diseño de experimentos para estimación del campo de esfuerzos

8/2/2019 Diseo de Experimentos para Estimacin del Campo de Esfuerzos

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UNIVERSIDAD DE CHILEFacultad de Ciencias Fsicas y MatemticasDepartamento de Ingeniera Matemtica

DISEO PTIMO DE EXPERIMENTOS

PARA ESTIMAR EL CAMPO DE ESFUERZOS EN EL MACIZO ROCOSO

EN TORNO AL FRENTE DE AVANCE DE UNA CAVIDAD MINERA

LUIS ALBERTO SAAVEDRA GODOY.

Profesor Gua : Sr. Felipe lvarez Daziano.

Profesor Co-Gua : Sr. Juan Dvila Bonczos.Profesor Integrante : Sr. Alejandro Jofr Cceres.Profesor Invitado : Sr. Julin Ortiz Cabrera.

MEMORIA PARA OPTAR AL TTULO DE INGENIERO CIVIL

MATEMTICO.

SANTIAGO DE CHILE, 11 DE JULIO DE 2007


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ResumenEl fenmeno de explosin de rocas y el colapso de galeras es de gran inters en el proceso

de extraccin del mineral. Debido a su importancia se han realizado estudios, tanto tericos como

experimentales, con el objetivo de predecir el comportamiento del macizo rocoso. En este marco

se encuentra el proyecto Explosin de Rocas en El Teniente, que ha dado como fruto un modelo

de Superposicin de Campos Bsicos con el cual es posible estimar el estado tensional del maci-

zo rocoso, y a travs de esta estimacin lograr inferir que configuracin tensional es propensa a

colapsos o explosin de roca.

El objetivo de este trabajo es realizar un estudio de los modelos de Superposicin de Campos

Bsicos, a fin de lograr una comprensin que permita obtener un diseo de la red de estaciones de

medicin de manera ptima. Para ello nos hemos impuesto el objetivo de justificar la eleccin

de un modelo de Superposicin de Campos Bsicos, adems nos hemos propuesto el presentar

la Teora de Diseo ptimo de Experimentos como una herramienta que permite abordar el pro-

blema del diseo de la red de estaciones de medicin, por este motivo fue necesario un objetivo

ms, el de implementar un Cdigo de Diseo ptimo, a fin de mostrar con pruebas numricas la

utilidad de esta teora en la prctica. Las pruebas numricas dan cuenta lo positivo de los resulta-

dos, en particular hemos resuelto el problema de aadir estaciones a una red de estaciones dada, y

somos capases de medir la importancia de una estacin para un diseo determinado, adems he-

mos comparado el estimador encontrado con un estimador alternativo, propuesto en el proyecto,

mostrando lo ventajoso de nuestro estimador. El criterio con el cual hemos medido y comparado

es el criterio clsicamente utilizado en el diseo ptimo de experimentos, denominado D-Criterio.

Este trabajo es el punto de partida para el estudio de modelos de Superposicin de Campos

Bsicos que incorporen ciertos fenmenos, como plasticidad o no homogeneidad del macizo, as

como tambin modelos tridimensionales, ya que dentro de los desarrollos no fue necesaria la su-

posicin de un modelo bidimensional.

II I


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Agradecimientos

Esta memoria pudo ser realizada gracias al apoyo de tres instituciones: el Centro de Mode-

lamiento Matemtico y el Departamento de Planificacin de El Teniente quienes me motivaron y

acogieron en su proyecto conjunto Explosin de Rocas en El Teniente. Asimismo, al Departamento

de Ingeniera Matemtica de la Universidad de Chile, que forj en mi persona la disciplina y moral

caracterstica de una de las instituciones ms nobles de nuestro pas, la Universidad de Chile.

Mi ms amplio agradecimiento para el Dr. Felipe lvarez D., mi Profesor Gua, cuyo invaluabley generoso apoyo, motivacin e inters hicieron posible la realizacin de esta memoria, as como

por su confianza en mi trabajo.

Tambin quisiera hacer patente mi agradecimiento al Dr. Juan Diego Dvila, mi profesor Co-

Gua, cuya invaluable comprensin y apoyo fue decisivo a la hora de integrar la teora de Diseo

ptimo de Experimentos a esta memoria, muchas gracias.

As tambin, quiero agradecer al Dr. Alejandro, quien tuvo la gentileza de aceptar formar parte

de la comisin. As como tambin al Dr. Julin Ortiz, a quien adems le debo un sinnmero de

correcciones que han contribuido al perfeccionamiento de mi trabajo.

Al Dr. Sergio Gaete B., quien ha motivado parte de mi trabajo y presentado un sinnmero

de aplicaciones de la Ingeniera Matemtica, adems de haberme acogido en el Departamento de

Planificacin de El Teniente Codelco-Chile, donde realic mi ltima prctica profesional.

Tambin quisiera expresar mi agradecimiento a aquellos maestros que me han servido de ejem-

plo, apoyo y fuente de energa con su actitud, comportamiento y consejo, un especial saludo al Dr.

Roberto Cominetti C., quien ha sido ejemplo del jbilo de esta disciplina, al Dr. Carlos Conca R.,

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quien ha sido ejemplo de rectitud y ha estado abierto en todo momento a la discusin de nuevas

ideas, al Dr. Axel Osses A., quien ha sido un ejemplo de investigacin con sus exhaustivos anli-

sis bibliogrficos realizados en ctedra, y es el culpable de mi creencia en que estos deberan ser

obligatorios, al Dr. Marcos Kiwi K., quien ha mostrado constantemente aplicaciones en ctedra,

haciendo de ella un lugar sorprendente, y en especial a todos aquellos profesores del Departamen-

to de Ingeniera Matemtica a quienes les agradezco por hacer de ste, un verdadero templo del

saber, la disciplina y la moral.

Finalmente, quiero agradecer a aquellos compaeros que hicieron que esta etapa sea ms agra-

dable, en especial a: Mosquera, Lara, Pedro, Castel, Poyo, Edu, Ale Puente, Leo, la Caro y su

Felipe, Krilin, etc; del DIM, a : Felipe Gonzles, Francisco Jara, Felipe Macias, Francisco Silva,

Alonso Silva, Diego Morn, Juan Campos, Aitor Aldunate, Felipe Olmos, Claudio Telha, Bolivar

Daz, Gonzalo Cisternas, Oscar Vasquez, Miguel Carrasco, David Gmez, y algn otro ms que

seguramente he olvidado.

Desde luego, llego al final de este proyecto gracias al apoyo que me otorgan y al cario que me

inspiran mis padres, al apoyo recibido de infancia por parte de mi hermano mayor Daniel, quien ha

sido como un padre en parte de mi vida, al cario que me inspiran mis hermanos menores Victor

y Felipe, en especial este ltimo, quien ha mostrado un creciente inters por las ciencias. Tambin

tengo siempre presentes a todos mis amigos, a mis maestros y a quienes siempre me han enseado

algo, quienes por cierto son muchos y no podra enumerar suficientemente.

A todos mi mayor reconocimiento y gratitud.

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ndice general

1. Sobre la Memoria 1

1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Objetivos y organizacin del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Presentacin del problema 5

2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Resea histrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Fundamentos de los Mtodos de Explotacin por Hundimiento . . . . . . . . . . . 8

2.3.1. Evolucin de los Mtodos de Explotacin en la Mina El Teniente . . . . . 9

2.3.2. Evolucin Tecnolgica de los Mtodos de Hundimiento por Paneles en

Mina El Teniente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.3. Las principales inestabilidades geomecnicas de las variantes . . . . . . . 11

2.3.4. Consecuencias Econmicas de las Inestabilidades . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4. Contexto de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

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3. Superposicin de Campos Bsicos y Factores de Intensidad 15

3.1. Campos Bsicos y Factores de Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1. El modelo de Superposicin de Campos Bsicos . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.2. Los Campos Bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.3. Los Factores de Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.4. Modelo del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. El ejemplo del Frente de Avance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1. Primera simplificacin de la geometra: reduccin 2D . . . . . . . . . . . . 19

3.2.2. Segunda simplificacin de la geometra: localizacin . . . . . . . . . . . . 21

3.2.3. El origen de los Campos Bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Diseo ptimo de experimentos 27

4.1. Estimador de mnima varianza y estimador ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2. Diseo de experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3. Diseo D-ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4. El problema a resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.5. El ejemplo del Frente de Avance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Implementacin computacional 39

VIII


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5.1. Dos Clases de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2. El Problema de los Pesos ptimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3. El Problema de Localizar Estaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4. El algoritmo utilizado (Simulated Annealing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4.1. Descripcin del Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4.2. El algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4.3. Inicializacin de los parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4.4. Ciclo de bsqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.5. API del Cdigo de Diseo ptimo (ODC) implementado . . . . . . . . . . . . . . 51

5.5.1. Funciones pblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.5.2. Codificacin de arreglos y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6. Protocolos, resultados, comparacin y discusin 57

6.1. Preparacin de los protocolos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.1.1. Preparacin del protocolo para obtener los pesos ptimos. . . . . . . . . . 57

6.1.2. Preparacin del protocolo para aadir estaciones. . . . . . . . . . . . . . . 58

6.2. Protocolos para obtener el Diseo ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2.1. Protocolo para obtener los pesos ptimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2.2. Protocolo para obtener el diseo ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

IX


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6.3. Diseo ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.4. Anlisis de la distancia al frente de avance de la preminera . . . . . . . . . . . . . 65

6.5. Comparacin con un estimador alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7. Conclusiones y recomendaciones 73

A. Cdigo de Diseo ptimo (ODC) 79

A.1. El fichero ODC.py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.2. El fichero pesos.py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.3. El fichero anneal.py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A.4. Los ficheros adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A.4.1. El fichero para el manejo de archivos de datos ficheros.py . . . . . . . . . 97

A.4.2. El fichero para el manejo de registros registro.py . . . . . . . . . . . . . 99

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Captulo 1

Sobre la Memoria

1.1. Introduccin

Desde hace muchos aos la principal fuente de riqueza de Chile es el cobre. De ah la impor-

tancia de que esta industria sea lo ms productiva posible. Para lograr este objetivo, es necesario

estudiar acuciosamente cada proceso que se realiza, desde la extraccin del mineral, hasta su con-

versin en ctodos, a modo de optimizar cada uno de ellos reduciendo los costos de operacin, la

contaminacin y la prdida de materiales nobles. Este trabajo se orienta, en particular, a mejoraruna parte del proceso de extraccin que se realiza en la mina El Teniente.

