Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Dijana Marusic

Razliciti dokazi Heronove formule

Diplomski rad

Osijek, 2012. godina

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Dijana Marusic

Razliciti dokazi Heronove formule

Diplomski rad

Mentor: doc. dr.sc. Darija Markovic

Osijek, 2012. godina

Sadrzaj

Uvod 1

1 Povjesni dio 6

2 Razliciti dokazi Heronove formule 11

2.1 Eliminacija trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Uvodenje i eliminacija pomocnih velicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Upotreba Mollweideovih formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Upotreba trigonometrijskog identiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Upotreba kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Razliciti zadaci u kojima primjenjujemo Heronovu formulu 23

3.1 Brocardove tocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Zadaci i rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Literatura 29

Sazetak 30

Summary 31

Zivotopis 32

i

Uvod

U literaturi postoje razni dokazi i poopcenja Heronove formule, kako u ravnini tako i u pro-

storu, od kojih neki mozda datiraju i prije Heronovog vremena. Heron je grcki matematicar

iz Aleksandrije koji je zivio u prvom stoljecu prije Krista i pisao djela iz matematike i

optike. Heronova formula omogucava izracunavanje povrsine trokuta, za sto je dovoljno

samo znati duljinu stranica, a dokazana je u prvoj knjizi ”Metrika” koju je napisao sam

Heron. Cesto se susrecemo s problemom izracunavanje povrsine nekog lika, ako je lik moguce

rastaviti na poznate trokute tada se povrsina lika dobije kao zbroj povrsina tih trokuta.

Najcesce se povrsina racuna iz poznatih duzina stranica ili se one prethodno racunaju iz

poznatih elemenata koji odreduju trokut. U tom se slucaju za odredivanje povrsine koristimo

Heronovu formulu. U svom diplomskom radu upravo se bavim dokazom Heronove formule u

okviru razlicitih postupaka kojim se realizira osnovna ideja: izracunati povrsinu kao funkciju

stranica. U trokutu imamo 6 osnovnih elemenata, to su stranice i kutovi.

Trokut je odreden ako su mu zadana 3 osnovna elementa (od kojih je bar jedna stranica).

Prema tome rijesiti trokut znaci odrediti tri preostala osnovna elementa.

Pri rjesavanju trokuta razlikujemo 4 osnovna slucaja, koji odgovaraju pouccima o sukla-

dnosti trokuta.

To su slucajevi kada su zadani:

a) duljina stranica i dva kuta,

b) duljine dviju stranica i kut medu njima,

c) duljine dviju stranica i kut nasuprot vecoj stanici,

d) duljine svih stranica.

Svi se osnovni slucajevi rjesavaju pomocu kosinusovog i sinusovog poucka.

U dokazima koristimo poznate nam poucke koje cemo sada navesti i necemo ih dokazivati,

ali vise o njima moze se pronaci u [6],[3] i [8]:

Pitagorin poucak

Povrsina kvadrata nad hipotenuzom je jednaka zbroju povrsina nad katetama.

c2 = a2 + b2 (1)

1

Slika 1:

Trigonometrijske funkcije i relacije

Trigonometrija je grana matematike koja proucava zavisnost izmedu stanica i kutova trokuta,

a takoder i osobine trigonomerijskih funkcija i veza medu njima. Definicija trigonometrijskih

funkcija preko pravokutnog trokuta glasi :

1.) Trigonometrija pravokutnog trokuta

Definicija 1 Neka je ABC pravokutan trokut oznacen kao na Slici 2. Tada je:

sinα =a

c, cosα =

b

c, tgα =

a

b, ctgα =

b

a.

Slika 2:

Sljedeca navedena relacija je osnovni trigonometrijski identitet:

sin2α + cos2β = 1

2

2) Funkcije zbroja i razlike

sin (α± β) = sinα cos β ± cosα sin β

cos (α± β) = cosα cos β ∓ sinα sin β

tg(α± β) =tgα± tgβ

1∓ tgαtgβ

ctg(α± β) =ctgαctgβ ∓ 1

ctgα± ctgβ

3) Zbroj i razlika funkcija

sinα + sin β = 2 sinα + β

2cos

α− β

2

cosα− cos β = −2 sinα + β

2sin

α− β

2

Vise o trigonometrijskim funkcijama i relacijama medu njima moze se pronaci u [8].

Sinusov poucak

Propozicija 1 Stranice u trokutu odnose se kao sinusi tim stranicama nasuprotnih kutova,

tj. ako su a, b, c duljine stranica i α, β, γ redom mjere tim stranicama nasuprotnih kutova,

onda vrijedi: a : b : c = sinα : sin β : sin γ, (2)

ili preciznije a

sinα=

b

sin β=

c

sin γ= 2R (3)

gdje je R radijus opisane kruznice.

Slika 3:

3

Kosinusov poucak

Propozicija 2 Ako su a, b, c duljine stranica trokuta i α, β, γ njegovi kutovi, onda vrijedi:

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

b2 = c2 + a2 − 2ca cos β (4)

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Slika 4:

Kod dokazivanja Heronove formule koristimo i kompleksne brojeve, navedimo neka nji-

hova osnovna svojstva.

