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Dipartimento di SEA
Università degli Studi di Cagliari
___________________________
Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM___________________________
Prof. Paolo Mattana
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Obiettivo importante:
scoprire l'esistenza di relazioni tra le variabili
Abbiamo già visto l'analisi di correlazione:
solo relazioni lineari; solo intensità della relazione
TEORIA DELLA REGRESSIONE
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CHE COS’E’ L’ECONOMETRIA?
Definizione di Samuelson (1954):
L’econometria può essere definita come l’applicazione della statistica matematica ai dati economici per ottenere il supporto empirico ai modelli costruiti nell’ambito della teoria economica e per ottenere stime numeriche.
In pratica nasce dall’integrazione tra la teoria economica, l’economia matematica e la statistica allo scopo di:
• identificare valori numerici per i parametri delle relazioni economiche (elasticità, propensioni, valori marginali)
• verificare la validità delle teorie economiche proposte
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Per confutare/confermare teorie economiche
Per trovare veste numerica ai parametri
Per metterci in grado di capire i lavori empirici
Per metterci in grado di fare valutazioni autonome della realtà
Per studiare relazioni esistenti fra comportamenti di soggetti economici (ad es. imprese) e risultati
PERCHE’ STUDIARE L’ECONOMETRIA?
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Individuazione di una asserzione teorica di interesse Creazione del modello matematico Specificazione della forma statistica Raccolta dati Stima Test delle ipotesi Uso del modello per scopi professionali/conoscitivi o di politica economica
CENNI SUL METODO DELL’ECONOMETRIA
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Es: da cosa dipende la domanda di benzina?
Teoria economica: la domanda è influenzata:
• negativamente dal prezzo (P)• positivamente dal reddito (R)• dai rapporti di sostituibilità/complementarietà (G)• dalle possibili innovazioni tecniche (T)
Contesto multivariato: siamo interessati ai seguenti aspetti
Effetti prodotti dalle variazioni di prezzoEffetti prodotti dalle altre variabili.
INDIVIDUAZIONE DI UN’ASSERZIONE TEORICA
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Altre forme più complesse?
L’economia matematica si incarica di dare veste funzionalealla relazione teorica di interesse
Es. (nel caso di relazioni multivariate individuate dalla teoria)
Lineare
Log lineare
TβGβRβPββQ 54321
tβgβrβpββq 54321
CREAZIONE DI UN MODELLO MATEMATICO
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La relazione matematica è esatta (mondo deterministico)Il mondo reale implica errori
Non riusciamo a confortare la teoria con una relazione esatta.
Esiste però la possibilità di considerare la relazione dal punto di vista statistico/econometrico
SPECIFICAZIONE FORMA STATISTICA/ECONOMETRICA
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Si aggiunga perciò un termine stocastico di errore
Nella nuova formulazione,
• i parametri beta costituiscono l’oggetto dell’analisi;
• se i parametri sono diversi da zero trovo conferma alla teoria
• u è il termine stocastico di errore
uTβGβRβPββQ +54321
SPECIFICAZIONE FORMA STATISTICA/ECONOMETRICA
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I dati possono avere la forma
Cross-section
Osservazioni relative ad una particolare unità economica (un consumatore, uno stato, un produttore) in un punto temporale.
Come ci immaginiamo una cross-section?
Es. di relazioni bivariate fra dati cross-section:
•PIL dei paesi UE / investimenti (anno 2000);•Domanda Consumatori / reddito disponibile (1995);•Etc….
RACCOLTA DATI
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Serie temporali
Abbiamo, in questo caso, osservazioni relative all’evoluzione temporale della stessa unità economica (insieme di consumatori, stato, insieme di produttori …)
Possono essere osservazioni• annuali • trimestrali• mensili• etc.
Es. Pil italiano dal 1970 al 2007 (proviamo a scaricare le serie da istat.it
RACCOLTA DATI
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Analisi univariata
Valutazione di medie, varianze, altri momenti…..
Analisi bivariata
Analisi di correlazione•solo relazioni lineari •solo intensità della relazione
Analisi di regressionenatura della relazione (es. causalità)forma della relazione (es. forma funzionale)relazioni non-linearicontesti multivariati
STIMA – TIPI DI ANALISI
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Le analisi forniscono “risposte”. Impareremo a valutare questerisposte con procedure ben precise (test delle ipotesi).
