diktat fisika dasar ii
TRANSCRIPT
-
DIKTAT KULIAH FISIKA DASAR IITAHAP PERSIAPAN BERSAMA ITB
Materi Sesuai Dengan SilabusMata Kuliah Fisika Dasar II ITB
Oleh:DR.Eng. Mikrajuddin Abdullah, M.Si.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Bandung
2006
DIKTAT KULIAH FISIKA DASAR IITAHAP PERSIAPAN BERSAMA ITB
Materi Sesuai Dengan SilabusMata Kuliah Fisika Dasar II ITB
Oleh:DR.Eng. Mikrajuddin Abdullah, M.Si.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Bandung
2006
-
Kata Pengantar
Untuk melengkapi diktat kuliah Fisika Dasar I, kami kembali mengeluarkan diktat
kuliah untuk Fisika Dasar II dengan harapan semoga bisa menjadi pelengkap yang
berarti bagi referensi-referensi yang telah ada. Agar mahasiswa lebih memahami
persamaan-persamaan yang dibahas, contoh soal dan penyelesaian sengaja diperbanyak
jumlahnya.
Karena merupakan versi paling awal, kami menyadari masih akan ditemui beberapa
kesasahan dalah isi maupun pengetikan (mudah-mudahan tidak terlalu banyak). Kami
akan terus melakukan perbaikan, koreksi, dan pelengkapan materi sehingga diktat ini
menjadi diktat yang cukup lengkap dalam membantu para mahasiswa baru
menyelesaikan mata kuliah fisika dasar di tahun pertama ITB. Pada saat bersamaan
kami sangat mengharapkan kritik, saran, komentar, atau ide-ide yang membangun dari
pada pembaca guna perbaikan mutu diktat ini. Komentar tersebut dapat dikirim ke
E-mail: [email protected].
Terima kasih dan wassalam
Mikrajuddin Abdullah
ii
-
Daftar Isi
Bab 1 Hukum Coulomb dan Hukum Gauss 1
Bab 2 Potensial Listrik dan Kapasitor 59
Bab 3 Listrik Arus Searah 112
Bab 4 Kemagnetan 158
Bab 5 Hukum Biot Savart 189
Bab 6 Hukum Ampere 225
Bab 7 GGL Induksi dan Induktansi 244
Bab 8 Arus Bolak-Balik 299
Bab 9 Besaran Gelombang 350
Bab 10 Gejala Gelombang dan Gelombang Bunyi 403
Bab 11 Interferensi Gelombang Elektromagnetik 450
Bab 12 Model Atom dan Molekul 514
iii
-
Bab 1 Hukum Coulomb dan Hukum Gauss
Newton menemukan bahwa dua buah massa saling tarik-menarik dengan gaya yang berbanding lurus dengan perkalian dua massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak keduanya. Coulomb menemukan sifat serupa pada muatan listrik. Dua buah muatan listrik saling mengerjakan gaya yang besarnya berbanding lurus dengan perkalian dua muatan dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak keduanya.
ambar 1.1 Muatan sejenis tolak-menolak dan muatan berbeda jenis tarik-menarik
ambar 1.2 Sisir menarik potongan-potongan kertas karena memiliki muatan listrik yang
12Fr
12Fr
12Fr
21Fr
21Fr
21Fr
q1
q1
q1
q2
q2
q2
12Fr
12Fr
12Fr
21Fr
21Fr
21Fr
q1
q1
q1
q2
q2
q2
G
Gberbeda
1
-
Gaya yang dihasilkan bisa berupa gaya tarik-menarik atau tolak menolak, tergantung pada
a-sama negatif
jenis, yaitu positif dan negatif, saling melakukan gaya
.1 Gaya Coulomb Antara Dua Muatan Titik titik, mari kita misalkan ada dua muatan q1
jenis muatan yang melakukan gaya. Dari hasil pengamatan didapatkan bahwa i) Dua muatan sejenis, yaitu muatan yang sama-sama positif atau sammelakukan gaya tolak-menolak. ii) Dua muatan yang tidak setarik-menarik. 1Untuk menentukan gaya Coulomb dua muatan dan q2 yang berada pada posisi 1r
r dan 2rr . Vektor posisi muatan q2 relatif terhadap q1
adalah
1rr
2rr
21rq1 q2r
1rr
2rr
21rq1 q2r
ambar 1.3 Posisi muatan q1 dan q2 dalam system koordinat
(1.1)
Jarak antar
G
1221 rrrrrr =
a dua muatan tersebut adalah adalah
2121 rrr= 12 rr rr =
Vektor satuan yang searah dengan vektor 21r
r adalah
12
1221 rrrr rrrrr ==
2121 rrr (1.2)
Besarnya gaya Coulomb pada muatan q2 oleh muatan q1 adalah
221
211 qqF = 21 4 ro
2
-
212
21
41
rrqq
orr = (1.3)
Arah gaya searah dengan vektor satuan sehingga kita dapat mengungkapkan
alam notasi vektor sebagai berikut 21F 21r 21F
d
21212
2121 4
1 qqr rrrorr = (1.4)
Dengan mensubstitusi dari persamaan (1.2) ke dalam persamaan (1.4) kita dapat juga
enulis
F
21r m
12
122
12
2121
)(4 rr
rrrr
qq
orrr
1r
rr
= Fr
)(4
1123
12
21 rrrr
qq
o
rrrr = (1.5)
Dengan menggunakan hukum aksi-reaksi Newton dengan segera kita dapatkan gaya Coulomb
ada muatan q1 oleh muatan q2 adalah
2112
p
FFrr =
Contoh
uatan q1 = 2 mC berada pada koordinat (0,3) m dan muatan q2 = 4 mC berada pada t (4,6) m. Lihat Gambar 1.4. Berapa gaya yang dilakukan muatan q1 pada muatan
rikan C = 2 10-3 C
10-3 C
Mkoordinaq2? Jawab Dibeq1 = 2 mq2 = 4 mC = 4
jjir 3301 =+=r m jir 642 +=r m
jijj6+irrr 343)4(1221 +=== rrr m
3
-
2532 =4221 +=rr = 5 m
Gambar 1.4
esarnya gaya antara dua muatan B
2
339
221
5109
4==
rF
or21
)104)(102(1 qq = 2 880 N
Untuk menyatakan dalam notasi vector
jijirrr
53
54
534 2121 +=== r
21
+r
Dengan demikian
jijirr
Fo
4 212
2121 = r
qq 1728230453
54
5)104)(102(1091 2
339
21
+=
+=r
N
Contoh Tentukan besar gaya Coulomb pada electron atom hydrogen yang dilakukan oleh proton di
ti. Anggaplah bahwa electron mengelilingi proton pada jarak r = 0,53 A. Besar muatan dan proton adalah 1,6 10-19 C.
inelectron Jawab
1rr
2rrq1
2
21rr
21Fqr
y
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
x
1rr
2rrq1
q2
21rr
21Fr
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
x
y
4
-
Besar gaya yang dilakukan proton pada electron
82112 )103,5(4 ro
1919921 102,8)106,1)(106,1()109(
==qq N
1.2 Gaya Coulomb oleh sejumlah muatan ika terdapat sejumlah muatan maka gaya total pada suatu muatan merupakan jumlah vector aya yang dilakukan oleh sejumlah muatan lainnya. Misalkan kita memiliki muatan q1, q2, q3,
ihat Gambar 1.5. Misalkan: koordinat posisi muatan q1 adalah
1=F
Jgdan q4. Berapa gaya pada muatan q4?
Ganbar 1.5 Posisi koordinat sejumlah muatan dan gaya total yang bekerja pada satu muatan
L 1rr , koordinat posisi muatan
2 adalah , koordinat posisi muatan q3 adalah q 2rr
3rr , dan koordinat posisi muatan q4 adalah
4rr .
Gaya yang dilakukan muatan q1 pada muatan q4 adalah 41341
4141 4
rr
Fo
rr=
1 qqr
q1
q2
q4
1rr
2rr
3rr
4rr
41rr
42rr
43rr
41Fr
42Fr
43Fr
x
y
q3
41Fr
42Fr
43Fr
4241 FFrr +
434241 FFFrrr ++
q1
q2
q4
1rr
2rr
3rr
4rr
41rr
42rr
43rr
41Fr
42Fr
43Fr
x
y
q3
q1
q2
q4
1rr
2rr
3rr
4rr
41rr
42rr
43rr
41Fr
42Fr
43Fr
x
y
q3
41Fr
42Fr
43Fr
4241 FFrr +
434241 FFFrrr ++41F
r
42Fr
43Fr
4241 FFrr +
434241 FFFrrr ++
5
-
42342
4242 4
1 rr
qqFo
rr
r= Gaya yang dilakukan muatan q2 pada muatan q4 adalah
43343
4343 4
1 rr
qqF
o
rr
r= Gaya yang dilakukan muatan q3 pada muatan q4 adalah
Gaya total pada muatan q4 adalah
++=
ecara umum, gaya pada muatan qo yang dilakukan sejumlah muatan q1, q2, q3, , qN adalah
4342414 FFFFrrrr
S
= N=
Frr
i
iao1
0F
=
N 1=i
ii
i
o
rr
qq1
030
0
4r
r (1.6)
Contoh Tiga buah muata 6. Masing-masing muatan tersebut adalah q1 = 1 mC, q2 = 2 mC, dan q3 = - 4 mC. Berapa gaya
tal pada muatan q1 dan gaya total pada muatan q3?
Gambar 1.6 Jawab
n berada pada titik sudut segitiga sama sisi seperti pada Gambar 1.
to
q1 = 1 mC
q2 = 2 mC q3 = -4 mC
50 cm
50 cm
50 cm
q1 = 1 mC
q2 = 2 mC q3 = -4 mC
50 cm
50 cm
50 cm
6
-
Pertama kita tentukan gaya pada muatan q1. Perhatikan Gbr. 1.7.
r 1.7 Gaya-gaya yang bekerja pada muatan q1
Jarak antara mu
q1 = 1 mC
q2 = 2 mC q3 = -4 mC
50 cm
50 cm
50 cm
12Fr
13Fr
1Fr
q1 = 1 mC
q2 = 2 mC q3 = -4 mC
50 cm
50 cm
50 cm
12Fr
13Fr
1Fr
Gamba
12rr atan q1 dan q2: = 50 cm = 0,5 m
Jarak antara muatan q1 dan q3: 13rr = 50 cm = 0,5 m
Besar gaya oleh q2 pada q1 (tolak) adalah
42
339
221
2112 102,7)5,0(
)102)(10()109(4
1 ===
rqqF
or N
Besar gaya oleh q3 pada q1 (tarik) adalah
42
339
231
3113 104,14)5,0(
)104)(10()109(4
1 ===
rqqF
or N
engan aturan jajaran genjang, maka besar gaya total pada muatan q1 memenuhi
++=
= 1,6 1010
D
cos2 121221321221 FFFFFPada gambar, jelas = 120o sehingga cos = -1/2 dan
( ) )2/1)(104,14)(102,7(2)104,14(102,7 44242421 ++=F 7
-
atau
5101 103,1106,1 ==F N
Berikutnya kita tentukan gaya pada muatan q3. Perhatikan Gbr. 1.8:
Gambar 1.8 Gaya-gaya yang bekerja pada muatan q3
q1 = 1 mC
q2 = 2 mC q
50 cm
50 cm
50 cm
31Fr
32Fr
3Fr
3 = -4 mC
q1 = 1 mC
q2 = 2 mC q
50 cm
50 cm
50 cm
31Fr
32Fr
3Fr
3 = -4 mC
Jarak muatam q3 ke muatan q1: 31r = 50 cm = 0,5 m r
Jarak muatam q3 ke muatan q2: 32rr = 50 cm = 0,5 m
Besar gaya pada muatan q3 oleh muatan q1 (tarik)
42
339
231
3131 104,14)5,0(
)104)(10()109(4
1 ===
rqqF
or N
Besar gaya pada muatan q3 oleh muatan q2 (tarik)
48
339
232
3232 108,28)5,0(
)104)(102()109(4
1 ===
rqqF
or N
Dengan aturan jajaran genjang, maka besar gaya total pada muatan q3 memenuhi
++=
cos2 323123223123 FFFFF 8
-
Pada gambar, jelas = 60o sehingga cos = 1/2 dan
= 1,5 1011
atau
( ) )2/1)(108,28)(104,14(2)108,28(104,14 44242423 ++=F
511 109,3105,1 ==F N 3 1.3 Medan Listrik Mengapa muatan q1 dapat melakukan gaya pada muatan q2 meskipun ke dua muatan tersebut
tentang gaya gravitasi yaitu karena adanya edan gaya. Gaya Coulomb muncul karena muatan q1 menghasilkan medan listrik pada
posisi muatan q2. Muatan q2 berinteraksi dengan medan yang dihasilkan muatan q1, dan interaksi tersebut menghasilkan gaya pada muatan q2.
