diktat statistik2
DESCRIPTION
statisticTRANSCRIPT
Diktat Kuliah Statistika Terapan 1
BAB I PENGUJIAN HIPOTESIS
Tujuan Belajar
Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan mampu membuat hipotesis dan melakukan
pengujiannya untuk mendapatkan suatu keputusan
Pengujian hipotesis diperlukan karena banyak persoalan menuntut kita untuk
memutuskan atau tidak suatu pernyataan tentang parameter yang benar atau salah.
Pernyataan tersebut biasanya disebut sebuah hipotesis. Prosedur membuat keputusan
tentang kebenaran atau kesalahan hipotesis disebut pengujian hipotesis.
Hipotesis Secara Statistik
Sebuah hipotesis statistik adalah sebuah pernyataan tentang distribusi probabilita
sebuah variabel random. Hipotesis statistik sering mencakup satu atau lebih parameter
distribusi tersebut. Sebagai contoh, misalkan kita tertarik dalam rata-rata kekuatan
tekanan sebuah jenis beton tertentu. Secara khusus, kita tertarik untuk memutuskan
apakah rata-rata kekuatan tekanan (katakan ) 2500 psi atau tidak. Masalah tersebut
dapat dirumuskan seperti:
H0 : = 2500 psi
H1 : ≠ 2500 psi
Pernyataan H0 disebut hipotesis nol dan H1 disebut hipotesis alternatif. Karena hipotesis
alternatif mencakup nilai yang dapat lebih besar atau lebih kecil dari 2500 psi, maka ini
disebut hipotesis alternatif dua arah.
1.1 Pengujian hipotesis pada rata-rata, varian diketahui
Misalkan variabel random X menyatakan beberapa proses atau populasi yang
diteliti. Kita mengasumsikan distribusi X normal. Kita juga mengasumsikan bahwa rata-
rata dan X tidak diketahui, tapi varian 2 diketahui. Kita tertarik untuk menguji hipotesis
H0 : = 0
H1 : ≠ 0
dimana 0 adalah sebuah konstanta tertentu.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 2
Prosedur pengujian untuk H0 : = 0 menggunakan pengujian statistik
n
oXZo
/
(1.1)
H0 ditolak jika Z0 > Z /2 atau Z0 < - Z /2
Jika kita menguji hipotesis alternatif satu arah
H0 : = 0
H1 : > 0
Maka H0 ditolak jika Z0 > Z
Demikian pula untuk pengujian:
H0 : = 0
H1 : < 0
Kita menolak H0 jika Z0 < - Z
Contoh 1.1
Tingkat pembakaran pada sebuah roket propellant sedang dipelajari. Spesifikasi yang
dibutuhkan bahwa rata-rata tingkat pembakaran harus menjadi 40 cm/s. Walaupun
misalnya kita mengetahui varian tingkat pembakaran 4,0. Pelaku percobaan menentukan
untuk merinci probabilita error = 0,05 dan ia akan mendasarkan pengujian pada sebuah
sample random yang besarnya n = 25 dengan rata-rata tingkat pembakaran yang
diperoleh 41,25 cm/s.
Hipotesis: H0 : = 40 cm/s
H1 : ≠ 40 cm/s
Nilai pengujian statistik adalah
125,325/2
4025,41
Zo
Pada = 0,05, perbatasan daerah kritis Z0,025 = 1,96 dan - Z0,025 = -1,96. Zo terletak dalam
daerah kritis. Maka, H0 ditolak dan kita menyimpulkan bahwa rata-rata tingkat pembakaran
tidak sama dengan 40 cm/s
Diktat Kuliah Statistika Terapan 3
1.2 Pengujian Hipotesis pada Persamaan Dua Rata-rata, Varian diketahui
Misalkan terdapat dua populasi yang diteliti, katakan X1 dan X2. Kita asumsikan
bahwa X1 mempunyai rata-rata 1 tidak diketahui dan varian 12, sedangkan X2
mempunyai rata-rata 2 tidak diketahui dan varian 22
Hipotesis:
H0 : 1 = 2
H1 : 1 ≠ 2
Pengujian statistik:
2
22
1
12
21
nn
XXZo
(1.2)
Prosedur untuk pengujian H0 : 1 = 2 adalah menghitung pengujian statistik Z0 dan
menolak hipotesis nol jika Z0 > Z /2 atau Z0 < - Z /2
Hipotesis alternatif satu arah dianalisis dengan cara serupa. Untuk pengujian
H0 : 1 = 2
H1 : 1 > 2
Pengujian statistik Z0 dihitung dengan persamaan (1.2) dan hipotesis nol ditolak jika Z0 >
Z .
Untuk pengujian hipotesis alternatif satu arah lainnya
H0 : 1 = 2
H1 : 1 < 2
Dengan menggunakan pengujian statistik Z0 dalam persamaan (1.2) dan menolak H0 jika
Z0 > - Z
Contoh 1.2
Manajer pabrik sari jeruk tertarik dalam membandingkan pelaksanaan dua proses
produksi yang berbeda dalam pabriknya. Proses produksi 1 secara relatif baru, ia mengira
bahwa hasil proses produksi ini jumlah kasus setiap hari adalah lebih besar dari jumlah
kasus yang dihasilkan oleh proses produksi 2. Data sepuluh hari yang dipilih secara
random untuk masing-masing proses produksi, dieroleh
1x = 824,9 kasus per hari dan
Diktat Kuliah Statistika Terapan 4
2x = 818,6 kasus per hari. Berdasarkan pengalaman dengan pengoperasian tipe ini
diketahui bahwa 2
1 = 40 dan 2
2 = 50. Kita ingin menguji
H0 : 1 = 2
H1 : 1 > 2
Nilai pengujian statistiknya adalah:
2
22
1
12
21
nn
XXZo
10,2
1050
1040
6,818824
Dengan menggunakan = 0,05 kita dapatkan Z0,05 = 1,645, dan karena Z0 > Z0,05 maka H0
ditolak dan menyimpulkan rata-rata jumlah kasus per hari yang dihasilkan oleh proses
produksi baru lebih besar dari pada rata-rata jumlah kasus per hari yang dihasilkan oleh
proses produksi lama.
1.3 Pengujian Hipotesis pada Rata-rata Sebuah Distribusi Normal, Varian tidak diketahui
Misalkan X variabel random berdistribusi normal dengan rata-rata dan varian
2 tidak diketahui. Kita ingin menguji hipotesis sama dengan sebuah konstanta
0.
Misalkan kita ingin menguji alternatif dua arah
H0 : = 0
H1 : ≠ 0
Prosedur pengujian didasarkan pada statistik
nS
Xt oo
/
(1.3)
yang mengikuti distribusi t dengan derajat kebebasan n-1 jika hipotesis nol benar. H0
ditolak jika t0 > t /2, n-1 atau jika t0 < - t /2, n-1.
Untuk hipotesis alternatif satu arah
H0 : = 0
H1 : > 0
menolak H0 jika t0 > t , n-1
Diktat Kuliah Statistika Terapan 5
Untuk alternatif satu arah lainnya H0 : = 0
H1 : < 0
menolak H0 jika t0 < - t , n-1
Contoh 1.3
Daya kekuatan serat tekstil adalah variabel random yang berdistribusi normal. Spesifikasi
yang dibutuhkan pada rata-rata daya kekuatan harus sama dengan 150 psi. Pengusaha
pabrik ingin untuk menemukan secara nyata nilai ini. Maka ia mengharapkan menguji
H0 : = 150 psi
H1 : ≠ 150 psi
Sampel random 15 serat dipilih dan dicatat daya kekuatannya. Rata-rata sampel adalah
x
= 152,18 dan s2 = 16,63. Selanjutnya, pengujian statistiknya adalah
07,215/63,16
15018,152
to
Jika ditetapkan = 0,05, maka t0,025;14 = 2,145 dan - t0,025;14 = - 2,145 dan dapat
disimpulkan bahwa tidak terdapatnya cukup bukti untuk menolak hipotesis bahwa =
150 psi.
1.4 Pengujian Hipotesis pada Rata-rata Dua Distribusi Normal, Varian tidak diketahui
Pengujian hipotesis persamaan pada rata-rata 1 dan 2 dari dua distribusi
normal dimana varian 1 dan 2 tidak diketahui, dapat digunakan statistik t. Asumsi
kenormalan dibutuhkan untuk mengembangkan prosedur pengujian. Ada dua keadaan
yang berbeda yang harus diperlakukan. Dalam kasus pertama, kita misalkan 1 dan 2
tidak diketahui tapi sama, berarti 12 = 2
2 = 2. Dalam kasus kedua, dimisalkan 1
dan 2 tidak diketahui dan tidak sama.
Kasus 1: 12 = 2
2 = 2
Misalkan X1 dan X2 menjadi dua populasi normal bebas dengan rata-rata 1 dan 2 tidak
diketahui dan varian tidak diketahui tetapi varian itu sama. Kita ingin menguji
Diktat Kuliah Statistika Terapan 6
H0 : 1 = 2
H1 : 1 ≠ 2
Misalkan X11, X12,….., X1n adalah sampel random n1 observasi dari X1 dan X21,
X22,…., X2n, adalah sampel random n2 observasi dari X2. Misalkan
1X ,
2X , S12 dan S2
2
merupakan rata-rata sampel dan varian sampel. Karena S12 dan S2
2 merupakan perkiraan
varian 2, jika digabungkan akan menghasilkan sebuah perkiraan tunggal, yaitu
2
)1()1(
21
222
2112
nn
SnSnSp (1.4)
Pengujian statistiknya adalah
21
21
11
nnS
XXt
p
o
(1.5)
H0 ditolak jika t0 > t /2, n1+n2-2 atau jika t0 < - t /2, n1+n2-2
Alternatif satu arah diperlakukan dengan cara yang sama. Untuk menguji
H0 : 1 = 2
H1 : 1 > 2
H0 ditolak jika t0 > t , n1+n2-2
Untuk alternatif satu arah lainnya, H0 : 1 = 2
H1 : 1 < 2
H0 ditolak jika t0 < - t , n1+n2-2
Contoh 1.4
Sebuah proses kimia sedang dipelajari dalam usaha untuk memperbaiki hasilnya. Dua
katalisator yang berbeda dianalisis untuk menentukan bagaimana pengaruh rata-rata yang
dihasilkan sebuah proses kimia. Secara khusus, katalisator 1 sedang dalam penggunaan,
tetapi katalisator 2 dapat diterima. Karena katalisator 2 lebih murah, jika katalisator ini
tidak mengubah proses yang dihasilkan, katalisator tersebut harus diterima. Misalkan ingin
menguji hipotesis
H0 : 1 = 2
H1 : 1 ≠ 2
Diktat Kuliah Statistika Terapan 7
Data yang dihasilkan n1 = 8,
1x = 91,73, S12 = 3,89 dan n2 = 8 ,
2x = 93,75 dan S22 = 4,02.
Dari persamaan (1.4) diperoleh:
2
)1()1(
21
222
2112
nn
SnSnSp 96,3
288
)02,4(789,3)7(
Pengujian statistiknya adalah
21
21
11
nnS
XXt
p
o
03,2
81
81
99,1
75,9373,91
Dengan menggunakan = 0,05, didapatkan t0,025;14 = 2,145 dan -t0,025;14 = -2,145 dan
konsekuensinya H0 : 1 = 2 tidak dapat ditolak. Berarti kita tidak mempunyai bukti yang
kuat untuk menyimpulkan bahwa hasil katalisator 2 dalam rata-rata yang dihasilkan
berbeda dari rata-rata yang dihasilkan bila katalisator 1 dipergunakan.
Kasus 1
2 ≠ 22
Dalam beberapa keadaan, kita tidak dapat mengasumsikan bahwa varian 12 dan 2
2
diketahui tidak sama. Tidak terdapat statistik t yang tepat tersedia untuk pengujian Ho: 1
= 2 dalam kasus ini. Karenanya statistik
2
22
1
21
21*
n
S
n
S
XXto
(1.6)
mengikuti distribusi t dengan derajat kebebasan
2
1
)/(
1
)/(
2
22
22
1
21
21
2
2
22
1
21
n
nS
n
nS
n
S
n
S
v (1.7)
jika hipotesis nol benar.
