disciplina: sistemas fluidomecânicos · introdução • a revisão de mecânica dos fluidos...
TRANSCRIPT
Introdução
• A revisão de Mecânica dos Fluidos discorreu, entre outros tópicos, sobre como é realizado o balanceamento de massas e energia em escoamentos de fluidos, empregando as equações da continuidade e da energia.
• Entretanto, em muitas aplicações na engenharia, é necessário estimar as forças que agem em estruturas devido a fluidos que se movem em contato com elas.
• A equação que permite este tipo de estimativa é a Equação da Quantidade de Movimento.
Equação da Quantidade de Movimento
• Seja a Segunda Lei de Newton da Dinâmica:
�⃗ = �. �⃗ = �.��
��
• Esta equação deve ser mantida na forma vetorial, pois a velocidade pode variar em direção sem que seja alterado seu módulo.
• Considerando a massa constante (regime permanente):
�⃗ =�
����
• Por definição, o produto m.V é a quantidade de movimento do sistema.
• Desta forma, pode ser afirmado que a força resultante que age no sistema em estudo é igual a variação da quantidade de movimento do mesmo, com o tempo.
• Admitindo propriedades uniformes na seção, no intervalo de tempo dt, a massa de fluido que atravessa a seção (1) com
velocidade �� será dm1, provocando uma variação na
quantidade de movimento entre (1) e (2), de ���. ��
(1)
(1’)
(2) (2’)
dt
A1
A2
dm1
dm2
��
�� 1
2
−��
��
∆�
�⃗ = �̇. ∆�
∆� = �� − ��
• Similarmente, no mesmo intervalo de tempo dt, a massa de
fluido que atravessa a seção (2) com velocidade �� será dm2, provocando uma variação na quantidade de movimento entre
(1) e (2), de ���. ��
(1)
(1’)
(2) (2’)
dt
A1
A2
dm1
dm2
��
�� 1
2
−��
��
∆�
�⃗ = �̇. ∆�
∆� = �� − ��
• Logicamente, para o intervalo de tempo dt, a variação total da quantidade de movimento entre (1) e (2), é estimada por
���. �� − ���. ��
(1)
(1’)
(2) (2’)
dt
A1
A2
dm1
dm2
��
�� 1
2
−��
��
∆�
�⃗ = �̇. ∆�
∆� = �� − ��
“Variação” não é a soma dos vetores, e sim a diferença!
• Deste modo, a força resultante desta variação na quantidade de movimento é expressa por
�⃗ =���. ����
−���. ����
(1)
(1’)
(2) (2’)
dt
A1
A2
dm1
dm2
��
�� 1
2
−��
��
∆�
�⃗ = �̇. ∆�
∆� = �� − ��
�̇� =���
���̇� =
���
��Então
�⃗ = �̇�. �� − �̇�. ��
(1)
(1’)
(2) (2’)
dt
A1
A2
dm1
dm2
��
�� 1
2
−��
��
∆�
�⃗ = �̇. ∆�
∆� = �� − ��
Mas neste estudo, o regime de escoamento é permanente, ou seja, �̇� = �̇� = �̇
Deste modo,
�⃗ = �̇�. �� − �̇�. �� = �̇. �� − ��
ou
�⃗ = �̇. ∆�
(1)
(1’)
(2) (2’)
dt
A1
A2
dm1
dm2
��
�� 1
2
−��
��
∆�
�⃗ = �̇. ∆�
∆� = �� − ��
A força resultante
tem a direção de ∆�
O ponto de aplicação da resultante é a intersecção das
direções de �� e ��.
Força que o fluido exerce sobre a tubulação
• O fluido entre (1) e (2) está sujeito a forças de contato normais (de pressão), tangenciais (tensões de cisalhamento) e à força de campo causada pelo campo gravitacional (força peso):
�⃗ = �′� + −��. ��. �� + −��. ��. �� + �⃗
Forças de pressão
Força pesoForças tangenciais
Forças externas ao VC (somente fluido) que são exercidas sobre o mesmo.
Convenção das normais: Os vetores são normais (perpendiculares) à superfície do volume de controle (VC), positivos ao “sair” do volume de controle, e negativos ao “entrar” no VC.
• O fluido a jusante e montante da seção entre (1) e (2) exerce pressões contra o tubo de corrente na seção. As forças são, em módulo, p1A1 e p2A2. Como são forças aplicadas contra o volume de controle estas recebem sinal negativo pela convenção das normais.