En trminos precisos, se trata de un aporte terico y prctico a los modelos de Superposicin

de Campos Bsicos utilizados en la estimacin del tensor de esfuerzos del macizo rocoso, el cual

est complementado tanto con pruebas como con un cdigo escrito en PYTHON. La importancia

de estimar los esfuerzos radica en la existencia, al menos en teora, de configuraciones tensionales

ms propensas a sufrir colapsos y estallidos de roca, los cuales causan serios daos operacionales

y ponen en riesgo al personal, provocando el cierre parcial o total del sector afectado.

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1.2. Objetivos y organizacin del texto

Esta memoria tiene tres objetivos principales.

El primero de ellos es presentar una justificacin matemtica de la adopcin de una Superpo-

sicin de Campos Bsicos para la estimacin del estado tensional del macizo rocoso. De esto nos

encargamos en el captulo 3, hay que advertir, que durante toda la memoria hemos supuesto al

macizo rocoso como un medio perfectamente elstico, homogneo e istropo, lo que corresponde

a una primera aproximacin del fenmeno.

El segundo objetivo es presentar la teora de Diseo ptimo de Experimentos (ODE), como

una herramienta para la elaboracin del diseo de la red de estaciones de medicin del estado

tensional del macizo rocoso. De esto nos encargamos en el captulo 4. La principal dificultad, en

este objetivo, es lograr visualizar el problema de diseo ptimo de la red de estaciones como

un problema de diseo ptimo de experimentos, el cual, depende en forma directa de los Campos

Bsicos utilizados, y de forma indirecta del macizo rocoso, es decir, un cambio en los Campos

Bsicos utilizados puede cambiar completamente la configuracin del diseo, mientras que un

cambio en el estado tensional del macizo rocoso no cambia al diseo, pero podra afectar la eleccin

de los Campos Bsicos utilizados.

El ltimo objetivo, es la implementacin computacional de un cdigo de diseo ptimo (ODC),

con el cual poder realizar pruebas numricas, para evaluar la utilidad de esta herramienta. A lo largo

de toda la memoria hacemos referencia al sector Esmeralda de la mina El Teniente. De este sector

extraemos tanto la geometra del frente de avance como la localizacin de las estaciones, ejemplo

con el cual ejecutamos cada uno de los objetivos. En el captulo 5, nos encargamos de explicar la

implementacin computacional junto con dar la API del cdigo de diseo ptimo (ODC). En el

captulo 6, nos encargamos de realizar las pruebas numricas que apuntan a mostrar la utilidad de

la herramienta.

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En el captulo 2 presentamos el problema prctico y en el captulo 7 las conclusiones y reco-

mendaciones.

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Captulo 2

Presentacin del problema

2.1. Introduccin

El Teniente es la mina subterrnea de cobre ms grande del mundo.

Se encuentra ubicada aproximadamente a 44km al noreste de Rancagua en la Sexta Regin

de Chile y enclavada cerca de 2.500m sobre el nivel del mar, en plena cordillera de los Andes,

alrededor de la latitud 7020W y longitud 3404S (ver figura 2.2).

Figura 2.1: Descripcin fsica de las distintas zonas de El Teniente.

Esta mina es una verdadera ciudad bajo la tierra. Dentro de ella, los casi 1.000 trabajadores

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pueden encontrar casinos para comer, oficinas con computadores, telfonos, atencin mdica, as-

censores, bodegas, redes de luz elctrica, agua potable, etc.

Como se puede imaginar, uno de los mayores problemas en una ciudad sumergida en la cordi-

llera y destinada a la minera, es la actividad ssmica producida por la actividad minera, sobre todo

si parte de sta consiste en la explotacin por hundimiento o block caving.

La explotacin por hundimiento se basa en que tanto la roca mineralizada como la roca enca-

jadora est fracturada bajo condiciones ms o menos controladas. La extraccin del mineral crea

una zona de hundimiento sobre la superficie, por encima del yacimiento. En consecuencia es muy

importante el establecer un proceso de fracturacin continuo y completo, ya que las cavidades sub-

terrneas no soportadas presentan un riesgo elevado de desplomes repentinos, as como de eventos

ssmicos importantes denominados estallido de rocas debido al dao que provocan, estos originan

graves efectos a posterioridad en el funcionamiento de la explotacin.

Las siguientes secciones estn basadas en [19].

Figura 2.2: Ubicacin de La Mina El Teniente.

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2.2. Resea histrica

De acuerdo a antecedentes histricos, este yacimiento de cobre fue descubierto por un oficial

espaol fugitivo en los aos 1800, y tiene sus primeros registros de explotacin en el ao 1819,

inicindose desde entonces la explotacin del yacimiento en forma sistemtica. El mineral de ma-

yor ley era escogido a mano y transportado en animales. La zona ms importante de explotacin

estaba en un sector denominado Fortuna.

Posteriormente, alrededor del ao 1900, agotndose las reservas de mineral de alta ley, para

continuar la produccin, los propietarios contrataron los servicios del Ingeniero de Minas italiano

Marcos Chiaponni, quien inspeccion el yacimiento y recomend la instalacin de una planta con-

centradora. Debido a la falta de recursos de los propietarios, se busc financiamiento en Europa

pero no hubo una acogida favorable. En el ao 1904 se interes W. Braden de EE.UU. y conjun-

tamente con E. W. Nash formaron la primera compaa propietaria de El Teniente denominada

Braden Copper Company. En un principio se construy un camino para carretas y una planta

concentradora. El ferrocarril entre Rancagua y el campamento minero de Sewell fue construido

entre 1906 y 1911, periodo en el cual los concentrados de cobre fueron enviados en carretas al

pueblo de Graneros.

En 1908 el Grupo Guggenheinn tom el control de la propiedad y aument la capacidad

de la planta concentradora. En 1915 la Kennecott Copper Corporation adquiri los derechos.

Cuando el nico Concentrador estaba en Sewell se lleg a producir hasta 36.000 toneladas diarias

de mineral proveniente de la mina. En abril de 1967, el Estado chileno adquiere a la Braden

Copper Company el 51 % de la propiedad del yacimiento constituyndose la Sociedad Minera

El Teniente. Bajo este convenio, a contar del ao 1970 se materializ una gran expansin de la

mina en conjunto con la construccin de una nueva planta concentradora en Coln aumentando la

produccin total a 63.000 toneladas de mineral por da. Segn una Reforma Constitucional, el 11

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de Julio de 1971 la Mina El Teniente pasa a ser propiedad de todos los chilenos. Posteriormente, el

ao 1976, se forma la Corporacin Nacional del Cobre de Chile (CODELCO), de la cual pasa a

conformar la Divisin El Teniente. Hoy la produccin de la mina supera las 100.000 toneladas de

mineral por da, y el actual plan de expansin considera aumentar hasta 126.000 toneladas por da.

Hasta el ao 1975, la mina haba extrado 500 millones de toneladas de mineral, y entre ese ao y

1995 se extrajeron otras 500 millones de toneladas. El plan minero de los prximos 25 aos estima

extraer 1.400 millones de toneladas, siendo las reservas de cobre reconocidas de este yacimiento

las mayores en el mundo.

2.3. Fundamentos de los Mtodos de Explotacin por Hundi-miento

Dado que los mtodos de explotacin utilizados actualmente en la Mina El Teniente corres-

ponden a tcnicas de hundimiento gravitacional masivo de bloques o paneles, se explican a conti-

nuacin los conceptos en que se basan dichas tcnicas. El mtodo de explotacin de Hundimiento

de Bloques o Paneles, en su forma ms sencilla, puede definirse como el conjunto de operaciones

mineras destinadas a cortar la base de sostenimiento de un bloque o panel de mineral, asegurn-

dose que no queden puntos de apoyo, de tal forma que la base inferior de dicho bloque o panel

se comporte como una viga (simplemente apoyada o empotrada en sus extremos), y la accin de

las fuerzas externas, principalmente la gravitacional, produzcan una primera socavacin y poste-

riormente el desplome completo del bloque o panel, de tal manera que los fragmentos de mineral

generados debido al progreso del hundimiento en altura puedan ser manejados y transportados de

acuerdo al diseo minero del sector productivo en cuestin.

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2.3.1. Evolucin de los Mtodos de Explotacin en la Mina El Teniente

La Mina El Teniente inici sus operaciones en forma industrial en el ao 1906 y, desde en-

tonces, se han empleado diferentes mtodos de explotacin, los que van desde el Realce sobreMineral combinado con Hundimiento de Pilares (Shrinkage Stopping & Pillar Caving) hasta

el Hundimiento de Bloques (Block Caving) actual, todos ellos utilizados en sectores produc-

tivos emplazados en mineral secundario1. Posteriormente, como consecuencia del cambio de las

propiedades fsico-mecnicas de la roca y de la profundizacin de los sectores productivos, la ex-

plotacin de las reservas de mineral primario2 ha significado mecanizar las operaciones mineras.

Esta situacin llev a que el mtodo de Hundimiento de Bloques utilizado en mineral secunda-

rio3, cuya caracterstica principal era el traspaso manual o semi-mecanizado, evolucionara hacia el

Hundimiento de Paneles (Panel Caving) con traspaso mecanizado e incorporacin continua de

rea hundida a la produccin (frente de hundimiento dinmico).

