Diferenciál funkcie, jeho význam a použitie

Diferenciál funkcie

0 0

lim lim 0x x

y yx y x x

x x

Diferenciál – hlavná časť prírastku funkcie,

označujeme ho znakom dy

Výrazy y/x a 𝑦′ sa od seba líšia tým menej, čím viac sa x blíži k nule

0

limx

yy x x x y x x x

x

Tento člen ovplyvňuje prírastok funkcie oveľa viac ako druhý člen.

Pri x0 sú oba členy nekonečne malými, druhý člen je však

vyššieho rádu malosti.

dy

Geometrická interpretácia

Diferenciál zodpovedá prírastku funkcie, ak funkciu nahradíme v okolí bodu

x jej dotyčnicou.

dyy dy y x

x

x

x x

𝜶

3

3 3 2

2

2 2 3 2

y x x

dy d x x x x x x x

1

y x

dy d x x x x x

Obvykle sa preto píše namiesto x znak dx a nazýva sa diferenciálom nezávislej premennej (argumentu).

dx x

( )dy f x dx ( )dy

f xdx

Derivácia funkcie je rovná podieľu jej diferenciálu dy k

diferenciálu nezávislej premennej dx

Diferenciál súčtu, rozdielu podieľu viacerých funkcií

( )dy f x dx

2

... ...d u v w du dv dw

d uv vdu udv

u duv udvd

v v

dy f u du

Približný výpočet hodnoty funkcie –linearizácia funkcie

Pre malé hodnoty x sa prírastok funkcie y približne rovná

diferenciálu dy:

Ak namiesto prírastku funkcie vezmeme diferenciál, geometricky to znamená, že v okolí daneho bodu

nahradíme graf funkcie dotyčnicou

Na dostatočne úzkom intervale okolo daného bodu, možno každú funkciu nahradiť priamkou – dotyčnicouČím je interval užší, tým menej sa môže prejaviť zakrivenie

Linearizácia funkcií

Čím je interval užší, tým menej sa môže prejaviť zakrivenie krivky a krivka sa preto takmer nedá odlíšiť od priamky

Výpočet chýb – meranie vo fyzike

Meraním sme zistili polomer gule r s presnosťou

r. Určte relatívnu chybu merania objemu.

3 24 43

3

V dV r r r r

V dr

V r

3 3 2 324 4 4 43 3

3 3 3 3V r r r r r r r r

dV r r

Vo fyzike je prirodzené očakávať, že meracie zariadenie

spĺňa: r r

Relatívna chyba stanovenia

objemu je 3 krát väčšia ako

relatívna chyba polomeru

Nelineárna, zanedbateľná časť vzhľadom na 𝛥𝑟 0

Linearizácia často používanej funkcie 1y x

Linearizujme v okolí bodu x=0. Pre prírastok funkcie platí:

1

0

1x

y y x x x x

0 1y y y x

=1/2

= -1 x - x

= 1/3 x 5x4

= - 1/2 x - x2

x x

Často používané aproximácie:pre x~0 resp x

0

2

1

mm

v

c

2

00

2

11

21

m vm m

cv

c

Kinetická energia2

2 2 2 2 2

0 0 0 0

1 11

2 2k

vE mc m c m c m c m v

c

2

2

1/ 2

vx

c

Polomer kružnice r vzrástol z hodnoty a=10m na hodnotu 10,1m Odhadnite pomocou diferenciálu nárast plochy kruhu a porovnajte ho so skutočnou zmenou

2 2

2dS rdr

S r r r

Určte ako sa mení tiažové zrýchlenie s výškou, v priblížení

diferenciálu

Určovanie charakteristík funkcií použitím derivácieŠtúdium priebehu funkcií

Monotónnosť funkcie

0

0

0 tan

0

limx

y x RASTÚCAdy y

y x y x Konš tadx x

y x KLESAJÚCA

Derivovateľná funkcia je v danom intervale :

