FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA-ENERGIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA EN ENERGÍA

CURSO: MATEMATICA III

TEMA: DISEÑO DE UNA TURBINA PELTON PARA MICROGENERACION

PROFESOR: LIC. GONZALO FERNANDEZ

INTEGRANTES:

VARILLAS VERAMENDI JHONATAN G.

ALBARRAN LOZANO JIM

SARAYASI MEJIA ELVIS

ALFARO BALDEON BILLY

SERNAQUE ROCA LUIJJY

BELLAVISTA CALLAO

AÑO 2013

DEDICATORIA

Dedicamos esta investigación principalmente a nuestros padres, a nuestra familia quienes con su sacrificio y esmero nos impulsan y nos ayudan para lograr nuestro objetivo y nuestros sueños; que Dios los bendiga por siempre, gracias por su apoyo.

A nuestros amigos, quienes son fundamentales en este período de proceso y camino hacia nuestros sueños, a nuestro profesor guía en nuestro rumbo fundamental apoyo en todo el proceso de aprendizaje y desarrollo.

Para todos los que no han sido nombrados, y que nos acompañan durante este proceso, muchas gracias.

INDICE

Dedicatoria………………………………………………………………………….……1

Índice………………………………………………………………………………….…..2

Introducción………………………………………………………………………….…..5

Resumen…………………………………………………………………………….......6

Historia de las turbinas hidráulicas…………………………………………………….7

Breve historia de la turbina pelton…………………………………………………...10

Microgeneración……………………………………………………………….……….11

Rendimiento total de turbina pelton según potencia neta………………..……..12

Límites máximos y mínimos de la relación de diámetros………………………13

Límite del número máximo de revoluciones………………………………….……13

Turbina pelton…………………………………………………………………...………14

Funcionamiento………………………………………………………………………14

Elementos de la turbina pelton……………………………………………………15

Calozetas o cuchara………………….……………………………………....15

Distribuidor………………………………………………………………..…...16

Rodete………………………………………………………………………….17

Eje de la turbina……………………………………………………………….18

Carcasa de la turbina…………………………………………………………18

Evaluación del recurso hídrico……………………………………………………….19

Ecuaciones……………………………………………………………………………..19

Teorema de transporte de Reynolds…………………………………………....19

Ecuación de continuidad………………………………………………………….20

Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento…………………….20

Ecuación de conservación de la energía………………………………………..21

Ecuación fundamental de la hidrodinámica…………………………………….23

Ecuaciones de Navier- Stokes……………………………………………………24

Fuerza sobre un codo……………………………………………………………..25

Fuerza sobre un álabe fijo………………………………………………………..26 Fuerza sobre un alabe en movimiento………………………………………….27

Fuerza sobre un rodete……………………………………………………………28

Potencia desarrollada por una turbina de acción o impulso………………..28

Transferencia de energía en las turbomaquinas………………………………30

La ecuación de Euler………………………………………………………30

Triángulos de velocidad…………………………………………………………..33

Velocidad específica……………………………………………………………...36

Embalamiento de turbinas………………………………………………………..36

Dimensiones de la cuchara……………………………………………………….37

Número de cucharas de un rodete pelton……………………………….38

Orientación de las cucharas del rodete………………………………….39

Metodología de diseño………………………………………………………………...40

Metodología de simulación…………………………………………………………...40

Condiciones iníciales de diseño……………………………………………………..41 Modelación…………………………………………………………………………41

Geometría……………………………………………………………………….….41

Condiciones de borde……………………………………………………………42

Resultados………………………………………………………………………………43

Triángulos de velocidad…………………………………………………………..43

Diámetro pelton……………………………………………………………………43

Forma de la cuchara y dimensiones……………………………………………44

Números de álabes de un rodete pelton……………………………………….44

Orientación de las cucharas del rodete………………………………………….45

Construcción…………………………………………………………………………….46

Construcción de la carcasa………………………………………………………46

Construcción del rodete…………………………………………………………..47

Construcción del inyector…………………………………………………………48

Construcción del eje de la turbina……………………………………………….49

Construcción de prensaestopas…………………………………………………50

Balanceo…………………………………………………………………………….50

Conclusiones y recomendaciones…………………………………………………….51

Referencias……………………………………………………………………………….52

Bibliografía………………………………………………………………………………..53

Anexos…………………………………………………………………………………….54

Vista del rodete……………………………………………………………………….55

Vistas del inyector……………………………………………………………………55

Vistas del alabe o cazoleta………………………………………………………….56

INTRODUCCION

El objetivo principal de este trabajo es dar énfasis en la importancia de la aplicación matemática en el diseño maquinas y estructuras en este caso el diseño y desarrollo de una turbina pelton, dando a conocer cuan importante es conocer, entender y desarrollar modelos matemáticos para el desarrollo e investigación en el proceso de diseño de estructuras y al modelamiento de sistemas.

RESUMEN

En este trabajo de investigación, se realiza un estudio de las teorías hidráulicas más conocidas y utilizadas para determinar una serie de parámetros en el análisis y el diseño de una turbina pelton, en ésta revisión se observa que las teorías hidráulicas se basan en el fluido dinámico y estático y por lo tanto son válidas para la microgeneración.

Determinando así parámetros como la potencia real en el eje, la potencia eléctrica real, el numero de cucharas, el numero de chorros, el diámetro del chorro, el diámetro del rodete, la altura disponible del sistema, el numero de inyectores, las velocidades de entrada en los inyectores, las dimensiones de la cuchara (diámetro de punta y diámetro exterior) y cálculos del rodete.

Dando a conocer que las turbinas no pueden fabricarse asi por asi . Cada salto (H, Q) requiere un diseño concreto. Siendo este el parámetro clave para fijar en primer lugar el tipo de turbina y en segundo lugar la forma y el dimensionamiento correspondiente.

HISTORIA DE LAS TURBINAS HIDRAULICAS

No se sabe con exactitud quién, dónde o hace cuanto tiempo se aprovechó por primera vez la fuerza y energía que posee una corriente de agua, aunque parece probable que la inspiración haya venido de otro uso más antiguo del agua: la irrigación. Eran empleados diversos medios en los tiempos antiguos para elevar el agua de los ríos a una altura mayor que la de sus márgenes, de donde correría por canales y zanjas a los campos. Uno de éstos era la rueda persa o saqia que es una rueda grande montada en un eje horizontal con cucharas en su periferia. Estas ruedas pueden verse todavía trabajando en Egipto, acopladas a engranes y movidas por un búfalo, burro o camello.

Alguien debe haber notado, hace mucho tiempo, que cuando se desenganchaba la bestia, la corriente tendía a hacer girar la rueda en dirección opuesta, concibiendo así la idea revolucionaria de que la corriente de agua tiene energía y por lo tanto podía hacer trabajo. De todas maneras, las ruedas hidráulicas primitivas no eran diferentes de la saqia y se conectaban con un mecanismo semejante, a una piedra de molino. Seguramente el inventor se regocijó al hacerse la idea de que evitaría muchas molestias en la molienda de granos, aunque probablemente no vislumbró el alcance que traería a las generaciones posteriores. La primera alusión literaria al invento, hecha por Antiparter de Tesalónica, data de los años 80 a.C. y dice, quitando la afectación lírica: “Dejad vuestra labor vosotras doncellas que trabajáis en el molino... porque Ceres ha ordenado a las ninfas del agua que hagan vuestra tarea”.

Los romanos conocían y usaban las ruedas hidráulicas como una fuente de fuerza mecánica, y la historia recoge el nombre de Vitruvius como el ingeniero que llevó a cabo tal modificación. Se cree que las guarniciones del muro Adriano, tenían unos cuantas ruedas hidráulicas para mover molinos de trigo; pero quizás porque contaban con abundantes esclavos, los romanos no explotaron la energía de la corriente de agua extensamente. En su imperio, el trigo se molía generalmente en molinos de mano, algunos de los cuales se han encontrado en los sitios donde existieron colonias romanas en Inglaterra.