2.3.2. Evolucin Tecnolgica de los Mtodos de Hundimiento por Paneles en

Mina El Teniente

En el mtodo de Hundimiento de Paneles, la alternativa mecanizada ms ampliamente uti-

lizada en la Mina es aquella con traspaso va equipo LHD (Load-Haul-Dump) que se ha usado

desde 1982 en el primer sector productivo que ha explotado mineral primario en El Teniente (caso

del Teniente-4 Sur). La secuencia operacional de explotacin aplicada en este sector corresponde

1Mineral secundario: zona secundaria. Corresponde a la parte que se ubica inmediatamente sobre la primaria,en que los minerales han sido alterados por efecto de la circulacin de aguas de origen superficial, lo cual producedisolucin de algunos minerales (por ejemplo, anhidrita) y enriquecimiento de los sulfuros, lo cual consiste en elaumento del contenido de cobre, pasando a constituir otro mineral (por ejemplo, transformacin de calcopirita, con un35% de cobre, a calcosina, con un 80% de cobre). Generalmente constituyen las zonas de mejores leyes en sulfurosde un yacimiento.

2 Mineral primario: zona primaria. Corresponde a la parte profunda de un yacimiento en que se han preservado lascaractersticas de su formacin original, con minerales formados a grandes presiones y temperaturas, por lo que lasrocas son en general duras e impermeables. En yacimientos de cobre, los minerales de mena caractersticos son lossulfuros bornita, calcopirita y pirita.

3Ver nota anterior.

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a:

1) Desarrollo y Construccin de las Galeras del Nivel de Produccin,

2) Socavacin del Nivel de Hundimiento, y

3) Extraccin del Mineral.

Este mtodo es el denominado Panel Caving Convencional.

Sin embargo, basados en el conocimiento adquirido de la explotacin de roca primaria con

Panel Caving Convencional (21 aos de aplicacin en Mina El Teniente), se ha observado que

el proceso de avance del frente de hundimiento es la principal fuente generadora de daos en las

galeras de los niveles inferiores. De acuerdo a esta experiencia, se defini una variante al mtodo

de explotacin Panel Caving denominada Hundimiento Previo (Pre-Undercut), la cual consiste

bsicamente en avanzar adelantado con el frente de socavacin-hundimiento (ver figura 2.3) y

llevar desfasada gran parte o toda la preparacin en los niveles inferiores (detrs del frente y bajo

el rea socavada-hundida), reduciendo de esta manera el grado de dao en las galeras ubicadas

bajo el Nivel de Socavacin-Hundimiento y la ocurrencia de estallido de roca asociado al paso del

frente. La aplicacin a nivel industrial se realiza en el Sector Esmeralda de La Mina El Teniente.

La secuencia operacional de explotacin es:

1) Socavacin del Nivel de Hundimiento,

2) Desarrollo y Construccin de las Galeras del Nivel de Produccin, y

3) Extraccin del Mineral.

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Figura 2.3: PC convencional v/s PC Hundimiento Previo.

2.3.3. Las principales inestabilidades geomecnicas de las variantes

Cada variante lleva consigo distancias permisibles, que permiten reducir el nivel de riesgo

asociado a las operaciones unitarias requeridas para poner en produccin el sector. Este riesgo es

la resultante de un estado tensional variable en magnitud y direccin de los esfuerzos (zona de

transicin), y del avance del frente de hundimiento.

Las principales inestabilidades geomecnicas de las variantes son:

Colapso : Descenso paulatino de un rea, generalmente en el nivel de produccin, con dao

observado en los pilares corona (Crown Pillar) y calle/Zanja, cuya expresin mxima es el

cierre total de las galeras afectadas, reduciendo el rea productiva debido a la prdida de los

accesos a ella.

Estallido de rocas : Inestabilidad en que se produce una prdida de la continuidad del proceso

productivo de la operacin minera, provocado por la ruptura (evento ssmico) y proyeccin

instantnea del macizo rocoso.

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Figura 2.4: PC convencional v/s PC Hundimiento Previo.

2.3.4. Consecuencias Econmicas de las Inestabilidades

Los efectos econmicos originados por las principales inestabilidades geomecnicas de las

variantes se pueden clasificar en dos grupos, los costos destinados a reparar las maquinarias, gale-

ras afectadas, as como tambin indemnizaciones por daos a obreros, y los costos originados por

la paralizacin, retrasos y modificaciones de los planes de extraccin.

Es debido a los efectos econmicos involucrados que se han invertido grandes sumas en inves-

tigar mtodos que permitan un mejor control.

Actualmente, se utilizan varios procedimientos para determinar y predecir si se producir un

dao en un bloque dadas ciertas condiciones de extraccin. Estos no logran determinar de manera

efectiva las inestabilidades y, adems, aprovechan slo en parte la informacin disponible, tanto de

los distintos eventos de inestabilidades como de las condiciones asociadas a estos eventos, la que

han sido recopilada en bases de datos durante aos de extraccin. Es as como ha nacido el proyecto

Estudio del comportamiento del macizo rocoso frente a variaciones geomtricas de la cavidad y

dao inducido en la roca cuyo objetivo general se puede resumir en generar modelos que mejoren

el conocimiento de los estallidos de rocas y eventualmente su prediccin a mediano y corto plazo,

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el cual se desarrolla en forma conjunta por el CMM y el Departamento de Planificacin de El

Teniente.

2.4. Contexto de la memoria

Un punto de vista de estos modelos es el originado por el anlisis de la mecnica del problema.

Con esto, se ha logrado dividir el problema en dos partes, la primera es generar lneas de inves-

tigacin sobre la configuracin del estado tensional del macizo que origina las inestabilidades y

fracturas de roca, y la segunda es la de generar lneas de investigacin sobre mtodos que permitan

determinar el estado tensional del macizo.

Esta divisin est fundamentada en base a la hiptesis de que, conociendo el estado tensional

del macizo se puede predecir cuando ocurrirn las inestabilidades.

Es precisamente en la etapa de investigacin sobre mtodos que permitan determinar el es-

tado tensional donde se ubica esta memoria, ya que no solo se ha logrado la creacin del grupo

de investigacin en sta parte del proyecto, sino que tambin se han generado nuevos modelos

matemticos para la estimacin del estado tensional del macizo, uno de ellos denominado de Su-

perposicin de Campos Bsicos y Estimacin de Factores de Intensidad, se ve potenciado con el

trabajo presentado en esta memoria.

En la determinacin del estado tensional del macizo, se invierten grandes sumas por concepto

de la colocacin de estaciones de monitoreo. La localizacin de estas estaciones generalmente se

realiza en base a las necesidades inmediatas, sin ningn tipo de gua en la toma de decisin ms

que la experiencia e intuicin. El trabajo presentado en esta memoria contribuye en gran medida a

dar una gua sobre el diseo de localizacin de las estaciones de monitoreo, as como tambin a un

mejor provecho de las que actualmente se encuentran.

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25/110

Captulo 3

Superposicin de Campos Bsicos yFactores de Intensidad

En el siguiente captulo se presentan los fundamentos de la adopcin de un modelo de Superpo-

sicin de Campos Bsicos para estimar el estado tensional en un dominio . Luego se muestra una

forma de aplicar esta superposicin a un problema prctico, en una zona de la Divisin El Teniente.

Este ejemplo lo usaremos en adelante para visualizar los resultados de nuestro desarrollo.

3.1. Campos Bsicos y Factores de Intensidad

3.1.1. El modelo de Superposicin de Campos Bsicos

En el modelo del macizo rocoso, que llamaremos , se hacen los siguientes supuestos:

Geomtrico : El primer gran supuesto, es la determinacin de la geometra del dominio , o bien,

una simplificacin de sta.

Elasticidad lineal : El segundo supuesto, es que el dominio , es un sistema elstico que cumple

la ley de Hooke.

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Constitutivo : El tercer supuesto es sobre el conocimiento del coeficiente de elasticidad cjkml(x)

involucrado en la ley de Hooke, en cada punto del dominio .

La justificacin del supuesto Geomtrico, se puede plantear en trminos prcticos; es imposible

describir la geometra, ya sea por la abundancia de detalles, por la falta de informacin, o por que

no existe un lmite establecido entre las distintas partes (cavidad, macizo y frente) sino ms bien

un paso gradual. Otro argumento en favor de una simplificacin geomtrica es el mayor inters en

ciertas partes, y no en la geometra completa.

La justificacin de haber escogido el supuesto de Elasticidad Lineal, como del supuesto Cons-

titutivo, se puede plantear en trminos acadmicos; en una primera etapa de la investigacin se

debe recurrir al modelo ms simple, para luego ir avanzando hacia un modelo ms elaborado.

Bajo estos tres supuestos el problema se puede plantear en trminos generales como el de

encontrar w tal que

A(x)w = f en B(x)w = g sobre

(3.1)

donde se busca w H0, A es un operador lineal de H0 en H1, y B es un operador lineal de H0 en

H2, con H0, H1 y H2, espacios de Hilbert adecuados.

Adems se supone conocida la funcin f, generalmente proveniente de la gravedad y constante.

Con estos supuestos, para resolver totalmente el problema slo basta conocer las condiciones

en los lmites g. Para ello encontramos primero una solucin particular u0 del problema (3.1) con

g = 0, con el fin de reducirnos al problema homogneo de encontrar u tal que

Au = 0 en Bu = g sobre

(3.2)

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27/110

As, toda solucin w del problema (3.1), se puede escribir como

w = u + u0.

Una vez hecho esto, para determinar g, podemos tomar una base del espacio de Hilbert H2,

supongamos g1, g2, g3 . . ., y escribimos

g =

i=1igi.

Luego si llamamos ui a la solucin de (3.2), con g reemplazado por gi, obtenemos que

u =

i=1

iui.

