diseÑo e implementacion de un filtro …bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10809/1/t529.pdf ·...

169
"DISEÑO E IMPLEMENTACION DE UN FILTRO DIGITAL EN UN COMPUTADOR DIGITAL" Tesis previa a la obtención del Título de Ingeniero en la especializacion de Electrónica y Telecomunicaciones de la Escuela Politécnica Nacional WILSON ANDRADE APUNTE Quito, Marzo 1983

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"DISEÑO E IMPLEMENTACION DE UN FILTRO DIGITAL

EN UN COMPUTADOR DIGITAL"

Tesis previa a la obtención del Título de

Ingeniero en la especializacion de Electrónica y Telecomunicaciones

de la Escuela Politécnica Nacional

WILSON ANDRADE APUNTE

Quito, Marzo 1983

V

CERTIFICACIÓN

Certifico que el presente trabajo ha, sido real^zacüq por el señor

Wilson ñndrade., bajo mi dirección'

DRECTOR DE .TESIS.

^

A mis hijos:

•*•£-

DIEGO ESTEBAN, MARÍA BELÉN

t

I N D I'C E

INTRODUCCIÓN

CAPITULO 1.-

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

CAPITULO 2.-

2.1

2.2

INTRODUCCIÓN AL.PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Introducción

Secuencias de Señales Discretas

1.2.1 Secuencia Periódica

1.2.2 Suma.y Producto de Secuencias

1.2.3 Multiplicación

1.2.4 .Secuencia Retardada " -

- Sistemas lineales de Desplazamiento Invariante

1.3.1 Convolución Suma

1.3.2 Estabilidad.

1.3.3 Causalidad . ' •

1.3.4 Ecuación Diferencia Lineal de Coeficientes

Constantes

1.3.5 Sistemas de Respuesta Finita (FIR)

1.3.6 Sistemas de Respuesta Infinita (IIR)

Representación de Señales Discretas en el dominio

de Frecuencia

1.4.1 Par de Transformadas de Fourier

1.4.2 Propiedades Simétricas de la Transformada

de Fourier

Muéstreo de Señales Continuas en el tiempo

Tabla 1.a

TRANSFORMADA Z. .

Transformada . Z Directa e Inversa

Propiedades

Tabla 2.a • '

Pag.

I

1

10 .

11

1112

13

15-

18-1

19

19

.25

29-1

Pag.

CAPITULO 3.- REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE FILTROS DIGITALES 30

3,1 Representación de Redes Digitales utilizando

grafos de 'flujo de la señal 30

Representación Matricial de Redes Digitales 34

Redes Básicas para Sistemas IIR,FIR 41

3.3.1 Sistemas IIR 41

3.3.2 Sistemas FIR 45

CAPITULO 4t-

4 .1

4,2.

4..3

4.4

CAPITULO 5.-

5,1

5.2

CAPITULO 6.-

BIBLIOGRAFÍA

ANEXO 1,-

ANEXO 2,-

ANEXO 3.-

DISEÑO DE FILTROS DIGITALES 54

Diseño de Filtros Digitales.IIR y FIR 54

4.1.1 Diseño de Filtros Digitales IIR '56

4.1.2. Diseño de Filtros Digitales FIR 71

Algoritmos para el diseño -de Filtros Digitales 79

Comparación de Filtros Digitales IIR,FIR 85

Efectos de la longitud finita de los registros

en el procesamiento digital de señales 86

IMPLEMENTACION DE UN PROGRAMA PARA EL DISEÑO DE

UN FILTRO DIGITAL " _ 102

Descripción de los programas desarrollados 103

Aplicación de los programas y modo de empleo . 117

5..2,1 Aplicación de los programas 117

5.2.2 Modo.de Empleo 118

CONCLUSIONES 122

Listado de los programas

Ejemplos de Aplicación-

Manual de Utilización del Programa

-Í N T R O D P C C I O N

El procesamiento -de señales digitales está relacionado con señales y

sistemas discretos en el tiempo,- que deben ser procesados para extraer la

información que portan, las técnicas de procesamiento generalmente consis

ten en transformar una señal en otrs que en algún sentido es más fácil -

de manejar que la original, '• '

Siendo el filtro un procesador de señales, -que modifica la señal de

entrada y obtiene a la salida una señal que .reúne ciertas características

deseadas, es evidente su importancia en el procesamiento de la señal. .

• ' ; . . ' . •Dependiendo.de la señal se puecie utilizar "un filtro analógico o un

filtro digital; 'el filtro digital procesa señales digitales , realiza la

misma función que el filtro analógico con señales analógicas, pero con -

la ventaja de permitir la solución ¿e las dificultades que presenta en -

muchos casos la implementacion de ur. filtro analógico , mediante el uso -

de algoritmos a ser procesados en m? computador digital.

Al diseñar un filtro digital, al objetivo es el de determinar su

función de transferencia J la cual es una función racional en Z en el -

' • • • ' • - 1caso de filtros recursivos (IIR) o es un polinomio en Z en el caso de

filtros n o recursivos (FIR) . . ' ' . . •*

En el. diseño de un filtro se presentan dificultades al tratar de ' ob_-

tener las carácter i ísticas de diseño deseadas por lo que frecuentemente

II

se debe recurrir a algoritmos de diseno que permita.n la obtención de di-

&fj chas características^-El presente trabajo tiene por objeto brindar facili<,/ ' -

"X**' dades para el diseño de un filtro digital no recursivo (FIR).

En el Capítulo Primero se presenta un conjunto de conceptos sobre se

• . nales discretas que conducirán a la definición de un sistema lineal de -

desplazamiento invariante, que es la base para la definición de los siste

mas FIR, como también lo es para la representación de las señales en el -

dominio de la frecuencia que posibilitan la definición de la Transformada

de Fourier,

La transformada Z ha sido tratada exhaustivamente en otras Tesis, en

- el Capítulo Segundo se realiza un breve estudio de los conceptos y propie

7*s dades de la Transformada 2 en cuanto están relacionadas con el procesa-fi» •

miento de las señales digitales.

En el Capítulo Tercero se trata sobre la representación de las seña-

les digitales utilizando grafos de flujo que originan ecuaciones lineales

que facilitan la representación matricial de las señales digitales. Tam-

bién se presentan las principales redes básicas tanto para los sistemas -

digitales cuya respuesta a una función impulso unitaria es infinita (IIR)

como para los sistema digitales cuya respuesta a una función impulso uni-

taria es finita (FIR); redes básicas que permiten obtener elementos de jui

ció para .el escogitamiento de una de las dos clases de sistemas digitales.

i, . .' .7 ' . En el Capítulo Cuarto se presenta-el diseno de filtros digitales IIR

III

•faciendo uso de los Diferentes procedimientos de transformación que exis-

ten para obtener el filtro digital a partir de un filtro analógico.

Se presentan también los métodos más'comunes de diseño para los fil-

tros digitales FIRr en especial el método de la mejor aproximación que

sirve como base para el desarrollo del programa .a implementarse.

Se hace mención a ciertos algoritmos que se pueden emplear tanto'pa

ra el diseño de filtros digitales IIR, como para el diseño de filtros da

gitales FIR. • -

Se realiza una comparación entre los filtros digitales IIR y FIR, al

igual que se presentan los efectos que causan en el procesamiento digital

£ . de señales la longitud finita de los registros, como- son los errores .de

. ' cuantizacion- • .

En el Capitulo Quinto se presenta una descripción del programa que

se basa en. el método, de la mejor aproximación presentado en el Capítulo

. • . Cuarto, el cual ha sido desarrollado en lenguaje FORTRAN IV y catalogado

en el .sistema IBM 370/125 de la "Escuela Politécnica Nacional.

El programa ha sido elaborado para permitir el diseño de un filtro

digital (FIR) selectivo de frecuencia con fase lineal , que contenga 10

bandas de frecuencia, una longitud de filtro igual a 128; permite obtener

'' . . . la respuesta a la función impulso unitaria, obtener la respuesta de fre-

'**' 'cuencia del. filtro y su grafización.

En base a. un ejemplo £e aplicación se hicieron variaciones en. los p_a_'"Í«

V rámetros de entrada y 3,os resultados obtenidos permitieron demostrar laíp- . •

facilidad, y flexibilidad %ue tiene el programa, para variar los parámetros

de entrada lo que permite contar con más elementos de juicio para obtener

- . . u n mejor diseño/ . . . .

Finalmente deseo expresar -mi agradecimiento por la exelente labor

realizada como Director de Tesis al señor Ing. Jorge Villa, quien no so-

lamente atendió mis inquietudes, colaboro y me orientó en el desarrollo'

de la Tesis, sino que supo brindarme su sincera amistad por lo que com-

promete mi gratitud.y reconocimiento.

O Deseo también dejar-constancia de mi agradecimiento a la Escuela P6

" - . ^ .£v . • litecraca. Nacional, a. todo su personal de Profesores quienes me brindaron

sus enseñanzas.

./ CAPITULO PRIMEROV

1, INTRODUCCIÓN AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

1..1- INTRODUCCIÓN '

Una señal puede definirse como una función que lleva información acer_

ca del estado o comportamiento de un sistema físico.. Dichas señales son

representadas matemáticamente como funciones de una o más variables inde-

pendientes, estas variables pueden ser continuas o discretas.

ót Las señales discretas se definen en tiempos discretos, o sea que la va

r-iable independiente puede tomar únicamente valores discretos, su represen

tación está dada como una secuencia de números. Señales digitales son aque

lias en que tanto el tiempo como la amplitud son discretos.

Estas señales digitales deben ser procesadas para extraer la informa

ción que portan,-por lo que el desarrollo de las técnicas de procesamiento

de la señal y de los sistemas son de gran importancia. Las técnicas de

procesamiento generalmente consisten en transformar una señal en otra que

en algún sentido es más fácil de manejar que.la original. Los sistemas de

procesamiento de la señal se refieren a sistemas discretos en el tiempo,

*[ - en los cuales la entrada y la salida son señales discretas en el tiempo.

Y sistemas digitales son aquellos en los cuales la entrada y la salida son

señales digitales.

Estos sistemas facilitan el desarrollo de programas (SOFTWARE)• que

pueden ser implementados con gran flexibilidad en un computador digital,

o con elementos discretos o integrados (HARDWARE) y con ellos se pueden s_i

mular sistemas analógicos o realizar la transformación de una señal cuya

realización con elementos analógicos o discretos sea muy difícil o imposi-

ble.

Las señales discretas -pueden obtenerse por muestreo de una señal con

tínua, o generarse directamente por algún proceso discreto.

Cabe señalar que no todas las señales discretas se obtienen del mues_

treo de señales continuas en el'tiempo y que tampoco son simples aproxima

'ciones de los sistemas analógicos, por lo que se han desarrollado princi-

pios fundamentales de las señales discretas y de sus sistemas de procesa-

miento, en el presente trabajo-se hará referencia a señales unidimensiona-

les y a sistemas lineales discretos en el tiempo de desplazamiento iñva

riante.

