dinamica estructural
TRANSCRIPT
PROBLEMA 1
SOLUCIÓN POR SUPERPOSICIÓN MODAL
La estructura ha sido solicitada por una carga sismica describir el movimiento para los tres primerossegundos. El sismo ocurrio cuando el piso 3 estaba con su maxima carga y el tanque de agua llenousando el método numérico. La estructura parte del reposo. determinar:Maximos esfuerzos en las columnasHallar la respuesta 1 y 2 segundos despuesAnalizar el intervalo de 1 a 3 seg.
En el modo de vibracion 1 1 0.03
En el modo de vibracion 3 3 0.05
FUNCIONES DE ACELERACION
a1 1.4014t t
a2 3.27 t 3.27 t
a3 3.4335 t 3.4335 t
a4 0.3815t 1.1445 t
7850SECCIONES:
Piso base altura seccion masaE 2.1 10
101 40 40 A1 0.16 ma A1 4
2 35 35 A2 0.1225 mb A2 4 g 9.81
3 30 30 A3 0.09 mc A3 4 q 611.62
4 25 25 A4 0.0625 md A4 2.5
viga 30 40 Av 0.12 mv Av 6 tanque 10000
MASA CONCENTRADA
m0 1 se asume m0=1 solo a fin de realizar operaciones en el paquete
m1ma mb mv( )
g m1 1.48 10
3
m2mb mc mv q 6( )
g
m2 1.63 103
m3
mcmd
2 mv
g m3 926.736
m4
tanquemd
2
g m4 1.082 10
3
M
m0
0
0
0
0
0
m1
0
0
0
0
0
m2
0
0
0
0
0
m3
0
0
0
0
0
m4
M
1
0
0
0
0
0
1.48 103
0
0
0
0
0
1.63 103
0
0
0
0
0
926.736
0
0
0
0
0
1.082 103
RIGIDEZ.
k0 10100 se asume k0= 10^100 solo a fin de realizar operaciones en el paquete
I10.4
4
12 L1 4 k1
2 12 E I1
L13
k1 1.68 10
7
I20.35
4
12 L2 4 k2
2 12 E I2
L23
k2 9.848 10
6
I30.3
4
12 L3 4 k3
2 12 E I3
L33
k3 5.316 106
I40.25
4
12 L4 2.5 k4
3 E I4
L43
k4 1.313 10
6
K
k0 k1
k1
0
0
0
k1
k1 k2
k2
0
0
0
k2
k2 k3
k3
0
0
0
k3
k3 k4
k4
0
0
0
k4
k4
K
1 10100
1.68 107
0
0
0
1.68 107
2.665 107
9.848 106
0
0
0
9.848 106
1.516 107
5.316 106
0
0
0
5.316 106
6.628 106
1.313 106
0
0
0
1.313 106
1.313 106
AMORTIGUAMIENTO.
A M1K
eigenvals A( )
0 1
0 1 1050
1 2
1 147.105t1cr
12 3.14( )
t1cr 23.424 q0 eigenvec A 1
1 10100
2.164 104
1.033 104
2.985 103
715.148
2 3
2 101.621
t2cr2
2 3.14( ) t2cr 16.1823
4 3 54.631 q1 eigenvec A
2
4 5
4 26.742 t3cr3
2 3.14( ) t3cr 8.699
q2 eigenvec A 3
t4cr4
2 3.14( ) t4cr 4.258
q3 eigenvec A 4
q0
1
0
0
0
0
q1
0
0.862
0.471
0.188
0.011
q4 eigenvec A
5
q2
0
0.369
0.426
0.819
0.109
q3
0
0.255
0.575
0.642
0.439
q4
0
0.074
0.193
0.372
0.905
Eliminando el valor correspondiente a los apoyos
q1
q12
q13
q14
q15
q2
q22
q23
q24
q25
q3
q32
q33
q34
q35
q4
q42
q43
q44
q45
q1
0.862
0.471
0.188
0.011
q2
0.369
0.426
0.819
0.109
q3
0.255
0.575
0.642
0.439
q4
0.074
0.193
0.372
0.905
Sea o 1 1 1
Given
o 1 12 2 1 1
o 1 32 2 3 3
Find o 1( ) 4.925
1.803 104
c11 1
20
c22 1
