grad u e,. oi

Pasinaudokime vektorių skaliarinės sandaugos formule

a b = |a| - p rgb .

Tuomet kryptinę išvestinę galima užrašyti taip:

= I ė/ I · pr{ grad и = prj grad m.

Taigi įrodėme, kad kryptinė išvestinė lygi gradiento projekcijai vektoriuje

I . Iš to aišku, kad kryptinės išvestinės reikšmė bus didžiausia, kai ji bus

skaičiuojama gradiento kryptimi, be to,

du ι

d I ll=grad u grad u I.

Vadinasi, kai grad u ^O , tai skaliarinio lauko kitimo greitis yra

didžiausias vektoriaus grad и kryptimi ir mažiausias vektoriaus - grad u

kryptimi. Todėl kryptis, apibūdinama vektoriumi grad M , vadinama

greičiausio pakilimo kryptimi, o kryptis, nusakoma vektoriumi - grad и -

greičiausio nusileidimo kryptimi. 1 pavyzdys. Kūno temperatūrą erdvėje apibūdina funkcija

T=x2y + yz-exy. Nustatykime, kuria kryptimi temperatūra taške

M 0 (2; 1; 2) kinta greičiausiai.

S p r e nd imas . Žinome, kad tai bus grad Г kryptis. Randame dalines

išvestines:

dT xy dT 2 , x y dT — = 2 x y - y e y , — =jc +Z-Jte ' , — = у . dx J dy dz

Apskaičiuojame jų reikšmes taške M0 (2; 1; 2):

дТ_

dx мо ' dy

л 2 dT = 4- e

л <> 2 ST , , = 6 - 2 e , — mO dz M 0

= 1.

Tuomet grad T= (4 - e2 ) i +(6 - 2 e2 ) j + k , o didžiausias temperatūros

kitimo greitis taške M 0 bus lygus

IgradTl = ^ 4 - e 2 ) 2 + ( б - 2 е 2 ) 2 + I 2 = л! 45 - 32e2 + 5e4 «9,03. A

Tuo, kad skaliarinis laukas kinta greičiausiai gradiento kryptimi,

pagrįsti gradientiniai ekstremumų paieškos metodai. Taikome juos taip:

parenkame kokį nors tašką А(хл-,уA\zA), priklausantį funkcijos

и =/ (χ , y, ζ) apibrėžimo sričiai D, ir iš jo tiese /, lygiagrečia gradM,

žengiame pasirinktą žingsnį į tašką B. Tiesės I kanoninės lygtys yra tokios:

X ~ XA _ У ~Y Л _ Z ~ Z A

du du du

дх A dy A dz A

Prilyginę šiuos santykius parametrui

du X — Xyį +

дх

du •U У = У A

А дУ

gauname tiesės / parametrines lygtis:

(40) •t, z du

ZA +T-dz

t.

Po to taške B vėl randame gradientą ir jo kryptimi žengiame naują žingsnį į

tašką C. Procesą tęsiame tol, kol gradiento koordinatės pasidaro lygios

nuliui. Tai rodo, kad pasiektas ekstremumo taškas.

Čia aptarėme tik judėjimo gradiento kryptimi principus, nekalbėdami

apie daugelį subtilių dalykų, su kuriais susiduriame, spręsdami įvairius

optimizavimo (lot. optimus - „geriausias") uždavinius. Tie dalykai nagrinė-

jami specialiuose matematikos skyriuose, pavyzdžiui, netiesiniame progra-

mavime. Dabar išspręskime pavyzdį.

1 1 2 pavyzdys. Raskime funkcijos z = χ - χ +y -2y minimumą.

S p r end imas . Pasirinkime tašką A (0; 0) ir raskime jame gradientą:

dz Sz „ , — = 2л;-1, dx

i o d z = 2y - 2, —

dy dx ~ 1 · f dy = -2 ,

todėl gradM \A = ( - 1; - 2). Dar apskaičiuojame funkcijos z reikšmę šiame

taške: z (0; 0) = 0. Pasinaudodami (40) lygtimis, sudarome parametrines

tiesės, einančios per tašką A ir lygiagrečios gradientui, lygtis:

χ = o + (- 1) t = -1, y = 0 + (- 2) t = -21. (41)

Toliau panaudosime greičiausio nusileidimo metodą. Tokiu atveju

parametras t turi būti neigiamas. Parenkame t = - 1 ir įrašę jį į (41) lygtis,

apskaičiuojame xB = 1, yB =2 . Gauname tašką B (1; 2). Apskaičiuojame

z (B) = z ( l ; 2) = 1 - 1 + 4 - 4 = 0. Matome, jog z (A) = z {B), o tai reiškia,

kad minimumo tašką „peršokome". Grįžkime į tašką A ir iš jo pajudėkime

mažesniu žingsniu, imdami t = -0,5. Tuomet iš (41) lygčių turime:

Xq = 0,5, yQ = 1, t.y. gavome tašką C (0,5; 1). Apskaičiuojame

oz

dx z(C)=z (0,5; 1) = 0,5 - 0,5 + 1 - 2 = - 1,25 bei

dy 0.

Taigi gradientas taške C yra nulinis vektorius, todėl jokiu poslinkiu iš taško

C neįmanoma pakeisti funkcijos z reikšmės. Kadangi z (C) reikšmė yra

mažesnė, lyginant su z (A) ir z (B), tai taškas C - minimumo taškas. •

7. Geometrinis diferencialinio skaičiavimo taikymas

7.1. Erdvinės kreivės liestinė ir normalioji plokštuma

Žinome, kad lygtys

χ = x ( i ) ,

y = y{t),

z = z(t)

nusako erdvinę kreivę, kurios liestinės, nubrėžtos per tašką

M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) , lygtys tokios:

*-*o _ У~Уо .

x[ y; z;

čia x't, y't ir z't apskaičiuotos taške M 0 .

Kadangi dviejų paviršių, apibrėžiamų lygtimis Ф^(х,у,г) = O ir

Ф2(х,у,г) = O, susikirtimo rezultatas yra erdvinė kreivė, tai ją galima

nusakyti lygčių sistema

ja>,(*,y,z) = o,

\φ2{χ,γ,ζ) = 0.

Kiekvieną sistemos lygtį išdiferencijuojame t atžvilgiu. Kadangi x, y, z

priklauso nuo t, tai Φ , ir Φ 2 diferencijuojame kaip sudėtines funkcijas:

(42)

5Φ, dx 5Φ| dy δΦ. dz - 1 — + L — + ·—L—

dx dt dy dt dz dt

дФ2 dx дФ2 dy дФ2 dz

О,

= 0. дх dt ду dt dz dt

Išsprendę šią homogeninę lygčių sistemą, gauname:

δΦ , δΦ, δΦ, δΦ , δΦ, δΦ,

dx dy dz dy δζ δζ дх дх Sy

dt' dt' dt δΦ 2 δΦ 2 δΦ 2 δΦ 2 дФ2 δΦ 2

ду δζ δζ дх дх ду

Kad būtų trumpiau, pažymėkime šiuos determinantus atitinkamai A ,

B, C. Tuomet kreivės, kuri nusakoma (42) lygčių sistema, liestinės,

nubrėžtos per tašką M 0 , lygtys bus tokios:

x~xo _ У~Уо _ z~2o .

A B C '

čia visos dalinės išvestinės apskaičiuotos taške M 0 , be to, bent vienas

dydžių A, B, C nelygus nuliui. Kai vienu metu A=B = C = O, tai taškas

M 0 vadinamas ypatinguoju kreivės tašku. Jame kreivė gali iš viso neturėti

liestinės.

Normaliosios plokštumos lygtis bus tokia:

A(x-x0)+B(y-y0) + C(z-Z0) = 0.

Pavyzdys. Kreivė nusakoma lygčių sistema

X2 +y2 +z2 =9,

2 2 Iх +y •4.

(43)

Kuriame taške jos liestinė lygiagreti plokštumai 2 x - 3 y + z + 5 = 0?

Sp r end imas . Ieškomąjį tašką pažymėkime M 0 (Xo iyO i z O)-R a n c l a m e i

5Φ ι _

дх

Tuomet

= 2x, δΦχ 0 5Φ, — i- = 2 y, L -dy dz

= 2 z, дФ2

дх 2x,

5Ф 2 _ 2y,

дФ2

dz

2у0 2z0 2z0 2х0 2х0 2у0

2у0 0 0 2х0 2х0 2у0

dx dy dz

dt' dt' dt

= ~4yozo 4xozo • 0 =~y0z0 • xozo •

Taigi liestinės krypties vektorius

s = (-Уо zo; χο zo ;ū)·

Duotos plokštumos normalusis vektorius n =(2; -3; 1). Kadangi liestinė

lygiagreti plokštumai, tai n ± s , todėl n-s =0.

Vadinasi,

-2 y0z0 -3 x0z0 =0.

Kadangi taškas (x0; y 0 ; z 0 ) yra kreivės taškas, tai jo koordinatės tinka (43)

sistemos lygtims:

\x20+y2

0+z20 =9,

Ί 2 1*0 +Уо 4.

Gavome trijų lygčių sistemą

4+yl+zl =9,

2 2 *o +Уо 4,

2у0 г0+3х0 Z0 =0.

