이산수학Discrete Mathematics

인천대학교 컴퓨터공학과

공학시인 이숙 이철호 교수

이산수학기본구조

모바일컴퓨팅연구실07‐401호

개인메일 : Jullio@chol.com인천대메일:zullio@inu.ac.kr빠른연락 : 010‐3957‐6683

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배우고때때로익히면, 또한기쁘지아니한가

배우고 익힘의시간을통해서삶이기쁨으로이르는것이아니겠는가?

오늘의 강의 목표

• 논리와 증명에 대하여• 명제 논리

• 명제의 동치

• 한정 기호

• 추론 규칙

• 증명

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지난 주에 …

1 3 3 5 45 6 8 7 ?4 3 5 2 1

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‘?’에들어가는적당한숫자는무엇일까?

지난 주에 …

1 3 3 5 45 6 8 7 ?4 3 5 2 1

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‘?’에들어가는적당한숫자는무엇일까?

ABC

A + C = B1 + 4 = 5, 3 + 3 = 6, 3 + 8 = 5, 5 + 2 = 74 + 1 = ? = => 5

명제 논리(Propositional logic)• 명제 : 참 또는 거짓 중 하나의 값을 가진 선언적 문장

• 명제 변수 : p, q, r, s …

• 명제 진리 값 : T(True), F(False)

• 복합 명제 : 하나 또는 여러 개의 조합 명제

• 진리표(Truth Table), 진리값(Truth Value)

• 논리 연산자(Logical Operators)• 부정(Negation Operator) : NOT, , ∼• 논리곱(Conjunction) : AND, ∧• 논리합(Disjunction) : OR , ∨• 조건문(Conditional Statement) : • 상호 조건문(Biconditional Statement) : • 배타적 논리합(Exclusive Or) : XOR, ⊕

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Inclusive OR포괄적 논리합

논리 연산자

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1 순위

2 순위

3 순위

3 순위

4 순위

5 순위

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명제 논리(Propositional Logic)

부정(Negation) 

논리곱(Conjunction) 

논리합(Disjunction)

배타적논리합(Exclusive OR) 

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명제 논리(Propositional logic)조건문(Conditional Statement) 상호조건문(Biconditional Statement) 

조건문 : 함축(Implement)p q는 조건 p가 설립할 때, q가 참p => 가정, 전제, 전항q => 결론, 결과

상호 조건문 : 상호 함축 명제p q 는 p, q가 동일한 진리값일 때만 참=> if and only if=> p if and only if q => 배타적 논리합의 역수

p q를 ‘p이면 q이다’

p는 q의

충분조건이다.

q는 p의

필요조건이다.

p는 q의

필요충분조건

명제 논리(Propositional logic)

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역, 이, 대우간의관계진리표

동치(equivalent)

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명제 논리(Propositional logic)

논리연산자의우선순위

비트연산자 OR, AND, XOR의진리표

논리 게이트(Logic Gates)

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NAND Gate NOR Gate

논리 회로

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Half Adder

Full Adder

항진 명제, 모순, 불확정 명제

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항진명제(Tautology) : 복합명제의값이항상참일때

모순(Contradiction) : 복합명제의값이항상거짓일때

불확정명제(Contingency) : 항진명제도모순도아닌복합명제경우에따라참또는거짓을가질경우

동치 관계

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논리적동치식(Page 33)

동치 관계

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한정 기호

• 술어 논리(Predicate Logic)• 변수 값에 따라 그 명제가 참이 되거나 거짓이 되는 논리

• 명제 함수(Propositional Function)• 변수에 대하여 명제가 되고 진리값이 판정되는 명제를 갖는 함수

• 전조건(Preconditions)• 올바른 입력을 기술하는 문장

• 후조건(Postconditions)• 프로그램이 수행되었을 때 출력이 만족해야 할 조건

• 한정기호(Quantifier)• 술어가 원소들의 어떤 영역에서 참이 되는 범위• all, some, many, none, few

• 전칭 한정기호(Universal Quantifier)• for all, for every, for each, all of, given any• 특정 영역에 속하는 모든 값에 대하여 참일 때

• 존재 기호(Existential Quantifier)• For some, there exists, there is• 적어도 하나의 값에 대하여 명제 함수에 대하여 참일 때

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전칭 한정 기호Universal Quantifier• 정의역에 속하는 x의 모든 값에 대하여 P(x)이다.

• for all x P(x), 또는 for every x P(x)로 읽음.

