dinamika teknik t.nas
TRANSCRIPT
KULIAHDINAMIKA TEKNIK
Pertemuan 1
1. Kontrak belajar2. Pendahuluan
TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
1
Pertemuan 2
1. Dinamika Teknik2. Dimensi & Satuan3. Persamaan Gaya, Massa &
percepatan TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
2
SOAL PRE TEST
Apa yang dimaksud dengan dinamika teknik? Sebutkan aplikasi nya dalam teknik mesin.
Tuliskan dimensi & satuan dari massa (mass. m), bobot (weight. w), gaya (force. f), Energi (energy. E), Daya (power. P).
Keterangan:1 . Tulis nama, no. mhs dan jawaban pada
selembar kertas.2. Waktu 10 menit
3
APA YANG ANDA LIHAT…?
4
DINAMIKA TEKNIK
Konsep
Aplikasi
5
DIMENSI & SATUAN
6
1. Massa (mass), (m) = kg2. Bobot (Weight), (W)
m . g = kg . m/det2
= N (newton)pengaruh gravitasi (g)
3. Gaya (force), (F)m . a = kg . m/det2
= N (newton) pengaruh akselerasi / percepatan (a)
7
4. Energi (energy), (E)f . l = N . m
= JouleGaya x Jarak
5. Daya (power), (F)
= = watttime
Energi
ik
Joule
det
8
GAYA, MASSA & PERCEPATAN
Konsep : gayagaya diperlukan untuk mengubah keadaan
gerak suatu bendakeadaan gerak : diam (tidak bergerak),
bergerak dengan kecepatan konstan, bergerak dengan percepatan konstan
9
PERUBAHAN KEADAAN (STATE)
diam menjadi bergerak bergerak menjadi diam bergerak dengan kecepatan konstan tertentu
menjadi bergerak dengan kecepatan yang berbeda
hanya gaya yang menyebabkan perubahan kecepatan (perubahan kecepatan : besarnya, arahnya, atau dua-duanya)
10
kategori gaya
1. gaya sentuh (kontak):- mendorong,- menarik,- menendang,- memukul,- menahan,- gaya Normal,- gesekan, dsb
2. gaya non-kontak (field):- gaya gravitasi,- gaya listrik (gaya coulomb),- gaya magnet, dsb
11
BEBERAPA GAYA BEKERJA PADA SEBUAH BENDA
F1 sampai dengan F4 disebut gaya luar12
PENJUMLAHAN VEKTOR GAYA
1 2 3 4= = + + +∑R F F F F Fresultan
13
DUA KEMUNGKINAN HASIL
ΣF = 0 benda tetap pada keadaan geraknya
ΣF ≠ 0 benda berubah keadaan geraknya
14
SETIMBANG TRANSLASI
jika jumlah semua gaya luar = 0, maka benda berada dalam kesetimbangan translasi
0
0
x
y
F
F
=
=∑∑
2 2 1 1
1 1 2 2
0
0
cos cos
sin sin
F F
F F
θ θθ θ
− =+ =
15
MASSA
massa adalah sifat yang dimiliki oleh benda, menentukan seberapa sulitnya/sukarnya untuk mengubah kecepatannya
F m1m1
a1
F m2m2a2
1 2
2 1
m am a
=
16
dengan gaya yang sama, jika massa benda lebih besar, percepatan semakin kecil
percepatan berbanding terbalik dengan massa
17
MASSA DAN BOBOT (BERAT)
massa tidak dipengaruhi oleh lingkungan di sekitar objek
massa adalah besaran skalar berat merupakan gaya tarik gravitasi yang
besarnya bergantung pada lokasi/lingkungan berat adalah besaran vektor
18
PERCEPATAN DAN GAYA
F mma
2F2a
3F3a
mm
mm
19
PERCEPATAN DAN GAYA ...
untuk massa yang sama, semakin besar gaya yang diberikan, percepatan benda semakin besar
percepatan berbanding lurus dengan gaya
20
CONTOH SOAL:
Percepatan gravitasi di bulan adalah seperenam kali percepatan gravitasi di bumi. Percepatan gravitasi di bumi 10 N/kg, seorang altet angkat besi mampu mengangkat beban yang massanya 180 kg. Berapa massa beban yang mampu diangkat jika dilakukan di bulan ?
21
LATIHAN SOAL Contoh Soal: Percepatan gravitasi di bulan adalah seperenam kali percepatan gravitasi di bumi.
Percepatan gravitasi di bumi 10 N/kg, seorang altet angkat besi mampu mengangkat beban yang massanya 180 kg. Berapa massa beban yang mampu diangkat jika dilakukan di bulan ?
Penyelesaian:
Diketahui : g = 10 N/kg g’ = 1/6 x 10 N/kg m = 180 kg
Ditanyakan : m’ = …… ?
Jawab : Berat beban di bumi
w = m . g w = 180 kg . 10 N/kg w = 1800 N
Berat beban yang mampu diangkat di bulan sama dengan di bumi yaitu 1800 N w’ = w
m’.g’ = 1800 Nm’.10/6 N/kg’ = 1800 Nm’ = 1800 N x 6/10 kg/Nm’ = 1080 kg
Jadi beban yang mampu diangkat di bulan adalah 1080 kg. 22
Latihan Soal (pre test & post test)Apakah yang dimaksud dengan dinamika
teknik? Sebutkan aplikasi nya dalam teknik mesin.
Tuliskan dimensi & satuan dari massa (mass. m), bobot (weight. w), gaya (force. f), Energi (energy. E), Daya (power. P).
Rangkumlah tentang materi persamaan yang telah di uraikan?
Tugas PaperBuatlah paper tentang Kaidah Hukum Newton & d’ Alembert (di kumpul hari rabu, via email: [email protected] )
23
KULIAH
DINAMIKA TEKNIK
1. Hukum newton
Pertemuan 3
TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
24
Newton’s Laws of MotionNewton’s Laws of Motion� First Law First Law - - A body remains in its state of motion unless acted A body remains in its state of motion unless acted
upon by an outside forceupon by an outside force
Partikel akan tetap diam atau terus bergerak lurus beraturan dengan kecapatan tetap bila bila resultan gaya yang bekerja pada partikel adalah nol ( ΣF = 0 )
� Second Law Second Law - - A body acted upon by an external force will A body acted upon by an external force will change its momentum in the direction of the force such that the greater change its momentum in the direction of the force such that the greater the force the greater the change in momentum (F= ma).the force the greater the change in momentum (F= ma).
Percepatan partikel berbanding lurus dengan gaya yang bekerja padanya dan searah dengan gaya tersebut
� Third Law Third Law - - Forces always occur in pairs, i.e. for every action Forces always occur in pairs, i.e. for every action there is an equal and opposite reactionthere is an equal and opposite reactionGaya aksi dan reaksi antara benda-benda yang saling mempengaruhi adalah sama besar, berlawanan arah dan segaris (Faksi = Freaksi)
25
11STST LAW OF MOTION LAW OF MOTION (LAW OF INERTIA) (LAW OF INERTIA)
An object at rest will stay at rest, and an object in motion will stay in motion at constant velocity, unless acted upon by an unbalanced force.
26
2ND LAW
27
KESETIMBANGAN GAYA PADA PARTIKEL Ditinjau sebuah benda bermassa m yang dikenai
gaya sebesar F. Dengan menganggap gaya-gaya luar yang lain tidak ada, maka benda tersebut akan bergerak dengan percepatan yang tertentu. Dari hukum II Newton akan di dapatkan hukum kesetimbangan gaya.
F = m.a Formula di atas, m.a dapat diterjemahkan
sebagai gaya reaksi dari gaya-gaya yang mempengaruhi. Formula di atas dapat juga dituliskan sebagai:
F – m.a = 0 Dengan kata lain jumlah gaya-gaya yang bekerja
pada suatu benda adalah nol.28
Contoh 1. Sebuah benda diluncurkan pada sebuah papan yang dimiringkan dengan sudut
30°. Jika gesekan diabaikan, tentukan besar percepatan benda tersebut.
Gaya-gaya yang bekerja searah bidang miring: Proyeksi gaya berat: w sinα Gaya akibat gerakan benda: m.a
Sehingga berlaku hukum kesetimbangan gaya pada arah bidang miring:w sinα - m.a = 0m.g sin 30° - m. a = 0Percepatan benda dapat dicari dengan:a = g sin 30°a = 9,8 m/det2 x 0,5a = 4,9 m/det2
29
Contoh 2. Dua buah beban A dan B masing-masing mempunyai
massa 1 kg dan 2 kg dihubungkan melalui sebuah katrol dengan sebuah tali. Jika massa katrol dan tali serta gesekkan diabaikan, hitung percepatan dan arah gerakan kedua beban tersebut.
30
Latihan Soal (pre test & post test) Jelas kan tentang Hukum Newton yang anda
ketahui? Dan uraikan aplikasi nya dalam teknik mesin.
Jelas kan tentang kaidah d’ Alembert yang anda ketahui? Dan uraikan aplikasi nya dalam teknik mesin.
Latihan soal. Tugas Paper
Buatlah paper tentang Gaya satis & dinamis (di kumpul hari rabu, via email: [email protected] ) 31
KULIAH
DINAMIKA TEKNIK
Konsep & analisa
Gaya statis & dinamis
Pertemuan 4
TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
32
Latihan Soal (pre test & post test) Jelas kan tentang Gaya statis & Gaya dinamis ?
