dipartimento di fisica e astronomia - …caratteristiche associate a grandezze misurabili. – p....

POPOLAZIONE E CAMPIONI

POPOLAZIONE insieme di tutti quegli elementi chehanno almeno una caratteristica comune (persone,oggetti,misure, osservazioni). Consideriamo il caso dicaratteristiche associate a grandezze misurabili.

– p. 1/24



CAMPIONE sottoinsieme finito di elementi estratti acaso dalla popolazione.

– p. 1/24



CAMPIONE sottoinsieme finito di elementi estratti acaso dalla popolazione.

VARIABILE CASUALE X: funzione che associa inmodo univoco ad ogni elemento del campione unnumero reale.

– p. 1/24


– p. 2/24

VARIABILI CASUALI

variabile casuale o aleatoria: grandezza che può assumere nel corsodi una prova un valore sconosciuto a priori. Legata al verificarsi di unevento casuale.

– p. 3/24

VARIABILI CASUALI


Funzione X che associa ad ogni elemento dello spazio dei risultati(popolazione) S = {E1, E2, · · · · · ·} uno e un solo numero reale:X(Ei) = xi

– p. 3/24

VARIABILI CASUALI



variabile casuale discreta: assume valori entro un insieme finito onumerabile (corrispondenza univoca con i numeri naturali)

– p. 3/24

VARIABILI CASUALI



variabile casuale discreta: assume valori entro un insieme finito onumerabile (corrispondenza univoca con i numeri naturali)

variabile casuale continua: assume valori entro un insieme nonnumerabile (corrispondenza univoca con i numeri reali).

– p. 3/24

VARIABILI CASUALI ↔ MISURE

Un insieme finito di operazioni di misura può esserepensato come un campione, cioè un particolaresottoinsieme formato da elementi estratti a casodall’insieme di tutte le infinite possibili operazioni dimisura (popolazione) che potrebbero essere effettuatesulla stessa grandezza fisica, eseguite col medesimostrumento e sfruttando le medesime procedure.

– p. 4/24

VARIABILI CASUALI ↔ MISURE

Un insieme finito di operazioni di misura può esserepensato come un campione, cioè un particolaresottoinsieme formato da elementi estratti a casodall’insieme di tutte le infinite possibili operazioni dimisura (popolazione) che potrebbero essere effettuatesulla stessa grandezza fisica, eseguite col medesimostrumento e sfruttando le medesime procedure.

Il risultato numerico di una misura affetta da erroricasuali è una variabile casuale.

– p. 4/24

VARIABILI CASUALI DISCRETE

Hp: Ogni evento Ei abbia una probabilità pi di verificarsi

– p. 5/24



Gli elementi di S = {E1, E2, · · · · · ·} sono incompatibili edefiniscano l’intero spazio dei risultati →

∑

i=1pi = 1

(probabilità totale).

– p. 5/24




∑

i=1pi = 1


Analogia con il caso di una serie di N misure ripetute.Infatti, i risultati possono essere raggruppati in M classidi frequenza relativa fi = ni/N tali che∑

M

i=1fi = 1 e

∑

M

i=1ni = N .

– p. 5/24




∑

i=1pi = 1



M

i=1fi = 1 e

∑

M

i=1ni = N .

Dal teorema di Bernoulli sappiamo che se N → ∞allora f → p, per cui ritroviamo la relazione precedente.

– p. 5/24




∑

i=1pi = 1



M

i=1fi = 1 e

∑

M

i=1ni = N .

Dal teorema di Bernoulli sappiamo che se N → ∞allora f → p, per cui ritroviamo la relazione precedente.

Un campione di misure ripetute in identiche condizionidella stessa grandezza corrisponde ad eventiincompatibili. Se N è molto grande, vale la condizionedi normalizzazione delle frequenze relative.

– p. 5/24

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

Distribuzione di probabilità P (X) di una variabilecasuale X:relazione che stabilisce una corrispondenza univoca tra ivalori di tale variabile e la loro probabilità.