Konštantná, ak v tomto intervale:

Rastúca, ak v tomto intervale:

Klesajúca, ak v tomto intervale:

0y x

0y x

0y x

Podľa znamienka prvej derivácie môžeme rozhodnúť, či funkcia rastie alebo

klesá na nejakom intervale

Vidieť to aj z grafickej interpretácie

Funkcia rastie, smernica dotyčnice zviera s x-ovou osou ostrý uhol tg > 0

𝑦′ 𝑥 > 0

Funkcia klesá, smernica dotyčnice zviera s x-ovou osou tupý uhol tg < 0

𝑦′ 𝑥 < 0

0

0

0 tan

0

limx

y x RASTÚCAdy y

y x y x Konš tadx x

y x KLESAJÚCA

Lokálne maximum

Hovoríme, že funkcia má v bode x0lokálne maximum ak existuje také okolie

U, že platí:

lokálne minimum, ak existuje také okolie

U, že platí:

0( )f x f x

0( )f x f x

x0

x0

x0U U

Použitie derivácii na štúdium priebehu funkcií

Funkcia môže mať extrém iba v takom bode x0, v ktorom:

0( ) 0f x

Nutná podmienka

De

rivá

cia

je

nevla

stn

á

Deriv

ácia

sp

rava

je in

á a

ko

de

rivácia

zľa

va

Geometricky :

funkcia má v bode x0dotyčnicu rovnobežnú

s x –ovou osou,

alebo nemá dotyčnicu

v tomto bode.

derivácia existuje derivácia neexistuje

Aká je postačujúca podmienka?

0y 0y 0y 0y 0y

0y 0y Derivácia v bode D

neexistuje

Smernica

dotyčnice kladná

Smernica

dotyčnice kladná

Smernica

dotyčnice kladná

Znamienko derivácie funkcie sa musí v lokálnom extréme

zmeniť.

SKÚMAJME ZNAMIENKA DERIVÁCIÍ

1. spôsob

MAXIMUM

MINIMUM

• Určíme kritické body x0, v ktorých je derivácia nulová

𝑓″ 𝑥0 > 0 v x0 je lokálne minimum

𝑓″ 𝑥0 < 0 v x0 je lokálne maximum

𝑓″ 𝑥0 = 0 Môže byť extrém, alebo inflexnýbod, rozhodneš podľa derivácie, ktorá bude

prvýkrát nulová

• Preskúmaj body, v ktorých funkcia nemá deriváciu a stacionárne body, v ktorých funkcia nemá deriváciu.

Ove

ren

ie

po

stač

ujú

cej

po

dm

ien

ky

overíme či derivácia v bode x0 mení znamienko

• Ak pre x>x0 je 𝑓′ 𝑥 >0 & x

Nájdite extrémy funkcie:

2

2

2 3 1 3

4 1

x x

x

y x x e x x e

y x x e

33 4 0

1 4 0

y e

y e

Maximum

Minimum

2. spôsob – postačujúcu podmienku overíme podľa znamienka druhej deriváciekritický bodkritický bod

Znamienko prvej derivácie Správanie sa funkcie

RastieRastie Klesá+ +-

1. Spôsob – postačujúcu podmienku overíme podľa znamienka prvej derivácie

Aký má byť rozmer valca daného objemu V, aby jeho povrch

bol čo najmenší ?

Určte dĺžku jednozvratnej páky tak, aby k zdvihnutiu telesa s

hmotnosťou m1 umiestneného vo vzdialenosti a od podpery,

bolo potrebné pôsobiť najmenśou silou. Lineárna hustota

materiálu páky je .

Určte čas za ktorý kinetická energia dažďovej kvapky dosiahne maximum.

Kvapka mala počiatočnú hmotnosť m0 a pri páde jej hmotnosť dôsledkom

vyparovania sa rovnomerne zmenšuje.