Iš jos randame x0 = ±—j==

lietimosi taškų yra keturi:

4 6

Jo = +

Vn' Vn ; V J

Vn' Vn

Vn '

Vn' Vn

Z 0 = ± Л / 5 . Ieškomų

;Vs ,

Vn' Vn

Uždavinį galima spręsti ir kitu budu, prieš tai parašius parametrines

kreivės lygtis χ =2 cos i, y = 2 sin i, z = ±VŠ. •

7.2. Paviršiaus liečiamoji plokštuma ir normalė

Tarkime, kad funkcija Ф(х,у, z) = O apibūdina tam tikrą paviršių.

Pasirinkime to paviršiaus tašką M 0 (x0; y 0 ; z 0 ) ir per jį nubrėžkime bet

kurią kreivę L , esančią tame paviršiuje (154 pav.).

1 apibrėžimas. Kreivės L liestinė, nubrėžta per tašką M 0 , vadinama

paviršiaus liestine taške M0 .

Kadangi per tašką M 0 paviršiuje galima nubrėžti be galo daug

kreivių, tai per tą tašką galima išvesti ir be galo daug paviršiaus liestinių.

Įrodysime, kad visos šios liestinės yra vienoje plokštumoje.

Sakykime, kad taške M 0 visos trys dalinės išvestinės Ф'х,Ф'у,Ф'г

egzistuoja ir yra tolydžios, be to, bent viena jų nelygi nuliui.

Tarkime, kad paviršiuje nu-

brėžtos kreivės L parametrinės

lygtys yra tokios:

χ = χ (ή ,

-y = y(t),

z = z(t).

Kadangi šios kreivės taškai

yra paviršiuje, tai, įrašę šias x, y, z

išraiškas į lygtį Ф(х, y, z) = O,

gauname tapatybę parametro t

atžvilgiu. Išdiferencijavę ją kaip

154 pav. sudėt inę funkci ją argumento t

atžvilgiu, turime

Žinome, kad kreivės L liestinės taške M 0 krypties vektorius yra

Š = (x't; y't\z't). Pažymėkime ii = Φ^,; <JV ) . Tuomet (44) lygybė

reiškia, kad vektorius n ir s yra statmeni, nes kairėje jos pusėje esanti

suma yra lygi jų skaliarinei sandaugai.

Kadangi L yra bet kuri paviršiuje nubrėžta kreivė, tai vektorius n yra

statmenas visoms per tašką M 0 nubrėžtoms paviršiaus liestinėms, todėl

visos tos liestinės yra vienoje plokštumoje.

2 apibrėžimas. Plokštuma, kurioje yra visos paviršiaus liestinės,

nubrėžtos per tašką M0, vadinama paviršiaus liečiamąja plokštuma. Taškas

M0 vadinamas lietimosi tašku.

Kadangi vektorius ii statmenas kiekvienai paviršiaus liestinei,

esančiai liečiamojoje plokštumoje, tai jis statmenas tai plokštumai. Taigi ii

- normalusis šios plokštumos vektorius, todėl paviršiaus liečiamosios

plokštumos lygtis yra tokia:

Φ'χ(χ - X0) + Ф'у{у-у0) + Φ ζ ( ζ - zo) = О; (45)

čia visos dalinės išvestinės apskaičiuotos lietimosi taške M0 (x0; y0; Z0),

be to, kaip jau reikalavome bent viena išvestinių Φ ^ , Φ ' Ν , Φ ^ nelygi nuliui.

Kai visos šios išvestinės kartu lygios nuliui, tai taškas M 0 vadinamas

ypatinguoju paviršiaus tašku. Siame taške paviršius gali iš viso neturėti

liečiamosios plokštumos.

Pavyzdžiui, kūgio x2+y2-z2 = O viršūnė (0; 0; 0) yra ypatingasis

taškas, nes jame Φ'χ = Φ^, = Φ^ = 0 . Siame taške kūgis neturi liečiamosios

plokštumos, nes kūgio liestinės, nubrėžtos per jo viršūnę, nėra vienoje

plokštumoje (tos liestinės sudaro patį kūgio paviršių).

Kai paviršius apibūdinamas lygtimi z = f(x, y), t. y. lygtimi Ф(х, y, z) =

= f(x,y)-z = 0, tai Φ'χ = / ; , Φ ; = / ; , Φ ; = - I . Tuomet iš (45) lygties

gauname tokią paviršiaus liečiamosios plokštumos lygtį:

= /^0^0)(*-½)+ Г;(хо,Уо)<У-Уо)· (46)

Kadangi diferencijuojamos dviejų kintamųjų funkcijos z =f(x, y)

pilnasis diferencialas taške M 0 lygus fx(x0,y0) Ax + / ' (x0, y0 ) Ду, tai,

pažymėję χ -X0 = Δχ, y -y 0 = Ду, z -Z0 = Az, iš (46) lygties gauname,

kad dviejų kintamųjų funkcijos pilnasis diferencialas taške M 0 lygus

liečiamosios plokštumos aplikatės pokyčiui tame taške.

Tiesė, nubrėžta per lietimosi tašką M 0 (X 0 ; y0 ; Z 0 ) statmenai liečia-

majai plokštumai, vadinama paviršiaus normale. Tos tiesės krypties

vektorius lygiagretus liečiamosios plokštumos normaliajam vektoriui

š = (fJc (x0, y 0 ) ; f y (x0, y 0 ) ;-l), todėl kanoninės normalės lygtys tokios:

X-Xq _ У~Уо _z-z0

/Х(ХО'Уо) /у(хо'Уо) -1

Kai paviršius apibrėžtas neišreikštine lygtimi Φ (χ, y, z) = O, tai

gauname tokias normalės lygtis:

X-Xq _ У~Уо _ z~zo φ ' φ ' φ ' ^x ^y ^ z

Sakysime, kad vektorius yra statmenas paviršiui taške M 0 , jei jis

statmenas to paviršiaus liečiamajai plokštumai, nubrėžtai per tašką M 0 .

Turėdami tai galvoje, įsitikinsime, kad skaliarinio lauko u = u (x, y, z)

gradientas taške M 0 yra statmenas lygio paviršiui u (x,y, z)= C, einančiam

per tašką M 0 (čia С = и(х0, y0 , Z0)). Iš tiesų, kadangi lygio paviršiaus

liečiamosios plokštumos taške M 0 lygtis turi išraišką

11X (х-хо)+ u'y (У -У o) + u'z (z-z0) = 0,

tai jos normalusis vektorius yra vektorius n = (u'x,u'v,u'z) .Taigi jis sutam-

pa su skaliarinio lauko gradientu grad и = (u'x, u'y, u'z), o tai reiškia, kad

gradientas taške M 0 yra statmenas lygio paviršiaus liečiamajai plokštumai,

nubrėžtai per tašką M 0 .

Pavyzdys. Sakykime, kad paviršių nusako lygtis z =f(x, y) (155 pav.).

Parinkime jo tašką N ir per jį išveskime liečiamąją plokštumą. Dydžiu tga

paprastai apibūdinamas paviršiaus (kalno) statumas taške N. Išveskime

statumo formulę.

Sp r end imas . Iš lygybės z=f(x, y) gauname z-/(x, y) = 0. Pažy-

mėkime U=Z- f(x, y). Iš geometrinių samprotavimų aišku, kad kampas α

lygus kampui, kurį ašis Oz sudaro su grad M . Todėl

t Γ A a \ k grad u eosa=cos ( k , grad u) = . „ , .

k |grad u\

Kadangi

k = (0; 0; 1), | k | = l , g r a d u = ( - / ; ; - / ; ; l ) , Igradw I = ^ l + / ; 2 + / ; 2 , ta i

1 cos α =

J i + / ; 2 + / ; 2

2 1 1 1 1 Pasinaudokime formule 1 + tg α = — - — . Iš jos I tga I = — » 1 ,

cos" a V cos a

todėl

I t ga = J i + / ; 2 + / ; 2 - I = V ^ 2 + / ; 2 ·

9 9

Apskaičiuokime, pavyzdžiui, paraboloido z = 9 - χ -y statumą taš-

ke N(1; 2). Randame

z'x = -2x, Z1Y = -2y, z'x(N) = ~2, Zjr(AT) = -4.

Tuomet I tg α I = J(-2)2 +(-4)2 = >/20 « 4, 472 ir α » 77,4°. •

Uždaviniai

I 9 9 1. Tarkime, kad duotos aibės v4= {(x,y) I x + y >4 },

S = {(χ, y) I χ2 +y2 <9 }, C = {(x, y) Iy > - χ 2 } , D= {(χ, y) |y<|x|}.

Apibūdinkite geometriškai šias aibes:

а) ( л п в ) и ( с п о ) ; b) ( ^ U f i ) n ( C U D ) ;

c) ( ^ n s n c ) \ D ; d) ( ( Л 1 1 Я ) \ Я ) П С .

2. Raskite šių funkcijų apibrėžimo sritis:

1 · У a) z = ; — + arc sin —;

V*2+y2~9

b) z = д/4 -x 2-y 2 + In xy ;

c) z = Jį-y2-x2JĮsin2 7α + sin2 лу|;

d) z = arc cos —тг + arc cos (1 -у).

У

X2 У

3. Raskite funkcijos —=——γ kartotines ribas bei jos dvilypę ribą taške Xz +y

(0; 0).

4. Įsitikinkite, kad funkcija

fix, У) =

X2V Ą—^-y, kai (x,y) * (θ, O),

χ +y

0, kai (x,y) = (θ, θ),

turi lygias kartotines ribas taške (0; 0), tačiau jos dvilypė riba taške (0; 0)

neegzistuoja.