– p. 6/24


Prova o esperimento: lancio di un dado

– p. 7/24



Variabile casuale: numero uscitoX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

– p. 7/24



Variabile casuale: numero uscitoX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Distribuzione di probabilità:P (X) = {1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}

– p. 7/24


Prova o esperimento: lancio di 2 dadi

– p. 8/24



Variabile casuale: somma dei punteggi X = 2, 3, 4, · · · 12

undici elementi → Xi = i + 1; i = 1, 2, 3, ...11

– p. 8/24





Il numero di possibili coppie è 62. Dobbiamo considerarele combinazioni che corrispondono alla stessa sommadei punteggi, e.g. 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1, 3 eventiincompatibili (probabilità totale).

– p. 8/24






Si noti che nel lancio di due dadi, l’uscita di due numericorrisponde a 2 eventi compatibili indipendenti(probabilità composta).

– p. 8/24






Si noti che nel lancio di due dadi, l’uscita di due numericorrisponde a 2 eventi compatibili indipendenti(probabilità composta).

Quindi P (4) = P (1, 3) + P (2, 2) + P (3, 1) =

1/6 · 1/6 + 1/6 · 1/6 + 1/6 · 1/6 = 3/36– p. 8/24


La distribuzione di probabilità risultante è:

– p. 9/24


– p. 10/24


– p. 11/24

FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATIVA

La funzione di distribuzione cumulativa associa ad ogni valore x dellavariabile casuale X la somma delle probabilità che la stessa assumavalori ≤ x.

F (x) = P (X, x) =∑

xi≤x

p(xi)

– p. 12/24



F (x) = P (X, x) =∑

xi≤x

p(xi)

Nel caso del lancio di un dado si avra’

– p. 12/24



F (x) = P (X, x) =∑

xi≤x

p(xi)

Nel caso del lancio di un dado si avra’

Nel caso di variabili discrete è rappresentata da una funzione agradini, non decrescente, che raggiunge il massimo a 1.

– p. 12/24

VALORE DI ASPETTAZIONE

Il valore di aspettazione o speranza matematica di una variabilecasuale discreta X è

E(x) =∑

i pixi

– p. 13/24



E(x) =∑

i pixi

Terminologia inglese: expected value

– p. 13/24



E(x) =∑

i pixi


Il valore medio della variabile X su un campione finito di dimensioneN , suddiviso in M gruppi è

x̄ =∑M

i=1fixi

Sappiamo che fi → pi per N → +∞ (Th. di Bernoulli).

– p. 13/24



E(x) =∑

i pixi



x̄ =∑M

i=1fixi


x̄ → E(x) per N → ∞: importante, abbiamo collegato la mediaaritmetica osservata alla distribuzione teorica!!!

– p. 13/24



E(x) =∑

i pixi



x̄ =∑M

i=1fixi



E(x) può non esistere, la serie non converge; E(x) può nonappartenere al dominio di X .

– p. 13/24

VALORE DI ASPETTAZIONE (caso discreto)

Lancio del dado (uscita di una faccia)E(x) = 1/6 · 1 + 1/6 · 2...1/6 · 6 = 21

6= 3.5

– p. 14/24

VALORE DI ASPETTAZIONE (caso discreto)

Lancio del dado (uscita di una faccia)E(x) = 1/6 · 1 + 1/6 · 2...1/6 · 6 = 21

6= 3.5

Lancio di 2 dadi (somma dei punteggi)E(x) = 1·2+2·3+3·4+4·5+5·6+6·7+5·8+4·9+3·10+2·11+1·12

36= 7

– p. 14/24

INFORMAZIONI

Prossime lezioniGiorno Ora Dove17/02 14:30 P5019/02 14:30 LABORATORIO (Via Loredan)24/02 14:30 P50 ? da definirsi26/02 14:30 Aula informatica (6 gruppi)03/03 14:30 P5005/03 14:30 Aula informatica (6 gruppi)

– p. 15/24

INFORMAZIONI

Prossime lezioniGiorno Ora Dove17/02 14:30 P5019/02 14:30 LABORATORIO (Via Loredan)24/02 14:30 P50 ? da definirsi26/02 14:30 Aula informatica (6 gruppi)03/03 14:30 P5005/03 14:30 Aula informatica (6 gruppi)

Decidere la spartizione tra i 2 due turni per l’aula inform.