• Vetor força de pressão (jusante): −��. ��. ��• Vetor força de pressão (montante): −��. ��. ��
montante
jusante
Convenção das normais: Os vetores são normais (perpendiculares) à superfície do volume de controle (VC), positivos ao “sair” do volume de controle, e negativos ao “entrar” no VC.
• Na lateral, o tubo de corrente sofre pressões e tensões de cisalhamento no contato com o meio. Seja uma parcela da superfície de contato lateral, um elemento denominado aqui de dAlat. A resultante das forças de pressão e de cisalhamento neste elemento podem ser expressas como
��′� = −����. �����. ���� + �⃗. �����
montante
jusante
��′� = −����. �����. ���� + �⃗. �����• Integrando, é obtida a força resultante na superfície lateral
que envolve o tubo de corrente:
�′� = �−����. �����. ���� + � �⃗. �����
montante
jusante
• A força resultante �⃗ que age sobre o tubo de corrente pode então ser expressa da seguinte forma:
�⃗ = �′� + −��. ��. �� + −��. ��. �� + �⃗
(2)
A2
(1)
��
−��. ��. ��
��
−��. ��. ��
�⃗A1
�′�
• Entretanto, sabe-se que as forças que agem sobre o tubo de corrente (VC) tem de ser iguais às forças que o tubo de corrente exerce sobre o meio, portanto:
�⃗ = �′� + −��. ��. �� + −��. ��. �� + �⃗ = �̇. ∆�
(2)
A2
(1)
��
−��. ��. ��
��
−��. ��. ��
�⃗A1
�′�
A força �′� representa a força resultante da superfície sólida sobre o fluido.
Meio contra o VC
VC contra o meio
�′� + −��. ��. �� + −��. ��. �� + �⃗ = �̇. ∆�
�′� = ��. ��. �� + ��. ��. �� − �⃗ + �̇. ∆�
ou
�′� = ��. ��. �� + ��. ��. �� − �⃗ + �̇. �� − ��
(2)
A2
(1)
��
−��. ��. ��
��
−��. ��. ��
�⃗A1
�′�
A força �′� representa a força resultante da superfície sólida sobre o fluido.
• Assim, pelo princípio da ação e reação, a força �⃗� que o fluido
exerce na superfície sólida será �⃗� = −�′� :
�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� + �⃗ − �̇. �� − ��
(2)
A2
(1)
��
−��. ��. ��
��
−��. ��. ��
�⃗A1
�′�
Para simplificar a resolução de problemas, normalmente o peso do fluido é desprezado por representar uma fração ínfima das forças envolvidas, mas nem sempre isto é possível.
Aplicação 1 Conduto com Redução Gradual da Seção
• Para o trecho (1)-(2) tem-se
�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� + �⃗ − �̇. �� − ��
Projetando na direção do eixo x :
�⃗�� = − ��. ��. −1 − ��. ��. +1 − �̇. �� − ��
�� ��
�� ��
����
(1)(2)
O peso será desprezado!
x
y
�⃗�� = − ��. ��. −1 − ��. ��. +1 − �̇. �� − ��
• Empregando vazão volumétrica no lugar de vazão mássica:
�⃗�� = − ��. ��. −1 − ��. ��. +1 − �. �̇. �� − ��
�⃗�� = ��. �� − ��. �� − �. �̇. �� − ��
�� ��
�� ��
����
(1)(2)
O peso será desprezado!
x
y
Exemplo 1• Seja um fluxo através do redutor abaixo representado, em um
sistema de bombeamento de gasolina. Determine a força horizontal necessária para fixa-lo. Considere o peso do redutor como 25 kgf, e o seu volume interno, 0,2 m3.
�� ��
�� ��
����
(1)(2)
O peso do fluido e do redutor são desprezados neste exemplo.
x
y
Exercício 4.67 Fox McDonald 5ª ed. ou 4.92 na 8ª ed.
D1 = 0,4 mV1 = 3 m/sp1 = 58,7 kPa (manom.)