5. Įrodykite, kad funkcijos

fix, У) =

2 2 x-y + x_ +yz

Х + У

0, kai y = -χ,

,kai уф -χ,

kartotinės ribos taške (0; 0) yra nelygios. Kokia iš to išplaukia išvada?

i

6. Apskaičiuokite funkcijos f(x, y) = (l + x2 +y2 j*2+y2 dvilypę ribą

taške (0; 0).

7. Įrodykite, kad funkcija

fix, У) =

xy , kai (x,y) Φ (θ, 0),

χ + y

0, kai (x,y) =(0,0) ,

taške (0; 0) yra tolydi kiekvieno kintamojo atžvilgiu, tačiau ji nėra tolydi

šiame taške abiejų kintamųjų atžvilgiu.


fix, У) =

2 2 X - y , kai I χ Į Φ I y I,

F r i n

0, kai I χ I = I y I,

taške (0; 0) yra tolydi tiek kiekvieno kintamojo, tiek ir abiejų kintamųjų

atžvilgiu.

9. Raskite z'x ir z'y kai

a) z = гУ· b) z = arcsin — ; 7

х -У c)z = t g ^ - ^

2 ' X +y


* * ka i ( * ,>>)* ( 0 ,0) , χ +y f(x,y) =

0, kai ( x,y) = ( 0, 0 ) ,

turi trūkias išvestines f'x (0, 0) ir fy (0, 0).

11. Įsitikinkite, kad funkcija/(jc, y ) = д/рф|у] yra tolydi taške (0; 0),

turi dalines išvestines fx (0, 0), fy (0, 0), tačiau šiame taške yra

nediferencijuojama.

12. Duota z = arctg (y - x), Raskite dz_

dx

9 9 U 13. Duota z = sin (χ + у ), x = uv, у = — . Raskite z'u, z'v .

v 9 9

14. Įrodykite, kad funkcija z =yf(x -y ) tinka lygčiai

1 dz 1 dz _ i

χ dx y dy y

15. Įrodykite, kad funkcija z = cos (χ - at) + ex+at (α >0, a = const)

tinka lygčiai

d2z 1 d2z

dx2 a2 dt2 = 0 .

16. Duota funkcija

f(*,y) =

χ 2 - y 2

xy γ , kai (χ,у) φ (θ, θ), X + у

0, kai (χ,у) =(0,0).

Įrodykite, kad f^y (0, 0) Φ (0, 0). Kodėl?

17. Įrodykite, kad funkcija z = χ φ — + ψ — tenkina sąryšį

2 d2 z + Ixy

d2 z

dx dy

2 d2 z n +y V T = 0-

dy

18. Įrodykite, kad neišreikštinė funkcija z, apibrėžiama lygtimi

z = y f , tenkina sąryšį

dz dz X h y = Z.

дх ду

19. Įrodykite, kad neišreikštinė funkcija z, apibrėžiama lygtimi

z = Jf[ax -by + z) , tinka lygčiai

u d z d z

n b — + a — = O . дх ду

20. Raskite šių funkcijų ekstremumus:

a) z = χ2 + xy + y2 - 2x - 3y ; b) z = x 3 + y 3 - 9xy + 27;

τ o c) Z = X' + Xy + 6xy .

21. Raskite šių funkcijų didžiausias ir mažiausias reikšmes nurodytose

srityse:

a) z = χ2 + y2 +xy-5x-4y+ 10, x>0 , y>0 , x + y < 4 ;

b) z = J-X2-y2 , χ2+y2 <1.

22. Įrodykite, kad kelių teigiamųjų skaičių geometrinis vidurkis yra ne

didesnis už jų aritmetinį vidurkį, t.y.

j x ι X 2-X n ь ·

n

23. Kūgio tūris lygus V. Kokie turi būti kūgio matmenys, kad šoninis jo

paviršius būtų mažiausias?

24. Trikampio perimetras lygus 2p. Kokios turi būti jo kraštinės, kad

sukinio, gauto sukant tą trikampį apie vieną jo kraštinę, tūris būtų di-

džiausias?

25. Išmatavus du dydžiusx iry, gautos tokios jų reikšmių lentelės:

a)

b)

X - 1 - 2 0 1 2 3

У 2,8 2,3 3,6 4 4,7 5

X -2,6 -2,1 -1,1 0 1Д 2,1

У 2,5 3,8 5 4,1 0,6 -4,6

Žinodami, kad a) priklausomybė yra tiesinė y = a χ + b, o b) - kvadra-o

tinė y = ax + b χ + c, mažiausių kvadratų metodu raskite šias priklauso-

mybes.

26. Išmatavus du dydžius* iry, gauta tokia jų reikšmių lentelė:

X 1 1,4 1,8 2,2 2,8

У 11,10 7,31 5,36 4,18 3,10

Nustatykite, kokia yra dydžių χ ir y priklausomybė - laipsninė ar rodik-

linė - ir raskite ją.

27. Raskite funkcijos u = išvestinę taške (1; 2; 3) paviršiaus

u normalės šiame taške kryptimi.

28. Parašykite paviršiaus xy + z + xz = 1 liečiamosios plokštumos

lygtį, kai ji lygiagreti plokštumai χ-y + 2z = 0.

29. Įrodykite, kad sraigtinės kreivės χ = a cos t, y = a sin t, z = ct

liestinė sudaro pastovų kampą su ašimi Oz.

40 χ2 y2 χ2 y2 z2

30. Kuris paviršius - z = — -— ar — - -— = 1 -3 2 3 4 4 8

yra statesnis taške (4; 2; 4)?

Atsakymai

2. a) Plokštumos dalis tarp tiesių y = χ ir y = -x, esanti apskritimo X2 +y2= 9 išorėje, toje

dalyje yra ašis Ox, apskritimo taškai sričiai nepriklauso; b) apskritimo X2+y2 = 4 apriboto

skritulio dalys pirmajame ir trečiajame ketvirčiuose, koordinačių ašių taškai sričiai

nepriklauso; c) plokštumos taškai, kurių abi koordinatės - sveikieji skaičiai; d) kreivinis

trikampis, apribotas parabolių

y2 =x, y2 = -χ ir tiesės y = 2, be viršūnės (0; 0).

3.0. 6 . , . 9. a) z'x = y Xy'1, 4 .. . _ * Jy2-X2 У Jy2-X2

= у1 + 2xy - cos-2 , = ^2 - f cos-2 z Z ^ .

(Y2+*2) * +У У (Y2+X2) X+Y

12. τ- —X= — 1 . 13. z' = 2cos(x2 +y2) Į XV + —I , z'., = 2ucos(x2 + y2) \ χ -Ą-) . 1 + (У-Х)Л2у!Х J V V) • \ V2)

20. a) zmin( 1/3, 4/3)= - 7/3; b) zmin(3, 3) = 0; c) zmin( V3 , - 3) = - 6 л/з , Zmax (-V3 , -3) =

=6 S • 21. a) Zmai (2, 1) = 3. Zdidi (0, 0) = z (0, 4) = 10; b) zmai = 0 apskritimo

χ2 +y2 =1 taškuose, Zdidi (0, 0) = 1. 23. h = r -Ji . 24. a = b = 3/4p, c = p/2. 25. a ) y =

0,56* + 3,45; b) y = - 1,00424 x2 - 2,00657 χ + 4,04321. 26. y = 11,22c-1·25. 27. e11 S0 .

28. v - x - 2 z ± VF = 0. 30. α » 76,7°, β = 65,9°.

INTEGRALAI, PRIKLAUSANTYS

NUO PARAMETRO

1. Tiesioginiai integralai, priklausantys nuo

parametro

1.1. Integralų, priklausančių nuo parametro, sąvoka ir

tolydumas

Nagrinėkime dviejų kintamųjų funkciją f(x,y), apibrėžtą stačiakam-

pyje D ={(x\y) \a<x<b; c<y<d } (156 pav.). Fiksavę vieną argumentą,

pavyzdžiui, y, turėsime vieno kintamojo funkciją f(x,y). Jei ji tolydi

stačiakampyje D, tai egzistuoja integralas

b

I(y)=\f{x,y)dx,

a

kuris yra kintamojo y funkcija. Šis integ-

ralas vadinamas tiesioginiu integralu, pri-klausančiu nuo parametro y . Išnagrinėsime

sąlygas, kada funkcija I (y) yra tolydi.

^ Teorema. Jei funkcija f(x,y ) tolydi

χ stačiakampyje D, tai integralas I (y) irgi

yra tolydi kintamojo y funkcija atkarpoje

[c,d].

Į r odymas . Imkime tašką y ( le[c;i/] ir suteikime jam tokį pokytį Ay,

kad уо + Ay eD.

Apskaičiuokime

b b

\f{x,yo+by)dx-[/"(*')¾)^ = |А/| = |/(у0 + Ау)- / (у 0 ) | :

\(f{x,yo + by)-f{x,y0))dx <^\f(x,y0 + Ay)-f(x,y0)\dx. (1)

a a

Kadangi funkcija / yra tolydi srityje D , tai ji joje ir tolygiai tolydi,

todėl V E > 0 3δ: | Y O + A y - Y O I = I Ay | <δ => \f(x,y0+Ay)-f(x,y0) |

Tuomet iš (1) gauname:

b

|/(уо+Ау)-/(уо)|< f—^—dx = —^—. J b-a b-a

b-a

= ε ,

jei tik U y l < δ . Sąlyga | Δ /1 < ε ir reiškia, kad funkcija I (y) yra tolydi

atkarpoje [c;d]. •

Iš šios teoremos išplaukia svarbi išvada. Kadangi funkcija I (y) yra

tolydi atkarpoje [c; d ], tai

lim I (y)= Ify0). (2) y-+y0

b \

Tačiau Ify0)= f f ( x , y 0 ) d x = lim f(x,y)dx, nes funkcija f(x,y) atžvil-j ^ o a

giu kintamojo y irgi tolydi taške y0. Įvertindami tai, iš (2) lygybės gauname:

b b

У^УО a

lim \f(x,y)dx = I lim f(x,y)dx . '-> Vn . J У~+Уо

Ši lygybė rodo, kad ribos ir integralo ženklus galima sukeisti vietomis, kai

f(x,y) -tolydi stačiakampyje D funkcija.

