diplomsko delo - core · 1.1 definicija matrike 4 zgled 2 diagonalni elementi v matriki d = 8 5 31...
TRANSCRIPT
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Oddelek za matematiko in racunalnistvo
DIPLOMSKO DELO
Gregor Ambroz
Maribor, 2010
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Oddelek za matematiko in racunalnistvo
Diplomsko delo
ANTISIMETRICNE MATRIKE
Mentorica: Kandidat:
doc. dr. Ajda Fosner Gregor Ambroz
Somentor:
doc. dr. Dominik Benkovic
Maribor, 2010
ZAHVALA
Pot ne bi bila ista brez vas,
vas, ki me napolnjujete z modrostjo,
upanjem in zivljenjem.
Hvala vam!
Posebna zahvala velja moji mentorici, spostovani doc. dr. Ajdi Fosner, in somen-
torju, spostovanemu doc. dr. Dominiku Benkovicu, za strokovno pomoc in vodenje
pri izdelavi diplomskega dela.
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
IZJAVA
Podpisani Gregor Ambroz, rojen 8. maja 1984, student Fakultete za naravoslovje in
matematiko Univerze v Mariboru, studijskega programa matematika in racunalnistvo,
izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom
ANTISIMETRICNE MATRIKE
pri mentorici doc. dr. Ajdi Fosner in somentorju doc. dr. Dominiku Benkovicu
avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni;
teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.
Maribor, 19. maj 2010
Antisimetricne matrikeprogram diplomskega dela
Diplomsko delo naj obravnava osnovne lastnosti antisimetricnih matrik. Predstavljeni
naj bodo osnovni izreki, ki vkljucujejo antisimetricne matrike, ter njihovi dokazi. Prav
tako naj bo vkljucena primerjava med simetricnimi in antisimetricnimi matrikami.
Osnovna literatura:
1. R. A. Horn, C. R. Johnson, Matrix analysis, Cambridge University Press, Cam-
bridge (1985).
2. D. Kurepa, Visa algebra, Skolska knjiga, Zagreb (1965).
3. E. M. Landesman, M. R. Hestens, Linear algebra for mathematics, science and
engineering, Practice-Hall International (1992).
doc. dr. Ajda Fosner
AMBROZ, G.: ANTISIMETRICNE MATRIKE.
Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in mate-
matiko, Oddelek za matematiko in racunalnistvo, 2010.
IZVLECEK
Diplomsko delo je sestavljeno iz treh poglavij.
V prvem poglavju predstavimo osnovne pojme matrik in njihove definicije. Nato podrobneje
opisemo racunske operacije med njimi in jih ponazorimo z zgledi. Nazadnje predstavimo
tudi determinanto matrike in njene lastnosti, lastne vrednosti in Jordanovo kanonicno formo
matrike.
V naslednjem poglavju se posvetimo simetricnim matrikam. Najprej opisemo definicijo
simetricne matrike, nato spoznamo njene osnovne lastnosti. Vsako lastnost ponazorimo z
zgledom. Na koncu drugega poglavja se usmerimo tudi k definitnosti in semidefinitnosti
simetricnih matrik.
V uvodu tretjega poglavja predstavimo antisimetricne matrike. Nadaljujemo z osnovnimi
izreki, ki jih dokazemo in ponazorimo z zgledi. V tem poglavju vpeljemo tudi ostale izreke
in definicije, ki so povezane z antisimetricnimi matrikami.
Poglavje zakljucimo s primerjavo simetricnih in antisimetricnih matrik, ki smo jih zasledili
skozi celotno drugo in tretje poglavje diplomskega dela.
Kljucne besede: simetricne matrike, antisimetricne matrike, definitnost, semidefinitnost.
Math. Subj. Class. (2010): 15A18,15B48.
AMBROZ, G.: Antisymmetric matrices.
Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and
Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, 2010.
ABSTRACT
The thesis consist of three chapters.
In the first chapter the basics of matrices and their definitions are presented. Arithmetic
operations between them are described furthermore in greater detail and are illustrated
by examples. Finally matrix’s determinant and its characteristics, eigenvalues and Jordan
canonical form are presented.
Next chapter deals with symmetrical matrices. First the definition of symmetrical matrix is
described and then its basic characteristics are recognized. Each characteristic is illustrated
by an example. The end of the second chapter is directed to definite and semidefinite of
the symmetrical matrices.
In the introduction of the third chapter antisymmetrical matrices are presented. Basic
theorems are preceded, which are proved and illustrated by examples. This chapter also
introduces other theorems and definitions that are connected with antisymmetrical matrices.
The chapter ends with comparisons of symmetrical and antisymmetrical matrices that were
presented throughout the entire second and third chapter of the thesis.
Keywords: symmetrical matrices, antisymmetrical matrices, definite, semidefinite.
Math. Subj. Class. (2010): 15A18,15B48.
Kazalo
Uvod 1
1 Matrike 3
1.1 Definicija matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Racunske operacije z matrikami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Determinanta matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Lastne vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Jordanova kanonicna forma matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Simetricne matrike 30
2.1 Definicija in osnovne lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Definitnost in semidefinitnost simetricnih matrik . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Antisimetricne matrike 44
3.1 Uvod v antisimetricne matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Osnovni izreki za antisimetricne matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Primerjava simetricnih in antisimetricnih matrik . . . . . . . . . . . . . . . 51
Literatura 53
ix
Uvod
Raziskovanje matrik je dokaj staro. Latinske kvadrate in magicne kvadrate so raziskovali
ze v prazgodovinskih casih. Nemski matematik Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) je
razvil teorijo determinant leta 1693. Svicarski matematik Gabriel Cramer (1704-1752) je
teorijo razvil naprej in leta 1750 vpeljal Cramerjevo pravilo. Izraz matrika pa je prvi skoval,
leta 1848, angleski matematik James Joseph Sylvester (1814-1897). V zacetku 19. stoletja
sta nemski matematik Carl Friedrich Gauss (1777-1855) in nemski geodet Wilhelm Jordan
(1842-1899) razvila Gauss-Jordanovo eliminacijsko metodo. Matematiki, kot so Cayley,
Hamilton, Hermann Gunther Grassmann, so kasneje se veliko raziskovali matrike in njihove
teorije.
Matrike ze dolgo uporabljamo pri resevanju linearnih enacb. Matrika je v matematiki
pravokotna tabela stevil. V diplomskem delu bodo elementi matrik realna ali kompleksna
stevila. Matrike uporabljamo za zapis podatkov, ki so odvisni od dveh kategorij, saj je vsaka
matrika sestavljena iz vrstic in stolpcev. Uporabne pa so tudi za proucevanje koeficientov
sistemov linearnih enacb in linearnih transformacij.
Zacetek diplomskega dela bomo posvetili matrikam. Najprej bomo povedali kaj so matrike,
kako jih oznacimo in kako so sestavljene. Prvo poglavje bomo nadaljevali z vrstami matrik,
katere bomo tudi opisali in jih prikazali na konkretnih primerih. Predstavili bomo nicelno,
spodnje in zgornje trikotno, diagonalno, skalarno, identicno, unitarno in ortogonalno ma-
triko. V drugem delu prvega poglavja si bomo pogledali racunske operacije med matrikami.
Najprej bomo opisali kdaj sta dve matriki enaki in podali lastnosti, ki veljajo za enakost
matrik. Nato pa se bomo osredotocili na racunske operacije. Kot prvo racunsko operacijo
bomo predstavili sestevanje dveh matrik, naslednja bo mnozenje matrike s skalarjem in kot
zadnja bo produkt dveh matrik. Za vsako operacijo bomo opisali njene lastnosti ter kdaj
je operacijo sploh izvedljiva in jo na koncu tudi prikazali na konkretnem primeru. V tem
delu bomo tudi opisali kako dobimo nasprotno matriko poljubne matrike. V tretjem delu
prvega poglavja se bomo osredotocili na determinanto matrike. Najprej bomo vpeljali de-
terminanto poljubne n×n matrike, nato pa si bomo podrobneje pogledali kako izracunamo
determinanto matrike, ki ima dimenzijo 2×2 ter nato kako izracunamo determinanto matrike
1
2
dimenzije 3 × 3. Nadaljevali bomo z lastnostmi determinant in sicer, da je determinanta
transponirane matrike enaka determinanti matrike same, kdaj je vrednost determinante
enaka 0, kaj se zgodi ce v determinanti zamenjamo dve vrstici ali stolpca in se nekaj os-
novnih lastnosti. Tukaj bomo proucili pomen poddeterminante ali minorja ter kdaj je minor
vogalen in kdaj glaven. Prav tako bomo opisali razvoj determinante po vrstici in stolpcu.
Povedali bomo kdaj je matrika inverzna ter kako jo izracunamo in kdaj je matrika obrnljiva
in kdaj ne. V naslednjem delu poglavja se bomo posvetili lastni vrednosti. Pojasnili bomo
pomen lastne vrednosti in lastnega vektorja ter opisali osnovne lastnosti. Tukaj bomo tudi
podali karakteristicni in minimalni polinom. Povedali bomo kdaj sta si matriki podobni in
prav tako kdaj sta ortogonalno oziroma unitarno podobni. Zadnji del prvega poglavja pa
bomo namenili Jordanovi kanonicni formi matrike. V uvodu bomo predstavili kdaj je ma-
trika diagonalizabilna, ter s pomocjo diagonalizabilnosti, izpeljali Jordanovo formo, Nadalje
bomo pojasnili njen pomen in sestavo.
Drugo poglavje bomo namenili simetricnim matrikam. Najprej bomo predstavili nekaj
zgledov, kje vse se srecujemo s simetricnimi matrikami in s pozitivno definitnostjo, nato
bomo opisali osnovne definicije in lastnosti simetricnih matrik. Pogledali si bomo, da so
lastne vrednosti realne simetricne matrike realne. V nadaljevanju poglavja bomo proucevali
pozitivno in negativno definitnost in semidefinitnost. Najprej bomo navedeno dokazovali
s pomocjo minorjev, kasneje pa se s pomocjo lastnih vrednosti. Na koncu poglavja bomo
ugotovili, da je simetricna matrika ortogonalno podobna diagonalni matriki.
V tretjem poglavju pa se bomo posvetili antisimetricnim matrikam. V uvodu v anti-
simetricne matrike bomo spoznali osnovno definicijo antisimetricne matrike. Nadalje bomo
analizirali izreke, ki vkljucujejo antisimetricne matrike, jih dokazali in ponazorili z zgledi.
Pogledali si bomo tudi lastne vrednosti antisimetricnih matrik, ki so 0 ali imaginarno stevilo.
Nato si bomo pogledali ali lahko vsako kvadratno matriko zapisemo na enolicen nacin kot
vsoto simetricne in antisimetricne. Ter ugotovili, da navedeno drzi. V zakljucku pod-
poglavja si bomo pogledali Jordanovo formo antisimetricne matrike in ugotovili, da je an-
tisimetricna matrika unitarno podobna diagonalni matriki. V zadnjem podpoglavju bomo
analizirali simetricne in antisimetricne matrike ter povzeli njihove podobnosti in razlike.
Poglavje 1
Matrike
V tem poglavju bomo predstavili nekaj osnovnih definicij o matrikah ter vrste matrik, ki
jih bomo potrebovali za razumevanje naslednjih poglavij. Definicije in vrste matrik bomo
ponazorili z zgledi.
1.1 Definicija matrike
Matrika je pravokotna shema m× n realnih ali kompleksnih stevil, razvrscenih v m vrstic
in n stolpcev. Oznacujemo jih z velikimi tiskanimi crkami: A,B,C,D . . . Matriko m × n
zapisemo takole:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...
am1 am2 . . . amn
Matriko, ki ima enako stevilo vrstic kot stolpcev, m = n, imenujemo kvadratna matrika.
Kvadratna matrika je reda n. V kvadratni matriki poznamo tudi pojem glavne diagonale,
ki jo tvorijo vsi elementi aij , kjer je i = j. To so elementi: a11, a22, . . . , ann. Matriko, ki
ima stevilo vrstic, m, razlicno od stevilo stolpcev, n, imenujemo pravokotna matrika.
Matriko A, dimenzije m× n, lahko zapisemo tudi v naslednji obliki A = [aij ]m×n.
Zgled 1 Primer kvadratne matrike B in pravokotne matrike C.
B =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...
an1 an2 . . . ann
C =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...
am1 am2 . . . amn
3
1.1 Definicija matrike 4
Zgled 2 Diagonalni elementi v matriki
D =
8 5 31
10 4 12
7 3 1
so 8, 4, 1.
Stevilo aij imenujemo element matrike A, podatka i in j pa indeksa. Z njima tocno
dolocimo polozaj elementa v matriki. Element aij lezi v i-ti vrstici in j-tem stolpcu.
Zgled 3 Naj bo
A =
8 5 31 10
10 4 12 8
7 3 1 10
.
Glede na matriko A ugotovimo, da je v nasem primeru a13 = 31 element, kjer se sekata
prva vrstica in tretji stolpec.
Torej, vsi elementi, ki imajo enak prvi indeks, lezijo v isti vrstici, elementi pri katerih se
ujemajo drugi indeksi, pa spadajo v isti stolpec. Torej bo prva vrstica, glede na naso matriko
A, enaka:
[a11 a12 a13 a14] = [8 5 31 10].
Prvi stolpec pa bo enak:
A =
a11
a21
a31
=
8
10
7
.
Matrika A je dimenzije m × n. Prvi podatek (m) nam pove stevilo vrstic, drugi (n) pa
stevilo stolpcev. Oba podatka skupaj dolocata razseznost, dimenzijo ali red matrike A.
Operacijo, pri kateri v dani matriki zamenjamo vrstice s stolpci, imenujemo transponi-
ranje matrike. Transponirano matriko, ki jo dobimo iz prvotne matrike A, oznacimo z
AT .
Zgled 4 Poglejmo si transponirano matriko AT , ki jo dobimo iz prvotne matrike A.
A =
8 5 31 10
10 4 12 8
7 3 1 10
⇒ AT =
8 10 7
5 4 3
31 12 1
10 8 10
Opazimo, da ima matrika A, dimenzijo 3× 4, matrika AT pa ima dimenzijo 4× 3.
1.1 Definicija matrike 5
Neposredno iz definicije transponiranja matrik sledi (AT )T = A. Opazimo torej, da nam
dvakratno transponiranje vrne prvotno matriko.
Zgled 5 Poglejmo si primer dvakratnega transponiranja matrike A.
AT =
8 10 7
5 4 3
31 12 1
10 8 10
⇒ (AT)T =
8 5 31 10
10 4 12 8
7 3 1 10
= A
Ce velja A = AT oziroma, da je aij = aji, za vse i, j, pravimo, da je matrika A simetricna.
Opazimo, da je za simetricne matrike znacilno, da zamenjava obeh indeksov ne spremeni
elementa, posledicno se s tem ne spremeni niti dimenzija matrike, zato lahko simetricne
matrike najdemo le med kvadratnimi matrikami. Simetricne matrike si bomo podrobneje
pogledali v nadaljevanju diplomskega dela. Sedaj pa si poglejmo se nekaj tipov matrik s
posebnimi lastnostmi:
Matricni stolpec ali stolpcni vektor je matrika dimenzije m× 1 :
A =
a1
a2...
am
.
Matricna vrstica ali vrsticni vektor je matrika dimenzije 1× n :
A =[
a1 a2 . . . an
]
.
Nicelna matrika je matrika dane dimenzije, ki ima vse elemente enake 0 : [0]m×n :
O =
0 0 . . . 0
0 0 . . . 0...
.... . .
...
0 0 . . . 0
= [O]m×n.
Matriki recemo, da je zgornje trikotna, ce so vsi elementi v kvadratni matriki pod glavno
diagonalo enaki 0: to pomeni, da je aij = 0, za vse i > j. Zgornje trikotno matriko oznacimo
z Az.
Az =
8 10 7
0 4 3
0 0 1
1.1 Definicija matrike 6
S transponiranjem zgornje trikotne matrike pa dobimo spodnje trikotno matriko, za
katero velja, da so vsi elementi nad glavno diagonalo enaki 0: to pomeni, da je aij = 0, za
vse i < j. Spodnje trikotno matriko oznacimo z As.
As =
8 0 0
10 4 0
7 3 1
Opazimo, da obema druzinama skupaj (zgornjim in spodnjim trikotnim matrikam) recemo
trikotne matrike. Diagonalna matrika je posebni primer trikotne matrike, pri kateri
so vsi elementi izven glavne diagonale enaki 0.
D =
8 0 0
0 4 0
0 0 1
Ce so si vsi elementi na diagonali diagonalne matrike enaki, aii = a, imenujemo to matriko
skalarna matrika in jo lahko identificiramo s tem realnim stevilom (a). Posebni primer
skalarne matrike so matrike reda 1, ki jih poistovetimo s stevili.
D =
a 0 0
0 a 0
0 0 a
Identicna matrika (matricna enota) reda n (In) je skalarna matrika, ki ima na diag-
onali same enice, vsi preostali elementi pa so enaki 0.
I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Za identicno matriko velja naslednje pravilo: AI = IA = A. Opazimo, da ima identicna
matrika, pri mnozenju matrik, vlogo nevtralnega elementa, ki je enaka vlogi, ki jo ima
stevilo 1, pri mnozenju realnih stevil, (a · 1 = 1 · a = a).
Za matrike, za katere velja A2 = A, pravimo, da so idempotentne.
Kvadratna matrika P je unitarna matrika, ce je PH = P−1, kjer PH predstavlja hermitsko
matriko (konjugirano transponirano matriko) in P−1 inverzno matriko. Potem velja:
PHP = PPH = I.
1.2 Racunske operacije z matrikami 7
P =
2−1
2 −2−1
2 (−i) 0
2−1
2 2−1
2 (−i) 0
0 0 −i
; P je unitarna matrika.
Kvadratna matrika A je ortogonalna matrika, ce je AT = A−1, kjer AT predstavlja
transponirano matriko. Potem velja:
AAT = ATA = I.
A =
35
45 0
−45
35 0
0 0 1
; A je ortogonalna matrika.
1.2 Racunske operacije z matrikami
V tem podpoglavju si bomo pogledali racunske operacije med matrikami in njihove lastnosti
ter jih prikazali na konkretnih primerih. Ce imamo matrike iste dimenzije lahko, na podoben
nacin kot pri realnih stevilih, definiramo razlicne relacije in operacije.
Dve matriki sta enaki, ce imata isto dimenzijo in ce se ujemata v vseh istoleznih elementih:
Am×n = Bm×n ⇔ aij = bij , (∀i, j)(i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n).
Zgled 6 Enakost dveh matrik.
A =
8 5 31 10
10 4 12 8
7 3 1 10
, B =
8 5 31 10
10 4 12 8
7 3 1 10
⇒ A = B
Za tako definirano enakost matrik veljajo naslednje lastnosti:
• refleksivnost: A = A, za vse A,
• simetricnost: A = B ⇒ B = A, za vse A,B,
• tranzitivnost: A = B ∧B = C ⇒ A = C, za vse A,B,C.
Na primerjavi istoleznih elementov lahko definiramo, za matrike enake dimenzije, tudi druge
relacije: >,<,≥,≤ . . .
Matriki enakih dimenzij lahko tudi sestejemo. To naredimo tako, da sestejemo istolezne
elemente:
1.2 Racunske operacije z matrikami 8
Am×n +Bm×n = Cm×n ⇔ cij = aij + bij , (∀i, j)(i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n).
Zgled 7 Sestevanje dveh matrik.
A =
8 5 31 10
10 4 12 8
7 3 1 10
, B =
7 3 1 10
8 5 31 10
10 4 12 8
A+B =
8 5 31 10
10 4 12 8
7 3 1 10
+
7 3 1 10
8 5 31 10
10 4 12 8
=
15 8 32 20
18 9 43 18
17 7 13 18
Iz definicije vsote matrik in iz veljavnosti zakonov komutativnosti in asociativnosti, pri
sestevanju realnih stevil, oziroma iz definicije transponirane matrike, sledijo za sestevanje
matrik naslednje lastnosti:
• kumutativnost: A+B = B +A, za vse A,B,
• asociativnost: A+ (B + C) = (A+B) + C, za vse A,B,C,
• za transponiranje vsote matrik velja pravilo: (A+B)T = AT +BT , za vse A,B,
• inverz za sestevanje matrik: −A+A = 0 za vse A.
Matriko lahko pomnozimo s skalarjem, ki je neko poljubno stevilo. To naredimo tako, da z
njim pomnozimo vse elemente v matriki:
c ·Am×n = c · [aij ]m×n = [c · aij ]m×n.
Zgled 8 Mnozenje matrike A s skalarjem c.
c ·A = 2 ·
8 5 31 10
10 4 12 8
7 3 1 10
=
16 10 62 20
20 8 24 16
14 6 2 20
Pri mnozenju matrike s skalarjem veljajo naslednje lastnosti:
• asociativnost: a(bA) = (ab)A, za vse a, b ∈ R in vse A,
• distributivnost sestevanja matrik in mnozenja s skalarjem:
a(A+B) = aA+ aB, za vse a ∈ R in za vse A,B,
1.2 Racunske operacije z matrikami 9
• distributivnost sestevanja skalarjev in mnozenja matrike s skalarjem:
(a+ b)A = aA+ bA, za vse a, b ∈ R in za vse A,B,
• (aA)T = aAT , za vse a ∈ R in za vse A,
• mnozenje s skalarjem 1: 1 ·A = A · 1 = A, za vse A.
Nasprotno matriko, −A, dobimo tako, da nasprotno predznacimo vse elemente matrike
A, torej −A = [−aij ]. Nasprotno matriko matrike A torej dobimo tako, da prvotno matriko
A pomnozimo s skalarjem (-1).
Zgled 9 Primer sestevanja matrike A z njeno nasprotno matriko (-A).
A =
8 5 31 10
10 4 12 8
7 3 1 10
, −A =
−8 −5 −31 −10
−10 −4 −12 −8
−7 −3 −1 −10
A+ (−A) =
8 5 31 10
10 4 12 8
7 3 1 10
+
−8 −5 −31 −10
−10 −4 −12 −8
−7 −3 −1 −10
= 0
Naslednja matricna operacija, ki si jo bomo pogledali, je mnozenje dveh matrik. Vendar
bomo pred tem pogledali se, kaj je skalarni produkt.
Podana imamo vrsticni vektor a1×n in stolpcni vektor bn×1:
a = [a1 a2 . . . an], b =
b1
b2...
bn
.
Njun skalarni produkt je definiran z naslednjim predpisom:
a · b = [a1 a2 . . . an] ·
b1
b2...
bn
=n∑
i=1
ai · bj .
Skalarni produkt smo si pogledali, sedaj pa bomo definirali produkt dveh matrik.
1.2 Racunske operacije z matrikami 10
Produkt matrike A z matriko B je taka matrika C (A ·B = C), da je vsak njen element cij
skalarni produkt i-te vrstice matrike A z j-tim stolpcem matrike B:
cij = ai1b1j + . . .+ ainbnj =n∑
k=1
aikbkj = [ai1 . . . ain]
b1j...
bnj
.
Opazimo, da lahko skalarni produkt izracunamo le za vektorja enake dolzine, tako od tod
dobimo pogoj za izvedljivost tako definiranega mnozenja.
Produkt dveh matrik obstaja natanko takrat, ko se stevilo stolpcev prve matrike A ujema
s stevilom vrstic druge matrike B:
Am×p ·Bp×n = Cm×n, cij =
p∑
k=1
aikbkj .
Rezultat mnozenja A · B je matrika C, ki ima toliko vrstic, kot jih ima prva matrika (A),
in toliko stolpcev, kot jih ima druga matrika (B).
Zgled 10 Produkt dveh matrik.
A4×2 ·B2×3 =
8 5
10 4
31 10
12 8
·[
7 3 10
8 5 4
]
=
=
8 · 7 + 5 · 8 8 · 3 + 5 · 5 8 · 10 + 5 · 410 · 7 + 5 · 8 10 · 3 + 4 · 5 10 · 10 + 4 · 431 · 7 + 10 · 8 31 · 3 + 10 · 5 31 · 10 + 10 · 412 · 7 + 8 · 8 12 · 3 + 8 · 5 12 · 10 + 8 · 4
=
=
96 49 100
110 50 116
297 143 350
148 76 152
= C4×3
Za matricni produkt veljajo naslednje lastnosti:
• mnozenje matrik v splosnem ni komutativno: AB 6= BA,
• mnozenje matrik je asociativno: (AB)C = A(BC), za vse A,B,C,
1.3 Determinanta matrike 11
• mnozenje matrik je distributivno:
A(B + C) = AB +AC, (A+B)C = AC +BC, za vse A,B,C,
• za matricni produkt velja formula: (AB)T = BTAT , za vse A,B,
• enota za mnozenje je identicna matrika I.
Produkt nicelne matrike z dano matriko A je enak nicelni matriki, (A · 0 = 0 · A = 0).
Vendar obstajajo primeri, kjer je produkt dveh nenicelnih matrik enak nicelni matriki.
Zgled 11 Primer, kjer je produkt dveh nenicelnih matrik nicelna matrika.
A =
1 −2 3
−1 3 4
2 −2 −4
,B =
−2 4 6
2 −4 −6
−2 4 6
A ·B =
1 −2 3
−1 3 4
2 −2 −4
·
−2 4 6
2 −4 −6
−2 4 6
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Ugotovili smo, da lahko matriko pomnozimo samo s seboj le v primeru, ko je matrika
kvadratna, saj v nasprotnem primeru mnozenje ni izvedljivo, ker nimamo izpolnjenega
pogoja glede dimenzij matrik.
Za kvadratno matriko poljubne dimenzije pa lahko, na enak nacin kot v skalarnem primeru,
definiramo potence na naslednji nacin:
An = A ·A · . . . ·A︸ ︷︷ ︸
n
, n ∈ N.
Za produkt potenc velja naslednji obrazec: AnAm = An+m, potenciranje potenc pa poteka
po pravilu: (An)m = Anm.
1.3 Determinanta matrike
V tem podpoglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali njene lastnosti in
nekaj metod za racunanje determinant.
1.3 Determinanta matrike 12
Kvadratni matriki dimenzije n:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...
an1 an2 . . . ann
= [aij ]n×n
priredimo njeno determinanto:
detA = |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∈ R.
To naredimo tako, da tvorimo vse mozne produkte po n elementov matrike A, v katerih
je iz vsake vrstice in iz vsakega stolpca natanko po en element. Vsak produkt pomnozimo
s faktorjem (−1)i(v)+i(s), kjer je v permutacija indeksov vrstic in s permutacija indeksov
stolpcev. Kadar je permutacija stolpcnih indeksov soda, temu produktu ohranimo predznak,
ko pa gre za liho permutacijo, pa mu predznak spremenimo. Na koncu ustrezno predznacene
produkte sestejemo:
detA =∑
R
(−1)i(i1, ..., in)+i(j1, ..., jn)ai1j1 . . . ainjn ,
kjer R pomeni mnozico vseh moznih permutacij, katerih je n!. Opazimo torej, da je determi-
nanta preslikava iz mnozice kvadratnih matrik v mnozico realnih stevil, saj vsaki kvadratni
matriki (in sicer samo kvadratni) priredi natanko doloceno realno stevilo.
Torej, ce je A ∈ Mn(F ) in i ∈ Nn velja:
det(A) =n∑
j=1
(−1)i+jaijdet(Aij).
Determinanto ze poznamo, zato si bomo v nadaljevanju pogledali se kako jo izracunamo.
Racunanje determinante matrike dimenzije 2× 2.
Determinanto drugega reda izracunamo tako, da od produkta elementov na glavni diagonali
odstejemo produkt elementov na stranski diagonali, detA = a11a22 − a12a21.
Zgled 12 Racunanje determinante matrike dimenzije 2× 2.
detA =
∣∣∣∣∣
8 5
31 10
∣∣∣∣∣= 8 · 10− 31 · 5 = 80− 155 = −75
1.3 Determinanta matrike 13
Racunanje determinante matrike dimenzije 3× 3.
detA = |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣
Pri dimenziji n = 3 imamo sest razlicnih produktov pomnozenih z ustreznimi faktorji. Da
imamo sest produktov smo ugotovili s pomocjo permutacije: P3 = 3! = 6. Determinanto
tretjega reda izracunamo s pomocjo Sarrusega pravila. Ta postopek poteka tako, da najprej
k prvotni determinanti na desni strani pripisemo 1. in 2. stolpec. Nato sestejemo produkte
elementov na glavni diagonali in njenih vzporednicah ter na koncu se odstejemo produkte
elementov na stranski diagonali in njenih vzporednicah.
- - - + + +
a11a11 a12a12 a13
a21a21 a22a22 a23
a31a31 a32a32 a33
Zato je vrednost determinante taksne matrike dolocena z naslednjim izrazom:
detA = |A| = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
Zgled 13 Racunanje determinante matrike dimenzije 3× 3 s pomocjo Sarrusega pravila.
A =
8 5 31
10 4 12
7 3 1
, detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
8 5 31
10 4 12
7 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
8 5
10 4
7 3
detA = 8 · 4 · 1 + 5 · 12 · 7 + 31 · 10 · 3− 31 · 4 · 7− 8 · 12 · 3− 5 · 10 · 1 = 176
Determinante cetrtega ali visjega reda racunamo s pomocjo determinant nizjega reda (pod-
determinant), tako da uporabimo izrek o razvoju determinante po vrstici oziroma stolpcu.
Ta izrek bomo opisali nekoliko kasneje.
Lastnosti determinant
Vrednost determinante se ne spremeni, ce vrstice zamenjamo s stolpci oziroma ce matriko
transponiramo: detA = detAT . Zaradi te lastnosti veljajo vse nadaljnje lastnosti tako za
vrstice kot tudi za stolpce.
1.3 Determinanta matrike 14
Izrek 1.1 Determinanta transponirane matrike AT je enaka determinanti matrike A same.
Dokaz.
detA =∑
Π∈Sn
εΠa1,Π(1)a2,Π(2) . . . an,Π(n)
Po dogovoru sledi:
=∑
Π∈Sn
εΠak1,Π(k1)ak2,Π(k2) . . . akn,Π(kn)
Nato vzamemo, da je kj = Π−1(j)
=∑
Π∈Sn
εΠaΠ−1(1),1aΠ−1(2),2 . . . aΠ−1(n),n = detAT
Zgled 14
A =
[
8 5
31 10
]
,AT =
[
8 31
5 10
]
detA =
∣∣∣∣∣
8 5
31 10
∣∣∣∣∣= 8 · 10− 31 · 5 = 80− 155 = −75
detAT =
∣∣∣∣∣
8 31
5 10
∣∣∣∣∣= 8 · 10− 31 · 5 = 80− 155 = −75
Ce so v dani matriki vsi elementi neke vrstice enaki 0, je vrednost determinante enaka 0.
Ce v determinanti matrike A med seboj zamenjamo dve vrstici ali stolpca, se spremeni le
predznak determinante.
detA =
∣∣∣∣∣
a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣= −
∣∣∣∣∣
a21 a22
a11 a12
∣∣∣∣∣∧ detA =
∣∣∣∣∣
a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣= −
∣∣∣∣∣
a12 a11
a22 a21
∣∣∣∣∣
Zgled 15
detA =
∣∣∣∣∣
8 5
31 10
∣∣∣∣∣= −
∣∣∣∣∣
31 10
8 5
∣∣∣∣∣= −
∣∣∣∣∣
5 8
10 31
∣∣∣∣∣= −75
1.3 Determinanta matrike 15
Ce pomnozimo vse elemente v neki vrstici s poljubnim stevilom k ∈ R, je dobljena deter-
minanta enaka prvotni determinanti, pomnozeni s stevilom k.
Zgled 16
A =
[
8 5
31 10
]
, k = 2
∣∣∣∣∣
8 5
31 10
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣
16 10
31 10
∣∣∣∣∣= 160− 310 = −150 = 2 · detA
Determinanta z dvema identicnima ali proporcionalnima vrsticama je enaka 0. Propor-
cionalni vrstici i in l sta tisti vrstici, kjer je i-ta vrstica mnogokotnik l-te, zato za vsak
stolpcni indeks j velja aij = k · alj .
Zgled 17
A =
[
8 8k
−5 −5k
]
, detA =
∣∣∣∣∣
8 8k
−5 −5k
∣∣∣∣∣= −40k − (−40k) = 0
Ce so vsi elementi, ki lezijo na eni strani glavne diagonale enaki 0, je determinanta enaka
produktu diagonalnih elementov. Taki determinanti pravimo trikotna determinanta.
Zgled 18
A =
8 5 31
0 4 12
0 0 1
, detA = 8 · 4 · 1 = 32
Determinanto poljubne matrike lahko zapisemo kot vsoto determinant dveh matrik, ki se
v vseh vrsticah razen v eni ujemata s prvotno matriko. Za to vrstico velja, da je vsota
istoleznih elementov novih matrik enaka ustreznemu elementu v prvotni matriki.
Zgled 19
A =
[
8 5
31 10
]
detA =
∣∣∣∣∣
8 5
31 10
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣
8 3
31 5
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
8 2
31 5
∣∣∣∣∣= 40− 93 + 40− 62 = −75
1.3 Determinanta matrike 16
Determinanta se ne spremeni, ce h katerikoli vrstici pristejemo s poljubnim faktorjem
pomnozeno neko drugo vrstico.
Zgled 20
A =
[
8 5
31 10
]
, k = 2
∣∣∣∣∣
8 5
31 10
∣∣∣∣∣
·2=
∣∣∣∣∣
8 5
31 + 16 10 + 10
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣
8 5
47 20
∣∣∣∣∣= 160− 235 = −75
Ce matriko pomnozimo s skalarjem, potem velja:
det(kA) = knA.
Poddeterminanto ali minor ∆ij elementa aij dobimo, ce v determinanti izpustimo
i-to vrstico in j-ti stolpec. Ce tako dobljeno determinanto pomnozimo z (−1)i+j , dobimo
kofaktor-algeberski koeficient elementa aij . Kofaktor oznacimo z Aij .
A =
a11 . . . . . . a1n
. . . . . . aij . . .
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . . . . ann
i-ta vrstica (jo crtamo)
j-ti stolpec (ga crtamo)
Med poddeterminanto ∆ij in kofaktorjem Aij velja torej naslednja zveza:
Aij = (−1)i+j∆ij
Zgled 21 Iskanje poddeterminante ∆33 in kofaktorja A23 za dano matriko A.
A =
8 5 31
10 4 12
7 3 1
∆33 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
8 5 31
10 4 12
7 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
8 5
10 4
∣∣∣∣∣= 32− 50 = −18
1.3 Determinanta matrike 17
A23 = (−1)2+3 ·∆23 = −∣∣∣∣∣
8 5
7 3
∣∣∣∣∣= −(24− 35) = 11
i-vrsten minor matrike je vogalen, ce ga sestavimo iz prvih i vrstic in stolpcev matrike.
Minor matrike je glaven, ce ga sestavimo iz vrstic in stolpcev z enakimi indeksi. Poznamo
enovrstne, dvovrstne, ..., n-vrstne glavne minorje.
Zgled 22 Podano imamo poljubno matriko A.
A =
8 5 31
10 4 12
7 3 1
Za matriko A so vogalni minorji:
∣∣∣ 8
∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣
8 5
10 4
∣∣∣∣∣,
∣∣∣∣∣∣∣∣
8 5 31
10 4 12
7 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Za matriko A so glavni minorji:
- enovrstni:∣∣∣ 8
∣∣∣ ,
∣∣∣ 4
∣∣∣ ,
∣∣∣ 1
∣∣∣ ;
- dvovrstni:
∣∣∣∣∣
8 5
10 4
∣∣∣∣∣,
∣∣∣∣∣
8 31
7 1
∣∣∣∣∣,
∣∣∣∣∣
4 12
3 1
∣∣∣∣∣;
- trivrstni:
∣∣∣∣∣∣∣∣
8 5 31
10 4 12
7 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Razvoj determinante po vrstici oziroma stolpcu.
Ce je v zadnji vrstici determinante |A| od nic razlicen le zadnji element ann, je determinanta
|A| enaka produktu elementa ann s poddeterminanto ∆nn:
|A| = ann ·∆nn.
1.3 Determinanta matrike 18
Zgled 23
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
8 5 31
10 4 12
0 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 2 ·∣∣∣∣∣
8 5
10 4
∣∣∣∣∣= 2 · (32− 50) = −36
Ce pa je v i-ti vrstici dane determinante le element aij razlicen od 0, je determinanta enaka
produktu tega elementa z njegovim kofaktorjem:
|A| = aij ·Aij .
Po prvi lastnosti, ki smo jo prejle napisali, ugotovimo, da ta izrek velja tudi za stolpce. In
sicer, ce je v j-tem stolpcu determinante le element aij razlicen od 0, je determinanta enaka
produktu tega elementa z njegovim kofaktorjem.
Zgled 24
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
8 5 31
0 0 2
10 4 12
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 2 · (−1)2+3
∣∣∣∣∣
8 5
10 4
∣∣∣∣∣= 2 · (−1)(32− 50) = 36
Determinanta dane kvadratne matrike je enaka skalarnemu produktu poljubne vrstice (ali
stolpca) z naborom pripadajocih kofaktorjev.