Contoh 1.5
Misalkan ada dua populasi normal, misal X1 ~ N( 1, 12) dan X2 ~ N( 2, 2
2) dimana
12 ≠ 2
2 dan kedua varian tidak diketahui. Kita ingin menguji
Diktat Kuliah Statistika Terapan 8
H0 : 1 = 2
H1 : 1 < 2
Dua sampel random menghasilkan n1 = 15,
1x = 2, S12 = 10 dan n2 = 10 ,
2x = 1 dan S22 =
20. Pengujian statistik to* yaitu
61,0
10
20
15
10
12
2
22
1
21
21*
n
S
n
S
xxto
Derajat kebebasan pada to* adalah
162
11
)10/20(
16
)15/10(10
20
15
10
22
2
v
Karena t0* < - t0,05;16, kita tidak dapat menolak H0
1.5 Pengujian Hipotesis pada Varian Sebuah Distribusi Normal
Misalkan kita ingin menguji hipotesis varian 2 dari sebuah distribusi normal yang
sama dengan nilai tertentu, katakanlah o2. Misalkan X ~ N( , 2), dimana dan 2
tidak diketahui, dan misalkan X1, X2, …., Xn sebuah variabel random dengan n observasi
dari X. Untuk menguji
Ho : 2 = 02
H1 : 2 ≠ 02
Pengujian statistik menggunakan persamaan
2
22 )1(
o
o
Sn
(1.8)
dimana S2 adalah varian sampel. Jika H0 benar, maka pengujian statistik 02 mengikuti
distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan n-1. Ho dapat ditolak jika 02 > 2 /2, n-1
atau jika 02 < 2
1- , n-1
Pengujian statistik yang sama digunakan untuk alternatif satu arah. Untuk hipotesis satu
arah
H0 : 2 = 02
H1 : 2 > 02
Diktat Kuliah Statistika Terapan 9
Kita dapat menolak H0 jika 02 > 2 , n-1
Untuk hipotesis satu arah lainnya
H0 : 2 = 02
H1 : 2 < 02
Kita dapat menolak H0 jika 02 < 2
1- , n-1
Contoh 1.6
Sebuah mesin mengisi kaleng-kaleng dengan sebuah minuman ringan.Jika varian
pengujian volume melebihi 0,02 (ons cairan)2, maka sebuah persentase yang besar tidak
dapat diterima untuk pengisian tersebut. Perusahaan botol tersebut tertarik dalam
pengujian hipotesis
H0 : 2 = 0,02
H1 : 2 > 0,02
Sebuah sample random n = 20 kaleng yang menghasilkan varian sampel s2 = 0,0225.
Dengan demikian, pengujian statistiknya adalah
38,2102,0
0225,0)19()1(2
0
22
0
sn
Jika kita pilih = 0,05, kita dapatkan 2 0,05;19 = 30,14, dan dapat menyimpulkan tidak
terdapatnya keyakinan kekuatan bahwa varian pengisian volume melebihi 0,02 (ons
cairan)2.
1.6 Pengujian Hipotesis pada Varian Dua Distribusi Normal Misalkan dua populasi normal yang bebas diteliti, katakan X1 ~ N( 1, 1
2) dan X2
~ N( 2, 22), dimana 1, 1
2, 2, 22 tidak diketahui. Kita ingin menguji hipotesis
mengenai kesamaan dua varian, katakan H0: 12 = 2
2. Diasumsikan sebuah sampel
random yang besarnya n1 dari populasi 1 dan yang besarnya n2 dari populasi 2 tersedia
dan misalkan S12 dan S2
2 varian sampel. Untuk pengujian alternatif dua arah
H0 : 12 = 2
2
H1 : 12 ≠ 2
2
Digunakan statistik 22
21
S
SFo (1.9)
Diktat Kuliah Statistika Terapan 10
Berdistribusi F dengan derajat kebebasan n1-1 dan n2-1, jika hipotesis nol benar. Kita akan
menolak H0 jika F0 > F /2, n1-1, n2-1 atau jika F0 < F1- /2, n1-1, n2-1
Pengujian statistik yang sama dapat digunakan untuk pengujian hipotesis alternatif satu
arah. Karena notasi X1 dan X2 sembarang, misalkan X1 menyatakan populasi yang
mempunyai varian terbesar. Maka alternatif hipotesis satu arah adalah:
H0 : 12 = 2
2
H1 : 12 > 2
2
Jika F0 > F , n1-1, n2-1, kita dapat menolak H0.
Contoh 1.7
Perhatikan contoh sebuah proses kimia sedang dipelajari dalam usaha untuk memperbaiki
hasilnya, dimana X1 dan X2 menyatakan proses yang dihasilkan bila dua katalisator yang
berbeda digunakan. Misalkan kita ingin untuk menguji
H0 : 12 = 2
2
H1 : 12 ≠ 2
2
Dua sampel yang besarnya n1 = n2 = 8 menghasilkan s12 = 3,89 dan s2
2 = 4,02.
97,002,4
89,32
2
21
s
sFo
Jika = 0,05, kita dapatkan bahwa F0,025;7;7 = 4,99. Maka kita tidak dapat menolak H0: 12
= 22, dan dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat keyakinan kekuatan bahwa varian
yang dihasilkan dipengaruhi oleh katalisator.
1.7 Soal Latihan
1-1. Kekuatan putusnya sebuah serat jenis tertentu yang digunakan dalam pabrik kain
tidak kurang dari 160 Psi. Pengalaman yang lain menunjukkan bahwa standar
deviasi kekuatan putusnya 3 Psi. Sebuah sampel random dari empat contoh diuji
dan rata-rata kekuatan putusnya didapat menjadi 158 Psi. Dapatkah serat tersebut
diterima dengan = 0,05?
1-2. Hasil sebuah proses kimia sedang dipelajari. Varian yang dihasilkan diketahui dari
percobaan sebelumnya dengan proses ini menjadi 5 (unit 2 = persentase2). Lima
hari operasi pabrik menghasilkan data sebagai berikut (dalam persentase): 91,6 ;
Diktat Kuliah Statistika Terapan 11
88,75 ; 90,8 ; 89,95 ; 91,3. Adakah alasan anda untuk mempercayai hasil tersebut
kurang dari 90 persen
1-3. Diameter ban yang diproduksi oleh proses industri tertentu diketahui mempunyai
standar deviasi 0,0001 inci. Sebuah sampel random 10 ban menghasilkan sebuah
rata-rata diameter 0,2552 inci. Ujilah hipotesis bahwa rata-rata sebenarnya
diameter ban sama dengan 0,255, gunakan = 0,05.
1-4. Dua jenis plastik cocok digunakan oleh sebuah industri komponen elektronik.
Kekuatan putusnya plastik ini penting. Diketahui bahwa 21 = 1,0 Psi. Dari
sebuah sampel random yang besarnya n1 = 10 dan n2 = 12 kita dapatkan
1x =
162,5 dan
2x = 155,0. Perusahaan tersebut tidak akan memakai plastik 1 kecuali
kekuatan putusnya melebihi plastik 2 dengan paling sedikit 10 Psi. Berdasarkan
informasi sampel, haruskah perusahaan menggunakan plastik 1?
Diktat Kuliah Statistika Terapan 12
BAB 2 ANALISIS VARIAN
Tujuan Belajar
Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan mampu:
melakukan analisis varian pada sebuah tingkat yang berbeda dari sebuah faktor tunggal mengembangkan analisis varian untuk model efek tetap klasifkasi satu arah menentukan perlakuan yang menyebabkan perbedaan antara rata-rata perlakuan melakukan analisis secara statistik pada perlakuan secara random
Beberapa keputusan masalah memerlukan lebih dari dua parameter harus
dipertimbangkan. Sebagai contoh, misalkan seorang insinyur teknik kimia menyelidiki
pengaruh lima metoda yang berbeda pada rata-rata kekuatan kertas. Ia ingin menguji
kesamaan lima rata-rata. Prosedur yang cocok untuk pengujian kesamaan beberapa rata-
rata populasi adalah analisis varian.
2.1 Klasifikasi Satu Arah Analisis Varian
Misalkan kita mempunyai sebuah tingkat yang berbeda dari sebuah faktor tunggal
yang ingin kita bandingkan. Perbedaan tingkat faktor-faktor tersebut sering disebut
perlakukan. Pengamatan yang dipengaruhi masing-masing sebuah perlakukan adalah
variabel random. Data tersebut akan muncul seperti pada tabel di bawah ini.
Data untuk klasifikasi satu arah analisis varian
Perlakukan Observasi
1 y11 y12 …………….. y1n
2 y21 y22 …………….. y2n
. . . .
. . . .
. . . .
A ya1 ya2 …………… yan
Sebuah sel dalam tabel di atas, katakan yij, menyatakan observasi ke-j diambil dengan
perlakuan ke-i. Pertama-tama kita perhatikan masalah dimana terdapat jumlah observasi
yang sama, n pada masing-masing perlakuan.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 13
Kita dapat menjabarkan observasi dalam tabel di atas dengan model linier secara statistik,
dimana yij observasi ke-ij, adalah parameter umum untuk sebuah pengaruh perlakukan
ke-i dan ij komponen error random.
ijiijy (2.1)
i = 1 ,2, …….., a
j = 1 ,2, ……., n
Model persamaan (2.1) disebut klasifikasi satu arah analisis varian, karena hanya satu
faktor yang diselidiki.
Kita akan menguji hipotesis tertentu mengenai pengaruh perlakukan dan
memperkirakannya. Untuk pengujian hipotesis model error diasumsikan menjadi variabel
random berdistribusi normal dan bebas dengan rata-rata nol dan varian 2 (disingkat
sebagai NID(0, 2)). Varian 2 diasumsikan konstan untuk seluruh tingkat faktor tersebut.
2.2 Model Efek Tetap
Dalam model efek tetap, perlakuan biasanya didefinisikan sebagai deviasi
keseluruhan rata-rata sehingga
a
ii
1
0 (2.2)
Pengujian kesamaan efek a perlakuan, hipotesis yang sesuai adalah:
H0 : 1 = 2 = …… = a = 0
H1 : i ≠ 0 untuk sedikitnya satu i
Prosedur pengujian diringkas dalam tabel di bawah ini (tabel analisis varian)
Tabel 2.1 Analisis Varian untuk Klasifikasi Satu Arah Model Efek Tetap
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Antara perlakukan
SSperlakuan a - 1 MSperlakuan F0=MSperlakuan/MSE
Error SSE N – a MSE
Total SST N – 1
a
i
n
jijT N
yySS
1 1
22 ..
(2.3)
Diktat Kuliah Statistika Terapan 14
N
y
n
ySS
a
i
iperlakuan
2
1
2. ..
(2.4)
SSE = SST - SSperlakuan (2.5)
H0 ditolak jika F0 > F ,a-1,N-a
Contoh 2.1
Seorang pemilik pabrik menggunakan kertas untuk melapis tas yang diteliti dalam
mengembangkan kekuatan daya renggang produksinya. Ia menduga kekuatan daya
renggang adalah fungsi konsentrasi kekerasan kayu dalam buburnya. Ia memutuskan
untuk menyelidiki lima konsentrasi kekerasan kayu yang berbeda: 5%, 10%, 15%, 20%
dan 25%. Lima observasi diambil pada masing-masing konsentrasi kekerasan kayu. 25
observasi yang dibutuhkan dilakukan dalam susunan random dan data yang diperolah
sebagai berikut:
Tabel 2.2 Kekuatan daya Renggang Kertas (psi)
Konsentrasi kekerasan kayu
(%)
Observasi Total yi.
1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
7 7 15 11 9
12 17 12 18 18
14 18 18 19 19
19 25 22 19 23
7 10 11 15 11
49
77
88
108
54
376 = y..
a
i
n
jijT N
yySS
1 1
22 ..
96,63625
)376()11()15(....)15()7()7(
222222 TSS
N
y
n
ySS
a
i
iperlakuan
2
1
2. ..
Diktat Kuliah Statistika Terapan 15
76,47525
)376(
5
)54(....)49( 222
perlakuanSS
SSE = SST - SSperlakuan = 636,96 – 475,76 = 161,20
Tabel 2.3 Analisis Varian
Sumber Varian Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Perlakukan 475,76 4 118,94 F0 = 14,76
Error 161,20 20 8,06
Total 636,96 24
Karena F0,01;4;20 = 4,43, kita menolak H0 dan menyimpulkan bahwa konsentrasi kekerasan
kayu dalam buburnya secara berarti mempengaruhi kertas tersebut.
2.3 Kasus Ketidakseimbangan
Dalam beberapa percobaan faktor tunggal, jumlah observasi yang diambil dari
masing-masing perlakukan mungkin berbeda (rancangan tidak seimbang). Analisis varian
yang dijabarkan di atas masih berlaku, tapi perubahan kecil harus dilakukan dalam rumus
jumlah kuadrat. Misalkan ni observasi diambil dengan perlakuan i (i = 1, 2, …., a), dan
misalkan total jumlah observasi N =
a
iin
1
.
Perhitungan rumus untuk SST dan SSperlakuan menjadi:
a
i
n
jijT
i
N
yySS
1 1
22 ..
(2.6)
a
i i
iperlakuan N
y
n
ySS
1
22. ..
(2.7)
Diktat Kuliah Statistika Terapan 16
Contoh 2.2
Suatu percobaan telah dilakukan untuk menentukan apakah lima temperatur pembakaran
tertentu mempengaruhi kepadatan batubara jenis tertentu. Percobaan tersebut
menghasilkan data seperti ditampilkan pada Tabel 2.4.
Tabel 2.4 Data Percobaan
Temperatur
(oC)
Observasi Total yi.
1 2 3 4 5
500
600
700
800
900
24 30 20 - -
30 32 34 25 25
35 40 38 35 -
20 24 28 - -
38 40 30 40 -
74
146
148
72
148
y.. = 588
Hipotesis:
H0 : 1 = 2 = …… = 5 = 0
H1 : i ≠ 0 untuk sedikitnya satu i
a
i
n
jijT N
yySS
1 1
22 ..
947,80619
588)4030.....3024(
22222 SST
a
i i
iperlakuan N
y
n
ySS
1
22. ..