1.2, .SECUENCIAS DE SEÑALES DISCRETAS

La teoría de sistemas discretos en el tiempo se realiza con el proce-

samiento de señales que son representadas por secuencias. Una secuencia de

números "x", en la cual el enésimo elemento es x(n) se representa por:

x = (x(n)>, ~co < n < co (1.2,1)

Esta secuencia se representa en la figura .1.1, es importante anotar

t

que x(n) se define solamente para valores enteros de un" y que para un va

lor no entero de "n" la secuencia x(n) no es igual a cero»

XCn)

X(0)

XC-I) X(l)

-5 -4 -3 ~Z -I O | 2 3 A 5

(Fig, 1.1)

Entre los tipos de secuencia más importante se pueden señalar los si

guientes: . . . '.

a.~ Secuencia Impulso.S(n), o secuencia impulso unitaria

se define como: • • . •

(n) =0,n # O

l,n =7 O(1.2,2)

Siendo su representación gráfica la siguiente:

(Fig. 1.2)

»**

</b.- Secuencia Paso u(n)

se define por;.

Y su representación es:

1, n > O

O, n < O(1.2.3)

(Fig. 1.3)

c.- Secuencia Exponencial Real

Sus valores son de la forma:

x(n) - a , donde "a" es un numero real

Gráficamente se representa pon

(1.2.4)

(Fig. 1.4)

d.- Secuencia Sinusoidal

Sus valores son de la forma:.

x(n) = A eos (won -f- <)))

Su representación es;.

(1.2.5)

L(Fig. 1.5)

En relación a las secuencias es importante anotar los siguientes con-

ceptos; • . . ' •

1.2.1: Secuencia Periódica, x(n) es periódica si para todos los va-

lores de "n" se cumple queL • '

x(n) •= x(n + N) donde N es el período

1.2.2: Suma y Producto de Secuencias. El producto o la suma de se-

: cuencias "x" y "y" se definen corno el producto o la suma mués

tra a muestra respectivamente: ' . '

x.y = x(n) , y (n)

• x -f y - x(n) + y (n)

1^2.3 Multiplicación La multiplicación de una secuencia por un nú

mero "a" se define cornos

a, x = x(n)

1.2,4 'Secuencia Retardada. Una secuencia "y" es retardada o despla-

zada de una secuencia "x" si sus elementos toman los valores

de:

y (n) - x(n-n ) donde nQ es un entero

Una secuencia arbitraria puede ser expresada como la suma de muestras

unidad escaladas y retardadas, cuya expresión sn forma general es:

x(n) = £ x(k)ó(n-k)k=-«

(1.2.6)

Ejemplo:

x(n) = a _6(n+5) + a ó (n+1) + afifn-1) *t-a,.6(n-3)~b —J. +_L 4-3

y su gráfico es:

Xln)

-6 -5 -4 -3 -2 -1

I 3

0 2 4 S 6

(Fig. 1.6)

1,3, SISTEMAS LINEALES DE DESPLAZAMIENTO INVARIANTE. . -

' .Un sistema se define matemáticamente como la transformación única que

relaciona a la secuencia de entrada con la salida. Se expresa como:

y(n) = T[x(n)] • " ' (1.3.1)

Gráficamente se representa por: - . ' . • •

x(n)

(Fig. 1.7) ' -. . -

Entre las clases de sistemas discretos se tienen los sistemas linea-' • _

les de desplazamiento invariante. Un sistema lineal está definido por el

principio de superposición, el cual expresa que: ' .

T[ax1(n) + bx2(n)] = aT[x (n)] + bT [x2 (n) ]' = ay1 (n) + by2 (n) (1.3.2)

donde: x (n) .,. x (n) entradas a un sistema..

y (n) r y0 '(n) . respuestas del sistema si a la entrada

• se aplica x y x , respectivamente.

a , b - . constantes arbitrarias.

De la ecuación (1.. 2.. 6) se desprende que un sistema lineal puede estar

definido por su respuesta a una secuencia impulso unitaria; si se define

h (n) como la respuesta del sistema a una secuencia Ó (n - k) para n = k,K.

de las ecuaciones (1\2..'6) y(1.3..1). se obtiene lo siguientes

y(n) - T[Z x(k)ó(n - k)

= Z x(k)T[6(n - k)]

y(n) = 2 x(k)h (n) • (1.3.3)

1.3.1 Convolucion Suma. Un sistema de desplazamiento invariante se

caracteriza por la propiedad de que si "y(n)" es la respuesta

, a ""xín)11^ entonces "y (n - k) " es la respuesta a "x(n - k) "

'r*^. siendo k un entero positivo o negativo/ en consecuencia si

"h (n) " es la respuesta a "Ó(n - k) " es "h(n - k) " por lo que

la ecuación (1.3.3) se transforma ent

co

y(n) = I x(k)h(n - k) (1.3.4)

Esta ecuación se la conoce como "CONVOLUCION SUMA".

Una clase más restringida de sistemas lineales de desplazamien

to invariante se tiene con las definiciones de estabilidad y

.t causalidad.

i1 1.3.2 Estabilidad. Un sistema es estable si es que cualquier entra-

da finita origina una salida finita.

Los sistemas lineales de desplazamiento invariante son esta-*» • ' . • ' '

y . bles si se cumple quer.

h(k) ' < <» (1.3.5)

1.3. ,3 Causalidad. Un sistema es causal si- es que la salida para

. n = nQ depende solamente de los valores aplicados 'a la entrada

en n é HQ.. . . '•

1 Los sistemas de desplazamiento invariante son causales si es

que la respuesta a una excitación impulso 'unitaria es ' igual a

cero para valores de n < o. .

h(n) = O, para cualquier n < O.

1.3, .4 Ecuación Diferencia Lineal de Coeficientes Constantes. Exis-

te una subclase de sistemas lineales de desplazamiento inva-

riante., que se define por la ecuación diferencia lineal de

coeficientes constantes, de enésimo orden de la siguiente fo_r

ma :.

N . ' M .£ aky(n - k) = 2 brx(n - r) ' -(1.3.7).k=0 ' . . r=0 . . '

' '• Un sistema que satisfaga esta ecuación es un sistema lineal

~¿-' _ de' desplazamiento invariante siempre -que se defina la compo-? • .

nente que cumple la condición de una ecuación diferencia homo

10

geneay o sea que el lado derecho de la ecuación diferencia es1*/ igual a cero.

Por ejemplo, si el sistema es causal se deben especificar las

condiciones iniciales de tal manera que si .x(n) = O, para

n < nQ/ se tiene que y (n) = O para n <• n0.

Si se asume que el sistema es causal, la ecuación (1,3.7) pro

porciona una relación explícita entre la entrada y la salida,

la misma que es:

N My(n) = -£ -k y(n - k) +• I —^ x (n - r) (1.3,8)

k=iaO r=0.aO

,ts

^ Esta ecuación indica que el enésimo elemento de la señal deCí

salida puede ser calculado en función del enésimo elemento de

'la señal de entrada, de los N elementos anteriores a n de la

salida y de los M valores anteriores a n de la entrada,

Si a un sistema lineal de desplazamiento invariante se le exci

ta con una secuencia impulso unitaria se puede tener una res-

puesta de duración finita (FIR) o de duración infinita (IIR).

1.3.5 Sistemas de Respuesta Finita (FIR). Estos sistemas están defi

nidos por la ecuación:

C M/ y(n) - • [ 2 brx(n - r) ] ' (1.3.9)

11

Si en la ecuación (1,3^8) se considera la condición de'que*r* •

y N = O se obtiene una ecuación similar a la (1-3.9) y•al mismo

tiempo se observa'que el cálculo de y(n) no necesita de algu-

nos valores-muestras de la salida previamente calculados, por

lo que a los sistemas FIR se los conoce también como sistemas

NO RECURSIVOS,.

• 1T.3,.6' \s de Respuesta Infinitad. Los sistemas I IR están definí

dos por la ecuación (1.3.8) en la que se observa que para el

cálculo de "y(n)n se requiere de algunos valores-muestras de

la salida previamente calculados, por lo que a los sistemas

IIR se los conoce como sistemas RECURSIVOS.n . -.c • • • .~ 1,4, REPRESENTACIÓN DE SEÑALES DISCRETAS EN EL DOMINIO DE FRECUENCIA

Una propiedad fundamental de los sistemas lineales de desplazamiento

invariante es que la respuesta,, en estado estacionario, a una entrada sinu

soídal es sinusoidal con la misma frecuencia pero con-amplitud y fase de-

terminadas por el sistema.

Esta propiedad permite que la representación de las señales sea en

términos de funciones sinusoidales o de exponenciales complejas. Si es. que

la secuencia aplicada a la entrada de un sistema lineal de desplazamiento

./ . invariante es x(n) = e , -« < n < OT, utilizando la ecuación (1.3.4) sev* ' • . • •

obtiene:

12

/ N r v, n-\n -y(n) = 2 h(k)' e (1.4,1)V k=-«»

donde se define la "respuesta de frecuencia del sistema" como:

H(ejW) '= I h(k) e jWk . (1-4.2)

Esta es la respuesta de frecuencia del sistema cuya respuesta a una

excitación impulso es "h(k)", adicionalmente es una función continua y pe-

riódica en "w" con período 2fr-

•jw _,1.4.1 Par de Transformadas de Fourier. Como H(e ) es una función

periódica, puede ser representada por una serie de Fourier,

donde los coeficientes de Fourier corresponden a "h(k)":

h(k) =^-/T H(ejW) ejWkdw ' (1.4.3)2ir -ir

. H(eW) = z h(k) e wk (1.4.4)k=-«)

Siendo (1.4.4) la transformada directa de la secuencia "h(k)"

y (1.4.3) la transformada inversa.

La condición para que exista esta representación es la de que

la serie expresada en (1.4..4) converja.

El hecho de que una secuencia pueda ser representada como la

c

13

superposición de exponenciales complejas es de gran importan-' ' ' ' .

cia en el análisis de sistemas lineales de desplazamiento inva

riante.., esto se debe al principio de superposición y a que la

respuesta del sistema a cada exponencial compleja está determi

nada por (l.'4.4) .

Cabe anotar que la respuesta del sistema a una secuencia

(1.4.4) no está limitada a la secuencia excitación impulso uni

dad, sino que puede aplicarse a cualquier secuencia que cumpla

la condición de convergencia.