D2 = 0,2 mV2 = 12 m/sp2 = 109 kPa (absol.)
gas 0,75 g/ml g = 9,81 m/s2
�⃗�� = ��. �� − ��. �� − �. �̇. �� − ��
�̇ = ��. �� = ��. ��
�̇ = ��.�.��
�
�= 3 ×
��,��
�= 0,37699m3/s
�� ��
�� ��
����
(1)(2)
x
y
= 1 = 2
gas 0,75 g/ml = 750 kg/m3
A pressão atmosférica atua externamente, por isto utiliza-se a pressão manométrica nos cálculos.
�̇ = 0,37699 m3/s
� ≈ 750 kg/m3
�� = 58700 Pa
�� = 109000 − 101325 = 7675 Pa
�⃗�� = 58700 ×� × 0,4�
4 − 7678 ×
� × 0,2�
4− 750 × 0,377 × 12 − 3
�⃗�� = 4590,57� ≈ 4,59��
�� ��
�� ��
����
(1)(2)
x
y
A força Fsx é a força resultante do escoamento sobre o redutor. A força para fixar o redutor deve ter o mesmo módulo, mas aplicada em sentido contrário, no eixo x.
�� = −4,59��
��
� ≈ 750 kg/m3
� = 9,81m/s2
���� = 25 kg
∀���= 0,2m3
�⃗�� = −� × ∀ × � −���� × � = −750 × 0,2 × 9,81 − 25 × 9,81
�⃗�� = −1716,75� ≈ −1,72��
�� ��
�� ��
����
(1)(2)
x
y
�� = +1, 72��
��
A força Fsy é a força resultante do peso do redutor e do fluido sobre a estrutura de suporte. A força vertical para fixar o redutor portanto deve ter o mesmo módulo, mas aplicada em sentido contrário, no eixo y.
Aplicação 2 Redução da Seção e Mudança de Direção
• Da aplicação anterior, sabemos que
�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� + �⃗ − �̇. �� − ��
• Projetando no eixo x :
�⃗�� = − ��. ��. −1 − ��. ��. ���� − �̇. ��. ���� − ��
�⃗�� = ��. �� − ��. ��. ���� + �̇. �� − ��. ����
���
• Projetando no eixo y :
�⃗�� = − ��. ��. ���90° − ��. ��. ���� + �⃗ − �̇. ��. ���� − ��. ���90°
�⃗�� = −��. ��. ���� − �̇. ��. ���� + �⃗
���
�⃗�� = ��. �� − ��. ��. ���� + �̇. �� − ��. ����
�⃗�� = −��. ��. ���� − �̇. ��. ���� + �⃗
• Deste modo, a força resultante pode ser estimada como sendo:
�⃗� = �⃗��� + �⃗��
�
��
Exemplo 2
• Seja o redutor em curva mostrado abaixo. Estime os componentes nos eixos x e y da força necessária para manter imóvel o redutor. Fluido: água.
Massa do redutor, M = 10 kg
Volume interno, = 0,006 m3
Exercício 4.69 Fox McDonald 5ª ed. ou 4.89 na 8ª ed.
x
y
�⃗�� = ��. �� − ��. ��. ���� + �̇. �� − ��. ����
�⃗�� = ��. ��. ���� − �̇. ��. ���� + �⃗
�⃗� = �⃗��� + �⃗��
�
Volume interno,
x
y��
�� ��
��
��
��
�̇
Massa do redutor, M = 10 kg
Volume interno, = 0,006 m3
�⃗�� = ��. �� − ��. ��. ���� + �̇. �� − ��. ����
x
y
�̇ = �. �̇ = 998 × 0,11 = 109,78��/�
�� =�̇
��=
0,11
0,0182= 6,044�/� �� =
�̇
��=
0,11
0,0081= 13,58�/�
�� = 200000 − 101325 = 98675���� = 120000 − 101325 = 18675��
Massa do redutor, M = 10 kg
Volume interno, = 0,006 m3
�⃗�� =
98675 × 0,0182 − 18675 × 0,0081. ��� 30°
+109,78 × 6,044 − 13,58 × ��� 30°
�⃗�� = 1795,085 − 131,001 − 627,571 = 1036,513� ≈ 1,04��
�� = −�⃗�� = −1036,513� ≈ −1,04��
x
y
�̇ = 109,78��/�
�� = 6,044�/�
�� = 13,58�/��� = 98675��(���)
�� = 18675��(���)
Massa do redutor, M = 10 kg
Volume interno, = 0,006 m3
�⃗�� = −��. ��. ���� − �̇. ��. ���� + �⃗
�⃗�� = −18675 × 0,0081 × ��� −30° − 109,78 × 13,58 × ��� −30° + �⃗
�⃗�� = +821,040� + �⃗
x
y
�̇ = 109,78��/�
�� = 6,044�/�
�� = 13,58�/��� = 98675��(���)
�� = 18675��(���)
Massa do redutor, M = 10 kg
Volume interno, = 0,006 m3
�⃗ = −�.���� − �. �. ∀���
�⃗�� = 821,040 − 9,81 × 10 − 9,81 × 998 × 0,006 = +664,198�
�� = −�⃗�� = −664,198�
�� = ��� + ��
� = 1231,064� ≈ 1,23��
x
y
�̇ = 109,78��/�
�� = 6,044�/�
�� = 13,58�/��� = 98675��(���)
�� = 18675��(���)
Aplicação 3 Desvio de Jato Fixo
• A figura representa um desviador de jato, um caso que tem aplicação no estudo de pás de turbina, por exemplo.