1.2. Integralų, priklausančių nuo parametro, diferencijavimas

Kalbėsime apie diferencijavimą po integralo ženklu.

Teorema. Jei funkcija f(x,y) ir jos dalinė išvestinė fy(x, y) yra toly-

džios stačiakampyje D, tai teisinga formulė

b

Ty = lfy{x,y)dx,

a

kuri vadinama Leibnico formule. Į r odymas . Taškui y e [c; d] suteikime tokį pokytį Ay, kad

y+Ay e [c; d], ir apskaičiuokime santykį — :

AI I (y + Ay)- / (y) 1 \ .

J J a a -

b

= tf(x,y+Ay)-f{x,y) ^

J Ay

a

Skirtumui f(x ,y +Ay) -f(x ,y) pritaikome Lagranžo formulę:

f(x,y+Ay)-f(x,y)= f'(x,y)-Ay ;

čia y yra tarp y ir y+Ay. Tuomet

AI b

— =\f;{x,y)dx. y a

Dabar imkime ribą, kai Ay-»0 . Kairėje lygybės pusėje gausime

Iim — = / ' . Dešinėje lygybės pusėje sukeisime vietomis integralo ir Ay >0 Av

ribos ženklus, nes išvestinė fy (x,y) yra tolydi stačiakampyje D. Gausime:

b

I' = f Iim f'(x,y)dx. Ay->0 7

a

Kai Ay->0, tai y —>y, taigi dėl išvestinės tolydumo turime:

Iim f'(x,y)dx = f'(x,y). Ay-»0 7

Vadinasi, galutinai

b

Ty = \fy{x,y)dx . •

a

b

1 pavyzdys. Žinodami, kad Г = — arctg— (a , a2+ χ2 a a

apskaičiuokime dx

о

. W r Sp rend imas . Kadangifunkcija f(x,a) = ——- ir jos išvestinė

a +χ

f'a (x, a) yra tolydžios su visomis χ ir a Φ O reikšmėmis, tai galime taikyti

Leibnico formulę. Abi duotosios lygybės puses diferencijuokime

parametro a atžvilgiu: b

2a , 1 b I b

f dx=—— arctg- , (a2+χ2)2 а2 а л b2 я3

O 1Ί Y а

is cia

D

f dx 1 b b

b ab arctg — + -

2a3 1V a a2+b2

Dabar išnagrinėkime atvejį, kai integravimo rėžiai a k b irgi

priklauso nuo parametro y , t. y.

b(y)

ι (y)= J Ąx,y)dx.

-(y)

Sakykime, kad funkcijos a (y) ir b (y) turi tolydžias išvestines — dy

ir — atkarpoje [c ;d]. Pažymėkime I (y) = Ф(у ,a (y ),b(y)) irdiferen-dy

cijuokime kaip sudėtinę funkciją:

_ δΦ + ЭФ da + дФ db

ду да dy db dy

дФ Apskaičiuodami — , rėžius a ir b laikome konstantomis, todėl

dy

galime taikyti Leibnico formulę:

5 Ф V r l W

δΦ Apskaičiuodami -— , naudojamės integralo su kintamu viršutiniu

db

rėžiu integravimo taisykle. Todėl

сФ

~db

Гь(у) \f(x,y)dx

W-v)

=f(b(y),y).

Analogiškai

δΦ

да

Galutinai

(Ky) Ί Ш ) \f(x,y)dx = - jf(x,y)dx = ~f(a(y),y)

U(^) J a U (y) J a

ь(у)

Vy = jf;(x,y)dx-f(a(y),y)~+f(b(y),y)^- .

a(y) dy ^ (3)

cosy

2 pavyzdys. Išdiferencijuokime integralą I (y) = \\n(2x~y)dx (y >0 ;

y

2x-y >0).

Sp r end imas . Remdamiesi (3) formule, gauname:

cosy J

I1v = - f <&-ln(2y-y) l + ln(2 cosy-y )(-siny) = • I v 1) 2 х-y

= --ln(2 х - y ) C O S V

-lny-siny ln(2 cosy-y )=

= -|siny + £ ) ln(2 cosy-y )-y Iny .

1.3. Integralų, priklausančių nuo parametro, integravimas

b

Nagrinėkime funkci jos/(y ) = J/(x,y)c& integralą atkarpoje [c\d]\

a

d dJb \

\l{y)dy = \f(x,y)dx

r J V/1 /

dy.

Π* λ d b

]\\f(x,y)dx\dy=\dy\f(x,y)dx.

с

Teorema. Jeifunkcija f { x , y ) tolydi stačiakampyje D , tai

d d b b d

\l(y)dy = \dy\f(x,y)dx = \dx\f(x,y)dy .

c Ca a C

Į r odymas . Įrodysime bendresnę lygybę, rėžį d pakeitę kintamu

rėžiu a , būtent

]dy\f(x,y)dx = \dx]f(x,y)dy, ( 4 )

kai a e [ c ; d ] . Suintegravę kairiąją ir dešiniąją pusę, gausime kintamojo

α funkcijas. Pažymėkime jas atit inkamai^ (a) ir B (a) ir diferencijuokime.

Kadangi

A (a)

a db

\f(x,y)dx

J\a

d y ,

tai A (a) diferencijuojame kaip integralą su kintamu viršutiniu rėžiu.

b

Todėl A'a bus lygi pointegralinei funkcijai j f ( x , y ) d x , kurioje

a

integravimo kintamasis y pakeistas viršutiniu kintamu rėžiu α . Taigi

b

A^ = \f{x,a)dx . ( 5 )

Kadangi

B (a)

V a

= (I \f(x,y)dy J Vr

dx,

o \f(x,y)dy = φ ( χ , α ) , tai

B (a) = |φ(χ,α)ί/χ .

Vadinasi, B (a) turime diferencijuoti taikydami Leibnico formulę.

Todėl

Funkciją φ (χ, α ) diferencijuokime kaip integralą su kintamu

viršutiniu rėžiu:

φ^ (χ , α ) = \f{x,y)dy

V

= f(x, a).

Tuomet

B'a = \f(x,a)dx . (6)

Palyginę (5) ir (6) lygybes, matome, kad

A'a = B'a.

Jei dviejų reiškinių išvestinės lygios, tai tie reiškiniai skiriasi konstanta,

todėl

A = B+y ;

čia γ = const. Kai α = с , tai A = O ir В = O, todėl ir γ = 0.

Vadinasi, A ir B sutampa su visomis α reikšmėmis.

Kai α = d, tai iš (4) lygybės gauname įrodomą lygybę. •

Pavyzdys. Apskaičiuokime integralą

i

/ = i X F T - X A

Inx dx (0<a<b).

Sp r end imas . Tiesiogiai šio integralo apskaičiuoti negalima, nes

neapibrėžtinis integralas P Inx -dx neišreiškiamas elementariosiomis

funkcijomis. Pasinaudokime tuo, kad

xb-xa b

Inx = \xydy.

Tuomet

- iKK 1 b

dx = Ji/x jxydy. „ - 0 a

0 0

Dabar sukeiskime integravimo χ ir y atžvilgiu tvarką:

I b b 1

Ji/x xydy = jdy jxydx .

Oa a 0

1 χ'+1

Kadangi ^xy dx =

О y + 1

b

tai

f

O y+1

6 , 6 + 1 = In

α я + 1

2. Netiesioginiai integralai, priklausantys nuo

parametro

2.1. Tolygusis integralų konvergavimas

Tarkime, kad funkcija f(x,y) yra apibrėžta srityje

D= |(x,y)|a < χ < +oo,c < y < i/J ir su kiekviena y reikšme iš atkarpos

[c;i/] egzistuoja netiesioginis integralas

I(y)= įf(x,y)dx, (7)

kuris vadinamas netiesioginiu integralu, priklausančiu nuo parametro. Tokiems integralams galima taikyti ką tik išdėstytą tiesioginių integralų,

priklausančių nuo parametro, teoriją, tačiau reikia laikytis papildomų

reikalavimų.

Ypatingas vaidmuo čia tenka netiesioginio integralo tolygiojo konver-

gavimo sąvokai, kurią dabar ir išnagrinėsime.

+ CO

Integralas jf(x,y)dx vadinamas konverguojančiu taške y e ,

a

jei egzistuoja baigtinė riba

A +<»

Iim [f(x,y)dx= f f(x,y)dx = I (y),

t. y. jei

Ve > O 3A0: A > A1 1O /(y)- \f{x,y)dx < ε .

Šiame apibrėžime minimas skaičius AQ priklauso ne tik nuo ε , bet ir

nuo taško y padėties, t. y. Ao =A 0 ( e , y ) . J e M o priklauso tik nuo ε , tai

(7) integralo konvergavimas vadinamas tolygiuoju. Taigi integralas I ( y ) vadinamas tolygiai konverguojančiu atkarpoje [c;d] y atžvilgiu, jei

VE > O BA0: А > A1 1

O Ąy)- \f(x,y)dx <ε

su visomis y reikšmėmis iš atkarpos [c;c?].