dinyatakan
21
tidak bersentuhan? Mirip dengan pembahasan kita m
Jika besarnya medan listrik yang dihasilkan muatan q1 pada posisi muatan q2
Er
sebagai maka gaya yang dilakukan oleh muatan q1 pada muatan q2 memenuhi
persamaan
21221
EqFrr = (1.7)
Dengan membandingkan persamaan (1.7) dengan ungkapan hukum aan
maka kuat medan listrik yang dihasilkan muatan q1 pada posisi muatan q2 memenuhi
Coulomb pada persam(1.5),
21321ro
121 4
1 rq rrr
= (1.8) E
Dinyatakan dalam scalar, besarnya medan listrik yang dihasilkan muatan sembarang pada jarak r dari muatan tersebut adalah
241 qE =
ro (1.9) Tampak bahwa besarnya medan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak dari muatan. Jika dubuatkan kurva kuat medan terhadap jarak kita dapatkan Gambar 1.9
9
-
E (N/C)
r (m)
E (N/C)
r (m)
Gam
ii) Masuk ke muatan tersebut jika muatan memiliki tanda negatif.
ambar 1.10 Arah medan listrik: (a) keluar dari muatan positif dan (b) masuk ke muatan
bar 1.9 Kuat medan listrik yang dihasilkan muatan titik sebagai fungsi jarak. Arah medan listrik didefinisikan sebagai berikut: i) Keluar dari muatan jika muatan tersbut memiliki tanda positif.
E EE E
Gnegatif.
10
-
Contoh Ada dua buah muatan masing-masing q1 = 2 mC dan q2 = -5 mC. Ke dua muatan tersebut ipisahkan oleh jarak 80 cm. A) berapa kuat medan litrik dan arahnya pada titik tepat di antara
dua muatan tersebut? (b) Di manakah posisi yang memiliki medan nol? Jawab Perhatikan Gbr. 1.11.
ambar 1.11
dan r2 = 0,4 m uat medan listrik yang dihasilkan muatan q1
d
q1=2 mC q2= -5 mC
r = 0,8 m
r1 = 0,4 m r1 = 0,4 mEp1
Ep2P
q1=2 mC q2= -5 mC
r = 0,8 m
r1 = 0,4 m r1 = 0,4 mEp1
Ep2P
G a) Tampak bahwa r1 = 0,4 mK
822
1 )4,0(rKuat medan listrik yang dihasilkan muatan q2
391 101,1102)109( ==
q N/C (ke kanan) 1 = kEp
82
39
22
2 108,2)4,0(
105)109( ==rq N/C (ke kanan)
P yang dihasilkan oleh dua muatan
N/C (ke kanan)
b) Posisi dengan medan nol tidak mungkin berada di antara dua muatan karena masing-masing muatan menghasilkan medan yang arahnya ke kanan. Posisi dengan medan nol juga tidak mungkin berada di sebelah kanan muatan q2 karena jarak ke muatan q2 lebih kecil daripada jarak ke muatan q1 sedangkan nilai muatan q2 lebih besar aripada nilai muatan q1. Dengan demikian, di sebelah kanan muatan q2, medan yang
atan q2 selalu lebih besar daripada medan yang dihasilkan muatan q1 sehingga e dua medan tidak mungkin saling menghilangkan.
alah di sebelah kiri muatan q1. Misalkan posisi
2 = kEpMedan total pada titik
88821 109,3108,2101,1 =+=+= ppp EEE
ddihasilkan mukPosisi yang mungkin memiliki medan nol adtersebut berada pada jarak x di sebelah kiri muatan q1.
11
-
Jarak titik tersebut ke muatan q1: x Jarak titik tersebut ke muatan q2: 0,8 + xMuatan q1 menghasilkan medan ke arah kiri
e dua medan saling menghilangkan jika besarnya sama, atau
Muatan q2 menghasilkan medan ke arah kanan K
22 )8,0( xx +21 qkqk =
22
1
22
25)8,0 xx
qqx ==+ (
22 5)8,0(2 xx =+ 22 5)6,164,0(2 xxx =++
22 522,328,1 xxx =++ atau
028,12,33 2 = xx Solusinya adalah
6632===x = 1,4 m
Jadi medan listrik nol terjadi pada jarak 1,4 m di sebelah
1,52 +
kiri muatan q1
ibusi muatan edan listrik yang dihasilkan oleh muatan titik.
i medan yang dihasilkan oleh masing-masing lebih rumit, yaitu jika muatan
ang menghasilkan medan bukan merupakan muatan titik, melainkan muatan yang terdistrubusi pada benda yang memiliki ukuran besar. Sebagai contoh adalah muatan yang dihasilkan oleh batang, cincin, bola, dan sebagainya. Hukum Coulomb tetap berlaku untuk distribusi muatan apa saja. Namun untuk distribusi muatan pada benda besar kita sering mengalami kesulitan menggunakan hokum Coulomb secara langsung kecuali untuk beberapa bentuk. Kita akan mencari medan listrik yang dihasilkan oleh benda yang bentuknya sederhana.
a) Medan listrik oleh muatan cincin in yang berjari-jari a. Cincin tersebut mengandung muatan q yang tersebar
ecara merata. Artinya, jumlah muatan per satuan panjang cincin adalah konstan. Kita akan mencari kuat medan listrik sepanjang sumbu cincin, yaitu pada posisi yang berjarak h dari pusat cincin. Bagaimana menghitungnya?
,36,252,3)28,1(34)2,3(2,3 2 ++
1.4 Medan Listrik yang dihasilkan distrDi bagian terdahulu kita sudah membahas mMedan total merupakan penjumlahan vector darmuatan titik. Sekarang kita meningkat ke kondisi yang sedikity
Kita memiliki cincs
12
-
13
EEv EEv
Gambar 1.12 Medan listrik di sumbu cincin
r h
hE
Keliling cincin adalah
aS 2= (1.10) Kerapatan muatan cincin (muatan per panjang) adalah
aq
Sq
2== Kita bagi cincin atas bagian-bagian kecil sejum ah N buah. Panjang tiap bagian adalah
l
NSS = (1.11)
Jika N cukup besar maka S cukup kecil sehingga tiap bagian dapat dipandang sebagai muatan titik. Dengan demikian, hokum Coulomb untuk muatan titik dapat digunakan untuk menghitung medan yang dihasilkan S. Muatan yang dikandung tiap elemen adalah
Sq = (1.12)
a
r h
hE
a
-
sehingga medan listrik pada titik pengamatan yang dihasilkan oleh elemen muatan ini adalah
22 411 qE ==
4 rS
r oo
(1.13)
engan menggunakan dalil Phitagoras maka
+= sehingga
D
222 ahr
2241 SE =
aho +
1.14) Perhatikan m
apat diuraikan atas komponen vertikan dan horizontal
(
edan E. Arahnya membentuk sudut dengan sumbu cincin. Medan tersebut d
cosEEv = (1.11) sinEEh = (1.16)
ari gambar tampak bahwa
D
cos22 ahr +
hh ==
cos22 ah
ara
+==
engan demikian D
( ) 2/3222222 41
41
ahSh
ahh
ahSE
oov +
=++=
(1.17)
( ) 2/3222222 41
41E
ahSa
aha
ahS
ooh +
=++=
(1.18)
Apabila kita melihat elemen lain di cincin yang tepat berseberangan dengan elemen yang
lah kita pilih sebelumnya maka kita dapatkan elemen tersebut menghasilkan komponen
anan sehingga saling meniadakan.
temedan arah vertical yang sama baik besar maupun arah. Namun komponen medan arah horizontal memiliki besar sama tetapi arah berlaw
14
-
Akibatnya, komponen horizontal medan yang dihasilkan elemen-elemen pada cincin saling meniadakan sehkarena itu, untu
ihasilkan oleh masing-masing elemen. Jadi medan total yang dihasilkan adalah
ingga medan total yang dihasilkan cincin hanya memiliki arah vertical. Oleh k menentukan medan total kita cukup menjumlahkan komponen vertical yang
d
( ) ( ) +=+== S
ahh
ahShEE
oov 2/3222/322 4
14
1
(1.19)
Ingat adalah jumlah panjang semua elemen cincin, dan ini tidak lain daripada keliling
cincin. Dengan demikian
S
( ) )2(41 hE 2/322 aaho
+ (1.20) Tetapi,
=
qa =)2( , yaitu muatan total cincin. Jadi kita peroleh medan total pada sumbu incin
c
( ) 2/32241
ahqhE
o += (1.21)
b) Medan Listrik Oleh Muatan Batang Kita akan bahas medan listrik yang dihasilkan oleh batang yang memiliki panjang L di posisi yang sejajar dengan sumbu batang. Titik pengamatan adalah pada jarak a dari ujung batang terdekat. Batang memiliki kerapatan muatan homogen. Jika muatan batang Q maka krapatan muatan batang adalah
LQ= (1.22)
mener
Panjang tiap elemen adalah Untuk apkan hokum Coulomb kita bagi batang atas N buah elemen yang sama panjang.
NLL = (1.23)
ika N sangat besar maka L sangat kecil sehingga tiap elemen dapat dipandang sebagai titik.
at elemen di batang yang jaraknya x dati titik pengamatan. Lihat Gbr. 1.14. Muatan
J Kita lih
15
-
yang dikandung elemen tersebut adalah
LQ = (1.24)
en tersebut pada titik pengamatan adalah
a
Gambar 1.13 Medan listrik yang dihasilkan oleh batang Medan yang dihasilkan elem
22 41
41
xL
xQE
oo
== (1.25) Medan total di titik pengamatan adalah
+++= 22
221
...4 No xxx
(1.26) = 1 LLLE
Penjumlahan dalam erikan hasil
E
dengan
ax =1 LaxN +=
tanda kurung memb
)(... 22
221 Laa
Lx
LxL
xL
N +=
+++ (1.27)
Dengan demikian, medan total yang dihasilkan semua muatan pada batang adalah
x
a+L dL
a
x
a+L
x
a
a+L dL
16
-
)(4)(4)(4 LaaLaaLaa ooo +++ 111 QLL === E (1.28)
c) Medan Listrik Oleh Dipol
ipol adalah muatan yang sama besar dan berbeda tanda tetapo dipisahkan pada jarak tertentu. lihat dari jarak yang cukup jauh, dipol tampak netral
arena kedua muatan sangat berdekatan. Tetapi dilihat dari jarak yang cukup dekat, yaitu pada orde yang sama dengan jarak pisah dua muatan, dipol tampak sebagai dua muatan terpisah. Aplikasi dipol dapat dijumpai dalam berbadai hal. Bahan dielektrik yang dipakai secara luas
bauatn kapasitor atau memori adalah bahan yang mudah menghasilkan dipol begitu ikenai medan listrik dari luar. Makin mudah bahan tersebut menghasilkan dipole, maka
konstanta dielektrik bahan tersebut makin besar.
ya e negatif dipisahkan dan diosilasikan (saling
E2
DBiasanya jarak tersebut cukup kecil. Dik
pada pemd
-q +q
Gambar 1.15 Menentukan medan listrik oleg dipol Pemamcar gelombang elektromagnetik seperti pemancar radio dan televisi umumnm nghasilkajn osilasi dipole. Muatan posisi dan mendekat dan menjauh). Berdasarkan teori elektromagnetik, muatan yang berosilasi memancarkan gelombang elektromagnetik dengan frekuensi samam dengan frekuensi osilasi muatan.