Tali risposte possono
Confermare la teoriaNon confermare la teoriaDare indicazioni numeriche
Nel caso in cui non si trovi conferma della teoria
• è sbagliata la teoria?• la trasposizione empirica è viziata da qualche difetto?
TEST DELLE IPOTESI - CONFRONTO CON I DATI
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USO DEL MODELLO PER FINI PROFESSIONALI O …
I modelli econometrici possono essere molto utili
per fini professionali • stima di funzioni di domanda e dei loro parametri• stima di funzioni di costo e loro parametri• per noi anche:
• relazione fra misure di concentrazione e profitti/occupazione• relazione fra misure di diversificazione e profitti/occupazione• relazione fra attività di innovazione e profitti/occupazione• ….
per avere indicazioni di politica economica• stima di funzioni di consumo• modello econometrico della Banca d’Italia• previsioni macroeconomiche •…
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Con l'analisi di regressione abbiamo la possibilità di studiare la natura della relazione fra le variabili e la forma che essa assume
Prime limitazioni:
Consideriamo solo due variabili (vedremo successivamente l'estensione al caso n-dimensionale);
Il modello di regressione semplice prevede l'esistenza di una variabile endogena e di una variabile esogena;
Inizieremo con modelli lineari.
TEORIA DELLA REGRESSIONE
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"immaginarci" la retta vera a partire dalle informazioni campionarie. Un metodo a mia disposizione è quello di "adattare" una retta alla nuvola di punti che rappresenta il mio campione e sperare di ottenere una stima (predizione) accettabile della retta vera.
NB: Si parla di:
• disturbi quando si ragiona sulla retta “vera”• errori o residui quando si ragiona sulla retta stimata
Ricordiamoci sempre che la retta di regressione vera (quella della popolazione) è sconosciuta e tale resterà
Obiettivo:
TEORIA DELLA REGRESSIONE
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Quale retta scelgo?
Criterio di scelta
• deviazioni dalla media?• modulo delle deviazioni dalla media?• deviazioni al quadrato?
Cosa implica la scelta del criterio?
TEORIA DELLA REGRESSIONE
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TEORIA DELLA REGRESSIONE
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Un criterio logico per trovare una retta che attraversi una nuvola di punti è quello che "in qualche modo" imponga una riduzione degli scarti tra osservazioni e retta stimata (residui).
NB:
La retta vera è sconosciuta.
Devo trovare un sostituto attendibile
Criterio Minimizzare la somma degli scarti quadratici dalla retta (RSS)
METODO OLS (MINIMI QUADRATI ORDINARI
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2 2
2 ˆ ˆˆ- - -i i i i iRSS e Y Y Y X
OLS sceglie alfa e beta in modo da minimizzare S = RSS
Minimizzazione di una funzione rispetto a due variabili
ˆˆ2 - - 0ˆ
ˆˆ2 - - 0ˆ
i i
i i i
SY X
SX Y X
TEORIA DELLA REGRESSIONE
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Primo elemento
ˆ0ˆ
ˆ ˆ
i i
i i i
SY X
Y X n X
2
2
ˆˆ0ˆ
ˆˆ
i i i i
i i i i
SX Y X X
X Y X X
Secondo elemento
TEORIA DELLA REGRESSIONE
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ii YXn ,,Poiché sono conosciuti, le uniche incognite sono βeα ˆˆ
Mettendo a sistema
ˆˆS S
e ottengo le stime OLS di βeα ˆˆ
ˆ ˆˆ - -i iY XY X
n nDove:
Y è la media di Y
X
TEORIA DELLA REGRESSIONE
è la media di X
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NB:
221 1ˆi i i i i iX Y X Y X X
n n
22
1
1
i i i i
i i
X Y X Ynˆ
X Xn
22i iX X
TEORIA DELLA REGRESSIONE
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22i iX X
2 22 2- -2x X X X X X X 2 22X X X nX
2
22 2
2
1
XX X X nX
n
X X X X Xn
TEORIA DELLA REGRESSIONE
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- -i i i ix y X X Y Y
TEORIA DELLA REGRESSIONE
X X Y Y XY Y X X Y XY
XY X Y Y X nX Y
X YXY Y X nX Y
n nX Y X Y
XY Y X nn n n n
n XY X Y
n
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222
1- -
ˆ1 -
i i i i i i
ii i
X Y X Y X X Y YnX XX X
n
Quindi posso scrivere:
TEORIA DELLA REGRESSIONE
2
cov( )ˆvar( )
i i i i
i i
x y x yx x
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Condizioni del secondo ordine per il metodo OLS
2ˆ ˆ
i iS Y α β X
i i i
i i i
S ˆ ˆˆ ˆ2 Y - - X 0 2 Y 2 2 XˆS ˆˆ2 X Y - - X 0ˆ
TEORIA DELLA REGRESSIONE
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La regressione è significativa?