– p. 15/24



E(x) =∑

i pixi

– p. 16/24



E(x) =∑

i pixi


– p. 16/24



E(x) =∑

i pixi



x̄ =∑M

i=1fixi


– p. 16/24



E(x) =∑

i pixi



x̄ =∑M

i=1fixi



– p. 16/24



E(x) =∑

i pixi



x̄ =∑M

i=1fixi



E(x) può non esistere, la serie non converge; E(x) può nonappartenere al dominio di X .

– p. 16/24

VARIANZA DI UNA DISTRIBUZIONE DISCRETA

Errore di una variabile casuale: x − E(x)

– p. 17/24



Varianza: definita come il valore di aspettazione dellavariabile casuale [x − E(x)]2

V ar(x) = σ2x= E

{

[x − E(x)]2}

=∑

ipi[xi − E(x)]2

– p. 17/24




V ar(x) = σ2x= E

{

[x − E(x)]2}

=∑

ipi[xi − E(x)]2

Si dimostra che:σ2

x= E(x2) − [E(x)]2

– p. 17/24




V ar(x) = σ2x= E

{

[x − E(x)]2}

=∑

ipi[xi − E(x)]2

Si dimostra che:σ2

x= E(x2) − [E(x)]2

Deviazione standard o errore quadratico medio σx:radice quadrata della varianza.

– p. 17/24

COMBINAZIONI LINEARI: VALORE DI ASPETTAZIONE

Sia f = ax + by + cz · · ·, con a, b, c coefficienti costanti

– p. 18/24



Siano E(x), E(y), E(z), · · · i valori di aspettazione

– p. 18/24




Si dimostra che:

– p. 18/24




Si dimostra che:

E(f) = aE(x) + bE(y) + cE(z) · · ·

– p. 18/24




Si dimostra che:

E(f) = aE(x) + bE(y) + cE(z) · · ·

La media aritmetica può essere vista come combinazionelineare delle N misure, con coefficienti tutti uguali a 1/N .

– p. 18/24




Si dimostra che:

E(f) = aE(x) + bE(y) + cE(z) · · ·


Applicando il teorema si ottiene E(x̄) = E(x)

– p. 18/24




Si dimostra che:

E(f) = aE(x) + bE(y) + cE(z) · · ·


Applicando il teorema si ottiene E(x̄) = E(x)

Il valore di aspettazione della popolazione delle mediearitmetiche dei campioni di dimensione finita N coincidecon il valore di aspettazione della popolazione stessa.

– p. 18/24

COMBINAZIONI LINEARI: VARIANZA

Hp: le variabili x,y, z siano statisticamente indipendenti, cioècorrispondenti ad eventi compatibili indipendenti.

– p. 19/24



Si dimostra che:σf

2 = a2σx2 + b2σy

2 + c2σz2 + · · ·

– p. 19/24



Si dimostra che:σf

2 = a2σx2 + b2σy

2 + c2σz2 + · · ·

Una combinazione lineare, a coefficienti costanti, di due variabilicasuali statisticamente indipendenti ha varianza uguale allacombinazione lineare delle rispettive varianze, con coefficienti pari aiquadrati dei coefficienti rispettivi.

– p. 19/24



Si dimostra che:σf

2 = a2σx2 + b2σy

2 + c2σz2 + · · ·


Ritrovere questo risultato nell’ambito della propagazione degli errorinelle misure effettuate con metodi indiretti.

– p. 19/24



Si dimostra che:σf

2 = a2σx2 + b2σy

2 + c2σz2 + · · ·


Ritrovere questo risultato nell’ambito della propagazione degli errorinelle misure effettuate con metodi indiretti.

Due variabili casuali che differiscano per una quantità costantehanno la stessa varianza.t = x + cost. → σ2

t = σ2x (→...gli errori sistematici non alterano la

precisione dei dati...)

