dinâmica das máquinas eléctricas
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Dinâmica
das
Máquinas
Eléctricas
Gil Marques
Abril 2002
ii
ii
Prefácio
Este texto resultou de um esforço feito ao longo de vários anos na leccionação de
algumas disciplinas de Máquinas Eléctricas do IST.
Pode este texto ser dividido em duas partes. Na primeira, que corresponde aos
quatro primeiros capítulos, trata-se o problema da obtenção de modelos matemáticos
para a descrição da dinâmica das Máquinas Eléctricas em particular e dos sistemas
electromecânicos em geral. Na segunda parte, estes modelos são utilizados para a
obtenção das respostas dinâmicas dos sistemas em várias situações.
Os leitores que aceitarem enviar-me as suas críticas e sugestões terão desde já o
meu agradecimento.
Abril de 2002
Índice
Gil Marques 02-04-02
iii
Índice
Prefácio........................................................................................ ii
Índice ..................................................................................................................... iii
Capítulo 1 ............................................................................................................... 1
Princípios de Conversão Electromecânica de Energia....................................... 1
1.1. Introdução .................................................................................................. 1
1.2. Princípio da Conservação de Energia ...................................................... 2
1.3. Expressões da força mecânica e energia .................................................. 5
Máquinas em "translação" e em "rotação"....................................... 5
Expressões da força electromagnética em função da energia .......... 7
Exemplo 1.1 ....................................................................... 8
Exemplo 1.2 ..................................................................... 10
Expressões de binário em função da co-energia magnética........... 10
Exemplo 1.3 ..................................................................... 12
Expressões do binário electromagnético........................................ 12
1.4. Expressões simplificadas (circuitos lineares)......................................... 13
Balanço Energético: .................................................................. 15
Exemplo 1.4 ..................................................................... 15
1.5. Sistemas de campo magnético de excitação múltipla............................ 16
Exemplo 1.5 ..................................................................... 18
1.6. Caso do circuito magnético linear. ......................................................... 19
1.7. Aplicação ao caso de circuitos magnéticos com ímanes permanentes. 21
Classificação dos dispositivos electromecânicos consoante o uso de
íman permanente ....................................................................... 22
Anexo 1: Expressões matemáticas para a energia magnética..................... 24
Caso do circuito magnético linear.................................................. 25
Exercícios de Revisão...................................................................................... 27
Capítulo 2 ............................................................................................................. 31
Sensores e Actuadores Electromecânicos .......................................................... 31
2.1 - Sistemas de relutância ............................................................................ 31
Modelo Matemático ....................................................................... 31
Propriedades gerais dos sistemas relutantes................................... 32
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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iv
Exemplos ....................................................................................... 32
Exemplo 1: Electroímans .......................................................... 32
A - Núcleo em forma de U............................................... 33
B - Electroímans em forma de E...................................... 33
C - Electroímans cilíndricos............................................. 34
D. Electroímans de duplo efeito e reversíveis.................. 34
Influência da forma do circuito magnético ...................... 35
Exemplo 2: Relés ...................................................................... 35
Exemplo 3: Contactores ............................................................ 35
Exemplo 4: Electroválvulas ...................................................... 36
Exemplo 5: Motor oscilante relutante ....................................... 36
Exemplo 6: Motores passo-a-passo........................................... 37
Análise de um motor de relutância rotativo, alimentado em corrente
alternada .................................................................................... 38
A - Cálculo do binário a partir da relutância ............................. 38
B - Sistema de relutância alimentado por uma fonte de
tensão alternada sinusoidal ................................................... 39
C - Cálculo do binário a partir da indutância ............................ 41
Alimentação com corrente contínua ................................ 42
Alimentação com uma fonte de corrente alternada.......... 42
2.2. Sistemas Electrodinâmicos...................................................................... 43
Generalidades................................................................................. 43
Equações. ....................................................................................... 43
Propriedades gerais. ....................................................................... 44
Exemplo 7: Altifalante. ............................................................. 44
Princípio e características ................................................ 44
O Transdutor do altifalante .............................................. 45
Exemplo 8: Aparelhos de medida de quadro móvel ................. 45
Exemplo 9: Traçador................................................................. 46
2.3. Sistemas Electromagnéticos .................................................................... 47
Generalidades................................................................................. 47
Propriedades gerais ........................................................................ 47
Exemplo 10: Motores passo a passo polifásicos ....................... 48
Exemplo 11: Motores passo-a-passo monofásicos.................... 48
Exemplo 12: Captores. .............................................................. 49
2.4. Sistemas Relutantes Polarizados ou Híbridos ....................................... 50
Generalidades................................................................................. 50
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Propriedades gerais. ....................................................................... 50
Comportamento ............................................................................. 50
Estruturas possíveis........................................................................ 51
Íman fixo........................................................................................ 51
Íman móvel .................................................................................... 52
Exemplo 13: Electroímans polarizados..................................... 52
Exemplo 14: Motores oscilantes ............................................... 52
Exemplo 15: Motores de binário............................................... 53
2.5. Sistemas Electrostáticos........................................................................... 54
Generalidades................................................................................. 54
Equações ........................................................................................ 54
Propriedades gerais ........................................................................ 55
Exemplo 16: Voltímetro Electrostático..................................... 56
Exemplo 17: Motor passo-a-passo electrostático...................... 56
Exemplo 18: Sensores electrostáticos ....................................... 56
Exercícios de Revisão:................................................................... 58
Capítulo 3 ............................................................................................................. 63
Modelos Dinâmicos das Máquinas Eléctricas de Corrente Alternada ........... 63
3.1 Introdução ................................................................................................. 63
3.2 Coeficientes de indução das Máquinas Eléctricas ................................. 64
A - Máquina Assíncrona ................................................................ 64
Coeficientes de auto-indução .................................................... 64
Coeficientes de indução mútua entre enrolamentos do
mesmo lado........................................................................... 64
Coeficientes de indução mútua entre enrolamentos do
estator e enrolamentos do rotor. ........................................... 65
Modelo da máquina de indução em grandezas abc ................... 67
B - Máquina Síncrona de pólos salientes ....................................... 68
Indutâncias próprias .................................................................. 69
Indutância mútua, estator-estator .............................................. 70
Indutâncias mútuas entre o estator e o rotor.............................. 71
Modelo das Máquinas Síncronas............................................... 72
3.3 Transformações de variáveis ................................................................... 73
Introdução ...................................................................................... 73
Condição de invariância de potência......................................... 74
Transformação da expressão do binário.................................... 75
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vi
Caso das transformações cujas matrizes não variam no
tempo .................................................................................... 75
Exemplo 3.1 “Aplicação da matriz de conexão de
Kron no cálculo de um circuito eléctrico”.............. 76
Aplicação de uma transformação com matrizes
diferentes ao estator e ao rotor.............................................. 78
Classificação das principais transformações. ............................ 79
3.4 Transformação de um sistema trifásico num sistema bifásico
equivalente. Transformação de Concordia............................................ 81
Definição da transformação ........................................................... 81
Exemplo 3.2 "Transformação de Concordia das
tensões em regime equilibrado". ............................ 84
Interpretação geométrica da transformação de
Concordia.............................................................................. 87
Resumo das propriedades da transformação de
Concordia.............................................................................. 89
3.5 Aplicação da transformação de Concordia à Máquina de Indução..... 91
Transformação dos coeficientes de indução do estator
de uma máquina de pólos lisos ............................................. 91
Transformação da matriz dos coeficientes de indução
mútua entre o estator e o rotor da máquina de
indução.................................................................................. 92
Modelo matemático da máquina de indução em
coordenadas αβο. ................................................................. 93
3.6 Máquina Síncrona de pólos salientes em coordenadas αβ.αβ.αβ.αβ. ................... 97
Exemplo 3.3 Obtenção da matriz dos coeficientes
de indução da máquina síncrona de pólos
salientes por inspecção. .......................................... 99
3.7 Transformação de “Rotação de Referencial”....................................... 102
A. Definição................................................................................. 102
Exemplo 3.4 Composição da transformação de
Concordia e da Transformação de rotação
de referencial - Transformação de Blondel-
Park. ..................................................................... 103
B. Transformação de um modelo de uma máquina em coordenadas
α, β para coordenadas d,q. ...................................................... 104
Expressões do binário ............................................................. 106
Índice
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vii
Exemplo 3.5 - "Aplicação da transformação de
Park a um sistema equilibrado de tensões ou
correntes".............................................................. 106
3.8. Modelo da Máquina de indução em coordenadas de Blondel-Park.. 110
Introdução .................................................................................... 110
Exemplo 3. 6 “ Modelo da máquina de indução
no referencial do estator” ..................................... 111
Exemplo 3.7 “Transformação de frequências” .............. 112
3.9. Aplicação da transformação de Park à Máquina Síncrona de pólos
salientes. .................................................................................................. 114
Exemplo 3.8 Obtenção do modelo da máquina
Síncrona através dos produtos matriciais. ............ 114
Esquema Equivalente da Máquina Síncrona................................ 117
Máquina Síncrona com enrolamentos amortecedores ................. 118
3.10. Introdução da notação complexa........................................................ 120
A. Introdução: .............................................................................. 120
B. Componentes simétricas instantâneas ..................................... 123
Exemplo 3.9 Aplicação da transformação de
componentes simétricas instantâneas a
vários sistemas de tensão...................................... 124
Modelo da máquina de indução em componentes simétricas ...... 127
C. Transformação Complexa Rotativa (fb).................................. 129
C1. Definição .......................................................................... 129
C2. Definição a partir das componentes dq............................ 129
C3. Definição a partir das componentes +/- ........................... 129
C4. Relação entre as componentes simétricas e as
variáveis de fase abc. .......................................................... 130
Exemplo 3. 10 “ Aplicação da transformação fb a
sistemas de tensão. (ρ =ωt)................................... 130
C5. Modelo da Máquina de indução em coordenadas fb ........ 132
C.6 Modelo da máquina de indução num referencial do
estator (+ - f b) .................................................................... 132
C.8. Modelo da máquina de indução num referencial do
campo girante (fb,fb): ......................................................... 133
Exemplo 3.11 “Esquema equivalente da máquina
de indução em regime sinusoidal
equilibrado”.......................................................... 133
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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viii
Exemplo 3.12 “Esquema equivalente da máquina
de indução em regime sinusoidal
desequilibrado com componentes
homopolares nulas” .............................................. 133
Vectores espaciais. .................................................................. 136
3. 11. Transformação de dois eixos standard. ............................................ 139
3.12 Vectores espaciais.................................................................................. 142
1. Definição.................................................................................. 142
2. Interpretação geométrica.......................................................... 142
3. Rotação de referencial.............................................................. 143
4. Modelo de máquina de indução utilizando vectores espaciais. 144
Exemplo 3.13 Modelo de máquina de indução no
referencial do estator e no referencial
genérico. ............................................................... 145
Esquema equivalente da máquina de indução:........................ 146
Anexo 1: “ Visualização dos coeficientes de indução de uma máquina
eléctrica”. ................................................................................................ 148
Anexo 2: “Aplicação da Transformação de Concordia à Máquina
Síncrona” ................................................................................................ 149
1. Cálculo do termo CTLeeC ......................................................... 149
2. Coeficiente de indução mútua entre estator e rotor. ............... 152
Cálculo de CTMef ............................................................... 152
Exercícios de revisão..................................................................................... 152
Máquina assíncrona monofásica .................................................. 154
Capítulo 4 ........................................................................................................... 159
Modelização de sistemas electromecânicos com comutação .......................... 159
4.1. Modelização da Máquina de Corrente Contínua com pólos de
comutação e enrolamentos de compensação ........................................ 160
Obtenção do modelo da máquina de corrente contínua .......... 163
4.2. Modelização da geratriz de rectificação............................................... 170
Modelo da Geratriz de Rectificação............................................. 172
Exercícios de Revisão:................................................................. 179
Bibliografia: ................................................................................. 182
Capítulo 5 ........................................................................................................... 183
Regimes transitórios das Máquinas de Corrente Contínua........................... 183
5.1 Introdução ............................................................................................... 183
5.2 A máquina de corrente contínua ideal ................................................. 184
Índice
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ix
Modelo dinâmico da máquina de corrente contínua .................... 185
Funções de transferência. Resposta no tempo. ............................ 186
5.3 Motor de corrente contínua de excitação independente...................... 186
Estudo do polinómio característico. Determinação dos pólos do
sistema..................................................................................... 189
Exemplo 5.1 ................................................................... 190
Transitório de arranque directo com binário de carga
proporcional à velocidade................................................... 192
Exemplo Nº 5.2.............................................................. 193
Conclusões .............................................................................. 194
Transitório resultante da aplicação de um escalão de
binário................................................................................. 195
Exemplo Nº 5.3.............................................................. 196
Conclusões acerca da aplicação de escalão de binário............ 197
5.4 Estudo da máquina de corrente contínua de excitação série .............. 199
Introdução .................................................................................... 199
Modelo Matemático ..................................................................... 199
Exemplo Nº 5.4.............................................................. 202
Linearização do modelo de estado do motor de corrente contínua de
excitação em série. .................................................................. 202
Determinação dos pólos do modelo linearizado. ......................... 204
Exercícios ....................................................................................................... 205
ANEXO............................................................................................................... 208
Resposta ao escalão de sistemas de segunda ordem ....................................... 208
Capítulo 6 ........................................................................................................... 213
Estudo dos transformadores em regime transitório....................................... 213
6.1 Transformador monofásico de dois enrolamentos............................... 213
Modelo matemático ..................................................................... 213
Determinação de expressões analíticas aproximadas para os pólos215
Interpretação................................................................................. 216
Exemplo 6.1 ................................................................... 217
Funções de transferência.............................................................. 218
Mapas de pólos e zeros ................................................................ 219
Transformador em vazio .............................................................. 220
Exemplo 6.2 ................................................................... 221
Resolução .................................................................. 221
Arranque do transformador em vazio. Saturação magnética ....... 221
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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x
Transformador em curto-circuito ................................................. 224
Exemplo 6.3 ................................................................... 226
Transformador de intensidade de corrente................................... 227
6.2 Transformador monofásico de 3 enrolamentos. .................................. 229
Equações ...................................................................................... 229
Esquema equivalente simplificado .............................................. 231
Reactância Operacional de um transformador monofásico de 3
enrolamentos ........................................................................... 232
Expressões aproximadas para as indutâncias operacionais
desprezando as resistências. .................................................... 235
6.3 Transformador trifásico de 3 colunas.................................................. 236
Constituição ................................................................................. 236
Modelo matemático ..................................................................... 236
Transformador trifásico de núcleo magnético simétrico.............. 236
Banco de três transformadores monofásicos................................ 237
Aplicação da transformação de Concordia ao transformador
trifásico de núcleo magnético simétrico.................................. 237
Exercícios ....................................................................................................... 239
Anexo A6. Simulação do transformador em vazio considerando a saturação
magnética. .................................................................................................................... 240
Capítulo 7 ........................................................................................................... 241
Regimes transitórios das Máquinas Síncronas ............................................... 241
7.1 Introdução ............................................................................................... 241
7.2 Modelo das Máquinas Síncronas com enrolamentos de excitação e
enrolamentos amortecedores................................................................. 242
Modelo da máquina em valores por unidade ............................... 245
Impedâncias operacionais ............................................................ 245
Constantes de tempo da máquina síncrona: ................................. 249
Longitudinais........................................................................... 249
Transversais............................................................................. 249
Admitâncias operacionais ............................................................ 252
Diagramas de Bode e de Nyquist. ................................................ 254
7.3 Curto-circuito trifásico simétrico e equilibrado a partir do vazio ..... 258
Condições iniciais ........................................................................ 258
Equações operacionais ................................................................. 259
Solução das equações:.................................................................. 260
Cálculo das correntes .............................................................. 260
Índice
Gil Marques 02-04-02
xi
Cálculo dos fluxos................................................................... 265
Cálculo do Binário .................................................................. 267
Corrente de excitação .............................................................. 269
Interpretação de resultados........................................................... 272
Componentes de frequência fundamental, contínuas em
dq ........................................................................................ 272
Componentes de frequência zero ou dupla da
fundamental, frequência fundamental em dq...................... 274
7.4 Transitório de aplicação de carga à Máquina síncrona ...................... 278
Exercícios ....................................................................................................... 283
Anexo A: Programa de simulação “SindqfDQ” ............................................. 285
Anexo B: Tabela de transformadas de Laplace utilizadas ............................ 287
Bibliografia......................................................................................................... 288
Livros ............................................................................................................. 288
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
Gil Marques 02-04-02
1
Capítulo 1
Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
1.1. Introdução
Com este capítulo inicia-se o estudo das máquinas eléctricas e outros dispositivos
electromecânicos através da teoria dos circuitos.
Nesta teoria as máquinas são vistas como circuitos eléctricos ligados
magneticamente para o caso se sistemas magnéticos, ou electricamente para o caso dos
sistemas electrostáticos. Os coeficientes de auto-indução e de indução mútua, (ou os
coeficientes de capacidade), são funções de uma ou mais variáveis.
O processo da conversão electromecânica de energia realiza-se através do campo
eléctrico ou magnético de um dispositivo de conversão.
Embora os vários dispositivos de conversão funcionem baseados em princípios
similares, as estruturas dos dispositivos dependem da sua função.
Os transdutores são dispositivos que se empregam na medição e controlo.
Normalmente funcionam em condições lineares, saída proporcional à entrada, e com
sinais relativamente pequenos. Entre os muitos exemplos referem-se microfones,
taquímetros, acelerómetros, sensores de temperatura, de pressão etc.
Os actuadores são dispositivos que produzem força. Como exemplos têm-se os
relés, electroímans, motores passo-a-passo etc.
A terceira categoria de dispositivos inclui equipamentos de conversão contínua de
energia, tais como motores e geradores.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
2
Enquanto que no dimensionamento dos transdutores e actuadores, a preocupação
principal é a fidelidade, neste terceiro grupo a preocupação principal é o rendimento.
Isto compreende-se pela natureza diferente da sua aplicação. Em princípio os
dispositivos são reversíveis, isto é, os actuadores poderem funcionar como actuadores
ou transdutores e os motores como motores ou geradores. Contudo, deve referir-se que
nas aplicações raramente esta reversibilidade é utilizada.
Os objectivos que se pretendem atingir com este capítulo são:
• Ajudar na compreensão de como ocorre a conversão electromecânica de
energia.
• Mostrar como desenvolver modelos dinâmicos para os conversores
electromecânicos com os quais possa ser calculado o seu desempenho.
O conceito fundamental para a análise dos conversores electromecânicos é o
campo de acoplamento. Este campo corresponde ao campo magnético na maioria dos
dispositivos. Contudo existem alguns dispositivos baseados no campo eléctrico.
A partir das funções energia ou co-energia deduzem-se as variáveis de estado do
sistema e a força ou binário de origem electromecânica.
1.2. Princípio da Conservação de Energia
O princípio da conservação de energia afirma que esta não é criada nem destruída,
apenas muda de forma. Este princípio constitui uma ferramenta conveniente para
determinar as características do acoplamento electromecânico. É também necessário ter
em atenção as leis do campo eléctrico e magnético, as leis dos circuitos eléctricos e
magnéticos, e a mecânica newtoniana.
Como as frequências e velocidades são relativamente baixas comparadas com a
velocidade da luz, pode admitir-se a presença de regimes em que o campo é quase
estacionário, sendo a radiação electromagnética desprezável. Assim, a conversão
electromecânica de energia envolve energia em quatro formas e o princípio de
conservação de energia leva à seguinte relação entre essas formas:
+
+
=
Calor em
Convertida
Energia
Armazenada
Energia de
Aumento
Mecânica
Energia
de Saída
Eléctrica
Energia
de Entrada
(1.1)
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
Gil Marques 02-04-02
3
A equação 1.1 é aplicável a todos os dispositivos de conversão. Está escrita na
convenção motor. Nesta convenção todas as parcelas têm valores positivos em
funcionamento motor. Em funcionamento gerador esta equação continua a ter validade,
mas as parcelas referentes à energia eléctrica e mecânica tomam valores negativos. Para
o estudo deste tipo de funcionamento (gerador), é mais fácil utilizar a mesma expressão,
mas escrita na convenção gerador, eq.1.2.
+
+
=
Calor em
Convertida
Energia
Armazenada
Energia de
Aumento
Eléctrica
Energia
de Saída
Mecânica
Energia
de Entrada
(1.2)
Neste texto adopta-se a convenção motor.
A conversão irreversível de energia em calor tem três causas:
1. Perdas por efeito de Joule nas resistências dos enrolamentos que constituem
parte dos dispositivos. Estas perdas são frequentemente chamadas de perdas
no cobre.
2. Parte da potência mecânica desenvolvida pelo dispositivo é absorvida no atrito
e ventilação e então convertida em calor. Estas perdas são chamadas de
perdas mecânicas.
3. Perdas magnéticas (em dispositivos magnéticos) ou dieléctricas (em
dispositivos eléctricos). Estas perdas estão associadas ao campo de
acoplamento.
Além destes tipos de perdas deve-se, em estudos mais aprofundados, considerar
também perdas suplementares que têm várias causas.
Nos dispositivos magnéticos, que são de longe as mais frequentes, as perdas
magnéticas são devidas a correntes de Foucault e à histerese magnética.
Na teoria que se segue são desprezadas as perdas magnética e as perdas
dieléctricas.
As equações 1.1 e 1.2 podem ser escritas na forma da equação 1.3 onde se admite
a convenção motor.
+
=
Armazenada
Energia de
Aumento
Mecânicas
perdas mais
Mecânica Energia
de Saída
Eléctricas
perdas menos
Eléctrica Energia
de Entrada
(1.3)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
4
O primeiro membro da equação 1.3 pode ser expresso em termos das correntes e
tensões nos circuitos eléctricos do dispositivo de acoplamento.
Considere-se o esquema geral de um dispositivo de conversão mostrado na figura
1.1.
Sistema deConversão de
energia
Sistemamecânico
Sistemaeléctrico
Perdas deJoule
Perdasmecânicas
ru e
i
Fig. 1.1. Representação geral da conversão electromecânica de energia.
Pode escrever-se:
u i dt → diferencial de energia de entrada da parte eléctrica
ri2 dt → diferencial de energia de perdas de Joule
dWele = u i dt - i2 r dt =(u - r i)i dt=e i dt Diferencial de energia eléctrica
líquida de entrada no dispositivo de acoplamento.
Para que o dispositivo de acoplamento possa absorver energia do circuito
eléctrico, o campo de acoplamento deve produzir uma reacção sobre o circuito. Esta
reacção é a força electromotriz indicada pela tensão e na figura 1.1. A reacção sobre a
entrada é uma parte essencial do processo de transferência de energia entre um circuito
eléctrico e outro meio qualquer.
Da discussão precedente, deverá ser evidente que as resistências dos circuitos
eléctricos e o atrito e ventilação do sistema mecânico, embora sempre presentes, não
representam partes importantes no processo de conversão de energia. Este processo
envolve o campo de acoplamento e sua acção e reacção nos sistemas eléctrico e
mecânico.
A equação 1.3 pode pôr-se na forma diferencial:
dWele = dWcampo + dWmec (1.4)
onde
dWele - diferencial de energia recebida pelo campo de acoplamento
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
Gil Marques 02-04-02
5
dWcampo - diferencial de energia do campo de acoplamento
dWmec - diferencial de energia convertida em mecânica
Para a análise completa dum dispositivo electromecânico, além da equação (1.4)
que traduz o princípio de conversão de energia (bloco central da figura 1.1), deverá
ter-se em conta as equações que traduzem a interligação ao sistema eléctrico e as
equações que o interligam ao sistema mecânico. A interligação ao sistema eléctrico pode
ser feita por uma ou mais vias, correspondendo a cada uma delas uma equação
diferencial. A interligação ao sistema mecânico é na maioria dos casos feita através de
uma única via (apenas um grau de liberdade) correspondendo a esta interligação apenas
uma variável. Esta interligação é traduzida pela 2ª lei de Newton.
Quando o dispositivo for de natureza magnética, as equações que traduzem a
interligação eléctrica são deduzidas da lei de Faraday. No caso de dispositivos
electrostáticos estas equações são deduzidas da lei da conservação da carga. Resumindo
tem-se:
Para a análise de um dispositivo electromecânico de natureza magnética deverá
ter-se como base:
• Equação 1.4
• 2ª lei de Newton
• Lei de Faraday
Por sua vez, a análise de um dispositivo electromecânico de natureza eléctrica
deverá ter como base:
• Equação 1.4
• 2ª lei de Newton
• Lei da conservação da carga
1.3. Expressões da força mecânica e energia
Máquinas em "translação" e em "rotação"
As figuras 1.2 e 1.3 representam dispositivos electromecânicos. O primeiro é de
translação e o segundo de rotação.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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6
Na figura 1.2, a energia magnética depende das grandezas eléctricas e da posição
da peça móvel x. A energia magnética Wm armazenada na carcaça é uma função do
fluxo ψ, criado pela corrente i, e da relutância R do circuito que por sua vez também é
função da posição x da armadura. Assim a energia magnética é função de 2 quantidades.
Wm = f (ψ, x) (1.5)
Armadura
Guia
ir
nu
x
Perímetro=4l
Fig. 1.2. Relé Electromecânico.
Ver-se-á que a força electromecânica Fem, que se exerce sobre a armadura tem
uma expressão simples em função desta energia.
ir
nu
θ
Fig. 1.3. Conversor electromecânico elementar de rotação.
Na figura 1.3, tem-se o mesmo princípio. A única diferença está no parâmetro
geométrico que define a posição do rotor, que é agora o ângulo θ e que as variações de
energia magnética armazenada no circuito produzem agora um binário electromagnético
Mem. Também aqui se encontrará uma expressão fácil para o binário em função da
energia magnética.
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
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7
Expressões da força electromagnética em função da energia
Considere-se o caso elementar da figura 1.2. Considerando as perdas de Joule
concentradas na resistência r, tem-se:
dt
de
ψ=
A energia eléctrica elementar fornecida pela fonte ao campo, vale:
ψ i d e i dt dWele ==
Se a peça móvel se deslocar uma distância dx, o diferencial de energia mecânica
consumido vale:
dx F dW emmec =
Nestas condições a expressão que traduz o princípio da conservação de energia 1.4
toma a forma:
mem dW dxF i d +=ψ (1.6)
O diferencial da função energia magnética escreve-se, na forma geral
dxx
Wd
W,x)(dW mm
m ∂∂+
∂∂= ψ
ψψ (1.7)
Introduzindo a equação (1.7) na equação (1.6) tem-se:
dxx
Wd
W dxF i d mm
em ∂∂+
∂∂+= ψ
ψψ (1.8)
ou
0=
∂∂++
−
∂∂
dxx
WFdi
W mem
m ψψ
(1.9)
As variáveis ψ e x são varáveis independentes. Assim podem variar
independentemente uma da outra. Como consequência, para que a igualdade 1.9 seja
sempre verdadeira é necessário que as funções que multiplicam dψ e dx sejam sempre
nulas. Tem-se:
ψψ
∂∂= ),( xW
i m (1.10)
x
xWF m
em ∂∂−=
),(ψ(1.11)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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8
A expressão (1.11) traduz a força como sendo a derivada parcial da função energia
magnética em função da posição. Esta função energia magnética é uma função de estado
e deverá estar escrita em termos do fluxo ligado ψ e da coordenada de posição x. As
equações 1.10 e 1.11 são as chamadas equações paramétricas.
Exemplo 1.1
O dispositivo representado na figura 1.2 tem um comprimento da
linha média do seu circuito magnético 4l de 40 cm, uma secção de
30/π cm2, 200 espiras. Considere a permeabilidade magnética relativa do
ferro de µrfe=500.
Determine:
1. A expressão da energia magnética armazenada no dispositivo.
Considere o circuito magnético do ferro linear.
2. O valor da força e o seu sentido em função da coordenada de
posição x.
3. Verifique a aproximação de linearidade do circuito magnético
sabendo que o ferro utilizado pode considerar-se linear para valores
de indução magnética inferiores a 1.5T. Determine o valor da corrente
i de modo a que a aproximação de linearidade do circuito magnético se
mantenha verdadeira.
Resolução:
1. Expressão da energia magnética
a) Cálculo da relutância magnética
a.1 Relativa ao ar
Rmar = S
x
oµ
a.2 Relutância magnética relativa ao ferro
Rmfe = S
xl
or µµ
−4
a.3 Relutância magnética total
Rm =
−+
rro
xlx
S µµµ
41 ≈
+
ro
lx
S µµ
41
b) Expressão da energia magnética armazenada
Wm = 12i ψ = 12Fmm φ = 12Rm φ2 = 12Rm 2
2
n
ψ =
L
2
2
1 ψ = 12L i
2
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
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9
Para a aplicação da equação 1.11, a expressão da energia magnética
deverá ser função de x e ψ, ou seja, a expressão 12Li
2 não é a
expressão utilizável. Em vez disso utilizaremos as expressões que se
seguem.
Ln W mmm
2
2
22
2
1
2
1
2
1 ψψφ === RR
2. Cálculo da força
Fem = - ∂Wm∂x = -
12
ψ2
n2
∂Rm∂x • -
12
ψ2
n2
1µo S
A força será sempre uma força de atracção pois é sempre negativa e,
no referencial adoptado, as forças negativas têm o significado de
forças de atracção. É também proporcional ao quadrado do fluxo. Esta
força será de amplitude constante se o fluxo ψ se mantiver constante.
Se o dispositivo for alimentado por uma fonte de corrente de
intensidade i, ter-se-á:
Fmm =ni
e então
φ = ni
Rm ; ψ =
n2i
Rm
donde
S
in- F
oem µ
1
2
1 22
2mR
=
3. Para um campo de indução magnética inferior a 1.5T
correspondente um fluxo φ inferior a:
φ = S B
Como
ni = φ Rm ≈ B
+
r
lx
µµ41
0
Podemos concluir que para que o campo B seja constante e igual a
B=1.5T, a corrente i que deverá circular será tanto maior quanto maior
for o entreferro. A menor corrente obtém-se quando x=0.
Introduzindo os valores do enunciado do problema, tem-se:
ni =
−
− 500
210407104
51 .
π= 954.9 Ae
ou
i< 4.77 A
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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10
Exemplo 1.2
Um transdutor rotativo com apenas um circuito de excitação
semelhante ao da figura 1.3, tem uma relação não linear entre o fluxo
ligado ψ, a corrente i, e a posição θ, que pode ser expressa por:
61210.è-AAi ψ)cos(=
Determine a expressão do binário em função de θ.
Resolução:
Wm = ∫ψ
ψ0id = ∫ −
ψψ ψθ
010
6.1 )2cos( dAA
∫=ψ
ψ ψθ0
6.110 2cos d)-A (A Wm
6.2 2cos
6.2
10ψθ)-A(AWm =
6.2 2sen2
6.2
1ψθ
θA
WM mem −=
∂∂
−=
Expressões de binário em função da co-energia magnética
Se se definir a função co-energia magnética (fig 1.4) como:
∫=i
m dixixiW0
' ),(),( ψ (1.12)
ψ
i
W'm
(i)ψ
Wm
Fig. 1.4. Definição de energia e coenergia magnética.
Tem-se
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
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11
i W W mm ψ=+ ' (1.13)
donde
diiddWdW mm ψψ ++−= ' (1.14)
introduzindo na expressão (1.6) obtém-se:
diiddWdxFid mem ψψψ ++−= ' (1.15)
como
dxx
Wdi
i
WxidW mm
m ∂∂+
∂∂=
''' ),( (1.16)
tem-se
didxx
Wdi
i
WdxF mm
em ψ+∂
∂−∂
∂−=''
0 (1.17)
ou
0''
=
∂∂−+
∂∂− di
i
Wdx
x
WF mm
em ψ (1.18)
Atendendo à independência das variáveis x e i e fazendo um raciocínio semelhante
ao que fizemos da expressão equivalente em função da energia, tem-se:
x
WF m
em ∂∂=
'(1.19)
i
Wm∂
∂='
ψ (1.20)
Obtém-se assim uma outra expressão para a força que se exerce sobre a armadura,
igual à derivada parcial em relação a x da função co-energia magnética. As expressões
(1.11) e (1.19) são equivalentes e válidas em todos os casos. Pode utilizar-se
indiferentemente uma ou outra conforme o caso em que se escolha como variáveis
independentes ψ e x ou i e x. A função co-energia magnética é também uma função de
estado. A força de origem electromagnética pode ser assim calculada através da
expressão 1.11 ou alternativamente pela expressão 1.19.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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12
Normalmente prefere utilizar-se a expressão co-energia magnética pois é função
da corrente eléctrica que é uma grandeza utilizada na teoria dos circuitos. É também
mais fácil de medir do que os fluxos que são grandezas internas.
Exemplo 1.3
Calcule a força que se exerce sobre a armadura do dispositivo no
exemplo 1.1. Utilize para isso a expressão 1.19.
Resolução:
Considerando o circuito magnético linear, tem-se:
2' )(2
1ixLWm =
+
==
r
m lx
S
n
x
nxL
µµ41)(
)(
0
22
R
dx
d
xin
dx
xdLi
x
WF m
m
mem
RR )(
1
2
1)(
2
12
222'
==∂
∂=
como
∂Rm∂x ≈
1µo S
Tem-se:
S
ni - F
omem µ
1)(
2
1
2
2
R=
que é equivalente à expressão obtida no exemplo 1.1.
Expressões do binário electromagnético
Para um circuito magnético móvel em rotação, como o desenhado na figura 1.3, os
resultados precedentes são aplicados directamente ao binário electromagnético Mem, a
partir de raciocínios semelhantes (dWmec escreve-se dWmec=Mem dθ).
Se se considerar a função energia como uma função da posição θ e do fluxo ψ,
tem-se:
θθψ
∂∂−=
),(mem
WM (1.21)
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
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13
Se se considerar a função co-energia magnética função de i e θ , tem-se:
θθ
∂∂=
),(' iWM m
em (1.22)
1.4. Expressões simplificadas (circuitos lineares)
Felizmente pode considerar-se na grande maioria dos casos, que os circuitos
magnéticos dos transdutores ou das máquinas girantes não estão saturados
magneticamente. Nestas condições a curva de magnetização ψ(i) reduz-se a uma recta, e
o fluxo ψ é directamente proporcional à corrente i. O factor de proporcionalidade
(coeficiente de auto-indução) é função de x.
ψ = n φ = L(x) i (1.23)
ou ainda n i = R(x) φ.
A energia e a co-energia magnética, apesar de serem funções de variáveis
diferentes, tomam neste caso valores iguais, e as expressões simplificam-se pelo facto
da variável x aparecer independente de i ou φ.
A energia escreve-se:
Wm = 12 R(x) φ2 (1.24)
A força electromagnética, segundo (1.11), vale:
Fem(φ,x) = - 12 φ2
∂R∂x
= -12 φ2
dRdx (1.25)
A co-energia escreve-se
W’m = 12 L(x) i2 (1.26)
Desta expressão conclui-se, aplicando (1.19)
Fem = 12 i2
dL(x)dx (1.27)
As duas expressões (1.25) e (1.27) são naturalmente idênticas tendo em conta as
expressões (1.23) e derivando L(x) = n2/R(x).
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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14
A primeira corresponderá, como se verá mais tarde, ao ponto de vista dos circuitos
"excitados em tensão", e a segunda ao ponto de vista dos circuitos "excitados em
corrente".
Em particular, a expressão (1.27) mostra claramente que a força electromagnética
resulta da corrente na bobina e da variação da indutância do circuito.
No caso de uma máquina girante, à coordenada x corresponde θ e à força
corresponde o binário:
Mem(φ,θ) = - 12 φ2
dRdθ (1.28)
Mem(i,θ) = 12 i2
dLdθ (1.29)
Das expressões 1.28 e 1.29 pode concluir-se que para o cálculo da força ou do
binário não é necessário conhecer todos os parâmetros geométricos do conversor
electromecânico. É necessário conhecer apenas a função R(x) ou L(x). O mesmo se
pode dizer para o cálculo das grandezas eléctricas. Com efeito, para o caso do conversor
electromecânico da figura 1.2, tem-se:
u = ri + dψdt = ri +
ddt (L(x) i) (1.30)
u = ri + L(x) didt + i
dL(x)dt (1.31)
u = ri + L(x) didt + i
dL(x)dx
dxdt (1.32)
Da expressão 1.32 pode concluir-se que o facto de a peça móvel se deslocar com a
velocidade x provoca uma força contra-electromotriz de movimento que vale:
i dL(x)
dx dxdt (1.33)
Para o estudo completo do sistema da figura 1.2 é necessário introduzir a equação
de acoplamento mecânico juntamente com a 2ª lei de Newton.
m dx2
dt2 = Fem - Fc (1.34)
Assim, o estudo do sistema pode ser feito resolvendo as equações diferenciais:
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
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15
u = ri + L(x) didt + i
dL(x)dx
dxdt e m
dx2
dt2 = Fem - Fc (1.35)
Para a resolução destas equações é necessário conhecer a função L(x) (própria do
dispositivo) e a função Fc que depende da aplicação onde o dispositivo se empregue.
Balanço Energético:
Se se multiplicarem ambos os membros da equação 1.31 por i obtém-se:
u i = ri2 + L(x) i didt + i2
dL(x)dx
dxdt (1.36)
que é o mesmo que
u i = ri2 + L(x) i didt +
12 i2
dL(x)dx
dxdt +
12 i2
dL(x)dx
dxdt (1.37)
ou
u i = ri2 + ddt
1
2 L(x) i2 + 12 i2
dL(x)dx
dxdt (1.38)
onde
u i → potência de entrada
r i2 → perdas de Joule
ddt
1
2 L(x) i2 → Variação da energia magnética armazenada no campo
12 i2
dL(x)dx
dxdt → potência mecânica
A expressão 1.38 traduz o princípio da conservação de energia.
Exemplo 1.4
O coeficiente de auto-indução da bobina representada na figura 1.3
pode ser calculado pela expressão analítica aproximada
L(θ) = L1 + L2 cos(2θ)
Determinar a expressão do binário em função da corrente e da
posição.
Resolução:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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16
Segundo a expressão 1.29, o binário vale
θθ
22
12
22 senLid
dLiMem −==
1.5. Sistemas de campo magnético de excitação múltipla
Os dispositivos que se acabam de analisar tem apenas um circuito eléctrico. A
força que desenvolvem tem sempre o mesmo sentido e é proporcional ao quadrado de
um fluxo ou de uma corrente. São usados geralmente para desenvolver forças de
impulso não controláveis. Como exemplos têm-se: Relés, contactores e actuadores de
vários tipos.
Para obter forças proporcionais a sinais eléctricos, e sinais proporcionais a forças e
velocidades, é necessário que os dispositivos tenham dois ou mais caminhos para
excitação ou troca de energia com as fontes. Os ímanes permanentes são usados
frequentemente como um dos caminhos de excitação. Em muitos dispositivos, um
caminho de excitação estabelece o nível do campo eléctrico ou magnético, enquanto o
outro trabalha com sinais. Exemplos são:
Altifalantes, taquímetros, acelerómetros.
Todos os tipos conhecidos de motores e geradores, com excepções pouco
importantes, são exemplos de dispositivos de potência, que realizam a conversão
contínua de energia.
Na figura 1.5 mostra-se o modelo de um sistema elementar deste tipo. O sistema
deve ser descrito em termos de três variáveis independentes que podem ser os fluxos
ligados ψ1 e ψ2 e o ângulo mecânico θ, ou as correntes i1 e i2 e o ângulo θ, ou um
conjunto híbrido de variáveis.
u
i
i
u
1
1 2
2
θ
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
Gil Marques 02-04-02
17
Figura 1.5. Sistema electromecânico de excitação dupla.
Quando se utilizam os fluxos ligados, um raciocínio semelhante ao apresentado no
número anterior permite concluir que as equações paramétricas são extensões das
equações 1.10, 1.11, 1.19 e 1.20. Assim:
i1 = ∂Wm(ψ1,ψ2,θ)
∂ψ1 (1.39)
i2 = ∂Wm(ψ1,ψ2,θ)
∂ψ2 (1.40)
Mem = - ∂Wm(ψ1,ψ2,θ)
∂θ (1.41)
onde a função energia é dada por:
∫∫ += 21
0 220 1121 ),,(ψψ
ψψθψψ didiWm (1.42)
Quando se usam as correntes para descrever o estado do sistema, as equações
paramétricas ficam:
ψ1 = ∂W’m(i1,i2,θ)
∂i1 (1.43)
ψ2 = ∂W’m(i1,i2,θ)
∂i2 (1.44)
Mem = ∂W’m(i1,i2,θ)
∂θ (1.45)
e a co-energia é dada por:
∫∫ += 21
0 220 1121' ),,(
iim didiiiW ψψθ (1.46)
Nos casos que se têm vindo a analisar tem-se considerado apenas um grau de
liberdade para o deslocamento x (para translação) ou θ (para rotação).
Dos raciocínios que se apresentaram não é difícil concluir que para os casos em
que o deslocamento se possa fazer em duas ou 3 direcções independentes se tem:
Femx(i1,i2,x,y,z) = ∂W’m(i1,i2,x,y,z)
∂x (1.47)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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18
Femy(i1,i2,x,y,z) = ∂W’m(i1,i2,x,y,z)
∂y (1.48)
Femz(i1,i2,x,y,z) = ∂W’m(i1,i2,x,y,z)
∂z (1.49)
As forças Femx, Femy, Femz seriam substituídas por binários Mθ, Mγ ,Mε se as
direcções de movimento fossem θ, γ, ε.
Exemplo 1.5
Elemento de relutância variável com dois graus de liberdade
O sistema está definido na figura 1.6. Permite exercer
simultaneamente uma força de atracção vertical e uma força de
centragem lateral. Um sistema deste tipo é próprio para a sustentação
magnética e a guiagem de certos comboios de grande velocidade.
i
x y
a b
a
N
δ
ε
Figura 1.6. Elemento de relutância variável
Determine as componentes da força que se exerce sobre a peça móvel.
Resolução
A. Hipóteses:
1. As linhas de campo só existem na zona de entreferro mínimo e têm
a direcção de x.
2. A permeabilidade do ferro é infinita.
3. O referencial encontra-se na peça fixa na qual se encontra o
enrolamento.
B. Determinação das forças
Tendo em conta as hipóteses consideradas tem-se para o valor da
permeância.
x
yabo2
)( −=
µP
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
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'222
2
1
2
1mm WinLiW === P
As forças que se exercem sobre a peça segundo x e y serão:
Fmx = ∂W’m(i,x,y)
∂x Fmy = ∂W’m(i,x,y)
∂y
Fmx = 12n
2i2 dPdx Fmy =
12 n
2i2 dPdy
22
222
1
ax
yaboin mxF)(
−
−=µ
x
boin myF2
222
1 µ −=
CONCLUSÕES:
. Tanto Fmx como Fmy tem resultados independentes do sentido de i, Fmx
é força de atracção (sempre) e Fmy tende a centrar a peça.
. A intensidade de Fmx é tanto maior quanto mais centradas estiverem
as peças.
. Fmx e Fmy variam inversamente com a dimensão do entreferro. Fmx
depende do quadrado do entreferro e Fmy varia inversamente com o
entreferro.
Nota: As expressões da permeância e das forças acima indicadas foram
determinadas desprezando a relutância do ferro (µr=∞). Esta
aproximação é válida quando o entreferro for grande. Quando x→→→→0 é
necessário considerar também a relutância do ferro.
1.6. Caso do circuito magnético linear.
Considere-se agora que os circuitos magnéticos da figura 1.5 são lineares. Os
fluxos ligados com cada um dos dois circuitos qualquer que seja a sua posição são
iguais à soma do fluxo criado pela própria corrente e do fluxo criado pela corrente que
circula no outro circuito. Ou seja
ψ1 = L1(θ) i1+ M(θ) i2 (1.50a)
ψ2 = M(θ) i1+ L2(θ) i2 (1.50b)
As funções energia magnética e co-energia magnética, embora funções expressas
em termos de variáveis diferentes, tomam o mesmo valor numérico.
Wm(ψ1,ψ2,θ) = W’m(i1,i2,θ) = 12 ψ1 i1 +
12 ψ2 i2 (1.51)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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20
ou
W’m = 12 L1(θ) i1
2 + M(θ) i1 i2 + 12 L2(θ) i2
2 (1.52)
donde se conclui que o binário vale
Mem = 12 i1
2 dL1(θ)
dθ + i1 i2 dM(θ)
dθ + 12 i2
2 dL2(θ)
dθ (1.53)
esta expressão é uma generalização da expressão 1.29. As equações eléctricas
são:
u1 = r1 i1 + dψ1dt (1.54)
u2 = r2 i2 + dψ2dt (1.55)
introduzindo as equações 1.50, obtém-se:
u1 = r1 i1 +
L1 di1dt + M
di2dt +
i1 dL1
dθ + i2 dMdθ
dθdt (1.56)
u2 = r2 i2 +
M di1dt + L2
di2dt +
i1 dMdθ + i2
dL2
dθ dθdt (1.57)
Nestas equações as primeiras expressões entre parêntesis representam as "f.e.m. de
transformação" (que aparecem sempre como no caso dos transformadores), e as
segundas representam as "f.e.m. de velocidade".
As expressões 1.56 e 1.57 podem tomar uma forma mais condensada se se utilizar
a notação matricial. Com efeito, definindo:
I =
i1
i2 L(θ) =
L1(θ) M(θ)
M(θ) L2(θ) U =
u1
u2 (1.58)
e notando que:
W’m = 12 IT L(θ) I (1.59)
Obtém-se
Mem = 12 IT dL(θ)
dθ I (1.60)
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
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e
U = R I + L(θ) ddt I + θ
. dLdθ I (1.61)
onde
R I queda de tensão resistiva
L(θ) ddt I f.e.m. de transformação
θ. dLdθ I f.e.m. de velocidade
As expressões 1.60 e 1.61 são válidas também para o caso em que existem mais
do que dois circuitos ligados magneticamente. A definição das matrizes será a
correspondente.
O estudo completo de um sistema com vários circuitos ligados magneticamente
faz-se com as equações diferenciais (1.61) e a 2ª equação de Newton associada à
expressão do binário.
J d2θdt2
= 12 IT
dL(θ)
dθ I - Mc (1.62)
Como o binário depende apenas das correntes e da posição, e não das derivadas
das correntes, pode dizer-se que há desacoplamento entre as equações (1.61) e a equação
(1.62).