Dan uraikan aplikasi nya dalam teknik mesin. Latihan soal.Tugas Paper Buatlah paper tentang kinetika partikel (di
kumpul hari rabu, via email: [email protected] )
33
KULIAH
DINAMIKA TEKNIK
Kinetika Partikel
Pertemuan 5
TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
34
Force & Acceleration Work & Energy Impuls & Momentum
35
Latihan Soal (pre test & post test) Jelas kan tentang Kinetika Partikel? Dan
uraikan aplikasi nya dalam teknik mesin.Latihan soal.Tugas Paper Buatlah paper tentang kinetika partikel (di
kumpul hari rabu, via email: [email protected] )
36
KULIAH
DINAMIKA TEKNIK
Kerja & energi
Pertemuan 6
TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
37
PENGERTIAN ENERGI
38
SIFAT – SIFAT ENERGI
39
40
41
MACAM & JENIS ENERGI
42
43
HUKUM KEKEKALAN ENERGI
44
45
DAYA
46
47
Latihan Soal (pre test & post test) Jelas kan tentang Kerja & energi? Dan uraikan
aplikasi nya dalam teknik mesin.Latihan soal.Tugas Paper Buatlah paper tentang Impuls & momentum (di
kumpul hari rabu, via email: [email protected] )
48
KULIAH
DINAMIKA TEKNIK
Impuls & momentum
Pertemuan 7
TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
49
50
51
HUBUNGAN IMPULS DAN MOMENTUM
Besar gaya yang bekerja pada benda selama terjadi tumbukan dapat dilukiskan dengan grafik hubungan antara F dengan t, dengan asumsi bahwa arah gaya adalah tetap.
52
. Sebuah partikel bermassa m yang bergerak dengan kecepatan v
memiliki momentum linear p yang merupakan perkalian antara kecepatan partikel itu dengan massanya
p = mv.
F = ma.
Menurut hukum Newton II resultan gaya yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus dengan percepatan
dt
dp
dt
mvdF == )(
dp=Fdt
Jia masing-masing diintegralkan maka diperoleh:
m v
53
∫∫ ==−2
1
2
1
.21
t
t
p
p
dtFdppp
Kelestarian Momentum Linear
Jika gaya eksternal resultan yang bekerja pada sistem sama dengan nol, maka vektor momentum total sistem tetap konstan
0=dt
dp
Untuk sistem partikel
pppp n =+++ ........21
54
BEBERAPA PENGGUNAN PRINSIP MOMENTUM
Dua buah balok A dan B yang bermassa mA dan mB, yang dihubungkan oleh sebuah pegas dan terletak di atas meja horisontal tanpa gesekan. Pegas kita regangkan dengan menarik kedua balok kesamping seperti pada gambar
55
Balok yang satu bermomentum positif ( A bergerak dalam arah +x) dan balok yang lain bemomentum negative (B bergerak dalam arah –x) dari hokum kekekalan momentum
kita peroleh:
Momentum awal = momentum akhir
AABB vmvm +=0
AABB vmvm −=Atau
BA
BA v
m
mv −=
56
TUMBUKAN
sebelum selama setelah
1. Tumbukan Lenting sempurna
JENIS-JENIS TUMBUKAN
Suatu tumbukan dikatakan lenting sempurna bila jumlahan tenaga kinetik benda-benda yang bertumbukan baik sebelum dan sesudah
sumbukan sama.(Hukum kelestarian energi kinetic)57
sebelum sesudah
m1
m1m2 m2
v2
v’2
v’1
v1
Gambar 6.4. Tumbukan dua benda
momentun awal total : paw = m1v1 + m2v2
tenaga kinetik awal total : Ekaw = m1v12 + m2v2
2.
momentum total kedua benda itu setelah tumbukan adalah
pak = m1v’1 + m2v’2
tenaga kinetik total setelah tumbukan adalah Ekak = m1v’12 + m2v2’
2.58
paw = pak m1v1 + m2v2 = m1v’1 + m2v’2
Ekaw = Ekak m1v1
2 + m2v22 = m1v’1
2 + m2v2’ 2
m1(v1 − v’1) = m2(v’2 − v2),
m1v12 − m1v’1
2 = m2v2’ 2 − m2v2
2
Atau
m1 (v1 − v’1)( v1 + v’1) = m2(v’2 − v2) (v’2 + v2)
Atau
Dari dua persamaan dalam kotak merah diperoleh
v1 + v’1 = v’2 + v2 atau 1''
12
12 −=−−vv
vv
Secara umum perbandingan evv
vv =−−−
12
12 ''
59
2. Tumbukan Lenting sebagian
Setelah tumbukan ada sebagian energi mekanik yang berubah menjadi energi panas, bunyi atau energi yang lain. Sehingga setelah tumbukan ada energi yang dibebaskan. Hukum kelestarian energi mekanik tidak berlaku. Pada tumbukan ini dicirikan harga
elastisitasnya adalah 0<e<1
3. Tumbukan Tidak Lenting sama sekali
Setelah tumbukan kedua benda melekat menjadi satu dan bergerak dengan kecepatan yang sama setelah tumbukan kedua benda menyatu . Harga e=0
60
BANDUL-BALISTIK
61
Jika massa peluru adalah m dan massa bandul adalah M, dengan kelestarian momentum diperoleh
')( vMmmv +=energi sistem akan berubah menjadi energi potensial peluru bersama bandul hingga sampai pada puncak ayunan peluru-bandul
ghMmvMm )(')(2
1 2 +=+ Atau ghv 2'=
Jika persamaan dalam kotak kuning digabung diperoleh :
ghm
Mmv 2
+=62
TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI
63
Klesterian momentum untuk masing-masing arah
ϕθ .cos.cos 2211 vmvmvm om +=Arah sumbu x :
Arah sumbu y : ϕθ sinsin0 2211 vmvm −=
222
211
21 2
1
2
1
2
1vmvmvm o +=Jika tumbukan bersifat elastis
Tetapi jika tumbukan inelastis io Evmvmvm ++= 2
22211
21 2
1
2
1
2
1
Bola billiard dengan kecepatan 30 m/s menumbuk bola biliard II yang diam dan bermassa sama. Setelah tumbukan, bola I bergerak menyimpang 30o dari arah semula. Carilah kecepatan masing-masing bola dan arah gerak bola II. (tumbukan dianggap elastis)
64
Sebuah balok bermassa m1 = 2,0 kg bergerak sepanjang permukaan meja yang sangat licin dengan laju 10 m/dt. Di depan balok pertama itu ada sebuah balok bermassa m2 = 5,0 kg
bergerak dengan laju 3,0 m/dt searah dengan balok pertama. Sebuah pegas dengan tetapan k = 1120 N/m ditempelkan pada balok kedua sebagaimana diperlihatkan pada gambar
Berapa jauhkah pegas itu termampatkan pada saat terjadi tumbukan?
10 m/dt
m1 m2
3,0 m/dt
Kunci = 0,25 m 65
TENAGA PENDORONG ROKET
Momentum awal roket P1=mv Pada saat t+dt kecepatan roket bertambah
v+dv.Misal µ massa yang menyembur per satuan waktu. Massa roket tinggal m- µdt, massa bahan bakar yang dilepaskan µdt.
Jika vr kecepatan roket relatif terhadap bahan bakar yang menyembur.v’=v-vrMomentum akhirnya adalah (m- µdt)(v+dv)Momentum bahan bakar yang tersembu adalah v’
µdt66
Maka berlaku :
-mgdt=((m- µdt)(v+dv)+v’ µdt)-mv
Jika m sangant besar maka µdtdv dapat diabaikan
Maka: mdv=vr µdt-mgdt\
dm=- µdt, sehingga diperoleh:
Dengan mengintegrasikan diperoleh:
v=-vrlnm-gt+C
Jika modan vo massa dan kec saat t=0 maka
vo=-vrlnmo+C
Dan v=vo-gt+vrln(mo/m)
gdtm
dmvdv r −−=
67
KASUS NEUTRINO
Jika dua benda terbang terpisah dg kecepatan v1 dan v2 maka energi kinetiknya juga terpisah :
Q=K1 + K2 =1/2 m12 +1/2 m2
2
Momentum kedua partikel harus sama dengan nol sehingga:
m1v1 = -m2v2
Jika kedua persamaan dikuadratkan dan di bagi dua maka diperoleh:
68
1/2M12V1
2=1/2M22V2
2
M1K1=M2K2
JIKA PERSAMAAN INI DIKOMBINASIKAN DENGAN PERSAMAAN DI ATAS DIPEROLEH:
QK mmm
21
2
1 += QK mmm
21
1
2 += 69
Latihan Soal (pre test & post test) Jelas kan Impuls & momentum? Dan uraikan aplikasi
nya dalam teknik mesin.Latihan soal.Tugas Paper Buatlah paper tentang Rankuman materi dari
perteuan 1 - 7 (di kumpul hari rabu, via email: [email protected])
70
MOMENTUM LINEARDANTUMBUKAN
71
vp m≡(9-1)
xx mvp =
yy mvp =
zz mvp =
(9-2)
Hukum Newton II :dt
dpF = (9-3)
Laju perubahan momentum
Bagaimanakah momentum benda yang terisolasi, yaitu tidak adagaya yang bekerja pada benda tersebut ?
dtd Fp =(9-4) Impuls
MOMENTUM LINEAR :
∫=−=∆ f
i
t
tif dtFppp(9-5)
72
IMPULS :
pFI ∆=≡ ∫ f
i
t
tdt(9-6)
Impuls suatu gaya F sama denganperubahan momentum benda.