212
c33 1
222
c44 1
232
c55 1
242
Co
c11
0
0
0
0
0
c22
0
0
0
0
0
c33
0
0
0
0
0
c44
0
0
0
0
0
c55
Co
1.803 1046
0
0
0
0
0
8.826
0
0
0
0
0
6.787
0
0
0
0
0
5.463
0
0
0
0
0
5.054
C
c11 c22
c22
0
0
0
c22
c22 c33
c33
0
0
0
c33
c33 c44
c44
0
0
0
c44
c44 c55
c55
0
0
0
c55
c55
C
1.803 1046
8.826
0
0
0
8.826
15.613
6.787
0
0
0
6.787
12.25
5.463
0
0
0
5.463
10.517
5.054
0
0
0
5.054
5.054
Reordenando las matrices se tendra:
MR
M2 2
M3 2
M4 2
M5 2
M1 2
M2 3
M3 3
M4 3
M5 3
M1 3
M2 4
M3 4
M4 4
M5 4
M1 4
M2 5
M3 5
M4 5
M5 5
M1 5
M2 1
M3 1
M4 1
M5 1
M1 1
MR
1.48 103
0
0
0
0
0
1.63 103
0
0
0
0
0
926.736
0
0
0
0
0
1.082 103
0
0
0
0
0
1
Maa
MR1 1
MR2 1
MR3 1
MR4 1
MR1 2
MR2 2
MR3 2
MR4 2
MR1 3
MR2 3
MR3 3
MR4 3
MR1 4
MR2 4
MR3 4
MR4 4
Maa
1.48 103
0
0
0
0
1.63 103
0
0
0
0
926.736
0
0
0
0
1.082 103
Mab
MR5 1
MR5 2
MR5 3
MR5 4
Mab
0
0
0
0
Mba MR5 1 MR
5 2 MR5 3 MR
5 4 Mba 0 0 0 0( )
Mbb m0
KG
K2 2
K3 2
K4 2
K5 2
K1 2
K2 3
K3 3
K4 3
K5 3
K1 3
K2 4
K3 4
K4 4
K5 4
K1 4
K2 5
K3 5
K4 5
K5 5
K1 5
K2 1
K3 1
K4 1
K5 1
K1 1
KG
2.665 107
9.848 106
0
0
1.68 107
9.848 106
1.516 107
5.316 106
0
0
0
5.316 106
6.628 106
1.313 106
0
0
0
1.313 106
1.313 106
0
1.68 107
0
0
0
1 10100
Kaa
KG1 1
KG2 1
KG3 1
KG4 1
KG1 2
KG2 2
KG3 2
KG4 2
KG1 3
KG2 3
KG3 3
KG4 3
KG1 4
KG2 4
KG3 4
KG4 4
Kab
KG5 1
KG5 2
KG5 3
KG5 4
Kaa
2.665 107
9.848 106
0
0
9.848 106
1.516 107
5.316 106
0
0
5.316 106
6.628 106
1.313 106
0
0
1.313 106
1.313 106
Kab
1.68 107
0
0
0
Kba KG
5 1 KG5 2 KG
5 3 KG5 4
Kba 1.68 107 0 0 0 Kbb k1
Kbb 1.68 107
CG
C2 2
C3 2
C4 2
C5 2
C1 2
C2 3
C3 3
C4 3
C5 3
C1 3
C2 4
C3 4
C4 4
C5 4
C1 4
C2 5
C3 5
C4 5
C5 5
C1 5
C2 1
C3 1
C4 1
C5 1
C1 1
CG
15.613
6.787
0
0
8.826
6.787
12.25
5.463
0
0
0
5.463
10.517
5.054
0
0
0
5.054
5.054
0
8.826
0
0
0
1.803 1046
Caa
CG1 1
CG2 1
CG3 1
CG4 1
CG1 2
CG2 2
CG3 2
CG4 2
CG1 3
CG2 3
CG3 3
CG4 3
CG1 4
CG2 4
CG3 4
CG4 4
Caa
15.613
6.787
0
0
6.787
12.25
5.463
0
0
5.463
10.517
5.054
0
0
5.054
5.054
Cab
CG5 1
CG5 2
CG5 3
CG5 4
Cab
8.826
0
0
0
Cba CG
5 1 CG5 2 CG
5 3 CG5 4
Cbb c11Cba 8.826 0 0 0( )
R Kaa1 Kab
Cbb 1.803 1046
R
1
1
1
1
PIV Mab Maa R( ) PIV
1.48 103
1.63 103
926.736
1.082 103
p2
4846.14
16124.37
3033.52
3541.41
p2t
4846.14
16124.37
3033.52
3541.41
p3t
5088.45
16930.58
3182.85
3718.48
p1t
2076.9
6910.3
1300.0
1517.7
P Mab Maa R( )a a
0 < t < 0.7 0.7 < t < 1.0 1.0 < t <1.2 1.2 < t < 3.0
P11 2076.9 t t P21 4846.14t 4846.14 t P31 5088.45t 5088.45 t P41 565.38 t 1696.15 t p4t
565.38
1881.17
353.91
413.16
p3
5088.45
16930.58
3182.85