1.7. Aplicação ao caso de circuitos magnéticos com ímanespermanentes.
A expressão 1.53 pode tomar uma forma diferente utilizando as permeâncias
definindo os coeficientes de indução do seguinte modo:
L1(θ) =n12 P1(θ) L2(θ) =n2
2 P 2(θ) M(θ) =n1 n2 P M(θ) (1.63)
Obtém-se após substituição:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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Mem = 12 n1
2 i12
dP 1(θ)
dθ + n1 i1 n2 i2 dP M(θ)
dθ + 12 n2
2 i22
dP 2(θ)
dθ (1.64)
ou seja
Mem = 12 Fm1
2 dP 1(θ)
dθ + Fm1 Fm2 dP M(θ)
dθ + 12 Fm2
2 dP 2(θ)
dθ (1.65)
A expressão 1.65 é adaptada para o estudo de dispositivos constituídos por um
circuito magnético, um íman permanente e um bobina. Designado com o índice i o íman
e com o índice b a bobina tem-se:
Mem = 12 Fmi
2 dP 1(θ)
dθ + Fmi nb ib dP M(θ)
dθ + 12 (nb ib)2
dP 2(θ)
dθ (1.66)
O termo Fmi é constante e depende do íman utilizado.
Classificação dos dispositivos electromecânicos consoante o uso deíman permanente
Os dispositivos electromecânicos podem ser de dois tipos, consoante a natureza do
campo de acoplamento: dispositivos de natureza electrostática, se se basearem no campo
eléctrico, e dispositivos de natureza electromagnética se se basearem no campo
magnético.
Nos sistemas de natureza electromagnética é frequente a utilização de ímanes
permanentes.
Não considerando as máquinas rotativas tradicionais, distinguem-se os seguintes 4
casos:
• Sistemas relutantes ou de relutância. Não possuem íman permanente.
Baseiam-se na variação de relutância com a coordenada de posição. São caracterizados
por não apresentar termo de binário devido à interacção mútua entre a parte fixa e a
parte móvel.
• Sistemas electrodinâmicos. São caracterizados por um íman e um circuito
ferromagnético fixos com uma (ou várias) bobinas moveis. Neste caso a força deve-se
essencialmente à interacção mútua entre a parte fixa e a parte móvel.
Mem ≈ Fmi nb ib dP M(θ)
dθ (1.67)
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Gil Marques 02-04-02
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• Sistemas electromagnéticos. São caracterizados por um circuito ferromagnético e
uma bobina fixa com um íman permanente móvel. O íman é atravessado pela parte
principal do fluxo criado pela bobina e é constituído por um material de fraca
permeabilidade magnética equivalente. A força devida apenas à bobina é independente
da posição. A força total depende da posição do íman bem como da posição mútua entre
a bobina e o íman.
θθ
θθ
d
dnn
d
dM M
bbmimiem)(
2
1 )(12 PF PF += (1.68)
• Sistemas relutantes polarizados. Neste caso o termo de força mútua e o termo de
força devido à bobina tem uma ordem de grandeza comparáveis. A expressão do binário
nestes sistemas é semelhante à expressão 1.66.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
24
Anexo 1: Expressões matemáticas para a energia magnética
Caso geral
A energia magnética pode ser obtida pelo integral de volume da densidade de
energia. Assim obtém-se:
∫=B
m BdHW0
. (A1.1)
e
dVBdHWV
Bm ∫∫∫ ∫
=
0 . (A1.2)
Para a utilização desta equação é necessário conhecer toda a geometria do
dispositivo que se estiver a estudar e os campos B e H em todos os pontos do volume V
onde é calculado o integral da expressão A1.2.
Na expressão A1.2, a energia magnética armazenada é expressa em termos de
propriedades específicas ou por unidade de volume do campo magnético. Este ponto de
vista é o do projectista que pensa em termos de materiais, intensidade de campo,
intensidade de esforços e conceitos semelhantes. Constrói então a forma geométrica e o
arranjo de qualquer dispositivo específico a partir do conhecimento que possa fazer com
um volume unitário dos materiais disponíveis.
A energia magnética também pode ser escrita em termos de fluxos ligados ψ e das
correntes i. Com efeito, tem-se da teoria dos circuitos:
∫=ψ
ψψψ0
),( dii,x)(Wm (A1.3)
onde a corrente é uma função da posição x e do fluxo ligado ψ. Daqui resulta que
a energia magnética é uma função do fluxo e da coordenada de posição. Basta conhecer
a relação i(ψ,x) e o integral da equação A1.3 para se obter a energia magnética.
Na expressão A1.3, a energia é expressa em termos do fluxo ligado e indutâncias,
conceitos particularmente úteis quando a não-linearidade não é importante. O ponto de
vista aqui é o do analista de circuitos. A teoria do funcionamento da maioria dos
dispositivos de conversão electromecânica pode ser desenvolvida supondo que o
dispositivo é um elemento do circuito (teoria de circuitos) com indutância variável com
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
Gil Marques 02-04-02
25
a posição. Este ponto de vista dá pouca compreensão dos fenómenos internos e não dá
qualquer ideia do tamanho físico.
Uma posição intermédia entre a do projectista e a do analista de circuitos é obtida
a partir da equação 1.12 a partir de uma mudança de variável. Com efeito, como ψ=nφ,
∫=ψ
ψψ0
id,x)(Wm = ∫φ
φ0
nid (A1.4)
Como a Fm.m é uma função do fluxo, e a relação entre as várias grandezas
depende da configuração geométrica da bobina, do circuito magnético e das
propriedades magnéticas do material do núcleo, obtém-se:
φφφφ
dx,x)(W mmm ∫=0
),(F (A1.5)
Caso do circuito magnético linear.
Devido à simplicidade das equações resultantes, a não-linearidade magnética e as
perdas no núcleo são frequentemente desprezadas na análise de dispositivos práticos. Os
resultados finais de tais análises aproximadas podem, se necessário, ser corrigidos por
métodos semi-empíricos para levar em conta os efeitos dos factores desprezados.
A expressão A1.2 toma agora a forma:
Wm = ∫∫∫V dVB
µ
2
2
1(A1.6)
Admitindo a linearidade do circuito magnético, a relação entre o fluxo φ e Fm.m. é
dada pela relutância R ou pela permeância P, definidas como:
R = Fmm
φ (A1.7)
P = 1R (A1.8)
a energia vem:
Wm = 12 i ψ =
12 Fmm φ =
12 R φ2 (A1.9)
Definindo a auto-indutância da bobina
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
26
L = ψi =
nφi = n2 P (A1.10)
obtém-se também
Wm = 12
ψ2
L (A1.11)
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
Gil Marques 02-04-02
27
Exercícios de Revisão
IConsidere a máquina eléctrica representada na figura seguinte:
θ
u
i
Determinou-se experimentalmente a indutância da bobina e obteve-se a expressão:
L(θ) = L0 + L2 cos 2θ + L6 cos 6θ
em que L0, L2 e L6 são constantes e θ é a posição do rotor.
A - O enrolamento encontra-se alimentado por uma fonte de corrente.
i(t) = I sen ωt
A-1.Determine o modelo matemático que lhe permita determinar o
comportamento dinâmico deste sistema.
A-2.Obtenha uma expressão para a energia magnética armazenada.
A-3.Qual a relação entre a energia magnética armazenada média e o binário de
origem electromagnética.
B - O enrolamento encontra-se alimentado por uma fonte de tensão:
u(t) = U sen ωt
B-1.Determine o modelo matemático que lhe permita determinar o
comportamento dinâmico deste sistema.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
28
B-2.Obtenha uma expressão para a energia magnética armazenada.
B-3.Qual a relação entre a energia magnética armazenada média e o binário de
origem electromagnética.
B-4.Em que condições esta máquina poderá transformar energia eléctrica em
energia mecânica de uma forma contínua no tempo.
B-5.Será que esta máquina pode funcionar como gerador? Justifique a resposta.
IIPara o transdutor magnético de um circuito eléctrico mostrado na figura, foi
determinado experimentalmente que:
ψ = i
3(1 - a x3)
em que a = 104.
x f
i
u
Esta representação é válida no intervalo 0≤ i ≤ 3A e 0 ≤ x ≤ 0,04m. Desprezar os
efeitos da gravidade.
a) Calcule uma expressão da força f em função das variáveis do sistema.
b) Considerando que a bobina se encontra alimentada com uma fonte de corrente
de amplitude constante e igual a 3A, determine a expressão da força. Determine se a
força actua no sentido do aumento ou da diminuição de energia magnética armazenada.
c) Considerando que a bobina se encontra alimentada por uma fonte de tensão
alternada sinusoidal de frequência igual a 500 Hz e que a resistência do condutor é nula,
determine uma expressão para a força e se o sentido dessa força actua no sentido de
diminuição ou aumento de energia magnética média armazenada no sistema.
Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia
Gil Marques 02-04-02
29
IIINo dispositivo que se mostra na figura, os campos de dispersão nas extremidades
podem ser desprezados. O valor da capacidade pode ser assim determinada e expresso
como:
C = ε0 Ad - x
onde A é a área da armadura. Quando se aplicar uma tensão u=0 e uma força f=0,
o sistema encontra-se em equilíbrio em x=0. Despreze qualquer atrito mecânico mas
considere a força da gravidade.
d
xfKi
u M
a) Determine as equações dinâmicas do dispositivo.
IVDeterminou-se experimentalmente que a relação entre o fluxo e a corrente de um
determinado sistema electromecânico depende da posição da sua peça móvel x e da
corrente i pela relação:
ψ =
1000 i
x3+1 2/3
A bobina tem uma resistência de r ohm.
a) Obtenha uma expressão para a força mecânica de origem eléctrica.
b) Escreve as equações do movimento do sistema.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
30
VUm determinado sistema eléctrico tem uma relação entre as cargas e os potenciais
dada por:
q(u, x) = qm (1-e-βxu)
onde β e qm são constantes e u é a tensão entre as armaduras do condensador. O
ponto de equilíbrio do sistema é x = x0.
Obtenha as equações dinâmicas deste sistema.
VIUm determinado sistema magnético com dois pares de terminais eléctricos (u1, i1)
e (u2, i2) e um grau de liberdade mecânico (f, x) é definido pela seguinte relação entre as
tensões e as correntes:
u1 = 2 a i1 di1dt +
ddt (b(x) i2)
u2 = ddt (b(x) i1) + 2 c i2
di2dt
em que a e c são duas constantes reais positivas e b(x) é independente de qualquer
corrente e é unívoca para cada x.
a) Será a co-energia magnética uma função de estado de i1, i2 e x? Determine esta
co-energia.
b) Será que a energia magnética armazenada é igual à co-energia?
c) Obtenha uma expressão para a força em termos das variáveis i1, i2 e x.
Cap. 2 Sistemas Electromagnéticos
Gil Marques 02-04-02
31
Capítulo 2
Sensores e Actuadores Electromecânicos
Neste capítulo faz-se uma abordagem ligeira dos sensores e actuadores
electromecânicos de vários tipos. A classificação que se adoptou encontra-se
generalizada em alguns livros da especialidade. Os sistemas onde os fenómenos de
conversão de energia são essencialmente de origem magnética são classificados de
acordo com a presença ou não de um ou vários ímanes permanentes e da sua
localização. A matéria que se encontra tratada neste capítulo pode ser considerada como
aplicações da teoria descrita no primeiro capítulo.
2.1 - Sistemas de relutância
Modelo Matemático
Por definição, um sistema de relutância não comporta nenhum íman permanente
sendo o seu binário (ou força) caracterizado por componentes resultantes da variação da
indutância própria das bobinas. Assim, existirá obrigatoriamente uma variação dos
circuitos magnéticos associados a estas indutâncias. No caso do circuito magnético
linear com apenas uma bobina, temos para as equações do binário e das tensões:
θd
dLi Mem
2
1 2= (2.1)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
32
dt
d
d
dL i
dt
di L ri u
θθ
++= (2.2)
Propriedades gerais dos sistemas relutantes
Da equação 2.1 pode concluir-se:
• O binário é proporcional ao quadrado da corrente. O sentido do binário é
independente do sentido da corrente que atravessa a bobina. O sistema não é linear na
conversão electromecânica e não é apropriado para a transmissão de informação
analógica. Para a análise destes sistemas não é válido o princípio da sobreposição.
• Para obter um binário significativo, a variação da indutância própria deverá ser a
maior possível. Esta variação faz-se à custa de circuitos magnéticos cuja relutância varia
com a posição da peça móvel.
• A grande variação de relutância magnética que se referiu no ponto atrás
traduz-se por fortes variações de fluxo. É vulgar o aparecimento de uma saturação
importante em certas zonas do circuito magnético. Assim, estes sistemas são difíceis de
estudar apesar de serem de concepção simples.
Exemplos
Exemplo 1: Electroímans
Um Electroíman é um componente de um sistema mais complexo como por
exemplo, um relé, um contactor, uma electroválvula, etc.
Como se viu num dos exemplos do capítulo anterior, a força num sistema de
relutância é sempre uma força de atracção. Um electroíman pode ser constituído apenas
pelo sistema de atracção ou também pelo sistema ferromagnético que se desloca
(atraído). No primeiro caso dizem-se electroímans abertos.
Os electroímans podem ser classificados consoante a sua geometria, do seguinte
modo:
Cap. 2 Sistemas Electromagnéticos
Gil Marques 02-04-02
33
A - Núcleo em forma de U
Podem tomar várias formas. São 4 as mais frequentes (fig. 2.1):
• Armadura plana
• Armadura de fecho
• Armadura penetrante
• Armadura girante
a) armadura plana b) Armadura de fecho
c) armadura penetrante d) Armadura girante
Fig. 2.1. Electroímans em forma de U.
B - Electroímans em forma de E
São 4 os mais frequentes (Fig. 2.2):
• Armadura plana • Núcleo de fecho
• Armadura penetrante • Armadura girante
Fig. 2.2. Electroíman em forma de E de armadura plana.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
34
Esta construção geométrica conduz a uma melhor protecção mecânica e magnética
da bobina. Pode ser realizada com núcleo magnético folheado.
C - Electroímans cilíndricos
Podem ser construídos de duas formas:
• Armadura plana (Fig. 2.3)
• Núcleo penetrante
Fig. 2.3. Electroíman cilíndrico de armadura plana.
Neste caso é óptima a protecção da bobina, tanto do ponto de vista mecânico
como magnético. É possível um funcionamento com corrente alternada recorrendo a
materiais ferromagnéticos de baixa condutividade.
D. Electroímans de duplo efeito e reversíveis.
Trata-se da duplicação de um electroíman simples. O sistema é composto de duas
bobinas. Numa estrutura de duplo efeito é necessário assegurar uma posição média
através de uma mola ou de outro processo exterior. A excitação de uma das bobinas
provoca um deslocamento com um determinado sentido. A excitação da outra bobina
provoca um deslocamento no sentido contrário. Em caso de corrente nula a mola
mantêm a peça móvel numa determinada posição.
Nas estruturas reversíveis, o electroíman compreende duas posições extremas
correspondente à alimentação de uma ou outra bobina. Não há aqui o ponto médio
estável como acontece na estrutura de duplo efeito.
Fig. 2.4. Electroíman reversível.
Cap. 2 Sistemas Electromagnéticos
Gil Marques 02-04-02
35
Influência da forma do circuito magnético
A forma de circuito magnético de um dispositivo relutante é fundamental na
característica de força em função da posição. O objectivo é realizar um dispositivo com
característica adaptada à aplicação em causa. Para isso recorre-se frequentemente à
saturação magnética de determinadas zonas do circuito magnético. As peças são
projectadas de modo que as zonas que se querem saturadas tenham uma menor secção.
Assim obtém-se características de força ou binário em função da posição diferentes das
consideradas no exemplo do capítulo anterior onde não se considerou a saturação. Neste
caso o andamento da força segue uma lei próxima de:
f(δ)= k
(δ+a)2 (2.3)
Onde k e a são duas constantes.
Exemplo 2: Relés
Um relé é constituído por um electroíman que actua associado a uma mola. A
bobina ao ser percorrida por corrente eléctrica faz deslocar uma peça móvel e assim
fecha ou abre contactos eléctricos. Tem-se assim um sistema de interruptores que
fecham ou abrem consoante existe corrente ou não numa bobina. Este dispositivo
continua a ser muito utilizado em automatismos industriais.
Exemplo 3: Contactores
Um contactor tem o mesmo princípio de funcionamento que um relé mas assegura
nos seus contactos o fecho ou corte de correntes e tensões mais importantes. O elemento
motor é um electroíman normalmente de armadura penetrante em E. A bobina pode ser
alimentada em corrente alternada ou em corrente contínua. É frequente o utilizador
poder escolher várias gamas de tensão a utilizar para os dois tipos de corrente (AC e
DC).
Além dos contactos principais que deverão ser realizados de forma a cortar
correntes elevadas (e indutivas), o contactor dispõe de um ou mais contactos auxiliares
que poderão ser utilizados na concepção do sistema de comando da instalação. O
contactor é o sistema mais usado para ligar os motores de indução à rede de energia.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
36
Peça fixaPeça móvel
Mola
Bobina
13
14
1 3 5
2 4 6
A
B
a) Esquema b) Símbolo
Fig. 2.5. Contactor.
Exemplo 4: Electroválvulas
A figura 2.6 representa um exemplo de electroválvula munida de um electroíman
de relutância variável. É do tipo cilíndrico de núcleo penetrante. A posição de repouso
(sem corrente na bobina) corresponde ao êmbolo na posição de fecho. A excitação da
bobina provoca o movimento do núcleo e a correspondente deslocação do êmbolo faz
abrir o circuito hidráulico.
a) fechada b) aberta
Fig.2.6. Electroválvula.
Exemplo 5: Motor oscilante relutante
A figura 2.7 representa um motor oscilante de movimento angular. A posição de
equilíbrio sem corrente é definida por um sistema de molas.
Cap. 2 Sistemas Electromagnéticos
Gil Marques 02-04-02
37
Fig.2.7. Motor oscilante.
A excitação da bobina provoca a centragem da armadura móvel. Para que o
sistema arranque é necessário que a frequência própria mecânica do sistema de massa e
molas seja o dobro da frequência de excitação.
Exemplo 6: Motores passo-a-passo
O motor relutante que se mostra na figura 2.8 é trifásico. A alimentação de uma
fase (A por exemplo) provoca um alinhamento dos dentes estatóricos e rotóricos como
se mostra na mesma figura. A alimentação consecutiva da fase B e consequente corte da
fase A provoca um movimento do rotor até que os dentes estejam de novo alinhados
com a fase B. Obtém-se assim uma rotação de 1/12 de volta. A ordem de alimentação
ABC assegura uma rotação no sentido directo enquanto que a ordem ACB provoca um
sentido de rotação inverso.
A
A'
C' B'
B C
Fig. 2.8. Motor passo-a-passo de relutância.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
38
Análise de um motor de relutância rotativo, alimentado em correntealternada
A - Cálculo do binário a partir da relutância
Considere-se o motor rotativo desenhado na figura 2.9. Para calcular o binário
electromagnético Mem exercido sobre o "rotor" pode utilizar-se a equação 1.28. Para
isso é necessário estudar como é que a relutância do circuito magnético varia em função
do ângulo θ: é claro que a relutância do entreferro é preponderante. Esta relutância varia
fortemente com θ:
θRd Rqd
d
d
q
a) b) c)
Fig. 2.9. Máquina de relutância. Esta figura mostra apenas a parte do circuito magnético não estandorepresentada a bobina de excitação.
a) Se θ = 0 ou θ = 180º, isto é, logo que o rotor esteja alinhado segundo o eixo d
(fig. 2.9) a relutância é mínima (pois o comprimento do caminho do fluxo no ar
é mínimo). Chamemo-lhe Rd sem a calcular:
Rd = Rmin
b) Quando θ = 90º ou θ = 270º, isto é o rotor encontra-se alinhado segundo o
eixo q perpendicular a d, a relutância é máxima (fig. 1.9c). Chamemo-lhe Rq:
Rq = Rmax
c) Para valores intermédios de θ, a relutância toma valores intermédios entre Rd e
Rq. Depende da geometria do rotor e da distribuição do fluxo no ar.
O andamento destas variações em função de θ está representado na figura 2.10.
Cap. 2 Sistemas Electromagnéticos
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0 90 180 270 360
Posição [graus]
Rel
utân
cia
Rd
Rq
Fig. 2.10. Variação de relutância segundo θ.
Tendo em conta que a relutância toma o mesmo valor em cada meia volta,
conclui-se que RRRR (θ) é uma função periódica do ângulo 2θ. A lei matemática
aproximada que normalmente se adopta, resulta de um desenvolvimento em série de
Fourier limitado a dois termos. Esta lei encontra-se representada na figura 2.10. Para o
estudo analítico, vai admitir-se algum erro e considerar a expressão 2.4 como a lei
aproximada.
RRRR (θ) = 2
qd RR ++
2qd RR −
cos2θ (2.4)
Aplicando a expressão 1.28 tem-se para o binário:
Mem = 12 φ2 (Rd-Rq) sen(2θ) (2.5)
B - Sistema de relutância alimentado por uma fonte de tensão alternada
sinusoidal
Suponhamos que a tensão aos terminais da bobina é sinusoidal e de frequência
angular ω = 2π f.
u= 2 U cos(ωt) (2.6)
Se se desprezar a resistência, o fluxo vem:
φ = ∫ udtN
1= 2 Φ sen(ωt) onde Φ =
UωN
(2.7)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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40
Substituindo na expressão do binário tem-se:
Mem = 12 φ2 (Rd-Rq) sen(2θ) = Φ2 (Rd-Rq) sen(2θ) sen2(ωt) (2.8)
Suponhamos que o rotor roda a uma velocidade constante. Temos
dθdt = ωm (2.9)
ou
θ = ωm t - αm (2.10)
Utilizando as expressões
sen2 ωt = 1 - cos(2ωt)
2
sen a cos b = 12 [sen (a+b) + sen (a-b)]
obtém-se:
( )( )
( )[ ]
( )[ ]
−−−
−+−
−
−=
mm
mm
m
qdem
tsen
tsen
tsen
M
αωω
αωω
αω
222
1
222
1
22
2
1 2 RRΦ (2.11)
Se ω e ωm forem valores quaisquer, as 4 parcelas têm valores médios nulos.
Se ωm = ± ω, um dos dois últimos termos torna-se igual a +(1/2) sen (2αm) e os outros
têm valor médio nulo.
O valor médio do binário é então:
( ) ( )mqdemavM α2sen
4
1 2 RR −= Φ (2.12)
Para que o dispositivo produza binário de valor médio não nulo, é necessário que
o rotor gire a uma velocidade angular igual à pulsação da fonte.
ωm = ω → Nr = 60 f [rpm] (2.13)
Esta condição representa a condição de sincronismo e Nr é a chamada
"velocidade síncrona". Assim, o motor de relutância pode desenvolver um binário médio
Cap. 2 Sistemas Electromagnéticos
Gil Marques 02-04-02
41
não nulo apenas para duas velocidades de rotação ωm=ω e ωm=-ω. Não tem a
capacidade de arrancar autonomamente. Se for posto em movimento por um meio
auxiliar, continua a rodar tomando uma decalagem (αm) correspondente ao binário
resistente Mc. Se se aumentar progressivamente o binário de carga, o rotor aumenta a
sua decalagem (αm) no sentido negativo até se atingir o ponto:
−°
4,45 2 dq RRφ (2.14)
onde o motor dessincroniza.
Note-se que o binário médio é proporcional ao quadrado da tensão aplicada à
bobina. É também proporcional à diferença entre a relutância segundo o eixo q e a
relutância segundo o eixo d.
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-90 -45 0 45 90
Ângulo [graus]
Bin
ário
( )qd RR −2
4
1Φ
Fig. 2.11. Relação entre o binário médio e o ângulo de decalagem.
C - Cálculo do binário a partir da indutância
O motor de relutância pode ser estudado, utilizando a indutância L(θ) e aplicando
a relação 2.1.
Com efeito, a indutância varia, à priori, segundo uma lei periódica de ângulo 2θ
entre um valor Ld representando o máximo (para θ = 180º, 0º etc.) e um valor Lq
representando o mínimo (para θ = 90º, 270º).
Pode considerar-se que a indutância varia segundo uma lei sinusoidal da mesma
forma que a relutância. Na figura 2.12, representa-se a lei aproximada.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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0 90 180 270 360
Posição [graus]
Indutância
Ld
Lq
Fig. 2.12. Variações da indutância em função de θ.
ou seja:
θθ 2cos22
qdqd LL
LL ) L(
−+
+= (2.15)
A partir da equação 2.1. obtém-se:
θ2sen)(2
1 2qdem -LL i-M =
Alimentação com corrente contínua
Quando a máquina se encontrar alimentada com uma fonte de corrente contínua
constante, o binário tende a alinhar o rotor com o estator. Com efeito, quando houver
uma pequena variação da posição em torno do ponto de alinhamento (θ=0), tem-se:
∆θ>0 ∆Μem <0 Acção centralizante
∆θ<0 ∆Μem >0 Acção centralizante
Quando se pedir um binário de carga Mc, a posição θ de equilíbrio vai ser tal que
Mem=Mc.
Se a máquina rodar a uma determinada velocidade ωm≠0, o binário é uma função
sinusoidal da posição e portanto tem valor médio nulo.
Alimentação com uma fonte de corrente alternada
Suponha-se então que a corrente na bobina seja sinusoidal de pulsação ω
Cap. 2 Sistemas Electromagnéticos
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i(t) = 2 I cos(ωt) (2.16)
deduz-se que o binário instantâneo exercido sobre o rotor vale:
Mem = - 12 i2 (Ld-Lq) sen(2θ) = - I2 (Ld-Lq) sen(2θ) cos2(ωt) (2.17)
Atendendo à semelhança formal com a equação 2.8 pode afirmar-se que este
binário é oscilatório e que o seu valor médio, à velocidade de sincronismo, vale:
Memav = I2 Ld-Lq
4 sen(2αm) (2.18)
Em função do ângulo αm, o binário médio varia segundo uma lei semelhante ao
caso anterior.
2.2. Sistemas Electrodinâmicos
Generalidades.
Por definição um sistema electrodinâmico é caracterizado por um circuito
ferromagnético composto por um íman permanente fixo e uma bobina móvel. O binário
(ou a força) resulta da variação da permeância mútua entre o íman e a bobina. Os
binários resultantes das variações das indutâncias próprias associados à bobina e ao
íman ou são nulos ou de valor desprezável.
Equações.
Para o caso mais frequente que é composto apenas por uma bobina e por um íman,
tem-se para a equação dos binários:
Mem = dPM
dθ Fmi nb ib (2.19)
onde
P M - Permeância mútua entre o íman e a bobina
Fmi , nb ib, - Forças magnetomotrizes associadas ao íman (i) e à bobina (b)
Para a equação das tensões, tem-se
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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miM
bb
bbbb Fdq
d n
dt
di L i r u θP++= (2.20)
Propriedades gerais.
Um sistema electrodinâmico é caracterizado pelas propriedades principais:
1. O binário (ou força) é proporcional à corrente da bobina. Este conversor é linear na
conversão electromecânica: presta-se assim a funções de medida, de regulação ou de
transformação analógica.
2. A indutância própria da bobina deve variar o menos possível em função da posição
desta. Se isto não acontecer aparece uma não linearidade na característica
força-corrente ou binário-corrente.
3. A zona do entreferro é caracterizada por uma indução uniforme.
4. Os sistemas electrodinâmicos são caracterizados por inércias muito baixas. Como
consequência, a constante de tempo mecânica também será baixa.
5. Sendo o binário (ou a força) proporcional à corrente, uma inversão de sentido desta
provocará uma inversão do sentido da força. Isto presta-se a movimentos
oscilatórios de vai e vem. O principal inconveniente para realizar este movimento
oscilatório encontra-se na alimentação da bobina móvel. Para um movimento
contínuo de rotação ou translação, é indispensável um recurso a escovas.
Exemplo 7: Altifalante.
Princípio e características
O altifalante é um sistema que assegura uma conversão de energia eléctrica em
energia acústica. O accionador do dispositivo assegura uma conversão mecânica
acústica. A figura 2.13 descreve o princípio de um altifalante electromecânico. O
transdutor electromecânico provoca um movimento de vai e vem na membrana que se
traduzirá em sinal sonoro.
Cap. 2 Sistemas Electromagnéticos
Gil Marques 02-04-02
45
O Transdutor do altifalante
O transdutor electromecânico mais vulgar é do tipo electrodinâmico. Também
poderá ser do tipo electromagnético ou electrostático.
O transdutor electrodinâmico compreende um íman e um circuito magnético em
forma de pote. Podem ser utilizadas variantes diferentes.
A bobina axial é concêntrica com o núcleo central. É colocada num campo de
indução magnética criado pelo íman. A alimentação da bobina em corrente alternada
permite gerar um movimento oscilatório da mesma frequência, o que vai produzir um
som através da membrana. A amplitude do som tem a ver com a amplitude da corrente
na bobina e com a resposta mecânica de todo o sistema (membrana + bobina).
N
S
íman permanente
circuito magnético
bobina
membrana
Fig. 2.13. Circuito magnético do altifalante.
Exemplo 8: Aparelhos de medida de quadro móvel
São numerosos os dispositivos de medida analógicos baseados no princípio do
aparelho de quadro móvel. Este é composto por um íman permanente e de um núcleo
ferromagnético fixos. No entreferro duplo é disposta uma bobina. A interacção entre o
campo no entreferro e a corrente na bobina provoca um binário proporcional à
intensidade da corrente da bobina. A parte móvel encontra-se ligada a uma mola de
modo a assegurar um deslocamento proporcional à força e por conseguinte à corrente.
Assim é possível materializar a medida de uma corrente (ou de uma tensão através de
uma resistência) pela medida de um deslocamento de uma agulha. A figura 2.14
apresenta dois dispositivos de quadro móvel.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
46
Fig. 2.14 Aparelhos de quadro móvel
Exemplo 9: Traçador
Certos traçadores são equipados dum transdutor do tipo electrodinâmico. A
disposição e o princípio encontram-se representados na figura 2.15.
Fig. 2.15. Traçador electrodinâmico.
Um campo B é criado através de um sistema de ímans permanentes. A interacção
entre este campo de indução e a corrente numa bobina provoca uma força axial. A
posição da bobina é regulada através de um controlador linear de tipo analógico ou
digital. Esta bobina está ligada a uma caneta que vai fazer um traço no sentido vertical
no papel que se encontra em movimento na direcção horizontal.
A figura 2.16 apresenta o esquema de um outro tipo de traçador: uma impressora
de jacto de tinta.
Cap. 2 Sistemas Electromagnéticos
Gil M
47
2.3.
Gen
uma
bobin
da do
Prop
princ
a
bobinarque
Sis
eral
Um
bobi
a é d
ar. P
e
rie
Um
ipais
Jacto de tinta
íman
s
Fig. 2.16. Impressora de jacto de tinta.
temas Electromagnéticos
idades
sistema electromagnético é caracterizado por um ci
na fixas e por um íman permanente móvel. O binár
esprezável devido ao facto da permeabilidade magnét
ara um sistema composto apenas por um íman e por u
θθθ
d
d i n
d
d F M
Mb bmi
)(miem
1 2
2
1 PF
P+=
miM
bb
bbbb .d
d n
dt
di L i r u FP θ
θ++=
dades gerais
sistema electromagnético é caracterizado pelas
:
Papel
02-04-02
rcuito ferromagnético e
io relutante associado à
ica do íman ser próxima
ma bobina, tem-se:
θ)( (2.21)
(2.22)
seguintes propriedades
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
48
1. Existe um binário (ou uma força) de posicionamento sem excitação, isto é sem
corrente na bobina. Esta característica é importante para dispositivos que
devam assegurar uma posição fixa sem excitação.
2. O fluxo criado pela bobina atravessa o íman. Sendo o íman caracterizado por
uma permeabilidade aparente muito baixa, a indutância da bobina é por
consequência muito baixa. Os sistemas electromagnéticos prestam-se assim ao
funcionamento a frequências elevadas.
3. Os motores electromagnéticos são, geralmente, caracterizados por um
rendimento elevado, graças a uma tensão induzida de movimento importante.
Exemplo 10: Motores passo a passo polifásicos
Certos motores passo-a-passo utilizam o princípio electromagnético figura 2.17.
São motores caracterizados por um binário de posicionamento sem corrente. O seu
rendimento é elevado. Necessitam de uma alimentação bipolar. O número de passos por
volta é normalmente baixo.
A
A’
B’BN
S
Fig. 2.17 Motor passo-a-passo electromagnético bifásico 4 passos por volta.
Exemplo 11: Motores passo-a-passo monofásicos
A maior parte de motores passo-a-passo monofásicos são do tipo
electromagnético. Podem ser de rotor cilíndrico ou de rotor em “bolacha” figura 2.18.
Cap. 2 Sistemas Híbridos
Gil Marques 02-04-02
49
Fig. 2.18. Motor passo a passo de rotor em bolacha.
Exemplo 12: Captores.
Certos captores utilizam a técnica electromagnética. O íman permanente móvel
está associado à grandeza a medir, em geral uma velocidade ou uma aceleração. Uma
estrutura magnética ligada a bobinas permite detectar uma variação da grandeza a medir
pela variação de fluxo da bobina criada pela variação do movimento do íman. As
bobinas detectam uma tensão induzida que em geral é proporcional à grandeza que se
pretende medir.
Como exemplo, a figura 2.19a apresenta a cabeça de leitura magnética de um gira
discos tradicional. O movimento da agulha é convertido em variação de fluxo que por
sua vez é detectado na bobina. A figura 2.19b apresenta um captor estereofónico.
bobina
Circuitomagnético
íman
agulha
bobinas
Circuitosmagnéticos
íman
agulha
a) Vulgar b) Estereofónico
Fig. 2.19. Sistemas de leitura de um gira discos
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
50
2.4. Sistemas Relutantes Polarizados ou Híbridos
Generalidades
Um sistema relutante polarizado, também designado por sistema híbrido, é
caracterizado por um íman e um circuito eléctrico fixos. A parte móvel é
ferromagnética. Em certos casos o íman pode ser encontrado associado à parte móvel,
mas combinado com uma estrutura ferromagnética. Ao contrário do sistema
electromagnético, o fluxo principal criado pela bobina fecha-se pelo ferro sem
atravessar o íman. À priori, nenhum dos termos do binário pode ser desprezado. Assim:
Mem = 12 Fmi
2 dP 1(θ)
dθ + Fmi nb ib dP M(θ)
dθ + 12 (nb ib) 2
dP 2(θ)
dθ (2.23)
Propriedades gerais.
Estes sistemas são caracterizados pelas seguintes propriedades:
1. Apresentam as características de um sistema relutante beneficiadas com as
vantagens resultantes do íman permanente.
2. Consoante a concepção, o binário de posicionamento devido apenas ao íman
pode ser desprezável ou importante consoante os casos.
3. Ao contrário dos sistemas electromagnéticos, os sistemas relutantes
polarizados são caracterizados por constantes de tempo elevadas pois o
entreferro é relativamente estreito e o circuito magnético é essencialmente do
tipo ferromagnético.
Comportamento
O movimento de um sistema relutante polarizado resulta da importância das
acções dos binários mútuos relutantes e devidos ao íman permanente. A combinação das
amplitudes, das fases e dos períodos geométricos destes termos diversos permite realizar
sistemas com características estáticas e dinâmicas diversificadas.
Estes sistemas apresentam um caracter relutante e a saturação é muito importante.
Cap. 2 Sistemas Electrostáticos
Gil Marques 02-04-02
51
Estruturas possíveis
À priori são possíveis duas possibilidades para a disposição relativa do íman e das
bobinas de um transdutor relutante polarizado: Podem estar sobre o mesmo suporte ou
em suportes diferentes. Não há nenhuma vantagem de natureza electromagnética em
cada um destes casos. São considerações de natureza económica, construtiva ou
dinâmica que tornam uma solução mais interessante que a outra.
Íman fixo
A figura 2.20 mostra um exemplo de um motor oscilante relutante polarizado. O
íman e as bobinas são colocados no mesmo suporte. A distribuição respectiva dos fluxos
devidos ao íman e às bobinas está esquematizada no desenho. Um íman tubular, no caso
da estrutura cilíndrica deste transdutor, é caro ou difícil de obter. Neste caso será
preferível a solução da figura 2.21.
Fig. 2.20 Motor oscilante de íman fixo
Fig. 2.21 Motor oscilante de íman móvel
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
52
Íman móvel
A figura 2.21 mostra o mesmo motor com um íman ligado à parte móvel. A
distribuição de fluxo está representada segundo a mesma convenção da figura 2.20.
Exemplo 13: Electroímans polarizados
Um electroíman que contenha um íman permanente no seu circuito magnético é
caracterizado por uma força de manutenção sem corrente.
A figura 2.22 mostra o princípio aplicado a um contactor. O íman permite a
manutenção do núcleo móvel em posição fechado mesmo quando a corrente da bobina
for nula. É necessário uma excitação negativa para provocar a descolagem. Uma
excitação positiva assegura uma atracção ainda maior.
Mola
Bobina
Peça fixa
Peça móvel
NS
Mola
Bobina
Peça fixa
Peça móvel
NS
Fig. 2.22. Electroíman polarizado.
Estes sistemas são aplicados, geralmente, na abertura ou fecho de contactos.
Podem ser aplicados em electroválvulas, em sistemas de comando, etc.
Exemplo 14: Motores oscilantes
A figura 2.23 apresenta uma disposição relativa possível para o motor oscilante,
aplicada a uma campainha eléctrica.
O movimento da parte móvel assegura a abertura e fecho de contactos o que
provoca a inversão da corrente na bobina de excitação. Trata-se de um sistema
auto-pilotado em posição.
Cap. 2 Sistemas Electrostáticos
Gil Marques 02-04-02
53
NS
NS
Fig. 2.23. Motor oscilante.
Exemplo 15: Motores de binário
A técnica relutante polarizada presta-se bem à realização de motores que
apresentam um binário importante com uma amplitude de movimento inferior a uma
volta.
Estes motores são designados por motores de binário. A figura 2.24 apresenta um
exemplo. Estes motores são frequentemente utilizados em estruturas de regulação
principalmente em electroímans.
Fig. 2.24. Motor de binário
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
54
2.5. Sistemas Electrostáticos
Generalidades
Ao contrário dos sistemas que se acabam de descrever, cujo funcionamento é
baseado na utilização do campo magnético como campo de acoplamento, os sistemas
electrostáticos são baseados no campo eléctrico. Embora muito menos frequentes e de
muito menor variedade, os sistemas electrostáticos tem vindo a ganhar uma importância
cada vez maior. A razão desta menor utilização está relacionada com a amplitude da
força que se pode extrair destes dispositivos quando comparados com os dispositivos
baseados no campo magnético.
Equações
Estes sistemas também podem ser estudados a partir da função de estado
co-energia eléctrica. A função co-energia eléctrica é uma função dos potenciais e das
coordenadas de posição. Para o caso em que se tem duas diferenças de potencial u1 e u2
e uma coordenada de posição θ, tem-se
W’e = W’e (u1, u2, θ) (2.24)
A co-energia eléctrica escreve-se
2222112
211
'2
1
2
1uCuuCuCWe ++= (2.25)
Da analogia com os sistemas magnéticos, tira-se:
θ∂∂=
'e
emW
F (2.26)
2
'
21
'
1 u
WQ
u
WQ ee
∂∂=
∂∂= (2.27)
Um sistema electrostático poderá ser modelizado do seguinte modo:
1. Equação do binário
θθθ ∂∂+
∂∂+
∂∂= 22
212
2112
1 2
1
2
1 Cu
Cuu
CuMem (2.28)
Cap. 2 Sistemas Electrostáticos
Gil Marques 02-04-02
55
2. Equações eléctricas
A relação entre as cargas e as potenciais, será:
=
2
1
212
121
2
1u
u
CC
CC
q
q(2.29)
em que os coeficientes de capacidade serão função da coordenada de posição θ.
A equação da conservação da carga permite escrever:
+
=
2
1
212
121
2
1
212
121
2
1u
u
CC
CC
u
u
dt
d
CC
CC
i
iθ (2.30)
As equações 2.28 e 2.30 são as equações procuradas e permitem modelizar um
sistema electrostático com dois graus de liberdade eléctricos e um grau de liberdade
mecânico, neste caso uma coordenada de posição angular. O formalismo não se altera se
em vez de um sistema angular de coordenada de posição se considerar um sistema linear
de coordenada de posição x. Assim, em vez do binário teremos uma força e em vez de
θ teremos x.
Um grande número de dispositivos tem apenas um grau de liberdade eléctrico. As
equações simplificam-se neste caso. Seja, por exemplo, um dispositivo de movimento
linear. Tem-se:
W’e = 12 u2 C(x) (2.31)
O modelo será
i = C(x)dudt +
dxdt
dCdx u
F= 12 u2
dCdx (2.32)
Justifica-se a derivada total da capacidade em ordem à posição pelo facto de a
capacidade ser uma função que depende apenas da posição.
Propriedades gerais
Os sistemas electrostáticos são caracterizados pelas seguintes propriedades
principais:
1. A força (ou binário) é extremamente reduzida.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
56
2. Não tem alguns problemas dos sistemas electromagnéticos isto é: linearidade do
circuito magnético, saturação e histerese.
3. Prestam-se facilmente à miniaturização.
Exemplo 16: Voltímetro Electrostático
O voltímetro electrostático é um sistema com um par de terminais eléctricos. É
regido pelas equações 2.32 onde se tem normalmente dC/dx = cte.
A parte móvel encontra-se ligada a uma mola. A posição de equilíbrio do ponteiro
é determinada quando a força de origem electrostática equilibra a força da mola. São
voltímetros de verdadeiro valor eficaz, isto é medem o valor eficaz da tensão
independentemente da sua forma de onda. São caracterizados por uma impedância
interna extremamente elevada.
Exemplo 17: Motor passo-a-passo electrostático
A figura 2.25 apresenta o esquema de um motor de passo-a-passo miniaturizado.
Fig. 2.25. Esquema de um motor passo-a-passo miniaturizado
Este tipo de motor explora a escala favorável das forças electrostáticas no domínio
do micrómetro. O rotor de oito dentes roda em torno do centro até 2500 rpm
respondendo a tensões aplicadas sequencialmente aos pólos do estator de modo a criar
um campo electrostático girante. O “entreferro” é de 2 µm. Tem um binário máximo de
12 pNm com uma tensão de excitação de 100 V.
Exemplo 18: Sensores electrostáticos
São numerosos os sensores de origem electrostática. Desde os detectores de
posição, acelerómetros até aos altifalantes e microfones, uma variedade imensa de
Cap. 2 Sistemas Electrostáticos
Gil Marques 02-04-02
57
dispositivos está hoje a ser desenvolvida vencendo algumas limitações dos dispositivos
de origem magnética.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
58
Exercícios de Revisão:
IUm contactor tem o circuito magnético indicado na figura. A bobina tem 1000
espiras e uma resistência de 100 Ω.
δ
5 cm
3 cm
Secção=10 cm2
Fazendo as simplificações que achar necessárias, determine:
1. A expressão da relutância magnética do circuito.
2. A expressão da energia magnética armazenada no sistema.
3. O valor da força e do seu sentido em função de δ.
4. Este contactor é alimentado por uma fonte de tensão alternada sinusoidal de
valor eficaz igual a 230V e de frequência igual a 500 Hz. Determine a
expressão da força em função da posição da armadura.(A altura máxima da
armadura é 0,5cm).
5. Alimente-se agora a bobina deste contactor com uma fonte de tensão contínua
U. Determine a expressão da força em função da posição e do valor da tensão
aplicada U.
6. Entre a armadura e a peça fixa encontra-se uma mola que se comprime quando
a armadura se fecha. Escreva as equações que permitam determinar o regime
transitório do fecho da armadura nas situações das questões 4 e 5. Arbitre um
valor para o coeficiente de elasticidade da mola.
Cap. 2 Sistemas Electrostáticos
Gil Marques 02-04-02
59
IIUm motor passo-a-passo de relutância, de 3 fases, tem os coeficientes de indução
própria com a forma indicada na figura. Não se sabe como é que variam os coeficientes
de indução mútua. Pretende-se alimentar este sistema com um conversor de corrente
comutado. A partir de uma fonte de corrente este conversor faz circular a corrente por
uma fase apenas em cada instante, trocando sucessivamente a corrente de fase em
instantes bem definidos. Admite-se que a comutação é instantânea.
π 2ππ/2 3π/2
La Lb Lc
θ
Ld
Lq
a) Diga em que instantes em função da posição θ ligaria a corrente a cada uma das
fases se desejar que o sistema funcione como motor.
b) Calcule o valor do binário em função da corrente de alimentação e da lei de
comutação que determinou na alínea a).
c) Determine as equações eléctricas do sistema para a lei de comutação da alínea
a).
d) Será que este sistema também pode funcionar como gerador? Justifique a sua
resposta.
III
Considere a máquina rotativa esquematizada em baixo. O rotor da máquina é
constituído por um par de condutores ligados à terra. Dois pares de condutores fixos,
formam o estator; um dos pares está ao potencial u1 relativamente à terra, admitindo
uma carga total q1; o outro está ao potencial u2 em relação à terra, admitindo a carga
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
60
total q2. Por construção tem-se que: q1=C0 (1+cos 2θ) u1 e q2 =C0 (1–cos 2θ) u2
sendo C0 uma constante positiva.
Indique todos os cálculos e hipóteses que vier a efectuar.
u1
q1
u2
q2
a) Qual é o binário de origem eléctrica exercido sobre o rotor na direcção de θ.
b) Sendo u1=U0 cos ωt e u2 = U0 senωt e θ=ωt+θ0, calcule a expressão do
binário em função do tempo.
c) Calcule o valor médio do binário no tempo. Interprete o resultado.
d) Resolva as alíneas a), b) e c) admitindo agora que:
q1 =(C0 + C1 cos 2θ) u1 + C1 sen 2θ u2
q2 = C1 sen 2θ u1 + (C0 - C1 cos 2θ) u2
Cap. 2 Sistemas Electrostáticos
Gil Marques 02-04-02
61
IV
A figura mostra uma máquina síncrona monofásica de relutância. O rotor tem k
dentes (o desenho é feito para k = 12). O estator tem uma fase mostrada em corte
transversal pelos pontos e cruzes. O rotor não tem enrolamentos.
