diffusion de sels dans les matériaux humides

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Diffusion de sels dans les matériaux humidesJean-François Daïan a & Nawal Madjoudj aa LTHE, UMR 5564 (UJF, INPG, CNRS, IRD) , BP 53, F-38041, Grenoble Cedex 9 E-mail:Published online: 05 Oct 2011.

To cite this article: Jean-François Daïan & Nawal Madjoudj (2001) Diffusion de sels dans les matériaux humides, RevueFrançaise de Génie Civil, 5:2-3, 331-355, DOI: 10.1080/12795119.2001.9692311

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RFGC – 5/2001. Transferts dans les bétons et durabilité, pages 331 à 355

Diffusion de sels dans les matériaux humides

Analyse des processus couplés et étude expérimentale

Jean-François Daïan — Nawal Madjoudj

LTHE, UMR 5564 (UJF, INPG, CNRS, IRD)

BP 53, F-38041 Grenoble Cedex 9

daian@hmg .inpg.fr

RÉSUMÉ. La spécificité du processus de pénétration des chlorures dans les matériauxpartiellement saturés d’humidité réside dans le couplage entre le transport du sel et celui del’humidité. On propose une analyse du processus qui débouche sur deux modèles simplifiéss’appliquant respectivement aux états de haute humidité et aux états plus secs. Un protocoleexpérimental de pénétration et de redistribution de sel dans une plaque de matériaucimentaire est décrit. Les résultats des essais réalisés sur six matériaux sont interprétés aumoyen de ces modèles et les diffusivités correspondantes sont évaluées.

ABSTRACT. The specific character of chloride ingress into partially moist materials consists incoupled transport of salt and moisture. An analysis of this process is proposed, together withtwo simplified models to be applied respectively to high and low moisture content conditions.An experiment of salt ingress and redistribution in a slab is applied to six cementitiousmaterials. The results are interpreted on the basis of the simplified models, and estimations ofthe diffusivity are proposed.

MOTS-CLÉS : matériaux non saturés d’humidité, potentiel osmotique, humidité relative,diffusion de chlorures, transport couplé, diffusivité.

KEY WORDS: Unsaturated materials, osmotic potential, relative humidity, chloride diffusion,coupled mass transport, diffusivity.

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1. Introduction

La diffusion des sels hautement solubles, en particulier les chlorures, dans lesmatériaux cimentaires fait depuis de nombreuses années l’objet d’études qui portentsur la loi de transport pertinente [NIL 96], l’influence de la fixation des ions[TAN 93], [ZHA 96], et la mesure des coefficients de diffusion [FRA 98]. Jusqu’àune époque récente, ces études portaient quasi exclusivement sur les matériauxsaturés d’eau, approche pertinente en ce qui concerne les parois d’ouvrages ou debâtiments immergés dans l’eau de mer. Le cas des parois exposées à l’atmosphèreambiante susceptibles d’être contaminées par les sels de déverglaçage ou lesembruns est en revanche très peu abordé à notre connaissance. Ce n’est que trèsrécemment, semble-t-il, que sont parues des études expérimentales portant surl’influence de la présence de sel sur les isothermes de sorption, et le transfert desolutions en milieu non saturé [FRA 97]. Le travail en collaboration dans le cadre duthème de recherche « Transferts dans les bétons et durabilité des ouvrages »,impulsé par le LCPC et dans lequel prennent place les travaux exposés ici, constitueainsi une contribution significative à la connaissance de ces phénomènes.

Ce qui caractérise spécifiquement la pénétration des sels dans une paroi nonsaturée d’eau est l’éventualité d’une mise en mouvement de l’humidité par couplageavec la diffusion du sel, et agissant sur elle en retour. Des outils théoriques quipermettent d’aborder ces mécanismes de couplage ont été proposés depuis quelquesannées, non par les ingénieurs du génie civil mais par les physiciens des sols,préoccupés par la salinisation des sols en régions arides [BEN 91], [BEA 95],[NAS 97].

L’objet du présent article est d’une part de contribuer à l’analyse théorique desprocessus de couplage spécifiques aux milieux non saturés, d’autre part de présenterquelques résultats expérimentaux qui, malgré leur caractère assez précaire, mettenten évidence de façon convaincante la réalité de ce couplage et se prêtent à uneinterprétation et à une modélisation cohérentes. Les concepts théoriques que nousproposons sont conformes, dans leurs grandes lignes, à ceux qui sont avancés par lesphysiciens des sols, situant l’origine fondamentale du couplage dans la migration del’humidité par diffusion en phase gazeuse.

2. L’origine fondamentale du couplage

2.1. Les effets des sels fortement solubles

Le transport des matières dissoutes dans l’eau interstitielle des matériaux poreuxest généralement modélisé comme un processus de diffusion lorsque la solution estimmobile, ou de diffusion-convection lorsqu’elle est en mouvement. Dans ce derniercas, le champ de vitesse de la solution qui engendre la convection est en général

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considéré comme une donnée issue de considérations hydrodynamiques qui ne sontpas fondamentalement affectées par la présence du soluté.

Cette analyse, justifiée dans une certaine mesure lorsqu’il s’agit du transportd’un soluté en faible concentration, demande à être réexaminée dans le cas de selstrès solubles comme les chlorures, migrant dans un matériau partiellement saturéd’eau interstitielle. Dans ce cas en effet, la pression partielle de la vapeur contenuedans la phase gazeuse interstitielle est affectée par la concentration de sel ensolution. Cet effet peut être exploité pour l’évaluation de la concentration au moyend’une mesure hygrométrique, comme on l’a fait dans l’étude expérimentalerapportée dans cet article.

Mais au-delà de cela, il convient dans certaines conditions de prendre en compteles conséquences de cet effet sur le transport de l’humidité en phase vapeur. On voiten effet que tout gradient de concentration engendre dans la phase gazeuseinterstitielle un gradient de pression de vapeur, et par conséquent un transportd’humidité par diffusion en phase gazeuse. On voit ainsi apparaître un couplageentre la diffusion-convection des sels et la migration d’humidité dont l’analysetraditionnelle ne rend pas compte. Ces processus sont spécifiques des matériaux nonsaturés et des sels fortement solubles. Leur modélisation et leur évaluationexpérimentale sont au centre de la présente étude. Dans les paragraphes qui suivent,on explicite les lois d’équilibre fondamentales qui sont à l’origine de ce couplage.

