dirigidas 2013-i

Calculo Integral

Problemas

2

4

6

8

−2

−4

2 4 6−2−4−6

bA

bB

bn = 10

f(x) = 0.4x2

x

y

Alvaro M. Naupay Gusukuma

Universidad Nacional de Ingenierıa2013-I

Indice general

1. PRACTICA DIRIGIDA № 1 1

1.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2


2.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4


3.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7


4.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10


5.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


6.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13


7.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


8.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


9.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

10.Primera Practica Calificada 22

10.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11.Segunda Practica Calificada 24

11.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

12.Tercera Practica Calificada 26

12.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

13.Examen Parcial 27

13.1. 2015-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

14.Cuarta Practica Calificada 28

14.1. 2013-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

15.Quinta Practica Calificada 29

15.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

16.Sexta Practica Calificada 31

16.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

17.Examen Final de Calculo Integral 32

17.1. 2009-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3217.2. 2013-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

18.Examen Sustitutorio 34

18.1. 2012-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Bibliografıa 35

ii

1PRACTICA DIRIGIDA № 1

1.1. Problemas

1. Enuncie las definiciones de antiderivada y de integral definida.

2. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones con adecuada jus-tificacion:

a) Si F es una antiderivada de f en R, entonces F (x+ 1) es una antiderivada de f(x+ 1)en R.

b) Si F es una antiderivada de f en R, entonces F (3x) es un antiderivada de f(3x) en R.

c) Sean F una antiderivada de f en I y g una funcion derivable tal que F ◦ g y f ◦ g estandefinidas en I. Luego, F ◦ g es una antiderivada de (f ◦ g).

d) Sean F un antiderivada de f en I y g una funcion derivable tal que F ◦ g y f ◦ g estandefinidas en I. Luego, F ◦ g es una antiderivada de (f ◦ g) · g′.

e) Si F es una antiderivada de g ·f ′ en un intervalo I, entonces f · g−F es una antiderivadade f · g′.

3. Sea F una antiderivada de f y supongamos que f tiene inversa, denotada por f−1, ademasf y su inversa son derivables. Pruebe que la funcion definida por:

G(x) = xf−1(x)− F (f−1(x))

es una antiderivada de f−1. Solucion.

4. Sea f(x) = |x| y F definida por:

F (x) =

−1

2x2 , si x < 0

1

2x2 , si x ≥ 0 .

Demuestre que F es una antiderivada de f en ]−∞,∞[.

5. Calcule∫

(x3 + 1)2x2dx mediante dos metodos:

a) Hacer la sustitucion u = x3 + 1

b) Desarrollar primero (x3 + 1)2

compare resultados y explique.

6. Sean f y g definidas en ]−∞,∞[, tales que f es una antiderivada para g y este ultimo es unaantiderivada de −f . Ademas que f(0) = 0, g(0) = 1. Demuestre que [f(x)]2 + [g(x)]2 = 1

7. Sea

f(x) =

−1 , si x < 00 , si x = 01 , si x > 0 .

F (x) = |x|. Demuestre que F ′(x) = f(x) si x 6= 0. ¿Es F una antiderivada de f en ]−∞,∞[?.Explique.

8. Sea

U(x) =

{

0 , si x < 01 , si x ≥ 0 .

Demuestre que U no tiene antiderivada en 〈−∞,∞〉.

9. Sean g y f dos funciones definidas por:

g(x) =

x2 sen

(

1

x

)

, si x 6= 0

0 , si x = 0 .f(x) =

2x sen

(

1

x

)

− cos

(

1

x

)

, si x 6= 0

0 , si x = 0 .

a) Pruebe que g es una antiderivada de f .

b) Pruebe que f no es continua.

10. Halle una funcion y = f(x) tal que f ′′(x) =sen(

√x)√

xpara x ∈ ]0,+∞[ y la recta tangente

a la grafica de f en el punto A(π2; 0) tiene por ecuacion πy − x+ π2 = 0.

11. Determine cada una de las siguiente integrales

a)

∫

sen4(2x) cos3(2x) dx b)

∫

tan5(x) sec(x) dx c)

∫

sec x

1− sen xdx

d)

∫

(4− x2)5/2

x6dx e)

∫

x2

√x2 + 2x+ 5

dx f)

∫

x5

√x2 − 4

dx

12. Demuestre cada una de las siguientes relaciones:

a)

∫

(ln x)n dx = x(ln x)n − n

∫

(lnx)n−1 dx, n ∈ N.

b)

∫

xneax dx =xneax

a− n

a

∫

xn−1eax dx, a ∈ R, n ∈ N.

c)

∫

(csc x)n dx = − 1

n− 1cot x(csc x)n−2 +

n− 2

n− 1

∫

(csc x)n−2 dx, n ∈ N, n > 1.

1.2. Soluciones

1.

2.

2

3. Como F es antiderivada de f tenemos que

dF (x)

dx= f(x)

haciendo el siguiente cambio de variable x = f−1(y) en la ecuacion anterior tenemos

dF (f−1(y))

d[f−1(y)]= f(f−1(y)) = y

luego reescribiendo y por x tenemos

dF (f−1(x))

d[f−1(x)]= x

teniendo esto ultimo en mente y usando la regla de la cadena hallemos G′(x) como sigue

dG(x)

dx= f−1(x) + x

d(f−1(x))

dx− dF (f−1(x))

d[f−1(x)]

d[f−1(x)]

dx

= f−1(x) + xd(f−1(x))

dx− x

d[f−1(x)]

dx= f−1(x) .

Lo que prueba que G es la antiderivada de f . Problema.

3


2.1. Problemas

1. Analizar si P es una particion de [a, b].

En caso afirmativo, hallar ‖P‖ = max{xi+1 − xi / i = 0, . . . , n}

a) [3, 6], P = {xk = 3 +k

n/ k = 0, 1, 2, . . .}

b) [0, 1], P = {xk = sen

(

kπ

2n

)

/ k = 0, 1, 2, . . .}

c) [3, 5], P = {xk3 +2k − 2

n/ k = 0, 1, 2, . . .}

d) [−2,−1], P = {xk = −2 +k

n/ k = 0, 1, 2, . . .}

2. Sea P = {−1, 0, 1, 3, 4} una particion de [−1, 4] y

f(x) =

x+ 2 , −1 ≤ x ≤ 0x , 0 < x < 1

1 +√x , 1 ≤ x ≤ 4

hallar mi(f) y Mi(f), i = 1, 2, 3, 4. Calcular U(f, P ), L(f, P ) y aproximar el valor de laintegral de f desde −1 hasta 4 con esta particion, indicando una cota del error cometido.