48,57119
588
4
148
3
72
4
148
5
146
3
74 222222
perlakuanSS
SSE = 806,947 – 571,48 = 235,467
Diktat Kuliah Statistika Terapan 17
Tabel 2.5 Analisis Varian
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Perlakukan 571,48 a-1 = 4 142,87 8,495
Error 235,467 N-a = 14 16,819
Total 806,947 N-1 = 18
F0,025;4;14 = 3,89
Karena F0 > F0,025;4;14, maka H0 ditolak dan menyimpulkan bahwa temperatur pembakaran
mempengaruhi kekuatan briket batubara.
2.4 Pengujian Rata-rata Perlakuan Secara Individu
2.4.1 Kontras Ortogonal
Penolakan hipotesis nol dalam analisis varian pada model efek tetap menunjukkan
bahwa terdapat perbedaan antara a rata-rata perlakuan, tetapi pada kenyataannya
pebedaan tersebut tidak ditentukan. Dalam keadaan ini, lebih lanjut perbandingan antara
kelompok rata-rata perlakuan mungkin dapat berguna. Rata-rata perlakuan ke-i dapat
didefinisikan sebagai ii dan i diperkirakan dengan
iy . Perbandingan antara
rata-rata perlakuan biasanya dilakukan dalam susunan total perlakuan {yi}.
Perhatikan percobaan kekuatan kertas yang ada dalam contoh soal 2.1. Karena
hipotesis H0 : i = 0 ditolak, kita mengetahui beberapa konsentrasi kekerasan kayu
menghasilkan kekuatan dari yang lainnya, tetapi yang manakah mengakibatkan ini
berbeda? Kita dapat menduga diluar percobaan bahwa konsentrasi kekerasan kayu 4 dan
5 menghasilkan kekuatan yang sama, maka pengujian hipotesisnya
H0 : 4 = 5
H1 : 4 ≠ 5
Hipotesis ini dapat diuji dengan menggunakan sebuah kombinasi linier total perlakuan,
katakanlah
y4. – y5. = 0
Jika kita telah menduga rata-rata konsentrasi kekerasan 1 dan 3 tidak berbeda dari rata-
rata konsentrasi kekerasan kayu 4 dan 5, maka hipotesis akan didapat
H0 : 1 + 3 = 4 + 5
Diktat Kuliah Statistika Terapan 18
H1 : 1 + 3 ≠ 4 + 5
Yang berarti kombinasi linier total perlakuan
y1. + y3. - y4. - y5. = 0
Secara umum, perbandingan rata-rata perlakuan yang menarik akan menyatakan sebuah
kombinasi linier total perlakuan sebagai
a
iii ycC
1
.
dengan batasan bahwa
a
i ic1
0 . Kombinasi linier ini disebut kontras. Jumlah kuadrat
untuk setiap kontras adalah
a
ii
a
iii
C
cn
yc
SS
1
2
2
1 (2.8)
dan mempunyai derajat kebebasan tunggal. Jika rancangan tersebut tidak seimbang,
maka perbandingan rata-rata perlakuan yang dibutuhkan
a
i iicn1
0 , dan persamaan
(2.8) menjadi
a
iii
a
iii
C
cn
yc
SS
1
2
2
1 (2.9)
Sebuah kontras diuji dengan membandingkan jumlah kuadrat rata-rata error kuadrat.
Statistik yang dihasilkan akan berdistribusi F, dengan derajat kebebasan 1 dan N-a.
Sebuah kasus khusus yang sangat penting dari prosedur di atas yaitu kontras
ortogonal. Dua kontras dengan koefisien {ci} dan {di} adalah ortogonal jika
a
iiidc
1
0
atau untuk sebuah rancangan yang tidak seimbang jika
a
iiii dcn
1
0
Untuk a perlakuan sebuah himpunan a-1 kontras orthogonal akan membagi jumlah
kuadrat perlakuan ke dalam a-1 komponen derajat kebebasan tunggal yang bebas.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 19
Ada beberapa cara untuk memilih koefisien kontras orthogonal untuk sebuah
himpunan perlakuan. Biasanya dalam percobaan alamiah akan diperkirakan yang mana
perbandingan akan menjadi menarik. Sebagai contoh, jika terdapat a = 3 perlakuan
dengan perlakuan 1 sebuah kontrol dan perlakuan 2 dan 3 tingkat faktor menarik untuk
pelaku percobaan, maka kontras yang sesuai sebagai berikut
Perlakuan Kontras Ortogonal
1 (kontrol)
2 (level 1)
3 (level 2)
-2 0
1 -1
1 1
Perhatikan kontras 1 dengan ci = -2, 1, 1 membandingkan rata-rata efek faktor dengan
control, ketika kontras 2 dengan di = 0, -1, 1 membandingkan dua tingkat faktor yang
menarik.
Koefisien kontras harus dipilih sebelum melakukan percobaan, jika perbandingan
ini dipilih setelah pengujian datanya, beberapa pelaku percobaan akan membentuk
pengujian yang membandingkan perbedaan pengamatan yang besar dalam rata-rata.
Perbedaan yang besar ini dapat terjadi dari efek nyata atau error random.
Contoh 2.3
Perhatikan data dalam contoh soal 2.1. Ada lima rata-rata perlakuan dan empat derajat
kebebasan antara perlakuan-perlakuan ini. Satu himpunan perbandingan antara rata-rata
ini dan kontras ortogonal yang berhubungan adalah
H0 : 4 = 5 C1 = - y4. + y5.
H0 : 1 + 3 = 4 + 5 C2 = y1. + y3. – y4. – y5.
H0 : 1 = 3 C3 = y1. - y3.
H0 : 4 2 = 1 + 3 + 4 + 5 C4 = -y1. + 4y2. – y3. – y4. – y5.
Perhatikan bahwa koefisien kontras adalah ortogonal. Dengan menggunakan data dalam
Tabel 2.2, kita tentukan nilai kontras numerik dan jumlah kuadrat sebagai berikut:
C1 = - 1(108) + 1(54) = -54 6,291)2(5
)54( 2
1
SSc
Diktat Kuliah Statistika Terapan 20
C2 = + 1(49) + 1(88) –1(108) – 1(54) = -25 25,31)4(5
)25( 2
2
SSc
C3 = +1(49) - 1(88) = -39 1,152)2(5
)39( 2
3
SSc
C4 = -1(49) + 4(77) - 1(88) - 1(108) - 1(54) = 9 81,0)20(5
)9( 2
4 SSc
Tabel 2.6 Analisis Varian untuk Data Kekuatan Daya Renggang
Sumber Varian Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Persentase konsentrasi kekerasan kayu C1: 4= 5
C2: 1+ 3= 4+ 5
C3: 1 = 3
C4:4 2= 1+ 3+ 4+ 5
475,76
(291,60)
(31,25)
(152,10)
(0,81)
4
1
1
1
1
118,94
291,60
31,25
152,10
0,81
14,76a
36,18a
3,88
18,87a
0,10
Error 161,20 20 8,06
Total 636,96 24 a nyata pada 1 persen
Jumlah kuadrat kontras ini secara lengkap dibagi ke dalam jumlah kuadrat
perlakuan, yaitu SSperlakuan = SSc1 + SSc2 + SSc3 + SSc4. Dari analisis ini, kita
menyimpulkan terdapat perbedaan berarti antara konsentrasi kekerasan kayu 4 dan 5,
juga 1 dan 3; tetapi rata-rata 1 dan 3 tidak berbeda dari rata-rata 4 dan 5, maupun 2
berbeda dari rata-rata empat konsentrasi kekerasan kayu lainnya.
2.4.2 Pengujian Range Berganda Duncan
Pengujian ini seringkali digunakan bila ingin menguji lebih dari a – 1 perbandingan
dengan menggunakan data yang sama. Hipotesis nol dapat menjadi H0 : i = j, untuk
semua i ≠ j.
Untuk menggunakan range berganda Duncan dengan besar sampel yang sama, a
rata-rata perlakuan disusun dalam susunan menaik, dan error baku masing-masing rata-
rata ditetapkan sebagai
Diktat Kuliah Statistika Terapan 21
n
MSS E
yi
.
Dari tabel Duncan range nyata (Lampiran), diperoleh nilai r (p,f), untuk p = 2, 3, ..a,
dimana adalah tingkat nyata dan f jumlah derajat kebebasan untuk error. Ubah range
ini ke dalam himpunan a-1 range nyata terkecil (misal, Rp), untuk p = 2,3,…a dengan
menghitung
.
),(yi
p SfpRR untuk p = 2, 3, …, a
Maka observasi range antara rata-rata diuju, dimulai dengan yang terbesar lawan yang
terkecil, yang akan dibandingkan dengan range nyata terkecil R . Selanjutnya range
yang terbesar dan terkecil kedua dihitung dan dibandingkan dengan range nyata terkecil
R -1. Proses ini berlangsung sampai range seluruh yang mungkin a(a-1)/2 pasangan
rata-rata telah diperhitungkan. Jika sebuah observasi range lebih besar dari range nyata
terkecil, maka kita menyimpulkan pasangan dalam rata-rata yang bersangkutan secara
nyata berbeda. Untuk mencegah kontradiksi, tidak ada perbedaan antara sebuah
pasangan rata-rata yang dianggap nyata jika dua rata-rata yang dicakup terletak antara
dua rata-rata lainnya yang tidak berdeda secara nyata.
Contoh 2.4
Kita akan menggunakan pengujian range berganda Duncan untuk data pada contoh soal
2.1. Ingat bahwa MSE = 8,06, N = 25, n = 5, dan terdapat 20 derajat error kebebasan.
Rata-rata perlakuan disusun dalam susunan menaik adalah
6,21
6,17
4,15
8,10
8,9
.4
.3
.2
.5
.1
y
y
y
y
y
Error baku masing-masing rata-rata adalah 27,15/06,8.
iyS . Dari tabel range nyata
dalam Lampiran, untuk 20 derajat kebebasan dan = 0,05, kita peroleh r0,05(2,20) = 2,95,
r0,05(3,20) = 3,10, r0,05(4,20) = 3,18, dan r0,05(5,20) = 3,25. Oleh karena itu, range nyata
terkecil adalah
Diktat Kuliah Statistika Terapan 22
R2 = r0,05(2,20) .iyS
= (2,95)(1,27) = 3,75
R1 = r0,05(3,20) .iyS
= (3,10)(1,27) = 3,94
R4 = r0,05(4,20) .iyS
= (3,18)(1,27) = 4,04
R5 = r0,05(5,20) .iyS
= (3,25)(1,27) = 4,13
Perbandingan rata-rata perlakuan sebagai berikut
4 vs. 1 = 21,6 – 9,8 = 11,8 > 4,13 (R5)
4 vs. 5 = 21,6 – 10,8 = 10,8 > 4,04 (R4)
4 vs. 2 = 21,6 – 15,4 = 6,2 > 3,94 (R3)
4 vs. 3 = 21,6 – 17,6 = 4,0 > 3,75 (R2)
3 vs. 1 = 17,6 – 9,8 = 7,8 > 4,04 (R4)
3 vs. 5 = 17,6 – 10,8 = 6,8 > 3,95 (R3)
3 vs. 2 = 17,6 – 15,4 = 2,2 < 3,75 (R2)
2 vs. 1 = 15,4 – 9,8 = 5,6 > 3,94 (R3)
2 vs. 5 = 15,4 – 10,8 = 4,6 > 3,75 (R2)
5 vs. 1 = 10,8 – 9,8 = 1,0 < 3,75 (R2)
Dari analisis di atas, kita lihat bahwa terdapat perbedaan nyata antara semua pasangan
rata-rata kecuali 3 dan 2, juga 5 dan 1.
2.5 Model Efek Random
Dalam banyak keadaan, faktor yang menarik mempunyai sejumlah besar tingkat
yang mungkin. Para analis tertarik dalam menggambarkan kesimpulan mengenai seluruh
populasi dari tingkat faktor. Jika pelaku percobaan secara random memilih a tingkat ini
dari tingkat faktor populasi, maka dikatakan bahwa faktor tersebut sebuah faktor random.
Karena tingkat faktor sebenarnya digunakan dalam percobaan yang telah dipilih secara
random, kesimpulan yang dicapai akan berlaku mengenai seluruh tingkat faktor populasi.
Kita akan asumsikan bahwa tingkat faktor populasi besarnya tidak terbatas, atau cukup
besar sehingga dianggap tidak terbatas.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 23
Model linear secara statistik adalah:
ijiijy (2.10)
i = 1 ,2, …….., a
j = 1 ,2, ……., n
dimana i dan ij variabel random bebas. Model ini identik dalam susunannya dengan
kasus efek tetap, tapi parameternya mempunyai sebuah perbedaan interpretasi. Jika
varian i adalah 2
, maka varian setiap observasi adalah
22)( ijyV (2.11)
Varian 2
dan 2 disebut komponen-komponen varian dan model pada persamaan
(2.10) disebut komponen varian atau model efek random. Untuk menguji hipotesis dalam
model ini, kita membutuhkan { ij} adalah NID(0, 2 ), bahwa { i} adalah NID(0, 2
), dan
bahwa i dan ij bebas. Jumlah kuadrat SST = SSperlakuan + SSE masih berlaku.
Hipotesisnya adalah sebagai berikut:
H0 : 2
= 0
H1 : 2
> 0
Jika 2
= 0, semua perlakuan sama, tetapi jika 2
> 0, maka terdapat variabilitas antara
perlakuan. Hipotesis nol rasionya:
E
perlakuan
E
perlakuan
o MS
MS
aN
SSa
SS
F
1 (2.12)
berdistribusi F dengan derajat kebebasan a-1 dan N-a.