Kompleksni broj

Skup kompleksnih brojeva C je skup svih brojeva oblika z = x+ yi , gdje su x, y ∈ R.Realni broj x = Rez je realni dio kompleksnog broja z , a realni broj y = Imz imaginarni

dio kompleksnog broja z .

1) Eulerov zapis kompleksnog broja, tj. Eulerova formula

Eulerova formula

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ.

omogucava trigonomerijski prikaz kompleksnog broja z u obliku

z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) = |z|eiϕ,

gdje je |z| modul, a ϕ argument kompleksnog broja z.

4

Slika 5:

2) Osnovne racunske operacije

U skupu kompleksnih brojeva mogu se definirati sve algebarske operacije: zbrajanje, oduzi-

manje, mnozenje i dijeljenje.

2.1) Zbrajanje i oduzimanje

Operacije zbrajanja i oduzimanja definiramo ovako:

(x1 + iy1)± (x2 + iy2) = (x1 ± x2) + (y1 ± y2)i

2.2) Mnozenje kompleksnih brojeva

Pri mnozenju kompleksnih brojeva z1 = x1 + iy1 i z2 = x2 + iy2 u obzir uzimamo

cinjenicu da je i2 = −1

z1 · z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)

= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

2.3) Dijeljenje kompleksnih brojeva

Ako je x22 + y2

2 = 0

z1z2

=(x1 + iy1)

(x2 + iy2)

=(x1 + iy1)

(x2 + iy2)· (x2 − iy2)

(x2 − iy2)=

(x1x2 + y1y2) + i(x2y1 − x1y2)

x22 + y22

5

Poglavlje 1

Povjesni dio

Heron (oko 10.-70.g.), bio je starogrcki matematicar koji je zivio u Aleksandriji, danasnjem

Egiptu. Smatra se jednim od najvecih predstavnika znanosti u staroj Grckoj.

Gotovo prije dvije tisuce godina i ulaska ljudskog roda u industri-jsko doba izumio je parni stroj, strojeve koje je pokretao vjetar iosmislio teorije o svjetlosti. Njegovi ostali izumi, fizicke i mate-maticke teorije ostale su nepromjenjene stoljecima. Vjerojatno seskolovao na Musaeumu u Aleksandriji, mjestu okupljanja najvecihumova, umjetnika i filozofa. Njegovo najvece postignuce vjerojatnoje primitivni parni stroj ili tzv. eolipile, koji se smatra prvim parnimstrojem u povijesti. Bio je odlican matematicar i teoreticar. Osmi-slio je Fermatov princip koji poucava kako se zraka svjetlosti, kojaputuje izmedu dvije tocke, uvijek krece najkracim putem. Osmislioje i jednostavan nacin kako brzo izracunati vrijednost korijena bilokojeg broja, sto je kasnije unaprijedio u Heronovu formulu.

Postoje naznake da je za formuli znao i Arhimed, koji je zivio tri stoljeca prije Herona. S

obzirom da je ”Metrika” kolekcija matematickih znanja kojima je raspolagao anticki svijet,

moguce da ju je Heron, samo zabiljezio, a ne i otkrio. Ova njegova znamenita formula, kojom

su u ovom diplomskom bavimo dokazana je u prvoj knjizi njegovog djela ”Metrika”, koju je

napisao oko 70. godine poslije Krista i koja je otkrivena u Konstantinopolu tek 1896. godine,

a zove se Heronova formula i glasi:

P =√s(s− a)(s− b)(s− c),

6

gdje je s poluopseg trokuta tj. s = a+b+c2

.

Dalje uvrstimo vrijednost za s slijedi

P =

√1

16(b+ c− a)(b+ c+ a)(a− b+ c)(a+ b− c)

P =

√1

16((a+ c)2 − b2)(b2 − (a− c)2)

P =

√1

16(a2 + 2ac+ c2 − b2)(b2 − a2 + 2ac− c2)

P =

√1

16(2ac− (a2 + c2 − b2))(2ac+ (a2 + c2 − b2))

P =

√1

16(4a2c2 − (a2 + c2 − b2)2).

Dobivamo formulu ekvivaletnoj Heronovoj, a zapisana u obliku

P =1

2

√a2c2 −

(a2 + c2 − b2

2

)2

koja je bila poznata u drevnoj Kini, a otkrivena je nezavisno od Grka. Moze se naci u

cuvenom djelu ”Devet knjiga o matematickoj vjestini”, koje je objavio Qin Jiushao 1247.

godine.

U izvodenju i dokazivanju ove formule koristimo se elementarnom matematikom (algebra,pla-

nimetrija...). Heronovu formuli mozemo napisati i u obliku teorema na sljedeci nacin:

Teorem 1

Ako stranice trokuta imaju duljine a, b, c, tada je povrsina tog trokuta dana sa

P =√s(s− a)(s− b)(s− c),

gdje je s poluopseg trokuta tj. s = a+b+c2

Dokaz:

Neka je C vrh trokuta, ciji je pripadni kut γ siljasti. Neka je N noziste visine iz vrha C.