Teorema Impuls-MomentumF
tti tf
∫∆≡ f
i
t
tdt
tFF
1(9-7)
Gaya rata-rata :
Untuk F konstan :
t∆=∆= FpI (9-9)
t∆=∆= FpI (9-8)
73
KEKEKALAN MOMENTUM LINIERUNTUK SISTEM DUA PARTIKEL
m1
p1 = m1v1
m2 p2 = m2v2
p1
p2
F21
F12
dtd 1
12
pF =
dt
d 221
pF =
02112 =+ FF
2112 FF −=Hukum Newton III
021 =+dtd
dtd pp 0)( 21 =+ pp
dtd
konstan21 =+= ppP (9-10)
fxix PP = fyiy PP = fziz PP =
21 ppP +=
Momentum partikel di dalam suatu sistem tertutup selalu tetap
Hukum kekekalan momentum
ffii mmmm 22112211 vvvv +=+ (9-11)
(9-12)ffii 2121 pppp +=+ 74
TUMBUKAN
+
++
F12
F21
p
He4
F12 F21
m1 m2
Interaksi antar partikel yang berlangsung dalam selang waktu yang sangat singkat Gaya impulsiv
Diasumsikan jauh lebih besar dari gaya luar yang ada Kontak langsung
Proses hamburan
F
t
F12
F21
∫=∆ 2
1 212tt dtFp
dt
dpF = (9-3)
∫=∆ 2
1 121tt dtFp
2112 FF −=Hukum Newton III
21 pp ∆−=∆
021 =∆+∆ pp
0)( 21 =+∆ pp konstan21 =+= ppP
Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem sesaat sebelum tumbukan adalah sama dengan jumlah momentumnya sesaat setelah tumbukan
Hukum kekekalan momentum berlaku pada setiap tumbukan75
KLASIFIKASI TUMBUKAN
Tumbukan Lenting Sempurna Berlaku hukum kekekalan momentum dan kekekalan energi
Tumbukan Lenting Sebagian Energi mekanik berkurang(tak berlaku hukum kekekalan energi mekanik)
Tumbukan Tak Lenting sama sekali Setelah tumbukan kedua partikel menyatu
v1iv2i
m1m2
Sebelum tumbukan
vf
m1 + m2
Setelah tumbukan
Hukum kekekalan momentum :
Untuk tumbukan tak lenting sama sekali dalam satu dimensi
fii vmmvmvm )( 212211 +=+ (9-13)
21
2211
mmvmvm
v iif +
+= (9-14) 76
UNTUK TUMBUKAN LENTING SEMPURNA DALAM SATU DIMENSI
v1iv2i
m1m2
Sebelum tumbukan
v1f
m1
Setelah tumbukan
m2
v2f
Hukum kekekalan momentum :
ffii vmvmvmvm 22112211 +=+ (9-15)2222
12112
12222
12112
1ffii vmvmvmvm +=+ (9-16)
)()( 22
222
21
211 iffi vvmvvm −=−
))(())(( 2222211111 ififfifi vvvvmvvvvm +−=+− (9-17)
)()( 222111 iffi vvmvvm −=− (9-18)
iffi vvvv 2211 +=+
)( 2121 ffii vvvv −−=− (9-19)
+−+
+
=21
121
21
12
2mmmm
vmmm
v if (9-21)
+
+
+−=
21
21
21
211
2mmm
vmmmm
v if (9-20)
77
TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI
v1i
m1
m2
Sebelum tumbukan Setelah tumbukan
v1f
v2f
m1
m2
θφ
v1f sin θ
v1f cos θ
v2f cos φ
-v2f sin φ
Komponen ke arah x : φθ coscos 221111 ffi vmvmvm += (9-24a)
φθ sinsin0 2211 ff vmvm −= (9-24b)
Jika tumbukan lenting sempurna : 2222
12112
12112
1ffi vmvmvm += (9-24a)
78
PUSAT MASSA SISTEM PARTIKEL
PM x
79
m1
m
2
y1
y2
Y
X
⊗
yc
21
2211
mm
ymymyc +
+≡
Bagaimana jika massanya lebih dari dua ?
n
nnc mmm
ymymymy
+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≡
21
2211
Bagaimana jika massanya tersebar di dalam ruang ?
∑
∑=
=
=n
ii
n
iii
m
ym
1
1
M
ymn
iii∑
= =1
80
M
ymy
n
iii
c
∑= =1
M
xmx
n
iii
c
∑= =1
M
zmz
n
iii
c
∑= =1
kjir ˆˆˆcccc zyx ++=
M
zmymxm iiiiiic
kjir
ˆˆˆ ∑+∑+∑=
M
zyxm iiiic
)ˆˆˆ( kjir
++∑=
M
m iic
∑= rr kjir ˆˆˆ
iiii zyx ++=
Bagaimana untuk benda pejal (sistem partikel kontinyu) ?
81
Y
X
Z
∆m
i
ri
⊗
rc
PM
M
miic
∑ ∆≈ rr
M
mii
mc
i
∑ ∆=→∆
rr
0lim
∫= dmMc rr1
∫= xdmM
xc1
∫= ydmM
yc1
∫= zdmM
zc1
82
GERAK SISTEM PARTIKEL
∑=dt
dm
Mi
ir1
M
m ii∑= vdt
d cc
rv =Kecepatan :
∑= p = P∑= iic mM vvMomentum :
Percepatan :dt
d cc
va = ∑=
dt
dm
Mi
iv1
∑= iimMa
1
∑= iic mM aa ∑= iFdt
dP=
0=∑ iF 0=dt
dP konstan== cMvP
83
84
v
M+∆m
vp )( mMi ∆+=
M
v+∆v
∆m
ve
Kecepatan bahan bakar relatip terhadap roket
v - ve
)()()( emMmM vvvvv −∆+∆+=∆+
mM e∆=∆ vv
Untuk interval waktu yang sangat pendek :
dmvMdv e=
dMdm −=
Massa bahan bakaryang terbakar
Pengurangan massa roketdMMd evv −=
∫ ∫−=f
i
f
i
M
Me M
dMd
v
vvv
=−
f
ieif M
Mlnvvv
85
KULIAH
DINAMIKA TEKNIK
Impact(tumbukan)
Pertemuan 10
TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
86
Impact = a collision between two bodies which occurs in a verry small interval of time, and during which the two bodies exert on each other relatively large force
Tubrukan (tumbukan) diantara 2 benda yang terjadi pada interval waktu yang sangat kecil dan selama dua benda saling mendesak satu sama lain dengan gaya yang relative besar
87
88
89PADA BENDA BERGERAK, DIDESKRIPSIKAN DENGAN BESARAN-BESARAN YANG TELAH DIPELAJARI ANTARA LAIN
Posisi Jarak Kecepatan Percepatan Waktu tempuh Energi kinetik Perpindahan Laju Gaya total
Ada yang merupakan besaran vektor ada yang merupakan besaran skalar
90
BESARAN YANG MERUPAKAN UKURAN MUDAH ATAU SUKARNYA SUATU BENDA MENGUBAH KEADAAN GERAKNYA (MENGUBAH KECEPATANNYA, DIPERLAMBAT ATAU DIPERCEPAT) MOMENTUM
Definisi momentum :Hasil kali massa dan kecepatan
p= vmr r
Momentum besaran vektor , satuannya kg.m/s
91
CONTOH SOAL :
Berapa besar momentum burung 22 g yang terbang dengan laju 8,1 m/s?
Gerbong kereta api 12.500 kg berjalan sendiri di atas rel yang tidak mempunyai gesekan dengan laju konstan 18,0 m/s. Berapa momentumnya?
Jika suatu peluru memiliki massa 21,0 g ditembakkan dan memiliki laju 210 m/s, berapa momentumnya?
92
LAJU PERUBAHAN MOMENTUM SEBUAH BENDA SAMA DENGAN GAYA TOTAL YANG DIBERIKAN PADANYA
pF
t
∆Σ =∆
rr
( )00v vv v
Fmm m
t t
−−Σ = =∆ ∆
r rr rr
vam m
t
∆= =∆
rr
Hk. Newton II
93
CONTOH
Air keluar dari selang dengan debit 1,5 kg/s dan laju 20 m/s, dan diarahkan pada sisi mobil, yang menghentikan gerak majunya, (yaitu, kita abaikan percikan ke belakang.) Berapa gaya yang diberikan air pada mobil?
Mencuci mobil: perubahan momentum dan gaya.
94
PENYELESAIAN
Kita ambil arah x positif ke kanan. Pada setiap sekon, air dengan momentum px = mvx = (1,5 kg)(20 m/s) = 30 kg.m/s berhenti pada saat mengenai mobil. Besar gaya (dianggap konstan) yang harus diberikan mobil untuk merubah momentum air sejumlah ini adalah
akhir awal 0 30 kg.m/s30 N
1,0 s
p ppF
t t
−∆ −= = = = −∆ ∆
Tanda minus menunjukkan bahwa gaya pada air berlawanan arah dengan kecepatan asal air. Mobil memberikan gaya sebesar 30 N ke kiri untuk menghentikan air, sehingga dari hukum Newton ketiga, air memberikan gaya sebesar 30 N pada mobil.
