Định nghĩa tích phân xác định

5/12/2018 Đinh nghĩa tích phân xác đinh - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/dinh-nghia-tich-phan-xac-dinh 1/22

BỘ CÔNG THƯƠNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGH THC H THNH HỐ

HỒ CHÍ MINH

T N

TOÁN CAO CẤP C1

“TÍCH HÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂNTRÊN THC T Ế”

GNG N: LÊ HỮU KỲ SƠN

LỚ P: 02DHNH2

TP.HỒ CHÍ MINH 12/2011



BNG PHÂN CÔNG CÔNG VIC

Mã s ố sinhviên

Phân côngcông việc

Mức độ hoàn thành

đánh giá của giảngviên

Đặng Gia Huy

(T)

Sđt:0904265653

2023110298

Đánh máy,

phương pháp tính tích phân 99%

Nguy ễn Kim

Ngọc2023110250 Làm bài tập 99%

Võ Minh Khôi 2023110284Định nghĩa tíchphân xác định

99%

Đặng Đại Phú 2023110062

Ứng dụng tính

diện tích 99%

Hà Hương yMy

2023110138Ứng dụng tính

diện tích99%

Huỳnh TrungHi ế u


diện tích99%

Nguy ễnhương Khanh


th ể tích99%

Tr ần Bích Thảo 2023110034Ứng dụng tính

th ể tích99%

Nguy ễn Thủy

Tiên2023110124 Làm bài tập 99%

Nguy ễn Qu ố cBão


th ể tích99%

Nguy ễn HùngNam 2023110200

Ứng dụng tính

th ể tích 99%

Phạm Đăng Huy 2023110056Định nghĩa tíchphân xác định

99%

Nguy ễn Thị Hường

2023110336 Làm bài tập 99%

Bùi Thị ũ Nhạc 2023110090 Làm bài tập 99%



LỜ I MỞ ĐẦU

Phép tính tích phân là một thành tựu lớ n của trí tuệ nhân loại. Nó đã tạo nên một b

ngoặt lớ n trong sự phát triển của khoa học và trở thành một công cụ sắc bén, đầy sức

mạnh đượ c các nhà khoa học sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu và ứng dụng thực tiễ

Bài tiểu luận của nhóm sẽ tập trung chủ yếu vào nội dung “tích phân xác định và

d ụng của tích phân” trong thực tế.

Thân ái.

Tập thể thành viên của nhóm.



1. Định nghĩa tích phân xác định:Cho hàm số f(x) và bị chặn trên đoạn . Chia tùy ý đoạn thành n đoạn

nhỏ bởi các điểm chia:

a=<<…<<<…<=b

Trên mỗi đoạn [

;

] lấy 1 điểm

và lập tổng :

= f() + f() +…+ f( ) = ∑

Giớ i hạn (nếu có): (không phụ thuộc vào cách chia và

cách chọn điểm , gọi là tích phân xác định của f trên , kí hiệu:

I=∫

Khi đó ta nói rằng hàm số khả tích trên đoạn .

Điều kiện khả tích:

- Nếu liên tục trên thì khả tích trên .

- Nếu bị chặn trên thì khả tích trên .

- Nếu bị chặn và đơn điệu trên thì khả tích trên .Ví dụ tích phân xác định:

1) ∫

2) ∫ √

3) ∫ | |

4) ∫

5) ∫

M ố i liên hệ giữa tích phân xác đị nh với nguyên hàm, đạ o hàm củ a tích phân

theo tiệ m cậ n trên:

Giả sử f(x) khả tích trên . Hàm: = ∫ , a x b đượ c gọi là

tích phân vớ i tiệm cận trên biến thiên.



Định lý 1: Nếu f(x) khả tích trên thì liên tục trên . Định lý 2: Nếu f(x) khả tích trên thì có đạo hàm trên và = f(x)

∀ x

Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liên tục trên

thì nó có nguyên hàm trên đoạn đó.

2. Các tính chất của tích phân:

Giả sử các tích phân dưới đây đều tồn tại. Khi đó:

a) ∫

b) ∫ ∫

c)

∫ ∫ ∫

d) ∫ ∫ ∫

e) ∫ ∫

f) Nếu ∀ ∫

Nếu ∀ ∫ ∫

Nếu

| | | |

g) Nếu ∀

h) Nếu



Giá trị ∫ là giá trị của trên đoạn [a;b]

Công thứ c Newton – Leibnitz: ∫

Ví dụ:

+) ∫ ∫

+) ∫

+) ∫ ||

+)

∫ ||

Bài t ậ p mở rộ ng: Sử dụng định nghĩa, tính giớ i hạn

a) Giải

Xét ∀ . Trên đoạn [0;1], hàm số xác định và liên tục

nên khả tích trên đoạn đó.

Ta chia [0;1] thành n đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn bằng , giớ i hạn bở i (n+1)

điểm:

Chọn



là tổng tích phân của trên [0;1]

Vậy .

b)

*

+Xét trên [0;1] khả tích trên [0;1].

Vậy .

Ví dụ tính chất của tích phân:

+) Chứng minh rằng: ∫ ∫ Bài giải: ∀ * +, ta có , Do đó ta có

∫

∫

+) Chứng minh rằng: ∫

Vớ i ∀ * +, ta có



Do đó ta có: ∫ ∫

∫

∫

+) Giải thích tích phân xác định dựa vào định nghĩa:

Tính I = ∫

Ta chia đoạn [1;2] thành n đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn bằng, giớ i hạn bởi các đi

chia:

Ta có:

Chọn

Do đó ta có:

∫

∑

∑

+) Cho ∫ ∫



Tính ∫

+) Tìm a biết: ∫

Ta có: ∫ |

3. Phương pháp tính tích phân:

Phương pháp đổ i biế n số :

+) Ví dụ: ∫ √

Đặt:

Đổi cận:

+) Tính

∫ √

Đặt √

Đổi cận:

x 0 1

t 0

x 0

t 0



Chọn:

, , |

|

Phương pháp tính tích phân từ ng phầ n:

Giả sử

là hai hàm số khả vi. Khi đó:

Quy tắc:

Cho là đa thức, là hàm số nào đó.