Tada je |CN | = vc. Neka je |AN | = x. Tada je |NB| = |AB| − |AN | = c− x.

Kako je △ANC pravokutan, a katete mu imaju duljine x i vc i hipotenuza duljinu b, iz

Pitagorinog teorema slijedi

v2c = b2 − x2 (1.1)

Obzirom da je △CNB pravokutan, a katete mu imaju duljine vc , c−x i hipotenuza duljinu

a, iz Pitagorinog teorema slijedi

v2c = a2 − (c− x)2 (1.2)

7

Slika 1.1:

iz (1.1) i (1.2) slijedi

b2 − x2 = a2 − (c− x)2

b2 − x2 = a2 − (c2 − 2cx+ x2)

b2 − x2 = a2 − c2 + 2cx− x2

b2 = a2 − c2 + 2cx

2cx = −a2 + b2 + c2

x =−a2 + b2 + c2

2c. (1.3)

8

Uvrstimo (1.3) u (1.1) dobijamo

v2c = b2 −(−a2 + b2 + c2

2c

)2

v2c =

(b− −a2 + b2 + c2

2c

)·(b+

−a2 + b2 + c2

2c

)v2c =

(2bc+ a2 − b2 − c2

2c

)·(2bc− a2 + b2 + c2

2c

)v2c =

(a2 − (b2 − 2bc+ c2)

2c

)·((b2 + 2bc+ c2)− a2

2c

)v2c =

(a2 − (b− c)2

2c

)·((b+ c)2 − a2

2c

)v2c =

((a− (b− c))(a+ (b− c))

2c

)·(((b+ c)− a)((b+ c) + a)

2c

)v2c =

((a− b+ c)(a+ b− c)

2c

)·((b+ c− a)(b+ c+ a)

2c

)v2c =

(a+ b+ c)(−a+ b+ c)(a− b+ c)(a+ b− c)

4c2

v2c =(a+ b+ c)(a+ b+ c− 2a)(a+ b+ c− 2b)(a+ b+ c− 2c)

4c2

v2c =2s(2s− 2a)(2s− 2b)(2s− 2c)

4c2

v2c =16s(s− a)(s− b)(s− c)

4c2

v2c =4s(s− a)(s− b)(s− c)

c2

vc =2

c

√s(s− a)(s− b)(s− c)

cvc2

=√

s(s− a)(s− b)(s− c)

P =√

s(s− a)(s− b)(s− c).

Postoje i razlicita poopcenja ove formule, kao za konveksni cetverokut tzv. Bretschneiderova

formula:

P =

√s(s− a)(s− b)(s− c)(s− d)− abcd cos2

α + γ

2

gdje su a, b, c, d redom duljine susjednih stranica konveksnog cetverokuta, s je njihov polu-

opseg, a kutovi α i γ su kutovi izmedu susjednih stranica cetverokuta (vidi [4]).

Kako u tetivnom cetverokutu sa stranicama a, b, c, d i kutovima α, β, γ, δ vrijedi α + γ = π

iz prethodne formule slijedi:

P =√s(s− a)(s− b)(s− c)(s− d).

9

Ova formula se zove Brahmaguptina formula i dobija se kao specijalni slucaj Bretschneiderove

formule. U ovom diplomskom nije planirano razmatrati ovakve sadrzaje te vise o tome moze

se pronaci u [8].

Dokazali smo Heronovu formulu metodom eliminacije visine, a u sljedecem poglavlju navesti

cemo nekoliko metoda pomocu kojih cemo, takoder, dokazati Heronovu formulu.

10

Poglavlje 2

Razliciti dokazi Heronove formule

2.1 Eliminacija trigonometrijske funkcije

U ovom dokazu koristiti cemo se formulom za povrsinu

P =1

2absin γ. (2.1)

Zelimo eliminirati funkciju sin γ pa kvadriranjem formulu (2.1) pisemo u obliku

4P = a2b2sin2 γ (2.2)

Nadalje iz kosinusovog poucka za stranicu c mozemo pisati

cos γ =a2 + b2 − c2

2ab

odnosno

cos γ2 =(a2 + b2 − c2)

2

(2ab)2.

Dalje je

sin2 γ = 1− cos2 γ = 1− (a2 + b2 − c2)2

(2ab)2

ili

sin2 γ =(2ab)2 − (a2 + b2 − c2)

2

(2ab)2

=[2ab− (a2 + b2 − c2)][2ab+ (a2 + b2 − c2)]

(2ab)2.