L’equazione è stata ricavata da un campione e non dalla popolazione
1. Test t sull’errore standard della pendenza b: Ipotesi nulla = la pendenza è uguale a 0;
2. Analisi della varianza: si esamina il rapporto tra varianza spiegata dalla regressione e varianza residua.
TEORIA DELLA REGRESSIONE
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La t è una FDP che presenta una forma è schiacciata rispetto alla Z
E’ stata calcolata dal matematico inglese Gosset (1908), che la pubblicò sotto lo pseudonimo di Student
La sua forma esatta dipende dai gradi di libertà:
GdL = n – parametri da stimare
dove n è la dimensione del campione
I valori della t sono tabulati (oppure si può usare la rete…)
L’INFERENZA STATISTICA
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.
Per campioni molto grandi, il valore di s oscilla poco intorno al suovalore medio .
Quindi per valori molto grandi la distribuzione t si avvicina molto a quella di Z ed arriva a coincidere per infiniti gradi di libertà.
Per piccoli campioni le differenze sono notevoli, data l’oscillazione casuale di s intorno a
NB: In generale, la distribuzione t è rilevante ogniqualvolta si abbia:
DISTRIBUZIONE t
2
0 21
/n
i
i n
Z Nt Z
n
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etc15
3.02.151.7.6914
3.02.21.8.6913
……………
9.94.32.9.812
63.712.76.31.01
0.010.050.10.5
Parte della distribuzioneche cade all’esterno dei valori tabulati
Valore critico di t perdf=14 (con valore critico al 5%)
Gra
di d
i lib
ert
à
DISTRIBUZIONE t
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Principio base
“Residui grandi implicano un “fit” scadente”
Da questo principio posso costruire un indice di “varianza spiegata”
In generale ho per tutte le osservazioni
( ) ( ) ( )Y-YY-YY-Y iiˆ+ˆ=
IL COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE
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( ) ( ) ( )Y-YY-YY-Y iiˆ+ˆ=
( )Y-Y
( )Y-Y iˆ
( )Y-Y i
Y
Y
IL COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE
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ˆ ˆ- - -i iY Y Y Y Y Y
Questo darà vero anche se sommo tutte le osservazioni
NB:
La media può essere interpretata come il valore di Yi senza l’influenza dei regressori
IL COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE
![Page 36: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/36.jpg)
La relazione è valida anche per i quadrati
2
2 2
2 2
2
-
ˆ ˆ ˆ ˆ- - - -
ˆ ˆ- -
i
i i
i
Y Y
Y Y Y Y Y Y Y Y
Y Y Y Y
In quanto
2 2 0 ˆ ˆ ˆ- - -i iY Y Y Y e Y Y
IL COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE
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Infatti
2 2
2 2 2
ˆ ˆˆ- -
ˆˆ -
ii i
ii i i
e Y Y e X Y
e e X Y e
Definizioni
SST = Total Sum of Squares
SSE = Explained Sum of Squares
SSR = Residual Sum of Squares
=0 =0 =0
IL COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE
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Definizione:
Il coefficiente di determinazione R2 misura la quota parte della varianza della variabile dipendente spiegata dalla regressione.
22
2
-1- i
i
eSSE SST SSRR
SST SST y
IL COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE
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Finora:
• Abbiamo trovato uno stimatore per la relazione fra X e Y;
• Abbiamo sviluppato regole decisionali che permettono di usare lo stimatore per “testare” ipotesi sulla relazione tra X e Y;
• Ma abbiamo sempre preso in considerazione una sola X (ed un solo beta, coefficiente angolare)
• Il mondo è spesso più complicato!!
Cosa succede se Y ha piu’ di una “causa”?
IL MODELLO MULTIVARIATO
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εXβXβXββY kk ++...+++= 33221
L’equazione da stimare diventa (in notazione scalare):
dove le Xj sono le variabili indipendenti (o regressori) e i beta sono parametri (sconosciuti) oggetto di stima.
