diplomski prezentacija
DESCRIPTION
beye teoremTRANSCRIPT
Uslovna vjerovatnoća i Bayesov teorem sa praktičnim primjerima
Mentor: doc. dr. Emina Resić
Student: Adnan Mahmutović
Sadržaj rada:
1. Uvod
2. Pojam vjerovatnoće
3. Uslovna vjerovatnoća i nezavisnost događaja
4. Teorem totalne vjerovatnoće i Bayesov teorem
5. Zaključak
Literatura
2. Pojam vjerovatnoće
Historijat Definicija vjerovatnoće
• Eksperimentalna (a posteriori)
• Teorijska (a priori)
n
AnAp
n
)()( lim
A
in
pAp
pppp
p
1
)()(.2
1)(0,1)()()(.1
1,0)(:
1
21
P
3. Uslovna vjerovatnoća i nezavisnost događaja
Definicija uslovne vjerovatnoće
Nezavisni događaji
1. odnosno
2.
)(
)()(
Ap
ABpABp
)()( ApBAp )()( BpABp
)()()( BpApBAp
Uslovna vjerovatnoća: Primjer 1.
Proizvođač kućanskih aparata razmatra žalbe vezane za kvalitet svojih proizvoda. Sve žalbe su razvrstane u tri grupe, prema razlogu za žalbu: elektronske, mehaničke i dizajnerske, prije i po isteku garantnog perioda. Distribucija žalbi prema navedenim kategorijama data je u sljedećoj tabeli:
Ukoliko je poznato da je žalba podnesena u garantnom roku, zanima nas procenat žalbi za svaki od pojedinih razloga za žalbu.
Razlozi za žalbu
Elektronski Mehanički Dizajnerski Ukupno
Prije isteka garantnog roka
14 12 25 51
Nakon isteka garantnog roka
21 18 10 49
Ukupno 35 30 35 100
Rješenje primjera 1:
Događaji:
• E – razlog za žalbu je elektronske prirode
• M – razlog za žalbu je mehaničke prirode
• D – razlog za žalbu je dizajnerske prirode
• G – žalba je podnesena prije isteka garantnog roka
• Zaključujemo da od svih žalbi podnesenih u garantnom roku, njih 27,5% je iz razloga elektronskog kvara.
275,051,0
14,0
)(
)()|(
14,0100
14)(
51,0100
51)(
Gp
GEpGEp
GEp
Gp
Rješenje primjera 1 - nastavak
Slično:
Od svih žalbi podnesenih u garantnom roku, 23,5% njih je iz razloga mehaničkog kvara a 49% zbog nedostataka dizajnerske prirode.
49,051,0
25,0
)(
)()|(
235,051,0
12,0
)(
)()|(
Gp
GDpGDp
Gp
GMpGMp
4. Teorem totalne vjerovatnoće i Bayesov teorem
Historijat
Potpun sistem događaja
Teorem totalne (potpune) vjerovatnoće:
• Neka događaji H1, H2,..., Hn čine potpun sistem događaja. Tada, za bilo koji događaj B vrijedi:
n
iii HBpHpBp
1
)|()()(
Teorem totalne vjerovatnoće: Primjer 2
Sijalice se proizvode u tri fabrike: A, B i C. Poznato je da fabrike A i B proizvode 2% a fabrika C 3% neispravnih sijalica. Fabrika A proizvodi dva puta više sijalica od fabrike B a fabrike B i C jednak broj sijalica u određenom vremenskom periodu. Sijalice iz sve tri fabrike drže se u istom skladištu. Postavlja se sljedeće pitanje: Ako sasvim slučajno odaberemo jednu sijalicu iz tog skladišta, kolika je vjerovatnoća da je ona neispravna?
Rješenje primjera 2:
Događaji: B – sijalica je neispravna H1 – sijalica je proizvedena u fabrici A
H2 – sijalica je proizvedena u fabrici B
H3 – sijalica je proizvedena u fabrici C
H1, H2, H3 čine potpun sistem događaja:
25,0)()(,5,0)(
1)(2
1)(
2
1)(
)(2
1)()(
1)()()(
321
111
132
321
HpHpHp
HpHpHp
HpHpHp
HpHpHp
Rješenje primjera 2 - nastavak
Na osnovu teksta zadatka imamo uslovne vjerovatnoće:
Vjerovatnoća da je na slučaj odabrana sijalica neispravna jednaka je:
Vjerovatnoća da je na slučaj odabrana sijalica iz tog skladišta neispravna iznosi 2.25%.
Pitanje: Ukoliko je na slučaj odabrana sijalica neispravna, kolika je vjerovatnoća da je proizvedena u fabrici A?