11

Navedene izraze mozemo zapisati na sljedeci nacin:

sin2 γ =[c2 − (a2 − 2ab+ b2)][(a2 + 2ab+ b2)− c2]

(2ab)2

sin2 γ =[c2 − (a− b)2][(a+ b)2 − c2]

(2ab)2

odnosno

sin2 γ =[c− (a− b)][c+ (a− b)][(a+ b)− c][(a+ b) + c]

(2ab)2

tj.

sin2 γ =[c− a+ b][c+ a− b][a+ b− c][a+ b+ c]

(2ab)2.

Zatim uvedemo oznake

s =a+ b+ c

2

s− a =−a+ b+ c

2

s− b =a− b+ c

2

s− c =a+ b− c

2(2.3)

sada mozemo pisati

sin2 γ =2s · 2(s− a) · 2(s− b) · 2(s− c)

4a2b2. (2.4)

Uvrstimo li sin2 iz (2.4) u (2.2) dobivamo

P 2 = s(s− a)(s− b)(s− c)

te racunskom operacijom korjenovanja dolazimo do izraza

P =√

s(s− a)(s− b)(s− c).

12

2.2 Uvodenje i eliminacija pomocnih velicina

U trokutu △ABC upisemo kruznicu. Zatim uvedemo pomocne velicine m,n, p na sljedeci

nacin (vidi Sliku 2.1)

Slika 2.1: Uvodenje i eliminacija pomocnih velicina

a = n+ p

b = p+m

c = m+ n

s = m+ n+ p.

Dalje je

△ABC = △AOB ∪△BOC ∪△COA

povrsina trokuta △ABC jednaka je

P =m+ n

2r +

n+ p

2r +

p+m

2r

= (m+ n+ p)r = sr. (2.5)

Iz trokuta △CFO vrijedi da je

sinγ

2=

r√r2 + p2

cosγ

2=

p√r2 + p2

. (2.6)

Prema (2.6) mozemo pisati

sin γ = sin 2γ

2= 2 sin

γ

2cos

γ

2=

2rp

r2 + p2.

13

Iz toga slijedi da je

P =1

2ab sin γ =

1

2(p+ n)(p+m)

2rp

r2 + p2. (2.7)

Dobivamo iz (2.5) i (2.7)

(p+ n)(p+m)2rp

r2 + p2= rs

odnosno

p(p+ n)(p+m) = s(r2 + p2).

Transformacijom lijeve strane u posljednoj formuli mozemo pisati

mnp+ p2(m+ n+ p) = sp2 + sr2

mnp+ sp2 = sp2 + sr2

mnp = sr2. (2.8)

Mnozenjem (2.8) sa s dobivamo

smnp = s2r2

i uvazimo li (2.5) pisemo

p2 = smnp. (2.9)

Dalje eliminacijom pomocnih velicina m,n, p iz (2.9) pozivajuci se na relacije

m = s− a

n = s− b

p = s− c

dobivamo da je

P 2 = s(s− a)(s− b)(s− c)

ili

P =√

s(s− a)(s− b)(s− c).

14

2.3 Upotreba Mollweideovih formula

Karl Mollweide (1774.-1825.) je njemacki matematicar i astronom. U trigonometriji Mo-

llweideove formule su veza izmedu stranica i kuta u trokutu.

Neka su a, b i c duljine stranica trokuta. Neka su α, β i γ mjere kutova nasuprot strani-

cama. Mollweidove formule nam kazu

a+ b

c=

cos α−β2

sin γ2

b+ c

a=

cos β−γ2

sin α2

c+ a

b=

cos γ−α2

sin β2

(2.10)

a− b

c=

sin α−β2

cos γ2

b− c

a=

sin β−γ2

cos α2

c− a

b=

sin γ−α2

cos β2

.

Svaki od ova identiteta koristi svih 6 djelova trokuta - 3 mjere kuta i 3 duljine stranica

(vidi [7]).

Ovi trigonometrijski identiteti se pojavljuju u Mollweideovom clanku Zusatze zur ebenen

und spharischen Trigonometrie (1808.g.).

Slika 2.2: Mollweideove formule - dokaz bez rijeci

Za dokaz Mollweideove formule polazimo od sinusovog poucka

a : c = sinα : sin γ

b : c = sin β : sin γ

15

zbrajanjem dobivamo

(a+ b) : c = (sinα + sin β) : sin γ = (sinα + sin β) : sin(π − (α+ β))

= (sinα + sin β) : sin(α + β) = 2sinα + β

2cos

α− β

2: 2sin

α + β

2cos

α + β

2

= cosα− β

2: cos

α + β

2

Dalje poznavajuci kosinus poluzbroja dobivamo

(a+ b) : c =cos α−β

2

sin γ2

.

Ostale formule dobijemo ciklickim zamjenama.

Mollweideove formule vrijede u svakom trokutu, a transformiranjem prve formule u (2.10)

tako da dobijemo jedinicu na obje strane dobivamo:

a+ b

c+ 1 =

cos α−β2

sin γ2

+ 1

⇔ a+ b+ c

c=

cos α−β2

+ sin γ2

sin γ2

.