Por lo que una -secuencia "x(n)" tiene el siguiente par de

transformadas de Fourier: • •

X(eW) = Z x(n) e . (1.4.5)

x(n) = -JL /° x(ejW) ejwndw . (1.4.6)2ir -00

1.4.. 2 Propiedades Simétricas de la Transformada de Fourier. Una s_e

cuencia x(n) puede ser expresada como la suma de una. secuencia

conjugada simétrica y de una secuencia conjugada antisimétrica,

cuya ecuación es;- • ' •

x(n) = xe(n) + xQ(n) ' (1,4. -7)

donde:

x (n) = -Hx(n) +x*(-n)] (1,4.8)e

14

x (n) = Hx(n) - x*(-n)] - .(1.4.9)

Es importante anotar que una secuencia conjugada simétrica cum

pie la siguiente condición:;

x (n) - x* (-n)e e

y que una secuencia conjugada antisimétrica satisface la condi

ción:

x (n) = -x* (-n)o o

Igualmente una transformada de Fourier X(e ) puede ser descorrí

,, _^puesta en la suma de una función conjugada simétrica y una fun

cion conjugada antisimétrica, siendo su ecuación:

X(eDW) = X(e3W) + X(e3W) (1.4.10)

donde:.

X (eDW) = i[X(eDW) + X*(e Jw) ] (1.4.11)

pw) ] (1.4.12)

Anotando que la función conjugada simétrica cumple la siguien.

te condiciónr

X (e) = X*e e

15

y la feic'io¡v conjugada antisiinetrica satisface la condición:

Lo anterior sirve de punto de partida para el desarrollo de

las propiedades simétricas de la transformada de Fourier, pro

piedades qu& son presentadas en la Tabla 1.a.

1,5.. MUESTREO DE SEÍí&LE CONTINUAS" EN EL TIEMPO

A menudo las señaléis discretas en el tiempo se obtienen de las seña-

les continuas por isedio ae muéstreos periódicos, por lo que es importante

analizar de que manera La secuencia así derivada está relacionada con la

s j señal original T

Se considera la serbal analógica "x (t) " la misma que tiene la siguiena

te representación F

(1-5.1)

X (ÍÍ2) = f° x (t) e~jfitdt (1.5.2)a -t» a

Si se realiza el moestreo periódico, con período T, a la señal x (t)a

se obtiene la secuencia x (r.' , igual a:

x(n) = x (nT)a

De (1.5.1) se tiene; .

16

x(n) = x (nT) =~f X_ (jfl) e dfi (1,5.3)/ a 2ir -ro a

De la transformada de Fourier para una secuencia discreta en el tiem

po "x(n)n' se obtiene r

x(n) =-^/W X(ejW) ejWndw ' (1.5.4)2 ir -ir •

. Para relacionar (1-5.3) con- (1.5.4) es conveniente expresar la ecua-

ción (1.5.3) como:. '•

» (2r+l)TT/T .„ .x(n) = ~ 2 / Xa(jfi) ej ^dfi .

^ r=-o, (2r-l)7T/T

Por un cambio de variables se obtiene:

c° 7T/T1 ' , .^ .2irr, D^nT D2irrn.

x(n) = - - 2 / Xa(3fi + 3~-) ej ej

Intercambiando el orden del sumatorio y de la integración se obtiene:.

7Í/T ra-

x(n) =

. -ir/T

Si ti = V7/T se obtiene:

r^ r1 v v ^w -4- -;2irr£ ^ 2 Xa^ + ^~í")

Al relacionar con la ecuación (1.5.4) se concluye:

X(eW) = Xa(j + j ) • d.5.5)

17

La ecuación (1*5.5) expresa la relación entre la transformada de Fou-

rier de la señal analógica y la transformada de Fourier de la secuencia

derivada por muestreo,

Es razonable esperar que la secuencia analógica llxa(t)" pueda ser 're

cuperada de las muestras "xa(nT)'n, por medio de una formula de interpola-

ción, para lo cualr

1X(e ) =-Xa(jfl) -ir/T <.fl á ir/T (1.5.6)

Combinando (1.5.6) con (1.5.1) se obtiene:

xa(t) =-7T/T

Puesto que:

= Z

sigue que:

7T/T °°

xaCt) =~~f [ T x• . -ir/T k=-ra

Intercambiando el orden del sumatorio y de la integral, y evaluando

i • esta última se concluye que:

oo

x ít) = E x (kT) 5en [(7f/T) (t"kT)] (1 5 7): Xa(t) a CTT/T) (t-kT) U-b./)

18

Con la ecuación (It5,7) se puede realizar la interpolación para recu-

perar la señal continua "xa(t)11 de sus muestras,.

TAB

LA

1.a

SE

CU

EN

CIA

TR

AN

SFO

RM

AD

A

DE

P

OU

RIE

R

x(n

)

x*

(n)

x* (

-n)

Re

[x(n

)l

jlm

[x

(n)

x

(n)

[co

nju

gad

a si

métr

ica

d

e x

(n)]

e

x

(n)

[co

nju

gad

a an

tisim

etr

ica

d

e x

(n)]

Si

x(n

) es

real

x (n) [parte par de x(n)]

xn(n) [parte impar de x (n) ]

X(e

3W

)

X*

(e~

jW)

X*

(ejW

)'

Xe

(e

) [c

on

jug

ada

sim

étr

ica

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j w

jwX

Q

(e

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ica

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Re

[X(e

jW)]

Jim

[X

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jw

— ~i

w ,-

X(e

. }

=

X*

(e

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jug

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"i w

— i w

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[X(e

J )]

=

Re

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J

)] [

part

e re

al

es

par]

jw

~jw

Im[X

(e

)]

=

-Im

[X(e

}]

[p

art

e

imag

inari

a

es

imp

ar]

"i w

~ i w

X(e

)

=

X(e

)

[mag

nit

ud

es

p

ar]

í W

j V7

arg

[X(e

)]

=

-arg

[X(e

J

)]

[fase

e

s im

par]

Re

[X(e

jW)]

OD I H

jlm

[X

(eiw J

Por." ser un. tema- ampliamente tratado- en otras tesis, se hará re.feren

cia de lo* necesario 'en. el presente trabajo .. • •

2.-1.. o^wSESKMarj&'Z1 BEKECT& E INVERSA

La1- generalización de la transformada de Fourier p'ara señales y sistiQ

mas discretos en el tiempo se conoce como la transformada z, la cual es

muy importante para el análisis y para la representación de sistemas linea

les de. desplazamiento invariante discretos en el tiempo.

La transformada Z de una secuencia x(n) se define como-.

X(z) = .1 x(n)z (2.1,1)n=-CQ " '

donde Z es una variable compleja, .

Si en la ecuación _ (2. .1.1) se expresa la variable compleja 2 en fprma

polar , se obtiene la siguiente ecuación: '

X(reDW) = £ x(ri)r n e ^ " - (2.1.2)

19

20

Esta ecuación puede ser interpretada como la transformada de Fourier

de x(n) multiplicada por una secuencia exponencial.

Las series de potencia que representan la transformada de Fourier no

convergen para todas las secuencias, similarmente la transformada Z no con

verge para todas las secuencias o para todos los valores de Z.

El conjunto de valores de 2 para los cuales la transformada Z de una

secuencia converge, se conoce como la región de convergencia.

La transformada de Pourier converge cuando la secuencia es absoluta-

mente sumable, si este principio se aplica en la ecuación (2.1.2) ,, se ob-

tiene r. ' .

'-nr •< «> (2.1.3)

La ecuación (2,1.3) permite observar la posibilidad de que la trans-

formada Z de una secuencia converja aún cuando no converja su transformada

de Fourier. • •

En general las series de potencia que representan la transformada Z

convergen en una región anular en el plano Z. Esta región se define por:

R < Z < R- - (2.1.4)—. -v-t-Jv~

En la cual R puede ser un valor tan pequeño como cero y R puedeX— - XT~

ser un valor tan grande como infinito. En esta región la transformada Z

es una función continua. . •

21

Cuando la transformada 2 es una función racional,, se 'tiene ' una rela--

clon de polinomios en Z.. Las- raíces del polinomio— numerador son valores'

de Z para los cuales la transformada. Z es ig.ual a cero y se los conoc.e co

mo los "CEROS'r de la transformada z;,~ las- ra£ces del polin.omio-den.omi.nad.or

son aquellos valores de z: para los 'que- la. transformada 3. es igual a lnfin.1

to, se los conoce como los "fOLQS1" de la transformada Z..

Por definición la transformada Z no converge en un polo, en consecueix

cia no existen polos en el interrior de la reg-ion, de convergencia.. Las pr.q

piedades de la secuencia x (n) determinan la región de convergencia de.- X (z) ,

al respecto se consideran los siguientes casos:

a..- Secuencias de Longitud Finita

La secuencia x (n) esta definida por valores enteros finitos tales co-^ '

mo n- y n :

n2 ,X(z) - Z x(n) z • (2.1.5)

n~nl

Su región de convergencia es: O < |z < »

b.- Secuencia de Lado Derecho

Si la secuencia x (n) cumple que: x (n) = O para n < n-^, se tendrá:

co

X(s) = I x(n) z~n (2.1.6)n=nx

Su región de convergencia es el exterior de un círculo, definido por:

R <x-

22

Gráficamente es:

PLANO Z

REGIÓN DE

CONVERGENCIA

(Fig. 2.1)

c.~ Secuencia de Lado Izquierdo

Si la secuencia x(n) cumple que: x (n) = O para n > n9, entonces

X(z) = £ x(n) zn=-co

(2.1.7)

Su región de convergencia es el interior de un circulo, definido por:

< R

Gráficamente es:

REGIÓN DE

CONVERGENCIA

(Fig. 2 .2)

P L A N O Z

23

ds- Secuencia de dos Lados

Si la secuencia x(n) se extiende desde: n = -« a n = «, se tiene que:

X(z) = S x(n) z-n

_ -1= E x(n) z + Z , x(n) z (2.1.8)

Su región de convergencia es común si es que R_ _ < R , definida por

R < 2 < RX-

Gráficamente es:

PLANO Z

REGIÓN DE

CONVERGENCIA

(Fig. 2.3}

Se puede obtener la secuencia discreta x(n) a partir de su transforma

da Z,, este proceso es el que se conoce como la.Transformada Z Inversa.

Transformada Z Inversa

La transformada inversa puede obtenerse cíe la siguiente ecuación:

x(n) = ——r— § x(z) z dzc (2.1.9)

24

donde c es un contorno cerrado en sentido contrario a las manecillas del

reloj en la región de convergencia de X(z),

La integral del contorno es calculada usando el teorema del residuo,

el mismo que da la siguiente relación:

x(n) = £ [residuos de X(z) 2 en cada uno de los polos en elinterior del contorno c]

En general X(z) Z es una función racional de 2, por lo que puede

ser expresada como:

n-1 X(Z)X(z) Z = • (2.1,10)

Para un polo de primer orden se tendría:

_ . (Z-ZQ) x(z)Residuo [X(z) Zn ] = m [• ] = x(zn) (2.1.11)

Para polos de orden s:

,s~l (Z-ZQ) xíz)r r , n d _ u ^ ,n ^ ^ „.Residuo [X (2) 2 = - - — 7 - — - [ - - — ] (2.1.12)

(S-1) í Z- Zn S-l SU -

Si la transformada 2 se expresa en series. de potencia, el valor de la

secuencia x(n) -es "igual al coeficiente del termino z . Así, la expansión

en series de potencia de la transformada 2, expresada como una función ra-

C cional/ se logra por la división entre el numerador y el denominador.