• O fluido lançado contra o desviador sofre uma deflexão provocada por este.
• Observa-se que parte da força Fs é produzida no contato do fluido com o ar, mas isto normalmente é desprezado.
�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� + �⃗ − �̇. �� − ��
• Como o jato em (1) a (2) é livre à pressão atmosférica, então p1 e p2 são nulos:
�⃗� = �⃗ − �̇ �� − ��
�⃗� = �⃗ − �̇ �� − ��
• Projetando segundo o eixo x :
�⃗�� = −�̇ ��. ���� − �� = �̇ �� − ��. ����
• Projetando segundo o eixo y :
�⃗�� = �⃗ − �̇ ��. ���� − 0 = �⃗ − �̇. ��. ����
• Para simplificar, normalmente o atrito do fluido contra a superfície é desprezado, de modo que V1 = V2 = Vj (velocidade do jato). Deste modo:
�⃗�� = �̇ �� − ��. ���� = �̇. �� 1 − ����
�⃗�� = �⃗ − �̇. ��. ���� = �⃗ − �̇. ��. ����
Aplicação 4 Jato em Placa Plana
• Considerando que o jato se espalha uniformemente em todas as direções ao atingir a placa, a velocidade V2 não terá componente no eixo x.
• Além disso, como o escoamento ocorre em pressão atmosférica, p1 = p2 = 0.
�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� + �⃗ − �̇. �� − ��
• Projetando segundo o eixo x :
�⃗�� = −�̇. ��
�� ��
��
��
(1)
(2)
Forças em Superfícies Sólidas em Movimento
• Em muitas situações, deseja-se determinar a forças envolvidas em escoamentos contra superfícies móveis.
• Com o objetivo de simplificar o equacionamento, serão vistas aqui somente superfícies que se movimentam a velocidade constante, pois caso contrário seria necessário considerar as forças de inércia devido às acelerações.
�� = �� + ��
• A vazão mássica lançada pelo bocal é �̇ = �. ��. ��, mas a
superfície sólida, em movimento, não recebe exatamente esta vazão, e sim
�̇�� = �. �� − �� . �� = �. ��. ��
��
�� = ��
Desprezando atrito do fluido com a superfície do desviador:
Vazão mássica aparente
�̇�� = �. �� − �� . �� = �. ��. ��
• Assim, para o caso de movimento relativo,
�⃗� = �̇��. �� − ��
• Na forma geral:
�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� − �̇��. �� − ��
��Atenção
�� = ��
�� ≠ ��
Exemplo 3
• Um desviador de jato se move a uma velocidade de 9 m/s. Um bocal de 5 cm de diâmetro lança um jato de óleo com uma velocidade de 15 m/s, tal que o mesmo incide sobre o desviador. O ângulo de saída é de 60 e o peso específico do óleo é de 8.000 N/m3. Calcular a força do jato sobre o desviador.
Exemplo resolvido Brunetti 1ª ed. pag. 128
Resposta: 56,5 N
Exemplo 4
• Um bocal, de área de 0,05 m2, lança um jato de água com velocidade de 15 m/s sobre um desviador de jato estacionário. O ângulo de saída é de 50. Determine a massa M necessária para manter estacionário o desviador de jato.
Resposta: M = 409 kg
Exercício 4.49 Fox McDonald 5ª ed. ou 4.66 na 8ª ed.
