1

DINAMIKA AUTOMATSKOG ORUJA

Kretanje delova mehanizama automatskog oruja vri se pod dejstvom Sile pritiska barutnih gasova Sila elastinosti opruga Sila inercije Sila trenja Sila teine Sila pritiska barutnih gasova pri opaljenju metka predstavlja osnovnu pokretaku silu, pod

ijim dejstvom se ubrzava osnovni element automatike (zatvara, cev ili klip povratnika) sve dok ne dostigne brzinu koja je neophodna za obavljanje jednog ciklusa rada automatike.

Sile elastinosti opruga koriste se kao sile otpora (pri sabijanju opruga) i kao pokretake sile

(pri otputanju opruga). Sile inercije delova zavise od kretanja, a njihov intenzitet je najvei pri udarima pojedinih

elemenata mehanizama automatike. Sile trenja u najveoj meri zavise od karaktera veze elemenata mehanizama automatike i

veoma su znaajne pri odreivanju kinematskih karakterisrika oruja. Sile teine pri radu mehanizama automatskog oruja su manje znaajne i uzimaju se u obzir

pri proveri pouzdanosti rada automatike pri razliitim uglovima elevacije, jer sile teine mogu da usporavaju ili da ubrzavaju kretanje delova automatskog oruja.

Budui da se energija osnovnog elementa automatike koristi za pokretanje svih ostalih

mehanizama koji omoguavaju automatsku paljbu, osnovni zadatak je da se odredi kinematska zavisnost izmeu kretanja osnovnog lana (zatvara, cev ili klip povratnika) i ostalih lanova mehanizma automatike.

Odreivanje kretanja mehanizama automatskog oruja zasniva se na reavanju diferencijalnih

jednaina koje opisuju kretanje pojedinih lanova mehanizma automatike. Rad mehanizama automatike karakterie niz osobenosti meu kojima su najvanije

Nestacionarni karakter rada sistema. Varijabilnost odnosa izmeu parametara, odreena vezama elemenata. Promena strukture mehanizma tokom radnog ciklusa (prikljuivanje jednih i odvajanje

drugih elemenata mehanizma). Prikljuivanje elemenata mehanizma sa udarom

2

Budui da navedene osobenosti u znaajnoj meri komplikuju reavanje jednaina koje opisuju rad automatike, najee se rad mehanizma automatike razmatra parcijalno - po delovima. Obino se pri formiranju matematikog modela izabere sistem nelinearnih diferencijalnih jednaina koje se dobijaju pri odreenim uproenjima. Jedno od osnovnih uproenja je da se lanovi mehanizma smatraju apsolutno krutim i da u kinematskim vezama lanova mehanizma nema zazora. Ovakvo uproenje omoguuje da se u najveem broju sluajeva dovoljno tano opie kretanje delova mehanizma.

Odreivanje karakteristika kretanja lanova mehanizma automatskog oruja

1. Jednaine kretanja delova automatike pri nepokretnom oruju Na slici 1 data je ema mehanizma koji se sastoji od osnovnog lana (A) i jednog radnog lana

(B) meusobno povezanih kinematskom vezom. lanovi mehanizma kreu se pravolinijski u okviru nepokretnog tela (sanduka).

Sl. 1 ema mehanizma sastavljenog od osnovnog lana i jednog radnog lana

Primenom metode redukovanih masa odreivanje kretanja lanova mehanizma svodi se na

odreivanje kretanja dve vezane materijalne take (A i B) u kojima su koncentrisane mase odgovarajuih lanova.

Jednaine kretanja lanova mehanizma odreuju se korienjem Dalamber-ovog principa za

vezani sistem, prema kome se pogonske sile uravnoteuju reakcijama veze, pa se problem svodi na reavanje isto statikog zadatka ravnotee razmatranog lana pod dejstvom reakcije veze i pogonskih sila.

Prema koordinatnom sistemu na slici 1 dobijaju se jednaine kretanja lanova A i B:

AA A A

d Vm F R

d t = (1)

3

BB B B

d Vm R F

d t = (2)

mA, mB - mase lanova A i B VA - brzina lana A VB - brzina lana B FA - pokretaka sila koja deluje na osnovni lan A FB - sila korisnog otpora koja deluje na radni lan B RA, RB - reakcije veze lanova A i B na pravcu kretanja lanova mehanizma

Za idealnu vezu lanova (slika 1) dobija se na osnovu principa moguih pomeranja:

A BR dx R dy=

odnosno deljenjem prethodne jednaine sa dt dobija se: A A B BR V R V=

Kod realnih mahanizama automatskog oruja u vezama elemenata javljaju se sile trenja, tako

da se u prethodnu jednainu uvodi koeficijent korisnog dejstva veze () koji uzima u obzir gubitke usled trenja:

A A B BR V R V =

Odnos izmeu brzine radnog lana i brzine osnovnog lana naziva se prenosni odnos veze