d/2 d/2
E
E
h rr1
E2
-q +q
d/2 d/2
E
E
h rr1
-q +q
d/2 d/2
E
E
h rr1
17
-
Kita akan menghitung kuat medan listrik yang dihasilkan oleh dipole. Untuk mudahnya, kita hanya menghitung kuat medan sepanjang gasris yang tegak lurus sumbu dipol. Lihat Gbr. 11.15. Besar medan yang dihasilkan muatan negatif
2221 )2/(41
41
dhq
rqE
oo +== (menuju ke arah muatan) (1.29)
Besar medan yang dihasilkan muatan positif
2222 )2/(41
41
dhq
rqE
oo +== (menjauhi muatan) (1.30)
Medan resultan yang dihasilkan (hanya memiliki komponen arah horizontal).
coscos 21 EEE += cos)2/(
21 q (4 22 dho +
1.31) = Tetapi = o90 , sehingga sin)90cos(cos == o Berdasarkan Gambar 11.15
22 )2/(dhr +Akhirnya, medan listrik yang dihasilkan dipol adalah
2/2/ d== (1.32) dsin
sin)2/(4 22 dhE o += 21 q
2222 )2/(2/
)2/(2
41
dhd
dhq
o ++=
[ ] 2/322 )2/(4 dho + (1 qd 1.33) Kita mendefinisikan momen dipol
=
18
-
qdp = (1.34)
Dengan demikian, diperoleh
[ ] 2/322 )2/(4 1 dh pE o += (1.35) ita peroleh adalah jika jarak titik pengamatan (h) sangat besar
ibandingkan dengan jarak antara dua muatan, atau
Kasus khusus yang akan k
hd
-
vektor posisi titik pengamatan adalah Prr . Posisi relatif titik pengamatan terhadap elemen
muatan adalah dan jarak titik pengamatan ke elemen muatan adalah rrPrr rrP rr . Jika
esar mauatan pada titik pengamatan adalah maka gaya yang dialami muatan tersebut PQ bakibat elemen muatan dq adalah
)(4
1 dqQ rrr2 r3 rrr
FdP
P
oP rr =
Medan listrik di titik P yang dihasilkan oleh elemen muatan adalah
dq
P
PP Q
FdEdrr =
)(4
123 rrrr
dq
Po
rrrr = (1.37)
uat medan total di titik P yang dialibatkan oleh seluruh muatan pada benda menjadi K
= PP EdE rr
= )(41
23 rrrrdq
Po
rrrr (1.38)
Persamaan (1.38) merupaka bentuk umum dar ersamaan untuk mencri kuat medan listrik yang dihasilkan oleh m
i puatan yang terdistribusi kontinu. Berdasarkan jenis distribusi muatan,
ita menemui tiga macam yaitu distribusi muatan, yaitu satu dimensi, distribusi muatan dua dimensi, dan ditribusi muatan tiga dimensi. i) Untuk distribusi muatan satu dimensi, misalnya muatan pada kawat maka
k
dxdq = dengan adalah rapat muatan per satuan panjang dan dx adalah elemen panjang kawat.
tan at maka dSdq = ii) Untuk distribusi muatan dua dimensi, misalnya mua pada peldengan adalah rapat muatan per satuan luas permukaan dan dS adalah elemen luas permukaan. iii) Untuk distribusi muatan tiga dimensi maka dVdq = dengan adalah rapat muatan per satuan volum dan dV adalah elemen volum benda.
20
-
Untuk lebih memahami aplikasi metode integral ini mari kita tinjau beberaoa contoh berikut ini.
) Muatan Pada Kawat Lurus Tak Berhingga rus tak
erhingga. Lihat skema pada Gbr. 1.1
1.38).
aKita akan mencari kuat medan listrik pada posisi yang berjarak a dari kawat lub
Gambar 1.17 Menentukan kuat medan magnet yang dihasilkan oleh elemen kawat lurus panjang Sebelum melakukan integral, kita harus menyederhanakan dulu ruas kanan persamaan (Tinjau elemen kawat sepanjang dx yang memuat muatan sebesar dxdq = . Med yang dihasilkan elemen ini di titik pengamatan adalah
an listrik
)(4
123 rrrr
dxEd Prr
rrPo
r =
Apabila kita hitung besarnya saja maka besar medan listrik tersebut adalah
rrrr
EddEP rrdx rr
Po
r == 2341
24 rrPorr
1 dx=
Berdasarkan Gambar 1.17, jarak antara titik pengamatan dan elemen muatan adalah
rrrP = rr . Dengan demikian
P
ar
ddEPdE
dEPv
PhP
ar
ddEPdE
dEPv
Ph
xdq xdq
21
-
24 roP
1 dxdE
= (1.39)
ampak dari Gbr 1.17 bahwa T
sin=ra
atau
222 sina11
r= (1.40)
sincos
tanaLaLx oo ==
Selanjutnya kita mencari diferensial dx sebagai berikut. Dengan melakukan diferensial ruas kiri dan kanan persamaan (1.41) diperoleh
(1.41)
=
sin
)(sincossin
)(cos ddadx 2
dadadda 222
2
2
2 sincossin
sincos1
sincoscos
sinsin +=
+=
=
2sin
da= (1.42)
ubstitusi r dan dx dari persamaan (1.40) dan (1.42) ke dalam persamaan (1.39) diperoleh
S
= 22
2
sinsin4
1a
da
oP
dE
dao41= (1.43)
edan dapat diuraikan atas dua komponen, yaitu yang sejajar dengan kawat
dan yang tegak lurus kawat
PdE PhdE MdEPv . Besar komponen-komponen tersebut adalah
22
-
dadEdE oPPh cos41cos ==
dan
dadEdE oPPv sin41sin ==
Setiap elemen dx akan memiliki elemen pasangan yang berseberangan dari lokasi titik pengamatan yang memiliki komponen medan arah horisontal yang sama besar tetapi
agnet total di titik P dalah integral dari komponen medan arah vertikal.
elanjutnya kita menentukan batas-batas integral. Karena kawat panjang tak berhingga, maka batas bawah adalah = 0o dan batas atas adalah = 180o. Dengan demikian, medan listrik total yang dihasilkan kawat adalah
berlawanan arah. Kedua komponen tersebut saling meniadakan. Akibatnya, hanya komponen arah vertikal yang memberi kontribusi pada medan listrik total. Dengan demikian, kuat medan m S
=o
oPvP dEE
180
0
=o
da
sin4
1 oo180
0
[ ] [ ])1()1(4
1cos4
1 1800 +== aa oo
o
o
ao
21= (1.44)
Lihat Gambar 1.18
b) Medan listrik oleh kawat lurus berhingga Sekarang kita akan membahas kasus yang sedikit rumit, yaitu menentukan medan listrik yang dihasilkan oleh muatan listrik pada kawat lurus yang panjangnya berhingga. Misalkan kita memiliki kawat yang panjangnya Lo. Kita akan menentukan kuat medan listrik pada titik yang berjarak a dari kawat dan dan sejajar dengan salah satu ujung kawat. Untuk menentukan kuat medan listrik di titik pengamatan, kita tentukan variabel-variabel seperti pada Gbr. 1.19
23
-
Gambar 1.18 Skema perhitungan medan listrik oleh muatan pada kawat lurus bergingga
erupa dengan pembahasan untuk kawat yang panjangnya tak berhingga, besar medan listrik ang dihasilkan elemen kawat dx adalah
Gambar 1.19 Variabel-variabel perhitungan Sy
da cos dE oPh 41=
dan
dadE oPv sin41=
erlu diperhatikan bahwa untuk kasus ini, komponen medan arah horizontal tidak saling enghilangkan. Komponen horizontal dan vertical sama-sama memberi kontribusi pada
Sekarang kita tentukan batas-batas integral. Ketika elemen dx berada di ujung kiri kawat,
ma
Pmmedan total.
ka sudut yang dibentuk adalah m yang memenuhi om La /tan = . Dan ketika elemen dx berada di ujung kanan kawat maka sudut yang dibentuk adalah 90o. Jadi, batas integral adalah dari m sampai 90o. Maka kita dapatkan medan magnet di titik P adalah
Lo
a
P
Lo
a
P
a
x dx
P
r
a/tan
a
x dx
P
r
a/tan
24
-
= daEPh cos4 1 o
mo
90
[ ] [ ]ooo aa
o
mm
sin90sin4
1sin4
1 90 ==
[ ]mo a
sin141 = (1.45)
=o
m
da
Eo
Pv
90
sin4
1
[ ] [ ]moo aa m
oo 44 cos90cos1cos1 90 += =
[ ] mo
m ao a
cos
1cos04
1 =+= (1.46) 4
Karena om La /tan = maka
22sin
o
mLa +
= a
an d
22cos
o
om
La
L
+=
Dengan demikian
a (1.47)
+= 2214
1
ooPh
LaaE
2241
o
o
oPv
La
La
E+
= (1.48)
Jika panjang kawat di satu sisi sangat besar, atau oL maka . Dengan demikian
222oo LLa +
25
-
[ ]aaL
aaL
aa
Eoooooo
Ph
4101
411
411
41
2=
=
aLL
aL
La
Eoo
o
oo
o
oPv
4
14
14
12
==
Selanjutnya kita bahas kasus yang lebih umum lagi di mana titik pengamatan berada di antara dua ujung kawat. Misalkan titik tersebut berjarak a dari kawat dan berjarak b dari salah satu
s ini sebenarnya tidak terlalu sulit. Kita dapat memandang bahwa medan rsebut dihasilkan oleh dua potong kawat yang panjangnya b dan panjangnya Lo b di mana
titik pengamatan berada di ujung masing-masing potongan kawat tersebut. Kuat medan arah tegak lurus yang dihasilkanhorizontal saling melemahkan.
hingga Komponen-komponen medan yang dihasilkan kawat sepanjang b adalah
ujung kawat. Kasute
dua kawat saling mnguatkan sedangkan kuat medan arah
Gambar 1.20 Kuat medan listrik pada posisi sembarang di sekitar kawat lurus ber
+= 221 14
1ba
aa
Eo
Ph
221 41
bab
aE
oPv +
= Komponen-komponen medan yang dihasilkan kawat sepanjang L-b adalah
= 11 aE
+ 222
)(4 bLaa ooPh
Lo
aP
Lo-bb
Lo
aP
Lo-bb
26
-
222 )(41
bLa
bLa
Eo
o
oPv +
=
Komponen medan vertical total menjadi (saling menguatkan)
21 PvPvPv EEE +=
2222 )(44 bLaabaa ooo ++ 11 bLb o + (1.49)
=
ponen medan horisontal total menjadi (saling melemahkan) Kom
21 PhPhPh EEE =
+
+= 2222 141
)(1
41
baa
abLaa
a ooo
= 1 aa ++ 2222 )(4 bLabaa oo
++= 2222 )(11
4 bLaba oo (1.50)
Selanjutnya kita mencari kuat medan listrik pada titik yang berada di luar areal kawat,
isalnya pada jarak b di sebelah kiri kawat. Lihat Gambar 1.21.
h ini dapat dipandang ebagai dua poto g kawat berimpit. Satu potong kawat panjangnya dan memiliki
rapat muatan dan potong kawat lain panjangnya dan memiliki rapat muatan -. Ujung kiri dua potongan kawat diimpitkan.
