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Diseño de miembros de Acero a Flexión y CorteDiseño de miembros de Acero a Flexión y Corte

• Esfuerzos de flexión

• Teoría del análisis plástico

• Método del trabajo Virtual

• Localización de la articulación plástica por cargas uniformes

Esfuerzos elásticos de flexión

Si estudiamos el diagrama de esfuerzos internos en una viga rectangular:

c1 c1

t1 t1

c2 c2

t2 t2 adt adt

adcadc

Como el acero es material homogéneo e isotrópico, los esfuerzos

admisibles a tracción y compresión son iguales: adt = adc

Esfuerzos plásticos de flexión

Si continuamos incrementando los esfuerzos hasta el esfuerzo de fluencia Fy condición (1), el diagrama de esfuerzos internos ingresa en la zona plástica:

En primera instancia las fibras extremas y posteriormente las fibras internas van llegando al esfuerzo de fluencia. En la condición (5) todas las fibras de la sección transversal alcanzan la fluencia en ese punto específico de la viga.

FFyy

FFyy

(2)(2)

FFyy

FFyy

(3)(3)

FFyy

FFyy

(4)(4)

FFyy

FFyy

(5)(5) (1)(1)

FFyy

FFyy

Cuando la distribución de esfuerzos alcanza la condición (5), se dice que se ha formado una articulación (rótula) plásticaarticulación (rótula) plástica, porque en esa sección la viga no puede resistir ningún momento adicional. Cualquier momento adicional en ese punto causará una rotación de la viga ya que no hay esfuerzo interno resistente adicional.

Módulo de sección: Módulo Elástico y Módulo Plástico

bb

dd

Area seccional Diagramas elástico y plástico de esfuerzos

FFyy

FFyyFFyy

FFyy

d/2

FFyy

bd

FC y

22

1

FFyy

bd

FT y

22

1

d/6

d/3

2d / 3

Como C = T :el momento resistente My es el par que se forma entre C y T:

My = Fy bd2

6

d/2

FFyy

bd

FC y

2

FFyy

bd

FT y

2

Como C = T :el momento resistente Mn es el par que se forma entre C y T:

Mn = Fy bd2

4

d/2

Se define el momento resistente Mn como el producto del esfuerzo de fluencia por el Módulo Plástico Z.

En una sección rectangular, Z = bd2

4 Se define como factor de forma a: Mn / My = FyZ / FyS = Z/S

En una sección rectangular, Z/S = 1,5

En la condición de momento resistente plástico, todas las fibras a tracción y compresión están sometidas al mismo esfuerzo Fy. Como consecuencia, las áreas arriba y abajo del eje neutro deben ser iguales, independientemente de la forma del área seccional.

Se define el Módulo Plástico Z como el momento estático de las áreas a tracción y compresión con respecto al eje neutro.

EJEMPLO 1.- Determine EJEMPLO 1.- Determine MMyy, , MMnn y y ZZ para la viga mostrada. Calcule el Factor de para la viga mostrada. Calcule el Factor de

forma y la carga uniforme wforma y la carga uniforme wnn que formaría una rótula plástica. Fy = 36 ksi. que formaría una rótula plástica. Fy = 36 ksi.

A B

Wn = klb/pieWn = klb/pie

12 pies

2´´

1,5´´

8´´

6´´Análisis elástico:Análisis elástico:

AA = 8 (1,5) + 6 (2) = 24 pul= 8 (1,5) + 6 (2) = 24 pul22

[8 (1,5)](6 + 0,75) + [6 (2)](3)

24 yycc == yycc = 4,875 pul= 4,875 pul cc11 = 4,875 pul= 4,875 pul

cc22 = 2,625 pul= 2,625 pul

IIxx = (2)(6)= (2)(6)33 / 12 + (8)(1,5) / 12 + (8)(1,5)33 / 12 + (2)(6)(4,875 – 3) / 12 + (2)(6)(4,875 – 3)22 + (8)(1,5)(6,75 – 4,875) + (8)(1,5)(6,75 – 4,875)22

IIxx = 122,625 pul= 122,625 pul44 SS == 122,625 pul122,625 pul44

4,875 pul4,875 pul SS = 25,154 pul= 25,154 pul33

MMyy == ((36000 lb / pul36000 lb / pul22) (25,154)pul) (25,154)pul33 MMyy = 75.462 lb.pie= 75.462 lb.pie

Análisis plástico:Análisis plástico:

ZZ= (12)(0,75) + (12)(3) = 45 pul= (12)(0,75) + (12)(3) = 45 pul33

MMnn == ((36000 lb / pul36000 lb / pul22) (45)pul) (45)pul33

MMnn = 135.000 lb.pie= 135.000 lb.pie

Como las áreas a tracción y compresión deben ser iguales, el eje neutro estará en Como las áreas a tracción y compresión deben ser iguales, el eje neutro estará en la base del alala base del ala