La logica OLS è la stessa
NB: qual è ora l’interpretazione dei beta?
Possono essere visti come derivate parziali: misurano cioè l’effettosulla variabile dipendente di variazioni delle relative variabili indipendenti (ceteris paribus).
IL MODELLO MULTIVARIATO
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Ciascun elemento del vettore beta è una pendenza associata ad una X.
Esattamente come in un contesto bivariato, tranne per il fatto che 1 (generico) rappresenta la variazione attesa di Y per una unità di incremento di X1, (tenendo costanti X2…Xn);
Quindi il coefficiente generico i rappresenta l’effetto diretto di Xi su Y (controllando per le diverse altre cause)
IL MODELLO MULTIVARIATO
![Page 42: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/42.jpg)
Svilupperemo ora il modello classico di regressione lineare
Distingueremo le assunzioni sulla variabile indipendente e le assunzioni sui residui.
Assunzioni sulla variabile indipendente
IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE
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Assunzioni sui residui
∀ i)E(ε i 0
222 σ)E (ε))E (ε-E (ε)Var(ε iiii
j≠iεεE)E (ε-ε)E (ε-εEε,εCov jijjIiji 0
∀ iN~ε i
IIA:
IIB
IIC
IID
= costante
IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE
)σN(0,i.i.d.èε i2
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0)E (ε i in media, la linea di regressione sia corretta
X
Y
X1 X2 X3
iε-
iε+
Y
IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE
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2σ)Var(ε i varianza costante dei disturbi (omoschedasticità)
X
Y
YX1 X2 X3
PD
F d
i ε i
IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE
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PD
F d
i ε i
X
Y
YX1 X2 X3
IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE
2ii σ)Var(ε varianza non costante dei disturbi
(eteroschedasticità)
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IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE
Lo scatter (X, Residui) spesso produce una nuvola a “ventaglio”
Resid
ui
X
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j≠iεεEεE-εEεE-εEε,εCov jijjiiji 0IIC
iε
Corr. Negativa Corr. Positiva Assenza Corr.
IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE
-1iε -1iε-1iε
iε iε
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IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE
Resid
ui
t
Esempio di correlazione seriale positiva nei residui
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Le proprietà degli stimatori sono raggruppabili in due categorie:
1. Small sample properties;
2. Large sample properties
Ricordiamo la definizione di stimatore?
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
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Correttezza θθE ˆ
Definizioni correlate
Errore campionario:
θ-)θE(bias≠θ-θ ˆˆ
Abbiamo incontrato esempi di stimatori distorti. Ad es.
n
)X-(Xv i∑ 2
2 tende a sottostimare bisogna correggere per n - 1
2σ
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
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θ)θE( ˆ
Correttezza:
Uno stimatore correttoè centrato sul valore“vero” della popolazione
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
![Page 53: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/53.jpg)
22 σ≠)σE ( ˆ
Esempio di stimatore distorto
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
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Efficienza Varianza minima
Anche quando uno stimatore è non distorto esiste sempre la probabilità di avere una realizzazione campionaria molto lontana dalla media vera della popolazione. Tale probabilità sarà tanto più bassa quanto più lo stimatore è efficiente.
N.B. La proprietà di efficienza è definita su uno stimatore rispetto a tutti gli altri.
Lo stimatore corretto che presenta varianza minima è Best Unbiased Estimator
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
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A
B
Lo stimatore con distribuzione campionaria A non presenta varianza minima
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
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Esercizio 5.1 (Thomas)
Una variabile casuale X ha media μ = 70 e varianza 2σ
Per stimare μ estraiamo un campione casuale di dimensione n = 20
3 stimatori sono proposti:
3+= Xa
nXb
80+=
Xn
nc
1+=
1.
2.
3.
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
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i. Dimostrare che a, b e c sono distortiii. Calcolare la distorsioneiii. Calcolare la varianza. Quale stimatore presenta var inferiore?
μ)XE()XE(E(a) +3=+3=3+=
μ)XE(n)XE(E(b) +4=+4=/80+=
21/70=1+)(
)(=)1+
1(=)
1+(=)( -
nXE
-XEXn
-XEXn
nEcE
i.
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
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θ-θEbias )ˆ(=
3=+3 μ-μ
4=+4 μ-μ
21/70=21/70 -μ--μ
(bias maggiore)
ii.