Ekspektasi rata-rata kuadrat dalam klasifikasi satu arah model efek random adalah:
MSperlakuan = 2 + n2
(2.13)
dan MSE = 2 (2.14)
Oleh karena itu, estimator komponen varian yaitu:
EMS 2
(2.15)
dan n
MSMS Eperlakuan
2 (2.16)
Untuk besarnya sampel yang tidak sama, ganti n dalam persamaan (2.16) dengan
Diktat Kuliah Statistika Terapan 24
a
ia
ii
a
ii
io
n
nn
an
1
1
1
2
1
1 (2.17)
Contoh 2.5
Seorang pengusaha pabrik menduga bahwa kandungan nitrogen sebuah produk berbeda
dari kelompok ke kelompok lainnya. Ia memilih sebuah sample random empat kelompok
lainnya, dan membuat lima ketentuan nitrogen yang dikandung pada masing-masing
kelompok. Data yang dihasilkan disajikan pada Tabel 2.7.
Tabel 2.7 Data Kandungan Nitrogen
Kelompok Observasi Total yi.
1 2 3 4 5
1
2
3
4
26,15 26,25 26,39 26,18 26,20
24,95 25,01 24,89 24,85 25,18
25,00 25,36 25,20 25,09 25,12
26,81 26,75 26,15 26,50 26,70
131,17
124,83
125,77
132,89
y..= 514,66
Karena kelompok-kelompok tersebut telah dipilih secara random, kelompok tersebut
model efek random. Analisis varian digambarkan pada tabel analisis varian
Tabel 2.8 Analisis Varian untuk Data dalam Tabel 2.7
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Kelompok 9,44 3 3,15 35,00
Error 1,51 16 0,09
Total 10,95 19
Karena F0 = 35,00 > F0,01;3;16 = 5,29, maka kita menolak Ho dan menyimpulkan terdapat
variabilitas dalam nitrogen yang dkandung dari kelompok ke kelompok.
Komponen varian 2 dan 2
dapat diperkirakan dengan menggunakan persamaan
(2.15) dan (2.16).
Diktat Kuliah Statistika Terapan 25
EMS 2
= 0,09
n
MSMS Eperlakuan
2 61,0
5
09,015,3
Selanjutnya varian setiap observasi pada nitrogen yang dikandung diperkirakan dengan
2 + 2
= 0,09 + 0,61 = 0,70. Sebagian besar variabilitas dalam nitrogen yang
dikandung secara rata-rata adalah (0,61/0,70)100 = 87,14%, untuk variabilitas kelompok
ke kelompok.
2.6 Soal Latihan
2-1. Heating value bahan bahar emulsi dari plastik polipropilen dan minyak solar yang
dicampur dengan surfaktan dan air sedang dipelajari. Empat perbedaan teknik
mencampur pada pembuatan bahan bakar emulsi tersebut sedang diselidiki. Data berikut
telah dikumpulkan.
Teknik Mencampur
Heating Value (Btu)
1
2
3
4
41.000 41.250 40.980
42.100 41.900 42.050
39.000 38.980 39.400
38.500 38.950 39.200
(a) Ujilah hipotesis pengaruh teknik mencampur terhadap heating value bahan bakar
emulsi tersebut. Gunakan = 0,05
(b) Gunakan pengujian range berganda Duncan untuk membuat perbandingan antara
pasangan rata-rata. Perkirakan efek perlakuan.
2-2. Suatu percobaan telah dilakukan untuk menentukan apakah empat temperatur
pembakaran tertentu mempengaruhi kepadatan batubara jenis tertentu. Percobaan
tersebut menghasilkan data berikut. Apakah temperatur pembakaran mempengaruhi
kepadatan batubara?
Diktat Kuliah Statistika Terapan 26
Temperatur (oF)
Kepadatan
100
125
150
175
21,8 21,9 21,7 21,6 21,7 21,5 21,8
21,7 21,4 21,5 21,5 - - -
21,9 21,8 21,8 21,6 21,5 - -
21,9 21,7 21,8 21,7 21,6 21,8 -
2-3. Pabrik kertas mempunyai sejumlah besar mesin pembuatan kertas dari pulp. Setiap
mesin kertas diumpamakan menghasilkan output kertas yang sama per menit. Untuk
menyelidiki asumsi ini, lima mesin kertas telah dipilih secara random dan outputnya diukur
pada waktu yang berbeda. Data yang diperoleh sebagai berikut.
Mesin Kertas Output (kg/menit)
1
2
3
4
5
4,0 4,1 4,2 4,0 4,1
3,9 3,8 3,9 4,0 4,0
4,1 4,2 4,0 4,1 3,9
3,6 3,8 4,0 3,9 3,7
3,8 3,6 3,9 3,8 4,0
(a) Apakah ini percobaan percobaan efek tetap atau efek random? Apakah mesin
kertas tersebut sama dalam output?
(b) Perkirakan variabilitas antara mesin-mesin kertas
(c) Perkirakan varian error percobaan
2-4. Kemurnian sebuah produk kimia diduga berbeda dari satu kelompok dengan lainnya.
Sebuah sampel random dari lima kelompok dipilih dan beberapa ketentuan dibuat pada
setiap kelompok.
Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 Kelompok 4 Kelompok 5
93,86 94,53 95,40 93,16 93,75
93,33 94,39 95,88 93,71 93,38
93,16 94,16 95,89 93,16 94,01
- 93,99 - 93,67 93,91
- - - 93,08 -
(a) Apakah kemurnian berbeda secara nyata dari kelompok ke kelompok?
(b) Perkirakan variasi antara dan di dalam kelompok
Diktat Kuliah Statistika Terapan 27
BAB 3 REGRESI LINIER SEDERHANA
Tujuan Belajar
Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan mampu: membuat persamaan regresi linier sederhana dari data melakukan pengujian ketidakcocokan model dengan data
Dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebih variabel yang hubungannya
tidak dapat dipisahkan, dan hal tersebut biasanya diselidiki sifat hubungannya. Analisis
regresi adalah sebuah teknik statistik untuk membuat model dan menyelidiki hubungan
antara dua variabel atau lebih. Sebagai contoh, dalam sebuah proses kimia misalkan
bahwa hasil produk dihubungkan dengan temperatur/proses produk tersebut. Analisis
regresi dapat digunakan untuk membuat sebuah model yang menggambarkan hasil
sebagai sebuah fungsi temperatur. Model ini dapat digunakan untuk meramal pada
sebuah tingkat temperatur tertentu. Ini dapat juga digunakan untuk tujuan optimalisasi
atau tujuan proses kontrol.
3.1 Model Regresi Linier Sederhana
Kita ingin menentukan hubungan antara sebuah variabel bebas tunggal x dan
sebuah variabel tidak bebas y. Variabel bebas x diasumsikan sebagai sebuah variabel
kontinu secara matematik, dapat dikontrol oleh para pelaku percobaan. Maka akan
didapat model persamaan
xy o 1 (3.1)
dimana 0 dan 1 berturut-turut adalah intercept dan slope, adalah error random
dalam rata-rata nol dan varian 2 . Model regresi persamaan (3.1) hanya terdiri dari
sebuah variabel bebas tunggal x yang sering disebut model regresi linier sederhana.
Perkiraan (estimator) untuk model regresi linier sederhana adalah
)('_
10 xxy
(3.2)
dimana
n
ii yy
n 1
_
0
1' (3.2)
Diktat Kuliah Statistika Terapan 28
n
ii
n
iii
xx
xy
xx
xxy
S
S
1
2_
1
_
1
)(
)( (3.4)
Untuk menyajikan hasil-hasil dalam susunan intercept asli 0 , dicatat bahwa
_
100 ' x
dan perkiraan yang cocok untuk model regresi linier sederhana adalah
xy
10 (3.5)
Contoh 3.1
Seorang sarjana teknik kimia menyelidiki pengaruh temperatur proses produksi pada hasil
produksinya. Hasil penyelidikan tersebut menghasilkan data sebagai berikut:
T ,oC (x) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
Hasil, % (y) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
Kuantitas berikut dapat dihitung:
n = 10
10
1
1450i
ix
10
1
673i
iy 145_
x 3,67_
y
10
1
2 218500i
ix
10
1
2 47225i
iy
10
1
101570i
ii yx
Sehingga diperoleh
825010
)1450(218500
2
xxS
398510
)673)(1450(101570 yyS
Selanjutnya estimasi untuk slope dan intercept adalah
48303,08250
39851
xx
xy
S
S dan 3,67'
_
0
y
Perkiraan model regresi linier sederhana adalah
)145(48303,03,67)(' 10
xxxy
Diktat Kuliah Statistika Terapan 29
Untuk menggambarkan model tersebut dalam intercept origin, dicatat bahwa
_
100 ' x
Sehingga xy 48303,073939,2
3.2 Pengujian Hipotesis dalam Regresi Linier Sederhana
3.2.1 Pengujian Nyata Regresi
Hipotesis:
H0 : 1 = 0
H1 : 1 ≠ 0
Hipotesis ini dihubungkan untuk nyata regresi. Keputusan untuk menolak H0 adalah sama
dengan memutuskan bahwa disana tidak ada hubungan linier antara x dengan y. Analisis
varian untuk pengujian nyata regresi ditampilkan pada tabel di bawah ini.
Tabel 3.1 Analisis Varian untuk Nyata Regresi
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Regresi SSR = xyS
1 1 MSR MSR/MSE
Error (residual)
SSE = Syy - SSR n – 2 MSE
Total Syy n – 1
H0 ditolak bila F0 > F ,1,n-2
Contoh 3.2
Kita akan menguji model yang dikembangkan dalam contoh soal 3.1 untuk nyata regresi.
Perkiraan modelnya adalah xy 48303,073939,2
dan Syy dihitung sebagai berikut
10,193210
)673(47225
2
1
2
12
n
i
n
ii
iyy n
y
yS
Diktat Kuliah Statistika Terapan 30
Tabel 3.2 Pengujian untuk Nyata Regresi, contoh 3.2
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Regresi SSR = 1924,87 1 1924,87 2138,74
Error (residual)
SSE = 7,23 n – 2 = 8 0,90
Total Syy = 1932,10 n – 1 = 9
Fo = 2138,74 > F0,01;1;8 = 11,26, maka Ho ditolak dan menerima bahwa 1 ≠ 0.
3.2.2 Pengujian Ketidakcocokan
Model-model regresi sering sesuai untuk data bila hubungan fungsi yang
sebenarnya tidak diketahui. Tentu saja kita akan mengetahui apakah susunan model
sementara yang diasumsikan benar.
Hipotesis-hipotesis untuk pengujian tersebut:
H0 : Model cocok pada data
H1 : Model tidak cocok pada data
Pengujian tersebut meliputi bagian jumlah kuadrat error atau residual ke dalam dua
komponen sebagai berikut:
SSE = SSPE + SSLOF
SSPE merupakan jumlah kuadrat yang diakibatkan oleh error yang sebenarnya dan SSLOF
adalah jumlah kuadrat yang diakibatkan oleh ketidakcocokan model. Untuk menghitung
SSPE kita harus mengulangi observasi pada y untuk paling
sedikit satu nilai x.
Misalkan ada m yang berbeda pada tingkat x, kontribusi untuk jumlah kuadrat error
sebenarnya pada x1 (misalkan) menjadi:
1
1
211 )(
n
uu yy (3.6)
Total jumlah kuadrat untuk error sebenarnya akan diperoleh dengan menjumlahkan
persamaan (3.6) pada seluruhnya nilai x sebagai berikut:
m
i
ni
uiiuPE yySS
1 1
2
)( (3.7)
Dengan derajat kebebasan sebanyak ne = n – m yang berkaitan dengan jumlah kuadrat
error sebenarnya. Jumlah kuadrat untuk ketidakcocokan disederhanakan:
Diktat Kuliah Statistika Terapan 31
SSLOF = SSE - SSPE (3.8)
Dengan derajat kebebasan n – 2 – ne = m – 2. Pengujian statistik untuk ketidakcocokan
menjadi:
PE
LOF
PE
LOF
MS
MS
mnSS
mSSFo
)/(
)2/( (3.9)
H0 ditolak jika F0 > F ,m-2,n-m
Contoh Soal 3.3
Misalkan kita mempunyai data berikut:
X 1,0 1,0 2,0 3,3 3,3 4,0 4,0 4,0 4,7 5,0 5,6 5,6 5,6 6,0 6,0 6,5 6,9
Y 2,3 1,8 2,8 1,8 3,7 2,6 2,6 2,2 3,2 2,0 3,5 2,8 2,1 3,4 3,2 3,4 5,0
Diperoleh:
Syy = 10,97 ; Sxy = 13,62 ; Sxx = 52,53 ;
y = 2,847 dan
x = 4,382.