(prva prenosna funkcija mehanizma):

B

A

V

V =

pa je

B

A

R

R

=

(3)

Koeficijent korisnog dejstva predstavlja odnos izmeu elementarnog rada sile korisnog

otpora (FB) i pokretake (pogonske) sile (FA):

B B B

A A A

F dy F V

F dx F V = = , odnosno B

A

F

F = (4)

Na slici 2 prikazana je ema realnog mehanizma koji se sastoji od osnovnog lana (A) i jednog

radnog lana (B) meusobno povezanih kinematskom vezom. Ako se veza zameni reakcijama veze mogu se za lanove A i B napisati sledee jednaine:

4

Sl. 2 ema realnog mehanizma sastavljenog od osnovnog lana i jednog radnog lana

lan A

X=0 ( ) A AR sin f cos f N F 0 + + =

Y=0 ( ) AR cos f sin N 0 + =

lan B X=0 ( ) BR sin f cos N 0 + =

Y=0 ( ) B BR cos f sin f N F 0 =

Iz prethodnih jednaina, ako se zanemare lanovi koji sadre f2, dobija se:

( )AF R sin 2f cos= +

( )BF R cos 2f sin=

Prenosni odnos mehanizma sa slike 2 je B

A

dyV dydt tg

dxV dxdt

= = = = , pa je koeficijent korisnog dejstva:

B

A

F 1 2f tg 1 2f

F tg 2f 2f

= = =

+ + (5)

Ako se lanovi mehanizma kreu ubrzano, mogu se na osnovu Dalamber-ovog principa

napisati jednaine ravnotee za lanove A i B, ijim reavanjem se dobija:

( ) A AA A A Ad V d V

F R sin 2f cos m R mdt dt

= + + = + (6)

5

( ) B BB B B Bd V d V

F R cos 2f sin m R mdt dt

= = (7)

Iz jednaina (6), (7) i (3) dobija se:

BB B

B

AAA A

dVF mR dt

dVR F mdt

+

= =

, odnosno

A BA B A B

dV dVm m F F

dt dt

+ =

(8)

( B AV V= , B A AdV d V dV= + )

2

AA B B A A B

dV dm m m V F F

dt dt

+ + =

Poto je AV dt dx=

2

2AA B B A A B

dV dm m m V F F

dt dx

+ + =

(9)

Nazvaemo mA,red - redukovana masa osnovnog lana mehanizma FA,red - redukovana aktivna sila koja deluje na osnovni lan mehanizma

2

A,red A Bm m m

= +

A,red A BF F F

=

2AA,red B A A,red

dV dm m V F

dt dx

+ =

(10)

Jednaina (10) predstavlja jednainu kretanja osnovnog lana mehanizma automatike.

(1) = sr = const

2

A,red A Bm m m

= +

A,red Bdm 2 d

mdx dx

=

Jednaina (10) postaje:

6

A,red2AA,red A A,red

dmdV 1m V F

dt 2 dx+ =

odnosno nakon mnoenja sa dx i zamenom VA=dx/dt:

2A,red A A A A,red A,red

1m V dV V dm F dx

2+ =

Leva strana prethodne jednaine je totalni diferencijal:

2A,red A A,red1

d m V F dx2

=

pa se integraljenjem dobija jednaina prirataja kinetike energije:

( )x

2 2A,red A A,red,0 A,0 A,red

0

1m V m V F dx

2 = (11)

koja u sluaju = const ima oblik:

( )x

2 2A,red A A,0 A,red

0

1m V V F dx

2 = (11-a)

(2) const

2AA,red B A A,red

dV dm m V F

dt dx

+ =

ili

A,red2A BA A

A,red A,red

FdV m dV V

dx m dx m

+ =

Uvodi se smena 2AZ V=

redB

A,red A,red

2 F2 mdZ dZ

dx m dx m

+ =

Ako sile FA i FB zavise samo od koordinate osnovnog lana (x) onda je:

( ) BA,red

2 m dp x

m dx

=

: ( ) A,red

A,red

2Fq x

m=

7

( ) ( )dZ

p x Z q x 0dx

+ =

Integraljenjem se dobija:

( )( )

( )

p x dx

2A p x dx

C q x e dxZ V

e

+= =

Konstanta C odreuje se iz poetnih uslova.

Prikazane jednaine mogu da se koriste pri analizi pojedinih mehanizama automatskog oruja (naprimer mehanizma za pokretanje redenika ili mehanizma za ubrzavanje trzanja zatvaraa).