Apskaičiuokime

A + • » A A + «> A +<*>

I(y) - \f(x,y)dx = / - J = J-"- J - J = J / М * ·

α a a a A a A

Vadinasi, integralas / (y) atkarpoje [c;t/] konverguoja tolygiai, kai

Vs > 0 3 A0: A > A1 1

O jf(x,y)dx <ε, Vy e[c;d].

Integralas \f(x,y)dx vadinamas (7) integralo liekana. A

Dabar suformuluosime tolygiojo integralų konvergavimo požymį, kurį

patogu taikyti sprendžiant uždavinius.

Teorema (Vejerštraso požymis). Tarkime, kad intervale [a;+oo)

egzistuoja neneigiama funkcija g(x), sukuria

\f(x,y)\<g(x),Vx e [а;+со), Vy e [c; d].

+ 00

Tuomet, kai konverguoja netiesioginis integralas ^g(x)dx , tai netie-

a

OO

sioginis integralas I (y)= Jf(x,y)dx konverguoja tolygiai ir absoliučiai.

a

Į r odymas . Iš sąlygos \f(x,y)\<g(x) turime:

HOO + 0 0 + 0 0

\f(x,y)dx< \\f(x,y)\dx< \g(x)dx. (8)

A A A

+ 00

Kadangi netiesioginis integralas ^g(x)dx konverguoja, tai

Vs > 0 3Д ) = Α0(ε):Α > A0

Ši nelygybė ekvivalenti nelygybei

\g(x)dx < ε .

\g(x)dx < ε , (9)

nes g (χ) - neneigiama funkcija. Sugretinę (8) ir (9) nelygybes, gauname:

+ OO

\f(x,y)dx <ε

su visais y e[c;cf] . Tai ir reiškia, kad netiesioginis integralas / ( y ) kon-

verguoja tolygiai ir absoliučiai. Teorema įrodyta. •

Funkcija g (χ ) , tenkinanti nelygybę \f(x,y) | < g(x), vadinama

funkcijos f(x,y) maiorante.

Pavyzdys. Ištirkime, ar konverguoja tolygiai integralas

1(a) =

00

P -dx.

Sp rend imas . Kadangi e a x <1 su visomis α ir я; reikšmėmis, tai

+ 0° f dx 1 Integralas Jg(x)dx = J — = = 1 vadinasi, jis

konverguoja. Tuomet pagal Vejerštraso požymį duotasis integralas

konverguoja tolygiai ir absoliučiai su visomis realiomis α reikšmėmis. •

2.2. Netiesioginių integralų tolydumas, diferencijavimas

ir integravimas

Be įrodymo suformuluosime tolygiai konverguojančių netiesioginių

integralų, priklausančių nuo parametro, savybes, analogiškas įrodytoms šio

skyriaus 1.1-1.3 skyreliuose.

Kaip ir anksčiau, pažymėkime + 00

I (y)= \f{x,y)dx.

a

Tarkime, kad funkcija f{*>y) yra tolydi srityje

D ={(x,y) I a<x< +oo, c<y<d}, o integralas I(y) atkarpoje

konverguoja tolygiai y atžvilgiu. Tuomet teisingos šios savybės.

1. Funkcija I (y) yra tolydi kintamojo y funkcija atkarpoje [c; d j.

d d + =° +00 d \l(y)dy=\dy jf(x,y)dx= \dx jf(x,y)dy. c c a a c

Kitaip tariant, ši savybė rodo, jog du integralus galima sukeisti vietomis,

kai vienas jų integruojamas baigtiniame intervale, o kitas - begaliniame.

3. Jei funkcija f(x,y) tenkina minėtas sąlygas ir srityje D dar turi

+ 00

tolydžią išvestinę fį(x,y), o integralas jfy[x,y)dx atkarpoje [c;i/] kon-

U

verguoja tolygiai y atžvilgiu, tai funkcija I ( y ) diferencijuojama atkarpoje

[c;d] , be to,

+ 00

Ty= \f;{x,y)dx. a

Vadinasi, funkcijai I (y) galima taikyti Leibnico formulę.

2.3. Netiesioginių integralų apskaičiavimas, diferencijuojant

ir integruojant juos parametro atžvilgiu


arCtgX dx. (10) j* arctg χ

J x(l + x2

Sprendimas. Šį integralą apskaičiuosime, iš pradžių pakeitę jį bend-

resniu integralu, priklausančiu nuo parametro, be to, taip, kad (10) integ-

ralas būtų pastarojo atskiras atvejis.

Išnagrinėkime integralą

+ 00

/ ( α ) - Г - ^ Л . (11)

oJ

Aišku, kad (10) integralas gaunamas iš (11), kai α = 1 .

Pirmiausia ištirkime, ar (11) integralas konverguoja. Kai α = 0 , tai

/(O) = O; taigi integralas konverguoja. Paskui (11) integralą išreikškime

netiesioginių integralų suma:

1 +oo

1(a)= { + J

O 1

ir pritaikykime ribinį palyginimo požymį.

Kadangi

arctg αχ

1 + χ χ lim . χ->0

1 = 0,

Гх

tai pirmasis integralas konverguoja. Analogiškai kadangi

arctg αχ

lim X(i + X'I

1

tai konverguoja ir antrasis integralas. Vadinasi, (11) integralas konver-

guoja.

Formaliai išdiferencijavę / ( α ) , gauname:

+ 00

r , f a (12)

Bet

(l + a 2 x 2 ) ( l + x 2 )

o integralas

r

ίτ dx

+ χ j = arctg χ

l + x2

+ oo π

O ~2

konverguoja, todėl (12) integralas, remiantis Vejerštraso požymiu, konver-

guoja tolygiai. Taigi 1(a) diferencijavimas pagrįstas.

Suintegruokime (12) integralą:

- + f dx _ Į + r ( l + a V ) - a 2 ( l + 2 )

J (l + a 2x 2] ( l + x 2 j J ( l + a 2 x 2 ) ( l + x 2 ) ^ =

1 - α 2

h CO

f dx 2 f

J 1 + χ2 α J l + α 2 X 2 1 - α

(l + a 2 x 2 ) ( l + x 2 )

(arctg χ - α arctg αχ) + 00

O

1 f π _ π

π 1

2 1 + α π 1

, kai α > O,

kai α < 0. 2 1 - α

Integruodami pastarąjį rezultatą, gauname:

π

1(a) =

-ln(l + a) + C, kai α > 0,

L· - y l n ( l - a ) + C, k a i a c O .

(13)

Kadangi /(O)=O, tai iš (13) sąryšio išplaukia, kad C = O. Galutinai

1(a) =

y l n ( l + a), k a i a > 0 ,

- y l n ( l - a ) , k a i a < 0 .

Apskaičiavę /(1)= turime:

+ 00

o x ( l + x ) 2


f sin χ

J χ dx . (14)

S p r e nd imas . Tiesiogiai šio integralo apskaičiuoti negalima, nes

funkcijos sinx

pirmykštė neišreiškiama elementariosiomis funkcijomis.

Norėdami apskaičiuoti (14) integralą, nagrinėkime bendresnį integralą

sinx 1(a)

• l ·

-dx. (15)

o

Į jį įrašius a=0 , gaunamas (14) integralas.

Formaliai išdiferencijavę (15) integralą parametro α atžvilgiu, gauname:

+ 00

I'a \ e sin χ dx .

о

Kadangi su visomis χ reikšmėmis | sin χ | < 1 tai

e curSinx < e ax . Integralas J e axClx konverguoja, kai a > 0 . Iš tiesų

o

J CaxClx = Iim fC-axCk = Iim ( - - e ^ Q a-»+ooV α a

Todėl funkcija e m yra funkcijos e m sin χ mažorantė.

Taigi, remdamiesi Vejerštraso požymiu, galime teigti, kad integralas 00

Ita = - je_ajc sin xdx konverguoja tolygiai, kai a>0 . Vadinasi, 1(a) dife-

o

rencijavimas parametro α atžvilgiu yra pagrįstas.

Du kartus suintegravę dalimis šį integralą, gauname:

' - - T 1 T -

1 + a

Vadinasi,

/ ( a ) = -arctga+C. (16)

+00 ^

Kai α neaprėžtai didėja, tai | /(a)| < J e'^dx = —, o tai reiškia, kad

O α

71 / (α )-»0 . Tuomet iš (16) lygybės gauname: C— — .

Todėl

/ ( a ) = | - a r c t g a , / ( 0 ) = | .

Taigi gavome: + 00

i sinx , π

dx = — . χ 2

О

3 pavyzdys. Apskaičiuokime Puasono integralą

+ 00

I= j ε~χ2 dx. O

Sprendimas. Šį integralą išreiškiame dviejų integralų suma: 1 + χ

/ - / • J .

O 1

- X 2

Pirmasis konverguoja, nes yra tiesioginis integralas. Kadangi e <e , + 00

kai x>l , o integralas je~xdx konverguoja, tai ir antrasis integralas,

o

Simonas Denis Puasonas (S. D. Poisson, 1781-1840) - prancūzų fizikas ir matematikas.

remiantis palyginimo požymiu, konverguoja. Pakeiskime kintamąjį: x = ty ,

dx=ydt. Tuomet + 00 +CO

I= J e~x~dx = y J e~'2y2dt.