3. Sea f la funcion definida por f(x) = sen

(

1

x

)

∀x ∈ [1

5π,6

5π]. Dada la particion P =

{ 1

5π,2

5π,3

5π,4

5π,6

5π} de este intervalo, halle L(f, P ) y U(f, P ).

4. Sean f, g : [a, b] → R funciones acotadas. Pruebe que

L(f, P ) + L(g, P ) ≤ L(f + g, P ) y U(f + g, P ) ≤ U(f, P ) + U(g, P )

para toda particion P del intervalo [a, b].

5. Sea f una funcion acotada en el intervalo I y sean P1, P2 particiones de I tal que P2 es unrefinamiento de P1. Demuestre que:

a) ‖P2‖ ≤ ‖P1‖.

b) L(f, P2)− L(f, P1) ≤ r(M −m)‖P1‖ y U(f, P1)− U(f, P2) ≤ r(M −m)‖P1‖ si P2 \ P1

tiene r puntos.(M = sup(f) y m = ınf(f))

6. Sea f la funcion definida por f(x) = x3 sobre [0, 1]. si P = {0, 14,1

2,3

4, 1} y Q = {0, 1

3,2

3, 1}

son dos particiones de [0, 1]. ¿Cual es la relacion entre L(f, P ) y L(f,Q)?. ¿Es contradictoriocon el resultado anterior?.

7. Si f es decreciente sobre [a, b], pruebe que U(f, P )−L(f, P ) ≤ ‖P‖(f(a)− f(b)) para cadaparticion P de [a, b], luego concluya que f es integrable en [a, b].

8. Sea f una funcion derivable sobre [a, b] tal que |f ′(x)| ≤ K. Demuestre que:

a) Para cada particion P de [a, b], U(f, P )− L(f, P ) ≤ K|P |(b− a).

b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b∫

a

f − 1

2[U(f, P ) + L(f, P )]

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤ K

2‖P‖(b− a).

9. Expresar el lımite de cada suma, como una integral definida:

a) lım|P |→0

n∑

i=1

(

xi + xi+1

2

)3

(xi − xi−1), P particion de [2, 5].

b) lım|P |→0

n∑

i=1

xi

1 + xi(xi − xi−1), P particion de [0,

√3].

c) lım|P |→0

n∑

i=1

(x2i − x2

i1), P particion de [−3, 10].

d) lım|P |→0

n∑

i=1

sen(xi)

1 + x4i

(xi − xi−1), P particion de [0, 2] y xi ∈ [xi−1, xi].

e) lım|P |→0

n∑

i=1

sen

(

xi + xi−1

2

)

(xi − xi−1), P particion de [0, π].

10. Expresar cada uno de os siguiente lımites como una integral definida, donde P = {xi / i =0, 1, . . . , n} es una particion de [a, b].

a) lım|P |→0

n∑

i=1

2π(1− xi − xi−1)x2i (xi − xi−1); [0, 1].

b) lımn→∞

n∑

i=1

1

n[a +

i

n(b− a)]; [a, b].

c) lımn→∞

1

n

n∑

i=1

[a +i− 1

n(b− a)][a+

i

n(b− a)]; [a, b].

11. Expresar cada lımite como una integral definida:

lımn→∞

n∑

i=1

√

(xi − xi−1)2 + (cos(xi)− cos(xi−1))2 , [0, π]

Sugerencia: Use el Teorema del Valor Medio.

5

12. Sea f : [a, b] → R una funcion continua. Si

b∫

a

f = 0 y f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], demuestre que

f(x) = 0 ∀x ∈ [a, b].

13. Sea f una funcion creciente sobre [a, b]. Demuestre que

f(a)(b− a) ≤b

∫

a

f ≤ f(b)(b− a) .

14. Sea f : [a, b] → R una funcion creciente. Si Pn es una particion de [a, b] en n partes iguales,demuestre que

0 ≥ U(f, P )−b

∫

a

f ≤ b− a

n(f(b)− f(a)) .

15. Sea f : [0, 1] → R la funcion definida por

f(x) =

{

x , x ∈ Q

1− x , x ∈ I

analice la integrabilidad de f en [0, 1].

16. ¿La composicion (si existe) de dos funciones integrables, es integrable?. si su respuesta esafirmativa demuestrelo, en caso contrario de un contraejemplo.

6


3.1. Problemas

1. Calcular las siguientes integrales, si f(x) =

{

x2 , 0 ≤ x ≤ 12− x , 1 < x ≤ 2

:

a) I =

1∫

0

|1− x| dx b) I =

b∫

0

|x|x

dx c)

2∫

0

f(x) dx

2. Calcular:

a) lımh→0

1

h

x+h∫

1

sen(t) dt−x

∫

1

sen(t) dt

b) lımh→0

1

h

c+h∫

c

f(t) dt

c) lımh→0

1

h

3+h∫

3−h

1

1 + x2dx d) lım

h→0

1

h

x−x

∫

0

t2

1 + t2dt−

x+h∫

0

1

1 + t2dt

e) lımh→0

1

h

x+h∫

x

t3 dt

3. a) Si

1/(3x+1)∫

0

f(t) dt =2

ax+ ax. Hallar los valores a de modo que f

(

1

4

)

=16

3.

b) si

x2

∫

x3

t6

1 + t4dt, calcular F ′(x).

c) Si f es continua en [0, 2[ y f(1) = 1, calcular lımx→1

x

x− 1

3/(2+x)∫

3/(4−x)

f(t) dt.

4. Demostrar que:

Si f es una funcion continua y par en [−a, a], entonces

a∫

−a

f(x) dx = 2

a∫

0

f(x) dx.

5. a) Hallar el valor medio de f(x) = |x| sobre [−2, 2].

b) Sea f(x) = (x− 2)2 + 2. Graficar f , halla el valor medio f de f sobre [1, 3] y los c talesque f = f(c), c ∈]1, 3[.

c) Usando f(x) = x sen(x) y el teorema del valor medio para integrales. Demostrar que

∃c ∈ [0, 2π] tal que sen(c) = −1

c

d) Demostrar que el valor medio de f(x) = x2 en [a, b] esb2 + ab+ a2

3

6. Sean f y g continuas sobre [a, b], probar que:

b∫

a

f(t)g(t) dt

≤

b∫

a

f 2(t) dt

b∫

a

g2(t) dt

Sugerencia: F (t) = (f(t)− λg(t))2.

7. Sea f : R → R tal que f(x) =2x∫

x

1√1 + t4

dt, sin resolver la integral:

a) Hallar f ′(x).

b) ¿Es f par?, ¿Es f impar?.

c) Calcular lımx→∞

f(x), lımx→−∞

f(x).

d) Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, los puntos crıticos y graficar f .

8. Si f es continua sobre [0,∞[, demuestre que

x∫

0

f(u)(x− u) du =

x∫

0

u∫

0

f(t) dt

du

Sugerencia: Usar el segundo T.F.C.

9. Sea f continua en [a, b] y g integrable y no-negativa en [a, b]. Probar que

x∫

c

f(t)g(t) dt = f(c)

b∫

a

g(t) dt , c ∈ [a, b] .

10. Encontrar una funcion f y un valor de la constante tal que

x∫

c

tf(t) dt = sen(x)− x cos(x) +x2

2, para todo x ∈ R .

11. Si f ′ > 0 sobre un intervalo I, hallar L = lımh→0

1

h

f∗(x+h)∫

f∗(x)

f(t) dt.

12. a) Si f es continua en [0, a], demuestre que

a∫

0

f(x) dx =

a∫

0

f(a− x) dx.

8

b) Si f es una funcion par y continua, demuestre que

π∫

0

xf(cos(x)) dx = π

π/2∫

0

f(sen(x)) dx .

13. Calcular J =

π∫

0

x sen(x)

a+ cos2(x)dx.

14. calcular J =

16∫

1

arctan(

√√x− 1) dx.

15. Demostrar que:

1∫

x

dt

1 + t2=

1/x∫

1

dt

1 + t2, si x > 0.

16. Calcular

π/4∫

0

dx

a2 sen2(x) + b2 cos2(x), ba 6= 0.

9


4.1. Problemas

1. Sea f : [0, 4] → R una funcion continua. Si

2∫

0

f = −2 y

4∫

0

f = 0, demuestre que existe

c ∈ [0, 4] tal que f(c) = 1.

2. Calcular las siguientes integrales

a) I =

2∫

−1

|x|x

dx b)

2∫

0

f(x) dx si f(x) =

{

x2 , 0 ≤ x ≤ 12− x , 1 < x ≤ 2

3. Demuestre cada una de las siguientes desigualdades:

a)π

4≤

1∫

0

1

1 + x4dx ≤ 1 b)

2

3≤

1∫

0

1√2 + x− x2

dx ≤√2

2

4. Sea f : [1, 5] → R una funcion continua. Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [1, 5] y

5∫

1

f = 0,

demuestre que f es la funcion nula. ¿Si la hipotesis de no negatividad, se tendra la mismaconclusion?. Justifique su respuesta.

5. Sea f : [a, b] → R una funcion continua. Si

b∫

a

f(x) dx = 0, demuestre que la grafica de f

intersecta al eje X en un punto cuya abscisa esta en el intervalo [a, b].

6. Calcular:

a) lımh→0

1

h

x+h∫

x

t3 dt b) lımh→0

1

h

3+h∫

3−h

1

1 + x2dx

c) lımh→0

1

h

x+h∫

1

sen(t) dt−x

∫

1

sen(t) dt

d) lımh→0

1

h

x−x

∫

0

t2

1 + t2dt−

x+h∫

0

1

1− t2dt

e) lımh→0

1

h

c+h∫

c

f(t) dt

7. a) Si

1/(3x+1)∫

0

f(t) dt =2

ax+ ax. Hallar los valores a de modo que f

(

1

4

)

=16

3.

b) Si

x2

∫

x3

t6

1 + t4dt, calcular F ′(x).

c) si f es continua en [0, 2[ y f(1) = 1, calcular lımx→1

x

x− 1

3/(2+x)∫

3/(4−x)

f(t) dt.

8. Demostrar que: Si f es una funcion continua y par en [−a, a]:

Entonces

a∫

−a

f(x) dx = 2

a∫

0

f(x) dx.

9. a) Hallar el valor medio de f(x) = |x| sobre [−2, 2].

b) Sea f(x) = (x− 2)2 + 2. Graficar f , hallar el valor medio f de f sobre [1, 3] y los c talesque f = f(c), c ∈]1, 3[.

c) Usando f(x) = x sen(x) y el teorema del valor medio para integrales. Demostrar que

∃c ∈ [0, 2π] tal que sen(c) =1

c.

10. Sean f y g continuas sobre [a, b], probar que:

b∫

a

f(t)g(t) dt

2

≤

b∫

a

f 2(t) dt

b∫

a

g2(t) dt

Sugerencia: F (t) = (f(t)− λg(t))2.

11. sea f : R → R tal que f(x) =

2x∫

x

1√1 + t4

dt sin resolver la integral

a) Hallar f ′(x).

b) ¿Es f par ?, ¿es f impar?.

c) Calcular lımx→∞

f(x), lımx→−∞

f(x).

d) Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, los puntos crıticos y graficar f .

11


5.1. Problemas

1. Demuestre que

a) ∀x ∈]1,+∞[: 1− 1

x≤ ln x ≤ x− 1.

b) Si h = x− 1, entonces:h

1 + h≤ ln(1 + h) ≤ h

. Concluya que ln′(1) = 0.

2. Sean I un intervalo y g : I → R una funcion tal que Rang(g) ⊂ ]0,+∞[. Demuestre que:

a) Si lımx→a

g(x) = +∞ entonces lımx→a

ln(x) = +∞.

b) Si lımx→a

g(x) = 0 entonces lımx→a

ln(x) = −∞.


6.1. Problemas

1. Determine las siguientes antiderivadas:

a)

∫

x+ 1

2x2 + 4x+ 1dx b)

∫

1

x ln xdx c)

∫

sen(2x)

1− cos(2x)dx

d)

∫

1√x(1 +

√x)

dx e)

∫

1

x ln(x)dx f)

∫

ln(x3)

xdx

2. Halle los siguientes lımites:

a) lımx→∞

ln(√x)

xb) lım

x→∞

ln(x)√x

c) lımx→0+

x ln(x)

3. Demuestre que si x ≥ 1, ln(x+√x2 − 1) = − ln(x−

√x2 − 1)

4. Bosquejar la grafica de las siguientes funciones

a)f(x) = x ln(x) b)f(x) = x2 ln(x) c)f(x) =√x ln(x)

5. Determine las primitivas que se indican:

a)

∫

xex2

dx b)

∫

ex+ex dx c)

∫

x+ e2x

x2 + e2xdx

d)

∫ √xe2x

√x dx e)

∫

e2x

1 + e2xdx f)

∫

ex

1 + exdx

6. Evalue los siguientes lımites:

a) lımx→∞

ex

xb) lım

x→∞

ex√x

c) lımx→∞

e√x

xd) lım

x→∞x2e−x

7. Trace la grafica de la funcion f si:

a)f(x) = x2e−x b)f(x) = x3e−x c)f(x) = e−x2

8. Si una planta quımica despide una cantidad A de contaminantes en un canal en el instantet = 0, entonces la concentracion resultante de contaminantes en el agua del canal de unpuebloa una distancia x0 rio abajo de la planta en el instante t es:

C(t) =A√kπt

exp

(

− x20

4kt

)

, donde t ∈ R .

Demuestre que la concentracion en el pueblo es:

Cmax =A

x0

√

2

πe

14


7.1. Problemas

1. En la figura adjunta se muestra las regiones D1 y D2. Exprese el area de la region D2 enterminos del area de la region D1. Solucion.

x

y

y = xex2

D1

x

y

y = ex

D2

2. Sea D la region del plano limitada por la curva C : y = 4 − x2 y las rectas tangentes a Ctrazadas desde el punto A(0; 5). Calcule el area de la region D. Solucion.

3. Sea C la curva con ecuacion C : y = ln x. Calcule el area de la region D del plano limitadopor C, la recta tangente a C en el punto A(e; 1) y el eje x.

4. Sea C la curva con ecuacion C : y = x4 − 2x3 + 8x − 4. Calcule el area de la region D delplano limitado por C y la recta tangente a C en el punto de abscisa -1.

5. Calcule el parea dela region D de lplano limitado por las curavas C1 : x = y2, C2 : y = x+2,C3 : y = −2 y C4 : y = 3.

6. Calcule el area del al region D del plano limitado por la elipse

x2

a2+

y2

b2= 1

7. Calcule el area de la region D del plano limitado por las rectas y = 1, y = 0 y la hiperbola

x2 − y2 = 3

8. Calcule el area de la region D del plano limitada por

y = 1− x2, y =1− x

2, y = 1

9. Sea D la region del plano limitada por el eje x, y = tan−1 x, x = −1 y x =√3. Calcule el

area de D

10. Calcule el area de la region D del plano limitado por la curva C : x = y3 − y y el eje y.

11. Sea D la region del problema 2. Calcule el volumen del solido que se genera cuando D giraalrededor del eje x.

12. Sea D la region del problema 3. Calcule el volumen del solido de revolucion cuando D giraalrededor de la recta

a) y = 0 b) x = 0 c) x = e d) y = 1 e) x = −1

13. Sea D la region del plano limitado por y = ex, y = ex, y = 2. Calcule

a) El are de D.

b) El volumen del solido que se genera cuando D gira alrededor del eje x.

14. Dea D la region del plano limitado por y = ex, y = x + 1, x = 1. Calcule el volumen delsolido que se genera cuando D gira alrededor

a) del eje x b) del eje y

15. Calcule el volumen del solido que se genera cuando la region D del problema 9 gira alrededordel eje x.

16. Sea D la region del plano limitado por el eje x y la elipse del problema 6 con y ≥ 0. Calculeel volumen del solido que se genera cuando D gira alrededor del eje x.

17. Sea D la region del primer cuadrante limitado por y = x2, x = 0 y la recta y = 2. Calculeel volumen del solido que se genera cuando D gira alrededor del eje y.

18. Sea D la region del plano limitado por y =1

1 + x2, x = 0, y = 0. Calcule el volumen del

solido que se genera cuando D gira alrededor

a) del eje y b) de la recta x = −1

19. La base de un solido E es la region D del plano XY limitado por la curvas y = x2, y = 3−2x.si las secciones transversales perpendiculares al eje x son triangulos rectangulos isosceles unode cuyos catetos se encuentra en el plano XY , calcule el volumen de E.

20. La base de un solido es la region D del plano XY limitado por y = 1 − x2, y = −1. si lassecciones transversales perpendiculares al eje y son triangulos equilateros, calcule el volumendel solido.

21. La base de un solido es al region del plano XY limitado por la elipse del problema 6. Calculeel volumen del solido si las secciones transversales perpendiculares al eje x son cuadrados.

22. La base de un solido es la region del plano limitado por la circunferencia de centro (0; 0) yradio a. Calcule el volumen del solido si las secciones transversales perpendiculares al eje xson rectagulares en los que la longitud de las base es el doble del al longitud de la altura.

16

7.2. Soluciones

1. De manera general podemos expresar D1 y D2 en funcion de t

D1(t) =

t∫

0

xex2

dx =et

2

2y D2(t) =

t∫

0

exdx = et

donde t > 0 real, en particular, D1(1) = D1 y D2(1) = D2, ademas D1(t) =(et)t

2entonces

t√2D1(t) = et, de esto podemos expresar D2(t) en terminos de D1(t) como sigue

D2(t) = et = t√2D1(t)

en particular para t = 1 tenemos que D2 = 2D1. Problema.

2. Por la simetrıa de la grafica trabajaremos en el primer cuadrante. Tenemos que hallar lospuntos de tangencia de las rectas y la parabola, sea (a, b) el punto de tangencia en el primer

cuadrante, luego la pendiente de la recta tangente es m =b− 5

a, pero esta misma pendiente

esta dada tambien por y′ = −2x es decir m = −2a, luego tenemos la ecuacion:

−2a =b− 5

aentonces − 2a+ 5 = b

por otra parte el punto (a, b) obedece a la ecuacion de la parabola, b = 4−a2, luego tenemosla ecuacion:

−2a + 5 = b = 4− a2 es decir a2 − 2x+ 1 = 0

resolviendo tenemos que a = 1 y b = 3, entonces (1, 3) es el punto de tangencia en primercuadrante, luego por simetrıa el punto de tangencia en el segundo cuadrante es (−1, 3).

el area pedida es igual al area bajo las rectas tangentes desde x = −1 hasta x = 1 menos elarea bajo la parabola limitada por los mismo puntos, es decir

D = 8−1

∫

−1

4− x2 dx =2

3.

Problema

17


8.1. Problemas

1. Para cada una de las siguientes curvas, cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares sondadas, halle su ecuacion en coordenadas polares:

a) y = 4x2 b) y2 − x2 = 4 c)x2

a2+

y2

b2= 1

d) 2x+ 3y = 5 e) x2 + y2 = 2ax f) y2 + 8x = 16

g) (x2 + y2)2 = 4x2 − 4y2 h) x2 + y2 =√

x2 + y2 + x i) xy = 1

2. Para cada una de las siguientes curvas, cuyas ecuaciones en coordenadas polares son dadas,halle su ecuacion en coordenadas rectangulares:

a) r = 4 cos(θ) b) r2 cos(2θ) = 4 c) r = 4 sec(θ)

d) r = 2 csc(θ) e) r2 = 4 csc(2θ) f) r = −4 sen(θ)

3. Trace cada una de las curvas cuyas ecuaciones son dadas en coordenadas polares. En cadacaso establecer si existen o no las simetrıas estudiadas en clase.

a) r = 2− sen(θ) b) r = 2− sen(θ) c) r = 3 sen(θ)

d) r2 = 4 sen(2θ) e) r =√

sen(θ) f) r = 2 sen(2θ)

g) r2 = 4 cos(2θ) h) r = 2− cos(θ) i) r = 2 cos(2θ)

4. Calcule el area de la region interior comun a las curvas C1 : r = 2− sen θ, C2 : r = 3 sen θ.

5. Sea D la region del primer cuadrante que es interior a C1 : r2 = 9 sen(2θ) y exterior a lacurva C2 : r = 9 cos(2θ). Calcule el area de D.

6. Sea D la region que es interior a la curva C1 : r = 1 − cos θ y exterior a C2 : r =√

sen(θ).Calcule el area de la region D.

7. Calcule el area de la region D del plano que es interior a la curva C1 : r = 2 + 2 cos(θ) yexterior a C2 : r = 4 cos(θ).

8. Sea D la region del plano que es interior a C1 : r = 2 sen(θ) y exterior a C2 : r = 2 sen(2θ).Calcule el area de D.

9. Calcule el area de la region D que es interior a C1 : r = 2+2 sen θ y que se encuentra debajo

de la recta θ =π

6.

10. Sea D la region que es interior a C1 : r = 4 cos(2θ) y exterior a C2 : r = 2. Calcule el area dela region D.

11. Sean D1 la limitada por C1 : r = sen(2θ) y D2 la region limitada por C2 : r =

√3

2. Calcule

el area de la region D = D1 ∪ D2.

12. Sea D la region del primer cuadrante que es interior a la curva C1 : r = sen(2θ) y exterior ala curva C2 : r = sen(θ). Calcule el area de la region D.

13. Calcule el area de cada una de las regiones limitadas por las curvas C1 : r = 3 sen(θ) yC1 : r = 1 + sen(θ).

19


9.1. Problemas

1. Calcule la longitud de cada una de las siguientes curvas:

a) y =x2

4− ln x

2, 1 ≤ x ≤ 2 b) y2 = 4(x+ 4)3 , 0 ≤ x ≤ 2 , y > 0

c) x = et cos t , y = et sen t d) y =√x , 0 ≤ x ≤ 4

e) r = a + a cos θ , a > 0 f) y =x3

3+

1

4x, 1 ≤ x ≤ 2

g) x2/3 + y2/3 = a2/3 h) y =

x∫

1

√√t− 1dt , 1 ≤ x ≤ 16

i) r0 cos(2θ) j) x = a(t− sen t) , y = a(1− cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π

2. Calcule el perımetro de la region D del plano limitado por las rectas x = 1, x = e, el eje xy la curva

C : y =x2

4− ln x

2

3. Calcule la longitud de la curvaC : r = 2 sen(2θ)

4. Sea D la region que es exterior a C1 e interior a C2, donde

C1 : r = 3 cos θ y C2 : r = 1 + cos θ

plantee integrales definidas que permitan calcular el perımetro de la region D.

5. Calcule el area de al superficie de revolucion que se genera cuando la curva dad gira alrededrodel eje X :

a) y =x2

4− ln x

2, 1 ≤ x ≤ 2 b) y = cos(2x) , 0 ≤ x ≤ π

6

6. Sea C : 9y2 = x(3 − x)3, 0 ≤ x ≤ 1. Calcule el area de la superficie de revolucion que segenera cuando C gira alrededor de la recta x = 3.

7. Sea f(x) =x√x

3− √

x, 4 ≤ x ≤ 9. Calcule el area de la superficei de revolucion que se

genera cuando la grafica de f gira alrededor de la recta y = −1.

8. Sea C : x = et sen t, y = et cos t, 0 ≤ t ≤ π

2. Calcule el area de la superficie de revolucion que

se obtiene cuando C gira alrededor del eje X .

9. Calcule el area de la superficie de revolucion que se genera por la rotacion de la mitadsuperior de la cardiode

r = a(1− cos θ)

alrededor del eje polar.

10. Halle las coordenadas del centroide de la region del plano limitado por las graficas de y = x2

e y = 2x.

11. Sea D la region del plano limitado por las curvas C1 : y = −x y C2 : y = 2x− x2. Si L es larecta tangente a C2 en el origen de coordenadas, calcule el volumen del solido de revolucionque se genera cuando D gira alrededor de la recta L

12. sea D la region del plano limitado por las graficas de y = x2 y y = 2x. Exprese integralesdefinidas que permita calcular el volumen del solido que se genera cuando D gira alrededordel eje X .

13. Sean D la region del plano limitada por las curvas C1 : y = x2 y C2 : y = x+ 2; L es la rectatangente a C1 que es paralela a la recta y = 2x. Calcule el volumen del solido que se generacuando D gira alrededor de la recta L.

14. Un tanque tiene la forma de un tronco truncado con un diametro de 2m en la parte inferiory 3m en la parte superior y 10m de altura. Si el tanque se encuentra lleno, determine eltrabajo que se necesita para vaciar el tanque por la parte mas alta del mismo.

15. Un tanque tiene la forma de un cono circular invertido de 10m de altura y 4m de radio enla base. si al tanque se echa agua hasta un nivel de 8m, calcule el trabajo requerido paravaciarlo bombeando toda el agua hasta un lugar que se encuentre a al misma altura de latapa del tanque.

16. En el problema 14, calcule el trabajo necesario para vaciar la mitad de la cantidad de aguaque tiene el tanque.

17. Los extremos de un abrevadero de 8 pies de longitud tiene la forma de trapecios isosceles de4 pies de alto, la base inferior mide 4 pies y al parte superior 6 pies. Calcule la fuerza totalsobre uno de los extremos cuando el abrevadero esta lleno de agua.

18. Un tanque cilındrico de 2m de diametro y 3m de largo yace de costado y tiene aceite, quepesa 930 kg/m3, hasta la mitad de su capacidad. Calcule la fuerza ejercida sobre uno de losextremos del tanque.

19. Los extremos de un abrevadero tiene la forma de la region acotada por las graficas de y = x2

e y = 4, donde x e y se miden en pies. Si el abrevadero esta lleno de agua, calcule la fuerzasobre uno de los extremos.

21

10Primera Practica Calificada

10.1. Problemas

1. Resuelva cada una de las situaciones siguientes con una adecuada justificacion y utilizacionde los cuantificadores cuando sea necesario:

a) Sean I un intervalo de R, f : I → R dos funciones ¿Cuando se dice que f es unaantiderivada de F en I? (1pto.)

b) Sea F : [a, b] → R una funcion acotada. Defina, la Integral Inferior de f sobre [a, b].(1pto.)

c) Sea f : [a, b] → R una funcion integrable. Si P es una particion de [a, b] tal que la suma

superior de f con respecto de P es dos. ¿Es posible queb∫

a

f = 3? (1pto.)

d) Sea f : [a, b] → R una funcion acotada. Si α y β son numeros reales tales que paracualesquiera particiones P y Q de [a, b] se cumple

L(f ;P ) ≤ α < β ≤ U(f ;Q) .

¿Es f integrable en [a, b]? (1pto.)

2. Sean f y g funciones definidas en ]− π

2,π

2[ tales que f es una antiderivada de g2 y g es una

antiderivada de fg en ]− π

2,π

2[. Si f(0) = 0 y g(0) = 1, demuestre que (4pts.)

∀x ∈]− π

2,π

2[ (g(x))2 − (f(x))2 = 1 .

3. Sean f y F las funciones con regla de correspondencia

f(x) = x+ |x+ 1| F (x) =

{

x , x < 1x2 − x+ 1 , x ≥ 1 .

Halle el intervalo I de mayor longitud en el cual F sea una antiderivada de f (4pts.)

4. Sea f : [a, b] → R una funcion acotada. Si f es decreciente, demuestre que f es integrableen [a, b]. (4pts.)

5. Halle una funcion f que satisface las siguientes condiciones:

C1) ∀x ∈]0,+∞[ : f ′′(x) =cos

√x√

x

C2) La ecuacion de la recta tangente a al grafica de f en el punto (π2, π) es x+ πy = 2π2.(4pts.)

23

11Segunda Practica Calificada

11.1. Problemas

1. a) Use uno de los teorema estudiados en la clase, para demmostrar que existe un numero

real c ∈ [0,π

2] tal que cos(c) =

2

π. Antes de hacer la demostracion enuncie el teorema que

utiliza. (2pts.)

b) Enuncie el Primer Teorema Fundamental del Calculo. (1pto.)

c) Sea f : [a, b] → R y g : [a, b] → R funciones acotadas tales que:

b∫

a

f +

b∫

a

g =

b∫

a

f +

b∫

a

g

Pruebe que f + g es integrable en [a, b]. (1pto.)

2. Sea f la funcion definida por f(x) =

{

−1 , −1 ≤ x < 02 , 0 ≤ x ≤ 1

a) ¿Posee f antiderivada en [−1, 1]?

b) ¿Es f integrable en [−1, 1]?

En cada respuesta justifique su respuesta.

3. Calcule las siguientes integrales:

a) I =

1∫

0

2x+ 1

exdx (2pts.)

b) I =

1∫

0

x

{1 + x2 + (1 + x2)3/2} dx (2pts.)

4. Si f ∗ denota la inversa de la funcion f , halle el valor de (f ∗)′(0) + (f ∗)′′(0) si:

f(x) =

x2−1∫

0

[4 + sen(sen(π√t + 1))] dt ; x ≥ 0 . (2pts.)

5. Demuestre que

a) 1 ≤1

∫

0

√1 + x4 dx ≤ 5

3b) 2 ≤

1∫

0

√4 + x4 dx ≤ 21

5

sin calcular las integrales.

25

12Tercera Practica Calificada

12.1. Problemas

1. Trace la grafica de la funcion f(x) =ex

x. En su solucion determine dominio, ecuaciones de

asıntotas horizontales, verticales u oblicuas; intervalos de crecimiento y de decrecimiento;intervalo de convexidad y de concavidad y puntos de inflexion si es que existen. (4pts.)

2. Calcule cada una de las siguientes integrales. (4pts.)

a)

∫

ln(x2 + 1)

x2dx b)

∫

1

ex + 1dx

3. Demuestre que (5pts.)

a) ∀x ∈ (0,+∞) : ln x < x b) ∀x ∈ R : x < ex

4. Sea f(x) = cosh(x)− x

a) Demuestre que f es decreciente en ]−∞; ln(1 +√2)[ y decreciente en ] ln(1 +

√2); +∞[

(2pts.)

b) Utilice (a) para demostrar que

∀x ∈ R : x < cosh(x) (2pts.)

5. Sea f : A → R una funcion talque su dominio A no es acotado superiormente. Se dice que

lımx→+∞

f(x) = +∞ si y solo si ∀L > 0 ∃M > 0 | ∀x ∈ A∩]M,+∞[ : f(x) > L

Use la definicion anterior para demostrar que

lımx→+∞

ln x = +∞ (3pts.)

13Examen Parcial

13.1. 2015-I

1. (6 ptos.) Justifique la veracidad de las siguientes afirmaciones:

(a) Una funcion F : [a, b] → R cuyo valor absoluto es continuo, es primitiva de algunafuncion f : [a, b] → R no continua.

(b) Se cumple:

lımn→∞

{

n∏

k=1

(

1 +k2

n2

)

}1/n

= exp

{∫ 1

0

ln(1 + x2)dx

}

(c) Se cumple que

∫ π

0

2xf(senx

π)dx =

∫ π

0

f(sen x)dx

(d) Si f : [0, 1] → R es una funcion de clase C1 que verifica las condiciones f(0) = f(1) = 1

y

∫ 1

0

f 2(x)dx = 1, entonces∫ 1

0xf(x)f ′(x)dx = 0

2. (4 ptos.) Sea f una funcion integrable tal que f(c − x) = f(c + x), para un cierto numerofijo c. Demuestre usando el lımite de sumas que

∫ c

c−a

f(x)dx =

∫ c+a

c

f(x)dx .

3. Calcule:

(a) (3 ptos.)

I =

∫ −2

2

√

ln(x+√x2 + 1)

1 + x2dx .

(b) (3 ptos.) El lımite lımx→0

(f(x))1/x, si se cumple f(0) = 1, f ′(0) = a.

4. (4 ptos.) Sea f : R → R. Sea F : R \ {0} → R definida por

F (x) =1

2x

∫ x

−x

f(t)dt .

(a) Calcule lımx→0

F (x). Definiendo f(0) = lımx→0

F (x) pruebe que la funcion ası definida en R

es continua.

(b) Pruebe que si F es derivable o no en R y calcule su derivada.

14Cuarta Practica Calificada

14.1. 2013-I

1. Calcular el valor del area A de la region limitada por y =√x, y =

x

4, y la normal a y =

√x

en el punto (1,1). (4pts.)

2. Sea R la region del plano acotado por y = sin(x), x =π

6, x =

π

3y el eje X :

a) Halle el volumen del solido obtenido al girar la region R alrededor de la recta y = −1.

b) Halle el volumen del solido obtenido al girar la region R alrededor del eje Y .

3. Sea A = {(x, y) | |x| ≤ r; −√r2 − x2 ≤ y − R ≤

√r2 − x2} (r, R ∈ R+). Si rotamos

el conjunto A alrededor del eje X se forma un solido llamado “Toro”. DEmuestre que suvolumen es 2π2Rr2. (4pts.)

4. Sea R la region del plano limitado por: El eje X , la curva y = arctan(x), y la recta x = 1.Determine el volumen del solido que se genera cuando la region R gira alrededor del eje X .

(Sug.

π/4∫

0

t tan(t)dt = 0,19). (4pts.)

5. Una companıa minera encuentra oro en un cerro que es representado en la figura adjunta. Sesabe que la base del cerro es aproximadamente limitada por una elipse de semiejes 200 y 400metros y que cada seccion transversal perpendicular al eje mayor es una region limitada porun triangulo equilatero. Si la empresa estima que la cantidad de reserva de oro es el 0,002por ciento del volumen del cerro, establezca una integral definida que permita determinar lareserva total de oro que hay en el cerro. (4pts.)

15Quinta Practica Calificada

15.1. Problemas

1. Resuelva cada una de las siguientes situaciones con uan adecuada justificacion:

a) Determine si el punto P cuyas coordenadas polares son (0,π

2) pertenece o no a la curva

r = 1 + cos(θ). (1pto.)

b) Mencione dos diferencias entre los sistemas de coordenadas rectangulares y polares.Ilustre cada caso con un ejemplo. (2pts.)

c) Sean P y Q dos puntos cuyas coordenadas polares son (r1; θ1) respectivamente. De-muestre que la distancia D entre P y Q esta dada por (2pts.)

D =√

r21 + r22 − 2r1r2 cos(θ1 − θ2)

2. Sea D la region del primer cuadrante que es exterior a C1 : r = sin(θ) e interior a la curvaC2 : r = 1− sin(θ). Calcule el area de la region D (4pts.)

3. Sea C la curva cuya ecuacion en coordenadas polares es r =1√

2 + cos(θ)

a) Exprese la ecuacion de C en coordenadas rectangulares. (3pts.)

b) Trace la curva C. (1pto.)

4. Se desea hacer una mayolica cuadrada de 8cm de lado tal como se muestra en la figura.La mayolica tendra tres colores: La parte interior a al rosa de cuatro petalos de ecuacionr = 4 cos(2θ) es verde, la parte exterior de la region circular r = 4 es crema y el resto es decolor naranja. Determine: (4pts.)

a) ¿Cuantos centımetros cuadrados de color verde tendra la mayolica?.

b) ¿Cuantos centımetros cuadrados de color naranja tendra la mayolica?.

c) ¿Cuantos centımetros cuadrados de color crema tendra la mayolica?.

Figura 15.1: Grafico para el problema 4.

5. Halle el area de la region acotada por la grafica de al ecuacion (4pts.)

(x2 + y2)2 = 4(x2 − y2) .

30

16Sexta Practica Calificada

16.1. Problemas

1. Halle la longitud total de la curva:

r = a sen3 θ

30 ≤ θ ≤ 2π (a > 0) .

(4ptos.)

2. Halle el area S de la superficie que se forma al rotar alrededor del eje Y la grafica de lafuncion f : [0, 1] → R definida por f(x) = 3

√x para todo x ∈ [0, 1] (4pts.)

3. Un cable que pesa 0, 6kg/m esta conectado a un elevador de construccion que pesa 150kg.Encuentre el trabajo realizado para subir el elevador desde el piso hasta una altura de 50m3.(4pts.)

4. Sea D la region del plano limitada por la parabola y = −x2 + 5x − 4 y la recta y =x − 1. Calcule el volumen del solido que se genera cuando D gira alrededor de la rectaL : 3x− 4y − 22 = 0. (4pts.)

5. En una represa un recipiente tiene 20 metros de profundidad y sus extremos son de formatrapezoidal tal como se muestra en la figura adjunta. Si la superficie del agua se encuentra a4m del borde del recipiente, determine la fuerza total ejercida por el lıquido sobre un extremodel recipiente.