Factor de forma:Factor de forma:45 pul45 pul33

25,154 pul25,154 pul33

Factor de forma = Factor de forma = 1,791,79 wwnnll22

88Momento máximo de una viga simplemente apoyada =Momento máximo de una viga simplemente apoyada =

wwnn = =8 (135.000)8 (135.000)

(12)(12)22 wwnn = 7500 lb/pie = 7500 lb/pie

Análisis plástico

La teoría plástica establece que después que ciertos puntos en La teoría plástica establece que después que ciertos puntos en una estructura alcanzan el esfuerzo de fluencia y generan una estructura alcanzan el esfuerzo de fluencia y generan articulaciones plásticas, estos puntos no pueden soportar momentos articulaciones plásticas, estos puntos no pueden soportar momentos adicionales. Así, la fluencia permite que los momentos adicionales se adicionales. Así, la fluencia permite que los momentos adicionales se transfieran a otras partes de la estructura donde los esfuerzos están transfieran a otras partes de la estructura donde los esfuerzos están por debajo de la fluencia y son capaces de soportar momentos por debajo de la fluencia y son capaces de soportar momentos adicionales. En otras palabras, la teoría plástica tiende a igualar los adicionales. En otras palabras, la teoría plástica tiende a igualar los esfuerzos en una estructura en caso de sobrecarga.esfuerzos en una estructura en caso de sobrecarga. Esto es posible por la ductilidad del acero estructural que Esto es posible por la ductilidad del acero estructural que permite una redistribución de esfuerzos cuado se producen permite una redistribución de esfuerzos cuado se producen sobrecargas en estructuras estáticamente indeterminadas. Este es el sobrecargas en estructuras estáticamente indeterminadas. Este es el origen de los métodos de cálculo de Estados Límites.origen de los métodos de cálculo de Estados Límites. La teoría plástica supone que el límite de proporcionalidad del La teoría plástica supone que el límite de proporcionalidad del acero es el esfuerzo de fluencia.acero es el esfuerzo de fluencia.

Las articulaciones plásticas como mecanismo de falla

Las articulaciones o rótulas plásticas reciben esa denominación Las articulaciones o rótulas plásticas reciben esa denominación por el hecho que si un punto de un elemento no admite momentos por el hecho que si un punto de un elemento no admite momentos adicionales, funciona en la práctica como una articulación real. Así, adicionales, funciona en la práctica como una articulación real. Así, en el elemento se crea un punto de rotación adicional sin nuevas en el elemento se crea un punto de rotación adicional sin nuevas reacciones. Por lo tanto el elemento falla. El fallo es inmediato en reacciones. Por lo tanto el elemento falla. El fallo es inmediato en vigas estáticamente determinadas. En sistemas hiperestáticos la vigas estáticamente determinadas. En sistemas hiperestáticos la Teoría Plástica indica que hasta cierto punto las rótulas plásticas Teoría Plástica indica que hasta cierto punto las rótulas plásticas permiten una redistribución de momentos, tal como una articulación permiten una redistribución de momentos, tal como una articulación real, pero eso significa que progresivamente se va sobrecargando el real, pero eso significa que progresivamente se va sobrecargando el resto de la estructura, generando teóricamente un mayor número de resto de la estructura, generando teóricamente un mayor número de articulaciones plásticas.articulaciones plásticas.

Sistema isostáticoSistema isostático: Falla inmediata con una rótula plástica.: Falla inmediata con una rótula plástica. Sistemas hiperestáticosSistemas hiperestáticos: Es necesario que se forme más de una rótula : Es necesario que se forme más de una rótula plástica. Este número varía de acuerdo a la estructura.plástica. Este número varía de acuerdo a la estructura.

El Método del Trabajo Virtual en la Teoría Plástica

El principio del Trabajo Virtual asume que si un elemento está cargado a su capacidad nominal Mn y soporta un momento adicional, se produce un desplazamiento diferencial (virtual) después que se produce la carga última. Según las hipótesis básicas de este principio los desplazamientos angulares son tan pequeños que se puede hacer la aproximación: sen = tan = . Además el trabajo externo producido por las cargas debe ser igual al trabajo interno angular producido en las articulaciones.

wn klb/pie

L = 18 pies

- Por simetría, la primera rótula debe producirse en el centro del claro. - Al ser la viga hiperestática no se produce falla inmediata.- Se podría incrementar la carga hasta que se generen rótulas en los apoyos empotrados. En ese momento ocurre el desplazamiento.

Caso 1:

L/2 L/2

Establecer la relación entre el momento resistente nominal y la carga distribuida en el sistema mostrado mostrando el mecanismo de falla.