Fueron los sajones los que popularizaron su uso en la gran Bretaña. Las evidencias más antiguas encontradas en documentos, son las de una concesión dada por el rey Ethelbert de Kent, tiene la fecha de 762 d.C. La costumbre se difundió rápidamente. En aquella época el oficio del constructor de molinos era viajar por todo el país construyendo molinos nuevos y atendiendo a los que necesitaban reparaciones y era una ocupación importante antes de la conquista de los normandos. Están registrados más de 5000 molinos en el censo de 1086.

Las primeras ruedas hidráulicas se construyeron posiblemente en Asia, China y la India, hace unos 2200 años; de Asia pasaron a Egipto y desde allí a Europa (unos 600 años después que en Asia) y América. Leonardo Da Vinci, Galileo y Descartes, entre otros, realizaron estudios teóricos y matemáticos sobre las ruedas hidráulicas. Mención especial merece el francés Parent (1666- 1716) físico y matemático de París y miembro de la Real Academia de Ciencias, estudia por vez primera el funcionamiento de las ruedas hidráulicas, y genialmente prevé que existe una relación óptima entre la velocidad de la rueda y la velocidad de la corriente de agua. Las mejoras hechas a las ruedas comunes dieron como resultado la construcción de las ruedas de impulso y de reacción las cuales presentan la ventaja de aprovechar la energía cinética y, por lo tanto, ser de menor tamaño.

Las figuras siguientes presentan los tipos principales de ruedas hidráulicas y en ellas se puede notar su evolución en el uso, no sólo de la energía gravitacional sino también de la variación de la cantidad de movimientos (principio de Euler), constituyéndose así estas ruedas en las precursoras de las modernas turbinas hidráulicas.

a) alimentación superior (rueda gravitatoria pura) b) alimentación lateral; c) de paletas planas; d) de impulsión inferior; e)paletas de alimentación inferior; f) turbina Banki

El uso de la energía hidráulica no es nada nuevo y se remonta a más de 2000 años atrás, pero se desarrollo lentamente durante espacio de 18 siglos, debido al inconveniente de que las instalaciones deberían situarse junto a los ríos; mientras que las maquinas de vapor se podían instalar en cualquier lado.

El estudio de las turbomáquinas hidráulicas como ciencia no se crea hasta que Euler en 1754 publica su famosa memoria de Berlín sobre maquinaria hidráulica, en la que expone su teoría de las máquinas de reacción :"Théorie plus compléte des machines qui sont mises en mouvement par la reaction de l' eau" . En esta memoria desarrolla Euler por vez primera la ecuación fundamental de las turbomáquinas, deducidas igualando el par a la variación de la cantidad de movimiento del fluido en su paso por el rotor. En la figura puede verse un dibujo de la turbina hidráulica ideada por Euler.

Turbina hidráulica

propuesta por Euler

Posteriormente el ingeniero francés Claude Burdin (1790- 1873), profesor de la escuela de minas de Saint Etienne, en su célebre memoria de la academia de Ciencias desarrolla la teoría “des turbines hydrauliques ou machines rotatoire á grande vitesse” acuña por vez primera la palabra “turbina” para el vocabulario técnico. La palabra turbina viene del latín turbo- inem, que significa rotación o giro.

Burdin fue un ingeniero teórico; pero su discípulo Fourneyron (1802-1867) fue un ingeniero práctico, y logró en 1827 construir la primera turbina hidráulica experimental digna de tal nombre; más aún a lo largo de su vida, Fourneyron construirá un centenar más de turbinas hidráulicas para diferentes partes del mundo. Esta turbina que tuvo un éxito clamoroso, porque era capaz de explotar saltos mayores que los explotables con las antiguas ruedas hidráulicas, era radial centrífuga, de inyección total, y escape libre; aunque Fourneyron previó también el tubo de aspiración, cuyo estudio realizó él mismo.

Desde 1837 las turbinas hidráulicas de Henschel y Jonval compiten con las de Fourneyron. Otras turbinas hidráulicas anteriores al siglo XX fueron la de Fontaine, y sobre todo la desarrollada en 1851 por Girard, que era de acción de inyección total y que alcanzó una notable difusión en Europa.

A grandes rasgos se puede resumir así el desarrollo de las turbinas hidráulicas: El siglo XVIII es el siglo de su gestación. El siglo XIX el de su nacimiento (eneste siglo nacieron en América las Turbinas

Pelton y las Turbinas Francis) El siglo XX el de su desarrollo.

A principios de este siglo aparecen lasturbinas hidráulicas de gran velocidad. 1905 – en USA existen turbinas hidráulicas de 7360 kW girando a 250 rpm

(turbinas Francis gemelas), 1915- creación de la Turbina Kaplan, 1918- la turbina Banki 1914- la turbina Turgo 1950- la turbina Deriaz 1970- la turbina Bulbo

BREVE HISTORIA DE LA TURBINA PELTON

      La turbina Pelton debe su nombre a Lester Allan Pelton (1829-1908), quien buscando oro en California, concibió la idea de una rueda con cucharas periféricas que aprovechara la energía cinética de un chorro de agua proveniente de una tubería a presión, incidiendo tangencialmente sobre la misma. Ensayó diversas formas de álabes hasta alcanzar una patente de la rueda en 1880, desde cuya fecha ha tenido gran desarrollo y aplicación.

Lester Allan Pelton

MICROGENERACIÓN

En primer lugar es importante situarse en el contexto del proyecto, esto corresponde a la microgeneración. Como se ha mencionado antes, el estudio de la generación hidráulica ha privilegiado la macrogeneración, siendo la mayor cantidad de libros e investigaciones dedicadas a grandes potencias.La microgeneración se define para potencias entre 10 y 500 [kW].

Para el caso de la microgeneración, el rendimiento de las turbinas va entre 60% y 80%.

Es importante destacar que las turbinas Pelton tienen una alta eficiencia para caudales menores, lo que agrega una característica favorable. En cuanto al tema de costos, las turbinas para microgeneración se hacen más interesantes para casos de gran altura, ya que no se requiere de un gran caudal y la relación costo potencia se hace favorable. El problema es que en el mundo existe una gran cantidad de pequeñas caídas, que no son aprovechadas porque no se le puede comparar en términos de costos con la generación por medio de diesel.

Las turbinas Pelton y de flujo cruzado se han convertido en las turbinas más utilizadas para la generación en pequeñas localidades, esto se debe a:

Mejor tolerancia a las partículas que pueda traer el flujo. Un fácil acceso a las turbina. Sin sellos de presión alrededor del eje. Fácil de fabricar y mantener. Buena eficiencia a distintas ponderaciones del caudal.

Finalmente las principales ventajas de la generación micro hidráulica:

Es mucho más concentrada que la energía solar o eólica. La generación de energía es continua. No se requiere de un combustible, sólo mantenciones temporales. Tiene una larga vida útil. Tiene un bajo impacto ambiental.

Esta turbina se utiliza generalmente para alturas desde 25m hasta 1900m y caudales de 1,5 L/s a 34.000 L/s.

El rendimiento de las turbinas Pelton varía según la escala del proyecto, la tabla 1 muestra el rendimiento total para una turbina tipo Pelton según su potencia neta.

Tabla 1

RENDIMIENTO TOTAL DE TURBINA PELTON SEGÚN POTENCIA NETA

Potencia(KW) 75 750 7500 75000n Total (%)

85 88 89 90

Se han estudiado ciertos parámetros para turbina Pelton que permiten determinar el desempeño de la turbina diseñada, éstos son la relación de diámetros (δ )y el número específico de revoluciones (ns) ,que se muestran en la ecuación:

δ= dD

Donde:

d:diametro de chorro.D:diametro pelton.

Se tienen dos ecuaciones para el número específico de revoluciones, ya que la segunda permite obtener el diámetro Pelton.

ηs=240δ √Z

ηs=η P12ejeH

−54

n

Donde:

Z : numero de chorros.Peje :potencia al eje (CV)

Para calcular la potencia al eje se utiliza la ecuacion:

Peje=ηtot Ph

Donde:

Ph: potencia del recurso hidrico.