95KEKEKALAN MOMENTUM , TUMBUKANMomentum total dari suatu sistem benda-benda yang terisolasi adalah konstan
Sistem sekumpulan benda yang berinteraksi satu sama lain
Sistem terisolasi
suatu sistem di mana gaya yang ada hanyalah gaya-gaya di antara benda-benda pada sistem itu sendiri
96JENIS TUMBUKAN (BERDASAR KEKAL-TIDAKNYA ENERGI KINETIK SELAMA PROSES TUMBUKAN)
Lenting (tenaga kinetik kekal)
Tidak Lenting (energi kinetik total setelah tumbukan selalu lebih kecil
dari tenaga kinetik total sebelum tumbukan)
97
98
2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1' '
2 2 2 2m v m v m v m v+ = +
•Momentum kekal•Energi kinetik kekal
Tumbukan Lenting :
99
CONTOH Bola bilyar dengan massa m yang bergerak dengan laju v bertumbukan dari depan dengan bola kedua yang massanya sama dan sedang dalam keadaan diam (v2 = 0). Berapa laju kedua bola setelah tumbukan, dengan menganggap tumbukan tersebut lenting?Penyelesaian Penyelesaian Hk Kekekalan Hk Kekekalan
Momentum :Momentum : 1 2
1 2
1 2
0 ' '
' '
' '
mv mv mv
v v v
v v v
+ = +⇒ = +⇒ − =Hk Kekekalan Energi Hk Kekekalan Energi
Kinetik:Kinetik: 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 21 2
1 1 10 ' ' ' '
2 2 2
' '
mv mv mv v v v
v v v
+ = + ⇒ = +
⇒ − =
(1)
(2)
100
PERSAMAAN (2) DAPAT DITULIS : ( ) ( ) 2
1 1 2' ' 'v v v v v− × + =
Gunakan Persamaan (1)Gunakan Persamaan (1) : : ( ) 22 1 2' ' 'v v v v× + =
Diperoleh :Diperoleh : 1 2' 'v v v+ = (3)
Persamaan (1) = Persamaan (3)Persamaan (1) = Persamaan (3)1 1
1
1
' '
2 ' 0
' 0
v v v v
v
v
− = +⇒ × =⇒ =
Kemudian dari persamaan (1) (atau (3)) Kemudian dari persamaan (1) (atau (3)) diperolehdiperoleh
2'v v=Bola 1 diberhentikan oleh tumbukan, sementara bola 2
mendapat kecepatan awal bola 1.
101
TUMBUKAN TIDAK LENTING• Momentum kekal• Energi kinetik total setelah tumbukan lebih
kecil dari energi kinetik total sebelum
tumbukan
•Tumbukan tidak lenting sama sekali : kecepatan kedua benda setelah tumbukan sama•Tumbukan tidak lenting
102
CONTOHSebuah gerbong kereta 10.000 kg yang Sebuah gerbong kereta 10.000 kg yang berjalan dengan laju 24,0 m/s menabrak berjalan dengan laju 24,0 m/s menabrak gerbong lain yang sejenis yang sedang gerbong lain yang sejenis yang sedang dalam keadaan diam. Jika kedua gerbong dalam keadaan diam. Jika kedua gerbong tersebut tersambung sebagai akibat dari tersebut tersambung sebagai akibat dari tumbukan, berapa kecepatan bersama tumbukan, berapa kecepatan bersama mereka? mereka?
hitung berapa besar energi kinetik awal hitung berapa besar energi kinetik awal yang diubah menjadi energi panas atau yang diubah menjadi energi panas atau bentuk energi lainnya !bentuk energi lainnya !
103
Sebelum tumbukan
Sesudah tumbukan
104
PENYELESAIANMomentum total sistem sebelum tumbukan
1 1 1 2 2
5
(10.000 kg)(24,0 m/s)+(10.000 kg)(0 m/s)
2,40 10 kg m/s
p m v m v= +=
= × ×
Kedua gerbong menyatu dan bergerak Kedua gerbong menyatu dan bergerak dengan kecepatan yang sama, misal dengan kecepatan yang sama, misal vv. . Momentum total sistem setelah tumbukanMomentum total sistem setelah tumbukan
52 1 2 1( ) 2,40 10 kg m/sp m m v p= + × = = × ×
Selesaikan untuk Selesaikan untuk v, ketemu V = 12 m/sv, ketemu V = 12 m/s
105ENERGI KINETIK AWAL :
( ) 221 1 1
6
1 10 (10.000 kg) 24,0 m/s
2 2
2,88 10 J
EK m v= + = ×
= ×Energi kinetik setelah Energi kinetik setelah tumbukan :tumbukan :
( ) ( ) ( ) 222 1 2
6
1 120.000 kg 12,0 m/s
2 2
1,44 10 J
EK m m v= + × =
= ×
Energi yang diubah menjadi bentuk lain :Energi yang diubah menjadi bentuk lain :
6 6 62,88 10 J 1,44 10 J 1,44 10 J× − × = ×
106
107
108
109
TUMBUKAN DAN IMPULS
Ketika terjadi tumbukan, gaya biasanya melonjak dari nol pada saat kontak menjadi nilai yang sangat besar dalam waktu yang sangat singkat, dan kemudian dengan drastis kembali ke nol lagi. Grafik besar gaya yang diberikan satu benda pada yang lainnya pada saat tumbukan, sebagai fungsi waktu, kira-kira sama dengan yang ditunjukkan oleh kurva pada gambar. Selang waktu Δt biasanya cukup nyata dan sangat singkat.
0 Waktu, t
Gay
a, F
110
pF
t
∆=∆
kedua ruas dikalikan dengan Δt
F
Impuls perubahan momentum
t p×∆ = ∆⇒ =
Gaya rata-rata F yang bekerja selama selang waktu Δt menghasilkan impuls yang sama (F Δt) dengan gaya yang sebenarnya.
111
TUMBUKAN PADA DUA ATAU TIGA DIMENSI
Kekekalan momentum dan energi juga bisa diterapkan pada tumbukan dua atau tiga dimensi, dan sifat vektor momentum sangat penting. Satu tipe umum dari tumbukan yang tidak berhadapan adalah di mana sebuah partikel yang bergerak (disebut proyektil) menabrak partikel kedua yang diam (partikel "target"). Ini merupakan situasi umum pada permainan seperti bilyar, dan untuk eksperimen pada fisika atom dan nuklir (proyektil, dari pancaran radioaktif atau akselerator energi-tinggi, menabrak inti target yang stasioner).
y
x
m1
m1
m2
m2
p1
p’1
p’2
θ’1
θ’2
112
KEKEKALAN MOMENTUM PADA TUMBUKAN 2 DIMENSI
Pada arah sumbu-x:Pada arah sumbu-x:
( ) ( )1 2 1 2
1 1 1 1 1 2 2
' '
' cos ' '2cos 'x x x xp p p p
m v m v m vθ θ+ = +
⇒ = +
Karena pada awalnya tidak ada gerak pada arah Karena pada awalnya tidak ada gerak pada arah sumbu-y, komponen-y dari momentum adalah sumbu-y, komponen-y dari momentum adalah nolnol
( ) ( )1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
' '
0 ' sin ' ' sin '
y y y yp p p p
m v m vθ θ
+ = +
⇒ = +
113
CONTOHTumbukan bola bilyar pada 2-dimensi. Sebuah bola bilyar yang bergerak dengan laju v1 = 3,0 m/s pada arah +x (lihat gambar) menabrak bola lain dengan massa sama yang dalam keadaan diam. Kedua bola terlihat berpencar dengan sudut 45° terhadap sumbu x (bola 1 ke atas dan bola 2 ke bawah). Yaitu, θ '1 = 45° dan θ '2 = -45°. Berapa laju bola-bola tersebut (laju keduanya sama) ?
y
x
m1
m1
m2
m2
p1
p’1
p’2
θ’1
θ’2
114
PENYELESAIAN
Sumbu-x : ( ) ( )1 1 2' cos 45 ' cos 45mv mv mv= +o o
Sumbu-Sumbu-y :y :
( ) ( )1 20 ' sin 45 ' sin 45mv mv= + −o o
m m saling menghilangkan. saling menghilangkan. Dari persamaan untuk sumbu-y :Dari persamaan untuk sumbu-y :
( )( )
( )( )2 1 1 1
sin 45 sin 45' ' ' '
sin 45 sin 45v v v v
÷= − = − = ÷− − ÷
o o
o o
Setelah tumbukan, kedua bola mempunyai laju Setelah tumbukan, kedua bola mempunyai laju yang samayang sama
115
Dari persamaan untuk sumbu-x :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 1
11 2
' cos 45 ' cos 45 2 ' cos 45
3,0 m/s' ' 2,1 m/s
2 0,7072cos 45
v v v v
vv v
= + =
⇒ = = = =
o o o
o
KULIAH
DINAMIKA TEKNIK
kinetika benda tegar (pers. Umum gerak, kerja &
energi
Pertemuan 10
TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
116
BENDA TEGAR
117
APA BEDA PARTIKEL DENGAN BENDA TEGAR ?
In contrast to the forces on a particle, the forces on a rigid-body are not usually concurrent and may cause rotation of the body (due to the moments created by the forces).
For a rigid body to be in equilibrium, the net force as well as the net moment about any arbitrary point O must be equal to zero.
∑ F = 0 and ∑ MO = 0
Forces on a rigid body
Forces on a particle
118
Benda Tegar Biasanya Memiliki Tumpuan
119
Benda Tegar Biasanya Memiliki Tumpuan
120
Macam-macam Tumpuan dan Reaksinya
121
Contoh Menggambar FBD nya
Idealized model Free body diagram
Lho kok ada beban yang segiempat, apa itu?