Meutim, pri radu vie mehanizama kod kojih sistem lanova mehanizma ima jedan stepen

slobode kretanja, jednaina kretanja osnovnog lana (10) dobija sledei oblik:

2AA,red A A,red

dVm m V F

dt + = (12)

Paralelna veza osnovnog lana sa vie radnih lanova

Redna veza osnovnog lana sa vie radnih lanova

2ni

A,red A ii 1 i

m m m=

= +

i2kn

k 1A,red A ii

i 1k

k 1

m m m==

=

= +

ni i

ii 1 i

dm m

dx =

=

i

k ink 1 k

iii 1 k 1

kk 1

dm m

dx=

= =

=

=

ni

A,red A ii 1 i

F F F=

=

i

knk 1

A,red A iii 1

kk 1

F F F==

=

=

Pravolinijasko kretanje pojedinih lanova mehanizma opisuje se optom jednainom:

'ii i i

d Vm P R

d t = + (13)

mi - masa i-tog lana mehanizma Vi - brzina i-tog lana Pi - aktivna sila koja deluje na i-ti lan

8

'iR - projekcija rezultujue reakcije veza susednih lanova na pravac kretanja i-tog lana

(sile trenja su uzete u obzir)

Opta jednaina obrtnog kretanja pojedinih lanova mehanizma ima oblik:

jj j j

dI L

d t

= + (14)

Ij - moment inercije j-tog lana mehanizma j - ugona brzina j-tog lana Lj - moment aktivne sile koji deluje na j-ti lan j - rezultujui moment reakcija veze susednih lanova

Lako je zapaziti da su jednaine (13) i (14) analogne. Na slici 3 prikazana je ema mehanizma koji se sastoji od jednog osnovnog lana sa

pravolinijskim kretanjem (cev) i tri radna lana (kliza, ubrziva i zatvara). Kliza mehanizma za pokretanje redenika (C) i ubrziva trzanja zatvaraa (B) su u paralelnoj vezi sa cevi, pri emu kliza vri pravolinijsko kretanje, a ubrziva vri obrtno kretanje. Zatvara, koji vri pravolinijako kretanje, je u rednoj vezi sa ubrzivaem u odnosu na osnovni lan (cev).

PA, PD - pogonske sile koje deluju na cev i zatvara FA, FC, FD - sile korisnog otpora koje deluju na cev, kliza i zatvara

Sl. 3 ema realnog mehanizma sastavljenog od osnovnog lana i tri radna lana

2. Jednaine kretanja delova automatike pri pokretnom oruju

Kada sanduk oruja moe da se pomera du voice (pokretno oruje), pri odreivanju kretanja

delova mehanizma automatike treba da se odredi kretanje osnovnog lana (najee cev ili zatvara), radnih lanova i vodeeg lana, odnosno lana koji objedinjuje sve lanove (sanduk).

9

Kod najveeg broja automatskih oruja osnovni lan (cev, zatvara ili klip povratnika) i vodei lan (sanduk u voicama) se obino kreu pravolinijski.

Radni lanovi mogu da se kreu u razliitim pravcima, a najee se kreu upravno

(mehanizam za pokretanje redenika) ili paralelno (ubrziva). Na slici 4 prikazan je mehanizam automatike koji vri pokretanje redenika i ubrzavanje

zatvaraa. U emi ovog mehanizma cev je osnovni lan, a zatvara i mehanizam za pokretanje redenika radni lanovi, a sanduk vodei lan mehanizma.

Sl. 4 Zamenom lanova mehanizma redukovanim masama odreuje se kretanje 4 materijalne take

sa odgovarajuim reakcijama veze (slika 5).

Sl. 5

Za svaki lan mehanizma mogu se napisati jednaine kretanja (pri zanemarivanju mase

ubrzivaa).

10

Jednaine kretanja

Sanduk: ' ''S S S C S Zm x R R F F F= + + + (15)

Cev: ( ) ' ''C C C C Cm x P R R F + = (16)

Zatvara: ( )Z Z Z Zm x P R F + = + (17)

Kliza mehanizma za pokretanje redenika: K K Km R F = (18)

'' ''

K C Sm x R R= (19)

x - koordinata sanduka - koordinata cevi u odnosu na sanduk - koordinata zatvaraa u odnosu na sanduk - koordinata klizaa u odnosu na sanduk

S C Z Km , m , m , m - mase sanduka, cevi, zatvaraa i klizaa ' 'S C ZR ,R ,R - projekcije reakcije veze u pravcu brzine sanduka, cevi i zatvaraa uslovljene

vezom mehanizma za ubrzavanje zatvaraa '' ''S C KR , R , R - projekcije reakcije veze u pravcu brzine sanduka, cevi i klizaa uslovljene

vezom mehanizma za pokretanje redenika

Pri idealnoj vezi (bez trenja) vae jednaine:

' 'C Z SR R R= + (20)

( ) ( )' 'C Z SR x R x R x + = + + (21)

( )'' ''C K SR x R R x + = + (22)

Iz jednaina (20) i (21), odnosno (20) i (22) dobija se:

'C ZR R

=

; ''C KR R

=

Poto je prenosni odnos veze cev - zatvara Z

=

,

a prenosni odnos veze cev - kliza K

=

11

onda je 'C Z ZR R=

''C K KR R=

Pri realnoj vezi (trenje nije zanemarljivo) u prethodnim relacijama figurira mehaniki

koeficijent korisnog dejstva, pa se dobija:

' ZC Z

Z

R R

=

(23)

'' KC K

K

R R

=

(24)

Z - mehaniki koeficijent korisnog dejstva ubrzaa K - mehaniki koeficijent korisnog dejstva mehanizma za pokretanje redenika kada je cev

osnovni lan

Eliminacijom reakcija veze iz jednaina (15) (22) dobijaju se dve diferencijalne jednaine:

( )C Z K S C Z C Z S Sm m m m x m m P P P F+ + + + + = (25)

( )Z Z K Z KC Z C Z K C C Z Z KZ Z K Z K

m m x m m m P F P F F

+ + + + = +

(26)

Ako oznaimo: O C Z K Sm m m m m= + + +

X C Z S SQ P P P F=

( ) Z KC C Z Z KZ K

Q P F P F F

= +

dobija se:

O C Z Xm x m m Q+ + = (25-a)

Z Z KC Z C Z K

Z Z K

m m x m m m Q

+ + + + =

(26-a)

Iz izraza za prenosni odnos dobijaju se sledee relacije:

Z = Z Z = +

12

K = K K = +

Uvoenjem navedenih izraza za i u jednaine (25a) i (26a) dobija se:

( )O C Z Z Z Xm x m m Q+ + + =

( ) ( )Z Z KC Z C Z Z Z K K KZ Z K

m m x m m m Q

+ + + + + + =

odnosno ( )O C Z Z Z Z Xm x m m m Q+ + + =

2 2Z Z K Z K

C Z C Z K Z Z K KZ Z K Z K

m m x m m m m m Q

+ + + + + + =

Ako oznaimo: C Z ZM m m= +

ZC Z

Z

m m m

= +

2 2* Z KC C Z K

Z K

m m m m

= + +

Z ZM m=

* Z KC Z Z K K

Z K

m 2m 2m

= +

dobija se

O Xm x M M Q+ + = (27)

*

* CC

mm x m Q

2 + + =

(28)

Eliminacijom x iz jednaina (27) i (28) dobija se

** CXC

O

mQ M Mm x m Q

m 2

+ + =

odnosno

13

*

* CC X

O O O

M m M m mmm Q Q

m 2 m m

+ =

(29)

ili u drugom obliku

2* *C C X

O O O O

M m M m m m1 d M dm m Q Q

m 2 dt m 2 m dt M m

+ + =

(29-a)

Dokaz:

( )22* * * 2C C C

O O O

d MM m m m m1 d 1 d M 1 1 dm m m M

2 dt m 2 dt m M 2 2 m dt M dt M

= = + =

2* 2 *C C

O O O

m m M m m1 1 d 1 M dm 2M M M m

2 2m M dt M 2 m 2m dt M

= + =

2* *C C

O O O

M m M m m1 1 d M dm m

2 m 2 dt m 2 m dt M

= +

Pri m

constM

= jednaina (29-a) dobija oblik:

rr X

O

mdm1m Q Q

2 dt m

+ =

(30)

gde je oznaeno *r CO

M mm m

m=

Poto je r r rdm dm dmd

dt d dt d

= =

jednaina (30) postaje:

2rr X

O

mdm1m Q Q

2 d m

+ =

(31)

Leva strana jednaine (31) je totalni diferencijal, pa je

( )2r XO

m1 dm Q Q

2 d m

=

(32)

14

Dokaz:

( ) ( )2 2 2 2 2r r rr r r rdm dm dm1 d 1 1 d 1 d 1 d dt

m m m m2 d 2 d 2 d 2 d d 2 d dt d

= + = + = + =

2 2r rr r

dm dm1 1 1m m

2 d 2 d= + = +

Reenje diferencijalne jednaine (32) dobija se u obliku

( )0

2 2r r0 0 X

O

m1m m Q Q d

2 m

=

(33)

Na slian nain mogu da se izvedu jednaine za sluaj kada je mehanizam za pokretanje

redenika vezan za zatvara. Prenosni odnos Prenosni odnos veze lanova mehanizma predstavlja odnos izmeu brzine radnog lana i

brzine osnovnog lana:

B

A

V

V =

a) Mehanizam sa ljebom Na slici 6 prikazana je ema mehanizma sa ljebom (mehanizam za pokretanje redenika), kao i

teorijska kriva ljeba preko koga se kretanje prenosi sa zatvaraa (A) na kliza mehanizma (B).

Sl. 6 ema mehanizma sa ljebom

15

Kriva ljeba moe se predstaviti kao funkcija S = f(X), gde je S - koordinata klizaa mehanizma (taka B) a X koordinata zatvaraa (taka A).

Kod ovakvog tipa mehanizma prenosni odnos je

B

A

V dStg

V dX = = = (34)

Prenosni odnos tokom kretanja osnovnog lana mehanizma odreen je izvodom funkcije S(X) po argumentu X.