Si la relación de diámetros es excesivamente pequeña sucede que el flujo de agua va a tener que recorrer un trayecto demasiado largo entre la salida del inyector y el rodete. Por otro lado, al disminuir η s se aumenta el número de cuchara, lo que puede producir que la distancia que separa las cucharas sea muy pequeña lo que no es posible ni deseable. En el caso contrario se tiene un número de cucharas pequeño y a su vez las cucharas deber ser más grandes, hasta el caso que sea imposible conectarlas al rodete prácticamente. La tabla 2 muestra resultados obtenido por la experiencia que permiten determinar límites para el diseño de turbinas Pelton.

Tabla 2

LÍMITES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA RELACIÓN DE DIÁMETROS Y DEL NÚMERO ESPECÍFICO DE REVOLUCIONES DE LA TURBINA PELTON DE UN CHORRO.

Limite de aplicación Relación de diámetrosNumero especifico de revoluciones

límite mínimo (mal rendimiento) 0.01 2.4límite mínimo práctico (buenrendimiento)

0.03 8

límite máximo (mal rendimiento) 0.14 35límite máximo práctico (buenrendimiento)

0.11 27

A su vez es importante destacar que estos límites no son absolutos y depende del diseñador si los considera o no, por ejemplo las TP de la central Glaraus Suiza una relación de diámetros de 1/110.

Para los casos donde se tienen TP con múltiples chorros, en la tabla 3 se muestran los valores límites del número de revoluciones.

Tabla 3

LÍMITE DEL NÚMERO MÁXIMO DE REVOLUCIONES PARAMULTIPLES CHORROS

Turbia pelton(TP) Descripcionns maximo(buen rendimiento

Doble 1 rodete, 2 chorros ;o 2 rodetes con 1 chorro 34

Cuadruple 1 rodete, 4 chorros; o 2 rodetes, 2 chorros por rodete

48

Sextuple 1 rodete, 6 chorros 59

TURBINA PELTON

FUNCIONAMIENTO

Las turbinas Pelton son turbinas de chorro libre que se acomodan a la utilización de saltos de agua con mucho desnivel y caudales relativamente pequeños, Fig 1.1, con márgenes de empleo entre 60 y 1500 metros, consiguiéndose rendimientos máximos del orden del 90%.

Fig. 1.1

ELEMENTOS DE LA TURBINA PELTON

Cazoletas.-

En una rueda Pelton la dirección del chorro no es ni axial ni radial, sino tangencial; el elemento constructivo más importante es la cazoleta en forma de cuchara, Fig.1.2, que recibe el chorro exactamente en su arista

media donde se divide en dos, circulando por su cavidad y recorriendo hasta la salida casi un ángulo de 180º, contrarrestándose así los empujes axiales por cambio de dirección de los dos chorros.El agua una vez sale de la cazoleta, cae libremente una cierta altura, pasando al cauce inferior. Las cucharas tienen una forma característica, tal como puede apreciarse en la Fig.1.2, donde se aprecia la sección de entrada (1) y la sección de salida (2): presentan una mella en la parte externa, son simétricas en dirección axial, y presentan una cresta central afilada.Las dimensiones de las cucharas, y su número, dependen del diámetro del chorro que incide sobre ellas (d): cuanto menor sea ese diámetro, más pequeñas serán las cucharas y mayor número de ellas se situarán en el rodete.La mella, con una anchura ligeramente superior al diámetro del chorro (típicamente, 1,1·d), tiene como función evitar el rechazo. El máximo aprovechamiento energético del fluido se obtiene cuando el chorro incide perpendicularmente sobre la cuchara. Pero, al girar el rodete, cuando se aparta una cuchara y llega la siguiente, ésta tapa a la anterior antes de estar en condiciones de aprovechar su energía adecuadamente. La mella evita que una cuchara tape a la anterior demasiado pronto

Cresta

mella

Fig.1.2

Distribuidor.-

El distribuidor de una turbina Pelton es una tobera o inyector, como el esquematizado en la Figura 1.3. La misión del inyector es aumentar la energía cinética del fluido, disminuyendo la sección de paso, para maximizar la energía de fluido aprovechada en

la turbina, ya que en el rodete de este tipo de turbinas sólo se intercambia energía cinética (tanto la sección 1, de entrada al rodete, como la sección 2, de salida del rodete, están abiertas a la atmósfera). De esta manera, no hay problema para que la sección de la tubería forzada sea mayor, haciendo esta transformación a energía cinética inmediatamente antes de la entrada del fluido al rodete.

Fig.1.3

Una turbina Pelton puede tener entre 1 y un máximo de 6 inyectores. Cuando tiene un solo inyector, el eje del rodete es normalmente horizontal. Cuando el número de inyectores es superior, el eje del rodete es normalmente vertical, fig. 1.4. con el alternador situado por encima. En este caso, la tubería forzada se bifurca tantas veces como número de inyectores, y cada inyector tiene su propia tubería independiente.

Fig.1.4

El inyector dispone de una válvula de aguja para regular el caudal y ajustarlo a la demanda de energía eléctrica. La válvula de aguja está diseñada para que el módulo de la velocidad, c1, se mantenga prácticamente constante aunque varíe el caudal (la sección de salida cambia en la misma proporción que el caudal). Para evitar cambios

bruscos de caudal, que podrían ocasionar golpes de ariete en la tubería forzada, cada inyector dispone de un deflector que cubre parcialmente el chorro durante los cambios de caudal y permite realizarlos más lentamente, de esta forma se evitan sobrepresiones en la tubería, por cuanto el caudal que circula por ésta continua siendo el mismo Figura 1.5.

Fig. 1.5

Rodete.-

El rodete de una turbina Pelton es una rueda con álabes en forma de cucharas o cangilones, con un diseño característico, situados en su perímetro exterior, como se puede observar en la Figura 1.6. Sobre estas cucharas es sobre las que incide el chorro del inyector, de tal forma que el choque del chorro se produce en dirección tangencial al rodete, para maximizar la potencia de propulsión (Pt).

Fig.1.6

Eje de la turbina.-

Rígidamente unido al rodete, y situado adecuadamente sobre cojinetes debidamente lubricados, transmite el movimiento de rotación al eje del generador. El numero de cojinetes instalados asi como su función radial o radial- axial, depende de las características de cada diseño.

Eje

Carcasa de la turbina.-

Es la envoltura metálica que cubre el inyector, rodete y otros elementos mecánicos de la turbina.

Su misión consiste en evitar que el agua salpique al exterior cuando, después de incidir sobre los alabes.

EVALUACIÓN DEL RECURSO HIDRICO

Para poder cuantificar la potencia que es posible obtener de un recurso hidráulico es necesario medir el caudal disponible y la altura de caída aprovechable. Esto ayuda además en la determinación del tamaño instalaciones civiles, que dependen principalmente del caudal; y por tanto del monto de la inversión requerida.

Existen diversos métodos que pueden utilizarse para medir tanto el caudal como la altura. Normalmente la exactitud está ligada a la utilización de equipos e instrumentos muy sofisticados o de elevado costo. Por esta razón, frecuentemente resulta conveniente y necesario dedicar un tanto la exactitud de la medición por la comodidad o por el bajo costo resultante de la utilización de métodos artesanales.

El rodete de la turbina de tipo Pelton será diseñado para un recurso con las siguientesCaracterísticas:

Altura neta (Hn) Caudal (Q) La potencia del recurso hídrico se calcula mediante la ecuación:

Ph =ρgHnQDonde:

ρ : densidad del agua (kg/m3) g : gravedad (m/s2)

ECUACIONES

TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS

Volumen Fluido: Porción de fluido que se mueve y a la que se sigue en su movimiento. Es un mismo volumen al que se sigue continuamente y que está formado siempre por la misma cantidad de partículas.

Volumen de Control: Es una región del espacio imaginaria, que se puede mover o no, y que se define en cada instante y a través de la cual el fluido puede entrar o salir (Es decir, no está formado siempre por las mismas partículas)

El teorema de transporte de Reynolds se utiliza para encontrar la solución de la variación de las propiedades de un fluido restringido a un volumen de análisis, denominado volumen de control. B : Propiedad del fluido (energía, cantidad de movimiento etc.)