Model regresi tersebut adalah
y = 1,708 + 0,26x dan jumlah kuadrat regresi SSR = xyS
1 =
(0,260)(13,62) = 3,541
Jumlah kuadrat error sebenarnya dihitung sebagai berikut:
Tingkat x
2)( yy Derajat kebebasan
1,0 3,3 4,0 5,6 6,0
0,1250 1,8050 0,1066 0,9800 0,0200
1 1 2 2 1
Total 3,0366 7
Tabel 3.3 Analisis Varian untuk Contoh Soal 3.3
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Regresi 3,541 1 3,541 7,15
Residual
LOF
PE
7,429
4,3924
3,0366
15
8
7
0,4952
0,5491
0,4338
1,27
Total 10,970 16
Diktat Kuliah Statistika Terapan 32
Karena F0,05;8;7 = 3,73, kita tidak dapat menolak hipotesis nol. Artinya, model sementara
yang cocok merupakan gambaran data. Juga karena F0,05;1;15 = 4,54, kita dapat
menyimpulkan bahwa 1 ≠ 0.
3.2.3 Koefisien Determinasi Kuantitas
yy
E
yy
R
S
SS
S
SSR 12
disebut koegisien determinasi, dan sering digunakan untuk mempertimbangkan ketepatan
sebuah model regresi (dimana x dan y adalah variabel-variabel random). R2 merupakan
jumlah variabilitas dalam data yang diperoleh atau dihitung berdasarkan model regresi.
Untuk data dalam contoh soal 3.1, diperoleh R2 = SSR/Syy = 0,9963; yaitu 99,63 persen
variabilitas dalam data tersebut yang dihitung berdasarkan model tersebut.
Pada umumnya R2 tidak mengukur besarnya slope garis regresi. Sebuah nilai R2
yang besar, tidak menyatakan secara langsung curamnya slope. Selanjutnya R2 tidak
mengukur kelayakan garis regresi, karena ini dapat dibuat tinggi dengan menambahkan
susunan polinomial urutan tinggi. Jika y dan x dihubungkan dengan sebuah bentuk tidak
linier, R2 akan sering menjadi lebih besar. Meskipun R2 besar, tidak berarti bahwa model
regresi akan memberikan pendugaan yang akurat terhadap observasi-observasi yang
akan datang.
3.3 Transformasi Sebuah Garis Lurus
Kadang-kadang kita mendapatkan bahwa model regresi garis lurus
xy 10 tidak cocok, karena fungsi regresi yang sebenarnya tidak linier. Dalam
beberapa keadaan, sebuah fungsi tidak linier dapat digambarkan sebagai sebuah garis
lurus dengan menggunakan transformasi yang cocok. Model-model tidak linier tersebut
disebut linier intrinsik.
Sebagai contoh sebuah model tidak linier yaitu linier intrinsik, perhatikan fungsi
eksponensial
xey 10
Diktat Kuliah Statistika Terapan 33
Fungsi ini linier intrinsik, karenanya dapat diubah menjadi sebuah garis lurus dengan
sebuah transformasi logaritma
lnlnln 10 xy
Perubahan ini membutuhkan asumsi bahwa perubahan bentuk error ln bebas dan
berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varian 2 .
Fungsi linier intrinsik lainnya adalah
xy
110
Dengan menggunakan transformasi resiprok z = 1/x, model tersebut dilinierkan menjadi
zy 10
Kadangkala transformasi logaritma dan resiprok dapat digunakan secara bersama-sama
untuk melinierkan sebuah fungsi. Sebagai contoh perhatikan fungsi
)exp(
1
10
xy
Misalkan y* = 1/y, kita mempunyai bentuk yang dilinierkan
xy 10*ln
3.4 Soal Latihan
3-1. Hasil suatu proses kimia diperkirakan merupakan sebuah fungsi jumlah katalisator
yang ditambahkan pada reaksi tersebut. Seorang peneliti melakukan dan memperoleh
data sebagai berikut.
Hasil (%) 60,54 63,86 63,76 60,15 66,66 71,66 70,81 65,72
Katalisator (lb) 0,9 1,4 1,6 1,7 1,8 2,0 2,1 2,3
(a) Tentukan sebuah model regresi linier sederhana yang sesuai dengan data tersebut
(b) Ujilah nyata regresi
(c) Hitung R2 untuk model ini
3-2. Berdasarkan kertas yang digunakan dalam industri kotak yang terbuat dari kertas (y)
dihubungkan dengan persentase konsentrasi kayu keras dalam bubur asli (x). Menurut
kondisi yang terkontrol, 16 pabrik industri diambil sebagai sampel, masing-masing dari
Diktat Kuliah Statistika Terapan 34
sebuah kelompok bubur yang berbeda, dan diukur daya renggangnya. Data tersebut
ditunjukkan di bawah ini.
Y 101,4 117,4 117,1 106,2 131,9 146,9 146,8 133,9
X 1,0 1,5 1,5 1,5 2,0 2,0 2,2 2,4
Y 111,3 123,0 125,1 145,2 134,3 144,5 143,7 146,9
X 2,5 2,5 2,8 2,8 3,0 3,0 3,2 3,3
(a) Tentukan sebuah model regresi linier sederhana yang sesuai dengan data tersebut
(b) Lakukan pengujian ketidakcocokan dan nyata regresi tersebut
(c) Bentuklah interval keyakinan 90% pada slope 1
3-3. Persentase kotoran dalam gas oksigen yang dihasilkan oleh sebuah proses
penyulingan diperkirakan berhubungan dengan persentase hidrokarbon dalam
kondensator utama. Data operasi selama satu bulan tersedia, seperti ditunjukkan di
bawah ini.
Kemurnian
(%) 96,73 99,42 98,66 96,07 93,65 87,31 95,00 96,85 85,20 90,56
Hidrokarbon (%)
1,02 1,11 1,43 1,11 1,01 0,95 1,11 0,87 1,43 1,02
Kemurnian
(%) 86,91 89,85 90,28 86,34 92,58 87,33 86,29 91,86 95,61 89,86
Hidrokarbon (%)
1,46 1,55 1,55 1,55 1,40 1,15 1,01 0,99 0,95 0,98
(a) Tentukan model regresi linier sederhana yang sesuai dengan data tersebut
(b) Lakukan pengujian ketidakcocokan dan nyata regresi
(c) Hitung R2 untuk model ini
(d) Hitung sebuah interval keyakinan 95% pada slope 1
3-4. Perhatikan data berikut. Misalkan bahwa hubungan antara y dan x dihipotesiskan
menjadi 1)1( Xoy . Tentukan sebuah model yang sesuai untuk data tersebut.
Apakah asumsi bentuk model tersebut kelihatan sesuai?
X 10 15 18 12 9 8 11 6
Y 0,17 0,13 0,09 0,15 0,2 0,21 0,18 0,24
Diktat Kuliah Statistika Terapan 35
BAB 4 REGRESI BERGANDA
Tujuan Belajar
Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan mampu: membuat persamaan regresi linier berganda dari data melakukan pengujian ketidakcocokan model dengan data membuat persamaan polinomial
Beberapa permasalahan regresi dapat mencakup lebih dari satu variabel bebas.
Model-model regresi yang menggunakan lebih dari satu variabel bebas disebut model
regresi berganda. Regresi berganda merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan
secara luas.
4.1 Model Regresi Berganda
Sebuah model regresi yang mencakup lebih dari satu variabel bebas disebut
model regresi berganda. Sebagai contoh misalnya, aktivitas katalis tertentu tergantung
pada temperatur reaksi dan nisbah molar umpan. Sebuah model regresi berganda dapat
menerangkan hubungan tersebut adalah:
22110 XXy (4.1)
dimana y menyatakan aktivitas katalis tersebut, X1 menyatakan temperatur reaksi dan X2
menyatakan nisbah molar umpan. Persamaan (4.1) di atas adalah sebuah model regresi
linier berganda dengan dua variabel bebas.
Pada umumnya, variabel tidak bebas atau respon y dapat dihubungkan pada k
variabel-variabel bebas. Model tersebut
kk XXXy .....22110 (4.2)
disebut sebuah model regresi linier berganda dengan k variabel bebas. Parameter j , j =
0, 1, …, k, disebut koefisien regresi.
Metode kuadrat terkecil dapat digunakan untuk memperkirakan koefisien regresi
dalam persamaan (4.2). Misalkan observasi n > k yang tersedia, dan misalkan xij
menyatakan observasi ke i atau tingkat variabel xj. Data tersebut akan muncul seperti
dalam Tabel 4.1.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 36
Tabel 4.1 Data untuk Regresi Linier Berganda
y x1 x2 …… xk
y1 x11 x12 x1k
y2 x21 x22 x2k
. . . .
. . . .
yn xn1 xn2 xnk
Kita dapat menulis model tersebut, persamaan (4.2) sebagai berikut
iikkiii xxxy ...22110
k
jiijj x
10 i = 1, 2, …., n (4.3)
Untuk menghitung o, 1, 2, …, k kita gunakan Metode Kuadrat Terkecil (Least
Square Method) yang menghasilkan persamaan normal sebagai berikut:
n
i
n
i
n
i
n
iiikkii yxxxn
1 1 1 122110 ....
n
i
n
i
n
i
n
i
n
iiiikikiiii yxxxxxxx
1 1 1 1 111212
21110 ....
. . . . .
. . . . .
n
i
n
i
n
i
n
i
n
iiikikkiikiikik yxxxxxxx
1 1 1 1 1
222110 .... (4.4)
Perhatikan bahwa ada p = k + 1 persamaan normal, satu untuk setiap koefisien
regresi yang tidak diketahui. Penyelesaian untuk persamaan normal menjadi estimator-
estimator kuadrat terkecil dari koefisien-koefisien regresi o, 1, 2, …, k.
Hal ini lebih sederhana menyelesaikan persamaan normal jika kita menggunakan
bentuk matriks. Sekarang kita memberikan sebuah pengembangan matriks dari
persamaan normal tersebut, berdasarkan persamaan (4.4). Persamaan (4.3) dapat ditulis
dalam bentuk matriks sebagai
Xy
Diktat Kuliah Statistika Terapan 37
dimana
y1 1 x11 x12 . . . x1k 0 1
y2 1 x21 x22 . . . x2k 1 2
y = . X = . . . . = . dan = . . . . . . . . yn 1 xn1 xn2 . . . . xnk k k
Estimator kuadrat terkecil untuk adalah
yXXX ')' 1
(4.5)
Contoh 4.1
Sebuah perusahaan botol minuman ringan menganalisis trayek pelayanan mesin
penjualan dalam system distribusinya. Khususnya perusahaan tersebut tertarik untuk
meramalkan jumlah waktu yang dibutuhkan oleh banyak pengemudi untuk melayani mesin
penjual sebagai jalan keluar. Kegiatan pelayanan ini termasuk persediaan mesin dengan
produk minuman dan perawatan ringan. Ahli industri bertanggung jawab untuk studi yang
diusulkan bahwa dua variabel yang penting yang mempengaruhi waktu pengiriman adalah
jumlah unit produk yang tersedia dan jarak yang ditempuh oleh trayek pengemudi. Ahli
tersebut mengumpulkan 25 observasi pada waktu pengiriman, yang ditunjukkan pada
Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Data Waktu Pengiriman untuk Contoh 4.1
Nomor Observasi Waktu Pengiriman Y
Jumlah Unit X1
Jarak X2
1 9,95 2 50 2 24,45 8 110 3 31,75 11 120 4 35,00 10 550 5 25,02 8 295 6 16,86 4 200 7 14,38 2 375 8 9,60 2 52 9 24,35 9 100
10 27,50 8 300 11 17,08 4 412 12 37,00 11 400 13 41,95 12 500 14 11,66 2 360 15 21,65 4 205 16 17,89 4 400
Diktat Kuliah Statistika Terapan 38
17 69,00 20 600 18 10,30 1 585 19 34,93 10 540 21 46,59 15 250 21 44,88 15 290 22 54,12 16 510 23 56,63 17 590 24 22,13 6 100 25 21,15 5 400
Kita akan menentukan model regresi linier berganda tersebut menjadi 22110 xxy
Matrik X dan vektor y untuk model ini adalah 1 2 50 9,95 X = 1 8 110 y = 24,45 . . . . . . . . 1 5 400 21,15 25 206 8294 725,82 X’X = 206 2396 77177 dan X’y = 8008,37 8294 77177 3531848 274811,31 Estimator kuadrat terkecil didapat dari persamaan (4.5) sebagai berikut
0
2,26379143
1
= 2,74426964
2
0,01252781 Selanjutnya, perkiraan model regresi tersebut adalah
y = 2,26379 + 2,74427x1 + 0,01253x2
4.2 Pengujian Hipotesis dalam Regresi Linier Berganda
Dalam masalah-masalah regresi linier berganda, pengujian hipotesis tertentu
mengenai parameter model berguna dalam mengukur ketepatan model.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 39
4.2.1 Pengujian untuk Nyata Regresi
Pengujian untuk nyata regresi adalah sebuah pengujian untuk menentukan apakah
ada hubungan linier antara variabel tidak bebas y dan variabel bebas x1, x2, …, xk.
Pendekatan hipotesisnya adalah
H0 : 0...21 k
H1 : j ≠ 0 untuk paling sedikit satu j
Penolakan H0 menyatakan bahwa paling sedikit satu variabel bebas x1, x2, …xk
memberikan kontribusi yang nyata pada model tersebut. Prosedur pengujian ini seperti
ditampilkan pada tabel analisis varian untuk nyata regresi dalam regresi berganda di
bawah ini.