Asimismo, si C es otro operador lineal de H0 en otro espacio de Hilbert H3, se obtiene que

C(x)u =

i=1 iC(x)ui en .

En adelante llamaremos = Cu y i = Cui, con lo cual obtenemos el modelo lineal para :

=i=1

ii. (3.3)

Claramente lo anterior no depende de la condicin de ortogonalidad de los gi y slo basta que

generen el espacio H2. En la prctica es as, y slo se escoge un nmero finito p de ellos con lo

cual se obtiene el modelo de Superposicin de Campos Bsicos:

17


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=

pi=1

ii + (3.4)

donde es el error debido al hecho de que los gi escogidos no generan todo el espacio H2.

3.1.2. Los Campos Bsicos

Llamamos Campos Bsicos, a los 1, . . . , p escogidos en el modelo del macizo rocoso (3.4).

La eleccin de stos se realiza de modo que los escogidos sean los trminos dominantes del

modelo (3.3) en el rea de inters. Esto produce que el error , en el modelo (3.4) sea mnimo, de

lo contrario habra que incluir nuevos trminos i al modelo (3.4).

3.1.3. Los Factores de Intensidad

Llamamos factores de intensidad, a los 1, . . . , p en el modelo del macizo rocoso (3.4). La

eleccin de stos se realiza de modo que se minimice el error , en el modelo (3.4).

3.1.4. Modelo del error

Es de esperar que el error , en el modelo (3.4), sea pequeo en el area de inters debido a

una buena eleccin de los 1, . . . , p, es por esto que se modela como una variable aleatoria de

esperanza 0 y varianza I, recordando que es un tensor de nueve componentes en el modelo

(3.4).

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29/110

3.2. El ejemplo del Frente de Avance

Un ejemplo prctico donde se puede ocupar lo desarrollado en la seccin anterior es cuando

se quiere estimar el campo de esfuerzos en el macizo rocoso en torno al frente de avance de una

cavidad minera. Este ejemplo fue desarrollado en el proyecto Estudio del comportamiento del

macizo rocoso frente a variaciones geomtricas de la cavidad y dao inducido en la roca , y a

continuacin lo describimos en forma muy breve, sin ahondar en detalles.

Figura 3.1: Imagen Virtual de La Mina El Teniente

3.2.1. Primera simplificacin de la geometra: reduccin 2D

Bajo ciertas condiciones, existe un plano de referencia con respecto al cual es posible describir

el estado tensional al que se encuentra sometido un cuerpo, dando lugar a un modelo elstico

bidimensional.

Para nuestro ejemplo escogeremos el yacimiento Esmeralda. Si tomamos una vista superior de

ste, como la mostrada en la figura 3.2, nos podremos percatar que para una regin suficientemente

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30/110

cercana al frente de avance, no existe mucha diferencia entre el frente de avance real y uno que

tenga un ancho

Figura 3.2: Vista superior del yacimiento Esmeralda tradicional.

infinito, esto debido a la gran diferencia que existe entre el ancho y alto del frente de avance. Se

puede apreciar el alto del frente de avance en una vista lateral del yacimiento Esmeralda, tal como

la mostrada en la figura 3.3.

Figura 3.3: Vista lateral del yacimiento Esmeralda tradicional.

stas son las razones que hacen suponer que el plano de referencia con respecto al cual es po-

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31/110

sible describir el estado tensional en torno al frente de avance es un plano vertical y perpendicular

al frente de avance. Esta simplificacin es simplemente acadmica, se podra haber optado por

considerar una banda, es decir un plano con ancho, o alguna otra geometra tridimensional que

represente mejor la situacin real, pero se opt por la ms sencilla.

3.2.2. Segunda simplificacin de la geometra: localizacin

Ahora bien, una vez reducidos a una geometra bidimensional, se realiza un anlisis de los

posibles escenarios de esta geometra, donde se ha mostrado la relevancia de la geometra singular

del frente de avance por sobre la geometra de la cavidad minera (en trminos de esfuerzos).

Podemos ver algunas de estas pruebas para el esfuerzo de corte en la figura 3.4, de donde, al sim-

Figura 3.4: Pruebas numricas, donde se muestra la relevancia cualitativa del frente de avance porsobre la cavidad minera (en trminos de esfuerzos).

plificar la cavidad minera, la geometra, para un plano vertical que corte al frente de avance, resulta

ser un dominio como el mostrado en la figura 3.5.

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32/110

Figura 3.5: Geometra Simplificada.

Aunque se podra ocupar una geometra ms representativa de la situacin actual, tomando en

cuenta por ejemplo la cavidad minera, en realidad lo que se busca es una geometra que sirva para

distintas situaciones. Estas distintas situaciones para la cavidad minera tienen en comn, cerca del

frente de avance, la geometra simplificada que escogimos. Recordemos, por ltimo, que el lugar

en torno al frente de avance es donde se producen las mayores tensiones del macizo.

3.2.3. El origen de los Campos Bsicos

En este ejemplo, para encontrar los Campos Bsicos 1, . . . , p del modelo (3.4), se estudi las

caractersticas de la singularidad producida por el frente de avance. En ese estudio se encontraron

tres soluciones S1, S2 y S3, que llamamos soluciones singulares, y luego se aadieron otras seis

soluciones Cxx, Cxy, Cxz, Cyy, Cyz y Czz, que llamaremos soluciones adicionales, y que en cierta

medida reproducen el comportamiento constante lejos del frente de avance.

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33/110

Construccin de los campos bsicos

Recordemos que la construccin de los campos bsicos se realiza a travs de la resolucin del

problema siguiente:

Au = 0 en Bu = g sobre =

(3.5)

donde [Au]j = cjklm xk

xmul (suma sobre ndices repetidos), con cjklm los coeficientes de elasti-

cidad,

[Bu]j =

cjklm

xm

ulk en 0 1uj sobre 2

con vector normal exterior a , y 0, 1 y 2 como los mostrados en la figura 3.6

Figura 3.6: Descripcin de la frontera de la geometra simplificada (dominio ).

Luego, para determinar un campo bsico, lo nico que falta es determinar el g correspondiente,

el cual est dado de la siguiente forma

g =

0 0g 10 2

donde la condicin en 0 es debida a los supuestos de traccin nula dentro del frente de avance, y

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34/110

la condicin de 2 es debida a los supuestos de desplazamientos nulos lejos del frente de avance

(esta condicin es necesaria para la unicidad y la medida de 0 se puede escoger arbitrariamente

pequea pero no nula). Por lo tanto, para determinar la solucin lo nico que falta es definir el

tensor g. Luego, con la solucin u definimos un campo bsico en de la siguiente forma:

[]jk = cjklm

xmul

Soluciones singulares

Las soluciones singulares se originan del anlisis asinttico de la ruptura de una fisura como

las rupturas mostradas en la figura 3.7

Figura 3.7: Modos de ruptura de una fisura.

donde cada una representa un modo de ruptura distinto, S1 para el primero, S2 para el segundo y

S3 para el ltimo. Cada modo de ruptura define un campo de esfuerzo el cual es ocupado como

g. Para ver cmo se definen estos campos y los modos de ruptura, remitimos al lector a [1] pg.

9-10.

Soluciones adicionales

Las soluciones adicionales se originan de la incorporacin de los comportamientos constantes

del tensor de esfuerzos a una gran distancia del frente de avance, una solucin para cada uno de

los posibles comportamientos constantes. Es as como podemos asociar

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35/110

Cxx para

26664

1 0 00 0 00 0 0

37775, Cxy para

26664

0 1 01 0 00 0 0

37775, Cxz para

26664

0 0 10 0 01 0 0

37775

Cyy para

26664

0 0 0

0 1 00 0 0

37775, Cyz para

26664

0 0 0

0 0 10 1 0

37775 y Czz para

26664

0 0 0

0 0 00 0 1

37775

donde las constantes asociadas son las que definen al tensor g para determinar cada campo bsico.

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37/110

Captulo 4

Diseo ptimo de experimentos

En el siguiente captulo se presenta una introduccin al diseo ptimo de experimentos (OED),

la cual restringiremos slo al caso clsico de modelos lineales estadsticos de la forma:

Y(x) = X(x) + (x) (4.1)

donde Y(x) es la funcin objetivo n-dimensional, X(x) es una funcin vectorial n p-dimensional,

es el vector de parmetros (constante)p-dimensional, y (x) es una variable aleatoria n-dimensional,

de esperanza nula y varianza 2I.

En el ejemplo del captulo anterior, vimos como una Superposicin de Campos Bsicos apro-

ximaba al tensor de tensiones. En este captulo, continuamos este ejemplo, y mostramos cmo el

modelo de Superposicin de Campos Bsicos resulta ser de la misma forma que el modelo (4.1).

Se presenta un mtodo que permite dar, bajo cierto criterio, un estimador ptimo del vector de

parmetros , la mejor localizacin de las estaciones de medicin de la funcin objetivo Y, junto

con la importancia relativa que tiene la informacin adquirida por cada una de ellas en el diseo,

as como tambin una idea de la cantidad suficiente de mediciones a realizar.

Para una exposicin de la teora de diseo ptimo de experimentos en modelos lineales reco-

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38/110

mendamos [4], en modelos no-lineales recomendamos [17].

4.1. Estimador de mnima varianza y estimador ptimo

Supongamos que realizamos k mediciones en los puntos1 x1 . . . xk. Podremos entonces escribir

el siguiente sistema:

Y(x1)

...Y

(xk)

=

X(x1)

...X

(xk)

+

(x1)...

(xk)

(4.2)

Luego, si aadimos las hiptesis sobre los momentos de (x)

E((x)) = 0 V((x)) = 2I (4.3)

sabemos, del teorema de Gauss-Markov, ver [4] (1.21), que un estimador de mnima varianza(x1, . . . , xk) para con la muestra x1, . . . , xk est dado por

b(x1,...,xk)=

266664

0BBBB@

X(x1)

...X(xk)

1CCCCA

t0BBBB@

X(x1)

...X(xk)

1CCCCA

377775

10BBBB@

X(x1)

...X(xk)

1CCCCA

t0BBBB@

Y(x1)

...Y(xk)

1CCCCA (4.4)

adems, sabemos que la varianza de(x1, . . . , xk) est dada por:

V((x1, . . . , xk)) = 2 X(x1)...