Valor intensivo de la propiedad: β=dBdm

La cantidad de la propiedad B que hay en un volumen de control en un instante es:

BVC=∭VC

❑

β𝜌dV

Analizando cómo varía esa propiedad con el tiempo se obtiene:

ddt

BVC=1dt [BVC (t+dt )−BVC t ]

BVC ( t+dt )=BS 2 ( t+dt )+βe . ρ e .V e . A e . dt−βs . ρs .V s . A s . dt

BVC ( t )=BS2 ( t )

Por lo tanto:

ddt

BVC=BS2 ( t+dt )−BS2 (t )

dt+βe . ρe .V e . A e−β s . ρs . V s . A s

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

La masa en un sistema no se crea ni de destruye, sólo se conserva:

dmdt

=0→∭VF

❑

ρ .dV

En este caso B=m (masa del sistema) y por tanto, la propiedad intensiva es;

β=dmdm

=1

Aplicando el teorema de transporte de Reynolds:

ddt∭VF

❑

ρ.dV= ddt∭VC

❑

ρ .dV +∬SC

❑

ρ. (V . n ) . ds=0

ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La segunda ley de Newton F = m.a

∑ F=m. dVdt

=d (m.V )dt

⇒m.V=Cantidad demovimiento

Aplicando la ecuación a todo el volumen fluido:

ddt∭VF

❑

ρ. V . dV=∭SF

❑

t . n ρ . dS+¿∭VF

❑

ρ . f mdV ¿

donde:

t :Fuerzas de superficie, son las fuerzas que el fluido ejerce sobre la superficie.

f m:Fuerzas de volumen o masicas , fuerzas aplicadas a todo volumen (gravedad y fuerzas de inercia)

Para pasarlo a un volumen de control, se aplica el teorema de transporte de Reynolds:

ddt∭VC

❑

ρ. V . dV +∬SC

❑

ρ . V . (V . n ) . ds=∭SC

❑

t . n . dS+¿∭VC

❑

ρ . f mdV ¿

Esta ecuación se conoce como Ecuación de Conservación de la Cantidad de Movimiento.Esta ecuación es vectorial y por tanto se van a tener 3 ecuaciones escalares aplicadas cada una sobre un eje del espacio (x, y, z)

ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

El primer principio de la termodinámica dice que la variación de energía total (interna más cinética) de un volumen fluido es igual al trabajo por unidad de tiempo, o potencia, que realizan las fuerzas externas (másicas y de superficie) sobre el volumen fluido, más el calor aportado desde el exterior a dicho volumen fluido por unidad de tiempo.

E Q W

En este caso la propiedad que varía en el volumen fluido es la energía interna:

B=e+ v2

2

ddt∭VF

❑

(e+ v2

2 ) . dV=∭SF

❑

v . ( t . n ) . dS+¿∭VF

❑

v . ρ . f mdV +∭VF

❑

(Qr+Q q ) . dV−∬SF

❑

q . n. ds ¿

Donde:

Qr : Calor aportado al sistema por radiación Qq : Calor aportado por efecto de alguna reacción química que pueda suceder

en el interior del fluido - q . n :Calor comunicado al sistema por conducción térmica. El signo menos se

debe a que q . n .dS representa el flujo de calor hacia el exterior del sistema material.

Si asumimos que las fuerzas de volumen derivan de un potencial; f m=−∇Uaplicando el teorema de transporte de Reynolds:

ddt∭VC

❑

ρ(e+ v2

2+U ) . dV +∬

SC

❑

ρ(e+ v2

2+U ). (V . n ) . ds=∭

Sc

❑

v . ( t .n ) . dS+∭VC

❑

(Qr+Qq ) . dV−∬SC

❑

q . n . ds

Por lo tanto, se obtiene la Ecuación General de la Energía en Máquinas

Hidráulicas:

( Ps

ρs+V S

2

2+U S)−( Pe

ρe+V e

2

2+U e)=g . Hm

Donde Hm es la altura manométrica proporcionada por la bomba, y se expresa como:

Hm=Hu−H L ; η=Hm

Hu, rendimiento manométrico

ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIDRODINÁMICA

Partiendo de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, o bien de la ecuación de conservación de la energía, en base a las siguientes hipótesis:- Para un fluido ideal (sin rozamiento, con viscosidad nula)- Ausencia de transformación de energía hidráulica en energía térmica.- No existe intercambio de energía con ninguna bomba o turbina entonces, se deduce que, en el tránsito de una partícula desde un punto 1 a un punto 2 de una línea de corriente, según el principio de conservación de la energía, la suma total de las energías debe permanecer constante

( Pρ +V 2

2+U )=cte ; ( P1

ρ+V 1

2

2+z1. g)−(P2

ρ+V 2

2

2+z2. g)

Esta ecuación se conoce como Ecuación de Bernoulli para un Fluido Ideal.

Para el caso de un fluido real (viscosidad no nula), existe rozamiento tanto del fluido con las superficies del contorno, como de las propias partículas del fluido entre sí. Por tanto, existe intercambio de energía y por tanto no se cumple la ecuación de Bernoulli.

Sin embargo, si el fluido es incompresible, se puede aplicar la Ecuación de Bernoulli con pérdidas:

( P1

ρ+V 1

2

2+z1. g)− yr1−2=( P2

ρ+V 2

2

2+z2. g)

( P1

ρ .g+V 1

2

2.g+z1)−H r1−2=( P2

ρ . g+V 2

2

2.g+z2)

Si la línea de corriente analizada atraviesa una o varias máquinas hidráulicas que le suministran (bombas) o donde cede (turbinas) energía, se puede aplicar la Ecuación de Bernoulli Generalizada:

( P1

ρ .g+V 1

2

2.g+z1)−∑ H r1−2+∑ H b−∑ H t=( P2

ρ. g+V 2

2

2. g+z2)

∑ H r1−2: Pérdidas hidráulicas entre los puntos 1-2

∑ H b:Incrementos de altura (energía) suministrados por todas las bombas existentes entre los puntos 1-2

∑ H t : Incremento de altura absorbida por las turbinas instaladas entre los puntos 1-2

ECUACIONES DE NAVIER- STOKES

CONSERVACION DE LA MASA.

∂ρ

∂t+ ∂∂x

( ρ u )+ ∂∂y

(ρv )+ ∂∂ z

( ρw )=0

SEGUNDA LEY DE NEWTON.

∂ . (ρu )∂t

+ ∂∂x

( ρu2 )+ ∂∂ y

( ρvu )+ ∂∂z

( ρwu)=f V x+ f Sx

∂ . ( ρv )∂t

+ ∂∂x

( ρuv )+ ∂∂ y

(ρv2 )+ ∂∂ z

( ρwv )=f V y+ f S y

∂ . ( ρw )∂t

+ ∂∂x

( ρuw )+ ∂∂ y

(ρvw )+ ∂∂z

(ρw2 )=f V z+ f S z

CONSERVACION DE LA ENERGIA.

∂ρ(e+V 2

2 )∂t

+ ∂∂x [ ρ(e+V 2

2 )u]+ ∂∂y [ ρ(e+V 2

2 )v ]+ ∂∂z [ ρ(e+V 2

2 )w]=W v+W S+qcond+Qreac+rad

FUERZA SOBRE UN CODO

Para el flujo permanente, uniforme e incompresible de un fluido a través del codo mostrado en la figura 2.3 partimos de la ecuación de movimiento desde el punto de vista de sistema de volumen y control:

∑ FVC=∫VC

❑

ρ gd ∀+∫SC

❑

τ dA+∫ p dA+∑ Fmec=∂∂ t∫VC

❑

ρV r d ∀+∫SC

❑

ρV r (V r .d A )

Donde:

∑ FVC : es el conjunto de fuerzas que ejerce el volumen de control sobre la

masa de fluido contenido en él.

∫VC

❑

ρ gd ∀ : es el peso del fluido contenido en el volumen de control, incluye el

peso del mismo volumen de control.

∫SC

❑

τ dA+∫ p dA : representan a las fuerzas que actúan sobre la superficie o

área del fluido como las fuerzas cortantes y las de presión. ∑ Fmec : representa a las fuerzas de reacción mecánica que aparecen cuando

el volumen de control (externo) corta a un elemento sólido.

De donde se reduce a:

∫VC

❑

ρ gd ∀+∫ p dA+∑ Fmec=∫SC

❑

ρV (V . d A )

Fig. 2.3. Fuerza F ejercida por un flujo de fluido sobre uncodo reductor. Las fuerzas RX y RY son las fuerzas dereacción mecánica que ejerce el codo sobre el fluido.