Tabel 4.2 Analisis Varian untuk Nyata Regresi dalam Regresi Berganda
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Regresi SSR K MSR MSR/MSE
Error (residual)
SSE n – k – 1 MSE
Total Syy n – 1
H0 ditolak jika F0 > F ,k,n-k-1
yXyySSE '''
Karena n
yi
yyn
yi
yS
n
in
i
n
iiyy
2
1
1
2
12 '
, kita dapat menulis kembali persamaan di
atas sebagai
n
y
yXn
y
yySS
n
ii
n
ii
E
2
1
2
1 '''
atau SSE = Syy - SSR
Selanjutnya, jumlah kuadrat regresi adalah
Diktat Kuliah Statistika Terapan 40
n
y
yXSS
n
ii
R
2
1''
(4.6)
jumlah kuadrat error adalah
yXyySSE ''' (4.7)
dan total jumlah kuadrat adalah
n
y
yyS
n
ii
yy
2
1'
(4.8)
Contoh 4.2
Kita akan menguji untuk nyata regresi yang digunakan data waktu pengiriman dari contoh
4.1.
n
y
yyS
n
ii
yy
2
1'
9447,6105
25
)82,725(9510,177.27
2
n
y
yXSS
n
ii
R
2
1''
7712,5990
25
)82,725(7775,062.27
2
SSE = Syy – SSR = 115,1735
Analisis varian ditunjukkan dalam Tabel 4.3. Untuk pengujian H0 : 021 , kita hitung
statistiknya
17,5722352,5
3856,29950
E
R
MS
MSF
Karena F0 > F0,05;2;22 = 3,44, kita menyimpulkan bahwa waktu pengiriman berhubungan
dengan volume pengiriman dan jaraknya.
Tabel 4.3 Pengujian Nyata Regresi untuk Contoh 4.2
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Regresi 5990,7712 2 2995,3856 572,17
Error (residual)
115,1735 22 5,2352
Total 6105,9447 24
Diktat Kuliah Statistika Terapan 41
4.2.2 Pengujian Koefisien-koefisien Regresi Secara Individual
Pengujian hipotesis untuk koefisien regresi secara individu berguna dalam
menentukan nilai setiap variable-variabel bebas dalam model regresi. Sebagai contoh,
model tersebut mungkin lebih efektif dengan menambah variabel-variabel atau
menghilangkan satu atau lebih dari variabel-variabel yang telah disiapkan dalam model
tersebut. Penambahan sebuah variabel pada sebuah model regresi selalu menyebabkan
jumlah kuadrat untuk regresi menjadi bertambah dan jumlah kuadrat error menjadi
berkurang. Kita harus memutuskan apakah penambahan jumlah kuadrat regresi tersebut
cukup untuk menjamin penggunaan variabel tambahan tersebut dalam model.
Selanjutnya, penambahan sebuah variable yang tidak penting pada model tersebut dapat
menambah rata-rata kuadrat error karena menurunkan kegunaan model tersebut.
Hipotesis untuk pengujian nyata beberapa koefisien regresi secara individu adalah
H0 : j = 0
H1 : j ≠ 0
Jika H0 : j = 0 diterima, maka ini menunjukkan bahwa xi dapat dihilangkan dari model
tersebut. Pengujian statistik untuk pengujian ini adalah
jj
jo
C
t2
(4.9)
dimana Cjj adalah elemen diagonal (X’X)-1 yang berhubungan dengan
j . Hipotesis nol
ditolak jika │t0│ > 1,2/ knt . Untuk menggambarkan penggunaan pengujian ini, perhatikan
data dalam contoh 4.1, dan misalkan kita ingin menguji
H0 : 2 = 0
H1 : 2 ≠ 0
Elemen diagonal utama (X’X)-1 yang bersesuaian untuk
2 adalah C22 = 0,0000015,
sehingga statistik t menjadi
4767,4)0000015,0)(2352,5(
01253,02
jj
jo
C
t
Diktat Kuliah Statistika Terapan 42
Karena t0,025;22 = 2,074, kita menolak H0 : 2 = 0 dan disimpulkan bahwa variabel x2 (jarak)
memberi sumbangan yang nyata pada model tersebut.
4.3 Regresi Polinomial
Model linier Xy adalah sebuah model umum yang dapat digunakan untuk
mencocokkan beberapa hubungan linier dengan parameter yang tidak diketahui. Ini
termasuk kelompok penting model-model regresi polinomial. Sebagai contoh, polinomial
berderajat dua pada satu variabel
21110 xxy (4.10)
dan polinomial berderajat dua pada dua variabel
21122
2222
11122110 xxxXxxy (4.11)
adalah model regresi linier.
Model regresi polinomial digunakan secara luas dalam masalah dimana responnya
curvilinier, karena prinsip-prinsip umum regresi berganda dapat diaplikasikan. Contoh
berikut menggambarkan beberapa jenis analisis yang dapat dilakukan.
Contoh 4.3
Data yang ditunjukkan di bawah ini menunjukkan rata-rata biaya per unit untuk sebuah
produk (y) dan sejumlah produk (x). Diagram pencarnya ditunjukkan dalam Gambar 4.1,
yang menyatakan bahwa pendekatan yang tepat untuk diagram pencar tersebut adalah
sebuah polinomial berdimensi dua.
y 1,81 1,70 1,65 1,55 1,48 1,40 1,30 1,26 1,24 1,21 1,20 1,18
x 20 25 30 35 40 50 60 65 70 75 80 90
Diktat Kuliah Statistika Terapan 43
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
10 20 30 40 50 60 70 80 90
x
y
Gambar 4.1 Data untuk Contoh 4.3
Kita akan mencocokkan model tersebut
21110 xxy
Vektor y, matriks X dan vektor adalah sebagai berikut:
1,18 1 20 400 1,70 1 25 625 1,65 1 30 900 0
y = 1,55 X = 1 35 1225 = 1
1,48 1 40 1600 11 1,40 1 50 2500 1,30 1 60 3600 1,26 1 65 4225 1,24 1 70 4900 1,21 1 75 5625 1,20 1 80 6400 1,18 1 90 8100 Dengan menyelesaikan persamaan normal X’X =X’y memberikan perkiraan model
200012507,002252236,019826629,2 xxy
Pengujian untuk nyata regresi ditunjukkan dalam Tabel 4.4. Karena F0 = 2171,07 nyata
pada 1 persen, kita menyimpulkan bahwa paling sedikit satu parameter 1 dan 11 tidak
nol
Diktat Kuliah Statistika Terapan 44
Tabel 4.4 Pengujian Nyata Regresi untuk Contoh 4.3
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Regresi 0,5254 2 0,262700 2171,07
Error (residual)
0,0011 9 0,000121
Total 0,5265 11
4.4 Soal Latihan
4-1. Konversi reaksi esterifikasi asam lemak dipengaruhi oleh temperatur (x1) dan
waktu reaksi (x2). Datanya ditunjukkan dalam tabel berikut.
y x1 x2
60,5 40 60 62,9 40 60 75,6 50 90 72,9 50 90 80,4 55 100 83,7 60 120 84,5 65 150 90,8 65 150
(a) Buatlah sebuah model regresi berganda untuk data tersebut
(b) Ujilah untuk nyata regresi dan ketidakcocokan
4-2. Perhatikan data yang ditunjukkan dalam tabel berikut.
y x1 x2 x3 x4
45,16 8 3 2 5 43,20 7 5 1 6 40,75 4 8 2 10 46,53 9 2 1 4 63,05 15 2 4 3 54,45 12 4 3 2 86,89 18 10 5 1 41,68 5 7 2 4 63,31 10 10 3 1 38,26 8 2 3 2 31,88 7 1 2 1 29,14 2 4 3 8 56,73 6 12 1 7 29,08 4 3 4 5
Diktat Kuliah Statistika Terapan 45
(a) Buatlah sebuah model regresi berganda untuk data ini
(b) Ujilah untuk nyata regresi
4-3. Perhatikan data yang ditunjukkan dalam tabel berikut.
y x1 x2
2,60 1,0 1,0 2,40 1,0 1,0 17,32 1,5 4,0 15,60 1,5 4,0 16,12 1,5 4,0 5,36 0,5 2,0 6,19 1,5 2,0 10,17 0,5 3,0 2,62 1,0 1,5 2,98 0,5 1,5 6,92 1,0 2,5 7,06 0,5 2,5
(a) Buatlah model polinomial susunan kedua
21122
2222
11122110 xxxXxxy
(b) Ujilah untuk nyata regresi dan ketidakcocokan
(c) Ujilah hipotesis Ho : 0122211
4-4. Perhatikan data berikut:
Y -4,42 -1,39 -1,55 -1,89 -2,43 -3,15 -4,05
x 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 2,50
(a) Buatlah sebuah polynomial susunan kedua untuk data tersebut
(b) Ujilah untuk nyata regresi
(c) Ujilah hipotesis bahwa 011
Diktat Kuliah Statistika Terapan 46
BAB 5 RANCANGAN PERCOBAAN
Tujuan Belajar
Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan mampu: melakukan analisis varian, uji rata-rata dan menentukan komponen varian pada desain acak
sempurna melakukan analisis varian pada desain blok acak menentukan model dan Anava pada desain eksperimen faktorial menentukan model dan Anava pada desain eksperimen faktorial 2k menentukan model dan Anava pada desain eksperimen faktorial 3k
Bila merancang sebuah percobaan, kita harus ingat dua dasar pertimbangan, yaitu
ketepatan statistik dan biaya. Ketepatan statistik mencakup pemilihan yang layak dari
tanggapan yang diukur, penentuan jumlah faktor yang mempengaruhi respon, pemilihan
himpunan bagian faktor ini dipelajari dalam percobaan yang telah direncanakan, jumlah
waktu percobaan harus dapat diulang dan bentuk analisis yang diperlukan.
Biaya sering ditekankan, tapi sama pentingnya. Untuk meminimumkan biaya suatu
penyelidikan percobaan, biasanya dipilih rancangan percobaan yang sesederhana
mungkin dan menggunakan besar sampel yang sekecil mungkin, sehingga konsisten dan
hasil memuaskan.
5.1 Percobaan-percobaan Faktorial
Percobaan faktorial digunakan untuk mempelajari secara serentak pengaruh dua
atau lebih faktor. Dengan sebuah percobaan faktorial, setiap percobaan lengkap atau
pengulangan sebuah percobaan yang mungkin dikombinasikan dengan tingkat faktor
yang diselidiki. Jika terdapat a tingkat faktor A dan b tingkat faktor B, maka setiap
pengulangan berisi seluruh kombinasi perlakuan ab.
Pengaruh sebuah faktor didefinisikan sebagai perubahan dalam respon yang
dihasilkan oleh sebuah perubahan dalam tingkat faktor tersebut. Dalam beberapa
percobaan, perbedaan dalam respon antara tingkat satu faktor tidak sama pada semua
tingkat faktor lainnya. Bila ini terjadi, terdapat sebuah interaksi antara faktor-faktor
tersebut.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 47
5.2 Percobaan Faktorial Dua Faktor
Jenis yang paling sederhana dari percobaan faktorial mencakup hanya dua faktor,
misal A dan B. Ada a tingkatan faktor A dan b tingkatan faktor B. Susunan data untuk
sebuah rancangan faktorial dua faktor disajikan pada Tabel 5.1. Perhatikan bahwa
terdapat n pengulangan-pengulangan percobaan dan setiap percobaan berisi seluruh
kombinasi perlakuan ab.
Tabel 5.1 Susunan Data untuk Rancangan Faktorial Dua Faktor
Faktor B
1 1 …… b
1
2
Faktor A
a
y111, y112, …. ,
y11n
y121, y122 ,…, y12n y1b1, y1b2 ,…,
y1bn
y211, y212 ,…,
y21n
y221, y222 ,…, y22n y2b1, y2b2 ,…,
y2bn
ya11, ya12 ,…,
ya1n
Ya21, ya22 ,…, ya2n Yab1, yab2 ,…,
yabn
Observasi dalam sel ke-ij dan dalam pengulangan ke-k dinotasikan dengan yijk. Dalam
pengumpulan data, abn observasi dapat dilakukan dalam susunan random.
Observasi dapat dijabarkan dengan model linier secara statistik
i = 1, 2, ….., a ijkijjiijky )( j = 1, 2, ….., b (5.1)
k = 1, 2, ….., n
dimana merupakan rata-rata pengaruh keseluruhan. i merupakan pengaruh tingkat
ke-i untuk faktor A, j merupakan pengaruh tingkat ke-j faktor B, ij)( merupakan
pengaruh interaksi antara A dan B, dan ijk merupakan komponen random error NID
(0, )2 . Seperti dengan percobaan faktor tunggal pada Bab 2, analisis varian akan
digunakan untuk menguji hipotesis ini. Karena terdapat dua faktor yang diteliti, prosedur
yang digunakan dikenal sebagai klasifikasi analisis varian dua arah.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 48
5.2.1 Analisis Secara Statistik pada Model Efek Tetap
Misalkan faktor A dan B tetap, maka a tingkat faktor A dan b tingkat faktor B secara
khusus dipilih oleh pelaku percobaan, dan kesimpulan dibatasi hanya untuk tingkat ini.
