diplomsko delo mojca jakob 2015 · 2015-12-04 · most students could solve the task properly and...

UNIVERZA NA PRIMORSKEM

PEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

MOJCA JAKOB

KOPER 2015

UNIVERZA NA PRIMORSKEM

PEDAGOŠKA FAKULTETA

Univerzitetni študijski program prve stopnje

Razredni pouk

Diplomsko delo

MATEMATIČNI PROBLEMI V 1. VZGOJNO-

IZOBRAŽEVALNEM OBDOBJU OSNOVNE ŠOLE

Mojca Jakob

Koper 2015

Mentorica: prof. dr. Mara Cotič

Somentorica: Marina Volk

ZAHVALA

Rada bi se zahvalila svoji mentorici prof. dr. Mari Cotič in somentorici Marini Vollk, za

strokovno pomoč, potrpežljivost in svetovanje pri nastajanju diplomskega dela.

Iskreno se zahvaljujem tudi vsem mojim najbližjim, ki so me podpirali in spodbujali pri

pisanju diplomskega dela.

IZJAVA O AVTORSTVU

Podpisana Mojca Jakob študentka univerzitetnega študijskega programa prve stopnje

Razredni pouk

izjavljam,

da je diplomsko delo z naslovom Matematični problemi v 1. vzgojno- izobraževalnem

obdobju osnovne šole

- rezultat lastnega raziskovalnega dela,

- so rezultati korektno navedeni in

- nisem kršila pravic intelektualne lastnine drugih.

Podpis:

______________________

V Kopru, dne

IZVLEČEK

Namen diplomskega dela je predstaviti in ugotoviti, ali učenci 3. razreda osnovne

šole matematične probleme razumejo in jih uspešno rešujejo. Osredotočili smo se na

matematične probleme s preveč podatki, premalo podatki, matematične probleme, ki

imajo več možnih rešitev ter matematične probleme, ki jih rešimo na več možnih

načinov. Zanimalo nas je, kakšne strategije reševanja uporabljajo in kako razumevanje

prebranega (bralna pismenost) vpliva na uspešno reševanje le-teh.

Da bi lahko prišli do želenih ugotovitev, smo razdelili teste znanja učencem treh

razredov, in sicer 3. razreda osnovne šole. Rezultati so pokazali, da učenci

matematične probleme s preveč podatki dobro razumejo in jih uspešno rešujejo ne

glede na oceno, ki jo imajo pri slovenščini. Učenci znajo iz naloge izbrati podatke, ki so

potrebni za reševanje matematičnega problema in nalogo rešiti. Ugotovili smo tudi, da

so ta tip matematičnega problema učenke reševale uspešneje kot učenci. Večja

odstopanja so se pokazala pri matematičnem problemu s premalo podatki. To nalogo

so znali rešiti učenci, ki imajo pri slovenščini boljšo oceno. Tukaj se je pokazalo, da ima

pri reševanju tega matematičnega problema veliko vlogo razumevanje prebranega.

Večinoma učenci niso znali poiskati manjkajočega podatka, ki je bil podan implicitno,

čeprav bi ga lahko našli v šolskem vsakdanu. Rezultati uspešno rešenih nalog so

pokazali, da so pri tem matematičnem problemu učenci uspešnejši od učenk.

Matematični problem z več možnimi rešitvami so učenci znali rešiti. Večina učencev je

nalogo znala pravilno rešiti in poiskati več možnih rešitev. Zato smo prišli do

ugotovitve, da je matematični problem z več možnimi rešitvami učencem razumljiv in

ga znajo rešiti, prav tako pa ni bilo razlik pri uspešnosti reševanja med spoloma. Pri

zadnjem matematičnem problemu, kjer je možnih več poti do rešitev, so imeli učenci

težave predvsem z razumevanjem prebranega. Pokazalo se je, da so učenci nalogo

prebrali površno in odgovarjali le na eno izmed dveh vprašanj. Prav tako niso znali

poiskati vseh možnih kombinacij, saj niso znali poiskati poti do pravilne rešitve.

Ugotovili smo, da je ta matematični problem za učence težko razumljiv in imajo največ

težav, saj nimajo strategije za uspešno reševanje matematičnih problemov.

Ključne besede: matematični problemi, bralno razumevanje, strategije reševanja,

uspešnost reševanja, razlike med spoloma.

ABSTRACT

Mathematical problems in the first educational period of primary school

The aim of the thesis is to present and determine whether the 3rd grade pupils of

the elementary school understand and successfully solve mathematical problems. We

focused on mathematical problems with too much data, too little data, on mathematical

problems which have more potential solutions and mathematical problems that can be

solved in several possible ways. We wanted to know which solving strategy the pupils

use and how reading comprehension (reading literacy) affects the successful solving.

In order to get to the desired findings, we have divided the tests to three classes of

3rd grade pupils at elementary school. The results showed that pupils understand the

mathematical problems with too much information well and effectively address them

regardless of the mark they have in Slovenian language. Pupils are able to choose the

information necessary to solve a mathematical problem from the task and solve the

task. We have also found that this type of mathematical problem was solved better by

girls than by boys. Larger deviations were found at the mathematical problem with the

lack of information. This task was successfully solved by the pupils who have a better

mark in Slovenian language. Here it was shown that reading comprehensions plays a

big role in solving this mathematical problem. Mostly, students were not able to find the

missing information which was given implicitly. We would find it in everyday school life.

The results of successfully solved tasks showed that in this mathematical problem boys

perform better than girls. Pupils are able to solve a mathematical problem with several

possible solutions. Most students could solve the task properly and find a number of

possible solutions. We have therefore come to the conclusion that pupils understand a

mathematical problem with several possible solutions and know how to solve it. There

was no difference in the success of solving tasks between the sexes. At the last

mathematical task, where there are several ways leading to the solution, the pupils

experienced difficulties with reading comprehension. It has been shown that students

read a task superficially and responded to only one of the two issues. Also, they could

not find all the possible combinations, because they could not find a way to the correct

solution. We have found that this mathematical problem is difficult to understand for

pupils and causes the most problems. They have no strategy for solving the

mathematical problems successfully.

Key words: mathematical problems, reading comprehension, solving strategies,

the success of solving, the difference between genders.

KAZALO VSEBINE

1 Uvod ...................................................................................................................... 1

2 Teoretični del.......................................................................................................... 2

2.1 Matematični problemi ...................................................................................... 2

2.2 Problemska situacija ....................................................................................... 4

2.3 Vrste matematičnih problemov ........................................................................ 4

2.3.1 Vodeni problem ........................................................................................ 5

2.3.2 Nevodeni problem .................................................................................... 6

2.3.3 Nepopolni problem ................................................................................... 7

2.3.4 Problemi, ki nimajo zadostnega števila podatkov ..................................... 8

2.3.5 Problemi, ki imajo več podatkov, kot je potrebnih za rešitev ..................... 9

2.3.6 Problemi, v katerih so si podatki nasprotujoči oziroma nimajo rešitve..... 10

2.3.7 Problemi, ki jih rešimo na različne načine ............................................... 10

2.3.8 Problemi z več rešitvami ........................................................................ 12

2.4 Faze reševanja matematičnega problema ..................................................... 12

2.4.1 Razumevanje problema ......................................................................... 13

2.4.2 Priprava načrta za reševanje problema .................................................. 14

2.4.3 Uresničitev načrta .................................................................................. 14

2.4.4 Analiza reševanja ................................................................................... 14

2.5 Razvijanje matematične pismenosti skozi reševanje problemov .................... 14

2.6 Cilji v Učnem načrtu za matematiko .............................................................. 16

3 Empirični del ........................................................................................................ 19

3.1 Problem, namen in cilji .................................................................................. 19

3.2 Raziskovalna vprašanja ................................................................................ 19

3.3 Metodologija .................................................................................................. 20

3.3.1 Raziskovalne metode ............................................................................. 20

3.3.2 Raziskovalni vzorec ............................................................................... 20

3.3.3 Postopek zbiranja podatkov ................................................................... 21

3.3.4 Postopek obdelave podatkov ................................................................. 21

3.4 Rezultati in interpretacija ............................................................................... 22

4 Sklepne ugotovitve ............................................................................................... 34

5 Viri in literatura ..................................................................................................... 37

Priloge ......................................................................................................................... 38

KAZALO SLIK

Slika 1: Komponente pri definiciji matematičnega problema. .........................................2

Slika 2: Diagram, ki prikazuje razliko med problemom in problemom – vajo. .................3

Slika 3: Primer matematičnega problema z več možnimi rešitvami. ............................. 12

Slika 4: Matematični problem s preveč podatki ............................................................ 23

Slika 5: Matematični problem s premalo podatki .......................................................... 25

Slika 6: Matematični problemi z več rešitvami ............................................................. 28

Slika 7: Matematični problem, ki ga rešimo na različne načine .................................... 31

Jakob, Mojca (2015): Matematični problemi v 1. vzgojno-izobraževalnem obdobju osnovne šole. Diplomsko

delo. Koper: UP PEF.

1

1 UVOD

Z različnimi problemi se srečujemo skozi vse življenje. Spremljajo nas že od prvih

korakov, ki jih naredimo v začetku našega življenja. Mlajši otroci se začnejo z njimi

spopadati pri vsakodnevni igri. V kasnejših letih pa problemi dobijo drugačen pomen in

se na njih odzivamo drugače. Pomembno je, da se znamo z njimi spopasti in jih rešiti.

Problemska znanja lahko pridobimo tudi pri matematiki. Otroci se z njimi srečajo v

začetku svojega šolanja. Spoznavati začnejo enostavnejše matematične probleme, na

katerih gradijo svoje znanje, mišljenje in ustvarjalnost. Vsak matematični problem, ki je

postavljen v realno, učenčevo okolje, bo zanj lažje razumljiv in rešljiv. Predvsem pa jim

bo pridobljeno problemsko znanje pomagalo pri reševanju problemov zunaj

matematike, v realnem življenju. V šoli bi morali učitelji pogosteje uporabljati različne

matematične probleme, saj z reševanjem le-teh pri učencih spodbujamo ustvarjalnost,

različne tipe mišljenja, različne strategije in spretnosti. Ne le da učenci razvijajo

problemska znanja in strategije reševanja problemov ter različne poti do cilja, v prvi

vrsti začnejo spoznavati matematiko kot uporabno vedo. Kot je zapisala Amalija Žakelj:

˝Cilj problemskega pouka ob iskanju rešitve problema je učenje matematike.˝ (Žakelj,

2003, str. 173).