Se presenta el siguiente ejemplo:

25

- az-1 '

Su división da como resultado:

> a

-1 2 -2X(z) - 1 + az + a z . + n -n

a z

Siendo su transformada inversa- •

x(n) = a u(n)

Otra técnica utilizada para calcular la transformada Z inversa es la

expansión en fracciones parciales de la transformada Z y se identifica la

transformada inversa de 2 de los términos más simples. Por ejemplo si

X(z) es una función .racional, con el numerador de menor grado que el deno-

minador, se puede expresar en fracciones parciales de la siguiente manera:

A

1 Ik=l !k

donde los valores z. son los polos de X(z) y los valores A son losk - - J k

dúos de los polos.

2.2. PROPIEDADES. f) 099^0\j \j & & o \j

Se anoto que en la región de convergencia no existen polos ya que la

transformada Z'no converge en un polo, a lo que.se añade que la región de.

convergencia está limitada por polos, por el valor cero o por el valor in

26

finito en-el plano Z, .

Las principales propiedades de la transformada Z son:

a.- Linealidad

Si se consideran dos secuencias x(n) y y(n), con transformadas 2 igua

les a X(z) y Y(z) respectivamente, se tiene;

z[ax(n) + by(n)] = aX(z) -fby(z), R < z < R, (2.2.1)— -f-

b.- Desplazamiento de una secuencia

Si se tiene una secuencia x(n), con su transformada Z igual a X(z),

para una secuencia x(n + n ) se tiene:

z [x (n + n0) ] = z ° X (z) , R __ < R(2.2.2)

c.~ Multiplicación por una secuencia exponencial

Si la secuencia x(n) se multiplica por una secuencia exponencial an7

donde "a" puede ser compleja, se tiene:

z [a x(n) ] = X(a z) ,

d.- Diferenciación de la Transformada

Se tiene:

z Cnx(n) ] - -z

R <x-

d x(z)dz

•e.- Conjugada de una Secuencia Compleja

De la definición de la transformada Z se tiene:

(2.2.3)

(2.2.4)

27

z[x*(n)"]' = .X*(z*) , R < z <'R (2.2.5)x- x+.

f..- Teorema del Valor Inicial

Si x(n) es cero para n < O, se tiene i

x(0) = lim X(z) . (2.2.6)z-t03

g..- Convolucion de Secuencias . "

Si w(n) es la convolucion de dos secuencias x(n) y y(n), la transfor

mada Z de w(n) es igual al producto de las" transformadas de x (n) y

Y(n). ' ' ,

co

Si w(n) = S x(k) y (n - k)

se tiene:

W(z) = X(z) Y(z) ; R _ < z < R - • t R _ < z < R_ (2.2.7)

h.- Convolucion Compleja . . .

La transformada 2 del producto de dos secuencias puede ser formada

usando la convolucion compleja.

Si . . w(n) = x(n) y (n) .

se tiene:

W(z) =^~ § X(v) y(-) v^dv (2.2.8).

donde c'2 es un contorno cerrado en la región común de convergencia de

28

X(v) y Y(z/v) v.

Para que (2.2,8) sea similar en forma a la convolución se realizan

las siguientes sustituciones;

j6 . JAv = pe , z = re T

en consecuencias

La principal dificultad al usar este teorema es el de determinar opa-

les polos están en el interior del contorno de integración.

;**• . '

v Es importante anotar que el sistema lineal de desplazamiento invarian

te puede ser definido por la transformada 2 de la respuesta del sistema a

una excitación impulso unitaria, conocida como. "FUNCIÓN DEL SISTEMA" H(z),

en consecuencia la relación entrada - salida del sistema es:

Y(z) - X(z) H(z)' (2.2,10)

La función del sistema evaluada sobre un círculo cuyo radio sea la

unidad, esto es: |z = 1, es la respuesta de frecuencia del sistema.

El sistema es estable y causal siempre que la región de convergencia

incluya al círculo unidad.

V -.. En el caso de sistemas definidos por una ecuación de diferencias li- '

neal de coeficientes constantes, se tiene que la función del sistema es

29.

una relación de polinomios y viene dada por.:.

ME

N _kZ akzk=0

~ -.2.11)

La región de convergencia de la función del sistema está relacionada

con regiones anulares limitadas por polos pero no conteniéndolos.

En la Tabla 2.a se presentan algunas de las propiedades de la'trans-

formada 2, acompañadas de su región de convergencia.

TABLA

2.a

SECUENCIA.

TRANSFORMADA 2

BEGION DE CONVERGENCIA

x(n)

y(n)

ax{n) + by (n)

x(n

4- HQ)

a x(n)

nx(n)

x*(n)

x(-n)

Re [x(n)l

x(n)* y(n)

x(n)y (n)

X(Z)

Y(z)

aX(z) + bY(z)

znOX(z)

dX(z)

dz

X*(z*)

HX(z) + X*(z*)]

—- c

x(z) - x*(z*n

¿. J

X(z)Y(z)

r § X(v)Y(-)v ^

c

v

R

< z < R

-

R

<

z

< R

y-

y+max [R

,K

3 <

x-

y-

< min [R

,x-f

R

<x-

< R

R

<<

Rx+

R

<x-

R

<x-

1/Rx+

R _

<•

R

<x-

< R

< Rx+

< 1/R _

< R x+

máx [R

,R ] <

x- y-

< mín [R

,R ]

x+ y+

R

R

<x- y-

< R

R

to (D I

CAPITULO TERCERO

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE FILTROS DIGITALES

3-1- REPRESENTACIÓN DE REDES DIGITALES UTILIZANDO GRAFOS DE FLUJO DE LA

SEÑAL

En el diseño de un filtro digital, la relación entrada-salida debe

ser convertida a un algoritmo., el mismo que es definido por operaciones

básicas tales como: adición, retardo, y multiplicación por una constante.

La descripción de los filtros se puede hacer por diagramas de bloque,

grafos de flujo o por notación matricial.

Un grafo de flujo está conformado por ramas direccionadas que conec-

tan a los nodos.

Si se observa la figura 3.1 se tiene que la rama (jk) empieza en el

nodo j y termina en el nodo k, por lo que cada rama tiene una señal de en

trada y una señal de salida.

nodo j

w.nodo k

(Fig. 3.1)30

31

El valor del nodo k es w / la señal de salida desde la rama jk al no-

do k es v., y la relación entre la rama de salida y la rama de entrada es:JK

vjk = fjk Cwj] t3-1-1)

f ' establece la transformación de una rama de entrada en una rama de

salida.

Adicionalmente se tiene que los nodos fuente son entradas externas

que no tienen ramas de entrada, esta. definición se puede observar en la fi

gura 3T.2, en la que se tiene que el nodo fuente asociado con el nodo j se

define como Xj: y que la salida desde el nodo fuente j al nodo k se define

como s - i -

Xj o-•nodo k

nodo j

x.í = nodo fuente

BJ^ = salida de j-k

(Fig. 3,2)

Así como las entradas a un grafo de flujo se pueden obtener desde un

nodo fuente, las salidas desde el grafo de flujo se pueden extraer desde

los nodos receptores, los cuales solo tienen ramas de entrada.

En el gráfico 3,3 se puede observar que el nodo de salida asociado

con el nodo k se define como y^, y la salida desde el nodo j al nodo k se

define por x.

32

nodo j nodo k

a .yn = nodo receptor

•' rjk = salida de -j-k

(Fig, 3.3) • •

Por definición, el valor' en cada nodo está dado por la suma de las sa

lidas de todas las ramas que ingresan al nodo.

Si se asume un grafo de flujo de b7 nodos (1,2, ... N)', de los cuales

M nodos son "fuente (1,2,3,'... M) y p nodos son receptores (1,2,3, ... p) ,

se tiene que su relación está dada por las siguientes ecuaciones:

N Mk = 1,2, ., . N (3,1.2)

K ~ 1,2, . . . P (3.1.3)

Como' aplicación de estas ecuaciones se considera el. diagrama de blo-

que de un filtro digital de primer orden representado en la figura 3.4 y

su correspondiente grafo de flujo en la figura 3.5.

Xín) Yin)

(Fig. 3.4)

33

NODO FUENTE

Xtn)> o

YCn)

NODO RECEPTOR

(Fig, 3.5)

Se obtienen las siguientes ecuaciones; . •

v^ín) = s11(n) + v41 (n)

w2(n) = v12(n)

w3 (n) = v23{n) + v43(n)

V74(n) = v24 (n)

y(n) = W3 (n)

Y las ramas de salida están dadas por:

Sn(n) = x(n)

v12(n) = f12(w1) = Wi'Cn)

v23(n) - f23(w2) = v;2(n)

v43(n) = f43(w4) = b w4(n)

V41(n) = f41(v/4) = a w4(n)

v24(n) = f24(v;2) = w2(n-l)

y(n) • = w3 (n)

Estas ecuaciones pueden ser resueltas para y(n) y se obtiene la si-

guiente ecuación diferencia de primer orden:

y(n) = a y(n-l) + x (n) + b x(n~l)

• retardo

34

Las ecuaciones de las ramas de salida son el resultado de multiplicar

la señal de entrada por una constante,, conocido como "transmitancia", a

excepción de la rama (274) , la cual está representada por el operador de

—1retardo z ' „ e implica un retardo unidad de la secuencia de entrada.

En el caso de sistemas lineales discretos de desplazamiento invarian

te definidos por ecuaciones diferencias (1-3-4), el grafo de flujo puede

representarse con las transformadas z, en cuyo caso cada rama se define

por su función de transferencia,.siendo .su ecuación:

Vz) (3.1,4)

El grafo de flujo es:

MODOR E C E P T O R

Y (n)o

Y U)

(Fig. 3.6)

Los grafos de flujo no solamente tienen el proposito de representar

gráficamente un sistema discreto en el tiempo sino también que posibilitan

el análisis del mismo al manipular su representación gráfica.

3.2. REPRESENTACIÓN MATHICIAL DE REDES DIGITALES

Cuando todas las ramas de un grafo de flujo pueden se representadas .

por transmitancias, -las ecuaciones g;ue se . obtienen del grafo de flujo son

35

lineales y la manipulación del grafo es equivalente a manipular estas ecua

ciones..

Las ecuaciones (3.1.2) y (3.1.3) expresadas en términos de la trans-

formada z, son:

N M .