Vrijedi da je

sinγ

2= sin

(π

2− α + β

2

)= cos

α + β

2

uzimajuci u obzir da je

s =a+ b+ c

2

cos x+ sin y = 2 cosx+ y

2sin

x+ y

2

mozemo formulu

a+ b+ c

c=

cos α−β2

+ sin γ2

sin γ2

zapisati kao

s

c=

cos α2cos β

2

sin γ2

(2.11)

16

analogno dolazimo i do druge dvije formule

s

a=

cos β2cos γ

2

sin α2

(2.12)

s

b=

cos γ2cos α

2

sin β2

. (2.13)

Napomena 1 Iz formule (2.11) ciklickom zamjenom a → b → c → a odnosno α → β →γ → α mozemo dobiti relacije (2.12) i (2.13).

Dalje transformiranjem prve formule u (2.10) tako da sada oduzmemo jedinicu na obje strane.

Dobiti cemo

a+ b

c− 1 =

cos α−β2

sin γ2

− 1

⇔ a+ b− c

c=

cos α−β2

− sin γ2

sin γ2

.

Kako vrijedi

sinγ

2= sin

(π

2− α + β

2

)= cos

α + β

2

uvazavajuci da je

s =a+ b+ c

2

cos x− cos y = −2 sinx+ y

2sin

x− y

2

formulu

a+ b− c

c=

cos α−β2

− sin γ2

sin γ2

mozemo zapisati kao

s− c

c=

sin α2sin β

2

sin γ2

(2.14)

analogno dobivamo sljedece dvije formule

s− a

a=

sin β2sin γ

2

sin α2

(2.15)

s− b

b=

sin γ2sin α

2

sin β2

. (2.16)

17

Mnozenjem formula (2.11) i, (2.15) i (2.14) dobivamo:

s

c· s− a

a· s− b

b· s− c

c= sin

α

2· cos α

2· sin β

2· cos β

2(2.17)

Pomnozimo li (2.17) s cabc = bcca mozemo pisati

s(s− a)(s− b)(s− c) = bc sinα

2· cos α

2· ca sin β

2· cos β

2(2.18)

Desnu stranu u gornjoj formuli (2.18) mozemo zapisati u obliku

bc sinα

2· cos α

2· ca sin β

2· cos β

2=

1

2bc sinα · 1

2ca sin β = p2.

dobivamo da je

s(s− a)(s− b)(s− c) = p2

slijedi da je

P =√

s(s− a)(s− b)(s− c).

18

2.4 Upotreba trigonometrijskog identiteta

Da bi dokazali Heronovu formulu upotrebom trigonometrijskih identiteta dokaz cemo provo-

diti u dva koraka. U prvom koraku cemo dokazati lemu, a u drugom koraku cemo na osnovu

te leme dokazati Heronovu formulu.

Lema 1 : Ako je α + β + γ = π, onda je

ctgα

2+ ctg

β

2+ ctg

γ

2= ctg

α

2· ctgβ

2· ctgγ

2

Lema tvrdi da je suma kotangesa polovica kutova jednaka produktu kotangesa polovica ku-

tova.

Dokaz leme:

Iz α + β + γ = π slijedi da je

γ = π − (α + β)

γ

2=

π

2− α− β

2

ctgγ

2= tg

α + β

2

sada mozemo pisati

ctgα

2+ ctg

β

2+ ctg

γ

2= ctg

α

2+ ctg

β

2+ tg

α + β

2

=1

tgα2

+1

tgβ2

+tgα

2+ tgβ

2

1− tgα2tgβ

2

(2.19)

desnu stranu u formuli (2.19) preuredimo i dobivamo

ctgα

2+ ctg

β

2+ tg

α + β

2=

tgα2+ tgβ

2

tgα2· tgβ

2

+tgα

2+ tgβ

2

1− tgα2tgβ

2

(2.20)

Zbrajanjem clanova na desnoj strani jednakosti (2.20) slijedi

ctgα

2+ ctg

β

2+ tg

α + β

2=

1

tgα2

· 1

tgβ2

·tgα

2+ tgβ

2

1− tgα2tgβ

2

. (2.21)

Desna strana u (2.21) je drugi zapis formule, te je ispunjeno

ctgα

2+ ctg

β

2+ ctg

γ

2= ctg

α

2· ctgβ

2· ctgγ

2

time je lema dokazana.

Sada se vratimo dokazu formule.

19

Prema Slici 2.1 (iz definicije funkcije ctg) pisati cemo

ctgα

2+ ctg

β

2+ ctg

γ

2=

p

r+

n

r+

m

r=

s

r. (2.22)

S druge strane je

ctgα

2· ctgβ

2· ctgγ

2=

p

r· nr· mr

=pnm

r3. (2.23)

Na osnovu prethodno navedene leme,a iz formula(2.22) i (2.23) vrijedi:

r2s = pnm ⇔ r2s2 = spnm ⇔ p2 = spnm (2.24)

Uzevsi u obzir relacije

p = s− a

n = s− b

m = s− c

i eliminacijom p, n,m iz (2.24) dobivamo da je prema(2.24)

P =√

s(s− a)(s− b)(s− c).