X(xk)

t X(x1)...

X(xk)

1

(4.5)

1No necesariamente distintos.

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39/110

Como podemos observar2,este estimador de mnima varianza, depende de los puntos x1, . . . , xk

y resulta ser idntico al encontrado cuando se minimiza el cuadrado de la norma de ((x1)t, . . . , (xk)t)t

Recordemos que la igualdad (4.5) se puede obtener directamente de la igualdad (4.4) dado que

la varianza de (Y(x1)t, . . . , Y(xk)t)t est dada por 2I, lo que se obtiene de la segunda igualdad de

(4.3) y (4.2). Llamando A al trmino que multiplica a (Y(x1)t, . . . ,Y(xk)t)t en la igualdad (4.4), la

igualdad (4.5), se obtiene con la frmula general

V(

(x1, . . . , xk)) = A V((Y(x1)

t, . . . , Y(xk)t)t) At. (4.6)

Por otra parte, tambin debemos recordar, que el orden considerado en el espacio de las matri-

ces simtricas Sym y definidas no negativas NND (donde se encuentran las varianzas), es parcial,

comnmente llamado el ordenamiento de Loewner, y definido para A, B Sym por

A B A B 0 A B NND.

Con esto podemos definir:

Definicin 1 (Estimador ptimo) Llamamos estimador ptimo, a un estimador de mnima va-

rianza opt(x1, . . . , xkopt), tal que si (x1, . . . , xk) es otro estimador de mnima varianza, enton-ces,

V(opt) V().Observacin 1 .

2Para resolver las dudas con respecto a nociones bsicas de estadstica, como por ejemplo, la nocin de estimador,la nocin de varianza de un estimador, o la nocin de estimador de mnima varianza, recomendamos al lector ocuparla enciclopedia virtual google, existen una infinidad de sitios donde puede encontrar esas definiciones.

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40/110

Hay que recordar que el orden considerado es parcial.

kopt no tiene porqu ser igual a k.

Un resultado sorprendente es la no existencia de un estimador ptimo, una demostracin

de esto se puede encontrar en [4](cap. 4.7.), donde se muestra como obtener a partir de un

estimador, que pretende ser ptimo, otro con varianza estrictamente menor.

Si bien, el hecho de que el ordenamiento de Loewnersea parcial, supona cierta dificultad en la

tarea de obtener un estimador ptimo, el hecho de la no existencia de un estimador ptimo destruye

por completo las pretensiones de obtener uno. La dificultad esencial radica en el hecho de que el

ordenamiento de Loewner sea parcial, por lo que nuestra tarea en adelante ser la de proponer

un orden total compatible con el ordenamiento de Loewner, y con el cual podamos obtener la

optimalidad de nuestro estimador para este nuevo orden.

4.2. Diseo de experimentos

Primero empecemos por hacer una buena definicin de los objetos que deseamos ordenar. Para

ello, notemos que si en la muestra x1, . . . , xk slo se encuentran m puntos distintos p1, . . . , pm,

obtenemos que tanto la expresin del estimador (4.4) como la de su varianza (4.5) se reducen a las

siguientes

(p1, . . . , pm, k1, . . . , km) = [ mi=1

kiX(pi)t X(pi)]

1 [m

i=1 kiX(pi)t Y(pi)] (4.7)

V((p1, . . . , pm, k1, . . . , km)) = 2[ mi=1

kiX(pi)t X(pi)]

1 (4.8)

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41/110

donde k1, . . . , km N, son tales que

ki = k y representan el nmero de rplicas del punto pi en

la muestra x1, . . . , xk.

De esta forma, resulta natural introducir

X(p1, . . . , pm) =

X(p1)...X(pm)

(4.9)

Y(p1, . . . , pm) =

Y(p1)

...Y(pm)

(4.10)

W(w1, . . . , wm) =

W1 0 0

0. . . . . .

......

. . . . . . 00 0 Wm

(4.11)

donde wi = ki/k y Wi = wiIn (con In la identidad en Rn y n la dimensin de Y). Con los cuales

podemos escribir

(p1, . . . , pm, w1, . . . , wm) = (XtWX)1 (XtWY) (4.12)

V(

(p1, . . . , pm, w1, . . . , wm)) = k

12(XtWX)1 (4.13)

Es interesante, una vez escritas las ecuaciones (4.12) y (4.13) obtenidas de forma independiente

desde (4.4) y (4.5) respectivamente, verificar que (4.13) se puede deducir de (4.12) a travs de la

frmula general (4.6) (convenientemente modificada). Para hacer tal verificacin sera necesario

saber la varianza V de3 Y, que justamente es lo que no sabemos, pero como tal verificacin debe

3Esta variable depende explcitamente de p1, . . . , pm e implcitamente de k1, . . . , km.

31


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ser verdadera, podemos escribir

k12(XtWX)1 = (XtWX)1(XtW)V(WX)(XtWX)1

lo que con la sola hiptesis de que X tenga rango completo4, nos conduce a la igualdad

V = k12W1.

que es una matriz diagonal, con trminos de la forma

2

ki

en su diagonal. La confusin que esto podra causar, es el razonamiento errneo; como la coorde-

nada i-sima de Y es Y(pi), entonces la varianza de Y(pi) tendra que ser 2

ki, lo que es obviamente

falso, ya que sabemos que esta ltima varianza es 2. El error del razonamiento es pensar que la

coordenada i-sima de Y es Y(pi) a secas!, la verdad es que la coordenada i-sima de Y se podra

interpretar mejor como

Y(pi) preguntada ki veces.

lo malo de esta interpretacin es que nos entrega ki valores, y no un valor nico comoY

(pi). Una

interpretacin con un nico valor, de estos ki valores, es su promedio, que como sabemos tiene

justamente varianza 2

ki, lo que concuerda con nuestro resultado. La interpretacin correcta para ki

sera el nmero de veces que hay que realizar la muestra de Y(pi), o en su defecto wi = ki/k el

porcentaje de importancia, que tiene la muestra Y(pi), en el estimador. Esta ltima interpretacin4Lo que se supone desde que se considera XtWX invertible.

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es independiente del nmero de muestras k, lo que nos conduce al caso ideal en el que podamos

realizar una muestra infinita, con la anulacin de la varianza (4.13) del estimador. Sin embargo,

como quiera que se anule la varianza, habrn formas ms rpidas que otras, recordar esto nos

servir ms adelante.

Como podemos darnos cuenta, no es fcil obtener una interpretacin de la variable Y ya que

ella depende implcitamente de k1, . . . , km. Esta dificultad contrasta con la claridad de la igualdad

(4.13), ya que en la variable X no existe tal ambigedad; efectivamente la coordenada i-sima de

X es X(pi).

A continuacin haremos algunas definiciones que nos ayudarn a formalizar las ideas antes

explicadas.

Definicin 2 (Diseo de tamao k) Decimos que

= p1 w1

......

pm wm (4.14)es un diseo de tamao k, si p1, . . . , pm son puntos distintos, con m k, existen k1, . . . , km N,

tales que k =

ki y wi = ki/k. Al conjunto de todos los diseos de tamao k lo denotamos Tk.

Lo primero que nos percatamos es que en la varianza dada por (4.13) de todos los diseos

de tamao k siempre es un mltiplo de k12, con lo cual, resulta natural introducir, la matriz de

informacin del diseo , dada por

M() = XtWX (4.15)

Con esto se tiene la siguiente equivalencia para dos diseos 1, 2 en Tk:

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V((1)) V((2)) M(1) M(2) (4.16)

lo que adems de comparar sus valores, compara la velocidad con la que se anula la varianza alcrecer la muestra k , en trminos del tamao de M().

Ahora bien, si 1 Tk1 y 2 Tk2 con k1 = k2, nos gustara poder compararlos a travs de sus

respectivas matriz de informacin (si tales matrices son comparables). Para ello nos damos cuenta

que, para todo par k1, k2, siempre existe un kG suficientemente grande tal que Tki TkG para

i = 1, 2; en efecto, basta escoger kG = k1 k2, con lo cual, i TkG para i = 1, 2, resulta natural

entonces la siguiente definicin, que formaliza el caso ideal en que podemos tomar una muestra

infinita k

Definicin 3 (Diseo de experimentos) Decimos que

= p1 w1... ...pm wm

(4.17)es un diseo de experimentos, si m N, p1, . . . , pm son distintos, wi 0 y

wi = 1. Al conjunto

de todos los diseos lo denotamos T.

Observamos que para todo k, Tk T, y que la comparacin de diseos se hace en base a su

matriz de informacin. As, un diseo 1 ser mejor que otro 2 si, M(1) M(2). Nuevamente

podramos ser tentados a buscar un diseo ptimo para el ordenamiento de Loewner, lamenta-

blemente tendramos los mismos problemas que tuvimos al buscar un estimador ptimo. Por lo

cual, en la siguiente seccin presentaremos el orden total clsicamente utilizado compatible con

el ordenamiento de Loewner.

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4.3. Diseo D-ptimo

Debido a las dificultades que se presentan a la hora de buscar ptimos en un orden parcial,

digamos , es necesario introducir algn orden total, digamos , que sea compatible con el orden

parcial , en el sentido de que, por una parte

si A B entonces A B

y por otra parte

si A B y A, B son comparables con , entonces A B.

Esta propiedad, es llamada la propiedad de monotonicidad. Asimismo, una funcin5 en un sub-

conjunto S Rnn, es monotnica si el orden que induce es total y tiene la propiedad de

monotonicidad. A los diseos opt tales que opt para todo T los llamamos diseos-ptimos.

