Differensial BiasaPertemuan 6

Matakuliah : K0352/Matematika BisnisTahun : 2008

Bina Nusantara

• Differensial merupakan bagian dari Kalkulus. Kalkulus adalah analisis matematika mengenai perubahan. Kalkulus terdiri dari diferensial dan integral. Perubahan yang dimaksud dalam kalkulus dapat berupa perubahan nyata dalam alam atau pun perubahan yang hanya dipikirkan untuk keperluan perhitungan. Pada hitung diferensial dicari laju perubahan sebuah fungsi dan pada integral dicari fungsi yang laju perubahannya diketahui.

• Analisis dalam ekonomi adalah analisis mengenai perubahan dan analisis marginal adalah analisis mengenai laju perubahan marginal yaitu laju perubahan sesaat yang tak lain adalah turunan pertama dari fungsi -fungsi yang bersangkutan, misalnya fungsi permintaan, fungsi penawaran , fungsi biaya, penerimaan dan sebagainya.

Differensial (1)

Bina Nusantara

Differensial (2)• Selain untuk menghitung laju perubahan hitung

diferensial dapat dipakai untuk menghitung maksimum dan minimum dari sebuah fungsi. Dalam ekonomi hitung diferensial dapat dipakai untuk menghitung bagaimana meminimalkan ongkos ataupun memaksimalkan propduksi, laba atau utilitas. Hitung diferensial juga dipergunakan dalam programasi matematika. Hitung diferensial dalam programasi matematika adalah mengitung nilai optimum sebuah fungsi di bawah kendala yang membatsi pencapaian nilai optimum.

Bina Nusantara

Turunan pertama sebuah fungsi (1)

• Turunan pertama suatu fungsi pada suatu titik adalah angka arah (slope) garis singgung melalui titik tersebut pada grafik fungsi tersebut.

Slope garis PQ adalah m = y2- y1/ x2- x1

Bina Nusantara

Turunan pertama sebuah fungsi (1)

• Apabila Q(x2 , y2) mendekati P(x1 , y1), • Maka lim y/x = slope garis singgung f(x) di P(x1 , y1). • Biasanya dalam pembahasan turunan suatu fungsi notasi

(x , y) digunakan bagi titik tetap (x1 , y1) dan (x+x , y+y) bagi titik yang berubah (x2 , y2).

• Oleh karena itu dy/dx = Lim x-->0y/x = Limx-->of(x+x) - f(x)/x merupakan turunan pertama dari y = f(x). Limit ini untuk suatu harga tertentu dari x dapat ada dapat pula tidak ada. Apabila limitnya ada f(x) dikatakan dapat diturunkan.

Bina Nusantara

Kaidah Diferensial (1)

dx

dy 1. Jika y = c , c = bilangan tetap maka

Contoh : y = 5 = 0dx

dy= 0

dx

dy

2. Jika y=xn, maka

Contoh : y = x3,

= n . X n - 1

dx

dy

= 3x2

dx

dy

3. Jika y = k.u k = bilangan tetap, u = f(x) maka dx

dy= k.

Contoh : y = 5x2= 5 . 2x = 10x

dx

dy

Bina Nusantara

dx

dy = u’ v + v’ udx

dy4. Y = u . v , dimana : u dan v = f(x) maka

contoh : y = 2x(4x2 +1) maka :

= 2 (4x2+1)dx

dy

5. Y = u /v u dan v = f(x) maka = (u’v – v’u)/ v2

dx

dy

Contoh : Y = 2x/(x-1) maka :

= (2 – 2x)/ (x-1)2dx

dy

Bina Nusantara

6. Y = un u = f(x) maka dy/dx = nun-1

Contoh : y = (2x2 – 5)2 maka dy/dx = 2(2x2 – 5)4x =8x(2x2 -5)

Bina Nusantara

7. Y = Ln x maka dy/dx = 1/x

8. Y = Ln u u = f(x) maka dy/dx = (du/dx)/u Contoh : Jika Y = Ln (4x + x2) maka dy/dx = (4 + 2x)/ (4x + x2)

Bina Nusantara

Fungsi Eksponensial9. Y = ax maka dy/dx = (ax) Ln a Contoh

10. Y = uv maka dy/dx = (uv) (v’ ln u + v/u) Contoh : Jika Y = x2x

dy/dx = (x2x) (2 ln x + 2)

Bina Nusantara

11. Y = ex maka dy/dx = ex 12. Y = eu maka dy/dx = (eu) u’ Contoh : y = e2x maka dy/dx = (e2x) 2 = 2 (e2x)