20

2.5 Upotreba kompleksnih brojeva

Dokazati cemo Heronovu formulu upotrebom kompleksnih brojeva na malo drugaciji i za-

nimljiviji nacin.

Dokaz:

Neka je I srediste trokutu △ ABCupisane kruznice, a r dani polumjer. Duljine stranica

nasuprot vrhova A,B i C su a = y + z, b = x+ z, c = x+ y . Sada uocimo da je poluopseg

dan sa s = x + y + z. Ocito je 2α + 2β + 2γ = 2π, odnosno α + β + γ = π. Definiramo

kompleksne brojeve (r + ix), (r + iy), (r + iz) koristeci polumjer upisane kruznice r i realne

brojeve x, y, z, u, v, w i kutove α, β, γ oznacene na Slici 2.3, takve da je :

r + ix = ueiα, r + iy = veiβ, r + iz = weiγ.

Dalje primjecujemo da je

(r + ix)(r + iy)(r + iz) = (ueiα)(veiβ)(weiγ) = uvwei(α+β+γ)

= uvweiπ = −uvw. (2.25)

Sada je lijeva strana izraza (2.25) jednaka

Slika 2.3: Trokut ABC s pripadnim polumjerom upisane kruznice

(r + ix)(r + iy)(r + iz) = r3 + ir2x+ ir2y + ir2z − rxy − rxz − ryz − ixyz.

Navedena relacija i izraz (2.25) daju

0 = Imz[(r + ix)(r + iy)(r + iz)] = r2(x+ y + z)− xyz,

21

sada je

r =

√xyz

x+ y + z=

√(s− (y + z))(s− (x+ z)(s− (x+ y)

s

kako je a = y + z, b = x+ z, c = x+ y i s = x+ y + z mozemo pisati

r =

√(s− a)(s− b)(s− c)

s.

Povrsina trokuta △ ABC jednaka zbroju povrsina trokuta △ BIA,△ CIB i △ AIC te

imamo

P =ra

2+

rb

2+

rc

2= rs =

√s(s− a)(s− b)(s− c)

i dobivamo Heronovu formulu.

Napomena 2 Ovaj dokaz je znatno kraci nego onaj u Teoremu 1. Veliku ulogu u tome

ima izraz (2.25) iz kojeg se vidi da produkt kompleksnih brojeva (r + ix)(r + iy)(r + iz)

poprima realnu vrijednost, pa mu je zbog toga imaginarni dio jednak nuli. Ova cinjenica se

dalje koristi za izracunjavanje polumjera trokutu upisane kruznice koja se jednostavno izrazi

pomocu poluopsega s.

22

Poglavlje 3

Razliciti zadaci u kojimaprimjenjujemo Heronovu formulu

Kroz ovih nekoliko zadataka pokazati cemo primjenu Heronove formule. U jednom od zada-

taka definira se Brocardov kut ω formulom

m = ctgω + ctgα+ ctgβ + ctgγ

pa cemo se upoznati s tim pojmom.

3.1 Brocardove tocke

U geometriji, Brocardove tocke su specijalne tocke unutar trokuta. Nazvane su po Henriju

Brocardu (1845.-1922.), francuskom matematicaru.

Slika 3.1:

U trokutu ABC sa stranicama a, b i c, gdje su vrhovi nazvani A,B i C , postoji tocno

jedna tocka P takva da duzine AP,BP i CP sa stranicama c, a i b zatvaraju jednak kut ω

23

∠PAB = ∠PBC = ∠PCA.

Tocku P zovemo prva Brocardova tocka trokuta ABC, a kut ω Brocardov kut. Vrijedi

sljedeca jednakost

ctgω = ctgα + ctgβ + ctgγ.

Takoder, u trokutu ABC postoji i druga Brocardova tocka, Q, takva da duzine AQ,BQ

i CQ sa stranicama b, c i a zatvaraju jednak kut. Drugim rijecima, vrijedi:

∠QCB = ∠QBA = ∠QAC.

Prva i druga Brocardova tocka imaju jednak kut. Dakle vrijedi jednakost

∠PAB = ∠PBC = ∠PCA

kao i

∠QCB = ∠QBA = ∠QAC.

3.2 Zadaci i rjesenja

Zadatak 1: Neka su a, b, c duljine stranica trokuta povrsine S. Dokazite da je

a2 + b2 + c2 ≥ 4S√3

Kada vrijedi jednakost?

Rjesenje:

Koristeci Heronovu formulu povrsina trokuta je

S =

√a+ b+ c

2· a+ b− c

2· a− b+ c

2· −a+ b+ c

2.

Svaki od faktora pod korijenom je pozitivan pa se za ocjenu produkta

(a+ b− c)(a− b+ c)(−a+ b+ c) moze upotrijebiti A-G nejednakost

x+ y + z

3≥ 3

√xyz

ili

xyz ≤ (x+ y + z)3

27.