3718.48
p4
1696.15
5643.53
1061.73
1239.49
P12 6910.3 t t P22 16124.37t 16124.37 t P32 16930.58t 16930.58 t P42 1881.17 t 5643.53 t
P13 1300 t t P23 3033.52t 3033.52 t P33 3182.85t 3182.856 t P43 353.91 t 1061.73 t
P14 1517.7 t t P24 3541.41t 3541.41 t P34 3718.48t 3718.48 t P44 413.16 t 1239.49 t
ECUACION DE MOVIMIENTO
ija
__
aa
_
PuKaav*Caaa*Maa
NORMALIZANDO
r11
q1T Maa q1
r1 0.026
r21
q2T Maa q2
r2 0.03
r31
q3T Maa q3
r3 0.029
r41
q4T Maa q4
r4 0.03
AUTOVECTORES NORMALIZADOS
1 q1 r1 2 q2 r2
1
0.022
0.012
4.856 103
2.884 104
2
0.011
0.013
0.024
3.239 103
3 q3 r3 4 q4 r4
3
7.275 103
0.016
0.018
0.013
4
2.262 103
5.878 103
0.011
0.027
11
12
13
14
21
22
23
24
31
32
33
34
41
42
43
44
0.022
0.012
4.856 103
2.884 104
0.011
0.013
0.024
3.239 103
7.275 103
0.016
0.018
0.013
2.262 103
5.878 103
0.011
0.027
PA1T T p1t PA2T T p2t PA3T T p3t PA4T T p4t
PA20 T p2 PA30 T p3 PA40 T p4Haciendo el cambio de variable:
PA TP P
0 < t < 0.7 0.7 < t < 1 1 < t < 1.2
PA1=PA1T * t PA2=PA2T * t + PA20 PA3=PA3T * t + PA30
PA1T
32.097
83.622
133.358
101.725
PA2T
74.895
195.118
311.177
237.365
PA20
74.895
195.118
311.177
237.365
PA3T
78.651
204.931
326.693
249.207
PA30
78.651
204.931
326.693
249.207
1.2 < t < 3
PA4=PA4T * t + PA40
PA4T
8.738
22.764
36.304
27.692
PA40
26.213
68.291
108.912
83.078
Definiendo como funciones:
0 < t < 0.7 0.7 < t < 1 1 < t < 1.2
PA11 ( ) 32.08 PA21 ( ) 74.856 74.856 PA31 ( ) 78.61 78.61
PA12 ( ) 83.579 PA22 ( ) 195.018 195.018 PA32 ( ) 204.826 204.826
PA13 ( ) 133.29 PA23 ( ) 311.018 311.018 PA33 ( ) 326.526 326.526
PA14 ( ) 101.673 PA24 ( ) 237.244 237.244 PA34 ( ) 249.08 249.08
1.2 < t < 3
PA41 ( ) 8.733 26.2
PA42 ( ) 22.752 68.256
PA43 ( ) 36.285 108.856
PA44 ( ) 27.678 83.035
Se tendra ademas:
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
0
0
0
0
5
2.164 104
0
0
0
0
1.033 104
0
0
0
0
2.985 103
0
0
0
0
715.148
Desacoplando el sistema se tiene (donde PAi varia segun los intervalos de tiempo):
121620 1
**
1 PAYY
210320 2
**
2 PAYY
32982 3
**
3 PAYY
4419.714 4
**
4 PAYY
Para la aplicacion de la resolucion por Duhamel se precisaran los valores de coeficiente de amortiguamientoy frecuencias amortiguadas de cada grado de libertad, entonces:
t
0
)t( d)t(dsene)(Pd*m
1Y
4.925
1.803 104
o 1 i2 2 i i 11
212
2 1 d1 1 1 12
De donde se obtiene:
d 1 2 21
222
2 2 d2 2 1 22o 1 i2
2 ii
1 0.03 d1 147.039 31
232
2 3 d3 3 1 32
2 0.033 d2 101.564
3 0.05 d3 54.563 41
242
2 4 d4 4 1 42
4 0.094 d4 26.623
Integrando la función.
