dinamica de particula, trabajo y energia - fisica 2012-1
DESCRIPTION
PROBLEMAS DE DINAMICATRANSCRIPT
DINAMICA DE UNA PARTICULA
M.Sc. Norbil Tejada Campos
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
FACULTAD DE INGENIERIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
ASIGNATURA: FISICA I
DINAMICA DE UNA PARTICULA
pdt
damF
0. INTRODUCCION:
1. Dinámica.- Parte de la Mecánica que estudia las relaciones existentes
entre las fuerzas que actúan sobre una partícula y su movimiento, dado por
la Segunda Ley del Movimiento o Segunda Ley de Newton; Así, tenemos:
Donde: m es la masa de la partícula, considerada constante para
velocidades pequeñas ( v << c).
2. Como en la Cinemática se ha estudiado la aceleración en diferentes sistemas de
coordenadas referenciales, la fuerza puede expresarse en coordenadas: cartesianas,
polares, cilindricas, esfericas, etc.
1.-Concepto de fuerza
Físicamente, se entiende como fuerza a la magnitud que caracteriza la
interacción de por lo menos dos cuerpos, que determina la variación del estado
de movimiento del cuerpo, el cambio de su forma, o las dos cosas a la vez.
Definición.- Fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de equilibrio
o de movimiento de los sistemas o bien de deformarlos »
La fuerza es de carácter vectorial, de modo que deberemos conocer en todo
momento su módulo, dirección y sentido.
2.-Dimensiones y unidades de fuerza
Las dimensiones de fuerza, son: [F]=MLT-2
Unidades:
SISTEMA C.G.S : 1 DINA=1 g.1 cm/s2
SISTEMA INTERNACIONAL : 1 NEWTON (N)=1 kg.1 m/s2
SISTEMA TECNICO: 1 KILOPONDIO o KILOGRAMO-FUERZA (kp)
1. CONCEPTOS GENERALES:
Fig. Fuerzas fundamentales de la naturaleza . Fig. Fuerzas de la naturaleza .
1. CONCEPTOS GENERALES:
3.- Principios o leyes de la Dinámica
PRIMERA LEY (Ley de inercia): « Todo sistema físico en estado de equilibrio o de movimiento rectilíneo y uniforme permanecerá indefinidamente en esos estados, salvo que una FUERZA lo saque de ellos» De esta definición se desprende inmediatamente que una única fuerza no puede producir equilibrio. SEGUNDA LEY (Ley dinámica): « La aceleración adquirida por un sistema es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre él ». En el caso que haya varias fuerzas aplicadas, la aceleración será proporcional a la resultante de las mismas. Matemáticamente se puede expresar así: TERCERA LEY (Ley de acción - reacción): « Toda acción (FUERZA) ejercida sobre un sistema, es respondida por este con una reacción (FUERZA) igual en módulo y dirección y de sentido opuesto »
amF
2.1. LEY DE INERCIA:
Partícula libre.- Denominada así, a la partícula que no está sujeta a interacción alguna.
Ley de inercia.- “Una partícula libre se mueve siempre con velocidad
constante, o (lo que es lo mismo) sin aceleración”
Análisis: Entonces, una partícula libre se mueve en línea recta con una velocidad constante o
se encuentra en reposo (velocidad cero), observación dada desde un sistema inercial de
referencia.
2. ANALISIS DE LAS LEYES DEL MOVIMIENTO
2.2. LEY FUNDAMENTAL DE LA DINAMICA:
amF
xx maF
yy maF
zz maF
Vectorialmente: Escalarmente, sietema cartesiano XYZ:
Su aplicación a la resolución de casos prácticos requiere lo siguiente:
1.- Elegir un sistema de referencia apropiado.
2.- Representar gráficamente todas las FUERZAS REALES que intervienen en el
problema (Peso, tensiones de hilos, reacciones de planos de apoyo, fuerzas de
rozamiento, etc.)
3.- Descomponer las fuerzas anteriores de acuerdo con la referencia elegida. Deducir
de ello el posible sentido de movimiento del sistema.