V diplomskem delu smo predstavili splošno teorijo o matematičnih problemih,

opisali smo vrste matematičnih problemov in strategije reševanja. Predstavljena je tudi

matematična pismenost ter kako matematično pismenost učenci razvijajo skozi

reševanje matematičnih problemov. Podrobno smo analizirali cilje, ki so zapisani v

Učnem načrtu za matematiko (2011), cilje na temo reševanja matematičnih problemov

ter kako se problemsko znanje nadgrajuje v vsakem letu šolanja. V empiričnem delu so

predstavljeni rezultati uspešnosti reševanja testa znanja z matematičnimi problemi pri

učencih 3. razreda ter kako matematične probleme razumejo in katere strategije

reševanja uporabljajo.



2

2 TEORETIČNI DEL

2.1 Matematični problemi

Naloge s tekstom poimenujemo na različne načine. Nekateri jih poimenujejo

tekstne naloge, naloge, besedilne naloge, naloge z besedilom in tudi matematični

problemi. Matematični problem je vprašanje, na katerega moramo najti rešitev s

preučitvijo naloge. O njem ne moremo govoriti na splošno, saj je vedno vezan na

problemsko nalogo in na reševalca naloge.

Magajna (2003) je zapisal, da je problem v širšem pomenu občutek nelagodja, ker

se ne znamo sprijazniti z dano situacijo oziroma ne moremo doseči želenega cilja.

Problemi niso le domene matematikov. Pri pouku matematike pogosto uporabljamo

izraz problem za besedilno nalogo ali težje rešljivo nalogo. Vendar pa o matematičnem

problemu govorimo takrat, kadar skuša oseba rešiti problem tako, da uporabi

matematična orodja, da pride do želene rešitve. Pri tem se pojavlja vprašanje, ali lahko

vsako tako situacijo razumemo kot matematični problem. Dano situacijo posameznik

doživi kot matematični problem, spet drugi lahko situacijo doživi kot nematematični

problem, tretji osebi pa je lahko ta situacija povsem neproblematična.

Večina matematično-didaktične literature navaja tri komponente pri definiciji

matematičnega problema:

1. ˝začetno stanje ali situacija, v kateri je dana vsebina problema z ustreznimi podatki

in informacijami,

2. cilj, ki ga mora reševalec problema doseči,

3. pot od začetnega stanja ali situacije do cilja, ki jo mora reševalec poiskati, da reši

problem.˝ (Cotič, 1999, str. 7).

Z diagramom to prikažemo tako:

Slika 1: Komponente pri definiciji matematičnega problema (Vir: Cotič, 1999, str. 7).

ZAČETNO

STANJE POT

CILJ



3

Kadar je pot od začetnega stanja do cilja znana, to ni več matematični problem,

ampak problem – vaja. Problem se od problema – vaje razlikuje v tem, da nima danega

postopka za reševanje problema, zato to nekomu predstavlja problem, drugemu pa le

problem – vajo (prav tam).

Polya ta problem – vajo imenuje rutinski problem. Pravi, da je rutinska naloga

problem, ki ga lahko rešimo na dva načina. ˝Ali z vstavitvijo posebnih podatkov v naprej

rešen splošni problem ali pa tako, da zasledujemo, brez sence kakšne izvirnosti,

stopnjo za stopnjo, kot kakšen že močno obrabljen vzorec.˝ (Polya, 1989, str. 197).

Polya pravi, da so rutinske naloge dobre in potrebne pri preučevanju matematike,

vendar pa moramo učence navajati tudi na druge vrste problemov (prav tam).

Razliko med problemom in problemom – vajo je Cotičeva (1999) prikazala s

spodnjim diagramom.

Problem Problem – vaja

Slika 2: Diagram, ki prikazuje razliko med problemom in problemom – vajo. (Vir: Cotič,

1999, str. 8)

Razlika med situacijo problem in problem – vaja nam pomaga bolje razumeti

tradicionalno poučevanje in učenje matematike. Pri reševanju problema učitelj

učencem pokaže postopek reševanja problema. Učenec ta postopek memorizira in ga

pri naslednjem problemu uporabi. S tem si učenci ustvarijo sliko, da se vsak problem

lahko reši brez napora, v nasprotnem primeru rešitev takšnega problema ni mogoča

(Frobisher, 1997).



4

2.2 Problemska situacija

Različni avtorji navajajo različne definicije problemske situacije.

Strmčnik je problemsko situacijo definiral takole: ˝Problemska situacija predstavlja

primarno ali elementarno podlago problema. Zanjo so značilne zapletenost,

nasprotnost in protislovnost, ki zahtevajo rešitvene napore.˝ (Strmčnik, 1991, str. 39).

Učence moramo postaviti v takšne problemske situacije, ki so v zavestnih in

realnih rešitvenih možnostih, da se z njimi lahko spoprimejo. Zato je pomembno, da pri

reševanju matematičnega problema izhajamo iz učenčevih realnih situacij. Tako bodo

lažje oblikovali problem kot pripoved doživete situacije (Cotič, 1999). Prav tako bodo

učenci bolj motivirani za reševanje problema.

˝S prehodom od problemske situacije do oblikovanja problema in nato do njegove

rešitve se učenec začne zavedati, da je za problemom vedno problemska situacija, ki

je bila definirana.˝ (Boero, 1986, v Cotič, 1999, str. 11).

Pomen problemskih situacij pri matematiki je predvsem v spodbujanju razvoja

matematičnega razmišljanja, ki vsebuje elemente kritičnega, analitičnega,

ustvarjalnega in sistemskega razmišljanja (Žakelj, 2003).

Vendar pa to ne pomeni, da morajo vse problemske situacije izhajati iz učenčeve

realnosti, učence moramo vpeljati tudi v probleme, ki jih zastavi učitelj.

Cotičeva (1999) pravi, da morajo v takih primerih, kjer problemska situacija ne

izhaja iz učencev, učenci besedilo problema najprej prebrati in razumeti. Kar pa jim pri

reševanju problemov, ki temeljijo na njegovi resničnosti, ni potrebno.

2.3 Vrste matematičnih problemov

V matematiki ločimo več vrst matematičnih problemov, ki jih lahko opredelimo

glede na to, kako so zastavljeni, koliko podatkov vsebujejo, kakšno je izhodiščno stanje

in kakšen je cilj naloge. Pomembno je, da se učenci srečajo tudi z drugačnimi, realnimi

problemi, ki imajo več poti reševanja in več možnih rešitev. S tem pridobijo na

razumevanju in prikazovanju problemov.

Kategorizacija problemov po Mialeretu:

Mialaret deli probleme na:



5

- vodene probleme,

- nevodene probleme in

- nepopolne probleme (Mialaret, 1969, v Cotič, 1999).

2.3.1 Vodeni problem

Pri vodenih problemih je reševalec s kakršnokoli pomočjo, bodisi z vprašanji bodisi

s pomočjo učitelja, voden od začetka problema do cilja (Magajna 2003).

Mialareti (1969, v Cotič, 1999) pravi, da je najbolj preprost vodeni problem tisti, ki

ga rešimo z eno operacijo.

Primer: Šopek vrtnic stane 20 €, kupil bom 3 šopke. Koliko denarja bom porabil?

Učenci zapišejo račun: 20 € + 20 € + 20 € = 60 € ali 20 € x 3 = 60 €. Na koncu

zapišejo odgovor: Porabil bom 60 €.

Vodeni problemi pa so lahko tudi sestavljeni. Sestavljeni vodeni problemi vsebujejo

več različnih podatkov, ki so lahko za učence na miselni ravni prezahtevni. Zato jih

morajo po besedah Cotičeve (1999) razstaviti na delne probleme.

Primer: Miha je za svoj rojstni dan dobil 20 € od babice, 30 € od strica in 50 € od

mame. Odpravil se je v trgovino in si z denarjem kupil hlače za 25 € in jopico za 35 €.

Koliko denarja mu je še ostalo?

Zgoraj zapisani vodeni matematični problem, si učenec razstavi na delne

probleme.

Koliko denarja je Miha dobil od babice, strica in mame skupaj? Učenec zapiše

račun: 20 € + 30 € + 50 € = 100 €. In odgovor: Miha je dobil 100 €.

Koliko denarja potrebuje Miha za hlače, ki stanejo 25 € in jopico, ki stane 35 €?

Učenec zapiše račun: 25 € + 35 € = 60 €. In na koncu zapiše še odgovor: Miha

potrebuje 60 €.

Koliko denarja mu je ostalo? Učenec zapiše račun: 100 € - 60 € = 40 €. Na koncu

zapiše odgovor: Mihi je ostalo 40 €.

Z razstavljanjem matematičnega problema na delne, manjše probleme, znižuje

zahtevnost problema in pomaga učencu priti do pravilnega rezultata po lažji poti.



6

2.3.2 Nevodeni problem

Pri nevodenem problemu postopek reševanja ni podan v problemski situaciji.

Učenci morajo poti za reševanje določiti in izbrati sami, zato so te naloge tudi miselno

zahtevnejše (Cotič, 1999).

Primer:

˝Šest oseb se želi peljati z dvigalom, katerega nosilnost je 350 kg. Te osebe so:

Marko, ki tehta 73 kg, Maja, ki tehta 49 kg, Tine, ki tehta 87 kg, Eva, ki tehta 56 kg,

Darjo, ki tehta 68 kg in Rok, ki tehta 81 kg. Ali se lahko vseh šest oseb naenkrat pelje z

dvigalom? Katera oseba mora počakati naslednjo vožnjo z dvigalom? Zapiši vse

rešitve.˝ (Cotič, 1999, str. 15).

Učenci si morajo pri teh matematičnih problemih zastaviti potek reševanja. Nalogo

morajo dobro prebrati in si zapisati vse možne poti, ki bodo pripeljale do želenega cilja.

Poglejmo si primer še enega nevodenega matematičnega problema.

Tine se je odpravil v trgovino po stvari, ki jih potrebuje za svojo rojstnodnevno

zabavo. V voziček je dal plastične lončke, ki stanejo 3 €, piškote, ki stanejo 15 €, slane

prigrizke, ki stanejo 10 €, balone, ki stanejo 5 €, sok, ki stane 4 € in torto, ki stane 12 €.

Ker pa je imel Tine s seboj le 30 €, si vseh stvari, ki jih je položil v voziček, ni mogel

kupiti. Kaj vse si je Tine lahko kupil za 30 €? Katere stvari je moral vrniti nazaj na

polico? Zapiši vse možne rešitve.

Učenci bi pri takšnih problemih najprej sešteli vse stvari skupaj. Torej bi zapisali

račun: 3 € + 15 € + 10 € + 5 € + 4 € + 12 € = 49 €. Ugotovili bi, da Tine vseh stvari ne

more kupiti, saj ima le 30 €. Zato bodo morali zapisati več možnih rešitev. Na primer:

- 3 € + 15 € + 10 € = 28 €,

- 15 € + 10 € + 5 € = 30 €,

- 10 € + 5 € + 4 € + 3 € = 22 €,

- 12 € + 3 € + 15 € = 30 €…, dokler ne bi dobili vseh možnih rešitev. Ta vrsta

matematičnih problemov je za učence miselno zahtevnejša in jim vzame več časa za

razmišljanje in iskanje možnih pravilnih rešitev. Učenci ugotovijo, da ni potrebno, da

porabijo ves razpoložljiv denar.



7

2.3.3 Nepopolni problem

Pri nepopolnih problemih je odprta tako pot do cilja kot tudi cilj sam. Pri teh

problemih je veliko možnih poti in ciljev, ki jih lahko poiščejo učenci sami ali v skupini. S

takšnimi problemskimi situacijami učenci samostojno razmišljajo o novih situacijah.

Poleg tega pa so za učence zanimiva, saj lahko matematiko povezujejo z vsakdanjim

življenjem.

Mialaret navaja naslednji primer:

˝Naredite načrt za šolski izlet, če ima cel razred na razpolago določeno vsoto

denarja.˝ (Mialaret, 1969, v Cotič, 1999, str. 15).

Pri takšnih matematičnih problemih učencem pustimo prosto pot pri reševanju

problema in oblikovanju končnega cilja naloge. S takšnimi problemi pri učencih

spodbujamo mišljenje, razumevanje in oblikovanje lastnih rešitev, ki bodo pripeljale do

želenega končnega cilja. Poglejmo si naslednji primer nepopolnega matematičnega

problema.

Naslednji teden bomo organizirani športni dan. Naredi načrt, katere športne igre

bomo izvajali in katere rekvizite potrebujemo za posamezne športe. Upoštevaj tudi

število učencev v razredu.

Cotičeva (1999) loči več tipov matematičnih problemov:

- problemi, ki nimajo zadostnega števila podatkov za rešitev,

- problemi, ki imajo več podatkov, kot je potrebnih za rešitev,

- problemi, v katerih so si podatki nasprotujoči oziroma nimajo rešitev,

- problemi, ki jih rešimo na različne načine,

- problemi z več rešitvami.

Ta klasifikacija matematičnih problemov se nanaša predvsem na besedilne

naloge, s katerimi učenci razvijajo branje z razumevanjem. Učenci morajo pri teh

nalogah prebrati nalogo, razumeti problemsko situacijo, ugotoviti, kateri podatki so

pomembni in kateri odveč, rešiti in odgovoriti na zastavljeno nalogo.



8

2.3.4 Problemi, ki nimajo zadostnega števila podatkov

Pri teh problemih ločimo dve vrsti problemov.

V prvem primeru so podatki podani implicitno. To pomeni, da jih lahko razberemo

iz teksta, čeprav niso zapisani s števili. Nato jih eksplicitno zapišemo (Cotič,1999).

Primer:

˝V razredu je 15 stolov. Koliko stolov moramo še prinesti v razred, da bo vsak

otrok iz 2. a razreda imel svoj stol?˝ (Cotič, 1999, str. 21).

V tem primeru bi učenci pred reševanjem problema morali vedeti, koliko učencev

je v 2. a razredu, v nasprotnem primeru bi ta podatek dobili s preštevanjem (Cotič,

1999).

Poglejmo si še drug podoben primer:

Lukova babica je pekla kolače za vse njegove prijatelje, ki obiskujejo 3. b razred.

Spekla je 35 piškotov. Koliko piškotov lahko dobi vsak učenec, tako da bodo dobili vsi

enako število piškotov?

V tem primeru morajo učenci vedeti, koliko učencev je v 3. b razredu oziroma

prešteti morajo, koliko učencev je v 3. b razredu, če podatka ne bi vedeli na pamet. Ti

problemi so za učence na prvi pogled nerešljivi, ker problem nima zadostnega števila

podatkov. Vendar pa je manjkajoči podatek zastavljen tako, da učenci izhajajo iz

realne, poznane situacije in lahko sami poiščejo manjkajoči podatek.

V drugem primeru pa so problemi zastavljeni tako, da niso definirani ne eksplicitno

ne implicitno. V takih primerih govorimo o odprtih problemskih situacijah, v katerih naj

bi učenci sami smiselno določili vrednost manjkajočega podatka (Cotič, 1999).

Primer:

˝Jan je v nedeljo z družino odšel k babici na deželo. Pot, po kateri so se pripeljali k

babici, je dolga 80 km. Ko so se vračali domov, je Janov oče izbral krajšo pot. Koliko

km poti so prevozili v obe smeri?˝ (Cotič, 1999, str. 22).

Kadar z učenci rešujemo tak primer, jim pomagamo z vprašanji: Ali lahko rešiš

problem? Kateri podatek ti manjka? Kako ali kje boš poiskal manjkajoči podatek?

Učenci pri takšnih problemih smiselno sami določijo manjkajoči podatek, glede na

zastavljen matematični problem.



9

Poglejmo si naslednji podoben primer:

Miha je odšel v trgovino po nov zvezek in nalivno pero. Koliko denarja je porabil za

nakup?

Učencem pomagamo z vprašanji: Ali je problem rešljiv? Kateri podatek ti manjka,

da bo naloga rešljiva? Kako boste rešili nalogo brez manjkajočega podatka? Kje bi

lahko poiskali manjkajoči podatek, da boste rešili nalogo?

Tako z vprašanji učence spodbujamo k razmišljanju in iskanju možnih rešitev, poti

do končnega cilja. Pri teh matematičnih problemih je pomembno, da učenci izhajajo iz

vsakdanje situacije. Obstaja več načinov, s katerimi lahko učenci pridejo do možnih

rešitev, prav tako so to problemi, ki učence bolj motivirajo pri iskanju manjkajočega

podatka, saj problem izhaja iz njihovih življenjskih situacij.

2.3.5 Problemi, ki imajo več podatkov, kot je potrebnih za rešitev

Pri takšnih problemih morajo učenci besedilo dobro prebrati in določiti, kateri

podatki v besedilu so uporabni in kateri so odveč.

Primer:

Miha se je včeraj sprehajal po parku z očkom in mamico ter majhnim psom

Pikijem. Ustavili so se pri sladoledu, kjer si je Miha naročil 1 kepico jagodnega

sladoleda in 1 kepico čokoladnega sladoleda. Oče in mama pa sta si naročila vsak po

1 kepico jagodnega sladoleda. Koliko kepic sladoleda je pojedel Miha?

Pri reševanju takšnih problemov učencem pomagamo z vprašanji, kot so:

Ali se vam zdi, da je v Mihovi nalogi zmeda? Ali so vsi podatki potrebni za rešitev tega

problema? Kateri podatki niso potrebni? Zakaj? Kateri podatki pa so potrebni za rešitev

problema? Zakaj?

S takšnimi in podobnimi vprašanji bi učencem pomagali priti do cilja problemske

situacije. Da bodo učenci znali uporabljati matematiko tudi v konkretnih primerih, je

dobro, da se spoznajo tudi s takšnimi problemi, kjer morajo sami ugotoviti, katere

podatke potrebujejo, da bodo prišli do rešitve in kateri so tisti podatki, ki za rešitev niso

pomembni. Pomembno je, da nalogo dobro preberejo in si označijo, katere podatke

potrebujejo in prečrtajo tiste, ki jih ne potrebujejo. Znati reševati takšne probleme bo



10

učencem podlaga za kasnejše reševanje problemov v življenju, kjer bodo morali ob

množici podatkov, ki so posledica informacijske dobe, izbrati in zaznati tiste, ki jih bodo

potrebovali, da pridejo do cilja.

2.3.6 Problemi, v katerih so si podatki nasprotujoči oziroma nimajo

rešitve

Pri takšnem problemu je potrebno uvideti, da so si podatki nasprotujoči. Učence

skušamo pripeljati do tega, da ugotovijo, kje je ovira, ki preprečuje, da bi prišli do cilja

naloge in da sami spoznajo, da problem nima rešitve (Cotič, 1999).

Primer:

Jasmina je od babice dobila košaro jabolk. V tej košari je 20 jabolk. Polovico jabolk

je Jasmina razdelila svojim prijateljem. Preostalih 5 jabolk je dala sestri, 3 jabolka

bratcu in 4 jabolka očetu. Koliko jabolk ji je ostalo?

Pri tem problemu učencem pomagamo z vprašanji, kot so:

Ali se je Jasmina zmotila? Zakaj se je zmotila? Popravite enega od podatkov v

nalogi, da boste lahko rešili nalogo.

Tudi te probleme uvrščamo med življenjske probleme. Učence moramo navajati,

da morajo podatke dobro analizirati in med njimi poiskati logične zveze oziroma jim

namigniti, da so v problemu protislovni podatki in naj jih poskušajo poiskati. Takšne

vrste problemi so za učence na razredni stopnji težje rešljivi, saj so učenci navajeni, da

ima vsaka naloga vsaj eno rešitev. Zato učenci takšne probleme lahko prenesejo na

realne situacije, kjer ni vedno možno najti rešitev za določen problem, lahko pa

poiščemo logične povezave.

2.3.7 Problemi, ki jih rešimo na različne načine

Cotičeva (1999) pravi, da je nujno, da se učenci na začetku šolanja zavedajo, da

so problemi skoraj vedno lahko rešljivi po različnih poteh in postopkih. Tako si ne bodo

formirali dejstva, da je za rešitev problema možna le ena sama pot, ampak, da je teh

poti več.



11

Primer 1: Izračunaj ploščino spodnjega lika. 1 kvadratek ima ploščino 1 cm2.

1. način: Učenci bi prešteli kvadratke in potem zapisali račun.

2. način: Učenci bi najprej izračunali ploščino večjega lika (36 cm2), nato še

manjšega (8 cm2) in ju potem med seboj odšteli in zapisali rezultat (36 cm2 – 8 cm2 =

28 cm2).

3. način: Učenci si lik razdelijo na več končkov in jih posamezno izračunajo.

Primer 2: Tretješolci bodo priredili teniško tekmovanje. Tekmovali bodo trije dečki in tri

deklice. Vsak deček mora tekmovati z vsemi puncami in obratno. Koliko dvobojev bodo

odigrali?

1. Način: Puščični diagram

Deček 1 Deklica 1

Deček 2 Deklica 2

Deček 3 Deklica 3

2. Način: Razpredelnica

Deklica 1 Deklica 2 Deklica 3

Deček 1

Deček 2

Deček 3

Pri reševanju teh problemov je pomembno, da se učitelj z učenci pogovarja o

problemih in o različnih načinih reševanja. Takšni tipi nalog učencem omogočajo tudi

reševanje problemov na nivoju, ki ga zmorejo in razumejo (Cotič, 1999).



12

2.3.8 Problemi z več rešitvami

Poleg problemov, ki smo jih že spoznali, Cotičeva (1999) opisuje tudi probleme, pri

katerih je možnih več rešitev. Te problemske situacije so dobre za učence tudi v

vsakdanjem življenju. Velikokrat se spopadamo s problemi, ki jih lahko rešimo na več

načinov in imajo več možnih ciljev oziroma rešitev. Tako so tudi v matematiki problemi,

ki imajo več možnih rešitev. To bomo razložili na spodaj prikazanem matematičnem

problemu.

Maja je odšla v trgovino in na polici zagledala več različnih igrač. S seboj ima le 20

€. Katere igrače si Maja lahko kupi?

Slika 3: Primer matematičnega problema z več možnimi rešitvami.

Učenci imajo podanih več podatkov, med katerimi lahko izbirajo. Pozorni morajo

biti na vsoto denarja, ki ga imajo na razpolago, in na cene izdelkov. Takšne naloge jim

omogočajo razmišljanje in iskanje različnih možnih rešitev. Učenci se lahko postavijo v

vsakdanjo situacijo in si izberejo stvari, ki bi si jih sami želeli kupiti.

2.4 Faze reševanja matematičnega problema

Faze reševanja matematičnih problemov si največkrat sledijo v določenem

vrstnem redu, lahko pa se med seboj tudi prepletajo. Pomembno je, da učitelj pozna

vse faze reševanja matematičnih problemov, katere težave prinašajo in kakšne

sposobnosti zahtevajo od učencev (Cotič, Felda, 2006).



13

Polya (1989) je faze reševanja prikazal v spodnji shemi.

MATEMATIČNI PROBLEM

RAZUMETI PROBLEM

PRIPRAVITI NAČRT ZA REŠITEV PROBLEMA

URESNIČITI NAČRT

ANALIZIRATI REŠITEV IN PREGLEDATI OPRAVLJENO POT

2.4.1 Razumevanje problema

V tej fazi morajo učenci razumeti problem in določiti bistvene dele naloge. Problem

mora biti dobro izbran, da ne bo za učence prelahek oziroma pretežek, biti pa mora

tudi dovolj zanimiv. Dejavniki, ki vplivajo na razumevanje problema, so:

- Oblika predstavitve

Učenci bolje razumejo problem, če uporabimo dramatizacijo, pripoved in konkreten

material in če učenci sami uporabljajo ta material. Na začetku šolanja je pomembno

tudi, da učencem damo probleme, ki so formulirani vizualno z risbo.

- Jezik

V besedilu matematičnega problema moramo uporabljati jezik, ki ga učenci

razumejo in poznajo. Uporabljati moramo jezik, ki je jasen, natančen in preprost.

- Vrstni red informacij

Poznamo vodene in nevodene probleme, ki smo jih že predstavili. Prav vrstni red

podatkov je pri reševanju problema zelo pomemben. Zato so nevodeni problemi za

učence težje rešljivi od vodenih. Pri vodenih problemih učenci v večini brez težav rešijo

nalogo, saj so podatki podani tako, da jih učenec sešteje po vrsti in pride do rezultata.

Malo težje pa so rešljivi nevodeni problemi. Učenci morajo sami razbrati podatke, ki jih

potrebujejo, in sami najti rešitev do rezultata. Pri teh problemih učenci potrebujejo več

pomoči učitelja, ki jih usmerja, kako rešiti problem.

- Številski podatki



14

Uporaba manjših naravnih števil do 100 je za učence v začetku šolanja lažja in jim

olajša reševanje problema (Cotič, Felda, 2006).

2.4.2 Priprava načrta za reševanje problema

V tej fazi morajo učenci poiskati strategijo reševanja. Načrtovanje pa je dolgotrajen

in kompleksen proces. Načrt imamo izdelan, ko vemo, katere račune in konstrukcije

moramo izvesti, da bomo prišli do rešitve.

Polya (1989) loči dva miselna procesa pri načrtovanju reševanja problema, in

sicer: regresivno sklepanje ali analizo in progresivno sklepanje ali sintezo. Pri

regresivnem sklepanju učenec izhaja iz neznanke, medtem ko pri progresivnem

sklepanju izhaja iz danih številskih podatkov.

2.4.3 Uresničitev načrta

Ta faza je zelo pomembna. Učenci morajo zapisati postopek reševanja. Prevesti

morajo naravni jezik v matematične simbole. Na začetku šolanja je priporočljivo, da

učenci poleg matematičnih simbolov uporabljajo še druge instrumente, kot so: risba,

diagram, graf, preglednica… Ko imajo učenci zapisan potek reševanja, morajo številski

izraz ali enačbo še rešiti (Cotič, Felda, 2006).

2.4.4 Analiza reševanja

V tej fazi učenci ponovno preučijo pot, po kateri so prišli do cilja. S tem si učenci

poglabljajo znanje in razvijajo sposobnosti za reševanje problemov. Naloga učitelja pa

je, da spodbudi učence, da si bodo zamislili probleme, pri katerih bi ponovno izkoristili

uporabljeno strategijo reševanja.

2.5 Razvijanje matematične pismenosti skozi reševanje problemov

Razvita pismenost omogoča posamezniku dostop do znanja, visoko stopnjo

kultivirane ozaveščenosti in mu oblikuje etično zavest (Medved Udovič, 2011).

Matematična pismenost je definirana kot posameznikova sposobnost razumevanja

vloge, ki jo ima matematika v svetu, sposobnost postavljanja dobro utemeljenih

odločitev in sposobnost uporabe in vpletenosti matematike na načine, ki izpolnjujejo

potrebe posameznikovega življenja kot razmišljujočega posameznika. Povedano



15

drugače, matematična pismenost pomeni združevanje terminologije, definicij,

postopkov in spretnosti pri izvajanju določenih operacij in metod. Ključni dejavniki

matematične pismenosti so sposobnost postavljanja, oblikovanja, reševanja in

interpretiranja problemov z uporabo matematičnega znanja (Žakelj, 2011).

Pri reševanju matematičnih problemov se učenci učijo povezovati znanje znotraj

matematike in širše. Razvijajo kreativnost in ustvarjalnost, znajo postavljati ključna

raziskovalna vprašanja, ki izhajajo iz življenjskih situacij in so vezana na raziskovanje

matematičnih problemov (Žakelj, 2011).

Otrokov svet na začetku šolanja sestavljajo predvsem konkretne stvari in

operacije. Zato moramo otrokovo matematično pismenost graditi na konkretnem in

slikovnem nivoju, da bo razumel in prešel na simbolni nivo. Vendar pa na te tri nivoje

ne smemo gledati statično, moramo jih pojmovati zelo fleksibilno in jih različno

vključevati v učenje matematike (Cotič, Felda, 2011).

Pri reševanju problemov je potrebnih osem karakterističnih matematičnih

procesov:

- razmišljanje,

- argumentiranje,

- komuniciranje,

- oblikovanje modelov,

- formuliranje in reševanje problemov,

- predstavljanje,

- uporaba simboličnega, formalnega in tehničnega jezika,

- uporaba pripomočkov (Žakelj, 2011).

Matematični problemi, ki so postavljeni v vsakdanji oz. izvenšolski kontekst, dobijo

priložnost, da pri učencih preverimo razumevanje matematičnih pojmov. Reševanje

matematičnih problemov v takšnih situacijah na učence vpliva motivacijsko. Učenci

urijo matematično pismenost s poznavanjem, razumevanjem in uporabo matematičnih

pojmov. Uporabljajo matematični jezik pri branju, pisanju in sporočanju matematičnih

besedil ter sprejemajo matematiko kot nekaj uporabnega v vsakdanjem življenju.

V Učnem načrtu za matematiko je zapisano: ˝Matematična kompetenca vključuje

mišljenje (logično in prostorsko predstavo), matematično pismenost in poudarja vlogo,

ki jo ima matematika v vsakdanjem življenju. Učenci se pri pouku matematike naučijo



16

predvsem osnovnih znanj, spretnosti in odnosov, ki pa jih pri nadaljnjem izobraževanju

seveda še nadgrajujejo in poglobijo.˝ (Učni načrt za matematiko, 2011, str. 5).

2.6 Cilji v Učnem načrtu za matematiko

˝Sklop matematični problemi in problemi z življenjskimi situacijami vključuje

različne probleme glede na vsebino in tip problema (zaprti, odprti). Vedno pa je

problem naloga, v kateri učenci ne poznajo vnaprej poti do rešitve in jo morajo

samostojno načrtovati.˝ (Učni načrt za matematiko, 2011, str. 20).

V Učnem načrtu za matematiko je v sklopu matematični problemi in problemi z

življenjskimi situacijami s splošnimi cilji opredeljeno, katera znanja učenci pridobijo v

posameznem razredu. V diplomskem delu se bomo osredotočili na cilje, ki so zapisani

za 1. vzgojno-izobraževalno obdobje. Za prvi razred so cilji naslednji:

˝Učenci:

- predstavijo problemsko situacijo z različnimi didaktičnimi ponazorili,

- besedno in grafično rešujejo probleme, ki so predstavljeni na različnih ravneh:

konkretni, grafični,

- spoznajo sestavo (besedilnega) problema in ločijo: (besedilo), podatke,

vprašanja,

- obnovijo problem s svojimi besedami,

- spoznajo različne strategije reševanja problemov in jih uporabljajo pri reševanju

podobnih problemov. ̋(Učni načrt za matematiko, 2011, str. 18).

Iz zgoraj navedenih splošnih ciljev je razvidno, da učenci v prvem razredu, v

sklopu matematični problemi, rešujejo problemske situacije z didaktičnimi ponazorili, ki

so predstavljena na dveh nivojih. Učenci spoznajo sestavo matematičnega problema in

ločijo besedilo od podatkov, ki so potrebni za rešitev, kot tudi vprašanja, ki so ključnega

pomena pri reševanju problema. Učenci spoznajo strategije reševanja problemov in to

poskušajo prenesti na reševanje podobnih problemov. Da bomo spoznali, kako se

učenčevo znanje matematičnih problemov stopnjuje iz razreda v razred, si bomo

podrobno pogledali tudi splošne cilje, ki so zapisani za drugi razred osnovne šole.

Učenci v drugem razredu osnovne šole:



17

- ˝predstavijo problemsko situacijo z različnimi didaktičnimi ponazorili, s

konkretnimi in slikovnimi materiali,

- rešijo (besedilne) probleme (npr. s preveč podatki, s premalo podatki, z več

rešitvami, iz logike ipd.),

- problem analizirajo, ga sistematično rešijo in pri tem uporabljajo različne

strategije reševanja. ̋(Učni načrt za matematiko, 2011, str. 19).

Učitelji učencem v drugem razredu še vedno problemsko situacijo predstavijo z

didaktičnimi ponazorili na konkretnem in slikovnem nivoju, kot so to spoznali v prvem

razredu. Poznavanje posameznih elementov problema pa v drugem razredu nadgradijo

z reševanjem težjih matematičnih problemov, kot so: matematični problemi s preveč in

premalo podatki ter z več rešitvami. Učenci probleme analizirajo in jih sistematično

rešijo glede na izbrano strategijo reševanja. Razlike v pridobljenem znanju v prvem in

drugem razredu se kažejo v tem, da učenci rešujejo težje matematične probleme z

znanimi strategijami reševanja in analizo problema.

V diplomskem delu nas zanimajo tudi znanja, ki jih učenci pridobijo v tretjem

razredu, zato bomo iz Učnega načrta za matematiko zapisali tudi splošne cilje za tretji

razred.

˝Učenci:

- predstavijo problemsko situacijo z različnimi didaktičnimi ponazorili, s

konkretnimi in slikovnimi materiali in s simboli,

- opredelijo in razčlenijo življenjsko problemsko situacijo na posamezne korake in

oblikujejo problemska vprašanja,

- sistematično rešujejo probleme (branje besedila, oblikovanje vprašanj, analiza

podatkov, matematični zapis postopka reševanja, grafična predstavitev, kritično

vrednotenje rešitev, oblikovanje odgovorov),

- analizirajo in obnovijo problem s svojimi besedami ter utemeljijo rešitev.˝ (Učni

načrt za matematiko, 2011, str. 19).

Znanje učencev se v tretjem razredu nadgradi s problemi, ki imajo življenjsko

problemsko situacijo. Slednje je za učence večjega pomena in večja motivacija za

rešitev problema. Učenci v tretjem razredu matematični problem razčlenijo na

posamezne korake, ki jih oblikujejo kot problemska vprašanja, kar jim je v pomoč, da

najdejo pravilno rešitev problema. Od sistematičnega reševanja problema se v tretjem



18

razredu znanje nadgradi predvsem na oblikovanju vprašanj in kritičnem vrednotenju

dobljene rešitve. Prav tako morajo dobljeno rešitev ubesediti v smiseln odgovor.



19

3 EMPIRIČNI DEL

3.1 Problem, namen in cilji

Sposobnost reševanja problemov, tako matematičnih kot tudi problemov na drugih

področjih, je za človeka življenjsko pomembna sposobnost. Zato je pomembno, da se

učenci v začetnem obdobju učenja dobro izurijo v reševanju matematičnih problemov,

saj bodo to znanje lahko uporabili pri reševanju problemov v realnih situacijah.

Namen diplomskega dela je ugotoviti, kako učenci razumejo matematične

probleme s preveč podatki, probleme s premalo podatki in matematične probleme, ki

imajo več možnih rešitev ter matematične probleme, ki jih rešimo na različne načine.

Pri reševanju matematičnih problemov smo se osredotočili predvsem na razumevanje

in rešljivost matematičnega problema. Ugotoviti smo želeli, kako učenci razumejo

prebrano nalogo oziroma kako bralna pismenost vpliva na reševanje matematičnega

problema. Slednje smo ugotavljali na podlagi doseženih točk pri posamezni nalogi in

na podlagi učenčeve ocene pri slovenskem jeziku. Uspešnost reševanja matematičnih

problemov pa smo primerjali tudi med spoloma. Zanimalo nas je, ali se pojavljajo

razlike pri uspešnosti reševanja matematičnih problemov med spoloma.

V empiričnem delu diplomskega dela smo se osredotočili na naslednje cilje:

- ugotoviti, ali so učenci 3. razreda uspešni pri reševanju različnih tipov

matematičnih problemov, in sicer: matematični problemi s preveč podatki, premalo

podatki, matematični problemi, ki imajo več možnih rešitev ter matematični problemi, ki

jih rešujemo na različne načine;

- ugotoviti, kakšne strategije reševanja uporabljajo učenci pri reševanju problemov;

- preveriti, kako vpliva razumevanje prebranega matematičnega problema na

reševanje le- tega (bralna pismenost).

3.2 Raziskovalna vprašanja

Glede na cilje raziskave bomo v diplomskem delu skušali odgovoriti na naslednja

vprašanja:

1. Ali učenci matematični problem s preveč podatki berejo z razumevanjem in ali

skušajo uporabiti vse podatke, čeprav so nekateri odveč?



20

2. Ali znajo učenci pri matematičnem problemu s premalo podatki ugotoviti, da

podatek manjka in tega ustrezno poiskati?

3. Ali znajo učenci poiskati več možnih rezultatov matematičnega problema z več

rešitvami?

4. Katere strategije reševanja uporabljajo učenci pri reševanju matematičnega

problema, ki ima več možnih poti do pravilne rešitve?

5. Ali se pojavljajo razlike pri uspešnosti reševanja problemov med spoloma?

3.3 Metodologija

3.3.1 Raziskovalne metode

V raziskavi smo uporabili kvantitativno metodo, s katero smo zbirali številčne

podatke in jih analizirali z uporabo statističnih metod. Podatke smo pridobili s pomočjo

testa znanja o matematičnih problemih. Teste smo analizirali in pri vsaki nalogi zapisali

dosežene točke. Pri vsaki nalogi smo uspešnost reševanja med učenci prikazali

številčno, pri spolu so podatki prikazani z odstotki.

3.3.2 Raziskovalni vzorec

V raziskovalni vzorec so bili vključeni učenci 3. razreda osnovne šole v Savinjski

regiji. Učenci so stari 8–9 let. Razdelili smo 57 testov znanja in prav toliko učencev je

teste tudi rešilo.

Preglednica 1: Število učencev po spolu

Spol Število

Ženski 31

Moški 26

Skupaj 57

V raziskavi je sodelovalo 57 učencev. Od tega je bilo 31 učenk ženskega spola in

26 učencev moškega spola.



21

3.3.3 Postopek zbiranja podatkov

3.3.3.1 Organizacija zbiranja podatkov

Zbiranje podatkov je potekalo s pomočjo testa znanja. Teste znanja smo v enem

razredu razdelili sami, v ostalih dveh razredih pa sta teste razdelili njihovi razredni

učiteljici. Zbiranje podatkov je trajalo eno šolsko uro.

3.3.3.2 Vsebinsko-metodološke značilnosti instrumentov

a) Merske karakteristike:

- Veljavnost: z uporabljenim instrumentom, testom znanja, smo pri učencih, na

podlagi štirih matematičnih problemov, dobili želene podatke o tem, kako uspešni so pri

reševanju matematičnih problemov, kakšne strategije uporabljajo in kako razumevanje

prebranega vpliva na njihovo uspešnost reševanja;

- zanesljivost: ob ponovnem merjenju bi dobili podobne rezultate, če bi postopek

reševanja ponovili pri istih učencih in v krajšem časovnem obdobju;

- objektivnost: obdelava podatkov, vsakega učenca smo označili s šifro. Tako smo

učence med seboj primerjali le po ocenah pri slovenskem jeziku, doseženih točkah pri

posamezni nalogi in po spolu.

3.3.4 Postopek obdelave podatkov

Pridobljene podatke smo obdelali s pomočjo računalniškega programa Microsoft

Excel, kjer smo izdelali grafe za posamezno nalogo v testu znanja.



22

3.4 Rezultati in interpretacija

V tem poglavju bodo predstavljeni dosežki učencev pri reševanju posameznih

matematičnih problemov v testu znanja.

Raziskovalno vprašanje 1: Ali učenci matematični problem s preveč podatki

berejo z razumevanjem in ali skušajo uporabiti vse podatke, čeprav so nekateri odveč?

Učenci se z matematičnim problemom s preveč podatki srečajo že v drugem

razredu, zato smo predpostavljali, da pri tej nalogi ne bodo imeli večjih težav pri

reševanju.

1. naloga: Miha in Špela sta se skupaj z mamo in očetom odpravila na izlet. Med

potjo so se ustavili na sladoledu. Vsak od njih si je naročil po 1 kepico vaniljevega

sladoleda in po 2 kepici jagodnega sladoleda. Koliko kepic jagodnega sladoleda so si

naročili vsi skupaj?

Učenci so si morali nalogo najprej dobro prebrati in si v besedilu označiti podatke,

ki jih potrebujejo za reševanje. Naredili so si lahko načrt reševanja, torej, kaj morajo

izračunati in kako. Nato so morali zapisati račun in ga izračunati. Na koncu pa so

zapisali še odgovor.

Na sliki 4 so v grafu prikazani dosežki učencev pri matematičnem problemu s

preveč podatki ter ocena pri slovenščini. Iskali smo povezavo med tem, kako učenci

razumejo prebrano in kako to vpliva na njihovo reševanje matematičnega problema.

Učenci so za pravilno zastavljen račun dobili eno točko, za pravilen rezultat prav tako

eno točko in eno točko za pravilno napisan odgovor. Torej so skupaj lahko dobili največ

3 točke.