122
Beban Terdistribusi
123
Mencari Gaya Resultan pada Beban Terdistribusi
Mencari titik berat dari beban terdistribusi Gaya resultan sama dengan luasan dari beban
terdistribusi Gaya resultan terletak pada titik berat beban
terdisribusi
124
Kalo beban terdistribusinya berbentuk segitiga ?
1. FR = ____________
A) 12 N B) 100 N
C) 600 N D) 1200 N
2. x = __________.
A) 3 m B) 4 m
C) 6 m D) 8 m
FR100 N/m
12 m x
125
Prosedur Menyelesaikan Soal
Gambar FBD dari soal Jangan lupa kasih perjanjian tandanya Gambar gaya reaksi yang ada Kalo ada beban terdistribusi, cari dulu besar
gaya resultan, dan posisinya Hitung besar gaya reaksi di tumpuan,
menggunakan
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Mo = 0
titik O itu titik apa? Yang mana?
126
Contoh Soal 1
Given: Weight of the boom = 125 lb, the center of mass is at G, and the load = 600 lb.
Find: Support reactions at A and B.
Plan:
1. Put the x and y axes in the horizontal and vertical directions, respectively.
2. Draw a complete FBD of the boom.
3. Apply the EofE to solve for the unknowns.127
Contoh Soal 1 (Jawaban)
AX
AY
A
1 ft 1 ft 3 ft 5 ft
B GD
600 lb125 lbFB
40°
FBD of the boom:
+ ∑MA = - 125 ∗ 4 - 600 ∗ 9 + FB sin 40° ∗ 1 + FB cos 40° ∗ 1 = 0
FB = 4188 lb or 4190 lb
→ + ∑FX = AX + 4188 cos 40° = 0; AX = – 3210 lb
↑ + ∑FY = AY + 4188 sin 40° – 125 – 600 = 0; AY = – 1970 lb128
Contoh Soal 2
A fixed crane has a mass of 1000 kg and is used to lift a 2400 kg crate. It is held in place by a pin at A and a rocker at B. The center of gravity of the crane is located at G.
Determine the components of the reactions at A and B.
SOLUTION:
• Create a free-body diagram for the crane.
• Determine B by solving the equation for the sum of the moments of all forces about A. Note there will be no contribution from the unknown reactions at A.
• Determine the reactions at A by solving the equations for the sum of all horizontal force components and all vertical force components.
• Check the values obtained for the reactions by verifying that the sum of the moments about B of all forces is zero.
129
Contoh Soal 2 (jawaban)
• Create the free-body diagram.
• Check the values obtained.
• Determine B by solving the equation for the sum of the moments of all forces about A.
( ) ( )( ) 0m6kN5.23
m2kN81.9m5.1:0
=−
−∑ += BM A
kN1.107+=B
• Determine the reactions at A by solving the equations for the sum of all horizontal forces and all vertical forces.
0:0 =+=∑ BAF xx
kN1.107−=xA
0kN5.23kN81.9:0 =−−=∑ yy AF
kN 3.33+=yA130
Contoh Soal 3
↓=
−=−+−==Σ
↑=−
−−=
−−==Σ
N18.75
75.18
22575.3631200
N363.75
400.
)500(.225)275(.120
)500(.225)275(.120)(400.0
y
y
y
y
yA
A
NA
NNNAyFy
B
m
mNmNB
mNmNBmM+
+
131
Contoh Soal 4
Given: The loading on the beam as shown.
Find: Support reactions at A and B.
132
Contoh Soal 4 (jawaban)
SOLUTION:
• Taking entire beam as a free-body, determine reactions at supports.
∑ = :0AM
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0m .48kN 45
m .24kN 45m .81kN 90m .27
=−−−D
kN 117=D
:0∑ =yF
0kN 54kN 117kN 54kN 90 =−+−−yAkN 81=yA
133
Contoh Soal 5
Tentukan Reaksi di A dan B
134
Soal Tantangan
Given: The loading on the beam as shown.
Find: Reaction at B and A 135
Tentukan Reaksi di A dan C
Soal Tantangan (2)
136
KULIAH
DINAMIKA TEKNIK
percepatan & perlambatan
Pertemuan 12
TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
137
ACCELERATION-DECCELERATION
138
WHAT IS SPEED?
A way of describing “how fast” something is moving.
More technically, speed is the rate of change of an objects position with respect to time.
139
CALCULATION OF SPEED There are a couple of different ways to
calculate speed Average speed, S, is simply the change in
position, x, divided by the time, t, taken to travel that distance…
IF
IF
tt
xx
t
xS
−−=
∆∆=
Maximum Speed = 62 mph140
APPLICATIONS OF SPEED: BRITISH THRUST SSC MAX SPEED = 763 MPH
141
APPLICATIONS OF SPEED: SUPERSONIC FLIGHT MAX SPEED = 1650 MPH (MACH 2.2)
142
APPLICATIONS OF SPEED: SKY DIVER TERMINAL VELOCITY = 200 MPH
143
SAMPLE PROBLEM: SPEED
A runner runs a 400 meter race in a time of 50 seconds.What is her average speed?
( )( )s
mS
tt
xxS
IF
IF
050
0400
−−=⇒
−−=
smS 8=⇒
144
WHAT IS ACCELERATION?
A way of describing how fast something is speeding up or slowing down.
More technically, acceleration is the rate of change of an objects speed with respect to time.
145
CALCULATION OF ACCELERATION As with speed, there are a couple of
different ways to calculate acceleration Average acceleration, a, is simply the time
rate of change of speed, S,…
IF
IF
tt
SS
t
Sa
−−=
∆∆=
146
APPLICATIONS OF ACCELERATION: LAMBORGHINI ACCEL. = 15.38 MPH/SEC = 22.56 FT/SEC^2
Engine: 6 liter, V12Horsepower: 550 @ 7100 RPMMaximum Speed: 210 MPH0-60: 3.9 sec0-100: 8.8 secPrice: $275,000
147
APPLICATIONS OF ACCELERATION: SPACE SHUTTLE ACCEL. = 64.87 MPH/SEC = 95.14 FT/SEC^2
Speed Attained: > 17,500 MPHTime to Low Orbit: 11 min.Time to Space: 45 min.
148
SAMPLE PROBLEM: ACCELERATION
A motorcycle turns the corner of a race track at 85 MPH and then speeds up to 150 MPH on the straightaway. Knowing that it took 5 seconds to change speed, what is the average acceleration?
( )( )s
MPHa
tt
SSa
IF
IF
05
85150
−−=⇒
−−=
sMPHa 13=⇒
149
KULIAH
DINAMIKA TEKNIK
Dinamika benda tegar
Pertemuan 13
TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
150
KECEPATAN SUDUT DAN PERCEPATAN SUDUT
θr
P
lintasan titik PPanjang busur lintasan : θrs = (10.1a)
Posisi sudut : rs=θ (10.1b)
rθ1
P,t1θ2
Q,t2
r
Kecepatan sudut rata-rata :
12
12
tt −−≡ θθω
t∆∆= θ (10.2)
Kecepatan sudut sesaat :
tt ∆∆≡
→∆
θω lim0 dt
dθ= (10.3)
12
12
tt −−≡ ωωα
Percepatan sudut rata-rata :
t∆∆= ω (10.4)
tt ∆∆≡
→∆
ωα lim0
Percepatan sudut sesaat :
dtdω= (10.5) 151
GERAK ROTASI UNTUK PERCEPATAN SUDUT TETAP
dtdθω =
tt o αωω =−)(dtdωα =
konstan
∫ +=∫ to
t dttdo 0
)( )( αωθθθ
221)( ttt oo αωθθ +=− (10.7)
∫=∫ tt dtdo 0
)( αωωω
∫=∫ tt dtdo 0
)( ωθθθ
tt o αωω +=)( (10.6)(10.6)
)(222oo θθαωω −+= (10.8)
atvtv o +=)(2
21)( attvsts oo +=−
)(222oo ssavv −+=
GLBB
Adakah relasi antara besaran sudut dan besaran linier ?152
RELASI BESARAN SUDUT DAN LINIER
θr
P
vω
dtds
v =dtdrv
θ=
ωrv = (10.9)
P
at
ω
ar
a
θrs =panjang lintasan
dt
dvat =
dt
dr
ω=
αrat = (10.10)
rv
ar2
= 2ωr= (10.11)
22rt aaa += 4222 ωα rr += 42 ωα += r (10.12)
Kecepatan linier :
Percepatan tangensial :
Percepatan radial :
153
ENERGI KINETIK ROTASI
θri
mi
vi
ω
Energi kinetik partikel ke i :2
21
iii vmK =
Energi kineti seluruh benda :
∑=∑= 221
iii vmKK ∑= 2221 ωiirm
ωii rv =
Momen kelembaman( ) 22
21 ω∑= iirmK (10.13)
∑= 2iirmI (10.14)
221 ωIK = (10.15)
Momen kelembaman untuk benda pejal :
m∆
∑ ∆=→∆
mrIm
2
0lim ∫= dmr2 (10.16)
rapat massa :
Vm
V ∆∆=
→∆lim
0ρ
dVdm= dVdm ρ= dVrI ∫= 2ρ
154
O
TEOREMA SUMBU SEJAJAR
C
d
2MdII c +=
Jika Ic adalah momen kelembaman benda terhadap sumbu putar yang melalui pusat massanya, maka momen kelembaman benda terhadap sembarang sumbu putar yang sejajar dan berjarak d dari sumbu tersebut adalah : (10.17)
155
MOMEN GAYA
d1
d2
F3
r3
φτ sinrF≡
F2 cos φφ
F2 sin φF2
r2
F1
r1
dr =φsinFd=τ (10.18)
21 τττ +=net 2211 dFdF −=
Bagaimana keterkaitan momen gaya dengan besaran sudut ?
m
Ft
r
rFt=τtt maF = rmat )(=τ
αrat = rmr )( ατ =ατ )( 2mr=
ατ I= (10.19)
156
USAHA DAN ENERGI
P
φdsdθ
sF ddW ⋅=Usaha :
θφ rdF )sin(=FF sinφ
= τ
θτ ddW =
ατ I=dt
dI
ω=dt
d
d
dI
θθω= ω
θωd
dI=
ωω dIdW =
ωωωω dIW t
o∫=
2212
21
ot II ωω −=
Usaha yang dilakukan oleh gaya luar untuk memutar benda tegar terhadapsumbu tetap sama dengan perubahan energi kenetik rotasi benda tersebut !