Kada je ljeb pravolinijski (S = aX) prenosni odnos je:

dS

a constdX

= = =

Ako je ljeb deo kruga, jednaina ljeba moe se izraziti parametarskim jednainama: 0S S rsin t= +

0X X r cos t= + gde su X0 , S0 - koordinate centra kruga t - parametar koji se menja od 0 do 2pi Obino se ljeb sastoji od krunog i pravolinijskog dela. Na slici 7 je dat primer ovakvog profila ljeba.

Sl. 7 Profil ljeba i prenosni odnos tipa mehanizma sa slike 6

16

U ovom sluaju prenosni odnos je:

1ctg t , 0 X X =

3 3

X 0 , t ctg 02 2

pi pi= = = =

15 5 3

X X , t ctg3 3 3

pi pi= = = =

1 2a , X X X =

3

a3

= =

2 3ctg t , X X X =

22 2 3

X X , t ctg3 3 3

pi pi= = = =

3X X , t ctg 02 2

pi pi= = = =

b) Mehanizam sa dvokrakom polugom Za mehanizam sa dvokrakom polugom (slika 9), kada je A osnovni lan a B radni lan

(naprimer kliza mehanizma za pokretanje redenika), prenosni odnos se odreuje na sledei nain:

Sl. 8 ema mehanizma sa dvokrakom polugom

17

Pri kretanju lana A vertikalno navie, kretanje se preko dvokrake poluge koja se okree oko take O prenosi na kliza B (ispust klizaa B nalazi se u prorezu dvokrake poluge).

Ako se oznai:

a - duina kraka OA dvokrake poluge - ugao izmeu horizontale i kraka OA dvokrake poluge - ugao izmeu krakova dvokrake poluge ( = const) VA - brzina lana A VB - brzina lana B brzina kraka OA poluge (taka A) je odreena izrazom:

A1V

Vcos

=

Ugaona brzina dvokrake poluge je:

1 AV V

a a cos = =

Brzina kraka OB dvokrake poluge (taka B) je

2V OB=

pri emu je

( ) ( )o

b bOB

sincos 90= =

+ +

pa je

( )

A2

V bV

a cos sin=

+

Brzina klizaa B je

( )

2B o

VV

cos 90=

+

Prenosni odnos mehanizma je:

( )

B2

A

V b 1

V a cos sin = =

+ (35)

18

Odreivanje koeficijenta korisnog dejstva

Pri odreivanju koeficijenta korisnog dejstva primenjuje se Dalamber-ov princip.

a) Mehanizam sa ljebom

Na slici 9 prikazan je mehanizam kod koga je veza izmeu dva lana zamenjena reakcijama veze, pri emu je predpostavljeno da pogonske sile deluju na mestu dodira dva lana.

Sl. 9 ema mehanizma sa ljebom (lan A je vodei lan) Uslovi ravnotee za lan A

X=0 A AR sin f R cos f N F 0 + + =

Y=0 AN R cos f R sin 0 + =

Uslovi ravnotee za lan B

X=0 BN R sin f R cos 0 =

Y=0 B BR cos f R sin f N F 0 = Eliminacijom reakcija veze NA, NB i R iz prethodnih jednaina i zanemarivanjem lanovi koji

sadre f2, dobija se izraz za odnos sila FA/FB:

19

B

A

F 1 2f tg

F tg 2f

=

+ (36)

Koeficijent korisnog dejstva mehanizma kada je lan A vodei lan je:

BA A AA

F 1 2f tg

F tg 2f

= =

+ (37)

gde je A prenosni odnos od lana A ka lanu B. Poto je Atg = onda je:

AA AA

1 2f

2f

=

+ (38)

Pri radu automatike lanovi mehanizma esto menjaju uloge, tako da voeni lan postaje vodei i obrnuto. Posle izmene uloga lanova mehanizma menja se i ema dejstva sila (slika 10).

Sl. 10 ema mehanizma sa ljebom (lan B je vodei lan)

Iz jednaina ravnotee za lan A i B dobija se:

A BB B BB B

F 1 2f

F 2f

= =

+ (39)

20

Poto je BAA

V

V = i AB

B A

V 1

V = =

, gde je B prenosni odnos od lana B ka lanu A, jednaina

(39) postaje:

ABA A

2f1

1 2f

=

+ (39-a)

Izrazi za koeficijent korisnog dejstva (38) i (39) su identini po obliku. Za proraun

koeficijenta korisnog dejstva pomou izraza (39) mora da se uvede novi prenosni odnos (B), to nije podesno. Da bi se to izbeglo moe se predstaviti

B B

A B B A

F 1

F

= =

, A A

B A

F

F

=

Moe se dokazati da jednaine dinamike mehanizma ostaju nepromenjene ako se uvede

reciprona vrednost koeficijenta korisnog dejstva

*BB

1 =

odnosno

* AB AA

1 2f

2f

+ =

(40)