– p. 19/24

L’ERRORE QUADRATICO MEDIO DELLA MEDIA

Variabile casuale: media aritmetica x̄ = 1N

∑

N

i=1 xi:combinazione lineare delle N misure con coefficientiuguali a 1/N

– p. 20/24



∑

N


Varianza σx̄2 =

1

N 2

N∑

i=1

σxi

2 =1

N 2· Nσx

2

σx̄2 =

σx2

N

– p. 20/24



∑

N


Varianza σx̄2 =

1

N 2

N∑

i=1

σxi

2 =1

N 2· Nσx

2

σx̄2 =

σx2

N

IMPLICAZIONI: L’errore quadratico medio della media diun campione

– p. 20/24



∑

N


Varianza σx̄2 =

1

N 2

N∑

i=1

σxi

2 =1

N 2· Nσx

2

σx̄2 =

σx2

N


è minore dell’analogo errore delle singole misure.

– p. 20/24



∑

N


Varianza σx̄2 =

1

N 2

N∑

i=1

σxi

2 =1

N 2· Nσx

2

σx̄2 =

σx2

N


è minore dell’analogo errore delle singole misure.

tende a zero al crescere del numero di misure effettuato.

– p. 20/24

DISTRIBUZIONE UNIFORME DISCRETALa funzione di distribuzione di probabilità assume lo stesso valoreper tutti i valori della variabile casuale: p(x) = p per ogni x = 1, · · ·n

– p. 21/24


Dalla condizione di normalizzazione: → pi = 1/n

– p. 21/24



Valore si aspettazione

E(x) = 1·1/n+2·1/n · · ·n·1/n = 1/n =1

n

n∑

i=1

i =1

n

n(n + 1)

2=

n + 1

2

(Si è usata la relazionen

X

i=1

i =n(n + 1)

2dalla teoria delle progressioni aritmetiche )

– p. 21/24




E(x) = 1·1/n+2·1/n · · ·n·1/n = 1/n =1

n

n∑

i=1

i =1

n

n(n + 1)

2=

n + 1

2


X

i=1

i =n(n + 1)


Varianza:

σ2 =

∑n

i=1i2

n−

(∑n

i=1i

n

)2

=(n + 1)(2n + 1)

6−

(n + 1)2

4=

n + 1

2

(

2n + 1

3−

n + 1

2

)

=n + 1

2·4n + 2 − 3n − 3

6=

n2 − 1

12

(Si è usata la relazioneP

n

i=1 i2 =

n(n+1)(2n+1)6

)

– p. 21/24




E(x) = 1·1/n+2·1/n · · ·n·1/n = 1/n =1

n

n∑

i=1

i =1

n

n(n + 1)

2=

n + 1

2


X

i=1

i =n(n + 1)


Varianza:

σ2 =

∑n

i=1i2

n−

(∑n

i=1i

n

)2

=(n + 1)(2n + 1)

6−

(n + 1)2

4=

n + 1

2

(

2n + 1

3−

n + 1

2

)

=n + 1

2·4n + 2 − 3n − 3

6=

n2 − 1

12

(Si è usata la relazioneP

n

i=1 i2 =

n(n+1)(2n+1)6

)

Il valore di aspettazione e la varianza del punteggio associato allancio di un dado sono : E(x) = 6+1

2= 3.5 e σ2 = 36−1

12∼ 2.92

– p. 21/24

ESERCIZI

Data una serie di n misure {mi}, come cambiano mediaaritmetica e scarto quadratico medio se ogni misura

è moltiplicata per 2: yi = 2 · xi ?è incrementata di 2: yi = 2 + xi ?

– p. 22/24

ESERCIZI

Considera la seguente distribuzione di frequenza. Qualè la frequenza mancante nella posizione occupatadall’asterisco?

Classi Freq. ass. Freq. cumulata in %

fino a 584 1 4.00%

584 − |1774.4 * 64.00%

1774.4 − |2964.8 4 80.00%

2964.8 − |4155.2 3 92.00%

4155.2 − |5345.6 1 92.00%

più di 5345.6 1 100.00%

A)25 B)15 C)16 D)3

– p. 23/24

ESERCIZI

Data la seguente distribuzione di probabilità:x 0 1 2 3 4 5 6

P (x) 0.17 0.19 0.23 0.16 0.14 0.14 0.07

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

A)P (X > 3) = 0.51 B)P (X ≤ 3) = 0.65

C)P (2 ≤ X ≤ 5) = 0.33 D)P (X < 6) = 1

– p. 24/24

dipartimento di fisica e astronomia - …caratteristiche associate a grandezze misurabili. – p....

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