03,0)|(,02,0)|(,02,0)|( 321 HBpHBpHBp
025,003,025,002,025,002,05,0
)|()()|()()|()()( 332211
HBpHpHBpHpHBpHpBp
Bayesov teorem (zakon inverzne vjerovatnoće)
Neka događaji H1, H2, ..., Hn čine potpun sistem događaja. Tada vrijedi:
Neke primjene Bayesovog teorema u teoriji:• Bayesova teorija odlučivanja (odabir akcije sa
najvećom očekivanom vrijednošću)• Bayesove igre (korigovanje polaznih uvjerenja o
ostalim učesnicima igre)• Medicinska istraživanja (određivanje najvjerovatnijeg
uzroka nastalog simptoma)
)(
)|()(
)|()(
)|()()|(
1
Bp
HBpHp
HBpHp
HBpHpBHp jj
n
iii
jjj
Bayesov teorem: Primjer 3
Preduzeće ALFA uvodi novi proizvod na tržište. Direktor marketinga procjenjuje da je vjerovatnoća da će novi proizvod biti superiorniji u odnosu na proizvod najbližeg konkurenta jednaka 90%. Međutim, nije posve siguran u svoju procjenu. Zato je angažirao poznatu konsultantsku tvrtku da napravi preliminarno istraživanje tržišta radi provjere početne procjene. Direktor konsultantske tvrtke saopštio je svome klijentu da će njegovo istraživanje biti pouzdano sa vjerovatnoćom 80%, zbog veličine predviđenog uzorka i problema sa mjernim instrumentima.Takva 80%-tna pouzdanost zapravo znači da će istraživanje pokazati superiornost ili inferiornost proizvoda: ako je proizvod stvarno superioran, istraživanje će pokazati superiornost sa vjerovatnoćom 80% a ako je proizvod stvarno inferioran, istraživanje će pokazati inferiornost sa vjerovatnoćom od 80%.
Bayesov teorem: Primjer 3 - nastavak
Situacija A: Istraživanje je pokazalo da je novi proizvod superioran svom najbližem konkurentu
Događaji:
• D1 – novi proizvod je superioran konkurentskom
• D2 – novi proizvod je inferioran konkurentskom
• X – istraživanje je pokazalo superiornost
Poznate su polazne (subjektivne) vjerovatnoće:
i uslovne vjerovatnoće:
Događaji D1 i D2 čine potpun sistem događaja.
1,0)(,9,0)( 21 DpDp
.2,0)|(,8,0)|( 21 DXpDXp
Bayesov teorem: Primjer 3 - nastavak
Vjerovatnoća da je proizvod superioran svom najbližem konkurentu u situaciji kada je istraživanje pokazalo superiornost jednaka je:
Vjerovatnoća da je proizvod inferioran svom najbližem konkurentu u situaciji kada je istraživanje pokazalo superiornost jednaka je:
97,02,01,08,09,0
8,09,0
)|()()|()(
)|()()|(
2211
111
DXpDpDXpDp
DXpDpXDp
03,097,01)|(1)|( 12 XDpXDp
Bayesov teorem: Primjer 3 - nastavak
Situacija B: Istraživanje je pokazalo da je novi proizvod inferioran svom najbližem konkurentu – događaj X.
Uslovne vjerovatnoće su:
Vjerovatnoća da je proizvod superioran na tržištu ukoliko istraživanje pokaže inferiornost jednaka je:
Vjerovatnoća da je proizvod inferioran na tržištu ukoliko istraživanje pokaže inferiornost jednaka je:
8,0)|(,2,0)|( 21 DXpDXp
69,08,01,02,09,0
2,09,0
)|()()|()(
)|()()|(
2211
111
DXpDpDXpDp
DXpDpXDp
31,069,01)|(1)|( 12 XDpXDp
Literatura
Knjige:• Anderson, D., R., Sweeney, D., J., Williams, T., A.,
Freeman, J., Shoesmith, E., Statistics for Business and Economics, Thomson Learning, London, 2007.
• Elazar,S., Matematička statistika, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo, 1972.
• Ivković, Z., Matematička statistika, Naučna knjiga, Beograd, 1975.
• Lovrić., M., Komić, J., Stević, S., Statistička analiza: metodi i primjena, Grafid d.o.o., Banja Luka, 2006.
• Mališić, J., Verovatnoća i statistika, Krug, Beograd, 2001.• McClave, J., T., Dietrich, F., H., Sincich, T., Statistics,
Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, 1997.• Somun – Kapetanović,R., Statistika u ekonomiji i
menadžmentu, Ekonomski fakultet, 2006.
Literatura:
Internet izvori:• Bayes, Thomas, www.gametheory.net• Bayes’ theorem, www.arnoldkling.com• Probability and Bayes theorem,
www.cee.hw.ac.uk• Dodatna informacija i odlucivanje, Darko
Tipuric, • http://web.efzg.hr/dok//OIM/dtipuric//10-
Informacija%20i%20odlu%C4%8Divanje.pdf