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
Bias nel caso dello stimatore a:
Bias nel caso dello stimatore b:
Bias nel caso dello stimatore c:
![Page 59: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/59.jpg)
nσXaVar /=)3+var(=)( 2
nσXbVar /=)4+var(=)( 2
nσ
n
nX
nn
VarcVar2
2
2
)1+(=)
1+(=)(
iii.
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
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∑
∑
∑
∑
∑
∑222 =
)(==ˆ
i
ii
i
ii
i
ii
x
Yx
x
Y-Yx
x
yxβ
In quanto 0=∑ ixY
Proviamo ora a studiare le proprietà degli stimatori OLSquando le assunzioni del modello classico sono rispettate.
Si parta dalla constatazione che:
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
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∑ 0=iw 0=1
== 22 ∑∑
∑∑∑ i
ii
ii x
xx
xw
∑ 1=ii Xw 1=== 2
2
∑
∑∑∑
i
iiiii x
xxwXw
Possiamo anche scrivere
∑ iiYwβ =ˆ dove ∑ 2=i
ii x
xw è la parte deterministica
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
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Linearità
Il modello che stiamo studiando è lineare in Y
...++==ˆ2211 YwYwYwβ ii∑
In quanto i termini∑ 2=
i
ii x
xw
sono costanti (X non è stocastica)
Lo stesso si può dimostrare per
lineare in Y
α
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
![Page 63: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/63.jpg)
Correttezza: lo stimatore OLS è corretto
Punto di partenza
=)++(==ˆiiiii εXβαwYwβ ∑∑
=++= iiiii εwXwβwα ∑∑∑
iiεwβ ∑++0=
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
![Page 64: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/64.jpg)
Dalla forma: iiεwββ ∑+=ˆ
)+(=)ˆ( iiεwβEβE ∑
)(+)(=)ˆ( iiεwEβEβE ∑
...+)(+)(+=)ˆ( 2211 εwEεwEββE
...+)(+)(+=)ˆ( 2211 εEwεEwββE
ββE =)ˆ(
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
![Page 65: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/65.jpg)
Uno stimatore è efficiente quando presenta la varianza minima tra tutti gli stimatori (ci si riferisce alla classe degli stimatori lineari )
Efficienza: lo stimatore OLS presenta varianza minima
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
Teorema di Gauss – Markov
Per il modello di regressione lineare, sotto le assunzioni (IIA – IID), gli stimatori OLS hanno la varianza più piccola tra tutti gli stimatori lineari e corretti (unbiased). Lo stimatore OLS è BLUE.
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La distribuzione campionaria degli stimatori OLS
Quale sarà la distribuzione campionaria degli stimatori OLS?
Sappiamo che: ),0(...~ 2σNdiiε i
Ne deriva che: iii εΧβαY ++=
è la somma di una cost. e di una VC distribuita normalmente
Quindi: ),+(~ 2σXβαNY ii
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
![Page 67: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/67.jpg)
Ora, poiché
∑∑
2=ˆi
ii
x
yxβ
Xβ-Yα ˆ=ˆ
sono funzioni lineari di Y, ne deriviamo che, in infiniti campioni
),(~ˆ 2α
σαNα
),(~ˆ 2β
σβNβ
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
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Come sono fatti2β
σ2α
σ e ?
∑∑∑
2
2
22
2222 =
)(==)ˆ( ∑
ii
ii x
σ
x
xσaσβVar
Per quanto riguardaβ sappiamo che
Da cui si ricava2β
σ Standard error diβ
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
![Page 69: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/69.jpg)
Senza dimostrazione diamo anche:
2ˆ2
22
=α
i
i σxn
Xσ
∑∑
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
![Page 70: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/70.jpg)
Nelle regressioni si usa il test – t di significatività statistica per verificare l’esistenza di effetti lineari di una variabile indipendente sulla variabile dipendente
( ))(
ˆ=1
j
jj-k-n βSE
βE-βt
è il coefficiente di regressione campionaria, SE(βj) è lo standard error della distribuzione campionaria di βj
jβ
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
![Page 71: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/71.jpg)
0
0
j1
j0
β:H
β:HTest su due code
0
0
j1
j0
β:H
β:HTest su una coda
Come mai si usa la t e non la Z standardizzata?
