dinÂmica revisÃopicazzio/aga292/notasdeaula/... · 2008. 5. 6. · espaço (3d) e tempo são...

DINÂMICAREVISÃO

Representação matemática da Leis de Kepler

θθθθ++++

−−−−====

cose

)e(ar

1

1 2

1a. Lei:

hr

dt

dr

dt

dA

222

22

====θθθθ

====θθθθ

====&

2a. Lei:

const. dist. veloc. angular

variáveis

const.

momentoangular

conservaconservaçção do ão do momento angular:momento angular:velocidade aumenta velocidade aumenta

quando distância diminui, quando distância diminui, vicevice--versaversa

2r

2M 1MG F ====

aMF ××××====

Equivalência entre massa inercial e massa gravitacional

Newton pensava que os valores das duas

massas eram muito próximos, senão iguais.

Barão von Roland Eötvös (húngaro): mediu

com grande precisão a equivalência entre

elas.

Newton pensava que os valores das duas

massas eram muito próximos, senão iguais.

Barão von Roland Eötvös (húngaro): mediu

com grande precisão a equivalência entre

elas.

Einstein: “ Essa lei (de equivalência) atingia-me com todo

seu impacto. Espantava-me sua persistência e imaginei que

nela deveria residir a chave de mais profunda compreensão

da gravitação e da inércia. Eu não tinha dúvidas sérias

acerca de sua estrita validez...”

Einstein: “ Essa lei (de equivalência) atingia-me com todo

seu impacto. Espantava-me sua persistência e imaginei que

nela deveria residir a chave de mais profunda compreensão

da gravitação e da inércia. Eu não tinha dúvidas sérias

acerca de sua estrita validez...”

A Mecânica Newtoniana e a Teoria da Relatividade

Variação da massa inercial

Nenhuma aceleraNenhuma aceleraçção pode aumentar a velocidade de um objeto ão pode aumentar a velocidade de um objeto alaléém da velocidade luz no vm da velocidade luz no váácuo: cuo:

Isto equivale a dizer que sua massa inercial tende ao infinito Isto equivale a dizer que sua massa inercial tende ao infinito quando sua velocidade tende a da luz no vquando sua velocidade tende a da luz no váácuo:cuo:

Dizer que a massa inercial aumenta com a velocidade equivale a Dizer que a massa inercial aumenta com a velocidade equivale a dizer que a mesma fordizer que a mesma forçça aplicada ao objeto tera aplicada ao objeto teráá resultado de resultado de aceleraaceleraçção cada vez menor na medida em que o objeto atingir a ão cada vez menor na medida em que o objeto atingir a velocidade muito prvelocidade muito próóxima a da luz, a forxima a da luz, a forçça não tera não teráá qualquer qualquer resultado.resultado.

0a,cvqdo;tavv 0 →→→→→→→→⋅⋅⋅⋅++++====

∞∞∞∞→→→→→→→→==== m,0ase;m

Fa

Mecânica Clássica e Mecânica Relativística

Espaço (3D) e tempo são grandezas independentes e absolutas.

O referencial absoluto de tempo está no agente motor (Deus).

A velocidade que um corpo pode adquirir sob aceleração constante é infinita.

O valor da massa não muda com o estado dinâmico.

EspaEspaçço (3D) e tempo são o (3D) e tempo são grandezas independentes e grandezas independentes e absolutas. absolutas.

O referencial absoluto de tempo O referencial absoluto de tempo estestáá no agente motor (Deus).no agente motor (Deus).

A velocidade que um corpo pode A velocidade que um corpo pode adquirir sob aceleraadquirir sob aceleraçção constante ão constante éé infinita.infinita.

O valor da massa não muda com o O valor da massa não muda com o estado dinâmico.estado dinâmico.

Espaço-tempo (4D) não são grandezas independentes.

Tempo é grandeza variável com o referencial.

Velocidade é finita e o valor máximo é o da luz propagando-se no vácuo.

A massa inercial aumenta com a velocidade e tende a infinito na velocidade da luz.

EspaEspaççoo--tempo (4D) não são tempo (4D) não são grandezas independentes.grandezas independentes.

Tempo Tempo éé grandeza varigrandeza variáável com o vel com o referencial. referencial.

Velocidade Velocidade éé finita e o valor finita e o valor mmááximo ximo éé o da luz propagandoo da luz propagando--se se no vno váácuo.cuo.

A massa inercial aumenta com a A massa inercial aumenta com a velocidade e tende a infinito na velocidade e tende a infinito na velocidade da luz.velocidade da luz.

Mecânica Clássica e Mecânica Relativística

Energia total de um sistema gravitacional:

Lei de GravitaLei de Gravitaçção Universalão Universal

(1.1.14)

−+=+=

r

mMG

2

mv)r(V)r(TE

2

energia) da ão(conservaç 0 ;r em nalgravitacio potencial energia ;r em cinética energia

:com

===dt

dE)r(V)r(T

Possibilidades:

para o caso de E = 0, as energias cinética e potencial são iguais em módulo, por

isso o corpo está solto. Isto define uma velocidade crítica, a de escape:

ejetado) nalmentegravitacio (corpo )(hipérbole

solto) nalmentegravitacio (corpo (parábola)

preso) nalmentegravitacio (corpo (elipse)

0E1e

0E1e

0E1e0

>⇒>

=⇒=

<⇒<<

r

MGv

r

MGv

r

mMGmve

2

220

22

=⇒

=→

−+=

Enos Picazzio – IAGUSP (2007)

Problema de 1 corpo (corpo de massa desprezProblema de 1 corpo (corpo de massa desprezíível movimentandovel movimentando--se se ao redor de outro com massa, supostamente, pontual)ao redor de outro com massa, supostamente, pontual)