Zgled 25
A =
4 5 31
0 4 12
8 3 1
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
4 5 31
0 4 12
8 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
·(−2)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
4 5 31
0 4 12
0 −7 −61
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 4 · (−1)1+1
∣∣∣∣∣
4 12
−7 −61
∣∣∣∣∣=
= 4 · (−244 + 84) = −640
Razvoj determinante po i-ti vrstici:
|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin =n∑
k=1
aikAik.
1.3 Determinanta matrike 19
Zgled 26
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
4 5 31
0 4 12
8 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 · (−1)2+1
∣∣∣∣∣
5 31
3 1
∣∣∣∣∣+ 4 · (−1)2+2
∣∣∣∣∣
4 31
8 1
∣∣∣∣∣+
+12 · (−1)2+3
∣∣∣∣∣
4 5
8 3
∣∣∣∣∣= 0− 976 + 336 = −640
Razvoj determinante po j-tem stolpcu:
|A| = a1jA1j + a2jA2j + . . .+ anjAnj =n∑
k=1
akjAkj .
Zgled 27
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
4 5 31
0 4 12
8 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 4 · (−1)1+1
∣∣∣∣∣
4 12
3 1
∣∣∣∣∣+ 0 · (−1)2+1
∣∣∣∣∣
5 31
3 1
∣∣∣∣∣+
+8 · (−1)3+1
∣∣∣∣∣
5 31
4 12
∣∣∣∣∣= −128 + 0− 512 = −640
Skalarni produkt poljubne vrstice z naborom kofaktorjev, ki pripadajo kaki drugi vrstici, je
vedno enak 0.
Zgled 28 Za determinanto matrike A, |A|, bomo izracunali skalarni produkt druge vrstice
s kofaktorji tretje vrstice.
A =
4 5 31
0 4 12
8 3 1
, detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
4 5 31
0 4 12
8 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
3∑
j=1
a2jA3j = 0 · (−1)3+1
∣∣∣∣∣
5 31
4 12
∣∣∣∣∣+ 4 · (−1)3+2
∣∣∣∣∣
4 31
0 12
∣∣∣∣∣+
+12 · (−1)3+3
∣∣∣∣∣
4 5
0 4
∣∣∣∣∣= 0− 192 + 192 = 0
1.3 Determinanta matrike 20
Izrek 1.2 Za poljubni kvadratni matriki A in B iste velikosti velja:
det(AB) = det(A) · det(B).
Dokaz.
det(AB) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
∑nj1=1 a1,j1bj1,1
∑nj2=1 a1,j2bj2,2 . . .
∑njn=1 a1,jnbjn,n
......
. . ....
∑nj1=1 an,j1bj1,1
∑nj2=1 an,j2bj2,2 . . .
∑njn=1 an,jnbjn,n
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
=n∑
j1=1
bj1,1
n∑
j2=1
bj2,2 . . .
n∑
jn=1
bjn,n
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1,j1 a1,j2 . . . a1,jn...
.... . .
...
an,j1 an,j2 . . . an,jn
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
=
detBT
︷ ︸︸ ︷∑
Π=
1 2 . . . n
j1 j2 . . . jn
bj1,1 bj2,2 . . . bjn,n εΠ ·detA = detA · detB
Inverzna ali obratna matrika A−1
Zanima nas ali obstaja za vsako nenicelno matriko A taksna matrika A−1, da velja:
A ·A−1 = A−1 ·A = I.
Iz te zahteve lahko s pomocjo pravila o mnozenju matrik razberemo, da morata biti tako
matrika A kot tudi njena inverzna matrika A−1 kvadratni matriki enakih dimenzij.
Kvadratnim matrikam, ki premorejo inverzno matriko, pravimo obrnljive (neizrojene,
nesingularne) matrike. Njihove pripadajoce inverzne matrike bomo izracunali s pomocjo
determinant in kofaktorjev.
Iz tega sledi, da ima vsaka obrnljiva matrika enolicno doloceno pripadajoco inverzno ali
obratno matriko A−1. Vendar smo ugotovili, da so tudi med nenicelnimi kvadratnimi
matrikami take izrojene (singularne) matrike, ki ne premorejo inverzne matrike A−1.
Izrek 1.3 Naj bo A kvadratna matrika z dimenzijo n × n, za katero velja, da ima ho-
mogeni sistem AX = 0 samo trivialno resitev. Potem velja, da je matrika A nesingularna.
Enakovredno lahko trdimo, da ce je matrika A singularna, potem ima homogeni sistem
AX = 0 netrivialno resitev.
1.3 Determinanta matrike 21
Dokaz. Ce je A kvadratna matrika dimenzije n×n, homogeni sistem AX = 0 pa ima samo
eno trivialno resitev, potem sledi, da stopnicasta matrika B, ki je vrsticno ekvivalentna ma-
triki A, ne more imeti nenicelnih vrstic in je enaka In (enotski matriki dimenzije n). Matriki
A in B sta vrsticno ekvivalentni, ce obstajajo take elementarne matrike E1, E2, . . . , En, da
velja, da je A = E1E2 . . . EnB. Zato je A nesingularna. Ce je matrika A nesingularna in
AX = 0, potem je X = A−10 = 0.
Posledica 1.4 Ce je matrika A obrnljiva, potem je
detA−1 =1
detA.
Dokaz. Ker velja AA−1 = I in detI = 1, sledi iz izreka 1.2
(detA)(detA−1) = 1.
Torej je detA−1 = 1detA
.
Zgled 29 Primer nenicelne kvadratne matrike, ki nima inverzne matrike.
A =
[
31 10
0 0
]
detA =
∣∣∣∣∣
31 10
0 0
∣∣∣∣∣= 31 · 0− 0 · 10 = 0
Ugotovimo, da A−1 ne obstaja, saj je detA = 0 in ni izpolnjen pogoj za racunanje inverzne
matrike.
Izrek 1.5 Inverzna matrika A−1 obstaja natanko tedaj, ko je detA 6= 0 in velja:
A−1 = 1detA
· [Aij ]T .
Dokaz. Vemo, da velja: AA−1 = I in detI = 1.
A · [Aij ]T
detA=
1
detA·
a1,1 a1,2 . . . a1,n...
.... . .
...
an,1 an,2 . . . an,n
·
A1,1 A2,1 . . . An,1
......
. . ....
A1,n A2,n . . . An,n
=
1.3 Determinanta matrike 22
=1
detA·
∑nj=1 a1,jA1,j
∑nj=1 a1,jA2,j . . .
∑nj=1 a1,jAn,j
......
. . ....
∑nj=1 an,jA1,j
∑nj=1 an,jA2,j . . .
∑nj=1 an,jAn,j
=
1. i = k
n∑
j=1
aij ·Aij =n∑
j=1
aij · (−1)i+j · det(Aij) = detA
2. i 6= k
n∑
j=1
aij ·Akj =
a1,1 a1,2 . . . a1,n...
.... . .
...
ai,1 ai,2 . . . ai,n
ai,1 ai,2 . . . ai,n...
.... . .
...
an,1 an,2 . . . an,n
= 0
A · [A]T =
detA 0 . . . 0
0 detA. . .
......
. . .. . . 0
0 . . . 0 detA
Ce je to res, potem je 1detA
· [Aij ]T inverz matrike A. Torej je: A−1 = 1
detA· [Aij ]
T .
(A[A]T )ij =
n∑
j=1
aij [AT ]jk =
n∑
j=1
aij [A]kj =
n∑
j=1
aij(−1)k+jdet(Akj)
=
{
detA; i = j
0; sicer
Inverzno matriko dane kvadratne matrike A izracunamo tako, da z reciprocno vrednostjo
determinante matrike A pomnozimo transponirano matriko kofaktorjev:
A−1 = 1|A| · [Aij ]
T .
1.3 Determinanta matrike 23
Zgled 30 Racunanje inverzne matrike.
A =
8 5 31
10 4 12
7 3 1
Najprej preverimo, ce je determinanta |A| razlicna od 0 (poglej zgled 13):
|A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
8 5 31
10 4 12
7 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 176 6= 0 ⇒ (∃!A−1)
Ker je determinanta razlicna 0, nadaljujemo z racunanjem. Po formuli Aij = (−1)i+j∆ij
izracunamo kofaktorje Aij :
A11 = (−1)1+1 ·∣∣∣∣∣
4 12
3 1
∣∣∣∣∣= 4− 36 = −32
A12 = (−1)1+2 ·∣∣∣∣∣
10 12
7 1
∣∣∣∣∣= −(10− 84) = 74
A13 = (−1)1+3 ·∣∣∣∣∣
10 4
7 3
∣∣∣∣∣= 30− 28 = 2
A21 = (−1)2+1 ·∣∣∣∣∣
5 31
3 1
∣∣∣∣∣= −(5− 93) = 88
A22 = (−1)2+2 ·∣∣∣∣∣
8 31
7 1
∣∣∣∣∣= 8− 217 = −209
A23 = (−1)2+3 ·∣∣∣∣∣
8 5
7 3
∣∣∣∣∣= −(24− 35) = 11
A31 = (−1)3+1 ·∣∣∣∣∣
5 31
4 12
∣∣∣∣∣= 60− 124 = −64
A32 = (−1)3+2 ·∣∣∣∣∣
8 31
10 12
∣∣∣∣∣= −(96− 310) = 214
1.4 Lastne vrednosti 24
A33 = (−1)3+3 ·∣∣∣∣∣
8 5
10 4
∣∣∣∣∣= 32− 50 = −18
Dobili smo matriko kofaktorjev
[Aij] =
−32 74 2
88 −209 11
−64 214 −18
,
ki jo moramo transponirati in dobimo:
[Aij]T =
−32 88 −64
74 −209 214
2 11 −18
,
katero pomnozimo z reciprocno vrednostjo |A|
A−1 =1
176
−32 88 −64
74 −209 214
2 11 −18
.
1.4 Lastne vrednosti
V nadaljevanju si bomo pogledali, kaj je lastna vrednost in kaj lastni vektor. Nato bomo
opisali karakteristicni in minimalni polinom. Prav tako si bomo pogledali podobnost matrik
in ortogonalno podobnost matrik.
Definicija 1.6 Naj bo A : V → V endomorfizem. Tedaj je λ ∈ F lastna vrednost preslikave
A, ce obstaja tak nenicelni vektor v ∈ V , da velja A(v) = λv. Vektor v pa imenujemo lastni
vektor za lastno vrednost λ.
Podobno velja za matrike. Naj bo A kvadratna matrika s kompleksnimi koeficienti:
A ∈ Cn×n. Potem je stevilo λ lastna vrednost matrike A, ce obstaja tak nenicelni vek-
tor v, da velja: Av = λv.
Trditev 1.7 Kompleksno stevilo λ je lastna vrednost za A ∈ Cn×n natanko tedaj, ko je
ker(A− λI) 6= 0.
1.4 Lastne vrednosti 25
Dokaz. Stevilo λ je lastna vrednost matrike A natanko tedaj, ko je Av = λv in v 6= 0.
To lahko zapisemo v obliki (A − λI)v = 0, kjer je v 6= 0. To je ekvivalentno zahtevi, da
ker(A− λI) 6= 0, saj je 0 6= v ∈ ker(A− λI).
Izrek 1.8 Mnozica vseh lastnih vektorjev preslikave A : V → V , za isto pripadajoco lastno
vrednost λ, tvori skupaj z nicelnim vektorjem tako imenovani lastni podprostor Uλ prostora
V .
Dokaz. Naj bo Uλ = {v ∈ V ; Av = λv} ⊂ V lastni podprostor prostora V za preslikavo
A : V → V . Ce so vsi α, β ∈ F in vsi u, v ∈ Uλ, potem je Au = λu in Av = λv, ter velja
αu+ βv ∈ Uλ. Od tod sledi, da je:
A(αu+ βv) = αAu+ βAv = α(λu) + β(λv) = (αλ)u+ (βλ)v = λ(αu+ βv)
Definicija 1.9 Vecclenik pA(λ) = det(A−λI), kjer je A matrika linearnega operatorja
A : V → V glede na neko bazo prostora V in I identicna matrika, imenujemo karakteristicni
polinom matrike A (oziroma preslikave A).
pA(λ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1,1 − λ a1,2 . . . a1,n
a2,1 a2,2 − λ. . .
......
. . .. . . an−1,n
an,1 . . . an,n−1 an,n − λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Izrek 1.10 Stevilo λ ∈ F je lastna vrednost linearne preslikave A : V → V (oziroma
matrike A) natanko tedaj, ce je nicla karakteristicnega polinoma pA: pA(λ) = 0.
Dokaz. Stevilo λ je lastna vrednost preslikave A natanko tedaj, ce obstaja tak nenicelni
vektor v, da velja Av = λv. Kar lahko zapisemo v obliki (A − λI) = 0, kjer je v 6= 0. To
je ekvivalentno homogenemu sistemu linearnih enacb (A− λI) = 0, za katerega velja, da je
det(A− λI) = 0. To pa je ekvivalentno pA(λ) = 0, ko upostevamo definicijo 1.10.
Definicija 1.11 Polinom imenujemo monicen, ce ima vodilni koeficient enak 1.
Definicija 1.12 Naj bo A : V → V . Tedaj je minimalni polinom preslikave A monicen
polinom najmanjse stopnje p(v), tako, da je p(A) = 0. Analogno lahko definiramo tudi
minimalni polinom matrike A.
1.4 Lastne vrednosti 26
Izrek 1.13 Naj bo A : V → V . Tedaj je λ ∈ F lastna vrednost za A natanko tedaj, ko je
λ nicla minimalnega polinoma preslikave A: mA(λ) = 0.
Dokaz. Stevilo λ je lastna vrednost preslikave A natanko tedaj, ce obstaja tak nenicelni
vektor v, da velja Av = λv. Naj bo mA(v) = vk + ak−1vk−1 + . . .+ a0 minimalni polinom
preslikave A in naj bo lastna vrednost λ nicla minimalnega polinoma preslikave A, mA(λ) =
0 (preslika vse v 0, med drugim tudi vektor v). Ce je
0 = mA(A)(v) =
= (Ak + ak−1Ak−1 + . . .+ a0I)(v) =
= Akv + ak−1Ak−1v + . . .+ a0Iv =
= λkv + ak−1λk−1v + . . .+ a0v =
= (λk + ak−1λk−1 + . . .+ a0)
︸ ︷︷ ︸
skalar
v = 0; v 6= 0,
potem je λk + ak−1λk−1 + . . .+ a0 = 0.
Od tod sledi, da je mA(λ) = 0.
Opomba k dokazu izreka 1.13. Naj bo Av = λv, potem velja
A2 = A(A(v))
= A(λv) = λAv = λ2v
...
= Anv = λnv.
Definicija 1.14 Dve kvadratni matriki enake velikosti, A,B, sta podobni, ce obstaja obrnljiva
matrika P , za katero velja A = P−1BP .
Trditev 1.15 Ce sta matriki A in B podobni matriki, potem imata enaka karakteristicna
polinoma.
Dokaz. S P oznacimo obrnljivo matriko, za katero je A = PBP−1. Od tod, z uporabo
lastnosti determinante, sledi:
pA(λ) = det(A− λI) = det(PBP−1 − λI) = det(P (B − λI)P−1) =
1.5 Jordanova kanonicna forma matrike 27
= detPdet(B − λI)detP−1 = detPdetP−1det(B − λI) =
= det(B − λI) = pB(λ).
Definicija 1.16 Matriki A in B sta ortogonalno podobni, ce obstaja ortogonalna (v R)
matrika P , za katero je A = P TBP .
Ce je P ortogonalna, je PP T = P TP = I, od koder sledi, da je P T = P−1. Torej je P
prehodna matrika v smislu obicajne podobnosti.
Definicija 1.17 Matriki A in B sta unitarno podobni, ce obstaja unitarna matrika P , za
katero je A = PHBP .
Ce je P unitarna, je PPH = PHP = I, od koder sledi, da je PH = P−1. Torej je P
prehodna matrika v smislu obicajne podobnosti.
1.5 Jordanova kanonicna forma matrike
Definicija 1.18 Matrika A je diagonalizabilna, ce obstaja taka matrika P , da je P−1AP
diagonalna matrika.
Primer diagonalizabilne matrike:
A =
3 0 1
0 2 0
0 0 −3
.
Trditev 1.19 Matrika A je diagonalizabilna natanko tedaj, ko obstaja baza prostora ses-
tavljena iz lastnih vektorjev.
Dokaz. Recimo, da je A : U → U diagonalizabilna. Torej obstaja urejena baza
B = {u1, u2, . . . , un}, tako da je matrika
A[B,B] =
λ1 0 . . . 0
0 λ2. . .
......
. . .. . . 0
0 . . . 0 λn
.
1.5 Jordanova kanonicna forma matrike 28
Nato matriko A[B,B] zapisemo v bazi:
Au1 = λ1u1 + 0u2 + . . .+ 0un; u1 6= 0
Au2 = 0u1 + λ2u2 + . . .+ 0un; u2 6= 0...
Aun = 0u1 + 0u2 + . . .+ λnun; un 6= 0
Ker je matrika diagonalizabilna, imamo bazo iz lastnih vektorjev.
Ce imamo neko matriko A, zelimo poiskati tako bazo oziroma matriko P , da je P−1AP
preprosta. Jordanova kanonicna forma je posplositev diagonalizacije, kar pomeni, da
bodo po diagonali sle samo lastne vrednosti. Dokaz naslednjega izreka najde bralec v [16,
str. 130].
Izrek 1.20 (primarna dekompozicija) Naj bo A : V → V endomorfizem in
mA = (X−λ1)e1(X−λ2)
e2 . . . (X−λr)er . W1,W2, . . . ,Wr naj bodo posploseni podprostori,
torej Wi = ker((A − λiI)ei); 1 ≤ i ≤ r. Tedaj velja: U = W1 ⊕ W2 ⊕ . . . ⊕ Wr. (U je
direktna vsota Ai.)
Posledica 1.21 Ohranimo oznake iz prejsnjega izreka. Naj bodo B1, B2, . . . , Br baze za
W1,W2, . . . ,Wr. Potem je B = B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Br baza za V in
A[B,B] =
A1 0 . . . 0
0 A2. . .
......
. . .. . . 0
0 . . . 0 Ar
blocno diagonalna matrika, kjer je blok Ai dimenzije ei × ei.
Naj bo A : V → V endomorfizem in mA(X) = (X − λ1)n1(X − λ2)
n2 . . . (X − λr)nr ter
pA(X) = (−1)e1+e2+...+er(x−λ1)e1(x−λ2)
e2 . . . (x−λr)er . Potem obstaja baza B za V , da
velja:
A[B,B] =
J1 0 . . . 0
0 J2. . .
......
. . .. . . 0
0 . . . 0 Jr
,
1.5 Jordanova kanonicna forma matrike 29
kjer so Ji Jordanovi bloki. Torej je λi edina lastna vrednost za Ji. Stevilo Jordanovih
blokov je r, kar je stevilo razlicnih lastnih vrednosti. Blok Ji je dimenzije ei × ei.
Posamicni blok Ji pa je blocno diagonalno sestavljen iz Jordanovih kletk. Te kletke pred-
stavljajo matrike oblike:
λi 1 0 . . . 0
0 λi. . .
. . ....
.... . . λi
. . . 0...
. . .. . .
. . . 1
0 . . . 0 0 λi
.
Pri tem je stevilo kletk, ki nastopajo v Ji enako dimenziji lastnega podprostora za lastno
vrednost λi. Najvecja kletka je dimenzije ni × ni (prva kletka).
Zgled 31 Naj bo matrika
A =
3 1 0 0 0
−1 2 1 0 0
1 0 1 0 0
−1 0 1 3 1
1 0 −1 −1 1
∈ M5(C).
Karakteristicni polinom matrike A je pA = (2− λ)5. Izracunajmo
(A− 2I)2 =
0 1 1 0 0
0 −1 −1 0 0
0 1 1 0 0
0 −1 −1 0 0
0 1 1 0 0
, (A− 2I)3 = 0.
Iz tega sledi, da je mA(λ) = (λ− 2I)3 minimalni polinom preslikave A (matrike A). Opaz-
imo, da bo Jordanova kanonicna forma matrike A imela prvo kletko dimenzije 3. Ker imamo
dva lastna vektorja, bomo imeli dve kletki in druga kletka bo dimenzije 2. In tako dobimo:
J =
2 1 0 0 0
0 2 1 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 2 1
0 0 0 0 2
.
Poglavje 2
Simetricne matrike
V prvem delu tega poglavja bomo proucili nekaj zgledov, v katerih se srecamo s simetricnimi
matrikami. Nato bomo s pomocjo Hessejeve matrike odvodov drugega reda dolocili, kdaj
ima funkcija lokalne ekstreme. Poglavje bomo nadaljevali z zgledoma o nenegativni definit-
nosti. Nato se bomo posvetili definiciji simetricne matrike in zapisali osnovne lastnosti
simetricnih matrik. V drugem delu pa se bomo osredotocili na definitnost in semidefinit-
nost simetricne matrike.
Simetricne matrike srecamo na razlicnih podrocjih matematike. Nekaj osnovnejsih si bomo
pogledali in jih prikazali z zgledi.
Zgled 32 Ce je f : D → R dvakrat zvezno odvedljiva funkcija na isti domeni D ⊂ Rn,
potem je realna matrika,
H(x) = [hij(x)] ≡[∂f(x)
∂xi∂xj
]
∈ Mn(R),
znana kot Hessejeva matrika drugih parcialnih odvodov funkcije f . Za nase namene je
H = H(x) v tem primeru edina lastnost, ki nas zanima. Ta izhaja iz pomembnega dejstva
in sicer, da so mesani parcialni odvodi enaki
∂2f
∂xi∂xj=
∂2f
∂xj∂xi, za vse i, j = 1, 2, . . . , n.
Ce imamo Hessejevo matriko H = [hij ] vemo, da je hij = hji, za vse i, j = 1, 2, . . . , n. Tako
je H = HT . Matriko A ∈ Mn, kjer je A = AT , imenujemo simetricna matrika. Hessejeva
matrika realnih vrednosti, ki je dvakrat zvezno odvedljiva je vedno simetricna matrika.
Zgled 33 Naj bo A = [aij ] n× n realna ali kompleksna matrika. Kvadratno formo za Rn
30
31
ali Cn generiramo z matriko A na naslednji nacin:
Q(x) ≡ xTAx =n∑
i,j=1
aijxixj
=n∑
i,j=1
1
2(aij + aji)xixj
= xT[1
2(A+AT )
]
x
Tako matriki A in 12(A + AT ) generirata enako kvadratno formo, kjer je zadnja matrika
simetricna matrika.
Zgled 34 Linearni parcialni diferencialni operator L drugega reda definiramo z
Lf(x) ≡n∑
i,j=1
aij(x)∂2f(x)
∂xi∂xj.
Koeficienti aij(x) in funkcija f(x) so definirani v isti domeni D ⊂ Rn in funkcija f je dvakrat
zvezno odvedljiva na D. Operator L je povezan na naravni nacin z matriko. Matrika
A = [aij(x)] ne rabi biti simetricna, ampak, ker so mesani parcialni odvodi funkcije f enaki,
imamo
Lf =
n∑
i,j=1
aij(x)∂2f
∂xi∂xj=
n∑
i,j=1
1
2
[
aij(x)∂2f
∂xi∂xj+ aji(x)
∂2f
∂xj∂xi
]
=
n∑
i,j=1
1
2[aij(x) + aji(x)]
∂2f
∂xi∂xj.
Tako simetricna matrika 12(A+AT ) predstavlja isti operator kot matrika A.
Zgled 35 Naj bo Γ neusmerjen graf. Graf Γ je sestavljen iz mnozice n vozlisc {P1, P2, . . . , Pn}in mnozice E neurejenih parov vozlisc, ki jih imenujemo povezave E = {{Pi1Pj1}, {Pi2, Pj2}, . . .}.Graf Γ lahko opisemo zelo na kratko, z njegovo tako imenovano matriko sosednosti A = [aij ].
Kjer je
aij =
{
1; {Pi, Pj} ∈ E
0; sicer
Ker je Γ neusmerjen graf, je matrika A realno simetricna matrika. Tako je AT = A.
Nadalje si bomo ogledali trditev iz katere je razvidno, da so simetricno bilinearne forme
naravno povezane s simetricnimi matrikami.
32
Trditev 2.1 Bilinearna forma Q(x, y) = xTAy na vektorskem prostoru Fn je simetricna
natanko tedaj, ko je matrika A simetricna.
Dokaz. Predpostavimo, da je matrika A simetricna, to pomeni AT = A. Ker je skalar
matrika velikosti 1× 1 in je enak svoji transponirani vrednosti, lahko sedaj izracunamo
Q(y, x) = yTAx = (yTAx)T = xTAT y = xTAy = Q(x, y).
Torej je Q simetricna bilinearna forma. Drugo implikacijo dobimo, ko vstavimo, da je x = ei
in y = ej in ugotovimo, da je
Q(ei, ej) = eiAej = aij
Q(ej , ei) = ejAei = aji.
Ker je sama bilinearna forma simetricna, iz tega sledi, da je aij = aji in zato je matrika A
simetricna.