2.2. Potentiel osmotique

Lorsque de l’eau à l’état libre, c’est-à-dire sous la pression ambiante, contientune matière en solution à la concentration c (kg de soluté/kg de solution, cettedéfinition de la concentration correspond en fait à ce que les chimistes appellent letitre), son potentiel thermodynamique ) est modifié en raison de cetteconcentration. Le potentiel )(c) est négatif et, exprimé en unités de pression (Pa ouJ/m3), s’appelle pression osmotique.

La vapeur d’eau contenue dans l’air en contact avec la solution est soumise à lacondition d’équilibre thermodynamique. Cela se traduit par une réduction de saconcentration Uv par rapport à la concentration de la vapeur saturante de l’eau pureUvs, quantifiée par l’humidité relative M :

vs

v

U

UM [1]

L’équilibre thermodynamique implique la relation suivante entre le potentielosmotique et l’humidité relative :

MU

ln)(M

RTcÖ l [2]

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En ce qui concerne le chlorure de sodium, la relation entre l’humidité relative M

et la concentration c est représentée figure 1. On retiendra notamment la valeurrelative à la solution saturée :Ms = 0,75 pour c = cs.

Il apparaît que cette relation est approximativement linéaire. A la précision àlaquelle nous travaillerons par la suite, il sera suffisant de l’approcher linéairement :

M # 1 - sMsc

c avec sM = 1 - Ms = 0.25 [3]

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

hum

idité

rel

ativ

e

concentration (g de Nacl / g de solution)

Figure 1. Humidité relative engendrée par une solution de NaCl

2.3. Potentiel capillaire

Le liquide, eau pure ou solution, contenu dans les matériaux poreux non saturésest quantifié en termes de volume par la teneur volumique en liquide notée T (m3 deliquide par m3 de matériau). Ce liquide interstitiel est en état de tension capillaire.En effet, la courbure des interfaces microscopiques entre phase liquide et phasegazeuse engendre dans la phase liquide, selon la loi de Laplace, une dépression parrapport à la phase gazeuse interstitielle, par le biais de la tension interfaciale duliquide, constante caractéristique de sa nature chimique.

La dépression du liquide interstitiel < (< 0) par rapport à l’air interstitiel, quireste pratiquement à la pression ambiante, dépend de la saturation en liquide T et dela tension interfaciale de la solution. Dans ce qui suit, nous négligerons l’influencede la concentration en sel sur cette dernière, et la dépression capillaire seraconsidérée comme une fonction <(T).

D’un point de vue thermodynamique, la dépression capillaire s’interprète commeun potentiel capillaire, énergie d’état en J/m3, au même titre que le potentielosmotique, et s’ajoute à celui-ci pour caractériser le potentiel total de la solution. Elle adonc des effets identiques sur la pression partielle de la vapeur dans l’air en contact.En particulier, en présence d’eau pure, nous avons une relation analogue à [2] :

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MU

T ln)(M

RTØ l

[4]

L’humidité relative de l’air interstitiel se trouve ainsi liée à la saturation en eau.En principe, la relation M(T) n’est pas univoque, mais nous laisserons ce problèmede côté ici. Elle s’exprime par une courbe appelée isotherme de sorption. Cettecourbe, dont l’allure typique pour les matériaux cimentaires est indiquée sur lafigure 2, découle essentiellement de la distribution porométrique du matériau.

hu

mid

ité r

ela

tive,

M

teneur en eau volumique, T

000 1

1

Figure 2. Isotherme de sorption typique d’un matériau cimentaire

2.4. Solution sous tension capillaire

Le potentiel thermodynamique des solutions sous tension capillaire est la sommedes deux composantes précédemment définies, <(T) liée à la teneur en solution dumatériau et )(c) liée à la concentration en sel de la solution. La vapeur d’eau encontact est soumise à la condition d’équilibre thermodynamique :

MU

T ln)()(M

RTcÖØ l � [5]

On peut ainsi définir l’humidité relative comme le produit de deux composantes,dues respectivement à la teneur en solution et à la concentration :

M = MT(T) .Mc(c) [6]

Cette approche constitue déjà une approximation, dans la mesure où elle supposenégligeable l’influence de la concentration sur la tension interfaciale de la solution.Il faudrait donc en toute rigueur considérer une relation M(T, c) plus complexe, ceque nous omettrons par la suite.

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Si l’on admet que MT et Mc sont proches de 1, la relation [6] prend une formelinéarisée qui sera utilisée par la suite pour faciliter les calculs :

M # MT(T) - sMsc

c[7]

3. Etude expérimentale

3.1. Principe de la mesure

La relation entre humidité relative, concentration et saturation, linéarisée ou non,est le fondement du dispositif de mesure utilisé dans cette étude. Partant del’hypothèse que les expériences de diffusion de sel devaient laisser la phase liquideau repos, la teneur en solution dans l’échantillon devait être quasi uniforme. Lacomposante MT de l’humidité relative, associée au potentiel capillaire, pouvait alorsêtre traitée comme une constante mesurable avant l’expérience de diffusion, etl’humidité relative mesurée dans l’ambiance en contact avec les parois del’échantillon pouvait être considérée comme un indicateur suffisamment précis de laconcentration en sel régnant sur chacune de ses faces. On souhaitait en effet éviterles procédés lourds et destructifs de mesure directe de la concentration parprélèvement et dosage, afin d’obtenir un suivi continu et automatisé du déroulementdes essais. Par ailleurs, les capteurs électrochimiques de contact que l’on a tentéd’intégrer au dispositif se sont avérés inutilisables sur une paroi cimentaire.

L’expérience a montré que l’hypothèse d’une phase liquide au repos estgénéralement en défaut dès que le matériau est désaturé d’humidité, mêmelégèrement. Ne disons pas « hélas ! », car si cette constatation rendait le dispositif demesure insuffisant, elle apportait en contrepartie une confirmation expérimentale dela réalité du couplage.

3.2. Dispositif expérimental

3.2.1. Cellules de diffusion

Les cellules de diffusion, représentées schématiquement figure 3 sont conçuespour recevoir des disques du matériau soumis à l’expérience. Le disque est serréentre deux joints plats. Il délimite dans la cellule un compartiment supérieur et uncompartiment inférieur. L’étanchéité de chacun des compartiments par rapport àl’extérieur et de l’un par rapport à l’autre est assurée par des joints. La paroi dechacun des compartiments comporte un trou d’accès pour un capteur d’humiditérelative (hygromètre).