17Examen Final de Calculo Integral

17.1. 2009-I

1. Halle y′, siy = 4x + 4x

x

+ x4x ,

x > 0, x 6= 1.

2. Una especie de bacteria virulenta crece en un cultivo. Se observa que la tasa de crecimientode la poblacion bacteriana es proporcional al numero de individuos presentes. Si en lapoblacion inicial hay 1000 bacterias y el numero se duplica despues de los primeros 30minutos ¿Cuantas bacterias habra despues de 2 horas?

3. Calcule∫ ∞

1

1

x4√1 + x3

dx

4. Estudiar le convergencia de∫ b

a

dx

(x− a)p

5. Estudiar la convergencia o divergencia de

∫ ∞

1

e−x

√xdx .

6. Probar que ∀m,n > 0:

B(m,n) =

∫ ∞

0

xm−1

(x+ 1)m+ndx .

17.2. 2013-I

1. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido de 2m de redio en al base y 5mde altura.

a) Calcule el trabajo que se requiere para vaciar el tanque si se encuentra lleno de agua.(2pts.)

b) Establezca una integral definida que permita calcular el trabajo que se requiere paravaciar el tanque si este se encuentra a la mitad de su capacidad. (2pts.)

2. Determine la longitud de la curva C definida por. (4pts.)

C = {(x, y) ∈ R2 | y = 2√2(√x+ 1 +

√1− x) , −1 ≤ x ≤ 1}

3. Sea D la region limitada por la parabola y2 = 4x + 12 y la recta y = x − 1. Calcule elvolumen del solido que se genera cuando D gira alrededor de la recta y = x− 2. (4pts.)

4. Sea f : [0,∞[→ R una funcion continua. La transformada de Laplace de f es la funcion Fdefinida por

F (s) =

+∞∫

0

e−stf(t) dt , s > 0 .

Demuestre que para cada n ∈ N, la transformada de Laplace de f(t) = tn es

F (s) =n!

sn+1(4pts.)

5. Considere la ecuacion diferencial

(x2 + y2)dx+ (x2 − y2)dy = 0 (1)

a) Use el cambio de variable z = y/x para transformar (1) en una ecuacion diferencial devariable separable en x y z. (2pts.)

b) Resuelva la ecuacion diferencial en x y z obtenida en (a), y halle la solucion general de(1) (2pts.)

33

18Examen Sustitutorio

18.1. 2012-I

1. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique

a. Sea X ⊂ R no vacıo y Xf−→ R una funcion diferenciable con primitiva F . Entonces

todas las primitivas son de la forma F (x) + c, donde c es una constante real.

b. La funcion [0, 1]f−→ R definida como f(x) =

{

1 x 6= 04 x = 0

no es integrable porque no

es continua.

c. Si[

−π

2,π

2

]

f−→ R es definida como f(x) =

{

cos(x) x 6= 0−1 x = 0

, entonces por el Teorema

Fundamental del Calculo se tiene

∫ π

−π

f(x)dx = sen(π

2

)

− sen(

−π

2

)

d. Toda funcion diferenciable [a, b]f→ R es integrable.

2. Halle todas las funciones que satisfacen la igualdad

f ′(t) =1

2

[

f(t) +

∫ t

0

f(r)dr

]

3. Calcule el area de la superficie del solido que se genera al rotar la curva3√x2 + 3

√

y2 = 1alrededor de la recta x = −1.

4. Haga lo que se pide

a. Analice la convergencia de

∫ +∞

0

e−x2

√xdx

b. Indique los valores de r para los que la integral

∫ +∞

0

ex sen(x)x2−rdx converge.

5. Halle una solucion y = f(x) de la ecuacion diferencial y′′ =1− y′

xque cumplalas siguien-

tes caracterısticas

a. el punto P = (1, 0) ∈ Graf(f).

b. La recta tangente a Graf(f) en el punto P coincide con el eje X .

Bibliografıa

[1] N. Piskunov, Calculo diferencial e Integral TOMOS I y II, Editorial MIR, Moscu, 1977.

[2] P.E. Danko, A.G. Popov, T.Y.A. Kozhevnikova, Matematicas Superiores en Ejercicios y

Problemas TOMOS I y II, Editorial MIR, Moscu, 1980.

[3] V. Bolgov, B. Demidovich, V. Efimenko, A. Efimov, A. Karakulin, S. Kogan, G. Lunts,E. Porshneva, A. Pospelov, S. Frolov, R. Shostak, Y.A. Yampolski, Problemas de las Ma-

tematicas Superiores TOMOS I y II, Editorial MIR, Moscu, 1983.

[4] G. Baranenkov, B. Demidovich, V. Efiimenko, S. Kogan, G. Lunts, E. Proshneva, E. Sicho-va, S. Frolov, R. Shostak y A.Y. Yanpolski, Problemas y ejercicios de Analisis Matematico,Editorial MIR, Moscu, 1967.

[5] Ya.S. Bugrov, S.M. Nikolski, Matematicas Superiores, Calculo diferencial e Integral, Edi-torial MIR, Moscu, 1980.

[6] G.N. Berman, Problemas y Ejercicios de Analisis Matematico, Editorial MIR, Moscu, 1977.

[7] V.Ilın, E. Pozniak, Fundamentos del Analisis Matematico TOMOS I, II y III, EditorialMIR, Moscu, 1991.

[8] Tom M. Apostol, CALCULUS TOMOS I y II, Editorial Reverte S.A., Espana, (9na.reimpresion) 2001.

[9] E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Calculo, Pearson, Mexico, 2007.

[10] J. Marsden, A. Weinstein, CALCULUs TOMOS I, II y III, Springer, USA, 1985.

[11] W.A. Granville, P.F. Smith, W.R. Longley, Elements of the Differential and Integral Cal-

culus, GINN and COMPANY, USA, 1911.

[12] Stefan Banach, Calculo Diferencial e Integral, UTENA, Mexico, 1967.

Comentarios sobre la bibliografıa:

[12] Es una traduccion del ruso al espanol, es un libro con un estilo antiguo pero con las ideasy fundamentos bien claros, no es demas decir que S. Banach (1892-1945) es uno de los 20matematicos mas importantes e influyentes del siglo pasado, ademas se debe a el los Espaciosde Banach, que son muy importantes dentro del Analisis Funcional. Es por ello que ameritauna lectura.

dirigidas 2013-i

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