θ
Admita que o coeficiente de auto indução do enrolamento do estator como função
da posição angular θ do rotor é dado pela expressão:
Ls = L0 + Lk cos k θ
onde L0 e Lk são constantes. Admita também que a corrente do estator é dada por:
i = I cosωt
a) Obtenha uma expressão para a velocidade em radianos por segundo para a qual
o motor desenvolve binário em valor médio não nulo. Exprima a velocidade em termos
da frequência angular ω, da corrente I, e do número de dentes k.
b) Obtenha também uma expressão para o binário médio para esta velocidade
síncrona em termos de corrente I, dos coeficientes L0 e/ou Lk, e de outras variáveis que
necessitar.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
63
Capítulo 3
Modelos Dinâmicos das Máquinas Eléctricas deCorrente Alternada
3.1 Introdução
Neste capítulo obtêm-se os modelos das máquinas eléctricas de corrente alternada
válidos em regime estacionário e em regime transitório. Posteriormente estes modelos
serão utilizados para a obtenção e análise da resposta dinâmica destes sistemas em
cadeia aberta e em cadeia fechada.
O estudo do regime transitório das Máquinas Eléctricas é feito utilizando a teoria
dos circuitos e admitindo certas hipóteses simplificativas:
1. O circuito magnético é considerado linear, isto é, despreza-se a saturação
magnética e a histerese.
2. Consideram-se distribuições sinusoidais de ondas de f.m.m. e enrolamentos
distribuídos sinusoidalmente.
3. Desprezam-se as perdas no ferro.
Dada a complexidade formal dos modelos das máquinas de corrente alternada,
como se verá na secção 3.2, este tema é abordado de uma forma progressiva. Assim
começa-se por substituir os enrolamentos trifásicos por enrolamentos bifásicos
equivalentes o que dá origem à necessidade de introduzir a teoria das transformações.
Esta teoria é apresentada de uma forma elementar na secção 3 onde se mostra que para
além das máquinas eléctricas, a teoria das transformações também pode ser aplicada
noutras áreas da Engenharia Electrotécnica como é o caso da teoria dos circuitos. A
seguir apresenta-se a transformação de dois eixos de potência invariante que designamos
neste texto por transformação de Concordia. Esta transformação transforma os 3
enrolamentos de um sistema trifásico em dois enrolamentos equivalentes.
A aplicação da transformação de Concordia às máquinas assíncronas e síncronas é
feita com todo o detalhe. Para uma melhor interpretação física, as máquinas assíncrona e
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
64
síncronas de pólos lisos são abordadas simultaneamente a partir de um modelo de
conversor rotativo com quatro circuitos eléctricos ligados magneticamente. Este modelo
pode ser interpretado de duas formas. Por um lado pode ser interpretado como um
sistema físico em que existem dois enrolamentos em quadratura no estator e igualmente
dois enrolamentos em quadratura no rotor. Por outro lado pode ser visto como o
equivalente em coordenadas α, β de uma máquina de indução trifásica.
Depois da apresentação dos modelos das máquinas em coordenadas α,β da
máquina de pólos salientes, apresenta-se a transformação α, β → dq que se vai aplicar
ao referido modelo. Esta transformação não representa mais do que uma simples
mudança de referencial. Obtêm-se assim os modelos em coordenadas de Blondel-Park
das Máquinas assíncronas e das máquinas síncronas. Por fim, na secção 10 faz-se a
introdução da notação complexa. Esta notação não introduz nenhum conceito novo nos
modelos das máquinas em coordenadas αβ ou dq. Representa uma passagem dos
modelos para variáveis no plano de Argand o que tem algumas vantagens na análise e
interpretação física.
No sentido de simplificar a exposição adopta-se a convenção motor e o ângulo de
posição θ é medido em radianos eléctricos.
3.2 Coeficientes de indução das Máquinas Eléctricas
A - Máquina Assíncrona
Coeficientes de auto-indução
Como estas máquinas tem um entreferro constante, os valores dos coeficientes de
auto-indução dos enrolamentos do estator, bem como os do rotor não dependem da
posição θ do rotor. Atendendo à simetria, pode concluir-se que os três coeficientes de
auto-indução do estator são todos iguais. O mesmo se passa com os coeficientes de
auto-indução dos enrolamentos do rotor.
Coeficientes de indução mútua entre enrolamentos do mesmo lado
Como a posição relativa entre estes enrolamentos é fixa, isto é, não depende da
posição do rotor, estes coeficientes também são constantes tal como os coeficientes de
auto-indução. Atendendo à simetria, enrolamentos desfasados dois a dois de 120º, pode
afirmar-se que os seus valores serão todos iguais. Como o ângulo entre estes
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
65
enrolamentos é superior a 90º, o valor destes coeficientes é negativo. As matrizes
correspondentes serão:
LE =
Lss Mss Mss
Mss Lss Mss
Mss Mss Lss
LR =
Lrr Mrr Mrr
Mrr Lrr Mrr
Mrr Mrr Lrr
(3.1)
O índice s refere-se ao estator e o índice r ao rotor. Os coeficientes de
auto-indução são representados pela letra L e os coeficientes de indução mútua pela letra
M.
Coeficientes de indução mútua entre enrolamentos do estator e enrolamentos
do rotor.
A forma dos coeficientes de indução mútua entre os enrolamentos do estator e os
enrolamentos do rotor são de importância fundamental no funcionamento da máquina de
indução.
Estes coeficientes de indução variam com a posição do rotor e são uma função
periódica de θ. A figura 3.1 apresenta a disposição relativa dos vários enrolamentos
numa máquina de indução de rotor bobinado. A coordenada de posição θ (ângulo
eléctrico θ=pθm) é definida pelo ângulo de desfasagem entre os enrolamentos 1 e 4.
x
y
θ
1
2
3
45
6
Fig. 3.1 Disposição relativa entre os enrolamentos da máquina de indução
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
66
a) Andamento do coeficiente de indução mútua.
0 1ªH 2ªH 3ªH 4ªH
b) Análise harmónica
Fig. 3.2 Análise harmónica do coeficiente de indução mútua entre um enrolamento do estator e umenrolamento do rotor.
A figura 3.2 apresenta o andamento de um destes coeficientes determinado
experimentalmente utilizando-se para isso uma máquina de 1.5kW. O método utilizado
na determinação destes coeficientes vem descrito no anexo 1 deste capítulo.
Pode verificar-se naquela figura que estes coeficientes são aproximadamente
sinusoidais. São funções coseno do ângulo entre os dois enrolamentos respectivos.
Atendendo às convenções da figura 3.1, tira-se:
M1,4 = Msrcos θ + M3 cos 3θ (3.2)
Na equação 3.2 considera-se também a 3ª harmónica pois o método que utilizamos
no laboratório não permite visualizar harmónicas de ordem múltiplas de 3. No caso
geral existirão harmónicas ímpares.
Atendendo à simetria, os ângulos entre os enrolamentos serão:
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
67
4 5 6
1 θ θ + 2π3 θ +
4π3
2 θ + 4π3 θ θ +
2π3
3 θ + 2π3 θ +
4π3 θ
e como:
cos 3
θ +
2π3 = cos 3
θ +
4π3 = cos 3θ (3.3)
o termo correspondente à terceira harmónica será sempre M3cos3θ para todos os
coeficientes.
Se se convencionar escrever:
θ2 = θ + 2π3 θ3 = θ +
4π3 , (3.4)
a matriz dos coeficientes de indução mútua entre o estator e o rotor escreve-se:
M =
Msrcosθ Msrcosθ2 Msrcosθ3
Msrcosθ3 Msrcosθ Msrcosθ2
Msrcosθ2 Msrcosθ3 Msrcosθ
+
M3cos3θ M3cos3θ M3cos3θ
M3cos3θ M3cos3θ M3cos3θ
M3cos3θ M3cos3θ M3cos3θ
(3.5)
Modelo da máquina de indução em grandezas abc
As 3ªs harmónicas dos coeficientes de indução são praticamente desprezáveis.
Normalmente aceita-se como válido o modelo que considere sinusoidais os coeficientes
de indução mútua entre o estator e o rotor. Mais à frente ver-se-á qual a influência dos
termos da terceira harmónica. Com esta simplificação, obtém-se:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
68
ψ1
ψ2
ψ3
ψ4
ψ5
ψ6
=
Lss Mss Mss Msrcosθ Msrcosθ2 Msrcosθ3
Mss Lss Mss Msrcosθ3 Msrcosθ Msrcosθ2
Mss Mss Lss Msrcosθ2 Msrcosθ3 Msrcosθ
Msrcosθ Msrcosθ3 Msrcosθ2 Lrr Mrr Mrr
Msrcosθ2 Msrcosθ Msrcosθ3 Mrr Lrr Mrr
Msrcosθ3 Msrcosθ2 Msrcosθ Mrr Mrr Lrr
i1
i2
i3
i4
i5
i6
(3.6)
A partir das equações 3.6 que relacionam os fluxos ligados com as correntes
obtém-se o sistema de equações diferenciais que constitui o modelo da máquina como
se viu no capítulo 1.
Como a relação entre os fluxos e as correntes 3.6, é uma função não linear da
posição angular do rotor θ, o modelo matemático desta máquina é constituído por um
conjunto de equações diferenciais não lineares.
B - Máquina Síncrona de pólos salientes
Considere-se uma máquina síncrona de pólos salientes. Para simplificar vamos
considerar uma máquina sem enrolamentos amortecedores. A representação simbólica
dos enrolamentos desta máquina encontra-se na figura 3.3.
f
x
y
θ
1
2
3
Fig. 3.3. Representação de uma Máquina Síncrona de pólos Salientes em abc.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
69
Indutâncias próprias
A indutância própria do enrolamento de excitação é constante e independente da
posição angular do rotor θ. Com efeito, uma vez que a periferia do estator é cilíndrica, o
circuito magnético visto pelo enrolamento do rotor é constante.
A maior dificuldade na análise das máquinas de pólos salientes constitui a forma
dos coeficientes de auto-indução do estator e de indução mútua estator-estator.
O entreferro visto por estes enrolamentos em cada ponto da periferia é
heterogéneo e varia fortemente com a posição do rotor θ.
As funções dos coeficientes de auto-indução são funções pares, isto é, funções
coseno da posição θ. Uma vez que o circuito do ferro do pólo norte é, aparte pequenos
detalhes como o magnetismo residual, indistinguível do circuito do ferro do pólo sul,
apenas harmónicas de ordem par estarão presentes na sua equação.
Segundo Charles V. Jones, é necessário considerar todos os termos até à quarta
harmónica. Contudo é normalmente aceite a aproximação que consiste em utilizar
apenas o termo constante (de ordem zero) e o termo de ordem 2. A figura 3.4 apresenta
o andamento e a análise harmónica destes coeficientes. Esta figura foi obtida no
Laboratório utilizando o método que temos vindo a referir. Estes coeficientes de indução
dizem respeito a uma máquina de 1.5kW.
a) Andamento do coeficiente de indução própria.
0 2ªH 4ªH 6ªH 8ªH
b) Análise harmónica
Fig. 3.4 Indutância própria estator-estator
Atendendo às considerações atrás referidas, tem-se:
L11 = La + Lb cos 2θ + Lc cos 4θ (3.7a)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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70
L22 = La + Lb cos 2θ3 + Lc cos 4θ3 (3.7b)
L33 = La + Lb cos 2θ2 + Lc cos 4θ2 (3.7c)
Indutância mútua, estator-estator
Pelo facto de existir saliência na peça polar do rotor, os coeficientes de indução
mútua não terão a forma simples (constantes) como têm na máquina assíncrona.
Mais uma vez se deverão esperar funções pares e por considerações de simetria
deverá adiantar-se que, por exemplo, a indutância mútua entre as fases 1 e 2 deverá ter
um mínimo quando o rotor se encontra alinhado com a fase 3. A figura 3.5 apresenta
resultados experimentais obtidos sobre a mesma máquina. Estes resultados
experimentais não permitem observar o termo constante (de ordem zero).
A forma dos coeficientes de indução mútua será:
M12 = Ma + Mb cos 2θ2 + Mc cos 4θ2 (3.8a)
M23 = Ma + Mb cos 2θ + Mc cos 4θ (3.8b)
M31 = Ma + Mb cos 2θ3 + Mc cos 4θ3 (3.8c)
em que Ma, Mc são valores negativos.
a) Andamento do coeficiente de indução mútua.
0 1ªH 2ªH 3ªH 4ªH
b) Análise harmónica
Fig. 3.5 Indutância mútua estator-estator
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
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71
Indutâncias mútuas entre o estator e o rotor
Resultados experimentais mostram que numa máquina síncrona típica, as
indutâncias mútuas tem a forma simples:
M1f = MF cos θ + MF3 cos 3θ (3.9a)
M2f = MF cos θ3 + MF3 cos 3θ (3.9b)
M3f = MF cos θ2 + MF3 cos 3θ (3.9c)
O conteúdo harmónico é normalmente desprezável e pode considerar-se apenas a
primeira harmónica.
A explicação deste facto reside em que uma das mais importantes preocupações
do projectista é produzir uma máquina com uma tensão sinusoidal no induzido. Estas
indutâncias determinam a forma de onda em vazio da máquina e numa máquina bem
projectada, a sua variação com a posição do rotor deve ser aproximadamente sinusoidal.
a) Andamento do coeficiente de indução mútua.
0 1ªH 2ªH 3ªH 4ªH
Fig. 3.6. Análise harmónica de indutância mútua estator-rotor .
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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72
Modelo das Máquinas Síncronas
O modelo normalmente utilizado para o estudo das máquinas síncronas despreza
as harmónicas de ordem 4 nos coeficientes de indução relativos ao estator e considera
apenas a primeira harmónica nos coeficientes de indução mútua entre o estator e do
rotor. Obtém-se:
ψ1
ψ2
ψ3
ψf
=
La+Lbcos2θ Ma+Mbcos2θ2 Ma+Mbcos2θ3 MFcosθ
Ma+Mbcos2θ2 La+Lbcos2θ3 Ma+Mbcos2θ2 MFcosθ3
Ma+Mbcos2θ3 Ma+Mbcos2θ La+Lbcos2θ2 MFcosθ2
MFcosθ MFcosθ3 MFcosθ2 Lf
i1
i2
i3
if
(3.10)
Tal como na máquina de indução, pode obter-se o modelo de máquina síncrona a
partir das equações 3.10.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
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73
3.3 Transformações de variáveis
Introdução
A ideia chave da teoria unificada das Máquinas Eléctricas é o conceito de
transformação. As transformações ocorrem em quase todos os ramos das Matemáticas
aplicadas, desde a simples mudança de eixos na geometria analítica até à transformação
das componentes simétricas desenvolvida por Fortescue e a transformação dos eixos dq
desenvolvida por Blondel e Park para resolver o problema da modelização da Máquina
Síncrona.
Os modelos matemáticos das máquinas eléctricas têm a forma matricial
apresentada na equação 3.11.
U = RI + .θ
dLdt I + L
dIdt (3.11a)
Mem = 12 IT
dL
dθ I (3.11b)
Normalmente conhece-se a matriz U e pretende determinar-se a matriz I. No caso
geral, estas matrizes são variáveis no tempo tal como a matriz L.
O objectivo da aplicação de uma transformação de variáveis é de simplificar o
modelo matemático. Dito de outra forma, é partir do modelo 3.11 e chegar a um outro
modelo com novas variáveis escrito na mesma forma mas em que as matrizes são mais
simples. Designemos por (' ) as novas variáveis e novas matrizes.
Consideremos uma mudança de variáveis definida pelas matrizes P e Q onde
I = Q I’ U’ = P U e ψψψψ’ = P ψψψψ (3.12)
Substituindo na expressão 3.12 I por QI' e multiplicando à esquerda por P
obtém-se:
P U = PRQ I’ + P
.
θ dLdθ QI’ + P L
dQ
dt I’ + QdI’dt (3.13)
Para que esta equação seja formalmente idêntica à equação 3.11a deverá ter-se:
R’ = PRQ (3.14a)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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74
L’ = PLQ (3.14b)
G = G’ + G” = P
dL
dθ Q + P L
dQ
dθ (3.15)
Assim teremos para o novo modelo.
U’ = R’I’ + .θ G I’ + L’
dI’dt (3.16)
Para a matriz G contribui a matriz que resulta da derivada de L em ordem à
posição do rotor e da derivada da matriz de transformação Q.
As equações 3.12 relacionam as variáveis originais (desconhecidas) com as
variáveis novas que deverão ser conhecidas depois de resolvido o sistema 3.16. Para que
este sistema possa ser resolvido é necessário conhecer primeiro a matriz U’. Esta matriz
U’ é determinada a partir das matrizes U e P que são conhecidas.
Condição de invariância de potência
A determinação da relação entre as matrizes P e Q é feita baseada num critério de
importância capital: a potência no sistema 3.12 deverá ser igual à potência no sistema
3.12. Assim, tem-se
p = [u1 i1+u2 i2+ ...+ un in] = UTI e P’ = U’TI’ (3.17)
aplicando a transformação 3.13 obtém-se
p = UTQI’ = p' = U’TI’ (3.18)
donde
U’T = UTQ U’ = QT U donde P = QT (3.19)
A equação 3.19 dá-nos a relação procurada. A matriz P deverá ser igual à
transposta de Q para que a potência se mantenha inalterável na transformação.
Embora nem todos os autores imponham esta condição, neste curso vamos manter,
por agora, este resultado em todas as transformações que efectuarmos.
As equações 3.12 e 3.19 definem uma transformação de variáveis em que a
potência nos dois sistemas é idêntica. Note-se que a matriz Q pode não ser uma matriz
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
75
quadrada. No caso em que esta matriz seja uma matriz rectangular o número de
equações dos dois modelos será diferente.
Quando na matriz de transformação existirem números complexos, faz-se a
potência complexa invariante, isto é, a potência activa e a potência reactiva. Donde:
_S = UT* I =
_S ’ (3.20)
Como
U’T* I’ = UT* I = UT* Q I’
donde
U’T* = UT*Q
Tomando os conjugados U’T = UT Q* e transpondo, obtém-se:
U’ = QT* U (3.21)
Conclusão: Quando a matriz de transformação for complexa, para que a condição
de invariância de potência seja satisfeita, para a matriz das tensões deverá ter-se a matriz
transposta da conjugada (transconjugada).
Transformação da expressão do binário
Aplicando a expressão 3.11 à equação 3.11b e tendo em conta 3.16 numa
transformação de potência invariante, tira-se:
Mem = 12 I’T G’ I’ (3.22)
Caso das transformações cujas matrizes não variam no tempo
Se a matriz de transformação Q não variar no tempo, tem-se:
dQdt = 0 (3.23)
As equações do modelo nas novas variáveis podem pôr-se na forma:
U’ = R’I’ + ddt ψψψψ’ onde ψψψψ’ = L’I’ (3.24)
O modelo obtido após a transformação tem a mesma forma do modelo primitivo
não aparecendo o termo extra relativo à matriz G”.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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76
Exemplo 3.1 “Aplicação da matriz de conexão de Kron no cálculo
de um circuito eléctrico”.
A figura 3.7 apresenta um circuito eléctrico realizado com 4 ramos.
i2
2r
2e
i3
3r
3e
u3
i1
1r
1e
u1 u2
i4
4r
4e
u4
i11r
1e
u1 u2
u4
im1
i3i2
2r
2e
im2u3
3r
3e
4ri4
Circuito
(1) (2) (3) (4)
Ramos
Fig. 3.7 Circuito Eléctrico
O modelo matemático relativo aos 4 ramos pode colocar-se na forma
matricial.
u1
u2u3u4
=
r1 0 0 0
0 r2 0 0
0 0 r3 0
0 0 0 r4
i1
i2i3i4
+
e1
e2e30
As forças electromotrizes e1, e2 e e3 representam as entradas do
sistema e as correntes i1, i2, i3 e i4 as incógnitas a calcular.
Se se definirem as correntes de malha im1 e im2 como se mostra na
figura 3.7, tem-se:
i1
i2i3i4
=
1 0
-1 -10 11 0
im1
im2
A matriz
C =
1 0
-1 -10 11 0
é a matriz de conexão de Kron. Esta matriz também é designada por
matriz de ligação. Pode ser interpretada como uma matriz de
transformação que transforma o modelo primitivo no circuito da figura
3.7.
A - Cálculo da matriz das tensões:
Um = CT U =
1 -1 0 1
0 -1 1 0
u1
u2u3u4
=
u1-u2+u4
-u2+u3
Os elementos da matriz [Um] representam a soma das tensões ao longo
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
77
das malhas 1 e 2. São, pela lei das malhas, iguais a zero.
Um =
0
0
B - Cálculo da matriz das forças electromotrizes
Em = CT E =
1 -1 0 1
0 -1 1 0
e1
e2
e3
0
=
e1-e2
-e2+e3
C - Cálculo da matriz das resistências
CT R C =
1 -1 0 1
0 -1 1 0
r1 0 0 0
0 r2 0 0
0 0 r3 0
0 0 0 r4
1 0
-1 -10 11 0
=
1 -1 0 1
0 -1 1 0
r1 0
-r2 -r20 r3r4 0
=
r1+r2+r4 r2
r2 r2+r3
Modelo em variáveis "correntes de malha"
O modelo transformado será:
0
0 =
r1+r2+r4 r2
r2 r2+r3
im1
im2 +
e1-e2
-e2+e3
Note-se que estas equações estão de acordo com as equações escritas
através do método das malhas.
Processo de cálculo
Sabe-se e1, e2, e e3
Pretende-se saber i1, i2, i3 e i4
1. Calcula-se as forças electromotrizes de malha
Em = CT E
2. Resolve-se o sistema de equações transformado e obtém-se as
correntes de malha [im]
3. A partir da matriz de transformação obtém-se as correntes nos
ramos
I =C Im
Composição de transformações
Considere-se uma transformação C definida por:
I = C I' U' = CT U
Se as novas variáveis forem sujeitas a nova transformação T, tem-se:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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78
I´ = T I” U” = TT U’
eI = C T I”
U” = TT CT U = C TT
A transformação equivalente é dada por:
Ceq = C T (3.25)
A equação 3.25 permite concluir que a matriz de transformação equivalente à
aplicação sucessiva de duas transformações é dada pelo produto matricial das matrizes
que definem as duas transformações. Este produto matricial é feito pela ordem de
aplicação das duas transformações.
Aplicação de uma transformação com matrizes diferentes ao estator e ao
rotor.
Consideremos como exemplo a matriz dos coeficientes de indução de umamáquina de indução, equações 3.6. Atendendo às definições das matrizes LE e LR (3.1)
bem como da matriz M (3.5) e considerando que a matriz de transformação é composta
de duas matrizes de transformação, que poderão ser ou não diferentes, uma aplicada àsgrandezas do estator CE e outra aplicada às grandezas do rotor CR, tem-se para a matriz
dos coeficientes de indução:
CTLC =
C
TE 0
0 CTR
LE M
MT LR
C
E 0
0 C R
=
C
TE 0
0 CTR
LEC
E MC R
MTC E LRC
R
=
C
TELEC
E CTEMC
R
CTRMTC
E CTRLRC
R
(3.26)
O resultado expresso na expressão 3.26 permite a execução dos cálculos de uma
forma mais ordenada o que é vantajoso, pois apesar de simples, estes cálculos são
normalmente muito extensos.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
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79
Classificação das principais transformações.
Verificamos que a aplicação de uma transformação de variáveis definida pelas
matrizes P e Q definia novas matrizes R’ e L’ dadas pelas equações 3.14 que se repetem
abaixo:
R’ = P R Q L’ = P L Q
Este tipo de transformações é o caso mais geral de transformações matriciais.
Existem vários tipos de transformações definidas em termos das relações entre as
matrizes P e Q. Especificamente estas transformações são:
Congruente P = QT
Diz-se que duas matrizes A e B são congruentes se existir uma matriz não singular
Q tal que:
B = QT A Q
Quando se utilizar uma transformação deste tipo em circuitos eléctricos garante-se
que a potência se mantêm invariante na transformação, isto é, a potência do sistema
representado pelas equações de partida é igual à potência do sistema representado pelas
equações finais.
Colineatória (ou de Semelhança) P = Q-1
Neste caso, tem-se:
I = Q I’ U’ = Q-1 U U = Q U’
Esta equação permite concluir que a matriz das tensões se transforma do mesmo
modo que a matriz das correntes.
As transformações de semelhança têm a propriedade extremamente importante de
que os valores característicos são invariantes sobre a transformação. Este resultado só é
válido quando a derivada da matriz de transformação for nula.
Ortogonal P = Q-1 = QT
Uma transformação ortogonal é um caso especial de uma transformação de
semelhança e de uma transformação congruente. Tem as propriedades de ambas as
transformações.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
80
Neste caso, pode demonstrar-se também que numa transformação ortogonal os
comprimentos e os ângulos dos vectores são preservados na transformação.
O determinante de uma matriz ortogonal é ±1.
Unitária P = Q*T = Q-1
Tem propriedades semelhantes às da transformação ortogonal.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
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81
3.4 Transformação de um sistema trifásico num sistemabifásico equivalente. Transformação de Concordia.
Definição da transformação
A figura 3.8 representa o estator de duas máquinas que se pretendem equivalentes.
Estas máquinas têm dimensões físicas idênticas, isto é, são iguais o raio do rotor, o
entreferro e o comprimento segundo o eixo de rotação. A diferença encontra-se nosenrolamentos. No primeiro caso temos um sistema trifásico (ia, ib, ic) e no segundo
caso um sistema bifásico (iα , iβ).
1
2
3
1
1'
3'
32
2'
y
x
α
α'
β
β'αβ
y
x
a) Sistema trifásico b) Sistema bifásico
Fig. 3.8 Sistemas trifásico e bifásico
Para que estas duas máquinas sejam equivalentes é necessário que a energia
magnética armazenada em cada uma delas seja igual. Isto obtém-se com iguais
distribuições do campo de indução magnética. Para que tal aconteça, uma vez que o
entreferro é igual, é necessário que haja ondas de força magnetomotriz iguais. Assim,
tem-se:
FmT (θs, t) = FmB(θs, t) (3.27)
O índice T refere-se ao sistema trifásico e o índice B refere-se ao sistema bifásico.
A coordenada de posição, ângulo eléctrico, é representada por θs. A variável t
representa o tempo. Note-se que a variável θs é uma coordenada de posição angular
genérica que não tem nenhuma relação com a variável θ que representa a posição
angular do rotor.
Admitindo a hipótese de distribuição sinusoidal de condutores e escolhendo um
referencial apropriado, tem-se:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
82
FmT = 4π [KeN]T
ia cos(θs)+
+ ib cos
θs−
2π3
+ ic cos
θs−
4π3
(2.28)
Onde N é o número de espiras de cada enrolamento e Ke o factor de enrolamento
respectivo. Como
cos
θs−
2π3 = -
12 cos(θs) +
32 sen(θs) (3.29)
cos
θs −
4π3 = -
12 cos(θs) -
32 sen(θs) (3.30)
a equação 3.28 toma a forma
FmT = 4π [KeN]T
ia-
12 ib -
12 ic cos(θs)+
+
3
2 ib - 3
2 ic sen(θs) (3.31)
Por sua vez a onda de força magnetomotriz provocada pelo sistema bifásico
escreve-se:
FmB = 4π [KeN]B
iα cos(θs)+
+ iβ sen(θs) (3.32)
Para que ambas as ondas de força magnetomotriz sejam iguais é necessário ter-se:
iα
iβ =
(KeN)T(KeN)B
1 -
12 -
12
03
2 -3
2
ia
ib
ic
(3.33)
A relação entre os dois vectores das correntes está assim dependente da relação
dos números eficazes de espiras. Contudo a matriz de 2x3 presente na equação não é a
matriz que se pretende calcular. A matriz C deve relacionar as variáveis originais com
as variáveis novas. Além disso a matriz da expressão 3.33 não tem inversa.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
83
Para resolver este problema considera-se uma nova variável iο que seja
proporcional à corrente homopolar, isto é, que seja proporcional à soma das 3 correntes
ia, ib e ic.
Substituamos também a relação de número de espiras por uma constante k a
determinar. Obtém-se:
iα
iβ
iο
= k
1 -
12 -
12
03
2 -3
2
m m m
ia
ib
ic
(3.34)
Determina-se agora as constantes k e m de modo a que a matriz quadrada da
expressão 3.34 seja ortogonal. Esta imposição não é necessária para o desenvolvimento
da teoria, mas tornar-se-á cómoda mais à frente. Tem-se:
k
1 -
12 -
12
03
2 -3
2
m m m
k
1 0 m
-12
32 m
-12 -
32 m
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(3.35)
Multiplicando a primeira linha pela primeira coluna obtém-se:
k2
1 +
14 +
14 = 1 donde k=
23 (3.36)
Multiplicando a terceira linha pela terceira coluna obtém-se:
3k2 m2 = 1 donde m = 12 (3.37)
A matriz de transformação será:
ia
ib
ic
= 23
1 012
-12
32
12
-12 -
32
12
iα
iβ
iο
(3.38)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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84
Como se viu anteriormente, o facto de a matriz de transformação ser ortogonal
tem algumas vantagens. Com efeito, tem-se:
iabc = C iαβο iαβο = CT iabc (3.39a)
uabc = C uαβο uαβο = CT uabc (3.39b)
ψabc = C ψαβο ψαβο = CT ψabc (3.39c)
Todas estas variáveis são transformadas da mesma forma. A transformação
inversa é definida por CT. Esta transformação é normalmente designada na literatura por
transformação dos dois eixos, por transformação de Concordia ou simplesmente por
transformação αβ.
Uma outra grande vantagem consiste em que os valores próprios do sistema de
equações em coordenadas abc são iguais aos valores próprios do modelo em
coordenadas αβ.Uma vez que iο = (ia+ib+ic)/ 3 normalmente é nula, as 3 correntes são
linearmente dependentes e apenas duas delas são necessárias para representar o sistema.
Isto equivale a dizer que basta conhecer apenas iα e iβ. Assim a matriz C fica:
C2,3 = 23
1 0
-12
32
-12 -
32
(3.40)
Como esta matriz é uma matriz rectangular, ela transforma um sistema de 3
equações a 3 incógnitas num sistema de 2 equações a 2 incógnitas.
Exemplo 3.2 "Transformação de Concordia das tensões em regime
equilibrado".
Considere os seguintes sistemas trifásicos de tensão:
a) Sistema simétrico sinusoidal e equilibrado de sequência directa.
b) Sistema simétrico sinusoidal e equilibrado de sequência inversa.
c) Sistema simétrico sinusoidal e equilibrado de sequência
homopolar.
d) Sistema simétrico de tensões rectangulares
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
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85
Calcule os valores equivalentes em α, β, ο , isto é, calcule uα,uβ,uο.
Resolução:
1. Sistema simétrico de tensões de sequência directa
Seja:
ua = 2 U cos(ωt+α)
ub = 2 U cos(ωt+α−2π3 )
uc = 2 U cos(ωt+α−4π3 )
Como:
uα
uβ
uο
= 23
1 -12 -
12
032 -
32
12
12
12
ua
ub
uc
Substituindo ua, ub e uc pelos seus valores e executando os
cálculos, obtém-se:
uα = 3 U cos(ωt+α)
uβ = 3 U sen(ωt+α)
uο = 0
2. Sistema simétrico de tensões de sequência inversa
Seja:
ua = 2 U cos(ωt+α)
ub = 2 U cos(ωt+α−4π3 )
uc = 2 U cos(ωt+α−2π3 )
Após a realização do produto matricial, obtém-se:
uα = 3 U cos(ωt+α)
uβ = - 3 U sen(ωt+α)
u0 = 0
3. Sistema simétrico de tensões de sequência homopolar
Seja:
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86
ua = 2 U cos(ωt+α)
ub = 2 U cos(ωt+α)
uc = 2 U cos(ωt+α)
Após a realização do produto matricial, obtém-se:
uα = 0
uβ = 0
uο = 6 U cos(ωt+α)
4. Sistema simétrico de tensões rectangulares
Aplicando a transformação de Concordia por troços de 60° tem-se:
ωt
ua
b
c
u
u
u
u
32
2
α
β
ωt
ωt
ωt
ωt
Fig. 3.9 Transformação αβ de um sistema de tensões rectangulares.
A tensão uα tem a mesma forma da tensão ua. A sua amplitude é 3/2
vezes a amplitude da tensão ua. A tensão uβ tem uma forma diferente
das tensões que lhe deram origem.
Observação: Deste exercício pode concluir-se que a transformação de
Concordia faz um desacoplamento entre as componentes hompolares e as
outras componentes.
De igual modo se pode verificar que a frequência das variáveis se
mantém invariante.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
87
Interpretação geométrica da transformação de Concordia
A transformação de Concordia pode ser vista como uma mudança de referencial.
Considere-se que os 3 valores de fase de uma determinada grandeza como por exemplo
a corrente, a tensão ou o fluxo ligado são as componentes de um vector no espaço
(x,y,z). Tomem-se, por exemplo, as 3 correntes ia, ib, e ic. O vector correspondente será
dado por ),,( cba iiiI = . Se estas 3 correntes variarem no tempo, o vector I variará no
espaço e no tempo descrevendo uma deterinada trajectória que depende da forma de
onda das suas 3 componentes. A figura 3.10 ilustra esta trajectória para um sistema
trifásico simétrico e equilibrado de grandezas sinusoidais com duas vistas diferentes.
Neste caso a trajectória é uma circunferência desenhada sobre o plano definido por
x+y+z=0. Este plano resulta do facto da soma das 3 grandezas ser nula ou seja a
componente homopolar é nula. Assim quando esta componente for nula a trajectória
será sempre desenhada no mesmo plano tomando trajectórias mais ou menos complexas
consoante a forma de onda das grandezas que representa.
-1
-0.5
0
0.5
1 -1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
xaxb
xc
-1-0.5
00.5
1
-1-0.5
00.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
xaxb
xc
Figura 3.10. Representação de um sistema trifásico simétrico e equilibrado de grandezas sinusoidais.
Considere-se agora o plano definido por x+y+z=0 e um vector perpendicular a ele,
por exemplo o vector (1,1,1). Defina-se agora um novo referencial x’,y’,z’ onde z’ esteja
na direcção de (1,1,1) e x’ e y’ no plano referido. Existe um grau de liberdade na
definição das direcções x’ e y’. É necessário que estejam no plano referido e que sejam
perpendiculares entre si. Vamos procurar uma base de vectores com norma unitária para
definir o novo referencial.
Segundo o teorema de mudança de bases, se A é a matriz que representa uma
transformação linear em relação a uma base ordenada, então a matriz B que representa a
mesma transformação linear em relação a uma nova base obtém-se por:
B=S-1AS (3.41)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
88
onde S é a matriz de mudança de base cujas colunas são as componentes dos
vectores da nova base em relação à base original.
Determine-se então 3 vectores unitários que definem o novo referencial.
x+y+z=0
x
y
z
(1,1,1)
z'
(0,g,-g)
y'x'
Fig. 3.11. Definição dos referenciais
Vector unitário na direcção z’.
O vector nesta direcção que tem norma unitária é dado por:
=
3
1,
3
1,
3
1'ze (3.42)
Vector unitário na direcção y’.
Para a direcção y’ escolhe-se o vector na intersecção dos planos x+y+z=0 e x=0.
Ou seja, um vector com a primeira componente igual a zero e a soma das outras duas
também nula. Escolhemos:
−=
2
1,
2
1,0'
ye (3.43)
Vector unitário na direcção x’.
O vector ex é dado pelo produto externo:
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
89
−−=
−=−=×=
zyx
zyx
zyx
zyx
eee
eee
eee
eee
2
1
2
1
3
2
6
1
6
1
6
2
3
1
3
1
3
12
1
2
10'''
(3.44)
Segundo o teorema de mudança de bases a matriz de transformação S será a
matriz cujas colunas são as componentes dos vectores que definem o novo referencial,
isto é será a matriz dada por:
−−
−=
2
1
2
3
2
12
1
2
3
2
12
101
3
2S (3.45)
Esta é a matriz da transformação de Concordia. Pode concluir-se assim que a
transformação de Concordia é uma transformação de referencial.
Resumo das propriedades da transformação de Concordia
1. A transformação é uma transformação ortogonal. Como consequência:
1.1 O seu determinante é unitário
1.2 Um vector no referencial abc é transformado noutro vector no
referencial αβο com o mesmo módulo.
1.3 Um vector variando no tempo tem o mesmo valor eficaz em abc e em
αβο.
1.4 Dois vectores a→
e b→
em abc são transformados para αβο em a→
’ e b→
’
mantendo o mesmo ângulo.
1.5 Os eventuais produtos internos e externos de vectores em abc mantêm-
se invariantes em αβο.
1.6 As tensões, correntes e fluxos são transformadas da mesma maneira.
1.7 As perdas e as potências em jogo são invariantes na mudança de
variáveis.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
90
2. Existe desacoplamento entre as grandezas αβ e ο. Como consequência.
2.1 A transformação faz com que as componentes αβ sejam invariantes em
relação a termos aditivos desde que estes termos sejam somadossimultaneamente às 3 fases. No caso das tensões, isto significa que uα e uβ
são independentes da escolha do ponto neutro.
3. A matriz de transformação é uma matriz de constantes. Como consequência:
3.1 O modelo das máquinas mantém a mesma forma.
3.2 Os valores próprios são invariantes.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
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91
3.5 Aplicação da transformação de Concordia à Máquina deIndução
A obtenção do modelo matemático da máquina de indução em coordenadas αβ é
realizada aplicando a transformação de Concordia às grandezas do estator e às grandezas
do rotor. A matriz de transformação Q deverá ser definida como:
Q =
C 0
0 C (3.46)
Onde C é a matriz de transformação de Concordia.
Como a matriz de transformação, neste caso particular, é uma matriz de
constantes, a sua derivada é uma matriz nula. Assim a matriz G" é nula e como
consequência, as equações do novo sistema representativo da máquina que se está a
estudar, pode ser escrito na forma 3.11 ou mais compactamente:
U = R I + ddt [ ]L I (3.47)
A aplicação da equação 3.26 permite fazer os cálculos de uma forma mais
ordenada.
Transformação dos coeficientes de indução do estator de uma máquina de
pólos lisos
A matriz dos coeficientes de indução original é representada pela equação 3.1.
A nova matriz dos coeficientes de indução será L' = CT L C.
L' = 23
1 -
12 -
12
03
2 -3
2
12
12
12
Lss Mss Mss
Mss Lss Mss
Mss Mss Lss
23
1 012
-12
32
12
-12 -
32
12
(3.48)
Multiplicando as matrizas da direita obtém-se:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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92
L' = 23
1 -12 -
12
03
2 -3
2
12
12
12
Lss-Mss 0
Lss+2Mss
2
-Lss-Mss
23
2 (Lss-Mss)Lss+2Mss
2
-Lss-Mss
2 -3
2 (Lss-Mss)Lss+2Mss
2
Efectuando as operações, obtém-se:
L’ =
Lss-Mss 0 0
0 Lss-Mss 0
0 0 Lss+2Mss
(3.49)
A Lss-Mss dá-se o nome de indutância cíclica do enrolamento
A Lss+2Mss dá-se o nome de indutância homopolar. Naturalmente que se terá:
Lα = Lβ = Lss - Mss = Ls (3.50)
Lsο = Lss + 2 Mss (3.51)
Transformação da matriz dos coeficientes de indução mútua entre o estator e
o rotor da máquina de indução
Tem-se:
M =
Msrcosθ Msrcosθ2 Msrcosθ3
Msrcosθ3 Msrcosθ Msrcosθ2
Msrcosθ2 Msrcosθ3 Msrcosθ
(3.52)
A nova matriz será dada por:
M’ = CT M C
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
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93
M’ = 23
1 -
12 -
12
03
2 -3
2
12
12
12
Msrcosθ Msrcosθ2 Msrcosθ3
Msrcosθ3 Msrcosθ Msrcosθ2
Msrcosθ2 Msrcosθ3 Msrcosθ
1 012
-12
32
12
-12 -
32
12
(3.53)
Efectuando os cálculos, obtém-se:
M’ = 32 Msr
cosθ -senθ 0
senθ cosθ 0
0 0 0
(3.54)
A aplicação da transformação de Concordia aos termos relativos à terceira
harmónica na expressão 3.5 faz-se do mesmo modo. Apenas o termo correspondente à
terceria linha e terceira coluna é não nulo. Obtém-se:
M’(3,3) = 3 M3 cos(3θ) (3.55)
Modelo matemático da máquina de indução em coordenadas αβο.αβο.αβο.αβο.
Atendendo aos resultados anteriores e como a matriz de transformação é uma
matriz que não varia no tempo, pode concluir-se que o modelo da máquina de indução
em coordenadas αβο se escreve:
uαs
uβs
uοs
uαr
uβr
uοr
=
rs iαs
rs iβs
rs iοs
rr iαr
rr iβr
rr iοr
+ ddt
ψαs
ψβs
ψοs
ψαr
ψβr
ψοr
(3.56)
onde
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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94
ψαs
ψβs
ψοs
ψαr
ψβr
ψοr
=
Ls 0 0 Mcosθ −Msenθ 0
0 Ls 0 Msenθ Mcosθ 0
0 0 Lso 0 0 3M3cos3θ
Mcosθ Msenθ 0 Lr 0 0
-Msenθ Mcosθ 0 0 Lr 0
0 0 3M3cos3θ 0 0 Lrο
iαs
iβs
iοs
iαr
iβr
iοr
(3.57)
Onde
M = 32 Msr e Lro = Lrr+2Mrr (3.58)
Nestas equações considerou-se também a terceira harmónica dos coeficientes de
indução mútua entre os enrolamentos do estator e os enrolamentos do rotor.
A análise das equações 3.57 permite concluir que existe desacoplamento entre a
componente homopolar e as outras duas componentes. Com efeito, as equações 3.57
podem ser escritas na forma:
ψαs
ψβs
ψαr
ψβr
=
Ls 0 Mcosθ −Msenθ
0 Ls Msenθ Mcosθ
Mcosθ Msenθ Lr 0
-Msenθ Mcosθ 0 Lr
iαs
iβs
iαr
iβr
(3.59)
e
ψοs
ψοr
=
Lso 3M3cos3θ
3M3cos3θ Lro
iοs
iοr (3.60)
As componentes α,β não interferem nas equações da componente homopolar e
esta não interfere nas equações das componentes α,β. Diz-se que há desacoplamento
entre as componentes α,β e a componente ο. Normalmente a componente homopolar da
corrente é nula. O modelo da máquina de indução em coordenadas αβ reduz-se a:
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
95
uαs
uβs
uαr
uβr
=
rs iαs
rs iβs
rr iαr
rr iβr
+ ddt
ψαs
ψβs
ψαr
ψβr
(3.61)
Em que a relação entre os fluxos e as correntes é dada pela equação 3.59. Tal
como referimos anteriormente, pode concluir-se que a 3ª harmónica dos coeficientes de
indução mútua estator-rotor pode ser ignorada. Com efeito, mesmo quando esta
harmónica é elevada, ela não entra na conversão electromecânica de energia desde que a
componente homopolar seja nula. As equações 3.61 representam o equilíbrio eléctrico
do sistema. Efectuando as derivadas do produto matricial obtém-se:
uαs
uβs
uαr
uβr
=
rs 0 -ωmMsenθ −ωmMcosθ
0 rs ωmMcosθ -ωmMsenθ
-ωmMsenθ ωmMcosθ rr 0
-ωmMcosθ -ωmMsenθ 0 rr
iαs
iβs
iαr
iβr
+
+
Ls 0 Mcosθ −Msenθ
0 Ls Msenθ Mcosθ
Mcosθ Msenθ Lr 0
-Msenθ Mcosθ 0 Lr
ddt
iαs
iβs
iαr
iβr
(3.62)
O binário é dado por:
Mem=12 pp [ ]iαs iβs iαr iβr
0 0 -Msenθ -Mcosθ
0 0 Mcosθ -Msenθ
-Msenθ Mcosθ 0 0
-Mcosθ -Msenθ 0 0
iαs
iβs
iαr
iβr
(3.63)
ou, atendendo à simetria
Mem = pp [ ]iαs iβs
-Msenθ -Mcosθ
Mcosθ -Msenθ
iαr
iβr (3.64)
Em que pp representa o número de pares de pólos da máquina.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
96
Outras Expressões do binário
A expressão do binário também pode ser escrita só em termos das grandezas do
estator ou só em termos das grandezas do rotor. Consideremos a expressão:
-ψβ iα + ψα iβ
Relativamente a grandezas do estator (omitindo o índice s no termo à esquerda do
sinal de igual)-ψβ iα + ψα iβ = -( Ls iβs + M senθ iαr + M cosθ iβr ) iαs
+(Ls iαs + M cosθ iαr - M senθ iβr) iβs
Esta expressão pode escrever-se na forma:
[iαs;iβs]
-Msenθ -Mcosθ
Mcosθ -Msenθ
iαr
iβr
Que é a expressão do binário. Assim o binário pode ser escrito só em termos de
grandezas do estator.
Mem = pp ( -ψβ iα + ψα iβ ) (3.65)
Esta expressão pode ser escrita em termos do produto externo do vector do fluxo
estatórico ψ→
s=(ψα,ψβ) por i→
s = (iα, iβ.). Tem-se:
Mem = pp ( ψ→
s × i→
s) (3.66)
Também é possível escrever a mesma expressão do binário só em termos de
grandezas do rotor. A mesma manipulação de expressões permite obter:
Mem = pp ( ψβ iα - ψα iβ ) ou Mem = pp ( - ψ→
r × i→
r) (3.67)
As expressões 3.55 ou 3.56 estão expressas em termos dos fluxos e das correntes
e são válidas também em regime de saturação do circuito magnético.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
97
3.6 Máquina Síncrona de pólos salientes em coordenadas αβ.αβ.αβ.αβ.
Consideremos uma máquina síncrona de pólos salientes sem enrolamentos
amortecedores. A obtenção do modelo matemático da máquina síncrona em
coordenadas αβ é realizada aplicando a transformação de Concordia às grandezas do
estator. A matriz de transformação deverá ser definida como:
Q =
C 0
0 1 (3.68)
Onde C é a matriz de transformação de Concordia.