edan listrik yang dihasilkan potongan kawat panjang adalah
m
ana memecahkan masalah ini? Kita pakai trik sederhana. MasalaBagaims bLo +
b n
Kuat m
++= 221 )(141
bLaa
aE
ooPh
27
-
221 )(41
bLa
bLa
Eo
o
oPv ++
+=
wat lurus erhingga. Kita dapat memandang system terdiri dari dua kawat dengan panjang Lo+byang
memiliki kerapatan muatan dan kawat sepanjang b dengan kerapatan muatan - yang diimpitkan di sisi kirinya. Kuat medan listrik yang dihasilkan potongan kawat pendek adalah
Gambar 1.21 Menentukan kuat medan listrik pada posisi sembarang di luar kab
+= 222 14
1ba
aa
Eo
Ph
222 41
bab
aE
oPv +
= Medan listrik arah vertical maupun horizontal total merupakan selisih komponen medan listrik yang dihasilkan masing-masing kawat karena tanda muatan berlawanan. Jadi Komponen medan arah horizontal adalah
21 PhPhPh EEE =
LoaP
b
-
LoaP
b
-
LoaP
b
LoaP
b
28
-
+
++= 2222 141
)(1
41
baa
abLaa
a ooo
+++= 2222 )(41
bLaa
baa
aoo
+++= 2222 )(11
4 bLaba oo (1.51)
Komponen medan arah vertikal adalah
21 PvPvPv EEE =
2222 41
)(41
bab
abLa
bLa oo
o
o +
+++=
+= 1 bLo +
++ 2222 )(4 bab
bLaa oo (1.52)
0a maka Untuk kasus ketika
+=
+++= bLbbLbE ooooPh11
4)(01
01
4 2222
(1.53)
04
10)(04
12222
=
+
+=
++++=
bb
bLbL
abb
bL
bLa
Eo
o
oo
o
oPv
(1.54)
um Coulomb. Lebih khusus lagi jika kita ingin bu cincin. Lihat Gbr. 1.22
isalkan sebuah cincin dengan jari-jari a mengandung muatan Q. Kita ingin menentukan kuat edan listrik sepanjang sumbu cincin pada jarak b dari pusat cincin. Berdasarkan Gbr 1.22
besarnya medan listrik di titik P yang dihasilkan oleh elemen cincing sepanjang dL adalah
c) Medan Listik oleh Cincin
incin adalah bentuk geometri lain yang memungkinkan kita menentukan medan listrik Cdengan cukup mudah menggunakan huk
enghitung kuat medan listrik sepanjang summ Mm
29
-
241
rdqdE =
Gambar 1.22 Medan listr
ampak juga dari gambar 1.22, dE dapat diuraikan atas dua komponen yang saling tegak lurus, k luru ajatr sumbu. Besarnya nilai komponen-komponen tersebut
adalah
ik di sumbu cincin yang dihasilkan oleh elemen pada cincin
Tyaitu komponen tega s dan sej
sindEdE = (1.55a) cos// dEdE = (1.55b)
Tiap elemen kawat memiliki pasangan di seberangnya (lokasi diametrik) di mana komponen
gak lurus sumbu memiliki besar sama tetapi arah tepat berlawanan. Dengan demikian ke meniadakan. Oleh karena itu, untuk menentukan kuat medan
tedua komponen tersebut salingtotal kita cukup melakukan integral pada komponen yang sejajar sumbu saja. Besar medan total menjadi
== cos// dEdEE = cos4 1 2rdqo (1.56)
Semua parameter dalam integral konstan kecuali dq. Dengan demikian kita peroleh
a
rb
Q
P
dq
dB
//dB
dB
a
rb
Q
P
dq
dB
//dB
dB
30
-
Qr
dqr
Eoo
cos1
41cos1
41
22 == cos4
12r
Qo
= (1.57) Dari Gbr. 1.22 tampak bahwa sin/ =ra . Akhirnya kita dapatkan
cossin41 2
2aQE
o
= (1.58) Untuk kasus khusus titik di pusat lingkaran, kita dapatkan = 90o sehingga E = 0. Contoh Kita memiliki dua cincin konsentris dengan jari-jari a1 dan a2. Masing-masing cincin memiliki muatan Q1 dan Q2. Berapa kuat medan listrik pada lokasi: ) berjarak b dari pusat cincin sepanjang sumbu cincin ) pada pusat cincin
awab
a) Kuat me
ab J
b
2a
Gambar 1.23
dan listrik yang dihasilkan cincin bermuatan Q1 adalah
112 cos 2
1
11 sin4
1 a
QEo
=
a1
1
2
Q2
1Q
b
2a a1
1
2
Q2
1Q
31
-
Kuat medan magnet yang dihasilkan oleh cincin bermuatan Q2
222
22
22 cossin4
1 aQE
o
= Kuat medan magnet total
21 EEE +=
222
22 cossin
41 a
Q+ 2
112
21
1 cossin4
1 aQ
oo
=
) Di pusat cincin terpenuhi 1 = 2 = 90o sehingga E = 0.
rupa busur dengan sudut panjang sumbu cincin yang berjarak b
a kasus ini pun kita memiliki dua komponen medan, yaitu yang searah umbu dan yang tegak lurus sumbu. Medan tersebut diperoleh dengan mengintegralkan
en medan yang diberikan oleh persamaan (1.55a) dan (1.55b). Kuat medan total searah sumbu adalah
b d) Kuat medan listrik di sumbu cincin tidak penuh Sekarang kita anggap cincin bukan lingkaran penuh, tetapi hanya bekeliling . Kita ingin mencari berapa kuat medan di sedari pusat cincin. Padskompon
= 0
// cosdEE
== 020 2cos
41cos
41 dq
rrdq
oo
(1.59)
tegral di ruas kanan persamaan (1.59) adalah muatan total pada busur cincin. Jadi
ian
Qdq =0
. In
Dengan demik
2//cos1 Q
4 roE =
32
-
sin/ =raDengan menggunakan hubungan maka
4 2// ao cossin1 2Q= (1.60)
Untuk menentukan kuat m dan yang tegak lurus sumbu, ada dua kasus yang harus diperhatikan. Kasus pertama adalah jika panjang busur kurang dari setengah lingkaran. Dalam
asus ini, tiap elemen busur tidak memiliki pasangan diameteris yang menghasilkan al yang saling meniadakan. Semua elemen menguatkan medan total.
uat medan total menjadi
E
e
kkomponen medan horisontK
= 0
sindEE
= 22 sin1sin1 dqdq = 00 44 rr oo2
sin4
1r
Qo
=
3sin1 Q= 24 ao Jika panjang busur lebih dari setengah lingkaran, maka mulai ada pasangan diametris yang menghasilkan medan arah horisontal yang saling meniadakan. Lihat Gambar 1.24 Panjang busur membe
(1.61)
ntuk sudut . Tampak dari Gambar 1.24, dari busur yang ada, sebagian lemen mempunyai pasangan diametris yang menghasilkan komponen medan arah horisontal
yasama besar tetapi berlawanan arah. Hanya bagian busur lingkaran sepanjang 2 - yang tidak memiliki pasangan diametri sehingga memberi kontribusi pada medan magnet total arah horisontal. Dengan demikian, medan magnetik total arah horisontal adalah
e
= sindEdE
== 2
00 44 rr oo2
2
2
sin1sin1 dqdq
Q
ro4 2= 2sin1
33
-
3
2 sin1241
=
aQ
o
(1.62)
terbentuk lingkaran penuh maka = 2 dan medan total
1.5 Garis Gaya Listrik Untuk menvisualisasikan medan listrik sehingga kita memiliki gambaran tentang besar maupun arahnya, maka didefinisika garis gaya listrik. Garis gaya listrik adalah garis khayal yang keluar dari muatan positif dan masuk ke muatan negatif. Setelah menggambarkan garis gaya listrik maka kita dapat mendefinisikan medan listrik sebagai berikut i) Besarnya me n listrik sebanding dengan kerapatan garis gaya per satuan luas permukaan yang ditembus garis gaya ii Arah medan lis
Gambar 1.25 Garis gaya listrik Kuat medan listrik di titik A lebih besar daripada kuat medan listrik di titik B dan kuat medan listrik di titik B lebih besar daripada kuat medan listrik di titik C.
Gambar 1.24 Kuat medan listrik oleh busur cincin yang melebihi setengah lingkaran
anpak dari persamaan (1.62), jikaTarah horisontal nol.
n
da
trik di suatu titik sama sejajar dengan garis singgung garis gaya pada titik tersebut.
2-
2-
2-
2-
AB
C
AB
C
34
-
Karena kuat medan listrik sebanding dengan kerapatan garis gaya maka dapat pula kita katakana bahwa kuat medaDan karena kuat medan listrik berbanding lurus juga dengan besar muatan maka dapat kita impulkan bahwa
Jumlah garis gaya berbanding lurus dengan muatan. Makin besar muatan yang dimiliki duatu partikel maka makin banyak garis gaya yang keluar atau masuk ke partikel tersebut.
Gambar 1.26 Definisi fluks listrik Pada Gambar 1.26 me
n listrik berbanding lurus dengan jumlah garis gaya.
s
1.6 Hukum Gauss Gauss merupakan metode yang sangat efektif untuk mencari kuat medan listrik di Hukum
sekitar muatan kantinu pada benda yang memiliki simetri. Kita akan menerapkan hukum Gauss pada beberapa kasus. a) Fluks Listrik Sebelum menerapkan hukum Gauss, mari kita bahas dulu fluks listrik. Fluks listrik didefinisikan sebagai perkalian scalar antara vector kuat medan listrik dengan vector luar permukaan yang ditembus oleh medan tersebut.
ErEr
dan listrik Er
menembus permukaan dengan vector luas permukaan Ar
. Fluks listrik yang melewati permukaan memenuhi
cosEAAE == rr (1.63)
ArAr
35
-
Jika permukaan yang ditembus medan terdiri dari sejumlah segmen, maka fluks total sama dengan jumlah fluks pasa masing-masing segmen. Contohnya, untuk Gbr 1.27, fluks total
apat ditulis sebegai d
2Er
2Er
1Er
3Er
1A
2A
3A
r
1
2
3
4Er
r
Gambar 1.27 Medan listrik menembus sejumlah segmen permukaan
4321 +++= 44332211 AEAE AEAErrrrrrrr ++ +=
444333222111 coscoscoscos AEAEAEAE +++= (1.64) Jika jumlah segmen permukaan ada n buah, maka fluks total yang melewati seluruh permukaan dapat ditulis sebagai
=
=n
iii AE
1
rr
=
=n
iiii AE
1cos (1.65)
Dalam kasus umum di mana permukaan yang dikenai medan listrik adalah permukaan sembarang dan kuat serta arah medan listrik juga sembarang maka fluks yang melewati
ermukaan ditentukan dengan integral sebagai berikut
(1.66)
p
= dAE cos
r r4A
4
1Er
3Er
1A
2A
3A
r
1
2
3
4Er
r
r r4A
4
36
-
b) Fluks Pada Permukaan Tertutup Fluks ada karena adanya garis gaya. Garis gayagaya adalah lokasi pada jarak tak b
an muatan positif di dalam permukaan tertutup.
dihasilkan oleh muatan tersebut yang asuk pada sisi depan permukaan pasti keluar di sisi belakang permukaan. Karena tidak ada
keluar dari muatan positif. Ujung dari garis erhingga dari muatan positif atau muatan negatif. Ketika
bertemu muatan negatif, maka garis yang dihasilkan muatan positif berakhir di muatan negatif.