4.- Aplicar la ecuación vectorial, o las correspondientes ecuaciones escalares a cada
eje. En aquellos ejes en que exista equilibrio:
0F
2. ANALISIS DE LAS LEYES DEL MOVIMIENTO
2.2. LEY FUNDAMENTAL DE LA DINAMICA: amF
tt maF nn maF
22
RR
van
Si la trayectoria descrita por el móvil es circular, el sistema de referencia deberá establecerse como sigue: 1.- Uno de los ejes deberá estar dirigido RADIALMENTE, es decir, unirá el punto material móvil con el centro de curvatura de la trayectoria. 2.- El otro eje, perpendicular al primero, será en general, tangente a la trayectoria. Observar que el sistema de referencia elegido coincide en sus ejes con dos de los del TRIEDRO INTRÍNSECO. La ecuación general se escribe ahora: que son las dos ecuaciones escalares que se obtienen con el sistema de referencia elegido: Donde:
2. ANALISIS DE LAS LEYES DEL MOVIMIENTO
2. ANALISIS DE LAS LEYES DEL MOVIMIENTO
2.3. LEY DE ACCION Y REACCION:
a. Observar que los puntos de aplicación de la ACCIÓN y REACCIÓN están situados sobre cada uno de los cuerpos en contacto.
b. En sólidos apoyados sobre superficies, la acción ejercida por los mismos, es siempre NORMAL (perpendicular) a dicha superficie.
c. En sólidos suspendidos de hilos, cuerdas etc, la ACCIÓN tensa la cuerda, y su punto de aplicación está sobre ella. Esto indica que la REACCIÓN tendrá su punto de aplicación en el sólido suspendido, y será de sentido opuesto a la ACCIÓN.
Las imperfecciones de las superficies en contacto, por ejemplo en los casos de
sólidos apoyados, hacen aparecer fuerzas que en todo momento se oponen al
movimiento. Estas fuerzas se les denomina de fricción o rozamiento. Según el
sistema esté en reposo o movimiento, cabe hablar de dos tipos de rozamiento: a)
Estático y b) Dinámico. En ambos casos, la fuerza de rozamiento es
directamente proporcional a la fuerza normal ejercida por el sistema sobre la
superficie de apoyo. Se puede escribir: (Módulo), y de sentido opuesto
al movimiento.
NFr
3. FUERZAS DE FRICCION O ROZAMIENTO
μ : es un número adimensional llamado coeficiente de rozamiento, y dependiendo si el rozamiento es estático o dinámico, tendremos dos tipos de coeficiente: a) Coeficiente de rozamiento estático: μs y b) Coeficiente de rozamiento dinámico : μd . Es fácil demostrar que : μs > μd
3. FUERZAS DE FRICCION O ROZAMIENTO
Nf ss
Nf dd
La fuerza de rozamiento estático , aparece al intentar poner en movimiento un
cuerpo en reposo. Por ejemplo, al empujar un mueble pesado sobre el piso, este no se
moverá debido al rozamiento estático con la superficie del piso. La fuerza de rozamiento
cinético , es la fuerza de rozamiento ejercida por una superficie sobre un objeto que
se encuentra en movimiento sobre dicha superficie.
4. APLICACIONES DE LAS LEYES DEL MOVIMIENTO
Ejemplo 01.- (p. 12.3; pag. 529; Dinamica, I. Shames). Un cuerpo puede deslizar
hacia abajo por un plano inclinado. El coeficiente de rozamiento es de 0,05. Si la
velocidad del bloque al llegar al punto más bajo es de 9 m/s. ¿A qué altura se soltó y
durante cuánto tiempo viajó?.
30º
μ = 0,05
30/07/2012 13
DEFINICION: Cuando una fuerza actúa
sobre una partícula, realiza un trabajo
cuando ésta desplaza a dicha partícula
en la dirección de la fuerza. Así, la
fuerza desplaza a la partícula P
según .
El trabajo es una magnitud física
escalar, y se define como:
F
rd
rdFW
dsFW cos
Según la definición de producto
escalar, tenemos:
TRABAJO y ENERGIA
1. TRABAJO DE UNA FUERZA
30/07/2012 14
dsFrdFW cos
Análisis:
1. W (+); si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido (0º ≤ θ ≤ 90º).
2. W (-); si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos (90º ≤ θ ≤ 180º).
3. W (nulo); si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares ( θ = 90º).
Unidades:
1. (W) = 1 N.m = 1 J (julio)
2. (W) = 1 din. cm = 1 erg (ergio)
3. (W) = 1 kgf.m
4. (W) = 1 lb.pie
5. etc.