1.1.1eq.própriaaésoluçãoCuja

1.2.31.2.21.2.1

:fica1.2.1eq.ae

tira1.1.1eq.

r

=

&&

Equação diferencial do movimento:

1.2.1 r/mhrm)r(F :logo

r/h hr como

mrrm)r(F :a.m)r(F como

centrífuga ac.r rra

:rotação em lReferencia Sistema

32

4222

2r

22r

−=

=θ→=θ

θ−==

≡θθ−=

&&

&&

&&&

&&&&


)(// 22232re1ahrhr −−−−====−−−−&&&&&&&&

Solução:

θcose1

)e1(ar

2

+

−=

Problema de 2 corpos (movimento relativo ao centro de massa)Problema de 2 corpos (movimento relativo ao centro de massa)

1.3.1 mqMp

rqp

=

=+


1.3.3

:teanalogamen

1.3.2

:Logo m.por imposta é M em ac.

2

2

2

2

r

MGqq

r

mGpp

−=−

−=−

θ

θ

&&&

&&&2r rra θ−= &&&

lembrando

1.3.7 )cose1(

1

)Mm(G

hr

:é soluçãocujar

h como

r/)Mm(Gr/hr

)Mm(r

Grr :1.3.3 1.3.2

2

4

22

232

2

2

θ

θ

θ

++=

=

+−=−

+−=−+

&

&&

&&&

ProblemaProblema de 3de 3 corposcorpos

Neste caso existem 5 soluções estacionárias � 5 pontos Lagrangianos.

Soluções estáveis: L4 e L5.

Havendo perturbação, o corpo pode voltar à posição de equilíbrio dependendo da

relação entre as massas envolvidas.

Exemplo típico: asteróides Troianos de Júpiter.



primeiro. ao relação em girante não e M de

massa de centro no origem com inercial sistema,,

conjunto do inercial sistema,,

massas,

'''

≡

≡

≡

zyx

zyx

mM

3M2M2

3m2m

r

rGmr

r

r

r

GMmrM

r

r

r

MmGF

r

rGMr

r

r

r

GMmrmrmamF

r

&&rr

&&rr

v

r

&&rr

&&r&&rrr

=⇒==

−=⇒−===

:Temos

A A -- equaequaçção do movimento relativoão do movimento relativo


0rr

r3

(I)=+µ r&&r





massas,

'''

≡

≡

≡

zyx

zyx

mM

B B –– conservaconservaçção da energiaão da energia

(II)

por teescalarmen (I) ndoMultiplica

cter2

vE

0r2

v

dt

d0r.r

rv.v0r.r

rv.v0

rr.rr.r

:r

2

2

333

=−=⇒

=

−⇒=+⇒=+⇒=+

µ

µµµµ&&

r&r&rvr&r&&r&v

&r multiplicando

multiplicando (I) 0rr

r3

=+r&&r µ

escalarmente por :r&r


32

212

r

rrvv

r

rvv

dtdrr)1(

2

dtdvv2

r2

v

dt

d

••

••

−− +=+=−−=

−

µµµµ

ctevrh

cterrh

)0rrcterr0rrrr)rr(dt

d

)0rr0rr0rrr

rr

:r

3

=×=

=×=

=×=×⇒=×+×=×

=×=×∴=×+×

rrr

&rrr

&r&r&rr&&rr&r&r&rr

rr&&rrrr&&rr

v

(III) :angular Momento

( como

(pois

por ente vetorialm(I) ndoMultiplica

µ





massas,

'''

≡

≡

≡

zyx

zyx

mM

multiplicando (I) 0rr

r3

=+r&&r µ

vetorialmente por :rv

C C –– conservaconservaçção do momento angularão do momento angular

lembrando:

r × r × sen(θ = 0) = 0






massas,

'''

≡

≡

≡

zyx

zyx

mM

D D –– equaequaçção da trajetão da trajetóória (1ria (1ºº lei de Kepler)lei de Kepler)

)rh(r

hr0)hr(r

hr

:h

33

rrr&&r

rrr&&r

r

×=×⇒=×+×µµ

por ente vetorialm(I) ndoMultiplica

βγ

γβµ

βµ

βµ

βµ

rr

rrrrr&rr

rrrrrr

rrrrr&rr

rrrr&r

e r entre ângulo com

cosrrh

.rr.rr

h.rr

:z.yxzy.x como

.rr.rr

hr.r

:r por teescalarmen rr

hr ndoMultiplica

2

≡

+=⇒

+=×

×=×

+=×

+=×


cônicas) das geral (Eq. Kepler de Lei 1º

(VI) cos)/(1

/hr

2

γµβ

µ

+=

µβµ

γ

/e/hp

cose1

pr

2 ==

+=

e com

:polares coord. Em

S

T360º :planeta o Para

S 360º

A 360º :Terra a Para

360º percorreu Terra

percorreu planeta

oposições 2 entre sinódico períodoS

→

→

→+

→

+

⇒−=

≡

α

α

α

α)T(t)T(tS 13

360A

S360−=α

α

S360T = S

1

A

1

T

1−=

Planeta SuperiorPlaneta Superior

D

d

A – duração do ano ; T – período sideral (orbital) ; S – período sinódico (aparente)

oposição

oposição


Planeta InferiorPlaneta Inferior

S

1

A

1

T

1

)A/S360(360

S360

360

S360T

,

+=

+→

+=

+=→∴

+→

=

→

≡→∴

:logo

360ºS

360ºT

360º de se-deslocouou PP de foi Planeta 2.

A

360Sou

S

d) 365,256(AA 360º

" " ângulo um de se-deslocou Terra 1.

:S tempode intervalo No

31

α

α

α

α

α

α

A – duração do ano

T – período sideral (orbital)

S – período sinódico (aparente)


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