0 < t < 0.7
Y11 t( )1
m1d1 0
t
PA11 t( ) e1 1 t ( ) sin d1 t ( )[ ]
d
Y12 t( )1
m2d2 0
t
PA12 t( ) e2 2 t ( ) sin d2 t ( )[ ]
d
Y13 t( )1
m3d3 0
t
PA13 t( ) e3 3 t ( ) sin d3 t ( )[ ]
d
Y14 t( )1
m4d4 0
t
PA14 t( ) e4 4 t ( ) sin d4 t ( )[ ]
d
0.7 < t < 1
Y21 t( )1
m1d1 0
t
PA21 t( ) e1 1 t ( ) sin d1 t ( )[ ]
d
Y22 t( )1
m2d2 0
t
PA22 t( ) e2 2 t ( ) sin d2 t ( )[ ]
d
Y23 t( )1
m3d3 0
t
PA23 t( ) e3 3 t ( ) sin d3 t ( )[ ]
d
Y24 t( )1
m4d4 0
t
PA24 t( ) e4 4 t ( ) sin d4 t ( )[ ]
d
1 < t < 1.2
Y31 t( )1
m1d1 0
t
PA31 t( ) e1 1 t ( ) sin d1 t ( )[ ]
d
Y32 t( )1
m2d2 0
t
PA32 t( ) e2 2 t ( ) sin d2 t ( )[ ]
d
Y33 t( )1
m3d3 0
t
PA33 t( ) e3 3 t ( ) sin d3 t ( )[ ]
d
Y34 t( )1
m4d4 0
t
PA34 t( ) e4 4 t ( ) sin d4 t ( )[ ]
d
1.2 < t < 3
Y41 t( )1
m1d1 0
t
PA41 t( ) e1 1 t ( ) sin d1 t ( )[ ]
d
Y42 t( )1
m2d2 0
t
PA42 t( ) e2 2 t ( ) sin d2 t ( )[ ]
d
Y43 t( )1
m3d3 0
t
PA43 t( ) e3 3 t ( ) sin d3 t ( )[ ]
d
Y44 t( )1
m4d4 0
t
PA44 t( ) e4 4 t ( ) sin d4 t ( )[ ]
d
Expresando en forma vectorial:
Y1 t( )
Y11 t( )
Y12 t( )
Y13 t( )
Y14 t( )
Y2 t( )
Y21 t( )
Y22 t( )
Y23 t( )
Y24 t( )
Y3 t( )
Y31 t( )
Y32 t( )
Y33 t( )
Y34 t( )
Y4 t( )
Y41 t( )
Y42 t( )
Y43 t( )
Y44 t( )
Retornando en el cambio de variable:
U Y Y
0 < t < 0.7
U1 t( ) Y1 t( )
0.7 < t < 1
U2 t( ) Y2 t( )
1 < t < 1.2
U3 t( ) Y3 t( )
1.2 < t < 3
U4 t( ) Y4 t( )
Se tienen asi las las ecuaciones solucion de desplazamiento "U( t )" en funcion del tiempo,lamenteblemente no es posible mostrarlas (display) debido a su gran extension de terminos
0 < t < 0.7 Empleando la funcion U1( t )
U1 0.1( )
6.999 108
1.799 107
2.955 107
8.015 107
U1 0.2( )
7.837 108
1.643 107
2.334 107
7.203 108
U1 0.3( )
1.471 107
3.254 107
3.222 108
2.098 106
U1 0.4( )
2.938 107
5.886 107
6.425 107
3.431 106
U1 0.5( )
9.22 107
1.932 106
2.266 106
1.51 106
U1 0.6( )
1.218 106
2.485 106
4.517 106
1.147 105
U1 0.7( )
1.067 107
4.309 107
2.604 106
1.423 105
0.7 < t < 1 Empleando la funcion U2( t )
U2 0.7( )
1.067 107
4.309 107
2.604 106
1.423 105
U2 0.8( )
1.851 106
5.063 106
8.859 106
1.002 105
U2 0.9( )
6.087 107
2.987 107
9.233 107
3.573 106
U2 1( )
0
0
0
0
1 < t < 1.2 Empleando la funcion U3( t )
U3 1( )
0
0
0
0
U3 1.1( )
1.228 106
2.388 106
1.029 106
1.022 105
U3 1.2( )
3.433 106
1.518 105
2.484 105
2.038 105
1.2 < t < 3 Empleando la funcion U4( t )
U4 1.2( )
3.434 106
1.518 105
2.484 105
2.038 105
U4 1.4( )
1.633 106
1.153 106
1.585 105
5.513 105
U4 1.8( )
3.529 106
2.283 105
2.109 105
8.705 105
U4 2.2( )
2.857 105
1.417 104
4.404 105
7.311 105
U4 2.6( )
3.543 105
2.695 104
9.634 105
2.208 104
U4 3( )
1.055 107
3.014 108
4.746 108
6.175 109
Se analizo el comportamiento de la estructura en el intervalo de 1 a 3 seg. asi mismo se mostraronlos desplazamiento a 1 seg. y a 2 seg.Los maximos desplazamientos se dan a 3.0 seg respectivamente para los distintos grados de libertad,segun se puede observar:
U4 2.6( )
3.543 105
2.695 104
9.634 105
2.208 104
Los maximos esfuerzos en las columnas se obtendran segun:
Fsa = Kaa*U( t ) Para t donde se presenta Umax
Fsa t( ) Kaa U4 t( )
Fsa 2.6( )
3.599 103
3.924 103
1.084 103
163.368
Finalmente adoptando los valores maximos, las fuerzas maximas en las columnas son:
Fsamax
3599.00
3924.00
1084.00
163.368
Fsamax
3599.00
3924.00
1084.00
163.368
Kg