U : Mn( + 2 + ) = wnL 22

LL22

44 4 Mn = wn

Mn = wn LL22

1616

wn =LL22

16 16 MMnn

Si el claro es de 18 pies: Mn = 20,25 wn

Según el principio de Trabajo Virtual: tan = =

L/2L/2 LL

22

Como la carga es distribuida uniforme el trabajo realizado por la carga externa total (wnL) es igual al producto de la carga por la deformación angular promedio. La deformación angular promedio es la mitad de la deformación de la articulación plástica del centro del claro.

Caso 2:

L = 20 pies

Pn

10 pies


- A pesar de no haber simetría, la primera rótula se produce en el centro del claro. - Al ser la viga hiperestática no se produce falla inmediata.- Se podría incrementar la carga hasta que se genera otra rótula en el empotramiento. En ese momento ocurre el desplazamiento.

L/2 L/2


L/2L/2 LL

22

El trabajo realizado por la carga externa total Pn al desplazarse es igual al trabajo interno realizado por los momentos plásticos en las articulaciones. En el apoyo derecho no hay trabajo virtual ya que es una articulación real y no soporta momento.

U : Mn( + 2 ) = Pn

LL22

3 Mn = Pn

Mn = 66

Pn L

LL

6 Mn Pn =

Si el claro es de 20 pies, Mn = 3,33 Pn

L = 30 pies

Caso 3: Establecer la relación entre el momento resistente nominal y la carga distribuida en el sistema mostrado mostrando el mecanismo de falla.

Pn

10 pies

- No hay simetría, la primera rótula se produce en el punto de aplicación de la

carga. - Al ser la viga hiperestática no se produce falla inmediata.- Se podría incrementar la carga hasta que se generen rótulas en los apoyos empotrados. En ese momento ocurre el desplazamiento.

L/3 2L/3


2L/32L/3 LL

33

El trabajo realizado por la carga externa total Pn al desplazarse es igual al trabajo interno realizado por los momentos plásticos en las rótulas plásticas.

U : Mn( + 2 + + 2) = Pn 2L2L33

6 Mn = Pn

Mn = 99

Pn L

LL

9 Mn Pn =

Si el claro es de 30 pies, Mn = 3,33 Pn

Caso 4:

L


wn klb/pie

- No hay simetría en los apoyos; la primera rótula se produce en el punto de

momento máximo actuante . - Al ser la viga hiperestática no se produce falla inmediata.- Se podría incrementar la carga hasta que se genere otra rótula en el empotramiento. En ese momento ocurre el desplazamiento.

Diagrama de momentos:

-Mn

Mnx

x L - x


L - xL - x ( L – x)( L – x)

Por trigonometría: tan = =

xx

Como la carga es distribuida uniforme el trabajo realizado por la carga externa total (wnL) es igual al producto de la carga por la deformación angular promedio. La deformación angular promedio es la mitad de la deformación de la articulación plástica del centro del claro. En el apoyo derecho no hay trabajo virtual ya que es una articulación real y no soporta momento.

( L – x)( L – x)

xx

( L – x)( L – x) U : Mn( + + ) =

xxwnL 22

Mn( )( 1 + ) =xx

L L ( L – x)( L – x)wnL 22

Despejando Mn y haciendo dM/d x = 0:

Mn( 3,414) = 0,586LwnL 22 Mn = 0,0858 wnL2

x = (√2 – 1)L ≈ 0,414 LAsí, Mn está localizado a 0,414 L del apoyo derecho.

wn klb/pie

30 pies

Ejemplo 2: Para la viga continua que se muestra, se ha seleccionado un perfil W 18 x 55 (Zx = 112 pul3) de acero A 36. Determine el valor de wn.

24 pies

Determinamos Mn : Mn = Fy Z Mn = 36 klb/pul2 x 112 pul3 Mn = 336 klbx pie

Estudiamos el mecanismo de falla analizando la viga continua con cualquier método estructural hiperestático: - El tramo derecho corresponde al Caso 1. (Viga doblemente empotrada con carga distribuida uniforme). - El tramo izquierdo corresponde al Caso 4. (Viga con carga distribuida uniforme con apoyos art-emp.).

L - x L/2

x

Introduciendo los valores numéricos en el sistema:

L - x L/2

x

14,06 ´ 15´

2,414

151,414

14,06

9,94 ´ 15´

wn =LL22

16 16 MMnn

Claro derecho:

wn =900900

1616xx336336

wn = 5,973 klb/pie

Claro izquierdo:

wn = 0,0858 L2

Mn

wn = 0,0858 (24)2

336 wn = 6,8 klb/pie

La máxima carga con la que debe cargarse la viga es 5,973 klb/pie

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