Sedaj si bomo pogledali se dva zgleda, ki prikazujeta pozitivno definitnost matrik.
Zgled 36 Naj bo f(x) gladka realna funkcija iz mnozice D ⊂ Rn. Ce je y = [yi] notranja
tocka mnozice D, potem, glede na Taylorjev izrek, velja:
f(x) = f(y) +n∑
i=1
(xi − yi)∂f
∂xi
∣∣∣∣y
+n∑
i,j=1
(xi − yi)(xj − yj)∂2f
∂xi∂xj
∣∣∣∣y
+ . . . ,
za vse tocke x ∈ D, ki so blizu y. Ce je y stacionarna tocka funkcije f , potem vsi parcialni
odvodi prvega reda v y izginejo in dobimo izraz:
f(x)− f(y) =n∑
i,j=1
(xi − yi)(xj − yj)∂2f
∂xi∂xj
∣∣∣∣y
+ . . .
= (x− y)TH(f ; y)(x− y) + . . . ,
ki opredeljuje obnasanje funkcije f v blizini tocke y. Naj bo
H(f ; y) ≡[
∂2f
∂xi∂xj
∣∣∣∣y
]
Hessejeva matrika funkcije f v tocki y; gre za simetricno matriko zaradi enakosti mesanih
parcialnih odvodov funkcije f . Ce je kvadratna forma,
zTH(f ; y)z, z 6= 0, z ∈ Rn,
33
vedno pozitivna, potem je y relativni (lokalni) minimum za funkcijo f . Ce pa je kvadratna
forma vedno negativna, potem pa je y relativni (lokalni) maksimum za funkcijo f . Ce je
kvadratna forma nenegativna v vseh tockah mnozice D (ne samo v kriticnih tockah funkcije
f), potem je funkcija f konveksna funkcija v mnozici D.
Zgled 37 Naj bodoX1, X2, . . . , Xn realne ali kompleksne nakljucne spremenljivke s koncnimi
drugimi momenti na nekem verjetnostnem prostoru z matematicnim upanjem in pred-
postavimo, da µi = E(Xi) predstavlja ustrezne srednje vrednosti. Kovariancna matrika
nakljucnega vektorja X = (X1, X2, . . . , Xn)T je matrika A = [aij ], za katero velja:
aij = E[(Xi − µi)(Xj − µj)], i, j = 1, 2, . . . , n.
Iz enacbe je razvidno, da je A hermitska matrika. Ce je z = [zi] ∈ Cn, potem lahko
enostavno izracunamo, da je:
z∗Az = E
[ n∑
i,j=1
zi(X i − µi)zj(Xj − µj)
]
= E
∣∣∣∣
n∑
i,j=1
zi(Xi − µi)
∣∣∣∣
2
≥ 0.
Edine lastnosti za funkcional pricakovane vrednosti, ki nastopajo v tem primeru, so lin-
earnost, homogenost in nenegativnost, kar pomeni, da je E[Y ] ≥ 0, kadar je Y nenegativna
nakljucna spremenljivka.
Podobno lahko opazimo tudi brez uporabe jezika iz podrocja verjetnosti. Ce obstaja druzina
kompleksnih funkcij f1, f2, . . . , fn na realni osi, ce je g realna funkcija in ce so vsi integrali
aij =
∫ ∞
−∞f i(x)fj(x)g(x)dx, i, j = 1, 2, . . . , n
definirani in konvergentni, potem je matrika A = [aij ] ocitno hermitska. Enostavno lahko
izracunamo, da
z∗Az =n∑
i,j=1
∫ ∞
−∞zif i(x)zjfj(x)g(x)dx
=
∫ ∞
−∞
∣∣∣∣
n∑
i=1
zifi(x)
∣∣∣∣
2
g(x)dx
potem bo podana kvadratna forma vedno nenegativna, ce je g(x) nenegativna funkcija.
2.1 Definicija in osnovne lastnosti 34
2.1 Definicija in osnovne lastnosti
Kvadratno matriko A imenujemo simetricna matrika, ce velja, da je A = AT . Iz tega
sledi, da so simetricne matrike tiste kvadratne matrike, pri katerih so elementi simetricni
glede na glavno diagonalo enaki: za vsak i in j velja, da je aij = aji.
Za simetricne matrike je znacilno, da zamenjava obeh indeksov ne spremeni elementa. Torej
lahko recemu tudi, da je matrika simetricna, kadar je i-ta vrstica enaka i-temu stolpcu.
Splosen zapis simetricne matrike:
A =
a11 a12 . . . a1n
a12 a22 . . . a2n...
.... . .
...
a1n a2n . . . ann
Zgled 38 Podano imamo matriko A:
A =
8 5 10
5 4 3
10 3 1
,
nato transponiramo matriko A in dobimo:
AT =
8 5 10
5 4 3
10 3 1
.
Ugotovimo, da je A = AT oziroma AT = A, kar pomeni, da je matrika A simetricna.
Izrek 2.2 Za poljubno matriko A sta matriki AAT in ATA vedno simetricni.
Dokaz. Za dokaz bomo uporabili lastnost transponiranja (AB)T = BTAT in preveriti
moramo, ali je AT = A:
(ATA)T = AT (AT )T = ATA
(AAT )T = (AT )TAT = AAT .
Zgled 39 Poglejmo ali je produkt AAT simetricna matrika.
A =
8 5 10
5 4 3
10 3 1
, AT =
8 5 10
5 4 3
10 3 1
2.1 Definicija in osnovne lastnosti 35
AAT =
8 5 10
5 4 3
10 3 1
·
8 5 10
5 4 3
10 3 1
=
189 90 105
90 50 65
105 65 110
Ugotovimo, da je produkt AAT simetricna matrika.
Posledica 2.3 Ce je X matricni stolpec reda n, potem je X ·XT simetricna matrika reda
n.
Zgled 40 Podan imamo matricni stolpec X:
X =
8
5
10
⇒ XT =[
8 5 10]
X ·XT =
8
5
10
·[
8 5 10]
=
64 40 80
40 25 50
80 50 100
Opazimo, da je produkt simetricna matrika.
Izrek 2.4 Za vsako kvadratno matriko A je matrika A+AT simetricna.
Dokaz. Za dokaz bomo uporabili lastnost transponiranja (A+B)T = AT +BT :
(A+AT )T = AT + (AT )T = AT +A = A+AT .
Zgled 41 Poglejmo, ali je vsota A+AT , kjer je A kvadratna matrika, simetricna matrika.
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, AT =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
A+AT =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
+
1 4 7
2 5 8
3 6 9
=
2 6 10
6 10 14
10 14 18
Ugotovimo, da je vsota A+AT , kjer je A kvadratna matrika, simetricna matrika.
2.1 Definicija in osnovne lastnosti 36
Opomba 2.5 Vsaka diagonalna, skalarna, identicna matrika in matrika nic je simetricna
matrika.
Trditev 2.6 Ce je matrika A simetricna, potem je tudi A−1 simetricna matrika.
Dokaz. Zgornjo trditev bomo dokazali enako kot lastnost inverzne matrike:
(AT )−1 = (A−1)T .
Vemo, da velja: AA−1 = A−1A = I. Nato transponiramo enakost AA−1 = I in dobimo:
(AA−1)T = IT ,
nato upostevamo pravilo za mnozenje produkta pri transponiranju ter dobimo:
(A−1)TAT = IT = I.
Ekvivalentno naredimo tudi z drugo enakostjo A−1A = I in dobimo:
AT (A−1)T = IT = I.
Nato primerjamo oba rezultata transponiranja:
(A−1)TAT = IT = I in AT (A−1)T = IT = I
ter ugotovimo, da je matrika (A−1)T obratna oziroma inverzna matrika matrike AT . Zato
je (AT )−1 = (A−1)T .
Zgled 42 Preverimo ali je inverzna matrika A−1 simetricne matrike A simetricna.
A =
8 5 10
5 4 3
10 3 1
Najprej moramo izracunati inverzno matriko A−1. Izkaze se, da je inverzna matrika matrike
A enaka:
A−1 =1
−165
−5 25 −25
25 −92 26
−25 26 7
.
Ugotovili smo, da je inverzna matrika A−1, simetricne matrike A prav tako simetricna
matrika.
2.2 Definitnost in semidefinitnost simetricnih matrik 37
Izrek 2.7 Lastne vrednosti realne simetricne matrike so realne.
Dokaz. Izrek bomo dokazali kot posebni primer. Za dokaz izreka bomo uporabili komplek-
sno stevilo. Kompleksno stevilo oznacimo z z, kje je z = a+ ib. Konjugacijo kompleksnega
stevila oznacimo z a+ ib, ki je podana s formulo a+ ib = a−ib. Torej konjugacijo komplek-
snega stevila oznacimo z z = a − ib. Oznaka x bo oznacevala vektor, ki ima vsak element
zamenjan z njegovim kompleksnim konjugiranim.
Recimo, da je A realno simetricna matrika in Ax = λx. Potem velja:
λxTx = (Ax)Tx = xTATx = xTAx = λxTx.
Obe strani enacbe delimo z xTx in dobimo, da je λ = λ, kar nam pove, da je λ realno.
Zgled 43 Naj bo A simetricna matrika, kateri bomo poiskali lastno vrednost.
A =
[
1 5
5 3
]
Lastno vrednost dobimo s pomocjo determinante:
det =
∣∣∣∣∣
1− λ 5
5 3− λ
∣∣∣∣∣= 3− 4λ+ λ2 = 0.
Resitvi dane enacbe sta λ1 = 2 +√5 in λ2 = 2−
√5.
2.2 Definitnost in semidefinitnost simetricnih ma-
trik
V tem delu diplomskega dela bomo spoznali, kdaj je matrika pozitivno ali negativno definitna
oziroma semidefinitna.
Naj bo SRn×n = {A ∈ Rn×n|AT = A} mnozica vseh simetricnih matrik. Potem je
A ∈ SRn×n pozitivno semidefinitna, ce je xTAx ≥ 0, za vse x ∈ Rn. Ce je A se obrnljiva,
potem ji recemo pozitivno definitna in velja xTAx > 0, za vse x ∈ Rn. V primeru, da pa
je xTAx ≤ 0, potem je A ∈ SRn×n negativno semidefinitna, za vse x ∈ Rn in ce je se A
obrnljiva, potem ji recemo negativno definitna in velja xTAx < 0, za vse x ∈ Rn.
Trditev 2.8 Simetricna matrika A je pozitivno definitna natancno takrat, kadar so vsi
njeni vogalni minorji pozitivni.
2.2 Definitnost in semidefinitnost simetricnih matrik 38
Dokaz. Naj bo S prava podmnozica {1, 2, . . . , n} in oznacimo z A(S) matriko, ki jo dobimo
z brisanjem vrstic in stolpcev, dopolnjeno s preostalimi elementi iz S, iz pozitivno definitne
matrike A ∈ Mn. Potem je A(S) vogalni minor matrike A. Na ta nacin dobimo tudi vse
preostale vogalne minorje. Pravimo, da je stevilo detA(S) vogalni minor matrike A.
Naj bo x nenicelni vektor s poljubnimi vrednostmi na komponentah, ki ustrezajo S in z
niclo povsod drugje. Naj x(S) oznacuje dobljen vektor iz x, ki vsebuje komponente, ki
ustrezajo S. Potem je
x(S)TA(S)x(S) = xTAx
vecje od 0 (ce je matrika A pozitivno definitna), ne glede na to kako bomo izbrali x(S) 6= 0.
To pomeni, da je A(S) prav tako pozitivno definitna.
Zgled 44 Naj bo A simetricna matrika.
A =
8 2 1
2 5 3
1 3 4
Vogalni minorji matrike A so:
∣∣∣ 8
∣∣∣ > 0,
∣∣∣∣∣
8 2
2 5
∣∣∣∣∣= 36 > 0,
∣∣∣∣∣∣∣∣
8 2 1
2 5 3
1 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 79 > 0.
Ker so vsi vogalni minorji pozitivni, je simetricna matrika A pozitivno definitna.
Trditev 2.9 Simetricna matrika A je negativno definitna natancno takrat, kadar predznaki
njenih vogalnih minorjev alternirajo (tj. zaporedje, v katerem si izmenoma sledijo pozitivni
in negativni predznaki), enovrsten minor pa je negativen.
Dokaz. Matrika A je negativno definitna, ce je matrika −A pozitivno definitna. Zato
moramo vsak minor pomnoziti z (−1)n, kjer n predstavlja n-vrstni minor matrike dimenzije
n× n, tako da velja:
(−1)nx(S)TA(S)x(S) = (−1)nxTAx.