Chacun de ces capteurs mesure l’humidité relative de l’ambiance ducompartiment correspondant. On admet que cette ambiance est en équilibre avec lasolution interstitielle présente sur la face correspondante de l’échantillon. Les

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capteurs fournissent donc une mesure du potentiel total (capillaire et osmotique)régnant sur chacune des deux faces de l’échantillon.

Il convient de bien analyser le rôle joué par les deux compartiments étanches, entermes de conditions à la limite sur les faces de l’échantillon. Chacun descompartiments ne contient que de l’air, qui tend à acquérir une humidité relativeidentique à celle qui règne dans l’échantillon, au niveau de la face correspondante.Ceci nécessite un échange d’eau, par évaporation ou condensation, entrel’échantillon et l’air du compartiment. En termes de masse, cet échange estparfaitement négligeable, car la capacité en vapeur d’eau du compartiment estextrêmement petite. On peut ainsi considérer que le compartiment impose unecondition de flux d’humidité nul sur la face correspondante de l’échantillon.

3.2.2. Capteurs d’humidité relative et acquisition

Les capteurs d’humidité relative (Transmicor, Coreci SA) sont de type capacitif.Un polymère adsorbe l’humidité de l’ambiance et constitue le diélectrique variabled’une capacité. L’électronique, intégrée à l’appareil, est alimentée par une sourcecontinue et délivre une tension comprise entre 0 et 5 V dépendant de la capacité ducapteur.

L’électronique est en principe préréglée par le fournisseur pour que la tensiondélivrée soit approximativement proportionnelle à l’humidité relative (20 points parVolt). La tentative de vérifier cet étalonnage, voire d’étalonner individuellementchaque capteur utilisé au moyen des solutions saturées de référence, a donné desrésultats peu reproductibles, d’une précision et d’une fiabilité médiocres. Dans cesconditions, il nous a paru plus raisonnable d’adopter l’étalonnage grossier de20 points par Volt pour tous les capteurs, quitte à rester réservé sur la précision del’humidité relative, notamment sur sa valeur absolue. Tous les résultatsexpérimentaux ont été autant que possible interprétés au moyen des différences oudes variations d’humidité relative, en évitant d’exploiter les valeurs absolues.

Les tensions délivrées par huit capteurs Transmicor sont transmises à un micro-ordinateur muni d’une carte d’acquisition à huit voies. Il est ainsi possible deconduire simultanément, par exemple, quatre expériences de diffusion utilisantchacune deux capteurs. Le programme d’acquisition permet de choisir la fréquencedes huit mesures et de l’enregistrement des données sur fichier. Il comporte unmodule graphique qui permet de visualiser l’évolution de l’humidité relative surdeux capteurs depuis le début de l’expérience, de contrôler ainsi en temps réel ledéroulement de chaque essai en cours, et de prendre les décisions nécessaires.

3.3. Absorption et redistribution de sel : protocole expérimental

L’échantillon ayant été porté dans un état de saturation hydrique supposéuniforme, on dépose sur l’une de ses faces du sel à l’état solide afin qu’il se dissolve

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et diffuse dans l’épaisseur de la plaque. L’intérêt de ce procédé est double. D’unepart, on ne modifie pas le degré de saturation hydrique de l’échantillon, comme celase produirait par l’apport d’une solution de sel. D’autre part, le procédé reproduitdes conditions proches de l’exposition d’une paroi aux sels de déverglaçage.

Dans une seconde phase de l’expérience, l’absorption du sel dans l’échantillonest interrompue et on laisse le sel pénétré durant la phase précédente se redistribuerdans l’épaisseur de l’échantillon, jusqu’à atteindre une configuration d’équilibre àconcentration uniforme, en principe au bout d’un temps infini.

hygromètre 1

hyg

rom

ètre

0

Face 0

Face 1Redistribution Cellule de diffusion

Applicationdu sel

0

1

x/a

Face 0

Face 1

Figure 3. Protocole expérimental. Cellule de diffusion

La phase d’absorption du sel est réalisée hors de la cellule, par conséquent sanscontrôle de l’humidité relative sur les faces de l’échantillon. Son but est de faireabsorber par l’échantillon une masse de sel préalablement calculée. On appelleradose une fraction de la masse de sel qui serait nécessaire pour saturer le volumed’eau contenu dans l’échantillon. On vise généralement une dose de l’ordre de 1/4.Uniformément répartie dans l’épaisseur de l’échantillon et en admettant que le selest exclusivement en solution, sans fixation, la dose 1/4 donne une solutioninterstitielle au quart de la saturation. La masse de sel requise se calcule connaissantla solubilité du sel, la teneur en eau initiale et le volume de l’échantillon.

Si l’on admet que l’absorption du sel est gouvernée par une simple équation dediffusion, l’étude analytique montre qu’à la date où la dose absorbée atteint 1/4environ, la face non exposée au sel n’est pratiquement par touchée par la diffusion.Donc, il n’y a rien à voir en principe en termes de concentration et d’humidité relativesur cette face durant une phase d’absorption interrompue suffisamment tôt. Sur la face

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exposée au sel non plus, puisque l’on est censé y observer l’humidité résultant d’unesolution saturée. On pouvait légitimement en conclure qu’il n’y avait pasd’inconvénient majeur à se priver de l’enregistrement de l’humidité durant la phased’absorption du sel. L’expérience a démenti cette prévision, comme on le verra.

Pour réaliser en pratique cette première phase, une masse de sel en excès, couvrantuniformément toute la surface est déposée après pesées sur une face de l’échantillon.L’autre face et la surface latérale sont protégées par de l’adhésif. Le tout est emballédans de la feuille d’aluminium. Le protocole de pesées périodiques permet d’évaluer àla fois les légères pertes d’eau de l’échantillon et la masse de sel absorbé. On contrôleainsi approximativement la cinétique d’absorption qui, selon la théorie de la diffusion

simple, est en t tant que la diffusion n’a pas atteint la face 1. Les duréesd’exposition au sel nécessaires à l’absorption d’une dose d’environ 1/4, assez variablesen fonction du matériau, sont de l’ordre de plusieurs jours. La connaissance de lacinétique d’absorption donne accès à une évaluation pondérale de la diffusivité fondéesur un modèle de diffusion simple en l’absence de fixation du sel.