Permukaantertutup
Permukaantertutup
Permukaantertutup
Permukaantertutup
(i) (ii)
(iii) (iv)
PermukaantertutupPermukaantertutup
PermukaantertutupPermukaantertutup
PermukaantertutupPermukaantertutup
PermukaantertutupPermukaantertutup
(i) (ii)
(iii) (iv)
Gambar 1.28 (i) muatan positif berada di luar permukaan tertutup, (ii) muatan negatif berada di luar permukaan tertutup, (iii) muatan positif di luar permukaan tertutup dan muatan negatif di dalam permukaan tertutup, (iv) muatan negatif di luar permukaan tertutup d i) Misalkan di sekitar sebuah muatan positif terdapat permukaan tertutup. Muatan tersebut berada di luar permukaan tertutup. Garis gaya yang m
37
-
muatan negatif garis gaya hanya berakhir di jarak tak berhingga. Pada sisi depan permukaan, sudut yang
ibentuk garis gaya dengan vector luas lebih besar daripada 90o sehingga fluks berharga , sudut yang dibentuk garis gaya dengan vector luas
i luar pemukaan ada muatan negatif maka garis gaya akan masuk menuju permukaan tersebut. garis gaya yang masuk di sisi belakang permukaan akan keluar di sisi depan permukaan. Kedua fluks tersebut juga sama besar sehingga fluks total pada permukaan teetutup nol. iii) Jika di luar permukaan ada muatan positif dan di dalam permukaan ada muatan negatif, maka ada sebagian garis gaya yang masuk di sisi depan permukaan tidak keluar di sisi belakang permukaan karena garis gaya tersebut berakhir di muatan negatif dalam permukaan. Akibatnya, fluks yang masuk permukaan tidak sama dengan fluks yang keluar permukaan. Justru, fluks yang masuk permukaan lebih besar daripada fluks yang keluar permukaan. Dengan demikian, fluks total untuk permukaan tertutup tersebut tidak nol. iv) Jika di luar permukaan ada muatan negatif dan di dalam permukaan ada muatan positif, maka ada tambahan garis gaya yang keluar pada permukaan namun tidak berasal dari garis gaya yang masuk di sisi lain. Garis gaya tersebut dihasilkan oleh muatan positif dalam permukaan. Akibatnya, fluks yang keluar permukaan tidak sama dengan fluks yang masuk permukaan. Justru, fluks yang keluar permukaan lebih besar daripada fluks yang masuk permukaan. Dengan demikian, fluks total untuk permukaan teetutup tersebut tidak nol. Gauss merumuskan hokum yang menghubungkan fluks total pada permukaan tertutup dengan jumlah muatan yang dikandung oleh permukaan tersebut. Hukum tersebut dirumuskan sebagai berikut
di dalam permukaan yang berperan sebagai titik akhir dari garis gaya maka
dnegatif. Pada sisi belakang permukaanlebih kecil daripada 90o sehingga fluks berharga positif. Kedua fluks tersebut sama besar sehingga fluks total pada permukaan tertutup nol. ii) Jika d
o
tertutuppermukaan
tertutuppermukaanii
qAE
= rr
atau
o
tertutuppermukaan
tertutuppermukaaniii
qAE
=cos (1.67)
38
-
di mana Ei adalah kuat medan pada segmen permukaan ke-i, Ai adalah luas segmen permukaan ke-i, i : adalah sudut yang dimebtnuk oleh vector medan dan vector luas pada segmen permukaan ke-i
tertutuppermukaanq adalah jumlah muatan yang dilingkupi permukaan
tertutup. Untuk permukaan yang sembarang, hokum Gauss dapat diungkpakan dalam bentuk integral, yaitu
o
qdAE
=cos atau
o
qAdE
= rr (1.68) Simbol akan mempelajari beberapa aplikasi hokum Gauss untuk menentukan kuat medan listrik yang dihasilkan oleh benda dengan simetri tertentu. Kawat Lurus Panjang Sebuah kawat lurus panjang memiliki kerapatan muatan . Kita akan mene
menyatakan bahwa aintegral dilakukan pada permukaan tertutup. Berikut ini kita
ntukan kuat medan strik pada jarak sembarang dari kawat. Langkah yang harus kita lakukan adalah li
i) Buat permukaan Gauss Jika kita ingin menentukan kuat medan pada jarak r dari kawat maka permukaan Gauss yang kita gunakan berupa silinder dengan jari-jari r seperti pada Gbr. 1.29. Panjang silinder bisa bebas. Kita anggap panjangnya L.
r
L
r
L
sekitar kawat lurus Gambar 1.29 Permukaan Gauss untuk menentukan kuat medan listrik di
panjang
39
-
Jadi, permukaan Gauss yang kita malas, dan tutup. Alas dan tutup masing-masing berbentuk lingkaran.
iliki berupa permukaan silinder yang terdiri atas selubung,
ii) Langkah berikutnya adalah menentukan iii AE cos . Karena sifat simetri dari kawat maka kita dapat menduga bahwa arah medan listrik pasti menembus selubung silinder tegak
diilustrasikan pada Gbr. 1.30
lurus. Berarti pula arah medan listrik menyinggung alas atau tutup silinder seperti
s dapat dinyatakan sebagai penjumlahan tiga bagian, yaitu
Gambar 1.30 Arah medan listrik pada permukaan Gauss
Penjumlahan ii AE co i{ } { } { } ungsetutupalasiii AEAEAEAE lub333222111 coscoscoscos ++= (1.69)
Mari kita hitung suku-suku dalam persamaan (1.69) satu per satu
rah medan listrik menyinggung alas. Karena arah vector luas permukaan tegak lurus bidang permukaan itu sendiri, maka arah medan listrik pada alas tegal lurus arah vector luas alas. Dengan demikian, dan
Alas: A
o901 = 0090coscos 1111111 === AEAEAE o
E
E
E
E
40
-
Gambar 1.31 Arah medan listrik di alas silind
Tutup: Arah medan listrik menyinggung tutup. Karena arah luas permukaan tegak lurus bidang permukaan itu sendiri, maka a
er
rah m tup tegak lurus arah vector luas tutup. Dengan demikian, dan
Gambar 1.32 elubung rah medan listrik tegak lurus selubung. Berarti
edan listrik pada tuo902 = 0090coscos 2222222 === AEAEAE o
Arah medan listrik di tutup silinder
SA 03 = . Dengan demikian
333333333 10coscos AEAEAEAEo ===
Gambar 1.33 Arah medan listrik di selubung silinder
1
A1A1
E1E1
1
A2
E2
2
A2
E2
2
E3
3A
E3
3A
41
-
Luas selubung adalah
3 = (keliling selubung) (panjang selubung) A
Lr = 2 Dengan demikian
(1.70)
Sekarang kita menentukan muatan total yang dilingkupi permukaan Gauss. Muatan tersebut hanya ada berada pada bagian kawat sepanjang L. Dengan demikian
(1.71)
engan menggunakan hokum Gauss, maka
33 2200cos rLErLEAE iii =++=
Lq =D
o
LrLE =32
rE
o
23= (1.72)
yang merupakan kuat medan listrik pada jarak r dari kawat. Muatan Titik Misalkan kita memeiliki muatan titik Q dan kita ingin menentukan kuat medan listrik pada
rak r dari muatan tersebut. Langkah pertama adalah memilih permukaan Gauss sehingga esar medan listrik pada tiap titik di permukaan tersebut sama dan sudut yang dibentuk medan
muatan titik, hanya permukaan bola yang erpusat di muatan yang memenuhi sifat tersebut. Jadi kita pilih permukaan Gauss berupa
bola dengan jari-jari r dan berpusat di muatan.
Karena hanya ada satu permukaan maka
Arah medan di permukaan bola adalah radial. Arah vector permukaan juga radial. Jadi medan dan vector pemukaan memiliki arah yang sama sehingga = 0 atau cos = 1. Dengan demikian
jabdan vector permukaan selalu sama. Untuk kasusbpermukaan
coscos EAAE iii =
42
-
)4( 2rE EAAE iii =cos = E (luas permukaan bola) = .
ang dilingkupi permukaan Gaus adalah muatan titik itu sendiri. Jadi
. Substitusi ke dalam hokum Gauss diperoleh
Jumlah total muatan y
Qq =
o
QrE = )4( 2 atau
241
rQE
o= Hasil ini p
erikutnya kita akan menentukan kuat medan listrik yang dihasilkan pelat tak berhingga yang mengandung kerapatan muatan konstan. Muatan per satuan luas yang dimiliki pelat kita anggap . Kita buat permukaan Gauss yang berbentuk silinder seperti pada Gbr. 1.34. Pelat
emotong siilinder tepat di tengah-tengahnya sehingga jarak alas dan tutup silinder ke pelat sama. Misal
ersis sama dengan apa yang diperoleh dengan menggunakan hokum Coulomb.
Pelat Tak Berhingga B
mkan luas alas atau tutup silinder adalah A.
Gambar 1.34 Permukaan Gauss di sekitar pelat tak berhingga
AA1 A2
A3
E E
AA1 A2
A3
E E
43
-
Dengan demikian, permukaan Gauss terdiri dari tiga bagian: alas silinder, tutup silinder, dan selubung silinder. Maka kita dapat menulis
{ } { } { } ungsetutupalasiii AEAEAEAE cos lub333222111 coscoscos ++= (1.73) Karena sifat simetri yang dimiliki pelat tak berhingga maka arah medan listrik yang
ihasilkan akan tegak lurus pelat. Akibatnya, medan listrik menembus tutup dan alas silinder
Kita lihat satu per satu:
las silinder:
dsecara tegak lurus dan hanya menyinggung selubung silinder.
AEE =1 AA =1
1 = 0 karena medan listrik menembus alas silinder secara tegak lurus (vector medan dan ector luas alas sejajar). Dengan demikian,
v
EAEAAE o == 0coscos 111 Tutup silinder:
EE =2 AA =2
2 = 0 karena medan listrik menembus tutup silinder secara tegak lurus (vector medan dan vector luas tutup sejajar). Dengan demikian,
EAEAAE o == 0coscos 222 Selubung silinder:
karena medan listrik menyinggung selubung slinider (vector medan dan vector luas
selubung silinder saling tegak lurus). Dengan demikian,
Akhirnya kita peroleh
EE =3 o903 =
090coscos 33333 == oAEAE
44
-
EAEAEAAE iii 20cos =++= (1.74) Selanjutnya kita hitung jumlah muatan yang dikandung permukaan Gauss. Muatan tersebut hanya berlokasi pada bagian pelat yang beririsan dengan silinder, yaitu bagian pelat seluas A. Jumlah muatan adalah
(1.75)
Akhirnya dengan menggunakan hokum Gauss
Aq =
oiii
qAE
=cos diperoleh
o
AEA =2
atau
o
E
2= (
ntukan kuat medan listrik yang dihasilkan oleh dua pelat sejajar yang ianggap tak berhingga). Susunan pelat semacam ini dijumpai pada
kapasitor. Dengan demikian, pemahaman kita tentang medan yang dihasilkan pelat sejajar ak
osisi medan listrik. Medan total di suatu titik erupakan penjumlahan kuat medan yang dihasilkan oleh masing-masing pelat. Misalkan
emiliki pelat yang memiliki kerapatan muatan 1 dan 2. Masing-masing pelat edan listrik yang konstan ke segala arah yang besarnya
1.76)
Tampak bahwa kuat medan listrik yang dihasilkan pelat selalu sama berapa pun jaraknya dari pelat. Ini adalah akibat ukuran pelat yang tak berhingga. Jika ukuran pelat berhingga maka makin jauh dari pelat, medan listrik maskin lemah. Medan Listrik oleh Dua Pelat Sejajar
ta akan teSelanjutnya kisangat luas (dapat d
an menolong kita memahami kerja kapasitor. Prinsip yang kita gunakan adalah prinsip superpmkita mmenghasilkan m
45
-
o2
11 = E
o
E 2
22 =
Kuat medan listrik di mana-mana memenuhi
= (1.77) Pada penjum
ontoh Suatu pelat tak berhingga yang ditempatkan pada pusat koordinat memiki kerapatan muatan
21 EEE +
lahan tersebut kalian harus memperhatikan arah. C
A=1 C/m2. Pelat lain yang sejajar dengan pelat pertama diletakkan pada koordinat x = L atan A22 =memiliki kerapatan mu C.m2. Lihat Gbr. 1.35. Tentukan kuat medan listrik
tal di mana-mana. Jawab
35 Menentukan kuat medan di sekitar dua pelat sejajar
Di sebelah kiri pelat pertama Pelat kiri menghasilkan medan
to
1 21 2
L
E1 E1
E2E2
L
E1 E1
E2E2
Gambar 1.
oE 2/11 = ke arah kiri kanan menghasilkan medan oE 2/22 = Pelat juga ke arah kiri
engan demikian medan total di sebelah kiri pelat pertama adalah D
ooooo
AAAEE
23
22
22221
21 =+=+=+= ke arah kiri E
46
-
Di antara dua pelat Pelat kiri menghasilkan medan E oo A 2/2/11 == ke arah kanan Pelat kanan menghasilkan medan oo AE /22/22 == ke arah kiri Karena medan yang dihasilkan pelat kanan lebih kuat, maka medan total antara dua pelat adalah
ooo 22212 Di sebelah kanan pelat kanan
AAAEE 2 ==+= ke arah kiri
elat kiri menghasilkan medan
E
oo AE 2/2/11 == P ke arah kanan Pelat kanan menghasilkan medan oo AE /22/22 == juga ke arah kanan Dengan demikian medan total di sebelah kiri pelat pertama adalah
ooooo
AAAEEE
23
22
22221
21 =+=+=+= ke arah kanan
asus menarik diamati jika kedua pelat memiliki kerapatan muatan yang sama namun berbeda tand
a besar tetapi berlawanan arah, ehingga medan total nol.
ah kanan pelat kanan, medan yang dihasilkan dua pelat sama besar tetapi berlawanan
Di anta
K
a. Di sebelah kiri pelat kiri medan yang dihasilkan dua pelat samsDi sebelarah juga sehingga medan total nol.
ra dua pelat, medan yang dihasilkan masing-masing pelat sama besar dan searah sehingga medan total yang dihasilkan menjadi dua kali medan yang dihasilkan salah satu pelat, yaitu
o
E = (1.78)
Bola isolator homogen Selanjutnya mari kita hitung medan listrik yang dihasilkan oleh bola isolator yang mengandung muatan yang tersebur secara homogen. Misalkan muatan total bola adalah Q dan jari-jari bola R.