Desarrollando la ecuación anterior en dirección del eje X se tiene:

+Pex . Ae+P sx . A s−R x=−ρ .V ex .V e . Ae+ρ .V sx .V s . A s

+(+P e) . A e+ (−Ps cosθ ) . As−Rx=−ρ . (+V e) .V e . Ae+ρ . (+V s cosθ ) .V s . A s

El miembro izquierdo de la ecuación anterior representa a la fuerza total horizontal ejercida por el codo sobre el fluido, F’x, de modo que:

F ’ x=−ρ .V e .V e . A e+ ρ.V s cosθ .V s . A s=−ρV eQe+ ρV sQ scosθ=−ρQ (V e−V scosθ )

Se observa que es una cantidad negativa, lo cual significa que la fuerza está dirigida hacia la izquierda. Por tanto, la fuerza total que el fluido ejerce sobre el codo en dirección del eje X, Fx, tiene la misma magnitud que Fx’pero es de sentido contrario:

F x=ρ .Q . (V e−V s cosθ ) (→ )

Desarrollando en dirección del eje Y se tiene:

−W fluido−W codo+ pey . Ae+ psy . A s+R y=−ρ .V ey .V e . Ae+ρ .V sy . V s . A s

−W fluido−W codo+0. A e+ (−ps sin θ ) . A s+R y=−ρ .0.V e . A e+ρ . (+V s sin θ ) .V s . A s

El miembro izquierdo de la ecuación anterior representa a la fuerza total vertical ejercida por el codo sobre el fluido, F’Y, de modo que:

F’Y=ρ .V s .Q s . sin θ (↑ )

La fuerza total vertical que ejerce el fluido sobre el codo, FY, es de igual magnitud pero de sentido contrario:

FY=ρ .Q .V s .sin θ (↓ )

FUERZA SOBRE UN ÁLABE FIJO

El chorro incide en el álabe con velocidad C1. Si se desprecia el rozamiento y los cambios de elevación entre la entrada y la salida del flujo entonces las velocidad del flujo debe permanecer constante a lo largo de todo el álabe; es decir: C1 = C2.

Fuerza de impacto de un chorro, F, sobre un álabe fijo.

La ecuación de cantidad de movimiento aplicada al álabe considerando que la presión atmosférica rodea a todo el volumen de control conduce a fuerza total horizontal ejercida por el álabe sobre el fluido:

F’ x=−ρ .V e .V ex . Ae+ρ .V sx .V s . A s=−ρC 1Q1+ρC2Q2cosθ=− ρC1Q (1−cosθ )

Y, la fuerza que total horizontal que ejerce el fluido sobre el álabe es:

FX=ρ.Q .C1 (1−cosθ ) (→ )

La fuerza vertical resulta:

FY=ρ .Q .C1 sinθ (↓ )

FUERZA SOBRE UN ALABE EN MOVIMIENTO

El álabe se mueve con movimiento de traslación y velocidad ῡ constante en la misma dirección de w1. La velocidad relativa del agua con respecto al álabe es: w=C−uEn la entrada del volumen de control, w1=C1−u y en la salida w2=C2−u

Fuerza de impacto de un chorro, F, sobre un álabe en movimiento.

La fuerza horizontal ejercida sobre el álabe por el chorro es:

F x=ρw1xw1 A1−ρw2xw2 A2=ρw21 A1−ρw2

2 A2 cosθ

Despreciando el rozamiento en el álabe: w1=w2

F x=ρw21 A1−ρw2

1 A2cosθ=ρw21 A1 (1−cosθ )

Por otro lado, el caudal que llega al rodete no es el mismo caudal total Q del chorro, puesto que el álabe se mueve con velocidad u, con lo que el chorro se alarga cada vez más; por tanto, el caudal que impacta en el álabe, Qrel, es:

Qrel=w1 A1=(C1−u )( π d2

4 )Luego:

F x= ρQrel (C1−u ) (1−cosθ )=ρ (C1−u )2(π d2

4 ) (1−cosθ )

De modo análogo se halla FY:

F y=−ρQrel (C1−u ) sin θ=− ρ (C1−u )2(π d2

4 )sin θ

Si el rozamiento en el álabe es significativo, entonces W 2 = KW 1; K < 1 es un coeficiente de reducción de velocidad en el álabe. Entonces:

F x=ρQrel (w1−w2 cosθ ) y F y=−ρQrel (w2sinθ )

FUERZA SOBRE UN RODETE

En este caso el caudal aprovechado por la turbina es el caudal total del chorro, considerando que el rodete está compuesto por un número infinito de álabes. Por tanto:

Si w1=w2 F x= ρQ (C1−u ) (1−cosθ ) y F y=−ρQ (C 1−u ) sin θ

Si w1≠w2 F x=ρQ (w1−w2cosθ ) y F y=−ρQ (w2 sinθ )

POTENCIA DESARROLLADA POR UNA TURBINA DE ACCIÓN O IMPULSO

La potencia que se puede extraer de un chorro de fluido que impacta sobre un rodete está dada por la expresión:

Pi=F .u=( F X+ FY ) . u=FX . uEntonces:

Si w1=w2 Pi=ρ .Q .u .w1 (1−cos θ )=ρ .Q .u . (C1−u ) (1−cosθ )

Si w1≠w2 Pi=ρ .Q .u . (w 1−w2cosθ )

Ejemplo 1:

Una rueda Pelton se usa para accionar a un generador a 600 rpm, el caudal y la velocidad del chorro son 0,40 m3/s y 100 m/s respectivamente. Si u = 0,47 C1 y el ángulo de deflexión del chorro en el álabe es 170º, calcule:a) El radio de la rueda Pelton medido desde el eje al centro de los álabes.b) La potencia desarrollada por la turbina, despreciando el rozamiento en los álabes.

Solución:

a) De la relación u = 0,47 C1 . r = 0,47 C1, de donde: r = 0,47 C1 /

Reemplazando valores: r = 0,47 x 100 / (600 x 2 / 60) = 0,75 m

b) La potencia desarrollada por el rodete es:

Reemplazando valores: Pi = 1 000.0,40.0,47.100 (100 - 0,47 100) (1 - cos 170º)

Luego: Pi =1,97 MW

Ejemplo 2:

Un chorro de agua de 50 mm de diámetro y 20 m/s de velocidad choca con un álabe enforma de cuchara semiesférica de 180mm de radio, fijo a una rueda.Calcule:a) La fuerza ejercida por el chorro sobre el álabe si este se considera fijo.b) La fuerza ejercida por el chorro sobre el álabe si este se mueve en la dirección del chorroa 8 m/s.c) La fuerza ejercida por el chorro si éste incide sobre una serie de cucharas fijas a la mismarueda que se mueven a 8 m/s.

c) La potencia teórica comunicada al álabe por el chorro en este último caso.

Solución:

a) Fuerza sobre un álabe fijo:

Fx = Q C1 (1 – cos ) = 1 000 (20 x 0.0502 / 4) x 20 x (1 - cos 180°)Fx = 1 570,8 N

b) Fuerza sobre un álabe móvil, considerando que no hay fricción en el álabe:

Fx = (/4 x d2) (C1 - u)2 (1 - cos )Fx = 1 000 (/4 0.0502) (20 - 8)2 (1 - cos 180°)Fx = 565,5 N

c)Fuerza sobre muchos álabes o cucharas móviles:

Fx = Q (C1 - u) (1 - cos ) = 1 000 0,03927 (20 - 8) (1 - cos 180°)Fx = 942,48 N

d) Pi = Fx x u = 942,48 x 8 = 7 539,84 W

TRANSFERENCIA DE ENERGIA EN LAS TURBOMAQUINAS

LA ECUACIÓN DE EULER

Notación:

b1, b2 = anchos de entrada y salida del álabe.D1, D2 = diámetros de entrada y salida del álabe. de = diámetro del eje del rotorC1, C2 = velocidad absoluta de una partícula de fluido a la entrada y salida del álabe.

n = velocidad angular del rotor en rpmu1, u2 = velocidades periféricas (absolutas) de los álabes en la entrada y salida de los álabes.W1, W2 = velocidades relativas del fluido en la entrada y salida de los álabes.Los puntos 1 y 2 se refieren a la entrada y salida del rodete respectivamente.

w1=C1−u y w2=C2−u

El momento efectuado por el conjunto de fuerzas actuantes sobre la masa contenida en un volumen de control, con respecto a un punto fijo O, para un sistema de referencia inercial ubicado sobre el volumen de control, está dado por:

∑ M 0=r x∑ FVC=r x [ ∂∂ t∫vc❑

ρV r d ∀+∫sc

❑

ρ V r (V r . d A )]Considerando ∑ FVC que está conformado por la suma de fuerzas volumétricas, superficiales y de reacción mecánica; es decir:

∑ FVC=∑ F vol+∑ F ¿+∑ Fmec=∫vc

❑

ρ gd ∀+[∫sc❑

τ dA+∫sc

❑

p dA ]+∑ Fmec

Reemplazando en la ecuación de momento se tiene:

∑ M 0=r x∑ FVC=r x [∫vc❑

ρ gd ∀+∑ F¿+∑ Fmec ]= ∂∂t∫vc

❑

ρ (r x V r )d ∀+∫sc

❑

ρ ( r x V r ) ( V r . d A )

O lo que es lo mismo:

r x [∫vc❑

ρ gd ∀+∑ F¿+∑ Fmec]= ∂∂ t∫vc

❑

ρ ( r x V r )d ∀+∫sc

❑

ρ (r x V r )( V r . d A )

“Ecuación integral de momento angular o momento de la cantidad de movimiento”

Para aplicar la ecuación de momento angular al flujo de un fluido a través de una turbomáquina se considera que el volumen de control se halla justamente fuera del rodete (Volumen de control externo). Se ubica el sistema de referencia inercial xyz sobre el rodete, orientando el eje z paralelo al eje de la turbomáquina. El V. C. está fijo, tal que V r=V

Tomando momentos con respecto al eje de la máquina (eje z), y haciendo V=C=¿ velocidad absoluta del fluido, la ecuación anterior resulta:

( r x∑ F¿ )z+(r x∫vc

❑

ρ gd ∀)z+( r x∑ Fmec )z=∂∂ t∫vc

❑

ρ ( r x C )zd ∀+∫sc

❑

ρ ( r x C )z (C . d A )

Pero, los momentos originados por las fuerzas superficiales de presión y cortantes pueden despreciarse y el momento producido por el peso es nulo por simetría. Además considerando un flujo permanente, la ecuación anterior resulta:

∑M z=M=( r x∑ Fmec )z=∫sc

❑

ρ ( r x C )z (C .d A )

Desarrollando para las áreas de entrada y salida, usando coordenadas cilíndricas para descomponer los vectores:

M=− ρ∫A 1

❑

[r 1 eR x (C1 cosα 1 eθ+C1 cosα 1 eR ) ]CdA+ρ∫A2

❑

[r2 eR x (C 2cos α2 eθ+C2 cosα 2 e R ) ]CdA

M=− ρr1C1 cosα 1C1 A1+ ρr2C2 cosα 2C 2 A2

Pero, por conservación de masa se tiene que ρC1 A1+ρC2 A2=ρQ Entonces:

M=ρQ (r2C2 cosα 2−r1C1 cosα 1)

De los triángulos de velocidades se tiene que: C1cos α1=C1u y C2cos α2=C2u donde C1u y C2u son las proyecciones de C1 y C2 en dirección de u1 y u2 respectivamente.

Por lo tanto : M=ρQ (r2C2u−r 1C1u )

Donde:M : es el momento total comunicado al fluido por el rodete o “Momento Hidráulico”Q : es el caudal de bombeo o caudal turbinado, dependiendo del tipo de turbomáquina, considerando que el rodete tiene infinitos álabes para poder captar la totalidad del caudal.

La potencia intercambiada en el rodete o la potencia que el rodete le comunica al fluido es:

Pi=Mω= ρQω (r2C2u−r 1C1u ) con ω=πn30

rad /s

Donde: r1ω=u1 y r2ω=u2

Entonces:

Pi=Mω= ρQ (u2C2u−u1C1u )

potencia teórica que el rodete de una bomba le comunica al fluido.

TRIÁNGULOS DE VELOCIDAD

Los triángulos de velocidad para la turbina Pelton se muestran en la figura 4.1.

FIGURA 4.1: TRIÁNGULOS DE VELOCIDAD EN RODETE PELTON.

Donde:

V i: Velocidad absoluta del fluido.

u: Velocidad tangencial al rodete

V ri: Velocidad relativa

Donde los términos 1 y 2 corresponden a la entrada y la salida de la cuchara respectivamente.Según la figura 4.1.y relaciones trigonométricas se deducen las siguientes relaciones para las velocidades en el rodete.

V 1=u1+V r 1 (a)

V 2=u2−V r2 cos β2 (b)

Si se llama u a la velocidad del álabe, entonces u1=u2=u , luego:

V 1=u+V r1 (c)

V 2=u−V r2 cos β2 (d)Usando (d) se tiene que la potencia teórica se reduce a:

P=mu (V r1+V r2 cos β2 ) Además se debe considerar la pérdida por fricción en la cuchara (Δ), se muestra en la siguiente ecuación a partir de las velocidades relativas. Generalmente este término no se considera para éstos los cálculos y se agrega en el rendimiento mecánico de la turbina.

∆=1−V r2

V r1

Considerando la ecuación anterior se calcula la potencia.

P=muV r1 (1+(1−∆ ) cos β2 )

La velocidad con que es expulsado el fluido de la tobera C, se calcula según la ecuación:

C=k c√2g Hn

Donde el término k c corresponde al coeficiente de tobera, se utiliza generalmente el valor 0,97

La velocidad tangencial se calcula como sigue:

u1=ku√2 gH n

La potencia queda como:

P=m2g Hn ku (k c−ku ) (1+(1−∆ ) cos β2 )Donde la máxima potencia se obtiene para:

dPd ku

=0

Derivando,

dPd ku

=m2 gH n (kc−2ku ) (1+(1−∆ ) cos β2 )=0

La condición para las cucharas, para extraer la máxima potencia es:

ku=kc2

Esto se traduce en que la velocidad tangencial debe ser la mitad de la velocidad del chorro. Esta condición se observa del gráfico en la figura 4.2.

FIGURA 4.2: CURVA DE RENDIMIENTO EN FUNCION DE LA VELOCIDADTANGENCIAL

Por lo tanto el rendimiento hidráulico queda como:

ηh=m gH nk

2c (1+(1−∆ ) cos β2 )2ρg HnQ

Donde el término ku corresponde al coeficiente de velocidad tangencial, su valor se encuentra generalmente entre 0.44 y 0.48.

El diámetro del flujo d se calcula con la ecuación siguiente, ésta ecuación considera que el flujo que proviene de la tobera tiene una forma cilíndrica.

d=√ 4 Qπc

El diámetro del rodete D se calcula según la ecuación:

D=240dns

El diámetro de las puntas Dp , se calcula según la relación de Layere, mostrada en la ecuación siguiente:

D p=D+ 73d

VELOCIDAD ESPECÍFICA

ns=N [rpm ] .√W [CV ]

(H [m ] )54

ns <= 32 PELTON

La definición adimensional correcta de la velocidad específica (utilizada en bombas) incluye el caudal y no la potencia.

ns=ω.Q

12

(Hg )34

EMBALAMIENTO DE TURBINAS

Ocurre cuando el ALTERNADOR se desacopla de la RED por avería .El conjunto alternador-turbina gira sin carga y se acelera embalándose.

M=I dωdt ; M=I dω

dt=ρgQ H th

ω ; H th=

ωRg

(1−Kcosθ )( QSch−ωR)

Donde:M: par desarrollado por la potencia hidráulica al eje.

dωdt : incremento de la velocidad respecto al tiempo.

I : momento de inercia conjunto turbina alternador

Integrando:

∫0

t ρQRI

(1−Kcosθ )dt=∫ω0

ω dωQSch

−ωR

ω= QSch R

−( QSch R

−ω0)eρQR2

I(1−K cosθ) t

DIMENSIONES DE LA CUCHARA

Las cucharas son la parte más importante de la turbina y su diseño constituye un estudio de la fluido dinámica del problema.El ideal diseño de la cuchara sería que la tangente de la trayectoria relativa al chorro con relación al punto de ataque del rodete, sea tangente a la superficie de la cuchara en dicho punto. Esta situación se observa en la figura 5.1.

FIGURA 5.1: TRAYECTORIA DE LA CUCHARA

Se debe verificar que:

up=D p

D

El tiempo t0 es el le toma al fluido recorrer la distancia entre E E,

τ 0=E E ,

cEl rodete habrá girado un ángulo φ, y un punto en el diámetro D p habrá recorrido

H E,

τ 0=E E ,

c=H E ,

u1

D p

D

NÚMERO DE CUCHARAS DE UN RODETE PELTON

Para el cálculo del número de cucharas se recomienda utilizar la Tabla 4, la que depende de la velocidad η s específica y va desde 4 a 32.

TABLA 4: NÚMERO DE CUCHARASVelocidad específica ηs Número de cucharas z

4 40

6 37

8 34

10 30

12 28

14 26

18 22

22 20

26 17

32 15

También existe otra ecuación que permite calcular el número de cucharas, la siguiente:

z= πD(1.4−1.6 ) d

Otro método para calcular el paso máximo es la teoría de las trayectorias relativas.Para determinar el número de álabes del rodete se debe tener en cuenta la siguiente lógica, ninguna partícula de agua proveniente del chorro se escape de la rueda sin haber actuado en ninguno de los álabes.

La determinación se puede hacer considerando la trayectoria relativa

A a IV la que corresponde a la de la punta inferior del chorro.

Se sabe que el punto inferior del chorro recorre el tramo A A IV en el mismo tiempo que el álabe que se encuentra en el punto aIV llega al punto A IV , luego toda el agua que se encuentra entre el punto A y el álabe actúa sobre este, pero cualquier partícula que se encuentre antes de A pasará sin actuar sobre este álabe. Para impedir que esta partícula pase sin actuar sobre la rueda, basta colocar otro álabe en el punto A, cuando el anterior se encuentra en aIV . Debido a estas consideraciones deducimos

que el paso será a lo más igual al arco A a IV.

Por lo tanto, se debe cumplir la siguiente relación:Paso máximo (θ ¿≤ ángulo AOa IV

El número teórico de cucharas z es:

Z=2 πθ

ORIENTACIÓN DE LAS CUCHARAS DEL RODETE

Para determinar la orientación de las cucharas se utilizan las siguientes ecuaciones:

D0=DZ

(7.87(Dd )−26)

D0,=

D(5.3−0.12(Dd ))Z

Y se representa como se muestra en la figura 5.1

FIGURA 5.1: ORIENTACIÓN DE LAS CUCHARAS DEL RODETE

METODOLOGÍA DE DISEÑO

En primer lugar se calcula la potencia del recurso hídrico, luego se resuelven las ecuaciones de los triángulos de velocidad, para obtener el rendimiento teórico hidráulico del rodete de turbina Pelton.Luego se resuelven las ecuaciones para determinar las dimensiones de la turbina como el diámetro Pelton y diámetro de puntas, también las dimensiones de la cuchara. Estos parámetros son los de entrada al software para la realización de la segunda parte de la memoria.

METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN

La simulación se divide en dos partes, con el objetivo de disminuir el número de parámetros se realiza en primer lugar una simulación de la cuchara en dos dimensiones. Variando el ángulo de entrada y de salida de la cuchara entre 0 y 20°.

Para la simulación en 3 dimensiones se va a considerar los resultados de la simulación anterior y la iteración sólo se realiza sobre los ángulos óptimos encontrados anteriormente.

Para las iteraciones se varía el ancho de la cuchara (B) entre 12, 14 y 16 [cm].También se varía largo de la cuchara (L) entre 10, 11 [cm], estos parámetros se ven en la figura 5.2.

FIGURA 5.2: PARÁMETROS DE LA CUCHARA

Las combinaciones de los datos anteriormente mencionados se realizan a través de 4 casos, estos son:

Caso1:L=100 y B=120mm

Caso2:L=110 y B=120mm

Caso3:L=110 y B=140mm

Caso4:L=110 y B=160mm

CONDICIONES INICIALES DE DISEÑO

Para el diseño del rodete se imponen distintos parámetros fijos.

GENERALES

La velocidad nominal del rodete n, se impone de 750rpm. Se asume un rendimiento total de la turbina ηtotal de 0.7. También se elige β2 igual a 10°.El coeficiente de pérdidas por fricción (∆ ), se impone como 0,05 esto equivale a un 5% de pérdida por fricción.

MODELACIÓN

La modelación de la cuchara consiste en dos partes, en primer lugar la modelación en dos dimensiones (2D) con el software Ansys Fluent y luego en tres dimensiones (3D) con el software Ansys CFX.

GEOMETRÍAComo la modelación de la cuchara consiste en dos etapas, se consideran dos:

Caso 2D:En primer lugar se utiliza DesignModeler de Ansys para dibujar el paso del flujo por la cuchara. La figura 6-1 muestra la geometría utilizada, que representa el agua y aire que interactúa con la cuchara, aquí se muestra los nombres de las partes, para luego facilitar la descripción de las condiciones de borde utilizadas.

Caso 3D:

La geometría utilizada, por su alta complejidad se dibuja en el programa Autodesk Inventor y luego se procesa en CFX, el caso base se muestra en la figura 6-2, ya que para la modelación se utilizó 4 geometrías distintas, pero todas tienen los mismo componentes.

CONDICIONES DE BORDE

Se imponen cuatro condiciones de borde para el problema:

1. Entrada del flujo de agua a una velocidad de 27 m/s.2. La cuchara se impone como pared.3. Se impone una presión relativa de salida como 0, debido a que la presión de salida corresponde a la presión atmosférica.4. Condición de simetría, para disminuir el tiempo de iteración.

RESULTADOS:

TRIÁNGULOS DE VELOCIDAD

Considerando las ecuaciones anteriores se calculan las velocidades y potencia del rodete.

c=kc √2gH n=0.97√2.9,8.40=27,16 ms

u=ku√2 g Hn=0,48√2.9,8 .40=13,58 ms

ηh=˙mg H n kc (1+ (1−∆ )cos β2 )

2 ρgHnQ=89 %

DIÁMETRO PELTON

El diámetro del flujo d,

d=√ 4.0,035π .27,16

=4,05cm

Ph=13,72 kw

La potencia al eje,

Peje=Ph . ηtotal=13 ,72.0 ,7=9 ,6 kw

La velocidad específica η s en RPM, se calcula mediante la siguiente ecuación.

ns=n P12ejeH

−54

n=26,9

El diámetro del rodete se calcula según la ecuación

D=240dns

=0,36m

El diámetro de las puntas, se calcula según la relación de Layere.

D p=D+ 73d=0,45m

FORMA DE LA CUCHARA Y DIMENSIONES

El cálculo de las dimensiones se hace con las ecuaciones dadas y se presentan en la tabla 6.1.

TABLA 6-1: RELACIONES PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE LA CUCHARA

Relaciones empíricas valor Unidadesγ

101 Gradosm1

0,81 Cmm

4,05 CmB

1 CmL

10 CmT

3,5 CmS

4 cm

NÚMEROS DE ÁLABES DE UN RODETE PELTON

La figura muestra las trayectorias para el punto inferior del rodete.

TRAYECTORIA RELATIVA DEL PUNTO INFERIOR DEL CHORRO.

Como se ha calculado el valor de las trayectorias inferiores en el punto anteriorse obtiene que m:

m=51,5cm

Entonces, el número de álabes es 17.

ORIENTACIÓN DE LAS CUCHARAS DEL RODETE

D0=D(7,87 D

d−26)

−1

Z=13,9cm

D,0

D=

5,3−0,12 Dd

Z

D,0=8,98cm

El ángulo de inclinación es por lo tanto de 8,34°, se muestra en la figura

RESULTADOS DE MODELACIÓN

Luego de realizar los datos se calculan los elementos de comparación de los parámetros para obtener la mejor combinación.