24

Stavimo li da je x = a+ b− c, y = a− b+ c, z = −a+ b+ c, dobiva se

4S =√

(a+ b+ c)(a+ b− c)(a− b+ c)(−a+ b+ c)

≤√

(a+ b+ c)(a+ b+ c)3

27=

(a+ b+ c)2

3√3

=3a2 + 3b2 + 3c2 − (a− b)2 − (b− c)2 − (c− a)2

3√3

≤ a2 + b2 + c2√3

.

Jednakost vrijedi ako i samo ako je a = b = c.

Zadatak 2:

Duljine stranica trokuta prosti su brojevi. Dokazite da njegova povrsina ne moze biti cijeli

broj.

Rjesenje:

Neka su a, b, c duljine stranica trokuta , o = a + b + c opseg trokuta i s = a+b+c2

poluopseg.

Po Heronovoj formuli vrijedi

P =√s(s− a)(s− b)(s− c)

P =

√(a+ b+ c

2

)·(a+ b+ c

2− a

)·(a+ b+ c

2− b

)·(a+ b+ c

2− c

)

P =

√(a+ b+ c

2

)·(a+ b+ c− 2a

2

)·(a+ b+ c− 2b

2

)·(a+ b+ c− 2c

2

)P =

√1

16(a+ b+ c) · (a+ b+ c− 2a) · (a+ b+ c− 2b) · (a+ b+ c− 2c)

sada kvadriranjem dobivamo:

P 2 =1

16o · (o− 2a) · (o− 2b) · (o− 2c)

16P 2 = o(o− 2a)(o− 2b)(o− 2c),

gdje je P povrsina, a o = a+ b+ c opseg trokuta. Pretpostavimo da je P cijeli broj. Broj o

tada mora biti neparan. Stoga ili su svi brojevi a, b, c parni ili su dva medu njima neparna,

a jedan paran. U prvom slucaju a = b = c = 2 te je povrsina trokuta√3 - necjelobrojna. U

drugom slucaju pretpostavimo da jedan medu njima a paran prosti broj, a druga dva b i c

neparni prosti brojevi. Ako je b = c, tada |b− c| > 2 te nejednakost trokuta nije ispunjena.

Zato mora biti b = c, ali tada je P 2 = b2 − 1, sto je nemoguce za prirodne brojeve P i b.

25

Zadatak 3:

U trokutu s duljinama stranica a, b, c i nasuprotnim kutovima α, β, γ definira se tzv. Bro-

cardov kut ω formulom:

m = ctgω + ctgα + ctgβ + ctgγ.

Izrazite brojeve a2 + b2 + c2, a4 + b4 + c4 i b2c2 + c2a2 + a2b2

pomocu velicina m i povrsine P trokuta koristeci formulu

2b2c2 + 2c2a2 + 2a2b2 − a4 − b4 − c4 = 16P 2.

Rjesenje:

Iz Heronove formule slijedi:

16P 2 = 16s(s− a)(s− b)(s− c)

= (a+ b+ c)(b+ c− a)(a− b+ c)(a+ b− c)

=[(b+ c)2 − a2

][a2 − (b− c)2

]= (2bc+ b2 + c2 − a2)(2bc− b2 − c2 + a2)

= 4b2c2 − (b2 + c2 − a2)2

= 2b2c2 + 2c2a2 + 2a2b2 − a4 − b4 − c4.

Imamo dalje:

m = ctgω + ctgα + ctgβ + ctgγ

=2bc cosα

2bc sinα+

2ca cos β

2ca sin β+

2ab cos γ

2ab sin γ

=b2 + c2 − a2

4P+

c2 + a2 − b2

4P+

a2 + b2 − c2

4P=

a2 + b2 + c2

4P

tj.

a2 + b2 + c2 = 4Pm.

26

Kvadriranjem se dobiva

2b2c2 + 2c2a2 + 2a2b2 + a4 + b2 + c2 = 16P 2m2

pa zbrajanjem i oduzimanjem danom jednakoscu

2b2c2 + 2c2a2 + 2a2b2 − a4 − b4 − c2 = 16P 2

odmah slijedi

b2c2 + c2a2 + a2b2 = 4P 2(m2 − 1)

a4 + b4 + c4 = 8P 2(m2 − 1).

Zadatak 4:

Pri rjesavanju zadataka vezanim uz Heronovu formulu u svim zadacima duljine stranica su

cjelobrojne, a cjelobrojne su i povrsine tih trokuta. Takve trokute nazivamo Heronovim

trokutima. Zanima nas kako pronaci takve trokute?

Rjesenje:

Imamo trokut sa stranicama a=13 cm, b=14 cm, c=15 cm. Sluzeci se Heronovom formulom

dobivamo:

s =a+ b+ c

2

s =13 + 14 + 15

2= 21

P =√s(s− a)(s− b)(s− c)

P =√21(21− 13)(21− 14)(21− 15)

P = 84 cm2

Sada cemo pokusati povrsinu dobiti na drugi nacin. Iz poznate povrsine i zadanih duljina

stranica izracunati cemo duljinu visine na stranicu b. Pri tome cemo koristiti formuli za

racunjanje povrsine trokuta P = b·vb2, uvrstavnjem poznatih velicina dobivamo vb = 12.