47
-
Volume bola adalah
3
34 RV = (1.79)
Kerapatan muatan bola adalah
334 R
QVQ
== (1.80) Kebergantungan kuat medan listrik terhadap jarak dari pusat bola berbeda untuk lokasi di dalam dan di luar bola.
ertama, mari kita hitung medan listrik di dalam bola. Kita buat permukaan Gauss di dalam enuhi r < R.
ambar 1.36 Permukaan Gauss di dalam bola
ya satu, yaitu permu an jari-jari r. Dengan
(1.81)
Kita mudah menduga bahwa arah medan listrik tegak lurus permukaan Gauss atau sejajar
engan vector luas. Dengan demikian, = 0 dan
Pbola. Jari-jari pwemukaan Gauss dari pusat bola adalah r yang mem
Perm
G Permukaan Gauss di sini han kaan bola dengdemikian,
coscos EAAE iii =
d 1cos = . Luas permukaan Gauss sama engan luas permukaan bola dengan jari-jari r, yaitu
(1.82)
d
24 rA = Jadi kita peroleh
r
R
ukaan bola
Permukaan Gauss
Perm
r
R
ukaan bola
Permukaan Gauss
48
-
ErrEAE iii22 41)4(cos ==
Selanjutnya kita hitung jumlah muatan yang dilingkupi permukaan Gauss. Muatan tersebut adalah yang hanya berada dalam bola berjari-jari r. Muatan yang berada di luar bola Gauss,
aitu antara r sampai R tidak memberi kontribusi pada medan listrik pada jarak r. Volume bola yGauss adalah
3
34' rV = (1.83)
Dengan demikian, muatan yang dilingkupi bola Gauss adalah
3
33
334 3 RR
4' rQrQVq === (1.84)
engan hokum Gauss maka
D
3Roatau
32 14 rQEr =
rQE 1= Ro
34 (1.85) Selanjutnya m
da Gbr. 1.37.
Permukaan Gau
bus permukaan secara tegak lurus (sejajar vector luas) sehingga = o, dan
ari kita hitung kuat medan listrik di luar bola. Kita buat permukaan Gauss dengan jari-jari r > R seperti pa
ss adalah permukaan bola dengan luas
24 rA = Juga arah medan menem0
( ) ErrEEAAE o 22 4140coscos === iii
49
-
ambar 1.37 Permukaan Gauss di luar bola
atan yang dilingkupi permukaan Gauss adalah seluruh muatan bola, karena seluruh agian bola ada di dalam permukaan Gauss. Dengan demikian,
r
R
Permukaan bola
Permukaan Gauss
r
R
Permukaan bola
Permukaan Gauss
G Jumlah mub
Qq = Dengan hokum Gauss maka
oQEr =2
tau
4
a
241
rQE
o= (1.86)
ola Konduktor
tepa pun kecilnya medan listrik dalam konduktor, maka electron akan mengalir an menghasilkan arus
. Dengan sifat ini m
alam konduktor maka medan listrik dalam konduktor selalu nol. Sebab, jika medan listrik ondisi seimbang.
BKonduktor adalah bahan yang sangat mudah mengantarkan arus listrik. Penyebabnya adalah karena konduktor mengandung muatan listrik yang mudah bergerak. Jika dalam konduktor muncul medan listrik maka electron-elektron dalam konduktor akan mengalir dan timbullah arus listrik. Bed
aka, dalam keadaan seimbang di mana tidak ada arus yang mengalir dtidak nol maka akan muncul arus, yang bertentangan dengan k
50
-
Jika pada konduktor diberi muatansaling melakukan gaya. Karena muatan mudah sekali bergerak dalam konduktor maka
lak-menolak tersebut menyebabkan muatan bergerak saling menjauhi sampai tidak bisa i hanya dapat terjadi jika muatan-muatan tersebut menempati
ermukaan konduktor. Jadi, muatan yang dimiliki konduktor selalu menempati permukaan konduktor.
keadaan seimbang, medan listrik yang dihasilkan konduktor selalu tegak lurus ermukaan konduktor. Sebab, jika tidak tegak lurus permukaan konduktor maka medan
listrik tersebut permukaan. Komponen medan yang menyinggung permukaan akan menghasilkan gaya pada
uatan sehingga bergerak sepanjang permukaan. Akibatnya muncul arus permukaan. Dan ini
engan sifat-sifat ini maka kita dapat dengan mudah menghitung medan listrik yang . Misalkan jari-jari bola adalah R. Di
alam bola, yaitu pada r < R, medan listrik nol karena daerah tersebut merupakan konduktor. Kita hanya perlu menerapkan hukum Gauss saat menghitung medan di luar bola. Dan
erhitungannya sama dengan saat menghitung medan listrik yang dihasilkan bola isolator.
listrik, maka muatan tersebut akan totak-menolak karena
tobergerak lebih jauh lagi. Inp
Dalamp
akan memiliki komponen yang menyinggung permukaan dan yang tegak lurus
mbertentangan dengan kondisi seimbang. Ddihasilkan oleh bola konduktor yang diberi muatan Qd
pKita akan dapatkan, medan listrik di luar bola adalah
241
rQE
o= (1.87)
oal dan Pembahasan 1) Dua partikel asap yang bermuatan sama saling melakukan gaya tolak sebesar 4,2 10-2 N. Berapa besar gaya jika kedua partikel tersebut berpindah sehingga jaraknya senjadi seperdelapan jarak semula? Jawab Jika muatan yang melakukan gaya tetap, maka terpenuhi
S
2
1r
F Dari soal diberikan
10-2 N r2 = r1/8 F1 = 4,2 Maka
51
-
64/1 212
12
22 rrrF
1)8/(/1 212
22
11 ==== rrr
tau
= 2,7 N
ah sejauh 20,0 cm. Kedua bola dipindahkan sehingga gaya yang ekerja pada masing-masing bola menjadi tiga kali gaya semula. Berapa jarak pisah kedua
bola sekarang? Jawab
ikan = 20,0 cm
F2 = 3F1
F
A
)102,4(6464 212== FF
2) Dua bola bermuatan terpisb
Diberr1
21
22
2
1
rr
FF =
2113 rF
221 rF =
320
3
2212
2 == rr = 133,2 atau
3,1332 =r = 11,5 cm
pada lokasi ntara dua muatan pada jarak 2,0 cm dari muatan negatif? (b) Jika electron ditempatkan di
= - 5,0 10-5 C = 2,0 cm = 0,02 m
3) Dua muatan titik terpisah sejauh 10,0 cm. Salah satu memiliki muatan 25 C dan yang lainnya memiliki muatan +50 C. (a) Tentukan arah dan besar medan listrikatitik P, berapakah percepatan electron saat di titik P (besar dan arahnya)? Jawab Diberikan q1 = -25 C = -25 10-6 C = - 2,5 10-5 C q2 = -50 C = -50 10-6 Cr1r2 = 8,0 cm = 0,08 m (a) Muatan negatif (di sebelah kiri) menghasilkan medan listrik ke kiri. Muatan positif (di sebelah kanan) menghasilkan medan listrik ke kiri juga. Medan total memiliki arah ke kiri. Kuat medan di titik P yang dihasilkan muatan q1
52
-
82
591 6,5)105,2()109( ===
qkE 21
1 10)02,0(rP N/C
Kuat medan di titik P yang dihasilkan muatan q2
72
59
22
12 100,7)08,0(
)100,5()109( ===
rqkEP N/C
Karena medan yang dihasilkan dua muatan memiliki arah yang sama, maka kuat medan total di titik P adalah
87821 103,6100,7106,5 =+=+= PPP EEE N/C
(b) Jika electron ditempatkan di titik P maka, gaya yang bekerja pada electron adalah F = eEP
ercepatan electron adalah P
2031
819
101,1)101,9(
)103,6)(106,1( ====
meE
mFa P m/s2
Karena muatan electron negatif maka arah gaya yang bekerja pada electron berlawanan arah medan. Jadi electron mengalami gaya yang berarah ke kanan. Yang berarti
Berapa gaya tolak antara dua proton dalam inti yang terpisah sejauh 5 10-15 meter? Jawab
uatan proton: e = 1,6 10-19 C antar dua proton
denganelectron memeiliki percepatan arah ke kanan.
r = 5 10-15 m MGaya tolak
215
2199
2
2
109( == ekF)105()106,1()
r = 9,2 N
4) Berapa muatan total semua electron dalam 1,0 kg molekul H2O? Jawab umlah electron atom H: 1 elektron
h electron atom O: 8 elektron umlah electron molekul H2O: 2 1 + 8 = 10 elektron
Jumlah muatan electron dalam (1,6 10-19) = 1,6 10-18 C assa atom H: 1 smu
n, massa 1 mol molekul H2O adalah 18 g = 0,018 kg mol molekul H2O dalam 1,0 kg adalah 1,0/0,018 = 55,6 mol.
JJumlaJ
satu molekul H2O: 10 MMassa atom O: 16 smu Massa molekul H2O: 2 1 + 16 = 18 smu Dengan demikiaJumlah
53
-
Satu mol mengandung 6,02 1023 partikel (bilangan Avogadro). Maka jumlah molekul H2O g adalah 55,6 (6,02 1023) = 3,3 1025 molekul.
atan electron dalam 1,0 kg H2O menjadi: (3,3 1025) (1,6 10-18) = 5,3 107 C 5) Anggaplah yang menarik bulan sehingga tetap pada orbitnya saat mengelilingi bumu adalah gaya Coulomb. Misalkan muatan yang sama besar tetapi berbeda jenis masing-masing ditempatkan di bumi dan di bulan. Berapa besar muatan tersebut untuk mempertahankan bulan tetap pada orbitnya sekarang? Gunakan data massa bumi 5,97 1024 kg, massa bulan 7,35 1022 kg, jari-jari orbit bulan 3,84 108 m.
Soal ini me uatan listrik agar gaya Coulomb antara bulan dan bumi samam dengan gaya gravitasi yang ada sekarang. Jadi
di dalam 1,0 kJumlah mu
Jawabnanyakan berapa m
22
2
rMmG
rQk =
atau
13222411
107,5)1035,7)(1097,5)(1067,6( ===GMm C. Q 9109k
rak tertentu. Muatan total ke duanya adalh QT. agar (a) gaya antara ke duanya paling besar, dan
ya paling kecil?