1.

∫

, đặt

2. ∫ , đặt

3. ∫ , đặt

4. ∫ , đặt

5. ∫ , đặt

6. ∫ , đặt

7.

∫ , đặt

+) Ví dụ1: Giải tìm I

Đặt: , ,



| |

+) Ví dụ 2:

Đặt ,

+) Ví dụ 3:

Tính tích phân: ∫

Chọn: ,

.

Chú ý:

+) Ví dụ: Tính ∫

Chọn: , ,



]

Tương tự :

Nếu n chẵn, ta có:

Vớ i ∫ .

Nếu n lẻ, ta có:

Vớ i ∫

Vậy:

{



{

Hay

4. Tính diện tích, thể tích:

4.1. Diện tích hình phẳng được xác định bằng đườ ng cong: 4.1.1. Bài toán: Tìm diện tích hình phẳng S đượ c giớ i hạn

bở i:

4.1.2. Công thứ c tổng quát: ∫ | |

4.1.3. Công thứ c khai triển:

a) ∫

b) ∫

c) ∫ ∫ ∫

4.2. Diện tích hình phẳng giớ i hạn bởi 2 đườ ng cong:

4.2.1. Bài toán: Tìm diện tích hình phẳng S đượ c giớ i hạn

bở i:



4.2.2. Công thứ c tổng quát: ∫ | |

4.2.3. Công thứ c khai triển:

a) ∫ ∀ b) ∫ ∀ c) ∫ ∫

4.3. Diện tích hình phẳng giớ i hạn bởi các đườ ng cong khép kín:

4.3.1. Bài toán 1: Tìm diện tích hình phẳng S đượ c giớ i hạn

bở i:

Bướ c 1: Giải phương trình: [

Bướ c 2: Sử dụng ∫ | |

4.3.2. Bài toán 2: Tìm diện tích hình phẳng

S giớ i hạn bở i

Bướ c 1: Giải phương trình tương giao tìm hoành độ giao điểm



Bướ c 2: Sử dụng ∫ ∫ ( )

4.3.3. Các bài tập minh họa:

Bài 1: Tính S: {(A): ; (D): Giải

(A) (D): *

Bài 2: Tính S:{(

Giải

:

:

Nhìn vào đồ thị ta có:



Bài 3: Tính S: {

Giải

Gọi S’ là phần nằm phía trên trục Ox, từ tính chất

của 2 hàm chẵn ta suy ra tính đối xứng khi S=2S’.

Do

√

√ √ √ √

√

4.4. Thể tích khối tròn xoay:

4.4.1. sinh bở i diện tích S quay xung quanh Ox:

Công thứ c: ∫



sinh bở i diện tích S của 2 đồ thị quay xung quanh Ox:

Công thứ c: ∫

4.4.2. sinh bở i diện tích:đườ ng cong bậc hai =0 qua

xung quanh Ox

Bướ c 1: Tách đườ ng cong bậc hai thành:

Và giả sử

Bướ c 2: Xác định cận Khi đó: ∫

4.4.3. sinh bở i diện tích S của 1 đồ thị quay xung quanh Oy

Bướ c 1:

Bướ c 2: ∫



sinh bở i diện tích S của 2 đồ thị quay xung quanh Oy:

Bướ c 1:

Bướ c 2: Giả sử ∫

4.4.4. sinh bở i diện tích:đườ ng cong bậc hai =0 qua

xung quanh Oy

Bướ c 1: Tách đườ ng cong bậc 2 thành

Và giả sử

Bướ c 2: Xác định cận Khi đó ∫

4.4.5. Phương pháp bao trụ tính khi diện tích S quay quanOy:

Công thứ c: ∫

4.4.6. Các bài tập mẫu minh họa:

Bài 1: Tìm

sinh bở i S: {

quay quanh Ox

Giải

Xét ∫ ∫ ∫ ∫



Bài 2: Cho S:{ Tính khi S quay quanh O

Giải

Bài 3: Cho (H): và (D) là tiếp tuyến của (H) đi qua A(2,-1) vớ i hệ số góc

dương. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bở i miền phẳng giớ i hạn bở i (H), (D) và trục

khi quay quanh trục Oy.

Giải

(D) đi qua A(2,-1) nên

(D):

Ta có: (D) tiếp xúc (H)



LỜ I KẾT

Sự ra đờ i của tích phân đượ c coi là một bướ c ngoặt lớ n trong lịch sử phát triển của

nền toán học toàn thế giớ i. Nhờ đó mà chúng ta có thêm một phương pháp tổng quát

hữu hiệu để giải quyết hàng loại những bài toán phức tạp về diện tích cũng như thể

tích của những vật thể có hình dạng phức tạp. Vì vậy tích phân đã trở thành công cụ

không thể thiếu phục vụ cho việc học tập, nghiên cứu của hầu hết sinh viên Việt Namngày nay.



TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Sách giáo khoa 12, NXB Giáo dục Việt Nam.

2) Tài liệu toán C1

3) Chuyên đề tích phân, tác giả Võ Đại Mau, NXB Trẻ, 2000.

4) Phương pháp giải toán tích phân, tác giả Nguyễn Ngọc Thu, NXB Trẻ

TP.HCM, 2003.

Định nghĩa tích phân xác định

Documents