Tal como no caso da máquina de indução, a matriz de transformação, é uma
matriz de constantes. Assim a matriz G" é nula e como consequência pode ser escrito na
forma 3.11 ou mais compactamente:
U = R I + ddt L I (3.69)
Para simplificar a análise considere-se uma máquina de um par de pólos. A
aplicação da matriz de Concordia corresponde a substituir o seu enrolamento trifásico
por um enrolamento bifásico equivalente.
f
x
y
θ
α
β
Fig. 3.12. Máquina Síncrona de pólos salientes.
Os coeficientes de indução relativos aos enrolamentos do estator são obtidos
depois de aplicada a transformação de Concordia às equações 3.10. Estas operações
encontram-se no anexo a este capítulo. Escrevem-se:
Lα = (La-Ma) +
1
2 Lb+Mb cos2θ (3.70)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
98
Lβ = (La-Ma) -
1
2 Lb+Mb cos2θ (3.71)
Mαβ =
1
2 Lb+Mb sen2θ (3.72)
Estas expressões podem pôr-se na forma:
Lα = Ld+Lq
2 + Ld-Lq
2 cos2θ (3.73)
Lβ = Ld+Lq
2 - Ld-Lq
2 cos2θ (3.74)
Mαβ = Ld-Lq
2 sen2θ (3.75)
onde:
Ld = (La-Ma) +
12 Lb + Mb (3.76)
Lq = (La-Ma) -
12 Lb + Mb (3.77)
O coeficiente de indução própria do enrolamento de excitação é independente da
posição do rotor da máquina. Assim:
Lf = cte (3.78)
Os coeficientes de indução mútua entre o estator e o rotor admitem-se sinusoidais.
Assim:Mαf = M cos θ (3.79)
Mβf = M sen θ (3.80)
Para simplificar a escrita das equações façamos:
Lav = Ld+Lq
2 Los = Ld-Lq
2 (3.81)
donde
Lav + Los = Ld Lav - Los = Lq (3.82)
A equação que relaciona os fluxos com as correntes será:
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
99
ψα
ψβ
ψf
=
Lav + Los cos2θ Los sen2θ M cosθ
Los sen2θ Lav - Los cos2θ M senθ
M cosθ M senθ Lf
iα
iβ
if
(3.83)
Esta equação permite determinar o sistema de equações diferenciais que traduzem
a dinâmica da máquina síncrona usando as mesmas técnicas que se utilizaram na
determinação do modelo da máquina de indução.
Exemplo 3.3 Obtenção da matriz dos coeficientes de indução da
máquina síncrona de pólos salientes por inspecção.
Considere uma máquina síncrona sem enrolamentos amortecedores com
pólos salientes, bipolar, e com dois enrolamentos no estator
simétricos e colocados em quadratura.
Determine a matriz dos coeficientes de indução desta máquina.
Resolução
Esta máquina pode ser representada pela figura 3.12. Como tem 3
circuitos, a matriz dos coeficientes de indução deverá ter 9
elementos.
A. Coeficiente de auto-indução.
O coeficiente de auto-indução do circuito de excitação que se
encontra colocado no rotor é constante. Com efeito a relutância do
circuito magnética vista por este circuito é sempre constante não
dependendo da posição do rotor.
O coeficiente de auto indução dos enrolamentos do estator vão
depender da posição do rotor pois o circuito magnético visto do
estator vai depender desta posição.
Quando o rotor se encontrar na posição θ=0, o entreferro
correspondente ao circuito do enrolamento α é mínimo e portanto o
respectivo coeficiente de auto-indução será máximo. Designêmo-lo por
Ld.
Por sua vez, para o enrolamento β este entreferro é máximo o que
vai corresponder um coeficiente de auto-indução mínimo. designêmo-lo
por Lq.
Quando o rotor se deslocar os coeficientes de auto-indução destes
dois enrolamentos variarão entre Ld e Lq. Na posição θ=π/2, agora o
enrolamento α terá um coeficiente de auto-indução igual a Lq e o
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
100
coeficiente de indução Lβ será igual a Ld.
A figura 3.13 mostra o andamento destes coeficientes de auto-
indução ao longo de uma rotação do rotor.
θπ/2 π 3π/2 2π
Lq
Ldα βLL
Fig. 3.13 Andamento de Lα e Lβ.
A figura 3.13 permite concluir que estes coeficientes são funções
periódicas do ângulo de posição do rotor θ. Um desenvolvimento
aproximado destes coeficientes consiste em considerar que estes são
sinusoidais em 2θ.
Assim:
Lα = Ld+Lq2 +
Ld-Lq2 cos2θ
Lβ = Ld+Lq2 -
Ld-Lq2 cos2θ
que são expressões semelhantes a 3.73 e 3.74 obtidas a partir da
transformação de Concordia.
B. Coeficientes de indução mútua.
Entre estator e rotor
Os coeficientes de indução mútua entre os enrolamentos do estator e
do rotor podem considerar-se sinusoidais e funções da posição relativa
entre os dois enrolamentos respectivos. Assim:
Mαf = M cos θ Mβf=M cos(π/2-θ)=M sen θ
que também coincidem com as expressões obtidas pela transformação
de Concordia.
Entre estator e estator
Quanto aos coeficientes de indução mútua entre os enrolamentos do
estator, considere-se a figura 3.14 em que iβ=0. O enrolamento α,
percorrido pela corrente iα cria uma onda de força magnetomotriz
sinusoidal em θs. A posição máxima desta onda f.m.m encontra-se
alinhada com o eixo dos x.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
101
fx
y
θ
α
β
dq
Fd
Fq
φ
φ
d
q
Fig. 3.14 Decomposiçao de fmm e fluxos
Decompondo em componentes segundo os eixos d e q, obtém-se:
Fd=Fα cos θ Fq=-Fα sen θ
onde
Fα = Ke N iα cos(θe)
As f.m.m Fd e Fq vão criar fluxos φd e φq dados por:
φd = FdRmd
φq = Fq
Rmq
A projecção destes dois fluxos sobre o eixo dos y onde se encontra
o enrolamento β dá:
φβ = φd sen θ + φq cos θ
Substituindo, obtém-se:
φβ =
1
Rmd -
1
Rmq Fα
12 sen(2θ)
O fluxo no enrolamento β será:
ψβ = Ke N φβ =
Ke
2N2
Rmd -
Ke2N2
Rmqiα
12 sen(2θ)
Identificando:
Ld = Ke
2N2
Rmd e Lq =
Ke2N2
Rmq
Obtém-se a expressão:
Lαβ = Ld-Lq2 sen 2θ
que coincide com a expressão 3.75.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
102
3.7 Transformação de “Rotação de Referencial”
A. Definição
Considere-se um ponto P de coordenadas iα e iβ no referencial α−β e de
coordenadas id e iq no referencial d-q. Estes dois referenciais têm a mesma origem, mas
estão desfasados de um ângulo ρ como se mostra na figura.
P A
B
CO α
β
dq
i α
i d
i q
i β
ρ
ρ
Fig. 3.15. Relação entre os referenciais αβ e dq.
Tendo em atenção considerações geométricas da figura, tem-se:
PA=iq sen ρ CB=id sen ρ (3.84)
BA=iq cos ρ OC=id cos ρ (3.85)
A relação entre as coordenadas do ponto P nos dois referenciais será:
iα = id cos ρ - iq sen ρ (3.86)
iβ = id sen ρ + iq cos ρ (3.87)
donde:
iα
iβ =
cosρ -senρ
senρ cosρ
id
iq (3.88)
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
103
A matriz quadrada é a matriz de transformação. O ângulo ρ é o ângulo de
transformação.
Propriedades da matriz de transformação:
1. É uma matriz ortogonal. A sua inversa é igual à sua transposta.
2. O seu determinante é unitário e não depende de ρ.
3. O resultado da multiplicação desta matriz por um vector no plano num
determinado referencial é um vector do mesmo módulo e desfasado de um ângulo ρ em
relação ao vector original.
4. Expressões com produtos externos ou produtos internos de vectores mantêm-se
inalteráveis na transformação.
Exemplo 3.4 Composição da transformação de Concordia e da
Transformação de rotação de referencial - Transformação de
Blondel-Park.
A matriz equivalente que resulta da aplicação sucessiva das duas
transformações é obtida pelo produto das duas matrizes, ou seja:
T = 23
1 0
12
-12
32
12
-12 -
32
12
cosρ -senρ 0
senρ cosρ 0
0 0 1
Onde a componente o é mantida na rotação de referencial. Executando
os cálculos, obtém-se:
T = 23
cosρ -senρ 1
2
-12cosρ+ 3
2 senρ 12cosρ+ 3
2 senρ 12
-12cosρ− 3
2 senρ 12cosρ− 3
2 senρ 12
ou
T = 23
cosρ -senρ 1
2
cos
ρ−2π
3 -sen
ρ−2π
312
cos
ρ−4π
3 -sen
ρ−4π
312
(3.89)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
104
Tal como as matrizes de Concordia e de rotação de referencial
também esta matriz é ortogonal pois representa o produto de duas
matrizes ortogonais. Esta transformação é frequentemente designada por
transformação de Park ou por transformação de Blondel-Park.
B. Transformação de um modelo de uma máquina em coordenadas α, βα, βα, βα, βpara coordenadas d,q.
Em coordenadas αβ o modelo de uma máquina é definido por equações da forma:
Uαβ = Rαβ Iαβ + dΨΨΨΨαβ
dt (3.90)
dq
x
y
ρ
α
β
Fig 3.16. Relação entre a posição dos enrolamentos αβ e dq.
De acordo com a figura 3.16 a transformação é definida do seguinte modo:
Iαβ = C(ρ) Idq (3.91)
Udq =CT(ρ) Uαβ (3.92)
ψψψψαβ = C(ρ) ψψψψdq (3.93)
A matriz C(ρ) define-se:
C(ρ) =
cosρ -senρ
senρ cosρ (3.94)
Substituindo as matrizes das correntes e dos fluxos na equação do modelo em
coordenadas α, β, tem-se:
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
105
Uαβ = Rαβ C(ρ) Idq+ddt [C(ρ) ψψψψdq]
= Rαβ C(ρ) Idq + .ρ
dC(ρ)
dρ ψψψψdq + C(ρ)
dψψψψdq
dt (3.95)
Multiplicando à esquerda ambos os termos desta equação por C(ρ)T tem-se:
Udq = C(ρ)T Rαβ C(ρ)Idq + C(ρ)T .ρ
dC(ρ)
dρ ψψψψdq
+ C(ρ)T C(ρ)
dψψψψdq
dt (3.96)
Define-se
Rdq = C(ρ)T Rα β C(ρ) (3.97)
Sabendo que C(ρ) é ortogonal, isto é CT C = I e como:
C(ρ)T
dC(ρ)
dρ =
cosρ senρ
-senρ cosρ
-senρ -cosρ
cosρ −senρ =
0 -1
1 0 (3.98)
o segundo produto matricial obtém-se:
.ρ C(ρ)T
dC(ρ)
dρ ψψψψdq =
.ρ
0 -1
1 0
ψd
ψq
= .ρ
-ψq
ψd
(3.99)
O modelo em coordenadas dq toma a forma:
ud=rd id + dψddt -
.ρ ψq (3.100)
uq=rq iq + dψqdt +
.ρ ψd (3.101)
NOTAS:
1. .ρ é a velocidade a que roda o referencial d, q em relação ao referencial α, β
2. Como nestes cálculos não entrou nenhuma relação entre os fluxos e as
correntes, as equações resultantes são válidas mesmo quando há saturação magnética.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
106
3. Quando .ρ =0 as equações tomam a mesma forma que as equações originais. Se
.ρ≠0 há que adicionar termos proporcionais à velocidade de rotação do referencial.
As equações 3.90 e 3.91 são equações semelhantes às equações das máquinas de
comutação. Assim, pode dizer-se que esta transformação transforma uma máquina de
corrente alternada numa máquina de comutação equivalente. Certos autores designam
esta transformação por transformação de comutador (“Commutator transformation”).
Se o valor das resistências dos enrolamentos for igual, a matriz das resistências é
invariante na transformação.
Expressões do binário
Em grandezas αβ o binário toma a forma anteriomente referida:
Mem = pp (ψ→
s × i→
s) (3.102)
Ou em termos de grandezas do rotor:
Mem = pp (ψβ iα - ψα iβ) ou Mem = pp (- ψ→
r × i→
r) (3.103)
Como na transformação “Rotação de referencial” todos os vectores são rodados do
mesmo ângulo ρ mantendo constante o seu módulo, os produtos internos e externos
destes vectores manterão o seu valor. Assim:
Mem = pp (ψ→
s × i→
s) (3.104)
ou Mem = pp (-ψ→
r × i→
r) (3.105)
Onde:
ψ→
s = (ψds , ψqs) i→
s = (ids , iqs) (3.106)
Exemplo 3.5 - "Aplicação da transformação de Park a um sistema
equilibrado de tensões ou correntes".
Considere um sistema trifásico e equilibrado de tensões:
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
107
ua = 2 U cos(ωt+α)
ub = 2 U cos(ωt+α−2π3 )
uc = 2 U cos(ωt+α−4π3 )
No exemplo 3.2 foi aplicada a transformação de Concordia e obtidas
as tensões uα, uβ, uγ equivalentes.
1.Fazendo uma mudança de referencial obtenha as tensões do modelo
de Park ud, uq e uο. Faça ρ =ωm + αm e ω = ωm.
2.Considere agora que o sistema tem sequência de fases inversa e
que se tem ω = 5ωm. Calcule os valores de uα, uβ, uο bem como de ud e
uq.
3.Considere de novo o sistema com sequência de fases directa, mas e
que se tem ω=7ωm. Calcule os valores de uα, uβ, uο bem como as
expressões de ud e uq.
Resolução:
1. Do exemplo nº 2 obtivemos para o sistema directo:
uα = 3 U cos(ωt+αu)
uβ = 3 U sen(ωt+αu)
uο = 0
Fazendo a mudança de variáveis, obtém-se:
ud
uq =
cosρ senρ
-senρ cosρ
3 U cos(ωt+αu)
3 U sen(ωt+αu)
= 3 U
cosρ cos(ωt+αu)+senρ sen(ωt+αu)
-senρ cos(ωt+αu)+cosρ sen(ωt+αu)
= 3 U
cos(ωt-γ+αu)
sen(ωt-γ+αu)
fazendo ρ = ωt + αm, tem-se:
ud
uq = 3 U
cos(ωt+αu-ωmt-αm)
sen(ωt+αu-ωmt-αm)
se ω = ωm, obtém-se:
ud = 3 U cos(αu-αm)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
108
uq = 3 U sen(αu-αm)
onde se pode verificar que ud e uq são funções constantes no tempo
2. Para o caso de um sistema inverso
uα = 3 U cos(ωt+αu)
uβ = - 3 U sen(ωt+αu)
uο = 0
Se a frequência for 5ω, tem-se
uα = 3 U cos(5ωt+αu)
uβ = - 3 U sen(5ωt+αu)
Transformação de Blondel-Park
ud
uq =
cosρ senρ
-senρ cosρ
3 U cos(5ωt+αu)
- 3 U sen(5ωt+αu)
= 3 U
cosρ cos(5ωt+αu)-senρ sen(5ωt+αu)
-senρ cos(5ωt+αu)-cosρ sen(5ωt+αu)
= 3 U
cos(5ωt+ρ+αu)
-sen(5ωt+ρ+αu)
fazendo ρ = ωmt + αm, tem-se:
ud
uq = 3 U
cos(ωt+αu-ωmt-αm)
sen(ωt+αu-ωmt-αm)
ud
uq = 3 U
cos(6ωt+αu+αm)
-sen(6ωt+αu+αm)
3.Para o caso da sétima harmónica constituindo um sistema directo
ter-se-á:
uα = 3 U cos(7ωt+αu)
uβ = 3 U sen(7ωt+αu)
Transformação de Park
ud
uq =
cosρ senρ
-senρ cosρ
3 U cos(7ωt+αu)
3 U sen(7ωt+αu)
= 3 U
cosρ cos(7ωt+αu)+senρ sen(7ωt+αu)
-senρ cos(7ωt+αu)+cosρ sen(7ωt+αu)
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
109
= 3 U
cos(7ωt-ρ+αu)
sen(7ωt-ρ+αu)
fazendo ρ = ωt + αm, tem-se:
ud
uq = 3 U
cos(6ωt+αu-αm)
sen(6ωt+αu-αm)
Observação:
Deste exercício pode concluir-se que a transformação de
Blondel-Park modifica a frequência das variáveis.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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110
3.8. Modelo da Máquina de indução em coordenadas deBlondel-Park.
Introdução
O principal objectivo da transformação de Park, quando é aplicada ao modelo de
uma máquina, consiste na simplificação das equações que constituem o modelo
matemático dessa máquina.
No caso da máquina de indução pretende-se que este modelo não dependa da
coordenada de posição θ e portanto que a matriz dos coeficientes de indução seja uma
matriz de constantes. Para isso é necessário que os circuitos equivalentes em
coordenadas dq do estator e do rotor estejam estacionários uns em relação aos outros. A
matriz dos coeficientes de indução é ainda mais simplificada se aplicarmos uma
transformação em que os eixos dq do estator estejam coincidentes com os eixos dq do
rotor.
Existem várias situações em que este objectivo pode ser alcançado. Seguidamente
analisam-se 3 casos com interesse.
A. Modelo em coordenadas do estator
Será necessário aplicar uma transformação definida do seguinte modo:
Estator ______ Identidade
Rotor_______ Rotação de um ângulo eléctrico ρ igual a (-θ)Segundo as equações 3.100 e 3.101 tem-se:
uαs=rs iαs + dψαs
dt (3.107a)
uβs=rs iβs + dψβs
dt (3.107b)
udr=rr idr + dψdr
dt + ppωm ψqr (3.107c)
uqr=rr iqr + dψqr
dt - ppωm ψdr (3.107d)
Onde ppωm é a velocidade angular da máquina reduzida a um par de pólos.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
111
Exemplo 3. 6 “ Modelo da máquina de indução no referencial do
estator”
Obtenha o modelo da máquina de indução em coordenadas do estator
através dos produtos matriciais discutidos na secção 3.3.
Resolução:
Aplicando a transformação segundo as regras discutidas atrás
tem-se:
Cálculo da matriz das indutâncias
L’=
1
1
cosθ -senθ senθ cosθ
Ls 0 Mcosθ −Msenθ
0 Ls Msenθ McosθMcosθ Msenθ Lr 0
-Msenθ Mcosθ 0 Lr
1
1
cosθ senθ -senθ cosθ
Cujo resultado é:
L’ =
Ls 0 M 0
0 Ls 0 M
M 0 Lr 0
0 M 0 Lr
A matriz G será dada por:
G = G’ + G” =
C
TE LEdθ C
E C
TE dMdθ C
R
CTR dMT
dθ C E C
TR dLRdθ C
R
+
C
TE LE
dC E
dθ CTE M
dC R
dθ
CTR M
T dC
E
dθ CTR LR
dC R
dθ
Executando os cálculos, obtém-se:
G =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 M 0 Lr-M 0 -Lr 0
Ao que corresponde um modelo que se pode pôr na forma:
uαsuβsudr
uqr
=
rs 0 0 0
0 rs 0 0
0 M•θ rr Lr
•θ
-M•θ 0 -Lr
•θ rr
iαsiβsidr
iqr
+
Ls 0 M 0
0 Ls 0 M
M 0 Lr 0
0 M 0 Lr
ddt
iαsiβsidr
iqr
(3.108)
Estas equações podem por-se na forma das equações 3.107. Note-se que
na matriz das indutâncias existe desacoplamento magnético entre as
equações relativas ao eixo d e as equações relativas ao eixo q. Este
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
112
resultado é consequência do alinhamento dos eixos do estator com os
eixos do rotor.
Exemplo 3.7 “Transformação de frequências”
Considerando a transformação definida nesta secção e admitindo que a
frequência das correntes do estator é ω e que a máquina roda à
velocidade ωm, calcule a frequência das grandezas do rotor vistas no
referencial do estator em regime permanente.
Resolução
Em regime permanente a frequência das grandezas do rotor será:
ωr = ωs - pp ωm
donde poder-se-á escrever:
iαr = Ir cos(ωrt)
iβr = Ir sen(ωrt)
Aplicando a transformação, obtém-se:
idr
iqr =
cosθ -senθ
senθ cosθ
Ir cos(ωrt)
Ir sen(ωrt) = Ir
cos(θ+ωrt)
sen(θ+ωrt)
Como θ= ppωmt+αm, tem-se:
θ+ωrt= (ppωm+ωr)t+αm = ωst+αm
Conclusão: As grandezas idr e iqr terão a frequência das grandezas
do estator em regime permanente.
B. Modelo em coordenadas do rotor
Será necessário aplicar uma transformação definida do seguinte modo:
Estator _____ Rotação de um ângulo eléctrico ρ igual a θRotor_______ Identidade
Obtém-se segundo 3.100 e 3.101
uds=rs ids + dψds
dt - ppωm ψqs (3.109a)
uqs=rs iqs + dψqs
dt + ppωm ψds (3.109b)
uαr=rr iαr + dψαr
dt (3.109c)
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
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113
uβr=rr iβr + dψβr
dt (3.109d)
C. Modelo em coordenadas do campo girante ou de um referencial geral.
Será necessário aplicar uma transformação definida do seguinte modo:
Estator _____ Rotação de um ângulo ρ igual a θR
Rotor_______ Rotação de um ângulo ρ igual a θR-θO ângulo θs representa a coordenada de posição angular de um determinado ponto
que rode à velocidade do campo girante. A velocidade deste ponto será ωR. Note-se que
as equações que se irão obter são válidas não só no referencial do campo girante como
em qualquer outro referencial que rode a uma velocidade qualquer. A utilização de um
referencial síncrono com o campo girante tem a vantagem de que em regime permanente
as grandezas são constantes no tempo. Obtém-se segundo 3.100 e 3.101
uds=rs ids + dψds
dt - ω R ψqs (3.110a)
uqs=rs iqs + dψqs
dt + ω R ψds (3.110b)
udr=rr idr + dψdr
dt - (ωR - ppωm) ψqr (3.110c)
uqr=rr iqr + dψqr
dt + (ωR - ppωm) ψdr (3.110d)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
114
3.9. Aplicação da transformação de Park à Máquina Síncronade pólos salientes.
Consideremos a figura 3.12. Para que o enrolamento d fique alinhado com o
enrolamento f é necessário fazer uma mudança de referencial em que o ângulo da
transformação ρ seja igual ao ângulo da posição angular do rotor θ. Assim a
transformação será definida como:
C =
cosθ -senθ 0
senθ cosθ 0
0 0 1
(3.111)
A variável if mantém-se inalterada nas novas equações. Só nestas condições (ρ=θ)
é que a matriz L podse ser simplificada. Devido ao facto de existirem pólos salientes na
máquina existe apenas um referencial onde a transformação de Park simplifica as
equações.
Pelas equações 3.100 e 3.101 obtém-se:
ud = r1 id + dψddt - ppω ψq (3.112a)
uq = r1 iq + dψqdt + ppω ψd (3.112b)
uf = rf if + dψfdt (3.112c)
Exemplo 3.8 Obtenção do modelo da máquina Síncrona através dos
produtos matriciais.
As equações da máquina síncrona em coordenadas de Park serão
obtidas através dos cálculos apresentados nas equações 3.14 a 3.16.
Assim:
Cálculo da matriz dos coeficientes de indução:
Cálculo de L' = CT L C
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
115
L’ = CT
Lav + Los cos2θ Los sen2θ M cosθ
Los sen2θ Lav - Los cos2θ M senθ
M cosθ M senθ Lf
C
com
C =
cosθ -senθ 0
senθ cosθ 0
0 0 1
Executando os cálculos obtém-se:
L’ =
Ld 0 M
0 Lq 0
M 0 Lf
(3.113)
que é uma matriz que não depende do ângulo de posição θ. Os seus
coeficientes de indução são constantes.
Cálculo G' = CT [dL/dθ] C
G’=CT
-2Los sen2θ 2Los cos2θ -M senθ
2Los cos2θ 2Los sen2θ M cosθ
−M senθ M cosθ 0
cosθ -senθ 0
senθ cosθ 0
0 0 1
Executando os cálculos, obtém-se:
G’ =
0 Ld-Lq 0
Ld-Lq 0 M
0 M 0
(3.114)
Cálculo de G" = CT L [dC/dθ]
G” = CT L
-senθ -cosθ 0
cosθ -senθ 0
0 0 1
G” =
0 -Ld 0
Lq 0 0
0 -M 0
(3.115)
As equações da Máquina Síncrona em variáveis de Park serão:
ud
uq
uf
=
rd -
•θLq 0
•θLd rq
•θM
0 0 rf
id
iq
if
+
Ld 0 M
0 Lq 0
M 0 Lf
ddt
id
iq
if
(3.116)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
116
Por sua vez o binário será:
Mem = 12 I’
T G’ I’
Mem = 12 [ ]id , iq , if
0 Ld-Lq 0
Ld-Lq 0 M
0 M 0
id
iq
if
(3.117)
Mem = 12 (Ld-Lq) Id Iq + (Ld-Lq) Id Iq + M Iq if + M Iq if
ou seja
Mem = (Ld-Lq) id iq + M iq if (3.118)
O termo (Ld-Lq)idiq é devido ao facto de existir relutância
magnética diferente nos dois eixos d e q. Designa-se este termo por
binário de relutância. Este binário não existe na Máquina Síncrona de
pólos lisos. O termo Miqif resulta da interacção entre os enrolamentos
do estator e do rotor. Designa-se por binário síncrono.
NOTA: O binário também poderá ser calculado através dos elementos
do modelo proporcionais a ωm , isto é, através da matriz
G =
0 -Lq 0
Ld 0 M
0 0 0 (3.119)
Note-se que:
G' = G + GT (3.120)
Assim:
Mem = 12 I’
TG’ I’ = 12 I’
T G + GT I’
= 12 I’
TG I’ + 12 I’
TGT I’ (3.121)
O binário tal como as suas componentes são matrizes de um por um,
isto é, grandezas escalares. Os seus valores não se alteram se se
aplicar a propriedade da transposição. O segundo termo é portanto:
12 I’
TGT I’ = 12 I’
TGT I’ T = 12 I’
TG I’ (3.122)
aplicando a regra da transposição do produto. As duas componentes
do binário são portanto iguais e tem-se:
Mem = I’T G I’ (3.123)
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
117
Esquema Equivalente da Máquina Síncrona
Uma vez que os enrolamentos d,q e f se encontram alinhados conforme se indica
na figura 3.17, pode concluir-se:
ψd = Ld id + M if (3.124a)
ψq = Lq iq (3.124b)
f
x
y
θd
q
Fig. 3.17. Máquina síncrona de pólos salientes.
Às equações da Máquina Síncrona em coordenadas de Park (3.112) corresponde o
esquema equivalente da figura 3.18.
d
q
Lf
Ld
Lq M
Entreferro
ed=-ωψq
eq=ωψd
ud
id
iq
uq
Fig. 3.18. Esquema equivalente da máquina síncrona sem enrolamentos amortecedores.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
118
Máquina Síncrona com enrolamentos amortecedores
Os enrolamentos amortecedores são constituídos por barras em curto-circuito
colocadas no rotor. Estes enrolamentos são estacionários com o enrolamento indutor e
com o referencial adoptado. Em regime permanente são nulas as correntes que os
percorrem porque são estacionários com o campo girante. Podem ser decompostos em
dois, um na direcção do eixo d e outro na direcção do eixo q. Como estão colocados no
rotor, as suas equações serão semelhantes às equações do enrolamento de excitação.
Assim, uma vez que se encontram em curto-circuito, tem-se:
0 = rD iD + dψD
dt (3.125a)
0 = rQ iQ + dψQ
dt (3.125b)
Como, em regime permanente, iD e iQ são nulas, estes enrolamentos são
frequentemente omitidos para o estudo daquele regime. Em regime transitório, como
existe ligação magnética entre os enrolamentos D, f, e d, o fluxo no enrolamento d é a
soma das contribuições de 3 componentes: a componente que resulta da indutância
própria do enrolamento d e das componentes que resultam das indutâncias mútuas com
os enrolamentos f e D. Assim, uma variação da corrente iD faz-se sentir no equilíbrio
das tensões no eixo d. O mesmo se passa entre os enrolamentos q e Q que se encontram
alinhados segundo o eixo q.
O modelo matemático da máquina síncrona com enrolamentos amortecedores é
constituído pelas equações 3.112 e 3.125, onde:
ψd = Ld id + M if + MDd iDψq = Lq iq + MQq iQψf = Lf if + M id + MDf iD (3.126)
ψD = LD iD + MDf if + MDd idψQ = LQ iQ + MQq iq
O esquema equivalente correspondente encontra-se representado na figura 3.19
onde não se representam todos os coeficientes de indução mútua para não sobrecarregar
a figura.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
119
d
q
Lf
Ld
Lq M
Entreferro
ed=-ωψq
eq=ωψd
ud
id
iq
uq
iD
iQ
Fig. 3.19. Esquema equivalente da Máquina Síncrona com enrolamentos amortecedores.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
120
3.10. Introdução da notação complexa.
A. Introdução:
Nas secções anteriores, as equações das máquinas eléctricas foram expressas em
dois conjuntos diferentes de variáveis reais αβ e dq. Cada um destes dois conjuntos de
variáveis tem um significado físico preciso.
As variáveis αβ resultam da substituição de um sistema trifásico de condutores
desfasados de um terço de período por um sistema bifásico em qudratura. Esta
substituição é feita de modo a manter a potência invariante e a criar no entreferro a
mesma onda de força magnetomotriz. A natureza da máquina não é alterada. Assim,
uma máquina de indução trifásica é substituída por uma máquina de indução bifásica, e
uma máquina síncrona trifásica por uma síncrona bifásica.
As variáveis dq resultam do equivalente em termos de quantidades de induzido de
uma máquina de comutação com escovas alinhadas com os eixos dos enrolamentos do
outro lado (estator ou rotor). Traduzem-se por uma rotação do referencial. Neste caso a
natureza da máquina é alterada, isto é, tanto as máquinas de indução como as máquinas
síncronas são substituídas por máquinas de comutação equivalentes.
Estas variáveis reais, αβ e dq são suficientes para o tratamento da maior parte dos
problemas das máquinas eléctricas. Há, contudo, outras transformações reais que podem
ser usadas em casos especiais e há também transformações complexas que são
particularmente úteis noutras situações.
As transformações complexas, que serão introduzidas nesta secção, dão a
equivalência complexa das variáveis αβ ou dq. Assim, a um vector (x,y) no plano faz-se
corresponder um número complexo x+jy no plano de Argand.
A equivalência complexa das variáveis αβ são as variáveis +/- ou componentes
simétricas instantâneas e a equivalência complexa das variáveis dq são as componentes
fb ou variáveis complexas rotativas.
As transformações complexas foram introduzidas na engenharia electrotécnica por
Fortescue no estudo de circuitos polifásicos em regime permanente não equilibrado.
Quando aplicada a quantidades que são vectores que representam grandezas sinusoidais
em regime permanente, a transformação de Fortescue dá novas variáveis que têm
significado físico preciso.
A transformação de componentes simétricas instantâneas foi introduzida por W.
V. Lyon e é representada por uma matriz idêntica à da transformação de Fortescue com
a diferença de que a transformação de componentes simétricas instantâneas é obtida
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
121
transformando variáveis instantâneas enquanto que as componentes simétricas
convencionais são obtidas da transformação aplicada aos fasores que representam o
regime permanente. A interpretação física destes dois grupos de variáveis é
completamente diferente come se verá.
As variáveis fb, que foram introduzidas por Y. H. Ku, podem ser expressas em
termos das componentes simétricas instantâneas através de uma rotação de referencial.
A figura 3.20 ilustra a relação entre os vários grupos de variáveis.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
122
ia
ib
ic
= 23
cosγ -senγ
12
cos
γ−
2π3 -sen
γ−
2π3
12
cos
γ−
4π3 -sen
γ−
4π3
12
id
iq
iο
ia
ib
ic
= 23
1 0
12
-12
32
12
-12 -
32
12
iα
iβ
iο
iα
iβ
iο
cosγ -senγ 0
senγ cosγ 0
0 0 1
id
iq
iο
iα
iβ
io
= 12
1 1 0
-j j 0
0 0 2
i+
i-
io
id
iq
io
= 12
1 1 0
-j j 0
0 0 2
if
ib
io
ia
ib
ic
= 13
1 1 1
a-2
a- 1
a- a-2
1
i+
i-
iο
i
+
i-
io
=
e
jγ0 0
0 e-jγ
0
0 0 1
i
f
ib
io
ia
ib
ic
= 13
ejγ
e-jγ
1
ej(γ−2π/3)
e-j(γ−4π/3)
1
ej(γ+4π/3)
e-j(γ+2π/3)
1
if
ib
io
Fig. 3.20 Relação entre os vários grupos de variáveis.
fb
abc
dq
o
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
123
B. Componentes simétricas instantâneas
As variáveis complexas +/- são a equivalência complexa das variáveis αβ. A um
vector com duas coordenadas, (iα,iβ) faz-se corresponder um número complexo
(iα+jiβ)/ 2 e o seu complexo conjugado. Assim:
i+ =
12 (iα + j iβ) u
+ =
12 (uα + j uβ) (3.127a)
i- =
12 (iα - j iβ) u
- =
12 (uα - j uβ) (3.127b)
Como as grandezas αβ são reais, as componentes + e - são sempre complexas
conjugadas.
A transformação será definida:
iα
iβ =
12
1 1
-j j
i+
i-
i+
i- =
12
1 j
1 -j
iα
iβ (3.128)
donde
C = 12
1 1
-j j e C
-1 =
12
1 j
1 -j (3.129)
A matriz C-1
é a transconjugada de C. Estas matrizes designam-se por matrizes
unitárias. O factor 1/ 2 garante que a transformação seja unitária.
Relação entre as componentes simétricas e as variáveis de fase abc
Mantendo a corrente homopolar da transformação de Concordia, tem-se:
i+
i-
iο =
12
1 j 0
1 -j 0
0 0 2
iα
iβiο
(3.130)
e como
iα
iβiο
= 23
1 -
12 -
12
03
2 -3
212
12
12
ia
ibic
Tem-se
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
124
i
+
i-
iο
= 12
1 j 0
1 -j 0
0 0 2
23
1 -
12 -
12
03
2 -3
212
12
12
ia
ibic
Executando os cálculos, tem-se:
i
+
i-
iο
= 13
1 a- a-
2
1 a-2
a-
1 1 1
ia
ib
ic
(3.131a)
ia
ib
ic
= 13
1 1 1
a-2
a- 1
a- a-2
1
i+
i-
iο
(3.131b)
onde
a- = ej2π/3
(3.132)
A matriz de transformação é também uma matriz unitária, isto é, a sua inversa é
igual à sua transconjugada.
Exemplo 3.9 Aplicação da transformação de componentes simétricas
instantâneas a vários sistemas de tensão.
a) Sistema equilibrado sinusoidal de sequência directa.
Considerando os resultados do exemplo 3.2 e as equações 3.127, tem-
se:
u+ = 12 3 U [ ]cos(ωt+αu)+jsen(ωt+αu) =
32 U e
j(ωt+αu)
u- = 12 3 U [ ]cos(ωt+αu)-jsen(ωt+αu) =
32 U e
-(jωt+αu)
O vector u+ roda no sentido positivo à velocidade ω. O vector u-
roda em sentido negativo à mesma velocidade.
b) Sistema equilibrado sinusoidal de sequência inversa.
Tem-se agora:
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
125
u+ = 12 3 U [ ]cos(ωt+αu)-jsen(ωt+αu) =
32 U e
-(jωt+αu)
u- = 12 3 U [ ]cos(ωt+αu)+jsen(ωt+αu) =
32 U e
(jωt+αu)
c) Sistema sinusoidal desequilibrado.
Consideremos um sistema em coordenadas αβ desequilibrado. Nestas
coordenadas pode escrever-se:
Valores instantâneos Amplitudes complexas
uα = 3 Uα cos(ωt+θα ) U−
α = 3 Uα ejθα
uβ = 3 Uβ sen(ωt+θβ ) U−
β = -j 3 Uβ ejθβ
Considerando a identidade de Euler, os valores instantâneos das
tensões escrevem-se:
uα = 32 Uα ( )ej(ωt+θα)
+ e-j(ωt+θα) (3.133a)
uβ = 3
2j Uβ ( )ej(ωt+θβ) - e-j(ωt+θβ)
(3.133b)
Estas expressões podem ser escritas em termos das amplitudes
complexas:
uα = 12
U
−α e
jωt + U−*
α e-jωt (3.134a)
uβ = 12
U
−β e
jωt + U−*
β e-jωt (3.134b)
Aplicando a transformação +/- às componentes instantâneas,
obtém-se:
u+ = 12
U
−α + jU
−β
2 ejωt +
U
−*α + jU
−*β
2 e-jωt (3.135a)
u- = 12
U
−α - jU
−β
2 ejωt +
U
−*α - jU
−*β
2 e-jωt (3.135b)
Que se podem escrever:
u+ =
12 ( )U
−+ ejωt + U−*−−−− e-jωt (3.136a)
u− =
12 ( )U
−*+ e-jωt + U−- ejωt (3.136b)
Onde
U−+ e U
−- são as componentes de Fortescue das amplitudes complexas.
As expressões 3.136 determinam que as componentes (+/-) simétricas
instantâneas são formadas tomando as componentes simétricas de
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
126
Fortescue ou os seus conjugados e multiplicando respectivamente por
ejωt ou por e-jωt. Em regime equilibrado de sequência directa e de
sequência inversa, estas equações dão origem às expressões das alíneas
anteriores. Com efeito, em regime equilibrado, Uα = Uβ =U e θα = θβ. As
componentes de Fortescue serão:
U− + = 2 3
2 U ejθα U- = 0
Como consequência, as componentes simétricas instantâneas tomam a
forma:
U+ = 12 U
− + ejωt U- =
12 U
− + e-jωt
d) Sistema equilibrado de tensões de onda rectangular.
Aplicando a transformação às figuras do exemplo 3.2 em intervalos
de 60° obtem-se a figura 3.21.
30º
1
2
3
4
5
6
30º
1
2
3
4
5
6
a) Componente + b) Componente -
Fig 3.21 Componentes + e - dum sistema de tensões rectangulares.
Obtêm-se apenas 6 pontos que se encontram sobre uma circunferência
de raio unitário. Estes 6 pontos encontram-se desfasados de 60°.
As componentes simétricas instantâneas +/- para o regime desequilibrado têm uma
dependência no tempo que consiste numa exponencial complexa positiva ejωt para a
componente de sequência positiva (+) e uma exponencial complexa negativa para a
componente de sequência negativa.
Há uma diferença muito importante entre as componentes simétricas instantâneas
e as componentes simétricas de Fortescue. Para o regime equilibrado, a componente de
amplitude complexa de sequência negativa de Fortescue é nula, mas a componente
instantânea não é nula e na realidade é apenas o conjugado da sequência positiva.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
127
Esta diferença leva frequentemente a consideráveis confusões. É necessário aceitar
o facto que as componentes simétricas instantâneas serem representações de um
conjunto de grandezas variando no tempo.
A relação entre as componentes simétricas de Fortescue e as componentes
simétricas instantâneas resume-se à expressão 3.136.
Modelo da máquina de indução em componentes simétricas
Tal como a transformação de Concordia, também esta transformação é uma
transformação em que a matriz é traduzida por constantes. Assim não aparecerão termos
suplementares nas equações de equilíbrio das tensões. Partindo do modelo da máquina
de indução em coordenadas αβ e aplicando a transformação ao estator e ao rotor, tem-se
para a matriz dos coeficientes de indução:
CT*
L C=12
1 j
1 -j 1 j
1 -j
Ls 0 Mcosθ −Msenθ
0 Ls Msenθ McosθMcosθ Msenθ Lr 0
-Msenθ Mcosθ 0 Lr
12
1 1
-j j 1 1
-j j
Obtém-se:
Ls 0 Me
jθ0
0 Ls 0 Me-jθ
Me-jθ
0 Lr 0
0 Mejθ
0 Lr
(3.137)
Como há desacoplamento entre as grandezas + e - , a matriz 4x4 da equação 3.137
é equivalente a duas matrizes de 2x2. Pode escrever-se:
ψ
+s
ψ+r
=
Ls Me
jθ
Me-jθ
Lr
i
+s
i+r
(3.138)
e
ψ
-s
ψ-r
=
Ls Me
-jθ
Mejθ
Lr
i
-s
i-r
(3.139)
As equações do equilíbrio das tensões escrevem-se simplesmente:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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128
Sequência positiva Sequência negativa
u+s = rs i
+s +
dψ+s
dt u-s = rs i
-s +
dψ-s
dt (3.140a)
u+r = rr i
+r +
dψ+r
dt u-r = rr i
-r +
dψ-r
dt (3.140b)
O modelo em coordenadas +/- instantâneas traduz-se por equações que são função
de θ tal como as equações em componentes αβ. Este resultado não deve ser de estranhar
pois estas variáveis são apenas a tradução complexa das componentes αβ.
Expressões dos binários
Sabemos que o binário se pode escrever em coordenadas αβ:Mem= pp (- ψβ iα + ψα iβ ) (grandezas do estator)
e, como:
i+ =
12 (iα + j iβ) ψ
+ =
12 (ψα + j ψβ)
i- =
12 (iα - j iβ) ψ
- =
12 (ψα - j ψβ)
Verificando que os produtos:
ψ+* i
+ =
ψα iα + ψβ iβ2 + j
-ψβ iα + ψα iβ2
ψ-* i
- =
ψα iα + ψβ iβ2 + j
ψβ iα - ψα iβ2
O binário pode ser escrito como:
Mem = 2 pp Imag
ψ+*s i
+s = - 2 pp Imag
ψ-*s i
-s (3.131)
ou
Mem = pp
ψ
+*s i
+s - ψ
-*s i
-s (3.132)
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
129
C. Transformação Complexa Rotativa (fb)
C1. Definição
Para a maior parte do trabalho analítico há um ganho significativo na facilidade de
manuseamento eliminando a dependência de θ das equações do modelo matemático.
Isto pode ser feito a partir das componentes +/- instantâneas introduzindo a equivalência
complexa da transformação dq, que foi introduzida por Y. H. Ku e que é designada por
transformação fb. A definição destas variáveis pode ser feita de várias maneiras.
Seguidamente apresentamos 3 processos equivalentes de definir estas variáveis.
C2. Definição a partir das componentes dq
A partir das componentes dq, tem-se:
if =
12 (id + j iq) u
f =
12 (ud + j uq) (3.143a)
ib =
12 (id - j iq) u
b =
12 (ud - j uq) (3.143b)
Como as grandezas dq são reais, as componentes fb são complexas conjugadas.
A transformação será definida:
i
f
ib
= 12
1 j
1 -j
id
iq (3.144)
donde
C-1
= 12
1 j
1 -j e C =
12
1 1
-j j (3.145)
A matriz C-1
é a transconjugada de C.
C3. Definição a partir das componentes +/-
É possível definir estas novas variáveis a partir das componentes simétricas
instantâneas. Com efeito tem-se:
i
f
ib
=
e
-jρ0
0 ejρ
i
+
i-
i
+
i-
=
e
jρ0
0 e-jρ
i
f
ib
(3.146)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
130
onde ρ é o ângulo de transformação.
C4. Relação entre as componentes simétricas e as variáveis de fase abc.
Mantendo a corrente homopolar da transformação de Concordia, tem-se:
i
f
ib
io
=
e
-jρ0 0
0 ejρ
0
0 0 1
i
+
i-
io
(3.147)
ou seja:
i
f
ib
io
=
e
-jρ0 0
0 ejρ
0
0 0 1
13
1 a- a-
2
1 a-2
a-
1 1 1
ia
ib
ic
(5148)
donde:
i
f
ib
io
= 13
e
-jρe
-j(ρ−2π/3)e
-j(ρ−4π/3)
ejρ
ej(ρ+4π/3)
ej(ρ+2π/3)
1 1 1
ia
ib
ic
(3.149)
Nota: A transformação fb é normalmente aplicada ao rotor da máquina de indução
fazendo a mudança de referencial do rotor para o estator (grandezas do rotor). O ângulo
de transformação é neste caso ρ=−θ. Em muitos livros a transformação fb é aplicada
apenas para este caso e a matriz de transformação vem definida com sinal menos no
ângulo utilizando-se o ângulo θ em vez de ρ.
Exemplo 3. 10 “ Aplicação da transformação fb a sistemas de
tensão. (ρρρρ =ω =ω =ω =ωt)
Tomando como base os resultados do exemplo 3.9 e a definição das
componentes fb a partir das equações 3.146, tem-se:
a) Sistema equilibrado sinusoidal de sequência directa.
uf = 32 U e
j(ωt+αu)e-jωt = 32 U e
jαu
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
131
ub = 32 U e
-(jωt+αu)ejωt = 32 U e
-jαu
Os vectores uf e ub são vectores estacionários no plano de Argand.
b) Sistema equilibrado sinusoidal de sequência inversa.
Tem-se agora:
uf = 32 U e
-j(ωt+αu)e-jωt = 32 U e
-j(2ωt+αu)
ub = 32 U e
(jωt+αu)ejωt = 32 U e
j(2ωt+αu)
c) Sistema sinusoidal desequilibrado.
Consideremos um sistema em coordenadas αβ desequilibrado. Nestas
coordenadas pode escrever-se:
u+ =
12 ( )U
−+ ejωt + U−*− e-jωt (3.150a)
u− =
12 ( )U
−*+ e-jωt + U−- ejωt (3.150b)
Onde
U−+ e U
−- são as componentes de Fortescue das amplitudes complexas.
Aplicando as equações 3.146 obtém-se:
uf = 12 ( )U
−+ + U−*−−−− e-j2ωt (3.151a)
ub = 12 ( )U
−*+ + U−- ej2ωt (3.151b)
d) Sistema equilibrado de tensões de onda rectangular.
Aplicando a transformação às figuras 3.21 em intervalos de 60°
obtem-se a figura 3.22. Esta figura é composta por seis arcos de 60°
coincidentes.
30º
30º
a) Componente f b) Componente b
Fig 3.22 Componentes f e b dum sistema de tensões rectangulares.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
132
C5. Modelo da Máquina de indução em coordenadas fb
A partir dos modelos da máquina de indução em coordenadas de Park é possível
obter modelos em coordenadas fb.