157
KULIAH
DINAMIKA TEKNIK
Gaya & Momen inersia
Pertemuan 14
TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
158
1.1 PENDAHULUAN
Fisika :Fisika :
Ilmu pengetahuan yang mempelajari benda-benda dialam, gejala-gejala, kejadian-kejadian alam serta interaksi dari benda-benda dialam .
Fisika merupakan ilmu pengetahuan dasar yang mempelajari sifat-sifat dan interaksi antar materi dan radiasi.
Fisika merupakan ilmu pengetahuan yang didasarkan pada pengamatan eksperimental dan pengukuran kuantitatif (Metode Ilmiah).
1.2
159
Fisika
Klasik Kuantum(sebelum 1920) (setelah 1920)
Posisi dan Momentum partikel dapat ditetapkan secara tepat ruang dan waktu merupakan dua hal yang terpisah
Ketidak pastian Posisi dan Momentum partikel ruang dan waktu merupakan satu kesatuan
Hukum Newton Dualisme Gelombang-Partikel
Teori Relativitas Einsten1.3
160
1.2 BESARAN DAN 1.2 BESARAN DAN SATUANSATUAN
Besaran :
Sesuatu yang dapat diukur dinyatakan dengan angka (kuantitatif) Contoh : panjang, massa, waktu, suhu, dll.
Mengukur :
Membandingkan sesuatu dengan sesuatu yang lain yang sejenis yang ditetapkan sebagai satuan.
contoh : panjang jalan 10 km
Besaran Fisika baru terdefenisi jika : ada nilainya (besarnya) ada satuannya
nilai
satuan
1.4
161
Satuan : Ukuran dari suatu besaran ditetapkan sebagai satuan. Contoh :
Sistem satuan : ada 2 macam 1. Sistem Metrik : a. mks (meter, kilogram, sekon)
b. cgs (centimeter, gram, sekon)2. Sistem Non metrik (sistem British)
Sistem Internasional (SI) Sistem satuan mks yang telah disempurnakan yang paling
banyak dipakai sekarang ini. Dalam SI :Ada 7 besaran pokok berdimensi dan 2 besaran pokok tak berdimensi
meter, kilometer satuan panjang detik, menit, jam satuan waktu gram, kilogram satuan massa dll.
1.5
162
NO Besaran Pokok Satuan Singkatan Dimensi
1 Panjang Meter m L
2 Massa Kilogram kg M
3 Waktu Sekon s T
4 Arus Listrik Ampere A I
5 Suhu Kelvin K θ
6 Intensitas Cahaya Candela cd j
7 Jumlah Zat Mole mol N
7 Besaran Pokok dalam Sistem internasional (SI)7 Besaran Pokok dalam Sistem internasional (SI)
NO Besaran Pokok Satuan Singkatan Dimensi
1 Sudut Datar Radian rad -
2 Sudut Ruang Steradian sr -
Besaran Pokok Tak Berdimensi
1.6
163
Dimensi Cara besaran itu tersusun oleh besaran pokok.
Besaran TurunanBesaran yang diturunkan dari besaran pokok.
1. Untuk menurunkan satuan dari suatu besaran2. Untuk meneliti kebenaran suatu rumus atau persamaan
- Metode penjabaran dimensi :
1. Dimensi ruas kanan = dimensi ruas kiri2. Setiap suku berdimensi sama
- Guna Dimensi :
1.7
164
Contoh :
a. Tidak menggunakan nama khusus
NO Besaran Satuan
1 Kecepatan meter/detik
2 Luas meter 2
b. Mempunyai nama khusus
NO Besaran Satuan Lambang
1 Gaya Newton N
2 Energi Joule J
3 Daya Watt W
4 Frekuensi Hertz Hz
1.8
165
Besaran Turunan dan Dimensi
NO Besaran Pokok Rumus Dimensi
1 Luas panjang x lebar [L]2
2 Volume panjang x lebar x tinggi [L]3
3 Massa Jenis [m] [L]-3
4 Kecepatan
[L] [T]-1
5 Percepatan [L] [T]-2
6 Gaya massa x percepatan [M] [L] [T]-2
7 Usaha dan Energi gaya x perpindahan [M] [L]2 [T]-2
8 Impuls dan Momentum gaya x waktu [M] [L] [T]-1
massa volume
perpindahan waktu
kecepatan waktu
1.9
166
Faktor Penggali dalam SI
NO Faktor Nama Simbol
1 10 -18 atto a
2 10 -15 femto f
3 10 -12 piko p
4 10 -9 nano n
5 10 -6 mikro μ
6 10 -3 mili m
7 10 3 kilo K
8 10 6 mega M
9 10 9 giga G
10 10 12 tera T
1.10167
1. Tentukan dimensi dan satuannya dalam SI untuk besaran turunan berikut :
a. Gaya
b. Berat Jenis
c. Tekanan
d. Usaha
e. Daya
Jawab :
b. Berat Jenis = = =
= MLT-2 (L-3) = ML-2T-2 satuan kgm-2
berat
volume
Gaya
Volume
MLT -2
L3a. Gaya = massa x percepatan
= M x LT -2
= MLT -2 satuan kgms-2
c. Tekanan = = = MLT -2 satuan kgm-1s-1
gaya
luas
MLT -2
L2
d. Usaha = gaya x jarak = MLT -2 x L = ML 2 T -2 satuan kgm-2s-2
e. Daya = = = ML 2 T -1 satuan kgm-2s-1 usaha
waktu
ML 2 T -2
T
Contoh SoalContoh Soal
1.11
168
2. Buktikan besaran-besaran berikut adalah identik :
a. Energi Potensial dan Energi Kinetik
b. Usaha/Energi dan Kalor
Jawab :
a. Energi Potensial : Ep = mgh
Energi potensial = massa x gravitasi x tinggi
= M x LT-2 x L = ML2T-2
Energi Kinetik : Ek = ½ mv2
Energi Kinetik = ½ x massa x kecepatan2
= M x (LT-1) 2
= ML2T-2
Keduanya (Ep dan Ek) mempunyai dimensi yang sama keduanya identik
b. Usaha = ML2T-2
Energi = ML2T-2
Kalor = 0.24 x energi = ML2T-2
Ketiganya memiliki dimensi yang sama identik
1.12
169
170
LEARNING OUTCOMES
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu : Menghitung momen inersia arah x dan y
dari penampang majemuk dengan koordinat Cartesian & Polar TIK - 3
171
CONTOH SOAL
Momen inersia suatu bentuk bidang terhadap sumbu x dan y di bidangnya masing - masing didefinisikan dengan integral-integral (KOORDINAT CARTESIAN)
∫=
∫=
dAxIy
dAyIx
2
2
∫ ===2
a
0
32 )a....(12/badyby2Ix,bdydA
172
173
Melalui cara yang sama, dengan mengambil momen inersia terhadap sumbu y diperoleh:
Rumus (a) dapat digunakan pula untuk menghitung momen inersia Ix jajaran genjang atau belah ketupat (gambar a)
)b....(12/abIy 3=
174
Belah ketupat ini dapat dipandang sebagai bentuk empat persegi panjang, lihat garis putus-putus, dengan suatu pergeseran tertentu untuk setiap elemen tertentu (berarsir) yang sejajar dengan sumbu x.
Transformasi ini tidak mengubah luas elemen ataupun jaraknya dari sumbu x, maka harga Ix untuk empat persegi panjang akan sama harganya dengan belah ketupat.
175
176
Dalam menghitung momen inersia sebuah segitiga terhadap alasnya (gambar b), maka untuk suatu elemen pada jarak y dari alas,
Dan diperoleh:
h
dy)yh(bdA
−=
∫ =−=h
0
32 12/bhdy)yh(yh/bIx
177
MOMEN INERSIA POLAR
Momen inersia luas relatif terhadap garis atau sumbu tegak lurus bidang luas disebut momen inersia polar simbul J.
Momen inersia luas pada bidang X Y terhadap sumbu Z adalah:
178
IyIx
dAydAx
dA)yx(
dArJz
dAI
22
22
2
2
+=∫ ∫+=∫ +=∫=
∫= ρ
Pertemuan ke-14TEKNIK MESINSTTNAS YOGYAKARTA
179
KULIAH
DINAMIKA TEKNIK
Sebuah roda gila (flywheel) adalah sebuah massa berputar yang digunakan sebagai penyimpan tenaga dalam mesin.
Energi kinetik dari sebuah benda berputar adalah 1/2Iw2 di mana I adalah momen kelembaman dari suatu massa terhadap suatu sumbu putaran dan w adalah percepatan sudutnya.