6) Dua muatan positif ditempatkan pada jaBerapa muatan yang dimiliki masing-masing(b) gaya antara keduanJawab a) Misalkan muatan salah satu q1 dan yang lainnya q2=QT q1. Gaya antara dua muatan
2
211
211
221 )(
rqqQ
rqQq
rqqkF TT ===
a) Gaya memiliki nilai maksimum jika pembilang memiliki nilai paling besar. Pembilang + dengan x = q1, A = -1, B = QT dan
= 0. Untuk A < 0, persamaan kuadratik ini memiliki nilai maksimum pada x = -B/2A. Untuk gaya listrik di atas, maka gaya m m terjadi jika . Dengan demikian, muatan ke dua
memiliki bentuk persamaan kuadratik, Axy += 2 CBxC
aksimu 2/)2/(1 TT QQq ==2/12 TT QqQq == .
b) Gaya minimum antara dua muatan terkadi jika dan atau sebaliknya. Besarnya gaya tersebut adalah .
TQq 1 02 q0F
54
-
7) Muatan +5,7 C dan 3,5 C terpisah sejauh 25 cm. Di manakah muatan ke tiga harus itempatkan agar mengamali gaya total nol oleh ke dua muatan tersebut?
Jawab Misalkan muatan +5,7 C berada di sebalah kiri dan muatan 3,5 C berada di debelah kanan.
n muatan 3,5 C juga menghasilkan medan strik ke arah kanan (saling menguatkan).
an lebih e muatan +5,7 C sehingga besar medan yang dihasilkan selalu mengungguli besar
asilkan muatan 3,5 C sehingga tidak mungkin saling menghilangkan. ebelah kanan muatan 3,5 C. Misalkan jarak dari muatan
dari muatan +5,7 C adalah x + 25 cm = x + 0,25 m. Medan total nol jika terpenuhi
d
Muatan ke tiga mengalami gaya nol pada titik yang mengandung medan total nol. Lokasi titik tersebut tidak mungkin ada di antara dua muatan, karena muatan +5,7 C menghasilkan medan listrik arah ke kanan daliLokasi titik tersebut tidak mungkin berada di sebelah kiri muatan +5,7 C karena akdekat kmedan yang dihLokasi yang mungkin adalah di s3,5 C adalag x maka jarak
22
21
)25,0 xq
kq
k = (x +
3,16,17,5)25,0( 1 ====+ qx5,32qx
listrik sehingga mengalami
awab
atau x + 0,25 = 1,3 x 0,3 x = 0,25 atau x = 0,25/0,3 = 0,83 m = 83 cm 8) Sebuah proton dilepaskan pada ruang yang memiliki medan gaya 3,2 10-14 N ke utara. Berapa besar dan arah medan listrik dalam ruang tersebut? JBesar medan listrik memenuhi
519
14
102106,1102,3 =
==
eFE N/C
Arah medan listrik samam dengan arah gaya yang diamali proton (karena proton bermuatan . Jadi arah medan listrik adalah ke utara.
ang yang memiliki medan listrik mengalami
positif) 9) Sebuah electron yang dilepaskan dalam ru
55
-
percepatan 125 m/s. Berapa kuat medan listrik tersebut? Jawab Gaya yang diamali electron
E Percepatan electron memenuhi F = e
meE
mFa ==
atau
1019
31
107106,1
125)101,9(
=
==e
maE N/C
10) Sebuah proton berada dalam ruang vakum yang memiliki medan listrik E. Proton tersebut
erja pada proton?
esar gaya listik sama dengan besar gaya gravitasi
atau
tidak bergerak naik atau turun. Berapa kuat bedan listrik yang bekJawab B
mgeE =
719
27
10106,1
10)1067,1(
=
==e
mgE N/C
Sebuah titik air yang memiliki jari-jari 0,018 mm mengambang i menghasilkan medan listrik yang b
di udara. Jika bumesarnya 150 N/C, berapa kelebihan elekltron yang dimiliki
leh titik air tersebut?
-3 cm. olum titik air
oJawab Jari-jari titik air: r = 0,018 mm = 1,8 10V
8333 1044,2)108,1(14,334
34 === rV cm3
Massa titik air 8383 1044,2)1044,2()/1( === cmcmgVm g = 2,44 10-11 kg.
Terjadi keseimbangan gaya listrik dan gaya gravitasi. Maka
mgqE = atau
1211
106,1150
10)1044,2( ===E
mgq C
Jumlah kelebihan electron pada titik air
56
-
712
10106,1 ===q elektron 19106,1 e
Soal-Soal 1) Pada model atom hydrogen, electron menmgitari inti pada orbitnya dengan laju 1,1 106 m/s. Tentukan jari-jari orbit electron (petunjuk: gaya sentripetal sama dengan gaya Coulomb) 2) Berapa besar gaya yang dilakukan muatan +15 C pada muatan lain +3 mC yang terpisah
h 40 cm?
an arah gaya pada electron yang berada dalam ruang yang memiliki medan /C dan berarah ke selatan?
an listrik pada jarak 30,0 cm tepat di atas muatan titik yang esarnya 33,0 10-6 C?
n 60 rapa electron yang ditarik kaki orang tersebut? Berapa pertambahan massa orang
h -1,6 10-19 C dan massanya 9,1 10-31 kg.
6) Empat muatan masing-ma C ditempatkan pada sudut bujur sangkar dengan sisi 1,0 m. Tentukan besar dan arah gaya yang dialami tiap partikel.
l 80,0 C. Ketika dipisahkan sejauh 1,06 m aya antara bola tersebut adala 12,0 N dan bersifat tolak menolak. Berapa muatan
muatan 8,8 C ke arah bawah. Berapa besar dan arah medan ada muatan tersebut.
9) Hitung muatan listrik di pusat bujur sangkar yang memiliki sisi 60 cm jika salah satu sudut bujur sangkar ditempati muatan + 45 C dan ke tiga sudut lainnya ditempati muatan
g-masing 31 C. 10) Berapa kuat medan listrik dalam ruang pari proton yang sedang mengalami
ercepatan satu juta kali percepatan gravitasi bumi?
sejau 3) Berapa besar dlistrik 3500 N 4) Berapa besar dan arah medb 5) Seseorang menggesekkan kakinya pada keset woll sehingga mengakumulasi muataC. Betersebut? Muatan electron adala
sing 6,0 m
7) Dua bola isolator kecil memiliki muatan totagmasing-masing bola? Berapa muatan masing-masing bola jika gaya antara kedua bola bersifat tarik-menarik? 8) Gaya 8,4 N bekerja padalistrik p
masin
yang ditemp
57
-
11) Kamu diberikan dua muatan q1 dan q2 yang tidak diketahui nilainya. Pada titik yang a dari muatan q1 sama dengan sepertiga jarak dua muatan ternyata kuat medan listrik
t serta tanda muatannya?
erapa jarak ke dua electron agar gaya antara keduanya sama dengan gaya gravitasi bumi yang bekerja pada electron yang berada di permukaan bumi?
jaraknynol. Berapa perbandingan besar dua muatan tersebu
12) B
58
-
Bab 2 Potensial Listrik dan Kapasitor
Jika kita tempatkan sebuah muatan dalam ruang yang mengandung medan listrik maka muatan yang mula-mula diam akan bergerak. Ini berarti muatan mengalami pertambahan energi kinetik yang semula nol menjadi tidak nol. Pertambahan energi kinetik ini hanya mungkin disebabkan oleh dua faktor, yaitu: i) Ada kerja luar yang bekerja pada muatan, atau ii) Ada energi lain yang mengalami pengurangan Jika tidak ada gaya luar yang kita berikan pada muatan, maka pastilah penambahan energi kinetik dibarengi oleh pengurangan energi bentuk lain sehingga energi total konstan (hukum kekekalan energi). Energi bentuk lain yang paling mungkin dimiliki partikel tersebut adalah energi potensial. Dengan demikian, partikel bermuatan listrik yang berada dalam ruang yang mengandung medan listrik memiliki energi potensial listrik. 2.1 Definisi Energi Potensial Energi potensial listrik didefinisikan secara formal sebagai berikut. Jika muatan listrik q berada dalam ruang yang mengandung medan listrik E
r, maka energi potensial yang dimiliki
muatan tersebut adalah
= rr
o
o
rdEqrUrUr
r
rrrr )()( (2.1)
dengan adalah energi potensial listrik pada posisi acuan . Posisi bisa bermacam-macam, misalnya tak berhingga, pusat koordinat, di permukaan benda, dan sebagainya, bergantung pada di mana nilai energi potensial sudah diketahui.
)( orUr
orr
orr
Contoh Kasus Kita akan menghitung energi potensial sebuah partikel yang bermuatan q yang berada pada jarak r dari muatan lain sebesar Q. Kedua muatan sama-sama berupa titik. Kuat medan listrik di sekitar muatan Q dapat dihitung dengan mudah menggunakan hukum Coulomb. Kita dapatkan
241
rQE
o= (2.2)
59
-
Qdr
qE
Q
dr
qE
Gambar 2.1. Menentukan energi potensial muatan q di sekitar muatan Q Dengan demikian, energi potensial yang dimiliki muatan q adalah
= rr
o
o
rdEqrUrU rr
)()(
Karena dan sejajar (membentuk sudut 0QEr
rdr o) maka EdrEdrrdE o == 0cosrr . Jadi
= rr
o
o
drqErUrU )()(
=
=
r
roo
r
r oo
oordrqQrUdr
rQqrUrU 22 4
)(4
1)()(
=
=rr
qQrUr
qQrUrUoo
o
r
roo
o
114
)(14
)()( (2.3)
Seringkali titik acuan diambil pada jarak tak berhingga, =or , dan potensial di titik acuan ini diambil sama dengan nol, 0)( =U . Jika kita lakukan hal tersebut maka diperoleh
= rqQrU
o
114
0)(
rqQ
o41= (2.4)
Apabila kita gambarkan energi potensial sebagai fungsi jarak dari muatan Q maka kita peroleh Gambar 2.2
60
-
0 20 40 60 80 100
V/(qQ
/4 o
)
Jari-jari (r)0 20 40 60 80 100
V/(qQ
/4 o
)V/(qQ
/4 o
)
Jari-jari (r) Gambar 2.2 Energi potensial muatan q sebagai fungsi jarak dari muatan Q Pada jarak r yang mendekati nol, energi potensial sangat besar. Energi potensial mengecil berbanding terbalik dengan jarak jika jarak antar dua muatan makin besar. Contoh Sebuah bola konduktor dengan jari-jari R memiliki muatan Q. Jika sebuah muatan q berada pada permukaan bola, energi potensialnya adalah Uo. Kita akan menentukan energi potensial muatan q pada sembarang jarak dari pusat bola. Kuat medan listrik di luar bola dapat dihitung dengan mudah menggunakan hukum Gauss. Kita akan peroleh
241
rQE
o= Energi potensial yang dimiliki muatan q pada jarak r dari pusat bola adalah
= rr
o
o
drqErUrU )()(
=
=
r
roo
r
r oo
oordrqQrUdr
rQqrUrU 22 4
)(4
1)()(
61
-
=
=rr
qQrUr
qQrUrUoo
o
r
roo
o
114
)(14
)()(
Karena pada energi potensial memenuhi Rro = oURU =)( maka
=rR
qQUrUo
o11
4)( (2.5)
2.2 Potensial Listrik Sehari-hari kita lebih sering medengar potensial listrik atau tegangan listrik daripada energi potensial listrik. Contonya, kita menyebut tegangan listrik PLN 220 Volt, tegangan batarei 1,5 Volt, tegangan aki 12 Volt, dan seterusnya. Lalu apa tegangan atau potensial listrik? Potensial listrik didefinisikan sebagai energi potensial per satuan muatan listrik. Dengan menggunakan definisi energi potensial sebelumnya, maka definisi potensial listrik menjadi
qrUrV )()(rr =
q
rdEq
qrU
r
ro o
=
r
r
rrr )(
= rr
o
o
rdErVr
r
rrr )( (2.6)
Berikutnya kita akan membahas potensial listrik yang dihasilkan oleh sejumlah system, seperti satu partikel, banyak partikel, pelat sejajar dan benda dengan distribusi muatan tertentu. 2.3 Potensial listrik oleh sebuah partikel Sudah kita hitung di Bab 1 sebelumnya bahwa kuat medan listrik pada jarak r dari partikel bermuatan Q memenuhi
241
rQE
o= Potensial listrik pada jarak r dari partikel tersebut kita hitung sebagai berikut
62
-
= rr
o
o
rdErVrVr
r
rrrr )()(
Medan listrik Er
dan sejajar, sehingga rdr drEdrErdE o == 0cosrr . Dengan demikian,
== rr
o
r
ro
oo
drErVrdErVrV )()()( rr
== rr
r
roo
oo
o ordrQrVdr
rQrV 22 4
)(4
1)(
r
roo
or
QrV
= 14
)(
=
rrQrV
ooo
114
)(
Dengan menetapkan bahwa pada jarak tak berhingga besar potensial sama dengan nol maka,
=
= rQ
rQVrV
oo
104
0114
)()(
rQ
o41= (2.7)
2.4 Potensial listrik yang dihasilkan banyak partikel Cara menentukan potensial listrik yang dihasilkan banyak partikel cukup mudah, yaitu hanya dengan melakukan penjumlahan aljabar (penjumlahan biasa) potensial listrik yang dihasilkan masing-masing partikel. Penjumlahan ini sangat berbeda dengan penjumlahan medan listrik yang dihasilkan oleh sejumlahan muatan. Untuk medan listrik kita harus melakukan penjumlahan secara vector (memperhatikan besar dan arah). Lihat skema pada Gambar 2.3. Sejumlah partikel berada pada posisi 1r
r , , dan 2rr
3rr . Muatan
masing-masing partikel adalah q1, q2, dan q3. Kita ingin menentukan potensial pada titik pengamatan P yang berada para posisi rr . Yang pertama yang harus dilakukan adalah mencari jarak masing-masing muatan ke titik P. Kita dapatkan
i) Jarak muatan q1 ke titik P: 11 rrRrr =
63
-
ii) Jarak muatan q2 ke titik P: 22 rrRrr =
iii) Jarak muatan q3 ke titik P: 33 rrRrr =
ambar 2.3 Menentukan potensial listrik yang dihasilkan oleh sejumlah titik muatan.
