Dimensi Tiga(Proyeksi & Sudut)

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukanproyeksi dan besar sudut dalamruang dimensi tiga

Proyeksi Pada Bangun Ruang: proyeksi titik pada garis proyeksi titik pada bidang proyeksi garis pada bidang

Proyeksi titik pada garis

Dari titik Pditarik garis m garis kgaris m memotong k di Q,titik Q adalah hasil proyeksi titik P pada k

PQkm

Contoh

Diketahui kubus ABCD.EFGHTentukan proyeksititik A pada garis a. BC b.BDc. ET (T perpotongan AC dan BD).T

PembahasanProyeksi titik A padaa. BC adalah titik

b. BD adalah titik

c. ET adalah titik BTAA(AC ET)(AB BC)(AC BD)

Proyeksi Titik pada BidangDari titik Pdi luar bidang Hditarik garis g H. Garis g menembus bidang H di titik P.Titik P adalahproyeksi titik P di bidang HPPg

Contoh

Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah.b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah.

Pembahasana. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah

b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah CE BDG(EA ABCD)APP

Proyeksi garis pada bidangProyeksi sebuah gariske sebuah bidangdapat diperoleh dengan memproyek-sikan titik-titik yangterletak pada garis ituke bidang.AAgJadi proyeksi garis g pada bidang H adalah gBBg

Fakta-fakta1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis2. Jika garis h maka proyeksi garis h pada bidang berupa titik. 3. Jika garis g // bidang maka g yaitu proyeksi garis g pada dan sejajar garis g

Contoh 1

Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD adalah.b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah.

Pembahasan

a. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD berarti menentukan proyeksi titik E dan F pada bidang ABCD, yaitu titik A dan BJadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB

Pembahasanb. Proyeksi garis CG pada bidang BDG berarti menentukan proyeksi titik C dan titik G pada bidang BDG, yaitu titik P dan GJadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya?P6 cm

Panjang proyeksi CG pada BDG adalah panjang garis PG.

PG = .GR = .a6 = a6 = .66PRJadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 26 cm6 cm

Contoh 2Diketahui limasberaturanT.ABCDdengan panjang AB= 16 cm, TA = 18 cmPanjang proyeksi TApada bidang ABCDadalah.16 cm18 cm

PembahasanProyeksi TApada bidang ABCDadalah AT.Panjang AT= AC = .162 = 82 16 cm18 cmTJadi panjang proyeksi TA padabidang ABCD adalah 82 cm

Sudut Pada Bangun Ruang: Sudut antara dua garis Sudut antara garis dan bidang Sudut antara bidang dan bidang

Sudut antara Dua GarisYang dimaksud dengan besar sudut antara dua garis adalahbesar sudut terkecilyang dibentuk oleh keduagaris tersebut

km

ContohDiketahui kubus ABCD.EFGH Besar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BGb. AH dengan AF c. BE dengan DF

PembahasanBesar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BG = 900b. AH dengan AF = 600 ( AFH smss)c. BE dengan DF = 900 (BE DF)

Sudut antara Garis dan BidangSudut antara garis a dan bidang dilambangkan (a,)adalah sudut antaragaris a dan proyeksinya pada .Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan PQ = PQPP

Contoh 1Diketahui kubus ABCD.EFGHpanjang rusuk 6 cm. Gambarlah sudutantara garis BG dengan ACGE,6 cmKemudian hitunglah besar sudutnya!

PembahasanProyeksi garis BGpada bidang ACGEadalah garis KG(K = titik potong AC dan BD) 6 cmJadi (BG,ACGE) = (BG,KG) = BGKK

PembahasanBG = 62 cm BK = BD = .62 = 32 cm BKG siku-siku di K 6 cmsinBGK =Jadi, besar BGK = 300K

Contoh 2Diketahui kubus ABCD.EFGHpanjang rusuk 8 cm. 8 cmNilai tangens sudut antara garis CGdan bidang AFH adalah.

Pembahasantan(CG,AFH) = tan (PQ,AP) = tan APQ =

= 8 cmPQNilai tangens sudut antara garis CGdan bidang AFH adalah 2

Contoh 3Pada limassegiempat beraturan T.ABCD yang semuarusuknya sama panjang, sudut antara TA dan bidang ABCDadalah.

Pembahasan TA = TB = a cm AC = a2 (diagonal persegi) TAC = siku-siku samakakisudut antara TA dan bidang ABCDadalah sudut antara TA dan ACyang besarnya 450

Sudut antara Bidang dan BidangSudut antara bidang dan bidang adalah sudut antaragaris g dan h, dimanag (,) dan h (,).(,) garis potong bidang dan (,)gh

Contoh 1

Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Gambarlah sudut antara bidang BDG dengan ABCDb. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD!

Pembahasana. (BDG,ABCD) garis potong BDG dan ABCD BD garis pada ABCD yang BD AC garis pada BDG yang BD GPJadi (BDG,ABCD) = (GP,PC) =GPCP

Pembahasanb. sin(BDG,ABCD) = sin GPC = = = 6Jadi, sin(BDG,ABCD) = 6P

Contoh 2

Limas beraturan T.ABC, panjangrusuk alas 6 cm danpanjang rusuk tegak9 cm. Nilai sinus sudutantara bidang TABdengan bidang ABCadalah.

Pembahasan

sin(TAB,ABC) = sin(TP,PC) = sinTPCTC = 9 cm, BP = 3 cmPC = =PT = =

P3

Lihat TPC PT = 62, PC = 33Aturan cosinusTC2 = TP2 + PC2 2TP.TC.cosTPC81 = 72 + 27 2.62.33.cosTPC366.cosTPC = 99 81366.cosTPC = 18 cosTPC = = ABCT9 cmP623321

Lihat TPCcosP = Maka diperolehSin P =

Jadi sinus (TAB,ABC) = 126P

Contoh 3 Diketahui kubus ABCD.EFGH, pan- jang rusuk 4 cm Titik P dan Q berturut-turut di tengah-tengah AB dan AD. Sudut antara bidang FHQP dan bi-dang AFH adalah . Nilai cos =4 cmPQ

Pembahasan (FHQP,AFH) = (KL,KA) = AKL = AK = a6 = 26 AL = LM = AC = a2 = 2 KL = = =32 4 cmPQKLM

Pembahasan AK = 26 , AL = 2 KL = 32Aturan Cosinus:AL2 = AK2 + KL2 2AK.KLcos 2 = 24 + 18 2.26.32.cos243.cos = 42 2 243.cos = 40 cos =

KLMAJadi nilai cos =

SELAMAT BELAJAR