Imamo dva pravokutna trokuta sa zajednickom katetom, kojima znamo duljine hipotenuza.

Koristeci Pitagorin poucak mozemo izracunati duljine drugih kateta tih trokuta, x i y.

x2 = 132 − 122 = 169− 144 = 25

x = 5

y2 = 152 − 122 = 225− 144 = 81

y = 9

27

Slika 3.2:

Znaci Heronovi trokuti se mogu dobiti ”lijepljenjem” dvaju Pitagorinih trokuta duz za-

jednicke katete. U ovom slucaju to su trokuti (5, 12, 13) i (9, 12, 15).

28

Literatura

[1] D. Edwards, Fa proof of Herons formula, American Matematics Monthly, Vol. 114, No.

10, 2007

[2] Z. Hanjs, Medunarodne matematicke olimpijade, Elemental, Zagreb, 1997.

[3] D. Ilisevic i M.Bombardeli, Elementarna geometrija, skripta PMF-Matematicki odjel,

2007.

[4] A. Ivankovic, Heronova formula kao rjesenje sustava funkcijskih jednadzbi, OML, Vol.

10, No. 1, 2010.

[5] D. Jovcic, Jos Jedan dokaz Heronove formule, MFL X, God XLV, Zagreb, 1994-1995.

[6] S. Kurepa, Matematika 1 za prvi razred srednjeg usmjerenog obrazovanja, Skolska

knjiga, Zagreb, 1986.

[7] M. Lapaine, Mollweide Map Projection, KoG, 15, 2011.

[8] B. Pavkovic, D. Veljan, Elementarna matematika 2, Skolska knjiga, Zagreb, 1995.

[9] M. Sullivan, Precalculus, Ccollier Macmillan Publishers, London, 1987.

[10] N. Truhar, Dva dokaza Heronove formule, OML, Vol. 8, No.2, Osijek 2008.

[11] Wikipedia, Brocard points. http://en.wikipedia.org/wiki/Brocard points

29

Sazetak

Heronova formula je elementarna formula za izracunavanje povrsine trokuta ukoliko su po-

znate duljine njegovih stranica. U uvodnom dijelu rada dan je kratak povijesni prikaz. Na-

dalje su navedeni zanimljivi i razliciti nacini dokazivanja Heronove formule. U izvodenju i do-

kazivanju ove formule koristimo se elementarnom matematikom. U radu smo naveli nekoliko

dokaza, krenuvsi od jednostavnijih metoda dokaza Heronove formule do nekih elegantnijih

metoda kao sto je metoda kompleksnih brojeva. Za neke dokaze kao sto su metode ”Uvodenje

i eliminacija pomocnih velicina”, ”Eliminacija trigonometrijske funkcije”,”Upotreba Mollwe-

ideovih formula” i ”Upotreba trigonometrijskih identiteta” potrebno je poznavanje osnovnih

trigonometrijskih funkcija i relacija, stoga se ne bi mogle izvoditi na nivou osnovnoskolske

nastave, za razliku od dokaza metodom ”eliminacija velicine” koji smo dokazali u prvom

poglavlju i koji se zasniva na Pitagorinom teoremu. U poslijednjem dijelu rada rijeseno je

nekoliko zadataka koji su bili na razlicitim matematickim natjecanjima i olimpijadama.

30

Various Proofs of Heron’s Formula

Summary

Heron’s formula is elementary formula for calculating surface area of the triangle, if the length

of its sides are known. The introductory section gives a brief historical overview. Further

we introduce a very interesting and different mathematical proofs of Heron’s formula. While

doing this prove we use elementary mathematics. In this paper we have provided numerous

proofs, starting with simple methods that prove Heron’s formula to some sleeker method as a

method of complex numbers. Some proofs, such as methods of ”Introduction and elimination

of auxiliary size”, ”The elimination of trigonometric functions”, ”Use of Mollweide formula”

and ”Using the trigonometric identity” need to know the basic trigonometric functions and

relations, so as not to be performed at the level of primary class, unlike proof method of

”elimination of size”, which we proved in the first chapter, which is based on Pythagoras’

theorem. In the last part of this paper several problems, that were in various mathematical

competitions and Olympiads, are solved.

31

Zivotopis

Dijana Marusic rodena 16.10.1980. u Osijeku. Osnovnu skolu od 1.-4. razreda zavrsila u

Popovcu, OS Popovac, daljnje skolovanje nastavila sam u Osijeku u OS Retfala. Nakon

zavrsetka osnovne skole upisala sam Matematicku gimnaziju u Osijeku te 2001. upisujem

studij matematike-informatike na Odjelu za Matematiku u Osijeku. U meduvremenu 2004.

godine rodila sam djevojcicu Miu te dalje nastavila studij nakon godinu dana starosti djeteta.

32