DEFINICION:
1. TRABAJO DE UNA FUERZA
30/07/2012 15
cosFxxFW
Análisis:
1. W (+); si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido (0º ≤ θ ≤ 90º).
2. W (-); si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos (90º ≤ θ ≤ 180º).
3. W (nulo); si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares ( θ = 90º).
DEFINICION: Si el desplazamiento es horizontal; tenemos:
m m
(A) (B)
θ
x
FN
P
f
x
1. TRABAJO DE UNA FUERZA
30/07/2012 16
Conociendo Fc y θ constantes, el
trabajo que realiza Fc cuando la
partícula se desplaza de S1 a S2, se
determina por medio de la ecuación:
12coscos
2
1
SSFdsFW
S
S
Este trabajo se representa mediante una área de un rectángulo, como se observa
en la figura:
Fccosθ
S1 S2 S
F
0
W = AREA
2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL
30/07/2012 17
Ejemplo.- Con una fuerza de 150 N que forma un ángulo de 37º con la
horizontal se tira una caja de 50 kg, en una superficie áspera horizontal. La caja
se mueve una distancia de 5m con rapidez constante. Calcular: a) el trabajo
realizado por cada fuerza, b) el coeficiente de roce.
2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL
30/07/2012 18
La partícula al desplazarse de S1 a S2,
en una posición intermedia se tiene:
kdzjdyidxrd
kmgkPP
El trabajo que realiza la fuerza peso,
es:
2
1
r
r
rdPW
2
1
)()(
r
r
kdzjdyidxkPW
)( 12
2
1
zzPPdzW
z
z
ZmgZPW
3. TRABAJO DE UNA FUERZA GRAVITACIONAL (PESO)
30/07/2012 19
Consideremos un resorte de constante de restitución
“k”, acostado sobre una superficie horizontal sin roce y
con un extremo empotrado en una pared. Supongamos
además que el sistema inicialmente se encuentra en
reposo, con el resorte teniendo su largo natural.
Evaluemos el trabajo que debemos realizar para alargar
(lentamente) el resorte en una magnitud x0. La fuerza
que debemos aplicar para lograr nuestro objetivo ahora
no es constante, sino que aumenta a medida que el
resorte se estira: ikxxF
)(
El trabajo que debemos realizar para alargar el resorte,
desde x = 0 hasta x = x0 ; viene dado por:
2
0
00
02
1)(
00
0kxkxdxidxxFW
xxx
x
x
k
4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE
30/07/2012 20
2. Si la masa (m) experimenta un
desplazamiento arbitrario des x = xi hasta
x = xf, el trabajo realizado por el resorte
está dado por:
22
2
1
2
1)(
fi
fx
ix
resorte xkxkdxxkW
F
xi xf
k
m
1. Si la masa (m) experimenta un
desplazamiento arbitrario des x = xi hasta
x = xf, el trabajo realizado por un agente
externo (que realiza la fuerza F); está
dado por:
22
2
1
2
1)(
if
fx
ix
xkxkdxxkW
4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE
ENERGIA CINETICA : K = ½ mv2
ENERGIA POTENCIAL : EP = EP (x,y,z)
ENERGIA MECANICA TOTAL : E = K + EP
5. ENERGIA MECANICA
x
y
z
0
m
r
Una fuerza que realiza trabajo responde
a la Segunda Ley de Newton; asi
tenemos:
rd
vdvm
dt
vdmamF
.
vdvmrdF
..
Integrando, según las condiciones
iniciales; tenemos:
2
1
2
1
..
v
v
r
r
vdvmrdF
12
2
1
2
22
1KKvvmW
Donde: eticaEnergiaCinmvK 2
2
1
6. TRABAJO y ENERGIA CINETICA
TEOREMA: TRABAJO – ENERGIA CINETICA
“El trabajo neto efectuado por las fuerzas que actúan sobre
una partícula, es igual al cambio de la energía cinética de la
partícula”:
KKKmvmvW ififn 22
2
1
2
1
Observaciones:
1. W y K son cantidades escalares, de iguales unidades.
2. W (+ o -) y K (+)
3. W y K dependen del marco de referencia elegido; pero Wn = ΔK
6. TRABAJO y ENERGIA CINETICA
30/07/2012 24
1. Fuerzas conservativas, suponer que una partícula se mueve, por la acción
de una fuerza, desde una posición inicial P hasta otra posición final Q, por
trayectorias arbitrarias 1 y 2. Si la fuerza es conservativa, entonces el trabajo
para mover la partícula desde P a Q sólo depende de las coordenadas inicial
y final de la partícula, esto es:
WPQ (por trayectoria 1) = WPQ (por trayectoria 2)
2. Fuerzas no conservativas (o fuerzas disipativas), son aquellas para las
cuales el trabajo realizado por las fuerzas para mover una partícula entre dos
puntos, depende de la trayectoria que se realice para unir los puntos. Para las
fuerzas no conservativas se tiene que, WPQ(por trayectoria 1) ≠ WPQ(por
trayectoria 2).
