Mathematikheft der Klasse 9 BR im Schuljahr 2016/17

Eintrag 1 :

Thema 1 : Quadratzahlen und Quadratwurzeln

Was sind Quadratzahlen ?

Multipliziert man eine ganze Zahl mit sich selbst, so ist das

Ergebnis eine Quadratzahl.

a ∈ 𝒁 a*a = a2 = Quadratzahl

Beispiel : 1 ist eine Quadratzahl, weil 1 * 1 = 12 = 1

4 ist eine Quadratzahl, weil 2 * 2 = 22 = 4

9 ist eine Quadratzahl, weil 3 * 3 = 32 = 9 _________________________________________________________________________

B. Die ersten 20 Quadratzahlen

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

Diese sind auswendig zu lernen !

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C. Woher kommt der Name Quadratzahl ?

Ist a die Seitenlänge eines Quadrates, so ist die Quadratzahl zu a

der Flächeninhalt dieses Quadrates.

Seitenlänge a

Flächeninhalt a * a

Male alle Felder, die Quadratzahlen enthalten, rot aus !

Aufgabe 1 : Berechne schriftlich - schaffst du die ganze Tabelle in

15 Minuten ?

A 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

a2

Kenntnisse der schriftlichen Multiplikation werden vorausgesetzt !

Aufgabe 2-7 :

Aufgabe 2 :

52 92 112 132 152 172 192 212 232 252

42 62 82 102 122 142 162 182 202 222

Aufgabe 3 :

(5+9)2 (9+8)2 (11-6)2 (13+7)2 (15-4)2 (17-9)2 (19-3)2 (21-4)2 (23+7)2 (25*2)2

(4+9)2 (6*5)2 (8+11)2 (10+7)2 (12-5)2 (14+16)2 (16-4)2 (18-3)2 (20-6)2 (22-5)2

Aufgabe 4 :

3*22 4*22 5*22 6*22 2*22 2*22 8*22 9*22 10*22 20*22

4*23 4*32 5*23 5*32 6*23 6*32 7*23 7*32 8*23 8*32

Aufgabe 5 :

(3 + 52) : 4 =

(17-32) * 6 =

(15 – 22) * 7 =

(8 + 32) * 5 =

Aufgabe 6 :

a) Addiere die Zahl 17 zum Quadrat der Zahl 8 !

b) Addiere die Zahl 19 zum Quadrat der Zahl 4 !

c) Addiere die Zahl 15 zum doppelten Quadrat der Zahl 6 !

Aufgabe 7 :

a) X + 52 = 30

b) X + 82 = 90

c) 2x + 52 = 37

d) 3x + 92 =

Potenzen höheren Grades

Multipliziert man eine Zahl x n-mal mit sich selbst, so erhält man

die n-te Potenz von x.

Man sagt x hoch n und schreibt xn.

X nennt man Basis und n ist der Exponent. **********************************************************************************

Beispiele :

x*x*x = x3 a*a*a*a = a4 4*4*4 = 43 = 64

**********************************************************************************

Berechne :

a. 25

b. (2+8)4

c. (13-8)3

d. (12+8)3

e. (13-10)3

f. (2+1)4

g. (13-9)3

Potenzgesetze :

xa * xb = xa+b

xa : xb = xa-b

xa * ya = (x*y)a

xa : ya = (x:y)a (auch als Bruch)

Übungsaufgaben zu den Potenzgesetzen

Summenterme

1 a2 + b3 + c3 + b2 + c3 + b2

2 2b2 + 3b3 + 2c3 +3b2 + c3 + 4b2

3 2b-2 + 2c3 +3b2 + c3 + 4b-2

4 27x3 – 20y2 – 18x3 + 9y2

5 2x² + 4xy + 2y² - 3x² - 6xy - 3y²

6 4x² + 4z² + 3m² + 3z² - 2m² - 2x²

7 a2 - b3 - c3 - b2 - c3 - b2

8 2b2 - 3b3 - 2c3 -3b2 + c3 - 4b2

9 2b-2 - 2c3 -3b2 - c3 - 4b-2

10 a2 + a3 + a4 + a2 + a3 + a2

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

1 34 35 32

2 d3 d5 d4

3 x3 x2 x

4 k3 k5 m2 m7

5 x5 y3 x2 y

6 a2 b b3 a

7 x2 yn

8 bm b3

9 ya y

10 a5 a2x

11 z2m zm

12 x3 xm-2

13 a5 ax-7

14 y2m ym -1

15 xp-4 xp+2

Division von Potenzen mit gleicher Basis

1 55

53

2 a5

a3

3 0,55

0,53

4 (ab)7

(ab)3

5 x3n

xn

6 y3x+2

y3x-2

7 (a+b)7

(a+b)5

8 12a5

4a3

9 3(x+y)5

x + y

10 3(a+b)8

12(a + b) 5

Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis

1 a²(a³ + a4)

2 b³(b5 + b4)

3 3c³(4c² - 5c5)

4 dm(dm+1 – d3m-1)

5 e2a(e3a+1 – ea-4)

6 fn-3(f5 + f4)

7 a5

a3

8 b5

bx

9 c3x

cx

10 dx

dx-2

11 e5

e5-x

Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponent

1 53 23

2 0,5³ 4³

3 0,55 105 0,25

4 24

34 64

104 54

5 5x 2x

6 5a 12a

7 xa ya

8 (x+y)2 52

9 243

83

10 365

185

11 493

73

Die Quadratwurzel

Die Quadratwurzel einer Zahl ist die (nicht negative) Zahl, deren Quadrat

gleich der gegebenen Zahl ist.