As componentes f são obtidas somando as equações relativas ao eixo d com as
equações relativas ao eixo q multiplicadas por j= -1 .
As componentes b são obtidas somando as equações relativas ao eixo d com as
equações relativas ao eixo q multiplicadas por -j=- -1 .
A relação entre os fluxos e as correntes é em qualquer referencial, desde que os
eixos do estator estejam alinhados com os eixos do rotor:
ψf
s
ψfr
=
Ls M
M Lr
i
fs
ifr
(3.152)
e
ψb
s
ψbr
=
Ls M
M Lr
i
bs
ibr
(3.153)
C.6 Modelo da máquina de indução num referencial do estator (+ - f b)
Considerando as equações 3.107 e aplicando a técnica descrita acima, obtém-se:
ufs = rs i
fs +
dψfs
dt ub
s = rs ib
s + dψ
b
sdt (3.154)
uf
r = rr if
r + dψ
f
rdt - j ppωm ψ
f
r ub
r = rr ib
r + dψ
b
rdt + j ppωm ψ
b
r (3.155)
Como tanto as variáveis +/- como as variáveis fb são complexas conjugadas duas a
duas, só é necessário considerar duas equações. O modelo em grandezas +f será assim:
u
+s
uf
r
=
rs+Ls
ddt M
ddt
M ( ddt - j ppωm ) rr + Lr (
ddt -j ppωm)
i
+s
if
r
(3.156)
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
133
C.8. Modelo da máquina de indução num referencial do campo girante
(fb,fb):
uf
s = rs if
s + dψ
f
sdt + jωR ψ
f
s ubs = rs i
b
s + dψb
sdt - jωR ψb
s (3.157)
uf
r = rr if
r + dψ
f
rdt + j(ωR−ppωm)ψ
f
r ub
r = rr ib
r + dψ
b
rdt - j(ωR −ppωm) ψ
b
r (3.158)
Também neste caso, são necessárias apenas duas equações. As componentes b são
complexas conjugadas de f. Às componentes f correspondem as equações:
u
fs
uf
r
=
rs+Ls (
ddt +jωR) M (
ddt +ωR)
M [ddt +j(ωR -ppωm)] rr + Lr [
ddt +j(ωR -ppωm)]
i
fs
if
r
(3.159)
Exemplo 3.11 “Esquema equivalente da máquina de indução em
regime sinusoidal equilibrado”
Das equações 3.159 pode obter-se o esquema equivalente da máquina
de indução em regime sinusoidal e equilibrado. Com efeito, neste
referencial as derivadas das variáveis de estado em regime permanente
são nulas (ver exemplo 3.10). Este facto traduz-se nas equações 3.159
por fazer d/dt=0.
Escrevendo (ω-ppωm) em termos do escorregamento s isto é, fazendo
(ω-ppωm) = sω
Substituindo na equação 3.159 e dividindo ambos os membros da
segunda equação pelo escorregamento s, obtém-se:
u
fs
ufrs
=
rs+jωLs jωM
jωMrrs + jωLr
i
fs
if
r
(3.160)
Estas equações traduzem o esquema equivalente da máquina de indução
em regime permanente sinusoidal e equilibrado.
Exemplo 3.12 “Esquema equivalente da máquina de indução em
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
134
regime sinusoidal desequilibrado com componentes homopolares
nulas”
Considere-se uma máquina de indução de rotor em curto-circuito em
regime sinusoidal desequilibrado. Para este estudo vamos partir do
modelo em variáveis +-/fb. Nestas variáveis a frequência das grandezas
do estator e das grandezas do rotor é igual à frequência da tensão de
alimentação ω. As componentes simétricas instantâneas podem
escrever-se em termos das componentes de Fortescue. Com efeito, e
tomando apenas as componentes +/f (+ grandezas do estator, f grandezas
do rotor), tem-se:
u+ =
12
U
−+s e
jωt + U−*−
s e-jωt
uf = 0 (rotor em curto-circuito)
i+ =
12 ( )I
−+s e
jωt + I−*−
s e-jωt
if =
12 ( )I
−fr e
jωt + I−b
r*e-jωt
A partir das equações 3.156, tira-se:
U
−+s e
jωt + U−*−s e
-jωt = (rs+Lsddt)( )I
−+s e
jωt + I−*−s e
-jωt
+ M ddt ( )I
−fr e
jωt + I−br*e-jωt
0 = M(ddt-jppωm)( )I
−+s e
jωt+I−*−s e
-jωt
+ rr+Lr(ddt-jppωm) ( )I
−fr e
jωt +I−br* e-jωt
Como estas equações são lineares, pode utilizar-se o princípio da
sobreposição para separar os termos em ejωt dos termos em e-jωt.
Obtém-se:
U−+s = (rs + jω Ls ) I
−+s+ jω M I
−fr
0 = j (ω−ppωm) M I−+s + [ ]rr+j(ω−ppωm)Lr I
−fr
e
U−*−s = (rs - jω Ls ) I
−*−s -jω M I
−br
*
0 = - j (ω+ppωm) M I−−s* + [ ]rr-j(ω+ppωm)Lr I
−br
*
Estes dois conjuntos de equações são independentes. Estão escritos
em termos das componentes de Fortescue.
Como
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
135
ω−ppωm = sω e ω+ppωm = (2-s)ω
Introduzindo nas equações acima obtém-se:
U−+s = (rs+jω Ls) I
−+s + jω M I
−fr (3.161a)
0 = j ωM I−+s +
rr
s +jωLr I−fr (3.161b)
e
U−−s = (rs+jω Ls) I
−−s +jω M I
−br (3.162a)
0 = jωM I−−s +
rr
2-s +jωLr I−br (3.162b)
A estas equações corresponde o esquema equivalente da figura 3.23.
jω(Ls-M) jω(Lr-M)
jωM
risi
su
rsrr/s
Fig 3.23 Esquema equivalente da máquina de indução em regime desequilibrado.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
136
Vectores espaciais.
Consideremos uma máquina de indução como a representada na figura 3.1. A
posição do rotor é representada pelo ângulo θ. A coordenada de um ponto genérico P noentreferro pode ser dada pelo ângulo θs no referencial do estator e pelo ângulo θr no
referencial do rotor. Tem-se:
θs = θr + θ (3.163)
No referencial do estator, admitindo distribuição sinusoidal de condutores, a força
magnetomotriz produzida pelos 3 enrolamentos do estator escreve-se:
Fm(θs,t) = N Ke
i1 cosθs + i2 cos
θs -
2π3 + i3 cos
θs -
4π3 (3.164)
Substituindo os termos em coseno pelos seus equivalentes em termos de
exponencial complexa e rearanjando, tem-se:
Fm(θs,t) = N Ke 12
e-jθs
i1+ i2 e
j2π/3+ i3 e
j4π/3
+ e
+jθs
i1+ i2 e
-j2π/3+ i3 e
-j4π/3 (3.165)
Que é a soma de duas grandezas complexas conjugadas. A expressão 3.165 pode
escrever-se:
Fm(θs,t) = N Ke 12c
e
-jθs i~
s + e+jθs
i~
s* (3.166)
onde
i~
s = c
i1+ i2 e
j2π/3+ i3 e
j4π/3 (3.167a)
i~
s* = c
i1+ i2 e
-j2π/3+ i3 e
-j4π/3 (3.167b)
O vector i~
s é um vector proporcional à componente de sequência positiva
instantânea e c uma constante de normalização. Este vector pode ser interpretado como
um vector espacial que representa uma distribuição de corrente sinusoidal no espaço.
Do mesmo modo se podem definir os mesmos vectores para a outras grandezas.
Naturalmente que não é necessário trabalhar com o par de vectores das equações 3.167
pois este par é complexo conjugado.
Assim, obtém-se:
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
137
u~
s = c
u1+ u2 ej2π/3
+ u3 ej4π/3
(3.168a)
i~
r = c
i4+ i5 ej2π/3
+ i6 ej4π/3
(3.168b)
u~
r = c
u4+ u5 ej2π/3
+ u6 ej4π/3
(3.168c)
ψ~s = c
ψ1+ ψ2 e
j2π/3+ ψ3 e
j4π/3 (3.168d)
ψ~r = c
ψ4+ ψ5 e
j2π/3+ ψ6 e
j4π/3 (3.168e)
Poderá definir-se também um vector espacial para representar grandezas internas
da máquina. Para a força magnetomotriz, tem-se:
F~ms = Ke Ns i~
s (3.169a)
F~mr = Ke Ns i~
r (3.169b)
O campo de indução magnética pode ser obtido por:
B~
= µog F~ms +F
~mr (3.170)
Em que g representa o entreferro.
Esta definição de vectores espaciais permite o conhecimento das grandezas
internas da máquina que não são normalmente conhecidas da teoria dos circuitos. Estes
vectores foram propostos em 1958 por Kovacs e Racs e tem sido objecto de muito
interesse nos últimos anos. O valor da constante de normalização mais utilizado é c=2/3.
Este valor tem a vantagem de fazer coincidir o valor de pico de uma grandeza de fase
com o módulo do respectivo vector espacial como se verá na próxima secção.
Em termos de vectores espaciais as equações da máquina ficam:
u~s = rs i~
s + Ls d i~
s dt + M
ddt
ejθ i~
r (3.171a)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
138
u~r = rr i~
r + Lr d i~
r dt + M
ddt
e-jθ i~
s (3.171b)
O vector espacial pode ser interpretado como um vector que tem um módulo
proporcional à grandeza que representa e a sua localização no plano de Argand, ou seja
o seu argumento, representa a posição no espaço dessa grandeza em ângulos eléctricos.
Este assunto será visto de novo na secção seguinte.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
139
3. 11. Transformação de dois eixos standard.
Além da transformação de Park de potência invariante é também muito
frequentemente utilizada uma outra transformação que tem algumas propriedades
diferentes da transformação acima definida. É conhecida como transformação de Clarke
ou por transformação de dois eixos standard. Esta transformação é definida como:
−
−−
=
c
b
a
o x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
2
12
3
2
30
2
1
2
11
3
2β
α(3.172)
A transformação inversa é determinada por:
−−
−=
01
2
3
2
1
12
3
2
1101
x
x
x
x
x
x
c
b
a
β
α(3.173)
A matriz de transformação é assim:
−−
−=
12
3
2
1
12
3
2
1101
T (3.174)
Esta transformação é uma transformação de semelhança. As tensões, fluxos e
correntes são transformadas através da mesma matriz. Contudo, como TQR ≠ , não é
uma transformação ortogonal e a condição de invariância de potência não está
assegurada.
Num sistema trifásico, a potência p pode ser calculada por:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
140
[ ] ( ) ''' TITUTITUIU
i
i
i
uuup ttt
c
b
a
cba ===
= (3.175)
O produto de TT t dá:
−
−−
1112
3
2
30
2
1
2
11
−−
−
12
3
2
1
12
3
2
1101
=
300
02
30
002
3
(3.176)
Isto significa que, em termos das novas variáveis, se deverá ter:
( )ooiuiuiup 22
3 ++= ββαα (3.177)
Quando a componente homopolar for nula ter-se-á:
( )ββαα iuiup +=2
3(3.178)
O factor 2
3 afecta agora o produto das tensões e correntes nas novas variáveis.
Como a velocidade não é alterada, o mesmo factor afectará também o binário. Assim
ter-se-á:
IM em→→
×= Ψ2
3(3.179)
Os valores dos parâmetros, como as resistências, as indutâncias virão inalterados
pois as tensões e as correntes são transformadas utilizando a mesma matriz.
Propriedades da transformação de Clarke
A transformação de Clarke goza de algumas propriedades semelhantes à de
Concordia. Assim mantêm-se as propriedades:
1. Existe desacoplamento entre as grandezas αβ e o
2. A matriz é uma matriz de constantes.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
141
Quando a componente homopolar for nula, isto é, quando 0=++ cba XXX ,
tem-se:
( ) acba XXXXX =
+−=
2
1
3
2α (3.180)
( )32
3
2
3
2
3
3
2 cbcb
XXXXcbX
−=−=
×−×=β
(3.181)
As grandezas xα são iguais às grandezas de fase e as grandezas xβ, à parte o factor
3 , são iguais às grandezas compostas.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
142
3.12 Vectores espaciais
1. Definição
Os vectores espaciais, introduzidos em 1958 por Kovacs e Racks da Universidade
Técnica de Budapeste são hoje uma ferramenta muito utilizada no estudo e controlo das
máquinas eléctricas. Estes são definidos como:
βα jxxx +=~ (3.182)
A partir das grandezas de fase tem-se:
−+
−−= cbcba xxjxxxx
2
3
2
3
3
2
2
1
2
1
3
2~ (3.183)
Rearranjando, tem-se:
−−+
+−+= cba xjxjxx
2
3
2
1
2
3
2
1
3
2~ (3.184)
definindo:
2
3
2
13
2
jeaj
+−==π
(3.185)
tem-se:
( )cba xaxaxx 2
3
2~ ++= (3.186)
2. Interpretação geométrica
A figura 3.23 representa um vector espacial colocado no plano de Argand no
ponto P. As suas componentes α e β podem ser obtidas pelas projecções no eixos α e βrespectivamente. Do mesmo modo se encontram representados os eixos 1, 2 e 3. As
componentes das fases podem também ser obtidas pelas projecções nos eixos 1, 2 e 3.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
143
xα
xβ
α,1
β2
3
P
x1x2
x3
Fig.3.23. Vector espacial no plano de Argand.
Assim, os valores de αX , βX bem como de aX , bX e cX são obtidos pela
projecção do vector no eixo respectivo.
3. Rotação de referencial
Consideremos um vector espacial no referencial αβ representado na figura 3.24.
xα
xβ
ερ
α
β
dqP
Fig. 3.24. Mudança de referencial no plano de Argand.
No referencial αβ , em coordenadas polares, o vector espacial escreve-se:
εβααβ
jexjxxx =+=~ (3.187)
No referencial dq o mesmo vector escreve-se:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
144
( ) ραβ
ρε jjqddq exexjxxx −− ==+= ~~ (3.188)
Donde se tem como transformação
. dqj
xex ~~ ραβ = (3.189)
A transformação inversa é simplesmente:
αβρ
xexj
dq~~ −
= (3.190)
4. Modelo de máquina de indução utilizando vectores espaciais.
Num referencial genérico que rode à velocidade Rωρ = o modelo da máquina de
indução é dado pelas equações 3.110.
Fazendo:
qsdss juuu +=~qsdss jiii +=~
qsdssjψψψ +=~ (3.191)
qrdrr juuu +=~qrdrr jiii +=~
qrdrrjψψψ +=~ (3.192)
e multiplicando equação(3.110b) por j e adicionando à equação(3.110a) tem-se:
sRs
sss jdt
diru ψωψ ~
~~~ ++= (3.193)
Fazendo as mesmas operações para as equações do rotor, tem-se também:
rmpRr
rrr pjdt
diru ψωωψ ~)(
~~~ −++= (3.194)
A relação entre os fluxos e as correntes será simplesmente:
rsss iMiL~~~ +=ψ (3.195)
rrsr iLiM~~~ +=ψ (3.196)
Atendendo que não se definem produtos externos no plano de Argand, o binário
será dado por:
*~~Im2
3sspem ipM ψ= (3.197)
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
145
A simplicidade destas equações permite algum tratamento analítico que seria
difícil de executar com outros modelos.
Exemplo 3.13 Modelo de máquina de indução no referencial do
estator e no referencial genérico.
Atendendo às equações, o modelo de máquina de indução no
referencial do estator será:
dt
diru ssss
ψ~~~ +=(3.198)
rmpr
rrr jpdt
diru ψωψ ~
~~~ −+= (3.199)
Num referencial genérico tem-se:
dqj xex ~~ ρ
αβ = (3.200)
Onde ρ é o ângulo da transformação. Substituindo nas equações, tem-
se para o estator:
dqj
dqj
sdqj e
dt
dierue ψρρρ ~~~ += (3.201)
desenvolvendo, e tendo em atenção que por definição dt
dR
ρρω == :
dt
deejierue
dqjdq
jdq
jsdq
j ψψρ ρρρρ
~~~~ ++= (3.202)
Eliminando o elemento ejρ que é comum aos dois termos de equação,
obtém-se:
dqdq
dqsdqs jdt
diru ψρ
ψ ~~
~~ ++= (3.203)
Para o rotor obter-se-á:
( ) rmpRdq
ssdqr pjdt
diru ψωω
ψ ~~
~~ −++= (3.204)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
146
Esquema equivalente da máquina de indução:
Tal como se fez para as componentes fb também é fácil obter um esquema
equivalente para a máquina de indução utilizando vectores espaciais. Os cálculos são
semelhantes. A relação entre os fluxos e as correntes pode pôr-se na forma de um
esquema equivalente em T.
Para isso tem-se:
Ls-M Lr-M
dt
d sψ~dt
d rψ~M
ri~
si~
Fig. 3.25. Esquema equivalente representando a relação entre os fluxos e as correntes na máquina deindução.
No referencial do estator, a introdução das equações dá origem a:
Ls-M Lr-M
dt
d sψ~dt
d rψ~M
ri~
si~
ru~su~
rs rrrmpjp ψω ~−
Fig 3.26. Esquema equivalente em regime dinâmico.
Em regime permanente as grandezas do estator têm frequência ωs enquanto que as
grandezas do rotor têm frequências ωr. Como se está a trabalhar num referencial comum
ao estator e ao rotor, estas grandezas vistas do mesmo referencial terão frequências
iguais. Considerando o referencial do estator, tem-se:
( ) tsjs
stsjss exexx ωϕω == +~ (3.205)
( ) tsjr
rtsjrr exexx ωϕω == +~ (3.206)
As equações ficarão:
tsjss
tsjss
tsjs ejeireu ωωω ψω+= (3.207)
tsjrm
tsjrs
tsjrr
tsjr epejeireu ωωωω ψωψω −+= (3.208)
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
147
Eliminando os termos exponenciais,
sssss jiru ψω+= (3.209)
rmprsrrr pjiru ψωψω −+= (3.210)
Dividindo ambos os termos da segunda equação pelo escorregamento s, tem-se:
sssss jiru ψω+= (3.211)
rsrrr jis
r
s
u ψω+=(3.212)
E o esquema equivalente um regime estacionário será:
jω(Ls-M) jω(Lr-M)
jωM
risi
sur /su
rsrr/s
3.27. Esquema equivalente da máquina de indução.
Este é o esquema equivalente clássico de máquina de indução.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
148
Anexo 1: “ Visualização dos coeficientes de indução de umamáquina eléctrica”.
A visualização da forma de onda dos coeficientes é possível para o caso dos
coeficientes de indução mútua e dos coeficientes de indução própria. Para este efeito, a
máquina encontra-se a rodar a uma determinada velocidade.
Este método utiliza uma fonte de corrente contínua que deverá impôr uma corrente
contínua constante apesar da variação possível que o coeficiente e indução própria deva
sofrer.
O fluxo num determinado enrolamento é obtido pela integração no tempo da
tensão induzida no enrolamento referido. Sendo um coeficiente de indução uma relação
entre um fluxo e uma corrente, e sendo a corrente constante, a variação do coeficiente de
indução ao longo do tempo será dada pela variação do fluxo também ao longo do tempo.
Como a velocidade é constante a posição é uma função linear do tempo. Assim, uma
variação no tempo é também uma variação na posição.
Para a visualização de um coeficiente de indução mútua entre dois enrolamentos, é
injectada uma corrente contínua num dos dois enrolamentos e é visualizada num
osciloscópio a forma de onda da tensão induzida no outro enrolamentos depois de
integrada no tempo.
Para a visualização de um coeficiente de indução própria num enrolamento, é
injectada uma corrente contínua nesse enrolamento e é visualizada num osciloscópio a
forma de onda da tensão induzida no mesmo enrolamento depois de integrada no tempo.
Este processo só permite visualizar o andamento dos coeficientes de indução. Não
permite determinar o valor médio destes coeficientes nem as componentes homopolares
associadas ao rotor da máquina de indução de rotor bobinado.
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
149
Anexo 2: “Aplicação da Transformação de Concordia àMáquina Síncrona”
Transformação abc → α, β, 0. A matriz dos coeficientes de indução será:
CT 0
0 1
Lee Mef
MefT Lf
C 0
0 1 =
CTLeeC CTMef
MefT C Lf
Onde C é a matriz de transformação de Concordia.
1. Cálculo do termo CTLeeC
CTLeeC = 23
1 -
12 -
12
032 -
32
1212
12
L11 M12 M13M12 L22 M23M13 M23 L33
23
1 0
12
-12
32
12
-12-
32
12
CTLeeC = 23
1 -
12 -
12
032 -
32
12
12
12
L11-12(M12+M13)
32 (M12-M13)
12(L11+M12+M13)
M12-12(L22+M23)
32 (L22-M23)
12(M12+L22+M23)
M13-12(M23+L33)
32 (M23-L33)
12(M13+M23+L33)
Donde:
Lαα = 23 L11 -
12M12 -
12M13 -
12M12 +
14L22 +
14M23 -
12M13 +
14M23 +
14L33
Lαβ = 23
3
2 M12 -32 M13 -
34 L22 +
34 M23 -
34 M23 +
34 L33
Lβα = 23
3
2 M12-34 L22 -
34 M23 -
32 M13 +
34 M23 +
34 L33
Lββ = 23
34 [ ]L22 - M23 - M23 + L33
Simplificando, obtém-se:
Lαα = 23 L11 +
14L22 +
14L33 -M13 -M12 +
12M23
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
150
Lαβ = 13 12L33 -
12L22 +M12 -M13
Lββ = 12 [ ]L22 + L33 - 2 M23
Substituindo pelas expressões 3.7 e 3.8 desprezando a 4ª
harmónica, obtém-se:
A. Coeficiente de auto-indução do enrolamento αααα
Lαα = 23 La + Lb cos2θ + 14 La +
14 Lb cos2θ3 +
14 La +
14 Lb cos2θ2 - Ma -Mbcos2θ3-Ma-Mbcos2θ2+
12 Ma+
12 Mbcos2θ
= 23
32La-
32Ma+Lb cos2θ+14(cos2θ3+cos2θ2) -Mb cos2θ3+cos2θ2-
12 cos2θ
como cos2θ3 + cos2θ2 = -cos2θ
Lαα = La-Ma + 23 Lb
34 cos2θ + 23 Mb
32 cos2θ
Lαααααααα =( )La-Ma +
Lb
2 + Mb cos2θθθθ
B. Coeficiente de indução mútua αβαβαβαβ
Lαβ = 13 12La+
12Lbcos2θ2-
12La-
12Lbcos2θ3+Ma+Mbcos2θ2-Ma-Mbcos2θ3
= 13 12Lb( )cos2θ2-cos2θ3 +Mb( )cos2θ2-cos2θ3
como cos 2θ2 - cos2θ3 = 3 sen2θ
Lαβαβαβαβ = 12 Lb + Mb sen2θθθθ
C. Coeficiente de auto-indução do enrolamento β β β β
Lββ = 12 [ ]La+Lbcos2θ3+La+Lbcos2θ2-2Ma-2Mbcos2θ
= La - Ma + Lb2 ( )cos2θ3 + cos2θ2 -Mbcos2θ
Lββ ββ ββ ββ =( )La + Ma -
Lb
2 + Mb cos2θθθθ
Cap. 3 Modelos das Máquinas de Corrente Alternada
Gil Marques 02-04-02
151
D. Cálculo dos termos homopolares
Lοο = 23
12 [ ]L11+M12+M13+M12+L22+M23+M13+M23+L33
= 13 [ ]L11+L22+L33+2M12+2M13+2M23
Lαο = 23
12 L11+M12+M13-
12M12-
12L22-
12M23-
12M13-
12M23-
12L33
= 23 L11-
12L22-
12L33+
12M12+
12M13-M23
Lβο = 23
32
12 [ ]M12 + L22 + M23 - M13 -M23 - L33
= 16 [ ]L22 - L33 + M12 - M13
Execução dos cálculos dos termos homopolares
Lοο = 13 (La + Lbcos2θ + La + Lbcos2θ3 + La + Lbcos2θ2
+ 2Ma + 2Mbcos2θ2 + 2Ma + 2Mbcos2θ + 2Ma + 2Mbcos2θ3)
Lοοοοοοοο = La + 2Ma
L αο = 23 (La + Lbcos2θ -12La -
12Lbcos2θ3 -
12La -
12Lbcos2θ2 +
12Ma
+12Ma +
12Mbcos2θ +12Ma +
12Mbcos2θ3 - Ma -Mbcos2θ)
= 23 Lb cos2θ -12[cos2θ3+cos2θ2] -Mb cos2θ -12[cos2θ3+cos2θ2]
= 23
32Lb cos2θ - Mb
32 cos2θ
L αοαοαοαο = 12 ( )Lb - Mb cos2θθθθ
Lβο = 16 [ ]La+Lbcos2θ3-La-Lbcos2θ2+Ma+Mbcos2θ2-Ma-Mbcos2θ3
Lβο = 16 ( )-Lb 3 sen2θ + Mb 3 sen2θ
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
152
Lβοβοβοβο = -12 ( )Lb - Mb sen2θθθθ
2. Coeficiente de indução mútua entre estator e rotor.
Cálculo de CTMef
CTMef = 23
1 -
12 -
12
032 -
32
12
12
12
MF
cosθ
cosθ3
cosθ2
= 23 MF
cosθ-12(cosθ3+cosθ2)
33 (cosθ3−cosθ2)
0
= 23 MF
32
cosθ
senθ0
= 32 MF
cosθ
senθ0
Exercícios de revisão
Ia) Mostre que qualquer transformação de potência invariante, real, de 2x2,
ortogonal, deve ser da forma:
C =
x -y
y x onde x2 + y2 = 1
ou a sua transposta.
A sua resposta deverá consistir em duas partes: primeiro mostrando que a
transformação acima mencionada tem as condições requeridas, segundo
mostrando que mais nenhuma transformação obedece a tais condições.
b) No caso especial da equação matricial
E = ddt(LI)
onde
Cap. 3. Exercícios 153
Gil Marques 02-04-02
E =
e1
e2 I =
i1
i2
L =
1+2senθcosθ sen2θ-cos2θ
sen2θ-cos2θ 1-2senθcosθ
Faça a transformação real de potência invariante
CE' = E CI' = I
onde
E' =
e'1
e'2 I' =
i'1
i'2 C =
cosθ -senθ
senθ cosθ
para obter a nova equação
E' = L' ddt I' + B'I'
determine L' e B'
II
Uma máquina de pólos lisos é descrita em coordenadas αβ no estator e dq no
rotor, através das equações:
uαs
uβs
udr
uqr
=
rs 0 0 0
0 rs 0 0
0 M•θ rr Lr
•θ
-M•θ 0 -Lr
•θ rr
iαs
iβs
idr
iqr
+
Ls 0 M 0
0 Ls 0 M
M 0 Lr 0
0 M 0 Lr
ddt
iαs
iβs
idr
iqr
Mem = M(-iα iq+ iβ id)
Deseja fazer-se uma mudança de referencial e escrever as equações da mesma
máquina num novo referencial, designado por 12,fb, que é relacionado com o referencial
anterior através de:
Uαβ,dq = A U12,fb Iαβ,dq = A I12,fb
154 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
onde:
A = 12
1 1 0 0
-j j 0 0
0 0 1 1
0 0 -j j
a) Calcular, através de operações matriciais, os elementos das novas matrizes das
impedâncias em termos dos elementos das matrizes originais.
b) Calcule uma nova expressão do binário em termos das novas grandezas.
IIIConsidere uma máquina assíncrona em coordenadas α β.
1.a Obtenha um novo modelo fazendo uma transformação das grandezas do rotor para
o referencial do estator.
1.b Qual a frequência, em regime permanente das novas variáveis que representam o
rotor ?
2.a Obtenha um segundo modelo fazendo uma transformação de grandezas do estator
para o referencial do rotor.
2.b Qual a frequência, em regime permanente, das novas variáveis que representam o
rotor ?
3.a Obtenha um terceiro modelo fazendo uma transformação de grandezas do estator e
uma outra transformação de grandezas do rotor para um referencial síncrono com
o campo girante.
3.b Qual as frequências, em regime permanente, das novas variáveis que representam
o estator e o rotor ?
4. Determine a expressão do binário para cada um dos 3 modelos que determinou.
IV
Máquina assíncrona monofásica
Considere uma máquina eléctrica rotativa de pólos lisos. Esta máquina tem um
Cap. 3. Exercícios 155
Gil Marques 02-04-02
enrolamento monofásico sinusoidalmente distribuído no estator cujo coeficiente de
auto-indução é 0,1H. A sua resistência é 0,5Ω. O rotor é constituído por uma gaiola de
esquilo com 21 barras enviesadas. Com a máquina parada, o coeficiente de indução
visto do estator é 0,01H e a resistência equivalente igual a 1Ω.
1. Estabeleça um modelo matemático para esta máquina. Determine os valores
dos parâmetros que nele figuram.
Sugestão: Considere a gaiola de esquilo do rotor equivalente a dois enrolamentos
em quadratura sinusoidalmente distribuídos e em curto-circuito.
2. Faça uma mudança de variáveis no rotor de modo a que a frequência das
correntes deste seja igual à frequência das correntes do estator. Obtenha o
novo modelo matemático. (Equações eléctricas e equações do binário).
3. Qual a frequência das correntes do rotor em função da velocidade ?
4. O enrolamento do estator encontra-se alimentado em corrente contínua.
4.1 - Determine o modelo da máquina em regime permanente.
4.2 - Qual a relação entre o binário e a corrente de excitação ?
5. O enrolamento do estator encontra-se alimentado em corrente alternada.
5.1 - Determine o modelo da máquina em regime permanente.
5.2 - Qual o valor da impedância complexa vista do estator
5.3 - Qual a relação entre o binário e a corrente no estator em função da
velocidade.
5.4 - Determine a característica electromecânica da máquina.
V
Estudo do transformador trifásico utilizando a teoria dos circuitos.
A relação entre os fluxos ligados e as correntes de um transformador trifásico pode
ser escrita na forma:
ψ1
ψ2
ψ3
ψ4
ψ5
ψ6
=
L11 M11 M11 Mp Ms Ms
M11 L11 M11 Ms Mp Ms
M11 M11 L11 Ms Ms Mp
Mp Ms Ms L22 M22 M22
Ms Mp Ms M22 L22 M22
Ms Ms Mp M22 M22 L22
i1
i2
i3
i4
i5
i6
a) Quais as simplificações que estão assumidas neste modelo ?
156 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
b) Aplicando a transformação de Concordia, determine um novo modelo para esta
máquina. Comente.
c) A partir dos resultados da alínea b) determine um modelo válido para o estudo do
regime transitório. Como determinaria experimentalmente os parâmetros que
figuram neste modelo. Admita que este transformador se encontra ligado em
estrela/triângulo.
VI
O estudo do regime transitório das máquinas eléctricas é realizado utilizando
sistemas de equações diferenciais. Estes sistemas podem tomar formas extremamente
complexas quando se utilizam como variáveis de estado as correntes nos enrolamentos.
Com o objectivo da simplificação das equações utilizam-se métodos que se baseiam em
mudanças de variáveis.
Faça uma exposição destes métodos indicando, quando possível, a interpretação
física das várias operações que se efectuam. Para ilustrar a sua exposição utilize, à sua
escolha, uma máquina síncrona ou uma máquina assíncrona. Refira-se às diferentes
frequências que se podem encontrar nos vários modelos e nas diversas variáveis.
VII
Um rotor cilíndrico uma máquina de corrente contínua é colocado no interior de um
estator também cilíndrico sem enrolamentos. Este estator serve apenas para completar
um caminho de baixa relutância para o circuito magnético. Sobre o colector deste rotor
encontram-se dois pares de escovas como se representam na figura. Entre duas escovas
opostas definem-se a resistência Rr e a indutância Lr.
Cap. 3. Exercícios 157
Gil Marques 02-04-02
Vd
Vq
Id
iq
Considere que os ângulos são medidos segundo o sentido positivo trigonométrico e
que o eixo q se encontra em quadratura e em avanço em relação ao eixo d. Considere
também que a máquina roda no sentido positivo.
a) Escreva as relações entre as tensões e as correntes que determinam o
comportamento transitório desta máquina utilizando o sistema de variáveis dq, e
mostre em detalhe como transformar estas relações num conjunto equivalente em
variáveis complexas fb. Qual é o binário electromagnético desenvolvido por esta
máquina?
b) Considere velocidade constante e regime DC em regime permanente. É aplicada
uma tensão constante sobre as escovas que se encontram alinhadas com o eixo q.
As escovas que se encontram alinhadas com o eixo d encontram-se ligadas a
uma resistência de carga variável. Desprezando as quedas de tensão resistivas
comparadas com as quedas de tensão de velocidade, calcule a corrente na
resistência de carga. Descreva numa frase a característica deste modo de
operação. (utilize variáveis dq).
c) Considere velocidade constante e o regime permanente sinusoidal. Encontra-se
aplicado às escovas um conjunto de tensões dado por:
vd= Vm cos ωt vq=Vm sen ωt
Obtenha as relações de regime permanente entre as tensões e as correntes expressas
na notação complexa convencional utilizada normalmente para representar
grandezas sinusoidais. Como poderá compensar a potência reactiva com este
sistema?
VIII
Pretende-se estudar um servomotor bifásico e bipolar que se encontra
esquematizado na figura. As constantes são:
158 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
Rs=60Ω ω(Ls-Lm)=230Ω ωLm=385Ω Rr=450Ω ω(Lr-Lm)=85Ω ω=2π400 rad/s
Vr
Ir
Vc
Ic
a) Determine um modelo matemático para o estudo deste servomotor.
b) Calcule o binário médio em regime permanente em Nm para uma velocidade
de 6000 rpm e uma tensão aplicada de 230V (valor eficaz) da fase de
referência (Vr) e 115V (valor eficaz) na fase de controlo (Vc) estando estas
duas formas de onda em quadratura.
c) Para uma velocidade de 6000 rpm calcule o binário médio de regime
permanente desenvolvido quando o interruptor se encontra aberto e a fase de
referência tem 230V aplicados.
Cap. 4. Sistemas Electromecânicos com Comutação 159
Gil Marques 02-04-02
Capítulo 4
Modelização de sistemas electromecânicos comcomutação
Neste capítulo apresenta-se a modelização de sistemas electromecânicos com
comutação. Para isso utiliza-se como ferramenta fundamental a teoria da transformação
de Park. Esta é baseada nas equações 4.1.
dRq
qaq
qRd
dad
dt
diru
dt
diru
ψωψ
ψωψ
++=
−+=(4.1)
A técnica utilizada consiste em escolher o referencial que esteja associado à
corrente.
Apresentam-se em pormenor dois casos: a máquina de corrente contínua de
colector e a geratriz de rectificação. Nas máquinas de corrente contínua com comutação
mecânica, realizada com um comutador, este referencial é coincidente com o estator.
Neste caso os condutores do rotor estão em movimento e as correntes estão
estacionárias sendo a sua posição determinada pela localização das escovas que se
encontram sobre o comutador ou colector. Nas geratrizes de rectificação tem-se
comutação electrónica. A modelização é feita utilizando-se um referencial em
movimento coincidente com a corrente. Em ambos os casos, devido à comutação, os
condutores e o campo criado deslocam-se a velocidades diferentes. Em vez da teoria de
Park, para o mesmo fim, poderia utilizar-se alternativamente a teoria dos contactos
deslizantes estabelecida pelo Prof. Garrido nos anos 70. Embora as expressões
matemáticas usadas neste capítulo tenham a sua origem na teoria de Park, os conceitos e
160 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
a sua aplicação resultam da teoria dos contactos deslizantes. Utiliza-se esta estratégia
pois daqui resulta uma simplificação matemática considerável.
Na teoria dos contactos deslizantes distinguem-se dois tipos de circuitos: os
circuitos do tipo filiforme, caracterizados por ausência de comutação e que obedecem à
lei geral de indução, e os circuitos de comutação ou de contactos deslizantes. Nestes
circuitos a corrente e a matéria que serve de suporte físico para ela, não se deslocam á
mesma velocidade. Isto é possível pelo facto de haver comutação. Para este tipo de
circuitos o Prof. M. S. Garrido estabeleceu uma equação de equilíbrio de tensões. Para
se obter um modelo matemático de um determinado sistema electromecânico é
necessário escrever a equação dos contactos deslizantes e uma equação que determine a
posição das correntes, ou das escovas fictícias que as determinam. Estas duas equações
são equivalentes às equações 4.1.
4.1. Modelização da Máquina de Corrente Contínua compólos de comutação e enrolamentos de compensação
A figura 4.1 apresenta um esquema em corte de uma máquina de corrente contínua
com um par de pólos. O colector não está representado, mas pressupõe-se que o seu
funcionamento provoca uma distribuição fixa no espaço de correntes no rotor apesar
deste rodar a uma velocidade qualquer que designaremos por ωm.
N
S
ua
ia
uf
if
ub uc
ib ic
a b c
f
d
q
a) Esquema em corte b) Representação de circuitos
Fig. 4.1 Esquema em corte da máquina DC com um par de pólos
Cap. 4. Sistemas Electromecânicos com Comutação 161
Gil Marques 02-04-02
As escovas estão fixas no espaço devido às características de construção da
máquina. No referencial adoptado, figura 4.1, as escovas encontram-se sobre o eixo q.
Os enrolamentos fundamentais neste tipo de máquina são o enrolamento de campo
(que representaremos pela letra f) do tipo filiforme, e o enrolamento do induzido (letra
a) do tipo de comutação. Os enrolamentos de compensação (letra b) são do tipo
filiforme e destinam-se a compensar a reacção magnética do induzido traduzida pela
deformação da onda de F.m.m. ao longo da periferia. Os enrolamentos de comutação
(letra c) são do tipo filiforme e destinam-se a compensar o deslocamento da linha neutra
à medida que a corrente ia sobe, e a evitar que esta se afaste da posição das escovas
provocando mau funcionamento do colector. Estes dois enrolamentos são percorridos
pela corrente do induzido ia.
Para a modelização desta máquina vamos escrever a matriz dos coeficientes de
indução considerando que cada um dos 4 enrolamentos é percorrido por uma corrente
diferente. Assim:
if - corrente de excitação
ic - corrente de comutação
ib - corrente de compensação
ia - corrente no induzido
A colocação dos enrolamentos c, b e a em série obtém-se fazendo ic=ib=ia e
somando as tensões respectivas. Obter-se-ão as equações de equilíbrio eléctrico da
máquina.
A figura 4.1b mostra a posição relativa dos 4 circuitos referidos.
Para a modelização do circuito do induzido, visto que os condutores rodam à
velocidade ωm e que o campo criado pelas correntes que os atravessam é estacionário,
considera-se que o efeito do colector e escovas corresponde a uma transformação de
rotação de referencial
Considere-se assim a figura 4.2 onde os enrolamentos do rotor são substituídos
por um par de enrolamentos αβ equivalentes.
162 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
d
q
N
S
α
β
θ
Figura 4.2. Representação dos enrolamentos do rotor por um par αβ equivalente.
Fazendo uma transformação rotação de referencial aos enrolamentos αβ de angulo
de transformação ρ =-θ, o enrolamento α vai ficar alinhado com o eixo d e o
enrolamento β vai ficar alinhado com o eixo q. O colector impõe as condições:id=0 iq= ia (4.2)
Donde:
dmq
aaq
qmd
d
dt
diru
dt
du
ψωψ
ψωψ
−+=
+=(4.3)
Onde os fluxos ψd e ψq são os fluxos ligados com os enrolamentos d e q.
Como o rotor é cilíndrico, os termos de indutância mútua entre circuitos em
quadratura são nulos. Considerando que as escovas estão situadas num ângulo igual a
π/2 em relação ao enrolamento de excitação, obtém-se para a matriz dos coeficientes de
indução:
ψf
ψd
ψc
ψb
ψa
=
Lf -M 0 0 0
-M La 0 0 0
0 0 Lc Mbc Mca
0 0 Mbc Lb Mba
0 0 Mca Mba La
if
id
ic
ib
ia
(4.4)
Cap. 4. Sistemas Electromecânicos com Comutação 163
Gil Marques 02-04-02
O coeficiente de indução mútua entre f e d é negativo e é igual a –M. Este facto
pode ser facilmente visto quando se rodar as escovas de -90º. Os enrolamentos d e de f
estão enrolados do modo a criarem campos que de subtraem, ver figura 4.3.
N
S
d
q
Figura 4.3: Rotação das escovas de –90º. Mútua entre o eixo d e f.
As equações do equilíbrio das tensões relativas aos circuitos f, c e b são escritas no
referencial do estator não necessitando de nenhuma transformação. Assim, tem-se:
dt
diru
dt
diru
dt
diru
cccc
bbbb
ffff
ψ
ψ
ψ
+=
+=
+=
(4.5)
Obtenção do modelo da máquina de corrente contínua
Como os enrolamentos de comutação e compensação estão em série com o
circuito do induzido: (ic = ib = ia) ; (rt = ra + rc + rb) e (ut = ua + ub + uc) (4.6)
Utilizando as equações 4.3 a 4.5, vem:
dt
diLiru
fffff += (4.7)
fma
tatt Midt
diLiru ω++= (4.8)
Com:
164 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
Lt = (La+Lb+Lc)+2(Mbc+Mca+Mba) (4.9)
As equações 4.7 a 4.9 traduzem o comportamento eléctrico da máquina DC.
A equação do binário fica:
afadrrem iMiiiM =−=×−= ψψ (4.10)
As equações 4.7 a 4.9 bem como a equação do binário 4.10 constituem o modelo
da máquina DC normalmente utilizado no estudo dos regimes transitórios.
Exemplo 4.1 “Modelização do transformador Metadínico”
O transformador metadínico consiste num enrolamento induzidocolocado no rotor, com dois pares de escovas em quadratura no espaçocomo se mostra na figura 4.4. Não existem enrolamentos no estator e amáquina pode ser considerada como tendo entreferro constante.Desprezam-se também os efeitos da saturação magnética. Embora nãosendo verdade, para simplificar os cálculos, considere que osenrolamentos são sinusoidalmente distribuídos.
id
iq
U q
ud
ωm
R L
Fig. 4.4: esquema do transformador metadínico.O induzido é accionado à velocidade constante ωm. A tensão Uq
aplicada ao eixo em quadratura é constante. Ao eixo d (designado poreixo directo) é aplicada uma carga resistiva RL.
Fazendo as simplificações que achar necessárias:
a) Determinar as expressões dos coeficientes de indução dos doiscircuitos.
b) Determinar as equações eléctricas relacionadas com os eixos de q.
c) Determinar a expressão do binário em função das correntes.d) Determinar o modelo de estado do sistema.e) Determinar as expressões de regime permanente. Calcular Iq e
Id em função de RL e Uq.f) Comente a afirmação “O transformador metadínico comporta-se
como uma fonte de corrente constante (independente de RL)”.
Cap. 4. Sistemas Electromecânicos com Comutação 165
Gil Marques 02-04-02
g) Quais as consequências de um curto-circuito na carga? E de umcircuito aberto?
h) Faça o balanço energético do sistema.
Sugestão para as alíneas f, g, h: Fazer um pré-cálculosimplificado considerando a resistência do induzido nula.
Resolução.
a)Como o entreferro é liso, os coeficientes de auto-indução sãoconstantes e os coeficientes de indução mútua são funções docoseno do ângulo definido entre os eixos dos dois enrolamentos(ρd-ρq).
Assim, tem-seLd = Lq = cte = La
Mdq = La cos(ρd-ρq)=0
b) Ambos os circuitos são circuitos de comutação. Aplicando asequações 4.1 e as considerações deitas na secção anterior comum ângulo de transformação ρ=-θ, tem-se:
dmq
qaq
qmd
dad
dt
diru
dt
diru
ψωψ
ψωψ
−+=
++=
Estando as escovas colocadas em quadratura, a relação entre osfluxos e as correntes será:
ψd
ψq =
La 0
0 La
id
iq
Que introduzindo nas equações fundamentais, tem-se:
ud = ra id + La diddt + ωm La iq e ud = - RL id
uq = ra iq + La diqdt - ωm La id
c) O binário será dado por:
0=+−=+−=×−= dqaqdadqqdrrem iiLiiLiiiM ψψψ
Destas equações pode concluir-se que o binário será sempre nulo.Este resultado deve-se ao facto de não existir interacção entre oestator e o rotor. Note-se que não existem enrolamentos no estator e osistema não exibe saliência magnética.
d) A equação do equilíbrio mecânico será:
Mem = 0 J dωmdt = 0 – Mc
166 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
Sendo o binário de carga nulo a velocidade é constante.Para se obter o modelo de estado deve-se acrescentar as equações
do equilíbrio eléctrico. Ou seja:
0 = (ra +RL)id + La diddt + ωm La iq
uq = ra iq + La diqdt - ωm La id
e) Em regime permanente as derivadas em ordem ao tempo são nulas.Assim:
ωm = cte
0 = (ra + RL) Id + ωm La Iq
Uq = ra Iq - ωm La Id
Resolvendo o sistema obtém-se:
Id = - ωm La
ra (ra + RL) + ωm2 La2 Uq
Iq = ra + RL
ra (ra + RL) + ωm2 La2 Uq
f) Para esta alínea fazemos RL >> ra ou seja ra = 0 tem-se:
Id = - ωm La
ωm2 La2 Uq = -
Uqωm La
Iq = RL
ωm2 La2 Uq = -
RL Idωm La
Note-se que a corrente Id não depende da resistência RL. Estacorrente é proporcional à tensão no eixo em quadratura Uq einversamente proporcional à velocidade de rotação. Assim, aafirmação de que esta máquina se comporta como uma fonte decorrente é válida quando se puder desprezar as resistênciaspróprias dos enrolamentos da máquina.
g. Curto-circuito
Se RL=0, a corrente na carga id mantém-se constante. Acorrente no eixo q tende para zero. Assim, o curto-circuito nacarga não traz problemas de sobre-intensidades na máquina.
