DISEÑO DE ANTENAS

EDUARDO AVENDAÑO FERNÁNDEZ

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

FACULTAD SECCIONAL SOGAMOSO 2011

DISEÑO DE ANTENAS

EDUARDO AVENDAÑO FERNÁNDEZ

Trabajo presentado como requisito para Acenso en el Escalafón Docente de la UPTC

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

FACULTAD SECCIONAL SOGAMOSO 2011

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TABLA DE CONTENIDO 1. Principios de Radiación y Parámetros Fundamentales de Antenas 11.1 Definición de Antena 11.2 Mecanismo de Radiación 21.3 Fuentes de Radiación 31.3.1 Alambre único 31.3.2 Dos Alambres 51.3.3 Desprendimiento de la Onda Electromagnética 61.4 Distribución de corriente en una antena de alambre delgado 61.5 Vector de Poynting 81.6 Parámetros Fundamentales de Antenas 101.6.1 Regiones de Campo 101.6.2 Intensidad de Radiación 111.6.3 Directividad 121.6.4 Patrón de Radiación 121.6.5 Ancho de Haz 141.6.6 Patrones direccionales 151.6.7 Patrones Omnidireccionales 161.6.8 Eficiencia de Antena 161.6.9 Ganancia 171.6.10 Área Efectiva 191.7 Ecuación de Transmisión de Friss 201.8 Ecuación de Rango de Radar 241.9 Antenas para Microondas 251.10 Polarización de Antenas 281.10.1 Factor de pérdidas de polarización 361.11 Temperatura de antena 371.12 Impedancia de Entrada de Antenas 391.13 Eficiencia de Radiación de la Antena 411.14 Vector de longitud efectiva de antena y áreas equivalentes 421.14.1 Vector de longitud efectiva 421.14.2 Áreas equivalentes de Antenas 442. Antenas Lineales 472.1 Introducción 472.2 Regiones de Separación 472.2.1 Región de campo lejano 472.2.2 Región de campo cercano radiante (Fresnel) 482.2.3 Región de campo reactivo 492.3 Dipolo Infinitesimal 492.3.1 Densidad de Potencia y Resistencia de Radiación 512.3.2 Directividad 542.4 Dipolo Pequeño 542.5 Dipolo de longitud finita 552.5.1 Campos radiados: Factor de Elemento, Factor de Espacio y Patrón de Multiplicación

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2.5.2 Potencia Radiada, Resistencia de Radiación, Directividad y resistencia de Entrada

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2.5.3 Directividad 572.5.4 Resistencia de Entrada 582.6 Dipolo de Media Longitud de Onda (/2) 592.7 Elementos lineales cercanos ó sobre conductores perfectos infinitos 602.7.1 Teoría de Imágenes 602.8 Dipolo Eléctrico Vertical 612.9 Fórmulas aproximadas para cálculos y diseños rápidos 662.10 Dipolos Doblados 673. Arreglos Lineales 733.1 Introducción 733.2 Arreglo de dos Elementos 733.3 Arreglo Lineal de N Elementos: Espacio y Amplitud Uniforme 803.4 Arreglo de lado amplio (Broadside) 853.5 Arreglo Ordinario Extremo de Fuego 863.6 Arreglo por fases (Escaneo) 903.7 Arreglo Extremo de Fuego Hansen-Woodyard 923.8 Arreglo Lineal de N elementos: Directividad 954. Acoples para Antenas 984.1 Generalidades 984.2 Acople con Stub 984.3 Transformador de longitud cuarto de onda 984.3.1 Secciones múltiples 994.3.2 Diseño Binomial 1004.4 Acople T 1034.4.1 Procedimiento de diseño 1034.5 Acople Gamma 1064.5.1 Circuito equivalente 1064.5.2 Procedimiento de diseño 1074.6 Acople Omega 1094.7 Báluns y Transformadores 1115. Antenas Lazo (Loops) 1145.1 Introducción 1145.2 Lazo Circular Pequeño 1145.2.1 Campos Radiados 1145.2.2 Densidad de Potencia y Resistencia de Radiación 1165.2.3 Intensidad de Radiación y directividad 1185.2.4 Circuito equivalente 1205.2.4.1 Modo Transmisor 1205.2.4.2 Modo Receptor 1215.3 Lazo Circular de Corriente Constante 1225.4 Lazo Circular con Corriente No Uniforme 1245.5 Procedimiento de Diseño 1265.6 Antenas Lazo Poligonales 1285.6.1 Lazo cuadrado 1285.6.2 Lazo Triangular, Rectangular y Rómbico 1285.7 Lazo de Ferrita 1295.7.1 Resistencia de Radiación 1296. Antenas Helicoidales 1336.1 Generalidades 133

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6.2 Modo Normal 1346.3 Modo Axial 1376.4 Procedimiento de diseño 1376.5 Diseño del alimentador 1417. Antenas Logarítmica Periódica de Dipolos (ALPD) 1427.1 Generalidades 1427.2 Arreglo de dipolos 1427.3 Procedimiento de diseño 1468. Antenas Yagi-Uda 1528.1 Generalidades 1528.2 Método de los Momentos (MoM) 1538.3 Ejemplo de diseño por medio de Simulación 1548.4 Optimización 1578.5 Impedancia de Entrada y técnicas de Acople 1598.6 Procedimiento de Diseño 1598.6.1 Ejemplo de Diseño 1639. Antenas Bocina 1669.1 Introducción 1669.2 Bocina Sectorial Plano E 1669.2.1 Campos Radiados 1689.2.2 Directividad 1699.3 Bocina Sectorial Plano H 1729.4 Bocina Piramidal 1779.4.1 Directividad 1789.5 Procedimiento de diseño 18210. Antenas Reflector 18510.1 Introducción 18510.2 Reflector Plano 18610.3 Reflector Esquinado 18610.3.1 Reflector Esquinado con ángulo de 90° 19010.4 Reflector Parabólico 19010.4.1 Generalidades 19010.5 Procedimiento de diseño 19110.6 Reflector parabólico alimentado por el frente 19310.6.1 Geometría Superficial 19310.6.2 Directividad y eficiencia de apertura 19410.7 Errores de Fase 19711. Antenas Microcinta 20011.1 Generalidades 20011.2 Características básicas 20011.2.1 Métodos de alimentación 20211.2.2 Procedimiento de Diseño 20211.2.3 Circuito Equivalente 20311.2.4 Resistencia de entrada resonante 20411.2.5 Directividad 20511.3 Microcinta circular 20611.4 Factor de Calidad de antena microcinta 207Conclusiones Bibliografía

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PREFACIO

Este documento tiene como objetivo ofrecer la fundamentación teórica y de análisis para el diseño de antenas a través del reconocimiento de métodos para la obtención de los parámetros más importantes, el procedimiento de diseño y la representación de patrones de radiación para cada tipo de antena. Considerando que existe un gran número de configuraciones, solo se analizan los arreglos más comunes como dipolos, lazos, arreglos, antenas independientes de la frecuencia y de banda ancha, bocinas, reflectores y microcintas. Las antenas como dispositivos transicionales son elementos necesarios en todo sistema de comunicación, su estudio, análisis y diseño requiere de conocimientos sólidos en Teoría Electromagnética, Leyes de Maxwell y Ecuación de la Onda, los cuales permiten a través de técnicas numéricas como el Método de los Momentos (MoM) y la transformada de Fourier construir la base de los paquetes que comercialmente están disponibles para probar los diseños en simulación. En el primer capítulo se presenta los métodos para entender los conceptos de propagación electromagnética y particularmente, la forma en que la onda se desprende de la antena, luego se hace una breve descripción de los parámetros básicos de las antenas, la densidad de potencia radiada desde el Teorema de Poynting, luego la intensidad de radiación, potencia radiada, ganancia, eficiencia de radiación, directividad, impedancia, polarización, temperatura de antena, etc. En los siguientes capítulos se presenta uno a uno los diseños de las diferentes estructuras de antenas, desde las más simples (antenas líneas - dipolos) pasando por las más complejas (arreglos de antenas) y terminando con las que actualmente utilizan los proveedores de servicios de Telecomunicaciones en microondas (bocinas) y las que están embebidas en circuitos integrados de microondas (MMIC) a través de diseños microcinta. Conociendo los métodos para obtener una medida para cada una de estas variables se pueden empezar a analizar la forma en que los campos electromagnéticos interactúan para obtener el campo radiado a una distancia r en un punto P, donde interesa conocer el comportamiento de los diferentes radiadores. Es así, que se hace un análisis detallado para obtener el campo Eléctrico E y Magnético H con la configuración más simple pero funcional, los dipolos y luego se extiende ese análisis a los demás arreglos de antenas. De esta manera, se puede analizar y diseñar antenas para obtener las medidas que permitan la construcción de prototipos para su posterior medición bajo las características de diseño.

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La metodología empleada para el desarrollo de este trabajo consistió de una síntesis del libro de Constantine Balanis: “Antennas Analysis and Design”, utilizando como referencia en los cursos de Antenas y Redes Inalámbricas impartidos por más de cinco años, y complementados con ejercicios prácticos de diseño que han dado pie a la construcción de algunas antenas para su respectiva verificación en laboratorio. Se ha desarrollado programas que permiten calcular de manera directa la mayoría de parámetros a través de Matlab; Feko Lite se ha utilizado como paquete para el modelamiento y simulación de algunas antenas con la facilidad de poder generar patrones de radiación tridimensionales, lo que da una vista de la energía radiada al espacio circundante de la antena. Se espera que esto ayude a un mejor entendimiento de los principios fundamentales de la radio propagación respecto a la formación de los patrones en el espacio libre. Con la apropiación de este conocimiento se podrá estar en capacidad de seleccionar la antena adecuada para los diferentes sistemas de comunicaciones, especificando características y parámetros particulares para la implementación de radioenlaces y articulado con las nuevas tecnologías de las comunicaciones desplegadas en nuestro país como la Televisión Digital Terrestre, Redes Inalámbricas según los estándares IEEE 802.11b/g y a, Emisoras de Radio AM y FM, y Wimax, entre otras. Agradezco a mis estudiantes por su colaboración y aporte con algunos de los programas que facilitan los cálculos de parámetros que modelan los diseños de antenas. De manera especial a mi madre Sonia, hermano Gilberto, hijos Catalina, Jorgito y a mi novia Martha quienes con su apoyo, paciencia y sacrificio han sido la motivación para continuar con los retos que nos ofrece la vida.

Eduardo Avendaño Fernández Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia

Sogamoso, Boyacá Colombia

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1. PRINCIPIOS DE RADIACIÓN Y PARÁMETROS FUNDAMENTALES DE ANTENAS

1.1 Definición De Antena El estándar de definiciones de la IEEE (IEEE Std 145-1993), define a una antena ó aérea como “un medio para radiar o recibir ondas de radio”. En otras palabras la antena es una estructura transicional entre el espacio libre y un dispositivo guiado. Otra definición más general dice que es un dispositivo cuya función es emitir o recibir potencia radiada en forma de ondas electromagnéticas. En comunicaciones bidireccionales se emplea normalmente la misma antena tanto para transmisión como para recepción. El dispositivo guiado o línea de transmisión puede tomar la forma de una línea coaxial ó una guía de onda, y es usado para transportar energía electromagnética desde una fuente transmisora a la antena, o desde la antena al receptor, como se ilustra en la figura 1. El equivalente de Thévenin de una línea de transmisión de un sistema de antena como se ilustra en la figura 2, en el modo transmisor, donde la fuente está representada por un generador ideal Vg, la línea de transmisión está representada por una línea con impedancia característica Zc, y la antena está representada por una carga Za [Za=(RL+Rr)+jXa] conectada a la línea de transmisión. La resistencia de carga RL es usada para representar las pérdidas por dieléctrico y conducción asociadas con la estructura de la antena, mientras que Rr, conocida como resistencia de radiación, es usada para representar la radiación de la antena. La reactancia Xa es usada para representar la parte imaginaria de la impedancia asociada con la radiación emitida por la antena.

Fig. 1. Antena como dispositivo transicional.

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En la figura 2, se muestra el circuito equivalente de Thévenin, presentando de manera independiente el equivalente para el generador, línea de transmisión y antena en modo transmisión.

Fig. 2. Equivalente de Thévenin de línea de Transmisión de una Antena en modo

Transmisión. Bajo condiciones ideales, la energía entregada por la fuente debería ser transferida completamente a la resistencia de radiación, Rr, que representa la radiación de la antena. Pero en la práctica hay pérdidas por dieléctrico y conducción, debidas a la naturaleza de los materiales con que se fabrican las líneas y la antena, igualmente se presentan reflexiones por diferencia entre la impedancia característica de la línea y la impedancia de la antena. Entonces teniendo en cuenta la impedancia interna del generador y despreciando las pérdidas de la línea y por reflexión, la máxima potencia es entregada a la antena bajo consideraciones de acople conjugado. Las ondas reflejadas desde la interface junto con las ondas viajeras desde la fuente a la carga, crean patrones de interferencia constructivos y destructivos conocidos como ondas estacionarias, como se observa en la figura 2 (standing wave), dentro de la línea de transmisión que representan bolsillos de almacenamiento y concentración de energía, típicos de los dispositivos resonantes. Adicional a la energía de transmisión ó recepción, una antena de un sistema inalámbrico avanzado requiere optimizar ó acentuar la energía de radiación en algunas direcciones y suprimirlas en otras. La antena debe servir como un dispositivo direccional para un dispositivo bajo prueba. De esta manera puede tomar varias formas para encontrar la necesidad particular, ya sea un pedazo de alambre conductor, ó una apertura, ó parche, ó un ensamble de elementos (arreglo-array), un reflector, un lente, y así. 1.2 Mecanismo de Radiación La pregunta lógica que se debe hacer es ¿Cómo se produce la radiación?. Es decir, cómo los campos electromagnéticos generados por la fuente, contenidos y guiados dentro de la línea de transmisión y antena, son desprendidos de la antena al espacio libre para formar una onda?. Para entender el mecanismo de radiación nos apoyamos en una situación similar para todos conocidas: Las ondas electromagnéticas radiadas tienen un comportamiento similar a las

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ondas de agua creadas por la caída de un objeto sobre un estanque cuando el agua se encuentra en calma. Una vez producida la perturbación, las ondas viajan hacia fuera y si el estanque fuese ilimitado como sucede con el espacio, continuarían propagándose en forma indefinida a pesar de que el efecto perturbador haya desaparecido. Si este continúa rítmicamente la onda será sostenida y ocuparía toda la superficie del agua. Una situación similar ocurre para una perturbación eléctrica de régimen permanente sinusoidal: se genera una onda radiada que viaja y ocupa todo el espacio desde la antena hasta el infinito con una amplitud que disminuye con el inverso de la distancia (1/R). Por lo tanto, para que se tenga radiación electromagnética debe cumplirse lo siguiente:

a. Debe haber una corriente variable en el tiempo o una aceleración (o desaceleración) de carga.

b. Para generar la aceleración (o desaceleración) de la carga un alambre debe ser curvo, discontinuo, fraccionado o terminado (aterrizado).

c. Si la carga se mueve con velocidad uniforme: i. No hay radiación si el alambre es recto e infinito en longitud.

ii. Hay radiación sin el alambre es curvo, discontinuo, fraccionado o terminado. 1.3 Fuentes de Radiación 1.3.1 Alambre único Los alambres conductores son materiales cuya característica principal es el movimiento de cargas eléctricas y la creación de un flujo de corriente. En la figura 3, se tiene que qv corresponde a la densidad de carga volumétrica [C/m3], igualmente los portadores se desplazan a una velocidad de carga en la dirección de z, +vz [m/s], y llevan una densidad de corriente Jz [A] por unidad de área. Por tanto, podemos tener densidad de corriente volumétrica, superficial ó lineal.

Fig. 3. Carga distribuida uniformemente en un alambre cilíndrico de sección transversal

circular

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Dependiendo del radio del alambre se tendrá varios casos, por ejemplo, para la densidad de corriente sobre la sección transversal está dada por:

2 /z v zJ q v A m (1.1)

Si el alambre esta hecho de un conductor eléctrico ideal, la densidad de corriente Js [A/m], reside sobre la superficie del alambre y está dada por:

2 /s s zJ q v A m (1.2)

Donde qs es la densidad de carga superficial [C/m2]. Ahora si el radio del alambre es muy delgado (idealmente tendiendo a cero), entonces la corriente en el alambre puede ser representada por:

2 /z l zI q v A m (1.3)

Siendo ql la carga por unidad de longitud [C/m]. Entonces, si la corriente es variante en el tiempo y el alambre es muy delgado, la derivada de la corriente puede escribirse como:

z zl l z

dI dvq q a

dt dt (1.4)

Donde 2[ / ]z zdv dt a m s es la aceleración de los portadores. Además, si el alambre tiene

longitud l, la anterior ecuación puede escribirse como:

z zl l z

dI dvl l q l q a

dt dt (1.5)

La ecuación 5 es la relación básica entre la corriente y la carga, y también sirve como la relación fundamental de la radiación electromagnética. Simplemente declara que “para crear radiación, debe haber una corriente o aceleración (ó desaceleración) variable en tiempo de la carga”. Entonces para crear una aceleración en la carga, el alambre debe ser curvo, fraccionado, discontinuo ó terminado. Por consiguiente: 1. Si una carga no se mueve, no se crea corriente y no hay radiación. 2. Si la carga se mueve con una velocidad uniforme:

a. No hay radiación si el alambre es recto e infinito en extensión b. Hay radiación si el alambre es curvo, fraccionado, discontinuo ó terminado.

a. Curvo

b. Fraccionado

5

c. Discontinuo

d. Terminado ó aterrizado.

Fig. 4. Configuraciones de alambre para radiación. Una radiación más fuerte con un espectro de frecuencias más amplio ocurre si los pulsos son de duración más corta ó compactos, mientras la oscilación harmónica continua de la carga produce idealmente radiación de una única frecuencia, determinada por la frecuencia de oscilación. La aceleración de las cargas se logra por la fuente externa, en la cual se forzó la configuración de cargas en movimiento y que producen el campo asociado radiado. La aceleración de la carga debida a un campo eléctrico de excitación y la desaceleración es debida a las discontinuidades de impedancia o curvas suaves del alambre y son los mecanismos responsables de la radiación eléctrica. 1.3.2 Dos alambres Al aplicar una tensión Vg a la línea de transmisión se crea un campo eléctrico E entre los conductores, este campo está asociado a líneas eléctricas de fuerza que son tangentes al campo eléctrico en cada punto y su fuerza es proporcional a la intensidad del campo. El movimiento de cargas crea una corriente que genera una intensidad de campo magnético B, asociado a éste, las líneas de fuerza fB, son tangentes al campo magnético. Las líneas de campo magnético siempre forman lazos que encierran los conductores que llevan la corriente debido a que no hay cargas magnéticas.

Fig. 5. Fuente, línea de transmisión, antena y desprendimiento de las líneas de campo

eléctrico.

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1.3.3 Desprendimiento de la onda electromagnética De la física conocemos que si arrojamos un objeto dentro de un estanque con agua se generan ondas, las cuales se propagan, si se arroja otro objeto se generan nuevas ondas, entonces por analogía se puede decir que “las cargas eléctricas son requeridas para excitar los campos pero no son necesarios para sostenerlos y pueden existir en su ausencia”. Para ilustrar el mecanismo por el cual las líneas de fuerza son desprendidas de la antena para formar una onda en el espacio libre, se utilizará una antena dipolo pequeño donde el tiempo de viaje es muy corto. En la figura 6 se muestra las líneas de fuerza creadas entre los brazos del dipolo alimentado en su centro durante el primer cuarto de periodo de tiempo, allí la carga ha alcanzado su valor máximo y las líneas han viajado hacia afuera una distancia radial /4. Se asume que la cantidad de líneas formadas es tres, ahora para el siguiente cuarto de periodo, las tres líneas viajan otra distancia /4 adicional (un total de /2 desde el punto inicial) y la densidad de carga sobre los conductores empieza a disminuir. De esta manera las líneas de campo creadas por cargas opuestas y puesto que no hay una carga neta en la antena se han visto forzadas a desprenderse por si mismas de los conductores para combinarse y formar lazos cerrados. Este proceso se repite indefinidamente formando patrones de campo eléctrico. 1.4 Distribución de corriente en una antena de alambre delgado El movimiento de cargas crea una onda de corriente viajera, de magnitud Io/2, a lo largo de cada uno de los alambres. Cuando la onda llega al extremo del alambre, devuelve una reflexión completa (de igual magnitud pero desfasada 180°). La onda viajera reflejada al combinarse con la onda viajera incidente, forma en cada alambre un patrón de onda estacionaria pura sinudoidal. La radiación de cada alambre individual ocurre por la naturaleza de la corriente y la terminación del alambre. En la figura 6 se ilustra la distribución de corriente considerando el caso de una línea de transmisión, línea de transmisión con apertura y dipolo lineal, donde se muestra la forma en que la onda alcanza su máximo nivel.

a. Línea de transmisión de dos alambres

b. Línea de transmisión con apertura

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c. Dipolo lineal.

Fig. 6. Distribución de corriente sobre antena de alambre delgado. Igualmente se puede observar el tipo de distribución para diferentes longitudes de antena dipolo, si el diámetro del alambre es muy pequeño (d<<), el patrón de onda estacionaria ideal de la corriente a lo largo de los brazos del dipolo es sinusoidal con un nulo en el extremo, pero esta forma en general depende de la longitud de los brazos del dipolo. Para diferentes longitudes de dipolo alimentados por el centro, se muestra el patrón de corriente en la figura 7.

Fig. 7. Distribución de corriente sobre dipolos lineales.

El patrón de corriente para el caso de dipolo muy pequeño (usualmente /50< l </10) puede aproximarse a una distribución triangular puesto que ( / 2) / 2sen kl kl cuando kl/2 es muy pequeño.

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También puede presentarse la distribución de corriente en función del tiempo, en la figura 8 se muestra para un dipolo /2 alimentado en el centro para 0 / 2t T , las cuales se obtienen al multiplicar el patrón de onda estacionaria de la figura 7b por cos wt.

Fig. 8. Distribución de corriente en una antena de alambre /2 para diferentes instantes de

tiempo. 1.5 Vector de Poynting Es conocido que cuando se aumenta la frecuencia de alimentación de un circuito, este comienza a radiar parte de la potencia que se le suministra. El ejemplo más elemental es una línea de transmisión bifilar, que no se utiliza por arriba de una determinada frecuencia a causa de la radiación que este hecho produce. En bajas frecuencias, la radiación posible de la corriente que circula por uno de los conductores de la línea (o el circuito), se anula con la corriente en sentido contrario que circula por el otro conductor, debido a que la separación entre ellos es una fracción muy pequeña de la longitud de onda . Cuando la frecuencia aumenta, la longitud de la onda disminuye, la separación entre los conductores se hace significativa en términos de y la anulación total de los campos no se cumple, la línea empieza a radiar. A partir de lo anterior, tenemos una primera condición necesaria para producir radiación, la estructura que soporta la fuente de corriente debe tener dimensiones apreciables, en longitudes de onda, para que los campos producidos por los diversos elementos que pueden dividirse no se anulen en todas las direcciones del espacio. Por lo tanto, un circuito se comporta como una antena cuando radia con una buena eficiencia, esto es, cuando radia la mayor parte de la potencia que se le entrega. El consumo de potencia entregada a la antena, así como la visualización de la potencia que radia se obtiene a partir de las ecuaciones de Maxwell, estas establecen el equilibrio de potencias

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instantáneo dentro de un determinado volumen, V, encerrado por una superficie S y se expresa mediante la siguiente ecuación: W E H (1.6) Donde: W es el vector de Poynting instantáneo (W/m), E es la intensidad de campo Eléctrico (V/m) y H es la intensidad de campo Magnético (A/m). Puesto que el vector de Poynting es una densidad de potencia, la potencia total que cruza una superficie cerrada puede ser obtenida integrando la componente normal del vector de Poynting sobre la superficie completa.

. .S S

P W ds W nda

(1.7)

Donde: P es la potencia total instantánea (W),

n es el vector unitario normal a la superficie y da es el área infinitesimal de la superficie cerrada (m2). Para aplicaciones de campos variables con el tiempo, es con frecuencia más deseable encontrar la densidad de potencia promedio que es obtenida integrando el vector de Poynting instantáneo sobre un periodo y dividiendo por éste. Definimos los Campos complejos E y H de forma exponencial y tomando su parte real obtenemos para el vector de Poynting:

21 1Re * Re

2 2j wtW E H E H E He (1.8)

De la anterior ecuación, el primer término no es función del tiempo, y las variaciones del tiempo para el segundo son el doble para la frecuencia dada. El vector de Poynting promedio en el tiempo (densidad de potencia promedio) puede escribirse entonces como:

21( , , ) ( , , ; ) Re * ( / )

2av avW x y z W x y z t E H W m (1.9)

De acuerdo a esta definición, la potencia promedio radiada por la antena (potencia radiada) puede escribirse como:

1. . Re *

2rad av rad avS S SP P W ds W n da E H ds

(1.10)

Un radiador isotrópico es una fuente ideal que radia igualmente en todas direcciones. Aunque no existe en la práctica, proporciona una referencia isotrópica conveniente con la cual se comparan otras antenas. Dado que por su simetría en la radiación no será función de los ángulos y del sistema de coordenada esférica y sola tendrá la componente radial. Entonces, la potencia radiada está dada por:

10

2 2 2

0 0. ( ) 4rad o r o r oS

P W ds a W r a r sen d d r W

(1.11)

Y la densidad de potencia máxima queda determinada como:

24rad

o r o r

PW a W a

r

(1.12)

Que está uniformemente distribuida sobre la superficie de una esfera de radio r. 1.6 Parámetros Fundamentales de Antenas

1.6.1 Regiones de Campo El espacio alrededor de una antena se divide en tres regiones: 1. Campo cercano reactivo 2. Campo cercano radiante o de Fresnel 3. Campo lejano ó Frauhoffer. La región de Campo Cercano Reactivo se define como la parte de la región circundante a la antena donde predomina el campo cercano, generalmente el límite exterior se toma existe

en una región con distancia 30.62 /R D de la superficie de la antena, siendo la longitud de onda a la frecuencia de operación y D la dimensión más grande de la antena. Para un dipolo corto el límite se toma que existe a una distancia de /2 de la superficie de la antena. En la figura se ilustra las regiones de campo. La región de Campo Cercano Radiante (ó Fresnel), es aquella limitada entre el campo reactivo y el campo lejano y donde predomina el campo de radiación, está acotado por las distancias R1 y R2. La región de Campo Lejano se presenta donde la distribución del campo angular es independiente de la distancia de la antena y está limitado entre 2D2/ e infinito.

Fig. 9. Regiones de Campo de una Antena.

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Fig. 10. Cambios típicos de la forma del patrón de radiación de amplitud de una antena

1.6.2 Intensidad de Radiación Está dada en una dirección y es definida como la potencia radiada desde una antena por unidad de ángulo sólido, es un parámetro de campo lejano y puede obtenerse multiplicando la densidad de radiación por el cuadrado de la distancia. 2 /radU r W W Unidad angulo solido (1.13)

En coordenadas esféricas, el elemento de ángulo sólido está dado como ddsend , el ángulo sólido es definido como la ángulo a través del cual toda la potencia de la antena podría fluir si la intensidad de radiación es constante (e igual al valor máximo de U) para todos los ángulos dentro de .

Fig. 11. a) Equivalente a un radian y b) Esteradian.

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Una fuente isotrópica U será independiente de los ángulos y , por lo tanto, se puede escribir:

. 4rad o o oP U d U d U

(1.14)

De donde la intensidad de radiación de una fuente isotrópica queda:

4

rado

PU

(1.15)

1.6.3 Directividad Se define como la razón de intensidad de radiación en una dirección dada desde la antena a la intensidad de radiación promediada en todas direcciones. La intensidad de radiación promediada es igual a la potencia total radiada por la antena dividida por 4, si no se especifica la dirección, se asume implícita. En forma matemática pude escribirse como:

4

o rad

U UD

U P

(1.16)

Cuando no se especifica la dirección entonces nuestra directividad máxima se expresa como:

max maxmax

4o

o rad

U UD D

U P

(1.17)

En un sistema de coordenadas esférico se debe recordar que la directividad, la intensidad de radiación y la potencia radiada son funciones de las componentes ortogonales , . Para todas las fuentes, la máxima directividad será siempre mayor que la unidad, y es una figura de mérito relativa que de un índice de las propiedades direccionales de la antena cuando se compara respecto a una fuente isotrópica. 1.6.4 Patrón de Radiación Es una función matemática ó representación gráfica (diagrama) de las propiedades de radiación de una antena como función de las coordenadas espaciales, indica como transmite o recibe una antena en diferentes direcciones. Una traza del campo eléctrico recibido a un radio constante es llamado patrón de campo, mientras que una variación espacial de la densidad de potencia a lo largo de un radio constante es llamado patrón de potencia, éste generalmente es graficado en una escala logarítmica o más comúnmente en decibeles (dB). Para una antena, el 1. Patrón de Campo (en escala lineal) típicamente representa una gráfica de la magnitud

del campo eléctrico ó magnético como función del espacio angular.

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2. Patrón de Potencia (en escala lineal) típicamente representa una gráfica del cuadrado de la magnitud del campo eléctrico o magnético como función del espacio angular.

3. Patrón de Potencia (en dB) representa la magnitud del campo eléctrico o magnético, en decibeles ó escala logarítmica, como una función del espacio angular.

En general, el desempeño de una antena se describe en términos de los patrones del plano eléctrico y magnético. El plano eléctrico se define como el plano que contiene el vector de campo eléctrico E y la dirección de máxima radiación, y el plano magnético H contiene el vector de campo magnético y la dirección de máxima radiación.

Fig. 12. Patrón de campo normalizado bidimensional en escala lineal, el patrón de potencia (escala lineal), y patrón de potencia (dB) para un arreglo lineal de antenas espaciado

d=0.25 entre elementos. Para encontrar los puntos donde el patrón logra la media potencia (puntos de -3dB), relativo al máximo valor del patrón se debe ajustar el valor de: 1. El patrón de campo al valor de 0.707 de su máximo como se muestra en la figura 12a, 2. El patrón de potencia (en escala lineal) al valor de 0.5 de su máximo como se muestra

en la figura 12b, y 3. El patrón de potencia (en dB) a un valor de –3dB de su máximo como se muestra en la

figura 12c. Todos los patrones exhiben la misma separación angular entre los puntos de media potencia, 38.64°, en sus patrones respectivos, referidos como Ancho de Haz de Media Potencia (HPBW).

14

De la anterior gráfica, se nota que los patrones de radiación exhiben lóbulos, los cuales se clasifican en lóbulo principal ó mayor, lóbulos menores y laterales ó traseros. Se puede definir el lóbulo de radiación como la “porción del patrón de radiación limitado por regiones de intensidades de radiación relativamente débiles”. En la figura 13 se puede observar con mayor detalle su descripción.

Fig. 13. a. Lóbulos de radiación y anchos de haz de una patrón de antena y b. Gráfica lineal

del patrón de potencia y sus lóbulos y anchos de haz asociados. 1.6.5 Ancho de Haz Es definido como la separación angular entre dos puntos idénticos en lados opuestos de un patrón máximo. El Ancho de Haz de Media Potencia (HPBW) es definido por la IEEE

15

como: “En un plano que contiene la dirección del máximo de un lóbulo, el ángulo entre las dos direcciones en la cual la intensidad de radiación es el valor medio del haz. Otro ancho de haz importante es el Ancho de Haz de Primer Nulo (FNBW), el cual se define como la separación angular entre los primeros nulos del patrón. Dependiendo de la forma de onda de su patrón de radiación, las antenas se pueden clasificar en: 1. Isotrópicas: Serían antenas ideales que radien energía o potencia uniformemente en

todas las direcciones. El patrón de radiación de una antena isotrópica es una esfera (Circunferencia vista en un plano).

2. Direccionales: Corresponden a una antena que transmite y recibe mucho más efectivamente en una dirección que en las demás. Ejemplos son bocinas y las Yagis.

3. Omnidireccionales: Se definen como una antena direccional en un plano e isotrópica en el plano ortogonal a éste. Diagrama propio de las antenas con simetría de revolución en torno a un eje. Las antenas más representativas de estos patrones son los Dipolos y lazos (loops), estos exhiben comportamientos de la forma

para 0 , 0 2 .nsen 1.6.6 Patrones direccionales En lugar de usar la expresión exacta para directividad, es conveniente derivar expresiones más simples dado que pueden ser útiles para propósitos de diseño. Para antenas con un lóbulo principal estrecho y lóbulos laterales despreciables, le ángulo sólido es aproximadamente igual al producto de los anchos de haz de media potencia en los planos perpendiculares. Para un patrón simétrico rotacionalmente, los HPBW en los dos planos perpendiculares son iguales, por lo tanto:

1 2

4 4o

A r r

D

(1.18)

Donde el ángulo sólido ha sido aproximado por el producto de los HPBW en cada uno de los planos (El subíndice r denota valores de los ángulos en radianes, y d en grados). Si los anchos de haz son conocidos en grados, se puede reescribir como:

2

1 2 1 2

4 (180 / ) 41253o

d d d d

D

(1.19)

La anterior expresión se conoce ecuación de Krauss para el cálculo de directividad aprovechando la simetría de los patrones de radiación.

16

En ocasiones es deseable expresar la directividad en decibeles (dB) en lugar de cantidades adimensionales. Por lo tanto, las expresiones para la directividad y directividad máxima están dadas como:

D(dB) = 10 log10 D(Adimensional) Do(dB) = 10 log10 D(Adimensional)

Una buena aproximación para obtener la directividad máxima es:

2 2 2 21 2 1 2

2

2 2 2 21 2 1 2

32 ln 2 22.181( )

22.181(180 / ) 72815( )

or r r r

od d d d

D Radianes

D Grados

(1.20)

Las anteriores se conocen como las ecuaciones de Tai y Pereira para cálculos de valores de directividad máxima para patrones de potencia. 1.6.7 Patrones Omnidireccionales Se ha derivado aproximaciones para antenas con patrones onmidireccionales cuyo lóbulo principal es senoidal, Mc Donal reportó una formula como función del patrón de ancho de haz de media potencia:

2

101

( ) 0.0027 ( )oD

HPBW Grados HPBW Grados

(1.21)

Pozar, por su parte, derivó de acuerdo a los valores exactos una expresión usando un ajuste de curva así:

172.4 191 0.818 1/ ( )oD HPBW Grados (1.22)

Igualmente se cuenta con técnicas numéricas que segmentan los ángulos ortogonales y permiten la obtención de la potencia radiada, requerida para calcular la directividad máxima. 1.6.8 Eficiencia de la Antena La eficiencia total de una antena es usada para tener en cuenta las pérdidas en los terminales de entrada y dentro de la estructura de la antena, tales pérdidas pueden ser debidas a:

1. Reflexiones debido al desacople entre la línea de transmisión y la antena. 2. Pérdidas I2R (por conducción y dieléctrico).

17

En forma general la eficiencia total puede escribirse como: o r c de e e e (1.23)

Donde: eo, es la eficiencia total, er, es la eficiencia por reflexión (desacople), ec, eficiencia por conducción y ed, eficiencia por dieléctrico, todas adimensionales. Si la antena no está acoplada al alimentador, parte de la señal disponible desde la fuente es reflejada (Pérdidas por reflexión), la eficiencia de reflexión es definida como la razón de potencia de entrada a la antena a la potencia disponible desde la fuente, se debe tener en cuenta que esta razón es igual al cuadrado de la magnitud del coeficiente de reflexión de voltaje, por lo tanto, la eficiencia de reflexión viene dada por:

2

1re (1.24)

El coeficiente de reflexión de voltaje en los terminales de la antena se define como:

in o

in o

Z Z

Z Z

(1.25)

Siendo Zin, la impedancia de entrada de la antena y Zo, la impedancia característica de la línea de transmisión. La energía de la señal puede disiparse en la antena debido a imperfecciones en el material conductor o dieléctrico, entonces la eficiencia combinada de conductor y dieléctrico ecd puede ser experimentalmente determinada de la siguiente manera:

radcd

in

Pe

P (1.26)

La eficiencia también puede presentarse como la relación entre la potencia radiada a la potencia entregada:

Potencia Radiada

Potencia Entregada (1.27)

Lo anterior confirma que las antenas se deben construir con buenos elementos conductores para disminuir las pérdidas al máximo.

1.6.9 Ganancia Otra medición útil para describir el desempeño de una antena es la ganancia. Esta medición a diferencia de la directividad tiene en cuenta la eficiencia de la antena así como su capacidad direccional. Es definida como la razón de la intensidad, en una dirección dada, a

18

la intensidad de radiación que podría ser obtenida si la potencia aceptada por la antena fuera radiada isotrópicamente y puede ser expresada como:

( , )

4 4in

Intensidad de Radiación UG

Potencia de entrada total P

(1.28)

Fig. 14. Ganancia de una antena ilustrando el ancho de Haz de -3 dB.

En la mayoría de casos se trata con ganancia relativa, este se define como la razón de la ganancia de potencia en una dirección dada a la ganancia de potencia de una antena de referencia en la dirección referenciada. La potencia de la antena debe ser la misma para las dos antenas, generalmente la antena de referencia es un dipolo, bocina u otra antena cuya ganancia pueda ser calculada o conocida. Generalmente la antena de referencia es una fuente isotrópica sin pérdidas.

( , )

( , ) 4(Fuente Isotrópica sin pérdidas)in

UG

P

(1.29)

Cuando la dirección no se especifica, la ganancia de potencia es usualmente tomada en la dirección de máxima radiación. Igualmente puede hacerse referencia a una ganancia absoluta (Gabs), que tiene en cuenta las pérdidas por reflexión/desacople, por lo tanto:

( , )

( , ) 4cdin

UG e

P

(1.30)

Que está relacionado a la directividad como: ( , ) ( , )cdG e D (1.31)

19

En forma similar, el valor máximo de la ganancia está relacionado a la máxima directividad, entonces:

ocdcdo DeDeGG maxmax ),(),(

Ahora para obtener la ganancia absoluta debemos considerar las pérdidas de la antena, dado que generalmente se conecta al transmisor ó receptor a través de una línea de transmisión de una cierta longitud, puede presentarse pérdidas por reflexiones er:

2

( , ) ( , ) (1 ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )abs r

abs r cd o

G e G G

G e e D e D

(1.32)

Y la ganancia absoluta máxima de acuerdo a lo anterior queda: max max( , ) ( , )abs r cd o oG e e D e D (1.33)

Si la antena está acoplada a la línea de transmisión, esto es, la impedancia de entrada de la antena Zin es igual a la impedancia característica de la línea, el coeficiente de reflexión es cero y las dos ganancias son iguales (Gabs = G). Para el sistema de coordenadas esférico, la ganancia total máxima depende de las componentes ortogonales y . Para aplicaciones prácticas, una formula aproximada para la ganancia es:

1 2

30000o

d d

G

(1.34)

Generalmente la ganancia se expresa en decibeles en lugar de una cantidad adimensional, por lo tanto:

10( ) 10 log (Adimensional)o cd oG dB e D

1.6.10 Área Efectiva Se define como la razón de potencia disponible en las terminales de la antena receptora a la densidad de flujo de potencia de una onda plana incidente sobre la antena desde esa dirección.

20

2

Potencia entregada a la Carga (W)

Densidad de Potencia (W/m )eA (1.35)

Bajo acople conjugado (Máxima Transferencia de Potencia) y considerando el circuito equivalente de la antena en modo receptor:

2

1

8T

emi r L

VA

W R R

(1.36)

Siendo Wi la densidad de flujo de potencia incidente, Rr, la resistencia de radiación, RL la resistencia de pérdidas y VT el voltaje inducido en las terminales de la antena. En general, la apertura efectiva máxima está relacionado a su máxima directividad (Do) como:

2

2

4em oA D m

(1.37)

Igualmente se puede incluir las pérdidas por conducción y dieléctrico, así como por reflexión para obtener:

2 2

4 4em r cd o o oA e e D e D

(1.38)

1.7 Ecuación de Transmisión de Friss

Consideremos el sistema de coordenadas esféricas mostrado en la figura, donde P está en la región de campo lejano. Las características de la radiación son las siguientes:

1. La potencia radiada ocurre a la frecuencia de la portadora 2. Solamente se tomará en cuenta aquellos tipos de modulación de envolvente constante,

donde la información viene en las variaciones del argumento de la portadora sinusoidal. Bajo estas condiciones, la potencia de la portadora modulada es igual a la potencia de la portadora sin modular, esto permite hacer los cálculos de potencia de la portadora.

3. La radiación ocurre en condiciones de espacio libre. 4. Las ondas radioeléctricas radiadas por la fuente isotrópica poseen un tipo de

polarización única (lineal o circular). 5. La densidad de flujo de potencia (DFP) ó densidad de potencia radiada (Wrad) en el

punto P será:

22

/4

TPDFP W m

d (1.39)

21

Fig. 15. Propagación de un radiador isotrópico en el punto P.

Donde PT es la potencia de transmisión y 24 d es la superficie de una esfera virtual donde está contenido el punto P.

Si ahora la ganancia isotrópica se sustituye por una antena direccional de Ganancia GT en la dirección del punto P, la ecuación (1.39) se convierte en:

22

/4

T TP GDFP W m

d (1.40)

Consideremos ahora que en P se coloca una antena receptora de Ganancia GR en la dirección del punto O, recordando el concepto de área efectiva, entonces para una antena isotrópica, el área efectiva de captura se denomina AE y viene dada por:

2

4eA

(1.41)

Y la potencia entregada a la carga (Potencia recibida) es:

22

2

4RP DFP W

(1.42)

Una antena de máxima Ganancia GR, se relaciona con su área efectiva como:

2

2

4e RA G m

(1.43)

De donde la ganancia de la antena receptora queda dada como:

2 2

4 4R eG A A

(1.44)

es la eficiencia de apertura de la antena y está entre el 50 a 70 %, el área efectiva de la antena se relaciona a su eficiencia como EA A

Bajo condiciones de adaptación de impedancia, la potencia recibida en los terminales de la antena, PR, está dada por:

2

4R T T RP P G Gd

T T RR

b

P G GP W

L (1.45)

Siendo 2

4b

dL

las pérdidas en espacio libre.

También se puede expresar una relación entre la potencia de recepción a transmisión que se conoce como pérdidas de propagación y se expresa como:

2

4R

F T RT

P cL G G

P f d

(1.46)

2

( ) 10log4F T R

cL dB G G

f d

( ) 147.5 10log 10log 20log ( ) 20log ( )F T RL dB G G f Mhz d Km

2

2( )

4 4T T

R E R

P GP DFP A G

d

23

Bajo condiciones reales de propagación la potencia recibida en los terminales de la antena es menor que el valor obtenido con la ecuación (1.45). Se define la pérdida adicional La (asuma generalmente 2dB) al cociente entre la potencia recibida bajo condiciones de espacio libre y la potencia real, nuevamente denominada PR así:

/T T R b

aR

P G G LL

P (1.47)

Despejando PR de la ecuación (47), se obtiene:

T T RR

b a

P G GP W

L L (1.48)

La expresión anterior se denomina Ecuación de Transmisión ó Ecuación de Friis. Utilizando una escala de decibeles, se obtiene:

PR(dBw) = PT(dBw) + GT(dBi) + GR(dBi) - Lb(dB) - La(dB)

La ecuación de Transmisión de Friss relaciona la potencia recibida a la potencia transmitida entre dos antenas separadas una distancia 2 /R D , donde D es la dimensión más grande de cualquier antena.

Fig. 16. Configuración y parámetros para radioenlace de acuerdo a la Ecuación de Friss

Se puede decir que el producto de la potencia de transmisión (PT) por la ganancia de la antena transmisora (GT) se denomina Potencia Radiada Isotrópica Efectiva ó EIRP, simplemente es una medida de ganancia de potencia de la antena. Es igual a la potencia necesaria por una antena isotrópica que proporciona la misma intensidad de radiación en un punto dado como una antena direccional. Puede definirse como:

siendoT T T

ANT

P G PEIRP L

L P (1.49)

Donde L es la relación de potencia entrada-salida de la línea de transmisión que está conectada entre la salida de la etapa de amplificación de potencia final del transmisor y la antena, L básicamente es la atenuación por la adaptación entre el amplificador y la antena.

24

Ahora si se tiene Antenas Isotrópicas entonces las pérdidas en espacio libre, dado que la ganancia tanto para la antena receptora como transmisora son la unidad, puede expresarse como:

( ) 32.5 20log ( ) 20log ( )bL dB f Mhz d Km (1.50)

Muchas veces el dBW (decibel referido a Watts) resulta ser una unidad muy grande para tratarse en recepción, donde los niveles son del orden de dBm por lo tanto se debe recordar que:

Y(dBm) = X(dBW) + 30

Para aplicaciones prácticas es conveniente expresar la ecuación (1.48) en otra forma, por lo tanto, reorganizando y dejando de manera independiente los valores para frecuencia y distancia en Megahertz y Kilómetros, y tomando el logaritmo, se puede reformular así:

2

4b

dL

2 2

2 2( ), ( )4 4b

d f dL f Mhz d Km

c

Sustituyendo el valor de c y simplificando se obtiene:

2

2 2 1210

3 2 2

1049 10

1.76 10

b

b MHZ Km

dL f

L f d

3 2 2( ) 10log 1.76 10 32.5 20log ) 20log(b dB MHZ Km MHZ KmL f d f d

( ) ( ) ( ) ( ) 32.5 20log 20log ( )R T T R MHZ Km aP dBw P dBw G dBi G dBi f d L dB (1.51) 1.8 Ecuación de Rango de Radar Se asume que la potencia transmitida incide sobre un destino, entonces es necesario introducir una cantidad conocida como sección transversal de radar ó área de eco () de un destino el cuál es definido como el área que intercepta la cantidad de potencia, que cuando se dispersa isotrópicamente, produce en el receptor una densidad que es igual a la distribuida por el destino actual. En forma de ecuación se tiene:

25

2

lim4

is

R

WW

R

(1.52)

ó

2

2 22lim 4 lim 4

s

s

R R ii

EWR R

W E

2

22lim 4

s

R i

HR

H

(1.53)

Fig. 17. Arreglo geométrico de transmisor, destino y receptor para la ecuación de rango de

radar.

1.9 Antenas para Microondas

Las antenas que se utilizan para las microondas (SHF) son:

1. Antena parabólica 2. Antena tipo lente para ondas electromagnéticas 3. Antena tipo bocina para ondas electromagnéticas

26

Sin embargo, la antena más empleada para las microondas es la parabólica, la cual explicaremos brevemente a continuación con propósitos ilustrativos para el dimensionamiento de radio enlaces: 1. Antena parabólica con alimentador en el foco 2. Plano transversal de la antena parabólica Consideremos una parabólica con un foco en F, una distancia focal OF igual a F y un diámetro de apertura S. Cuando colocamos el radiador en el foco de una superficie parabólica y se radian ondas en forma circular, estas se reflejan en la superficie parabólica y cambian de dirección, emparejándose sus crestas MM’ formando una superficie plana. Como generalmente la forma de la boca de la antena parabólica es circular para calcular su área A, utilizamos el diámetro D, en la siguiente expresión:

2

4

DA

(1.54)

Fig. 18. Configuración bidimensional de reflector parabólico.

El grado de diferencia entre el área efectiva de la antena Ae y el área física de la antena A, representa el la eficiencia de la antena. El valor típico de esta fuente está entre 0.5 y 0.7. Por lo tanto, reemplazando la ecuación (1.54) en la fórmula de ganancia para una antena parabólica de diámetro D, se obtiene el siguiente resultado:

27

2

2

4 DG A

(1.55)

Ejercicio No. 1: Determinar la potencia recibida en los terminales de una antena bajo condiciones de adaptación de impedancias, si la potencia radiada isotrópica es de 1W, si se usan antenas de 1 metro de diámetro y la distancia es de 50Km, se consideran condiciones de espacio libre. La frecuencia de operación es de 4Ghz, suponer eficiencia de 55% en las antenas:

82

9

2

2

3 107.5 10

4 10

4 5000010log 138.46

7.5 10b

m

L dB

3

2 2

2

También:

( ) 32.5 20log 4 10 20log50 32.5 72.04 33.97 138.5

10.55

7.5 10

965.59

b dBL dB

DG

x

G

10 log(965.59) 28.85

( ) 10log(1) 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0 29.85 29.85 138.5 0 59.7 138.5 78.8

( ) 78.8 30 48.8

dB

T

R T T R b a

R

R

G

P dBw

P dBw P dBw G dBi G dBi L dB L dB

P dBw

P dBm

Ejercicio No. 2: Una nave espacial se encuentra a una distancia de 3x109Km de la tierra. Tiene un transmisor de 20W y una antena de transmisión con una ganancia de 48 dB. La frecuencia de transmisión es 8.4 GHz. a. Calcular la densidad de potencia radiada en la tierra b. Cuál es la potencia entregada al receptor si la ganancia de la antena receptora en la

tierra es 70 dB. c. Determinar las pérdidas de espacio libre en dB. d. Calcular el diámetro de la antena de transmisión, si la eficiencia es n=0,6 e. Calcular la eficiencia de la antena de recepción si el diámetro de la antena es 64 m. Para dar solución a este problema, primero se determina la densidad de flujo de potencia así:

28

a. 24

T TP GDFP

d

Expresando los términos en dB a escala lineal se obtiene:

4.8 12

20 224

20, 10 63.096, 3 10

20 63.0961.116 10 /

4 9 10

T TP G D m

DFP W m

b. R eP DFP A

8

29

2 420 7 17

2

3 103.57 10

8.4 10

12.745 101.116 10 10 1.13 10

4 4 4T T

R R

Cm

f

P GP G W

d

c. 22 12

2

4 12.57 3 10( ) 10 10 300.5

3.57 10b

dL dB Log Log dB

También:

3 9

3 9

( ) 32.5 20log 20 32.5 20log(8.4 10 ) 20 (3 10 )

( ) 32.5 20 (8.4) 20 (10 ) 20 (3) 20 (10 ) 300.5

b MHz km

b

L dB f log d Log

L dB Log Log Log Log dB

d. 2

D

GT

23.57 10 63.096

/ 3.6540.6T

xD G m

e. 22 2

7 7 83.57 1010 10 (3.15 10 ) 0.315

64R

xG

D

Y se obtiene una eficiencia del 31.5%.

1.10 Polarización de Antenas La polarización en una dirección se define como la polarización de una onda transmitida “radiada” por la antena. La polarización de una onda electromagnética se define como “la

29

propiedad de una onda electromagnética que describe la dirección de variación en el tiempo y la magnitud relativa del vector campo eléctrico. Especialmente la figura trazada como función del tiempo por la extremidad del vector en una ubicación fija en el espacio y el sentido en la cual se traza como se observa a lo largo de la dirección de propagación. La polarización de la onda radiada “transmitida” en una dirección específica a un punto en el campo lejano es definida como “la polarización de la onda plana que se usa para representar la onda radiada en ese punto”. La polarización de la onda recibida por la antena se define como la polarización de la onda plana, desde la incidente a una dirección dada y que tiene una densidad de flujo de potencia que resulta en la máxima potencia disponible en las terminales de la antena. Si el vector que describe el campo eléctrico en un punto del espacio como función del tiempo está dirigida a lo largo de una línea, el campo se dice polarizado linealmente, si es trazado como una elipse, se dice que el campo es polarizado elípticamente.

Fig. 19. Polarización elíptica, representación en el dominio del tiempo en función de los campos eléctricos en la dirección x y y, y gráfico transversal representando una elipse

inclinada. Considere una onda que se mueve hacia adelante y que genera un campo eléctrico

oE x A y B

sea su fasor en amplitud de valor complejo, así que

30

( ) .j k z j k zoE z E e x A y B e

El campo variante en el tiempo es obtenido

restaurando el factor j wte :

( , ) j wt j k zE z t x A y B e

(1.56)

La polarización de una onda plana es definida en la dirección del campo eléctrico. Por ejemplo, si B+=0, el campo Eléctrico está a lo largo de la dirección x y la onda será polarizada linealmente. Más precisamente, la polarización es la dirección del campo de valor real variando en el tiempo ( , ) Re ( , )E z t E z t . En cualquier punto fijo z, el vector ( , )E z t puede estar a lo

largo de una dirección lineal fija o puede estar rotando como una función de t, trazando un círculo o una elipse. Las propiedades de la polarización de la onda plana son determinadas por las magnitudes y fases relativas de las constantes de valor complejo A+, B+. Escribiéndolas en sus formas polares ajA Ae

y bjB Be , donde A, B son magnitudes positivas, se obtiene:

( ) ( )( , ) a b a bj j j wt k z j wt k zj wt j k zE z t x Ae y Be e x Ae y Be

(1.57)

Extrayendo las partes reales se obtiene:

( , ) cos( )

( , ) cos( )x a

y b

E z t A wt kz

E z t B wt kz

(1.58)

Para un campo que se mueve hacia atrás, se reemplaza la k por –k en la misma expresión. Para determinar la polarización de la onda, se considera la dependencia en tiempo de esos campos en algún punto fijo a lo largo del eje z, digamos z=0:

( ) cos( )

( ) cos( )x a

y b

E t A wt

E t B wt

(1.59)

El vector campo eléctrico ( ) ( ) ( )x yE t x E t y E t

estará rotando sobre el plano xy con

frecuencia angular w, con su pico trazando en general, una elipse. Para observar esto, expanda la ecuación 3 usando una identidad trigonométrica:

31

( ) cos cos

( ) cos cos

x a a

y b b

E t A wt sen wt sen

E t B wt sen wt sen

(1.60)

Resolviendo para cos wt y sen wt en términos de Ex(t) y Ey(t), encontramos:

( ) ( )cos

( ) ( )

y xa b

y xa b

E t E twt sen sen sen

B AE t E t

sen wt sen sen senB A

(1.61)

Donde se define el ángulo de fase relativo = a - b. Formando la suma de los cuadrados de las dos ecuaciones y usando la identidad

trigonométrica 2 2cos 1,sen wt wt se obtiene una ecuación cuadrática para las componentes Ex y Ey, que describen una elipse en esos planos:

2 2

2( ) ( )( ) ( )y yx xa b a b

E t E tE t E tsen sen sen sen sen

B A B A

(1.62)

Que se simplifica en:

22

22 2

2cosy x yxE E EE

senA B AB

(1.63)

Dependiendo de los valores de las tres cantidades , ,A B esta polarización elíptica puede

ser una elipse, un círculo, ó una línea recta. El campo eléctrico es de acuerdo a esto llamado polarizado elíptica, circular ó linealmente. Para obtener polarización lineal, se ajusta = 0 ó = , correspondiente a a = b = 0, ó a

= b = - , así que las amplitudes del fasor son .oE x A y B

Entonces la ecuación (1.63)

llevará a:

222

2 22 0 0y yx x

E EE EExEy

A B AB A B

(1.64)

Representando las líneas rectas:

32

Fig. 20. Polarización lineal con pendiente positiva y negativa.

Los campos en 2 toman las formas, en el caso de = 0 y = :

( ) cos ( ) cos

( ) cos ( ) cos( ) cosx x

y y

E t A wt y E t A wt

E t B wt E t B wt B wt

(1.65)

Para obtener polarización circular, se ajusta A = B y = /2. En este caso, la polarización elíptica llega a ser la ecuación del círculo:

22

2 21yx

EE

A A (1.66)

El sentido de rotación, en conjunto con la dirección de propagación define la polarización circular a izquierda versus circular a derecha. Para el caso, a = 0 y b = -/2, se tiene =

a - b = /2 y la amplitud compleja 0 ( ).E A x j y

Entonces, se obtiene polarización

circular a izquierda como se ilustra en la figura 21.

Fig. 21. Polarización circular a izquierda ó en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Además, la punta del vector campo eléctrico rota en sentido contrario al plano xy. Para decidir si esto representa polarización circular a derecha o izquierda, se usa la convención IEEE, la cual dice: “Doble los dedos de sus manos derecha e izquierda en puño y apunte los pulgares hacia la dirección de propagación. Si los dedos de su mano derecha (izquierda) están doblados en la dirección de la rotación del campo eléctrico, entonces la polarización es derecha (izquierda)”. Además, en el ejemplo, debido a que se tiene un campo que se mueve hacia delante y rota en sentido contrario de las manecillas del reloj, la polarización será circular a derecha. Si el campo se estuviera moviendo hacia atrás, entonces estaría polarizado circular a izquierda.

33

Para el caso, = - /2, levantándose desde a = 0 y b = /2, se tiene la amplitud compleja

0 ( ).E A x j y

Y la ecuación (1.59) llega a ser:

Fig. 22. Polarización circular a derecha ó en el sentido de las manecillas del reloj.

La punta del vector campo eléctrico rota en sentido de las manecillas de reloj sobre el plano xy. Puesto que la onda se mueve hacia delante, esto representará polarización circular a izquierda. La figura 23 describe los cuatro casos de polarización izquierda/derecha con ondas hacia delante/atrás. Para sintetizar, el campo eléctrico de una onda plana uniforme polarizada circularmente será, en su forma fasorial:

Tabla 1. Polarización circular para Campo Eléctrico de una onda plana uniforme.

Forma del Campo Eléctrico Polarización de la Onda

( ) ( ) j k zE z A x j y e

Polarizada a derecha, moviéndose hacia delante

( ) ( ) j k zE z A x j y e

Polarizada a izquierda, moviéndose hacia

delante

( ) ( ) j k zE z A x j y e

Polarizada a izquierda, moviéndose hacia atrás

( ) ( ) j k zE z A x j y e

Polarizada a derecha, moviéndose hacia atrás

34

Fig. 23. Polarización Circular a izquierda y derecha para diferentes formas de campo

eléctrico. Si AB, pero las diferencias de fase son aún = /2 se obtiene una elipse con ejes mayor y menor orientados a lo largo de las direcciones x y y. La (1.63) ahora será:

Fig. 24. Polarización Elíptica

Finalmente, si AB pero es arbitrario, entonces los ejes mayor/menor de la elipse en la figura 24 serán rotados relativos a las direcciones x y y. En la figura 25, se ilustra el caso general donde la elipse está rotada respecto al origen. Se puede mostrar que el ángulo de elevación está dado por:

12 2

1 2 costan

2

AB

A B

(1.67)

Y el ángulo de inclinación de la elipse vendrá dado por:

2

(1.68)

35

Fig. 25. Elipse rotada un ángulo respecto al origen

Los semiejes de la elipse A’, B’, esto es, las longitudes OC y OD, están dados por:

1/21/22 2 4 4 2 2

1/21/22 2 4 4 2 2

1' 2 cos 2

2

1' 2 cos 2

2

A A B A B A B

B A B A B A B

(1.69)

La razón axial de la elipse se define como:

, 1Eje Mayor A

AR AREje Menor B

(1.70)

Esos resultados son obtenidos definiendo el sistema de coordenadas rotado de los ejes de la elipse.

'

'

cos

cos

x x y

y y y

E E E sen

E E E sen

(1.71)

Y muestran que la ecuación 4 se transforma en la forma estandarizada:

'2'2

'2 '21yx

EE

A B (1.72)

La polarización elíptica está limitada por un rectángulo con lados en los extremos finales A, B, como se muestra en la figura. Para decidir si la polarización es elíptica a izquierda o derecha, se usan las mismas reglas descritas en la figura 23. Síntesis

A. Polarización lineal: Se logra si los campos eléctrico o magnético poseen:

a) Solamente una componente ó

36

b) Dos componentes lineales ortogonales que están fuera de fase 180, ó múltiplos de .

B. Polarización circular: Si los campos eléctrico o magnético poseen a) El vector debe tener dos componentes ortogonales lineales, b) Las dos componentes deben tener igual magnitud, y c) Las dos componentes deben tener diferente fase en el tiempo de múltiplos pares

de /2. C. Polarización elíptica: Si los campos eléctrico o magnético poseen

a) El vector debe tener dos componentes ortogonales lineales, b) Las dos componentes deben ser iguales o de diferente magnitud, c) 1. Si una de las dos componentes no tiene la misma magnitud, la diferencia de

fase en el tiempo, entre las dos componentes debe no ser 0 ó múltiplos de 180 (Sería lineal); y 2. Si las dos componentes tienen igual magnitud, la diferencia de fase en el tiempo entre las dos componentes debe no ser múltiplos pares de 90 (Sería circular).

1.10.1 Factor de Pérdidas de Polarización Si el campo eléctrico de la onda que llega se escribe como:

wEi Ei

(1.73)

Siendo w

el vector unitario de la onda, entonces el campo eléctrico de la antena se

expresa como:

aEa Ea

(1.74)

Fig. 26. Vectores unitarios de polarización para la antena y la onda incidente.

Con a

siendo el vector unitario de polarización, entonces se puede definir el factor de

pérdidas de polarización PLF como:

2

2. cosw a pPLF

(1.75)

P es el ángulo entre los dos vectores unitarios.

37

Si la antena tiene polarización ajustada (vertical u horizontal) su PLF=1 y la antena extraerá la máxima potencia de la onda incidente. 1.10.2 Eficiencia de Polarización Razón de potencia recibida por una antena de onda plana de polarización arbitraria a la potencia que podría ser recibida por la misma antena de una onda plana de la misma densidad de potencia y dirección de propagación, cuyo estado ha sido ajustado para una potencia de recepción máxima.

2

22

. ince

einc

e

l Ep

l E (1.76)

Siendo le, la longitud efectiva de la antena y Einc, el campo eléctrico incidente. La polarización de una antena en modo recepción se relaciona con el modo de transmisión como sigue: 1. En el mismo plano de polarización, las elipses de polarización tienen el mismo radio de

eje axial, el mismo sentido de polarización y la misma orientación espacial. 2. Puesto que sus sentidos de polarización y orientación espacial están especificados

viendo sus elipses de polarización en las direcciones respectivas en las cuales se propagan, se debe observar que: a. Aunque sus sentidos de polarización son los mismos, podrían parecer opuestos si las

dos ondas son vistas en la misma dirección. b. Sus ángulos son tal que ellos son negativos uno del otro con respecto a una

referencia común.

Alineada Rotada Ortogonal

38

Fig. 27. Factor de pérdidas de polarización para antenas de apertura en modo transmisión y

recepción. 1.11 Temperatura de Antena Cada objeto con una temperatura física sobre el cero absoluto (0°K=-273°C) radia energía. Esta cantidad usualmente es representada por una temperatura equivalente, conocida como temperatura de brillantez, y está definida por:

2( , ) , (1 )B m mT T T (1.77)

Siendo TB la temperatura de brillantez (temperatura equivalente en °K), la emisividad (Adimensional), Tm la temperatura (física) molecular (°K) y (,) el coeficiente de reflexión de la superficie para la polarización de la onda. Puesto que los valores de emisividad están entre 0≤≤1, el valor máximo de la temperatura de brillantez que puede es igual a la temperatura molecular. Usualmente la emisividad es una función de la frecuencia de operación, polarización de la energía emitida, y estructura molecular del objeto. Algunos de los mejores emisores naturales de energía a frecuencias de microondas son a) La temperatura equivalente de la tierra de alrededor de 300°K y b) el cielo con una temperatura equivalente de cerca de 5°K cuando se busca el zenit y de 100-150°K hacia el horizonte. Asumiendo que no hay pérdidas ni otras contribuciones entre la antena y el receptor, la potencia de ruido transferida al receptor está dada por rP akT f (1.78)

Donde Pr= potencia de ruido en la antena (W), k= Constante de Boltzman (1.38e-23J/°K), TA= temperatura de antena (°K) y f = ancho de banda (Hz). Si la antena y la línea de transmisión se mantienen a cierta temperatura física y la línea de transmisión tiene pérdidas, la temperatura de antena puede verse por el receptor a través de (1.78) pero debe ser modificada para incluir otras contribuciones y las pérdidas en la línea. Si la antena se mantiene a cierta temperatura física Tp y una línea de transmisión de longitud l, con temperatura física constante a través de su longitud T0, y atenuación uniforme de (Nepers/unidad de longitud) es usada para conectar una antena al receptor, como se muestra en la figura 28, la temperatura efectiva de la antena en los terminales del receptor está dada por 2 2 2

0 (1 )l l la A APT T e T e T e (1.79)

Donde

39

1

1APA

Te

(1.80)

Ta= temperatura de antena en las terminales del receptor (°K), TA= temperatura de ruido de antena en las terminales de la antena (°K), TAP= temperatura de antena en los terminales de la antena debida a la temperatura física, Tp=temperatura física de antena (°K), = coeficiente de atenuación de la línea de transmisión (Np/m), eA= eficiencia térmica de la antena, l= longitud de la línea de transmisión (m), T0=temperatura física de la línea de transmisión (°K).

Fig. 28. Antena, línea de transmisión, y arreglo receptor para cálculo de potencia de ruido

del sistema. La potencia de ruido de la antena (1.78) debe ser modificada y escrita como rP akT f (1.81)

Si el receptor por si mismo tiene una temperatura de ruido Tr (debida al ruido térmico en las componentes del receptor), la potencia de ruido del sistema en las terminales del receptor está dada por ( )s a r sP k T T f kT f (1.82)

Donde Ps= es la potencia de ruido de sistema (en las terminales de la antena), Ta= temperatura de ruido en la antena (en los terminales de la antena), Tr= temperatura de ruido en el receptor (en los terminales de la antena) y Ts=Ta+Tr= temperatura de ruido de sistema efectivo (en los terminales del receptor). Ejemplo: La temperatura de antena efectiva de un destino a las terminales de entrada de la antena es 150°K. Asumiendo que la antena es mantenida a temperatura térmica de 300°K y que tiene una eficiencia térmica del 99% y que está conectada a un receptor a través de una guía de onda con longitud 10m (pérdidas de 0.13dBm/m) en la banda X (8.2-12.4Ghz) con una temperatura de 300°K, encuentre la temperatura efectiva de antena en las terminales del receptor. Solución: primero se convierte el coeficiente de atenuación en de dB a Np por medio de

40

( / ) 20(log ) ( / ) 20(0.434) ( / ) 8.68 ( / )dB m e Np m Np m Np m Además,

( / ) / 8.68 0.13 / 8.68 0.0149dB m La temperatura efectiva de antena en las terminales del receptor se obtiene a partir de

0.149(2) 0.149(2) 0.149(2)

1300 1 3.03

0.99

150 3.03 300 1

111.345 2.249 77.31 190.904

AP

a

a

T

T e e e

T K

1.12 Impedancia De Entrada De Antenas Se define como la impedancia presentada en los terminales de la antena o la razón de voltaje a corriente en el par de terminales ó la razón de componentes apropiadas de los campos eléctricos a magnéticos en ese punto. Se define para la antena en modo transmisión como ZA=RA+j XA, siendo ZA la impedancia de la antena, RA la resistencia de la antena y XA la reactancia de la antena en los terminales. En general, la parte resistiva consiste de dos componentes que son: RA = Rr + RL, que corresponden a la resistencia de radiación y de pérdidas respectivamente. Se asume que la antena está unida a un generador con impedancia interna Zg=Rg+j Xg, siendo Rg la resistencia interna del generador y Xg, la reactancia del generador.

a. Antena en modo receptor b. Equivalente de Thévenin

Equivalente de Norton

Fig. 29. a. Antena Modo Receptor, b. Circuitos equivalentes de Thévenin y c. Norton.

41

Considerando la antena en modo receptor, entonces para encontrar la cantidad de potencia entregada a Rr para radiación y la potencia disipada como calor (I2R/2), se debe obtener la corriente desarrollada en el lazo:

( ) ( )

g g gg

t A g r L g A g

V V VI

Z Z Z R R R j X X

(1.83)

La potencia entregada a la antena por radiación está dada por:

2

2

2 2

1( )

2 2 ( ) ( )g r

r g rr L g A g

V RP I R W

R R R X X

(1.84)

La potencia disipada como calor está dada por:

2

2

2 2

1( )

2 2 ( ) ( )g L

L g Lr L g A g

V RP I R W

R R R X X

(1.85)

La podenca disipada como calor sobre la resistencia interna del generador está dada por:

2

2

2 2

1( )

2 2 ( ) ( )g g

g g gr L g A g

V RP I R W

R R R X X

(1.86)

La máxima potencia entregada a la antena ocurre cuando se tiene acople conjugado, esto es:

Rr + RL = Rg

XA = -Xg Para este caso se tiene:

2 2

2 2( )

2 4( ) 8 ( )g gr r

rr L r L

V VR RP W

R R R R

(1.87)

2

2( )

8 ( )g L

Lr L

V RP W

R R

(1.88)

2 2 2

2

1( )

8 ( ) 8 8g g gg

gr L r L g

V V VRP W

R R R R R

(1.89)

Es claro que Pg = Pr + PL. La potencia suministrada por el generador durante el acople conjugado es:

2*

*1 1 1( )

2 2 2( ) 4gg

s g g gr L r L

VVP V I V W

R R R R

(1.90)

42

Ahora, en el modo receptor bajo acople conjugado se tiene Rr + RL = RT y XA = -XT, por lo tanto, las potencias entregadas a RT, Rr y RL son:

2 2

1( )

8 8T T

Tr L T

V VP W

R R R

(1.91)

2

2( )

8 ( )T L

Lr L

V RP W

R R

(1.92)

2

2( )

8 ( )T r

rr L

V RP W

R R

(1.93)

Mientras que la potencia inducida o reunida por la antena queda:

2*

*1 1 1( )

2 2 2( ) 4TT

c T T Tr L r L

VVP V I V W

R R R R

(1.94)

1.13 Eficiencia de Radiación de la Antena La eficiencia de una antena toma en cuenta las pérdidas por reflexión, conducción, y dieléctrico. La eficiencia por conducción y dieléctrico ecd es definida como la razón de la potencia entregada a la resistencia de radiación Rr para Rr y RL. La eficiencia de radiación puede ser escrita como:

rcd

r L

Re

R R

(1.95)

Para una varilla de metal de longitud l y sección transversal A, la resistencia en dc es:

1 1

( )dcR OhmsA

(1.96)

Si la profundidad de la cubierta del metal es muy pequeña 2 / ( )ow comparada con

diagonal de la sección transversal de la varilla, la corriente se confina a una delgada capa cerca a la superficie del conductor. Por consiguiente, la resistencia a alta frecuencia puede ser escrita basada en una distribución de corriente uniforme, como:

1

( )2

ohf

wlR Rs Ohms

P P

(1.97)

Donde P es el perímetro de la sección transversal de la varilla (P=C=2b para un alambre circular de radio b), Rs es la resistencia superficial del conductor y es la conductividad del metal. Ejemplo: Un dipolo de media longitud de onda está hecho externamente de un alambre de cobre (=5.7107S/m), determine la eficiencia por conducción y dieléctrico del dipolo a una frecuencia de 100Mhz si el radio del alambre es b=310-4, y la resistencia de radiación es 73.

43

A una frecuencia de 100Mhz, la longitud de onda =3m, y la longitud del dipolo de media onda, l=/2=1.5m, el perímetro C=2310-4=610-4. Para un dipolo de media longitud de onda con una distribución de corriente sinusoidal RL = Rhf / 2, por consiguiente:

8 7

4 7

0.25 10 (4 10 )0.349

2 6 10 5.7 10h f

L

RR

Además, 73

99.52%73 0.349cde

1.14 Vector de Longitud Efectiva de Antena y áreas Equivalentes Una antena en el modo receptor, ya sea un alambre, bocina, arreglo, apertura, dieléctrico, varilla, etc., es usada para capturar ondas electromagnéticas y extraer potencia de ellas. Para cada antena una longitud y un área equivalente son definidas. 1.14.1 Vector de longitud efectiva La longitud efectiva de una antena sea una antena lineal ó apertura, es una cantidad que es usada para determinar el voltaje inducido en las terminales de circuito abierto de la antena cuando la onda incide sobre ella. El vector de longitud efectiva es usualmente una cantidad compleja representada por:

( , ) ( , ) ( , )el a l a l

Fig. 2. Vector de longitud efectiva y onda electromagnética incidente sobre una antena de

longitud l

Esta cantidad se relaciona al campo de zona lejana Ea radiado por la antena, con corriente Iin en sus terminales.

4

jkrina e

kIE a E a E j l e

R

(1.98)

44

La relación de la longitud efectiva de la antena y su modo receptor con el voltaje de circuito abierto está dada por: i

oc eV E l (1.99)

Donde Ei es el campo eléctrico incidente y Voc es el voltaje de circuito abierto en los terminales de la antena. El campo de zona lejana radiado por un dipolo pequeño de longitud l /10 y con distribución de corriente triangular está dado por:

8

j k rina

kIE a j le sen

R

(1.100)

Determine el vector de longitud efectiva de tal antena. Comparando con la ecuación que describe el campo de zona lejana Ea se obtiene:

2

ll a sen (1.101)

Fig. 30. Antena Dipolo en modo receptor

45

Fig. 31. Antena de apertura en modo receptor

1.15 Áreas equivalentes de Antenas Una antena puede asociar un número de áreas equivalentes usadas para describir las características de captura de potencia de la antena cuando una onda incide sobre ella. Se define el área efectiva (apertura) como la razón de la potencia disponible en los terminales de una antena receptora a la densidad de flujo de potencia de una onda plana incidente sobre la antena desde esa dirección, la onda tiene un acople de polarización sobre la antena.

2

/ 2T TTe

i i

I RPA

W W (1.102)

Siendo, Ae el área efectiva (m2), PT la potencia entregada a la carga y Wi la densidad de potencia de la onda incidente en W/m2. La apertura efectiva es el área que cuando se multiplica por la densidad de potencia incidente genera la potencia entregada a la carga.

2

2 22 ( ) ( )T T

ei r L T A T

V RA

W R R R X X

(1.103)

Bajo acople conjugado se obtiene:

2 2

2

1

8 ( ) 8 ( )T TT

emi r L i r L

V VRA

W R R W R R

(1.104)

Toda la potencia que es reunida, capturada ó interceptada por la antena no es entregada a la carga, sino que solo la mitad de la potencia bajo el acople conjugado es entregada, la otra mitad es dispersa ó disipada como calor. En la figura 5 se plantea el esquema de transmisión recepción y su dualidad.

46

El área de dispersión se define como el área equivalente cuando se multiplica por la densidad de potencia incidente y es igual a la potencia distribuida ó dispersa ó re-radiada.

2

28 ( )T r

si r L

V RA

W R R

(1.105)

El área de pérdidas es definida como el área equivalente, que cuando se multiplica por la densidad de potencia incidente lleva a la potencia disipada como calor a través de RL.

2

28 ( )T L

Li r L

V RA

W R R

(1.106)

Finalmente, el área de captura se define como el área equivalente que cuando se multiplica por la densidad de potencia incidente lleva a la potencia total capturada, reunida ó interceptada por la antena.

2

28 ( )T T r L

ci r L

V R R RA

W R R

(1.107)

Por lo tanto, el área de captura es igual a la suma del área de dispersión y de pérdidas. Ahora, se define la eficiencia de apertura como la razón de área efectiva máxima de la antena respecto a su área física Ap.

área efectiva máxima

área físicaem

app

Ae

A (1.108)

Ejemplo: Una onda plana uniforme incide sobre un dipolo muy corto sin pérdidas (l). Encuentre el área efectiva máxima asumiendo que la resistencia de radiación del dipolo es Rr=80(l/)2, y el campo incidente es linealmente polarizado a lo largo del eje del dipolo. Para RL=0, el área efectiva máxima se reduce a:

2

1

8T

emi L

VA

W R

(1.109)

Fig. 32. Dos antenas separada una distancia R.

47

Puesto que el dipolo es muy corto, la corriente inducida puede ser asumida constante y de fase uniforme. El voltaje inducido es VT = E l, siendo VT el voltaje inducido sobre el dipolo, E el campo eléctrico de la onda incidente y l la longitud del dipolo. Para una onda plana incidente, la densidad de potencia incidentes puede ser escrita como:

2

, 1202i

EW

Además, 2 2

2 2 2 2

( ) 3

8( / 2 )(80 / ) 8em

ElA

E l

En general, la apertura efectiva máxima de cualquier antena está relacionada a su directividad máxima como:

2

04emA D

(1.110)

Que considerando las pérdidas por acoples se convierte en:

2

2 2

0 014em w aA e D

(1.111)

47

2. ANTENAS LINEALES DE ALAMBRE (DIPOLOS) 2.1 Introducción Las antenas de alambre, lineales o curvadas son de las más viejas, simples, económicas, y en la mayoría de los casos las más versátiles para aplicaciones. 2.2 Regiones de separación Considerando la geometría de un dipolo finito para las aproximaciones de campo es necesario considerar las áreas que circundan la antena, esto debido a la dificultad para obtener soluciones de forma cerrada válidas para cualquier antena práctica por las limitantes en la integración del vector potencial respecto a la distancia R.

2 2 2( ') ( ') ( ')R x x y y z z (2.1)

Si consideramos que z=r cos y usando la expansión binomial, la distancia puede expresarse en términos de una serie así:

'2 '32 3

2

1 1'cos ...

2 2

z zR r z sen sen

r r

Cuyos términos de orden mayor son menos significantes para r z.

Fig 3. Dipolo pequeño y aproximación de campo lejano

2.2.1 Región de campo lejano La simplificación más conveniente es considerar únicamente los dos primeros términos, ó:

'cosR r z (2.2)

Por lo tanto, el error se puede tomar como:

48

'2 '2

2

max

1cuando / 2

2 2

z zsen

r r

(2.3)

Para la mayoría de antenas prácticas, con longitudes totales mayores a una longitud de onda, un error de fase total de 22.5° no es muy crítico en las formulaciones analíticas, usando este criterio el error de fase máximo podría ser:

'2

2 8

kz

r

(2.4)

Que para / 2 ' / 2l z l se reduce a:

2

2l

r

(2.5)

Por lo tanto, las aproximaciones para el campo lejano quedan: 'cosR r z (2.6) Para términos de fase, y

R r (2.7) Para términos de amplitud, satisfaciendo la anterior ecuación. Ejemplo: Para una antena con longitud total l=5, las observaciones son hechas en r=60. Encuentre los errores en fase y amplitud. Para =90° se tiene: ' 2.5z por lo que se reduce la distancia a:

2 21 60 2.5 60.052R

R2 = r = 60 Por consiguiente, la diferencia de fase es:

1 2

22 (0.052) 0.327 18.74k R R R rad

Los límites para la zona de campo lejano o Fraunhofer vienen dados y dependen de la máxima dimensión de la antena D (=l para antenas de alambre) y de la frecuencia de operación así: 22 /r D (2.8)

2.2.2 Región de campo cercano radiante (Fresnel)

Si el punto de observación es elegido para ser menor que r = 2l2/, el error de fase máximo se mayor que /8 que es indeseable en varias aproximaciones. Para mantener el error por

49

debajo de este ángulo, es necesario adicionar el tercer término en la serie, por lo tanto, se debe tener:

'2

' 21cos

2

zR r z sen

r

(2.9)

Diferenciando con respecto a e igualando el resultado a cero, pueden encontrarse la distancia para el error de fase máxima permitida que se reduce a

30.62 /r l (2.10)

De lo anterior se obtienen los límites de la zona de Fresnel acotados por:

2 32 / 0.62 /l r l (2.11)

Recibe este nombre debido a que las expresiones de campo se reducen a las integrales de Fresnel. 2.2.3 Región de campo cercano reactivo Si la distancia es menor que el límite interno de la región de Fresnel esta región es usualmente conocida como región de campo cercano reactivo con límites:

30.62 / 0l r (2.12)

En esta región la densidad de potencia reactiva predomina.

2.3 Dipolo Infinitesimal Un alambre infinitesimal lineal (l, l/50) se posiciona simétricamente en el origen de un sistema de coordenadas y se orienta a lo largo del eje z como se ilustra en la figura 1. Los dipolos infinitesimales no son muy prácticos pero representan antenas de plato capacitor y son utilizadas en bloques de geometrías más complejas. Proporcionan una carga capacitiva para mantener la corriente sobre el dipolo de manera uniforme. El alambre es muy pequeño y muy delgado (a), la variación espacial de la corriente se asume constante:

( ) ( )z oI z a I A

(2.13)

De acuerdo al procedimiento para encontrar los campos eléctricos y magnéticos la función potencial A que se plantea es:

' '4( , , ) ( , , )

jkR

e

C

eA x y z I x y z dl

R

(2.14)

50

Donde (x,y,z)’ representan las coordenadas de la fuente, R es la distancia desde cualquier punto sobre la fuente al punto de observación y C es el trayecto a lo largo de la longitud de la fuente. Como se dijo anteriormente, la corriente se asume constante por lo tanto:

' ' ' '0( , , ) 0zeI x y z a I x y z

(2.15)

Fig. 1. a) Arreglo geométrico de un dipolo infinitesimal y b) sus componentes de

campo eléctrico asociadas a la superficie de la esfera. De la ecuación de distancia, el radio es constante, por lo tanto: R = r = constante, y dl’dz’. Se puede entonces representar la ecuación (2.14) como:

/2 '0 0

/2( , , )

4 4

jkr l jkrz z

l

I I lA x y z a e dl a e

r r

(2.16)

La transformación entre coordenadas rectangulares a esféricas en forma matricial, está dada por:

cos cos

cos cos cos s

cos 0

xr

y

z

AA sen sen sen

A sen en A

senA A

(2.17)

Para este caso se tiene Ax=Ay=0, entonces la ecuación (2.17) se reduce a:

0

0

cos cos4

s4

0

jkrr z

jkrz

I lA A e

rI l

A A en e senr

A

(2.18)

51

Igualmente para el campo magnético se obtiene en forma simplificada:

( )1 rrA A

H ar r

(2.19)

Sustituyendo las componentes del vector potencial A se obtiene:

0

0

11

4

r

jkr

H H

kI lsenH j e

r jkr

(2.20)

Ahora el campo eléctrico puede ser encontrado reemplazando las componentes del vector potencial A así:

1 1AE E jwA j A H

w jw (2.21)

Reduciéndose las componentes de campo eléctrico a

02

02

cos 11

2

s 1 11

4

0

jkrr

jkr

I lE e

r jkr

kI l enE j e

r jkr jkr

E

(2.22)

2.3.1 Densidad de Potencia y Resistencia de Radiación Para una antena sin pérdidas, la parte real de la impedancia de entrada fue designada como la resistencia de radiación. Es a través del mecanismo de radiación que la potencia es transferida desde la onda guiada al espacio libre. Integrando el vector de Poynting sobre una superficie cerrada (esfera de radio constante), la potencia total radiada por la superficie puede ser encontrada. La parte real está relacionada a la resistencia de entrada: * *1 1

2 2 r rW E H a E H a E H (2.23)

Cuyas componentes radial y transversa están dadas por:

2 20

2 3

2

02 3 2

11

8 ( )

cos 11

16 ( )

r

I l senW j

r kr

k I l senW j

r kr

(2.24)

52

Entonces la potencia compleja que se mueve en la dirección radial es obtenida integrando la anterior ecuación sobre una esfera cerrada de radio r:

2 2

0 0. ( ).r r rS

P W ds a W a W a r sen d d

(2.25)

Que se reduce a:

2* 01

2 2

1. 1

3 ( )

P 2 ( )

S

rad m e

I lP E H ds j

kr

P j w W W

(2.26)

Siendo 2 ( )m ew W W la potencia imaginaria promedio en el tiempo en la dirección radial.

2

0rP

3ad

I l

(2.27)

Puesto que la antena radia su potencia real a través de la resistencia de radiación puede representarse a través de:

2

20 1r 02P

3ad r

I lI R

(2.28)

Donde la resistencia de radiación se reduce a

2 2

2280

3r

l lR

(2.29)

Para que la antena sea clasificada como dipolo infinitesimal, su longitud total debe ser muy pequeña, usualmente l≤/50. Igualmente la resistencia de entrada se obtiene a partir de:

2 ( / 2)

rin

RR

sen kl (2.30)

Los campos en la región de campo lejano (kr1) quedan de la siguiente manera:

53

0

0

40

4

jkr

r r

jkr

kI leE j sen

rE E H H

kI leH j sen

r

(2.31)

La razón de E sobre H es igual a

w

EZ

H

(2.32)

Siendo Zw la impedancia de la onda y la impedancia intrínseca de la onda en el espacio libre con valor 377Ω. Ejemplo 1. Encuentre la resistencia de radiación de un dipolo infinitesimal cuya longitud total es l=/50.

22 / 50

80 0.316rR

Puesto que la resistencia de radiación de un dipolo infinitesimal es de cerca de 0.3Ω, presentará un desacople muy grande cuando se conecte a líneas de transmisión prácticas, las cuales tienen impedancias de 50 ó 75 Ohms. La eficiencia por reflexión y la eficiencia total serán muy bajas. Ejemplo 2. Para un dipolo infinitesimal determine e interprete la longitud de vector efectiva. A qué ángulo de incidencia ocurre el máximo voltaje de circuito abierto ocurre en las terminales del dipolo si la intensidad de campo eléctrico de la onda incidente es 10mV/m?. La longitud efectiva del dipolo es 10cm. Solución: la longitud efectiva puede obtenerse a partir de

0 0.( ) .4 4 4

jkr jkr jkro

e

kI le kI e kI eE j sen a j a lsen a j l

r r r

(2.33)

Por lo tanto la longitud efectiva de la antena viene dada por: el a lsen (2.34)

Cuyo valor máximo ocurre en 90° y es igual a 1. Por lo tanto, para lograr la máxima salida se debe tener una incidencia de 90° sobre el dipolo. El voltaje de circuito abierto máximo es igual a:

54

3 3 3max max max

. 10 10 .( ) 10 10 10oc

ieV E l a a lsen l Voltios

2.3.2 Directividad En general para dipolos la directividad infinitesimales se reduce a D0 = 1.5 = 1.76dB, que se obtiene luego de formar la densidad de potencia promedio, integrarla sobre una superficie cerrada de radio r, a continuación se determina la intensidad de radiación que lleva a obtener un máximo que ocurre en =90°, la potencia radiada se obtiene a partir de la integral sobre los ángulos direccionales de la densidad ó intensidad de potencia radiada. Se puede considerar que la intensidad de radiación normalizada viene dada por

2 ( )nU sen .

2.4 Dipolo Pequeño El arreglo geométrico más conveniente para el análisis de un dipolo es tenerlo posicionado alrededor del origen con su longitud dirigida a lo largo del eje z. La distribución de corriente de un dipolo pequeño (/50l/10) se muestra en la figura.

Fig. 2. a) Disposición de un dipolo pequeño posicionado sobre el eje z y b) Distribución triangular de Corriente dipolo pequeño

La distribución de corriente viene dada por:

0

0

(1 2 '/ ), 0 ' / 2( , , )

(1 2 '/ ), / 2 ' 0z

ez

a I z l z lI x y z

a I z l l z

(2.35)

Los campos obtenidos a partir de la integral del vector potencial A considerando la región de campo lejano cuando kr son:

55

0

0

80

8

jkr

r r

jkr

kI leE j sen

rE E H H

kI leH j sen

r

(2.36)

Para kr 1. La directividad y el área efectiva máxima son las mismas que para el dipolo infinitesimal dadas anteriormente. La resistencia de radiación depende fuertemente de la distribución de corriente, se obtendrá que respecto al dipolo infinitesimal la resistencia sea un cuarto su valor.

2

220r

lR

(2.37)

2.5 Dipolo de Longitud finita Se asume que la antena es alimentada en el centro y la corriente se desvanece en los puntos extremos, la distribución de corriente puede ser escrita como:

' '0

' ' '

' '0

/ 2 , 0 / 2( 0, 0, )

/ 2 , / 2 0

z

e

z

a I sen k l z z lI x y z

a I sen k l z l z

(2.38)

2.5.1 Campos radiados: Factor de Elemento, Factor de Espacio y Patrón de Multiplicación

El campo total de la antena es igual al producto del elemento y factores de espacio. Esto se conoce como patrón de multiplicación para fuentes distribuidas continuamente, considerando que la antena dipolo finita es subdividida en un número infinitesimal de dipolos que son incrementadas hasta lograr la longitud total. Sumando las contribuciones de todos los elementos infinitesimales, la sumatoria se reduce en el límite a una integración:

/2 /2 ' ' ' ' '

/2 /2( , , ) cos

4

jkrl l jkz

el l

keE dE j sen I x y z e dz

r

(2.39)

El factor fuera de los paréntesis cuadrados es conocido como el factor de elemento y el que está dentro del paréntesis como el factor de espacio. El factor de elemento es igual al campo de un dipolo infinitesimal unitario ubicado en el origen. El factor de elemento depende del tipo de corriente y la dirección del flujo mientras el de espacio es una función de la distribución de la corriente a lo largo de la fuente. En definitiva se obtiene los siguientes patrones de campo:

56

0

cos cos cos2 2

2

jkr

kl klI e

E jr sen

0

cos cos cos2 2

2

jkr

kl klI e

H jr sen

(2.40)

2.5.2 Potencia Radiada, Resistencia de Radiación, Directividad y resistencia de

Entrada La potencia radiada se obtiene a partir del vector de Poynting promedio integrando sobre una esfera de radio r, reduciéndose a:

2 1 12 20

r

ln( ) ( ) ( ) (2 ) 2 ( ) ( )P

4 ln( / 2) (2 ) 2 ( )

i i i

ad

i i

C kl C kl sen kl S kl S kl cos klI

C kl C kl C kl

(2.41)

Donde C=0.5772 (Constante de Euler) y Ci(x) y Si(x) son las integrales Seno y Coseno.

cos cos

( )x

i x

y yC x dy dy

y y

(2.42)

0

s( )

x

i

enyS x dy

y (2.43)

( ) 0.5772 ln( ) ( )in iC x x C x (2.44)

La resistencia de radiación puede obtenerse a partir de:

1 12 2r

2

0

ln( ) ( ) ( ) (2 ) 2 ( ) ( )2P

2 ln( / 2) (2 ) 2 ( )

i i iadr

i i

C kl C kl sen kl S kl S kl cos klR

C kl C kl C klI

(2.45)

En la siguiente gráfica se muestra la Resistencia de radiación como una función de l cuando la antena está radiando en el espacio libre.

57

Fig. 4. Resistencia de radiación, resistencia de entrada y directividad de un dipolo delgado

con distribución de corriente sinusoidal La parte imaginaria de la impedancia relativa a la máxima corriente está dada por:

22

2 ( ) cos( ) 2 ( ) (2 ) ( ) 2 ( ) (2 )4m i i i i i i

kaX S kl kl S kl S kl sen kl C kl C kl C

l

(2.46)

2.5.3 Directividad El patrón de radiación de un dipolo llega a ser más directivo cuando la longitud se incrementa. Cuando la longitud total es mayor que una longitud de onda, el número de lóbulos se incrementa y la antena pierde sus propiedades direccionales. El parámetro que es usado como figura de mérito para las propiedades direccionales de una antena es la directividad. Puede hallarse a partir de la siguiente relación:

max0

2 ( )FD

Q

(2.47)

Siendo F() y Q las siguientes funciones:

cos cos cos

2 2( , ) ( )

kl kl

F Fsen

(2.48)

58

12

12

ln( ) ( ) ( ) (2 ) 2 ( )

( ) ln( / 2) (2 ) 2 ( )

i i i

i i

C kl C kl sen kl S kl S klQ

cos kl C kl C kl C kl

(2.49)

El valor máximo de F() varía y depende de la longitud del dipolo. Valores de directividad han sido obtenidos para 0l3 y se muestran en la figura 4. Los correspondientes valores de la apertura efectiva máxima están relacionados a la directividad por:

2

04emA D

(2.50)

2.5.4 Resistencia de Entrada Se definió como la razón del voltaje a la corriente en un par de terminales o la razón de los componentes apropiados de los campos magnéticos ó eléctricos en un punto. Se puede decir que para un dipolo de longitud l, la corriente en los terminales de entrada Iin está relacionada a su corriente máxima (I0) por:

0 2in

klI I sen

(2.51)

Y la resistencia de radiación de entrada puede reescribirse como:

2

2

in

RrR

klsen

(2.52)

Valores para la resistencia de radiación se muestran en la figura 4.

Fig. 5. Distribución de corriente de una antena lineal de alambre

59

2.6 Dipolo de Media Longitud de Onda (/2) Es una de las antenas más comúnmente usadas debido a que su resistencia de radiación es de 73 muy cercano a impedancias características de líneas de transmisión reales de 50 y 75, y su acople a la línea se simplifica especialmente a resonancia. Las componentes de campo eléctrico y magnético obtenidas se reducen a:

0

0

cos cos2

2

cos cos2

2

jkr

jkr

I eE j

r sen

I eH j

r sen

(2.53)

Igualmente, la densidad de potencia promedio y la intensidad de radiación pueden escribirse respectivamente como:

2

0 32 2

2

0 32

, y8

8

av

IW sen

r

IU sen

(2.54)

La potencia radiada total viene dada por:

2

0rP (2 )

8ad in

IC

(2.55)

Siendo Cin( 2 ) 2.435. Por lo tanto, la directividad máxima del dipolo /2 es igual a:

max0

r

4 41.643

P 2.435ad

UD

(2.56)

Y la correspondiente área efectiva es igual a:

2 2

20 (1.643) 0.13

4 4emA D

(2.57)

La figura 6 muestra el patrón tridimensional de un dipolo /2. La resistencia de radiación se obtiene a partir de:

r2

0

2 P(2 ) 30 (2.435) 73

4ad

r inR CI

(2.58)

60

Ahora la impedancia de entrada total para l=/2 es igual a: 73 42.5inZ j (2.59)

Para reducir la parte imaginaria, la antena es acoplada ó reducida en longitud hasta que la reactancia se desvanezca.

Fig. 6. Patrón de radiación de un Dipolo /2.

2.7 Elementos lineales cercanos ó sobre conductores perfectos infinitos La presencia de un obstáculo, especialmente cuando es cercano al elemento radiante, puede significar alterar las propiedades de radiación del sistema de antena. Cualquier energía del elemento radiante hacia tierra experimenta una reflexión. La cantidad de energía reflejada y su dirección son controlador por la geometría y parámetros constitutivos de la tierra. En general, la tierra es un medio de pérdidas cuya conductividad efectiva se incrementa con la frecuencia. Se asume que la tierra es un conductor eléctrico, plano, e infinito en extensión. 2.7.1 Teoría de Imágenes Para analizar el desempeño de una antena cercana a un conductor plano infinito, fuentes virtuales (imágenes) serán introducidas para ser tenidas en cuenta como reflexiones. Aunque no son reales, cuando se combinan con las fuentes reales, forman un sistema equivalente. Asuma un dipolo eléctrico vertical ubicado a una distancia h sobre un conductor eléctrico perfecto, plano e infinito. La flecha indica la polaridad de la fuente. Para un punto de observación, P1, hay una onda directa. Además, una onda de la fuente actual es radiada hacia el punto R1 de la interface sufre una reflexión.

61

Fig. 6. Dipolo eléctrico vertical sobre un conductor eléctrico perfecto, plano e infinito. a)

Dipolo eléctrico vertical y b) Componentes de campo en el punto de reflexión. La dirección es determinada por la ley de la reflexión 1 1

i r que asegura que la energía

en un medio homogéneo viaja en líneas rectas a lo largo de los trayectos más cortos. La onda pasará a través del punto de observación P1. Extendiendo su trayecto actual bajo la interface, parecerá ser originada desde una fuente virtual posicionada a una distancia h bajo el límite. Para otro punto de observación P2, el punto de reflexión es R2, pero la fuente virtual es la misma que antes. La fuente virtual es ubicada a una distancia h bajo la interface tendrá una diferencia de polaridad de 180° relativa a la fuente actual. Adicional a las fuentes eléctricas, fuentes y conductores magnéticos artificiales se han introducido para ayudar en el análisis de los problemas de valor límite electromagnético. La flecha sola indica un elemento eléctrico y la doble la magnética. La dirección de la flecha indica la polaridad, así que los problemas pueden ser resueltos usando dualidad. 2.8 Dipolo Eléctrico Vertical De acuerdo a la geometría de la figura 8, las componentes directas de campo eléctrico lejano del dipolo infinitesimal de longitud l, corriente constante I0 y punto de observación P está dado por:

01

14

jkrd kI Ie

E j senr

(2.60)

La componente reflejada puede ser considerada a través de la introducción de la fuente virtual (imagen) y puede ser escrita como:

02

24

jkrr

v

kI IeE jR sen

r

(2.61)

Siendo el coeficiente de reflexión Rv=1.

62

Fig. 7. Fuentes eléctricas y magnéticas y sus imágenes cerca de conductores eléctricos

(PEC), arriba, y magnéticos (MEC), debajo. El campo total sobre la interface (z0) es igual a la suma de las componentes directas y reflejadas, se puede escribir como:

2 21

2 22

2 cos

2 cos

r r h hr

r r h hr

(2.62)

Por lo tanto, la suma de los dos campos puede ser escrita como:

0

1

2cos cos , 04

0, 0

jkrkI leE j sen kh z

r

E z

(2.63)

63

Fig. 8. Dipolo eléctrico vertical sobre conductor eléctrico perfecto e infinito El campo eléctrico total es igual al producto del campo de una fuente simple posicionada simétricamente cerca del origen y un factor que es función de la altura de la antena (h) y ángulo de observación (). Este es referido como patrón de multiplicación y el factor es conocido como factor de arreglo. Para examinar las variaciones de campo como función de la altura, los patrones de potencia normalizados (a 0dB) para h=0, /8, /4, 3/8, /2 y han sido dibujados en la figura 9.

64

Fig. 9. Patrones de amplitud del plano de elevación de un dipolo eléctrico vertical infinitesimal para diferentes alturas sobre un plano eléctrico conductor e infinito.

Cuando h alcanza valores mayores que , un número par mayor de lóbulos menores es introducido, esto se conoce como adorno con ostras, el número total de lóbulos es igual al entero más cercano a:

2

1h

Número de lóbulos

(2.64)

Puesto que el campo total del sistema de antena es diferente del de un solo elemento la directividad y resistencia de radiación son también diferentes. Para derivarlas, primero se debe encontrar la potencia radiada sobre el hemisferio superior de radio r obteniendo:

2

0r 2 3

1 cos(2 ) s (2 )P

3 (2 ) (2 )ad

I l kh en kh

kh kh

(2.65)

La intensidad de radiación es máxima para =/2 y está dada por:

2

0max /2 2

I lU U

(2.66)

La directividad puede obtenerse a través de la siguiente ecuación:

r

2 3

2P

1 cos(2 ) s (2 )3 (2 ) (2 )

adkh en kh

kh kh

(2.67)

Cuyo valor para kh=3. El valor máximo ocurre cuando kh=2.881 (h=0.4585) y es igual a 6.566 que es mayor a cuatro veces el valor de un elemento aislado. La siguiente figura ilustra el patrón de radiación de un dipolo eléctrico infinitesimal vertical.

65

Fig. 10. Patrón de amplitud del plano de elevación de un dipolo eléctrico vertical

infinitesimal a una altura de h=0.4585 sobre un conductor eléctrico perfecto e infinito. La resistencia de radiación puede ser escrita como:

r 2 3

1 cos(2 ) s (2 )2

3 (2 ) (2 )

kh en khR

kh kh

(2.68)

La resistencia de radiación dada por la anterior ecuación es graficada para 0 h 5, cuando l=/50 y el elemento está radiando al espacio libre. Puede compararse con el valor de Rr=0.316 para el elemento aislado según se obtuvo en un ejemplo anterior.

Fig. 11. Directividad y radiación de un dipolo eléctrico vertical infinitesimal (/50) como

función de su altura sobre un conductor eléctrico perfecto e infinito.

66

En la práctica ha sido ampliamente usado un monopolo de cuarto de longitud de onda (l=/4) montado sobre un plano a tierra, y alimentado por una línea coaxial. Para propósito de análisis, una imagen /4 es introducida para formar un equivalente /2 que entrega los valores de corriente para el sistema actual. La impedancia de entrada está dada por: 1

2( ) ( ) 73 42.5 36.5 21.25in inZ monopolo Z dipolo j j (2.69)

El mismo procedimiento puede ser logrado para cualquier otra longitud.

Fig. 12. Monopolo /4 sobre a) conductor eléctrico infinito y b) equivalente /4. 2.9 Fórmulas aproximadas para cálculos y diseños rápidos Buenas respuestas pueden ser obtenidas con expresiones simples pero aproximadas. Definamos G como:

/ 2 para el dipolo

para el monopolo

G kl

G kl

Donde l es la longitud total de cada elemento, la resistencia de entrada para el dipolo y monopolo pueden ser calculados aproximadamente usando:

0 / 4G (La resistencia de entrada máxima del dipolo es menor que 12.337 )

2

2

( ) 20 0 / 4

( ) 10 0 / 8

in

in

R dipolo G l

R monopolo G l

/ 4 / 2G (La resistencia de entrada máxima del dipolo es menor que 76.383 )

2.5

2.5

( ) 24.7 / 4 / 2

( ) 12.35 / 8 / 4

in

in

R dipolo G l

R monopolo G l

/ 2 2G (La resistencia de entrada máxima del dipolo es menor que 200.53 )

67

4.17

4.17

( ) 11.14 / 2 0.6366

( ) 5.57 / 4 0.3183

in

in

R dipolo G l

R monopolo G l

Ejemplo: determine la longitud de dipolo cuya resistencia de entrada es 50. Verifique la respuesta.

2.550 24.7G Despejando G se obtiene:

1.3259 / 2

0.422

G kl

l

La resistencia de entrada para 0.422 es 45.816, que se aproxima con el valor deseado de 50. Para obtener los 50 se obtiene una longitud l=0.4363. 2.10 Dipolos Doblados Para lograr unas buenas características de patrón direccional y a la vez permitir un buen acople a líneas de transmisión prácticas con impedancias características de 50 ó 75, la longitud de un solo elemento se elige usualmente entre l4/ . El dipolo más ampliamente usado es aquel cuya longitud total es 2/l , y que tiene una impedancia de entrada de 73+j42.5 con directividad máxima Do1.643. En la práctica hay líneas de transmisión con impedancias diferentes, por ejemplo, la línea de transmisión de cable plano con dos terminales usada en aplicaciones para televisión (TV) tiene una impedancia característica de 300, por lo tanto debe incrementarse la impedancia para proporcionar mejores características de acople. Variaciones de un solo dipolo pueden ser usadas, una geometría simple puede usarse, considere un alambre doblado muy delgado (s<<) en forma de lazo rectangular, este es conocido como dipolo doblado y sirve como transformador de impedancia (aproximadamente por un factor de 4 cuando 2/l ) de un solo elemento. Además, cuando 2/l y la antena es resonante, impedancias de cerca de 300 pueden lograrse. Un dipolo doblado opera básicamente como una línea de transmisión sin balancear, y puede analizarse asumiendo que su corriente está descompuesta en dos modos distintos: un modo línea de transmisión y otro modo como antena. Para el modo de línea de transmisión, figura b, la impedancia de entrada en las terminales a – b ó e – f, son obtenidas de la ecuación de transferencia de impedancia:

'

'

' /2 0

tan( )tan( / 2)

tan( )L

tL l l y Zo

Z jZo klZ Zo jZo kl

Zo jZ kl

(2.70)

Donde Zo es la impedancia característica de la línea de transmisión de dos alambres, considerando s/2a se simplifica la impedancia a:

68

Fig.13. a) Dipolo doblado (izquierda) y modelos como b) línea de transmisión equivalente

(centro) y c) antena (derecha).

2 2

110

/ 2 / 2/ 2cosh ln 0.733 log ( / )o

s s asZ s a

a a

(2.71)

La corriente de la línea de transmisión puede darse como:

/ 2

tt

VI

Z (2.72)

Para el modo antena, los puntos del generador c – d y g – h están cada uno al mismo potencial y pueden ser conectados para formar un dipolo. Cada pierna del dipolo es formada por un par de alambres con un espaciamiento muy cerrado (s<<) extendiéndose desde el alimentador al extremo terminado en corto, la corriente para el modo antena está dada por:

/ 2

ad

VI

Z (2.73)

Donde Zd es la impedancia de entrada de un dipolo lineal de longitud l y diámetro d. El radio que es usado para calcular Zd para el dipolo puede ser o de espaciamiento medio entre los alambres (s/2) ó un radio equivalente ae.

1 1 1 1

ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( / ) ln2 2 2 2e ea a s a s a as o a as

(2.74) La corriente total sobre la pierna del alimentador (lado izquierdo) del dipolo doblado está dado por:

69

(2 )

2 2 4 4a d t

in tt d t d

I V Z ZV VI I

Z Z Z Z

(2.75)

Y la impedancia de entrada en el alimentador está dada por:

4

2t d

inin d t

Z ZVZ

I Z Z

(2.76)

Fig. 14. Circuitos equivalentes para dipolos doblados de a) dos y b) N elementos

Basados en la anterior ecuación, el dipolo doblado se comporta como el equivalente de la figura 14a, en el cual la impedancia del modo antena es ajustada por un factor de cuatro. Cuando l=/2, puede mostrarse que la impedancia de entrada se reduce a:

4in dZ Z (2.77)

O la impedancia de un dipolo doblado es cuatro veces mayor que la de un dipolo aislado de la misma longitud que uno de sus lados.

Fig. 15. Dipolo doblado y dipolo regular equivalente.

Comparando el dipolo doblado al dipolo ordinario, es aparente que las corrientes de los dos brazos idénticos y muy cercanamente espaciados del dipolo doblado son iguales a la corriente del dipolo ordinario, ó:

70

2 f dI I (2.78)

Donde If es la corriente del dipolo doblado e Id es la corriente del dipolo ordinario. Además, la entrada de potencia de los dos dipolos es idéntica, ó:

2 21 1

2 2f f f d d dP I Z P I Z (2.79)

Reemplazando Id obtenemos: 4f dZ Z (2.80)

Para un mejor entendimiento de la transformación de impedancias de conductores espaciados muy cercanamente y que forman un dipolo doblado multielemento, hagamos referencia a la figura 14b, para N elementos, el voltaje equivalente en el centro de cada conductor es V/N y la corriente es In, con n=1, 2, 3, …, N. Además, el voltaje a través del primer conductor puede representarse por:

11

N

n nn

VI Z

N

(2.81)

Donde Z1n representa la impedancia mutua o auto impedancia entre el primer y n-ésimo elemento. Debido a que los elementos están muy cerca: 1 1 11n nI I y Z Z (2.82)

Para todos los valores de n=1, 2, 3, …, N. Entonces se puede escribir:

2 21 11

1

N

n n rn

VI Z N Z N Z

N

(2.83)

Puesto que la auto-impedancia Z11 del primer elemento es la misma impedancia Zr en la ausencia de elementos. De la misma manera para un dipolo doblado de tres elementos con igual diámetro y l=/2, la impedancia de entrada podría ser cerca de nueve veces mayor que la de un elemento aislado ó cerca de 650. En la figuras 16 y 17 se presenta la resistencia y reactancia de entrada de un dipolo de dos elementos graficado como función de l/, cuando el diámetro de cada alambre es d = 2a = 0.001 y el espaciado entre elementos es 0.00613. La impedancia característica de tal línea de transmisión es 300. Un dipolo doblado de dos elementos es ampliamente usado junto con líneas de doble terminal como elementos alimentador para antenas de televisión tal como las Yagi-Uda. Aunque la impedancia de un dipolo aislado puede ser de cerca de 300, su valor es diferente cuando se usa en un arreglo o con un reflector. El dipolo doblado tiene mejores características de ancho de banda que un dipolo simple del mismo tamaño.

71

Ejemplo: Supongamos que el diámetro de un tubo para construir un dipolo doblado es d = 2a = 0.001 y el espaciado entre elementos es s=0.00613. La impedancia característica de tal línea de transmisión es 300 y se obtiene a partir de:

1 1/ 2 120 / 2cosh 300 cosho

S SZ

a a

Reemplazando los valores de s y a se obtiene:

1120cosh 6.13oZ

Utilizando la aproximación -1 2cosh (x)=ln(x x -1)

1 2120cosh 6.13 120ln 6.13 6.13 -1oZ

120ln(12.17788) 120*2.4996 300oZ

Fig. 16. Resistencia de entrada de un dipolo doblado.

72

Fig. 17. Reactancia de entrada de un dipolo doblado.

73

3. ARREGLOS LINEALES

3.1 Introducción Usualmente el patrón de radiación de un solo elemento es relativamente amplio, y cada elemento proporciona valores bajos de directividad (Ganancia). En varias aplicaciones es necesario diseñar antenas con características muy directivas (ganancias muy altas) para encontrar las demandas de la comunicación a larga distancia. Esto puede ser logrado incrementando la longitud eléctrica de la antena. Otra forma es incrementar las dimensiones de la antena, sin necesidad de incrementar el tamaño de los elementos individuales, es formar un ensamble de elementos radianes en una configuración eléctrica y geométrica. Esta nueva antena formada por multielementos es conocida como un arreglo, con la característica de que los elementos del arreglo pueden tener cualquier forma (alambres, aperturas, etc.).

El campo total del arreglo es determinado por la adición del vector de los campos radiados por cada elemento. Esto tiene en cuenta que la corriente en cada elemento es la misma como si se considerara el elemento aislado (despreciando el acople), lo cual no es cierto y depende de la distancia de separación entre estos. Para formar patrones muy directivos, es necesario que los campos desde los elementos del arreglo interfieran constructivamente (se adicionen) en las direcciones deseadas e interfieran destructivamente (se cancelen entre sí) en el espacio restante. En un arreglo de elementos idénticos, hay al menos cinco controles que pueden ser usados para formar el patrón completo de la antena, estos son:

1. Configuración geométrica del arreglo completo (lineal, circular, rectangular, esférico, etc.)

2. Espaciamiento relativo entre elementos 3. Amplitud de excitación en los elementos individuales 4. Fase de excitación de los elementos individuales 5. Patrón relativo de los elementos individuales 3.2 Arreglo de dos Elementos

Se asume que la antena consiste de un arreglo de dos dipolos infinitesimales horizontales posicionados a lo largo del eje z, como se muestra en la figura 1. El campo total radiado, asumiendo que no hay acople entre los elementos es la suma de la contribución de cada dipolo y está dado por:

1 2( /2) ( /2)

1 2 1 21 2

cos cos4

j kr j kro

t

kI l e eE E E a j

r r

(1.1)

74

Donde β es la diferencia de fase en la excitación de los elementos. La magnitud de excitación de los radiadores es idéntica. Asumiendo observaciones de campo lejano y refiriéndose a la figura 1,

1 2

1

2

1 2

cos2 Para variaciones de Fase

cos2

r r r Para variaciones de Amplitud

dr r

dr r

(3.1)

Fig. 1. Geometría de un arreglo de dos elementos posicionado a lo largo del eje z.

Según la aplicación existen diversas formas para hacer el arreglo es decir la ubicación de los elementos para la construcción de la antena, se comienza analizando algo simple, por ejemplo, ordenando el arreglo de los elementos puestos en una línea recta, lo cual sirve como enfoque de la interpretación física.

Por lo que la ecuación 1 se reduce a

cos cos /2cos4

jkrj kd j kdo

t

kI leE a j e e

r

cos 2cos cos4

jkro

t

kI leE a j kd

r

(3.2)

75

De esta ecuación el campo total del arreglo es igual al campo de un solo elemento posicionado en el origen y multiplicado por un factor que será ampliamente referido como factor de arreglo. Además para un arreglo de dos elementos de amplitud constante, el factor de arreglo está dado en forma normalizada puede ser escrito como

12cos cos

2nAF kd

(3.3)

El factor de arreglo es una función de la geometría de un arreglo y la excitación de fase.

Variando la separación d y/o la fase entre los elementos, las características del factor de arreglo y del campo total del arreglo pueden ser controladas.

Se ha mostrado que el campo de zona lejana de un arreglo uniforme de dos elementos idénticos es igual al producto del campo de un solo elemento, en un punto de referencia seleccionado (usualmente el origen), y el factor de arreglo de ese arreglo. Esto es,

( ) (Elemento único en el punto de referencia) Factor de ArregloE total E (3.4)

Esto es conocido como el patrón de multiplicación para arreglos de elementos idénticos. Cada arreglo tiene su propio factor de arreglo. En general, el factor de arreglo es una función del número de elementos, su arreglo geométrico, sus magnitudes relativas, sus fases relativas, y su espaciado. Obviamente este factor será más simple si tiene amplitudes, fases y espaciado idénticos.

Ejemplo 1: Dado el arreglo de la figura a y b. encuentre los nulos del campo total cuando / 4d y

. 0

.2

.2

a

b

c

Solución

. 0a

Cuando β = 0 o /2, sin importar la longitud de los elementos se encuentra (matemáticamente) que se hace nulo el campo la razón es porque el elemento en la parte de abajo tiene una fase inicial de 90º, como la onda viaja hacia el eje positivo, esto genera un retardo de fase cuando llega hacia el extremo del elemento superior. Esto genera un desfase

76

total de 180º, lo cual hace que las ondas tengan efectos contrarios a lo largo de eje en que se ubican los dipolos.

Un caso similar ocurre matemáticamente y físicamente si se observa el mismo ángulo pero

ahora visto desde la parte interior, es decir β = -/2

El campo normalizado está dado por

cos cos cos4tnE

Los nulos son obtenidos ajustando el campo total igual a cero, ó

cos cos cos 04

n

tnE

Además

cos 0 90n n

y

cos cos 0 cos , 04 4 2 2n n n

El único nulo ocurre en 90 y esto es debido al patrón de los elementos individuales. El factor de arreglo no contribuye a nulos adicionales debido a que no hay suficiente separación entre los elementos para introducir una diferencia de fase de 180° entre los elementos, para cualquier ángulo de observación.

.2

b

El campo normalizado está dado por

cos cos cos 14tnE

Los nulos son encontrados desde

cos cos cos 1 04

n

tnE

77

Además

cos 0 90n n

y

cos cos 1 0 cos 1 04 4 2

n

n n

y

cos 1 no existe4 2n n

Los nulos del arreglo ocurren en 90 y 0°. El nulo en 0° es introducido por el arreglo de elementos (factor de arreglo). Esto puede mostrarse por razonamiento físico, como se muestra en la figura 2. El elemento negativo en el eje z tiene un retraso de fase inicial de 90° relativo al otro elemento. Cuando la onda desde ese elemento viaja hacia el eje z

positivo (dirección =0°), este experimenta un retardo adicional de fase de 90° cuando arriba al otro elemento sobre el eje positivo. Además, hay un total de 180° de diferencia de

fase entre las ondas de los dos elementos cuando el viaje es hacia el eje positivo z (=0°).

Las ondas de los dos elementos están en fase cuando viajan en el eje z negativo (=180°), como se muestra en la figura 2.

.2

c

El campo normalizado está dado por

cos cos cos 14tnE

Los nulos son encontrados desde

cos cos cos 1 04

n

tnE

Además

cos 0 90n n

y

78

cos cos 1 0 cos 1 No existe y4 4 2

n

n n

Fig. 2. Acumulación de fase para arreglo de dos elementos y formación de nulos hacia =0° y 180°.

cos 1 180°4 2n n

Los nulos ocurren en 90° y 180°. El elemento en el eje z positivo tiene una retraso de fase de 90° relativo al otro, y la diferencia de fase es 180° cuando el viaje es restringido hacia el eje z negativo. No hay diferencia de fase cuando las ondas viajan hacia el eje z positivo. Un diagrama similar al de la figura puede ser usada para ilustrar este caso.

Ahora entendido esto la regla de multiplicación patrón consiste en una multiplicación del patrón del elemento sencillo por el factor de arreglo. Estos dos se normalizan a 3 dB. El resultado es una fusión del factor de arreglo con el patrón del elemento sencillo cuyos valores van de 0 a 3 dB la fusión es el resultado de la multiplicación que se va realizando en forma angular entre el factor de arreglo con el patrón del elemento sencillo. Un ejemplo de esto se aprecia en la figura 3.

79

Fig. 3. Elemento, factor de arreglo, y patrón total de campo de un arreglo de dos elementos

de dipolos horizontales infinitesimales con excitación idéntica de fase (=0°, d=/4).

Fig. 6.4 b) =-90° y d=/4 (Continuación).

80

Ejemplo 2: Considere un arreglo de dos dipolos infinitesimales idénticos orientados como

se muestra en la figura a y b. para una separación d y diferencia de fase de excitación entre los elementos, encuentre los ángulos de observación donde los nulos pueden ocurrir. La magnitud de la excitación de los elementos es la misma.

Solución: El campo total normalizado del arreglo está dado por

1cos cos cos

2tnE kd

Para encontrar los nulos, el campo es ajustado a cero, ó

1cos cos cos 0

2n

tnE kd

Además,

cos 0 90n n

y

1 1 2 1cos cos cos 0 cos

2 2 2tn n

nE kd kd

1cos 2 1 , 0,1,2,...2n n n

d

El nulo en =90° es atribuido al patrón de los elementos individuales del arreglo mientras los restantes son debidos a la formación del arreglo. Para que no haya diferencia de fase

entre los elementos (=0), la separación d debe ser mayor o igual que media longitud de

onda (d ≥/2) para que al menos un nulo, debido al arreglo, ocurran.

3.3 Arreglo Lineal de N Elementos: Espacio y Amplitud Uniforme

Ya que el arreglo de elementos ha sido introducido e ilustrado para el caso de dos elementos, se generaliza un procedimiento similar para N elementos. De acuerdo a la geometría de la figura 5, se asume que todos los elementos tienen igual longitud pero cada

elemento que viene detrás tiene una fase progresiva que lleva a una excitación de

corriente relativa a la precedente ( representa la fase por la cual la corriente en cada

81

elemento lleva la corriente del elemento precedente). Un arreglo de elementos idénticos todos con igual magnitud y cada uno con fase progresiva son conocidos como arreglo uniforme. El factor de arreglo puede ser obtenido considerando los elementos como fuentes puntuales. Si los elementos actuales no son fuentes isotrópicas, el campo total puede ser formado multiplicando el factor de arreglo de las fuentes isotrópicas por el campo de un solo elemento. Esta es la regla del patrón de multiplicación de 3.4, y aplica solo para arreglos de elementos idénticos.

El factor de arreglo está dado por

( cos ) 2( cos ) ( 1)( cos )1 ...j kd j kd j N kdAF e e e

( 1)( cos )

1

Nj n kd

n

AF e

(3.5)

Que puede ser escrita como

( 1)

1

Nj n

n

AF e

(3.6)

Donde coskd

Puesto que el factor de arreglo total para el arreglo uniforme es una suma de exponenciales, este puede ser representado por la suma vectorial de N fasores cada uno con amplitud unitaria y fase progresiva (incrementándose de forma relativa) el factor de arreglo puede ser entonces controlado por fase entre los elementos de (ψ). La amplitud y la fase del AF pueden ser controlados en arreglos uniformes seleccionando apropiadamente la fase relativa entre los elementos: en arreglos no uniformes, la amplitud y fase pueden ser usados para controlar la formación y distribución del factor de arreglo total.

Multiplicando ambos lados de 7 por e j, se puede escribir como

2 3 ( 1)( ) ...j j j j j N jNAF e e e e e e (3.7)

Substrayendo 7 de 8 se reduce a

( ) 1 1jN jNAF e e (3.8)

82

Fig. 5 Geometría de campo lejano y diagrama fasorial de arreglo de N elementos de fuentes isotrópicas.

En la figura 5 se muestra como el factor de arreglo de N elementos se puede formar por la suma de vectores asignados al efecto de cada elemento del arreglo.

El cual escrito de forma simplificada queda

( /2) ( /2)

( 1)/2

( /2) ( /2)

1

1

jN j N j Nj N

j j N j N

e e eAF e

e e e

( 1/2) 212

j N

Nsen

AF esen

(3.9)

En el punto de referencia es el centro físico del arreglo, el factor de arreglo de 10 y se reduce a

212

Nsen

AFsen

(3.10)

y para valores pequeños de , la anterior expresión se reduce aproximadamente por

83

1 2

2

n

Nsen

AFNN

(3.11)

Y

2

2

n

Nsen

AFN

(3.12)

Para encontrar los nulos del arreglo, las ecuaciones 11 y 12 son ajustadas a cero. Esto es

1 20 cos

2 2 2nn

N N nsen n

d N

(3.13)

1, 2,3,...

, 2 ,3 ,..., con 3.11

n

n N N N

Para , 2 ,3 ,...n N N N (3.11) logra sus valores máximos debido a que se reduce a la forma

sen(0)/0. Los valores de n determinan el orden de los nulos (primero, segundo, etc.). Para que un cero exista, el argumento del arco seno no debe exceder la unidad. Además este número de nulos que pueden existir serán una función de la separación de los elementos d y

la diferencia de excitación de fase .

Los valores máximos de (3.11) ocurren cuando

11cos cos 2

2 2 2mmkd m m

d

(3.14)

0,1,2,...m

El factor de arreglo de (3.12) tiene solamente un máximo y ocurre cuando m=0 en 3.14. Esto es,

1cos2m d

(3.15)

Que es el ángulo de observación que hace que sea igual a 0.

84

El punto de 3-dB para el factor de arreglo de 3.12 ocurre cuando

1 2.782

2 2h send N

(3.16)

Que para valores grandes de d (d), se reduce a

2.782

2 2h d N

(3.17)

El ancho de haz de media potencia h puede ser encontrado una vez los ángulos del primer

máximo (m) y el punto de media potencia (h) son determinados. Para un patrón simétrico

2h m h (3.18)

Para el factor de arreglo de 3.12, hay un máximo secundario que ocurre aproximadamente cuando el numerador de 3.12 logra su valor máximo.

2 1

, 1, 2,3,...2 2s

ss

d N

(3.19)

Para valores grandes de d (d), se reduce a

2 1

, 1, 2,3,...2 2s

ss

d N

(3.20)

El máximo del primer lóbulo menor de 11 ocurre aproximadamente cuando

3

( cos )2 2 2s

N Nkd

(3.21)

Ó cuando

1 2 1cos

2s

s

d N

(3.22)

En ese punto, la magnitud de 3.12 se reduce a

85

1

220.212

32

s

n

s

Nsen

AFN

(3.23)

Que en dB equivale a

10

220log 13.46

3nAF dB

Además el máximo del primer lóbulo menor del factor de arreglo de 3.12 está 13.46dB por debajo del máximo en el lóbulo principal.

3.4 Arreglo de lado amplio (Broadside)

En muchas aplicaciones es deseable tener la radiación máxima de una serie dirigido normal

al eje de la serie (lado amplio; 0=90° en la Figura 5a) para perfeccionar el diseño, los

máximos del solo elemento y del factor de la serie deben dirigirse hacia 0 = 90°. Los requisitos de los elementos únicos pueden lograrse por la separación y excitación apropiada de los radiadores. En esta sección, los requisitos que permiten que el factor radie “eficientemente” en el lado amplio serán desarrollados.

cos 0kd (3.24)

Puesto que se desea tener el primer máximo dirigido hacia 0 90 , entonces

90cos 0kd

Además, para tener el máximo del factor de arreglo dirigido de lado amplio a lo largo del eje del arreglo, es necesario que todos los elementos tengan la misma excitación de fase. La separación entre elementos puede ser de cualquier valor. Para asegurar que no haya un máximo en otra dirección, conocidos como lóbulos enrejados, la separación entre los elementos no debería ser igual a múltiplos de la longitud de onda ( , 1,2,3,...d n n )

cuando =0. Si , 1, 2,3,...d n n y =0, entonces:

0 0 ,180

1,2,3,...

cos 2 cos 2d n

n

kd n n

(3.25)

Este valor de sustituido en 3.11 hace que el factor de arreglo logre su valor máximo.

Entonces, para un arreglo uniforme con =0 y d=n, además de tener el máximo del factor

86

de arreglo dirigido del lado amplio ( 0 90 ) hacia el eje de arreglo (radiación extremo de

fuego).

Uno de los objetivos en varios diseños es evitar múltiples máximos, además del máximo principal, por lo que el espaciado más grande entre los elementos no debe ser menor que

una longitud de onda (dmax<).

Para ilustrar el método, el factor de arreglo tridimensional de un arreglo uniforme de 10

elementos (N=10) con =0 y d=/4 se muestra en la figura 6, igualmente para tener un

punto de comparación se ha pintado el mismo patrón pero con d=. Como se observa,

además de tener un máximo en 0 90 , hay otros máximos adicionales dirigidos hacia

0 0 y 180°. Los correspondientes patrones bidimensionales se muestran en la figura 7.

Fig. 6 Patrones de amplitud tridimensional para arreglos de lado amplio y extremo de fuego (N=10)

3.5 Arreglo Ordinario Extremo de Fuego

En lugar de tener el costado de la radiación máximo al eje de la serie, puede sea deseable dirigirlo a lo largo del eje de la serie (extremo de fuego), puede ser necesario que radia

hacia sólo una dirección (0=0° ó 180° de la Figura 5).

Para dirigir el primer máximo hacia 0=0°,

87

0

cos 0kd kd kd

(3.26)

Si el primer máximo es deseado hacia 0=180°, entonces

180

cos 0kd kd kd

(3.27)

Fig. 7. Patrón de factor de arreglo bidimensional de un arreglo de lado amplio (N=10, =0).

Además la radiación de extremo de fuego es d=/2, y existe simultáneamente en las dos direcciones. Si el espaciado del elemento es múltiplo de una longitud de onda ( , 1, 2,3,...d n n ), entonces además de tener una radiación extremo de fuego en las dos

direcciones, existe un máximo en las direcciones del lado amplio. Además para , 1,2,3,...d n n hay cuatro máximos, dos en las direcciones del lado amplio y dos a lo

largo del eje del arreglo. Para tener solamente un máximo extremo de fuego y evitar cualquier lóbulo enrejado, el espaciado máximo entre los elementos debería ser menor que

dmax</2. La figura 8 ilustra los patrones de radiación tridimensionales para un arreglo de

diez elementos con d=/4, =+kd. Cuando =-kd el máximo es dirigido a lo largo de 0=0°,

sin embargo, para =+kd, el máximo está orientado hacia 0=180°.

88

Fig. 8. Patrón de amplitud tridimensional para arreglos extremo de fuego hacia 0=0° y

180° (N=10 y d=)

Fig. 9. Patrón del factor de arreglo para un arreglo de amplitud uniforme extremo de fuego

de 10 elementos (N=10 y d=/4).

89

Tabla 1. Nulos, máximos, puntos de media potencia y máximo del lóbulo menor para arreglos de lado amplio de amplitud uniforme.

Nulos 1cos

1,2,3,...

, 2 ,3 ,...

n

n

N d

n

n N N N

Máximo 1cos

0,1,2,...

m

m

d

m

Puntos de media potencia 1 1.391cos

/ 1

h Nd

d

Máximo del lóbulo menor 1 2 1

cos2

1,2,3,...

/ 1

s

s

d N

s

d

Tabla 2. Anchos de haz para arreglos de lado amplio de amplitud uniforme

Ancho de haz de primer nulo (FNBW) 12 cos

2n Nd

Ancho de haz de media potencia (HPBW) 1 1.391

2 cos2

/ 1

h Nd

d

Ancho de haz de primer lóbulo lateral (FSLBW)

1 32 cos

2 2

/ 1

s Nd

d

90

3.6 Arreglo por fases (Escaneo)

En las dos secciones anteriores se mostró como dirigir la radiación principal de un arreglo, controlando la excitación de la fase entre los elementos, en direcciones normal (lado ancho) y a lo largo del eje (extremo de llama). Entonces es lógico asumir que el máximo de radiación se puede orientar en cualquier dirección para formar un arreglo por fases. Vamos a asumir que la radiación máxima del arreglo se requiere esté orientada a un ángulo

0 0 180 . Para lograr esto, la excitación de fase entre elementos debe ser

ajustada de manera que

00cos cos 0 coskd kd kd

(3.28)

Controlando la diferencia progresiva de la fase entre los elementos, la radiación máxima puede ser mirada de reojo in cualquier dirección para formar un arreglo de escaneo. Como la tecnología de arreglos en fase debe tener un seguimiento continuo, el sistema debe ser capaz de variar continuamente la fase progresiva entre los elementos. En la práctica esto se logra por medio de desplazadores de fase a diodo ó de ferrita. En el primer caso, se usa varactores híbridos acoplados y balanceados, el desplazamiento de fase actual es controlado variando el voltaje de polarización dc (típicamente 0-30 voltios) ó por un comando digital a través de un conversor análogo a digital (DAC). Ahora para los desplazadores de ferrita, el control se hace con el campo magnético dentro de la ferrita, el cual a su vez es controlado por la cantidad de corriente que fluye a través de los alambres del bobinado alrededor del desplazador de fase.

Fig. 10. Desplazador de fase por conmutación de línea incremental usando diodos PIN.

En la figura 10 se muestra un desplazador de fase a diodo PIN con conmutación de línea incremental, el diseño es simple, directo, liviano y de alta velocidad. Las líneas de longitudes l1 y l2 son activadas y desactivadas controlando la polarización de los diodos

91

PIN, usando conmutadores de un polo doble tiro, como se observa en la figura. El desplazamiento de fase diferencial, proporcionado por la activación y desactivación de los dos trayectos, está dado por

2 1( )k l l (3.29)

El diseño depende de la elección de las longitudes y frecuencia de operación y utiliza generalmente varios desplazadores de fase incremental para cubrir el rango completo (0-180°) de la fase.

Tabla 3. Nulos, máximo, puntos de media potencia y máximo del lóbulo menor para arreglos ordinarios Extremo de Llama de Amplitud Uniforme.

Nulos 1cos 1

1,2,3,...

, 2 ,3 ,...

n

n

N d

n

n N N N

Máximo 1cos 1

0,1,2,...

m

m

d

m

Puntos de media potencia 1 1.391cos 1

/ 1

h Nd

d

Máximo del lóbulo menor 1 2 1cos 1

2

1,2,3,...

/ 1

s

s

Nd

s

d

Tabla 4. Anchos de Haz para arreglos ordinarios Extremo de Llama de Amplitud Uniforme.

Ancho de haz de primer nulo (FNBW) 12cos 1n Nd

92

Ancho de haz de media potencia (HPBW) 1 1.391

2cos 1

/ 1

h Nd

d

Ancho de haz de primer lóbulo lateral (FSLBW)

1 32cos 1

2

/ 1

s Nd

d

Para demostrar el principio de escaneo, el patrón de radiación tridimensional de un arreglo

de 10 elementos, con una separación /4 entre los elementos y con el máximo de vista en la

dirección 0=60°, se grafica en la figura 11. Y el correspondiente patrón se muestra en la figura 12.

El ancho de haz de media potencia se obtiene usando 16 con 0coskd .

1 10 0cos cos 0.443 cos cos 0.443h L d L d

(3.30)

Donde L es la longitud del arreglo, esta ecuación puede ser usada para calcular el ancho de haz de media potencia de un arreglo de lado amplio, sin embargo, no es válido para arreglos extremo de fuego. Una gráfica del ancho de haz de media potencia (en grados) como función de la longitud del arreglo se muestra en la figura 12. Esas curvas son válidas para arreglos de lado amplio, ordinarios extremo de llama, y de escaneo uniforme.

3.7 Arreglo extremo de fuego Hansen-woodyard

Para mejorar la directividad de un arreglo extremo de fuego sin destruir ninguna de sus características, Hansen and woodyard en 1938 propusieron que el desplazamiento de fase requerida entre elementos cercanamente espaciados de un arreglo muy largo debería ser:

0

2.92Para un máximo en =0°kd kd

N N

(3.31)

0

2.92Para un máximo en =180°kd kd

N N

(3.32)

93

Fig. 11 Patrón tri y bidimensional para un factor de arreglo de escaneo 10 elementos de

amplitud uniforme (N=10, 0coskd , 0=60° y d=/4).

Esos requerimientos son conocidos como las condiciones de Hansen-woodyard para radiación extremo de fuego. Llevan a directividades más grandes pero no necesariamente

producen la directividad máxima posible. Para lograr mejores valores debe asumir valores de

Para máxima radiación a lo largo de 0=0°

0 180

cos y coskd kdN

(3.33)

Para máxima radiación a lo largo de 0=180°

180 0

cos y coskd kdN

(3.34)

Debe tenerse especial cuidado para encontrar el requerimiento de para cada arreglo.

Para un arreglo de N elementos, la condición es satisfecha usando las ecuaciones 31 y 32,

para 0=0° y 180°, y eligiendo un espaciado de

1

4

Nd

N

(3.35)

94

Fig. 12 Ancho de haz de media potencia para arreglo lineal uniforme de escaneo, de lado amplio y ordinario extremo de fuego.

Si el número de elementos es grande, la anterior ecuación puede aproximarse a

4

d (3.36)

Además, para un arreglo uniforme grande, la condición de Hansen-Woodyard puede producir solamente una directividad mejorada si el espaciado entre los elementos es

aproximadamente /4.

Para ilustrar este tipo de diseño, la figura 13 muestra patrones de campo tridimensionales

de diseños extremo de fuego Hansen-Woodyard, para N=10 y d=/4, ubicados entre sí. Aparentemente el lóbulo principal del extremo de fuego ordinario es más amplio (HPBW=74°) que el Hansen-Woodyard (HPBW=37°), además de una mayor directividad para el Hansen-Woodyard. Sin embargo, el lóbulo lateral del llama de fuego ordinario es

95

inferior (cerca de -13.5dB) comparado al Hansen-Woodyard, que es cerca de -8.9dB. El lóbulo lateral menor del extremo llama de fuego ordinario no es suficiente para desplazar el beneficio del ancho de haz más estrecho del Hansen-Woodyard que lleva a una mayor directividad, el cuál logra un 73% de incremento en la directividad para este caso.

Fig. 13. Patrones tridimensionales para diseños ordinario y Hansen-Woodyard extremo de

fuego para N=10 y d=/4.

3.8 Arreglo lineal de N elementos: Directividad

El criterio debe ser encontrado para lograr radiación de lado amplio y extremo de fuego ya han sido tratados, ahora se propone una síntesis de una figura de mérito en la operación de los sistemas, la directividad, a continuación se presenta una tabla donde se sintetiza las fórmulas que permiten calcular este parámetro en función de la longitud, el número de elementos y el espaciado.

Tabla 4. Directividades para arreglo de lado Amplio y Extremo de Fuego

Arreglo Directividad

Lado Amplio 0 2 2 1 2

d L d LD N

d

Extremo de Fuego 0 04 4 1 4 Solamente un máximo ( =0° ó180°)

d L d LD N

d

96

(Ordinario) 0 02 2 1 2 Dos máximos ( =0° ó180°)

d L d LD N

d

Extremo de Fuego (Hansen-Woodyard)

0 1.805 4 1.805 4 1 1.805 4

2 / ,

d L d LD N

d

N d L d

Ejemplo Arreglo de lado amplio: dado un arreglo lineal, uniforme de lado amplio de 10

elementos isotrópicos (N=10) con una separación de /4 entre elementos, encuentre la directividad del arreglo.

Solución:

102 5 10log (5) 6.99o

dD N dB

Ejemplo Arreglo ordinario extremo de fuelo: dado un arreglo lineal, uniforme extremo de

fuego de 10 elementos (N=10) con una separación /4 entre elementos, encuentre la directividad del factor de arreglo. Este arreglo es idéntico al de lado amplio

Solución:

104 10 10log (10) 10o

dD N dB

Ejemplo Arreglo Hansen-Woodyard extremo de fuego: Dado un arreglo lineal uniforme extremo de fuego (con directividad mejorada) Hansen-Woodyard con 10 elementos y

separación /4 entre elementos, encuentre su directividad. Este arreglo es idéntico al de los ejemplos anteriores.

101.805 4 18.05 10log (18.05) 12.56o

dD N dB

El valor de esta directividad es 1.085 veces mayor que para el caso ordinario extremo de fuego y 3.61 veces más grande que para el diseño de lado amplio.

Ejemplo Arreglo lineal uniforme de Escaneo: Diseñe un arreglo lineal uniforme de escaneo

cuyo máximo del factor de arreglo está 0=30° del eje del arreglo. El ancho de haz de

97

media potencia deseado es 2° mientras que el espaciado entre los elementos es /4. Determine la excitación de los elementos (amplitud y fase), longitud del arreglo (en longitudes de onda), número de elementos y directividad (en dB).

Solución: puesto que el diseño deseado es un arreglo de escaneo lineal uniforme, la amplitud de la excitación es uniforme. Sin embargo, la pase progresiva entre los elementos es:

0

2cos cos(30 ) 1.36 77.94

4kd radianes

La longitud del arreglo es obtenida usando un procedimiento iterativo o una solución gráfica de la figura 12. Usando la gráfica de la figura 12 para el escaneo del ángulo de 30° y ancho de haz de media potencia de 2°, la longitud aproximada más un espaciado (L+d)

del arreglo es 50 más la longitud de una dimensión espacial de la figura 12 y ángulo de escaneo 30°, la ecuación 30 lleva a un ancho de haz de media potencia de 2.03°, que está muy cercano al valor deseado de 2°. Por consiguiente la longitud del arreglo para el

espaciado de /4 es 49.75.

Puesto que la longitud del arreglo es 49.75 y el espaciado entre elementos es /4, el número total de elementos es

501 200

1/ 4

L L dN

d d

A partir de este valor y por integración numérica usando la intensidad de radiación se obtiene un valor de directividad de 100.72 ó 20.03dB.

98

4. ACOPLES PARA ANTENAS 4.1 Generalidades La operación de un sistema de antena sobre un rango de frecuencia no solo depende completamente de la respuesta en frecuencia del elemento de la antena por si misma sino de la frecuencia característica de la combinación elemento de la antena y línea de transmisión. En la práctica, las líneas de transmisión tienen componentes de impedancia real y las antenas impedancias complejas y la variación de cada uno como función de la frecuencia no es la misma, por lo tanto, debe diseñarse redes de acople que intenten minimizar las pérdidas sobre un rango de frecuencia deseado. 4.2 Acople con Stub El acople ideal a una frecuencia dada puede lograrse ubicando un stub en paralelo en corto circuito o circuito abierto a una distancia s de la conexión línea de transmisión – elementos de antena, ver figura 1. Asumiendo impedancia característica real, la longitud s es controlada de forma que haga la parte real de la impedancia de la antena igual a la impedancia característica. La longitud l de la línea en paralelo es variada hasta que la susceptancia del stub es igual en magnitud pero opuesto en fase a la susceptancia de la línea de entrada en el punto de la conexión de la línea de transmisión – elementos de antena. El procedimiento de diseño se ilustra mejor gráficamente con el uso de la carta de Smith, un stub único con longitud variable l no siempre puede acoplar toda la impedancia de la antena, un arreglo de doble stub posicionado a una distancia fija s de la carga, con la longitud de cada stub variable y separada por una longitud constante d, acoplará la mayoría de impedancias de antena y un stub triple siempre ajustará todas las cargas, sin embargo, la complejidad en su construcción es un compromiso a considerar. 4.3 Transformador de longitud cuarto de onda Sección única: otra técnica que puede ser usada para acoplar la antena a la línea de transmisión es usar un transformador /4. Si la impedancia de la antena es real, el transformador es acoplado directamente a la carga. Sin embargo, si la impedancia de la antena es compleja, el transformador es ubicado a una distancia so lejos de la antena, como se muestra en la figura 1b. La distancia so es elegida de forma que la impedancia de entrada hacia la carga en so sea real y designada como Rin. Para proporcionar un acople, la

impedancia característica del transformador Z1 debería ser oin ZRZ 1 , donde Zo es la

impedancia característica (real) de la línea de transmisión de entrada. El transformador es usualmente otra línea de transmisión con la impedancia característica deseada. Debido a que la impedancia característica de la mayoría de líneas de transmisión están limitadas en rango y valores, es más apropiado su uso con líneas de transmisión microcinta dado que la impedancia característica puede ser cambiada simplemente variando el ancho del centro del conductor.

99

Fig. 1. Acoples y técnicas microcinta: Acople shunt, /4, Transformador /4 de N secciones, Arreglo microcinta, microcinta vista superior y microcinta vista lateral.

4.3.1 Secciones múltiples: para acoples que son menos sensitivos a variaciones de

frecuencia y proporcionan mayores anchos de banda, se requiere múltiples secciones /4. El número y la impedancia característica de cada sección puede ser diseñado de forma que el coeficiente de reflexión continúe dentro del ancho de banda de la frecuencia deseada, establezca variaciones que sean simétricas dentro de la frecuencia central.

El coeficiente de reflexión de entrada total in para un transformador /4 de N secciones con RL > Zo puede ser escrito aproximadamente como:

2

0

( )N

j nin n

n

f e

(4.1)

100

Donde

1

1

2

4 2n n o

nn n o

Z Z fy k l

Z Z f

(4.2)

n Representa el coeficiente de reflexión en la unión de dos líneas infinitas con

impedancia característica Zn y Zn+1, fo representa la frecuencia central deseada y f la frecuencia de operación, esta consideración es válida si RL Zo, si RL < Zo los n ’s

deben ser remplazados por - n ’s. Los n s y las Zn’s para una impedancia de carga real

serán reales.

4.3.2 Diseño Binomial: una técnica usada para diseñar un transformador /4 de N secciones, requiere que el coeficiente de reflexión de entrada tenga característica pasabanda plana. Los coeficientes de reflexión n ’s son derivados usando la

expansión binomial, igualamos (1) a:

2

0

2

0

( ) cos ( )

( ) 2

Nj n jN NL o

in nn L o

NN N j nL o

in nnL o

R Zf e e

R Z

R Zf C e

R Z

(4.3)

Donde: NnnnN

NC N

n ...,,2,1,0,!)!(

!

Nn

oL

oLNn C

ZR

ZR

2 y para este tipo de diseño, el ancho de banda fraccional f / fo

está dado por:

0 2

2 2 1 2 1m mm

o o o

f f ff

f f f

(4.4)

Puesto que:

o

mo

mm f

f

24

2

Simplificando podemos obtener:

1/

142 cos

N

m

o L o L o

f

f R Z R Z

(4.5)

Donde m es el valor máximo del coeficiente de reflexión que puede ser tolerado dentro del ancho de banda.

101

El procedimiento de diseño usual es especificar:

a. La impedancia de carga RL b. La impedancia característica de entrada (Zo) c. El número de secciones (N) d. El coeficiente de reflexión máximo (m) ó ancho de banda fraccional

Para encontrar: a. La impedancia característica de cada sección b. El ancho de banda fraccional.

Ejemplo: Un dipolo lineal con una impedancia de entrada de 70 + j 37 está conectada a una línea de 50. Diseñe un transformador binomial /4 de dos secciones especificando la impedancia característica de cada sección para acoplar la antena a la línea a una frecuencia f = fo. Si la impedancia de entrada se asume permanece constante como función de la frecuencia, determine el máximo valor del coeficiente de reflexión y la Relación de Onda Estacionaria (ROE) dentro de un ancho de banda fraccional de 0.375. Solución: Puesto que la antena no tiene impedancia real, esta debe ser conectada al transformador cuarto de onda a través de una línea de transmisión de longitud so.

Asumiendo una impedancia característica para esa sección de la línea de transmisión, la impedancia de entrada a una so = 0.062 es real e igual a 100.

!)!(

!22

nnN

N

ZR

ZRC

ZR

ZR

oL

oLNNn

oL

oLNn

Para N=2, RL=100 y Zo=50:

n=0: 210 1

1

100 50 2 12 1.182 59.9

100 50 2 12o

oo

Z ZZ Z

Z Z

n=1: 73.82399.16

112

2

20

ZZZZ

ZZ

o

o

Para un ancho de banda fraccional de 0.375 (m = 1.276 rad = 73.12) y se puede reescribir:

N

oLoL

m

o ZRZRf

f/1

1cos4

2375.0

Reemplazando valores se obtiene: m = 0.028

102

La relación de onda estacionaria máxima es:

058.11

1

m

mmROE

La magnitud del coeficiente de reflexión está dado como:

o

o

oL

oLinin f

f

ZR

ZRf

2cos

3

1

4

2cos

3

1cos)( 222

Esa gráfica se muestra en la figura 2, y es comparada con la respuesta de un transformador /4 de sección única.

Fig. 2. Respuestas de sección única y múltiple para transformadores Binomial y

Tschebysheff.

Los diseños microcinta son idealmente apropiados para arreglos de antenas como se muestra en la figura 1d. En general, la impedancia característica de una línea microcinta, cuya vista superior y final se muestran en las figuras 1e y 1f, respectivamente están dadas por:

87 5.98

ln para h menor que 0.80.81.41

c

r

hZ w

w t

(4.6)

103

Donde: r es la constante dieléctrica del sustrato, h es la altura del sustrato, w es el ancho del centro del conductor de la microcinta y t es la densidad del centro del conductor de la microcinta. Tarea: consulte el diseño de acoples Tschebyscheff, haga una síntesis no mayor a dos hojas explicando el método, puede usar Matlab para validar los datos respecto al método polinomial. 4.4 Acople T Con este método el dipolo de longitud l y radio a está conectado a la línea de transmisión por otro dipolo de longitud l’ (l’ < l) y radio a’. El dipolo más pequeño es derivado del dipolo largo a una distancia l/2 del centro y los dos están separados una distancia pequeña s. La conexión acople en T es una forma general de un dipolo doblado puesto que las dos piernas no son usualmente de la misma longitud o diámetro. Puesto que el acople en T es un sistema simétrico y balanceado, es apropiado para usar con líneas de transmisión de conductor paralelo tal como la línea de cable plano de doble Terminal. Las líneas coaxiales que son desbalanceadas y no simétricas, deben conectarse a dipolos usando el acople gamma. El procedimiento de diseño es similar al dipolo doblado, el acople T es modelado por los modos línea de transmisión y antena. La corriente total en las terminales de entrada es dividida entre dos conductores en una forma que depende del radio relativo de los dos conductores y el espaciado entre ellos. Puesto que los conductores no son en general del mismo radio, la división de corriente en modo antena no es la unidad. En lugar, un factor de división de corriente es asignado y aplica también a la división de voltaje del modo línea de transmisión. 4.4.1 Procedimiento de diseño 4.4.1.1 Calcule el factor de división de corriente como:

2 21

2 21

1cosh

2 ln( ),

ln( ) ln( ) ' '1cosh

2

v uv v a s

u vv u a av u

uv

(4.7)

4.4.1.2 De la tabla, el radio equivalente del arreglo de los dos alambres puede ser escrito

como:

2 22

1ln( ) ' ln ' ln 2 ' ln

'ea a a a a a a s

a a

(4.8)

Puesto que S1=2a’, S2=2a. puede mostrarse que la anterior ecuación se reduce a:

22

1ln( ) ln ' ln 2 ln

1ea a u u u v

u

(4.9)

104

4.4.1.3 Calcule la impedancia en los terminales de entrada para el modo línea de transmisión (línea de transmisión con dos alambres cortos de longitud l/2 con radio a, a’ y separación s se muestran en la figura 3b).

'

tan2t o

klZ jZ

(4.10)

Donde

2 2 2

110

'60cosh 276log

2 ' 'o

s a a sZ

aa aa

(4.11)

Zo es la impedancia característica de la línea de transmisión de dos alambres con radio a, a’ y separación s, como se muestra en la figura 3c.

4.4.1.4 La impedancia de entrada total, que es la combinación de los modos línea de transmisión y antena, puede ser escrita como:

2

2

2 1

2 1

t a

in in in

t a

Z ZZ R jX

Z Z

(4.12)

Y la admitancia de entrada es

2

1 1

21a

inin t

YY

Z Z

(4.13)

Za=1/Ya es la impedancia de entrada en el punto central en espacio libre de la antena en la ausencia de conexión de acople en T.

4.4.1.5 Circuito equivalente

De acuerdo a (4.12 y 4.13), el acople en T se comporta como el circuito de la figura 3d, en el cuál la impedancia de la antena es ajustado por una razón de 1+, y es ubicado en paralelo con el doble de impedancia del modo no radiante (línea de transmisión) para dar como resultado la impedancia de entrada. Cuando el factor de división de corriente es la unidad, el equivalente de acople en T de la figura 3d se reduce al del dipolo doblado. Para l’/2, la impedancia de la línea de transmisión Zt es mucho mayor que (1+)2Za y la impedancia de entrada de (6) se reduce a 2(1 )in aZ Z (4.14)

Para conductores de igual radio, el factor de división de corriente es la unidad y (8) se convierte en 4in aZ Z (4.15)

Relación obtenida previamente.

105

Fig. 3. Acople T y sus equivalentes asociados

La impedancia de (4.12) es generalmente compleja, debido a que cada una de las longitudes (l’/2) de las rodillas del acople T son usualmente seleccionadas para ser muy pequeñas (0.03 a 0.06), Zin es inductiva. Para eliminar la reactancia a una frecuencia central dada y mantener el sistema balanceado, dos condensadores en serie variables son usados, como se usa en la figura 3e. El valor de cada condensador es seleccionado de forma que Zin de (4.12) sea igual a Rin (Zin=Rin). Para lograr esto

1

2 inin

C CfX

(4.16)

Donde f es la frecuencia central, y Cin es la combinación serie de dos condensadores C. El circuito resonante equivalente se muestra en la figura 3f.

106

4.5 Acople Gamma Generalmente las antenas de dipolo son conectadas por medio de cables coaxiales que son líneas de transmisión sin balancear. Un método conveniente para conectar el dipolo a otras antenas (como Yagi-Uda, log periódicas, etc.) a líneas coaxiales de 50 o 75 y obtener una acoples es usar el arreglo de acople gamma que se muestra en la figura 4.

Fig. 4. Acople Gamma

4.5.1 Circuito Equivalente: el acople gamma es equivalente a la mitad de un acople en

T, y también requiere un condensador en serie con la rodilla gamma. El equivalente se muestra en la figura 3a, y su impedancia de entrada es igual a

2

2

1

2 1

g a

in c

g a

Z ZZ jX

Z Z

(4.17)

Donde Za es la impedancia del punto central en espacio libre de la antena en ausencia de acople gamma. El segundo término de la ecuación (4.17) es similar en forma a la ecuación (4.12). El problema usual encontrado es la longitud del alambre de la antena (l) y la impedancia característica del coaxial del alimentador Zc como valores

107

conocidos. Se requiere conocer los valores del radio a, a’, la longitud l/2, y la capacitancia C que permitirán lograr el acople.

4.5.2 Procedimiento de diseño

1. Determine el factor de división de corriente usando 1, 2 y 3. 2. Encuentre la impedancia en espacio libre (en ausencia del acople gamma) del elemento

manejado en el punto central. Designado como Za. 3. Divida Za por 2 y multiplique por la razón de ajuste (1+)2. Designe el resultado como

Z2

2

2 2 2 12

aZZ R jX (4.18)

4. Determine la impedancia característica Zo de la línea de transmisión formada por el

elemento manejado y la rodilla gamma usando (7). 5. Normalice Z2 de (4.18) por Zo y desígnela como z2.

2 2 22 2 2

o o

Z R jXz r jx

Z Z

(4.19)

Y entre a la carta de Smith

6. Invierta z2 de (4.19) y obtenga su admitancia equivalente y2=g2+jb2. Sobre la carta esto se logra moviendo z2 diagonalmente a través de su posición.

7. En paralelo con la admitancia y2 del paso f se tiene una reactancia inductiva debido a la línea de transmisión terminada en corto formada por el elemento de la antena y la rodilla gamma. Esto es una reactancia inductiva debido a que la longitud de la rodilla gamma es muy pequeña usualmente (0.03 a 0.06), pero siempre mucho menor que /2. Obtenga su valor normalizado usando

'

tan2g

klZ j

(4.20)

Y ubique sobre la carta de Smith. La impedancia Zg de (14) puede ser obtenida usando exclusivamente la carta Smith. Empiece ubicando la carga en corto circuito en Zs=0+j0. Luego mueva este punto una distancia l/2 hacia el generador, a lo largo del perímetro exterior de la carta de Smith. El nuevo punto representa la impedancia normalizada Zg de (4.20).

8. Invierta la impedancia del paso g (zg) para obtener su admitancia equivalente yg=gg+jbg. Sobre la carta de Smith esto se logra moviendo zg diagonalmente a través de su posición.

9. Adicione las dos admitancias en paralelo de los pasos f y h para obtener la admitancia de entrada total en el alimentador gamma. Esto es, 2 2 2( ) ( )in g g gy y y g g j b b (4.21)

Y ubique sobre la carta de Smith.

108

10. Invierta la admitancia de entrada normalizada yin de (4.21) para obtener la impedancia de entrada normalizada equivalente in in inz r jx (4.22)

11. Obtenga la impedancia de entrada sin normalizar multiplicando zin por Zo

in in in o inZ R jX Z z (4.23)

12. Seleccione el condensador C de forma que su reactancia sea igual en magnitud a Xin.

1 1

2 ino

XwC f C

(4.24)

Si todas las dimensiones son elegidas apropiadamente para un acople perfecto, la parte real Rin de (4.22) debe ser igual a Zc. Si no, cambie una o más de las dimensiones (usualmente la longitud de la rodilla) y repita el procedimiento hasta que Rin=Zc. En la práctica el condensador C es elegido variable para ajustar con facilidad y obtener el mejor acople posible.

Ejercicio: La impedancia del elemento manejado de una antena Yagi-Uda de 20m (a una frecuencia de 15Mhz) tiene una impedancia en espacio libre en su punto central de 30.44 (1-j). Se desea conectar a una línea coaxial usando un acople gamma. El elemento manejado y la rodilla gamma son hechos de tubo con diámetros 0.9510 - 3 (0.75 pulg = 1.905cm) y 3.173 10-4 (0.25 pulg = 0.635cm), respectivamente. La separación centro a centro entre el elemento manejado y la rodilla es 3.8110-3 (3 pulg = 7.62cm). Determine la capacitancia requerida para lograr un acople. Inicie con una longitud de la rodilla de 0.063 (28.35 pulg = 72.01cm). Solución: 1. Usando

u=a/a’=3 v=s/a’=3.81/0.15875=24

=ln(24)/(ln(24-ln(3))=1.528

y ajustando la razón (1+)2 =(1+1.528)2 = 6.39

2. Za=30.44(1-j), dado por el problema

3. Usando

2

2

30.44(1 )1 1.528 =97.25 1 j

2

jZ

4. o 10

2(3.81) Z 276log 315.25 315

0.95 0.3175

109

5 2

97.25z (1 ) 0.31 1 j

315j

6 Sobre la carta Smith z2 y se obtiene su admitancia, esto lleva a

y2=1/z2=1.6(1+j)

7 Luego se ubica zs=0+j0 y se avanza hacia el generador una distancia de 0.036 para obtener

zg=0+j0.23

8 De la carta Smith, la admitancia, yg=-j4.35

9 Luego sumando y2 y yg, se obtiene yin=1.6-j2.75

Que se ubica en la carta. 10 Luego invirtiendo yin se obtiene

zin=0.16+j0.28

11 Desnormalizando zin por Zo=315, entonces se tiene

Zin=50.4+j88.2

12 La capacitancia debe ser 12

6

1 1C = 120.3 10 120pF

2 (88.2) 2 (5 10 )(88.2)fo

Puesto que la Rin es 45 y no es exactamente igual a Zo=50, uno de las dimensiones físicas debe ser cambiada ligeramente y se debe repetir el proceso. Puede observarse con mayor detenimiento la figura 5, para entender el análisis representado en la carta Smith. 4.6 Acople Omega

Una ligera modificación de la versión del acople gamma s el acople omega, con la única diferencia de que adicionalmente al condensador en serie C1 hay un condensador en paralelo C2 que ayuda a ajustar el acople. La presencia de C2 hace posible usar una rodilla o hace más fácilmente acoplar un elemento manejado resonante. La función primaria de C2 es cambiar yin de forma que cuando esta es invertida y su parte real re normalizada es igual a la impedancia característica de la línea de transmisión de entrada. Esto posiblemente eliminará la necesidad de cambiar las dimensiones de los elementos de acople si no se logra el ajuste perfecto, un arreglo de acople omega se observa en la figura 6.

110

Fig. 5. Carta Smith para el ejercicio.

Fig. 6. Arreglo de acople omega

111

4.7 Báluns y Transformadores Una línea de transmisión de doble Terminal (cable plano de conductor paralelo) es una línea simétrica mientras que el cable coaxial es inherentemente balanceado. Debido a que los conductores interno y externo del coaxial no están acoplados a la antena en la misma forma, se presenta un desbalance. El resultado es un flujo de corriente neta hacia tierra sobre la parte exterior del conductor más externo. Esto se muestra en la figura 6a, donde un equivalente eléctrico también se indica. La cantidad de corriente que fluye por I3 sobre la superficie exterior del conductor externo es determinada por la impedancia Zg desde la cubierta externa a tierra. Si Zg puede ser hecha muy grande, I3 puede ser reducida significantemente. Dispositivos pueden ser usados para balancear sistemas desbalanceados inherentemente, cancelando o bloqueando la corriente externa, son conocidos como baluns (balanced to unbalanced). Un tipo de bálun es el tipo bazooka, mecánicamente requiere que un transformador /4 en una chaqueta metálica, y recortada en su extremo, encapsulando la línea coaxial como se ilustra en la figura 7. Eléctricamente la impedancia de entrada en el extremo abierto de esta línea de transmisión recortada de /4, que es equivalente a Zg, será muy grande. Además la corriente I3 será bloqueada, no completamente eliminada y el sistema será claramente balanceado. Otro tipo de bálun es el que se muestra en la figura 7c, este requiere que un extremo de la sección /4 de la línea de transmisión esté conectada al lado del dipolo que está acoplado al centro del conductor. Este bálun es usado para cancelar el flujo de corriente de I3, en la figura 7a, los voltajes entre cada lado del dipolo y la tierra son iguales en magnitud pero están 180, además se produce un flujo de corriente hacia fuera de la línea coaxial. Si las dos corrientes I1 e I2 son iguales en magnitud, I3 podría ser cero. Puesto que la Terminal #2 del dipolo está conectada directamente a la cubierta del coaxial mientras que la Terminal #1 está débilmente acoplada a éste, produciendo una corriente mucho mayor I2. Las dos corrientes I1 e I2, pueden hacerse igual en magnitud si el centro del conductor del coaxial está conectado directamente a la cubierta exterior. Si esta conexión se hace directamente en las terminales de la antena, la línea de transmisión y la antena podrían quedar en corto circuito, eliminando cualquier radiación. Sin embargo, el conductor paralelo indirecto de la conexión en la figura 7c proporciona la cancelación de corriente deseada sin eliminar la radiación. El flujo de corriente sobre la cubierta exterior de la línea principal es cancelado en el extremo de la parte inferior derecha de la sección /4 de la línea auxiliar. Idealmente luego no habrá flujo de corriente en la superficie externa de la cubierta exterior de la parte restante de la línea coaxial principal. La longitud de la línea paralela auxiliar no necesariamente debe ser /4 para lograr el balance, sino que se utiliza de este tamaño para prevenir la operación normal de la antena. Una construcción compacta de un bálun se ilustra en la figura 7d. La chaqueta metálica externa es eliminada y una parte de ésta es eliminada sobre los lados opuestos. Las partes

112

opuestas restantes de la chaqueta exterior representan eléctricamente las dos líneas de transmisión paralelas reducidas /4 de la figura 7c. Pueden construirse dispositivos que no solo proporcionen un balance sino que permitan transformaciones de impedancia. Uno de tales dispositivos es el bálun coaxial de /4, con una transformación de impedancia de 4:1, en la figura 7a puede observarse. La sección con forma de U de la línea coaxial debe ser de /2 de longitud.

Fig. 7. Configuraciones de Báluns: línea coaxial y Bazooka

Debido a que todos los transformadores de impedancia con báluns que han sido visto hasta acá, son de banda estrecha, el ancho de banda puede incrementarse empleando núcleos de ferrita en su construcción. Dos de tales diseños, uno un transformador 4:1 ó 1:4 y el otro un bálun 1:1, se muestran en las figuras 7b y 7c. Los núcleos de ferrita tienen la tendencia a mantener niveles de impedancia altos sobre un amplio rango de frecuencias. Un buen diseño y construcción puede proporcionar anchos de banda de 8 o aún 10 a 1. Ejercicios 1. La impedancia en espacio libre en el punto central del elemento alimentador de una

antena Yagi-Uda a 15 Mhz es 25-j25 . Asuma que los diámetros de los alambres del acople T son 1.910-3 (3.8cm) y 6.3510-4 (1.27cm), el espaciado centro a centro entre los alambres es 7.6210-3 (15.42cm) y la longitud l’/2de cada varilla del acople T es 0.0285 (57cm), encuentre:

a) La impedancia de entrada del acople T, b) La capacitancia de entrada Cin que hará resonar la antena,

113

c) La capacitancia C que debe ser usada en cada pierna para hacer resonar la antena.

Fig. 7. Configuraciones de Bálun

coaxial

Fig. 7. Bálun y transformadores de núcleo de ferrita

2. La impedancia de entrada de una antena Yagi-Uda a 145 Mhz es 14+j3 . Diseñe un acople gamma usando diferentes diámetros de 0.9525 cm (para la antena) y 0.2052 cm (para la varilla), el espaciado entre centro a centro de los alambres es 1.5316 cm. El acople es para una línea coaxial de entrada de 50. Encuentre la longitud de varilla más corta y la capacitancia requerida. Resuelva el problema de forma analítica, el diseño debe ser tal que la parte real de la impedancia de entrada diseñada esté dentro de 1 de los 50 requeridos y verifique la respuesta con carta de Smith así como con el programa Gamma.

114

5. ANTENAS LAZO (LOOP) 5.1 Introducción Otro tipo de antena simple y muy versátil es la antena loop (lazo), pueden tener diferentes formas tal como rectangular, cuadrada, triangular, elíptica, circular y otras. Puede mostrarse que un lazo pequeño (circular o cuadrado) es equivalente a un dipolo magnético infinitesimal cuyo eje es perpendicular al plano del lazo, es decir, los campos radiados tienen la misma forma matemática. Se clasifican en dos categorías: eléctricamente pequeñas y eléctricamente grandes, las primeras son aquellas cuya longitud total (circunferencia=C) es usualmente menor que un décimo la longitud de onda (C /10). Sin embargo, los lazos eléctricamente grandes tienen circunferencias cercanas a la longitud de onda en el espacio libre (C ). La mayoría de aplicaciones de las antenas lazo están en las bandas HF (3-30Mhz), VHF (30-300Mhz) y UHF (300-3.000Mhz). Las antenas lazo con circunferencias pequeñas o perímetros tienen resistencias de radiación pequeñas que son usualmente menores que sus resistencias de pérdidas. Son radiadores muy pobres, generalmente se utilizan en modo receptor, tal como radios portables o beepers, donde la eficiencia de la antena no es tan importante como la relación señal a ruido. El patrón de campo de antenas eléctricamente pequeñas de cualquier forma es similar a la de un dipolo infinitesimal con un nulo perpendicular al plano del lazo y con su máximo a lo largo del plano del lazo. Cuando la longitud total del lazo se incrementa y su circunferencia se aproxima a la del espacio libre, el máximo del patrón se desplaza desde el plano del lazo al plano del lazo que es perpendicular a su plano. La resistencia de radiación del lazo puede incrementarse, y hacerse comparable con la impedancia característica de líneas de transmisión prácticas, incrementando (eléctricamente) su perímetro y/o el número de vueltas, otra forma es insertar en su centro un núcleo de ferrita de muy alta permeabilidad que eleve la intensidad de campo magnético y por ende la resistencia de radiación. 5.2 Lazo circular pequeño

El arreglo geométrico más pequeño para al análisis de campo de una antena lazo es posicionar la antena simétricamente en el plano xy, en z=0, como se observa en la figura 1a. El alambre se asume muy delgado y la distribución de corriente espacial está dada por: fI Io (5.1)

Donde Io es constante. 5.2.1 Campos radiados Para encontrar los campos radiados por el lazo, el mismo procedimiento es seguido como para el dipolo lineal. Se evalúa la función potencial A a una distancia R desde cualquier punto en el lazo al punto de observación y dl’ es una sección infinitesimal de la antena lazo. Dado que la corriente espacial en es constante, el campo radiado por el lazo no puede ser

115

una función del ángulo de observación , esto simplifica los cálculos para obtener los campos y a través de series de Maclaurin las componentes de campo magnético y eléctrico que se obtienen son:

2

2

2

2

cos 11

2

( ) s 1 11

4 ( )

0

jkrr

jkr

ka IoH j e

r jkr

ka Io enH e

r jkr kr

H

(5.2)

2

0

( ) 11

4

r

jkr

E E

ka Io senE e

r jkr

(5.3)

Fig. 1. Arreglo geométrico para análisis de antenas lazo

116

5.2.2 Densidad de Potencia y Resistencia de Radiación

Los campos radiados por un lazo pequeño, son válidos excepto en el origen. Como se analizó para el dipolo infinitesimal, la potencia en la región cercana a la antena (campo cercano, kr1) es predominantemente reactivo y en el campo lejano (kr1) es predominantemente real. De la densidad de potencia W, se obtiene la potencia compleja cuya parte real es la potencia de radiación:

24( )

12radP ka Io

(5.4)

Mientras para un dipolo infinitesimal la densidad de potencia radial en el campo lejano es capacitivo, para el lazo pequeño es inductivo. La resistencia de radiación en el lazo se encuentra que es:

2 4 2

2 2 2 24

2( ) 20 31171

6 3r

kS C SR k a

(5.5)

Donde S=a2 es el área y C=2a es la circunferencia del lazo, el diámetro del lazo es 2a, el espaciado entre vuelta y vuelta es 2c y el diámetro del alambre es 2b, es decir, el radio del alambre es b. Sin embargo, esta resistencia de radiación solo aplica para lazos de una sola vuelta. Si la antena lazo tiene N vuelta el campo magnético pasa a través de todos los lazos, la resistencia de radiación es igual a la de una vuelta multiplicada por N2. Esto es:

2 4 2

2 2 24

220 31171

3r

kS C SR N N

(5.6)

Esto quiere decir que aunque la resistencia de radiación de un solo lazo pueda ser pequeña, el valor total puede ser incrementado dando varias vueltas. Ejercicio: encuentre la resistencia de radiación de un lazo circular de una vuelta y ocho vueltas, el radio del lazo es /25 y el medio es el espacio libre. Solución:

S = a2 = (/25)2 = 2/625

Rr (Una vuelta) = 120*(2/3)*(22/625)2 = 0.788 Ohms

Rr (Ocho vueltas) = 0.788 * (8)2 = 50.43 Ohms

117

La resistencia óhmica de una antena lazo circular de N vueltas con radio a, radio del alambre b, y separación del lazo 2c, puede determinarse como se observa en la figura 2:

1pohmic s

o

RNaR R

b R

(5.7)

Donde:

2

osR es la impedancia superficial del conductor, Rp = Resistencia óhmica

por unidad de longitud debida al efecto de proximidad y b2

NRR s

o = Resistencia óhmica

del efecto piel por longitud de onda (Ohms/m).

Fig. 2. Lazo circular de N vuelas y resistencia óhmica debida al efecto de proximidad

118

La razón Rp/Ro has sido calculada como función del espaciado c/b para lazos entre 2N8 y se muestra graficada en la figura 2. Ejemplo: Encuentre la eficiencia de radiación de un lazo circular pequeño de una vuelta y ocho vueltas a una frecuencia de 100Mhz. El radio del lazo es /25, el radio del alambre es 10-4, y las vueltas están espaciadas 410-4. Asuma que el alambre es de cobre con una conductividad de 5.7107 Siemens/m y la antena está radiando en el espacio libre. Solución: del ejemplo anterior se tiene que la Rr (una vuelta) = 0.788 ohms y Rr (ocho vueltas) = 50.43 ohms La resistencia de pérdidas para una vuelta es dada de acuerdo a:

Ohmsb

aRR o

hfL 053.1107.52

)104)(10(2

)10(25

1

2 7

78

4

Y la eficiencia de radiación queda de la siguiente manera:

%8.42053.1788.0

788.0

cde

A partir de la figura y considerando el espaciado 2c= 410-4, entonces c= 410-4/2 =210-4 y c/b = 210-4/10-4 = 2, observando de la gráfica obtenemos: / 0.38p oR R

aproximadamente. Por lo tanto, la resistencia óhmica y de pérdidas es

62.11)38.1(107.5

)104)(10(

)10(25

87

78

4min

caohL RR

Además,

%3.8162.1143.50

43.50

cde

5.2.3 Intensidad de Radiación y Directividad La densidad de potencia promedio tiene una componente radial que se relaciona con la intensidad de radiación U por:

22 2 2

222 2 ( , , )2 4 2r

k a rU r W Io sen E r

(5.8)

Su valor máximo ocurre en =/2 y está dado por:

22 2

2

max 2 4

k aU Io

(5.9)

119

Ahora, la directividad del lazo puede ser escrita como:

max4 3 / 2orad

UD

P (5.10)

Y su área efectiva máxima:

2 23

4 8em oA D

(5.11)

De donde se concluye que el área efectiva máxima y la directividad de un lazo pequeño son iguales a las de un dipolo eléctrico infinitesimal.

Fig. 3. 3a. Patrón de Amplitud para el plano de elevación de un lazo circular de corriente constante para diferentes valores de radio a y 3b. Diagramas de amplitud tridimensionales.

Ejercicio: El radio de un lazo pequeño de corriente constante es /25. Encuentre el área física del lazo y compárela con su apertura máxima efectiva. Solución:

2 22 3 2( ) 5.03 10

25 625S Fisica a

120

22

2

3 2

30.119

8

0.11923.66

5.03 10

em

em

A

A

S

Eléctricamente el lazo es cerca de 24 veces mayor que su tamaño físico, lo cual no debería ser sorprendente. Para ser efectivo, un lazo pequeño debe ser eléctricamente mayor que su tamaño físico. 5.2.4 Circuito Equivalente Un lazo pequeño es principalmente inductivo, y puede ser representado por un circuito equivalente de elementos amortiguados similar al de la figura. 5.2.4.1 Modo Transmisor El circuito equivalente para su impedancia de entrada cuando el lazo es usado en modo transmisor se ilustra en la figura. Por consiguiente, la impedancia de entrada Zin está representada por: in in in r L A iZ R j X R R j X X (5.12)

Donde Rr es la resistencia de radiación, RL es la resistencia de pérdidas, XA es la reactancia inductancia externa de la antena lazo = wLA, y Xi es la reactancia a alta frecuencia interna del conductor del lazo = wLi. El condensador Cr se pone en paralelo para hacer resonar la antena, para determinar esta capacitancia, es más sencillo verlo desde la admitancia equivalente Yin de:

1 1

in in inin in in

Y G jBZ R jX

(5.13)

Donde

2 2 2 2

in inin in

in in in in

R XG y B

R X R X

(5.14)

En resonancia, la susceptancia Br del condensador Cr debe ser elegido para eliminar la parte imaginaria Bin, esto se logra eligiendo Cr de acuerdo a:

2 2

1

2 2 2in inr

rin in

B XBC

f f f R X

(5.15)

Bajo resonancia la impedancia de entrada '

inZ es entonces igual a:

2 2 2

' ' 1 in in inin in in

in in in

R X XZ R R

G R R

(5.16)

121

Se puede calcular la reactancia inductiva del lazo para: Lazo circular de radio a y radio de alambre b:

8

ln 2A o

aL a

b

(5.17)

Lazo cuadrado con lados a y b y radio de alambre b:

2 ln 0.744A o

a aL

b

(5.18)

La reactancia interna del lazo conductor Xi puede ser encontrada usando la inductancia interna Li del lazo que para una sola vuelta puede ser aproximado como:

2 2

o oi

l aL

P b

(5.19)

Figura 4. Circuito equivalente de una antena lazo en modo transmisor

5.2.4.2 Modo Receptor Generalmente las antenas lazo son usadas como antenas receptoras o como pruebas para medir densidad de flujo magnético. Por consiguiente cuando una onda plana incide sobre esta, como se observa en la figura, un voltaje de circuito abierto se desarrolla a través de sus terminales. Este voltaje de circuito abierto está relacionado con el vector de longitud efectiva y campo eléctrico incidente. Este voltaje de circuito abierto es proporcional a la densidad de flujo magnético z

iB , que es normal al plano del lazo. Si el campo incidente es

uniforme sobre el plano del lazo, el voltaje de circuito abierto puede ser escrito como: 2 z

oc iV jw a B (5.20)

De otra forma puede verse que el voltaje de circuito abierto se relaciona con los campos eléctricos y magnéticos así:

122

2 2cos cosi ioc i i o i iV jw a H sen jk a E sen (5.21)

Donde i es el ángulo entre la dirección del campo magnético de la onda plana incidente y el plano incidente, como se observa en la figura.

Fig. 5. Antena lazo y su equivalente en modo receptor.

Puesto que el voltaje de circuito abierto está también relacionado al vector de longitud efectiva, para una sola vuelta se puede escribir:

2 cos cose e o i i o i iL a l a jk a sen a jk S sen

(5.22)

Donde S es el área del lazo. El Factor senicos es introducido debido a que el voltaje de

circuito abierto es proporcional a la componente de densidad de flujo magnético que es normal al plano del lazo. Cuando una impedancia de carga ZL está conectada a las terminales de salda del lazo, el voltaje a través de la impedancia de carga está relacionado a la impedancia de entrada Zin y el voltaje de circuito abierto queda:

'

LL oc

L in

ZV V

Z Z

(5.23)

5.3 Lazo Circular de corriente Constante Vamos ahora a considerar una antena lazo con un radio que no sea necesariamente pequeño. La corriente en el lazo nuevamente se asumirá constante. Para esta distribución de corriente, ya se obtuvo el vector potencial A

(

2

0

'

22

cos2'

cos2cos

4

22

darsenar

eaA

arsenarjko ), la integración es algo compleja pero se

123

simplifica para la región de campo lejano (ra). Aunque la distribución de corriente uniforme a lo largo del perímetro del lazo es solamente válido considerando que la circunferencia sea menor a 0.1 (radio menor que 0.016), el procedimiento desarrollado aquí para una corriente constante puede ser seguido para encontrar los campos de zona lejana para cualquier tamaño de lazo sin la necesidad de una corriente uniforme. Dado que las observaciones son para campo lejano, el vector potencial ahora se simplifica y nos queda de la forma:

12

jkoa I e

A j J ka senr

(5.24)

J1 corresponde a la función de Bessel de primer tipo y orden n que está definida por la serie infinita:

2

0

( 1) ( / 2)( )

!( )!

m n m

zm

zJ n

m m n

(5.25)

Fig. 6. Resistencia y directividad de un lazo circular con corriente constante

Aprox. Lazo

Grande

Aprox. Lazo

Pequeño

124

Aplicando la función de Bessel y simplificando podemos obtener los campos eléctricos y magnéticos asociados de la siguiente manera:

1

0

( )2

r

jkro

E E

ak I eE J ka sen

r

(5.26)

1

0

( )2

r

jkro

H H

E akI eH J ka sen

r

(5.27)

5.4 Lazo circular con corriente no uniforme Los análisis previos se basaron en corrientes uniformes, que podrían ser aproximaciones válidas donde el radio del lazo es eléctricamente pequeño (usualmente a0.016). Cuando se incrementa las dimensiones del lazo, las variaciones de corriente a lo largo de la circunferencia del lazo deben ser tenidas en cuenta. Una distribución común para la distribución de corriente es una variación cosenoidal, sin embargo, no es una aproximación particularmente satisfactoria cerca del punto del alimentador de la antena. Una mejor distribución podría ser representar la corriente por una serie de Fourier:

' '

1

( ) 2 cos( )M

o nn

I I I n

(5.28)

Donde ' es medido desde el punto alimentador del lazo a lo largo de la circunferencia. Para ilustrar que la distribución de corriente de una antena lazo de alambre no es uniforme al menos que su radio sea muy pequeño, la magnitud y la fase son graficadas en la figura como función de ' (en grados). La circunferencia del lazo C es ka = C / = 0.1, 0.2, 0.3 y

0.4 y el tamaño del alambre fue elegido tal que = 2 ln (2a/b) = 10. Es aparente que para ka = 0.1 la corriente es casi uniforme. Para ka = 0.2, las variaciones son ligeramente mayores y llegan a ser mayores cuando ka se incrementa. El máximo del patrón para la antena lazo de desplaza del plano del lazo ( = 90) hacia su eje ( = 0, 180) cuando la circunferencia del lazo se aproxima a una longitud de onda, asumiendo que simultáneamente la corriente cambia de uniforme a no uniforme. Basados en la distribución de corriente no uniforme, la directividad del lazo a lo largo de = 0 ha sido calculada, y es graficada en la figura 8 versus la circunferencia del lazo en longitud de onda. La directividad máxima es de cerca de 4.5dB, y ocurre cuando la circunferencia es de 1.4. Para circunferencias de una longitud de onda, que es usualmente un diseño óptimo para antenas helicoidales, la directividad es de 3.4dB. Es también aparente que la directividad es básicamente independiente del radio del alambre, tanto que la circunferencia es igual o menor que 1.3 longitudes de onda; hay diferencias en la directividad como una función del radio del alambre para circunferencias más grandes.

125

Fig. 7. Magnitud de corriente y distribuciones de fase sobre antenas lazo circulares

pequeñas

Fig. 8. Directividad de una antena lazo circular para =0, versus tamaño eléctrico

(circunferencia en longitudes de onda)

126

Cálculos de impedancias, basados en la representación en series de Fourier de la corriente, se muestran graficadas en la figura. La resistencia de entrada y la reactancia son graficadas como una función de la circunferencia C (en longitudes de onda) para 5.2/0 Cka . El diámetro del alambre fue elegido como = 2 ln (2a/b) = 8, 9, 10, 11 y 12. Es claro que la primer antiresonancia aparece cuando la circunferencia del lazo es cerca de /2, y es extremadamente aguda. También se observa que cuando el alambre del lazo incrementa su grosor, hay una rápida desaparición de las resonancias. De hecho, para 9 hay solamente un punto de antiresonancia. Esas curvas (para C ) son similares, tanto cuantitativa como cualitativamente, a las de un dipolo. La principal diferencia es que el lazo es más capacitivo (por cerca de 130) que un dipolo. Ese desplazamiento en reactancia permite al dipolo tener varias resonancias y antiresonancias mientras moderadamente engruesa los lazos teniendo solamente una antiresonancia. También los lazos pequeños son principalmente inductivos mientras los dipolos pequeños son primordialmente capacitivos. 5.5 Procedimiento de diseño El diseño de lazos pequeños está basado en las ecuaciones para resistencia de radiación, directividad, apertura efectiva máxima, capacitancia de resonancia, impedancia de entrada de resonancia e inductancia. Para entrar en resonancia, debe elegirse un condensador Cr apropiado así que se cancele la parte imaginaria de la impedancia de entrada. Para lazos con distribución de corriente no uniforme, el diseño se obtiene usando las curvas de la figura 8 para la directividad axial y las de la figura 9 para la impedancia. Para que el lazo entre en resonancia, usualmente un condensador en paralelo o un inductor en serie es adicionado, dependiendo del radio del lazo y el del alambre. Ejercicio: Diseñe una antena lazo resonante para operar a 100Mhz de forma que el patrón sea máximo a lo largo del eje del lazo. Determine el radio del lazo y el del alambre (en metros), la directividad axial (en dB), y el elemento amortiguado en paralelo (condensador en paralelo o inductor en serie) que debe ser agregado para hacer entrar en resonancia la antena. Solución: Para un patrón máximo a lo largo del eje del lazo, la circunferencia del lazo debe ser larga respecto a la longitud de onda. Por consiguiente la distribución de corriente no es uniforme. Para lograr esto, debe usarse la figura 9. No hay un único diseño que encuentre las especificaciones, pero puede haber varios diseños que puedan lograr el objetivo. Un diseño es seleccionar una circunferencia donde el lazo sea auto-resonante, y no haya necesidad de un condensador resonante. Por ejemplo, de acuerdo a la figura 9b, y eligiendo un =12, la circunferencia del lazo es cercana a 1.125 (Corresponde al valor 0 sobre el eje horizontal donde no hay reactancia dado que es auto-resonante, por ejemplo, para un =10 se tiene una circunferencia de aproximadamente 1.175). Puesto que la longitud de onda en espacio libre a 100Mhz es 3 metros, entonces la circunferencia será:

Circunferencia 1.125(3) = 3.375 metros

127

Mientras el radio del lazo es a = 3.375/2 = 0.5371 metros El radio del alambre es obtenido usando: = 12 = 2 ln (2a/b), de donde a/b = 64.2077

Fig. 9. Impedancia de entrada de antenas lazo circulares, a) Resistencia y b) Reactancia.

128

Por consiguiente el radio del alambre es:

metroscma

b 310365.88365.02077.64

5371.0

2077.64

Usando la figura 8, la directividad axial para este diseño es aproximadamente 3.6dB, y con la figura 9a, la impedancia de entrada aproximadamente es:

OhmsZZ inin 125'

Puesto que la antena es resonante por si misma, no hay necesidad de un elemento amortiguado para hacer resonar el radiador. Otro diseño puede ser usando otra circunferencia donde el lazo no sea auto-resonante. Esto necesitará el uso de un condensador Cr para hacer resonar la antena. 5.6 Antenas Lazo Poligonales Las antenas lazo poligonales más atractivas son las cuadradas, rectangulares, triangulares y rómbicas. Pueden ser usadas para aplicaciones prácticas como en aviones, misiles y sistemas de comunicaciones. Sin embargo, debido a su estructura compleja, los análisis teóricos parecen no tener éxito, por lo que su diseño ha recibido menor atención. No obstante, curvas de diseño calculadas usando el método de los momentos, existen y pueden ser usadas, por ejemplo lazos circulares para el rango UHF debido a su mayor directividad mientras lazos triangulares y cuadrados han sido aplicados en las bandas de HF y UHF debido a sus ventajas en su construcción mecánica. Impedancias características de banda ancha pueden ser obtenidas de diferentes lazos poligonales. 5.6.1 Lazo cuadrado Luego de los lazos circulares, los lazos cuadrados son la configuración de lazo más simple. El patrón de campo lejano para un lazo pequeño, en cada uno de sus planos principales, puede ser obtenido asumiendo que cada uno de sus lados es un dipolo lineal pequeño de corriente constante Io y longitud a. Para valores pequeños de a (a /50) los campos eléctrico y magnético obtenidos son como sigue:

2

2

2

( )

4

jkr jkro o

jkro

ka I e S I eE sen sen

r rE S I e

H senr

(5.29)

5.6.2 Lazos Triangular, rectangular y rómbico Se presentan en la figura 10 lazos poligonales, estos consisten de lazos triangulares manejados en la base o esquina superior, un lazo rectangular y uno rómbico. El lazo

129

triangular es alimentado en la esquina superior mientras el otro es alimentado en la base del triángulo isósceles que forma. El lazo rectangular tiene su alimentador en el centro de uno de sus lados mientras el rómbico se alimenta en una de sus esquinas. El parámetro define el ángulo de la esquina superior del triángulo isósceles para los lazos triangular y rómbico, mientras = W/H es usado para identificar las dimensiones del lado relativo del lazo rectangular, P = 2(H+W). Todas las variaciones de impedancias de entrada son función de P (en longitudes de onda), de las cuatro configuraciones mostradas en la figura 10. El intervalo entre los puntos adyacentes sobre cada curva es P/ = 0.2. Dependiendo de los parámetros ó , la resistencia de entrada del lazo poligonal cerca de la frecuencia de resonancia cambia drásticamente. La reactancia va a cero cuando el lazo se aproxima a una línea de transmisión larga /2 terminada en corto. Debido a que el radio del centro de impedancia para =60 el lazo triangular alimentado en su esquina superior es más pequeño que para otros valores de , con 60 se tiene el mayor ancho de banda comparando con otras formas triangulares o con la misma forma pero alimentada en diferentes puntos. Impedancias características de mayor ancho de banda son encontrados para un lazo rectangular con =0.5 (el lado con un punto de alimentación es dos veces mayor que el otro lado). Puede concluirse que si la forma apropiada y el punto de alimentación son elegidos, un lazo poligonal puede tener una impedancia característica mayor. Un cable coaxial de 50-70 ohms puede ser acoplado con un lazo triangular con =40. Lazos rectangulares con grandes directividades, pero con impedancia característica ideal menor son aquellos con valores grandes de . Los mejores anchos de banda se encuentran con lazos triangulares (=60) manejado por arriba, lazo rectangular = W/H = 0.5 y el lazo rómbico (=120) también manejado por arriba. 5.7 Lazo de Ferrita Debido a que las pérdidas de resistencia son comparables a la resistencia de radiación, los lazos eléctricamente pequeños son radiadores muy pobres y son usados en modo receptor. Sin embargo, son usados generalmente para recepción de señales, tal como en radios y beepers, donde la relación señal a ruido es mucho más importante que la eficiencia. 5.7.1 Resistencia de Radiación La resistencia de radiación y la eficiencia de la antena, pueden elevarse incrementando la circunferencia del lazo. Otra forma para incrementar la resistencia de radiación, es sin incrementar las dimensiones eléctricas de la antena, podría ser insertar dentro de su circunferencia un núcleo de ferrita que tenga una tendencia a incrementar el flujo magnético, el voltaje de circuito abierto, y la resistencia de radiación. Esto es también llamado lazo de ferrita y el material férrico puede ser una varilla de muy pocas pulgadas en longitud. La resistencia de radiación del lazo viene dado por:

130

2f cecer

r o

R

R

(5.30)

Fig. 10. Lazo rómbico, lazo rectangular y triangular con mejores anchos de banda.

Donde, Rf =Resistencia de radiación del lazo de ferrita, Rr = Resistencia de radiación del núcleo de aire del lazo, ce = permeabilidad efectiva del núcleo de ferrita, o =

permeabilidad del espacio libre y cer = permeabilidad efectiva relativa del núcleo de

ferrita. La resistencia de radiación para un lazo de ferrita pequeño de una sola vuelta puede encontrarse como:

24 4

2 2 220 20cef cer

o

C CR

(5.31)

Y para N vueltas:

24 4

2 2 2 2 220 20cef cer

o

C CR N N

(5.32)

131

Ejercicios 1. Un lazo circular, de radio /30 y radio de alambre /1000, es usado como una antena

transmisora/receptora de un sistema de comunicaciones de radio a 10Mhz. El alambre del lazo está hecho de cobre con una conductividad de 5.7107 S/m. Asumiendo que la antena está radiando en el espacio libre, determine: a) Resistencia de radiación del lazo, b) Resistencia de pérdidas del lazo (asuma que su valor es igual que si el alambre estuviera recto), c) Resistencia de entrada, d) Impedancia de entrada, y e) Eficiencia de radiación.

2. Un lazo circular resonante de n vueltas con una distribución de corriente no uniforme y una circunferencia de /4, es alimentado por una línea de transmisión balanceada sin pérdidas de doble terminal con una impedancia característica de 30 ohms. Despreciando el efecto de proximidad, determine: a) El número entero más cercano de vueltas de forma que la impedancia de entrada se aproxime a los 300 ohms, b) La impedancia de entrada de la antena, c) El coeficiente de reflexión, y d) ROE dentro de la línea de transmisión.

3. Encuentre la eficiencia de radiación de un lazo circular de una vuelta y cuatro vueltas cada uno de radio /(10) y operando a 10Mhz. El radio del alambre es de 10-3 y las vueltas están espaciadas 310-3. Asuma que el alambre es de cobre y la antena está radiando al espacio libre, la distribución de corriente es uniforme. Cuál es su máxima directividad?.

4. Encuentre la eficiencia de radiación de una antena de lazo circular de ocho vueltas que

opera a 30Mhz. El radio de cada vuelta es a=15cm, el radio del alambre es b=1mm, el espaciado entre vueltas es 2c=3.6mm. Asuma que el alambre es de cobre y la antena está radiando al espacio libre.

5. Realice un programa en Matlab para calcular la resistencia de radiación y directividad

de un lazo circular de corriente constante con radios de: 1) a=/50, 2) a=/510, 3) a=/4 y 4) a=/2.

6. Un lazo circular pequeño de una vuelta es usado como un elemento radiante para un

sistema de comunicaciones de muy alta frecuencia (VHF, f=100Mhz). El lazo está construido de un alambre conductor perfecto, con circunferencia C= /20 mientras el radio del alambre es /400. Determine: a) La resistencia de entrada del alambre para una sola vuelta, b) La reactancia de entrada del lazo. Es inductiva o capacitiva?

132

c) Que inductancia (Henrios) o capacitancia (Faradios) debe ser ubicada en serie con el lazo en el alimentador para hacer resonar la antena, escoja el elemento y obtenga el valor que logre el objetivo deseado.

133

6. ANTENAS HELICOIDALES 6.1 Generalidades Otra configuración básica, simple y práctica de radiador electromagnético es un alambre conductor enrollado en forma de tornillo formando una hélice, como se observa en la figura 1. En la mayoría de los casos la hélice es usada con un plano a tierra. El plano a tierra puede tomar diferentes configuraciones, una es la tierra plana, como en la figura. Típicamente el diámetro del plano a tierra debe ser de al menos 3/4. Sin embargo, el plano a tierra puede ser acoplado en la forma de una cavidad cilíndrica. Adicionalmente, la hélice está usualmente conectada al centro conductor de una línea de transmisión coaxial en el punto fijo con el conductor externo de la línea adjunta al plano de tierra. La configuración geométrica de una hélice consiste usualmente de N vueltas, diámetro D y espaciado S entre cada vuelta. La longitud total de la antena es L = N S mientras la longitud total de la antena

es 22 CSNNLL on donde 22 CSLo es la longitud del alambre entre vueltas

y C=D es la circunferencia de la hélice. Otro parámetro importante es el ángulo de inclinación que está formado por una línea tangente al alambre de la hélice y un plano perpendicular al eje de la hélice. El ángulo de inclinación está definido por:

1 1tan tanS S

D C

(6.1)

Donde = 0, luego el embobinado es aplanado y la hélice se reduce a una antena lazo de n vueltas. Por otra parte, cuando = 90 la hélice se reduce a un alambre lineal. Cuando 0 90, entonces una verdadera hélice es formada con una circunferencia mayor a cero pero menor que la circunferencia cuando la hélice es reducida a un lazo.

Fig. 1. Antena helicoidal con plano a tierra.

134

Las características de radiación de una antena pueden ser variadas controlando el tamaño de sus propiedades geométricas comparando con la longitud de onda. La impedancia de entrada es críticamente dependiente del ángulo de inclinación y el tamaño del alambre conductor, especialmente cerca del punto de alimentación, y puede ser ajustado controlando sus valores. La polarización general de la antena es elíptica. Sin embargo, polarizaciones circular y lineal pueden ser logradas sobre diferentes rangos de frecuencia. Debido a la polarización elíptica se puede tener una representación como la suma de dos componentes lineales en cuadratura de tiempo y fase, una hélice pude siempre recibir una señal transmitida desde una antena polarizada linealmente que esté rotando. Por consiguiente, las hélices son usualmente posicionadas sobre la tierra para aplicaciones de telemetría espacial de satélites, pruebas espaciales, y misiles balísticas para transmitir o recibir señales que tengan rotación hacia la ionósfera.

Fig. 2. Patrones de potencial de amplitud normalizada tridimensional para los modos a)

normal y b) extremo llama de fuego.

Las antenas helicoidales pueden operar en varios modos: los principales son el modo normal (lado amplio) y el modo axial (extremo de llama de fuego). 6.2 Modo Normal El campo radiado por la antena es máximo en un plano normal al eje de la hélice y mínimo a lo largo de su eje, como se muestra dibujado en la figura 2, la cuál es una figura en ocho rotada curva de su eje similar a un dipolo lineal de lo o un lazo pequeño (ao). Para lograr el modo de operación normal, las dimensiones de la hélice son usualmente pequeñas comparadas a la longitud de onda (NLoo).

135

La geometría de la hélice se reduce a un lazo de diámetro D cuando el ángulo de inclinación se aproxima a cero y a un alambre lineal de longitud S cuando se aproxima a 90. Puesto que las geometrías limitantes de la hélice son un lazo y un dipolo, el campo lejano radiado por una hélice en el modo normal puede ser descrito en términos de las componentes E y E del dipolo y lazo, respectivamente. En el modo normal, la hélice de la figura 3a, puede ser simulada por aproximadamente N lazos pequeños y N dipolos cortos conectados juntos en serie como se observa en la figura 3b. Los campos son obtenidos por superposición de los campos desde esos elementos radiadores. Los planos de los lazos son paralelos entre sí y perpendiculares al eje de los dipolos verticales. Los ejes de los lazos y dipolos coinciden con el eje de la hélice.

Fig. 3. a) Modo Normal (lado ancho) para una antena helicoidal y b) su equivalente con lazos.

Puesto que en el modo normal las dimensiones de la hélice son pequeñas, la corriente a través de su longitud puede ser asumida constante y es relativa al patrón de campo constante para ser independiente del número de lazos y dipolos cortos. Además su operación puede ser descrita exactamente por la suma de campos radiados por un lazo pequeño de radio D y un dipolo corto de longitud S, con su eje perpendicular al plano del lazo, y cada uno con la misma distribución de corriente constante.

136

El campo eléctrico de zona lejana radiado por un dipolo corto de longitud S y corriente constante Io es E, y está dado por:

4

jkrokI Se

E j senr

(6.2)

Donde l esta siendo remplazado por S. Además del campo eléctrico radiado por un lazo está E, y está dado por:

2( / 2)

4

jkrok D I e

E senr

(6.3)

Donde D/2 es sustituido por a. Una comparación de las anteriores ecuaciones de campo indica que las dos componentes están en cuadratura de tiempo y fase, una condición necesaria pero no suficiente para polarización circular y elíptica. La razón de las magnitudes de las componentes de campo es definida como la razón axial (AR) y está dada por:

2 2

4 2

( )

E S SAR

k D DE

(6.4)

Variando D y/o S la razón axial se logran valores de .0 AR El valor de AR=0 es

un caso especial cuando E = 0 tendiendo a una onda polarizada linealmente de forma horizontal (la hélice es un dipolo vertical). Otro caso especial es cuando AR es la unidad (AR =1) y ocurre cuando:

02

21

( )

S

D

(6.5)

2 oC D S (6.6)

Para lo cual

tan2 o

S D

D

(6.7)

Cuando los parámetros de la hélice satisfacen la relación anterior, el campo radiado es polarizado circularmente en todas direcciones en lugar de =0 donde los campos se desvanecen. Cuando las dimensiones de la hélice no satisfacen ninguno de los casos especiales, el campo radiado por la antena no está polarizado circularmente. La progresión del cambio de polarización puede ser descrita geométricamente iniciando con un ángulo de elevación de cero grados, el cuál reduce la hélice a un lazo con polarización horizontal. Cuando se incrementa, la polarización llega a ser elíptica con el eje principal siendo polarizado horizontalmente. Cuando , es tal que

137

,/2/ oo SC AR=1 y se tiene polarización circular. Para valores grandes de , la

polarización nuevamente llega a ser elíptica pero con el eje principal polarizado verticalmente. Finalmente, cuando =90 la hélice se reduce a un dipolo vertical polarizado linealmente.

6.3 Modo Axial Un modo más práctico de operación, que puede ser generado con gran facilidad, es el modo axial o extremo en llama de fuego. En este modo de operación, hay solamente un lóbulo principal y su intensidad de radiación máximo es a lo largo del eje de la hélice, como se muestre en la figura 2. Los lóbulos menores son oblicuos hacia el eje.

Para generar este modo, el diámetro D y espaciado S debe ser de grandes fracciones de longitud de onda. Para lograr polarización circular, principalmente en el lóbulo mayor, la circunferencia de la hélice debe estar en el rango 3/4/4/3 oC con (C/o=1 cercano

al óptimo), y el espaciado cercano a S o/4. El ángulo es usualmente 1412 6.4 Procedimiento de Diseño

La impedancia terminal de una hélice radiante en el modo axial es cercanamente resistiva con valores entre 100 y 200 ohms. Valores más pequeños, aún cerca de 50 ohms, pueden ser obtenidos apropiadamente diseñando el alimentador. Expresiones empíricas, basadas en un número grande de mediciones han sido derivadas, y son usados para determinar un gran número de parámetros. La impedancia de entrada es obtenida por:

0

140C

R

(6.8)

Que es exactamente cerca de 20%, el ancho de banda de media potencia está dado por:

3/2052

( )HPBW GradosC NS

(6.9)

El ancho de haz entre nulos es:

3/20115

( )FPBW GradosC NS

(6.10)

La directividad es:

2

30

15(Adimensional)o

NC SD

(6.11)

Con razón axial igual a:

2 1

2

NAR

N

(6.12)

Y el patrón de campo normalizado viene dado por:

138

/ 2cos

2 / 2

sen NE sen

N sen

(6.13)

Donde

cos oo

Lk S

p

(6.14)

/

Para radiación ordinaria extremo llama de fuego/ 1o o

o

Lp

S

(6.15)

/

Para radiación Hansen-Woodyard extremo llama de fuego2 1

/2

o o

o

Lp

NS

N

(6.16)

Todas esas relaciones son aproximaciones válidas para 1412 ,

3/4/4/3 oC y N3.

El patrón de campo lejano de la hélice, ha sido desarrollado por asumir que la hélice consiste de un arreglo de N vueltas idénticas, un espaciado uniforme S entre ellos, y los elementos están ubicados a lo largo del eje z. El término coseno en la anterior ecuación representa el patrón de campo de una sola vuelta, y el último término es el factor de arreglo de un arreglo uniforme de N elementos. El campo total es obtenido multiplicando el campo de una vuelta con el factor de arreglo (patrón de multiplicación). El valor de p es la razón de la velocidad con la cual la onda viaja a lo largo del alambre de la hélice hacia el espacio libre. Para extremo llama de fuego ordinario la fase relativa entre las diferentes vueltas de la hélice (elementos del arreglo) está dado por:

cosok S (6.17)

Donde d=S es el espaciado entre las vueltas de la hélice. Para un diseño extremo de llama de fuego, la radiación de cada una de las vueltas a lo largo de = 0 debe estar en fase. Puesto que la onda a lo largo del alambre de la hélice entre vueltas viaja una distancia Lo con una velocidad de onda v=p vo (p1 donde vo es la velocidad de la onda en el espacio libre) y la radiación máxima está a lo largo de = 0, entonces la radiación extremo llama de fuego ordinaria es igual a:

0cos 2 , 0,1, 2,...o

o o o

Lk S kL k S m m

p

(6.18)

Resolviendo para p lleva a:

/

/o o

o

Lp

S m

(6.19)

139

Para m=0 y p=1, Lo=S. Esto corresponde a un alambre recto (=90), y no una hélice. El siguiente valor es m = 1, y corresponde al primer modo de transmisión de una hélice. Sustituyendo m=1 se obtiene de la anterior ecuación:

/

/ 1o o

o

Lp

S

(6.20)

En una forma similar, puede mostrarse que la radiación extremo llama de fuego Hansen-Woodyard es igual a:

0cos 2 , 0,1, 2,...o

o o o

Lk S kL k S m m

p N

(6.21)

El cuál cuando es resuelto para p se llega a:

/2 1

/2

o o

o

Lp

mNS

N

(6.22)

Ahora con m=1, la anterior ecuación se reduce a:

/2 1

/2

o o

o

Lp

NS

N

(6.23)

Diseñe una hélice de 10 vueltas en el modo axial. Para un diseño óptimo: 1. Determine:

a. Circunferencia (en o), ángulo de elevación (en grados), y separación en vueltas (en o).

b. La velocidad de onda relativa (al espacio libre) a lo largo del alambre de la hélice para:

i. Diseño ordinario extremo llama de fuego ii. Diseño Hansen-Woodyard extremo llama de fuego

c. El ancho de haz de media potencia de un lóbulo principal (en grados) d. Directividad (en dB)

i. Una fórmula ii. Una aproximación con programa de computador

e. Razón Axial (adimensional y en dB) 2. Dibuje el patrón de potencia lineal normalizado tridimensional para los diseños

ordinarios y Hansen-Wodyard. Solución:

140

1. a. Para un diseño óptimo:

ooo CSC 231.0)13tan(tan13,

b. La longitud de una sola vuelta es:

ooo CSL 00263.1)1()231.0( 2222

Por consiguiente la velocidad de onda relativa es: i. Extremo llama de fuego:

8337.01231.0

0263.1

1/

/

oo

oo

o

h

S

L

v

vp

ii. Extremo llama de fuego Hansen-Woodyard:

8012.020/21231.0

0263.1

2

12/

/

N

NS

L

v

vp

oo

oo

o

h

c. El ancho de haz de media potencia es:

2135.34)231.0(101

5252)(

2/30 NSC

GradosHPBW

d. La directividad es: i. Usando la formula se tiene:

22

30

15( dim ) 15(10)(1) (0.231) 34.65( dim ) 15.397o

NC SD A ensional A ensional dB

ii. Usando un programa de computador:

a. Extremo llama de fuego ordinario (p=0.8337): Do = 12.678 (Adimensional) = 11.03dB

b. Extremo llama de fuego H-W (p=0.8012): Do=23.36 (Adimensional) = 14.21 dB

e. La razón axial queda de la siguiente forma:

dBensionalAN

NAR 21.0)dim(05.1

20

120

2

12

2. Los patrones de potencia lineales tridimensionales para los dos diseños extremo llama de fuego, ordinario y Hansen-Woodyard, se muestran en la figura 4.

141

Fig. 4. Patrones tridimensionales de amplitud de potencia lineal normalizados para

antenas helicoidales convencionales. 6.5 Diseño del Alimentador La impedancia nominal de una antena helicoidal que opera en el modo axial es de cerca de 100 a 200. Sin embargo, varias líneas de transmisión prácticas (tal como cable coaxial) tienen impedancia característica de cerca de 50. Para proporcionar un mejor acople, la impedancia de la hélice debe reducirse cerca de este valor, una forma para controlar efectivamente la impedancia de entrada es diseñar apropiadamente el primer cuarto de vuelta de la hélice, por ejemplo, para llevar de 150 a 50, el alambre del primer cuarto debe ser plano en forma de cinta y la transición en la hélice debe ser muy gradual. Esto se logra llevando el alambre desde el alimentador, al inicio de la formación de la hélice, en la forma de una cinta de ancho w y aplanándola cerca al plano de tierra que está cubierto con un bloque dieléctrico de altura:

2377

or Z

wh

Donde w = ancho de la tira conductora de la hélice que inicia en el alimentador, r = constante dieléctrica del bloque dieléctrico que cubre el plano de tierra y Zo es la impedancia intrínseca de la línea de transmisión.

Esta modificación disminuye la impedancia característica de la hélice, y proporciona una menor impedancia sobre un ancho de banda sustancial pero reducida. Por ejemplo, una hélice de 50 tiene una relación de onda estacionaria (ROE) menor de 2:1 sobre un 40% del ancho de banda comparado a un 70% de ancho de banda de una hélice de 140.

142

7. ANTENA LOGARÍTMICA PERIÓDICA DE DIPOLOS (ALPD) 7.1 Generalidades Una estructura log periódica consiste de una tira de metal cuyos bordes están espaciados por un ángulo de /2. Sin embargo, para especificar la longitud desde el origen a cualquier punto sobre la estructura, una distancia característica debe ser incluida. En coordenadas esféricas (r,,) la forma de la estructura puede ser escrita como:

= función periódica de [b ln(r)] Un ejemplo podría ser:

00

lnr

sen br

(7.1)

Es evidente que los valores de son repetidos donde quiera que el logaritmo de la frecuencia radial ln(w) = ln (2 f) difiere por 2/b. el desempeño del sistema es entonces periódico como una función del logaritmo de la frecuencia, de ahí el nombre de logaritmo periódico ó log-periódico. Las configuraciones típicas de las log periódicas consisten de dos brazos co-planares cuyo patrón es unidireccional hacia el eje del cono formado por los dos brazos y es polarizada linealmente. 7.2 Arreglo de dipolos Esta estructura consiste de una secuencia de dipolos lineales paralelos a cada lado de un arreglo co-planar. Aunque tiene directividades similares a la Yagi-Uda de 7-12dB, puede ser obtenible y mantenida sobre anchos de banda mucho mayores. Mientras las dimensiones geométricas de los elementos del arreglo Yagi-Uda no siguen ningún patrón, las longitudes sln

' , espaciados sRn' , diámetros sdn

' y aún los espacios en los centros del

dipolo ssn' del arreglo periódico se incrementa logarítmicamente como se definió por el

inverso de su razón geométrica . Esto es:

1 1 1 12 2 2 2

1 1 1 1 1

1 n n n n

n n n

l R d sl R d s

l l R R d d s s (7.2)

A continuación en la figura 1 se muestra la estructura y formas de conexión de las antenas log periódicas. Básicamente se puede tener conexión directa o cruzada y de tipo coaxial, pero todos son función del logaritmo y sus dipolos crecen de esta manera.

143

Fig. 1. a. Arreglo Log periódico de dipolos, b. Conexión directa, c. Conexión Criscross y d.

Conexión coaxial.

La figura 2, por las abscisas representa al factor de escala o razón geométrica () y por las ordenadas al espaciamiento relativo (). Aparecen en la figura curvas de directividad referidas al radiador isotrópico. Obsérvese que estas curvas presentan una “rodilla” cuyo punto de curvatura máximo intercepta una línea recta que hace referencia a valores óptimos. Debe seleccionarse para el diseño a dichos puntos pues el mismo significa el menor valor posible de para una directividad dada, y en la medida que disminuye la antena resulta más compacta (es decir, una antena con menor número de elementos). De manera que el uso de la gráfica se reduce a pasar el valor de directividad, seleccionar la

144

curva adecuada y buscar los valores de y que garanticen dicha directividad y resulten en la antena más compacta posible.

Fig. 2. Factor de Escala Versus espaciado

La figura 3 por el eje horizontal representa la relación (Za/Rin) y por la vertical la relación (Zo/Rin), las curvas que aparecen son curvas de (espaciamiento medio relativo).

Fig. 3. Curva que relaciona la impedancia característica del dipolo frente a la línea

145

En la figura:

relativomediontoespaciamie /' Za = impedancia característica promedio de los elementos Rin = Impedancia de entrada (Real) Zo = Impedancia característica de la línea de alimentación Además, consideremos que: Bs = Ancho de banda diseñado B = Ancho da banda deseado Bar = Ancho de banda de la región activa N = Número de elementos L = Longitud total de la estructura En la gráfica, con el valor de ’ se selecciona la curva de trabajo con la relación Za/Rin. Se intercepta dicha curva y se busca por la vertical la relación Zo/Rin, como Rin es generalmente un dato, hallamos Zo que es la impedancia característica de la línea de transmisión interna, es decir, de la línea de transmisión que lleva la alimentación a cada uno de los dipolos que conforman el arreglo. El objetivo de esta gráfica es hallar el valor de Zo para diseñar la línea de alimentación interna. Por último, en esta tabla se muestran algunos valores característicos de directividad e impedancia de entrada para diferentes valores de ángulos y factores de escala.

Tabla 1. Resistencias de entrada (Rin en Ohms) y directividades (dB sobre el isotrópico) para arreglos de antenas log periódica.

146

7.3 Procedimiento de diseño Estudiaremos el método de diseño a partir del siguiente ejemplo: Diseñe una antena logarítmica periódica de dipolos (ALPD) tipo conexión coaxial (figura 10.9 página 428) que cubra todos los canales de televisión de VHF (54Mhz para el canal 2 hasta 216Mhz para el canal 13). La directividad deseada es 8dB y la impedancia de entrada Rin es de 50 (ideal para acoples con coaxial de esa impedancia). Los elementos deben ser hechos de tubería de aluminio con un diámetro exterior de 1.9cm para el elemento más largo y la línea de alimentación y de 4.8cm para el elemento más corto. Estos diámetros significan idénticas relaciones l/d para los elementos más cortos y más largos. De la figura 2 para Do=8dB, el valor óptimo de es =0.157 y el valor correspondiente de es =0.865. Usando

1 1tan

4

(7.3)

12.13 12 Y con la ayuda de 21.1 7.7(1 ) cotarB (7.4)

Donde Bar es el ancho de banda de la región activa resulta ser una expresión semi-empírica. Bar=1.753 y Bs=BBar. Donde Bs es el ancho de banda de diseño y es ligeramente mayor que B. B es el ancho de banda requerido en este problema: B=216/54=4. Entonces Bs =B Bar = 256/54 x 1.753 = 7.01

max= c / fmin = 3*108/54*106=5.556m Y la estructura del elemento se calcula a partir de

max 11 cot

4 s

LB

(7.5)

L es la longitud total de la estructura medida desde el elemento más corto (lmin) hasta el elemento más largo (lmax). Reemplazando obtenemos:

L=5.541m

ln

1ln(1/ )

sBN

(7.6)

Recuerde que N=número de elementos y se obtiene

N=14.43 (14 ó 15 elementos)

Ahora se puede obtener el valor del espaciamiento relativo:

147

169.0865.0

157.0'

A la frecuencia más baja se obtiene la longitud máxima como

lmax = max / 2 = 5.556m / 2 = 2.778m

lmax / dmax= 277.8 cm / 1.9 cm = 145.816

La impedancia se calcula como:

120 ln 2.25na

n

lZ

d

(7.7)

120 ln 145.816 2.25 327.88aZ Ohms

Por lo tanto, de la relación Za/Rin=6.558 y con el valor de ’=0.169 estamos en condiciones de usar la figura 3.

Zo = 1.2 Rin = 1.2 (50) = 60 Ohms. Se asume que la línea conductora del alimentador está hecha del mismo tamaño del tubo que el elemento más largo del arreglo, el espaciado centro a centro del conductor del alimentador es:

cosh120

oZs d

(7.8)

Así que: Línea de Transmisión interna (conexión coaxial) s1 s

cms 115.2)120/60cosh()9.1(

Como el diámetro de los conductores que forman la línea es de 1.9cm, su radio será de 0.95cm y como s se tomó de centro a centro, entonces la separación entre los conductores que forman el alimentador interno será:

mmcmss 15.2215.09.1115.2)95.0(21 Ahora, se calcula la longitud de todos los elementos, como hallamos la longitud del elemento más largo entonces:

= ln / dn, entonces 0.5 = ln/ln+1

148

Escogimos 15 elementos, entonces: 0.5 = l14/l15, siendo l15=lmax, por lo tanto hallamos l14=138.9cm, después 0.5 = l13/l14 y hallamos l13=69.45cm y así sucesivamente. Por último se calcula la separación entre los elementos, como sabemos que

1 11

2n n

n n

l R

l R (7.9)

y

1

12n n

n

R R

l

(7.10)

Entonces si consideramos que el primer elemento, es el elemento más corto de acuerdo a la

figura 1. Entonces 2 12 1 2

2

y 22

R RR R l

l . Siendo R2-R1 la distancia que separa

estos dos elementos, es decir:

R1 R2-R1

Entonces: 3233

23 22

lRRasíl

RR

y así sucesivamente.

Fig. 4. Geometría de un arreglo de dipolos

La onda radiada de un LPDA es polarizada linealmente, y tiene polarización horizontal cuando el plano de la antena es paralelo a la tierra.

R2

149

Si la impedancia de entrada de un LPDA es graficado como función de la frecuencia, será repetitivo, sin embargo, si es graficada como una función del logaritmo de la frecuencia, será periódica con cada ciclo siendo exactamente al precedente. En la figura 5, se muestra la impedancia de entrada en función del logaritmo de la frecuencia, como se observa presenta unos picos con mayor acentuación para los logaritmos de frecuencias particulares f1 y f2, y en la figura 6, la ganancia también en función de la frecuencia para un rango entre 50 a 1000Mhz.

Fig. 5. Variación de la impedancia de entrada de un LPDA

Fig. 6. Ganancia de la antena Log-periódica en dB.

La directividad puede aproximarse usando

150

41253o

Ed Hd

D

La figura 7 la relación de onda estacionaria de voltaje (ROE-VSWR) y la figura 9 los anchos de haz de media potencia (HPBW) para los planos eléctrico y magnético en función de la frecuencia.

Fig. 7. Relación de onda estacionaria de voltaje en función de la frecuencia.

Fig. 8. Ancho de Haz de media potencia (HPBW) para los planos magnético y eléctrico. Comercialmente se consiguen en el mercado o se construyen de acuerdo a las especificaciones requeridas de LPDAs, sin embargo, si se siguen las consideraciones de diseño puede obtenerse una antena con características apropiadas y a un costo asequible.

151

Fig. 9 LPDA de 21 elementos, Antenna Research Associates.

152

8. ANTENAS YAGI- UDA 8.1 Generalidades Este método de diseño es el resultado de años de investigación por parte de la NSBA para determinar como el diámetro de los elementos parásitos (reflector, directores), longitud de los elementos, espaciamiento entre los elementos y largueros con secciones transversales de áreas diferentes afectan la ganancia. Es importante resaltar que el ancho de haz de media potencia (HPBW) es mayor en el plano Magnético H que el Eléctrico E.

Fig. 1. Configuración de antena Yagi-Uda.

Las longitudes y diámetros de los directores y reflectores, así como sus espaciados respectivos, determinan las características óptimas. Usualmente la Yagi-uda tiene baja impedancia de entrada y ancho de banda relativamente estrecho. La antena Yagi-Uda puede ser sintetizada diciendo que su desempeño puede ser considerado en tres partes: 1.1 El arreglo alimentador-reflector

1.2 El alimentador

1.3 Las filas de directores

Se ha concluido, numérica y experimentalmente, que el espaciado del reflector y su tamaño tiene 1) efectos despreciables sobre la ganancia y 2) grandes efectos sobre la ganancia frente atrás e impedancia de entrada, y pueden ser usados para controlar los parámetros de la antena sin afectar significativamente la ganancia. La longitud del alimentador y su radio tienen un efecto pequeño sobre la ganancia pero uno grande respecto a la impedancia de entrada que es más comúnmente diseñada real (elemento resonante). El tamaño y espaciado

153

de los directores tiene un gran efecto sobre la ganancia e impedancia de entrada, y son considerados los elementos más críticos sobre el arreglo. La Yagi-Uda es común en la práctica puesto que es liviana, simple de construir, de bajo costo y proporciona características deseables moderadas para varias aplicaciones. Su diseño puede ser simple (típicamente 5 a 6 elementos) pero puede llegar a ser compleja si se desea lograr una alta directividad. 8.2 Método de los momentos (MoM) Un método basado en ecuaciones integrales rigurosas para el campo eléctrico radiado por los elementos de la antena permitirá describir las distribuciones de corriente complejas sobre todos los elementos, velocidad de fase, y los correspondientes patrones de radiación. Igualmente, basados en la ecuación integral de Pocklington, se obtendrá el campo total generado por una fuente de corriente eléctrica radiando en el espacio libre sin límites. Por lo tanto, para alambres de diámetro pequeño la corriente sobre cada elemento puede ser aproximada por una serie finita de modos pares ordenada imparmente. Además la corriente del n-ésimo elemento puede ser escrita como una expansión en series de Fourier de la forma

'

'

1 n

( ) cos 2 1M

n nmm

zI z I m

l

(7.1)

Donde Inm representa los coeficientes de corriente compleja de modo m sobre un elemento n y ln representa la correspondiente longitud del elemento n. De lo anterior, la ecuación M-ésima sobre el elemento alimentador es generada por la restricción de que la corriente normalizada para todos los M modos en el punto de alimentación (z’=0) del elemento manejado es igual a la unidad ó

1

( ' 0) 1M

nmm n N

I z

(7.2)

Basados en el anterior procedimiento, un sistema de ecuaciones lineales es generado tomando en cuenta la interacción de

a. Cada modo en cada segmento de alambre con cada segmento sobre el mismo alambre.

b. Cada modo en cada segmento de alambre con cada segmento sobre los otros alambres.

Este sistema de ecuaciones lineales es luego resuelto para encontrar los coeficientes de amplitud complejos de la distribución de corriente representados por (7.1). En la figura 2,

154

se presenta la geometría para un arreglo de tres elementos (un director, un reflector y el elemento manejado) con dos modos en cada alambre.

Fig. 2. Geometría de arreglo Yagi-Uda para formulación del Método de los Momentos

MoM. 8.3 Ejemplo de diseño por medio de simulación Diseñar un arreglo Yagi-Uda de 15 elementos (13 directores, un reflector y un excitador). Calcule y grafique los patrones de plano E y H, corriente normalizada en el centro de cada elemento y directividad y razón frente atrás como una función del espaciado del reflector y espaciado del director. Las dimensiones del arreglo son como sigue:

N = Número total de elementos = 15 Número de directores = 13 Número de reflectores = 1 Número de excitadores = 1

Longitud total del reflector = 0.5

155

Longitud total del alimentador = 0.47 Longitud total de cada director = 0.406

Espaciado entre reflector y alimentador = 0.25 Espaciado entre ajuste de directores = 0.34

a = radio de los alambres = 0.003 Solución: Usando un programa de computadora, los patrones calculados para plano E y H de este diseño son mostrados en la figura 3. Los correspondientes anchos de banda son Plano eléctrico (e=26.98°), Plano magnético (h=27.96°) mientras que la directividad es 14.64dB. Una gráfica de la corriente en el centro de cada elemento versus posición del elemento se muestra en la figura 4. Una figura de mérito importante del arreglo Yagi-Uda es la razón adelante atrás del parón como una función del espaciado del reflector con respecto al alimentador. Esta, junto con la directividad se muestra en la figura 5 para un espaciado desde 0.1-0.5. Para este diseño, la máxima razón adelante atrás ocurre cuando el espaciado del reflector es de alrededor de 0.23 mientras la directividad decrece monótonamente, desde cerca de 15.2dB a una espaciado de 0.1 hasta 10.dB para un espaciado de 0.5. Otro investigación paramétrica es la variación de la razón adelante atrás y la directividad como función del espaciado del director. Esto se muestra en la figura 6 para espaciados entre 0.1 a 0.5. Es aparente que la directividad exhibe un ligero incremento desde cerca de 12dB a un espaciado alrededor de 0.1 hasta cerca de 15.3dB para un espaciado de 0.45. Como se observa en la figura6, las variaciones de la razón adelante atrás son mucho más sensitivas como función del espaciado del director, excursiones del orden de 20-25dB son evidentes para cambios en el espaciamiento de alrededor de 0.05.

Fig. 3. Patrones de Amplitud plano H y E para un arreglo Yagi-Uda de 15 elementos

156

Fig. 4. Corriente normalizada en el centro de cada elemento de un arreglo Yagi-Uda de 15

elementos.

Fig. 5. Directividad y razón adelante atrás, como función del reflector, para un arreglo

Yagi-Uda de 15 elementos.

157

Fig. 6. Directividad y razón adelante atrás, como función del reflector, para un arreglo

Yagi-Uda de 15 elementos. 8.4 Optimización Las características de radiación del arreglo pueden ser ajustadas controlando los parámetros geométricos del arreglo. Esto se demostró a través de las figuras 5 y 6, sin embargo, estas y otras características pueden ser optimizadas usando longitudes y espaciados entre directores no uniformes. Resultados de arreglos optimizados al inicio y final se muestran en la tabla 1 y 2. Donde se muestra para el mismo arreglo, que se permite variar a todos los espaciados mientras se mantienen constantes los demás parámetros. Otros procedimientos de optimización mantienen el espaciado entre todos los elementos constante y varían las longitudes, así se optimiza la directividad.

Tabla 1. Optimización de la directividad para arreglo Yagi-Uda de seis elementos (Perturbación de los espaciados de director), l1=0.51, l2=0.5, l3= l4= l5= l6=0.43,

a=0.003369

158

Tabla 2. Optimización de la directividad para arreglo Yagi-Uda de seis elementos (Perturbación de los espaciados de director y todas las longitudes de elementos),

a=0.003369

Tabla 3. Optimización de la directividad para arreglo Yagi-Uda de seis elementos (Perturbación de todas las longitudes de elementos), s21=0.250, s32=s43=s54=s56=0.301,

a=0.003369

Ahora la última técnica de optimización es variar los espaciados y las longitudes y sus resultados se muestran en la tabla 4.

Tabla 4. Optimización de la directividad para arreglo Yagi-Uda de seis elementos (Perturbación de los espaciados de director y todas las longitudes de elementos),

a=0.003369

Todos los anteriores diseños de optimización fueron desarrollados por Chen y Cheng, y consistieron básicamente de dejar un parámetro constante mientras se variaba el otro y de estos se tomaron los datos de las anteriores tablas.

159

8.5 Impedancia de entrada y técnicas de acople La impedancia de entrada de un arreglo Yagi-Uda, medida en el centro del elemento manejado es usualmente pequeña y es influenciada fuertemente por el espaciado entre el reflector y el elemento alimentador. Para un arreglo de 13 elementos usando un elemento resonante, medidas de impedancia a la entrada son listadas en la tabla 5. Algunos de esos valores son bajos para acoplar a líneas de transmisión de 50, 75 y 300. Las técnicas comunes de acople son el uso de dipolos doblados, como elemento manejador y simultáneamente como transformador de impedancias, los cuales dependen de la línea de transmisión que se conecte de la antena al receptor. El cable coaxial es ampliamente usado como línea de transmisión primaria para televisión, por consiguiente, si coaxial con una impedancia característica de 75 es la línea de transmisión usada desde la antena al receptor y puesto que la impedancia de entrada de la antena está típicamente entre 30 a 70, el acople Gamma es la técnica de acople más prudente para usar. Esto ha sido usado ampliamente en diseños comerciales donde una abrazadera es usualmente empleada para variar la posición del corto para lograr un mejor acople. Sin embargo, la línea de doble terminal con una impedancia característica de cerca de 300 es usada como la línea de transmisión desde la antena al receptor, que fue usada por muchos años, entonces podría ser más prudente usar un dipolo doblado como elemento manejador, ya que actuará como transformador de configuración de impedancias de 4:1 cuando la longitud del elemento sea exactamente /2. 8.6 Procedimiento de diseño Un procedimiento de diseño ha sido establecido para determinar los parámetros geométricos del arreglo Yagi-Uda para una directividad deseada (sobre un dipolo /2 montado a la misma altura sobre tierra). Las gráficas incluidas pueden ser usadas para diseñar arreglos de varias longitudes (desde el elemento reflector hasta el último director) con directividades de 7.1, 9.2, 10.2 12.25, 13.4 y 14.2dB, respectivamente, y con una razón de diámetro a longitud de onda de 0.001d/0.04. Las mediciones fueron realizadas a una frecuencia de 400Mhz. El procedimiento es idéntico para todos los diseños a frecuencias donde los datos incluidos puedan acomodarse a las especificaciones. La base del diseño son los datos incluidos en

1. Tabla 6 que representa los parámetros de antena optimizados para seis diferentes longitudes y para d/=0.0085.

2. La figura 7 que representa las longitudes del reflector y director sin compensar para 0.001 d/ 0.04.

3. La figura 8 que proporciona un incremento en la longitud para compensación de todos los elementos parásitos (directores y reflectores) como función de la razón del larguero a la longitud de onda 0.001 D/ 0.04.

160

La información especificada es usualmente la frecuencia central, la directividad de la antena, las razones d/ y D/, y se requiere encontrar las longitudes óptimas de los elementos parásitos. El espaciado entre los directores es uniforme pero no para todos los diseños. Sin embargo, si solamente hay un reflector su espaciado es s=0.2 para todos los diseños.

Tabla 6. Longitudes sin compensar optimizadas de elementos parásitos para antenas Yagi-

Uda de seis longitudes diferentes.

161

Si analizamos cada caso los elementos que se muestran en la Tabla 6, son como sigue, primero se encuentra la Longitud de la Yagi-Uda (En longitudes de onda)

0.4 0.8 1.2 2.2 3.2 4.2 A continuación la Longitud del Reflector (li/)

0.482 0.482 0.482 0.482 0.482 0.475 Luego las Longitudes de los directores (l3/, l4/, l5/, …, l17/ ). Enseguida el espaciamiento entre directores (Si/)

0.20 0.20 0.25 0.20 0.20 0.308 Luego, la Ganancia relativa al dipolo de media onda (dB)

7.1 9.2 10.2 12.25 13.4 14.2 Y por último la Curva de diseño para optimización de las longitudes de los elementos parásitos

A B B C B D En la figura 7 se presenta un juego de curvas, las 4 superiores (que en realidad son dos porque en una misma aparecen tres casos: A, B y C) para el reflector y las inferiores para los directores que se usan para corregir la longitud de estos elementos en función de su diámetro. En el eje horizontal se representan las relaciones d/, donde d es el diámetro de los elementos y es la longitud de onda correspondiente a la frecuencia de diseño. En el eje vertical se representa la relación li/, donde li es la longitud de los elementos. En la figura 8 se presenta una curva que se usa para corregir la longitud de los elementos parásitos (reflector y directores) y también se considera el larguero. En el eje horizontal se presenta la relación D/, donde D es el diámetro del larguero y coincide con la descripción anterior. En el eje vertical se representa la relación li/, donde li es el elemento de la longitud óptima de acuerdo al diámetro del larguero y coincide con la descripción anterior. Revisemos un caso, por ejemplo tomemos la columna 2: Antena de longitud 0.8 Longitud del reflector de 0.482 Con tres directores de longitudes: l3=0.428 l4=0.424

162

l5=0.428 Espaciamiento entre directores de 0.2 Ganancia de 9.2dB Curva de Diseño B Espaciamiento Reflector – Dipolo Activo (S12) de 0.2

Fig. 7. Curvas de diseño para determinar las longitudes de los elementos de una antena

Yagi-Uda.

Fig. 8. Incremento en la longitud óptima de los elementos parásitos como función del

diámetro del larguero metálico.

163

Notas 1. La separación del dipolo activo-primer director es la misma que la separación entre

directores, en el ejemplo sería 0.2. 2. La antena que se seleccione de la tabla es adecuada si la relación d/=0.0085 y si el

diámetro del larguero D con respecto a , D/ tiende a cero. Como generalmente esto no ocurre deben corregirse (optimizarse) las longitudes de los elementos parásitos según las figuras 7 y 8.

3. En la tabla: d= diámetro de los elementos parásitos, l1= longitud del reflector y l= longitud de los directores.

4. Sik es la separación entre el dipolo activo-primer director y entre directores. 5. S12 es la separación entre el reflector-dipolo activo. 6. es la longitud de onda a la frecuencia de diseño. Pasos a tener en cuenta 1. Frecuencia de Diseño fo: Si el dato es el ancho de banda a cubrir por la antena, por

ejemplo de (90-98)Mhz seleccionar como fo la frecuencia más alta, en el ejemplo fo=98Mhz por las características pasobajo de las antenas.

2. Ganancia (en dB referida al dipolo de media onda): Si el dato de ganancia no coincide con alguno de los que aparecen en la tabla 10.6, se selecciona el inmediato superior, es decir si el dato es G=9.8 se selecciona la antena con G=10.2. Obsérvese que la “clave” para entrar a la tabla es el valor de ganancia. Al seleccionar un valor de ganancia estamos de hecho seleccionando una antena (una columna en la tabla 6). Recuerde que d es el diámetro de los elementos parásitos y D es el diámetro del larguero.

8.6.1 Ejemplo de diseño Diseñe un arreglo Yagi-Uda con una directividad de 9.2dB a una frecuencia de operación fo=50.1Mhz. El diámetro deseado de los elementos parásitos es d=2.54cm y el boom ó larguero de soporte metálico es de dimensión D=5.1cm. Encontrar el espaciado de los elementos, las longitudes y la longitud total del arreglo. Solución: En primer lugar, se obtiene la longitud de onda y con ella las razones diámetro de elementos y de larguero respecto a la longitud de onda.

0max

3

3

300 3005.988 598.8

( ) 50.1

2.544.24 10

598.8

5.18.52 10

598.8

o

o

o

m cmf Mhz

d

D

164

De la tabla 6, el arreglo deseado podría tener 5 elementos (tres directores, un reflector y un alimentador), entramos con la ganancia de 9.2dB (columna 2) obtenemos: Antena de Longitud 0.8=0.8(5.988m)=4.79m Longitud del reflector de 0.482=0.482(5.988m)=2.886m Con tres directores de longitud:

l3=0.428=0.428(5.988m)=2.562m l4=0.424=0.424(5.988m)=2.538m l5=0.428=0.428(5.988m)=2.562m

Espaciamiento entre el dipolo activo-primer director y entre directores de

0.2=0.2(5.988m)=1.197m

El espaciamiento entre reflector y dipolo Activo (S12) se obtiene a partid de

0.2=0.2(5.988m)=1.197m

Si la relación d/=0.0085, es decir, hubiera coincidido con el de la Tabla 6 y si D/ hubiera tendido a cero, el diseño terminaría aquí pero como d/=4.24*10-3 y D/=8.52*10-3 debemos corregir la longitud de los elementos parásitos. De acuerdo a la Tabla 6, entonces se selecciona la Curva de Diseño B para la optimización de la longitud de los elementos parásitos. Corrección de la longitud de los elementos parásitos en función del diámetro de los mismos. En la figura 8 en el eje horizontal ubicamos la relación d/ '

1l =4.24*10-3=0.00424. Trazamos entonces una recta paralela al eje vertical hasta interceptar la curva de diseño B en la zona de reflectores, se obtiene el punto '

1l , el cuál corresponde a la nueva longitud optimizada del reflector. Esta longitud se halla trazando una línea paralela al eje horizontal hasta interceptar el eje y leyéndose en este la nueva longitud. En el ejemplo se tiene

485.0'1 l . Ahora nos ubicamos en la zona de directores sobre la curva de diseño B, las

longitudes de los tres directores extraídos de la Tabla 6. En la figura 8 se representan con los puntos ''

5''

4''

3 , lyll respectivamente. Estos puntos se ubican leyendo las longitudes

respectivas sobre el eje “y” e interceptamos la curva de diseño B. En la zona de directores más largos, en este caso el primer y el tercero (tienen la misma longitud), se obtiene inmediatamente la nueva longitud corregida interceptando la curva de diseño B desde el valor sobre la horizontal d/=0.00424, en el ejemplo, es el (los) punto(s)

.442.0'5

'3 ll Para los directores más cortos el procedimiento es tomar la distancia entre

cada uno de ellos y el diámetro más largo sobre la curva de diseño. Según las longitudes

165

respectivas sin corregir y trasladarlas a partir de la longitud corregida del director más largo, en el ejemplo esta distancia es l y está entre el punto '

5'3 ll y se obtiene el punto '

4l

que representa la nueva longitud corregida del segundo director y que se lee sobre el eje de las y, siendo .438.0'

4 l Observaciones sobre la figura 8 l’’ representa las longitudes de los elementos parásitos según resultan de la Tabla 6, es decir, sin corregir. l’ representa las nuevas longitudes de los elementos parásitos ahora corregidos según la relación d/. Corrección de las longitudes de los elementos parásitos en función del diámetro del larguero. En la figura 8 ubicamos en el eje x la relación D/=8.52*10-3=0.00852 e interceptamos la curva. Entonces leemos en el eje y el aumento que debe proporcionarse a la longitud de los elementos parásitos para compensar el diámetro del larguero. En el ejemplo, 005.0005.0/ ii lentoncesl

Finalmente se suman las correcciones según se obtenga en los dos pasos anteriores:

mlll

mlll

mlll

mlll

i

i

i

i

676.2447.005.0442.0

652.2443.005.0438.0

676.2447.005.0442.0

934.2490.005.0485.0

'55

'44

'33

'11

El dipolo activo es doblado de media onda adaptándolo a una línea de 50 por un sintonizador formado por dos trombones, en general como dipolo activo se usa un dipolo doblado cuya longitud resonante se calcula según la expresión vista antes en clases con conductores superior e inferior de igual diámetro y la alimentación del mismo debe realizarse con cable coaxial de 50 a 75. Diseñado el correspondiente sistema para simetría y acople de impedancias, todos los elementos se construyen con aluminio. Definición de Larguero ó boom: Soporte metálico sobre el que se fijan los elementos que conforman la entena (dipolo activo, reflector y directores). Para determinar la frecuencia de resonancia de las Yagi-Uda, se considera la longitud del alimentador (0.47), por ejemplo, si es de 20 cm, entonces se realiza lo siguiente:

0.47 = 20cm = 0.47 30 / f (Ghz)

Entonces la frecuencia f = 0.705Ghz, por lo tanto, la frecuencia a la que trabajaría mejor la antena es 700Mhz.

166

9. DISEÑO DE BOCINAS 9.1 Introducción Una de las más simples y probablemente la más usada antena de microondas es la bocina. Su existencia data desde finales de 1800s, sin embargo, tomó fuerza hacia 1930 cuando el interés en las líneas de transmisión y microondas durante la II Guerra Mundial. La bocina piramidal es extensamente usada como un estándar para medir ganancia de otras antenas, aplicaciones en astronomía de radio amplia, rastreo satelital y platos de comunicación instalados alrededor del mundo. La bocina no es más que un tubo con una cavidad de diferentes secciones transversales, que ha sido afilado para una mayor apertura. El tipo, dirección y cantidad de afilamiento pueden tener un efecto profundo sobre el desempeño completo del elemento como un radiador. 9.2 Bocina sectorial Plano E

Figura 1. a) Bocina Plano E y b) Sistema de coordenadas para la bocina plano E

167

La bocina plano Eléctrico E es aquella cuya apertura afilada (ahusada en el sentido) en la dirección del campo E. Los campos en la apertura de la bocina pueden ser encontrados tratando la bocina como una guía de onda radial. Puede mostrarse que si los 1) campos de la guía de onda que alimenta son aquellos de su modo dominante TE10 y 2) la longitud de la bocina es grande comparada con las dimensiones de la apertura, los campos del modo de orden más bajo en la apertura de la bocina están dados por:

´2

1

´2

1

´2

1

2'1

2' 1

2'1

1

cos '

cos '

s '

cos

k yj

y

k yj

x

k yj

z

e e

E E x ea

EH x e

a

H jE en x eka a

(9.1)

E1 es una constante, las primas son usadas para indicar los campos en la apertura de la bocina, el término exponencial complejo es usado para representar las variaciones cuadráticas de fase de los campos sobre la apertura de la bocina. Se asume que en el ápice imaginario de la bocina (línea punteada) existe una fuente lineal que radia ondas cilíndricas. Cuando las ondas viajan hacia en dirección radial hacia fuera, los frentes de fase constante no serán los mismos que en el origen (y=0). La fase es diferente debido a que ha viajado diferentes distancias desde el ápice a la apertura, esta diferencia en la ruta de viaje es designada como (y).

2 2

1 11 1

' 1 '( ') 1

2

y yy

(9.2)

Cuando la anterior ecuación es multiplicada por el factor de fase k, el resultado es idéntico al término de fase cuadrático. Ejemplo: diseñe una bocina sectorial plano E así que la desviación de fase máxima en la apertura de la bocina sea 56.72. Las dimensiones de la bocina son a=0.5, b=0.25 y b1=2.75.

1

21

max ´ / 21

( / 2)( ') 56.72

2 180y b

k bk y

Despejando 1 encontramos: 2

1

2 (2.75 / 2) 1806

56.72

El afilamiento total en el ángulo de la bocina debería ser igual a:

168

1 11

1

/ 2 2.75 / 22 2 tan 2 tan 25.81

6e

b

9.2.1 Campos Radiados Los campos eléctricos radiados son encontrados apoyándose en las integrales seno y coseno de Fresnel, es de observar en la figura 2 que el patrón de plano eléctrico E es mucho más estrecho que el plano magnético H debido al afilamiento y dimensiones mayores de la bocina en esa dirección.

Fig. 2. a. Patrón tridimensional de la bocina Planos E y H y b. Patrón en coordenadas

polares.

Curvas aproximadas para la magnitud del patrón normalizado pueden ser graficadas como función de s=b1/sen y se muestran en la figura 3. Ejercicio: Una bocina plano E tiene dimensiones de a=0.5, b=0.25 y b1=2.75 y 1=6. Encuentre la intensidad de campo normalizado (en dB y como una razón de voltaje) en un ángulo de =90 usando las curvas universales. Solución: Como las curvas se basan en el parámetro s, el primer paso es determinar por cuál curva se debe analizar la bocina. Ahora, usando

21

18

bs

(9.3)

169

22.75 1

0.15758(6) 6.3

s

Debido a que ninguna de las curvas de la figura 3 representa a s=1/6.3, se interpola entre las curvas de s=1/4 y s=1/8. En =90

1 2.75 90 2.75b

sen sen

El punto de la intensidad de campo entre las curvas de s=1/4 y s=1/8 está cercano a -20dB, por consiguiente, la intensidad de campo total en =90 es igual a:

1 cos9020 20log 20 6 26

2E dB

Fig. 3. Patrones universales para bocinas piramidales y sectoriales de plano Eléctrico.

9.2.2 Directividad El desempeño total de una antena puede ser juzgado por su directividad y/o ancho de haz (HPBW), como una función del ángulo de afilamiento para diferentes longitudes de bocina:

2 21 1 1

1 1 1

64

2 2E

a b bD C S

b

(9.4)

Donde C y S son las integrales de Fresnel, por lo tanto, la directividad de una bocina sectorial plano E puede ser calculada usando el siguiente procedimiento:

170

1. Calculando B de:

1 50

/e

bB

(9.5)

2. Usando este valor de B, encontrar el valor correspondiente de GE de la figura, sin embargo, si el valor de B es menor que 2, calcule GE usando:

EG 32B / (9.6)

3. Calcule DE usando el valor de GE de la figura 3c ó de la ecuación anterior, además:

50

/

EE

e

GaD

(9.7)

Fig. 3a. Directividad Normalizada como función del tamaño de apertura y para diferentes

longitudes.

Ejercicio: Una bocina sectorial plano E tiene dimensiones de a=0.5, b=0.25 y b1=2.75 y 1=6. Calcule la directividad utilizando dos métodos y compare las respuestas. Solución: Para esta bocina,

171

1

1

2.750.794

2 / 2(6)

b

Revisando las integrales seno y coseno de Fresnel se obtiene:

2 2

2 2

(0.794) 0.72 0.518

(0.794) 0.24 0.0576

C

S

Por lo tanto, usando la ecuación para la directividad se obtiene:

64(0.5)6

(0.518 0.0576) 12.79 11.072.75ED dB

Fig. 3. b. HPBW para una bocina Sectorial Plano E como función del ángulo y diferentes

longitudes.

172

Para calcular la directividad utilizando e, los siguientes parámetros son evaluados: 2

2 2.756 6.1555

2e

50 502.85

/ 5.1555

2.75(2.85) 7.84e

B

Ahora por de la figura 3c, para B=7.84 se obtiene:

0.5(73.5)

12.89 11.102.85ED dB

Obviamente un excelente acuerdo entre los dos resultados.

Fig. 3c. GE como función de B

9.3 Bocina sectorial Plano H Alargando las dimensiones de una guía de onda rectangular en la dirección del campo H mientras se mantiene la otra constante, se forma una bocina sectorial en el plano H. En la

173

figura 4 se ilustra la geometría en función de las dimensiones de una bocina sectorial plano magnético.

Fig. 4. Bocina Sectorial Plano H y sistema de Coordenadas

Los campos en la apertura pueden ser encontrados tratando la bocina como una guía de onda radial formando un ápice imaginario como el punteado en la figura, de esta forma, los campos radiados son:

174

''2

1

'' 2

1

2

2

2

( ') cos '

( ') cos '

1 ''

2

cos

jk xy

jk xx

h h

E x E x ea

EH x x e

a

xx

(9.8)

A continuación se muestra el patrón de campo tridimensional de una bocina sectorial plano H con dimensiones a1=5.5, b=0.25 y 2=6, igualmente el patrón en un sistema de coordenadas polar.

Fig. 5. Patrones de campo para una bocina sectorial Plano H.

El procedimiento de diseño se apoya al igual que para las bocinas plano E en las gráficas de directividad, HPBW, directividad Normalizada y GH como función de A. La Directividad viene dada como:

2 22

1

4( ) ( ) ( ) ( )H

bD C u C v S u S v

a

(9.9)

Estando definidas u y v de la siguiente manera

175

2 21 1

1 12 2

1 1

2 2

a au y v

a a

(9.10)

Fig. 6. Patrón universal plano H para una bocina sectorial y bocinas piramidales.

La directividad de una antena sectorial puede ser calculada usando el siguiente procedimiento: 1. Calcular A de acuerdo a:

1 50

/h

aA

(9.11)

2. Usando este valor de A, encontrar el valor correspondiente de GH de la figura 7. Si el valor de A es menor que 2, entonces calcule GH usando: 32 /HG A (9.12)

3. Calcule DH usando el valor de GH de la figura 6b o de la ecuación, además:

50

/

HH

h

GbD

(9.13)

176

Fig. 7. a. HPBW de una bocina Sectorial Plano H como función del ángulo de afilamiento y diferentes longitudes y b. Directividad normalizada para una bocina sectorial Plano H.

Ejercicio: Una bocina sectorial plano H tiene dimensiones a=0.5, b=0.25 y 2=6, calcule la directividad usando dos métodos, compare las respuestas. Solución: para esta bocina se tiene,

1 6 5.51.9

5.52 6

1 5.5 5.51.273

5.52 6

u

v

Del apéndice del libro de Balanis: (1.9) 0.394C

( 1.273) (1.273) 0.659C C (1.9) 0.373S

( 1.273) (1.273) 0.669S S Usando la ecuación de directividad se tiene:

177

2 24 (0.25)60.394 0.659 0.373 0.669 7.52 8.763

5.5HD dB

Para calcular la directividad usando la ecuación de diseño, los siguientes parámetros son calculados:

2 26 (5.5 / 2) 6.6h

50 5015.14

/ 6.6h

Para A=15.14, GH=91.8 de la figura 8 y reemplazando en la ecuación se obtiene: 0.25(91.8)

8.338 9.212.754HD dB

Figura 8. GH como función de A.

9.4 Bocina Piramidal

Para el diseño de esta antena generalmente se conoce la ganancia deseada Go y las dimensiones a y b de la guía de onda rectangular que la alimenta. El objetivo de diseño es determinar las dimensiones restantes (a1, b1, pe, ph, Pe y Ph) de forma que obtengamos una ganancia máxima. Para que la bocina piramidal sea físicamente realizable, las dimensiones Pe y Ph deben ser iguales. Para construir físicamente una bocina piramidal, la dimensión Pe de la figura 4a está dada por:

178

1/2

11

1

4e

eP b bb

(9.14)

y debe ser igual a la dimensión de Ph dada por:

1/2

11

1

4h

hP a aa

(9.15)

Fig. 8. A. Bocina piramidal y sistema de coordenadas y b. Comparación de patrones de plano E y H para una bocina

de ganancia estándar de 20dB para una frecuencia de 10Ghz.

9.4.1 Directividad La directividad de una configuración piramidal es vital para el diseñador de la antena. Puede escribirse como:

179

2

32P E HD D Dab

(9.16)

Donde DE y DH son las directividades de las bocinas sectoriales plano E y H respectivamente, igualmente puede aproximarse por:

1 110 2

( ) 10 1.008 log ( )P e h

a bD dB L L

(9.17)

Donde e hL y L representan las pérdidas en dB debidas a los errores de fase en los

planos E y H de la bocina que son graficados en la figura 9.

Fig. 9. Figuras de pérdida para plano E y H debido a los errores de Fase.

La directividad de una bocina piramidal se calcula de acuerdo a los siguientes pasos: 1. Calcular

1 50

/h

aA

(9.18)

180

1 50

/e

bB

(9.19)

2. Usando A y B, y GH y GE, respectivamente de las figuras. Si los valores de A ó B son menores a 2, se calcula GE y GH conforme a:

32 /

32 /E

H

G B

G A

(9.20)

3. Calcule DP usando los valores de GE y GH de las figuras y además:

2

3250 5010.1859

/ /

E HP E H

e h

G GD D D

ab

(9.21)

Siendo DE y DH las directividades de acuerdo a las ecuaciones vistas anteriormente.

Fig. 10. a. Ganancia de bocina piramidal típica en la banda X (8.2-12.4Ghz) y b. Ganancia

medida, calculada y proporcionada por el fabricante.

181

Ejemplo: Una bocina tiene dimensiones a1=5.5, b1=2.75, a=0.5, b=0.25 y 2=1=6. a) Verifique si tal antena tipo bocina puede ser construida físicamente y b) Calcule la directividad usando el procedimiento mencionado anteriormente. Solución: de los dos ejemplos anteriores se tiene que,

6.1555 6.6e hy

Además 2

6.1555(2.75 0.25) 1/ 4 5.454

2.75e

26

(5.5 0.5) 1/ 4 5.4545.5h

Por consiguiente la bocina puede ser construida físicamente. La directividad puede calcularse a partir de los resultados de los ejercicios anteriores, entonces:

2

(12.79)(7.52) 75.54 18.7832 32(0.5)(0.25)P E HD D D dB

ab

Usando los valores de DE y DH de acuerdo al otro método nos da:

2

(12.89)(8.338) 84.41 19.2632 32(0.5)(0.25)P E HD D D dB

ab

Para esta bocina

2 21

1

2 21

2

(2.75)0.1575

8 8(6)

(5.5)0.63

8 8(6)

bs

at

Para estos valores de s y t se obtiene las pérdidas para los planos E y H así:

0.2

2.75E

H

L dB

L dB

Por lo tanto, la directividad se obtiene a partir de:

1010 1.008 log (5.5 2.75) 0.20 2.75 18.93PD dB

Por lo tanto, es mejor obtener la directividad de los parámetros s y t y realizando el ajuste por la figura de pérdidas para los planos E y H.

182

9.5 Procedimiento de Diseño Dentro de los datos debemos contar con las dimensiones a, b (en longitudes de onda), la frecuencia y la Ganancia Go(dB) referida a un radiador isotrópico. Pasos: Las ecuaciones de diseño son derivadas seleccionando primero valores de b1 y a1 que lleven respectivamente a directividades óptimas de las bocinas en los plano E y H.

1 1 2 12 2 2

1 4 2 23 2 3 2

2o h eG a b

(9.22)

Con eh y 12

Asumiendo que para que una bocina piramidal sea físicamente realizable Pe y Ph deben ser iguales, entonces la anterior ecuación se reduce a:

22 20

3

3 1 12 (2 1) 1

2 2 6oG Gb a

(9.23)

Donde

203

1

8e h G

y

(9.24)

Corresponde a la ecuación de diseño de bocina y llamemos A al lado izquierdo y B al lado derecho de la igualdad. Entonces como primer paso del diseño, debe encontrarse un valor de que satisfaga la anterior ecuación para una ganancia Go deseada. Use una técnica iterativa con un valor de intento de:

1( )2 2

oGIntento

(9.25)

Si A=B, entonces 1

Si AB, se inicia un proceso de prueba de error así:

Si A>B entonces 12 por lo tanto, A y B

Si A<B entonces 12 por lo tanto, A y B Consideraremos A=B cuando A-B 0.25. Este criterio es considerado para propósitos de enseñanza.

183

Si A<B entonces: 0005.01

112

x

xxx

Si A>B entonces: 0005.01

112

x

xxx

Una vez encontrado el valor de que satisface la ecuación de diseño:

eeentonces

2 20 03 3

1 1entonces

8 8h

h

G G

x x

(9.26)

Se halla a1 y b1:

1 2

33 3

2 2o

h

Ga

(9.27)

1 13 3 2eb (9.28)

Se halla Pe y Ph:

1/22

11

( ) 1/ 4ee

eP b b

b

(9.29)

1/22

11

( ) 1/ 4hh

eP a a

a

(9.30)

Recuerde que debe cumplirse que: Pe = Ph Se recalcula la directividad en dB, sobre el radiador isotrópico mediante la expresión:

2

1 110 2

( ) 10 1.008 log ( )32p e h p E H

a bD dB L L ó D D D

ab

(9.31)

Donde Le y Lh representan las pérdidas en dB debido a los errores de fase en el plano E y en el plano H respectivamente. DE y DH son las directividades en los planos E y H respectivamente.

y50 50

/ /

E HE H

e h

G Ga bD D

(9.32)

184

1 150 50y

/ /h e

a bA B

(9.33)

32 32

yH EG A G B

(9.34)

Para hallar Le y Lh se utiliza la figura 9, donde por la horizontal se tiene a los parámetros t y s:

2 21 1

1 28 8

a bt y s

(9.35)

Recuerde que en la figura hay dos curvas, una para Le y otra para Lh. Le como función de s, Lh com función de t. Se hallan entonces s y t donde se interceptan las curvas respectivas y se hallan Le y Lh en dB y se reemplaza en Dp para obtener la directividad. Un aspecto que debe tenerse en cuenta es la necesidad de convertir la ganancia Go en dB a una cantidad adimensional.

0 ( )

100 10( ) 10log 10

G dB

o oG dB G G (9.36)

Ejemplo: Diseñe una bocina piramidal con ganancia óptima para operar en la banda (8.2-12.4Ghz), si para f=11Ghz, Go=22.6dB la bocina es alimentada por una guía de onda rectangular WR-90, con a=2.286cm y b=1.016cm. Solución: Llevando a adimensional el valor de la Ganancia se tiene un valor para G=181.97 Puesto que f = 11Ghz, =2.7273cm y los valores para a=0.8382 y b=0.3725. El valor inicial de es tomado de la siguiente forma:

1

181.9711.5539

2 2

Y no satisface las especificaciones de diseño (Ecuación de diseño de bocina), por lo tanto, luego de unas pocas iteraciones un valor más exacto para =11.1157 es obtenido. Obtenemos el valor de e y h a partir de las ecuaciones:

11.1157 30.316 11.935 lg

12.0094 32.753 12.895 lge

h

cm pu

cm pu

Los correspondientes valores de a1 y b1 son:

1

1

6.002 16.370 6.445 lg

4.715 12.859 5.063 lg

a cm pu

b cm pu

Los valores de e y h son iguales a: 10.005 27.286 10.743 lge h cm pu

Y son muy cercanos a los de una bocina de ganancia comercial disponible en el mercado, se han verificado los resultados con un programa de integración numérica FEKO Lite.

185

10. REFLECTORES

10.1 Introducción Las antenas tipo reflector en una u otra forma han estado en uso desde el descubrimiento de la propagación de ondas electromagnéticas en 1888 por Hertz. Sin embargo, el análisis y diseño de diversas geometrías de reflectores no tomó verdadero auge hasta la Segunda Guerra Mundial, específicamente en aplicaciones de Radar. Posteriormente, la demanda de reflectores para usar en Radio-Astronomía, Comunicaciones de Micro-ondas y Seguimiento de Satélites, llevaron a progresos espectaculares en el desarrollo de sofisticadas técnicas analíticas y experimentales, tanto en la conformación de la superficie del reflector como en la optimización de la iluminación de su apertura para obtener una máxima ganancia. Aunque los reflectores tienen geometrías diferentes, los más populares son: plano, esquinado (corner) y los reflectores curvados (especialmente el parabólico), como se muestra en la figura 1.

Fig. 1. Configuración geométrica de algunos sistemas reflectores.

186

10.2 Reflector Plano El tipo más simple de reflector es el plano, el cual se introduce para dirigir la energía en la dirección deseada, se muestra en la figura 1. Este es el tipo de reflector que hemos estudiado en el caso de las antenas Yagis. Recordemos que la longitud y posición relativa del mismo con respecto a la fuente de radiación pueden ser usadas para controlar las características eléctricas del sistema (radiación e impedancia). El método de las imágenes puede ser usado para estudiar las características eléctricas del sistema. 10.3 Reflector Esquinado (Corner) Para mejorar la colimación (orientación) de energía hacia delante, la geometría del reflector plano debe ser modificada, de manera que se reduzcan tanto la radiación trasera como lateral. Un arreglo de este tipo consiste en unir dos reflectores planos de manera tal que formen una esquina (corner) como se muestra en las figuras 2a y b. Esto se conoce como el reflector esquinado ó corner reflector. Por la simplicidad de su construcción tiene muchas aplicaciones únicas. Por ejemplo, si es usado como un elemento pasivo para aplicaciones de radar ó comunicaciones, el devolverá la señal exactamente en la misma dirección que la señal recibida cuando la esquina forma un ángulo de 90°. Esto se ilustra en la figura 2a. Por esta razón, los equipos y vehículos militares son diseñados con mínimas esquinas para reducir las posibilidades de detección desde radares enemigos. Los reflectores de esquina son ampliamente usados como elementos receptores para televisión doméstica.

Fig. 2. Reflector esquinado y sus imágenes (con alimentadores polarizados

perpendicularmente) para ángulos de 90°, 60°, 45°, y 30°.

187

En la mayoría de las aplicaciones prácticas la esquina forma un ángulo de 90°, aunque otros ángulos pueden ser usados. Para mantener el buen desempeño del sistema, la distancia entre el vértice y el alimentador debe incrementarse en la medida que el ángulo de la esquina disminuye y viceversa. Para reflectores con lados infinitos, la ganancia se incrementa en la medida que el ángulo entre los planos disminuye. Esto sin embargo, puede no ser así para dimensiones de lados finitos. Como en la práctica las dimensiones deben ser finitas se hace recomendaciones sobre las dimensiones de la apertura (Da), longitud l y altura (h). El elemento alimentador para un reflector esquinado es casi siempre un dipolo o un arreglo lineal de dipolos colocado en paralelo al vértice a una distancia (s) del mismo, como se muestra en la figura 3. Anchos de banda de trabajo significativos se obtienen cuando los elementos alimentadores son dipolos cilíndricos o bicónicos, en lugar de alambres delgados. En muchas aplicaciones, especialmente en aquellas en donde la longitud de onda es mucho mayor que las dimensiones físicas tolerables, la superficie del reflector es generalmente construida en grilla con alambres, en lugar de una lámina de metal continua como se muestra en la figura 3. Una de las razones para esto es reducir la resistencia al viento. El espaciamiento (g) entre los alambres es una fracción de la longitud de onda. Para alambres paralelos a la longitud de los dipolos, como es el caso del arreglo de la figura, la reflectividad de la superficie de grilla es tan buena como la de una superficie continua.

Fig. 3. Vista lateral y perspectiva de reflectores esquinados sólidos y de grilla de alambre.

188

En la práctica la apertura del reflector de esquina (Da) generalmente está entre 1 a 2 longitudes de onda. La longitud de los lados en el caso de un reflector de esquina de 90° está casi siempre alrededor de 2 veces la distancia del mismo vértice al alimentador. Para reflectores con ángulos menores, los lados son mayores. (s) es generalmente tomada como:

.3/23/ s Para cada reflector existe un espaciamiento óptimo entre el vértice y el alimentador (s). Si el espaciamiento se hace muy pequeño la resistencia de radiación decrece y se hace comparable a la resistencia de pérdidas del sistema, lo cuál conduce a una antena ineficiente. Si el espaciamiento es muy grande, el sistema produce múltiples lóbulos laterales y se pierden sus características de direccionalidad.

Fig. 4. Ubicación geométrica para polaridad eléctrica de imágenes para reflector esquinado

a 90° con un alimentador polarizado en paralelo. Experimentalmente se ha observado que un incremento en las dimensiones de los lados no afecta grandemente el ancho de lóbulo principal y la directividad, pero si se incrementa el ancho de banda y la resistencia de radiación. La altura h del reflector se toma alrededor de

189

1.2 a 1.5 veces mayor que la longitud total del elemento alimentador, de manera que se reduzca la radiación hacia atrás de los bordes. El análisis del campo radiado por una fuente en presencia de un reflector de esquina se facilita cuando el ángulo de la esquina es /n, donde n es un entero, entonces =, /2, /3, /4, etc. Para estos casos es posible encontrar sistemas de imágenes, las cuales pueden sustituir apropiadamente a los reflectores planos, formando un arreglo que produce el mismo campo dentro del espacio formado por los planos reflectores como el sistema real. El número de imágenes, polaridad y posición de cada una es controlado por el ángulo interno de la esquina y la polarización del elemento alimentador. En la figura se muestran los arreglos geométricos y eléctricos de las imágenes para reflectores esquinados con ángulos de 90°, 60°, 45° y 30°, y un alimentador con polarización perpendicular. El procedimiento para encontrar el número, posición y polaridad de las imágenes es demostrado gráficamente en la figura, para un reflector de esquina con ángulo de 90°. Se asume que el alimentador es un dipolo lineal colocado paralelo al vértice. Un procedimiento similar puede ser desarrollado para todos los otros casos con ángulos =180°/n, donde n es un entero.

Fig. 5. Patrones de amplitud de radiación para reflector esquinado a 90°.

190

10.3.1 Reflector Esquinado con ángulo de 90° El reflector de esquina con =90° es el más popular ya que sus características de radiación son las más atractivas. Refiriéndonos al reflector esquinado de la figura se obtiene aplicando el método de las imágenes que el factor de direccionalidad del sistema ),( f es igual a: ( , ) 2 cos( cos ) cos( )f ks sen ks sen sen (10.1)

Donde 2 / , 0 , 7 / 4 / 4 90 / 2k y

10.4 Reflectores Parabólicos 10.4.1 Generalidades

Fig. 6. Configuración bidimensional de un reflector parabólico.

Considere la ecuación:

' 22sec

1 cos 2

fr f

(10.2)

Esta describe a una parábola en términos geométricos, para la construcción de la misma nos basamos en los métodos siguientes: En el espacio (tridimensional) la ecuación de un paraboloide de revolución es:

191

2 2 4x y f (10.3) Si ahora se hace y=0, se tendrá una curva discontinua representando la intercepción del paraboloide con el plano xz y por lo tanto, describe el perfil del paraboloide, esta intercepción resulta en una parábola cuya ecuación en el plano xz es:

0y

2 2 /x f z f D D z (10.4)

Para el diseño se parte de una f / D conocida. Entonces por ejemplo: Para D=4m, f / D=0.353 entonces f=1.412m, debe dibujarse.

z x 0.01 0.238 0.02 0.336 0.7 1.989

0.706 1.9962m La profundidad d se obtiene como sigue: 2 /16d D f (10.5) D iría en las ordenadas y d en las abscisas (la profundidad del plato). Entre más puntos se utilicen más exacto queda el perfil. De manera que según los casos vistos se obtienen el perfil de la parábola, el siguiente paso es reproducir dicho perfil según una de las técnicas constructivas existentes. 10.5 Procedimiento de Diseño Datos: Ganancia Go en dB sobre un radiador isotrópico, frecuencia, eficiencia (), generalmente =0.5. Pasos: 1. Hallar el diámetro:

( )

10110 ; /

G dB

D c f

(10.6)

2. Se selecciona f/D: Una vez seleccionada f / D se despeja la distancia focal f y se

verifica que: f = n/4, con n=1, 3, 5, 7,… Si n no da un impar, entonces se aproxima al impar más cercano, por defecto o por exceso según sea el caso. Con el nuevo valor de n se recalcula f y la nueva f / D.

192

3. Cálculo del ancho del haz (de media potencia) de la parábola.

70 / D (10.7) 4. Se calcula max 12 / 4max tan D f (10.8)

5. Se halla la profundidad del espejo 2 /16d D (10.9) 6. Se construye el perfil según los métodos vistos anteriormente. 7. Se determina el ángulo de media potencia del alimentador. Este punto es el que logra encajar el diseño del reflector parabólico con su alimentador. Para esto hay dos criterios: Máxima ganancia (aplicable a radio-enlaces con línea de vista terrestres): según este criterio para lograr el ángulo de media potencia del excitador máximo:

1/2

max

32

( )BordesE dB

(10.10)

Con este ángulo de media potencia puede diseñarse el excitador, por ejemplo si el excitador fuera una bocina piramidal, entonces:

1

1

11

78

54

H opt

E opt

se despeja aa

se despeja bb

(10.11)

Y con a1 y b1 las demás dimensiones de la bocina pueden obtenerse. Ejemplo: Diseñe una parábola para: Go=38dB, =0.5, f=6Ghz y f/D=0.3. Halle el del excitador y los lados a y b de una bocina piramidal que hará máxima ganancia, la iluminación en los bordes debe estar 10 dB por debajo de la iluminación en el centro (-10dB) en los bordes. Reducción de lóbulos laterales (Aplicable a radio-enlaces satelitales): según este criterio para lograr reducir los lóbulos laterales, la iluminación de los bordes debe estar 20dB por debajo de la iluminación en el centro. (-20dB) en los bordes. 1. Cálculo de la atenuación por espacio:

A (dB) = 20log sec2(max/2), recuerde que: sec2x=1/cos2x

2. Iluminación necesaria en los bordes del reflector )()()( dBAdBEdBE criteriobordes Será 10 ó 20 según se escoja el criterio.

193

10.6 Reflector Parabólico alimentado por el frente Los cilindros parabólicos han sido ampliamente usados como aperturas de alta ganancia alimentadas por fuentes puntuales. El análisis de un reflector cilíndrico parabólico (una sola curva) es similar, pero considerablemente más simple que el reflector parabólico (doble curva). Las principales características de la amplitud de apertura, fase y polarización para un cilindro parabólico, son las siguientes: 1. La amplitud cónica, debida a las variaciones en distancia desde el alimentador a la

superficie del reflector, es proporcional a 1/p en un cilindro comparado a 1/r2 en un paraboloide.

2. La región focal, donde las ondas planas incidentes convergen, es una fuente lineal para un cilindro y una fuente puntal para un paraboloide.

3. Cuando los campos del alimentador son paralelamente polarizados de forma lineal al eje del cilindro, ninguna componente con polarización cruzada es producida por el cilindro parabólico. No es el caso para un paraboloide.

Generalmente, los cilindros parabólicos comparados a los paraboloides, (1) son mecánicamente más simples de construir, (2) proporcionan un bloqueo de apertura mayor, y (3) no poseen las características atractivas de un paraboloide. 10.6.1 Geometría superficial La superficie de un reflector paraboloide es formada rotando una parábola alrededor de su eje. El diseño está basado en técnicas ópticas y no tiene en cuenta ninguna deformación (difracciones) del borde del reflector. De acuerdo a la figura y eligiendo un plano perpendicular al eje del reflector a través del foco, se sigue que: Constante 2OP PQ f (10.12)

Puesto que ' y 'cos 'OP r PQ r Se puede escribir:

2

'(1 cos ') 2

2 '' sec

1 cos ' 2 o

r f ó

fr f

(10.13)

Esta ecuación puede ser escrita en términos de coordenadas rectangulares (x’, y’ y z’), esto es:

2 2 2

22 2 2 2

' 'cos ( ') ( ') ( ') ' 2

( ') ( ') 4 ( ') ( ') ( ') / 2

r r x y z z f ó

x y f f z con x y d

(10.14)

194

Otra expresión que es usualmente prominente en el análisis de reflectores es la relación del ángulo opuesto a la razón f/d. De la geometría de la figura 6 se tiene que:

1 / 2tano

o

d

z

(10.15)

Donde la distancia lo largo del eje del reflector desde el punto focal al extremo del borde. Podemos obtener:

2 2 2 2

0 ( / 2)

4 4 16o

o

x y d dz f f f

f f f

(10.16)

Substituyendo zo en la ecuación para obtener el ángulo opuesto se obtiene:

1 12 2

1/ 2 2

tan tan

1/1616

o

fd d

d fff d

(10.17)

Se puede observar que otra forma de la anterior ecuación es:

cot4 2

odf

(10.18)

10.6.2 Directividad y eficiencia de apertura Vamos a asumir que una fuente puntual polarizada en y con una función de ganancia

)','( fG está ubicada en el punto focal del reflector paraboloide. Debe entonces

analizarse la dependencia de la directividad y apertura de eficiencia sobre el patrón de alimentación primario )','( fG y la razón f / d (o el ángulo incluido 2o) del reflector.

Para simplificar el análisis, se asumirá que el patrón de alimentación )','( fG es

circularmente simétrico (no una función de ’) y que 0)'( fG para 90' , por lo tanto

la directividad en la dirección directa puede ser escrita como:

22

2 '2 0

4 ( ) ( ) 16 '( ) tan '

/ 4 2

o

o ft t

U UD f G d

P P

(10.19)

La longitud focal está relacionada al espectro angular y diámetro de apertura d y con esto la directividad se reduce a:

22

2 '

0

'cot ( ) tan '

2 2

ooo f

dD G d

(10.20)

195

El factor 2

d

es la directividad de una apertura de fase constante iluminada

uniformemente, la parte restante es la eficiencia de apertura definida como:

2

2 '

0

'cot ( ) tan '

2 2oo

ap fG d

(10.21)

Se puede obtener la eficiencia de apertura para valores pares de n=2 hasta n=8 y se obtiene lo siguiente:

Estas variaciones son una función de la apertura angular del reflector o ó la razón f / d y su muestran graficadas en la figura. Algunas observaciones incluyen que para un patrón de alimentación dado (n=constante), hay solamente un reflector con una apertura angular dad o razón f/d que lleva a una apertura de eficiencia máxima de cerca del 82-83%, cuando el patrón de alimentación llega a ser más directivo (n se incrementa), la apertura angular del reflector que lleva a la máxima eficiencia es más pequeño. Es aparente que la eficiencia de apertura es una función del ángulo opuesto o y el patrón de alimentación )'(fG del reflector. Además, para un patrón de alimentación, todos los

paraboloides con la misma relación f/d tienen eficiencia de apertura idéntica. Para ilustrar la variación de la eficiencia de apertura como una función del patrón de alimentación y nivel angular del reflector, se puede considerar (Silver) la siguiente clase de alimentador cuyos patrones son definidos por:

cos ( ') 0 ' / 2

( ')0 / 2 '

n no

f

GG

(10.22)

196

Donde noG es una constante para un valor dado de n. Estos patrones fueron elegidos debido

a que 1) puede obtenerse soluciones de forma cerrada y 2) con frecuencia son usados para representar la mayoría de lóbulos principales de antenas prácticas.

Fig. 7. Razón foco/diámetro (f /d) Vs. Eficiencia de apertura como función del ángulo

medio del reflector o para diferentes patrones de campo.

Fig. 8. Eficiencias cónica (taper) y de deslizamiento (spillover) como una función del

ángulo medio del reflector o (ó la razón f/d) para diferentes patrones de campo.

197

La eficiencia de apertura es generalmente el producto de: 1. Fracción de la potencia total que es radiada por el alimentador, interceptada, y colimada

por la superficie reflectora (generalmente conocida como eficiencia por deslizamiento s).

2. Uniformidad de la distribución de amplitud del patrón de alimentación sobre la superficie del reflector (generalmente conocido como eficiencia cónica t) .

3. Uniformidad de fase del campo sobre el plano de apertura (generalmente conocido como eficiencia de fase o) .

4. Uniformidad de polarización del campo sobre el plano de apertura (generalmente conocido como eficiencia de polarización x) .

5. Eficiencia de bloqueo b . 6. Eficiencia de error aleatorio r sobre la superficie del reflector. Además, en general: ap s t p x b r (10.23)

Para alimentación con patrones simétricos

0

0

0

( ') ' '

( ') ' '

f

s

f

G sen d

G sen d

(10.24)

La eficiencia cónica viene dada por:

0

2

02 0

0

'( ') tan '

22cot

2 ( ') ' '

f

t

f

G d

G sen d

(10.25)

10.7 Errores de fase Cualquier desviación de fase, sobre la apertura de la antena puede llevar a una disminución significante de su directividad, los errores de los sistemas paraboloides respecto a la fase son: 1. Desplazamiento (desenfoque) del centro de fase del alimentador desde el punto focal. 2. Desviación de la superficie del reflector desde una forma parabólica o errores aleatorios

en la superficie del reflector. 3. Desviación de los frentes de onda del alimentador de una forma esférica. La razón de la directividad con (D) y sin errores de fase (Do) puede ser escrita como:

198

22

1sin 2o

D directividad con error de fase m

D directividad error de fase

(10.26)

Ejercicio: Un reflector de diámetro 10m, con una razón f/d de 0.5, está operando a una frecuencia de 3Ghz. El reflector es alimentado con una antena cuyo patrón primario es simétrico y que puede ser aproximado por '.cos6)'( 2 fG Encuentre su:

a. Eficiencia de apertura, b. Directividad total, c. Eficiencias cónica y por deslizamiento, y d. Directividad cuando la desviación de fase de apertura máxima es /8 rad. Solución: La mitad del ángulo opuesto del reflector es igual a:

13.5316/15.0

5.05.0tan

21

o

a. La eficiencia de apertura es obtenida con n=2 y comparando con la curva de la figura concuerda:

%7575.0)57.26(cot)57.26cos(ln)57.26(24 222 senap

b. La directividad total es obtenida como:

dBD 69.4803.022,74)100(75.0 2

c. La eficiencia por deslizamiento se calcula usando como límite superior el ángulo opuesto obtenido y en el denominador de la integral usamos solamente 90:

%4.78784.0cos

cos

90

0

'''2

13.53

0

'''2

dsen

dsens

En una forma similar, la eficiencia cónica es calculada. Puesto que el numerador es idéntico en forma a la eficiencia de apertura, la eficiencia cónica puede calcularse multiplicando la eficiencia de apertura por 2 y dividiendo el denominador por la eficiencia cónica:

%66.959566.0568.1

)75.0(2t

El producto de s y t es igual a:

st = 0.784 (0.9566) = 0.75 Y es idéntica a la eficiencia de apertura calculada anteriormente.

199

d. La directividad para un error de fase máxima de m = /8 = 0.3927 rad puede ser

calculado usando la siguiente ecuación: 2 22 2(0.3927)

1 1 0.8517 0.692 2

0.8517 0.8517(74,022.03) 63,046.94 48o

o

D mdB ó

D

D D dB

200

11. ANTENA MICROCINTA (MICROSTRIP) 11.1 Generalidades Tienen aplicación actualmente en radio móvil y comunicaciones inalámbricas, en desarrollos de alto desempeño como aviones, naves espaciales, satélites y misiles, donde el tamaño, peso, costo, desempeño, facilidad de instalación y perfil aerodinámico son limitantes y antenas de bajo perfil pueden requerirse. Las antenas microstrip satisfacen estos requerimientos, se adaptan a superficies planares y no planares, son simples y económicas en su fabricación usando tecnologías de circuitos impresos, compatibles con diseños MMIC (Circuitos Integrados para Microondas), además, cuando la forma del parche y modo son seleccionados son muy versátiles en términos de frecuencia de resonancia, polarización, patrones e impedancia. Sus mayores desventajas son su baja eficiencia y potencia, alto Q, pobre pureza en la polarización y desempeño de busca pobre, sin embargo si se incrementa la altura del substrato aumenta hasta en un 90% su eficiencia y en un 35% su ancho de banda.

Fig. 1. Antena microcinta y sistema de coordenadas

11.2 Características básicas Consisten de un (parche) cinta o tira metálica muy delgada (to donde o es la longitud de onda en el espacio libre) ubicada a una fracción pequeña de una longitud de onda (ho

usualmente 0.003oh0.05o) sobre un plano de tierra. El parche de microcinta es

201

diseñado siendo su patrón máximo perpendicular al parche (radiador de lado amplio). Esto es logrado por la elección adecuada del modo (configuración de campo) de la excitación bajo el parche. Para un parche rectangular la longitud L del elemento es usualmente o/3Lo/2. La cinta y el plano de tierra están separados por una hoja dieléctrica (conocida como sustrato), como se muestra en la figura 1a. Pueden usarse numerosos sustratos en el diseño de antenas microcinta, sus constantes dieléctricas oscilan en el rango de 2.2r12. Los sustratos gruesos son los más deseables por su mejor desempeño cuya constante dieléctrica está en el extremo menor del rango debido a que proporcionan mejor eficiencia, mayor ancho de banda y campos acotados sin pérdidas para la radiación en el espacio.

Fig. 2. Alimentadores típicos para antenas microcinta

202

11.2.1 Métodos de Alimentación Alimentación por línea de microcinta es fácil de fabricar, simple para acoplar controlando el punto de inserción y algo simples para modelar. Sin embargo, cuando el espesor del sustrato se incrementa ondas superficiales y espurias (ruido) en la alimentación aumentan lo que disminuye su ancho de banda hasta en un 5%. En la Alimentación por línea coaxial donde el conductor interno del coaxial es adherido al parche de radiación mientras el conductor externo es conectado al plano de tierra, son fáciles de fabricar y acoplar y presentan menor radiación de espurias, aunque tienen un ancho de banda estrecho y son más difíciles de modelar con sustratos gruesos. El acople de Apertura es el más difícil de todos los cuatro para fabricar, tiene un ancho de banda estrecho, es algo más fácil de modelar y tiene radiación de espurias moderado. Consiste de dos sustratos separados por un plano de tierra. En el lado más bajo del sustrato inferior hay una línea de alimentación microcinta cuya energía es acoplada al parche a través de una ranura sobre el plano de tierra separando los dos sustratos. Generalmente se usa un material con una constante dieléctrico alta para el sustrato inferior y un material grueso de baja constate dieléctrica para el sustrato superior. El plano de tierra entre los sustratos aísla el alimentador del elemento radiante y minimiza la interferencia de radiación de espurias. El acople de proximidad de los cuatro modelos es el que tiene mayor ancho de banda, es algo fácil de modelar y tiene baja radiación de espurias, sin embargo, es algo complicado de fabricar. 11.2.2 Procedimiento de Diseño Para diseños prácticos de antenas rectangulares microcinta, se asume que la información especificada incluye la constante dieléctrica del sustrato (r), la frecuencia de resonancia (fr), y la altura del sustrato h. El procedimiento es como sigue: Se especifica r, fr y h y se determina W y L. Procedimiento de diseño: 1. Para un radiador eficiente, un ancho práctico que lleva a buenas eficiencias de radiación

es:

1 2 2

1 2 12o

r r rr o o

vW

ff

(11.1)

donde vo es la velocidad de la luz en el espacio libre.

2. Determinar la constante dieléctrica efectiva de la antena microcinta.

203

3. Una vez W es encontrada, determinar la extensión de la longitud L. 4. La longitud actual del parche puede darse para L como:

1

22 r reff o o

L Lf

(11.2)

5. La constante dieléctrica efectiva viene dada por:

1/2

1 11 12

2 2r r

reff

h

W

(11.3)

6. La longitud incremental del parche se da por:

0.264

( 0.3)0.412

0.2580.8

reff

reff

WL h

Whh

(11.4)

7. La longitud efectiva del parche es LLLeff 2 , para el caso de la longitud actual, la

longitud efectiva es igual a /2.

Ejemplo: Diseñe una antena microcinta rectangular usando un sustrato (RT/duroide 5880) con constante dieléctrica de 2.2, h=0.1588cm y cuya frecuencia de resonancia es 10Ghz. El ancho W del parche es:

cmW 186.11.2.2

2

)10(2

30

La constante dieléctrica efectiva del parche queda (reemplazando en la ecuación del paso 5):

972.1186.1

1588.0121

2

12.2

2

12.22/1

erff

La longitud incremental extendida del parche L= 0.081cm (evaluando en la ecuación del paso 6) y la longitud actual usando (la ecuación del paso 7) es 0.906cm, de igual forma, la

longitud efectiva es: cmLLLe 068.122

11.2.3 Circuito equivalente Cada slot o ranura es representada por una admitancia equivalente en paralelo Y (con conductancia G y susceptancia B). Para una ranura de ancho finito W se tiene:

204

1 1 1Y G jB (11.5)

2

1

1 11

120 24 10oo o

W hG k h

(11.6)

1

11 0.636ln( )

120 10oo o

W hB k h

(11.7)

Si se posee una segunda ranura las admitancias serán equivalentes, es decir, tendrán los mismos valores de conductancia y susceptancia, por consiguiente, la conductancia para el slot 1 será:

2

1

1

90

1

120

oo

oo

WW

GW

W

(11.8)

Fig. 3. Parche microcinta rectangular y su modelo de circuito equivalente.

11.2.4 Resistencia de Entrada Resonante La admitancia total de la ranura #1 (admitancia de entrada) es obtenida transfiriendo la admitancia de la ranura #2 desde las terminales de salida a las terminales de entrada usando la ecuación de transformación de admitancia de las líneas de transmisión, entonces la admitancia transformada de la ranura #2 llega a ser:

2 22 1 1

22 1 1

conY G j B G jB

G G y B B

(11.9)

Entonces la admitancia de entrada resonante es real y está dada por:

21 12inY Y Y G

(11.10)

205

Puesto que la admitancia de entrada es real, la impedancia de entrada resonante es también real, ó

1

1 1

2in inin

Z RY G

(11.11)

Sin embargo, la anterior relación no tiene en cuenta los efectos mutuos entre las ranuras, entonces se debe modificar para obtener:

1 12

1

2inRG G

(11.12)

El signo es usado para modos con distribución de voltaje resonante impar (anti-simétrico) debajo del parche y entre las ranuras mientras el menos es usado para modos con distribución de voltaje resonante par (simétrico). La conductancia mutua puede calcularse como:

2

312 1 22 2 0

cos21 1

Re120 cos

o

o oso

k Wsen

G E H ds J k Lsen sen dV

(11.13)

Por lo tanto la resistencia de entrada quedará dada como:

2 2

1 12

1( ) cos ( 0)cos

2in o o in oR y y y R y yG G L L

(11.14)

Valores típicos de resistencia oscilan entre 150 a 300 . Ver figura 14.10 para la resistencia de entrada alimentada por línea de microcinta. 11.2.5 Directividad Es una de las figuras de mérito más importantes, para una sola ranura la directividad asintóticamente tiende a los siguientes valores:

3.3 Adimensional 5.2

4

o

oo

o

dB W

D WW

(11.15)

Ahora cuando se tiene dos ranuras entonces puede expresarse como:

206

2

6.6 Adimensional 8.2

8

o

oo

dB W

D WW

(11.16)

Como se observa puede concluirse que la ranura adicional incrementa por un factor de 2 la directividad.

Fig 4. Alimentador de línea en microcinta y su resistencia de entrada normalizada.

11.3 Microcinta Circular El disco o parche circular tiene un solo grado de libertad (el radio) a diferencia del parche rectangular (dos grados: W y L), su diseño es simple y se requiere de que la información incluya la constante dieléctrica del sustrato, la frecuencia de resonancia y la altura del sustrato con el objetivo de determinar el radio a del parche.

1/2

9

21 ln 1.7726

2

8.791 10

r

r r

Fa

h FF h

Ff

(11.17)

207

Recuerde que h debe darse en centímetros para determinar a.

Fig. 5. Patrón de campo eléctrico y magnético para un parche en microcinta rectangular (L=0.906cm, W=1.186cm, h=0.1588cm, yo=0.3126cm y r=2.2, f0=10Ghz).

11.4 Factor de calidad de antenas microcinta Tiene importancia dado que es representativo con respecto a las pérdidas de la antena, algunos elementos que afectan son la radiación, la conducción óhmica, el dieléctrico y las pérdidas por ondas en la superficie, lo que influencia el factor de calidad Qt.

1 1 1 1 1

t rad c d swQ Q Q Q Q (11.18)

Donde: Qt = Factor de calidad total, radQ = factor de calidad debida a las pérdidas por radiación,

cQ = factor de calidad debido a las perdidas por conducción (óhmicas), dQ factor de

calidad debido a las pérdidas por dieléctrico y swQ factor de calidad debido a las ondas

sobre la superficie.

208

Fig. 6. Geometría de antena parche microcinta circular.

Un aspecto importante a mencionar es que el ancho de banda fraccional de la antena es inversamente proporcional al factor de calidad total de la antena y está definido por:

1

o t

f

f Q

(11.19)

Dado que no considera el acople de impedancias en las terminales de la antena, entonces esta definición estaría sobre una banda de frecuencias donde la relación de onda estacionaria (VSWR) en las terminales de entrada es igual o menor que el valor máximo deseado, haciendo esta aclaración tendremos:

1

o t

f VSWR

f Q VSWR

(11.20)

Se puede seleccionar la frecuencia de operación en el punto medio de las frecuencias de resonancia, de acuerdo a:

1

1t

L

W Q (11.21)

Y las dos frecuencias resonantes f1 y f2 asociadas con las dos longitudes L y W de una microcinta rectangular son:

1

2

1 1/

1 1/

o

t

o t

ff

Q

f f Q

(11.22)

BIBLIOGRAFÍA

[1] Antennas John D. Kraus (Author), Ronald J. Marhefka McGraw-Hill Education Singapore; 3rd Edition, 2001. [2] Antenna Theory: Analysis and Design, Constantine Balanis. John Wiley and Sons, 3rd Edition, 2005. [3] Warren L Stutzman and Gary A. Thiele. Antenna Theory and Design, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1997. [4] Antenas, Angel Cardama Aznar y otros, Alfaomega Grupo Editor, 1st Edition, 2000.

CONCLUSIONES Este documento presenta un síntesis sobre el diseño de antenas, inicia describiendo los parámetros fundamentales de radiación que son la base para comprender cómo las ondas electromagnéticas se desprenden del elemento transicional. Luego se determina el campo Eléctrico y Magnético con la ayuda de funciones del vector potencial Eléctrico y Magnético, dado que normalmente se desea conocer el campo radiado en un punto P a una distancia r, y cobra importancia en el campo lejano. A partir de esta fundamentación se empieza con el análisis de las antenas lineales de alambre, arreglos lineales, los diferentes tipos de acople dado que una limitante al diseñar antenas está fuertemente relacionada con la impedancia, la cual debe poder ajustarse a valores de líneas de transmisión comerciales. Igualmente se presenta diseños simplificados y didácticos explicando brevemente las geometrías y luego ejemplos para diseños de las antenas más comunes: Antenas Lazo, Helicoidales, Logarítmica Periódica, Yagi-Uda, Bocinas, Reflectores y Microcinta. Con este documento se logra consolidar un marco teórico que permitirá adquirir habilidades en la etapa de diseño de antenas, se complementará con el desarrollo de programas específicos utilizando Matlab para realizar simulaciones y cálculos rápidos que permitan determinar los parámetros importantes como Anchos de Haz de Media Potencia, Directividad, Ganancia, etc. De esta manera con mayor capacidad analítica se podrá empezar una fase para la implementación y prueba de antenas prototipo para aplicaciones específicas. Uno de los objetivos del documento pretende aprender a seleccionar la antena de acuerdo a las necesidades requeridas, dado que pueden aplicarse en los diferentes enlaces de comunicaciones, igualmente para unas frecuencias de operación específicas. Por otra parte, se hace un aporte para el diseño de Antenas, dado que se cuenta con otro material diferente a [4] en español que reúne los aspectos fundamentales para el análisis y diseño de antenas.

DERECHOS DE AUTOR Manifiesto que el documento que se desarrolló corresponde a una síntesis del libro “Antenna Theory: Analysis and Design” escrito por Constantine Balanis y publicado por la Editorial John Wiley & Sons, en su tercera Edición, año 2005. Se ha traducido parcialmente algunos capítulos extrayendo los aspectos relevantes tal como parámetros importantes para algunos tipos de antena, los procedimientos de diseño y las gráficas donde se ilustra la geometría de los arreglos y los resultados de patrones de radiación. Este material es para uso exclusivo como lectura para apoyo a la docencia en el curso de Antenas impartido en la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia – Facultad Sede Seccional Sogamoso.