Observemos que cualquier funcin monotnica podra servir para optimizar nuestro diseo, y

que el decidirnos por una u otra puede conducir a diferentes resultados que podran ser importantes

(desde el punto de de vista de la interpretacin del valor de la funcin ).

La funcin clsicamente utilizada para optimizar el diseo es el determinante de la matriz deinformacin. A estos diseos (eventualmente nico) D los llamamos diseos D-ptimos:

D arg maxT

det(M())

5Recordemos que las funciones son a valores reales.

35


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Con esto se logra que el determinante de la matriz de varianza para el estimador () seamnimo, y como el determinante es monotnico, se logra minimizar la varianza del estimador.

4.4. El problema a resolver

El problema a resolver se puede plantear como el siguiente:

max JM()s.a. pi i

wi 0

i wi = 1(4.18)

donde se tiene que i y JM es el criterio a utilizar, que para nosotros resulta ser el determi-

nante de la matriz de informacin (criterio clsico):

JM() = det(M())

recordemos adems la forma de un diseo

=

p1 w1... ...pm wm

Un problema prctico es encontrar un m suficientemente pequeo con el cual empezar la bs-

queda en nuestro problema, ya que, resulta mucho ms simple ir quitando puntos (reduciendo m

en ). Como se puede esperar, en algoritmos de esta naturaleza, es muy probable que un diseo

con m = 2 tenga un criterio superior al encontrado partiendo con m = 1, y as sucesivamente,

sin embargo, un resultado sorprendente es que se sabe que, en el caso escalar n = 1, siempre

existe un D-ptimo con a lo ms p(p + 1)/2 puntos (p es el nmero de parmetros), es decir

que solo necesitamos p(p + 1)/2 puntos para comenzar la bsqueda, y que al partir con un m

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mayor no lograremos sobrepasar al encontrado. Y en el caso vectorial n > 1, se puede comenzar

la bsqueda con m igual a pm(pm + 1)/2, donde pm es la dimensin del espacio generado por

{X(x); x ii}.

Vamos a examinar ahora el ejemplo que hemos ido desarrollando en los captulos anteriores.

4.5. El ejemplo del Frente de Avance

Primero, la funcin objetivo Y est dada por

Y(pi) =

xxxyxzyyyzzz

(4.19)

donde xx, . . . , zz representa el tensor de esfuerzos del macizo rocoso escrito en notacin

columna, que representamos con el modelo lineal (3.4). Ahora bien, cadai

en el modelo lineal

(3.4), la representamos como una columna de la funcin X, que est dada por

X(pi) =

S1xx S2xx S3xx Cxxxx Cxyxx Cxzxx Cyyxx Cyzxx Czzxx

S1xy S2xy S3xy Cxxxy Cxyxy Cxzxy Cyyxy Cyzxy Czzxy

S1xz S2xz S3xz Cxxxz Cxyxz Cxzxz Cyyxz Cyzxz Czzxz

S1yy S2yy S3yy Cxxyy Cxyyy Cxzyy Cyyyy Cyzyy Czzyy

S1yz S2yz S3yz Cxxyz Cxyyz Cxzyz Cyyyz Cyzyz Czzyz

S1zz S2zz S3zz Cxxzz Cxyzz Cxzzz Cyyzz Cyzzz Czzzz

(4.20)

donde se puede apreciar que S1, S2, S3, Cxx, Cxy, Cxz, Cyy, Cyz y Czz estn representados como colum-

nas, al igual que . Bien entendida esta notacin, se puede escribir:

Y(pi) = (pi)X(pi) =

S1 S2 S3 Cxx Cxy Cxz Cyy Cyz Czz

(4.21)37


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Por ltimo, el vector de parmetros resulta estar compuesto por los factores de intensidad de

esfuerzos, con lo cual slo nos queda resolver el problema (4.18).

38


49/110

Captulo 5

Implementacin computacional

En una primera parte se hace la distincin entre dos clases importantes de problemas en la

resolucin de (4.18). Estas diferencias concluyen en la adopcin de distintos tipos de algoritmos

para cada uno. Para finalizar, se explica la implementacin computacional del cdigo de diseo

ptimo ODC, dando su correspondiente API.

5.1. Dos Clases de Problemas

Recordemos la forma general (4.18) del problema que queremos resolver,

max JM()s.a. pi i

wi 0mi=1 wi = 1

(5.1)

Vamos ahora a examinar los distintos comportamientos de JM con respecto a cada tipo de

variable; tenemos por una parte las variables espaciales pi, y por otra, los pesos wi. Los diferentes

comportamientos provienen de la frmula de JM,

39


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JM() = det

mi=1

wiX(pi)tX(pi)

, (5.2)

donde se puede apreciar que las propiedades de diferenciabilidad con respecto a los pi dependen

de la funcin X y del dominio i, mientras que las propiedades de diferenciabilidad con respecto a

los pesos wi est asegurada.

A continuacin, no haremos hiptesis de regularidad sobre las funciones X, que bien podran ser

discontinuas, y nos concentraremos en explotar las propiedades de regularidad de JM con respecto

a los pesos wi.

Con este objetivo, distinguiremos entre los siguientes casos:

Problema de los Pesos ptimos : En este problema, i (para cada i) se han reducido al punto

pi, de modo que las posiciones de las estaciones estn fijas.

Problema de Localizar Estaciones : En este problema, tenemos un conjunto de ndices I cuyos

i se han reducido al punto pi para cada i I, y otro conjunto de ndices J cuyos j son

idnticos y los llamaremos para todo j J.

Es claro que en el Problema de Localizar Estaciones, si el conjunto de ndices J es vaco,

se reduce al Problema de los Pesos ptimos. Tambin permitiremos que el conjunto I pueda ser

vaco.

5.2. El Problema de los Pesos ptimos

En este caso, el problema general (5.1) se reduce al siguiente:

40


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max det (m

i=1 wiMi)s.a. w = (w1, . . . , wm) Km

(5.3)

donde Km := {w = (w1, . . . , wm);mi=1 wi = 1, wi 0} y las matrices constantes Mi estndadas por,

Mi = X(pi)tX(pi).

Notemos primeramente, que si para todo w Km se tiene que

det

mi=1

wiMi

= 0

entonces, claramente el problema (5.3) resulta absurdo, por lo que descartaremos este caso.

Transformemos ahora este problema a un problema con existencia y unicidad. Para ello, recor-

damos que la funcin log : [0, ) [, ), definida en 0 por log(0) = , es una funcin

estrictamente creciente, por lo tanto preservadora del orden. Ahora bien, dado que las matrices Mi

son semidefinidas positivas, nuestra funcin objetivo es positiva, por lo que podemos reemplazar-

la por log(det (m

i=1 wiMi)) sin alterar el problema. Escribimos entonces el siguiente problema

equivalente:

mn log(det (m

i=1 wiMi))s.a. w Km

(5.4)

Ahora bien, se puede demostrar (ver [20] pag.81) que la funcin M log(det(M)) resulta

ser convexa en el cono de las matrices simtricas definidas no negativas y estrictamente convexa

en el cono de las matrices definidas positivas. Adems su gradiente est dado por

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( log(det))(M) = M1, (5.5)

es decir, D( log(det))(M)[N] = ( log(det))(M) N = traza (M1N), asimismo, para el

hessiano tenemos que

H( log(det))(M)[N][L] = traza

M1NM1L

, (5.6)

de donde se puede obtener la convexidad estricta de la funcin en el cono abierto de las matrices

definidas positivas.

Con esto, se puede asegurar la existencia y unicidad del problema, ya que estamos suponiendo

que al menos para algn

w Km, se tiene que det(

mi=1

wiMi) > 0, de donde nos podemos

restringir al convexo compacto {w Km; log(det (m

i=1 wiMi))


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5.3. El Problema de Localizar Estaciones

Observemos que hemos construido una funcin que, dados los puntos distintos p1, . . . , pm, nos

entrega la solucin w Km del problema (5.4), con la cual podemos evaluar la funcin objetivo y

as construir una nueva funcin J dependiente nicamente de los puntos p1, . . . , pm,

J : m R {}(p1, . . . , pm) mnwKm log(det (

mi=1 wiX(p1,...,pm)

tX(p1,...,pm)))

(5.7)

Tenemos entonces que resolver el siguiente problema:

mn J(p)s.a. p m

(5.8)

Ahora bien, aunque se podran hacer hiptesis sobre la regularidad de los X con respecto

a los (p1, . . . , pm), y as aprovechar de alguna forma nuevamente la regularidad de la funcin

log(det(M)), la irregularidad prctica que nunca vamos a poder salvar es la del dominio de defi-

nicin . Para tener una idea de esta irregularidad, debemos recordar que las estaciones se localizan

en torno a una cavidad minera, donde es lgico que existan zonas donde es factible colocarlas y

que estn separadas topolgicamente, razn por la cual es necesario suponer como un dominio

disconexo, lo que conduce a que J pueda ser incluso discontinua.

En la prctica, para trabajar con el dominio irregular, lo que haremos ser traspasar su irregu-

laridad a la funcin objetivo. Esto lo haremos con una transformacin que deje al dominio conexo

como se muestra en la siguiente figura 5.1.

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Figura 5.1: Regularizacin del Dominio.

Despreciaremos los problemas en los bordes de cada componente conexa debidos a la dificultad

de alcanzarlos completamente con la funcin H, y privilegiaremos la inyectividad y simplicidad

de H.

Tenemos entonces que = H(D1) H(D2) H(D3), definimos = D1 D2 D3 y

= J H, el problema se transforma en

mn (x1, . . . , xm)s.a. xi .

(5.9)

Un ejemplo de la grfica de al variar slo un punto en podemos apreciarla en la figura 5.2,

donde hemos preferido mostrar , en lugar de , ya que de esta forma se pueden apreciar mejor

sus discontinuidades.

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Figura 5.2: Ejemplo de la grfica de .

Para este ejemplo resulta ser un cuadrado de ancho 200 y alto 100, y resulta estar compuesta

por los niveles mostrados en la figura 5.3, la transformacin H, divide a horizontalmente en

partes iguales, tantas veces como niveles tenga , y cada una de estas divisiones le aplica una

transformacin afn al nivel correspondiente, respetando el orden dado por la altura.

Figura 5.3: elegido para el ejemplo de la grfica de .

Debido a la gran cantidad de mnimos locales, as como a las discontinuidades presentes de la

funcin , se han propuesto distintos algoritmos para la bsqueda de diseos ptimos (ver [18]).

La estructura general de estos algoritmos de bsqueda sera la siguiente

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Dado un diseo inicial.

Construir un nuevo diseo a partir del anterior siguiendo una operacin de refresco.

Evaluar el nuevo diseo y decidir si se continua con la operacin de refresco.

donde la operacin de refresco es crtica ya que de ella depende la calidad del diseo final.

El problema de determinar cul mtodo es el mejor para la bsqueda de diseo ptimo no lo

abordamos en esta memoria. Las razones que nos mueven a decidirnos por el mtodo de Simulated

Annealing son simplemente prcticas; es uno de los algoritmos ms utilizados en la bsqueda de

diseo ptimo debido a su rapidez y calidad del diseo obtenido, una implementacin de este

algoritmo para MATLAB se puede encontrar en [17], en el cual nos hemos basado a la hora de

implementarlo en PYTHON.

5.4. El algoritmo utilizado (Simulated Annealing)

5.4.1. Descripcin del Algoritmo

La implementacin del algoritmo usado en esta memoria est basada en Corana et al. (1987),

(ver [13]), y T.H. Waterhouse (2005), (ver [17]). En adelante daremos una pequea descripcin de

su procedimiento.

Consideremos un diseo de localizaciones como una matriz de m d, tal como la siguiente

=

x1...xm

(5.10)con i,j cada una de sus componentes y xi Rd un vector fila. Recordemos que el dominio de

bsqueda consta de los diseos de localizaciones , tales que cada vector fila xi pertenezca

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a un cubo d-dimensional. Escribimos las matrices que definen estos cubos por, L para las cotas

inferiores y U para las cotas superiores.

En la k-sima iteracin del algoritmo, una coordenada de es perturbada aleatoriamente para

obtener ki,j . La amplitud de bsqueda est definida por la matriz Vstep = {vi,j}, cuyas com-

ponentes vi,j son ajustadas cada cierto nmero de iteraciones. El valor ki,j es obtenido con una

distribucin uniforme en el intervalo k1i,j vi,j .

Para cada nuevo diseo k, se calcula su criterio C(k) = (k) y se compara con el cri-

terio para el mejor diseo hasta entonces . Los diseos con un mejor valor para el criterio

siempre son aceptados y pasan a ser , los diseos con un valor ms bajo para el criterio son acep-

tados o rechazados de acuerdo con el criterio de Metropolis, i.e. la probabilidad de aceptarlos es

exp[(C(k) C()/temp], donde temp es la temperatura actual del algoritmo. La temperatura

baja cada cierto nmero de iteraciones, con un enfriamiento geomtrico,

temp cool temp

El valor inicial de la temperatura temp0 se calcula despus de un cierto nmero de iteraciones

iniciales, con temp0 escogido como la temperatura para la cual la probabilidad inicial de aceptar

malos diseos sea cercana a initprob (por defecto 95 %). Los diseos fuera del rango definido

por L y U siempre son rechazados.

El algoritmo se detiene cuando se sobrepasa el nmero mximo de iteraciones maxit o la

amplitud de bsqueda promedio es menor que cierto valor, i.e. 1md

i,j vi,j < vmin, donde vmin

es un valor de tolerancia pre-establecido.

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5.4.2. El algoritmo

Paso 1 : Inicializar los parmetros.

Paso 2 : Calcular la temperatura inicial temp0.

Paso 3 : Iterar lo siguiente mientras el nmero de iteraciones no sobrepase maxit y la amplitud

de bsqueda promedio sea menor que vmin :

SubPaso1 : Hacer ncyct veces lo siguiente:

SubSubPaso1 : Hacer ncycs veces un ciclo de bsqueda.

SubSubPaso2 : Ajustar cada componente de la amplitud de bsqueda Vstep (esto

depende tanto de la temperatura como del nmero de rechazos).

SubPaso2 : Ajustar la temperatura (enfriar el algoritmo).

5.4.3. Inicializacin de los parmetros

Vamos a ver a continuacin una descripcin de los parmetros con el fin de inicializarlos de

forma adecuada.

initprob Es la probabilidad inicial de aceptar que el algoritmo escape de un mximo local. En

otras palabras, es la probabilidad inicial de que el algoritmo tome un camino de descenso

(recordemos que estamos maximizando el criterio) (por defecto es igual a 0,95).

Vstep Es la amplitud de bsqueda inicial para el algoritmo. En otras palabras, son las coordenadas

del cubo donde se concentra la bsqueda (por defecto es igual a UB UL).

cool Es la taza con la cual baja la temperatura del algoritmo, es decir, con la que se realiza el

ajuste de la temperatura

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temp cool temp

La temperatura temp, es la energa cintica de la bsqueda. sta afecta directamente, tanto

a la probabilidad de aceptar que el algoritmo escape de un mximo local initprob (a mayor

energa cintica, mayor esta probabilidad), como a la amplitud de bsqueda Vstep (a mayor

energa cintica, mayor la amplitud de bsqueda) (por defecto es igual a 0,9).

ncycs Es el nmero de ciclos de bsqueda entre cada ajuste de la amplitud de bsqueda Vstep

(por defecto es igual a 10).

ncyct Es el nmero de ajustes de la amplitud de bsqueda Vstep entre cada ajuste de temperatura

temp (por defecto es igual a 20).

maxit Es el mximo nmero de iteraciones (por defecto es igual a 1e7).

vmin Es la mnima amplitud relativa de bsqueda, es decir, si luego de un cambio de temperatura,

se tiene que VstepUBUL < vmin (para cada coordenada), entonces el algoritmo se detiene (por

defecto es igual a 0,001).

Los parmetros anteriores son de carcter general, es decir, la mayora de los algoritmos de

templamiento (annealing) tienen incorporados estos parmetros, sin embargo, nuestro algoritmo,

que es una modificacin del utilizado por T.H. Waterhouse (2005), tiene incorporada una etapa

previa que calcula la temperatura inicial del algoritmo, para ello, adems de utilizar initprob utiliza

el siguiente parmetro:

ncyci Es el nmero de ciclos de bsqueda para calcular la temperatura inicial (por defecto es

igual a 100).

Por ltimo, tambin se tiene el parmetro siguiente:

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dispint Es el nmero de ajustes de temperatura entre cada aparicin de los resultados en la

pantalla (por defecto es igual a 5).

Estos parmetros se pueden ingresar, si as se desea, parcial o totalmente, en un arreglo de

entrada options.

5.4.4. Ciclo de bsqueda

ste est compuesto por el siguiente bloque:

Para cada coordenada j,k de se realiza lo siguiente

El contador de iteraciones se aumenta en 1.

Se define:

tmp = tmp = j,k + (2rand 1)vj,k

donde rand es una variable uniformemente distribuida en [0, 1].

Si tmp , se define

d =

Sino, se define

d = C(tmp)

donde C es el criterio a maximizar.

Si d > opt, se redefinen

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= tmpopt = d

Sino,

Si exp(dopttemp ) > rand, se redefinen:

= tmpopt = d

Sino, se redefine

Rechj,k = Rechj,k + 1

donde opt es una variable cuyo valor inicial es , y Rech una variable cuyo valor

inicial es 0.

Si opt > best, se redefinen

best = best = d

donde best es una variable cuyo valor inicial es .

best y best son las variables donde se almacena el valor mximo y el mejor diseo respec-

tivamente. La variable Rech es la que almacena el nmero de rechazos (necesaria para ajustar la

amplitud de bsqueda).

5.5. API del Cdigo de Diseo ptimo (ODC) implementado

A continuacin se describe la API del cdigo de diseo ptimo implementado en PYTHON, las

palabras escritas en negrita corresponden a trminos propios de la programacin en PYTHON, la

codificacin de arreglos y matrices est dada al final se la seccin.

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5.5.1. Funciones pblicas

mFichero(nombre)

nombre es una cadena con el nombre de un fichero que contenga un arreglo codifica-do de dimensiones (N,n,m).

Retorna el arreglo codificado en el fichero nombrado nombre.

mFicheroW(A, nombre)

A es un arreglo de dimensiones (N,n,m).

nombre es una cadena que representa al nombre de un fichero donde se codificar el

arreglo A.

No retorna nada, slo codifica el arreglo A y lo guarda en el fichero nombrado nombre.

put_puntos(r,L,H)

r es un flotante que representa la densidad de puntos en la malla del dominio .

L es un flotante que representa el largo del rectngulo utilizado para representar al

dominio .

H es un flotante que representa el alto del rectngulo utilizado para representar al

dominio .

No retorna nada, slo codifica un arreglo de dimensiones (1, N, 2), que representa una malla

de puntos en , y esta codificacin la guarda en el fichero nombrado puntos en el directoriodonde se realice la llamada a la funcin.

put_puntosL(geometria, puntos)

geometria esun arreglo de dimensiones (K, 4),dondecadafilaesdelaforma [xi, xf, yi, yf

y define un rectngulo en el dominio , como se muestra en la figura 5.4

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puntos es un arreglo de dimensiones (N, 2) que representa la malla de puntos en .

No retorna nada, slo codifica un arreglo de dimensiones (1, N, 2), que representa la imagen

en de malla de puntos puntos de , y esta codificacin la guarda en un fichero nombrado

puntosL en el directorio donde se realice la llamada a la funcin.