Jika kecepatan dari mesin ditambah, tenaga akan tersimpan dalam roda gila, dan jika kecepatannya dikurangi, tenaga akan dikeluarkan oleh roda gila.
180
Ada 2 macam mesin yang mendapatkan keuntungan dari penggunaan sebuah roda gila yaitu :
1. generator listrik yang digerakkan oleh sebuah motor bakar
2. mesin press pembuat lubang
181
Momen puntir yang diberikan ke generator berubah-ubah karena adanya langkah tenaga hanya terdapat sekali dalam setiap dua kali putaran mesin.
Voltase kelu-aran dari suatu generator adalah fungsi dari kecepatan, suatu perubahan dalam vol-tase akan mengakibatkan suatu kedipan dalam cahaya lampu.
Sebuah roda gila diguna-kan dalam hal seperti ini untuk menjamin kecepatan dan momen puntir yang cukup merata dari generator.
182
Proses pembuatan lubang membu-tuhkan sejumlah tenaga yang besar dalam keadaan mesin berjalan cepat dan tiba-tiba, dan jika roda gila tidak digunakan semua teraga ini harus dilakukan oleh sebuah motor, yang akan memerlukan tenaga yang besar.
Dengan menggunakan sebuah roda gila, motor yang jauh lehih kecil dapat digunakan.
Hal ini karena tenaga dari motor disim-pan dalam sebuah roda gila selama selang waktu antara proses pembuatan lubang dan tersedia untuk digunakan pada waktu proses pembuatan lubang terjadi.
183
Adalah variasi dari kecepatan yang diperlukan dan didefinisikan sebagai :
184
185
misalkanlah bahwa kecepatan sudutnya bervariasi, di mana V1 adalah kecepatan maksimum dari pelek, V2 adalah kecepatan minimum dari pelek, dan V adalah kecepatan rata-rata pelek, maka: 186
atau 2V = V1 + V2 ……pers1 Mengingat koefisien fluktuasi dalam kecepatanMaka ……pers2
Umpamakan bahwa seluruh massa M dari roda gila berpusat pada jari rata-rata R. Maka tenaga kinetis(KE) pada kecepatan V1 dan V2 adalah:
187
188
Dalam sebuah roda gila aktual tidak semua massanya dipusatkan pada peleknya se-perti telah kita asumsikan, tetapi sebuah roda gila biasanya dirancang sedemikian hingga hampir semua massanya ada dalam peleknya, sehingga tenaga kinetisnya akan menjadi lebih besar pada suatu kecepatan sudut yang tertentu. Dalam persamaan-persamaan di atas, M adalah massa efektif dari roda gila pada peleknya dan sama dengan massa dari pelek ditambah efek dari semua lengan dan porosnya.
Mengingat tegangan-tegangan dalam pelek dan lengan adalah dischabkan oleh gaya-gaya sentrifugal yang merupakan fungsi dart kecepatan, kecepatan pelek V biasanya dibatasi sampai 30 m/detik untuk besi tuang dan 40 m/detik untuk baja. Berat jenis dari besi tuang ada-lah 7090 kg/m3 dan baja adalah 7830 kg/m2
189
Sebagai suatu contoh dari analisa sebuah roda gila kita akan menentukan ukuran dari roda gila yang perlu untuk digunakan dalain sebuah mesin press pem-buat lubang. Suatu diagram dari sebuah mesin press ditunjukkan dalam Gambar, di mana sebuah peluncur dari mekanisme engkol-peluncur bekerja sebagai penembus (punch) untuk memaksa segumpal metal dari pelat melalui lubang dari cetakan. Mesin press tersebut dapat membuat lubang sebanyak 30 lubang per menit dan berarti waktu yang diperlukan untuk pembuatan 1 lubang adalah 2 detik.
Kita akan mengumpamakan bahwa waktu nyata yang diperlukan untuk membuat lubang adalah 1/6 interval waktu keseluruhan kerja pembuatan lubang, atau waktu pembuatan lubang yang nyata adalah 1/6 (2) = 1/3 detik. Sebuah lubang dengan diameter 20 mm harus dibuat pada pelat baja 102 yang tebalnya 13 mm. Motor penggeraknya berjalan dengan 900 putaran/menit dan melalui roda gigi reduksi akan memberikan 30 kerja pembuatan lubang per menit. 190
Jawab :
191
Gambar dibawah menunjukkran sebuah tipa kurva yang menggambarkan hubungan antara gaya vs perpindahan untuk suatu langkah pembuatan lubang dalam sebuah material yang kenyal seperti baja. Luasan di bawah kurva gaya vs perpindahan gerak dalam Gambar dibawah, kira-kira dapat dianggap merupakan sebuah segitiga,
192
maka lzerja yang dilakukan untuk pembuatan suatu lubang adalah:
Jadi
ANALISA TANPA RODA GILA Tenaga rata-rata yang diperlukan selama kerja pem-buatan lubang, dengan mengasumsikan kurva gaya lintasan dalam Gambar (b) adalah siku-siku, adalah:
193
Akan tetapi, mengingat P dalam Gambar (a) adalah dua kali yang ada dalam Gambar (b), tenaga sesaat maksimum nyatanva kira-kira adalah 9840 W.
ANALISA DENGAN RODA GILA Jika sebuah roda gila digunakan, tenaga motor dapat dikurangi cukup banyak. Gambar (c) menunjukkan bahwa waktu pembuatan lubang adalah 2 detik dan waktu pembuatar lubang yang nyata adalah 1/3 detik. Jika sebuah roda gila digunakan jumlah tenaga yang sama untuk tiap periode harus diberikan dan dinyatakan oleh luasan FGIE. Jadi dengan sebuah roda gila tenaga sehesar 1640 J diberikar. dalam 2 detik, ini menunjukkan bahwa diperlukan tenaga motor = 1640/2 = 840 W. Selama 1/3 detik interval pembuatan lubang, motor memberikan tenaga yang dinyatakan oleh luasan AHIE, yang besar = 273 J, tetapi tenaga yang diperlukan untuk pembuatan lubang dinyatakan oleh luasan ABODE. yang besarnya 1640 J. Jadi tenaga yang harus diambil oleh roda gila adalah 1640 – 273 = 1367 J. Jadi kita lihat bahwa tenaga yang diberikan oleh motor selama kerja pembuatan lubang adalah 273/1640 = 1/6 dari jumlah total tenaga yang diperlukan selama seluruh periode.
194
Untuk menentukan massa dan ukuran dari roda gila, kita umpamakan diameter pelek rata-rata = 900 mm, maka kecepatan pelek rata-rata akan sama dengan:
195
196
Sebagai contoh lain dari penggunaan sebuah roda gila, marilah kita perhatikan suatu roda gila yang diperlukan dalarn sebuah mesin empat langkah satu silinder. Dalam Gambar momen puntir keluaran digambarkan terhadap posisi dari engkol. Empat langkah dari torak terjadi selama sebuah periode dan hanya ada satu kali langkah tenaga untuk 2 putaran. Momen puntir keluaran kombinasi adalah jumlah momen punter yang disebabkan oleh tekanan gas dan momen puntir kelembaman. Tekanan gas pada torak dapat diperoleh dari suatu diagram indikator. yang memberikan gambaran tentang te-kanan gas sebagai funesi dari posisi torak. Momen puntir keluaran yang disebabkan kare-na tekanan gas dapat diperoleh dari analisa gaya statis dan digambarkan terhadap (ver-sus) posisi menyudut dari engkol. Momen puntir kelembaman keluarannya diperoleh dari analisa tentang gaya kelembaman.
197
Luasan yang terletak di atas garis momen puntir nol menyatakan kerja positif yang dilakukan oleh mesin. dan luasan di bawahnva menyatakan kerja negatif. Momen puntir rata-ratanya diperoleh dengan menjumlahkan secara ilmu hitung luasan-luasan ini dan membaginya dengan lintasan engkol pada 720°. Jika ada sebuah mesin yang digerakkan oleh mesin motor (engine) memberikan momen puntir penahan yang sama dengan momen puntir rata-rata, sesuatu peralatan harus ditambahkan untuk meratakan kurva mo-men puntir kombinasi. Tujuan dari suatu roda gila adalah memberikan momen puntir keluaran yang merata (uniform). Luasan yang ditandai dengan garis-garis miring di atas garis momen puntir rata-rata menyatakan adanya kelebihan tenaga yang disebabkan ka-rena kecepatan yang bertambah dan kelebihan tenaga ini tersimpan dalam roda gila, dan luasan yang ditandai dengan garis-garis miring di bawah garis momen puntir rata-rata me-nyatakan adanya kekurangan tenaga yang disebabkan karena berkurangnya kecepatan dan kekurangan tenaga ini diambil dari roda gila. Besar relatif dari luasan yang ditandat dengan garis-garis miring dalam gambar diberikan oleh jumlah luasan seperti ditunjukkan dalam gambar.
198
Untuk menentukan tenaga yang harus disimpan dalam roda gila kita hams menentu-kan posisi di mana kecepatan engkolnya maksimum dan minimum. Pertama-tama kita seakan-akan percaya bahwa kecepatan akan minimum pada awal dari lanakah tenaga dan maksimum pada akhir dari langkah tenaga. Bagaimanapun juga dari penyelidikan Gambar kita akan melihat bahwa ini bukaniah posisi-posisi yang benar. Jika kita mu-lai pada titik A dan pergi ke titik B, kita melihat bahwa luasan di bawah kurva mo-men puntir kombinasi adalah negatif, menunjukkan adanya pengurangan pada tenaga, jadi kecepatannya berkurang. Maka sewaktu kita pergi dari B ke C, kita akan melihat bahwa luasannya positif, menunjukkan adanya kelebihan tenaga, jadi kecepatannya ber-tambah. Oleh karena itu kecepatan maksimum dan minimum terjadi pada suatu posisi di mana kurva momen puntir kombinasinya memotong kurva momen puntir rata-rata.