2.2 Definitnost in semidefinitnost simetricnih matrik 39
Potem velja, da je minor A(S)2n−1 < 0 in minor A(S)2n > 0 in tako dobimo alternirajoce
zaporedje voglanih minorjev. Prav tako ugotovimo, da ce imamo enovrstni minor, je n = 1
in je zato negativen.
Zgled 45 Naj bo A simetricna matrika.
A =
−8 2 1
2 −5 3
1 3 −4
Vogalni minorji matrike A so:
∣∣∣ −8
∣∣∣ < 0,
∣∣∣∣∣
−8 2
2 −5
∣∣∣∣∣= 36 > 0,
∣∣∣∣∣∣∣∣
−8 2 1
2 −5 3
1 3 −4
∣∣∣∣∣∣∣∣
= −55 < 0.
Ker predznaki vogalnih minorjev alternirajo in ker je enovrsten minor negativen, je simetricna
matrika A negativno definitna.
Trditev 2.10 Simetricna matrika A je nenegativna natancno takrat, kadar so vsi njeni
glavni minorji nenegativni. Taksni matriki recemo tudi pozitivno semidefinitna.
Dokaz. Zacetek dokaza je enak dokazu pozitivne definitnosti (glej dokaz trditve 2.8).
Potem je
x(S)TA(S)x(S) = xTAx
vecje ali enako 0 (ce je matrika A pozitivno semidefinitna), ne glede na to kako bomo izbrali
x(S) 6= 0. To pomeni, da je A(S) prav tako pozitivno semidefinitna.
Zgled 46 Naj bo A simetricna matrika.
A =
2 3 1
3 5 2
1 2 1
2.2 Definitnost in semidefinitnost simetricnih matrik 40
Glavni minorji matrike A so:
∣∣∣ 2
∣∣∣ > 0,
∣∣∣ 5
∣∣∣ > 0,
∣∣∣ 1
∣∣∣ > 0,
∣∣∣∣∣
2 3
3 5
∣∣∣∣∣= 1 > 0,
∣∣∣∣∣
2 1
1 1
∣∣∣∣∣= 1 > 0,
∣∣∣∣∣
5 2
2 1
∣∣∣∣∣= 1 > 0,
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 1
3 5 2
1 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
Ker so vsi glavni minorji nenegativni, je simetricna matrikaA nenegativna oziroma pozitivno
semidefinitna.
Trditev 2.11 Simetricna matrika A je nepozitivna natanko takrat, kadar so vsi njeni glavni
minorji lihega reda nepozitivni, sodega reda pa nenegativni. Taksni matriki recemo tudi
negativno semidefinitna.
Dokaz. Matrika A je negativno semidefinitna, ce je matrika −A pozitivno semidefinitna.
Zato moramo vsak minor pomnoziti z (−1)n, kjer n predstavlja n-vrstni minor matrike
dimenzije n× n, tako da velja:
(−1)nx(S)TA(S)x(S) = (−1)nxTAx.
Potem velja, da je minor A(S)2n−1 ≤ 0 in minor A(S)2n ≥ 0 in tako dobimo, da so minorji
sodega reda nenegativni in minorji lihega reda nepozitivni.
Zgled 47 Naj bo A simetricna matrika.
A =
−5 −6 3
−6 −10 −2
3 −2 −13
Glavni minorji matrike A:
• lihega reda so:
∣∣∣ −5
∣∣∣ < 0,
∣∣∣ −10
∣∣∣ < 0,
∣∣∣ −13
∣∣∣ < 0,
∣∣∣∣∣∣∣∣
−5 −6 3
−6 −10 −2
3 −2 −13
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0,
2.2 Definitnost in semidefinitnost simetricnih matrik 41
• sodega reda so:
∣∣∣∣∣
−5 −6
−6 −10
∣∣∣∣∣= 14 > 0,
∣∣∣∣∣
−5 3
3 −13
∣∣∣∣∣= 56 > 0,
∣∣∣∣∣
−10 −2
−2 −13
∣∣∣∣∣= 126 > 0.
Ker so vsi glavni minorji lihega reda nepozitivni in sodega reda nenegativni, je simetricna
matrika A nepozitivna oziroma negativno semidefinitna.
Trditev 2.12 Ce so diagonalni elementi simetricne matrike rezlicno predznaceni ali je ka-
teri od njih enak nic, vendar niso vsi elementi v tisti vrstici enaki 0, je matrika nedefinitna.
Zgled 48 Matriki A in B
A =
−8 −2 1
−2 5 3
1 3 4
, B =
0 2 1
2 5 3
1 3 4
sta nedefinitni.
Posledica 2.13 Matrika
A =
[
a b
b c
]
je:
• definitna natanko takrat, ko je |A| > 0. Ce je a > 0 ali c > 0, je matrika A pozitivno
definitna, sicer je negativno definitna;
• semidefinitna natanko takrat, ko je |A| = 0. Ce je a > 0 ali c > 0, je matrika A
pozitivno semidefinitna, sicer je negativno semidefinitna;
• nedefinitna natanko takrat, ko je |A| < 0.
Zgled 49 Matrika je:
[
8 2
2 5
]
pozitivno definitna,
[
−8 2
2 −5
]
negativno definitna,
2.2 Definitnost in semidefinitnost simetricnih matrik 42
[
12 6
6 3
]
pozitivno semidefinitna,
[
−16 8
8 −4
]
negativno semidefinitna,
[
8 2
2 0
]
nedefinitna.
Trditev 2.14 Simetricna matrika A je pozitivno definitna natanko tedaj, ko ima same
pozitivne lastne vrednosti.
Dokaz. Ce je vsaka lastna vrednost matrike A pozitivna, potem za katerikoli nenicelni x
velja
xTAx = xTUTDUx = yTDy =n∑
i=1
yTi yidi =n∑
i=1
|yi|2di > 0,
kjer je D diagonalna matrika lastnih vrednosti matrike A in y = Ux, kjer je U ortogonalna
matrika.
Trditev 2.15 Simetricna matrika A je negativno definitna natanko tedaj, ko ima same
negativne lastne vrednosti.
Dokaz. Ce je vsaka lastna vrednost matrike A pozitivna, potem za katerikoli nenicelni x
velja
xTAx = xTUTDUx = yTDy =n∑
i=1
yTi yidi =n∑
i=1
|yi|2di < 0,
kjer je D diagonalna matrika lastnih vrednosti matrike A in y = Ux, kjer je U ortogonalna
matrika.
Trditev 2.16 Simetricna matrika A je pozitivno semidefinitna natanko tedaj, ko ima same
nenegativne lastne vrednosti.
Dokaz. Ce je vsaka lastna vrednost matrike A pozitivna, potem za katerikoli nenicelni x
velja
xTAx = xTUTDUx = yTDy =n∑
i=1
yTi yidi =n∑
i=1
|yi|2di ≥ 0,
kjer je D diagonalna matrika lastnih vrednosti matrike A in y = Ux, kjer je U ortogonalna
matrika.
2.2 Definitnost in semidefinitnost simetricnih matrik 43
Trditev 2.17 Simetricna matrika A je negativno semidefinitna natanko tedaj, ko ima same
nepozitivne lastne vrednosti.
Dokaz. Ce je vsaka lastna vrednost matrike A pozitivna, potem za katerikoli nenicelni x
velja
xTAx = xTUTDUx = yTDy =n∑
i=1
yTi yidi =n∑
i=1
|yi|2di ≤ 0,
kjer je D diagonalna matrika lastnih vrednosti matrike A in y = Ux, kjer je U ortogonalna
matrika.
Lastne vrednosti realnih simetricnih matrik so realne. Za vsako tako matriko A obstaja
taka ortogonalna matrika Q in taka realna diagonalna matrika D, da je
A = QTDQ.
Torej po definiciji ortogonalne podobnosti sledi, da je simetricna matrika A ortogonalno
podobna diagonalni matriki D. Ker je Q ortogonalna matrika, po definiciji sledi, da je
QT = Q−1. Torej dobimo
A = Q−1DQ,
kjer je matrika D diagonalna matrika. Po definiciji diagonalizabilnosti (1.19) sledi, da se
da matriko A diagonalizirati.
Poglavje 3
Antisimetricne matrike
V tem poglavju se bomo posvetili antisimetricnim matrikam. V uvodu v antisimetricne
matrike bomo spoznali osnovno definicijo antisimetricne matrike. V nadaljevanju bomo
analizirali izreke, ki vkljucujejo antisimetricne matrike, jih dokazali in ponazorili z zgledi.
3.1 Uvod v antisimetricne matrike
Matriko A imenujemo antisimetricna matrika, ce velja, da je A = −AT ali obratno, da
je −AT = A. Vsaka antisimetricna matrika je kvadratna matrika, vendar vsaka kvadratna
matrika pa ni nujno, da je antisimetricna. Iz tega sledi, da so antisimetricne matrike tiste
kvadratne matrike pri katerih so elementi simetricni glede na glavno diagonalo nasprotni:
za vsak i in j velja, da je aij = −aji. Torej ce v antisimetricni matriki med seboj sestejemo
simetricna elementa glede na glavno diagonalo, je njuna vsota enaka 0.
Trditev 3.1 Glavna diagonala antisimetricne matrike je enaka 0.
Dokaz. Vemo, da za antisimetricne matrike velja, aij = −aji. V primeru, da je i = j,
sledi, da je aii = −aii, in od tukaj dobimo, da je aii = 0.
Splosen zapis antisimetricne matrike:
A =
0 a12 a13 . . . a1n
−a21 0 a23 . . . a2n
−a31 −a32 0. . .
......
.... . .
. . . an−1n
−an1 −an2 . . . −ann−1 0
.
44
3.2 Osnovni izreki za antisimetricne matrike 45
Zgled 50 Podano imamo matriko A:
A =
0 5 10
−5 0 3
−10 −3 0
,
nato transponiramo matriko A in dobimo:
AT =
0 −5 −10
5 0 −3
10 −3 0
.
Ugotovimo, da je A = −AT oziroma AT = −A, kar pomeni, da je matrika A antisimetricna.
Posledica 3.2 Naj bo B, dimenzije n × n, antisimetricna matrika. Potem velja, da je
A = In − B nesingularna oziroma obrnljiva matrika, kar pomeni, da premore inverzno
matriko.
Dokaz. Naj bo A = In − B, kjer je BT = −B. Po izreku 1.2 je dovolj, da pokazemo,
da je AX = 0, kar pomeni, da je X = 0. Imamo (In − B)X = 0, torej X = BX. Zato je
XTX = XTBX.
Najprej moramo enacbo transponirati:
(XTBX)T = (XTX)T
XTBT (XT )T = XT (XT )T
XT (−B)X = XTX
−XTBX = XTX = XTBX.
Zato je XTX = −XTX in XTX = 0. Vendar ce je X = [x1, x2, . . . , xn]T , potem je
XTX = x21 + x22 + . . .+ x2n = 0 in zato je x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0.
3.2 Osnovni izreki za antisimetricne matrike
Trditev 3.3 Vsota antisimetricnih matrik je antisimetricna matrika.
3.2 Osnovni izreki za antisimetricne matrike 46
Dokaz. Naj bodo A1, A2, . . . , Ak antisimetricne matrike dimenzije n× n. Potem velja:
(k∑
i=1
Ai)T =
k∑
i=1
ATi =
k∑
i=1
(−Ai) = −k∑
i=1
Ai,
kar pomeni, da je∑k
i=1Ai antisimetricna matrika.
Zgled 51 Vsota dveh antisimetricnih matrik.
A =
0 5 10
−5 0 3
−10 −3 0
, B =
0 8 31
−8 0 13
−31 −13 0
A+B =
0 5 10
−5 0 3
−10 −3 0
+
0 8 31
−8 0 13
−31 −13 0
=
0 13 41
−13 0 16
−41 −26 0
Ugotovimo, da je A+B antisimetricna matrika.
Trditev 3.4 Vsota n×n nenegativno definitnih matrik A1, A2, . . . , Ak, A1+A2+ . . .+Ak,
je antisimetricna matrika, ce in samo, ce so A1, A2, . . . , Ak antisimetricne matrike.
Dokaz. Ce so nenegativno definitne matrike A1, A2, . . . , Ak antisimetricne, potem sledi
po izreku 3.3, da je njihova vsota antisimetricna matrika. Obratno predpostavimo, da je∑
iAi antisimetricna matrika. Naj dij predstavlja j-ti diagonalni element matrike Ai, kjer je
i = 1, . . . , k in j = 1, . . . , n. Ker je, po definiciji antisimetricne matrike, diagonalni element
matrike∑
iAi enak 0, dobimo:
d1j + d2j + . . .+ dkj = 0.