Las fuerzas de roce, que siempre se oponen al desplazamiento, son no
conservativas o disipativas, el trabajo de estas fuerzas es negativo y le hacen
perder energía al sistema.
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS y ENERGIA POTENCIAL
30/07/2012 25
Si el trabajo efectuado por una fuerza para mover un cuerpo desde una
posición inicial a una final, es independiente de la trayectoria seguida
entre los dos puntos; entonces la fuerza es conservativa.
oWW PQPQ 2,1,ordFrdF
P
Q
Q
P
Ejemplos:
A.
B.
ó
2,1, PQPQ WW
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS y ENERGIA POTENCIAL
30/07/2012 26
El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria y
de la rapidez con la que se mueve la partícula. En este caso el trabajo es sólo
función de las coordenadas, por lo que se puede asociar con una variación de
energía función de la posición, similar al caso de la energía cinética que es función
de la velocidad.
“El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al valor
negativo del cambio de energía potencial asociada con la fuerza”:
fpipp
r
r
FC EEErdFW
f
i
TEOREMA: TRABAJO – ENERGIA POTENCIAL
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS y ENERGIA POTENCIAL
30/07/2012 27
1º Ejemplo de Fuerzas conservativas: Fuerza de un resorte elastico
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS y ENERGIA POTENCIAL
30/07/2012 28
2º Ejemplo de Fuerzas conservativas: Fuerza de la gravedad
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS y ENERGIA POTENCIAL
30/07/2012 29
p
r
r
c ErdFW
f
i
KrdFW
f
i
r
r
c
1. Movimiento en un Campo de Fuerzas Conservativas:
pEK
^
De donde, tenemos que:
Principio de conservación de la Energía Mecánica: “La
suma de la energía cinética y la energía potencial de una
partícula, permanece constante todo el tiempo que dure
el movimiento”.
8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
30/07/2012 30
KrdFE
f
i
r
r
cp
KrdFrdFrdFFW
f
i
f
i
f
i
r
r
nc
r
r
c
r
r
ncc
)()(
2. Movimiento en un Campo de Fuerzas no Conservativas:
El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la
energía cinética mas la variación de la energía potencial”.
pnc EKW
8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
30/07/2012 31
PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIA:
“Cuando todas las fuerzas que actúan sobre una
partícula son conservativas, la energía Mecánica total en
cualquier posición es igual a una constante, igual a
sumar: E = K + Ep”
LEY DE CONSERVACION DE LA ENERGIA:
“La energía de un sistema aislante puede ser
transformada de una clase a otra; sin embargo, la
energía total en sus varias formas no se puede ser
creada ni destruida”
8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
30/07/2012 32
DEFINICION: Potencia se define como la rapidez con la que se realiza
trabajo. Asi tenemos:
i
ii
i
vFdt
rdF
P
dt
dWP
vFdt
rdFP
Como dW para cualquier fuerza Fi es: , de modo que la Potencia
que desarrolla un sistema de n fuerzas en el tiempo “t”, es: ii rdFdW
Unidades:
1. (P) = 1 J/s = 1 w (watts)
2. (P) = 1 lib.pie/s
3. (P) = 1HP (horse power o caballo de potencia)
Equivalencias:
1 w = 1 J/s = 1 N.m/s
1 HP = 550 lb.pie/s = 746 w
9. CONSIDERACIONES SOBRE POTENCIA MECANICA
30/07/2012 33
MAQUINAS:
)(..
)(..)(
e
s
pentradapotencia
psalidapotenciaeficiencia
Para algunas máquinas se hace necesario conocer la
potencia en base a la cual se puede realizar un trabajo en un
determinado tiempo (ε); donde las fuerzas de rozamiento
disminuyen la potencia de salida haciendo que la eficiencia
de una máquina sea menor que la unidad (ε<1).
Nota.- Se puede definir una nueva unidad de energía en términos de la unidad de potencia, llamada kilowatt-hora. Un kilowatt-hora (kWh) es la energía utilizada durante una hora con una potencia constante de 1 kW. El valor de un kWh es: 1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3.6 x 106 J.
9. CONSIDERACIONES SOBRE POTENCIA MECANICA