Lorsque la dose absorbée est suffisante, le sel est définitivement enlevé,l’échantillon est placé dans la cellule pour la redistribution du sel durant laquellel’humidité relative sur les deux faces est enregistrée. Ces mesures sont censéesconfirmer la valeur de la diffusivité par confrontation au modèle théorique de laredistribution.

3.4. Les matériaux étudiés

Les matériaux étudiés comportent quatre pâtes de ciment pures et deux mortiersdénommés conventionnellement :

Pâtes : CN (E/C 0,45), CO(E/C 0,35), P1(E/C 0,35), P2(E/C 0,35)Mortiers : M1N, M2N

CN CO P1 P2 M1N M2N

Volume, cm3 19,663 19,005 24,509 23,056 24,215

Masse saturé, g 37,32 39,2 54,3 49,4 55,3

Masse sec, g 29,48 33,23 47,04 43,85 51,32

Masse vol. saturé, g/cm3 1,90 2,06 2,22 2,14 2,28

Masse vol. sec, g/cm3 1,50 1,75 1,92 1,90 2,12 2,12

Porosité 0,40 0,31 0,30 0,24 0,16 0,16

Mas. vol. granulaire, g/cm3 2,49 2,55 2,73 2,50 2,54 2,54

Tableau 1. Caractérisation des matériaux

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Des éprouvettes cylindriques de diamètre 80 mm environ, on a tiré par sciage desdisques d’épaisseur 8 mm environ pour les expériences de transfert.

Des disques de 5 mm environ pour la caractérisation densimétrique ontégalement été préparés. Le volume apparent a été mesuré avec une bonne précisionau pied à coulisse. Les échantillons ont été pesés après saturation en eau sous vide,puis après séchage jusqu’à la stabilité du poids, à température modérée (45 à 50 °C),en enceinte fermée et en présence de gel de silice, afin de limiter la carbonatation.

La porosité et la densité granulaire se déduisent de ces mesures, mais avec uneprécision assez médiocre, compte tenu de la difficulté à atteindre avec certitude lasaturation du matériau et de la présence de défauts, de bulles d’air occlus asseznombreuses et pas toujours apparentes de l’extérieur. Les caractérisationsélémentaires des six matériaux sont données dans le tableau 1.

4. Transferts couplés : un modèle simplifié

4.1. Lois fondamentales du transport

La loi de diffusion du sel dans la phase liquide contenue dans un milieu poreux1,supposée au repos, exprime la densité macroscopique de flux de sel Js (kg m-2 s-1) seproduisant sous l’effet d’un gradient de concentration :

x

cDJ sls

w

w� U [8]

Lorsque, simultanément, la solution possède une vitesse de filtration Vl (m/s), unflux convectif de sel s’ajoute au flux diffusif :

cVx

cDJ llsls UU �

w

w� [9]

La filtration de la phase liquide sous l’effet d’un gradient du potentiel capillaire<, caractérisé par la vitesse Vl (m/s) et par la densité de flux-masse de solutionJl = UlVl (kg m-2 s-1) obéit à la loi de Darcy :

x

ØKVl

w

w� P

[10]

1. En principe, la diffusion d’un électrolyte ne peut être étudiée sans prendre en compte ladissociation en ions, les mobilités différentes de ces ions, les phénomènes électrochimiquesassociés et le comportement différencié des ions vis-à-vis de la fixation sur la matrice solidedu milieu poreux. Nous nous limiterons à une approche simplifiée de la diffusion globale dusel, alors qu’en toute rigueur il faudrait modéliser la diffusion différenciée des ions présentsen solution.

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P (Pa.s) est la viscosité de la solution en filtration et la perméabilité K (m2)caractérise la taille et la morphologie des canaux d’écoulement microscopiques dansl’état de saturation considéré. Le flux-masse de solution Jl se décompose en deuxtermes : transport de l’eau, Ul(1-c)Vl , et transport convectif du sel déjà indiqué, UlcVl.

L’humidité migre aussi en phase gazeuse par diffusion moléculaire sous l’effetd’un gradient de la concentration de vapeur Uv. La densité de flux de vapeur Jv

(kg m-2 s-1) répond à la loi de Fick :

xD

xDJ vvs

vvv

w

w�

w

w�

MU

U[11]

Dv (m2s-1) est le coefficient de diffusion de la vapeur.

4.2. La saturation résiduelle. Propriétés de transport à seuil

Les trois coefficients de transport fondamentaux, Ds, K, et Dv sont des fonctionsde l’état de saturation en solution du milieu T. En particulier, la capacité de transportde la phase liquide, caractérisée par Ds et K, est susceptible de devenir quasimentnulle pour un degré de saturation en liquide non nul et même parfois assez élevé.Ceci se produit lors du drainage ou du séchage d’un matériau, lorsque le liquiderestant est logé dans des régions de l’espace poreux isolées les unes des autres. Auxbasses saturations, aucun écoulement et aucune diffusion ne sont possibles dans unephase liquide dont la continuité a été rompue. Cet état parfois appelé saturationrésiduelle apparaît au-dessous du seuil de teneur en solution Trés ou par la valeurcorrespondante de MT, que l’on notera Mrés.

La variation des propriétés de transport avec la saturation, source de la non-linéarité des équations constitutives, est la principale difficulté pour l’exploitationdes lois de transport. Sur le plan mathématique, cela oblige à traiter le problème parune méthode non analytique. Qui plus est, la détermination expérimentale desvariations de tous ces coefficients demanderait un travail énorme et serait mêmesans doute impossible par principe. En effet, aucun procédé expérimental ne permetpar exemple d’isoler le transport en phase liquide de la diffusion de vapeur, ou ladiffusion du sel de celle de la vapeur.

Nous avons donc choisi dans ce travail de rechercher quelques situations danslesquelles, au moyen de simplifications parfois grossières, il est possible de seramener à des équations de diffusion linéaires et à des conditions aux limites quiautorisent à utiliser soit des solutions analytiques classiques, soit des résolutionsnumériques légères. Ce type d’outil simple sera exploité dans l’interprétation detoutes les expériences, quitte à se contenter de la reproduction dans leurs grandeslignes des comportements observés et d’estimations des coefficients de transportn’ayant valeur que d’ordre de grandeur. Cette option nous paraît préférable à la

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tentative, qui s’avère généralement illusoire, d’ajuster des coefficients de transportvariables sur des données expérimentales déjà entachées d’une précision médiocre.

