diffszam nagyobb
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
1/24
Differencilszmts 1
ANALZIS
5. ELADSDIFFERENCILSZMTS
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
2/24
Differencilszmts 2
B
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
3/24
Differencilszmts 3
A1
B
B
szel
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
4/24
Differencilszmts 4
A2B
1B
A
B
szel
szel
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
5/24
Differencilszmts 5
a x
A
P
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
6/24
0x x} ( )0xf
( )xf
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
7/24
( ) ( )0xfxf
{
0xx
0x x
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
8/24
Differencilszmts 8
A fggvnyrtk vltozst az f(x)-f(x0)
klnbsg, mg a vltozs mrtkt, gyorsasgt
a hnyados adja meg.
Ez a szm ppen a fggvny (x, f(x)) s
(x0, f(x0)) pontjain thalad
szeljnek meredeksgt adja.
0
0 )()()(
xx
xfxf
x
xf
=
A fggvny vltozsi sebessgevalamely pontban
( ) ( )0xfxf
0xx
0x x
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
9/24
Differencilszmts 9
Fogalmak, definck
( ) ( )
0
0)(xx
xfxfxd
=
Differenciahnyados fggvny fogalma:Legyen az az f fggvny rtelmezsitartomnynak egy pontja, s a fggvny legyenrtelmezve legalbb egy -tl klnbzpontban.
0x
0x
0x
== szelszel tgm
A d(x) fggvnyt az ffggvny ponthoz tartozdifferenciahnyados (klnbsgi hnyados)fggvnynek nevezzk.
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
10/24
Differencilszmts 10
Differencilhnyados fggvny,differencilhatsg
( ) ( )
0
0intint
0
limxx
xfxftgm
xxrr
==
)( 0xf
=
Definci: az f fggvny differencilhat azrtelmezsi tartomnynak egy belspontjban, ha differenciahnyados fggvnynekaz pontban van vges hatrrtke.
0
x
0x
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
11/24
Differencilszmts 11
Pldk
a) Differencilhat-e az fggvnyaz =2 helyen?
b) Differencilhat-e az fggvny
a tetszleges helyen?c) Differencilhat-e az
az helyen?
3
)( xxf =
Ra
=)(xfhax ,3 [ ]2,1x
hax ,122 +
] ]5,2x20 =x
3)( xxf =0x
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
12/24
Differencilszmts 12
d) Differencilhat-e az
az helyen?
xxf =)(
00 =x
( )
==
=
0101
00
, ha x-, ha x
xx
xxxd
Folytonos-e c) s d) eset fggvnye a 2, ill. 0helyen?
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
13/24
Differencilszmts 13
Intervallumon differencilhatfggvnyek
Nylt intervallumon differencilhat fggvnyfogalma;
Derivltfggvny fogalma;
(differencilhnyados fggvny, derivlt)
Jobb- s baloldali differencilhnyadosok;
Zrt intervallumon differencilhat fggvnyek; f fggvny grafikonjhoz hzhat rint.
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
14/24
Differencilszmts 14
A folytonossg s
differencilhatsg kapcsolata
5.2 Ttel:
Ha az f fggvny differencilhat azpontban, akkor folytonos is ebben a
pontban.Bizonyts
A ttel nem megfordthat!!!
A differencilhatsgnak a folytonossgszksges, de nem elgsges felttele.
0x
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
15/24
Differencilszmts 15
Elemi fggvnyek derivltjaiKonstans fggvny
5.3 Ttel bizonytsHatvny fggvny
5.4 Ttel
( ) 0=
c
( ) =8x =
5
1
x ( ) =
4 7x
=
3 5
1
x
1)( = xx 1
+= Nnxnx
nn ,)( 1
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
16/24
Differencilszmts 16
Exponencilis fggvny
( )xx ee =
( ) +
=
Raaaaxx
ln
( ) =x4 =
x
5
3
Elemi fggvnyek derivltjai 2.
5.9 Ttel bizonytsaaz sszetett fv. utn
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
17/24
Differencilszmts 17
Logaritmus fggvny
( ) xx1
ln =
( ) axxa ln
1log =
( ) =x4log
Elemi fggvnyek derivltjai 3.
{ } ++ RxRa ,1\
5.11 Ttel bizonytsaaz sszetett fv. utn
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
18/24
18
Differencilsi szablyok
Felttel: fs g fggvnyek legyenek differencilhatkvalamely pontban.
a) brmely esetnRc cf is differencilhat 0x pontban,
)00 (xcf)(x(cf)''
=
b) f +g is differencilhat az 0x pontban, s
)(xg)(xf)(xg)(f
'''
000+=+
c) gf is differencilhat az 0x pontban, s
( ) ( ) 00000 )(xgxfx)g(xf)(xg)(f'''
+=
d) ha , )g(x 00 ,gf is differencilhat az 0x pontban, s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )020000
0 xg
xgxfxgxfx
g
f
'''
=
0x
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
19/24
Differencilszmts 19
Differencilsi szablyok
Fggvny szmszorosnak differencilsa
( )( ) ( )xfcxfc =
( ) =83x =
5
10
x( ) =xe4
0x
Felttel:fs g fggvnyek legyenek
differencilhatk valamely pontban.5.7 Ttel bizonytssal
Pldk:
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
20/24
Differencilszmts 20
Differencilsi szablyok 2.
Felttel:fs g fggvnyek legyenek differencilhatkvalamely pontban.
sszeg-, klnbsg fggvny differencilsa
( ) ( )( ) ( ) ( )xgxfxgxf =
( ) =
+ xxx x ln87210 3 45Plda:
0x
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
21/24
Differencilszmts 21
Differencilsi szablyok 3.
Szorzat fggvny derivltja
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxf +=
( ) = xx ln4 5 ( ) = 4 72 xexPldk:
Felttel:fs g fggvnyek legyenek
differencilhatk valamely pontban.0x
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
22/24
Differencilszmts 22
Hnyados fggvny derivltja
rtelmezsi tartomny!( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )xg
xgxfxgxf
xg
xf
2
=
=
+
3
4
42
5
xe
xx
Differencilsi szablyok 4.
Plda:
Felttel:fs g fggvnyek legyenek
differencilhatk valamely pontban.0x
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
23/24
Differencilszmts 23
Differencilsi szablyok 5.
( )( ) =+ 423ln 2 xx
( )( )( ) ( )( ) ( )xgxgfxgf =
( ) =+ 824 37 xxe
( )( ) =+ 73 34 xex
( ) = 483 252 xx
sszetett fggvny derivltja:
-
7/25/2019 Diffszam Nagyobb
24/24
Differencilszmts 24
Vge!