Izraz za *B (jedn. (40)) moe se dobiti kada se u izraz za A (jedn. (38)) uvede koeficijent

trenja sa izmenjenim znakom (-f ). b) Mehanizam sa dvokrakom polugom Za mehanizam sa dvokrakom polugom (slika 11) koeficijent korisnog dejstva se odreuje po

istom postupku

Uslovi ravnotee za lan A X=0 A A A AR cos f R sin f N F 0+ + =

Y=0 A A AN f R cos R sin+

Uslovi ravnotee za lan B

X=0 B B BN R sin f R cos 0 =

Y=0 B B B Bf N F R cos f R sin 0+ + =

21

Sl. 11 ema mehanizma sa dvokrakom polugom (lan A je vodei lan)

Uslovi ravnotee za dvokraku polugu

MO =0 ( ) ( ) ( ) ( )1 A 1 A 2 B 2 Br R sin f r R cos r R cos f r R sin 0+ + =

Zanemarivanjem lanova sa f2 dobijaju se sledee relacije:

( ) ( )( ) ( )

1B

A 2

r sin cos 2f sinF

F r cos cos 2f sin

+ =

+

Prenosni odnos (lan A je vodei lan):

( )( )

2A

1

r cos cos

r sin cos

=

+ (41)

Koeficijent korisnog dejstva(lan A je vodei lan):

BA AA

F 1 2f tg

F 1 2f tg

= =

+ (42)

Koeficijent korisnog dejstva pri obrnutom kretanju, nakon promene uloge vodeeg i voenog lana, dobija se promenom znaka koeficijenta trenja:

B1 2f tg

1 2f tg

+ =

(43)

22

Udari u mehanizmima automatskog oruja

Udari se pri radu automatike javljaju pri zabravljivanju i odbravljivanju zatvaraa, pri radu mehanizma za uvoenje metka, pri dolasku pokretnih delova u zadnji i prednji poloaj.

Pri analizi kretanja lanova mehanizma vri se redukcija masa pojedinih lanova i predpostavlja se da su sve veze za vreme udara idealne. Na taj nain se olakava analiza jer reakcije veze, koje se javljaju u parovima lanova mehanizma za vreme udara, ne moraju da se uzimaju u obzir.

Centralni udar lanova mehanizma Kod automatskog oruja veliki broj delova se kree pravolinijski, tako da se esto pojavljuju

udari lanova mehanizma, koji mogu da se svedu na sluaj centralnog udara dva lana A i B (slika 12).

Sl. 12 Centralni udar tela A i B Na osnovu zakona o koliini kretanja sledi:

I I

A A B B A A B Bm V m V m V m V+ = + (44)

gde su mA , mB - masa tela A i B AV , BV - brzina tela A i B pre udara

IAV ,

IBV - brzina tela A i B posle udara

Na osnovu eksperimentalnih rezultata je utvreno da odnos izmeu brzina tela pre i posle

udara zavisi od karakteristika materijala tih tela i moe se za sluaj AV > BV predstaviti sledeim izrazom:

I IB A

A B

V Vb

V V

=

(45)

Koeficijent b zavisi od materijala tela koja se sudaraju i naziva se koeficijent uspostavljanja.

Na osnovu rezultata merenja kod veeg broja realizovanih modela automatskog oruja utvreno je da je pri udaru elinih delova b = 0.35 0.45.

23

Iz jednaina (44) i (45) dobija se

( ) ( )A BI

A AA

B

V V 1 bV V

m1

m

+=

+ (46)

( ) ( )A BI

B BB

A

V V 1 bV V

m1

m

+= +

+ (47)

Na osnovu jednaina (46) i (47) dobija se gubitak kinetike energije pri udaru dva tela:

( ) ( )2 I 2 2 I 2A A A B B B1

E m V V m V V2

= +

odnosno

( )( )22A B A BA B

m m1E 1 b V V

2 m m =

+ (48)

a) udar zatvaraa u nepokretni sanduk

Kada je sanduk vrsto vezan za podlogu (slika 13) I

B BV V 0= = .

Sl. 13 Centralni udar zatvaraa i nepokretnog sanduka Jednaina (47) se sada svodi na:

( )A A

A B

m V 1 b0

m m

+=

+

ije je jedino reenje Bm = . Prema tome, za nepokretan sanduk se moe uzeti

B Am m>> ( Bm = ), pa se iz jednaine (46) dobija brzina zatvaraa nakon udara:

IA AV b V= (49)

24

a) udar zatvaraa u pokretni sanduk

Kada sanduk nije vrsto vezan za podlogu (slika 14) BV 0= . Brzina zatvaraa i sanduka nakon udara su:

Sl. 14 Centralni udar zatvaraa i pokretnog sanduka

I A BA A

A B

m b mV V

m m

=

+ (50)

( )A AI

BA B

m V 1 bV

m m

+=

+ (51)

c) udar zatvaraa i nosaa zatvaraa u nepokretni sanduk sa mogunou uzdunog pomeranja Kod nekih mehanizama, pri udaru nosaa zatvaraa i zatvaraa u sanduk, zatvara ima

mogunost uzdunog pomeranja u odnosu na nosa zatvaraa. U ovom sluaju javlja se vie uzastopnih udara.

Na slici 15 prikazan je nosa zatvaraa i zatvara sa mogunou uzdunog pomeranja

zatvaraa u odnosu na nosa zatvaraa za duinu .

Sl. 15 Centralni udar nosaa zatvaraa (A), zatvaraa (B) i nepokretnog sanduka U ovom sluaju dolazi do znatno veeg gubitka kinetike energije, tako da je brzina vraanja

nosaa zatvaraa i zatvaraa u prednji poloaj vrlo mala.

25

Ako je sanduk vrsto vezan za podlogu, a zatvara i nosa zatvaraa dolaze u zadnji poloaj

brzinom AV , zatvara e nakon udara u sanduk imati brzinu:

IB AV b V= (52)

Pri povratku zatvara se sudara sa nosaem zatvaraa, ija brzina je AV (zanemaruje se rad povratne opruge na putu ). Brzina zatvaraa posle prvog sudara sa nosaem je:

( )II I IB B B A AA B

1 bV V V V m

m m

+=

+

a brzina nosaa nakon prvog sudara sa zatvaraem:

( )II IA A B A BA B

1 bV V V V m

m m

+= +

+

Ako se oznai A B

1 bC

m m

+=

+i zameni

IBV iz jednaine (52) brzine zatvaraa i nosaa posle

prvog sudara su:

( )IIB A AV V C m 1 b b= + (53)

( )IIA A BV V 1 C m 1 b= + (54)

Posle prvog sudara zatvara ponovo udara u sanduk brzinomIIBV i odbija se od njega brzinom:

II IIB1 BV b V=

kojom udara u nosa koji se kree brzinom IIAV . Brzina zatvaraa i nosaa posle drugog sudara je:

( )III II II IIB B1 B1 A AA B

1 bV V V V m

m m

+=

+

( )III II II IIA A B1 A BA B

1 bV V V V m

m m

+= +

+

odnosno

26

( )III II II IIB B B A AV b V b V V C m= + + (55)

( )III II II IIA A A B BV V V b V C m= + (56) Intenzitet udara se postepeno smanjuje, pri emu se brzina zatvaraa i nosaa zatvaraa odreuje iz analognih jednaina. Ovakvi uzastopni udari se koriste kod rada automatike za smanjivanje brzine gaanja (viestrukim udarima smanjuje se poetna brzina vraanja zatvaraa u prednji poloaj) i smanjivanje naprezanja sanduka, nosaa zatvaraa i zatvaraa.

Na slici 16 dat je ematski prikaz udara nosaa zatvaraa i zatvaraa pri odbravljivanju.

Sl. 16 Centralni udar i nosaa zatvaraa (A) i zatvaraa (B) pri odbravljivanju zatvaraa

Ako se predpostavi da se posle udara nosa zatvaraa izatvara vrsto spoje, onda to odgovara sluaju potpuno neelastinog udara. Brzina zatvaraa i nosaa odreuju se korienjem jednaina (46) i (47) u kojima se za neelastini udar uzima b = 0. U stvarnosti, izmeu zatvaraa i nosaa zatvaraa postoji zazor , tako da zatvara nakon odbravljivanja ima mogunost neznatnog pomeranja u odnosu na nosa zatvaraa, pri emu se javljaju viestruki uzastopni udari. Brzine zatvaraa i nosaa se ovim viestrukim udarima izjednae, to odgovara sluaju neelastinog udara. Brzina zatvaraa i nosaa moe se odrediti iz jednaina (46) i (47) ako se predpostavi da ima n udara i da n :

A

A B AA B

mV V V

m m = =

+

Kosi udar lanova mehanizma Za proraun kretanja pri udaru pojedinih lanova mehanizma koji vre obrtno ili pravolinijsko

kretanje u razliitim pravcima u odnosu na udarnu povrinu koristi se teorija kosog udara. Ako je slobodno telo izloeno udaru i ako se centar mase tela ne nalazi na liniji udara, pri

analizi kretanja za vreme udara moe se predpostaviti da u centru tela deluju impulsivna sila J i impulsivni moment Jr (slika 17).