Une des façons de simplifier le problème des non-linéarités est de les exagérer,en adoptant un comportement à seuil, binaire, pour certains coefficients de transport.Nous proposons de définir deux domaines de la saturation T (ou de MT) séparés par leseuil de saturation résiduelle Trés (ou Mrés). En dessous du seuil, Ds et K sont nuls.Au-dessus, on pourra admettre à titre de simplification que la perméabilité K estsuffisamment grande pour que l’écoulement de la phase liquide se fasse sousgradient de potentiel capillaire négligeable.

4.3. Approximation dans le domaine des hautes saturations

Durant un processus transitoire quelconque, le bilan de masse de l’eau,composant principal de la solution également présent en phase gazeuse, s’écrit entoute généralité :

> @ > @)1(avec c

x

JV

t llvlll

� cw

�cw�

w

cwUU

UTU[12]

Négligeons tout d’abord les variations de la contribution de l’eau à la densité dela solution lU c supposée proche de la masse volumique de l’eau pure. Si par ailleursles conditions de très grande perméabilité sont remplies dans un échantillon dematériau, ou dans une région de celui-ci, le potentiel capillaire < est quasi uniforme,même en cas de filtration de la solution. Il en est donc de même de la saturation T

supposée déterminée exclusivement par <. Si de plus, comme c’est le cas dans lesexpériences envisagées ici, l’échantillon ou la région considérée n’échange pasd’eau avec l’extérieur, aucune accumulation d’eau n’a lieu, la saturation resteégalement constante dans le temps et l’équation [12] se réduit à un bilan nul du fluxglobal d’humidité :

lU cVl+Jv=0 [13]

Nous avons dans ces conditions, en tout point de l’échantillon, un flux-massed’eau liquide opposé au flux de vapeur. Le flux de vapeur est gouverné parl’équation de diffusion [11], dans laquelle le gradient de M se réduit au gradient deMc, puisque MT est uniforme. La diffusion de vapeur est engendrée in fine par ladiffusion du sel. Si nous admettons de plus la linéarisation [7] :

x

c

c

D

xDJ

s

svvsvvsv

w

w

w

w�

MUMU [14]

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Ce flux est exactement compensé par un flux d’eau dû à l’écoulement de lasolution, lequel engendre à son tour le transport du sel par convection, selonl’équation [9]. D’où l’expression du flux de sel :

x

c

c

cD

x

cDJ

sl

svvslsls

w

w

c�

w

w�

U

MUUU [15]

Moyennant ces hypothèses et approximations, nous parvenons à une expressiondu flux-masse de sel analogue à l’équation de Fick [8], dont le coefficient detransport prend en compte le couplage avec le transport d’humidité et dépend de laconcentration c :

vsl

vsssssls D

c

cDD

x

cDJ

U

UMU

c� c

w

wc� avec [16]

4.4. Simulation approchée des expériences

4.4.1. Modèle pour une forte saturation initiale

Modélisons, au moyen des approximations développées ci-dessus, l’expériencedécrite au paragraphe 3.3, réalisée sur un échantillon dont la saturation estsuffisamment grande. Pour obtenir l’équation différentielle qui gouverne leprocessus, il faut porter la loi de transport simplifiée [16] dans l’équation deconservation de la masse de sel. Celle-ci s’écrit en toute généralité, en tenant compted’une masse de sel fixée par adsorption sur la matrice solide que nous noterons J(c)(kg/m3), dépendant de la concentration c de la solution interstitielle :

x

J

t

cc sl

w

w�

w

�w )]([ JTU[17]

Les équations [16] et [17] donnent naissance à une équation de diffusion nonlinéaire dont la seule inconnue est la fonction c(x,t) :

»¼

º«¬

ª

w

wc

w

w

w

�w

x

cD

xt

ccsl

lU

JTU )]([[18]

Quelques simplifications supplémentaires sont nécessaires pour linéariserl’équation [18].

En premier lieu, le coefficient de diffusion sDc doit être considéré commesensiblement constant. D’autre part,T étant déjà supposé constant, il faut négligerles variations de Ul et admettre que la fixation du sel est soit inexistante, soitlinéaire :

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J(c) = *c [19]

L’équation [18] prend alors la forme linéaire classique :

l

scc

Ã

DD

x

cD

t

c

UT /avec

2

2

�

c

w

w

w

w[20]

La diffusivité Dc (m2 s-1) est qualifiée par certains auteurs d’apparente pour la

distinguer des coefficients de diffusion Ds et sDc qui s’expriment dans les mêmesunités. Le dénominateur est parfois appelé porosité corrigée, car en l’absence defixation et en milieu saturé, il s’identifie à la porosité T H�

La résolution de cette équation, avec les conditions aux limites qui caractérisentd’une part la phase d’application du sel et d’autre part la phase de redistribution denos expériences, est classique.

On définit les variables adimensionnelles t*, x* et c* par :

s

c

c

cc

a

tDt

a

xx ***

2[21]

Chacune des deux phases est décrite par une solution analytique sous forme desérie de Fourier, pouvant aussi être obtenue par une méthode numérique.

A titre d’exemple, pour une dose 0,3, la figure 4 montre la cinétique de la dose etdes concentrations sur les faces, c0* et c1*.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

dose absorbéec

0*

c1*

temps adimensionnel, t*

redistribution

abso

rptio

n

Figure 4. Cinétique de la dose absorbée et des concentrations sur les faces x* = 0et x* = 1 (simulation Min i> Mrés, dose 0,3)

La figure 5 indique l’évolution du profil de concentration c*(x*) durantl’absorption, puis durant la redistribution. Les humidités relatives enregistrées

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durant l’expérience sur les faces de l’échantillon, M0 et M1, sont liées auxconcentrations correspondantes c0* et c1* par la relation [7], dans laquelle MT estcensé rester constant. Sa valeur n’étant pas connue dans le cadre du protocole adoptéici, la confrontation d’expérience modèle pourra se faire en exploitant la différenceM0-M1. La figure 6 donne la cinétique de M0 et M1, avec conventionnellementMT = Mini = 1.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

absorptionredistribution

conc

enra

tion,

c*

x*

Figure 5. Profils de concentration successifs durant l’absorption et la redistributiondu sel (simulation Mini > Mrés, dose 0,3)

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

M0

M1


redistribution

absorption

(Mini

)