199
Untuk menentukan titik-titik di mana kecepatannya maksimum dan minimum, se-cara kasar kita akan memulainya di titik D, suatu titik awal di mana kurva momen puntir kombinasinya memotong kurva rata-rata dan kita sebut kecepatan di sini = ω l . Pada titik ini energi kinetiknya adalah E1, dan pada waktu kita meneruskannya ke titik A, karena kelebihan tenaga = 100, tenaga pada A adalah E1 + 100. Maka sewaktu kita me-neruskan ke titik B, ada kekurangan tenaga 75 unit. dan jadi pada waktu di B. tenaga telah berkurang menjadi E1 + 25. Pada puncak dari gambar, tingkat tenaga relatifnya dinyatakan untuk tiap perpotongan, dan kita melihat bahwa kecepatan maksimum ter-jadi di titik A, di mana merupakan suatu titik yang tenaganya adalah maksimum, dan kecepatan minimum terjadi pada titik E, di mana tenaganya adalah minimum. Kemudian perubahan tenaga maksimum diberikan oleh jumlah secara ilmu hitting dari luasan yang diarsir di antara titik-titik ini, ini adalah tenaga yang digunakan dalam persamaan 5.
200
Roda gila sering disebut juga roda gaya, roda penerus, adalah sebuah komponen berupa sebuah piringan yang dipasangkan pada flensa di ujung roda poros engkol. Bagian tepi roda gila biasanya memiliki cincin bergerigi untuk pertautan dengan roda gigi motor starter pada saat motor dihidupkan. Karena itu tanpa roda gila hampir tidak mungkin menghidupkan mesin. Kalaupun hidup, putaran mesin menjadi tidak teratur. Bobot yang dimiliki roda gila inilah yang menyebabkan putaran poros engkol mantap dan halus. Bobot roda gila pada mesin mobil penumpang berkisar 7.5-50 KG.
Sirip pengimbang pada poros engkol sering dimanfaatkan untuk membuat putaran mesin menjadi lebih merata. Beberapa merek mobil juga memakai mesin yang dilengkapi alat peredam getaran sehingga putaran mesin menjadi sangat halus. Bentuk peranti ini mirip roda gila, tetapi ukurannya lebih kecil dan dipasang diujung poros engkol bagian depan.
Roda gila dipasang kokoh pada ujung poros engkol sehingga tidak mudah bergeser dari dudukannya. Ini untuk menjamin agar roda gila, mesin , dan kode penyalaan tetap pada posisi yang benar. Selain itu, tepat ditengah roda gila ada lubang kecil. Bantalan peluru ini bertugas menahan ujung bagian depan poros kopling.
Fungsi lain dari roda gila adalah sebagai tempat pemasangan kopling. Kopling terpasang pada roda gila berikut tempurung yang seputar sisi sekrupnya pada roda gila. Permukaan salah satu roda gila dibubut sangat halus. Jadi disamping sebagai alat untuk meneruskan atau menyalurkan tenaga dari mesin ke poros gardan melalui kopling.
Roda Gila pada Kopling
201
202
HUBBLE’S LAW Hubble interpreted redshift-distance relationship as a
linear increase of the recession velocity of external galaxies with their distance
Mathematically, the Hubble law is v=H×d where v=velocity and d=distance Modern measurement gives the Hubble constant as
H=72 km/s/Mpc In fact, Hubble’s interpretation is only “sort of” correct What really increases linearly with distance is simply
wavelength of light observed, and this redshift is due to the cosmological expansion of space over the time since the light left the distant galaxy and arrived at the Milky Way! 203
SPACE TIME STRUCTURE – THE METRIC EQUATION
2 2 2
2 2 22
r x y
r f x g x y h y
∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆ ∆ + ∆
f, g, h Metric coefficients
2 2 2 2 2 2cosr R Rθ θ φ∆ = ∆ + ∆sphere
Metric is invariant
2 2 2 2s c t c t x xα β γ∆ = ∆ − ∆ ∆ − ∆2D spacetime metric
204
POSSIBLE GEOMETRIES FOR THE UNIVERSE The Cosmological Principles constrain the
possible geometries for the space-time that describes Universe on large scales.
The problem at hand - to find curved 4-d space-times which are both homogeneous and isotropic…
Solution to this mathematical problem is the Friedmann-Robertson-Walker (FRW) metric.
205
COSMOLOGICAL PRINCIPLE
Universe is homogeneous – every place in the universe has the same conditions as every other place, on average.
Universe is isotropic – there is no preferred direction in the universe, on average.
Ignoring details… All matter in universe is “smoothed” out ignore details like stars and galaxies, but deal
with a smooth distribution of matter
206
OBSERVATIONAL EVIDENCE FOR HOMOGENEITY AND ISOTROPY
Let’s look into space… see how matter is distributed on large scales.
“Redshift surveys”…Make 3-d map of galaxy
positionsUse redshift &
Hubble’s law to determine distance
207
CfA redshiftsurvey
Each point is a bright galaxy
208
Las CampanasRedshift survey
209
FRIEDMANN-ROBERTSON-WALKER METRIC A “metric” describes how the space-time intervals relate to
local changes in the coordinates We are already familiar with the formula for the space-time
interval in flat space (generalized for arbitrary space coordinate scale factor R):
In terms of radius and angles instead of x,y,z, this is written:
General solution for isotropic, homogeneous curved space is:
And in fact, in general the scale factor may be a function of time, i.e. R(t)
€
∆s2=(c∆t)2−R2 ∆r2
1−kr2+∆θ2+sin2θ(∆ϕ)2
€
∆s2=(c∆t)2−R2∆x2+∆y2+∆z2( )
€
∆s2=(c∆t)2−R2∆r2+∆θ2+sin2θ(∆ϕ)2( )
210
CURVATURE IN THE FRW METRIC
This introduces the curvature constant, k
Three possible cases…
Spherical spaces (closed; k=+1)
211
Flat spaces (open; k=0)
Hyperbolic spaces (open; k=-1)
212
MEANING OF THE SCALE FACTOR, R.
Scale factor, R, is a central concept! R tells you how “big” the space is… Allows you to talk about changing the size of the space
(expansion and contraction of the Universe - even if the Universe is infinite).
Simplest example is k=+1 case (sphere) Scale factor is just the radius of the sphere
R=1 R=2R=0.5
213
What about k=-1 (hyperbolic) universe? Scale factor gives “radius of curvature”
For k=0 universe, there is no curvature… shape is unchanged as universe changes its scale (stretching a flat rubber sheet)
R=1 R=2
214
CO-MOVING COORDINATES. What do the coordinates x,y,z or r,θ,ϕ represent? They are positions of a body (e.g. a galaxy) in the space that
describes the Universe Thus, ∆x can represent the separation between two galaxies But what if the size of the space itself changes? EG suppose space is sphere, and has a grid of coordinates on
surface, with two points at a given latitudes and longitudes θ1,ϕ1
and θ2,ϕ2
If sphere expands, the two points would have the same latitudes and longitudes as before, but distance between them would increase
Coordinates defined this way are called comoving coordinates
215
If a galaxy remains at rest relative to the overall space (i.e. with respect to the average positions of everything else in space) then it has fixed co-moving coordinates.
Consider two galaxies that have fixed co-moving coordinates.Let’s define a “co-moving” distance DThen, the real (proper) distance between the
galaxies is d=R(t) ×D216
DtR )(
DttR )( ∆+
Galaxies and galaxy clusters gravitationally bound. Their meter length does not change with expansion
217
218
219
220
221
HUBBLE LAW
222
EXPANSION RATE
223
224
225
HUBBLE TIME
Hubble sphere
DH
226
SCALE FACTOR –ROBERTSON WALKER METRIC
According to GR, the possible space-time intervals in a homogeneous, isotropic Universe are the FRW metric forms with k=0 (flat), k=1 (spherical), k=-1(hyperbolic):
The scale factor R(t) describes the relative expansion of space as a function of time.
Both physical distances between galaxies and wavelengths of radiation vary proportional to R(t). d(t) =Dcomoving R(t)
λ(t)=λemitted R(t)/R(emitted)
Observed redshift of radiation from distant source is related to scale factor at emission time (t) and present time (t0) by 1+z=R(t0)/R(t)
Hubble observed that Universe is currently expanding; expansion can be characterized by H=(∆ R/∆ t)/R
For nearby galaxies, v=d×H0 ,where the present value of the Hubble parameter is approximately H0 =70 km/s/Mpc
€
∆s2=(c∆t)2−R(t)2∆r2
1−kr2+∆θ2+sin2θ(∆ϕ)2
227
INTERPRETATION OF HUBBLE LAW IN TERMS OF RELATIVITY
New way to look at redshifts observed by Hubble Redshift is not due to velocity of galaxies
Galaxies are (approximately) stationary in space… Galaxies get further apart because the space between
them is physically expanding! The expansion of space, as R(t) in the metric equation, also
affects the wavelength of light… as space expands, the wavelength expands and so there is a redshift.
So, cosmological redshift is due to cosmological expansion of wavelength of light, not the regular Doppler shift from local motions.
228