Wk(z) - Z vnk(z) + S SñV(z) ' k'= 1'2' -" N (3.2.1)

N 'yk(z) = 2 Rjk(z) , k = 1,2, ... P (3.2.2)

"i—I

Es conveniente asumir que las ramas desde los nodos fuente a los no-

dos del circuito., y desde estos a los nodos receptores tienen una _ transía!

tancia que es constante, independiente de z, entonces las ramas se expre-

san como:

Vjk(z) - Fjk(z) Wjfz) (3.2.3)

Sjk(z) = bjk Xj(z) (3.2.4)

Rjjc(z) ='Cjfc *?j (2) (3.2.5)

Substituyendo en las ecuaciones (3.2.1). y (3.2.2) se tiene:

N • M "Wk(z) '= Z F1k(z) W,(z) + 2 b-kX-(z) (3.2.6)

j=l - J«l

jk (3.2.7)

36

Y en forma matricial:..

W(z) - FT(z) W(z) + BT X(z) (3.2.8)

Y(z) - CT W(z) (3,2.9) •

W(z) puede ser resuelta por el método de la matriz inversa, partiendo

de la ecuación (3.2.8) se obtiene:

.W(z) [1 - FT(z)] = BT X(z)

1 puede ser reemplazado por la matriz unitaria "I", entonces:

W(z) [I - FT(z)] = BT X(z)

BT X(z)W(z) =

(I - F?(z)] - '

W(z) = [I - FT(z)]"1 BT X(z) (3.2.10)-

Si TT(z) = [I - FT(z)]-1 BT . (3.2.11)

se tendría: W(z) = 0?T(z) 'X(z) (3,2.12)

donde TT(z) es conocida como la "matriz función de transferencia del siste

ma" .

Es conveniente separar los elementos de la matriz FT en aquellos que

no tienen retardo (F ) y en los que lo tienen (F¿) , en consecuencia:

FT(z) = F 4- z'1 F (3.2,13)

si se ' aplica a la ecuación (3.2,8) se tiene:

37

W(z). = FT W(z) + z W(z) + BT X(z)

Y(z) = C1 W(z)

(3.2.14)

(3.2.15)

La transformada inversa será:

W(n) = F W(n) 4- F W (n - 1) + BT X(n)

Y(n) = CT W(n)

(3.2.16)

(3.2.17)

En el siguiente grafo de flujo se observa como estas ecuaciones depen

den del orden en el cual están numerados los nodos.

o-X C r

W, W2 W3£, Q j, p . r\• r\

(Fig.

J Y(n)

^*4

3.7)

Las ecuaciones en forma matricial son:

W-j_ (n)

W2 (n)

W3 (n)

W 4 ( n )

0 0 0 a1

1 0 0 0

0 t>0 0 b-L

0 0 0 0

Wji_ (n)

W2 (n)

W3 (n)

W4 (n)

+

0

0

0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 "

1 0 0

W-, (n - 1)

W2(n - 1)

^W3 (n - 1)

W 4 (n - 1)

-f

1

0

0

0

38

donde:

Y(n) = [O O 1 0]W2(n)

W3 (n)

W4 (n)

0- 0 0 a1

1 0 0 0

0 bQ 0 . b^_

0 0 0 0

T

d

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 1 0 0

CT = I O O 1 O

1

'O

o

o

Si se cambia el orden de numeración de los nodos del grafo de flujo

3 . 7 se. tiene:

o *XCn)

(Fig. 3.8)

39

Las ecuaciones en forma matricial. son:.

u1(n)

u2(n)

u3(n)

u-4 (n)

0 0 0 0

ai 0 0 0

0 1 0 0

b;L 0 b0 0

u-, (n)

U2 (n)

u3 (n)

_U4(n)

0 0 1 0

0 0 - 0 0

0 0 - 0 0

o -o .0 o

u^ (n - 1)

u 2 (n - 1)

u3 (n - 1)

u4(n - 1)

0

1

0

0

(n)

u.2 (n)y(n) - [O O O 1]

' u3 (n)

u4(n)

En las ecuaciones del grafo de flujo de" la figura 3.7 las variables

de los nodos no pueden' ser generadas en secuencia/ pero si puede ser modi-

ficado el grafo de flujo para que los nodos puedan ser calculados en se-

cuencia, en este caso el grafo de flujo modificado se presenta en' la figu-

ra 3.8.

En muchos casos no es posible ordenar el grafo de flujo para que las

variables de los nodos'sean calculadas en secuencia, por lo que se denomi-

na al grafo de flujo como "NO COMPUTARLE11 r esto no significa que no pueda

ser resuelto directamente/ ni sucesivamente para-cada variable de los .no-,

dos. .

Condición necesaria y suficiente para que uri. grafo de flujo sea ."COM"

POTABLE"/ .es que los nodos puedan ser 'numerados de tal manera que la ma-

4:0

triz F tenga solamente- elementos- cero tanto sobre la diagonal pxin.cipal

como en la diagonal pr±rvcipaO;y. tal es el caso del grafo de- flujo -3.8,

lias ecuaciones del grafo dé- f Xxrjo de; la f ig.ura 3 .8 . se las obtienen,

cambiando de posición los nodos dei grafo de flujo de la figura .3,7, en

forma matriclal se logxa por1 una transformación lineal del vector w(n) ,. e.n.

eí- vector u(n)., en cons'ecue-nc'ia-.r

u(n)' = (3,2.18)

donde P es' una matriz no y en el ejemplo es;

P =

0 0 0 1

1 - 0 0 0

O 1 .0 1

0 0 1 0

en forma más general:

-1w(n) = P u(n) C3.2.19)

y al reemplazar en las ecuaciones (3.2.16) y (3.2.17) se tiene:

u(n) = P F P u(n) + P F P - Tu(n-l) + P B1- x(n) . (3.2,20)

y (n) = CT P u (n) (3.2.21)

las cuales corresponden a un grafo de flujo diferente pero-tienen la misma-

relación salida-entrada.

41

3^3.. REDES BÁSICAS PARA SISTEMAS IIR, FIR

Para el escogitamiento de una red básica se tiene en 'cuenta la comple

jidad en la computación.. La operación 'multiplicación consume tiempo y ca "

da elemento de retardo corresponde al uso de un registro de memoria, es de

seable una reducción . en el número de multiplicaciones con lo que se incre

mentaría en velocidad, -y una reducción en el número de; retardos reduciría

los requerimientos de memoria,,

El efecto de los registros de longitud finita se debe considerar para

la realización en hardware de filtros digitales, a veces es deseable usar

una red que no tenga el número mínimo de multiplicaciones y retardos pero

que sea menos sensible a los efectos de los registros de longitud finita.

3.3..1 Sistemas IIR.. Para los sistemas I IR tenemos las siguientes re-

des o estructuras básicas.

a.- Forma Directa .

Cuando la ecuación diferencia puede ser escrita directa-

mente por inspección de la función de transferencia del siste-

ma., el circuito corresponde a la realización de la FORMA DIREC_

TA I.

En la siguiente función del sistema:.

H(z) =

M_ , -k£ b z

1 - E ak z~k

42

que corresponde a la siguiente ecuación diferencia;

N M

y(n) = 2 ak y (n - k) + £ bk x(n - k)' k=l k=0

gráficamente sera::

X(n) z-i

(

[ " b a '? c

ii <

L • '

''

a.

,

? í

-i Yin)

)

)

i • , • iI [ i | -1 1 ' ' T

!. . ! : !. Xín-N+M (

1 1Xtn -M) A btí A r

UN-I j

,

1 "H J

> Y ln-N+M •

(3,3.2)

(Fig. 3.9}

El circuito de la figura 3.9 se puede considerar como dos

circuitos en cascada,"en la que el primero realiza los ceros y

el segundo los polos de la función del sistema.

En el caso de sistemas lineales de desplazamiento inva-

riante r el orden en la cual estén los subsistemas en la casca

da es independiente de la relación entrada - salida. Esta" pro

piedad nos lleva a la FORMA DIRECTA II que gráficamente es:

43

b0

Xín)

t

,

c

2-'bDi

1

Yin)

p

i UH-I ! "N-IO a Ó 9—

T^"

(Fig. 3.10)

b,- • Cascada

Si en la función del sistema H(z) (ecuación 3,3.1) se fac

tora tanto el polinomio del numerador como el del denominador,

se tendrár

H(z) = A

Ml

k==l"

-i, - hz

(3.3.3)-(i - ckz .) ' n (i -

k=l

donde M = M-]_ + 2M2 y N = + 2N2

Esta ecuación nos sugiere un conjunto de estructuras de

subsistemas de primero y segundo orden en cascada. En la prá_£

•tica,, es importante implementar esta estructura usando el míni.

mo de almacenamiento en memoria/ por lo que se implementan se_c

ciones de segundo orden, en consecuencia tendremos:

44:

[(N-KU/2]

Eir esta forma los polos y ceros estájn combinados en

res,, por lo que se puede usar- la forma directa. ll en caAa,

sistema dé- segundo orden.

SI tener: uix sistema de. sexto ord,en s;e -fei íx gr-afic men.1~e

lo si.giiien.te-::

¿322 23

(Fig. 3.11)

Aunque el ordenamiento y la formación de pares es

lente para aritmetica.de precisión infinita/ pueden diferir en'

la practica debido a los efectos de registros de longitud fin_i_

ta,

c.- Paralela

Si la función del sistema se factora en fracciones parcia

les/ se tiene esta forma de realización:

M-NHCz) =

C(N+l)/2] Ynv.+ Y1vz„ UK • -LK

—1" a2kz

—2(3.3.5)

45

Como se puede apreciar, existe una combinación paralela

de sistemas de primero y segundo orden que gráficamente se pré

senta a continuacionr

X t n í

YOL

Z-'

i i/12

YCn)

(Fig. 3.12)

Las estructuras anotadas son las más comunes para los sis

temas IIR.

3.3.2 Sistemas FIR. Los sistemas FIR presentan una función de la si

guiente formar

N-lH(z) = T.

. n=0(3.3.6)

46.

Entre- las estructuras' más comunes se tiene-r

a v-- Forma- Directa

Es trrra realización directa de la convolucion suma, cuya

representación &s~

y(n) = T. h(k) x(n-k)k=0

gráficamente es:

X(n)Jlío) rute) LhíN-ÜÍ

(Fig. 3.13)

(3,3.7)

Y£n)

b.- Cascada

La función del sistema se presenta como un producto de

factores de segundo orden, de la siguiente forma:

. [N/2]H(Z) = n (3.3,8)

Cada uno de los factores se realiza en la forma directa,

gráficamente se presenta en la figura 3.14.

X t n í2"'

47

} (

/al 2.