O O _ 2

Padauginkime abi lygybės puses iš e y dy ir integruokime y

+ 00 + 0 0 2 2 2

atžvilgiu intervale [0; + oo). Gausime / 2 = J ye~y dy J e~l y dt. Sukeitę

O O

integralus vietomis (kad taip galima daryti, čia nepagrįsime), turėsime:

+ 00 +CO -W i\ +CO

/2= fdt j уе~У (1+i W = J

O O o

_ J _ у'(ы>)

Ή )

^

+ 00

O

dt 4 i i dt

+ r y

1 — arctg?

+ oo π

o ~ 4

Kadangi I > O, tai iš čia galutinai

foo I—

Ie-X2dx = ^L

i 2

3. Oilerio integralai

3.1. Beta funkcija ir jos savybės

Šią funkciją apibrėžėme VI skyriaus 6.3 skyrelyje:

i

B(a,b)= jxa~\\-x)b~]dx. (17)

o

Ten pat įrodėme, kad ji egzistuoja, kai a>O ir b >0 . Pirmiausia neįro-

dinėdami paminėsime, kad (17) integralas tolygiai konverguoja, kai a>a0,

b>b0, kad ir kokie būtų a0 >O i r b 0 > 0 . Todėl beta funkcija yra tolydi,

kai α >0 ir b >0 .

Toliau išnagrinėsime keletą beta funkcijos savybių.

1. Beta funkcija yra simetriška a ir b atžvilgiu:

B(a,b) = B(b,a).

Tuo nesunkiai įsitikintume, jei kintamąjį χ pakeistume kintamuoju I -1 .

2. B (a,b)= b ' ] B(a,fr-1), kai b>\ . (18)

a + b-1

Integruokime (17) integralą dalimis, žymėdami ы = ( I - J t )

dv=xaldx. Gausime:

_ Xa(I-X)6'1 l , b-I1r β„

B {α,b) = а

ι

+ — j x a ( l - x p V x = 0 * О

\xa(\-x)b~2dx. а о

Toliau, remdamiesi savaime aiškia tapatybe

xa(\- x)b~2 = xa'\\-x)b~2 -xa~\l- x)b-X,

gauname:

B(e, b ) = — fx""1 (1 - x)b~2 dx-— fx""1 ( \ - x ] b X d x , flO a O

arba

B(a,ft)= — B ( f l , b - 1 ) - — B (a,b); a a

iš čia ir išplaukia (18) formulė.

Kai b - natūralusis skaičius, pavyzdžiui, b =n , paeiliui pritaikę (18)

formulę, gauname:

Q ( \ 1 Ы л\ B (a,n)= — ... B [a, 1 . a+n-\ a+n-2 a + l

Kadangi

1 ,

B(a, 1 )= f xa_1c/x =

o

d/· \ " ~ 2 1 1 /m\ B (a,n)= ... . (19) a + n — 1 a + n-2 a + \ a

Jeigu ir a - natūralusis skaičius, sakykime, a = m , tai iš (19) turime:

B K » ) - , < " - ' " y r t ' , - ' » < " - ' » ' . тут + \)...[m + n-2)[m + n-1) (ш + и-1)!

Šią formulę taikysime ir tada, kai m =1, n =1, tačiau nepamiršdami,

kad O! = 1.

y 3. Kintamąjį χ pakeitę kintamuoju , nesunkiai gautume kitą

y+1

analizinę beta funkcijos išraišką:

J .

+ 00

/ - 1 B ( f l ' b ) = \ >a+hdy·

(1 + y)'

Beta funkcija dar vadinama pirmojo tipo Oilerio integralu.

o

3.2. Gama funkcija ir jos savybės

Taip VI skyriaus 6.3 skyrelyje pavadinome funkciją

+ CO

Γ(β)= j Xa-1C-xCk. (20)

o

Įrodėme, kad šis integralas konverguoja, kai a >0 . Dabar neįrodinėdami

paminėsime, kad jis konverguoja tolygiai bet kurioje atkarpoje [c \d] , jei

0< c < d <+oo , todėl gama funkcija yra tolydi, kai a >0 .

Pateiksime keletą jos savybių.

1. Funkcija Γ(α) turi visų eilių išvestines. Diferencijuodami paeiliui

po integralo ženklu (kad taip galima daryti, čia nepagrjsime), gauname:

+ CO

Γ'(a) = \xa~l\nxe'xdx , o

+ 00

Γ " (a )= \xa~l\n2xe'xdx o

ir t. t.

2. Integruodami (20) integralą dalimis (u = e x, dv = xa ldx), gau-

name:

e~xxa

Γ(α ) =

1 +00 + 00 \

+ - \xae~xdx = — Γ(α +1); n J /Tf β a 0

is cia

Γ(β+1) = βΓ(β) . (21)

Taikydami paeiliui šią formulę, turime:

Γ(α +2) = (a +1) Г(а +1) = (a +1) а Г (a)

ir 1.1. Todėl

Γ(α +n) = (a + n - 1)(α + n - 2)... а Γ(α).

Įrašę į šią formulę reikšmę a = 1 ir turėdami galvoje, kad

+ 00

Г ( 1 ) = J e~xdx = 1 , O

gauname:

Г(л +1)= n ! (22)

3. Kadangi Г(1) = Г(2) = 1 , tai, pritaikę Rolio teoremą, galime tvir-

tinti, kad atkarpoje [1;2] yra taškas до , kuriame Γ'(α0) = 0 . Sis taškas

yra minimumo taškas, nes visoje apibrėžimo srityje, kartu ir taške ŪQ

Γ"(α) > O.

Kai a -» +00 , tai iš (22) formulės matyti, kad Γ ( α ) +oo. Iš ( 2 1 )

formulės išplaukia, kad Γ (a ) = — . Kadangi dėl Γ (α ) tolydumo a

Γ(α +1) -> Γ(1) = 1 , kai α->+0 , tai tuomet Γ ( α ) - » + ο ο . Gama funk-

cijos grafikas , kai a >0, pavaizduotas 157 paveiksle.

Gama funkcija dar vadinama antrojo tipo Oilerio integralu.

У

3

2

1

0 1 2 3 х

157 pav.

3.3. Gama ir beta funkcijų sąryšis

Išvesime svarbią formulę, susiejančią šias dvi funkcijas, būtent

Tuo tikslu (20) integralo kintamąjį χ pakeiskime kintamuoju x = ty

(t >0). Tuomet

+ 00

Γ(a)=ta Jya-1^Jy,

O + 00

^ = Jya-1C-Vdy.

Vietoj a įrašykime a +b , o vietoj t imkime 1 + i :

\y"+b-Xe-{U,)yd

(1 + Г 6 O

Dabar abi šios lygybės puses padauginkime iš ir integruokime

nuo O iki +со :

+ GO / L\.fl-1 +00 +00

J r[a + b)ta+h dt = \ta~ldt J ya+b~le-^ydy.

o ( 1 + ί ) α + O O

+ 00

f ί α _ 1

Kadangi I ^Tbdt = B(a,b) , tai kairėje pusėje gauname J (1 +1) O 4

B(a,b) Γ ( α + b). Dešinėje pusėje pakeiskime integravimo tvarką (kad

taip daryti galima, čia nepagrįsime). Gausime:

+ 00 +00

B(a,b)Y(a+b) = \ία'ιβ^άί .

O O

+<» W α)

Vidinis integralas j t ^ e ' ^ d t pagal (24) formulę lygus

o У

Tuomet

+ 00

В(а,Ь)Г(а+Ь)= J / ^ V ^ Щ-dy = Γ(α) jy^e^dy =Г(а) Г(Ь);

iš čia gauname (23) formulę.

O

3.4. Papildinio formulė

Toliau teks pasinaudoti formule

+ 00

Xa-1 J π -dx = if + χ sin πα

O

kurią čia pateikiame be įrodymo. Jei į anksčiau išvestą formulę

B (a, b)= J

O

vietoj b įrašytume 1-α , tai gautume:

Xa-1CbC

(l + x) a+b

+ 00 Γχα-1 π

Β ( α , Ι - α ) = I dx = ·

Tuomet, pritaikę (23) formulę, turime:

B ( « , l - « ) = M p ^ =Г ( « )Г (1-« ) ;

iš čia ir gauname papildinio formulę

Γ(β)Γ(1-α)=-π

sin πα

Pavyzdžiui, kai a = , turime:

todėl

sin — 2

r I TI = V^ ·

Panaudodami šią Tl — ] reikšmę, galime nesunkiai apskaičiuoti Pua-ч2

f -Jt sono integralą / = I e .

+ 00 2

O

Pakeiskime kintamąjį, pažymėdami x = J y . Tuomet

/ = i 7 ^ y - i y = l 7 y 2 - V ^ y = I r ( I ) - I ^ .

3.5. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimas naudojant

Oilerio integralus

Kai kuriuos apibrėžtinius integralus galima pakeisti Oilerio

integralais.

Paminėsime, kad yra sudarytos jų reikšmių lentelės.


I= f?,[hJ-dx. o* *

Sprend imas . Pakeitę In — kintamuoju t , gauname: χ

+ 00 į

/ = J r V ' r f / = r ^ j «0,893. •

o

π

2 I= ^Jtgxdx .

о

Sprendimas. Kintamąjį tgx pakeitę kintamuoju y , gauname

i + CX)

/= IT 2 V^ n 1+y 5

o kintamąjį y - kintamuoju , turime: + 00 i

i j l 1 [*z 4<fe _ 1 B f 3 Г| _ 1 π _ π>

2 1 + z 2 V 4 ' 4/ 2 · π ~ : J sin—

I= 2

o


π

2

I= JsinmXcos"xdx (m>-1, и>-1). о

Sprendimas. Kintamąjį sin2x pakeitę kintamuoju y , gauname: j m n j m-1 n-1

I= \yJ( 1 - y)2 - 7 X = \ \y~( 1 - = o 2VyVl-y 2 O

1 m+1 n+1 .