Dalam model ini, biasanya mendefinisikan pengaruh i , j , ij)( sebagai deviasi rata-
rata. Untuk menguji H0 : 0i (tidak ada pengaruh faktor baris), H0 : 0j (tidak ada
pengaruh faktor kolom) dan H0 : 0)( ij (tidak ada pengaruh interaksi), kita akan
membagi rata-rata kuadrat yang bersesuaian dengan rata-rata kuadrat error. Setiap rasio
ini akan mengikuti distribusi F dengan derajat kebebasan masing-masing faktor baris,
kolom dan interaksi dengan derajat kebebasan error.
Analisis varian untuk klasifikasi dua arah model efek tetap disajikan pada Tabel
5.2.
Tabel 5.2 Tabel Analisis Varian untuk Klasifikasi Dua Arah, Model Efek Tetap
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat F0
A perlakuan
SSA
a – 1 1
a
SSMS A
A E
A
MS
MSF 0
B perlakuan
SSB
b – 1 1
b
SSMS B
B E
B
MS
MSF 0
Interaksi
SSAB
(a-1)(b-1) )1)(1(
ba
SSMS AB
AB E
AB
MS
MSF 0
Error
SSE
ab(n-1) )1(
nab
SSMS E
E
Total SST abn-1
Total jumlah kuadrat dihitung dari
a
i
b
j
n
kijkT abn
yySS
1 1 1
22 ...
(5.2)
Jumlah kuadrat untuk pengaruh utama yaitu
abn
y
bn
ySS
a
i
iA
2
1
2.. ...
(5.3)
Diktat Kuliah Statistika Terapan 49
dan abn
y
an
ySS
b
j
jB
2
1
2.. ...
(5.4)
SSAB dihitung dua tahap. Pertama, kita hitung jumlah kuadrat antara total sel ab, dikatakan
‘sub-total’.
abn
y
n
ySS
a
i
b
j
ijsubtotal
2
1 1
2. ...
(5.5)
Jumlah kuadrat ini juga mencakup SSA dan SSB. Maka langkah kedua menghitung SSAB
sebagai
BAsubtotalAB SSSSSSSS (5.6)
Jumlah kuadrat error adalah
BAABTE SSSSSSSSSS (5.7a)
atau subtotalTE SSSSSS (5.7b)
Bila kedua faktor tetap, perbandingan antara rata-rata secara individu dari salah
satu faktor dapat dibuat dengan menggunakan pengujian range berganda Duncan. Bila
tidak terdapat interaksi, perbandingan ini dapat dibuat dengan menggunakan salah satu
rata-rata baris ..iy
atau rata-rata kolom .. jy
. Tetapi bila interaksi nyata, perbandingan
antara rata-rata satu faktor (misal A) dapat menjadi samar dengan interaksi AB. Dalam hal
ini, pengujian range berganda Duncan dapat digunakan untuk rata-rata faktor A, dengan
faktor B pada sebuah tingkat tertentu.
Contoh 5.1
Sebuah percobaan dilakukan untuk menentukan kemampuan tiga bahan kimia yang
berbeda untuk mencegah karat besi. Bahan kimia tersebut dapat digunakan dengan
mencelupkan atau menyemprotkan. Tiga contoh besi yang bersih diperlakukan dengan
setiap bahan kimia tersebut, dengan menggunakan setiap metode aplikasi. Besi tersebut
kemudian dicelupkan ke dalam cairan garam, dan jumlah karat selama 10 hari dicatat.
Datanya digambarkan dalam Tabel 5.3. Bilangan yang dilingkari dalam sel adalah total sel
yij.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 50
Tabel 5.3 Data untuk Contoh 5.1
Bahan Kimia
Metode Aplikasi Pencelupan Penyemprotan yi..
1 4,0; 4,5; 4,3 12,8 5,4; 4,9; 5,6 15,9 28,7
2 5,6; 4,9; 5,4 15,9 5,8; 6,1; 6,3 18,2 34,1
3 3,8; 3,7; 4,0 11,5 5,5; 5,0; 5,0 15,5 27,0
y.j. 40,2 49,6 89,8 = y…
Jumlah kuadrat dihitung sebagai berikut:
a
i
b
j
n
kijkT abn
yySS
1 1 1
22 ...
72,1018
)8,89()0,5(....)5,4()0,4(
2222
abn
y
bn
ySS
a
i
itipe
2
1
2.. ...
58,418
)8,89(
6
)0,27()1,34()7,28( 2222
abn
y
an
ySS
b
j
jmetode
2
1
2.. ...
91,418
)8,89(
9
)6,49()2,40( 222
metodetipe
a
i
b
j
ijeraksi SSSS
abn
y
n
ySS
2
1 1
2.
int
...
24,091,458,418
)8,89(
3
)5,15()2,18()9,15()5,11()9,15()8,12( 2222222
99,024,091,458,472,10 BAABTE SSSSSSSSSS
Analisis varian diringkas dalam Tabel 5.4.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 51
Tabel 5.4 Analisis Varian untuk Contoh 5.1
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Bahan kimia 4,58 2 2,29 28,63
Metode aplikasi
4,91 1 4,91 61,38
Interaksi 0,24 2 0,12 1,5
Error 0,99 12 0,08
Total 10,72 17
Karena F0,05;2;12 = 3,89 dan F0,05;1;12 = 4,75, kita menyimpulkan bahwa pengaruh utama
bahan kimia dan metode aplikasi mempengaruhi pembentukan karat. Karena 1,5 <
F0,05;2;12, maka tidak terdapat interaksi antara faktor-faktor ini.
5.2.2 Analisis Secara Statistik pada Model Efek Random
Pada model efek random, tingkatan kedua faktor dipilih secara random dari
populasi dengan tingkat faktor yang besar, dan ingin memperluas kesimpulan tentang
pengambilan sampel populasi tingkat faktor. Observasi disajikan dengan model
i = 1, 2, ….., a ijkijjiijky )( j = 1, 2, ….., b (5.8)
k = 1, 2, ….., n
dimana parameter i , j , ij)( dan ijk adalah variabel random. Varian setiap observasi
adalah
2222)( ijkyV
dan 2
, 2
,2
dan 2 disebut komponen varian. Hipotesis-hipotesis yang menarik
adalah dalam menguji H0 : 2
= 0, H0 : 2
= 0, dan H0 : 2
= 0.
Dasar analisis varian tetap tidak berubah. Artinya, SSA, SSB, SSAB, SST dan SSE
semua dihitung seperti dalam kasus efek tetap. Untuk membentuk pengujian statistik, kita
harus menguji ekspektasi rata-rata kuadrat, yaitu:
222)( bnnMSE A
222)( annMSE B (5.9)
22)( nMSE AB
Diktat Kuliah Statistika Terapan 52
dan 2)( EMSE
Perhatikan ekspektasi rata-rata kuadrat bahwa pengujian statistik yang cocok
untuk H0 : 2
= 0 adalah
E
AB
MS
MSF 0 (5.10)
Rasio F0 berdistribusi F ;(a-1)(b-1);ab(n-1). Dengan cara yang sama untuk menguji H0 : 2
= 0,
digunakan
AB
A
MS
MSF 0 (5.11)
yang berdistribusi F ;(a-1);(a-1)(b-1) dan untuk menguji H0 : 2
= 0, menggunakan
AB
B
MS
MSF 0 (5.12)
yang berdistribusi F ;(b-1);(a-1)(b-1). Analisis varian untuk model efek random ditampilkan
pada Tabel 5.5
Tabel 5.5 Analisis Varian untuk Model Efek Random
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat F0
A perlakuan
SSA
a – 1 1
a
SSMS A
A AB
A
MS
MSF 0
B perlakuan
SSB
b – 1 1
b
SSMS B
B AB
B
MS
MSF 0
Interaksi
SSAB
(a-1)(b-1) )1)(1(
ba
SSMS AB
AB E
AB
MS
MSF 0
Error
SSE
ab(n-1) )1(
nab
SSMS E
E
Total SST abn-1
Komponen varian dapat diperkirakan dengan menyamakan rata-rata kuadrat
observasi untuk nilai ekspektasinya dan penyelesaian untuk komponen varian. Ini
menghasilkan
Diktat Kuliah Statistika Terapan 53
EMS 2
n
MSMS EAB
2
an
MSMS ABB
2
bn
MSMS ABA
2 (5.13)
Contoh 5.2
Misalkan bahwa dalam Contoh 5.1, sejumlah besar bahan kimia dapat digunakan untuk
mencegah karat, dan beberapa metode aplikasi dapat digunakan. Tiga bahan kimia
(katakan 1, 2 dan 3) telah dipilih secara random seperti pada dua metode aplikasi.
Analisis varian untuk model efek random ditampilkan pada Tabel 5.6.
Tabel 5.6 Analisis Varian untuk Contoh 5.2
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Bahan kimia 4,58 2 2,29 19,08
Metode aplikasi
4,91 1 4,91 40,92
Interaksi 0,24 2 0,12 1,5
Error 0,99 12 0,08
Total 10,72 17
Karena F0,05;2;12 = 3,89, kita menyimpulkan bahwa interaksi tidak nyata. Juga karena
F0,05;2;2 = 19,0 dan F0,05;1;2 = 18,5, kita menyimpulkan bahwa bahan kimia dan metode
aplikasi secara nyata mempengaruhi pembentukan karat. Komponen varian dapat
diperkirakan menggunakan persamaan (5.13) sebagai berikut:
08,02
EMS
0133,03
08,012,02
n
MSMS EAB
53,09
12,091,42
an
MSMS ABB
Diktat Kuliah Statistika Terapan 54
36,06
12,029,22
bn
MSMS ABA
5.2.3 Analisis Secara Statistik pada Model Campuran
Misalkan bahwa satu faktor A adalah tetap, dan yang lain, B adalah random. Ini
disebut analisis varian model campuran. Model liniernya adalah
i = 1, 2, ….., a ijkijjiijky )( j = 1, 2, ….., b (5.14)
k = 1, 2, ….., n
Dalam model ini, i merupakan efek tetap, j merupakan sebuah efek random, susunan
interaksi ij)( merupakan sebuah efek random dan ijk merupakan error random.
Pengujian statistik yang cocok untuk menguji H0 : i = 0 adalah
AB
A
MS
MSF 0 (5.15)
yang berdistribusi F ;(a-1);(a-1)(b-1). Untuk menguji H0 : 02 , pengujian statistiknya
adalah
E
B
MS
MSF 0 (5.16)
yang berdistribusi F ;(b-1);ab(n-1). Akhirnya untuk menguji H0 = 02 kita dapat
menggunakan
E
AB
MS
MSF 0 (5.17)
yang berdistribusi F ;(a-1)(b-1);ab(n-1).
Komponen varian 2
, 2
, dan 2 digunakan persamaan:
EMS 2
n
MSMS EAB
2 (5.18)
an
MSMS EB
2
Tabel 5.7 di bawah ini meringkas analisis varian untuk model campuran dua faktor.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 55
Tabel 5.7 Analisis Varian untuk Model Campuran Dua Faktor
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat F0
A perlakuan
SSA
a – 1 1
a
SSMS A
A AB
A
MS
MSF 0
B perlakuan
SSB
b – 1 1
b
SSMS B
B E
B
MS
MSF 0
Interaksi
SSAB
(a-1)(b-1) )1)(1(
ba
SSMS AB
AB E
AB
MS
MSF 0
Error
SSE
ab(n-1) )1(
nab
SSMS E
E
Total SST abn-1
5.3 Percobaan Faktorial Umum
Banyak percobaan mencakup lebih dari dua faktor. Dalam bagian ini kita
perhatikan kasus yang terdapat a tingkat faktor A, b tingkat faktor B, c tingkat faktor C dan
seterusnya, disusun dalam percobaan factoria. Secara umum, akan terdapat abc ..n total
observasi, jika terdapat n pengulangan dari percobaan secara lengkap.
Sebagai contoh, perhatikan model tiga faktor analisis varian
ijklijkjkikijkjiijkly )()()()(
Dengan asumsi A, B dan C adalah tetap, analisis varian ditunjukkan dalam Tabel
5.8. Perhatikan bahwa disana harus ada paling sedikit dua pengulangan (n ≥ 2) untuk
mendapatkan jumlah kuadrat error.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 56
Tabel 5.8 Analisis Varian untuk Model Tiga Faktor Efek Tetap
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat F0
A
SSA
a – 1 1
a
SSMS A
A E
A
MS
MSF 0
B
SSB
b – 1 1
b
SSMS B
B E
B
MS
MSF 0
C
SSC
c – 1 1
c
SSMS C
C E
C
MS
MSF 0
AB
SSAB
(a-1)(b-1) )1)(1(
ba
SSMS AB
AB E
AB
MS
MSF 0
AC
SSAC
(a-1)(c-1) )1)(1(
ca
SSMS AC
AB E
AC
MS
MSF 0
BC
SSBC
(b-1)(c-1) )1)(1(
cb
SSMS BC
BC E
BC
MS
MSF 0
ABC
SSABC
(a-1)(b-1)(c-1) )1)(1)(1(
cba
SSMS ABC
ABC E
ABC
MS
MSF 0
Error
SSE
abc(n-1) )1(
nab
SSMS E
E
Total SST abcn-1
Total jumlah kuadrat adalah
a
i
b
j
c
k
n
lijklT abcn
yySS
1 1 1 1
22 ....