emudian kita tentukan potensial pada titik pengamatan yang dihasilkan oleh masing-masing
Potensial yang dihasilkan muatan q1:
1rr
2rr
3rr
rr
q1q2
q3
P
x
y
1rr
2rr
3rr
rr
q1q2
q3
P
x
y
G Kmuatan.
1
1
1
11 4
14
1rr
qRqV
oorr == i)
2
2
2
22 4
14
1rr
qRqV
oorr == ii) Potensial yang dihasilkan muatan q2:
3
3
3
33 4
14
1rr
qRqV
oorr == iii) Potensial yang dihasilkan muatan q3:
khirnya, potensial total di titik pengamatan adalah A
321 VVVV ++=
3
3
2
2
1
1
41
41
41
rrq
rrq
rrq
ooorrrrrr ++=
gar lebih paham dengan potensial yang dihasilkan sejumlah titik, mari kita lihat contoh
ontoh
Aberikut ini. C
64
-
Tiga partikel berada pada posisi seperti pada Gambar 2.4. Muatan masing-masing partikel
ambar 2.4
a yang dilakukan adalah mencari koordinat posisi masing-masing muatan serta osisi P. Tampak dari gambar
1
adalag q1 = 2 C, q2 = 4 C, dan q3 = -5 C. Kita ingin menentukan potensial listrik di titik P.
q1
q2
q3
P
(meter)
(meter)
q1
q2
q3
P
(meter)
(meter)
G Yang pertamp
jjir 220 =+=r m
jir 32 =2r m
44 +=
jir 43 +=r m
jirr m
Kemudian kita cari jarak muatan ke titik pengamatan. Didapat
202424)2()44( 22 =+=+=+== jijjirrR rr 11 m
7272)32()44( 2222 =+=+=+== jijijirrR rr 53 m
33)4()44(33 ==++== jjijirrR rr m
65
-
Lalu kita cari potensial di titik P yang dihasilkan m masing muatan. Kita peroleh
asing-asing-
4025204 1
1 Ro 204 11 Ro)102()109(1
691 ===
qV Volt
494553
)104()109(4
1 692
22 ===
RqV
o Volt
150003
)105()109(4
1 693
33 ===
RqV
o Volt Akhirnya, potensial total di titik P adalah
V = V1 + V2 + V3 = 4025 + 4945 15000 = 6030 Volt
.5 Potensial Momen Dipol Kita me yang besarnya sama tetapi erbed tanda dan dipisahkan oleh jarak tertentu (tidak berimpit). Dipol dapat dilukiskan
Gambar 2.5 Skema dipol listrik
pabila dilihat dari jauh, dua muatan dipol tampak sangat berdekatan (hampir berimpit) ehingga muatan total dipol yang terukur nol. Namun, jika diamati dari dekat, dipol tampak
h.
ita akan hitung potensial pada jarak r dari pusat dipol (titik tengah antara dua muatan) yang
ampak:
ubungan antara r1, r2, dan r. Lihat gambar berikut ini
22
ndefiniskkan dipole secara sederhana sebagai dua muatanndefiniskkan dipole secara sederhana sebagai dua muatanbbsebagai berikut sebagai berikut
AAsssebagai dua muatan yang terpisasebagai dua muatan yang terpisa Kita ingin menentukan potensial di sekitar suatu dipol. Untuk mudahnya, lihat skema pada Gbr. 2.6.
Kita ingin menentukan potensial di sekitar suatu dipol. Untuk mudahnya, lihat skema pada Gbr. 2.6. KKmembentuk sudut dengan sumbu dipol (sumbu vertical). membentuk sudut dengan sumbu dipol (sumbu vertical). TTi) Jarak titik pengamatan ke muatan q adalah r1 ii) Jarak titik pengamatan ke muatan +q adalah r2 i) Jarak titik pengamatan ke muatan q adalah r1 ii) Jarak titik pengamatan ke muatan +q adalah r2 Kita cari hKita cari h
66
Lalu kita cari potensial di titik P yang dihasilkan m masing muatan. Kita peroleh
4025)102()109(16
91 ===qV Volt
494553
)104()109(4
1 692
22 ===
RqV
o Volt
150003
)105()109(4
1 693
33 ===
RqV
o Volt Akhirnya, potensial total di titik P adalah
V = V1 + V2 + V3 = 4025 + 4945 15000 = 6030 Volt
.5 Potensial Momen Dipol Kita me yang besarnya sama tetapi erbed tanda dan dipisahkan oleh jarak tertentu (tidak berimpit). Dipol dapat dilukiskan
Gambar 2.5 Skema dipol listrik
pabila dilihat dari jauh, dua muatan dipol tampak sangat berdekatan (hampir berimpit) ehingga muatan total dipol yang terukur nol. Namun, jika diamati dari dekat, dipol tampak
h.
ita akan hitung potensial pada jarak r dari pusat dipol (titik tengah antara dua muatan) yang
ampak:
ubungan antara r1, r2, dan r. Lihat gambar berikut ini
-q +q
d
-q +q
d
66
-
Tampak bahwa
Gambar 2.6 Menentukan potensial di titik P yang dihasilkan oleh dipol listrik
Gambar 2.7 Hubungan antara r1, r2, dan r pada sebuah dipol
11 rrr += 22 rrr =
11 cosdr = 222 cos2
dr = Jika jarak titik pengamatan sangat besar dibandigkan dengan d maka dapat didekati
21 sehingga
-q d/2 +qd/2
r2r1 r
P
-q d/2 +qd/2
r2r1 r
P
-q d/2 +qd/2
r2r1 r
P
21r1 r2
-q d/2 +qd/2
r2r1 r
P
21r1 r2
67
-
cos21dr =
cos22dr =
i titik P yangPotensial d dihasilkan oleh muatan q adalah
11 4
1rqV
o= Potensial di titik P yang dihasilkan oleh muatan +q adalah
22 4
1 qV = ro
Potensial total di titik P akibat muatan q dan +q menjadi
21 VVV +=
21 41
41
rq
rq
oo +=
212112 44 oo
=
= 2111
rrr
rrrq
rrq
[ ] [ ]
+=
+=
=
21
21
21
21
21
21
444 rrrrq
rrrrrrq
rrrrq
ooo
=
+=
2121
cos4
cos2
cos2
4 rrdq
rr
ddq
oo
Untuk jarak r yang sangat besar dibandingkan dengan d, kita dapat mengaproksimasi . Dengan demikian,
221 rrrrr =
22cos)(
41cos
4 rqd
rdqV
oo
=
Kita telah mendefinisikan momen dipol di Bab 1 sebagai qd= . Dengan demikian, diperoleh bentuk potensial yang dihasilkan dipole
68
-
cos41
2rV
o
= (2.8)
omen dipol sebenarnya sebuah besaran vector dengan titik pangkal berada pada muatan
momen dipol sejumlah molekul.
Tabel 2.1 Momen dipol beMolekul Momen dipol (C m)
Mnegatif dan kepala berada pada muatan positif. Sudut adalah sudut antara momen dipol dan vector posisi pengamatan. Tabel 2.1 adalah conothj
berapa molekul
Air [H2(+)O(-)] 6,1 10-30HCl [H(+)O(-)] 3,4 10-30NH3 [N(-)H3(+)] 5,0 10-30Grup CO [C(+)O(-)] 8,0 10-30Grup NH [N(-)H(+)] 3,0 10-30 Contoh Jarak antara karbon (+) dan oksigen (-) dala adalah 1,2 10-10 m. Hitunglah (a)
atom karbon dan atom oksigen, (b) potensial pada jarak 9,0 10-10 m dari sejajar sumbu dengan oksige n atom terdekat titik pengamatan.
l 1, momen dipol grup C = 8,0 10-30 C m ari soal diberikan d = 1,2 10-10 m
demikian, muatan atom C adalah
m grup COmuatan q padadipol pada arah n merupakaJawab a) Berdasarkan Tabe O adalah DDengan
12
30
102,1100,8
+=+=
dq = + 6,7 10-12 C Muatan atom O sama besar dengan muatan atom C, tetapi berlawanan tanda. Jadi muatan
adalah - 6,7 10-12 C
9,0 10-10 m a pada jarak terdekat titik pengamatan, maka arah
momen dipol menjauh . Akibatnya, sudut antara momen dipol dengan titik pengamatan adalah = 180o. Potensial yang dihasilkan dipol adalah
atom O b) Jarak dipol ke titik pengamatan: r =Karena atom O (bermuatan negatif) berad
i titik pengamatan
09,0180cos)109()108()109(cos1 9==V
4 21030
2 =
o
o r V
69
-
2.6 Potensial Listrik Pelat Sejajar Kapasitor pelat sejajar memiliki pelat yang terpisah sejauh d. Rapat muatan pada pelat adalah
. Kita akan menghitung beda potensial antara dua pelat. Kita sudah belajar bahwa kuat medan listrik antara dua pelat adalah
oE=
ian rupa sehingga pelat kiri berada ada posisi dengan x = 0 dan pelat kanan berada pada posisis dengan x = d, seperti
Kita tempatkan dua pelat pada sumbu kordinat sedemikpdiilustrasikan dalam Gambar 2.8
x=0 x=d
x
y
x=0 x=d
x
y
Gambar 2.8 Posisi pelat sejajar dalam koordinat
Beda potensial antara dua pelat adalah
[ ]o
d
o
d
xo
d
x o
d
xo
dxdxdxdxEVVV
======
===0
000
(2.9)
ielektrik ehadiran bahan dielektrik menyebabkan kuat medan yang dihasilkan muatan berubah.
r suatu muatan juga berubah. Untuk menentukan otensial listrik akibat kehadiran bahan dielektrik, kita dapat menggunakan rumus potensial
tanpa bahan dielektrik dengan mengganti
2.7 Potensial Listrik Akibat Kehadiran Bahan DKAkibatnya, potensial listrik di sekitap
o dengan o , dengan adalah konstanta dielektrik bahan. Sebagai contoh, jika antara dua pelat sejajar dipasang bahan dielektrik, maka beda potensial antara dua pelat menjadi
70
-
odV = (2.10)
Potensial lirtsik di sekitar muatan titik yang ditempatkan dalam medium dengan kosntanta dielektrik adalah
rQV 1=
o4 (2.11) Pembenaran dari asums