• 모든 x에 대하여 P(x)는 참

• P(x)가 거짓이 되는 x가 있다.

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존재 기호Existential Quantifier• 정의역에 속하는 적어도 하나의 값 x에 대하여P(x)이다.

• for some x P(x)로 읽음

• P(x)가 참이 되는 x가 있다.

• 모든 x에 대하여 P(x)가 거짓이다.

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한정 기호

• 구속 변수(Binding Variable)

• 한정 기호가 적용된 변수 x

• 자유 변수(Free Variable)

• 한정기호가 적용되지 않거나, 값이 할당 되지않은 변수

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2변수의 한정화

표현 참 거짓

모든 x, y의쌍에대하여P(x, y)가참

P(x, y)가거짓이되는 x, y의쌍이있다.

모든 x에대하여 P(x, y)가참이되는 y가있다.

어떤 x가있어서모든 y에대하여 P(x, y)가거짓

어떤 x가있어서모든 y에대하여 P(x, y)가참

모든 x에대하여 P(x, y)가거짓이되는 y가있다.

P(x, y)가참이되는X, y의쌍이있다.

모든 x, y의쌍에대하여P(x, y)가거짓

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추론

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전제 (premise) : (명제들의 순열) 주어진 명제들 p1, p2, ..., pn

결론 (conclusion) : (최종 명제) 새로이 유도된 명제 q(p1, p2, ..., pn ) -> q

오류 : 부당한논증

추론

• 수학적 증명• 수학적 진술의 참을 입증하는 정당한 논증

• 논증• 하나의 결론으로 끝나는 진술들의 순서적 배열(순열)

• 정당하다는 것• 결론, 즉 논증의 최종 진술이 전제(논증의 앞에 오는

진술들)들의 참값으로부터 유도될 수 있는 것• 논증이 정당하다는 것의 필요, 충분 조건은 그 논증의

모든 전제가 참이면서 동시에 그 결론이 것짓일 수 없다는 것

• 논증의 형식 정당

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추론 규칙

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긍정논법

부정논법

가설적삼단논법

논리합삼단논법

가산논법

단순화논법

논리곱논법

용해법

논증 : 명제의순열

전제 : 그논증의최종명제를제외한명제

결론 : 최종명제

추론의 규칙들

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• 삼단 논법: p q, q r ∴ p r• 삼단 논법(Hypothetical syllogism)• 예) p q : 소크라테스는 사람이다

q r : 사람은 죽는다.∴ p r : 그러므로 소크라테스는 죽는다.

• 긍정 논법: p q, p ∴ q• 긍정 논법(Modus ponens , Method of Affirming )• 예) p q : 비가오면 땅이 젖는다

p : 비가 왔다∴q : 그러므로 땅이 젖었을 것이다

• 부정 논법: p q, q ∴ p• 부정 논법(Modus tollens, Method of Denying )• 예) p q : 비가오면 땅이 젖는다

q: 땅이 젖지 않았다.∴ p: 그러므로 비가 오지 않았을 것이다.

Inverse Error (이 오류)예) p q : 비가오면땅이젖는다

p : 비가오지않았다∴q : 그러므로땅이젖지않았을것이다

(물을뿌려서땅이젖은경우가있다)

Converse Error (역 오류) 예) p q : 비가오면땅이젖는다

q: 땅이젖었다∴p : 그러므로비가왔을것이다

(물을뿌려서땅이젖은경우가있다)

한정 기호를 사용한 명제 추론 규칙

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전칭일반화

존재예시화

존재일반화

전칭예시화

임의의 c에대하여 P(c)

어떤원소 c에대하여 P(c)

어떤원소 c에대하여 P(c)

증명

• 직접 증명 :• p가 참이라는 가정으로부터 q가 참이 된다는 결론을 직

접 유도

• 반증법 : • p->q가 거짓인을 보이는 증명

• 대우 증명법 : • ~q라고 가정하면 ~p에 도달함을 보이는 방법

• 모순 증명법 : • 가설이 참이고, 결론이 거짓이라고 하면, 모순이 됨을 보

이는 방법

• 수학적 귀납법 : • 기본 단계, 귀납 단계를 거처 귀납적으로 증명하는 방법

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연역 추론(演繹 推論,deductive reasoning)

• 일반적인 원리를 근거로 구체적 개별적 문제에대한 결론을 추론하는 방법

• 전제가 참이면 결론도 반듯이 참임을 추론하는논증

• 새로운 지식이 아니며, 결론이 대 전제의 일부임

• 대전제 : 모든 동물은 죽는다

• 소전제 : 사람은 동물이다

• 결론 : 그러므로 사람도 죽는다.