Exemplo 5
• Determinar a potência transmitida por um jato de água a uma turbina de ação tipo Pelton. Determinar também o rendimento da transmissão de potência.
Exemplo resolvido Brunetti 1ª ed. pag. 129
• Tratando-se de uma única pá, a solução seria
�⃗�2=�̇��
2. �� − �� ⇒ �⃗� = �̇��. �� − ��
• Projetando no eixo x:
��� = �̇��. �� − ��. cos �
��
2
��
x
y ��
��
�� = ��
��� = �̇��. �� − ��. cos �
• Supondo V1 = V2 = V = Vj – Vs, onde Vs = .R, tem-se
��� = �̇��. ��. 1 − cos � = �̇��. �� − �� . 1 − cos �
��
2
��
x
y ��
��
�� = ��
• No caso da turbina, existe um grande número de pás operando em uma velocidade angular relativamente alta.
• Deste modo, pode-se admitir sem perda significativa de precisão, que sempre é encontrada uma pá na posição acima representada, durante todo o tempo de operação.
��
2
��
x
y ��
��
�� = ��
• Se sempre é encontrada uma pá na posição acima representada, durante todo o tempo de operação, então pode ser admitido que toda a vazão do jato é aproveitada para a transmissão de potência.
• Em outras palavras, neste caso pode-se usar a vazão real ao invés da vazão aparente.
��
2
��
x
y ��
��
�� = ��
• Assim:
��� = �̇��. �� − �� . 1 − cos �
��� = �̇. �� − �� . 1 − cos �
��� = �. ��. ��. �� − �� . 1 − cos �
��
2
��
x
y ��
��
�� = ��
Considerando�̇�� ≈ �̇
• Potência N é definida como � = ���. �� , de modo que
� = �. ��. ��. �� − �� . 1 − cos � . ��
• O rendimento da turbina é obtida através da comparação entre a potência da turbina com a potência do jato. Como a potência do jato é
�� =�. ��. ��
�
2• então
� =�
��=�. ��. ��. �� − �� . 1 − cos � . ��
�. ��. ���
2
� =2. �� − �� . 1 − cos � . ��
���
• O rendimento máximo em função da velocidade Vs (na verdade, em função da velocidade angular da turbina) pode ser estimado derivando-se em função de Vs e igualando a zero:
��
���= 0
• Rendimento:
� =2. �� − �� . 1 − cos � . ��
���
• Sendo
� =2. 1 − cos �
��� �� = ��
�
���. �. � = �. ��
�
��−�. �� = −2. �. �
�
���. �. � − �. �. �� = �. � − 2. �. �
• Sendo
� =2. 1 − cos �
��� �� = ��
• Então
��
���=2. 1 − ���� . ��
��� −
4. 1 − ���� . ��
���
• Igualando a zero:
2. 1 − ���� . ��
��� −
4. 1 − ���� . ��
��� = 0
• Simplificando:
2. 1 − ���� . �� − 4. 1 − ���� . �� = 0
�� − 2. �� = 0
• Finalmente:
�� =��
2
• Substituindo na equação do rendimento:
���� =2. �� −
��2 . 1 − cos � .
��2
���
���� =2. 1 −
12. 1 − cos � .
12
1=
1 − cos �
2
• Desta forma, vemos que o ângulo de saída ideal seria de 180(cos180 = 1, e então o rendimento alcançaria o valor de 0,5, o maior possível segundo a equação de rendimento máximo).
• Entretanto, isto não é possível, pois o jato retornaria sobre si mesmo, incidindo sobre a pá seguinte. Na prática, o ângulo adotado é um pouco menor que 180.
Exemplo 6
• Determinar a força de propulsão de um foguete, supondo a pressão de saída dos gases igual à do ambiente.
Exemplo resolvido Brunetti 1ª ed. pag. 132
Vs
x
As Ps
�⃗� = − ��. ��. �� − ��. ��. �� + �⃗ − �̇. �� − ��
• A pressão de saída dos gases (p2), sendo igual à do ambiente,é considerada como nula.
• Não há pressão ou velocidade de entrada (p1 e V1) , portanto
�⃗� = +�⃗ − �̇. ��ou
�� = � − �. ��. ���
Bibliografia
Franco Brunetti
Mecânica dos Fluidos; 1ª ed., Editora Pearson, Prentice Hall, 2005.
ISBN 85.87918-99-0