diferensial kalkulus dari fungsi beberapa...
TRANSCRIPT
![Page 1: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/1.jpg)
DIFERENSIAL KALKULUS DARI
FUNGSI BEBERAPA VARIABEL
MATEMATIKA LANJUT 1
Jurusan: Teknik Informatika
Fakultas: Teknologi Industri
Dwi Ermawati
![Page 2: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/2.jpg)
TURUNAN PARSIAL
1. Turunan parsial pertama dari fungsi dua
variabel
Turunan parsial dari f(x,y) terhdp x dimana hanya variabel x saja yg
diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Begitupun sebaliknya.
Misal z = F(x,y) turunan parsial pertama z terhadap x dan y
dinotasikan denganππ
ππdan
ππ
ππ
![Page 3: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/3.jpg)
Contoh:
![Page 4: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/4.jpg)
2. Turunan parsial pertama dari fungsi tiga variabel
![Page 5: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh:
![Page 6: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/6.jpg)
Turunan Parsial Tingkat Tinggi
β’ Turuna Parsial Kedua Suatu Fungsi dua peubah dapat diperoleh
dari turunan parsial pertamanya.
β’ Karena ada dua turunan parsial pertama, ππ dan ππ, dan masing-
masing mempunyai dua turunan parsial, maka kita akan
mendapatkan empat turunan parsial kedua, Yaitu:
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
πππ= πππ
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
ππππ= πππ
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
πππ= πππ
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
ππππ= πππ
![Page 7: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh:
![Page 8: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/8.jpg)
β’ Turuna Parsial Ketiga: Suatu Fungsi yang dapat
diperoleh dari turunan parsial kedua.
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
πππ= πππ
π
ππ
πππ
πππ=
πππ
πππ= ππππ= ππππ
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
πππ= πππ
π
ππ
πππ
πππ=
πππ
πππ= ππππ = ππππ
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
πππ= πππ
π
ππ
πππ
πππ=
πππ
πππ= ππππ = ππππ
![Page 9: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh:
![Page 10: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/10.jpg)
SOAL LATIHAN
![Page 11: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/11.jpg)
DIFERENSIAL TOTALMisal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan
y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y
yang secara berturut-turut dinotasikan dengan
ππ
ππ=
ππ(π,π)
ππ(1)
ππ
ππ=
ππ(π,π)
ππ(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
dz = ππ(π,π)
ππdx dan dz =
ππ(π,π)
ππdy
Jumlah diferensialnya diperoleh:
dz = ππ(π,π)
ππdx +
ππ(π,π)
ππdy
![Page 12: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/12.jpg)
β’ Bila dipunya suatu fungsi z = f (x,y) maka Diferensial Total dari z atau
Diferensial dari z adalah
β’ Banyaknya suku yang terbentuk sesuai dengan banyaknya variabel
bebas yang dimiliki oleh fungsi itu, dari contoh di atas fungsi z memiliki
dua buah variabel bebas sehingga diferensialnya memiliki dua buah suku.
Bentuk di atas dapat diperluas
β’ Bila dipunya suatu fungsi z = f (ππ, ππ, ππ,β¦ ππ) maka Diferensial Total
dari z atau Diferensial dari z adalah
![Page 13: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/14.jpg)
Aturan Rantai (Chain Rule)
β’ Misalkan y = f(x) dan x = g(t) dengan f dan g keduanya
adalah fungsi yang terdiferensial. Maka y terdiferensial
di t seperti yang terlihat pada aturan rantai berikut:
β’ Untuk fungsi lebih dari satu variabel, aturan rantai
terbagi kedalam dua versi sebagai berikut:
![Page 15: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/15.jpg)
1. Aturan rantai versi 1
Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(t)
dan y = h(t) keduanya merupakan fungsi yang terdiferensial di t. Fungsi z
adalah fungsi yang terdiferensial di t
Karena z = f(x, y)
Contoh:
![Page 16: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/16.jpg)
2. Aturan rantai versi 2
Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(s, t)
dan y = h(s, t) keduanya fungsi yang terdiferensial di s dan t.
Contoh:
![Page 17: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/17.jpg)
3. Aturan rantai versi umum
Misalkan u suatu fungsi yang terdiferensial dengan n variabel ππ, ππ, ..., ππ, dan setiap
ππ merupakan suatu fungsi yang terdiferensial pada m variabel ππ, ππ, ..., ππ. Maka u
adalah suatu fungsi dari ππ, ππ, ..., ππ dengan i = 1, 2, ..., m.
Contoh:
![Page 18: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/18.jpg)
FUNGSI IMPLISIT
β’ Misalkan F(x,y) = 0 mendefinisikan y secara implisit
sebagai suatu fungsi x, katakan y = g(x), tetapi fungsi g
sukar untuk ditentukan. Suatu dy/dx dari kasus ini masih
dapat ditentukan dengan menerapakan aturan rantai
sebagai berikut:
![Page 19: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh:
![Page 20: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/20.jpg)
β’ Selanjutnya, misalkan z suatu fungsi implisit dari f(x, y, z) = 0, maka
diferensiasi kedua ruas terhadap x dengan mempertahankan y tetap
adalah sebagai berikut:
Karena y tetap maka
ππ¦
ππ₯= 0
β’ Sehingga:
dan
![Page 21: DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA VARIABELdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/56609/PERTEMUAN...Turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel Turunan parsial](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012312/5c8829e109d3f2f7788c5fa4/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh: