METODOS Y DISEOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTAS

CAPITULO IV

DISEOS EXPERIMENTALES DE OPTIMIZACION

4.1 IntroduccinLa regin ptima de un proceso generalmente se determina despus de una secuencia de experimentos realizados y una serie de modelos empricos obtenidos. En muchas aplicaciones de ciencia e ingeniera, se conducen experimentos y se desarrollan modelos empricos con el propsito de mejorar la respuesta de inters. Desde el punto de vista matemtico, el objetivo es encontrar las condiciones de operacin (niveles de los factores) X1, X2, ..., Xk que maximizan o minimizan las r variables respuesta del sistema Y1, Y2, ..., Yr. En la optimizacin experimental, se aplican tcnicas diferentes de optimizacin para las ecuaciones respuesta ajustadas

Y1, Y2,... Yr.

En la optimizacin experimental, diferentes tcnicas de optimizacin se aplican a las ecuaciones respuesta ajustadas. Luego de que las ecuaciones ajustadas se aproximan adecuadamente a la verdadera (desconocida) respuesta del sistema, las condiciones ptimas de operacin del modelo se aproximarn a las condiciones de operacin del verdadero proceso.

La optimizacin experimental mediante modelos de superficie respuesta difieren de las tcnicas clsicas de optimizacin al menos de tres maneras:

1. La optimizacin experimental es un proceso iterativo; es decir, los experimentos conducidos en un primer conjunto de pruebas ajustados a un modelo indican donde buscar para mejorar las condiciones de operacin en el prximo conjunto de experimentos. De este modo, los coeficientes en las ecuaciones ajustadas (o la forma de las ecuaciones ajustadas) pueden cambiar durante el proceso de optimizacin. Esto es todo lo contrario a la optimizacin clsica en la cual la funcin a optimizar se supone que es fija y no cambia.

2. Los modelos de respuesta son ajustados de datos experimentales que usualmente contienen variabilidad aleatoria debido a causas incontrolables o desconocidas. Esto implica que un experimento, si se repite, generar un modelo de superficie respuesta diferente lo que podra dar diferentes condiciones ptimas de operacin. Por lo tanto, debera considerarse la variabilidad del muestreo en la optimizacin experimental. En contraste, en las tcnicas de optimizacin clsica las funciones son determinsticas y dadas.

3. Las respuestas ajustadas son aproximaciones locales, implicando que el proceso de optimizacin requiere la presencia del experimentador (una persona familiarizada con el proceso). Esto en contraste con la optimizacin clsica donde todo est automatizado a travs de un algoritomo computacional.

La metodologa de superficies de respuesta, MSR, ( RSM, Response Surface Methodology), es un conjunto de tcnicas matemticas y estadsticas, tiles para modelar y analizar problemas en los cuales una respuesta de inters es consecuencia del efecto de varias variables, y el objetivo es optimizar la respuesta. Por ejemplo, un investigador desea determinar los niveles de temperatura, ( x1 ) y presin ( x2 ) que maximicen el rendimiento (y) de un proceso. El rendimiento del proceso es funcin de los niveles de temperatura y presin, o sea:

Donde ( representa el error experimental observado en la respuesta Y. Si la respuesta esperada se denota por E(Y) = f (x1, x2 ) = ( , entonces la superficie representado por:

Se denomina superficie de respuesta. Es posible representar grficamente la superficie de respuestas como se muestra en la Figura 4.1, donde ( se grfica contra los niveles x1 y x2. Obsrvese que la respuesta se representa con una superficie slida en un espacio tridimensional.

Figura 4.1: Superficie respuesta tridimensional que muestra el rendimiento esperado como una funcin de la temperatura y presin

Para visualizar mejor la forma de una superficie de respuesta, a menudo se grafican los contornos de dicha superficie, como se muestran en la figura en la proyeccin de la superficie respuesta sobre el plano x1x2. En esta grfica de contornos se trazan lneas de respuesta constante en el plano x1 , x2 , cada contorno corresponde a una superficie especfica de la superficie de respuesta. Tal grfica es til para estudiar los niveles de x1 y x2 que dan por resultados cambios en la forma o altura de la superficie respuesta.

En la mayora de los problemas de MSR, la forma de la relacin entre la respuesta y las variables independientes se desconoce. Por ello el primer paso en la MSR consiste en determinar una aproximacin apropiada a la relacin funcional real entre Y y el conjunto de variables independientes. Por lo general, se emplea un polinomio de orden bajo sobre alguna regin de las variables independientes. Si la respuesta es descrita adecuadamente por una funcin lineal entre las variables independientes, la funcin de aproximacin es el modelo de primer orden:

Si existe curvatura en el sistema, entonces debe emplearse un polinomio de grado superior, tal como el modelo de segundo grado.

La MSR es una tcnica secuencial. A menudo, cuando se considera un punto sobre la superficie respuesta alejado del ptimo, como las condiciones de operacin actuales de la Figura 3.2, el polinomio de primer grado es apropiado porque existe poca curvatura en el sistema.

Figura 4.2: Grfica de contornos de la superficie respuesta del rendimiento

En este caso el objetivo consiste en guiar al experimentador rpida y eficientemente a la cercana general del punto ptimo. Una vez que se ha determinado la regin del punto ptimo, puede emplearse un modelo ms elaborado, como por ejemplo el de superficie de respuesta de segundo grado, y realizar un anlisis para localizar el ptimo. A partir de la figura 3.1, se observa que el anlisis de la superficie de respuesta puede interpretarse como el "ascenso a la loma", donde la cima representa el punto de la respuesta mxima. Si el ptimo real es un punto de respuesta mnima, se puede pensar en el "descenso hacia un valle".

4.2 Diseo Central Compuesto Los Diseos Centrales Compuestos de Box-Wilson, comnmente llamados diseos centrales compuestos, contienen embebidos un factorial completo o un factorial fraccionado con puntos centrales ms puntos estrella que permiten la estimacin de la curvatura. Si la distancia del centro del diseo al punto factorial es (1 unidades para cada factor, la distancia del centro del diseo hasta el punto estrella es (( con (((>1. El valor preciso de ( depende de ciertas propiedades deseadas para el diseo y del nmero de factores involucrados.

Los diseos centrales compuestos utilizan un conjunto grande de factores cuantitativos con menos puntos que un diseo factorial multinivel y sin una gran prdida de eficiencia. Estn constituidos por dos clases de diseos: Un factorial y una estrella. Por ejemplo en un estudio de tres factores los ocho puntos del diseo central compuesto lo constituye un factorial 23. La porcin estrella del diseo consiste de puntos adicionales ubicados a igual distancia del centro del cubo con un radio que atraviesa los puntos centrales de cada cara del cubo, denominndose a la distancia del centro del cubo a cada uno de esos puntos distancia axial de la estrella.

Figura 4.3: Diseos centrales compuestos para k =2 y k=3

Los diseos centrales compuestos son ventajosos por dos motivos: La ortogonalidad y la rotabilidad. La ortogonalidad nos permite mediar efectos deseados independientemente uno de otro. Los diseos no ortogonales implican la dependencia entre efectos, lo que no es deseable en la experimentacin. Por otro lado la rotabilidad implica que podemos estimar la respuesta con igual varianza respecto a la direccin del centro del diseo.

Para elaborar el diseo central compuesto se debe tener en cuenta que est constituido por tres partes:

Un bloque factorial 2k a dos niveles 1.

Un bloque estrella con 2k puntos adicionales, donde cada factor toma los niveles codificados 2k/4.

Un punto central de niveles codificados (0, 0, ) que se repite en forma conveniente con el objeto de determinar el error experimental.

As por ejemplo, para optimizar un proceso con dos variables (k =2), el primer bloque lo constituye un factorial 22, el segundo bloque estrella un conjunto de 2x2 pruebas y el tercer bloque repeticiones en el centro (3 ms).

Nx1x2

1-1-1

2+1-1

3-1+1

4+1+1

5-1,410

6+1,410

70-1,41

80+1,41

900

1000

1100

Tabla 4.1: Diseo compuesto central k = 2

Para el caso que deseemos optimizar un proceso con tres factores, el diseo central compuesto estara constituido por un primer bloque factorial 23, un bloque estrella de 2x3 pruebas y un bloque con repeticiones en el centro.

Nx1x2x3

1-1-1-1

2+1-1-1

3-1+1-1

4+1+1-1

5-1-1+1

6+1-1+1

7-1+1+1

8+1+1+1

9-1,6800

10+1,6800

110-1,680

120+1,680

1300-1,68

1400+1,68

15000

16000

17000

Tabla 4.2: Diseo compuesto central k = 3.

Para ms de tres variables, la ventaja, para el diseo compuesto central en trminos de pruebas, se hace ms notoria, puesto que la parte factorial se puede fraccionar convenientemente.

kNComentario

426Completo

544Fraccin

646Fraccin

Tabla 4.3: Relacin entre k y N para el diseo central compuesto

A.Interpretacin del modelo de segundo orden

Un modelo de segundo orden con dos variables, k =2, se da por:

Dependiendo de los valores de los coeficientes, se puede describir diferentes superficies de respuesta. Los ms comunes son aquellos con un mximo, un mnimo, un punto "silla de caballo". Grficos de los contornos de estos tres tipos de superficies se muestran en la figura siguiente.

Figura 4.4: Grfica de superficies y contornos de modelos de segundo orden : a)mximo; b)mnimo, c)"silla de caballo".

Alejndose del punto crtico (el punto del ptimo) en cualquier direccin, resulta en una disminucin (o incremento) de la respuesta. Sin embargo, en el caso del punto "la silla de caballo" el experimentador puede obtener un incremento o disminucin en la respuesta cuando se aleje del punto crtico, dependiendo de la direccin que tome.

Para determinar el punto crtico, denominado tambin el punto estacionario , se establece las siguientes derivadas igual a cero:

Esto conduce a determinar el punto estacionario, segn:

Para determinar la naturaleza de la superficie en el punto estacionario, se debe investigar la segunda derivada:

Si las dos soluciones de la ecuacin cuadrtica

Sean (1 y (2 son ambas negativas, la funcin tiene un mximo en el punto estacionario (X1,0 , X2,0). Si ambas son positivas existe un mnimo; sin embargo, si se presentan diferentes signos, se trata de una superficie de "silla de caballo".

Ahora, existen diversos mtodos analticos que se pueden utilizar para investigar la naturaleza de las superficies de respuesta. Por ejemplo en el caso de la "silla de montar", esos mtodos indican la direccin en la que se debe de mover a fin de incrementar la respuesta. En el caso mximo, esos mtodos indican la direccin en la que la disminucin de la respuesta es la ms lenta. Esta informacin es importante, ya que indican al experimentador la direccin en la cual la respuesta es menos sensible a cambios en los factores de ingreso. Esos mtodos estn fuera del objetivo de este curso y tan solo se indicarn que con k =2 factores, se puede graficar los contornos de la superficie estimada de segundo orden y efectuar evaluaciones grficas.

La siguiente tabla resume las propiedades de las tres variedades de diseos centrales compuestos. La figura siguiente ilustra las relaciones entre estas variedades.

TipoTerminologaComentario

CircunscritoCCCCCC es la forma original del diseo central compuesto. Los tos estrella se encuentran a la distancia ( del centro basado en las propiedades deseadas del diseo y del nmero de factores.Los puntos estrella establecen los nuevos extremos para los niveles bajos y altos de todos los factores. Estos diseos tienen forma circular, esfrica o hiperesfrica simetra y requieren 5 niveles para cada factor. Aumentando puntos estrella a un factorial existente o a un factorial fraccionado de resolucin V se produce este diseo.

InscritoCCIPara aquellas situaciones en las cuales los lmites especificados para los factores sean verdaderos lmites, el dise CCI usa las especificaciones del factor como puntos estrella y crea un factorial o factorial fraccionado dentro de estos lmites (en otras palabras, un diseo CCI es un sub-diseo de un diseo CCC con cada nivel del factor del diseo CCC dividido por ( para generar el diseo CCI). Este diseo tambin requiere 5 niveles por cada factor.

Centrado CaraCCFEn este diseo los puntos estrella son el centro de cada cara del espacio factorial, de modo que ( (1. Esta variedad requiere 3 niveles por cada factor. Aumentando puntos estrella en forma apropiada a un factorial existente o diseo de resolucin V tambin se puede general este diseo.

TABLA 4.4: Diseos Centrales Compuestos

FIGURA 4.5 Comparacin de los tres tipos de Diseos Centrales Compuestos

Los diagramas en la figura anterior ilustran los tres tipos de diseos centrales compuestos para dos factores. Notemos que el CCC explora el proceso en un espacio ms grande y el CCI en el espacio ms pequeo. Los diseos CCC y CCI son diseos rotables, pero el CCF no lo es. En el diseo CCC, los puntos describen un crculo circunscrito en el factorial cuadrado. Para tres factores, los puntos del diseo CCC describen una esfera alrededor de un cubo factorial.

B. Ejemplo de aplicacin

La eficiencia de extraccin de un contaminante metlico de un efluente mediante una resina orgnica se cree que depende de los siguientes factores:

FactoresNivel (-1)Nivel (+1)

A/O0,40,8

pH2,53,5

Tabla 4.5: Factores y niveles para el DCC

Suponiendo que el laboratorio de pruebas est simulado por la siguiente ecuacin matemtica:

a) Se pide realizar un diseo preliminar para determinar cules de los factores son ms significativos al nivel del 5%. En el anlisis debe incluirse solamente efectos principales y curvatura. Formule el modelo matemtico respectivo.

b) Utilizando el modelo matemtico anterior y mediante el mtodo del mximo ascenso indique los nuevos intervalos de experimentacin que se realizar en la siguiente etapa de optimizacin para lograr una eficiencia mayor a 93%.

c) Realice un diseo central compuesto para encontrar los niveles ptimos de los factores que maximicen la extraccin del contaminante metlico (mayor a 93%).

Solucin:

Como el proceso tiene k =2 bastar empezar con un diseo factorial completo 22, cuya matriz diseo y sus resultados obtenidos con el modelo son los siguientes.

A/OpHE(%)

0.42.571.39

0.82.588.56

0.43.525.11

0.83.557.49

0.6365.51

0.6365.44

0.6365.40

Tabla 4.6: Resultados obtenidos luego de aplicar el diseo factorial 22En primer lugar se calculan los efectos de cada uno de los factores que intervienen en la extraccin del contaminante metlico.

FactoresEfectos

A/O24,78

pH-38,68

A/O x pH7,61

Tabla 4.7: Efectos estimados del diseo 22De la tabla podemos observar que el efecto ms significativo es el efecto del pH, puesto que a mayor pH la extraccin disminuye 38,68%. El efecto de la relacin A/O es positivo, pero menor al efecto del pH. Por lo tanto podemos concluir que el factor controlante del proceso es el pH. Esto tambin podemos observarlo en el diagrama de Pareto que se muestra a continuacin.

Grfico 4.6: Diagrama de Pareto de los efectos

Para averiguar si efectivamente los efectos son realmente significativos al nivel del 5%, es necesario comparar sus varianzas con la varianza del error. Esto se observa en la siguiente tabla.

Tabla 4.8: Anlisis de Varianza para los efectos

De la tabla podemos concluir que los tres efectos (A/O, pH y la interaccin) son significativos al nivel del 5%, esto por que sus valores de p son menores a 0,05. De los resultados obtenidos podemos observar tambin en la tabla 3,4 que el mejor resultado (88,56%) se obtuvo con A/O=0,8 y pH=2,5. Como el objetivo es lograr extracciones superiores a 93%, debemos utilizar el mtodo del mximo ascenso con el modelo matemtico obtenido, manipulando la variable ms significativa, en este caso el pH.

Tabla 4.9: Mtodo del mximo ascenso

De la tabla podemos concluir que para obtener extracciones superiores al 93%, los nuevos rangos de experimentacin sern:

FactoresNivel (-1)Nivel (+1)

A/O0,750,8

pH2,22,3

Tabla 4.10: Nuevos rangos de experimentacin obtenidos con el mtodo del mximo ascenso

Ahora podemos entonces, realizar un diseo central compuesto para k =2. La matriz diseo, as como los resultados obtenidos mediante el modelo de simulacin se muestran en la siguiente tabla.

A/OpHE(%)

0.752.2092.30

0.802.2093.38

0.752.3089.86

0.802.3092.17

0.742.2591.35

0.812.2592.34

0.782.1891.96

0.782.3290.56

0.782.2591.27

0.782.2591.13

0.782.2591.03

Tabla 4.11: Resultados del diseo central compuesto

Los resultados del diseo ajustados a un modelo de segundo orden, nos proporciona lo siguiente:

Grfico 4.7: Superficie respuesta para la extraccin de contaminante metlico

Optimizando el modelo polinmico obtenemos la mxima extraccin y los niveles ptimos.

Tabla 4.12: Condiciones ptimas para extraccin >93%

Para observar mejor la zona de trabajo donde obtendramos extracciones superiores a 93%, es muy conveniente representar el modelo matemtico, mediante un grfico de contornos, como se muestra a continuacin.

Grfico 4.8: Grfico de contornos para la extraccin de contaminante metlico

4.3Otros Diseos de Optimizacin

4.3.1 Diseo de Box-Behnken

Otra alternativa para la estimacin de superficies de respuesta es el uso de los diseos de Box - Behnken. Estos tienen dos ventajas sobre los diseos compuestos centrales. La primera es que utilizan menos experimentos (excepto cuando se tiene cinco factores), especialmente para k = 3. El nmero de experimentos y la distribucin de puntos centrales y otros puntos, en estos diseos, se muestra en la segunda columna de la tabla . Cabe aclarar que el ahorro es mnimo cuando el nmero de factores est entre cinco y siete. La segunda es que en estos diseos existen solamente tres niveles (estos es, cada factor se controla en -1, 0, +1), mientras que los diseos compuestos centrales tienen cinco niveles (esto es, -(, -1, 0 +1, + (). Adems al mantener el nmero de niveles al mnimo facilita la administracin del programa experimental.

El diseo de Box - Behnken para tres factores se presenta en la figura siguiente. Este consiste en todos los posibles pares de factoriales 22 , el factor no considerado se mantiene en cero o en su nivel medio, aadiendo los puntos centrales. La estructura es la misma si se tienen de tres a cinco factores; cuando se tienen de seis a nueve el diseo est integrado con factoriales 23 + puntos centrales.

Grfico 4.9: Diseo Box-Behnken para k =3

Nx1x2x3

1-1-1 0

2 1-1 0

3-1 1 0

4 1 1 0

5-1 0-1

6 1 0-1

7-1 0 1

8 1 0 1

9 0-1-1

10 0 1-1

11 0-1 1

12 0 1 1

13 0 0 0

14 0 0 0

15 0 0 0

Tabla 4.13: Matriz Diseo Box-Behnken para k =3

Tambin se debe enfatizar que estos diseos satisfacen el criterio de rotabilidad (casi en su totalidad), la varianza uniforme y se pueden estructurar en dos o ms bloques, cuando el nmero de factores se encuentra entre cuatro y siete. Sin embargo, tienen la desventaja que al utilizar experimentacin secuencial no se basan en el factorial 2k. Esto significa que el diseo completo de superficie de respuesta se implementa, sin haber ejecutado el diseo en su forma restringida (esto es, factorial + puntos centrales), para determinar la necesidad de experimentos adicionales con el fin de separar los factores cuadrticos.

Debido a esto se debe escoger un diseo compuesto central, a menos que se tenga la seguridad que se requiere un diseo de superficie de respuesta completo o que es ventajoso tener tres niveles en cada factor.

4.3.2 Diseo Draper-Lin

Son pequeos diseos centrales compuestos DCC no balanceados y con una mnima cantidad de puntos. No son rotables y son extremadamente sensibles a los puntos extremos. La seleccin del valor de para asegurar el bloqueo ortogonal para 3, 4 y 6 factores se calcula de la manera usual. Para 5, 7, 8, 9 y 10 factores no existe un valor de que asegure la ortogonalidad.

Nx1x2x3x4

1 0 0 0 0

2 1 1 1-1

3 1 1-1-1

4 1-1 1 1

5-1-1-1 1

6 1 1-1 1

7-1-1 1-1

8-1 1 1 1

9-1-1-1-1

10-1,41 0 0 0

11+1,41 0 0 0

12 0 -1,41 0 0

13 0+1,41 0 0

14 0 0 -1,41 0

15 0 0+1,41 0

16 0 0 0-1,41

17 0 0 0+1,41

18 0 0 0 0

Tabla 4.14: Matriz diseo Draper-Lin para k =4

4.3.3 Diseo Factorial 3k

Este es un diseo que consta de k factores con tres niveles cada uno. Los factores y las interacciones se representarn mediante letras maysculas. Sin prdida de generalidad, los tres niveles de lo factores pueden referirse como nivel inferior, intermedio y superior. Estos niveles se representan mediante dgitos -1 (nivel inferior), 0(intermedio) y +1 (superior). Cada combinacin de tratamientos de un diseo 3k se representa mediante k dgitos, donde el primero indica el nivel A, el segundo dgito seala el nivel B,... y el k-simo dgito , el nivel del factor k.

El experimentador preocupado por la curvatura en la funcin de respuesta a menudo considera el diseo 3k. La adicin de un tercer nivel permite modelar con una relacin cuadrtica la relacin entre la respuesta y cada factor, sin embargo es necesario considerar dos aspectos:

El diseo 3k no es el mejor medio para modelar una relacin cuadrtica, los diseos de superficie de respuesta , considerados anteriormente, son mejores alternativas.

El diseo 2k aumentado con puntos centrales, es un excelente medio para obtener una indicacin de curvatura, pues permite mantener reducidos el tamao y la complejidad del diseo y al mismo tiempo obtener cierta proteccin contra la curvatura.

En el caso que se estudien tres factores (x1, x2, x3), y que cada factor tiene tres niveles acomodados en un experimento factorial. Este es un diseo 33 y el arreglo experimental, as como la notacin de las combinaciones de tratamientos se muestran en la figura 3.9.

Figura 4.10: Combinaciones tratamientos en un diseo 33

Las combinaciones de tratamientos tienen 26 grados de libertad. Cada efecto principal tienen 2 grados de libertad, cada interaccin de dos factores tiene 4, y la interaccin de tres factores tiene 8 grados de libertad. Si hay n rplicas, habr un total de n 33 - 1 grados de libertad y el error tendr 33 (n -1) grados.

Las sumas de cuadrados pueden calcularse usando los mtodos estndares para los diseos factoriales. Adems si los factores son cuantitativos y equidistantes, los efectos principales se pueden descomponer en los componentes lineales y cuadrticos cada uno con un solo grado de libertad.

Ejemplo

Supongamos que en el ejemplo anterior, en lugar del diseo central compuesto, utilizamos un factorial 32, tendramos la siguiente matriz y resultados.

A/OpHE(%)

0.752.2091.01

0.782.2091.39

0.802.2091.98

0.752.2591.02

0.782.2591.30

0.802.2592.66

0.752.3090.54

0.782.3090.65

0.802.3092.40

0.782.2592.42

0.782.2591.77

0.7752.2591.04

Tabla 4.15: Matriz diseo y resultados por el factorial 32

En este caso el modelo de segundo grado ajustado a los datos del problema es el siguiente:

La superficie respuesta correspondiente al modelo polinmico es la siguiente.

Grfico 4.11: Superficie respuesta del proceso de extraccin utilizando un factorial 32

Derivando convenientemente el polinomio obtenido, podemos determinar las condiciones ptimas de operacin.

Tabla 4.16: Niveles ptimos para el proceso de extraccin

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Zona ptima

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

x1

x2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE 141

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_1292064880.unknown

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