Circuito aberto
Se RL→ ∞ em vez de id=cte temos id=0. A tensão Ud tende para(ωm La Uq)/ra que pode tomar um valor elevado. Por sua vez
tem-se também Iq= Uq/ra. Assim, o circuito aberto no eixo d vai
Cap. 4. Sistemas Electromecânicos com Comutação 167
Gil Marques 02-04-02
provocar sobrecarga de corrente no eixo q e uma sobre-tensãono eixo d.
h) A potência entregue pela fonte de tensão Uq será:
Pq = Uq Iq = ra + RL
ra(ra+RL) + ωm2 La2 Uq
2
A potência entregue à carga RL será:
Pd = RL Id2 = RL ωm2 La2
( )ra(ra+RL) + ωm2 La2 2 Uq
2
A expressão de Pq pode pôr-se na forma:
Pq = (ra+RL)[ra(ra+RL)+ωm2 La2]
( )ra(ra+RL) + ωm2 La2 2 Uq2
= (ra+RL)
2ra + ωm2 La2(ra+RL)
( )ra(ra+RL) + ωm2 La2 2 Uq2 = ra Iq2 - ωm La Iq Id
A expressão de Pd pode pôr-se na forma:
Pd = - ωm La Id Iq - ra Id2
Assim tem-se:
Da potência entregue pelo eixo q parte são perdas no circuito
raIq2 e a restante é transmitida ao outro eixo. Desta potência
(-ωmLaIqId) parte é perdida nos circuitos, raId2 e a restante éentregue à carga.
Exemplo 4.2 “Modelização do Metadínamo”
O Metadínamo simples é constituído por um enrolamento deexcitação colocado no estator e por um enrolamento do induzido. Sobreo colector do induzido encontram-se dois pares de escovas colocadoscomo se mostra na figura 4.5. Para facilitar os cálculos, considera-seque o circuito magnético é linear, que o entreferro é constante e queos enrolamentos são sinusoidalmente distribuídos.
168 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
id
iqUd
ωm
if
ufRf
Lf
RL
Fig. 4.5
a)Escrever a matriz dos coeficientes de indução correspondentesaos circuitos da máquina.
b)Determinar a expressão do binário.c)Escrever equações eléctricas em regime permanente.d)Relacionar as correntes nos circuitos d, q e f.e)Estabelecer um diagrama de potências da máquina.
Resolução:
a)Para este caso, as considerações do exemplo 4.1, alínea a)também são válidas. Assim, no referencial da figura e com asconvenções indicadas, tem-se:
Ld = Lq = La = cteLf = cteMdq = Mqd =0Mdf = MMqf = 0
Assim, tem-se
ψd
ψq
ψf
=
La 0 M
0 La 0
M 0 Lf
id
iq
if
b)A expressão do binário pode ser obtida a partir de:
qfdqaqfdadqqdrrem iMiiiLiMiiLiiiM −=++−=+−=×−= )(ψψψ
c) Com as escovas nas suas posições normais, tem-se em regimetransitório:
ud = ra id + La diddt + M
difdt + ωm La iq
Cap. 4. Sistemas Electromecânicos com Comutação 169
Gil Marques 02-04-02
uq = ra iq + La diqdt - ωm(La id +M if)
uf = rf if + M diddt + Lf
difdt
Em regime permanente as derivadas em ordem ao tempo são nulas.Entrando com a característica da carga, tira-se:
0 = (ra + RL) Id + ωm La Iq0 = ra Iq - ωm (La Id + M If)Uf =rf If
d) A resolução do sistema de equações dá origem a:If=Uf/Rf = cte If=cte
Id = - ωm2 M La
ra (ra + RL) + ωm2 La2 If
Iq = (ra + RL) ωm M
ra (ra + RL) + ωm2 La2 If
Se se considerar nula a resistência do induzido,
0 = RL Id + ωm La Iq Iq = - RL Id ωm La
0 = La Id + M If Id = - MLa
If
Note-se que a corrente Id não depende da carga. Por sua vez, acorrente Iq é tanto maior quanto maior for a resistência de carga.
e) Pf = rf If2
Considerando nula a resistência do induzido,
Pd = RL Id2 = RL(
MLa
If)2
Pq = 0
A potência mecânica será Pm = Mem ωm = - M iq if ωmou
Pm = - M RL Id If
La = RL Id2
Assim, aparte as perdas, a potência mecânica é transformada empotência eléctrica e entregue à carga.
170 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
4.2. Modelização da geratriz de rectificação
A figura 4.6 apresenta o esquema da geratriz de rectificação. Este sistema é
constituído por uma máquina síncrona que roda à velocidade ωm, associada a uma ponte
a díodos. Devido ao funcionamento do rectificador, este sistema só poderá funcionar
como gerador.
A geratriz de rectificação encontra algumas aplicações industriais em situações
onde se deseje uma grande impedância de curto-circuito, como por exemplo, em
dínamos de automóvel.
ua Carga
ia
Fig. 4.6. Esquema da geratriz de rectificação
O indutor é constituído por uma bobina que roda à velocidade ωm. Constitui um
circuito do tipo filiforme. A modelização do conjunto “enrolamentos do estator,
rectificador” pode ser feita através da teoria da transformação de Park. Neste caso, em
regime permanente, a velocidade do referencial deverá ser igual à velocidade do campo
girante. Pode escrever-se imediatamente:
dt
diru
dt
diru
dt
diru
ffff
dq
qaq
qd
dad
ψ
ψωψ
ψωψ
+=
++=
−+=
(4.11)
Onde ω é a velocidade de rotação da corrente equivalente que cria a mesma onda
de F.m.m. Para simplificar a notação vamos admitir que a máquina tem apenas um par
de pólos.
A relação entre os fluxos e as correntes será:
Cap. 4. Modelização de máquinas de comutação electrónica 171
Gil Marques 02-04-02
ψd
ψq
ψf
=
La 0 M
0 La 0
M 0 Lf
id
iq
if
(4.12)
O rectificador a díodos impõe uma segunda restrição: que as tensões e as correntes
alternadas estejam em fase. Esta restrição é válida se se puder desprezar o período de
condução simultânea que existe entre dois díodos durante a comutação. Caso se
considere também o recobrimento, existirá um ângulo de desfasagem que dependerá do
valor da corrente.
A hipótese de considerar apenas a primeira harmónica de corrente no induzido e
desprezar os efeitos da condução simultânea é equivalente a considerar que:
• existe um número infinito de fases no induzido
• em todos os instantes apenas uma das fases se encontra em condução
• a comutação não ocorre em períodos discretos no tempo, mas continuamente.
y
x
θρ λ
Rotor
Estator
u f
fi
d
q d´
q´
Fig. 4.7 Geratriz de rectificação
Na figura 4.7 representa-se este sistema com um número de fases elevado para o
caso da rectificação simples. Sabe-se que toda a rectificação em ponte tem como
equivalente uma rectificação simples.
A posição do enrolamento do indutor é representada pela coordenada θ e
dθ/dt=ωm.
172 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
A zona espacial no interior da qual se encontra a fase em condução está
sublinhada e é representada pela coordenada média ρ = θ+λ.
Como, em regime permanente, o referencial roda à velocidade do rotor, o ângulo ρ
varia também linearmente no tempo. Para que no modelo a obter, as variáveis de estado
sejam constantes em regime permanente, em vez de se utilizar o ângulo ρ vamos utilizar
o ângulo λ. Este ângulo está relacionado com a posição das duas forças
magnetomotrizes e em regime permanente é constante no tempo.
As equações 4.11 e 4.12 representam a geratriz de rectificação no referencial do
rotor da máquina síncrona. A estas equações deverá introduzir-se a condição: tensão e
corrente do induzido em fase. Esta condição pode ser introduzida matematicamente
utilizando coordenadas polares e rodando o referencial de modo que o eixo d fique
alinhado com a corrente do induzido (referencial d’-q’ da figura 4.7). Assim:
ud=ua id=ia uq=0 iq=0 dt
dm
λωω += (4.13)
ψd=Laia+M if cosλ (4.14)
ψf=Lfif+M ia cosλ (4.15)
ψq= - M if senλ (4.16)
Modelo da Geratriz de Rectificação
Substituindo as equações 4.13 a 4.14 no modelo 4.11 obtém-se o modelo da
geratriz de rectificação em coordenadas polares.
Em notação matricial pode escrever-se:
uf - rf if
ua-raia-ωm M if senλ
- ωm Laia- ωm M if cosλ
=
Lf M cosλ -M senλ
M cosλ La 0
-M senλ 0 La
difdt
diadt
ia dλdt
(4.17)
Por sua vez, o binário escreve-se:
Mem = - M if ia sen λ (4.18)
Às equações 4.17 deve-se associar as seguintes desigualdades:
Cap. 4. Modelização de máquinas de comutação electrónica 173
Gil Marques 02-04-02
ia < 0
(4.19)ua > 0
As equações 4.17 e 4.18, conjuntamente com as desigualdades 4.19 são as
equações eléctricas procuradas.
Estudo do regime permanenteEm regime permanente, como as variáveis de estado são constantes no tempo, as
suas derivadas são nulas. Assim, tem-se:
uf = rf if
ua = ωm M if sen λ + ra ia (4.20)
0 = M if cos λ + La ia
Da terceira equação que determina a posição da corrente, tira-se:
cos λ = - La iaM if
(4.21)
Em vazio ia = 0, e como ua>0, tem-se λ = π/2. À medida que a corrente ia sobe
(em valores negativos) cos λ tende para 1 o que implica que λ →0. Isto significa que
um aumento de corrente de carga tende a alinhar a corrente do induzido com o
enrolamento do indutor. O fluxo criado pelo circuito do induzido tende a opor-se ao
fluxo criado pela bobina do indutor.
Se se desprezar a resistência do induzido, tem-se
sen2λ = 1 -
La ia
M if 2
(4.22)
ua2 = (ωm M if)
2
1 -
La ia
M if
2 (4.23)
ua2 = (ωm M if)
2 – (ωm La ia)2 (4.24)
Definindo os valores da tensão em vazio uao e da corrente de curto-circuito icc:
uao = ω m M if (4.25)
174 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
icc = uao
ω m La (4.26)
A equação 4.24 toma a forma
u2a
u2ao
+ i2a
i2cc
= 1 (4.27)
Esta expressão é a equação da elipse que se encontra representada na figura 4.8.
Nesta figura, retirada de [2] apresentam-se também resultados experimentais de uma
máquina com as seguintes características:
SN=5 kVA, 380 V, 4 pólos, velocidade de 1650 rpm
Os parâmetros medidos entre fase e neutro do induzido são:ra=0.48 Ω La=0.088 (H) M = 0.155 (H)
e entre dois bornes do induzido:ra=0.96 Ω La=0.235 (H) M =0.270 (H)
200
100
2.5 ia [A]
ua [V]
. . ....
Fig. 4.8. Rectificação em ponte (os pontos representam resultados experimentais)
O primeiro grupo de parâmetros deverá ser utilizado no caso da rectificação
simples, cujos resultados se encontra na figura 4.9.
Cap. 4. Modelização de máquinas de comutação electrónica 175
Gil Marques 02-04-02
200
100
ia [A]
ua [V]
..
..
..
5
Fig. 4.9. Rectificação simples (os pontos representam resultados experimentais)
Constata-se neste caso uma grande discordância com os resultados experimentais.
Esta discordância provem de dois factores. Em vazio o modelo pressupõe um número
infinito de fases e fornece a tensão rectificada de pico e não o valor médio no intervalo
eléctrico 2π/3. Este erro tende para zero quando o número de fases tender para infinito.
O erro da corrente de curto-circuito tem uma causa diferente. Tem a ver com o
fenómeno do recobrimento ou condução simultânea dos díodos. Este efeito foi ignorado
no modelo que pressupõe uma comutação descontínua ideal onde apenas uma fase
conduz de cada vez. Este erro é independente do número de fases.
Embora inadaptado à rectificação simples, o modelo adapta-se melhor à
rectificação em ponte. Os parâmetros a utilizar são os medidos entre bornes, pois neste
tipo de rectificação são duas fases em série que conduzem simultaneamente. Os
resultados encontram-se na figura 4.8. Neste caso os erros são menos importantes, mas
são devidos às mesmas causas.
176 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
Exemplo 4.3 - Sistema de excitação “Brushless”
Um sistema de excitação de uma máquina síncrona é constituído porum enrolamento monofásico colocado no estator e por um sistema deenrolamentos colocados no rotor com 35 fases. Entre estes enrolamentose o circuito de excitação da máquina síncrona encontra-se uma ponte derectificação a díodos que roda solidária com o rotor.
a) Qual o modelo matemático deste sistema?b) Como controlar a corrente de excitação da máquina síncrona?
Resolução
a) A figura 4.10 representa o sistema a modelizar. A turbina temcomo função fornecer potência mecânica ao conjunto “Máquina Síncrona -Sistema de excitação”.
35 fases
+
-
+ -
Excitação Máquina Síncrona
Estator da Máquina Síncrona
Estator da Máquina Síncrona
Sistema de Excitação
Turbina
Rotor
Fig. 4.10 Corte esquemático longitudinal
Vamos admitir que a potência em jogo no sistema de excitação émuito menor que a potência entregue á Máquina Síncrona. Como a MáquinaSíncrona se encontra ligada à rede, podemos considerar a velocidade derotação constante. Vamos admitir que o sistema de rectificação tem 35díodos de cátodo comum e que o retorno se faz pelo neutro. O indutorencontra-se no estator e é alimentado por uma fonte de tensãocontínua.
Dinâmica do Sistema electromecânico
A rede eléctrica mantém uma velocidade constante no rotor, ondeestão os enrolamentos ligados aos díodos que constituem a ponte derectificação simples. O enrolamento indutor é percorrido por correntecontínua que vai produzir um fluxo estático no espaço e induzir umaforça electromotriz nos enrolamentos do rotor em movimento.
Numa rectificação simples apenas conduz um díodo de cada vez queé o que está ligado à fase que apresenta aos seus terminais a maiorforça electromotriz (desprezam-se os fenómenos de condução simultâneanuma primeira aproximação).
Durante o regime transitório pode-se considerar que a posição dacorrente varia no tempo. Atingido o regime permanente cada díodoconduzirá na sua vez e a corrente terá sempre a mesma posição.
Cap. 4. Modelização de máquinas de comutação electrónica 177
Gil Marques 02-04-02
a
b
ρ
x,d
y,q
f
Fig. 4.11 Representação do sistema idealizado com rectificaçãosimples.
Para a modelização deste sistema vamos considerar a convençãomotor.
Equações eléctricas
O circuito indutor (encontra-se no referencial do estator) é dotipo filiforme. O circuito induzido que se encontra no rotor pode sermodelizado por um par de circuitos equivalentes estacionários com oestator. As suas equações são obtidas através de uma transformação comângulo igual a ρ=-θ. Assim:
dt
diru
dt
diru
dt
diru
ffff
dq
qaq
qd
dad
ψ
ψωψ
ψωψ
+=
−+=
++=
.
Admitindo uma distribuição sinusoidal de força magnetomotriz,tem-se na forma matricial a seguinte relação entre fluxos e correntes:
−=
a
fa
f
b
a
f
i
i
M
LM
ML
.
0sin
cos
cos
ρρ
ρ
ψψψ
A equação do circuito indutor final, isto é depois de derivarmoso fluxo indutor ψf em ordem ao tempo é:
uf = rf if + Lfdif
dt+ M cos ρ
dia
dt- M sen ρ ia
dρdt
178 Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
Para o circuito induzido temos
ua = ra ia + M cos ρdif
dt- M if sen ρ dρ
dt+ La
dia
dt+
+ ρ M if senρ - θ M if sen ρ
Simplificando a expressão e substituindo θ por ω que representa avelocidade do rotor, a expressão final vem:
ua = ra ia + M cos ρ dif
dt+ La
dia
dt- ω M if sen ρ
Com as desigualdades
ia < 0 ua > 0
Como já temos as 3 equações que descrevem o modelo dinâmico daexcitação vamos escrevê-lo na forma matricial.
uf-rfif
ua-raia-ωMifsenρ
ωLaia+ωMifcosρ
=
Lf M cosρ -M senρ
M cosρ La 0
-M senρ 0 La
difdt
diadt
ia dρdt
Estas equações são semelhantes às equações do modelo da geratrizde rectificação se se substituir ω por (-ω) e λ por ρ.
Regime permanente
Como o modelo é semelhante ao da geratriz de rectificação, oregime permanente será determinado do mesmo modo. Obter-se-á tambémuma elipse como característica exterior.
b)Pela expressão
cos ρ = -La
M if
ia , icc =ωMωLa
if
verifica-se que é possível controlar a corrente de excitação damáquina síncrona ia variando a corrente no estator if.
Se se pretender, por exemplo, aumentar ia em valor absoluto,aumentamos também if. Neste sistema não se pode como habitualmentecontrolar a corrente de excitação ia variando a velocidade rotórica ωporque a máquina é uma Máquina Síncrona.
Este sistema conhecido por sistema “Brushless” tem a vantagem denão ter escovas e consequente desgaste destas como acontece porexemplo no sistema de controlo de velocidade WARD-LEONARD.
Cap. 4. Exercícios
Gil Marques 02-04-02
179
Exercícios de Revisão:
IConsidere uma máquina pólos lisos constituída por:
- Um enrolamento monofásico sinusoidalmente distribuído e colocado no estator .
- Um enrolamento do induzido com colector colocado no rotor semelhante ao de
uma máquina de corrente contínua. Sob o colector assentam dois pares de escovas. Estes
dois pares de escovas encontram-se respectivamente alinhados e em quadratura com o
enrolamento do estator. Estes dois enrolamentos encontram-se em curto-circuito.
Sabe-se que o coeficiente de auto-indução do estator é 0.1H. O coeficiente de
auto-indução do enrolamento em quadratura é 0.05H. O factor de ligação magnética
entre os dois enrolamentos que se encontram alinhados é de 0.95.
a) Determine a matriz dos coeficientes de indução desta máquina.
b) Determine o modelo matemático desta máquina escrevendo as suas equações
eléctricas e a equação do binário.
c) Escreva as equações da alínea b) em função das variáveis de estado (correntes
nos enrolamentos).
d) A máquina encontra-se alimentada com uma fonte de tensão alternada
sinusoidal de valor eficaz igual a 230 V e frequência 50 Hz.
d.1) Obtenha um modelo matemático apropriado para o estudo da máquina em
regime permanente.
d.2) Diga como obteria as características eléctricas e mecânicas desta máquina.
II
Considere um motor de uma máquina ferramenta de excitação em série com
possibilidade de regulação da posição das escovas através de um mecanismo auxiliar. O
rotor desta máquina é liso, mas o estator apresenta pólos salientes. São conhecidos os
seguintes dados da máquina:
PN = 400W , 1.9A , ra = 16.7Ω , ra+rf = 28.7Ω , Lf = 0.056 H
Sabe-se que, com as escovas na posição da linha neutra geométrica, o coeficiente
de auto-indução do induzido é 0.01H. Quando as escovas se encontrarem numa posição
tal que os campos criados pelos dois enrolamentos se encontrem alinhados, verifica-se
que o coeficiente de auto-indução do induzido é 0.04H e que o coeficiente de indução
mútua é 0.045H. A forma do entreferro e a distribuição de condutores ao longo da
periferia é tal que se pode admitir que os coeficientes de indução são funções
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
180
sinusoidais da posição das escovas. O momento de inércia do motor é Jm=0.01kgm2.
Esta máquina encontra-se ligada a um redutor de velocidade cujas perdas mecânicas são
proporcionais à velocidade. Não se sabe o valor do correspondente binário de perdas,
mas sabe-se que em vazio, com as escovas colocadas na posição de linha neutra, a
máquina absorve 0.5A.
Responda às seguintes questões justificando os cálculos e as aproximações que
efectuar.
A - Modelação da máquina. Determine:1. A matriz dos coeficientes de indução.
2. As equações gerais correspondentes a cada enrolamento.
3. As equações eléctricas correspondentes ao modelo matemático da máquina.
4. A equação do binário em função das correntes.
5. O ângulo óptimo de decalagem das escovas. O que é que se pretende com a
decalagem das escovas? Será que este processo é sempre eficaz? E neste caso
particular?
B - Estudo da máquina alimentada em corrente contínua. (U=230V)
Considere um ângulo de decalagem de 15º no sentido contrário ao sentido de
rotação. Determine:
1.A característica "Binário-Corrente".
2. A característica electromecânica. Qual a velocidade e o binário útil para a
potência nominal?
3. Determine o rendimento em função da corrente ou do binário.
C - Estudo da máquina alimentada em corrente alternada
(U=230V, f=50Hz)
Com um ângulo de decalagem de 15º no sentido contrário ao sentido de rotação,
determine:
1. O modelo da máquina em regime permanente.
2. Como variam as seguintes grandezas ao longo do tempo: corrente, binário,
velocidade, e força electromotriz.
3. Será possível utilizar diagramas vectoriais para o estudo desta máquina em
regime permanente? Em caso afirmativo faça um diagrama vectorial para uma
corrente igual à corrente nominal. Considere que a velocidade é igual à
velocidade nominal.
Cap. 4. Exercícios
Gil Marques 02-04-02
181
4. Determine o factor de potência, a velocidade e o binário para:
Carga nula, meia carga e carga nominal
D - Regulação da máquina.
1. Como pode inverter o sentido de marcha desta máquina?
2. Diga como pode variar a velocidade desta máquina.
3. Será que é possível regular a velocidade actuando na posição das escovas? Em
caso afirmativo diga quais as vantagens e inconvenientes de tal regulação.
E - Estudo como gerador
Esta máquina foi dimensionada para funcionar como motor. Será possível o
funcionamento também como gerador? Em caso afirmativo diga quais as ligações que
executaria. Qual a influência da saturação?
F - Máquina com circuito de compensação
Frequentemente são utilizados motores que, além dos dois circuitos atrás
referidos, têm também um enrolamento de compensação. Este enrolamento encontra-se
no estator alinhado com o enrolamento do induzido. São possíveis duas soluções:
1 - Compensação série, em que o enrolamento de compensação é percorrido pela
corrente do motor.
2 - Compensação em curto-circuito, em que o enrolamento de compensação se
encontra em curto-circuito.
U
I
f
ac
U
I
f
ac
Compensação série Compensação em curto-circuito
1. Determine os modelos matemáticos correspondentes a estas duas situações para uma
máquina com os enrolamentos de excitação e induzido semelhantes aos da
máquina anterior. Considere um enrolamento de compensação com coeficientes de
indução genéricos.
2. Qual o ângulo de decalagem das escovas ideal? Justifique.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
182
3. Dimensione o enrolamento de compensação nos dois casos referidos sabendo
que a máquina será alimentada a uma frequência de 50 Hz.
4. Determine os novos valores de factor de potência, de binário e de velocidade
para as situações:
Carga nula, meia carga, carga nominal
III
Considere a máquina de repulsão representada na figura. Determine um modelo
matemático que a represente em regime transitório e em regime permanente.
U
I
f
a
Arbitre valores para os parâmetros e trace as suas características.
Bibliografia:
[1] - Jones “ The Unified Theory of Electrical Machines” Plenum Press1967
[2] - Garrido, M.S. “Etude théorique et experimental de la generatrice à redresseur. I -
Etude du regime permanent”, Revue E, Vol. VII, n.3, pp.61-70, 1972.
[3] - Pierrat, L. ;Garrido, M. S.; Labrique, F. ; Mauhin, B. “Modélization de la
commutation dans une géneratrice à redresseur à grand nombre de phases”, 83
AMSE Summer Conference, Nice, September 1983
Cap. 5. Transitórios da máquina DC
Gil Marques 02-04-02
183
Capítulo 5
Regimes transitórios das Máquinas de CorrenteContínua
5.1 Introdução
As máquinas de corrente contínua apresentam-se como elementos de conversão
electromecânica de grande versatilidade. Utilizando as várias combinações de
enrolamentos de campo série, derivação e independente, estas máquinas apresentam
uma ampla variedade de características tensão-corrente ou velocidade-binário tanto em
regime dinâmico como em regime permanente. Devido à facilidade de controlo, os
motores de corrente contínua associados a dispositivos de electrónica de potência são
frequentemente usados em aplicações que requerem uma ampla faixa de velocidades, ou
um controlo preciso, etc.
Frequentemente, as características das máquinas são modificadas pela introdução
de circuitos de realimentação. O objectivo deste capítulo é estudar a máquina de
corrente contínua como servomecanismo onde as suas características dinâmicas
constituem o principal aspecto a considerar.
Será dada mais importância ao funcionamento desta máquina como motor, pois é
como motor que ela tem mantido o seu interesse industrial, dado que, como gerador ela
tem vindo a ser substituída por outros sistemas.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
184
5.2 A máquina de corrente contínua ideal
Devido à complexidade que o estudo completo da máquina de corrente contínua
apresenta, serão feitas algumas hipóteses simplificativas. Estas hipóteses serão:
1 - As escovas são estreitas e estão colocadas na linha neutra. A comutação é
linear. O eixo da onda de f.m.m. do induzido é fixo no espaço e está em quadratura com
o do campo.
2 - É desprezada a reacção magnética do induzido. Admitimos que a máquina tem
circuito de compensação e que essa compensação é ideal.
3 - Os efeitos da saturação magnética são desprezados. A sobreposição de campos
magnéticos pode ser realizada e as indutâncias podem ser consideradas independentes
das correntes.
Se se admitir estas hipóteses temos o conceito de “Máquina de corrente contínua
ideal”.
Será utilizada a convenção motor. Na fig. 5.1 apresenta-se o esquema equivalente
para esta máquina onde se indicam os sentidos considerados positivos para as várias
grandezas em jogo.
uf
ifua
ia
La ra
Mem
Mc
ωm
Fig. 5.1 Representação esquemática da máquina de corrente contínua
rf - Resistência do enrolamento de excitação
Lf - Coeficiente de auto-indução do circuito de campo
if - Corrente no circuito de campo
uf - Tensão aplicada ao circuito de campo
ra - Resistência do circuito do induzido
Cap. 5. Transitórios da máquina DC
Gil Marques 02-04-02
185
La - Coeficiente de auto-indução do circuito do induzido
ia - Corrente no circuito do induzido
ua - Tensão aplicada ao circuito do induzido
Mem - Binário electromagnético
ωm - Velocidade angular da máquina
Mc - Binário de carga
J - Momento de inércia do conjunto motor-carga
Modelo dinâmico da máquina de corrente contínua
Admitindo as hipóteses anteriores, o modelo matemático para a máquina de
corrente contínua traduz-se pelas equações:
uf = rf if + Lf difdt
ua = ra ia + La diadt + Mo ωm if (5.1)
Mem = Mo ia if
O coeficiente de indução La inclui o efeito de quaisquer enrolamentos em série
com o induzido tais como interpólos e enrolamentos compensadores. A equação do
movimento, na convenção motor, escreve-se:
J dωmdt = Mo ia if -Mc (5.2)
Em termos de modelo de estado, obtém-se:
uf
ua
Mc
=
rf 0 0
0 ra Moif
0 Moif 0
if
ia
ωm
+
Lf 0 0
0 La 0
0 0 -J
pif
pia
pωm
p=ddt (5.3)
Que poderá ser escrita na forma condensada
[U] = [R] [X] + [L] [pX] (5.4)
Existe energia magnética armazenada nos circuitos de campo e induzido e energia
cinética armazenada nas massas rotativas. Consequentemente, as correntes de campo e
induzido e a velocidade são variáveis de estado.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
186
O sistema (5.3) é um conjunto de 3 equações diferenciais não lineares de primeira
ordem devido à presença na matriz [R] da variável de estado if. Os coeficientes desta
matriz não são constantes, mas variarão à medida que a corrente de campo variar.
Estas equações, juntamente com as equações de Kirchhoff para os circuitos que
estão ligados ao circuito de campo e ao circuito do induzido, bem como as
características “binário-velocidade” do sistema mecânico ligado ao eixo, determinam o
comportamento do sistema.
Funções de transferência. Resposta no tempo.
A maior dificuldade na análise das máquinas de corrente contínua é a saturação.
Contudo a análise linear do sistema é útil por duas razões. Essa simplificação dá-nos
uma ideia do modo como os outros factores (que não a saturação) interferem no sistema.
Além disso, a análise de sistemas que envolvem combinações complexas de máquinas
eléctricas com outros equipamentos torna-se possível. Não fazendo essas simplificações
a análise seria praticamente impossível sem recorrer a métodos computacionais.
O sistema de equações (5.3) é linear se admitimos excitação constante if=cte. Este
caso verifica-se na máquina de excitação independente a fluxo de excitação constante.
Seguidamente ir-se-á analisar o transitório de arranque da máquina de corrente
contínua. Na parte a) esse transitório diz respeito à máquina de excitação independente
onde se admite que if é constante. Analisar-se-á também o transitório resultante da
aplicação de binários de carga ao veio. A parte b) diz respeito ao transitório do motor
série. A análise destes casos permite-nos obter uma ideia de como as grandezas evoluem
no tempo e além disso, permite-nos com o conhecimento adquirido nesta análise, saber
como se faria a análise doutros sistemas diferentes e porventura mais complexos.
5.3 Motor de corrente contínua de excitação independente
Os motores de corrente contínua são frequentemente utilizados em aplicações que
requerem um controlo preciso de velocidade e de binário numa faixa relativamente
ampla. Um dos modos comuns de controlo é o uso de um motor de excitação
Cap. 5. Transitórios da máquina DC
Gil Marques 02-04-02
187
independente com a excitação do campo constante. A velocidade é controlada pela
variação da tensão no induzido. A análise deste sistema envolve os transitórios
eléctricos do circuito do induzido e a dinâmica da carga mecânica movida pelo motor.
Fica-se assim com duas variáveis de estado ia e ωm. A corrente if deixa de ser
considerada variável de estado pois permanece constante ao longo de todo o transitório.
Deve notar-se que à corrente if está associado um armazenamento de energia magnética.
A energia magnética armazenada no circuito de campo não é trocada com mais nenhum
outro sistema: há desacoplamento do circuito do campo relativamente às outras
variáveis de estado.
O modelo da máquina de excitação independente será:
−
+
=
dt
ddt
di
J
Li
k
kr
M
u
m
aa
m
a
m
ma
c
aωω 0
0
0(5.5)
com mo
aofom
eiMk
ω== km [Nm A-1] ou [Vs rad-1]
La ra
ua
ia
Mem
Mcωm
Fonte
de
Energia
Eléctrica
ufif
J
Fig. 5.2 Representação da máquina de excitação independente (Convenção motor).
Na fig. 5.2 representa-se um motor de excitação independente. A fonte de
alimentação poderá ser um rectificador controlado, um gerador de corrente contínua ou
outro sistema.
Para a resolução total do problema ter-se-á de saber como variam as funções ua e
Mc. A tensão ua é por hipótese um escalão, o binário de carga Mc varia de situação para
situação. Para se obter uma ideia do comportamento transitório da máquina de excitação
independente, vamos admitir uma situação em que o binário de carga tem um factor
independente da velocidade o qual representa o binário útil, e um factor proporcional à
velocidade que representa o binário de atrito. Assim:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
188
Mc = D ωm + Mu (5.6)
D - Coeficiente de atrito Nmrads-1
Quando, em situações extremas, na equação 5.6 se fizer D=0 está-se a representar
uma característica de carga com o binário independente da velocidade. Por outro lado,
quando Mu=0, pode representar-se uma carga em que o binário é proporcional à
velocidade.
Para se conhecer o sistema completamente, ter-se-á de estudar as suas várias
funções de transferência, nomeadamente:
)(
)(
)(
)(Ù
)(
)(
)(
)()(2)(1)(2)(1 sM
sIG
sM
sG
sU
sIF
sU
sF
u
as
u
ms
a
as
a
ms ===Ω= (5.7)
Para se obter as funções de transferência pretendidas pode desenvolver-se o
diagrama de blocos, ou tirá-las do modelo de estado resolvendo o sistema de equações
algébricas obtido da aplicação da transformação de Laplace ao sistema de equações
diferenciais depois de introduzida a equação (5.6).
Assim:
−
+
−
=
)s(
)s(sI
J
L
)s(
)s(I
Dk
kr
)s(M
)s(U
m
aa
m
a
m
ma
u
asÙ0
0
Ω(5.8)
Ua(s), Mu(s), Ia(s) e Ωm(s) são as transformadas de Laplace de ua(t), Mu(t), ia(t)
e ωm(t) respectivamente. As equações 5.8 podem tomar a forma:
−−
+=
)s(
)s(I
JsDk
ksLr
)s(M
)s(U
m
a
m
maa
u
aÙ
(5.9)
Utilizando a regra de Kramer:
Ia(s) =
Ua(s) km
Mu(s) -D-Js
ra+Las km
km -D-Js
= (D+Js)Ua(s)+kmMu(s)
∆ (5.10)
Ωm(s) =
ra+Las Ua(s)
km Mu(s)
ra+Las km
km -D-Js
= kmUa(s)-(ra+Las)Mu(s)
∆ (5.11)
Cap. 5. Transitórios da máquina DC
Gil Marques 02-04-02
189
onde:
∆ = (Ra+Las)(D+Js)+km2
(5.12)
concluí-se:
)s(
K
)s(U
)s(F m
a
mÄ
Ù1 ==
)s(
JsD
)s(U
)s(IF
a
a∆
+==2 (5.13a)
)s(
sLr
)s(M
)s(G aa
u
mÄ
Ù1
+−==)s(
K
)s(M
)s(IG m
u
aÄ
2 == (5.13b)
Verifica-se que as funções F1 e G2 tem apenas dois pólos enquanto que as funções
F2 e G1 têm 2 pólos e 1 zero. O comportamento das variáveis ia e ωm será diferente
consoante se tenham variações nas duas funções de entrada Ua e Mu .
Estudo do polinómio característico. Determinação dos pólos do sistema.
A determinação dos pólos do sistema reveste-se de uma especial importância. Na
verdade, o comportamento de um sistema depende da localização dos seus pólos e
zeros. Os pólos são os zeros do polinómio característico. Tem-se:
02
2 =++++JL
Drks
JL
DLJrs
a
am
a
aa (5.14)
Definem-se:
τa = Lara
Constante de tempo do induzido (5.15)
τm = J ra
km2 Constante de tempo inercial (5.16)
Que correspondem a situações extremas. A constante de tempo do induzido τa
corresponde à consideração da hipótese de velocidade constante ou de inércia infinita.
Neste situação a máquina pode ser representada por um sistema de primeira ordem com
a constante de tempo τa. A constante de tempo inercial corresponde à situação em que
se despreza o coeficiente de indução do induzido. Neste situação a corrente do induzido
pode variar instantaneamente. O modelo da máquina reduz-se a um sistema de primeira
ordem com a constante de tempo inercial τm. Utilizando estes novos parâmetros a
equação 5.14 toma a forma:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
190
01112 =
++
++
maa J
Ds
J
Ds
τττ(5.17)
Comparando com a forma normalizada s2 + 2 ξ ωn s + ω2n concluí-se:
+=
J
D
man ττ
ω 11(5.18)
+
+=
J
D
J
D
ma
a
ττ
τξ11
1
2
1(5.19)
As raízes são dadas pela equação bem conhecida
122,1 −±−= ξωξω nns (5.20)
Se ξ > 1 a resposta é caracterizada por dois termos exponenciais negativos, se ξ <
1 tem-se uma sinusóide amortecida. A carga mecânica normalmente tem um efeito
pequeno sobre ωn e ξ embora esta afecte a velocidade do regime permanente. Se D/J for
desprezado obtém-se:
ωn = 1
τa τm (5.21)
ξ = 12
τm
τa (5.22)
Exemplo 5.1
São dadas as seguintes constantes para dois motores de corrente
contínua. típicos e compensados.
Motor Nº1 Motor Nº 2
1 Cv, 500 rpm, 240 V 100 Cv, 1750 rpm, 240 V
ra = 7.56 Ω ra = 0.0144 Ω
La = 0.055 H La = 0.0011 H
km= 4.23 V.S/rad km = 1.27 V.s/rad
J= 0.068 Kg m2 J= 1.82 Kg m2
Suponha-se que a característica binário-velocidade é uma recta
passando pela origem e pelo ponto de binário nominal, e que o momento
Cap. 5. Transitórios da máquina DC
Gil Marques 02-04-02
191
de inércia da carga é igual ao momento de inércia do motor. O momento
de inércia total será assim o dobro do momento de inércia indicado.
Suponha-se também que em série com o induzido desta máquina se
encontra uma bobina com valores de resistência e coeficiente de auto-
indução iguais aos do induzido da máquina.
Determinar a frequência natural não amortecida ωn e o
amortecimento relativo ξ para cada motor.
Discutir o efeito da aproximação DJ <<
1τm .
Solução:
Motor Nº 1 Motor Nº 2
1 Cv = 735 W 100 Cv = 73.5 kW
500 rpm = 52.3 rad/s 1750 rpm = 183 rad/s
Nm.114==52.3
735MN MN = 402 N.m
0.269==mN
NMDω
D= 2.20
J=2(0, 068)=0.136 Kg m2 J=2(1.82)=3.64 Kg m2
D/J = 1.98 D/J = 0.60
τa = 0.1115.1
= 0,0073 τa=0,0764 s
1/τa = 137 1/τa =13.1
τm = 0.136 x 15.1
4.232
= 0,115
τm = 0.065
1/τm = 8.7 1/τm =15.4
Verifica-se que o efeito da carga D/J é pequeno especialmente no
motor de 100cV. Este resultado é tanto mais importante pois está-se a
considerar o pior caso em termos de D ( o maior valor de D possível).
Obtém-se:
Motor Nº 1 Motor Nº 2
3,387.8137 == xnω ωn= 14.47 rad/s
ξ = 1.82 ξ = 0,47z1=-1.98 z1 = -0.61
1372 −=−=a
a
L
rz z2 = -13.1
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
192
s1=-11.48 s1=-6.85 + 12.74 j
s2=-127.96 s2=-6.85 - 12.74 j
Se se desprezar a constante de tempo do induzido, o sistema
comporta-se como um sistema de 1ª ordem cuja constante de tempo é τm. É
esta a razão porque se definiu τm e se lhe chamou constante de tempo
inercial. Esta aproximação é válida apenas para o caso do motor Nª 1.
Em geral o coeficiente de indução do circuito do induzido pode ser desprezada
para coeficientes de amortecimento ξ >1,5 correspondendo a valores de τa/τm menores
do que cerca de 1/9. O amortecimento critico (ξ = 1) corresponde ao valor τa/τm=1/4.
Como tendência geral para um motor isolado, pode considerar-se que τa aumenta com o
aumento do tamanho e τm decresce levemente. O amortecimento D/J é usualmente
desprezável.
Transitório de arranque directo com binário de carga proporcional à
velocidade.
Neste caso o factor Mu=0, pois o binário útil encontra-se representado no factor D.
Das equações (5.11) e (5.12) obtém-se:
( ))2()2(
)(2222nna
a
nna
aa
sssJ
Ds
L
U
ssJsL
UJsDsI
ωξωωξω ++
+=
+++= (5.23)
Em regime permanente, aplicando a fórmula da transformação de Laplace que
permite obter o valor final, tem-se:
Drk
DU)s(asIlimI
am
a
sao
+==
→2
0
(5.24)
)2(
1
)2()(
2222nna
am
nna
amm
sssJL
Uk
ssJsL
Uks
ωξωωξω ++=
++=Ω (5.25)
Drk
Uk)s(mslim
am
am
smo
+==
→2
0
Ωω (5.26)
Cap. 5. Transitórios da máquina DC
Gil Marques 02-04-02
193
Exemplo Nº 5.2
Calcular os valores finais para os motores do exemplo 1.
Motor Nº 1 Motor Nº 2
Ia = 2.95 A Ia = 314.5 A
ωm = 46.21 rad/s ωm = 181.84 rad/s
As figuras 5.3 e 5.4 representam o andamento das variáveis de estado durante o
transitório de arranque com a carga definida no exemplo 5.1.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Tempo [s]
Ve
loci
da
de
[ra
d/s
]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
2
4
6
8
10
12
14
Tempo [s]
Co
rre
nte
Ia [A
]
Fig. 5.3. Transitório de arranque da máquina de 1Cv.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
194
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
50
100
150
200
250
Tempo [s]
Ve
loci
da
de
[ra
d/s
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Tempo [s]
Co
rre
nte
[A]
Fig. 5.4: Transitório de arranque da máquina de 100Cv.
Os valores dos factores de amortecimento relativo bem como os dos pólos e zeros
são os obtidos no exemplo 5.1
Conclusões
Para o motor Nº 1, ξ=1.82, é perfeitamente desprezável a constante de tempo
eléctrica. Assim o motor comporta-se como um sistema de 1ª ordem cuja constante de
tempo é a constante de tempo inercial. Nos instantes iniciais a corrente sobe tão
rapidamente que quase poderia ser considerada descontínua. A resposta do sistema é a
resposta que se obteria se se desprezasse o coeficiente de auto-indução do induzido.
Cap. 5. Transitórios da máquina DC
Gil Marques 02-04-02
195
Quanto ao motor Nº 2, ξ = 0.47 e portanto tem um andamento oscilatório. Isto
deve-se ao facto de as duas constantes de tempo (inercial e eléctrica) serem da mesma
ordem de grandeza (τm=0.065s, τa=0.0764s). O facto de se ter um andamento
oscilatório tem como consequência que a velocidade tem uma pequena sobre-elevação,
o que se traduz em funcionamento da máquina como gerador (ia < 0, Ua > 0) durante um
pequeno período de tempo.
Tanto para o motor Nº1 como para o motor Nº 2 a corrente atinge valores
bastantes elevados nos primeiros instantes. No primeiro caso atinge 4 vezes o valor de
regime estacionário e no segundo 14 vezes. Assim este transitório é bastante violento e
há toda a vantagem em evitá-lo. Deve notar-se, que para transitórios tão violentos,
algumas das hipóteses simplificativas que fizeram poderão não ser verdadeiras e o
problema exigir um tratamento mais cuidado.
Transitório resultante da aplicação de um escalão de binário.
Neste caso estuda-se a máquina numa situação diferente da anterior. Admite-se
que o motor está a rodar em vazio, e que já atingiu o seu regime permanente.
Subitamente é aplicado o binário nominal. Em rigor, uma vez que agora D=0, as
constantes de tempo, ξ e ωn, bem como os pólos e zeros deverão ser recalculados.
Contudo, uma vez que estes dependem pouco do factor D, os novos valores daquelas
grandezas não serão afectados significativamente.
Como não foram consideradas as condições iniciais quando se aplicou a
transformação de Laplace às equações (5.4), as funções de transferência (5.13) são
válidas em termos das variações das grandezas e não em termos das grandezas. Assim:
)2(
1
)2()(
2222nna
um
nna
uma
sssJL
Mk
ssJsL
MksI
ωξωωξω ++=
++=∆ (5.27)
com
m
u
am
um
sao k
M
Drk
MksIsI a ≅
+=∆=∆
→2
0
)(lim (5.28)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
196
( ))2()2(
)(Ä2222nn
a
a
u
nna
uaam
sss
sL
r
J
M
ssJsL
MsLrs
ωξωωξω ++
+−
=++
+−=Ω (5.29)
com
220
)(Ùlimm
ua
am
ua
smo
k
Mr
Drk
Mrss m −≅
+−=∆=
→
ω (5.30)
Exemplo Nº 5.3
Calcular as variações das grandezas no transitório de aplicação do
binário de carga
Recalculando os novos valores de ωn e ξ com D=0 e Mc=MN, as
variações que se obtêm em regime permanente são:
Motor Nº 1 Motor Nº 2
ωn= 34,58. ωn= 14,19
ξ= 1.98 ξ= 0.46∆Ia = 3.33 A =100% ∆Ia=317 A.=100%
∆ωm=-11.9 rad/s ∆ωm=-7.17 rad/s
As curvas de regime transitório encontram-se representadas nas figuras 5.5 e 5.6.
Cap. 5. Transitórios da máquina DC
Gil Marques 02-04-02
197
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
10
20
30
40
50
60
Tempo [s]
Ve
loci
da
de
[ra
d/s
]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Tempo [s]
Co
rre
nte
Ia [A
]
Fig. 5.5. Transitórios da máquina de 1 Cv.
Conclusões acerca da aplicação de escalão de binário
Para este tipo de transitório, enquanto que a corrente variou bastante (passou de
quase zero ao valor nominal), a velocidade quase que se manteve inalterável. Esta
resposta era de esperar pois é típica do motor de excitação independente. Contudo, o que
há a destacar nas curvas das figuras 5.5 e 5.6 é que o comportamento transitório tem
formas bastante diferentes para os dois motores devido ao facto de se ter pólos e zeros
diferentes.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
198
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Tempo [s]
Ve
loci
da
de
[ra
d/s
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
50
100
150
200
250
300
350
400
Tempo [s]
Co
rre
nte
[A]
Fig. 5.6. Transitórios da máquina de 100 Cv.
Assim, para a corrente, praticamente não há sobreintensidade, o que contrasta
profundamente com o transitório de arranque directo. Este tipo de resposta é diferente
devido à diferente localização do zero da função de transferência.
Cap. 5. Máquina de Excitação em Série
Gil Marques 02-04-02
199
5.4 Estudo da máquina de corrente contínua de excitaçãosérie
Introdução
O motor série tem características estáticas bastante diferentes do motor de
excitação em derivação. Assim as suas aplicações são também completamente distintas.
Apresenta-se a análise do motor série em regime transitório. Verifica-se que, neste caso,
o sistema não é linear. Assim, não é possível estudar o sistema analiticamente e ter-se-á
de recorrer a métodos numéricos. Este exemplo é estudado não só para se ficar a
conhecer um pouco do comportamento do motor série, mas também para se fazer uma
pequena introdução aos referidos métodos numéricos que hoje em dia estão já bem
generalizados.
Modelo Matemático
Para o motor série obtemos as seguintes restrições:
iii af == af uuu += (5.31)
ua
ia
Mem
Mcωm
Fonte deEnergiaEléctrica
uf if
J
u
Fig. 5.7. Motor série.
As equações (5.3) e (5.7) tomam a forma:
−
++
−
+=
dt
ddt
di
J
LLi
DiM
iMrr
M
u
m
af
mo
oaf
u ωω 0
0(5.32)
ou, na forma condensada,
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
200
U = R X + L p X .
A presença da variável de estado i na matriz R, permite concluir que se está em
presença de um sistema não linear. Sendo assim, não se pode determinar a resposta do
sistema analiticamente como se fez para o motor de excitação independente. Resolve-se
o problema utilizando técnicas numéricas. Comece-se por passar o sistema (5.32) para a
sua forma canónica.