Ker gre za nenegativne matrike, sledi:
d1j ≥ 0, d2j ≥ 0, . . . , dkj ≥ 0,
kar nas pripelje do zakljucka, da so d1j , d2j , . . . , dkj enaki 0. Po definiciji za antisimetricne
matrike to pomeni, da so matrike A1, A2, . . . , Ak antisimetricne.
Izrek 3.5 Za vsako kvadratno matriko A je matrika A−AT antisimetricna.
3.2 Osnovni izreki za antisimetricne matrike 47
Dokaz. Za dokaz bomo uporabili lastnost transponiranja (A−B)T = AT −BT :
(A−AT )T = (A+ (−AT ))T = AT + (−AT )T = AT − (AT )T = AT −A = −(A−AT ).
Zgled 52 Poglejmo ali je razlika A−AT , kjer je A kvadratna antisimetricna matrika.
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, AT =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
A−AT =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
−
1 4 7
2 5 8
3 6 9
=
0 −2 −4
2 0 −2
4 2 0
Ugotovimo, da je razlika A−AT , kjer je A kvadratna antisimetricna matrika.
Izrek 3.6 Lastna vrednost realne antisimetricne matrike je 0 ali pravo imaginarno stevilo.
Opomba 3.7 Neko kompleksno stevilo je pravo imaginarno stevilo, ce nima realne kom-
ponente, torej je a = 0. Velja z = bi in stevilo z je imaginarno. Na primer stevilo
z = 0− 3i = −3i je pravo imaginarno stevilo.
Dokaz. Izrek bomo dokazali kot posebni primer. Za dokaz izreka bomo uporabili kom-
pleksno stevilo (glej dokaz izreka 2.7). Predpostavimo, da je A = −AT , potem velja, da je
matrika A antisimetricna in Ax = λx. Potem:
λxTx = (Ax)Tx = xTATx = −xTAx = −λxTx.
Obe strani enacbe delimo z xTx in dobimo, da je λ = −λ. Naj bo λ = a+ ib, kar pomeni,
da je a− ib = −a− ib in iz tega sledi, da je a = 0. Tako je λ pravo imaginarno stevilo.
Zgled 53 Naj bo A antisimetricna matrika, kateri bomo poiskali lastno vrednost.
A =
[
0 1
−1 0
]
Lastno vrednost dobimo s pomocjo determinante:
det =
∣∣∣∣∣
−λ 1
−1 −λ
∣∣∣∣∣= λ2 + 1 = 0.
Opazimo, da je lastna vrednost ±i, pravo imaginarno stevilo.
3.2 Osnovni izreki za antisimetricne matrike 48
Trditev 3.8 Ce je A antisimetricna matrika, potem je A2 simetricno nepozitivna definitna
matrika.
Dokaz. Vemo, da je (A2)T = (AT )2 = (−A)2 = A2, s tem smo dokazali simetricnost.
Sedaj pa se moramo dokazati, da gre za nepozitivno definitno matriko:
xTA2x = −xTATAx = −(Ax)TAx ≤ 0.
Zgled 54 Naj bo A antisimetricna matrika.
A =
0 5 10
−5 0 3
−10 −3 0
Preverimo, ali je A2 simetricno nepozitivno definitna matrika.
A ·A =
0 5 10
−5 0 3
−10 −3 0
·
0 5 10
−5 0 3
−10 −3 0
=
−125 −30 15
−30 −34 −50
15 −50 −109
Opazimo, da je matrika A2 simetricna in po izreku 2.11 ugotovimo, da je tudi nepozitivno
definitna.
Trditev 3.9 Pogoj xTAx = 0 velja za vsak x, ce in samo, ce je A antisimetricna matrika.
Dokaz. Naj bo A matrika in x vektor.
xTAx =∑
i,j
aijxixj =∑
i≤j
(aij + aji)xixj
Izraz xTAx = 0, za vsak x, v primeru, ce in samo, ce so vsi njegovi koeficienti enaki 0. To
pomeni, da je aij + aji = 0, za vse i 6= j in aii = 0, za vse i.
Izrek 3.10 Vsako kvadratno matriko A lahko enolicno zapisemo kot vsoto simetricne in
antisimetricne matrike. Naj bo B = 12(A+AT ) in C = 1
2(A−AT ), potem velja:
A =1
2(A+AT ) +
1
2(A−AT ) = B + C.
3.2 Osnovni izreki za antisimetricne matrike 49
Dokaz.
BT = 12(A+AT )T = 1
2(AT + (AT )T ) = 1
2(A+AT ) = B (dokaz simetricnosti)
CT = 12(A−AT )T = 1
2(A+(−AT ))T = 12(A
T +(−AT )T ) = 12(A
T −A) = −12(A−AT ) = −C
(dokaz antisimetricnosti)
Zato lahko vsako kvadratno matriko A izrazimo kot A = B + C, kjer je B = 12(A + AT )
simetricna matrika in C = 12(A−AT ) antisimetricna matrika.
Kot dokaz, da lahko enolicno izrazimo kvadratno matriko A kot vsoto simetricne in anti-
simetricne matrike, vzemimo izraz
A = P +Q,
ki je se en nacin, kjer je P simetricna matrika in Q antisimetricna matrika. Potem velja
P T = P in QT = −Q.
Potem je
AT = (P +Q)T = P T +QT = P −Q.
Nato dobimo, da je
A+AT = 2P in A−AT = 2Q
P =1
2(A+AT ) = B in Q =
1
2(A−AT ) = C, tako da je P +Q = B + C.
Zgled 55 Podano imamo matriko A:
A =
8 5 31
10 4 12
7 3 1
, AT =
8 10 7
5 4 3
31 12 1
.
Najprej bomo izracunali 12(A+AT ):
1
2(A+AT) =
1
2
16 15 38
15 8 15
38 15 2
.
Dobili smo simetricno matriko.
Sedaj bomo izracunali se 12(A−AT ):
1
2(A−AT) =
1
2
0 −5 24
5 0 9
−24 −9 0
.
3.2 Osnovni izreki za antisimetricne matrike 50
Dobili smo antisimetricno matriko.
Sedaj bomo preverili, ali velja A = 12(A+AT ) + 1
2(A−AT ):
A =1
2(A+AT ) +
1
2(A−AT ),
A =1
2
16 10 62
20 8 24
14 6 2
=
8 5 31
10 4 12
7 3 1
.
Opazimo, da je kvadratna matrika A, dimenzije 3 × 3, vsota simetricne in antisimetricne
matrike.
Izrek 3.11 Vsaka n× n antisimetricna matrika lihe dimenzije (n = 2k+1) je singularna.
To pomeni, da je determinanta matrike enaka 0.
Dokaz. Za antisimetricno matriko vemo, da velja AT = −A. Torej po lastnostih determi-
nante
det(A) = det(AT ) = det(−A) = (−1)ndet(A)
in v primeru, da je n lih, sledi, da je detA = 0. S tem smo dokazali, da so vse antisimetricne
matrike lihe dimenzije singularne.
Jordanova forma J kompleksne antisimetricne matrike ima naslednji dve lastnosti:
• Jordanov blok Ji(λ) z osnovnim deliteljem (x − λ)i, kjer je λ 6= 0, se v Jordanovi
formi J ponovi tolikokrat kot je blokov Ji(−λ),
• ce je i sodo stevilo, se Jordanov blok Ji(0) z osnovnim deliteljem xi ponovi v Jordanovi
formi J celo veckrat.
Vsaka kompleksna Jordanova matrika, ki ima obe lastnosti, je podobna neki antisimetricni
matriki.
Bilinearna forma f na vektorskem prostoru V je posevno simetricna forma, ce velja
f(v, w) = −f(w, v), za vse v, w ∈ V.
Matrika A, ki pripada posevno simetricni bilinearni formi v bazi B = {v1, v2, . . . , vn} pros-
tora V , ima naslednjo obliko
aii = 0, aij = −aji, ce velja i 6= j.
3.3 Primerjava simetricnih in antisimetricnih matrik 51
Namrec aii = f(vi, vi) = 0 in aij = f(vi, vj) = −f(vj , vi) = −aji, ce je i 6= j. Vidimo, da je
matrika A posevno simetricna in pri poljih karakteristike razlicne od dva zadosca enakosti
AT = −A.
Za vsako nenicelno antisimetricno matriko B obstaja taka unitarna matrika P in taka
diagonalna matrika D, da je
B = PHDP.
Torej po definiciji unitarne podobnosti sledi, da je antisimetricna matrika B unitarno
podobna diagonalni matriki D. Ker je P unitarna matrika, po definiciji sledi, da je
PH = P−1. Torej dobimo
B = P−1DP,
kjer je matrika D diagonalna matrika. Po definiciji diagonalizabilnosti (1.19) sledi, da se
da matriko B diagonalizirati.
3.3 Primerjava simetricnih in antisimetricnih ma-
trik
V tem podpoglavju bomo primerjali simetricne in antisimetricne matrike, ki smo jih obdelali
v prejsnjih poglavjih in zapisali njihove kljucne podobnosti in razlike.
1. Matrika, ki je hkrati simetricna in antisimetricna, je matrika 0.
2. Obe matriki se preslikata preko glavne diagonale. V simetricni matriki so elementi,
ki so simetricni glede na glavno diagonalo enaki, v antisimetricni matriki pa so ti
elementi nasprotni.
3. Glavna diagonala simetricne matrike je lahko poljubna, tudi 0, medtem ko je lahko
v antisimetricni matriki glavna diagonala samo 0.
4. Ce sestejemo ali odstejemo dve simetricni matriki dobimo simetricno, ce pa dve an-
tisimetricni pa antisimetricno matriko.
5. Ce simetricno ali antisimetricno matriko pomnozimo s skalarjem, vedno dobimo simetricno
ali antisimetricno matriko.
6. Lastne vrednosti realne simetricne matrike so realne, realne antisimetricne matrike
pa 0 ali pravo imaginarno stevilo.
3.3 Primerjava simetricnih in antisimetricnih matrik 52
7. Vsaka realna simetricna matrika A je ortogonalno podobna diagonalni realni matriki
in zato sledi, da se jo da diagonalizirati. Antisimetricno matriko B pa se da diagonal-
izirati v kompleksnem primeru in matrika B je unitarno podobna diagonalni matriki,
kjer so po diagonali nicle ali pa cisto imaginarna stevila.
8. Bilinearna forma je simetricna natanko tedaj, ko je matrika A simetricna. V primeru,
da pa je matrika A antisimetricna, pa je bilinearna forma posevno simetricna.
Literatura
[1] Bogataj, L. in Ferbar, L. Matematika 1, Ekonomska fakulteta v Ljubljani, Ljubljana,
2008.
[2] Chow, T. L. Mathematical Methods for Physicists, Cambridge University Press, USA,
2000.
[3] Cibej, J. A. Matematika za poslovneze, Ekonomska fakulteta v Ljubljani, Ljubljana,
1999.
[4] Eves, H. Elementary Matrix Theory, Allyn and Bacon, INC., Boston 1968.
[5] Gantmacher, F. R. The Theory of Matrices, Chelsea Publishing Company, USA, 2000.
[6] Harville, D. A. Matrix Algebra: Exercise and solutions, Springer-Verlag New York,
INC., USA, 2001.
[7] Horn, R. A. in Johnson, C. R. Matrix Analysis, Cambridge University Press, USA,
1999.
[8] Horn, R. A. in Johnson, C. R. Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press,
USA, 1999.
[9] Howard, A. in Rorres, C. Elementary Linear Algebra, Techsetters, INC., USA, 2005.
[10] Kosir, T. Linearna algebra, (citirano 30.5.2010), dostopno na naslovu:
http://www.fmf.uni-lj.si/ kosir/poucevanje/linalg.html.
[11] Kurepa, D. Visa algebra, Skolska knjiga, Zagreb, 1965.
[12] MacDuffe, C. C. The Theory of Matrices, Chelsea Publishing Company, USA, 1961.
[13] Matthews, K. R. Elementary Linear Algebra, University of Queensland, Australia,
2010.
[14] Plemelj, J. Algebra in teorija stevil, Akademija znanosti in umetnosti v Ljubljani,
Ljubljana, 1962.
53
Literatura 54
[15] Prasolov, V. V. Problems and Theorems in Linear Algebra, American Mathematical
Society, USA, 1996.
[16] Roman, S. Advanced Linear Algebra, University of California, Irvine, USA, 2005.
[17] Vidav, I. Algebra, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije, Ljubljana,
1989.
[18] Vukadinovic, S. in Sucevic D. Visa matematika, Univerziteta u Beogradu, Beograd,
1974.