(Fig. 3,14)

> /31

Y(ní

c.- Pase Lineal

La respuesta del sistema a una excitación impulso unita-

ria tiene la siguiente propiedad:

h(n) = h(N - 1 - n) (3.3.9)

lo que implica fase - lineal/ esto se observa en las siguien-

tes ecuacionesr

Si Tu es par

(3.3.10)H(2) = En=0

Si N es impar

[(N n

H(z) = 2 h(n) [ 2 + 2

n=°

, -] + h(— -) z

(3.3.11)

Estas ecuaciones 'sugieren su implement ación en estructu-

ras de Forma Directa,/ lo cual se presenta en las figuras 3.15

y 3., 16., respectivamente.

48

Para N par:;

X(n)

MN/2-U

Y(tU

(Fig. 3.15)

Para N impar:

h C N - U

Y f n )

(Fig. 3.16)

Si se impone la condición de simetría de la ecuación

3.3.9 en los coeficientes del polinomio H(z), se obtiene que

los ceros de H(z) ocurren en pares - imagen. Si se observa la

•figura 3.17 se tiene que los ceros z , z , 1/z y 1/z se con.1 1 1 1 —

sideran como un grupo de cuatro. Los ceros z y 1/z son con.

siderados como un grupo de .dos. El cero z es considerado co-

mo un cero simple.

49

Correspondiendo a estos grupos de ceros .H(z) puede expre-

sarse como un producto de factores de cuarto/ segundo y primer

orden,.

(Fig. 3.17)

d.~ Muestreo de Frecuencia

La transformada 2 de una secuencia de duración finita N

puede ser representada en términos de N muestras igualmente es

paciadas sobre el círculo unidad, lo cual implica que la fun-

ción del .sistema se expresa como:

H(z) = (1 - z N) N-l

H(k)

k=0 1 - W(3.3.12)

donde :• W «N

H(k) - - H(k) eJ6(k)

(3.3.13)

La ecuación 3.3.12 indica que el sistema se puede reali-'

50

zar como cascada dé un sistema -FIR y de un sistema IIR, como

el de la figura 3.18,

H(0)

H í l )

f/N

Y(n)

H(N-I)

,,-N-H SISTEMA HR

(Fig. 3.18)

-NLa función del. sistema FIR es 1 - z r los ceros de este

sistema son: z = exp [j (2ir/N)k] .K.

El sistema IIR consiste de una combinación paralela de N

sistemas de primer orden, los polos de este sistema son:

z, = exp [j(2ir/N)k] ,x

Los polos de los sistemas IIR de primer orden están sobre

el circulo unidad/ su proposito es cancelar exactamente uno de

los ceros del sistema FIR.

En la práctica las dificultades de estabilidad de los po-

51

los sobre el círculo unidad se .evita por el muestreo de la fun

clon del sistema sobre un círculo de radio r, donde r es lige-

ramente menor a la unidad, por lo'que H(z) 'queda como:

- _ - (3.3.14)k=0 1 - rW-V1

. • N

en este casor

H(k) = H(rW ) ' . (3.3.15)

Si las muestras de la respuesta a una secuencia impulso

son reales,, entonces las muestras de frecuencia expresadas en

forma polar satisfacen las. condiciones de simetría/ las cuales

son .-

H(k) = H(W - k)-

0(k) = -8(N - k).7 K « O, I/. . . . ,N - 1 (3.3.16)

tomando en 'cuenta que:.

(W )* = w" - ' (3.3.17)

po.r tanto los circuitos de primer orden ocurren en pares conju

gados complejos por lo que se implementan circuitos de segundo

orden con coeficientes reales^ entonces H(z) es:

52

H ( z ) = (1 -N -N

r z ) [2 H ( k )

k=lW 1 - rz 1 + rz

(3.3.18)

donde:-

c o s ( 6 ( k ) ) - rz cos[9(k) - 2-irk/N]-1 2 -2

1 - 2rz cos(27rk/N) 4- r z(3.3.19)

y su representación gráfica es:

M , ( Z ) S C H C m / f l

Ho(Z) 2iH(2}]/fí

1 iHU-,(Z) ZCHÍH- ÍÜ/ f l

HÍOJ/N

H ÍN/o)/M•S ^ n , r. . í1

!)

^

J

- r Z "

(Fig. 3,19)

Yíní'

2r

(

r .... -*•— - r

Pl— 1/T1 - rCOS Í©ÍK)-2TTK/N)

(Fig. 3 .20)

53 •

Esta estructura requiere más multiplicaciones y retardos que las

estructuras directa y cascadar su utilidad está en posibles ventajas -a la

sensitividad a los efectos de 'cuantización.,

Los efectos de cuantización de los parámetros se manifiestan en des

viaciones de las características del filtroY de la respuesta de.frecuen-

cia o equivalentemente en el movimiento' de los polos y ceros lejos de sus

localidades deseadas/ en el caso de los sistemas FIR se circunscribe a' la

localización de los ceros', •- ' " .

En base a los conceptos de las estructuras muestreo cíe frecuencia y

fase lineal para sistemas FIRr se presenta en el capítulo 5 un programa -

desarrolado para el diseño de filtros digitales FIR con fase lineal/ ta-

les como: filtros pasabajos7 pasaaltos, pasabanda.

La respuesta de frecuencia de un filtro FIR con fase lineal 'que.sir-

ve de base para el programa se expresa comor

= G(f) e

Donde G{f) es función real que depende de la longitud de la. respues-

ta del filtro a una excitación impulso unitaria, pudiendo la longitud ser

par o impar, ' ' . •

SI valor de L depende de la simetría de la respuesta del filtro a u-

na excitación.-í-impúlso unitaria, pudiendo la simetría, ser positiva o nega-

tiva,.

La función G(f) será usada para aproximar la magnitud de la respúes

ta deseada,, puesto que' el téminó de la fase lineal en la ecuación 3.3.20

no tiene efecto sobre la magnitud' de la respuesta del filtro.

CAPITULO CUARTO

DISEÑO DE PILTROS DIGITALES

4-1. DISEÑO DE FILTROS DIGITñL'ES I IR Y FIE

Un filtro digital es un sistema lineal discreto de desplazamiento,

variante, realizado con aritmética de precisión finita. Su diseño xíV

cra tres pasos básicos'que son.;

a.- Especificación

b .• - Aproximación

c.- Realización

a.- Especificación

La especificación del filtro digital deseado se presenta como un e,s,

quema de tolerancia/ así para un filtro pasa-bajos se tiene:

P 3PASABAHDA TRANSICIÓN BANDA Db' DETENCIÓN

(Fig. 4.1)

54

55

En este caso/ existe una región pasa-banda cuya magnitud debe ser

aproximadamente igual a 1, con un'error de ± 6 o sea que:

•1H(eDW) á 1 + 6i; w ^ w

P

y en la región de la banda de detención su magnitud debe ser aproxima^

damente igual a cero con un error menor a 6 / o lo que es lo mismo:

H(eDW) w < w ^ TT

La fase de la señal de salida cumple con los requerimientos impuestos

por la estabilidad y causalidad/ esto es/ los polos de la función del

sistema deben estar dentro del círculo unidad.

El siguiente paso consiste en determinar un sistema lineal discreto

en el tiempo/ cuya respuesta de frecuencia esté contenida dentro de

las tolerancias prescritas/ por. lo que el problema de diseño se. con

vierte en un problema de aproximación.

b.- Aproximación

En el caso de sistemas IIR, la respuesta de frecuencia deseada se

aproxima a una función racional, para lo cual se consideran las fórmu

las de diseño para filtros analógicos/ tales como filtros Butterworth,

Chebyshev y Elípticos '• • ' .

Para el caso de sistemas FIR la respuesta de frecuencia deseada .se.

. aproxima a un polinomio.

56

Luego de la aproximación de la respuesta de frecuencia deseada se- pre;

senta el tercer paso que es el de realización del sistema-

c.- Realización

Este paso tiene que- ver con el proceso de convertir Xa función, res-

puesta de frecuencia del filtro, deseado en un. circuito, el cual pe#m.

te obtener las características deseadas del filtro.

4.1.1 Diseño de Piltros Digitales XIR- El método tradicional <2&L <3&

seño de filtros digitales se reduce a la transformación, de, uri.

filtro analógico en un filtro digital.

La función racional de un sistema IIR es;

MS

I a z

La entrada y salida del sistema están relacionadas por la gqn

volución suma:

co

y(n) = Z x(k)h(n - k) (4.1.2)

o por la ecuación diferencia:

N M2 a y(n - k) = 2 b x (n - k) (4.1.3)=0 * k=0 k

57

Al realizar la transformación de un sistema analógico a un sis_

tema digital, se requiere que las propiedades de la respuesta

de frecuencia de la señal analógica se conserven en la respue_s_

ta de frecuencia del filtro digital resultante.

Esto implica, que el eje imaginario del plano S se transforme

en el círculo unidad en el plano z y que, si el sistema analó-

gico es estable el filtro digital también lo sea,-esto es que

si el sistema analógico tiene polos solamente en la mitad iz-

quierda del plano S, entonces el filtro digital tenga los po

los en el interior del círculo unidad.

Los filtros Butterworth, Chebyshev y Elípticos son los filtros

analógicos selectivos de frecuencia más comunes, a continua-

ción se presentan ciertas características de estos filtros. Es

importante anotar la siguiente definición; Una cantidad que

no incrementa o decrece como función de alguna otra cantidad

se conoce como "monotónica".

Los filtros Butterworth se caracterizan por tener muy plana la

amplitud de la respuesta en la región pasa banda. La aproxima

ción es "monotónica" en la región pasa banda y en la región de

la banda de detención. Sus polos están simétricamente locali

zados en un círculo de radio ti en el plano S.c

La magnitud al cuadrado de la función de transferencia del fil-

tro es:

58

Ha(jfi)i -i- (j 2N

(4.1.4)

gráficamente se presenta como:

(Fig. 4.2)

Los filtros Chebyshev distribuyen uniformemente la aproxima-

ción sobre la región pasa banda o sobre la región de la banda

de detención, esto se logra escogiendo una aproximación que

presente un rizado uniforme antes que un comportamiento monotó

nico. Estos filtros tienen la propiedad de que su respuesta

tiene el rizado uniforme de la región pasa banda y es monotóni

ca en la región de la banda de detención, o tiene el rizado

uniforme en la región de la banda de detención y la región pa

sa banda es monotónica. Sus polos están localizados sobre una.

elipse en el plano S- La magnitud al cuadrado de la función

•de transferencia del filtro está dada por la ecuación 4.1.5.

Ha(íi)1

(4.1.5)

59

Su representación gráfica es:

(Fig. 4.3)

Una característica del filtro elíptico es la de que la ampli-

tud de la respuesta tiene el rizado uniforme, tanto -en la re

gión pasa banda como en la región de la banda de detención.

El cuadrado de la magnitud de la función de transferencia es:

Ha1

(4.1.6)1 + e

y su representación gráfica

CHa( j

(Fig. 4.4)

60

Después de obtener las características del filtro analógico, '

se procede al diseño del filtro digital, aplicando para el

efecto uno de los métodos de transformación.