2 2 v 2 + ^

1 Π r + 1

Pavyzdžiui,

Kadangi

Γ Ι - Ι Γ Ι -2 j J

Jsin4X cos6xdx = — Г(6)

-rl-1 = — Vn , Г(6) = 5! = 120,

* • f · 4 6 j 3π tai sin xcos xdx =

Uždaviniai


2

a) Iim \4x cosaxdx; α—>0,

b) Iim α - > 0

i£t;

-1

c) Iim a->0

1+a f dx

) J l + x2 + a2 ' d) Iim

i

J-dx

„1 + |1 + -

2. Ar galima reiškinyje

p Г 2Л Γ χ X — exp

2" J a ^ α У

sukeisti vietomis ribos ir integralo simbolius?


fsi]

Jl sin^ X

a) Iim |- ; J 1 + χ O

f b) Hm Ie ~ a i < m x d x . a-»+oo

O

4. Raskite funkcijos / (a) išvestinę, kai:

a) 1(a) Γΐη(ΐ + αχ)

~ J 1 + χ dx , a > 0 ;

α Plnil+ αχ)

b) 1(a)= I—1 Ldx, -oo<a<+oo; J χ O

cos α

c) 1(a)= Jea^1"* dx, -oo<a<+oo;

sin a

a

d ) / ( a )= J / (x + a;x-a)c?x, -co<a<+<x>.

O

5. Išdiferencijavę parametro atžvilgiu, apskaičiuokite integralus:

π π

2 2 f I 2 2 2 2 \ farctglatgx)

a) Jln^a sin x + b cos xjdx; b) I 1 -d:c;

f l n i l ^ J 1 - e c

ч ι, iTiJCOsi dx ι i , c) In- · , |β|<1.

JCOSX COSAT

6. Įrodykite, kad integralai tolygiai konverguoja, kai α e (~co;+cc):

+QO +00

a) I — -dx; b) I c o s a * dx; + J i iM

+00

c) f a r t I t g a y dx.

2

7. Apskaičiuokite integralus:

+00 1

а) Г \ dx, α>-1; b) I f l - e _ o u r f

J—" 1 · a>"1; b> J O O

X Jl^x2

j l n į l - a 2 * 2 ) C) I 7 > - 1 < a < 1 ·

+00

8. Funkcija f ( x ) tolydi, kai χ > O, o integralas J ^ j dx konverguoja,

A

к а Ы >0. Įrodykite, kad f A a y ) " Л И =/(0) I n - , kaia >0 i r b>0 . J x a o

9. Panaudodami 8 uždavinio rezultatą, apskaičiuokite integralus, kai

a>O ir b >0 : +со +00

- -ax -bx o, Ieax-e Dx . 14 fcosax-cosfct , а) I dx , b) dx .

0 O *

10. Pritaikę Oilerio integralus, apskaičiuokite šiuos integralus:

1 4

a) J У χ - * 2 b ) \xa~\A-x)b~Xdx, a >0 , b >0 ;

0 o

1 3

c) JVJC-J(3dx; d) JJC2 V^^x2 dx \ O O

+QO 1

f) J A : —

π

2

e) [sin1

J 0

+00

h) к O O

π

+еж 2

i) jxme~x"dx, n>0; j) j f t ^ d x .

Atšalimai

4 Jl π Ie 1 2 1. a) — — ; b) 1; c ) — ; d) I n — , 2. Ne. 3. a) 0; b)0. 4. a)—ί—In , ;

3 4 e + 1 a-1 + a

b ) l l n ( l + a 2 ) ; c) -(ea ls i no l sin a +^aIcosaI cosa) + " f J T x 1

e ^ d x ; d ) / ( a ; - a ) +

sin a

+ 2 ; čia u=x+a, v=x~a. 5. a) π In U U-; b) — sgna ln ( l + |a|) ; o 2 2

c)uarcsina. 7. a) ln(l + a); b) γ In j^a+ V l+ a 2 j ; c) ic^Vl-a 2 - l j . 8. N u r o d y m a s .

+00 bA

Pažymėkite F(x)= ^^-dx ir įrodykite, kad J ^ a x ) -A f a) ^ x - j / M ^ , T 0 I i a u

χ /4

pritaikykite integralo vidurinės reikšmės teoremą. 9. a) In—; b) In—. 10. a) — ; a a 8

b) 4a+b~1B(a\b) ; c ) - ^ ; d) ; e) * L . f) _ J L · . . g ) ± B i - L ; l - I ) , „ <0

5Г2 i - 1 1 6 2 5 sin— m V m n )