23

Slika 4: Matematični problem s preveč podatki

Iz slike 4 je razvidno, da je 47 učencev matematični problem razumelo in ga rešilo

pravilno. Dva učenca sta za reševanje dobila 1 točko, osem učencev pa ni dobilo

nobene točke.

Pri učencih, ki imajo odlično oceno pri slovenščini, je 19 učencev doseglo vse

možne točke, en učenec je prejel le eno točko, za pravilno zastavljen račun, vendar pa

sta bila rezultat in posledično tudi odgovor nepravilna. Dva učenca pa sta pri tej nalogi

prejela nič točk, saj sta iz naloge izbrala napačne podatke.

Pri učencih s prav dobro oceno pri slovenščini je 15 učencev doseglo vse tri točke,

en učenec je prejel eno točko za pravilno nastavljen račun. Učenec, ki je prejel nič

točk, je iz naloge izpisal napačne podatke.

Štirje učenci, ki imajo dobro oceno pri slovenščini, so v celoti pravilno rešili nalogo,

trije učenci pa so nalogo rešili napačno in prejeli nič točk. Iz naloge so podatke le

prepisali in jih sešteli, kar kaže na to, da naloge niso dovolj dobro prebrali oziroma

razumeli.

Pri učencih z zadostno oceno pri slovenščini je 9 učencev nalogo rešilo v celoti

pravilno, dva učenca sta nalogo rešila napačno in nista dobila točk zaradi napak, ki

smo jih omenili že predhodno.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3 2 1 0

Matematični problem s preveč podatki

(Odlično) 5

(Prav dobro) 4

(Dobro)3

(Zadostno)2

Število točk

Štev

ilo u

čen

cev



24

Ugotovili smo, da učenci matematične probleme s preveč podatki v večini berejo z

razumevanjem in znajo iz naloge razbrati pravilne podatke za rešitev. Največ težav pri

reševanju tega problema so imeli učenci, ki imajo pri slovenskem jeziku nižje ocene,

kar pa seveda vpliva na razumevanje prebranega besedila. Tisti učenci, ki naloge niso

rešili pravilno, so nalogo ali prebrali prehitro ali pa je niso razumeli. Iz njihovih rešitev je

razvidno, da so iz naloge po vrsti prepisali le številčne podatke in jih skupaj sešteli. Iz

naloge niso izločili podatka, ki ga ne potrebujejo, ampak so ga pri reševanju uporabili.

Učenci matematične probleme s preveč podatki berejo z razumevanjem in jih

uspešno rešujejo. Iz naloge ne prepišejo le dane podatke, ampak znajo poiskati

podatke, ki so potrebni za reševanje .

Preveriti smo želeli, ali obstajajo razlike pri uspešnosti reševanja matematičnih

problemov s preveč podatki med deklicami in dečki.

Preglednica 2: Število doseženih točk pri prvi nalogi, po spolu

Število točk

Spol 3 2 1 0 Skupaj

Št.

učencev %

Št.

učencev %

Št.

učencev %

Št.

učencev % %

Ženski 27 87% 0 0% 1 3% 3 10% 100%

Moški 20 77% 0 0% 1 4% 5 19% 100%

Iz zgornje preglednice je razvidno, da je 87 % učenk in 77 % učencev pri prvi

nalogi prejelo vse možne točke. 10 % učenk in 19 % učencev je pri nalogi doseglo nič

točk. 4 % učencev ter 3 % učenk pa je doseglo po eno točko. Iz danih rezultatov lahko

ugotovimo, da so bile učenke pri reševanju matematičnega problema s preveč podatki

uspešnejše kot učenci.



25

Raziskovalno vprašanje 2: Ali znajo učenci pri matematičnem problemu s

premalo podatki ugotoviti, da podatek manjka in tega ustrezno poiskati?

Z matematičnimi problemi, ki imajo premalo število podatkov, se učenci prav tako

srečajo že v drugem razredu. Vendar pa je to matematični problem, ki je bolj zahteven

kot prejšnji matematični problem.

2. naloga: Učenci 3. (A, B, C) razreda 1. OŠ Žalec so se odpravili na športni dan.

8 učencev se je odločilo, da bo igralo nogomet, 3 učenci so se odločili, da bodo igrali

košarko in 2 učenki sta se odločili, da bosta igrali tenis. Koliko učencev se je odločilo,

da bo igralo odbojko?

Učenci so morali nalogo najprej dobro prebrati in si podčrtati podatke, ki so jih

potrebovali za reševanje. Iz prebranega besedila so morali razbrati, da jim za

reševanja matematičnega problema manjka podatek. Učenci so morali podatek

poiskati sami. V tem primeru je bil manjkajoči podatek število učencev njihovega

razreda. Ko so prišli do podatka, so si naredili načrt reševanja. Razmisliti so morali,

kako sestaviti račun, da bo pravilen in smiseln. Potem so zapisali račun in ga

izračunali. Na koncu so zapisali še odgovor.

Pri tej nalogi so učenci za pravilno zastavljen račun prejeli eno točko, eno točko za

pravilen rezultat ter eno točko za pravilno zapisan odgovor.

Slika 5: Matematični problem s premalo podatki

0

2

4

6

8

10

12

14

16

3 2 1 0

Matematični problem s premalo podatki

(Odlično) 5

(Prav dobro) 4

(Dobro)3

(Zadostno)2

Število točk

Štev

ilo u

čen

cev



26

Iz slike 5 je razvidno, da so odstopanja pri tej nalogi velika. 24 učencev je nalogo

rešilo pravilno, 33 učencev pa je nalogo rešilo napačno in so zanjo prejeli nič točk.

15 učencev, z odlično oceno pri slovenščini, je nalogo rešilo pravilno in so zanjo

prejeli vse možne točke. 7 učencev naloge ni rešilo pravilno in so zanjo prejeli nič točk.

Učenci, ki naloge niso znali rešiti, so imeli največ težav pri iskanju manjkajočega

podatka in so dana števila med seboj seštevali ali so si manjkajoče število izmislili.

V skupini učencev, ki imajo pri slovenščini prav dobro oceno, je 6 učencev nalogo

pravilno rešilo in so pri nalogi znali poiskati manjkajoči podatek. 11 učencev naloge ni

rešilo pravilno. Tudi ti učenci niso znali poiskati manjkajočega podatka in so ga iskali v

številih, ki so bila že podana.

Učenci, ki so pri slovenščini ocenjeni z dobro oceno, naloge niso znali rešiti. Vseh

sedem učencev je pri tej nalogi prejelo nič točk. Naloge niso znali rešiti zaradi

manjkajočega podatka in je v večini primerov ostala prazna oziroma nerešena.

Po podatkih, ki so razvidni zgoraj, so trije učenci z zadostno oceno pri slovenščini

nalogo rešili pravilno. Ti učenci so nalogo dobro prebrali in znali poiskati manjkajoči

podatek, kar je glede na njihovo oceno pri slovenščini presenetljivo. 8 učencev pa

naloge ni rešilo pravilno, saj podatka niso znali poiskati.

Glede na dobljene rezultate lahko ugotovimo, da učenci matematični problem s

premalo podatki rešujejo s težavo. Največja težava je pri razumevanju prebranega, saj

učenci naloge ne preberejo z razumevanjem, da bi iz besedila znali razbrati, da

podatek manjka. Čeprav je bila naloga zastavljena tako, da so učenci podatek poiskali

v realnem življenju oz. v šolskem vsakdanu, kar je za njih lažje, še vedno niso znali

rešiti matematičnega problema.

Ugotovili smo, da učenci pri matematičnih problemih s premalo podatki velikokrat

ne ugotovijo, da podatek manjka in ga tudi ne znajo poiskati.

Preveriti smo želeli, ali obstajajo razlike pri uspešnosti reševanja matematičnega

problema s premalo podatki med deklicami in dečki.



27

Preglednica 3: Število doseženih točk pri drugi nalogi, po spolu

Število točk

Spol 3 2 1 0 Skupaj

Št.

učencev %

Št.

učencev %

Št.

učencev %

Št.

učencev % %

Ženski 11 35% 0 0% 0 0% 20 65% 100%

Moški 13 50% 0 0% 0 0% 13 50% 100%

Iz preglednice 3 je razvidno število doseženih točk pri drugi nalogi, glede na spol

učencev. Drugo nalogo je pravilno rešilo 35 % učenk in 50 % učencev. Tukaj so

učenci, glede na spol, zelo blizu skupaj, vendar pa so večje razlike pri številu učencev,

ki naloge niso rešili pravilno. Nalogo ni rešilo pravilno 65 % učenk in 50 % učencev.

Glede na dobljene rezultate lahko ugotovimo, da so učenci drugo nalogo rešili bolje kot

učenke. Število učencev, ki so pravilno rešili nalogo, je enako številu učencev, ki

naloge niso rešili pravilno. Pri učenkah pa vidimo, da so bile pri reševanju te naloge

številčno bolj neuspešne v primerjavi z učenci.

Raziskovalno vprašanje 3: Ali znajo učenci poiskati več možnih rezultatov

matematičnega problema z več rešitvami?

3. naloga: Luka je skupaj z mamo nakupoval stvari, ki jih potrebuje za

rojstnodnevno zabavo. Ker ima le 40 €, si vseh stvari, ki bi jih želel imeti, ni mogel

kupiti. Kaj misliš, da je Luka kupil?



28

Tudi z matematičnim problemom, ki ima več možnih rešitev, se učenci srečajo v

drugem razredu. Pri tem matematičnem problemu so učenci nalogo najprej prebrali in

si ogledali sličice. Nato so si podčrtali podatke, ki so pomembni za reševanje. Načrt

reševanja so si naredili tako, da so med seboj seštevali izbrane stvari. Učenci so si

lahko izbrali različne stvari, vendar določene vsote denarja niso smeli prekoračiti.

Učenci so morali zapisati račun in ga izračunati ter zapisati v odgovoru, katere stvari so

izbrali.

Učenci so za nalogo lahko prejeli 3 točke. 1 točko so prejeli za pravilno zastavljen

račun, drugo točko za pravilen rezultat in eno točko za pravilno zapisan odgovor, ki pa

se je moral ujemati z zgoraj napisanim računom.

Slika 6: Matematični problemi z več rešitvami

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

3 2 1 0

Matematični problem z več rešitvami

(Odlično) 5

(Prav dobro) 4

(Dobro)3

(Zadostno)2

Štev

ilou

čen

cev



29

Iz zgornje slike je razvidno, da so učenci večinoma nalogo znali rešiti. Večina

učencev je znala z računom seštevanja priti do rezultata in napisati pravilen odgovor.