CONSTRUCCIÓN

Como se puede observar, existen diferentes piezas que conforman la turbina Pelton que se deben producir mediante procesos de producción. Además, algunos componentes, como el inyector y los alabes del rodete, están sometidos a desgaste por la abrasión del agua que fluye por la turbina, por esta razón esta piezas se han construido en materiales con buenas propiedades antiabrasivas.

Conjunto de la turbina Pelton

CONSTRUCCIÓN DE LA CARCASA:

La carcasa es el lugar donde va alojada la turbina, su función general es de cubrir y soportar las partes fijas y móviles de la turbina, su fabricación debe ser de acuerdo a los planos específicos para la aplicación.

CONSTRUCCIÓN DEL RODETE:

Como se conoce que existen dos alternativas de diseño de rodetes de turbinas Pelton, una de ellas consiste en empernar cucharas a un disco, el cual se instala en el eje mediante un buje macizo, la segunda alternativa consiste en producir el rodete en una sola pieza fundida. Estas alternativas de diseño definen los procesos de producción de los rodetes.

Procedimiento.

La fabricación de rodete se inicia con la preparación de los modelos y moldes en una primera actividad. El modelo se elaboro de acuerdo a los planos teniendo en cuenta las tolerancias por contracción del material fundido para este caso se utilizo un modelo de los álabes construido en aluminio.

La unión de los álabes a la corona se hace mediante pernos. Esta unión se hace álabe por álabe, teniendo en consideración la correcta posición del ángulo establecido entre cada alabe, así como también teniendo cuidado de que los alabes mantengan su posición.

Después de unidos los alabes a la manzana del rodete, se procede a realizar el acabado final que consiste en pulir las partes del rodete que van a estar siempre en contacto con el agua, así mismo se maquina las partes que van a ir acopladas con el eje con su respectivo chavetero.

Cuando el rodete se encuentro totalmente acabado, entendiéndose por acabado el maquinado y pulido, se le realizo un balanceo dinámico, este balanceo se hizo en función a la velocidad de rotación que va a operar. El balanceo dinámico es necesario porque siempre en el proceso de fundición no hay uniformidad en la distribución del material de la colada, de esta forma se disminuyen las vibraciones y se incrementa el tiempo de vida útil de los rodamientos y otros componentes.

Modelo de alabe o cazuela de la turbina Pelton

CONSTRUCCIÓN DEL INYECTOR:

La construcción del inyector se realizo en diferentes componentes, esto con el fin de que el mantenimiento sea más accesible en todos los componentes.

Componentes del inyector

La carcasa o tramo recto del inyector se construye de acero st-37, diferentes componentes están construidos en bronce fosfórico y en acero inoxidable, con el fin de

disminuir desgaste y fricción en los componentes que están directamente en contacto con agua. El acople de los componentes del inyector se efectúo mediante pernos y asentados con empaques y sellos para evitar permeabilizaciones de agua.

Inyector

CONSTRUCCIÓN DEL EJE DE LA TURBINA:

El material del cual está construido el eje de la turbina es un acero inoxidable, la utilización de este tipo de acero es por el continuo contacto que tendrá el eje con el agua, y el acero inoxidable por su dureza es apto para trabajos especiales de rotación y flexión y elevada resistencia a la corrosión (DIN: 34 CrNiMo 6, Boehler VCN 150).

Eje de la turbina

Pelton

El maquinado, del eje se realiza de acuerdo a los planos de fabricación, para la construcción del eje, se debe considerar cada una de las indicaciones de los planos relativos a tolerancias en los diámetros y dimensiones de chavetas.

CONSTRUCCIÓN DE PRENSAESTOPAS:

La prensaestopa es un componente de la turbina Pelton utilizada para sellar las fugas de agua por los extremos del eje de la turbina.

Comúnmente se suele construir las prensaestopas de un material con alto contenido de bronce hasta el 90% (Cu 90% Zn 10%), el uso de este material se debe a su resistencia a la corrosión ya que este componente estarán en contacto con agua.

BALANCEO:

El balanceo de la turbina se realiza en diferentes etapas:

Nivelación de la mesa para balancear.

Montaje y señalamiento de la turbina en los puntos críticos.

Se quita peso en las cucharas según la ubicación de los puntos críticos donde exista más masa, esto se lo realiza utilizando un rotalin.

Turbina Pelton

balanceada

CONCLUSIONES

Teniendo en consideración los objetivos principales de esta investigación, nos hemos enfocado mas en la parte matemática dando a conocer su importancia en la aplicación, desarrollo y el modelamiento de sistemas; para así incentivar y reforzar la parte académica ,presentando técnicas y estrategias de solución de problemas en el campo de las turbinas, se ha hecho el mayor esfuerzo en la redacción de esta investigación tratando de abordar los temas con objetividad, claridad y sobre todo con simplicidad para que asi sea de mayor entendimiento . En tal sentido, se espera que resulte en un material de consulta que satisfaga los requerimientos del mismo.

La turbina pelton por su diseño y funcionamiento es la más apropiada para altas caídas y caudales pequeños, entonces dicho lo anterior optimiza y aumenta la potencia en la turbina.

Sin embargo, tiene un problema el cual es un tema económico, ya que la microgeneración presenta un mayor costo por Watt generado, lo que lo hace un negocio menos atractivo. Esto a su vez tiene como consecuencia menos incentivos económicos para realizar estudios sobre esta tecnología.

Existe actualmente un interés mundial por encontrar nuevas formas de generación de energía con un bajo impacto ambiental y bajo nivel de costo, es por tanto que surge el interés por el estudio de la microgeneración energética; especialmente en un país como Perú el cual es dependiente de los hidrocarburos.

RECOMENDACIONES

El estudio de las matemáticas aplicada al diseño de sistemas es un campo muy amplio. Siendo necesario continuar el trabajo de investigación y desarrollo de esta, puesto que es indispensable tener nociones básicas de su aplicación en todo tipo de campos.

REFERENCIAS

1. Turbinas hidráulicas (http://www.ing.una.py/pdf_material_apoyo/turbinas-hidraulicas.pdf)

2. Historia de las turbinas

3. Turbomaquinas (http://www.unioviedo.es/Areas/Mecanica.Fluidos/docencia/_asignaturas/mecanica_de_fluidos/05_06/10.TURBOMAQUINAS.pdf)

4. Calculo de ecuaciones diferenciales

5. Modelamiento de los parámetros de funcionamiento de la turbina hidráulica de flujo cruzado aplicando el método de elementos finitos(PUCP)

BIBLIOGRAFIA

http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/monografias/basic/maldonado_qf/ maldonado_qf.pdf

http://www.sapiensman.com/ESDictionary/docs/d5.htm

http://www.fi.unsj.edu.ar/departamentos/DptoCivil/gcuencas/pdf/papers/paper %20turbina.pdf

http://www.cec.uchile.cl/~jfiguero/histpelton.html

http://www.unioviedo.es/Areas/Mecanica.Fluidos/docencia/_asignaturas/ maquinas_hidraulicas_organizacion/TURBINAS_0.pdf

ANEXOS

B: ancho de la cuchara, cmD: diámetro Pelton, cmd: diámetro de chorro, cmn: velocidad de rotación, RPMg: aceleración de gravedad, m/s2

Hn: altura neta, mL: largo de la cucharaP: potencia, WQ: flujo volumétrico, m3/sRe: número de Reynoldsz :número de cucharasu: velocidad tangencial, m/sV: velocidad absoluta, m/s2

Vr: velocidad relativa, m/s2

α: ángulo de entrada, gradosβ: ángulo de salida, gradosη: rendimientoν: viscosidad cinemática, m3/sρ: densidad, kg/m3

τ :coeficiente de tensión superficial, N/m

La microgeneración se define para potencias entre 10 y 500 [kW].

Para el caso de la microgeneración, el rendimiento de las turbinas va entre 60% y 80%.

Entre las turbinas Pelton más grandes instaladas hasta el momento se encuentran las de Mont-Cenis (Alpes franceses) de 272000HP cada una, bajo 870 m de carga.

VISTA DEL RODETE

VISTAS DEL INYECTOR

VISTAS DEL ALABE O CAZOLETA

PLANO DE DISEÑO