(Mini

- 0.25)

Figure 6. Cinétique de l’humidité relative sur les faces x*=0 et x*=1 (simulationMini>Mrés)

4.4.2. Modèle pour une faible saturation initiale

Dans le cas où l’échantillon est initialement sous le seuil de saturation résiduelle,la diffusion du sel est empêchée par le coefficient de diffusion nul. C’est alorsl’humidité qui va migrer vers le sel pour le dissoudre. Cette migration se fait

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évidemment par diffusion de vapeur, puisque la perméabilité est également nulle. Del’humidité s’accumule sur la face exposée au sel et dissout celui-ci. La saturationhydrique atteint ainsi le seuil au voisinage de cette face, ce qui permet d’amorcer ladiffusion du sel. Une région à saturation résiduelle progresse à partir de la faceexposée. La diffusion du sel dans les conditions décrites au paragraphe 4.3 peut seproduire en deçà de ce front de saturation. La région au-delà du front perd del’humidité pour alimenter la progression de la zone à haute saturation. Elle restedonc en dessous du seuil de saturation résiduelle et par conséquent n’est pas atteintepar la diffusion du sel. Notons xf la position instantanée du front, et convenonsd’appeler « supérieure » la région 0 < x < xf et « inférieure » la région xf < x < a.

En principe, la cinétique de ce processus est contrôlée par deux coefficients dediffusion : le coefficient cDc pour la diffusion du sel dans la région supérieure et le

coefficient de diffusion de la vapeur dans la région inférieure. Afin de limiter lenombre de paramètres du modèle, nous admettrons que ce dernier est suffisammentgrand pour ne pas limiter la cinétique. Autrement dit, dans la région inférieure,l’humidité relative est quasi uniforme, car la concentration de sel est nulle et larésistance à la migration de la vapeur vers le front est négligeable.

Pour expliciter quantitativement ce schéma couplé, il faut utiliser deux variablesd’état principales, par exemple MT et c. La quantité mesurée dans l’expérience est lacombinaison M donnée par la relation [7], que nous rappelons :

M # MT(T) - sM

sc

c[7]

Région supérieure 0 < x < xf : MT est quasi uniformément égal à Mrés. Un profil deconcentration c(x) se développe. En x = 0, la condition c = cs (ou c* = 1) est imposéedurant la phase d’exposition au sel. Une condition de flux de sel nul lui succèdedurant la redistribution.

Région inférieure xf < x < a : MT, qui s’identifie à M puisque c = 0, est quasiuniforme, mais diminue dans le temps. Sa valeur, que l’on peut noter M1 puisquec’est l’humidité qui sera mesurée en x* = 1, est liée à la position du front par lacondition de conservation de la quantité totale d’humidité contenue dansl’échantillon. Dans l’hypothèse où l’isotherme de sorption est linéaire, cettecondition s’explicite directement au moyen de M1 et Mrés sans avoir à passer par lavariable liée T.

Condition au front x = xf : la concentration immédiatement en amont, c(xf) estnon nulle et évolue en fonction du temps. Immédiatement en aval, elle est nulle. Lavariable MT présente également une discontinuité. Ce type de discontinuité n’est enprincipe pas admissible pour les variables d’état. Il s’agit d’un artifice simplificateurlié à l’annulation brutale supposée du coefficient de diffusion et de la perméabilitéquand on franchit le seuil de saturation résiduelle qui règne dans la région inférieure.Le front se comporte comme une barrière à la diffusion des ions tout à faitcomparable à une membrane osmotique, à travers laquelle on observe une

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discontinuité de concentration. Dans la réalité, ce type de front n’existe pas, mais onobserve des zones de transition qui peuvent être très étroites lorsque les coefficientsde transport décroissent rapidement au voisinage du seuil. En revanche, la variableM� qui est le potentiel de la diffusion de vapeur, ne peut présenter de discontinuité,car le coefficient de diffusion de la vapeur ne s’annule pas au front. Ceci fournit enoutre la condition de fermeture du problème :

M� = Mrés - sMs

f

c

xc )([22]

Il n’existe pas de solution analytique pour ce problème à frontière mobile, ditproblème de Stefan. Un code numérique aux différences finies a été utilisé pourobtenir le comportement décrit par les figures 7 et 8, qui simule le cas suivant :

Mrés=1 par convention; état initial Mini = 0,95 ou Mrés-0,05 ; dose 0,3.

Ces figures sont à comparer avec les figures 5 et 6. On note en particulier que ladurée de l’absorption de la dose de sel n’est pas modifiée de façon spectaculaire. Enrevanche, la redistribution est sensiblement modifiée. Le point essentiel est qu’elles’achève sur une situation de blocage du front, qui n’atteint pas l’extrémité del’échantillon (figure 7). Le profil de concentration final présente une discontinuité auniveau de la position finale du front, compensée par une discontinuité de lasaturation hydrique, de façon à réaliser la continuité de l’humidité relative M. Celle-ci est uniforme en fin de processus, condition pour que l’équilibre soit atteint entermes de diffusion de vapeur.

D’autre part, on observe qu’à la fin de la phase d’absorption du sel, la différenced’humidité relative entre les deux faces est sensiblement inférieure à 0,25,contrairement au cas de la forte saturation initiale. Cela pourra être exploité dansl’interprétation des expériences, pour juger de l’adéquation de l’un ou l’autre modèle.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

absorptionredistribution

c*

x*

Figure 7. Profils de concentration successifs durant l’absorption et la redistributiondu sel (simulation Mini<Mrés, dose 0,.3,Mrés-Mini=0,05)

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0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

M0

M1


(Mres

)

(Mini

)

(Mres

-0.25)

Figure 8. Cinétique de l’humidité relative sur les faces x* = 0 et x* = 1 (simulationMini < Mrés, dose 0,3,Mrés-Mini= 0,05)

5. Analyse des résultats expérimentaux

5.1. Evaluation pondérale de la diffusivité Dc

L’état initial des échantillons est indiqué dans le tableau ci-dessous. On constateque la teneur en eau initiale est proche de la saturation. Cependant, le matériau sedésature légèrement durant la phase d’exposition au sel, cédant une certaine massed’humidité au sel présent en excès.