Figura 5.4: Parametrizacin de un rectngulo en .

put_pesos(X)

X es un arreglo de dimensiones (m,n,p) que representa las m matrices obtenidas

al evaluar la funcin X en cada punto p1, . . . , pm. Recordemos que cada una de estas

matrices son de dimensiones (n, p).

No retorna nada, slo codifica un arreglo de dimensiones (1, 1, m), que representa los pe-

sos de cada una de las m estaciones p1, . . . , pm, y guarda esta codificacin en un fichero

nombrado pesos en el directorio donde se realice la llamada a la funcin.

put_disegno(m,puntos,X,XF,TpuntosL)

m es un entero que representa el nmero de estaciones que se quieren aadir al diseo.

puntos es un arreglo de dimensiones (N, 2) que representa la malla de puntos en .

X es un arreglo de dimensiones (N,n,p) que representa a la funcin X evaluada en

cada una de las N imgenes en de los puntos de la malla puntos.

XF es un arreglo de dimensiones (NF,n,p) que representa a la funcin X evaluada

en cada una de las N F estaciones elegidas como fijas (esas son las estaciones que ya

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estn instaladas).

TpuntosL es un arreglo de dimensiones (N+ NF,n,p) que representa la totalidad de

puntos en , es decir, los puntos imgenes de la malla de puntos puntos y al final y los

puntos correspondientes a XF.

No retorna nada, slo codifica un arreglo de dimensiones (1, m + N F, 3), que representa al

diseo ptimo obtenido en el dominio y solucin aproximada del problema (5.1), y esta

codificacin la guarda en un fichero nombrado disegno en el directorio donde se realice la

llamada a la funcin.

5.5.2. Codificacin de arreglos y matrices

La codificacin de un arreglo A de dimensiones (N,n,m) est dada a continuacin

N n m

Fila 1 de la matriz 1

.

.

.

Fila n de la matriz 1

.

.

.

Fila 1 de la matriz N

.

.

.

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Fila n de la matriz N

donde Fila k de la matriz j denota a la fila dada por los elementos [A]jk1 . . . [A]jkm,

escritos sin parntesis y separados por al menos un espacio.

La codificacin de un arreglo o matriz B de dimensiones (n, m) se realiza como si fuera un

arreglo A de dimensiones (1,n ,m), cuyos elementos estn dados por:

[A]1jk = [B]jk .

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Captulo 6

Protocolos, resultados, comparacin ydiscusin

Se entiende, durante todo este captulo, que nos referimos con directorio de trabajo, al direc-

torio donde se ubica el fichero nombrado ODC.py.

6.1. Preparacin de los protocolos utilizados

En esta seccin se muestra la forma de preparar los protocolos que debern automatizarse para

concluir en los protocolos de la siguiente seccin.

6.1.1. Preparacin del protocolo para obtener los pesos ptimos.

Recordemos el problema (5.4) que debemos resolver:

mn log(det (m

i=1 wiMi))s.a.

mi=1 wi = 1

wi 0.(6.1)

para resolverlo debemos definir las matrices Mi, las cuales estn dadas por

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Mi = X(pi)tX(pi).

donde p1, . . . , pm son las ubicaciones de las estaciones consideradas. Procedemos entonces a codi-

ficarun arreglo, digamos A, de dimensiones (m,n,p) cuyos elementos estn dados por

[A]ijk = [X(pi)]jk

y guardamos esta codificacin en un fichero nombrado baseF ubicado en el directorio de trabajo.

6.1.2. Preparacin del protocolo para aadir estaciones.

Recordemos el problema (5.8) que debemos resolver:

mn J(p1, . . . , pm)s.a. pi (6.2)

donde J est dado en (5.7). Para resolverlo es necesario definir el dominio , el cual lo definiremos

como un conjunto formado por cuatro rectangulos, como los mostrados en la siguiente figura:

Figura 6.1: El dominio de bsqueda que ocuparemos.

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codifico estos rectngulos de la siguiente forma:

1 4 4

35 200 5 15

-50 200 -20 -10

-50 200 -50 -30

-50 200 -80 -60

que no es ni ms ni menos que la codificacin de una matriz de dimensiones (K, 4), donde K

representa el nmero de rectngulos y cada fila [xi, xf, yi, yf] representa a un rectngulo como el

mostrado en la figura 5.4. Guardamos esta codificacin en un fichero ubicado en el directorio de

trabajo y nombrado geometria. Una vez definida la geometra de , pasamos a definir una malla

en , para ello definimos el dominio y su correspondiente malla con la codificacin siguiente:

1 1 3

1 100 50

que corresponde a la codificacin de una matriz con una nica fila 1 100 50, el primer elemento

de esta fila representa la densidad de puntos de la malla (en nuestro caso 1), el segundo elemento

representa el ancho de (en nuestro caso 100) y el ltimo elemento representa el alto (en nuestro

caso 50). El dominio ser entonces, un cuadrado de ancho 100 y alto 50. Guardamos esta

codificacin en un fichero ubicado en el directorio de trabajo y nombrado malla.

Luego ejecuto las siguientes lneas en PYTHON:

>>from ODC import *

>>malla = mFichero(malla)[0][0]

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>>geometria = mFichero(geometria)[0]

>>put_puntos(malla[0],malla[1],malla[2])

>>puntos = mFichero(puntos)[0]

>>put_puntosL(geometria,puntos)

con las cuales se obtienen los ficheros nombrados puntos y puntosL, quienes contienen una

codificacin de una matriz de dimensiones (N, 2) que representa a la malla de puntos de y

respectivamente. Podemos ver estas mallas en la figura 6.2

Figura 6.2: A la izquierda la malla del dominio , a la derecha su correspondiente malla del domi-nio .

Las diferentes densidades que se ven en el dominio son producidas por las distintas dimen-

siones de sus rectngulos, pues cada uno tendr la misma cantidad de puntos, esto hay que tenerlo

en cuenta a la hora de definir la geometra codificada en el fichero nombrado geometria.

El fichero nombrado puntos es de privado. El fichero nombrado puntosL lo ocuparemos

para evaluar la funcin X en cada uno de los puntos que definen la malla codificada en puntosL,

tendremos entonces X(pL1), . . . ,X(pLN), los cuales codificaremos en un arreglo, digamos A, de di-

mensiones (N,n,p) cuyos elementos estarn dados por

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[A]ijk = [X(pLi)]jk

este arreglo lo guardaremos en un fichero nombrado base en el directorio de trabajo.

A continuacin, debemos definir la localizacin de las estaciones fijas pLF1, . . . , p L F NF,

para lo cual codificamos una matriz, digamos B, de dimensiones (NF, 2) cuyos elementos estn

dados por

[B]jk = [pLFj ]k

lgicamente, en el caso de no ocupar estaciones fijas NF = 0, y el arreglo resultar estar vaco,

en cuyo caso debemos ocupar el siguiente cdigo para la matriz B:

1 0 2

Independientemente de la codificacin utilizada para B, sta debemos guardarla en un fichero

nombrado puntosLF ubicado en el directorio de trabajo.

Procedemos a codificar, anlogamente a como lo hicimos en unas lneas ms arriba, los valores

de la funcin X en cada uno de los puntos pLF1, . . . , p L F NF, que definen en la codificacin del

fichero nombrado puntosLF, y sta la guardamos, anlogamente, en un fichero nombrado baseF.

Si estamos en el caso de que N F = 0, entonces la codificacin resulta ser la siguiente:

0 6 9

Para finalizar debemos indicar la cantidad m de estaciones que queremos aadir, nmero que

codificamos en una matriz de dimensiones (1, 1) cuyo nico elemento ser m. Esta codificacin la

guardamos en un fichero nombrado m ubicado en el directorio de trabajo.

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6.2. Protocolos para obtener el Diseo ptimo

En esta seccin se explica el uso de la API para obtener tanto los pesos ptimos como el

diseo ptimo. La definicin de los ficheros nombrados baseF, malla, geometria, etc., se puede

encontrar en la seccin anterior, donde se muestra la preparacin de estos protocolos.

6.2.1. Protocolo para obtener los pesos ptimos

1. Escribo el fichero baseF.

2. Ejecuto el las siguientes lneas en PYTHON.

>>from ODC import *

>>baseF = mFichero(baseF)

>>put_pesos(baseF)

En el fichero nombrado pesos se encontrar la codificacin de un arreglo con los pesos pti-

mos correspondientes, exactamente en el mismo orden que las matrices codificadas en el fichero

nombrado baseF.

6.2.2. Protocolo para obtener el diseo ptimo

1. Escribo los ficheros malla y geometria.

2. Ejecuto las siguientes lneas en PYTHON.

>>from ODC import *

>>malla = mFichero(malla)[0][0]

>>geometria = mFichero(geometria)[0]

>>put_puntos(malla[0],malla[1],malla[2])

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>>put_puntosL(geometria,puntos)

con las lneas anteriores se obtiene un fichero nombrado puntosL, el cual contiene la codi-

ficacin de un arreglo que representa la malla de puntos en , donde tendremos que evaluar

X.

3. Escribo los ficheros baseF, puntosLF, base m.

4. Ejecuto las siguientes lneas en PYTHON.

>>from ODC import *

>>m = mFichero(m)[0][0]

>>baseF = mFichero(baseF)

>>puntosLF = mFichero(puntosLF)[0]

>>base = mFichero(base)


>>puntosL = mFichero(puntosL)[0]

>>Lp = concatenate((puntosLF,puntosL), axis=0)

>>put_disegno(m,puntos,base,baseF,Lp)

En el fichero nombrado disegno se encontrar la codificacin de un arreglo con el diseo

ptimo .

6.3. Diseo ptimo

Supongamos que hasta el momento, no hemos colocado ninguna estacin de monitoreo, que no

contamos

diseño de experimentos para estimación del campo de esfuerzos

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