● Die Quadratwurzel aus 9 (√9) ist 3, weil 3 * 3 = 9

● Die Quadratwurzel aus 25 (√25) ist 5, weil 5 * 5 = 25

● Die Quadratwurzel aus 2 (√2) ist 1,4142, weil 1,4142 * 1,4142 = 2 ist, usw.

Ergänze die Tabelle :

A 36 121 900 169 324 441 6400 289 1,44

√a

Wurzelgesetze :

a. √a * √b = √a*b

b. √a : √b = √a:b

Berechne durch Anwendung der Wurzelgesetze :

√3 * √12 = √5 * √20 = √8 *

√32 =

√6x * √54x = √10 * √40 = √52 : √13 =

Hausaufgabe : S.15 / 5, 8a-f

Aufgaben :

a) 17 + √25 * √36

b) √36 + √4 * (17 - √100)

c) (√25 + √36) * (√100 -√36)

d) √81 + 3 * √25 - √144

e) (√49 * 5 + √64 : 4) * 3 =

f) (62 + √16) * (√9 + √25)=

g) (52 - √144) * (12 + √64) =

h) √(1 + 7*9) : √4 =

i) (15 – 2 – 4 ) 2 + √256 =

j) √900 * (√16 + √36) =

k) X + √81 = 16

l) 2x + √36 = 18

m) 3x + √25 - √36 – 8 – x = 15

n) 3 * (x + √4) + 2 * (x + 32) = 39

o) 5 * (x - √25) – 3 * (x - √16) = 7

Stelle die Gleichung auf und löse !

a) Multipliziert man eine Zahl mit 5, so erhält man die √ aus

100.

b) Multipliziert man eine Zahl mit 5 und addiert 7 , so erhält

man die √ aus 484.

c) Multipliziert man eine Zahl mit 5 und subtrahiert 4, so

erhält man die √ aus 121.

d) Multipliziert man eine Zahl mit 5 und addiert die √ aus 4,

so erhält man die √ aus 729.

e) Multipliziert man eine Zahl mit 5 und addiert das Produkt

aus 3 und 4 , so erhält man die √ aus 139 .

f) Dividiert man eine Zahl durch 5, so erhält man die √ aus

16.

g) Dividiert man eine Zahl durch 5 und addiert dazu 4 , so

erhält man die √ aus 64.

h) Addiert man zu einer Zahl die √ aus 49, so erhält man die

√ aus 225.

Berechne unter Anwendung der binomischen Formeln :

a. (x+5)2 =

b. (x-5)2 =

c. (x-8)2 =

d. (2x+5)2 =

e. (x+1,5)2 =

f. (3x-2,5)2 =

g. (x+9)*(x-9) =

Hausaufgabe :

(x-3) * (x + 3) =

(x - 9)2 =

(x + 7)2 + (x + 8)2 =

(x + 6)2 + 3x + 15

Aufgaben zu den

BINOMISCHEN FORMELN

Aufgabe 1 :

a) (x +1)2 = b) (x +2)2 =

c) (x +3)2 = d) (x +4)2 =

e) (x +5)2 = f) (x +6)2 =

g) (x +7)2 = h) (x +8)2 =

i) (x +9)2 = j) (x +10)2 =

Aufgabe 2 :

a) (x -1)2 = b) (x -2)2 =

c) (x -3)2 = d) (x -4)2 =

e) (x -5)2 = f) (x -6)2 =

g) (x -7)2 = h) (x -8)2 =

i) (x -9)2 = j) (x -10)2 =

Aufgabe 3 :

a) (x+1) * (x-1) =

b) (x+2) * (x-2) =

c) (x+3) * (x-3) =

d) (x+4) * (x–4) =

e) (x+5) * (x-5) =

f) (x+6) * (x-6) =

g) (x+7)*(x-7) =

h) (x+8)*(x-8) =

i) (x+9) * (x-9) =

Aufgabe 4 :

a) (2x + 7)2 = b) (3x – 4)2 = c) (6x + 5)2 = d) (4x – 10)2 =

e) (3x + 7)2 = f) (4x – 4)2 = g) (5x + 5)2 = h)(6x – 10)2 =

i) (4x + 7)2 = j) (5x – 4)2 = k) (7x + 5)2 = l) (8x – 10)2 =

m) (10x + 7)2 = n) (20x – 4)2 = o (30x + 5)2 = p) (40x – 10)2 =

Aufgabe 5 : Führe auf einen quadratischen Term zurück !

a) X2 – 144 = b) X2 – 4 =

c) X2 – 64 = d) X2 – 121 =

e) X2 – 256 = f) X2 + 6x + 9 =

g) X2 + 8x + 16 =

h) X2 + 12x + 36 =

i) X2 + 16x + 64 =

j) X2 - 6x + 9 =

k) X2 - 12x + 36 =

l) X2 – 16x + 64 =

m) X2 - 20x + 100 =

Aufgabe 6 : Löse die Klammer auf und fasse zusammen !

a) (x +1)2 + 3x =

b) (x -2)2 - 2x =

c) (x +3)2 + 16 =

d) (x -4)2 – 20 =

e) (x +5)2 + 8x + 1=

f) (x - 6)2 – 3x – 3 =

g) (x +7)2 - 8x + 2y =

h) (2x - 8)2 + 5x =

i) (3x +9)2 – 6x + x2 =

j) (x +10) * (x – 10) + 130 =

Aufgabe 7 : Stelle den quadratischen Term auf und löse mit Hilfe

der quadratischen Formeln auf !

a) Quadriere die Summe aus einer Zahl und 11 !

b) Quadriere die Differenz aus einer Zahl und 13 !

c) Quadriere die Summe aus dem Doppelten einer Zahl und 8 !

d) Quadriere die Differenz aus dem Dreifachen einer Zahl und 6 !

e) Multipliziere die Summe aus einer Zahl und 8 mit der Differenz aus

der Zahl und 8 !