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귀납법(歸納法, induction)• 여러 가지 구체적 개별적 사실을 관찰을 통하여공통적으로 나타나는 현상을 일반적인 원리로추론하는 방법

• 전제가 참이면 결론도 참일 가능성이 있음을 논증

• 전제가 참이어도 결론이 거짓일 수 있음

• 수학적 귀납법의 예 참고

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변증법(辨證法)

• 전제된 하나의 명제가 모순인 것을 증명하여 전제를 제거하는 추론 방법

• 철학적인 자기 주장을 펼쳐가는 과정

• 정 반 합(正, 反, 合)을 통하여 논증하는 토론의 방법

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공리, 정리, 법칙, 정의

공리(axiom)• 증명 과정 없이 참이라고 간주하는 명제• 증명 불가능한 자명한 명제)

공준(postulate)• 누구도 의심 없이 받아드릴 수 있는 학문적 원리

정리(theorem)• 참이라고 증명된 명제

보조정리(lemma)• 다른 정리를 증명하는 데 유용하게 사용되는 정리

법칙(principle) • 관찰된 현상으로 주어진 전체에서 모든 구체적인 현상에 항상

참이라고 증명된 수학적 추론

정의(definition)• 기존의 개념을 이용하여 만들어진 새로운 개념

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직접 증명법

• 홀수의 곱은 홀수임을 직접 증명법으로 증명하라

• 홀수 : 짝수보다 1 많거나 적은 수• 짝수 : 2의 배수

• A = 2k +1 (k ∈ Z) • B = 2 l + 1 (l ∈ Z)• AxB = (2k+1)(2l +1)

= 4kl+2k + 2l+1= 2(2kl+k + l)+1

= 2 m +1∴ 홀수의 곱은 홀수이다

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수학적 귀납법

• Ex)연속한 세 자연 수의 곱은 6의 배수이다.

• P(k) = k (k+1) (k+2) (단 k ∈ N) 6의 배수

• 증명

1) 기본단계 - p(i)가 참

2) 귀납 단계 – p(k+1)가 참

1) P(1) 1 x 2 x 3 = 6

2) P(2) 2 x 3 x 4 = 24

3) P(3) 3 x 4 x 5 = 60

• p(k) = k (k+1) (k+2)가 6의 배수라면

• P(k+1) = (k+1) (k+2) (k+3)

• K (k+1) (k+2) + 3(k+1) (k+2)

6의 배수 6의 배수

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∴ 6의배수 + 6의배수는 6의배수이다.

∴연속하는세자연수의곱은 6의배수이다.

‐‐증명끝 ‐‐

증명 방법과 전략

• 전수 증명

• 경우에 의한 증명

• 존재 증명 : => for some x P(x)

• 유일성 증명• 존재성 : x가 쥬어진 특성을 가지고 있지 않음을 보

임

• 유일성 : 만약 y ≠ x이면 y는 주어진 특성을 가지지 않음을 보임

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전향 추론(forward reasoning)• 공리들과 알려진 정리들을 가정과 함께 사용하여 중간 단계를 이용 증명하는 추론 방법

• 비교적 간단한 증명에 사용

• 직접 증명 방식

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후향 추론(backward reasoning)• 공리들과 알려진 정리들을 가정하여, 결론으로부터 중간 단계를 이용하여 증명하는 추론 방법

• 인공 지능에서 전향 후향 추론 방법 복합화하여들을 사용

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쉬어가는 시간

• 무거운 공 찾기???

크기가 같은 공이 8개가 있다. 7개는 무개가 같고, 8개 중 하나는 조금 더 무겁다.

천칭(Balance)를 사용하여 무거운 공 하나를찾는 방법은 ?

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쉬어가는 시간• 무거운 공 찾기???

크기가 같은 공이 8개가 있다. 7개는 무개가 같고, 8개 중 하나는 조금 더 무겁다.

천칭저울(Balance)을 사용하여 무거운 공하나를 찾는 방법은 ?

이것을 2번 만에 찾는 방법은???

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다음주 3월 14일 수업 내용은

2장 이산수학의 기본 구조- 집합, 함수, 수열, 행렬

이름,학번,답이라고생각하는이유