Tako je 39 učencev za tretjo nalogo prejelo vse možne točke. 5 učencev je prejelo 2

točki, 6 učencev 1 točko in 7 učencev ni prejelo nobene točke.

Odlično ocenjenih učencev pri slovenščini, ki so pravilno rešili matematični

problem, je bilo 16, trije učenci pa so nalogo rešili nepravilno. Dva učenca, ki sta

prejela le dve točki in en učenec, ki je prejel eno točko, so točke izgubljali pri

nepravilnem rezultatu oz. pri nepravilno zastavljenem računu.

11 učencev s prav dobro oceno pri slovenščini je nalogo rešilo v celoti pravilno, 2

učenca sta za nalogo prejela dve točki, ker je bil napačno izračunan račun. Trije učenci

so prejeli eno točko in en učenec je za nalogo prejel nič točk.

Učenci z dobro oceno pri slovenščini so nalogo znali rešiti, saj je vseh 7 učencev

za nalogo prejelo vse možne točke.

Pri zadostno ocenjenih učencih pri slovenskem jeziku je 5 učencev prejelo vse

možne točke. En učenec je za tretjo nalogo prejel 2 točki, dva sta prejelo 1 točko in trije

učenci so za nalogo prejeli nič točk.

Največ težav so učenci imeli pri zapisovanju ustreznega računa in potem pri

samem izračunu. Odgovor je bil v večini primerov pravilno zapisan, vendar pa je bil

račun ali rezultat nepravilen. V celoti gledano so nalogo učenci uspešno rešili. Učenci

so prebrano razumeli in so matematični problem znali rešiti. Ker je bila naloga

zastavljena tako, da so lahko izbirali med stvarmi iz realnega življenja, je bila naloga za

njih bolj razumljiva.

Preveriti smo želeli, ali obstajajo razlike pri uspešnosti reševanja matematičnega

problema z več rešitvami med deklicami in dečki.



30

Preglednica 4: Število doseženih točk pri tretji nalogi, po spolu

Število točk

Spol 3 2 1 0 Skupaj

Št.

učencev %

Št.

učencev %

Št.

učencev %

Št.

učencev % %

Ženski 22 70% 3 10% 3 10% 3 10% 100%

Moški 17 65% 2 8% 3 12% 4 15% 100%

V zgornji preglednici so prikazani podatki doseženih točk pri tretji nalogi, glede na

spol. Tretjo nalogo je pravilno rešilo 70 % učenk in 65 % učencev. Dve točki je prejelo

10 % učenk in 8 % učencev, eno točko pa je prejelo prav tako 10 % učenk in 12 %

učencev. Nepravilno je nalogo rešilo 25 % učencev, od tega 10 % učenk in 15 %

učencev. Glede na dobljene rezultate lahko ugotovimo, da so matematični problem z

več možnimi rešitvami učenke in učenci reševali podobno uspešno. Večjih odstopanj

pri doseženih točkah, glede na spol, ni bilo, zato lahko rečemo, da je učencem ta

matematični problem razumljiv in ga rešujejo uspešno, ne glede na spol.

Raziskovalno vprašanje 4: Katere strategije reševanja uporabljajo učenci pri

reševanju matematičnega problema, ki ima več možnih poti do pravilne rešitve?

4. naloga: Mama je Tini pripravljala malico za v šolo. Na izbiro ji je dala, da si

sama izbere, kaj želi imeti za malico. Izbirala je med tremi vrstami pijače in dvema

vrstama hrane. Zapiši vse možne kombinacije malice, če se lahko odloči samo za eno

vrsto pijače in eno vrsto hrane? Kaj od naštetega bi ti izbral za malico?



31

Matematični problem, ki ga rešimo na različne načine, je učencem težje razumljiv.

V spodnjem grafu je prikazano, kako so učenci reševali matematični problem z več

možnimi potmi do rešitve.

Učenci so nalogo najprej dobro prebrali, da so razumeli, kaj naloga od njih

zahteva. Potem pa so se lahko naloge lotili na različne načine. Lahko so si pomagali s

puščičnim diagramom, povezovanjem stvari, obkroževanjem, tabelo ali

kombinatoričnim drevesom. Nato so v odgovor zapisali vse možne kombinacije malice

in kaj bi si za malico izbrali sami.

V odgovoru je bilo možnih 6 kombinacij. Učenci so prejeli eno točko za pravilno

zapisani dve kombinaciji. Skupaj so lahko za pravilno zapisane kombinacije prejeli tri

točke. Eno točko pa so dobili za odgovor na drugo vprašanje.

Slika 7: Matematični problem, ki ga rešimo na različne načine

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4 3 2 1 0

Matematični problem, ki ga rešimo na

različne načine

(Odlično) 5

(Prav dobro) 4

(Dobro)3

(Zadostno)2

Število točk

Štev

ilou

čen

cev



32

Iz zgornje slike lahko vidimo, da je matematični problem pravilno rešilo 10

učencev. 3 točke je doseglo 7 učencev, 2 učenca sta dosegla 2 točki, 1 točko je

doseglo 20 učencev in 15 učencev naloge ni rešilo pravilno.

V skupini učencev z odlično oceno pri slovenščini je matematični problem pravilno

rešilo 6 učencev, štirje učenci so prejeli tri točke, dva učenca sta prejela 2 točki, osem

učencev je prejelo 1 točko in dva učenca naloge nista rešila pravilno. Učenci, ki so

izgubili eno točko, so pozabili odgovoriti na drugo vprašanje. Učenci, ki so prejeli eno

točko, pa so odgovarjali le na drugo vprašanje, na prvega pa ne.

V skupini učencev, ki imajo pri slovenščini prav dobro oceno, so matematični

problem pravilno rešili trije, štirje učenci so prejeli 3 točke, dva učenca sta prejela 2

točki in osem učencev je za nalogo prejelo le 1 točko. Dva učenca naloge nista rešila

pravilno in sta prejela nič točk. Tudi tukaj so učenci izgubili točke, ker so odgovarjali le

na prvo vprašanje oziroma samo na drugo.

V skupini učencev z dobro oceno pri slovenščini ni pravilno rešil naloge noben

učenec. Prav tako ni za nalogo nihče od učencev dosegel 3 ali 2 točki. 3 učenci so

prejeli eno točko in so odgovarjali le na drugo vprašanje, ne pa tudi na prvo. 4 učenci

so nalogo rešilo napačno.

Učenci z zadostno oceno pri slovenščini so podan matematični problem reševali s

težavo. Le en učenec je znal rešiti nalogo v celoti, 2 učenca sta prejela 1 točko in 8

učencev je nalogo rešilo napačno.

Učenci so pri reševanju matematičnega problema izbirali različne načine. Večina

učencev si je pri reševanju pomagala s puščičnim diagramom ali z obkroževanjem

predmetov, ki so jih že zapisali, drugi so si pomagali s povezovanjem stvari med seboj

ali z označevanjem z različnimi barvami. Spet tretji so imeli zapisan samo odgovor, po

sistemu vsak predmet z vsakim.

Preveriti smo želeli tudi, ali obstajajo razlike pri uspešnosti reševanja

matematičnega problema, ki ga lahko rešimo na različne načine, med deklicami in

dečki.



33

Preglednica 5: Število doseženih točk pri četrti nalogi, po spolu

Število točk

Spol 4 3 2 1 0

Skup

aj

Št.

učence

v %

Št.

učence

v %

Št.

učence

v %

Št.

učence

v %

Št.

učence

v % %

Žens

ki 6

19

% 5%

16

% 2

7

% 13

42

% 5

16

% 100%

Moški 4

15

% 5%

20

% 0

0

% 7

27

% 10

38

% 100%

Iz zgornje preglednice lahko vidimo, da je nalogo v celoti rešilo pravilno 19 %

učenk in 15 % učencev. 3 točke je prejelo 16 % učenk in 20 % učencev, 2 točki pa je

doseglo 7 % učenk. 1 točko je prejelo 42 % učenk in 27 % učencev, nepravilno pa je

nalogo rešilo 16 % učenk in 38 % učencev. Tako lahko pridemo do ugotovitve, da je

pravilno rešilo približno enako število tako ženskih predstavnic kot tudi moških

predstavnikov. Vendar pa je več učencev moškega spola nalogo rešilo napačno in

prejelo nič točk. Ugotovimo lahko, da so zadnjo nalogo nekoliko bolje reševale učenke,

vendar pa so razlike med spoloma majhne.



34

4 SKLEPNE UGOTOVITVE

Reševanje matematičnih problemov je v življenju potrebno v smislu pridobivanja

potrebnih problemskih znanj. Učenci si bodo problemske naloge, ki so postavljene v

njihovo realno situacijo, lažje predstavljali in jih uspešneje reševali. Veliko vlogo pri

reševanju različnih vrst matematičnih problemov ima tako bralna kot tudi matematična

pismenost. Pomembno je, da učenci razumejo prebrano in znajo iz besedila izluščiti

potrebne podatke. Venda0r pa je to za učence v prvem triletju težje razumljivo. Njihovo

razumevanje prebranega besedila je težje, saj se na branje in posledično na

razumevanje prebranega šele navajajo.

V empiričnem delu smo skušali ugotoviti, kako uspešni so učenci tretjega razreda

pri reševanju različnih matematičnih problemov ter kako razumevanje besedila vpliva

na rešljivost matematičnih problemov in kakšne strategije reševanja uporabljajo. Za

ugotavljanje, kako učenci razumejo prebrano besedilo in ali vpliva bralna pismenost na

reševanje, smo primerjali oceno, ki jo imajo učenci pri predmetu slovenski jezik in

število doseženih točk pri posamezni nalogi.

Ugotovili smo, da učenci matematične probleme s preveč podatki dobro rešujejo.

Učenci so iz naloge znali izbrati potrebne podatke in jih pravilno uporabili pri reševanju

naloge. Večina učencev je nalogo rešilo pravilno, ne glede na oceno, ki jo imajo pri

slovenskem jeziku. Pričakovali smo, da bodo tisti, ki imajo slabše ocene pri

slovenskem jeziku in posledično pri razumevanju prebranega besedila, nalogo slabše

reševali. Vendar pa je odstotek tistih, ki nalogo niso pravilno rešili, približno enak, ne

glede na oceno pri slovenskem jeziku. Ker ta odstotek predstavlja le nekaj učencev,

lahko sklepamo, da učencem naloga ni bila težka. Prebrali so jo z razumevanjem in v

nalogi znali poiskati tisti podatek, ki ga ne potrebujejo za reševanje. Matematični

problem s preveč podatki je učencem znan in jim ne predstavlja večjih težav pri

reševanju. Prišli smo tudi do ugotovitve, da so prvo nalogo učenke reševale uspešneje

od učencev.