−
+−
=
−
+
mo
oaf
um
af i
DiM
iMrr
M
u
dt
ddt
di
J
LL
ωω0
0(5.33)
como
−=
−
−
J
LJ
L1
0
01
0
0 1(5.34)
vem
−
+
−−
−=
mo
oaf
um
i
DiM
iMrr
J
LM
u
J
L
dt
ddt
di
ωω 10
01
10
01
(5.35)
ou
+
−
−+
−=
J
ML
ui
J
D
J
iML
iM
L
rr
dt
ddt
di
umo
oaf
m ωω (5.36)
Para a integração numérica deste sistema de equações poderá ser utilizado um dos
muitos métodos de integração numérica descrito na literatura da especialidade.
Para que os resultados assim alcançados sejam correctos, é necessário, para o
problema em questão, verificar se o método é ou não convergente. Para os problemas
usuais em máquinas eléctricas tal verifica-se se impuser um passo de cálculo h muito
inferior à menor constante de tempo do sistema. Como à partida não se conhece a
resposta do sistema, vai-se obtendo várias soluções provisórias com vários passos de
Cap. 5. Máquina de Excitação em Série
Gil Marques 02-04-02
201
cálculo, e em função das respostas que se forem obtendo, conclui-se se se tem respostas
correctas ou incorrectas.
O transitório que se pretendeu simular, foi do arranque directo em que o binário da
carga tem um valor constante e igual a 300 N.m. Os resultados encontram-se
representados na figura 5.8.
0 0.5 1 1.5 20
20
40
60
80
100
120
Tempo [s]
Ve
loci
da
de
[ra
d/s
]
0 0.5 1 1.5 20
100
200
300
400
500
600
Tempo [s]
Co
rre
nte
[A]
Fig. 5.8. Arranque directo do motor série.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
202
Exemplo Nº 5.4
Para ilustrar a integração das equações (5.38), vai calcular-sea evolução no tempo das grandezas I e ωm para um motor de 50CV notransitório de arranque em que é aplicado ao motor o seu binárionominal. Admite-se que esse binário de carga é constante e não dependeda velocidade. Admite-se que em série com o motor se encontra umabobina cujo coeficiente de auto-indução é importante face a La+Lf.
Os parâmetros são os seguintes:
PN = 50 Cv, U = 200 V, Mo=0.00795 Nm.A-1 RT = 75 m Ω Mu = 300 Nm (const.), ωmN = 125 rad/s, J = 3.64 Kg m2LT = 0.033H., D=0
Linearização do modelo de estado do motor de corrente contínua deexcitação em série.
Como se acabou de ver, o modelo de estado do motor série pode ser posto na
forma de um sistema de duas equações diferenciais não lineares.
Regra geral, os sistemas electromecânicos podem ser descritos por sistemas de
ordem n deste tipo. Frequentemente é necessário analisar a estabilidade desses sistemas.
Um dos métodos mais simples e mais usual é a utilização, não de um modelo de estado
original, mas de um outro modelo que resulta da sua linearização em torno de um
determinado ponto de funcionamento.
O estudo do motor série foi escolhido propositadamente para a descrição e
exemplificação de tal técnica. Para isso vai-se partir das equações (5.36) e linearizá-las
em torno de um ponto de funcionamento genérico (io, ωmo). Assim tem-se:
dt
di L i M R i u mo ++= ω (5.37)
dt
d - J - D i M M m
mouωω2= (5.38)
Se a máquina estiver a funcionar no ponto (io, ωmo), e esse ponto constituir um
ponto de regime estacionário, ter-se-á:
uo = R io + Mo io ωmo (5.39)
Muo =Mo i2o - D ωmo (5.40)
pois i = cte pi = 0
ωm = cte p ωm = 0
Cap. 5. Máquina de Excitação em Série
Gil Marques 02-04-02
203
Se houver variações nas grandezas de entrada u e Mu, as funções de estado
também sofrerão variações. Assim:
u → uo + ∆ u
Mu → Muo + ∆ Mui → io + ∆ I (5.41)
ωm → ωmo + ∆ ωm
Ter-se-á:
( ) ( ) ( )( ) ( )iidt
dLiiMiiRuu omooooo ÄÄÄÄ m ++++++=+ ωω⊗ (5.42)
( ) ( ) ( ) ( )mmommooouu dt
dJDiiMMM ωωωω ÄÄÄ 2 +−+−+=+⊗ (5.43)
Desenvolvendo, subtraindo as equações 5.39 e 5.40 e desprezando infinitésimos
de segundo grau, obtém-se:
dt
idLiMiMiRu moomoo
⊗⊗⊗⊗⊗ +++= ωω (5.44)
dt
dJDiiMM m
moouωω ⊗⊗⊗⊗ −−= 2
Pondo na forma matricial obtém-se:
−
+
−
+=
dt
dt
i
J
Li
DiM
iMMR
M
u
mmoo
oomoo
u ωωω
dÄ
dÄ
0
0
Ä
Ä
2⊗⊗
(5.45)
O sistema de equações (5.45) constitui o modelo de estado linearizado em torno
do ponto de funcionamento (io, ωmo). Neste caso io e ωmo não são variáveis de estado
mas valores constantes. As funções de estado são agora (∆i e ∆ωmo). O sistema de
equações (5.45) representa um sistema linear que se aproxima do modelo inicial (5.36)
junto do ponto de funcionamento (io, ωmo). A matriz [L] do modelo linearizado
coincide com a matriz [L] do modelo inicial. A matriz [R] do modelo linearizado é
função das grandezas io e ωmo, ou seja do ponto de funcionamento. Assim, deve
concluir-se que para um determinado sistema electromecânico o modelo resultante da
linearização em torno do ponto de funcionamento não é único sendo válido apenas para
pequenas perturbações. Permite contudo determinar a estabilidade do ponto (io, ωmo).
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
204
Para tal pode utilizar-se as técnicas usadas para sistemas lineares. Pode definir-se
funções de transferência, determinar pólos do sistema etc.
Determinação dos pólos do modelo linearizado.
O polinómio característico será dado por:
( )JsDiM
iMLsMR
oo
oooo
−−+ω+
=∆2
( )[ ]( ) 222 oooo iMJsDLsMR −−−+ω+=∆
( )[ ] ( )ooooo MRDiMsMRJLDLJs ω+++ω+++=∆− 20
22 2
Para a determinação dos pólos far-se-á
00 2 =++→=∆ cbsas
a = LJ( )ooMRJLDb ω++=
( )ooo MRDiMc ω++= 20
22
Como os valores de a, b e c são sempre positivos, pode-se concluir que o motor
série é sempre estável.
Cap. 5. Exercícios
Gil Marques 02-04-02
205
Exercícios
1. Um motor de corrente contínua de excitação independente é caracterizado pelos
seguintes parâmetros:
Un=220V NN=1500 rpm In =10A
rf=240Ω Lf=3.6H ra=2.0Ω La=2mH
J=0.0684 kgm2
Sabe-se que a 1200rpm e com uma corrente de excitação de 0.5A a f.e.m. em
vazio é igual a 240V.
a) Estabeleça o modelo matemático que lhe permita estudar o regime transitório
desta máquina. Quais as hipóteses em que se encontra baseado este
modelo.
b) No instante t=0, a corrente de excitação encontra-se em regime permanente e
vale 0.5A, e o induzido encontra-se ligado a uma fonte de tensão contínua
igual a 220V. No veio não se encontra aplicada qualquer carga.
2.1 Qual a velocidade de rotação da máquina.
2.2 Aplica-se um escalão de binário igual ao binário nominal. Determine o
andamento da corrente no induzido e da velocidade em função do tempo.
Qual o tempo necessário para se estabelecer o regime permanente.
2. Considere o motor Nº 2 do exemplo 5.1. Na situação em que D=0 e aplicado
numa situação com um momento de inércia igual a 48 vezes o momento de inércia da
máquina. Recalcule os valores dos parâmetros característicos. Comente os resultados.
3. Considere o motor Nº 2 do exemplo 5.1. Liga-se uma resistência em série com
o circuito do induzido de modo a limitar a corrente de arranque ao valor nominal.
Calcule:
a) Os valores dos parâmetros característicos. Comente os resultados.
b) Determine o valor da velocidade em regime permanente quando a máquina se
encontrar em vazio. Qual o tempo de arranque.
c) Quando a carga for proporcional à velocidade e à velocidade nominal
corresponder o binário nominal calcule o novo valor de velocidade em regime
permanente e o tempo de arranque.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
206
4. Considere o motor Nº 1 do exemplo 1. Este motor vai ser aplicado numa
situação que requer uma fonte de alimentação com tensão ajustável. Esta fonte de
alimentação é caracterizada por possuir uma componente alternada de frequência
elevada (300Hz). Para reduzir esta componente alternada utiliza-se uma bobina de valor
elevado em série com o induzido. Considere que esta bobina tem um valor 50 vezes ovalor de La.
a) Calcule os novos valores das constantes do motor, dos pólos e zeros etc.
b) Determine as respostas no arranque directo e de aplicação de escalão de
binário de carga.
c) Comente os resultados.
5. Discuta a alteração da resposta do motor de excitação separada admitindo que a
máquina está a funcionar não a 100% do seu fluxo nominal mas a 50%.
6. Como analisaria o transitório da passagem da tensão de excitação nominal para
50%, funcionando a máquina (de excitação separada) em vazio?
7. Neste capítulo foram analisadas as máquinas de excitação separada e de
excitação série. Tente modelizar e tirar conclusões sobre o regime dinâmico da máquina
de excitação composta.
8. No arranque das máquinas de corrente contínua utilizaram-se no passado
arrancadores realizados com resistências que se inseriam em série com o circuito do
induzido (ainda se encontram a funcionar alguns destes arrancadores em instalações
antigas). Estas resistências são realizadas com n pontos e n-1 elementos. Define-se uma
corrente do induzido máxima Ia(max) que não deve ser ultrapassada e uma corrente do
induzido mínima Ia(min) na qual se deve fazer a comutação para o ponto seguinte.
a) Desprezando o valor do coeficiente de indução do induzido deduza a fórmula
prática:
an
n
n
n
a
a
R
R
R
R
R
R
I
I 2
2
1
1(min)
(max)... ====
−−
−
e
a
nn
a
a
R
R
I
I=
− )1(
(min)
(max)
Onde Rn representa o valor da soma das resistências que se encontram em série.
Cap. 5. Exercícios
Gil Marques 02-04-02
207
b) Considerando a máquina do exemplo 2 calcule o número de pontos
necessários, as várias constantes de tempo que resultam dos vários troços, e
determine as expressões analíticas do andamento da velocidade e de corrente
do induzido para os vários troços durante o arranque. Considere Iamax=2IN e
Iamin=IN.
9. O sistema Ward-Leonard tem duas máquinas de corrente contínua iguais, uma
funcionando como gerador accionada por uma máquina de velocidade constante e a
outra a funcionar como motor. Estas duas máquinas encontram-se com os dois circuitos
do induzido ligados em paralelo. O circuito de excitação do motor encontra-se
alimentado com uma fonte de tensão contínua e constante enquanto que o circuito de
excitação do gerador se encontra alimentado por uma fonte de tensão variável. Através
desta fonte varia-se a excitação do gerador que por sua vez vai variar a tensão aos
terminais do induzido e por consequência a velocidade do motor.
a) Determine o modelo matemático que lhe permita estudar este sistema.
b) Calcule a resposta de velocidade do motor para as seguintes tesões aplicadas
aos terminais do circuito de excitação do gerador:
b1) Um escalão de tensão contínua.
b2) Uma variação em rampa desde zero até ao valor nominal da tensão de
excitação.
b3) Uma variação sinusoidal de frequência angular ωc e amplitude Vc.
Considere o amortecimento mecânico desprezável para o motor que se
encontra em vazio e que tem um momento de inércia J.
Porque é que a auto-indução do induzido das duas máquinas pode ser
ignorada?
10. Considere a máquina de corrente contínua de excitação série do exemplo 5.4.
Esta máquina vai ser ligada a uma fonte de tensão alternada sinusoidal de valor eficaz
igual a 220V e frequência igual a 50Hz. Considere que o binário de carga é igual
sucessivamente a 150Nm e 300Nm.
a) Utilizando os conceitos de amplitude complexa que se utilizam para analisar
circuitos em regime permanente em corrente alternada, determine o diagrama
vectorial que lhe permite representar o regime permanente desta máquina.
b) Calcule, para as duas situações referidas, os valores da velocidade de rotação e
do factor de potência.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
208
11. Utilizando as técnicas estudadas neste capítulo, demonstre que o gerador série
é instável quando debita sobre uma resistência de carga e quando se encontra
directamente ligado a uma rede de corrente contínua de tensão constante.
a) Admita velocidade constante
b) Admita uma situação de frenagem
ANEXO
Resposta ao escalão de sistemas de segunda ordem
A determinação da resposta no tempo das variáveis de estado é realizada pela
inversão da transformada de Laplace respectiva. Esta inversão pode ser feita recorrendo
a técnicas bem conhecidas ou a tabelas de transformadas de Laplace. Verifica-se que os
problemas que se nos põem são de dois tipos. O primeiro é o sistema de segunda ordem
sem zeros, o segundo, é o sistema de segunda ordem com um zero.
Seguidamente vai analisar-se estes dois casos recorrendo a formas normalizadas.
A - Sistema normalizado de segunda ordem sem zero
A forma normalizada da função de transferência de um sistema de 2ª ordem sem
zero escreve-se:
F (s) =X (s)
V (s)=
ωn
2
s2
+ 2 ξ ωns+ ωn
2
(A1)
para v(t) → escalão unitário, tem-se V (s) = 1
s logo
X (s) = 1
s
ωn
2
s2
+ 2 ξ ωns + ωn
2
(A2)
Recorrendo a uma tabela de transformadas, obtém-se:
ξ < 1
Cap. 5. Exercícios
Gil Marques 02-04-02
209
X(t)= 1 - e- ξω n t
1 - ξ2sen ω n 1 - ξ
2t+ arcos ξ
(A3)
ξ > 1
s1= - ξ ωn + ωn ξ2- 1
s2 = - ξ ω n - ω n ξ2- 1 X(t)= 1 +
s2
s1 - s2es1 t
-s1
s1 - s2es2 t
(A4)
s1- s2= 2 ωn ξ2- 1
O andamento da função X(t) encontra-se ilustrado na figura A-1.
0 5 10 15 20
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
n t
X(t)
ωωωω
ξ=5ξ=2
ξ=1
ξ=.707ξ=.3
Fig. A1 Resposta no tempo da variável de estado X(t) de um sistema normalizado para vários factores deamortecimentos relativo (ξ)
B - Sistema normalizado de 2ª ordem com zero
Neste caso tem-se como forma normalizada:
F(s)=X(s)
V (s)=
ω n
2
zs + z
s2+ 2 ξ ω n s + ω n
2
(A5)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
210
Deve procurar-se a transformada inversa da função
X(s)=ω n
2
z
s + z
s s2+ 2 ξ ω n s + ω n
2
(A6)
Recorrendo a uma tabela, obtém-se:
ξ < 1a = - ξ ωn
ω1=ωn 1 - ξ2
α = artgω1
a + z- artg
ω1a
X(t)= 1 + A eatsen ω1t+ α
(A7)
A =a2+ ω 1
2a + z
2+ ω 1
2
z ω 1
ξ > 1
s1= - ξ ωn + ωn ξ2- 1
s2 = - ξ ω n - ω n ξ2- 1 X(t)= 1 + B e
s1 t- C e
s2 t
(A8)
B =s2
z
s1 + z
s1 - s2
C =s1
z
s2 + z
s1 - s2
As funções representadas pelas equações (A7) e (A8) encontram-se representadas
na figura A2.
Cap. 5. Exercícios
Gil Marques 02-04-02
211
0 5 10 15 20
0
1
2
3
4
5
n t
X(t)
ωωωω
ζ=.05
ζ=.1
ζ=.2
ζ=1ζ=100
ξ=2ξ=2ξ=2ξ=2
0 5 10 15 20
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
n t
X(t)
ωωωω
ξ=.5ξ=.5ξ=.5ξ=.5
ζ=.05
ζ=.1
ζ=.2
ζ=1
Fig. A2 Resposta no tempo da variável normalizada X(t).
A - família de curvas para ξ = 2 e ζ=z/ωs variável
B - família de curvas para ξ =0,5 e ζ=z/ωs variável
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
213
Capítulo 6
Estudo dos transformadores em regime transitório
6.1 Transformador monofásico de dois enrolamentos
Modelo matemático
Seja o transformador representado na figura 6.1. Considere-se que o primário
(índice 1) se encontra ligado a uma fonte de energia eléctrica e que o secundário (índice
2) se encontra ligado a uma carga.
u1 u2
i2i1
Figura 6.1. Esquema do transformador monofásico.
Admite-se a hipótese de circuito magnético linear e represente-se a relação entre
os fluxos e as correntes pela equação matricial.
=
2
1
2
1
2
1
i
i
LM
ML
ψψ
(6.1)
O modelo do transformador virá:
dt
diM
dt
diLiru 21
1111 ++= (6.2.a)
dt
diL
dt
diMiru 2
21
222 ++= (6.2.b)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
214
Este modelo traduz-se por duas equações diferenciais lineares de coeficientes
constantes. É um modelo ao qual se pode aplicar a transformação de Laplace.
Em vez das grandezas do secundário é frequente utilizarem-se grandezas do
secundário reduzidas ao primário ou grandezas do primário reduzidas ao secundário.
Neste caso as expressões tem a mesma forma, tomando os parâmetros valores
diferentes. As grandezas referidas ao primário são afectadas de um determinado factor
de proporcionalidade. No que se segue, vai admitir-se que no modelo representado pelas
equações 6.2 se está a trabalhar com valores reduzidos.
Aplicando a transformação de Laplace, obtém-se:
+
+=
)(
)(
)(
)(
2
1
22
11
2
1
sI
sI
sLrMs
MssLr
sU
sU(6.3)
Em que )( e ),( 21 sUsU são as transformações de Laplace de )(1 tu e
)(2 tu respectivamente e )(1 sI , e )(2 sI as transformações de Laplace de )(1 ti e )(2 ti .
Normalmente são conhecidas as tensões aplicadas e pretende calcular-se as
correntes. Assim é necessário resolver o sistema algébrico (6.3).
Para a resolução completa do problema, é necessário introduzir as equações da
carga no secundário e as equações da fonte no primário. Isso será feito posteriormente, e
como se verá, não alterará qualitativamente a análise que se fará a seguir.
Invertendo a matriz das impedâncias, obtém-se:
+−
−+=
)(
)(
Ä(s)
1
)(
)(
2
1
11
22
2
1
sU
sU
sLrMs
MssLr
sI
sI. (6.4)
Onde:
( )( ) 222211)( sMsLrsLrs −++=∆ (6.5)
( ) 221122121)( sLLsrLrLrrs σ+++=∆ (6.6)
em que:
21
2
1LL
M−=σ (6.7)
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
215
Igualando a equação 6.6 a zero determinam-se os pólos do sistema. Estes são
determinantes para o conhecimento do comportamento do sistema em regime
transitório. No caso que estamos a analisar verifica-se que os pólos são, em geral,
valores reais negativos e é possível obter expressões analíticas aproximadas para
determinar os seus valores.
Determinação de expressões analíticas aproximadas para os pólos
Considere-se o polinómio característico (6.6). As suas raízes podem obter-se
facilmente utilizando a equação resolvente das equações do segundo grau. Contudo,
uma vez que a impedância de dispersão é normalmente muito pequena comparada com
a impedância de magnetização, é possível obter expressões simples para os valores dos
pólos e das respectivas constantes de tempo.
Assim, para frequências muito baixas faz-se a aproximação 02 →s e o
determinante reduz-se a:
( ) 01122121 =++ srLrLrr (6.8)
donde:
1221
211 rLrL
rrs
+−= (6.9)
A que corresponde a constante do tempo
20102
2
1
1
1
1 τττ +=+=−=r
L
r
L
sm (6.10)
Esta constante do tempo é relativamente elevada pois na sua expressão figuram as
indutâncias próprias que tomam valores elevados. O pólo correspondente encontra-se
assim próximo da origem.
Considerem-se agora frequências muito elevadas. Neste caso é o termo
independente que é desprezável. Assim:
( ) 02211221 =++ sLLsrLrL σ (6.11)
Que tem como soluções:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
216
01 =s (6.12)
+−=+−=
1
1
2
2
21
12212
1
L
r
L
r
LL
rLrLs
σσ(6.13)
A solução s1=0 corresponde a uma aproximação grosseira da raiz obtida
anteriormente com mais precisão, equação 6.9. Consideremos assim apenas a última
solução.
Este pólo está necessariamente associado à dispersão. A correspondente constante
do tempo vale:
2010
111
ττ
στ+
=d (6.14)
As expressões 6.10 e 6.14 permitem um cálculo analítico das duas constantes de
tempo do transformador. Visto σ ser um valor baixo, estas duas constantes de tempo
terão valores bastante diferentes sendo τm>>τd.
A expressão para o determinante poderá escrever-se da seguinte forma:
( )( )dm ssrrs ττ ++=∆ 11)( 21 (6.15)
Interpretação.
Utilizando esquemas equivalentes reduzidos é fácil verificar que as duas
constantes de tempo podem ser determinadas a partir dos pontos indicados na figura
6.2.
τm
r1 r2l2l1
M
τd
r1 r2l2l1
Figura 6.2. Obtenção das constantes de tempo do transformador.
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
217
Quando existir um circuito RL na carga, os valores dos parâmetros desta carga
poderão ser incorporados nos parâmetros do transformador e considerar que este se
encontra em curto-circuito. Neste caso a resistência do secundário a considerar será a
soma da resistência do secundário com o valor da resistência da carga. O mesmo se
passa para o coeficiente de indução própria do secundário. As expressões atrás
deduzidas continuam válidas. Neste caso o valor da dispersão equivalente vai ficar
consideravelmente aumentado.
Um aspecto interessante do ponto de vista teórico, consiste no caso em que não
existe dispersão, isto é σ=0. Neste caso a constante de tempo τd tende para zero, o que é
o mesmo que dizer que o pólo associado tende para infinito. Nesta situação o modelo
matemático fica reduzido a um sistema de primeira ordem. No esquema equivalente os
coeficientes de indução que representam a dispersão são nulos, l1=l2=0. As correntes i1 e
i2’ podem sofrer descontinuidades embora estas descontinuidades estejam sujeitas à
restrição ∆i1+∆i2’=0. Note-se que a soma destas duas correntes é a corrente de
magnetização que circula por uma bobina no esquema equivalente e por consequência
não pode sofrer descontinuidades. Nesta situação o determinante da matriz dos
coeficientes de indução é nulo.
Exemplo 6.1
Cálculo das constantes de tempo de um transformador.
Considere um transformador monofásico com os seguintes parâmetros:
r1=0,72Ω r2=0,72Ω l1=l2=0,0029H M=14,22H
a) Calcule as constantes de tempo relativas a este transformador e
verifique se as aproximações referidas são aceitáveis.
b) Considere uma carga resistiva no secundário igual à carga
nominal (R=116.2Ω)
Resolução:
a) Atendendo às equações 6.6 a 6.14, tem-se:
σ=4.12 10-4
Os valores exactos para os pólos são obtidos pela resolução da
equação do segundo grau 6.6. Obtém-se:
S1=-245.7391 S2=-0.0253
Por outro lado, tem-se:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
218
τ1o=τ20=19.7506 s τm=39.5 s
τd=4.1 ms
Os valores aproximados para os pólos são:
S1=-245.7644 S2=-0.0253
Como se pode ver as expressões que determinam os valores dos pólos
dão uma precisão aceitável. Note-se também que a relação entre as duas
constantes de tempo é superior a 1000.
b)Com carga resistiva, os cálculos são semelhantes. Obtém-se:
S1=-19907 S2=-0.000005
Utilizando as expressões desenvolvidas, tem-se:
τ1o= 19.7506 s τ20= 0.1227 sτm=19.8732 s
τd= 0,05 ms
Os valores aproximados para os pólos são:
S1=-19907 S2=-0.05
Funções de transferência
Fazendo os produtos matriciais da equação 6.4 obtêm-se:
)()()()()( 2121111 sUsYsUsYsI += (6.16)
)()()()()( 2221212 sUsYsUsYsI += (6.17)
onde:
( )( )( )dm ssr
ssY
τττ
+++
=11
1)(
111
20 (6.18)
( )( )dm ssrr
MssY
ττ ++−=
11)(
2112 (6.19)
)()( 1221 sYsY = (6.20)
( )( )( )dm
sssr
sYττ
τ++
+=11
1)(
2
1022 (6.21)
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
219
Estas funções de transferências têm as dimensões de uma admitância e relacionam
as transformadas de Laplace das correntes com as transformadas de Laplace das tensões
aplicadas ao transformador.
Mapas de pólos e zeros
O transformador é caracterizado por dois pólos reais: um próximo da origem que
está associado à constante de tempo de magnetização e o outro longe da origem
associado à constante de tempo de dispersão. Enquanto que os pólos são iguais em
todas as funções de transferência, os zeros dependem da função de transferência que se
estiver a considerar.
A figura 6.3 ilustra este aspecto.
Imag.
Re.
1τd
1τm
1τ20
Y11
Imag.
Re.
1τd
1τm
Y12 Y21
Imag.
Re.
1τd
1τm
1τ10
Y22
Figura 6.3. Mapa de pólos e zeros das admitâncias.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
220
Transformador em vazio
Quando a corrente 02 =I , o modelo do transformador reduz-se a:
dt
diru 1111
ψ+= 111 iL=ψ (6.22)
dt
du 2
2ψ= 12 Mi=ψ (6.23)
A relação entre os transformadas de Laplace da corrente no primário e da tensão
no primário é dada por uma função de transferência que se pode traduzir por:
10
1
111
11 1
)(1)()(
τs
sU
rsLr
sUsI
+=
+= (6.24)
Só existe uma constante de tempo dada por 10τ . Note-se que esta constante de
tempo pode ser obtida de mτ fazendo 2r tender para infinito.
A relação entre a tensão no secundário e a tensão no primário pode ser obtida
através de:
)(1
1)()()( 1
101122 sU
s
sM
rssMIsssU
τψ
+=== (6.25)
A função de transferência 6.25 traduz-se por um zero na origem e num pólo
correspondente à constante de tempo 10τ . O seu diagrama de Bode será o que se
encontra representado na figura 6.4.
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
221
10-3
10-2
10-1
100
101
-40
-20
0
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-3
10-2
10-1
100
101
0
30
60
90
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Figura 6.4.Diagrama de Bode do transformador em vazio.
Facilmente se pode concluir que o transformador só funcionará para frequênciassuperiores a um determinado valor que depende da constante de tempo 10τ .
Exemplo 6.2
Cálculo da frequência de corte do transformador em vazio.
Considere o transformador do exemplo 6.1. Calcule a frequência de
corte quando este se encontrar em vazio.
Resolução
A frequência de corte é dada por
ωcrit=1/τ10Neste caso obtém-se
ωcrit=0.05rad/s
O que corresponde a 0,008Hz
Arranque do transformador em vazio. Saturação magnética
No regime transitório de ligação à rede surge a possibilidade do aparecimento de
correntes elevadas devido à saturação do ferro no núcleo do transformador. Este
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
222
fenómeno não está representado no modelo que temos vindo a analisar que não
considera a saturação do ferro.
No transformador em vazio, e desprezando a resistência do primário, tem-se
dtdu /11 ψ= . Se num instante t=0 se se aplicar uma tensão sinusoidal, a solução da
equação anterior terá duas componentes: a resposta forçada ψf e a resposta livre ψl.
Considerando que o núcleo se encontra desmagnetizado e que no instante inicial se
aplica a tensão no momento em que passa por zero (esta é a pior situação) tem-se
ψl(t=0)= -ψf(t=0). O fluxo atinge aproximadamente o dobro do seu valor em regime
permanente meio período depois. Como há saturação, a este valor corresponde uma
corrente muito elevada.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-150
-100
-50
0
50
100
150
Tempo [s]
Te
nsã
o [A
]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Tempo [s]
Flu
xo [W
b]
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-0.5
0
0.5
Corrente [A]
Flu
xo [W
b]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
10
20
30
40
50
Tempo [s]
Co
rre
nte
em
va
zio
[A]
Figura 6.5. Transitório de arranque do transformador em vazio.
A figura 6.5, obtida através do programa de simulação que se encontra em anexo a
este capítulo, ilustra este transitório. O fluxo no núcleo vai perdendo a sua componente
de regime livre e a corrente atinge valores muito elevados nos primeiros instantes. Note-
se que a figura está traçada numa escala que não permite ver a corrente de regime
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
223
permanente. O valor máximo da corrente atinge os 250A (Não visíveis na figura). Em
regime permanente obtém-se a figura 6.6. esta figura foi obtida com o mesmo programa
de simulação.
9.9 9.92 9.94 9.96 9.98 10-150
-100
-50
0
50
100
150
Tempo [s]
Te
nsão [A
]
9.9 9.92 9.94 9.96 9.98 10-0.5
0
0.5
Tempo [s]
Flu
xo [W
b]
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-0.5
0
0.5
Corrente [A]
Flu
xo [W
b]
9.9 9.92 9.94 9.96 9.98 10-0.5
0
0.5
Tempo [s]
Co
rrent
e e
m v
azi
o [A
]
Figura 6.6. Regime permanente em vazio.
A figura 6.7 mostra o andamento das tensões do primário e do secundário para o
mesmo transitório da figura 6.5. Note-se que apesar dos picos elevadíssimos da corrente
do primário, a forma de onda da tensão do secundário tem uma forma de onda quase
sinusoidal não se traduzindo este fenómeno num mau funcionamento considerável do
lado do secundário.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
224
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-200
-100
0
100
200
Tempo [s]
U2
[V])
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-200
-100
0
100
200
U1
[V])
Figura 6.7. Transitório de arranque do transformador em vazio.
Transformador em curto-circuito
Considere-se um transformador em curto-circuito no secundário com o esquema
equivalente reduzido representado na figura 6.8.
l2
M
2i1i
1u
r1r2
P
l1
Figura 6.8. Circuito equivalente.
A impedância equivalente vista do ponto P Pode ser calculada por:
( )22
221)(
sLr
slrsMslsZeq +
++= (6.26)
pois 22 lML += (6.27)
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
225
A expressão eqZ pode pôr-se noutra forma
( )
2
2
2
2
2
21
22
22
2221
1
1
)(
)(
r
Ls
r
MlsM
r
Lsl
ssZ
sLr
MlssMrsLrslsZ
eq
eq
+
++
+
=
++++=
(6.28)
Considerando a simplificação 6.29 e desprezando o termoM
l1 face a 1,
2LM ≈ (6.29)
oeq
eq
s
r
l
r
ls
sLsZ
r
Ls
r
ls
r
ls
sLsZ
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
)(
1
1
)(
τ+
++
=
+
++=
202 1
1)(
ττ
s
ssLsZ cc
eq ++= (6.30)
onde:
2
21
r
llcc
+=τ2
220 r
L=τ (6.31)
A equação (6.30) traduz a variação de impedância equivalente vista do ponto P em
função de frequência. A função Zeq(s) é a função de transferência que permite calcular a
corrente em função da tensão. A função eqZ representa a reactância operacional do
transformador em curto circuito.
Pode definir-se uma indutância operacional de modo que:
202)()()( 1
1
ττ
s
sLLsLZ cc
seqseqseq ++== (6.32)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
226
O diagrama de Bode de Leq(s) encontra-se representado na figura 6.9. O
correspondente diagrama de Nyquist encontra-se na figura 6.10.
10-4
10-2
100
102
104
-50
0
50
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-4
10-2
100
102
104
-30
-60
-90
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Figura 6.9. Diagrama de Bode.
0 5 10 15-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real Axis
Ima
g A
xis
Figura 6.10. Representação no plano de Argand.
Exemplo 6.3
Calcular as constantes de tempo do transformador em curto-circuito.
Resolução
Das expressões 6.31 tem-se:
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
227
τcc=0,0081 s τ20=19.75 s
Transformador de intensidade de corrente
Considere-se o transformador em curto-circuito a funcionar como transformador
de corrente. Importa saber a função de transferência que relaciona a corrente no
secundário ( )sI2 com a corrente no primário ( )sI1 .
A
i1
i2
(a) Esquema.
l1 l2
M
2i1i
1u
r1r2
(b) Circuito equivalente.
Figura 6.11. Transformador de intensidade.
Partindo do circuito equivalente da figura 6.11 tem-se:
( ) )()( 122
2 sIlMsr
sMsI
++= (6.33)
o que é equivalente a:
20
2
2
22
2
2
2
1
21
/
)(
)(
τ+
=+
=+
=s
s
L
M
L
rs
s
L
M
sL
rLsM
sI
sI(6.34)
Esta função de transferência encontra-se representada na figura 6.12.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
228
10-3
10-2
10-1
100
101
-40
-20
0
Frequency (rad/sec)
Ga
in d
B
10-3
10-2
10-1
100
101
0
30
60
90
Frequency (rad/sec)
Pha
se d
eg
Figura 6.12. Característica do transformador de corrente.
Verifique-se que o transformador de corrente tem uma função de transferência
plana para altas frequências (da ordem das dezenas e centenas de Hz. Para frequências
muito mais elevadas há que considerar outros efeitos não considerados no modelo.
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
229
6.2 Transformador monofásico de 3 enrolamentos.
Equações
Considere-se o transformador de 3 enrolamentos representado na figura 6.13.
u1
u2
i2
i1
u3
i3
Figura 6.13. Transformador de 3 enrolamentos.
O modelo deste transformador será:
dt
diru 1111
ψ+= (6.35)
dt
diru 2222
ψ+= (6.36)
dt
diru 3333
ψ+= (6.37)
A relação entre os fluxos e as correntes será dada pela matriz das impedâncias.
=
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
i
i
i
LLL
LLL
LLL
ψψψ
(6.38)
Substituindo as equações 6.38 em 6.35, 6.36 e 6.37 obtém-se um sistema de 3
equações diferenciais de coeficientes constantes. Pode aplicar-se a transformação de
Laplace, obtendo-se :
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
230
( )( )( )
++
+=
sI
sI
sI
sLrsLsL
sLsLrsL
sLsLsLr
sU
sU
sU
3
2
1
3333231
2322221
1312111
3
2
1
)(
)(
)(
(6.39)
A este sistema de equações pode fazer-se corresponder o esquema equivalente da figura
6.14.
L11-L12-L13+L23r1 r2L22-L12
L12-L23
L33-L31
L13-L23
u2
u3
i3r3
L23
i1
u1
i2
Figura 6.14. Circuito equivalente do transformador de 3 enrolamentos.
Se se aplicar a transformação :
=
3
2
00
00
001
k
kC (6.40)
obtém-se para a matriz das impedâncias:
( )( )
++
+=
sLrkLkksLk
sLkksLrksLk
sLksLksLr
ZCCT
332233232313
233222222212
133122111
(6.41)
Em vez da matriz original 6.39, tem-se agora a matriz modificada 6.41. Estas
matrizes representam a mesma realidade e são fomalmente semelhantes. Apenas os
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
231
parâmetros são diferentes. Como k2 e k3 são arbitrários, os novos parâmetros terão agora
valores que podemos escolher com dois graus de liberdade. O novo circuito equivalente
será semelhante ao da figura 6.14. Naturalmente que os novos parâmetros são os que
figuram na matriz da equação 6.41. É possível simplificar o circuito escolhendo valores
de k2 e k3 convenientes. Fazendo:
2
12 n
nk = e
3
13 n
nk = (6.42)
obtém-se o circuito equivalente reduzido. Este circuito também é semelhante ao da
figura 6.14.
Esquema equivalente simplificado
O circuito equivalente pode ser simplificado se se adoptar:
23
132 L
Lk = e
23
123 L
Lk = (6.43)
que correspondem a valores próximos dos adoptados nas equações 6.42. A matriz das
impedâncias será:
( )
( )
+
+
+
=
sLrL
LsLsL
sLsLrL
LsL
sLsLsLr
Z
mm
mm
mm
333
2
23
12
222
2
23
13
111
' (6.44)
onde
23
1213
L
LLLm = (6.45)
O circuito equivalente será:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
232
l1r1 r2
1i
Lm u2
u3
i3r3
1u
l2
l3
i2
Figura 6.15. Circuito equivalente do transformador de 3 enrolamentos.
Onde
mLLl −= 111 (6.46)
mLLL
Ll −
= 22
2
23
132 (6.47)
mLLL
Ll −
= 33
2
23
123 (6.48)
O circuito equivalente da figura 6.15 resultou da escolha de k2 e k3 que anulam os
dois ramos L12-L23 e L13-L23 do circuito da figura 6.14. Este é o circuito equivalente
normalmente utilizado no estudo de transformadores de três enrolamentos.
Reactância Operacional de um transformador monofásico de 3enrolamentos
É importante compreender-se o comportamento dinâmico dos transformadores
pois o seu conhecimento é necessário em muitas situações, inclusivamente quando se
estudam outras máquinas eléctricas como são os casos das máquinas síncronas e
assíncronas. Com o objectivo de esclarecer alguns aspectos que serão utilizados no
estudo da máquina síncrona em curto-circuito, vai-se introduzir o conceito de reactância
operacional de um transformador com três enrolamentos.
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
233
Considere-se o secundário e o terciário em curto-circuito. Pretende saber-se qual a
impedância equivalente vista do primário. O modelo será:
++
+=
)(
)(
)(
0
0
)(
3
2
1
3333231
2322221
13121111
sI
sI
sI
sLrsLsL
sLsLrsL
sLsLsLrsU
(6.49)
Fazendo uma partição como se indica na equação 6.49, o modelo pode escrever-se
na forma condensada 6.50.
=
2
1
2221
121110 X
X
ZZ
ZZU(6.50)
resolvendo, tem-se:
−=
−=
+=+=
−
−
1211
222
1211
22121111
222121
21211110 XZZX
XZZZXZU
XZXZ
XZXZU(6.51)
Obtém-se:
11 ZXU = (6.52)
com:
211
221211 ZZZZZ −−= (6.53)
A nova matriz Z será dada por:
[ ]sLsLsLrsL
sL
sLrsL
sLsLrZ 3231
33323
13
22221
12111 1
+
−
+
+= (6.54)
+
−
+
+=
23223
23123
23213
23113
33322221
12111 1
sLLsLL
sLLsLLsLrsLrsL
sLsLrZ (6.55)
ou seja:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
234
+
−+
+
−
+
−
+−+
=
ssLr
sLLLrs
sLr
sLLL
ssLr
sLLLs
sLr
sLLLr
Z
333
3223222
333
312321
333
321312
333
1331111
(6.56)
Tendo em atenção que a matriz dos coeficientes de indução é simétrica e
definindo as indutâncias operacionais transitórias,
sLr
sLLsL
333
213
11'11 )(
+−= (6.57)
sLr
sLLsL
333
223
22'22 )(
+−= (6.58)
sLr
sLLLsM
333
312321
' )(+
−= (6.59)
obtém-se:
+
+=
)(
)(
)(
)(
0
)(
2
1'222
')(
')(
'1111
sI
sI
ssLrsM
sMssLrsU
s
s (6.60)
A equação 6.60 tem a mesma forma que a equação 6.49. Em vez das indutâncias
constantes têm-se agora indutâncias operacionais transitórias dependentes de s. Pode
voltar a aplicar-se a mesma técnica. Assim, tomando a segunda equação,
( ) 0)()()(' 2'2221)( =++ sIssLrssIM s (6.61)
donde
)()(
)( 1'222
')(
2 sIssLr
sMsI s
+−= (6.62)
e substituindo na primeira equação, obtém-se:
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
235
)()(
)()( 1'222
22')('
1111 sIssLr
sMssLrsU s
+−+= (6.63)
Pode assim definir-se uma nova indutância operacional subtransitória,
ssLr
sMsLsL s
)()()(
'222
2')('
11"11
+−= (6.64)
A corrente do primário pode ser obtida por
ssLr
sUsI
)(
)()(
"111
11
+= (6.65)
Expressões aproximadas para as indutâncias operacionais desprezandoas resistências.
Quando se desprezam as resistências, as expressões, 6.57-59 simplificam-se dando
origem a:
11131133
213
1133
213
11'11 1)( L
LL
LL
L
LLsL σ=
−=−= (6.66)
22231133
223
2233
223
22'22 1)( L
LL
LL
L
LLsL σ=
−=−= (6.67)
211233331
312321
33
312321
')( 1 L
LL
LLL
L
LLLM s σ=
−=−= (6.68)
Estas funções degeneram assim em valores constantes. A indutância operacional
subtransitória será:
2223
221
2123
1113"11 )(
L
LLsL
σσσ −= (6.69)
Estes são os valores que se obtêm das indutâncias operacionais quando a
frequência tende para infinito.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
236
6.3 Transformador trifásico de 3 colunas
Constituição
A figura 6.16 apresenta o esquema do transformador trifásico de 3 colunas. O
primário é designado pelo índice p e o secundário pelo índice s.
up3
ip3
us3
is3
up2
ip2
us2
is2
up1
ip1
us1
is1
Figura 6.16. Transformador trifásico de três colunas.
Modelo matemático
O modelo do transformador trifásico de três colunas pode ser obtido recorrendo
aos seus coeficientes de indução. Uma vez que não há movimento, apenas interessam as
equações eléctricas que resultam da lei geral de indução. Embora haja uma ligeira
assimetria da fase colocada na perna intermédia é frequente a não consideração desta
assimetria e supor que se está a trabalhar com um transformador de núcleo magnético
simétrico.
Transformador trifásico de núcleo magnético simétrico
A matriz dos coeficientes de indução de um transformador trifásico de núcleo
simétrico tem simetria cíclica. Esta matriz está representada na equação 6.70.
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
237
=
sssssspspsps
sssssspspsps
sssssspspsps
pspspspppppp
pspspspppppp
pspspspppppp
LMMLMM
MLMMLM
MMLMML
LMMLMM
MLMMLM
MMLMML
L (6.70)
Banco de três transformadores monofásicos
No caso de bancos trifásicos de transformadores monofásicos, não existe ligação
magnética entre as diferentes fases. A matriz dos coeficientes de indução terá vários
elementos com valor nulo equação, 6.71.
=
ssps
ssps
ssps
pspp
pspp
pspp
LL
LL
LL
LL
LL
LL
L
0000
0000
0000
0000
0000
0000
(6.71)
Aplicação da transformação de Concordia ao transformador trifásicode núcleo magnético simétrico.
Aplicando a transformação de Concordia, e atendendo à simetria da matriz 6.70 e
tendo em conta os resultados do capítulo 3, obtém-se:
++−−
−−++
−−−−
sssspsps
sssspsps
sssspsps
pspspppp
pspspppp
pspspppp
MLML
MLML
MLML
MLML
MLML
MLML
200200
0000
0000
200200
0000
0000
(6.71)
Definindo:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
238
ppppp MLL −= ppppop MLL 2+= (6.72)
sssss MLL −= ssssos MLL 2+= (6.73)
psps MLM −= pspso MLM 2+= , (6.74)
obtém-se 3 esquemas equivalentes representados nas figuras 6.16 a 6.18.
Verifica-se que o transformador tem um comportamento semelhante para as
componentes α e β. Uma vez que o circuito equivalente é o mesmo. O comportamento
em relação às componentes homopolares é diferente. Este comportamento também
depende do tipo de ligações do primário e do secundário, estrela, triângulo, com ligação
do ponto neutro ou sem ligação.
Lp-Mrp rs
M uas
Ls-M
iαpiαs
uap
Figura 6.17. Circuito equivalente segundo α.
Lp-Mrp rs
M ubs
Ls-M
iβpiβs
uβp
Figura 6.18. Circuito equivalente segundo β.
Lop-Morp rs
Mo uos
Los-Mo
iοpiοs
uop
Figura 6.19. Circuito equivalente segundo ο.
Cap. 6. Transitório dos transformadores
Gil Marques 02-04-02
239
Exercícios
I
Considere um transformador trifásico com as seguintes características:
SN=100kVA Xcc=8% Rcc=3% Io=4%
1.1 Calcule o factor de dispersão deste transformador.
1.2 Fazendo as aproximações que achar necessárias e convenientes determine as
várias constantes de tempo bem como os pólos e zeros das várias funções de
transferência definidas neste capítulo.
1.3 Em função dos valores obtidos na alínea anterior, trace os diagramas de Bode
que relacionam, em vazio, as tensões do secundário com as tensões do
primário.
1.4 Trace o diagrama de Bode que relaciona, em curto-circuito, a corrente no
secundário com a corrente no primário.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
240
Anexo A6. Simulação do transformador em vazioconsiderando a saturação magnética.
O sistema representado na figura A6.1 serve para a simulação do transformador
em vazio. A representação da saturação magnética é feita recorrendo à função f[u] que
representa a corrente de magnetização em função do fluxo. Foi usada uma função
polinomial de terceira ordem.
1/s
U1
Fig. A6.1. Simulação do transformador em vazio considerando a saturação
magnética.
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
241
Capítulo 7
Regimes transitórios das Máquinas Síncronas
7.1 Introdução
Neste capítulo vai fazer-se a análise de alguns transitórios que podem ocorrer nas
máquinas síncronas.
Para a resolução da maior parte dos problemas relacionados com o regime
transitório das máquinas síncronas, as equações usadas são as de uma máquina síncrona
com dois enrolamentos amortecedores, um segundo o eixo d e o outro segundo o eixo q.
Embora seja apenas uma aproximação, os resultados obtidos são suficientemente
aproximados para a maioria das aplicações. Por exemplo, os conceitos de reactância
transitória e subtransitória, que serão vistos neste capítulo, dependem desta
simplificação.
Tem-se verificado que o modelo descrito neste capítulo é suficientemente
aproximado para o estudo das máquinas síncronas de pólos salientes utilizadas em
centrais hidroeléctricas etc. A interpretação dos resultados obtidos nas máquinas de
rotor maciço requer algum cuidado pois normalmente são necessários mais do que dois
enrolamentos amortecedores para se obter uma aproximação razoável.
O objectivo principal deste capítulo consiste em leccionar conhecimentos que
permitam a determinação dos transitórios usando simulação em computador por
integração do modelo matemático obtido no capítulo 3. Para isso vai recorrer-se a um
programa de simulação que se encontra descrito em anexo e que permite facilmente
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
242
obter a solução das equações diferenciais na generalidade das situações. Em alguns
casos obtêm-se soluções analíticas aproximadas, que embora muito laboriosas,
permitem uma boa interpretação dos resultados.