27

Sl. 17 Kosi udar

Jednaine odranja koliine kretanja za sluaj prikazan na slici 17 su:

( )IA Ax Ax xm V V J =

( )IA Ay Ay ym V V J = (57)

( )IA A Am J r = gde je:

Am - masa tela

Ax AyV , V - projekcija brzine centra mase tela na koordinatne ose pre udara

I IAx AyV , V - projekcija brzine centra mase tela na koordinatne ose posle udara

A - ugaona brzina centra mase tela pre udara

IA - ugaona brzina centra mase tela pre udara

x yJ , J - projekcije impulsa na koordinatne ose

- poluprenik inercije tela u odnosu na centar mase r - rastojanje centra mase od linije dejstva impulsa J

Ako je poznata veliina impulsa J, tri nepoznate veliine (I IAx AyV , V i

IA ) odreuju se iz

jednaina (57). Odreivanje koordinata take, oko koje se vri slobodno obrtanje tela nakon udara, ima veliki

praktian znaaj. Naime, za svako ravno telo koje ima pokretnu osovinu normalnu na ravan kretanja,

28

optimalni poloaj te osovine je upravo u taki oko koje se vri obrtanje tela nakon udara, jer u tom sluaju osovina oko koje se obre telo ne trpi nikakvo optereenje usled udara. Poloaj ose oko koje se obre slobodno telo pri udaru moe se odrediti pomou izraza:

2

cr

= (58)

gde su:

- poluprenik inercije tela u odnosu na centar mase r - rastojanje centra mase od linije udara c - rastojanje ose obrtanja od centra mase po liniji koja prolazi kroz centar mase, a normalna je na liniju udara

Primer: pomou jednaine (57) moe se odrediti poloaj osovine ekia udarnog mehanizma, pri emu osovina pri okidanju nee biti optereena reakcijama udara (slika 18).

Sl. 18 Odreivanje poloaja osovine ekia udarnog mehanizma

U sluaju udara dva lana mehanizma koji se obru u jednoj ravni oko nepokretnih osovina,

moe se postaviti est jednaina i pomou njih odrediti projekcije brzine centara mase tela A i B, kao i ugaone brzine ovih tela, pod uslovom da su poznati veliina i pravac dejstva impulsa.

Kada veliina i pravac dejstva impulsa nisu poznati, za njegovo odreivanje se postavljaju

sledee predpostavke:

- smer udarnog impulsa je normalan na udarne povrine,

- odnos razlike projekcija brzina taaka sudara na zajedniku normalu udarajuih povrina (u taki udara) posle sudara i pre sudara je konstantna veliina koja zavisi samo od materijala tela koja se sudaraju i jednaka je koeficijentu uspostavljanja.

ema udara dva lana mehanizma koji se obru oko nepominih osa u jednoj ravni prikazana

je na slici 19.

29

Sl. 19 ema udara dva lana mehanizma koji se obru oko nepominih osa

Pomou metode redukovanih masa, masa svakog lana moe da se skoncentrie u taki dodira

oba lana za vreme udara. Na osnovu eme date na slici 19 mogu se formirati sledee jednaine odranja momenta koliine kretanja:

lan A: ( )Ia a a a ar m V V r J cos = (59)

lan B: ( )Ib b b b br m V V r J cos = (60)

Koeficijent uspostavljanja je:

I Ib a

a b

V cos V cosb

V cos V cos

=

(61)

Ovde su:

am , bm - mase tela A i B skoncentrisane u takama a i b

a bV , V - brzine taaka a i b pre udara

I Ia bV , V - brzine taaka a i b posle udara

a br , r - rastojanje taaka a i b od njihovih osa obrtanja

J - impuls udara

30

Pri odreivanju brzine taaka a i b posle udara moe se uvesti oznaka

cos

cos

=

(62)

to predstavlja prenosni odnos od take b ka taki a pri kretanju bez udara lanova A i B. Sada su brzine taaka a i b posle udara:

( )a bIa a

2a

b

1V V 1 b

V Vm

1m

+

= +

(63)

( )( )a bI

b b2b

a

V V 1 bV V

m1

m

+= +

+ (64)

Jednaina gubitka kinetike energije pri kosom sudaru je

( )( )22a b a b2a b

m m1E 1 b V V

2 m m =

+ (65)

Teorija kosog udara moe se primeniti pri analizi odbravljivanja zatvaraa koji je prikazan na

slici 20.

Sl. 20 ema udara nosaa i zatvaraa pri odbravljivanju zatvaraa

31

Za proraun brzine zatvaraa i nosaa zatvaraa posle udara treba odrediti: redukovanu masu zatvaraa u taki dodira sa nosaem zatvaraa pomou izraza

2

b z 2b

m mr

= (66)

gde su

zm - masa zatvaraa - poluprenik inercije zatvaraa u odnosu na osu obrtanja

br - rastojanje take b od ose obrtanja

redukovanu masu nosaa zatvaraa u taki dodira sa zatvaraem (taka a). Redukovana masa je u ovom sluaju jednaka masi nosaa zatvaraa

a nzm m= (67) prenosni odnos od take b ka taki a na osnovu uglova i (slika 20).

Brzine taaka a i b posle udara odreuju se iz jednaina (63) i (64).