arba „>1 ; h) Irfi-I ; i) I r i — 1 , — >0; j ) — Ϊ — . n VnJ n V n J n ~ π

2 cos— 16

DALYKINĖ RODYKLĖ

Abipusuškai vienareikšmė

atitiktis 21

Aibė

aprėžta iš apačios - 22

aprėžta iš viršaus - 22

aprėžtoji - 296

atviroji - 26, 296

baigtinė - 23

begalinė - 23

funkcijos apibrėžimo - 21

funkcijos reikšmių - 21

jungioji - 296

kontinuumo galios - 24

natūraliųjų skaičių -18

racionaliųjų skaičių -18

realiųjų skaičių -18

skaičioji - 23

tuščioj i -19

uždaroji - 26, 296

Aibės papildinys 20

Aibės poaibis 19

Aibių sąjunga 19

Aibių sankirta 19

Aibių skirtumas 20

Argumentas

funkcijos - 43

kompleksinio skaičiaus - 36

Asimptotė

pasviroji -166

vertikalioji -166

Atkarpa 19

Atvaizdis

abipusiškai vienareikšmis - 21

aibių - 21

Astroidė 54

Bijekcija 21

Binomas

diferencialinis - 206

Niutono -133

Binominiai koeficientai 134

Bolcano ir Vejerštraso

principas 66

Cikloidė 53

Dėsnis

de Morgano - 29

klaidingos išvados -16

negalimo trečiojo -16

neprieštaravimo -15

teisingos išvados -16

Diferencialas

antrosios eilės - 134, 323

aukštesniosios eilės - 134, 323

pilnasis - 313

pirmosios eilės -128

Diferencialo formos invariantiškumo

savybė 130,318

Diferencij avimas

apibrėžtų parametrinėmis

lygtimis funkcijų - 127,132

atvirkštinės funkcijos -120

kelių kintamųjų neišreikštinės

funkcijos - 318

logaritminis -125

sudėtinės funkcijos -120

vieno kintamojo neišreikštinės

funkcijos -125,131

Disjunkcija 14

Dvi nuostabios ribos 87

Ekstremumas

kelių kintamųjų funkcijos - 327

lokalusis -159

sąlyginis - 331

vieno kintamojo funkcijos - 158

Ekvivalenčios aibės 21

Ekvivalenčios nykstamosios

funkcijos 92

Elipsoidas

sukimosi - 298

triašis - 299

Euklido erdvė 294

Evoliutė 156

Evolventė 156

Figūros plotas 221

Formulė

daugianario Teiloro -142

determinanto

diferencijavimo -152,172

funkcijos Teiloro -143

Leibnico -134

Makloreno - 146

Muavro - 38

Niutono ir Leibnico - 231

Oilerio - 40

parabolių (Simpsono) - 241

papildinio - 374

stačiakampių - 238

trapecijų - 239

Funkcija

algebrinė - 51

apgręžiamoji - 45

aprėžtoji - 77

atvirkštinė - 44

atvirkštinė trigonometrinė - 48

beta - 283, 370

diferencijuojamoji -128, 312

Dirichlė -111

elementarioji - 50

gama - 283, 372

hiperbolinė - 64

iracionalioji - 52

kelių kintamųjų - 296

laipsninė - 45

lyginė - 44

logaritminė - 47

monotoninė - 44

neapgręžiamoji - 45

neaprėžtai didėjanti - 76

neaprėžtoji - 78

neišreikštinė -125

nelyginė - 44

nykstamoji - 79

pagrindinė elementarioji - 45

periodinė - 44

pirmykštė -177

racionalioji - 51

rodiklinė - 46

signumx- 108

skaitinė - 43

skaliarinio argumento

vektorinė -149

sudėtinė - 50

sveikoji racionalioji - 51

teiginio -16

tolydi taške - 97, 306

transcendentinė - 51

trigonometrinė - 47

trupmeninė racionalioji - 51

Funkcijos riba, kai χ oo 74

Funkcijos riba taške 71, 303

Funkcijos tolydumo taške

sąvoka 96, 306

Funkcijų superpozicija 50

Geometrinė kompleksinio skaičiaus

interpretacija 34

Gradientas 343

Grandininė kreivė 65

Greitis

funkcijos kitimo taške - 114

funkcijos kitimo vidutinis - 113

lauko kitimo - 343

Heinės ribos apibrėžimas 72

Hiperboloidas

dvišakis - 299

dvišakis sukimosi - 299

vienašakis - 299

vienašakis sukimosi - 299

Implikacija 14

Integralas

absoliučiai konverguoj antis - 274

antrojo tipo netiesioginis - 277

apibrėžtinis - 220

elipsinis - 214, 252

neapibrėžtinis -178

nesuintegruojamas - 213

pirmojo tipo netiesioginis - 267

reliatyviai konverguojantis - 276

Integravimas

diferencialinų binomų - 206

funkcijų, kurių išraiškoje yra

kvadratinis trinaris -186

iracionaliųjų funkcijų - 201

paprasčiausių racionaliųjų

trupmenų -192

trigonometrinių reiškinių - 209

Intervalas

atvirasis - 26

uždarasis - 26

Involiutė 156

Išvestinė

antrosios eilės -130

antrosios eilės dalinė - 320

atvirkštinės funkcijos -120

dalinė - 308

determinanto - 152, 172

funkcijos -113

kryptinė - 341

mišrioji - 320

neišreikštinės funkcijos -125,

318

sudėtinės funkcijos - 120, 315

vektorinės funkcijos - 150

vienpusė - 114

Kardioidė 254

Katenoidas 65

Kaustika 157

Kompleksinio skačiaus forma

algebrinė - 31

rodiklinė - 40

trigonometrinė - 35

Kompleksinių skaičių dalmuo 32

Konjunkcija 14

Koši nelygybė 294

Koši ribos apibrėžimas 71

Kreivė

grandininė - 65

lygio - 341

sraigtinė - 149

Kreivio apskritimas 155

Krcivinė trapecija 219

Kreivės lanko ilgis 251

Kreivis

apskritimo -153

kreivės - 153

vidutinis - 153

Kriterijus

Koši funkcijos - 95

Koši sekų - 67

netiesioginio integralo

konvergavimo Koši - 270

Kryptis

greičiausio nusileidimo - 344

greičiausio pakilimo - 344

Kūgis 301

Kvantorius

bendrumo -16

egzistavimo -16

Laiptuota figūra 219

Laukas

skaliarinis - 340

vektorinis - 340

Lema

Bolcano ir Vejerštraso - 66

įdėtųjų atkarpų - 66

Lemniskatė 289

Liestinė

erdvinės kreivės -151

plokščiosios kreivės -116

Lygtys

astroidės - 54

cikloidės - 54

parametrinės apskritimo - 52

parametrinės elipsės - 53

parametrinės hiperbolės - 66

parametrinės kreivių - 52

ryšio - 331

Logaritminė spiralė 249

Maksimali santykinė paklaida

dalmens - 315

funkcijos - 315

sandaugos - 315

Menamoji kompleksinio skaičiaus

dalis 31

Metodas

gradientinis ekstremumų

paieškos - 344

integravimo dalimis - 186, 235

kintamųjų keitimo apibrėž-

tiniame integrale - 232

kintamųjų keitimo neapi-

brėžtiniame integrale -183

Lagranžo daugiklių - 332

matematinės indukcijos -18

mažiausių kvadratų - 336

neapibrėžtųjų koeficientų -197

tiesioginio integravimo -182

Modulis

kompleksinio skaičiaus - 34

realiojo skaičiaus - 25

Momentas

inercijos - 264

statinis-261, 263

Natūralusis logaritmas 64

Neiginys 16

Neapibrėžtumas 84

Netiesioginis integralas, priklausantis

nuo parametro 363

Normalė

kreivės -117

paviršiaus - 349

Oilerio keitiniai 203

Pagrindinė netiesioginio integralo

reikšmė Koši prasme 284

Paraboloidas

elipsinis - 300

hiperbolinis - 300

Paviršiaus liečiamoji plokštuma 349

Paviršiaus statumas taške 350

Paviršius

antrosios eilės - 301

cilindrinis - 302

ekvipotencialinis - 341

lygio - 340

sukimosi - 297

Plokštuma

erdvinės kreivės

normalioji - 151

paviršiaus liečiamoji - 349

Polinė koordinačių sistema 35

Polinis kampas 35

Polinis spindulys 35

Polius 35

Pokytis

argumento - 97

funkcijos - 97

pilnasis funkcijos - 310

Požymiai

funkcijos ribos egzistavimo - 86

netiesioginių integralų su

begaliniais rėžiais konvergavimo

- 270

sekos ribos egzistavimo - 61

trūkiųjų funkcijų netiesioginių

integralų konvergavimo - 279

Predikatas 16

Rėžis

apatinis - 22

tikslusis apatinis - 22

tikslusis viršutinis - 22

viršutinis - 22

Riba

dvilypė - 304

funkcijos taške - 71, 303

integralinės sumos - 220

kartotinė - 304

kelių kintamųjų funkcijos -

skaičių sekos - 57

vektorinės funkcijos -150

vienpusė funkcijos - 73

Ribų dėsniai 82

Sandauga

kompleksinių skaičių - 32

loginė teiginių - 14

Seka

didėjančioji - 61

konverguojančioji - 57

Koši - 67

mažėjančioji - 61

monotoninė - 61

skaičių - 55

Sekosposekis 55

Skaičius

kompleksinis - 31

menamasis - 33

Neperio - 64

transcendentinis - 63

Skaičius e 62

Skaliarinis laukas 340

Sritis 296

Sudėtinis teiginys 14

Suma

apatinė Darbu - 222

integralinė Rymano - 220

kompleksinių skaičių - 32

loginė teiginių - 14

viršutinė Darbu - 222

Svorio centro koordinatės

figūros - 262

kreivės -263

Šaknies traukimas iš kompleksinio

skaičiaus 39

Taisyklė

antroji pakankama ekstremumo

egzistavimo - 161

Lopitalio - 140

pirmoji pakankama ekstremumo

egzistavimo - 160

Taisyklingoji racionalioji

trupmena 192

Taškas

kritinis - 160, 328

maksimumo - 158, 327

minimumo - 158, 327

perlinkio (vingio) - 164

ribinis - 26, 296

sienos - 27

trūkio - 98

vidinis - 26, 296

Taško aplinka 26,295

Teiginys 13

Teorema

antroji Bolcano ir Koši - 103

antroji Guldino - 266

antroji Vejerštraso - 104

atvirkštinė - 17

atvirkštinės funkcijos

Kantoro- 106

Koši -137

Lagranžo -138

Lopitalio- 139

monotoninės funkcijos ribos

egzistavimo - 86

monotoninės sekos ribos

egzistavimo - 61

pirmoji Bolcano ir Koši - 102

pirmoji Guldino - 265

pirmoji Vejerštraso -103

priešingoji -17

priešingoji atvirkštinei - 17

Rolio -136

tarpinės funkcijos ribos - 87

tarpinio kintamojo ribos - 62

tiesioginė - 17

tiksliųjų rėžių (Bolcano) - 22

vidurinės reikšmės - 228

Teoremų struktūra 17

Tiesioginis integralas, priklausantis

nuo parametro 356

Tinklelis

logaritminis - 338

pusiau logaritminis - 338

Toras 256

Traktrisė 173

tolydumo - 104 Vaizdas - 21

Ferma - 135

funkcijos, jos ribos ir

nykstamosios funkcijos

ryšio - 79

LITERATŪRA

1. Fichtengolcas G. Matematinės analizės pagrindai. I, II t. - V.:

Mintis, 1965.-422, 452 p.

2. Iljinas V., Pozniakas E. Matematinės analizės pagrindai. I, II t. -

V.: Mokslas. 1981. - 520, 402 p.

3. Kabaila V. Matematinė analizė. I, II t. - V.: Mokslas, 1983, 1986.

- 408, 482 p.

4. Kubilius J. Realaus kintamojo funkcijų teorija. - V.: Mintis, 1970.

- 284 p.

5. Matuliauskas A. Algebra. - V.: Mokslas, 1985. - 384 p.

6. Rudinas V. Matematinės analizės pagrindai. - V.: Mokslas, 1978. - 256 p.

7. Rumšas P. Trumpas aukštosios matematikos kursas. - V.:

Mokslas, 1976.-559 p.

8. Bohme G. Analysis 1. Anwendungsorientierte Mathematik. -

Berlin: Springer-Verlag, 1990. - 492 S.

9. Kirkwood J.R. An Introduction to Analysis. - Boston: PWS -

KENT Publishing Company, 1989. - 276 p.

10. Pforr E. Α., Schirotzek W. Differential - und Integralrechnung

fur Funktionen mit einer Variablen. -Leipzig: BSB B. G. Teubner

Verlagsgesellschaft, 1990. - 244 S.

11. Бермант А. Ф . , Араманович И.Г. Краткий курс матема-

тического анализа для втузов. - M.: Наука, 1973. - 720 с.

12. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по мате-

матическому анализу. - M.: Наука, 1972. - 544 с.

13. Жевняк P. M., Карпук А. А. Высшая математика. 4.1, II. -

Минск.: Вышейшая школа, 1984, 1985. - 223, 221 с.

14. Кудрявцев JI. Д. и др. Сборник задач по математическому

анализу. Интегралы. Рады. - M.: Наука, 1986. - 528 с.

15. Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное

исчисления. Т. I. - M.: Наука, 1978. - 456 с.

Leidyklos „ Technologija " knygas galima

užsisakyti internetu www.knygininkasJt

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS

Vidmantas PEKARSKAS

D IFERENCIAL IN IS IR INTEGRALINIS SKA IČ IAV IMAS

I dalis

Brėžiniai S. Mikalausko

SL 344. 2005-01-26. 24,25 leidyb. apsk. I. Tiražas 500 egz.

Užsakymas 375. Kaina sutartinė.

Išleido leidykla „Technologija", K. Donelaičio g. 73, 44029 Kaunas

Spausdino Standartų spaustuvė, S. Dariaus ir S. Girėno g. 39, 02189 Vilnius

http://www.knygininkasJt

diferencialinis ir integralinis skaiciavimas. 1 dalis [v.pekarskas] (2005) by cloud dancing

Documents