differential- und integralrechnung im mathematikunterricht beispiele für die unterstützung des...
TRANSCRIPT
Differential- und Integralrechnung im Mathematikunterricht
Beispiele für die Unterstützung des Unterrichts durch einen CAS-Rechner.
Franz Schlöglhofer
Verwendung eines Rechners im Mathematikunterricht
• Visualisieren
• Probieren
• Interpretieren
• Probleme analysieren
• Neue Inhalte und Methoden
Inhalt:
1) Erzeugen von Figuren im Grafik-Fenster2) Messungen (Temperatur und Bewegung)
- Datenerfassung3) Visualisierung Tangente -
Ableitungsfunktion4) Beispielhaft einige Aufgaben zur
Differentialrechnung5) Modellierung: Der Torabstoß beim
Fußball
1) Erzeugen von Figuren mit Funktionen 5. Klasse
Wir verwenden:
• Lineare Funktionen
• Quadratische Funktionen
• Abschnittsweise definierte Funktionen
Quadratische Funktionen
Verschiebung - Transformation
Abschnittsweise definierte Funktionen
Auch für lineare Funktionen:
Ein kleines Projekt:
Nach eigenen Ideen Figuren erzeugen mit elementaren Funktionen
Einige Ergebnisse:
Ein einfaches Beispiel
Erstes Experiment mit einer Blume
Der traurige König (Parametrische Linien)
Qualle
Raupe
Parametrische Kreisdarstellung
Schmetterling
Kreisbögen
Im nächsten Schuljahr
piranha
2) Physikalische MessungenModellbildung
Temperatur
Bewegung
Temperaturmessung mit dem NSPIRE
Messung der Temperatur sowie Speicherung und Verarbeitung der Daten.
Lists & Spreadsheet
Spalte A:
Zeit (Sekunden)
Spalte B:
Temperatur
(beginnt mit 41,6° C und endet mit ungefähr 16° C)
Scatter-Plot mit der gesamten Datenmenge
Temperatur-anpassung.
Zwei Probleme:
Messung zu lang
Transformation des Graphen günstig für das Auffinden von passenden Funktionen.
Verkürzte Tabelle (Spalten C und D)
Zeit (Spalte C):
=seq(i,i,0,25)
Temperatur (Spalte D):
=B-16
(Approximation an die x-Achse.)
Neuer Scatter-Plot
Zeit von 0 to 25 s
Temperatur von 25° to 0° C
Approximation durch Funktionen
Naheliegend ist der erste Versuch mit einer Quadratfunktion – funktioniert nicht besonders gut.
Bessere Approximation
Nur der erste Wert macht Schwierigkeiten.
Kubische Funktion
Exponentialfunktion
Nach einigen Versuchen einigen sich die Schüler auf diese Funktion als beste Approximation.
The motion of a running ball –velocity
Sensor for the measurement of distance
Schiefe Ebene Beschleunigte Bewegung
Die Distanz vom Sensor wird im Zeitintervall von 0.05s (50 Millisekunden) gemessen
Die Daten werden gespeichert.
Sensor
Spreadsheet Spalte A:
Zeit
Spalte B:
Distanz vom Sensor beginnend mit 0,159 m.
(Spalten C and D sind v und a.)
Scatter Plot Zeit – Distanz
Nach dem Beginn der Bewegung beschleunigte Bewegung
Auswahl des Beschleunigungsbereichs
Versuch mit einer quadratischen Funktion
Man findet relativ einfach eine gut passende Funktion
Zeit – GeschwindigkeitSpalte C:
Mittlere Geschwindigkeit
Distanz und Geschwindigkeit Lineare
Zunahme der Geschwindig-keit
Entwicklung der Geschwindigkeit als Funktion
Mittlere Geschwindigkeit – Funktionsaufruf
Mit dq(x,h) kann die mittlere Geschwindig-keit im Zeitintervall [x;x+h] berechnet werden
Momentangeschwindigkeit
Begriffliche Einführung ohne Rechner
Grenzwert h geht gegen 0
Grenzwert mit dem CAS
Lineare Funktion als Ergebnis der Grenzwert-berechnung.
Geschwindigkeit als Zeit-Ort-Funktion
Mittlere Beschleunigung berechnet aus den Messwerten
3) Visualisierung Tangente-Tangentenfunktion
(Idee Zappe)
Grafikfenster
Graph der Funktion
Tangente an den Graphen (Menü)
Messung der Steigung
Bewegung des Punktes (und der Tangente)
Graph der Tangentenfunktion - Ortslinie
Maßübertragung Tangentensteigung auf die y-Achse
Konstruktion des Punktes der Ableitungsfunktion (x-Koordinate des Punktes, Wert der Tangentensteigung)
Ortskurve (strichliert)
Weitere Funktionen
Exponentialfunktion
Tangentengleichung
Von der Tangenten-darstellung mit den Anweisungen des Grafik-Menüs ausgehend soll ein Weg zur Darstellung der Gleichung einer Tangente mit Punkt und Ableitung gefunden werden.