7.2 Modelo das Máquinas Síncronas com enrolamentos deexcitação e enrolamentos amortecedores
Considere-se uma máquina síncrona de pólos salientes com dois enrolamentos
amortecedores no rotor, um segundo a direcção transversal e o outro segundo a direcção
longitudinal.
As suas equações, no referencial do rotor alinhado com a peça polar, cap 3, são:
qmpd
dsd pdt
diru ψωψ −+= (7.1a)
dmpq
qsq pdt
diru ψω
ψ++= (7.1b)
dt
diru oooo
ψ+= (7.1c)
dt
diru
ffff
ψ+= (7.1d)
dt
diru DDDD
ψ+= (7.1e)
dt
diru
QQQQ
ψ+= (7.1f)
0== QD uu (7.1g)
O binário, vem:
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
243
( ) ( )dqqdpsspem iipipM ψψψ −=×= (7.2)
A estas equações é necessário introduzir as relações entre os fluxos e as correntes,
isto é:
=
D
f
d
DfDdD
fDffd
dDfdd
D
f
d
i
i
i
LMM
MLM
MML
ψψψ
(7.3)
=
Q
q
QqQ
qQq
Q
q
i
i
LM
ML
ψψ
(7.4)
ooo iL=ψ (7.5)
Os valores das indutâncias podem ser reduzidos com um factor arbitrário como se
fez no caso do transformador. A forma mais simples é:
[ ]
++
+=
fmdmdmd
mdkdmdmd
mdmdamd
dlLLL
LlLL
LLlL
L (7.6)
[ ]
+
+=
kqmqmq
mqamqq lLL
LlLL (7.7)
onde:
kqmqQ
amqq
kdmdD
fmdf
amdd
lLL
lLL
lLL
lLL
lLL
+=
+=+=
+=+=
(7.8)
Às equações 7.1, 7.6, 7.7 e 7.8 correspondem os esquemas equivalentes da figura 7.1 e7.2.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
244
dψd
dt
rD
lkD
la
Lmd
id rf lf
if
iD uf
ppωm
ud
rs
- +
Figura 7.1 : Esquema equivalente segundo d.
dψq
dt
rQ
lkQ
la
Lmq
iq
iQ
ppωm
uq
rs
+ -
Figura 7.2. Esquema equivalente segundo q.
Estes esquemas equivalentes são semelhantes aos utilizados no estudo do
transformador de 3 e 2 enrolamentos. A tensão aplicada é a tensão resultante do efeito
transformador.
No anexo A encontra-se descrito o programa de simulação que se designou por
“sindqfDQ”. Foi desenvolvido em ambiente MatLab/Simulink e utiliza as equações 7.1
a 7.4. Permite obter facilmente alguns transitórios mais usuais deste tipo de máquinas.
Considera-se como entradas as tensões aplicadas à máquina e o binário de carga.
Conhecendo estas grandezas o programa permite calcular o andamento das correntes,
binário e velocidade.
Em muitas situações convêm conhecer analiticamente o comportamento
transitório destas máquinas. Este estudo pode ser feito quando a velocidade for
constante pois as equações são equações lineares. Para tal faz-se uso da transformação
de Laplace.
Aplicando a transformação de Laplace, e substituindo as expressões dos fluxos
pelos produtos das matrizes das indutâncias pelas correntes, obtém-se :
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
245
++
++
−−+
=
Q
q
D
f
d
QQqQ
qQqqdDfdd
DDfDdD
fDfffd
qQqdDfdds
Q
q
D
f
d
i
i
i
i
i
sLrsM
sMsLrMML
sLrsMsM
sMsLrsM
MLsMsMsLr
u
u
u
u
u
000
00
00
ωωω
ωω
(7.9)
Modelo da máquina em valores por unidade
Em valores por unidade, as reactâncias e as indutâncias têm o mesmo valor. No
estudo das máquinas síncronas têm-se utilizado, por tradição, as designações das
reactâncias em vez das indutâncias. No que se segue os valores dos coeficientes de
indução foram substituídos pelos valores das reactâncias em valores por unidade.
O modelo da máquina síncrona é representado por um sistema de equações
lineares. Para a sua resolução vai ser utilizada a técnica usual baseada na transformação
de Laplace.
Em termos formais, a única diferença considerável é a substituição do termo ppωm
por ω, como já se fez nas equações 7.9.
Impedâncias operacionais
Reactâncias Operacionais da Máquina Síncrona
A transformação de Laplace é aplicada inicialmente às equações 7.1 a 7.8 ou aos
circuitos das figuras 7.1 e 7.2.
Em muitos problemas, as correntes do circuito de excitação e dos enrolamentos
amortecedores não são necessárias e podem ser eliminadas das equações utilizando
processos análogos aos utilizados no estudo do transformador.
Isolando os termos de efeito transformador dos outros:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
246
++
++
+
=
−
+
Q
q
D
f
d
QQqQ
qQqq
DDfDdD
fDfffd
dDfdds
dq
f
qd
i
i
i
i
i
sLrsM
sMsLr
sLrsMsM
sMsLrsM
sMsMsLr
u
u
u
000
000
00
00
00
0
0
ωψ
ωψ
(7.10)
As correntes dos enrolamentos amortecedores podem ser dadas pelas correntes do
induzido e pela corrente de excitação. Utilizando as equações das linhas 3 e 5. Tem-se:
qQQ
qQQ i
sLr
sMi
+−= (7.11)
fDD
fDd
DD
dDD i
sLr
sMi
sLr
sMi
+−
+−= (7.12)
Eliminando a 3ª e 5ª equações e introduzindo os resultados de 7.11 e 7.12 em
7.10, tira-se:
+−+
+−+
+−
+−
+−+
=
−
+
q
f
d
qQqs
DD
fDff
DD
fDdDfd
DD
fDdDfd
DD
dDds
dq
f
qd
i
i
i
sLr
sMsLr
sLr
sMsLr
sLr
sMMsM
sLr
sMMsM
sLr
sMsLr
u
u
u
22
222
222
00
0
0
ωψ
ωψ
(7.13)Definindo:
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
247
sLr
sMLsL
sLr
sMMMsM
sLr
sMLsL
sLr
sMLsL
qQqq
DD
fDdDfdfd
DD
fDff
DD
dDdd
+−=
+−=
+−=
+−=
2
2'
2'
)(
)(
)(
)(
(7.14)
As equações tomam a forma:
++
+
=
−
+
q
f
d
qs
fffd
fdds
dq
f
qd
i
i
i
ssLr
ssLrssM
ssMssLr
u
u
u
)(00
0)()(
0)()(''
''
ωψ
ωψ(7.15)
As equações 7.15 contêm a mesma informação que as equações originais que lhes
deram origem (7.10). São uma forma condensada de representar o modelo da máquina
síncrona. Tomando a segunda equação obtém-se:
dff
fd
ff
ff i
ssLr
ssM
ssLr
ui
)(
)(
)( '' +−
+= (7.16)
Substituindo em 7.15 obtém-se uma forma ainda mais compacta:
fff
fd
q
d
qs
ff
fdds
dq
qdussLr
ssM
i
i
ssLrssLr
ssMssLr
u
u
++
++
−+=
−+
0)(
)(
)(0
0)(
)()(
''
22'
ωψωψ
(7.17)
Na equação 7.17 os termos da direita são as derivadas dos fluxos yd e yq á parte
das quedas de tensão resistivas. Obtém-se uma matriz diagonal que relaciona os fluxos
com as correntes nos eixos d e q. Pode representar-se este facto com o recurso a dois
conceitos: o de reactância operacional segundo d e reactância operacional segundo q.
Assim, executando os cálculos obtém-se:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
248
( ) )()(
sIsX
qo
qsq ω
ψ = (7.18)
e
)()(
)()(
)( susG
sIsX
s fo
do
dd ωω
ψ += (7.19)
Onde
+−==
sLr
sMssLsLsX
DD
fDdodod
22
)()(')( ωω (7.20)
+−==
sLr
sMLsLsX
qQqoqoq
2
)()( ωω (7.21)
ssLr
ssMsG
ff
fdo
)(
)()(
'+= ω (7.22)
O factor 0ω é introduzido apenas para que Xq(s) e Xd(s) tenham dimensões de uma
reactância. As funções Xd(s) , Xq(s) são funções de s, obtidas em cada caso como o
cociente de dois determinantes, cada um dos quais, quando trabalhado, pode ser posto
na forma de uma expressão polinomial em s. Após alguns cálculos laboriosos,
obtém-se:
"
"
1
1)(
qo
qqq
s
sXsX
τ
τ
+
+= (7.23)
)1)(1(
)1)(1()(
"'
"'
dodo
dddd
ss
ssXsX
ττττ
++++= (7.24)
( )f
md
dodo
kd
r
X
ss
ssG
)1)(1(
1)(
"' τττ
+++= (7.25)
Os valores das constantes de tempo estão definidos na secção seguinte.
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
249
Constantes de tempo da máquina síncrona:
As expressões 7.23 a 7.25 estão escritas em termos das constantes de tempo da
máquina síncrona. Estas são definidas como:
Longitudinais
Transitória em circuito aberto
f
mdfdo r
Xx
0
'ω+
=τ (7.26)
Transitória em curto-circuito
f
amd
amdf
d r
xX
xXx
0
'
ω+
+=τ (7.27)
Subtransitória em vazio
++
ω=τ
fmd
fmdkd
Ddo xX
xXx
r0
" 1(7.28)
Subtransitória em curto-circuito
+++
ω=τ
fafmdamd
famdkd
Dd xxxXxX
xxXx
r0
" 1(7.29)
Transversais
Subtransitória em vazio
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
250
( )mqkqQ
qo Xxr
+ω
=τ0
" 1(7.30)
Subtransitória em curto-circuito
++
ω=τ
amq
amqkq
Qq xX
xXx
r0
" 1(7.31)
Dispersão dos amortecedores
D
kdkd r
x
0ω=τ (7.32)
As constantes de tempo são divididas por 0ω pois estão expressas em segundos e
utilizam valores das reactâncias e resistências em valores por unidade. Para serem
postas em valores por unidade devem ser divididas pelo valor de base de tempo.
0
1
ω=bT (7.33)
Durante o regime permanente, quando todas as variáveis relativas aos dois eixos
forem constantes, tem-se s=0, e de acordo com as expressões 7.12, 7.13 e 7.14, tem-se:
dd XsX =)( (7.34)
qq XsX =)( (7.35)
f
md
r
XsG =)( (7.36)
Durante os transitórios rápidos s tende para infinito e os valores limite serão:
( ) "'
"'"
dodo
ddddd XXX
ττ
ττ==∞ (7.37)
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
251
( ) '
""
qo
qqqq XXX
τ
τ==∞ (7.38)
0)( =∞G (7.39)
Na ausência de enrolamentos amortecedores, ou na situação em que os transitórios
rápidos já se tenham extinguido, tem-se:
'
'')(
do
dddd XXsX
ττ== (7.40)
qqq XXsX == ')( (7.41)
f
md
do
kdr
X
s
ssG
'1
1)(
ττ
++= (7.42)
As tabelas 7.1 a 7.2 apresentam os valores típicos das constantes de tempo e das
reactâncias síncrona, transitória e subtransitória das máquinas síncronas. Uma das
vantagens de se trabalhar em valores por unidade é o facto de se obterem valores que,
expressos em pu, variam pouco com a potência das máquinas. Isto é evidente nas
tabelas acima referidas.
Estes valores são normalmente tabelados e existem normas que especificam os
valores a utilizar nos cálculos.
Tabela 7.1 Constantes de tempo típicas das máquinas síncronas em segundos
Turbogeradores Geradores Hidráulicos Condensadores SíncronosConstantes
de tempo Baixo Médio Alto Baixo Médio Alto Baixo Médio Alto
τ’do 2.8 5.6 9.2 1.5 5.6 9.5 6.0 9.0 11.5
τ’d 0.4 1.1 1.8 0.5 1.8 3.3 1.2 2.0 2.8
τ”d= τ”q 0.02 0.035 0.05 0.01 0.035 0.05 0.02 0.035 0.05
τ’a 0.04 0.16 0.35 0.3 0.15 0.25 0.10 0.17 0.3
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
252
Tabela 7.2 Características típicas de turbogeradores e de compensadores síncronos
Geradores Compensadores Sincronos
ParâmetrosGama
Valor
recomendadoGama
Valor
recomendado
Potência nominal 300-1000MW … 50-100MVA
Reactância síncrona d xd 1.4-1.8 1.6 1.7-2.7 2.2
Reactância transitória d x’d 0.23-0.35 0.25 0.45-0.65 0.55
Reactância subtransitória d x”d 0.15-0.23 0.2 0.35-0.45 0.4
Reactância síncrona q xq 1.5-1.6 1.55 1-1.3 1.15
Reactância de sequência negativa 0.18-0.2 0.19 0.35-0.45 0.4
Reactância de sequência nula 0.12-0.14 0.13 0.15-0.25 0.2
Razão de curto-circuito 0.5-0.7 0.64 0.35-0.65 0.5
Constante de inércia H (s) 3-8 4-6 … …
Admitâncias operacionais
Podem definir-se admitâncias operacionais da forma:
( )d
dd
dodo
sdd Y
ss
ss
XsY
)1)(1(
)1)(1(1)(
"'
"'
ττττ
++++== (7.43)
( )q
q
qo
sqq Y
s
s
XsY
+
+==
"
"
1
11)(
τ
τ(7.44)
A admitância operacional directa pode ser expandida em fracções parciais:
++
++=
"' 111
1)(
dddd
s
Bs
s
As
XsY
ττ(7.45)
Calculando A e B, obtém-se:
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
253
−
−=
−
−
'
"
11
1
'
"
'
''
d
d
d
do
d
dod
A
τ
τ
ττ
τττ
(7.46)
−
−
−
−=
"
'
"
"
"
'"
1
11
d
d
d
do
d
dod
B
τ
τ
τ
τ
τ
ττ
(7.47)
Como "dτ e "
doτ tomam valores pequenos comparados com 'dτ e '
doτ obtém-se
aproximadamente:
"
"
'"'
'
' 1
11
1
111)(
d
d
ddd
d
dddd
s
s
XXs
s
XXXsY
ττ
ττ
+
−+
+
−+= (7.48)
As fracções parciais de )(sYd podem ser consideradas como aplicadas a um
circuito equivalente longitudinal que tem três circuitos em paralelo e independentes. A
cada um desses ramos corresponde um termo da equação 7.48.
sψd1Xd
id
'
'
' 1
11
d
d
dd s
s
XX ττ
+
− "
"
'" 1
11
d
d
dd s
s
XX ττ
+
−
Figura 7.3. Esquema equivalente segundo d.
A admitância segundo o eixo q, executando os cálculos que são análogos aos do
eixo d, virá:
)1(
111)(
''
''
''qqqq
qs
s
XXXsY
q
τ
τ
+
−+= (7.49)
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques
254
Diagramas de Bode e de Nyquist.
As admitâncias operacionais e as reactâncias operacionais podem representar-se
em termos de frequência por diagramas de Bode ou de Nyquist substituindo s por jω. Os
diagramas de Bode das reactâncias operacionais estão representados nas figuras 7.4 e
7.5. Os diagramas de Nyquist das admitâncias operacionais encontram-se representados
nas figuras 7.6 e 7.7.
Analisando a figura 7.4 pode verificar-se a existência de três zonas bem definidas.
Abaixo de 0.1 rad/s a amplitude de Xd(ω) é constante e igual ao valor de Xd. Acima de
0.1 rad/s esta amplitude começa a reduzir-se apresentando numa gama entre 1 e 10
rad/s um valor sensivelmente igual a 'dX . Acima de 10 rad/s o valor desta amplitude
volta a diminuir, estabilizando acima de 100 rad/s num valor igual a ''dX .
A reactância operacional transversal tem um andamento mais simples. Nos dois
primeiros troços atrás referidos mantêm-se constante e igual a Xq. Começa a reduzir-se
para frequências próximas de 10 rad/s e estabiliza no valor igual a ''qX para frequências
superiores a 100 rad/s.
0
1002-04-02
10-2
10-1
100
101
102
103
10-1
am
plit
ude
10-2
10-1
100
101
102
103
-102
-101
-100
-10-1
fase
[gra
us]
frequência [rad/s]
Figura 7.4. Reactância operacional segundo d.
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil M
255
100
plit
ude
arques
10-2
10-1
100
101
102
103
10-1
am
10-2
10-1
100
101
102
103
-102
-100
-10-2
fase
[gra
us]
frequência [rad/s]
Figura 7.5. Reactância operacional segundo q.
00
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Aditância do eixo d
1 2 3
Figura 7.6. Admitância operacio
2
02-04-02
4 5
nal segundo d.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques
256
00
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5Admitância do eixo q
Na figura 7.8 represen
10-2
10-2
100
102
104
am
plit
ude
10-2
-103
-102
-101
-100
fase
[gra
us]
Exemplo 7.1
Considere uma má
20kV, p=32, 50Hz, com
unidade.
1 2 3
Figura 7.7. Admitância operacional
ta-se o diagrama de Bode da f
10-1
100
101
10-1
100
101
frequência [rad/s]
Figura 7.8. Função de transferênc
quina síncrona de pólos
os seguintes parâmetro
02-04-02
4 5
segundo q.
unção de transferência G(s).
102
103
102
103
ia G(s).
salientes de S=325MVA,
s dados em valores por
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
257
rs=.0019 rf=.00041 rD=.0141 Ld=.85
la=.12 Lmd=Ld-La lkd=.16 lf=.2049
rQ=.0136 Lq=.48 Lmq=Lq-la lkq=.1029
H=7.5s
Calcule as constantes de tempo em segundos e os valores
das reactâncias transitórias e subtransitórias.
Solução:
Constantes do tempo
τdo’ = 7.2582
τd’ = 2.3909
τdo” = 0.0722
τd” = 0.0516
τqo” = 0.108
τq” = 0.0451
τkd = 0.0361
Reactâncias
Xd’ = 0.2800
Xd” = 0.2000
Xq” = 0.2000
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
258
7.3 Curto-circuito trifásico simétrico e equilibrado a partir dovazio
Embora a maioria dos defeitos que ocorrem em sistemas de energia eléctrica
sejam do tipo assimétrico e desequilibrado, o estudo do curto-circuito trifásico simétrico
e equilibrado reveste-se de algum interesse porque, embora raro, é mais fácil de analisar
analiticamente e constitui uma situação de partida para os estudos de defeitos
assimétricos.
A análise que se segue faz o estudo analítico do curto-circuito de uma máquina
síncrona partindo da condição de vazio. Este estudo pode ser estendido posteriormente à
condição de carga. O estudo é feito na condição simplificativa de que a velocidade de
rotação se mantém constante. Nesta situação as equações são lineares podendo para a
sua solução ser usado o princípio da sobreposição e as transformações de Laplace.
Condições iniciais
Estando as máquinas em vazio e em regime permanente com tensão nominal nos
terminais, tem-se:
fff iru = (7.50a)
qdou ωψ−= dqou ωψ= (7.50b)
fomddo iL=ψ (7.50c)
0==== QDqd iiii (7.50d)
Como:
0=+= QqQqqq iMiLψ (7.51)
tem-se:
0=doU UUU mqo 3== (7.52a)
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
259
0/ωψ mdo U= (7.52b)
mddofo Li /ψ= (7.52c)
foffo iru = (7.52d)
fofmdfo ilL )( +=ψ (7.52e)
fokdfmdDo ilL )( +=ψ (7.52f)
00 == qoQ ψψ (7.52g)
Equações operacionais
As equações da máquina síncrona são lineares nas condições que se estão a
considerar. Assim são também válidas para as variações das suas grandezas.
iii o ⊗+= uuu o Ä+= ψψψ Ä+= o etc. (7.53)
Como as correntes são nulas no instante inicial, as grandezas depois do instante
inicial do transitório serão também iguais às suas variações. Na análise que se segue,
com o objectivo de simplificar a notação, utilizam-se os mesmos símbolos para as
variações e para as grandezas uma vez que neste caso elas são iguais com excepção de
algumas grandezas. Esta situação será vista mais à frente.
Deve notar-se que aplicar um curto-circuito é anular as tensões aos terminais.
Como 0=dou , neste transitório vai anular-se a tensão qu . Tudo se passa como se se
aplicasse um escalão de uq = - Uqo = - Um no instante do curto-circuito. As equações
serão, em termos de transformação de Laplace:
( )( ) ( ) ( )sqsqsd
o
sds IXI
Xsr −
+=
ω0 (7.54)
( ) ( )( )
( )sqo
sqssdsd
m IX
srIXs
U
++=−
ω(7.55)
Não aparece nenhum termo relativamente a )()( sUsG f pois, por hipótese, uf
mantém-se constante durante o transitório e em termos de variação 0=fu⊗ .
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
260
Na forma matricial, considerando as equações 7.17 a 7.21, tem-se:
( )( )
( )( )
( )( )
+
−+=
− sq
sd
o
sqssd
sqo
sds
m I
I
sXrX
XsX
r
s
U
ω
ω0(7.56)
Solução das equações:
Cálculo das correntes
As funções ( )sdI e ( )sqI são obtidas resolvendo o sistema de equações 7.56.
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) s
U
X
XX
r
XXrss
I m
sd
sqsd
s
sqsds
sd1
1122
00
20
2
20
ωωω
ω
+
+++
−= (7.57a)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) s
U
XX
XX
r
XXrss
Xsr
I m
sqsd
sqsd
s
sqsds
sds
sq1
1122
00
20
2
0
20
ωωω
ωω
+
+++
+
−= (7.57b)
Estas equações estão escritas em termos das reactâncias e admitâncias
operacionais. O denominador pode ser simplificado tendo em conta que rs é pequeno. O
termo 2sr pode ser completamente desprezado e nos termos em rs, )(sXd e )(sXq
podem ser simplificados desprezando as resistências rf, rD e rQ. Isto é equivalente a
substituir neste termo todos os factores da forma ( )τs+1 por sτ . Com esta aproximação
)(sXd e )(sXq reduzem-se às reactâncias subtransitórias Xd” e Xq”. Então:
( ) )()2( 20
2
20
sX
U
sssI
d
msd
ωαω
++−= (7.58a)
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
261
)()2()(
20
20
sX
U
sssI
q
mq
ωα
ω
++
−= (7.58b)
onde:
aqd
s
XX
r
τωα 111
2 ""0 =
+= (7.59)
A expansão em fracções parciais de 1/Xd(s) pode ser substituída na expressão 7.59,
obtendo-se:
( ) s
U
s
s
XXs
s
XXX
sssI
m
d
d
qdd
d
ddd
d
+
−+
+
−+
++−=
)1(
11
'1
111
)2()(
"
"
""
'
'
20
2
20
ττ
ττ
ωαω
(7.60)
Do mesmo modo, desprezando rs obtém-se para a componente em quadratura:
( ) s
U
s
s
XXXss
sI m
q
q
qqqsq
+
−+
++
−=
"
"
"20
20
1
111
)2( τ
τ
ωα
ω(7.61)
Aplicando a transformação de Laplace inversa,
( )tX
eU
eXX
eXXX
Ui
od
t
m
t
dd
t
dddmd dd
ωα
ττ
cos
11111
"
/'"
/'
"'
−
−−
+
−+
−+−=
(7.62)
( )tsenX
eUi o
q
t
mq ωα
"
−−= (7.63)
O andamento no tempo das correntes id e iq encontra-se representado nas figuras
7.9 e 7.10. Para se facilitar a análise dos termos das equações 7.62 e 7.63 estas figuras
estão traçadas com escalas de tempo diferentes. Note-se que os transitórios segundo q
são extintos mais rapidamente do que segundo d. Por outro lado, o valor final de id é um
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
262
valor negativo não nulo enquanto que segundo iq este valor é nulo. A influência das
constantes de tempo τ’d e τ”d só se exerce sobre as correntes segundo o eixo d.
0 5 10 15-10
-8
-6
-4
-2
0
2
tempo [s]
id [p
u]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
0 1 2 3 4 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
tempo [s]iq
[pu]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
Figura 7.9. Corrente segundo d. Figura 7.10. Corrente em quadratura
As correntes nas fases serão obtidas aplicando a transformação de Park com um
ângulo de transformação θ =ωot + θ0. O angulo θ0 representa a posição do rotor
relativamente ao eixo da fase a no instante do curto-circuito.
( )
( )oot
qd
ot
qd
ot
dd
t
ddda
teXX
U
eXX
U
teXX
eXXX
Ui dd
θω
θ
θω
α
α
ττ
+
−+
++
+
−+
−+−=
−
−
−−
2cos11
2
2
)cos(11
2
2
cos11111
2
""
""
0/
'"/
'
"'
(7.64)
Os valores de ib e ic podem ser obtidos substituindo θ0 por (θ0-2π/3) e (θ0-4π/3)
respectivamente.
As próximas figuras mostram o andamento das correntes de fase. Na figura 7.11
estão representadas as correntes nas 3 fases nos 3 primeiros segundos onde θ0 =π/2.
Note-se que só existem componentes contínuas nas fases b e c. Isto resultou do instante
inicial escolhido.
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
263
A figura 7.12 mostra o andamento da corrente ia durante um período de tempo
alargado. Note-se que mesmo no instante t=9s o transitório ainda não está
completamente extinto.
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
t e m p o [ s ]
ia [
pu
]
C u r t o - c i r c u i t o d a M á q u i n a S ín c r o n a
0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3- 8
- 6
- 4
- 2
0
2
4
te m p o [p u ]
ib [
pu
]
C u r to - c i r c u i t o d a M á q u i n a S ín c r o n a
0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3- 4
- 2
0
2
4
6
8
te m p o [ p u ]
ic [
pu
]
C u r t o - c i r c u i t o d a M á q u i n a S ín c r o n a
Figura 7.11. Correntes nas 3 fases nos 3 primeiros segundos.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
264
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
t e m p o [ s ]
ia [
pu
]
C u r t o - c i r c u i t o d a M á q u i n a S ín c r o n a
3 3 . 5 4 4 . 5 5 5 . 5 6- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
t e m p o [ s ]
ia [
pu
]
C u r t o - c i r c u i t o d a M á q u i n a S ín c r o n a
6 6 .5 7 7 .5 8 8 .5 9- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
te m p o [ s ]
ia [
pu
]
C u r t o - c i r c u i t o d a M á q u i n a S ín c r o n a
Figura 7.12. Correntes na fase a nos 9 primeiros segundos.
No transitório da figura 7.12 não existe componente contínua. Esta componente
depende do instante em que se faz o curto-circuito. Neste exemplo foi escolhido um
instante a que corresponde um valor nulo de componente contínua na fase a. Note-se
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
265
que esta componente existe sempre em pelo menos duas fases pois existem 3 fases e
apenas é possível que ela se anule numa das 3 fases.
Nos primeiros instantes, correspondendo a um ciclo ou dois da rede, existe um
transitório que se anula rapidamente. Depois existe um transitório que se anula num
intervalo de tempo muito mais longo. Aos primeiros instantes dá-se o nome de regime
subtransitório e a seguir a designação de regime transitório. Finalmente atinge-se o
regime permanente (não mostrado na figura).
Cálculo dos fluxos
Os fluxos são decompostos em:
ddd ψψψ ⊗+= 0 (7.65a)
qqq ψψψ Ä0 += (7.65b)
Tendo em conta as expressões que )(sId e )(sIq calculadas atrás 7.60 e 7.61,
tem-se:
( )( ) s
U
ssI
X msd
sdd 2
02
0
0 2Ä
ωα
ωω
ψ++
−== (7.66)
( )( ) s
U
ss
sI
X msq
sqq 2
02
0
0 2Ä
ωα
ωω
ψ++
−== (7.67)
Aplicando a transformação de Laplace inversa, obtém-se:
−−=
−te
Uo
t
md a ω
ωψ τ cos1Ä
0(7.68)
tseneU
o
t
o
mq a ω
ωψ τ
−−=Ä (7.69)
Tendo em conta os valores iniciais, tem-se:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
266
( )teU
o
t
o
md a ω
ωψ τ cos
−= (7.70)
( )tseneU
o
t
o
mq a ω
ωψ τ
−−= (7.71)
Estes dois fluxos combinam-se e formam um campo girante que roda no sentido
negativo à velocidade oω e portanto é estacionário relativamente ao estator. A sua
amplitude diminui com a constante do induzido aτ (eq. 7.48) que depende da
resistência do induzido, fig 7.15.
A representação do andamento temporal dos fluxos segundo d e segundo q
encontra-se representada nas figuras 7.13 e 7.14.
0 1 2 3 4 5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo [s]
Yd
[pu]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
Figura 7.13. Fluxo segundo d.
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
267
0 1 2 3 4 5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo [s]
Yq
[pu]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
Figura 7.14. Fluxo segundo q.
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Yd [pu]
Yq
[pu]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
Figura 7.15. Vector Fluxo dq.
A figura 7.15 representa a trajectória no espaço de fases dos fluxos d e q. Esta
figura é uma forma diferente de representar as figuras anteriores.
Cálculo do Binário
O binário é obtido substituindo as expressões de dψ , qψ , di e qi na expressão
do binário 7.2 e rearranjando termos:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
268
tXX
eU
teXX
eXXX
eUM
odq
t
t
dd
t
ddd
t
em
a
dda
ω
ω
τ
τττ
2sen11
2
sen11111
""
22
0'"'2 "'
−+
−+
−+=
−
−−−
(7.72)
U é o valor eficaz da tensão em vazio.
O termo da frequência dupla é relativamente pequeno. Assim, a componente
principal do binário oscila à frequência fundamental e tem o valor inicial de U2/xd”.
Na prática existe ainda uma componente do binário unidireccional devido às
perdas nas resistências do estator, mas este termo não aparece na expressão devido às
simplificações que se fizeram. A figura 7.15 apresenta o andamento do binário durante
o curto-circuito.
0 1 2 3 4 5 6-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
tempo [s]
Me
m [p
u]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
Figura 7.16a: Andamento do binário.
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
269
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
tempo [s]
Me
m [p
u]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
Figura 7.16b: Andamento do binário.
Corrente de excitação
A corrente de excitação pode ser calculada adicionando a corrente de excitação
antes do defeito com as variações que ocorrem depois do defeito. Esta componente de
variação pode ser obtida resolvendo as equações já utilizadas para o cálculo das
correntes do estator.
A relação entre a corrente if e a corrente id pode ser obtida eliminando a corrente iD
das equações 7.8 com uf=0. Obtém-se:
( )( )( ) )("')(
11
1sd
dodof
kdmdsf I
ssr
ssLI
ττ
τ
++
+−=⊗ (7.73)
A corrente Id(s) é substituída por 7.49.
( )( )( )( ) s
U
rX
X
ss
s
ssr
sI m
fd
md
ddf
kdsf 2
02
0"')(
211
1
ωα
ω
ττ
τ
++++
+−=⊗ (7.74)
como se tem normalmente τd’ >> τd”, τkd, pode fazer-se a aproximação,
( )( )( )
+
−−
+=
++
+−"
"
"'
'
'"' 11
1
1
11
1
d
d
d
kd
d
d
dddf
kd
ssssr
s
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τττ
τ(7.75)
Utilizando a técnica das transformadas de Laplace, obtém-se:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
270
−
−−−= −−− teee
Xr
XUi o
t
d
kdt
d
kdt
dfdo
mdmf add ω
τ
τ
τ
τ
τωτττ cos1 /
"/
"/
'
"'⊗ (7.76)
Como
−=
−==−'
'
'
''2
''d
ddfo
d
ddofo
dfo
md
d
fo
dfdo
mdm
X
XXii
Xr
Xi
Xr
XU
τ
ττωττω
(7.77)
A corrente total será a soma de ifo com ∆if
−
−−
−+= −−− tcoseeeX
XXiii o
/t"d
kd/t"d
kd/t'd
'dd
fofof a"d
'd ω
τ
τ
τ
τ τττ 1 (7.78)
A figura 7.17 mostra o andamento da corrente de excitação.
0 5 10 151
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
tempo [s]
if [p
u]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
tempo [s]
if [p
u]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
Figura 7.17. Corrente de excitação da máquina síncrona.
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
271
As figuras mostradas atrás foram obtidas com o programa de simulação que se
encontra descrito em anexo. Utilizaram-se os parâmetros da máquina descrita no
exemplo 1. Além destes resultados obtiveram-se os resultados que se apresentam a
seguir.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2
-1
0
1
2
3
4
5
Tempo [s]
iD [p
u]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo [s]
iQ [p
u]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
Figura 7.18. Correntes nos enrolamentos amortecedores.
0 1 2 3 4 50.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo [s]
YD
[pu]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
0 1 2 3 4 5
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
tempo [s]
YQ
[pu]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
Figura 7.19. Fluxos nos enrolamentos amortecedores.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
272
0 1 2 3 4 50.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
tempo [s]
Yf [
pu]
Curto-circuito da Máquina Síncrona
Figura 7.20. Fluxo no enrolamento de excitação.
Interpretação de resultados
Na análise que se apresentou, a velocidade da máquina, e por conseguinte a
velocidade do referencial dq, são constantes e iguais à velocidade de sincronismo. As
componentes DC no referencial dq são transformadas para o referencial do estator
(correntes ia, ib e ic) com a frequência ωo e figuram nos termos em cos(ωot) nas
equações 7.64. Das componentes das correntes do induzido, apenas a componente id
tem estas componentes contínuas. Estas também se verificam na corrente de excitação.
Verificamos que os termos contínuos de id são iguais aos termos de frequência ωo em ia
o que é fácil de compreender pois a transformação de Park representa uma mudança de
referencial de velocidade ωo.
Componentes de frequência fundamental, contínuas em dq
São os termos da primeira linha da equação 7.64. As amplitudes destes termos são
determinadas por duas constantes de tempo 'dτ e ''
dτ que fazem dois decrescimentos a
velocidades muito diferentes. A figura 7.21 representa o andamento da amplitude da
componente alternada de frequência fundamental durante o transitório.
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
273
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Componentes fundamentais
Fig. 7.21. Componente de frequência fundamental durante o curto-circuito.
No instante inicial, fazendo t=0, tem-se:
( )
( )0"
0'"'
cos2
cos11111
2
θω
θω
+−=
+
−+
−+−=
tX
Ui
tXXXXX
Ui
od
a
oddddd
a
(7.79)
O que sugere que a corrente é limitada pela reactância ''dX . Este é o regime
subtransitório. Numa primeira fase, a amplitude desta corrente vai decair com a
constante de tempo ''dτ . Este regime é caracterizado por existência de componentes
contínuas nos enrolamentos amortecedores.
Quando se eliminar o termo regido pela constante de tempo subtransitória, restam
os outros dois termos que são regidos pela constante de tempo transitória. Como esta
constante de tempo é muito mais elevada do que a anterior, pode considerar-se, numa
primeira aproximação que ainda não existiu nenhum decaimento devido à constante de
tempo 'dτ .
( )0/
'cos
1112
'θωτ +
−+−= − te
XXXUi o
t
ddda
d (7.80)
No instante inicial, tem-se:
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
274
( )0'cos
2 θω +−= tX
Ui o
da (7.81)
Analogamente à situação anterior, nesta situação sugere-se a reactância transitória
'dX para o limite da componente alternada da corrente. Neste regime as componentes
contínuas dos enrolamentos amortecedores já se extinguiram.
Quando ambos os transitórios regidos pelas duas constantes de tempo terminarem,
resta o termo constante que vale:
( )0cos2 θω +−= t
X
Ui o
d
a (7.82)
Também agora se sugere a reactância síncrona Xd. Neste regime, as correntes dos
enrolamentos amortecedores já se extinguiram há muito tempo e também já não há
variações da corrente do enrolamento de excitação.
Do ponto de vista da componente alternada, tudo se passa como se existissem três
regimes, caracterizados por três valores da reactância que os determina: O regime
subtransitório, o regime transitório e o regime permanente. O regime subtransitório é
regido pela constante de tempo ''dτ , e existe durante um ou dois ciclos. É também
caracterizado por valores elevados de corrente. O regime transitório é caracterizado por
uma outra constante de tempo muito mais elevada e por uma reactância também mais
elevada.
Estes dois regimes também se verificam na corrente de excitação, com regimes
transitórios equivalentes, e um binário oscilatório com uma frequência fundamental.
Componentes de frequência zero ou dupla da fundamental, frequência
fundamental em dq
As componentes em ωo de dq são:
( )tX
eUi o
d
t
md ωα
cos"
−= (7.83a)
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
275
( )tX
eUi o
q
t
mq ωα
sen"
−−= (7.83a)
Estas duas componentes desenham uma elipse no plano dq. Podem ser
decompostas da forma:
( ) ( )teXX
Ute
XX
Ui o
t
qd
mo
t
qd
md ωω αα cos
11
2cos
11
2 """"−−
−+
+= (7.84a)
( ) ( )tseneXX
Utsene
XX
Ui o
t
qd
mo
t
qd
mq ωω αα −−
−+
+−=
""""11
2
11
2 (7.84b)
Os dois primeiros termos oscilatórios de id e iq quando representados no plano dq
rodam no sentido negativo e desenham uma circunferência. Quando transformados para
o referencial do estator têm a forma de componentes contínuas como se pode ver na
equação 7.64. Por outro lado, os dois últimos termos das equações 7.84 rodam no
sentido positivo desenhando também uma circunferência. Quando transformados para o
referencial do estator rodam à velocidade de 2ωo como se pode ver na equação 7.64.
As correspondentes componentes da corrente no induzido são:
( )oot
qd
ot
qda
teXX
U
eXX
Ui
θω
θ
α
α
+
−+
+=
−
−
2cos11
2
2
)cos(11
2
2
""
""
(7.85)
Estas componentes decaem exponencialmente com a constante de tempo igual a
τa=1/α. Estes termos têm a consequência nos fluxos, equações 7.70 e 7.71. Traduzem-se
por um binário oscilatório de frequência dupla.
Na corrente de excitação também se verifica um termo de oscilação de frequência
fundamental que também é determinado pela mesma constante de tempo.
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
276
Exemplo 7.2
Considere a situação de curto-circuito trifásico simétrico a
partir do vazio. Determine as várias componentes de Id e Iq bem como
da corrente nas fases para a máquina do exemplo 1
Resolução
Das equações 7.51 e 7.52 tira-se:
Componente contínua de id: 176511
.=
dX
Componente transitória: 3951211
.'
=−dd
XX
Componente Subtransitória: 4285111
.'"
=−dd XX
Componente oscilatória segundo d: 51 ="dX
Componente oscilatória segundo q: 999441
."
=qX
Componente contínua nas fases b e c: 067233
211
2
1.
""=
+ π
senXX qd
Componente de frequência dupla = 4
""103
11
2
1 −×=
−
qd XX
As figuras 7.21 e 7.22 apresentam o andamento no tempo das
componentes mais interessantes.
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
277
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.5
1
1.5
2
2.5
Figura 7.22: Componentes transitória e subtransitória de Id
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
0
5
Id
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
0
5
Iq
Tempo [s]
Figura 7.23: Componentes oscilatórias de Id e Iq
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
278
7.4 Transitório de aplicação de carga à Máquina síncrona
Um transitório também muito interessante de analisar consiste em aplicar um
escalão de binário de carga à máquina estando ela a funcionar como motor a partir do
vazio.
As figuras seguintes apresentam os resultados obtidos com o programa de
simulação.
0 1 2 3 4 5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo [s]
ia [p
u]
Aplicação de binário de carga
Figura 7.24. Corrente no induzido
0 1 2 3 4 51.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
Tempo [s]
if [p
u]
Aplicação de binário de carga
Figura 7.25. Corrente de excitação
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
279
0 1 2 3 4 5-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Tempo [s]
id [p
u]
Aplicação de binário de carga
Figura 7.26. Corrente no induzido segundo d
0 1 2 3 4 5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Tempo [s]
iq [p
u]
Aplicação de binário de carga
Figura 7.27. Corrente no induzido segundo q
0 1 2 3 4 5-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Tempo [s]
iD [p
u]
Aplicação de binário de carga
Figura 7.28. Corrente nos amortecedores segundo d
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
280
0 1 2 3 4 5-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Tempo [s]
iQ [p
u]
Aplicação de binário de carga
Figura 7.29. Corrente nos amortecedores segundo q
0 1 2 3 4 5-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Tempo [s]
ud [p
u]
Aplicação de binário de carga
Figura 7.30. Tensão no induzido segundo d
0 1 2 3 4 50.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
Tempo [s]
uq [p
u]
Aplicação de binário de carga
Figura 7.31. Tensão no induzido segundo q
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
281
-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.10.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
ud [pu]
uq [p
u]
Aplicação de binário de carga
Figura 7.32. Tensão no induzido segundo dq
0 1 2 3 4 5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Tempo [s]
Me
m [p
u]
Aplicação de binário de carga
Figura 7.33. Binário electromecânico
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ialfa [pu]
ibe
ta [p
u]
Aplicação de binário de carga
Figura 7.34. Vector corrente do induzido
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
282
Nota-se o comportamento oscilatório amortecido típico das máquinas síncronas. A
frequência das oscilações é bastante baixa, cerca de 1 Hz. O amortecimento é devido à
acção dos enrolamentos amortecedores.
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
283
Exercícios
IConsidere uma pequena rede eléctrica constituída por uma máquina síncrona, um
transformador, uma linha e uma carga eléctrica de 120MW, 60Mvar.
Características da máquina síncrona.
Sn=300MVA UN=20kV p=32 f=50Hz
J=35.1x106 Kgm2
Os parâmetros em valores por unidade são:
Ra=.0019 Rf=.00041 RD=.0141 RQ=.0136
As matrizes dos coeficientes de indução em valores por unidade são:
085 0 73 0 73
0 73 0 9349 0 73
0 73 0 73 0 89
. . .
. . .
. . .
d
f
D
0 48 0 36
0 36 0 629
. .
. .
q
Q
Características do transformador.
Sn=150MVA , 50Hz , 20/230kV , Ucc=10% ligações YY
Características da linha
Reactância de 60Ω/fase
a) Determine os parâmetros dos esquemas equivalentes que representam a
máquina síncrona segundo os eixos d e q.
b) Calcule as constantes de tempo e as reactâncias características da máquina
síncrona.
c) Pretende-se manter a tensão na carga no seu valor nominal (Un=230kV).
c.1 Determine qual a tensão que o gerador deverá impor aos terminais do
primário do transformador.
c.2 Determine a força electromotriz em vazio e a corrente de excitação em
valores por unidade.
d) Verificou-se um defeito na carga. A corrente na fase 1 é nula e existe uma
impedância entre as fases 2 e 3 igual à impedância da linha. Calcule as
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
284
correntes e tensões no transformador. Faça as hipóteses que considerar
necessárias e justifique-as.
e) Este transformador tem uma ligação YY. Ambos os neutros estão ligados à
terra. Quais os inconvenientes e vantagens que resultam do uso desta ligação.
Compare-a com outras ligações.
II
Uma máquina síncrona de relutância (sem excitação) bipolar de 380V, f=50 Hz, 3
kW, 3 fases, tem os seguintes parâmetros:
rs=1Ω Lmd=0.1 H lls=0.005 H Lmq=0.02 H
a) A máquina encontra-se alimentada com uma fonte de tensão de frequência
50Hz, e valor eficaz 380V. O binário de carga é igual ao binário nominal. Calcule o
ângulo de potência e as correntes do estator. Faça um diagrama vectorial para esta
situação.
b) Repita a alínea a) com a máquina ligada a uma fonte de 190V e 25 Hz.
Considere agora que o binário de carga é igual a metade do binário nominal.
Que poderá dizer acerca do comportamento dinâmico desta máquina? Será que
neste caso se poderá observar os regimes subtransitório, transitório e permanente?
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
Gil Marques 02-04-02
285
Anexo A: Programa de simulação “SindqfDQ”
Este anexo descreve o programa de simulação usado para a obtenção dos
resultados que se mostraram ao longo do capítulo.
1. Modelo de Simulink
Sín-comp
id
DQabc1
wm
if
Mem
ia
uf
Mc
abcDQtri-fonte
Ud
Fig. A1. Modelo da máquina síncrona
K-
1/2H
K-
wb2
1/s
Yd
K-
wb1
--+
Sum12
uq
1/sYq
*
P2
-K-
rs_
*
P1
-K-
rs +-
Sum3
-+
Sum2
K-
wb
1/s
Yf 2
idLinv-d
6
if
rf
rf3
uf
1
ud
1
Mem
4
Mc
Momento 1/s
wm
1/s
Int1
4
tetaLinv-q
3
iq
-K
wb3
+-+
Sum
5
wm_
20-11-96
Máquina Síncrona com Enrolamentos Amortecedores
Os parametros estão em Krausep
Fig. A2. Bloco Sim_comp
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
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1/sYD
Demux
Demux
K
Ldinv
Mux
Mux
-K-
-wb rD
2
Yd
1
Yf
2
id
1
if
Fig. A3. Bloco Linv-d
Mux
Mux
-K
-wb rq1
1/s
Yq1
K
Lqinv
Demux
Demux
1
iq
1
Yq
Fig. A4. Bloco Linv-q
1
Mem
1
p
1
Id 4
Yq
3
Yd
2
Iq
-+
Sum*
Product1
*
Product
Fig. A5. Bloco Momento
4
ângulo
K-
1/sqrt(2)
+-
Sum2
+-
Sum1
3
c
1
a
-K-
1/2
2
b
2
q
1
d
++
Sum Mux
Mux
f(u)
Fcn
f(u)
Fcn1
K-
sqrt(2/3)
Fig. A6. Transformação abc-dq
Cap. 7. Regimes Transitórios das Máquinas Síncronas
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Anexo B: Tabela de transformadas de Laplaceutilizadas
Função Tranformada de Laplace
Escalão unitário u(t)s
1
)(!
)exp(tu
n
tt n α−
( )ns α+
1
)()cos( tutoω22os
s
ω+
)()( tutsen oω22o
o
s ω
ω
+
)()cos()exp( tutt oωα−( ) 22
os
s
ωαα
++
+
)()()exp( tutsent oωα−( ) 22
o
o
s ωα
ω
++
)cos( 0tee tat ωα−− −( )( )22
2
2 o
o
ssas ωα
ω
+++ (a,α)<<ω0
)( 0tsene t ωα−( )( )22 2 o
o
ssas
s
ωα
ω
+++ (a,α)<<ω0
Dinâmica das Máquinas Eléctricas
Gil Marques 02-04-02
288
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