Entre los procedimientos de transformaciónr se tiene:

a.- Impulso invariante

b,- Solución numérica de la ecuación de diferencias

c.- Transformación bilineal.

a.- Impulso Invariante

Este procedimiento considera la respuesta del filtro digi

tal a una excitación impulso unitaria como muestras, igualmen-

te espaciadas, de la respuesta del filtro analógico a una exci

tación impulso.

/

Esto significa que:

h(n) = ha(nT) (4-1.7)

donde: • .

h(n) = respuesta del filtro digital a una excita-

ción impulso unitaria.

ha(nT) = respuesta del filtro analógico a una .exci

tación impulso. -

T — período de muestreo.

Como generalización de la ecuación 1.5.5, puede demostrar

61

se que la relación entre la transformada z de h (n) y la trans_

formada de Laplace de ha(t) está dada por la siguiente ecua-

ción:

HCz) Ha(S + j (4.1.8)

STDe la relación z = e se tiene que una franja de ancho

2ir/T en el plano S se transforma en un circulo en el plano z,

como se observa en la figura 4.5.

PLANO s P L A N O Z

Tf/T

-7Í/T

(Fig. 4.5)

La relación entre el plano S y el plano z se determina al

expresar la función del filtro analógico como una expansión en

fracciones parciales, o sea:

W A,Ha(S) = (4.1.9)

k=l

La respuesta del filtro analógico a una excitación impul

62

so es:

ha(t) = £ ñke k u(t) (4-1.10)k=l

De la. ecuación 4.-1.-7 s'e tiene que:

" SknT 'S Ake K u(n)k<L

T „c )n u(n) • (4.1.11)

que Constituye la respuesta del filtro digital a una excita- .

cion impulso unitaria, de donde la función del filtro digital

esta dada por;

H(z) == 2 '• skT .'- ' (4.1.12)

Al comparar las ecuaciones 4.1.9 y 4.1.12 se observa que

un polo S «= Sj, en el plano S se transforma en un polo. e k en

el plano z y los coeficientes en la expansión de fracciones

parciales de Ha(S) y H(z) son iguales. . Si el filtro analógico

es estable/ esto es la parte real de Sk es menor que'cero (o.

lo que es equivalente los polos están al. lado izquierdo del

S Tplano S) .f entonces la magnitud de e K será menor que la uni-

dad por lo que el polo correspondiente en el filtro digital es

63

tá en el interior del círculo unidad, consecuentemente el fil

tro digital es estable.

La respuesta de frecuencia del filtro digital está rela-

cionada con la respuesta de frecuencia del filtro analógico

por la siguiente ecuación:

.H(e

jw.J

1-

.w • . 2ir , .3-+ 3 — k) - (4.1.13)

Si el filtro analógico es limitado en banda, se produce

un filtro digital cuya respuesta de frecuencia es:

H(eJW) = , W á TT

En la práctica, el filtro analógico no es limitado en ban

da/ por lo que existe interferencia entre los términos sucesi

vos de la ecuación 4.1.13, esto se debe al 'fenómeno conocido

como "aliasing", el mismo que puede observarse en la figura

4.6.

(Fig. 4.6)

64

Debido a este fenómeno que se presenta en el proceso de

maestreo de la señal analógica, la respuesta de frecuencia del

filtro digital difiere de la deseada, a pesar de esto, la reía

ción entre la frecuencia analógica y la frecuencia digital es

lineal, .

Este método de diseño es apropiado para filtros limitados

en banda.

b.- Solución Numérica de la Ecuación de Diferencias

La función del sistema analógico se'presenta-como: •

N dky (t) M dkxa(t) . • 'T. Ck — = 2 dk —• . . (4.1,14)«0 dtK' k=0 dtK•

El procedimiento consiste en aproximar las derivadas de

la ecuación 4.1.14 por diferencias finitas. De acuerdo con

las técnicas de análisis numérico la derivada de una función

analógica puede ser aproximada en base a la diferencia entre

muestras consecutivas de la función.

Si para la aproximación de la primera derivada se consid_e

ran el primer término anterior a y(n),(y(n - 1) ) y el término

y(n), se tendrá: • • . ..

" (4.1.15)dt t =

donde: y(n) = ya(nT)

65

La aproximación a derivadas de mayor orden se obtiene por

la aplicación repetida de 4,1.15, en este caso se tiene:

d\(t)dtk

d

t = nT dt

dk Xy (t)a .

jj-^""-'-dt . = nT

„ r , - \V [y (n) ] = ,•<.->(y (n) ] (4.1.16)

Si se aplican las ecuaciones 4.1.15 y 4.1.16 en la ecua

ción 4.1.14 se obtiene:

Md V (4.1.17)

donde:

YÍn) = y^ (nT) ; x (n) = x (nT)a a

(1)V [ ] es un operador lineal de desplazamiento in

variante, y

00V [ ] puede ser considerado como una cascada de

(1)(k) operadores V [ ]

(1)Al aplicar la transformada z al operador V [ ], se ten

drá:

x(z)

consecuentemente:

x(z)

66

entonces, al obtener la transformada z de cada lado de la ecu_a

clon 4.1.17, se tiene:

r , r1 - Z~V ' •^ dk[ - i - ]

H(z) =^-5 - (4.1.18)"

ckk=0

Si la función analógica del sistema se representa por:

M

(4.1.19)

cksk

Al comparar 4.1.18 y 4.1.19 se deduce que:

-S = • • (4.1.20)

La ecuación 4.1.20 corresponde a una transformación del plano

S al plano Z.

De 4-1.20 se deduce:

(4.1.21)1 - ST

i - j (4,1.22)

67

La ecuación 4.1.22 indica que el eje jfi del plano S no se

transforma sobre el círculo unidad en el plano Z, ya que

para todo valor de jQ.

De 4,1.22 se deduce:

j2 (4.1.23)

La ecuación 4.1.23 corresponde a una circunferencia de

centro y radio iguales a —-. Gráficamente la transformación,

del plano S al plano 2 se presenta en la figura 4.7.

PLANO s PLANO

<r

(Fig. 4.7)

La condición de estabilidad es satisfecha, ya que los po_

los que se encuentran al lado izquierdo del plano S se trans-

forman al interior del círculo más pequeño, el cual se encuen_

tra en el interior del círculo unidad.

Al decrecer el período de muestreo, teóricamente produce

un mejor filtro, ya qué la respuesta del filtro y el espectro

68

de la señal tienden a concentrarse en una pequeña región del

círculo unidad., por lo que se puede esperar que el filtro digi

tal se aproxime al filtro analógico.

c.- Transformación Bilineal

Este procedimiento se reduce a la integración de la ecua

ción diferencial,'utilizando una técnica de análisis numérico

para la determinación'de la integral. " •

Si se tiene la siguiente ecuación de primer orden:

yá(t) + CQ ya(t) - d0x(t) (4.1.24)

La correspondiente función analógica del sistema es:

Ha(s) = C S + C (4.1.25)c b + c

y_(t) en función de y'(t) se expresa como:

(4.1.26}

Si t = nT y t_ = (n - 1)T

y(nT) = - Y(T) dT + ya((n-1)T) (4.1.27)

De 4.1-24 se obtiene:

69

co doy'(nT) = -.— y (nT) + — x (nT) . (4.1,28)

Cl 1

Si la determinación de la integral de la ecuación 4.1.27 se

aproxima con el método del trapecio se tendrá:

y (nT) = [y(nT) + y ' ( (n-l)T) ] +y (n-l)T (4.1.29)a 2 a a . a

Al sustituir 4.1.28 en la ecuación 4.1.29 y aplicando luego la

transformada z se obtiene;

H(z) = • — - .(4.1.30)O, 2 1-z ' , „

J. — 4- PT , -1 O

1+Z . '

Al comparar 4.1.30 con 4.1.25 se tiene que:

2 1 - zS = - - — .. . - (4.1.31)

De- donde:

(T/2)S ' Qo^(4.1.32)

1 - (T/2)S

La ecuación 4.1.32 es una transformación bilineal.

Para la demostración de la transformación del eje imaginario

del plano S en el círculo unidad del plano z, se considera 'la

siguiente relación: •

jw ' .z = e . •

70

Si se reemplaza en la ecuación 4.1.31 se obtiene:

Si:

„1 + e

2 . sen(w/2)T J cos(w/2)

S = - j tgfw/2)

s = a +

y considerando que a = O, para z sobre el círculo unidad, la

relación entre Í2 y w está dada por la siguiente ecuación:

- tg(w/2) (4.1.33)

gráficamente se presenta en la figura 4.8.

(Fig. 4.8)

La correspondencia entre los planos s y z. se indica en la si-

guiente figura:

71

PLANO S ]JSl PLAMO Z

(Fig, 4.9)

Este método permite obtener filtros digitales estables a

partir" de filtros analógicos estables. Si se analiza la ecua

ción 4.1.32, se observa qué la parte real para un valor de s

negativo origina qué la magnitud del valor z sea menor que la

unidad, lo que corresponde a la parte interior del círculo uní

dad. Adicionalmente elimina el problema "aliasing" encontrado

en el método del impulso invariante, ya que la transformación

del eje imaginario del plano s se realiza dentro del círculo

unidad en el plaño z.

Sinembargo, este método introduce una distorsión en el

eje de frecuencias, por lo que este método se aplica en fil-

tros en los cuales esta distorsión puede ser tolerada o compen

sada.

4.1.2 Diseño de Filtros Digitales FIR. Un sistema FIR tiene la si-

guiente función característica:

N-lH(z) =' I h(n) 2

-n(4.1.34)

72

-1Esto es un polinomio en z de grado N-l, los ceros pueden es

tar en cualquier lugar del plano . z y los polos se localizan en

z = 0. . •

La respuesta de frecuencia se representa por:

N-l2n=0

H(e3W) = 2 h(n)e ' (4.1,35)

El diseño de este tipo de filtros puede hacerse ya sea encon-

trando los coeficientes de la respuesta a la excitación impul

so unitaria o determinando las N muestras de su respuesta de

frecuencia.

Este tipo de filtros pueden tener "fase lineal", si cumplen

con la condición de la ecuación 3.3.9. Esta propiedad es fre

cuentemente utilizada, al considerarla se tiene la ventaja de

que se simplifica el procedimiento de diseño.

Uno de los procedimientos para diseñar un filtro F1R es el si-

guiente :

Diseño usando "Ventanas"

El método más simple para diseñar un filtro FIR consiste en ob

tener la respuesta de longitud finita al-truncar la respuesta

de longitud infinita, procedimiento que se describe a continua

ción. ,

73

n wSi se supone que la. respuesta de frecuencia deseada es H., (e ) ,

se tiene::

Hd(ejW) = E hd(n.) e jwn - (4 ..1.36)

donde h., (n.) es:::a

h,.(n) = TT- /"" H, (ejW) ejWIXdw (4..1..37).a 2ir —TT a . .