Tangente an eine quadratische Funktion
Tangente im Grafikmenü ermitteln.
Messung der Steigung und der Tangenten-gleichung
Experimentieren
Bewegung der Tangente
Anpassung der Steigung und der Gleichung
Tangente mit Hilfe der Ableitung:
Die Tangente im Punkt (p/f(p)) des Graphen der Funktion f hat die Ableitung f´(p) als Steigung.
Lineare Funktion:
y=k.x+d ,
f(p)=f´(p).p+d d=f(p)-f´(p).p
Tangente:
ta(p):=f´(p).x+f(p)-f´(p).p
ta(p):=f´(p).(x-p)+f(p)
Eingabe im Calculator-Fenster
Darstellung der Tangente im Grafikfenster
Bewegung der Tangente mit einem Schieberegler
It´s easy to change the function.
4) Eine Extremwertaufgabe - Beleuchtung
b=10, a=11
x=5 in die zweite Ableitung einsetzen
b=10, a=8
Funktionsgraphen
Darstellung der „Einzelgraphen“
Allgemeine Untersuchung der Funktion
Zweite Ableitung
5) Fußball: Torabstoß
Annahmen treffen.
Zunächst Bewegung ohne Luftwiderstand - Parabelbahn
Quadratische Funktionen
Beschreibung der Bahn:
Z.B.:
f(x)=0.01(x-10)(x-70) - Nullstellen
Bahn gegeben durch drei Punkte
Hochpunkt
Steigung beim Abschuss
…
Der Einfluss des Luftwiderstandes Experimente von
John Wesson (Britain) in seinem Buch:
„The Science of soccer“
Der Luftwiderstand des Balls ist direkt proportional zur Geschwindigkeit des Balls (nicht quadratisch).
Daher:
Einfaches Modell
Einige Grundlagen:Beschreibung der Bewegung durch die Zeit-Ort-Funktion s(t)
Die Geschwindigkeit v(t) ist die Ableitung von s(t) (angenähert der Differenzen-quotient).
Die Beschleunigung a(t) ist die Ableitung von v(t) (angenähert der Differenzen-quotient).
Ausgangspunkt ist die Beschleunigung
Üblich ist die Beschreibung der Bahn durch die Beschleunigung und Ziel ist die anschließende Lösung der Differentialgleichung.
Mit Hilfe der Differenzenquotienten kann auch simuliert werden.
Modellbeschreibung
ax(t) = -r*vx(t)
ay(t) = -g – r*vy(t)
vx(t+h) = vx(t) + h*(-r*vx(t))vy(t+h) = vy(t) + h*(-g – r*vy(t))
sx(t+h) = sx(t) + h*vx(t)sy(t+h) = sy(t) + h*vy(t)
Beschleunigung für x und y-Koordinate.
Berechnung der Geschwindigkeit
Berechnung der Zeit-Ort-Funktion
Anfangswertev(0)=(v0*cos(w) , v0*sin(w)) s(0)=(0 / 0)
Spalte A:Konstante:v0=30 (m/s)w=43 (Winkel)r=0.3 (Konstante Widerstand)h=0.1 (Schrittweite)
Berechnung Geschwindigkeit
Spalte B: =v0*cos(w) =b1+h*(-r*b1) =b2+h*(-r*b2) ….
Spalte C: =v0*sin(w) =c1+h*(-9.81--r*c1) =c2+h*(-9.81--r*c2) ….
Calculation of position:
Column D: =0 (start of motion) =d1+h*b1 =d2+h*b2 ….
Column E: =0 =e1+h*c1 =e2+h*c2 ….
Streu-Plot von (sx/sy).
Verkürzung im abfallenden Teil
Lösung der Differentialgleichung
Lösung der Differentialgleichung mit dem CAS-System im Calculator-Fenster, getrennt x- und y-Koordinate:
Aus ax=vx´=-r*vx mit den Anfangswerten erhält man vx
Zweiter Schritt von vx zu sx(t) Anfangsbedingung Lösung
Analog für die y-Koordinate:
Daraus kann eine Funktion f(x) für die Bahn
berechnet werden:
Experimentieren it dem Graphen von f(x):
Durch Wahl der Konstanten können die Charakteristika der Bahn untersucht werden.