CN CO P1 P2 M1N M2N

Porosité H 0,40 0,31 0,30 0,24 0,16 0,16

teneur en eau vol. initiale 0,41 0,29 0,28 0,23 0,15 0,15

t. en eau après absorption du sel 0,27 0,22 0,14 0,13

Epaisseur mm 8,07 8,12 8,29 8,14 8,46 8,13

Durée d’exposition jours 2,8 14 11 7,7 4,9 2,1

Dose de sel adimensionnelle 0,28 0,06 0,17 0,15 0,27 0,29

Durée d’exposition adimens. 0,062 0,0031 0,024 0,019 0,058 0,066

Dc m2/s 1,7 E-11 2,0 E-13 1,6 E-12 1,8 E-12 8,7 E-12 2,3 E-11

Dcs m2/s 6,7 E-12 6,3 E-14 4,7 E-13 4,3 E-13 1,4 E-12 3,7 E-12

Tableau 2. Evaluation pondérale de la diffusivité

Le principe de l’évaluation pondérale de la diffusivité a été exposé auparagraphe 3.3. La base de la méthode est la cinétique théorique de la dose de sel

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absorbée présentée figure 5, établie selon l’équation différentielle de la diffusionsimple [20]. Expérimentalement, on dispose d’une durée d’exposition au sel et de lamasse de sel absorbée. Pour traduire cette masse en termes de dose adimensionnelle,il est nécessaire de supposer que le sel est intégralement en solution, sans fixation.Le temps adimensionnel est lié à la durée réelle d’exposition par la relation [21],d’où résulte l’estimation de la diffusivité Dc connaissant l’épaisseur a.

Le tableau 2 donne le résultat de cette évaluation.

5.2. Analyse de la redistribution

5.2.1. Données expérimentales

Deux exemples d’enregistrement de l’humidité relative au contact de chacunedes faces de l’échantillon, obtenus après l’exposition au sel en phase deredistribution de la dose absorbée, sont présentés sur les figures 9 et 10, pour les casde CN et CO.

Comme on l’a noté précédemment, la différence d’humidité relative entre lesdeux faces à l’issue de l’absorption d’une dose modérée de sel est un critère quipermet de choisir entre les deux modèles schématiques proposés. Si cette différenceest proche de 0,25, un modèle de diffusion à haute saturation sans déplacementglobal d’humidité (paragraphe 4.4.1) sera employé. Dans le cas contraire, on estporté à admettre une redistribution sensible de l’humidité durant la phased’absorption et à adopter le modèle à perméabilité nulle(paragraphe 4.4.2).

Les figures 9 et 10 montrent que l’expérience sur CN se range dans la premièrecatégorie, tandis que l’essai sur CO se range dans la seconde. Les quatre autresexpériences réalisées relèvent également du second type. Nous limiterons donc àl’expérience sur CN l’utilisation du modèle de diffusion linéaire pour interpréterl’ensemble de l’expérience et préciser l’évaluation de la diffusivité.

On note, pour le CN comme pour les autres matériaux, que les humiditésrelatives enregistrées, au lieu de converger vers une même valeur constante, serejoignent mais continuent toutes deux à diminuer lentement. Ceci est probablementdû à une légère perte d’humidité, par suite d’une étanchéité imparfaite des cellules.Pour s’affranchir de cette perturbation, nous analyserons la différence des deuxhumidités.

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0.85

0.9

0.95

1

0 5 10 15 20 25

CN

temps, jours

M�

M�

Figure 9. Enregistrement des humidités relatives durant la redistribution pour CN

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 10 20 30 40 50

CO

temps, jours

M�

M�

Figure 10. Enregistrement des humidités relatives durant la redistribution pour CO

5.2.2. L’expérience « CN »

La dose donnée au paragraphe précédent souffre de l’imprécision des pesées.Pour mieux exploiter l’expérience, nous avons réalisé la simulation pour plusieursvaleurs de la dose et déterminé celle qui permet la meilleure coïncidence avec lacourbe expérimentale.

Cet ajustement conduit, pour CN, à une diffusivité Dc = 1,55.10-11 m2/s. Cettevaleur ne diffère pas significativement de l’évaluation pondérale de la diffusivitéproposée ci-dessus. L’évolution simulée de l’humidité relative est par ailleurs en bonaccord avec les mesures, comme le montre la figure 11. Pour ce matériau, dans cetétat de saturation, un modèle de diffusion simple, ou un modèle couplé avec grandeperméabilité, rend compte de façon cohérente des deux phases de l’expérience.

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5.2.3. Les autres expériences

Pour exploiter le modèle exposé au paragraphe 4.4.2, nous utiliserons commeinformations expérimentales la dose de sel absorbée évaluée par pesée et ladifférence M0-M1 mesurée immédiatement après l’exposition (figure 10, évaluation auniveau de la barre qui sépare exposition et redistribution).

Dans ce modèle, la cinétique d’absorption du sel en termes de tempsadimensionnel est déterminée par un seul paramètre, le déficit de saturation hydriqueinitial par rapport à la saturation résiduelle, Mrés-M ini. On a réalisé la simulation pourdiverses valeurs de ce déficit et obtenu pour chacune, en fonction du tempsadimensionnel, la dose absorbée, d’une part, et la différence d’humidité M0-M1,d’autre part. La connaissance expérimentale de ces deux données en fin d’absorptionpermet ainsi, pour chaque expérience, de choisir la simulation adéquate. La rapportdes temps réel et adimensionnel d’exposition au sel donne accès à la diffusivité aumoyen de la relation [21]. Ensuite, on peut simuler la redistribution et confronter lerésultat avec les enregistrements expérimentaux.

CN CO P1 P2 M1N M2N

Epaisseur mm 8,07 8,12 8,29 8,14 8,46 8,13

Durée d’exposition, jours 2,8 14 11 7,7 4,9 2,1

Dose de sel (pesée) 0,28 0,06 0,17 0,15 0,27 0,29

M0-M 1 en fin d’exposition(mesuré)

0,25 0,13 0,02 0,06 0,08 0,16

Déficit Mrés-M ini 0 0,11 0,19 0,15 0,12 0,05

Durée d’expositionadimens.