(5.20)
Jumlah kuadrat untuk pengaruh utama dihitung sebagai berikut:
abcn
y
bcn
ySS
a
i
iA
2
1
.. ....2
(5.21)
abcn
y
acn
ySS
b
j
jB
2
1
.. ....2
(5.22)
abcn
y
abn
ySS
c
k
kC
2
1
.. ....2
(5.23)
Untuk menghitung jumlah kuadrat interaksi dua faktor, total untuk sel AXB, AXC
dan BXC dibutuhkan. Total sel ini sangat menolong untuk meringkas tabel data asli ke
dalam tiga tabel dua arah agar dapat menghitung total ini. Jumlah kuadratnya adalah
Diktat Kuliah Statistika Terapan 57
BAABsubtotalBA
a
i
b
j
ijAB SSSSSSSSSS
abcn
y
cn
ySS
)(
2
1 1
2.. ....
(5.24)
CAACsubtotalCA
a
i
c
k
kiAC SSSSSSSSSS
abcn
y
bn
ySS
)(
2
1 1
2.. ....
(5.25)
CBBCsubtotalCB
b
j
c
k
jkBC SSSSSSSSSS
abcn
y
an
ySS
)(
2
1 1
2.. ....
(5.26)
Jumlah kuadrat interaksi tiga faktor dihitung dari total sel tiga arah {yijk} sebagai
BCACABCBA
a
i
b
j
c
k
ijkABC SSSSSSSSSSSS
abcn
y
n
ySS
2
1 1 1
2. ....
(5.27)
BCACABCBAABCsubtotal SSSSSSSSSSSSSS )(
Jumlah kuadrat error didapat dengan pengurangan jumlah kuadrat pengaruh utama dan
interaksi total jumlah kuadrat, yaitu
)( ABCsubtotalTE SSSSSS (5.28)
Contoh 5.3
Data yang ditampilkan pada Tabel 5.9 berikut menyajikan hasil proses kimia dengan
beberapa penentuan kondisi operasi. Analisislah data tersebut.
Tabel 5.9 Data Percobaan untuk Contoh 5.3
Tekanan
(A)
Nisbah Molar Umpan (B)
yi… 2 mol/mol 6 mol/mol
Temperatur (C) Temperatur (C)
60oC 100oC 60oC 100oC
1 atm 9 7 16 11 10 21 9 11 20 10 8 18 75
5 atm 10 12 22 10 13 23 12 15 27 16 14 30 102
BXC, y.jk. 38 44 47 48 177=y….
Diktat Kuliah Statistika Terapan 58
Total AxB, yij..
B
A 2 6
1
5
37
45
38
57
y.j.. 82 95
Total AxC, yij..
C
A 60 100
1
5
36
49
39
53
y.j.. 85 92
Analisis varian diringkas pada Tabel 5.10. Jumlah kuadrat dihitung sebagai berikut:
9375,9216
)177(2051
.... 2
1 1 1 1
22
a
i
b
j
c
k
n
lijklT abcn
yySS
5625,4516
)177(
8
)102()75(.... 2222
1
..2
abcn
y
bcn
ySS
a
i
iA
5625,1516
)177(
8
)95()82(.... 2222
1
..2
abcn
y
acn
ySS
b
j
jB
0625,316
)177(
8
)92()85(.... 2222
1
..2
abcn
y
abn
ySS
c
k
kC
5625,75625,105625,4516
177
4
57453837.... 222222
1 1
2..
BA
a
i
b
j
ijAB SSSS
abcn
y
cn
ySS
0625,00625,35625,4516
177
4
53493936.... 222222
1 1
2..
CA
a
i
c
k
kiAC SSSS
abcn
y
bn
ySS
5625,10625,35625,1016
177
4
48474438.... 222222
1 1
2..
CB
b
j
c
k
jkBC SSSS
abcn
y
an
ySS
Diktat Kuliah Statistika Terapan 59
BCACABCBA
a
i
b
j
c
k
ijkABC SSSSSSSSSSSS
abcn
y
n
ySS
2
1 1 1
2. ....
0625,55625,10625,0
5625,70625,35625,105625,452
3027232218202116 22222222
50,194375,739375,92)( ABCsubtotalTE SSSSSS
Tabel 5.10 Analisis Varian untuk Contoh 5.3
Sumber Varian Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat
F0
Tekanan (A) 45,5625 1 45,5625 18,69a
Nisbah Molar (B) 10,5625 1 10,5625 4,33b
Temperatur (C) 3,0625 1 3,0625 1,26
AB 7,5625 1 7,5625 3,10
AC 0,0625 1 0,0625 0,03
BC 1,5625 1 1,5625 0,64
ABC 5,0625 1 5,0625 2,08
Error 19,5000 8 2,4375
Total 92,9375 15 a Nyata pada 1 persen b Nyata pada 10 persen
5.4 Rancangan Blok Randomisasi Lengkap
Rancangan blok randomisasi merupakan sebuah rancangan untuk menyelidiki
pengaruh satu atau lebih faktor bila seluruh percobaan tidak dapat dilakukan dengan
kondisi yang homogen. Sebagai contoh, misalkan kita ingin membandingkan pengaruh
empat bahan kimia yang berbeda pada kekuatan sebuah kain tertentu. Ini diketahui bahwa
pengaruh bahan kimia tersebut berbeda jenisnya dari satu kain dengan yang lainnya.
Dalam contoh ini, kita hanya punya satu faktor, yaitu jenis bahan kimia. Maka kita dapat
memilih tiga potong kain dan membandingkan empat bahan kimia di dalam kondisi yang
homogen diberikan dengan setiap potong kain.
Misalkan bahwa satu faktor dengan a tingkat diteliti, dan percobaan dilakukan
dalam b blok, observasi dapat disajikan dengan model linier secara statistik
Diktat Kuliah Statistika Terapan 60
i = 1, 2, ….., a ijjiijy j = 1, 2, ….., b (5.29)
dimana merupakan rata-rata keseluruhan, i adalah pengaruh perlakuan ke-i, j adalah
pengaruh blok ke-j, dan ij adalah error random NID(0, 2 ). Perlakuan dan blok adalah
faktor tetap. Selain itu, pengaruh perlakuan blok ditentukan sebagai deviasi rata-rata
keseluruhan. Kita tertarik untuk menguji pengaruh perlakuan, maka
H0 : 1 = 2 = …… = a = 0
H1 : i ≠ 0 untuk sedikitnya satu i
Analisis varian untuk rancangan blok randomisasi lengkap ditampilkan pada Tabel 5.11.
Tabel 5.11 Analisis Varian untuk Rancangan Blok Randomisasi Lengkap
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat F0
Perlakuan
SSperlakuan
a – 1
1a
SS perlakuan E
perlakuan
MS
MSF 0
Blok
SSBlok
b – 1 1b
SSBlok
Error
SSE
(a-1)(b-1) )1)(1( ba
SSE
Total SST ab-1
Jumlah kuadrat dihitung sebagai berikut:
a
i
b
jijT ab
yySS
1 1
22 ..
(5.30)
ab
y
b
ySS
a
i
iperlakuan
2
1
2. ..
(5.31)
ab
y
a
ySS
b
j
jblok
2
1
2. ..
(5.32)
blokperlakuanTE SSSSSSSS (5.33)
Diktat Kuliah Statistika Terapan 61
Contoh 5.4
Suatu percobaan telah dilakukan untuk mempelajari pengaruh empat bahan kimia yang
berbeda pada kekuatan sebuah jenis khusus dari pabrik. Tiga contoh kain telah dipilih,
dan rancangan blok randomisasi telah diterapkan dengan menguji empat bahan kimia
dalam susunan random pada setiap contoh kain. Datanya ditampilkan pada Tabel 5.12.
Tabel 5.12 Data untuk Contoh 5.4
Bahan Kimia
Contoh Pabrik 1 2 3 yi.
1 1,3 1,6 0,5 3,4
2 2,2 2,4 0,4 5,0
3 1,8 1,7 0,1 3,6
4 3,9 4,4 2,2 10,5
y.j 9,2 10,1 3,2 y.. =22,5
Jumlah kuadrat dihitung sebagai berikut:
62,1812
5,2281,60
.. 2
1 1
22
a
i
b
jijT ab
yySS
07,1112
5,22
3
5,06,354,3.. 222222
1
2.
ab
y
b
ySS
a
i
iperlakuan
03,712
5,22
4
2,31,102,9.. 22222
1
2.
ab
y
a
ySS
b
j
jblok
52,003,707,1162,18 blokperlakuanTE SSSSSSSS
Analisis variannya ditampilkan pada Tabel 5.13
Tabel 5.13 Analisis Varian untuk Contoh 5.4
Sumber Varian
Jumlah Kuadrat
Derajat Kebebasan
Rata-rata Kuadrat F0
Bahan kimia 11,07 3 3,69 41,00a
Pabrik 7,03 2 3,52
Error 0,52 6 0,09
Total 18,62 11 a Nyata pada 1 persen
Diktat Kuliah Statistika Terapan 62
Jika diperhatikan persamaan (5.29), terlihat bahwa rancangan blok randomisasi
lengkap adalah sangat sama dengan model analisis varian dua arah, tapi tidak ada
interaksi. Setiap perlakuan muncul hanya sekali dalam setiap blok.
5.5 Soal Latihan
5-1. Data berikut menyajikan hasil proses reaksi kimia dengan beberapa penentuan
kondisi operasi (temperatur dan tekanan). Analisislah data tersebut dan gambarkan
kesimpulan yang cocok.
Temperatur (oC)
Tekanan (atm) 1 2 3
100 40,4 40,7 40,2 40,2 40,6 40,4
150 40,1 40,5 40,0 40,3 40,6 40,1
200 40,5 40,8 40,3 40,7 40,9 40,1
5-2. Seorang peneliti ingin mempelajari pengaruh kecepatan pengadukan dan ukuran biji
jarak pada proses ekstraksi minyak jarak dari bijinya. Ia memilih tiga kecepatan
pengadukan 200, 300 dan 400 rpm, serta secara random dipilih 2 ukuran biji jarak dari
beberapa yang tersedia. Analisislah data tersebut dan buatlah kesimpulannya. Perkirakan
komponen variannya.
Ukuran biji Kecepatan pengadukan (rpm) 200 300 400
1 74 73 78 64 61 85 50 44 92
2 92 98 66 86 73 45 68 88 85
5-3. Analisislah data yang ditunjukkan dalam tabel berikut, dengan asumsi bahwa kedua
faktor baris dan faktor kolom tetap.
Diktat Kuliah Statistika Terapan 63
Faktor Baris
Faktor Kolom 1 2 3
1 580 1090 1392 570 1085 1386
2 530 1070 1328 579 1000 1299
3 546 1045 1355 599 1066 1368
5-4. Persentase konsentrasi kekerasan kayu dalam bubur kayu, kebebasan dan
waktu memasak bubur kayu sedang dipelajari pengaruhnya pada kekuatan kertas.
Analisislah data yang ditunjukkan dalam tabel di atas, dengan asumsi bahwa
ketiga faktor tetap.
Konsentrasi
Kekerasan
Kayu (%)
Waktu Memasak
1,5 jam 2 jam
Kebebasan Kebebasan
400 500 650 400 500 650
10 96,6 97,7 99,4
96,0 96,0 99,8
98,4 99,6 100,6
98,6 100,4 100,9
15 98,5 96,0 98,4
97,2 96,9 97,6
97,5 98,7 99,6
98,1 98,0 99,0
20 97,5 95,6 97,2
96,6 96,2 98,1
97,6 97,0 98,5
98,4 97,8 99,8
Diktat Kuliah Statistika Terapan 64
DAFTAR PUSTAKA Hines, W.W., Montgomery, D.C., 1990, “Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen”, Alih Bahasa oleh Rudiansyah, Edisi Kedua, UI Press Hanafiah, K.A., 1991, “Rancangan Percobaan”, Edisi Ketiga, Raja Grafindo Persada, Jakarta Petersen, R.G., 1985, “Design and Analysis of Exsperiment”, Marcel Dekker Inc., New York Sudjana, 1995, “Desain dan Analisis Eksperimen”, Edisi IV, Tarsito, Bandung
Diktat Kuliah Statistika Terapan 65
Tabel I Distribusi Normal Standar Kumulatif
Diktat Kuliah Statistika Terapan 66
Tabel I Distribusi Normal Standar Kumulatif (lanjutan)
Diktat Kuliah Statistika Terapan 67
Tabel II Persentase Titik Distribusi X2
Diktat Kuliah Statistika Terapan 68
Tabel III Persentase Titik Distribusi t
Diktat Kuliah Statistika Terapan 69
Tabel IV Persentase Titik Distribusi F
Diktat Kuliah Statistika Terapan 70
Tabel IV Persentase Titik Distribusi F (Lanjutan)
Diktat Kuliah Statistika Terapan 71
Tabel IV Persentase Titik Distribusi F (Lanjutan)
Diktat Kuliah Statistika Terapan 72
Tabel IV Persentase Titik Distribusi F (Lanjutan)
Diktat Kuliah Statistika Terapan 73
Tabel IV Persentase Titik Distribusi F (Lanjutan)
Diktat Kuliah Statistika Terapan 74
Tabel V Range Nyata untuk Pengujian Range Berganda Duncan
Diktat Kuliah Statistika Terapan 75
Tabel V Range Nyata untuk Pengujian Range Berganda Duncan (Lanjutan)
Diktat Kuliah Statistika Terapan 76