UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PEREIRA, PROGRAMA DE INGENIERA FSICA

Diseo de un controlador PD

Juan Sebastin Blandn Luengas

15 de Octubre de 2014

1. DISEO

Se tiene un sistema cuya funcin G(s) es de la forma:

G(s)= 1s2

(1.1)

Los requerimientos de diseo buscan que los polos dominantes en lazo cerrado del sistemacontrolado estn en el plano z en las posiciones:

z = 0,77010,278 j = 0,815719,847

Solucin:La ecuacin (1.1) presemta la planta que se desea controlar. Se observa claramente que suforma corresponde a dos integradores conectados en serie.Los requisitos que posee el diseo indican que se desea crear un controlador PD en tiempodiscreto.La funcin que define el sistema a controlar muestra que la funcin de la planta esten el dominio de Laplace, esto indica que lo primero que se debe hacer es discretizar el sistemapara poder controlarlo.El mtodo de discretizacin que se usar es el retenedor de orden cero (ZOH). A continuacinse presenta la discretizacin del sistema:

G(z)=Z{1esT

s 1s2

}

G(z)= (1 z1)Z{1

s3

}

G(z)= (1 z1)Z{L 1

{1

s3

}}Desarrollando la transformada inversa de Laplace y teniendo en cuenta que T=0.1s, entonces:

1

G(z)= (1 z1)Z{1

2t2}

G(z)= 12T 2(1 z1)Z {k2}

Para obtener la transformada Z de k2 se recuerda la definicin:

Z {x(k)}=k=0

x(k)zk = X (z)

Entonces:

Z {1(k)}=k=0

(1)zk = zz1

d

dz

( k=0

(1)zk)= ddz

( zz1

)z1

k=0

kzk = 1(z1)2

k=0

kzk = z(z1)2

d

dz

( k=0

kzk)= ddz

(z

(z1)2)

z1k=0

k2zk = (z1)22z(z1)(z1)4

k=0

k2zk =z (z1)2z(z1)3

k=0

k2zk = zz+1+2z(z1)3

k=0

k2zk = z z+1(z1)3

Retomando la discretizacin de orden cero:

G(z)= (1 z1)

2(0,01)

(z

z+1(z1)3

)

G(z)= 0,012

(z+1

(z1)3)

G(z)= 0,005z+0,005z22z+1 (1.2)

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El resultado anterior se puede verificar en MATLAB. A continuacin se presenta el cdigoque se implement para realizar dicha verificacin:numc=[1], denc=[1 0 0], Gp=tf(numc,denc)Gd=c2d(Gp,0.1,zoh), Glcd=feedback(Gd,1),dstep(Glcd,40)En la Figura 1 se muestra la respuesta de la planta discretizada al escaln unitario. Se observaclaramente que el sistema es inestable.

Figura 1. Respuesta del sistema discretizado al escaln unitario discreto.

Se desea crear un controlador que estabilice la respuesta de la planta. En el planteamientodel problema se propone la creacin de un controlador PD. Por esta razn, se debe conocerla forma del controlador para manipularlo de manera que cumpla con los requerimientos. Seconsidera conveniente partir de la funcin de transferencia que define el controlador PID entiempo discreto.

GPID (z)=KP + K I1 z1 +KD (1 z

1) (1.3)

En la ecuacin (1.2) se intuye que al hacer K I = 0 se obtiene la forma de la funcin de transfe-rencia del controlador PD. Por lo tanto:

GPD (z)=KP + K I1 z1 (1.4)

Se opera (1.3) algebraicamente para darle una forma ms sencilla de evaluar la funcin detransferencia del controlador PD, dado que se pretende verificar posteriormente en MATLABsi el resultado es correcto.

GPD (z)= KP z+KDzKDz

GPD (z)= (KP +KD )zKDz

3

GPD (z)= (KP +KD )z KDKP+KD

zEntonces, la funcin de transferencia del controlador es:

GPD (z)=zz

(1.5)

Donde =KP +KD y = KDKP+KD .Como ya se dispone de la funcin que define el controlador PD, se procede a conectar ste enserie con la planta. Operacionalmente esto quiere decir, multiplicar la respuesta de la plantapor el controlador y posterior a ello cerrar el lazo.

Gpc =(0,005z+0,005z22z+1

)(zz

)

Gpclc =(0,005z+0,005z22z+1

)(zz

)1+(0,005z+0,005z22z+1

)(zz

)Gpclc =

(0,005z+0,005)(z)z(z22z+1)+ (0,005z+0,005)(z) (1.6)

El denominador de (1.6) es la ecuacin caracterstica de la funcin de la planta controlada enlazo cerrado. A continuacin, se opera algebraicamente para darle forma de polinomio:

Fpclc = z(z22z+1)+ (0,005z+0,005)(z)

Fpclc = z32z2+ z+(0,005z2+0,005z0,005z0,005)

Fpclc = z32z2+ z+0,005z2+0,005z0,005z0,005

Fpclc = z3+ (0,0052)z2+ (1+0,0050,005)z0,005 (1.7)Con la ecuacin caracterstica (1.7) y los requerimientos de diseo se pueden determinar losvalores de y . Para ello se prosigue de ste modo:

Fpclc = z3+ (0,0052)z2+ (1+0,0050,005)z0,005=(z+0,7701+0,278 j )(z+0,77010,278 j )(z c)

Se observa que se crea un polinomio con los polos dados como requisitos de diseo. Adems,se observa un tercer polo con un valor c desconocido, esto con la intencin de que el polinomioresultante tenga el mismo grado de la ecuacin caracterstica:

Fpclc = (z+0,7701+0,278 j )(z+0,77010,278 j )(z c)

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Fpclc = z3+ (1,54 c)z2+ (0,671,54c)z0,67cEntonces, se tiene que:

Fpclc = z3+ (0,0052)z2+ (1+0,0050,005)z0,005=z3+ (1,54 c)z2+ (0,671,54c)z0,67c

Y comparando los coeficientes:

0,0052= 1,54 c (1.8)

1+0,0050,005= 0,671,54c (1.9)

0,005= 0,67c (1.10)Solucionando el sistema anterior usando MATLAB se obtiene = 42,779 y = 0,77. Usandolos valores encontrados para y se reescribe la ecuacin (1.6) y se obtiene la respuesta delsistema controlado:

Gpclc =(0,005z+0,005)(42,779)(z0,77)

z(z22z+1)+ (0,005z+0,005)(42,779)(z0,77) (1.11)

numc=[1], denc=[1 0 0], Gp=tf(numc,denc)Gd=c2d(Gp,0.1,zoh), Gc=tf([42.779 -42.779*0.77],[1 0],0.01)Gdclc=feedback(Gd*Gc,1), dstep(Gdclc)En la Figura se presenta la respuesta del sistema ya controlado con los requisitos especificados.

Figura 2. Respuesta del sistema controlado al escaln unitario discreto.

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Diseo