Pri drugi nalogi, kjer je bil zapisan matematični problem s premalo podatki, so se

pokazala večja odstopanja. Pri tej nalogi je nekaj učencev znalo poiskati manjkajoči

podatek, za večino pa je bila naloga prezahtevna. Pri reševanju matematičnega

problema so učenci poskušali priti do manjkajočega podatka s seštevanjem ostalih

podatkov ali pa so si podatek izmislili. V veliki meri se je pri tem matematičnem



35

problemu pokazala dosežena stopnja bralne pismenosti oziroma razumevanje

prebranega besedila. Ker učenci naloge niso brali z razumevanjem, niso prišli do

ugotovitve, da je manjkajoči podatek število vseh učencev v razredu. Učenci so prišli

do ugotovitve, da imajo premalo podatkov za reševanje naloge, vendar podatka niso

znali poiskati. Pri tej nalogi smo ugotovili, da so jo učenci, ki imajo odlično oziroma prav

dobro oceno pri slovenskem jeziku, znali rešiti. Učenci z dobro in zadostno oceno pa

matematičnega problema niso znali rešiti. Pri njih se je pokazala težava v razumevanju

prebranega, saj naloge ali niso niti poizkusili rešiti ali pa so do manjkajočega podatka

želeli priti s seštevanjem ostalih podatkov v nalogi. Pri tem matematičnem problemu

smo ugotovili, da ima veliko vlogo razumevanje prebranega. Če učenec iz besedila ne

razbere, kateri podatek manjka in kje ga lahko poišče, potem naloge ne bo rešil

pravilno. Besedilo ne prebere z razumevanjem in tako ne razume, kaj je tisto, kar je pri

tem matematičnem problemu ključnega pomena. Po dobljenih rezultatih, na podlagi

dosežnih točk pri tej nalogi in razčlenitvi po spolu, smo prišli do ugotovitve, da so

matematični problem učenci reševali uspešneje od učenk. Rezultati so pokazali, da je

50 % učencev nalogo rešilo pravilno, prav tako pa je tudi 50 % učencev za nalogo

prejelo nič točk. Pri učenkah pa je večji odstotek učenk, ki naloge niso rešile pravilno,

kot pa tistih, ki so nalogo rešile pravilno.

Naslednja naloga je vsebovala matematični problem z več možnimi rešitvami. Na

splošno so učenci nalogo dobro reševali. Večina jih je znala rešiti problem in poiskati

več možnih kombinacij za pravilno rešitev. Naloga je bila sestavljena tako, da so lahko

izbirali med stvarmi, ki jih poznajo iz realnega življenja, zato menimo, da jim je to

olajšalo razumevanje in reševanje te vrste matematičnega problema. Večjih odstopanj

pri učencih z boljšimi oziroma slabšimi ocenami pri slovenščini ni. Menimo, da pri tej

nalogi ni imela ključno vlogo bralna pismenost, saj so učenci ob prebrani nalogi vedeli,

kaj morajo početi. Pri manjšem odstotku učencev, ki naloge niso rešili pravilno oziroma

niso dobili nobene točke, se ni pokazalo nerazumevanje matematičnega problema,

ampak zgolj napake pri računanju. Učenci so si napačno zastavili račun, ga rešili

narobe, ali pa se odgovor ni ujemal s prej zapisanim računom. Prav tako ni odstopanj

pri uspešnosti reševanja glede na spol. Učenke in učenci so bili pri reševanju naloge

enako uspešni.

S pomočjo zadnje naloge, kjer so učenci reševali matematični problem, ki ga lahko

rešimo na več različnih načinov, pa smo prišli do naslednjih ugotovitev. Učenci imajo

največ težav s tem, kako se naloge lotiti in jo pravilno rešiti. Veliko učencev si je

pomagalo s puščičnim diagramom, nekaj učencev je uporabilo strategijo obkroževanja



36

predmetov, ostali pa so le zapisali možne kombinacije. Ugotovili smo, da učenci naloge

niso brali z razumevanjem oziroma naloge niso rešili v celoti. Dogajalo se je, da je bil

odgovor zapisan samo na prvo vprašanje ali pa samo na drugo vprašanje. Le majhen

odstotek učencev je nalogo razumelo in odgovorilo pravilno na obe zastavljeni

vprašanji. Glede na rezultate lahko sklepamo, da učenci pri daljšem besedilu in več

vprašanjih odgovarjajo le na tisto, ki je njim lažje razumljivo. Veliko učencev je prejelo

točko le za odgovor, ki so ga zapisali na vprašanje, kaj bi si izbrali oni. Ker so se učenci

postavili v realno situacijo in si izbirali, kaj bi imeli oni, so na prejšnje vprašanje pozabili

odgovoriti. Pri tej nalogi so bile pri reševanju, če primerjamo spola, učenke uspešnejše.

Več učenk je nalogo rešilo pravilno oziroma manj učenk je nalogo rešilo napačno.

Glede na dobljene rezultate lahko ugotovimo, da učenci najbolje rešujejo probleme

s preveč podatki. Pri tem matematičnem problemu je bil odstotek pravilno rešene

naloge najvišji. Malo manj so uspešni pri reševanju problemov z več možnimi rešitvami,

nato sledi matematični problem s premalo podatki, kjer so imeli učenci že večje težave

z razumevanjem matematičnega problema. Najslabše pa so reševali matematični

problem z več možnimi potmi do rešitve. Menimo, da se največje težave pojavljajo pri

reševanju tega tipa problema predvsem zaradi nerazumevanja in zaradi preredkega

oz. manj pogostega reševanja takšnih nalog. Učenci so navajeni na krajše besedilne

naloge oziroma matematične probleme in je razumevanje pri daljšem besedilu toliko

težje. Ugotovili smo, da večjih razlik pri reševanju matematičnih problemov glede na

spol ni, hkrati pa se zavedamo, da je bil tudi raziskovani vzorec premajhen, da bi to

lahko posplošili na celotno generacijo.

Ostalo je še nekaj odprtih vprašanj, ki bi jih lahko v nadaljevanju raziskali. Ker smo

se v diplomskem delu osredotočili na tretji razred, bi lahko znanje in razumevanje

matematičnih problemov preverili tudi v višjih razredih in skušali odgovoriti na

vprašanje, ali se reševanje matematičnih problemov in razumevanje le-teh iz razreda v

razred stopnjuje ali ostaja na isti ravni.



37

5 VIRI IN LITERATURA

Cotič, M. (1999). Matematični problemi v osnovni šoli 1-5. Teoretična zasnova modela

in njegova didaktična izpeljava. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana

Cotič, M. (2003). Matematični problemi in uporaba geoplošče. Matematika v šoli, (10),

152-160.

Cotič, M., Felda, D. (2006). Faze reševanja matematičnih problemov. Zgodnje učenje

in poučevanje otrok 1. Založna Annales, Koper.

Cotič, M, Felda, D. (2011). Razvijanje matematične kompetence: Postavljanje in

reševanje problemov pot do matematične pismenosti. Razvijanje različnih

pismenosti. Založba Annales, Koper.

Frobisher, L. (1996). Changing a Mathematics Problem into an Investigation. V:

Prispevki k poučevanju matematike. The Improvement of Mathematics Education

in Secondary Schools. Uredila S Kmetič. Založba Rotis, Maribor, 239-244.

Magajna, Z. (2003). Problemi, problemsko znanje in problemski pristop pri pouku

matematike. Matematika v šoli, (10), 129-138.

Medved Udovič, V. (2011). Prehod med vrtci in šolo, pot k bralcu in bralki. Razvijanje

različnih pismenosti. Založba Annales, Koper.

Polya, G. (1989). Kako rešujemo matematične probleme. DMFA, Ljubljana.

Strmčnik, F. (1991). Problemski pouk v teoriji in praksi. Didacta, Radovljica.

Žakelj, A. (2003). Pomen problemskih situacij pri pouku matematike. Matematika v šoli,

(10), 161-174.

Žakelj, A. (2011). Razvijanje matematične pismenosti skozi reševanje problemov.

Razvijanje različnih pismenosti. Založba Annales, Koper.

Žakelj, A., Rohler Prinčič, A. idr. (2011). Učni načrt za matematiko. Ministrstvo za

šolstvo in šport, Ljubljana.



38

PRILOGE

Priloga 1: Test znanja

TEST ZNANJA

Razred: _3_

1. Miha in Špela sta se skupaj z mamo in očetom odpravila na izlet. Med

potjo so se ustavili na sladoledu. Vsak od njih si je naročil po 1 kepico

vaniljevega sladoleda in po 2 kepici jagodnega sladoleda. Koliko kepic

jagodnega sladoleda so si naročili vsi skupaj? /3

R.:

O.:_____________________________________________________

2. Učenci 3. A razreda 1. OŠ Žalec so se odpravili na športni dan. 8

učencev se je odločilo, da bo igralo nogomet, 3 učenci so se odločili, da

bodo igrali košarko in 2 učenki sta se odločili, da bosta igrali tenis.

Koliko učencev se je odločilo, da bo igralo odbojko ? /3

R.:

O.:_____________________________________________________



39

3. Luka je skupaj z mamo nakupoval stvari, ki jih potrebuje za

rojstnodnevno zabavo. Ker ima samo 50 €, si vseh stvari, ki jih je želel

imeti, ni mogel kupiti. Kaj misliš, da je Luka kupil? /3

Račun:

Odgovor:

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________



40

4. Mama je Tini pripravljala malico za v šolo. Na izbiro ji je dala, da si

sama izbere, kaj želi imeti za malico. Izbirala je med tremi vrstami

pijače in dvema vrstama hrane. Zapiši vse možne kombinacije

malice, če se lahko odloči samo za eno vrsto pijače in eno vrsto

hrane? Kaj od naštetega bi ti izbral za malico? /4

Odgovor:

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

________________________

diplomsko delo mojca jakob 2015 · 2015-12-04 · most students could solve the task properly and...

Documents