NB:
La varianza della popolazione è sconosciuta; si approssima con la varianza (corretta) campionaria…
PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS
![Page 72: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/72.jpg)
La gran parte dei test (sia che usino il principio LR, Wald o LM) generano statistiche da semplici regressioni ausiliarie (OLS).
• Solo i test che usano il principio LR richiedono la stima di entrambi i modelli (ristretto e non ristretto).
• Wald richiede solo stima modello ristretto
• LM richiede solo stima modello non ristretto
LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST
![Page 73: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/73.jpg)
Basi di partenza:
- Esistono alcuni risultati standard sulle proprietà distributive delle stime ottenute con metodi MLE
- tali risultati possono utilizzarsi per costruire test asintotici (parametrici/non parametrici)
- Il passaggio da MLE a OLS (lo stimatore che conosciamo) è semplice considerando che (sotto l’ipotesi di normalità degli residui), la funzione di verosimiglianza è proporzionale a RSS
LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST
![Page 74: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/74.jpg)
Lo stimatore MLE del vettore di parametri sarà:
Sotto H0: MLE = arg MAX L( )
s.t. R = q
Sotto H1: MLE = arg MAX L( )
Come selezionare un test desiderabile?
Possiamo sfruttare 3 principi: LR, Wald e LM
LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST
θ
θ
θ
θ
θ
θ
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LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST
• Le tre statistiche misurano la “distanza” secondo tre diversi criteri
θ
θlnL ˆ
θ
θlnL
RELAZIONE FRA I TRE PRINCIPI
θstgα ˆ
![Page 76: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/76.jpg)
TEST JARQUE-BERA
Statistica per testare l’ipotesi nulla di normalità dei residui.
Sfrutta la differenza tra la statistica relativa ad una serie specifica e i valori che si dovrebbero determinare sotto una distribuzione normale. La statistica si computa come segue:
dove S è l’indice di simmetria, K il kurtosis e k il numero di coefficienti stimati.
Sotto H0, JB si distribuisce come un χ2 con 2 gradi di libertà
43
6
22 -K
Sk-N
JB
LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE
![Page 77: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/77.jpg)
TEST DI WHITE
Statistica LM utile per testare la presenza di Eteroschedasticità di qualche forma (sconosciuta).
Si parta dal modello generico
e si studi la regressione ausiliaria:
Test sull’ipotesi congiunta sotto H0
eXβXββY 33221
uXXXXe 324233
2221
2 γγγγ
0432 γγγ
LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE
![Page 78: Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM ___________________________](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070312/5542eb4e497959361e8bd2a5/html5/thumbnails/78.jpg)
TEST DI WHITE
La statistica si distribuisce come un χ2 con r (restrizioni) gradi di libertà.
In Eviews esiste anche la versione semplificata senza “cross-terms”
In presenza di Heteroschedasticità uso la stima GLS.
In Eviews trovate le stime Heteroschedasticity-consistent
LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE
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RESET TEST (REGRESSION SPECIFICATION ERROR TEST) RAMSEY
Si prenda in considerazione il modello generale:
Il RESET test ipotizza l’esistenza di altre variabili (generiche)
Se suppongo che la matrice Z sia composta di quadrati e altre potenze della Y avrò un test di corretta specificazione del modello
LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE
eXβY '
eXβY '' γZ
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RESET TEST (REGRESSION SPECIFICATION ERROR TEST) RAMSEY
Quindi il RESET è un test generale per i seguenti problemi:
· Omitted variables; X does not include all relevant variables.
· Incorrect functional form; some or all of the variables in Y and X should be transformed to logs, powers, reciprocals, or in some other way.
· Correlation between X and e, which may be caused by measurement error in X, simultaneous equation considerations, combination of lagged y values and serially correlated disturbances.
LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE
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TEST BREUSCH-GODFREY (LM) DI CORRELAZIONE SERIALE
- Test condotto con regressione ausiliaria;
- Bisogna specificare l’ordine di correlazione (si fissa un numero “sufficientemente elevato”;
- E’ valido anche in presenza di variabili dipendenti ritardate;
LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE
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TEST BREUSCH-GODFREY (LM) DI CORRELAZIONE SERIALE
Steps:
- Si conduca la regressione
- Si salvino i residui ;
- Si conduca la regressione ausiliaria:
- Il test è su un’ipotesi congiunta sui gamma…
LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE
tt uXβXββY 33221
tttt euuXβXββu 221133221 γγ
tu