0,062 0,0025 0,050 0,020 0,064 0,056

Pos. finale du front mm(simulée)

1,1 1,5 1,7 3,0 4,8

Dc m2/s 1,5 E-11 1,4 E-13 3,6 E-12 2,0 E-12 1,1 E-11 2,0 E-11

Dc m2/s, évaluation pondérale 1,7 E-11 2,0 E-13 1,6 E-12 1,8 E-12 8,7 E-12 2,3 E-11

Tableau 3. Evaluation de la diffusivité par simulation de l’absorption-redistribution

Le tableau 3 donne le résultat de ces ajustements. On a rappelé, pourcomparaison, l’évaluation pondérale de la diffusivité fondée sur l’hypothèse de ladiffusion simple ou de la grande perméabilité. Il est remarquable que les deuxméthodes aboutissent à des évaluations de la diffusivité très proches, compte tenu dela précision à laquelle nous pouvons prétendre. Il n’en reste pas moins que les deuxmodèles présentent une différence essentielle quant à la répartition finale du seldans l’échantillon après redistribution : dans le premier cas, la dose se répartituniformément dans toute l’épaisseur, tandis que dans le second, elle reste bloquée

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dans une partie seulement. La position finale du front obtenue par simulation estindiquée dans le tableau 3.

0

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0.1

0.15

0.2

0.25

0 5 10 15 20 25

'M

temps, jours

simulation

mesures

CN

Figure 11. Différence d’humidité M0-M1. Simulation Mini> Mrés et mesures pour CN

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 10 20 30 40 50

CO'M

temps, jours

mesures

simulation

Figure 12. Différence d’humidité M0 - M1. Simulation Mini< Mrés et mesures pour CO

La figure 12 présente, pour l’expérience « CO », la confrontation entre lesmesures et la simulation en ce qui concerne la cinétique de la différence M0-M 1. Lasimulation est assez satisfaisante pour ce cas, mais des résultats plus divers ont étéobtenus pour d’autres expériences. Pour les pâtes P1 et P2, la différence d’humiditéexpérimentale est trop faible pour se prêter à une interprétation. Pour les mortiersM1N et M2N, la cinétique de redistribution expérimentale est significativement pluslente que ne le prévoit la simulation. Les causes possibles de cette divergence sontmultiples. En particulier, si la fixation du sel n’est pas négligeable, l’évaluation de ladose est erronée, ainsi que par conséquent tout le procédé d’ajustement du modèle.

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On peut également invoquer l’effet d’une résistance non négligeable à ladiffusion de vapeur. Il était prévisible qu’un modèle, rappelons-le, simplifié àl’extrême, ne donne pas des résultats satisfaisants dans tous les cas.

6. Conclusion

Un certain nombre de points de grande importance pour la compréhension desprocessus de pénétration des chlorures dans les conditions de parois exposées auxsels de déverglaçage nous paraissent acquis à l’issue de cette étude.

Pour les six matériaux cimentaires étudiés ici, l’état de saturation résiduelle, ouen tout cas un état où le transport en phase liquide est considérablement réduit,semble atteint pour une teneur en eau volumique inférieure de quelques pointsseulement à la saturation totale. Dans un tel état de saturation, le couplage entre letransport d’humidité par diffusion de vapeur et la diffusion du sel joue un rôleessentiel. En effet, dans ces conditions, la pénétration du sel est impossible, la phaseliquide n’ayant en pratique aucune capacité de transport. Le transport du sel étantempêché, c’est l’humidité qui migre en phase gazeuse vers le sel, développant unerégion à haute saturation où le sel peut se dissoudre et diffuser. Cette région humideet contaminée, limitée par un front, progresse en profondeur. A l’issue du processus,le sel qui a pénétré reste confiné dans une épaisseur finie, contrairement à ce qui seproduit avec la diffusion non empêchée.

Pour les états de saturation du matériau encore plus bas, et notamment sous uneambiance d’humidité relative notablement inférieure à l’humidité relative engendréepar une solution saturée de chlorure de sodium, soit 0,75, la diffusion de la vapeurvers le sel déposé en surface ne peut plus se produire. La pénétration du sel est alorstotalement bloquée.

Les conséquences pratiques de ces remarques sont essentielles. En effet, avecune diffusivité de l’ordre de 10-12 m2/s, telle qu’elle a été évaluée ici pour lesmatériaux hautement saturés, des armatures situées à 15 mm de profondeur seraientsignificativement polluées par le sel au bout de 260 jours d’exposition. Fortheureusement, les parois d’ouvrages ou de bâtiments ne sont que rarement exposéesà des ambiances d’humidité relative élevée. Dans la plus grande partie du temps, onpeut espérer que les phénomènes de blocage de la pénétration liés une saturationhydrique insuffisante jouent pleinement. La pénétration ne se produit sans doutesignificativement que dans les périodes limitées d’exposition à la pluie et se trouverapidement interrompue par le séchage de la paroi.

Remerciements

Les travaux qui font l’objet de cet article ont été réalisés dans les cadre du thèmede recherche « Transferts dans les bétons et durabilité des ouvrages », grâce au

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soutien financier du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées et du ministère del’Equipement, des Transports et du Logement (DRAST). Les auteurs expriment leurvive reconnaissance à ces organismes, ainsi qu’à toutes le personnes qui ont animéet accordé leur attention à ce travail collectif.

7. Nomenclature

Notation Unité SI Désignation

a m épaisseur de l’échantillonc, [c*] - concentration (titre) d’une solution [normée]Dc m2 s-1 diffusivité du selDs m2 s-1 coefficient de diffusion du selDv m2 s-1 coefficient de diffusion de la vapeurJl kg m-2 s-1 densité de flux de liquideJv kg m-2 s-1 densité de flux de vapeurK m2 perméabilitéM kg mole-1 masse molaire de l’eauR J K-1mole-1 constante des gaz parfaitsT K température absoluet, [t*] s, [-] temps [adimensionnel]Vl m s-1 vitesse de Darcy du liquidex, [x*] m, [-] abscisse [adimensionnelle]

H - porosité Ul kg m-3 masse volumique de la solution

)1( cll � c UU kg m-3

Uv [Uvs] kg m-3 masse volumique de la vapeur [saturante]M - humidité relativeMs, sM =1-Ms - humidité relative pour une solution saturéeMT, Mc - composantes de l’humidité relativeM rés - humidité relative au seuil de saturation résiduelle) Pa potentiel osmotique

J kg m-3 concentration volumique de sel fixé* kg m-3 coefficient de fixation du selP Pa-s viscosité de la solutionT - fraction volumique de solution (saturation)T rés - seuil de saturation résiduelleW, Wv, Ws - facteurs de tortuosité< Pa potentiel capillaire

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diffusion de sels dans les matériaux humides

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