Estas" dos ecuaciones pueden considerarse como la r-epreserrba .

cicín en series de Fourier de la respuesta de frecuencia

jw „,H (e ) f la misma que. es periódica, siendo la secuencia, h (n)

los coeficientes de Fourier; entonces, la aproximación por

truncamiento de la especificación de un filtro ideal es identi

ca al estudio de la convergencia de series de Fourier.

Si la secuencia H (n) tiene duración infinita, para obtener ILa.

respuesta de duración finita y que además sea causal, se pu.ede

truncar h (n)/ lo cual se define como:

h(n)

h,(n) , O ú n M -d

O , otros valores

(4,1,38)

v

En general, h(n) se puede representar como el producto de la

respuesta deseada y una función "Ventana" w(n) de duración • fr.

nita, esto es:

74

h(n) = w(n) (4,1.39)

de la ecuación 4.1.38 se tiene:

w(n)

O á n á N - 1

O, otros valores

(4.1.40)

Si se aplica el teorema de convolución compleja, expresado en

la ecuación 2.2.9, se obtiene:

H(ejW) = (4.1.41)

La ecuación 4.1,41 muestra que H(e ) es la convolución de la

respuesta de frecuencia deseada, con la transformada de Fourier

de la ventana, que es una señal continua y periódica. Esto se

observa en el siguiente gráfico:

(Fig. 4.10)

75

De la figura 4.10 se concluye, que si W(e ) tiene un menor an

jw ' jwcho de banda que H,, (e ), se obtendrá una función H(e ) que

-JV7será similar a la función H (e ), Por lo que al escoger una

de. las funciones "ventana", se trata de tener W(n) de duración*

tan corta como sea posible con el afán de minimizar los proble

mas de computación en la implementación del filtro. Mientras

-- Jwmenor ancho de banda tenga la función W(e ), se reproducirá

más fielmente la respuesta de frecuencia deseada.

continuación se presentan las principales funciones "venta-

na" :

a.- Rectangular

w(n) = 1 O á n á N-l

b.~ Bartlett

w(n) =

2nN-l

2n_N-l

O < n <N-l

n $ N-l

c.- Hanning

, . " lrn ,2-irn.w(n) = —[1 - eos (-—-)

¿. LN ~ 1O n á N-l

d.— Hamming

w(n) = 0.54 - 0.46 O á n < N-l

76

e.- Blackman

w(n) = 0.42 - 0.5 cos(—-) +0.08 eos (—r) O < n á N-lN-l N-l

Diseño utilizando el método de intercambio Remez .

La función G(f) en la ecuación .3.3.20 depende de cual de los

cuatro casos es utilizado, ya que depende de la longitud y de

la simetría de la respuesta del filtro a una excitación impul

so unitaria.

Usando las relaciones de simetría la función G(f) puede ser ex

presada como sigue:

Caso 1: Simetría Positiva/ Longitud Impar:

nG(f) = I a(k) cos(27rkf)

k=0

donde: n = (N-l)/2

a (O) = h(n)

a (k) = 2h(n-k) para k = 1,2,..,. n

Caso 2: Simetría Positiva, Longitud Par:

1G(f) = Z b(k) cos[2Tr(k—)

donde: n = N/2

b(k) = 2h(n-k) para k = 1,2...... n

77

Caso 3: Simetría Negativa, Longitud Impar:

NG(f) « S C(k) sen(2-irkf)

k=l

donde: n = (N-l)/2

C(k) = 2h(n-k) para k = 1,2, n

h(n) =0

Caso 4: Simetría Negativa, Longitud Par:

G(f) = S d(k) sen[2Tr(k- ) f ]

donde: n = N/2

d(k) = 2h(n-k) para k = 1,.... n

G(f) puede expresarse como: G(f) = Q(f) P(f) donde P(f) es una

combinación lineal de funciones coseno, por lo que los cuatro

casos pueden ser escritos en una forma común en términos cose-

no. El programa utiliza una rutina central, que calcula la me-

jor aproximación de la respuesta del filtro deseado.

La mejor aproximación se logra modificando la función magnitud

y la función ponderación, para formular un nuevo problema equi_

valente de aproximación.

El problema original de aproximación se plantea en función de

la minimización del máximo error absoluto de ponderación, so-

78

bre los coeficientes de G(f), definido por:

E(f) = máx W(f) D(f) - GCf)feF

(4.1.42)

donde:

W(f) = función de ponderación

D(f) - respuesta de magnitud deseada

G(f) = cualquiera de los cuatro casos de filtros PIR

con fase lineal

W(f) y D(f) son funciones continuas en un subconjunto

compacto (O, 1/2).

La función de error E(f) puede ser escrita como:

E(f) = W(f) CD(f) - G(f)] = W(f) Q(f) [~ - 3?(f)] '

Si: D(f) = D(f)/Q(f)

W(f) = W(f) Q(f)

el problema de aproximación equivalente/ minimiza el error por

escogitamiento de los coeficientes de P (f) . El conjunto F es

reemplazado por el conjunto F 1 , donde: F1 = F - {puntos donde

QCf) = 0}

E(f) = máx W(f) D(f) - P(f)feF'

(4.1.43)

Las condiciones necesarias y suficientes para poder obtener la

79

mejor aproximación, están dadlas por el teorema de alternación;

que se enuncia, a continuación:

Teorema de Alternación

Si P(f) es- una combinación lineal de r funciones coseno /.c.omQ

se presenta a continuación.

r-1F(f) = £ ct.(k) eos 2-rrkf'

entonces una condición necesaria y suficiente para que P(f)

sea la única y mejor aproximación de la función í)(f) sobre F1 ,

es que la función de error de ponderación E (f)=W(f) (6 (F) -P (£) ]

presente por lo menos r .+ 1 frecuencias extremas en F '

Estas frecuencias extremas son un conjunto de puntos ÍF,},

i-1,2, . , . rr + I/ de tal manera que F < F < . . . F < F ,l 2. r r+1

con E (E1.) = -E(F. J , i=l,2, . . . ,r,..y E (F , ) = máx E(f) .1 1+-1- i _ „ ,feF1

El algoritmo utiliza el método de intercambio Remez para cleter

minar la mejor aproximación de la función de la respuesta desea_

da, se presenta en el capítulo quinto.

4.2. ALGORITMOS PARA EL DISEÑO DE FILTROS DIGITALES

Se trata la formulación de las ecuaciones de diseño sin llegar a un

detalle pormenorizado de los algoritmos , por cuanto al tener las ecuacio-

nes básicas .estas pueden ser tratadas por diversos métodos.

80

Los filtros digitales pueden ser disenados mediante la transformación

del filtro analógico correspondiente. Este método es razonable cuando se

parte de los diseños de los filtros analógicos que están expresados en fór

muías o en tablas de diseño, como son los filtros Butterworth, Chebyshev y

Elípticos.

En los casos más generales, los procedimientos de diseño se han desa

rrollado por medio de algoritmos que pueden ser automatizados.

MinimizaoJon del Error Cuadrático Medio

SI diseño del filtro digital IIR se basa en la minimización del error

cuadrático medio en el dominio de la frecuencia, para lo cual se requiere

jwque la respuesta de frecuencia H^(e ) sea definida como un conjunto de

frecuencias discretas Wj. El error cuadrático medio de estas frecuencias

se define por:

nE = 2 C H(eDWi) - Rflíe^i) }2 (4.2.1)

Se asume que la función de transferencia -del filtro es la siguiente -.

—1 —2

k ^ -H(z) « A U - — - j-AGÍz) (4.2.2)k=l

que corresponde a la forma de cascada. Se ha escogido esta representación

81

debido a que presenta facilidades en la computación de las derivadas que- •

se requieren para la optimización del diseño.

Para minimizar el error cuadrático medio, se toman las derivadas par

cíales de E con respecto a .cada uno de los parámetros de H(z) , al igualar-

a cero cada una de las derivadas, se obtienen 4k -f 1 ecuaciones, las cua,--

les al ser resueltas dan como resultado.el valor de cada uno de los parame

tros que minimizan el error cuadrático medio. •

La derivada parcial del error cuadrático medio con respecto a la con.s

tante A es: -

ÓE= 2 {2[ GCe^i) Hd(e ] G(e

DW,} - O

E G(ei)

G(ei)

(4.2.3)

Con 'respecto a los 4k parámetros desconocidos dados por el vector

6[V bl' °1' dl' a2'

les, provenientes de:

SE (8,A)= O

d ], origina 4k ecuaciones no linea

n - 1,2,3, ,k

0 « n componentes de 8

Estas ecuaciones se resuelven algorítmicamente usando el método de

82

Fletcher - Powell que trata solamente con la magnitud de la función,- este

es un método iterativo de optimizacion, cuyo resultado es una función de

transferencia racional,, cercana a las especificaciones del diseño, aunque

presenta algunos polos y ceros que se encuentran fuera del círculo unidad.

Este problema fue solucionado por Steiglitz, quien reemplazo por su

valor recíproco a los polos y ceros r sin variar la función de transieren,

cia ya que la misma es multiplicada por una constante'.

Existen otros métodos, entre los principales se tiene la minimización

del error "p" que en vez de minimizar el error cuadrático mediof se minimi

za el error promedio elevado a una potencia "p".

Otro de los métodos es utilizando la aproximación inversa de los míni

mos cuadrados de la respuesta del filtro_ deseado, esto lleva a un conjunto

de ecuaciones lineales.

PILTROS FIR

El diseño de este t'ipo de filtros utilizando "ventanas" es a menudo

conveniente, pero se desea diseñar un filtro que sea el mejor para un va-

lor dado de N, por lo que es necesario int.rod.ucir un criterio de aproxima

ción, esto conduce a la aproximación del rizado -uniforme en los filtros

FIR.

83

Aproximación "Rizado Uniforme" para Filtros FIR

Se relaciona con filtros de fase cero y respuesta de frecuencia de la

forma:

MTT /H(e ^ , \) e , N = 2M + 1 (4.2.4)

para que la fase sea igual a cero se requiere: h(n) = h(-n), lo que origi-

na:

jw.M

H(eJ ) = h{0) -i- E 2h(n) eos (vm)n=l

(4.2.5)

La ecuación 4.2.5 es puramente real/ si se requiere una aproximación

rizado uniforme para un filtro selectivo/ de frecuencia pasabajo por ejem-

plo, se presenta la necesidad de especificar el numero de máximos y míni-'

mos en el rango de frecuencia de: O g w < fl- La aproximación rizado uni

forme del filtro pasabajo se presenta en el gráfico 4.11.

(Fig. 4.11)

84

La especificación de máximos y mínimos conduce a un juego de ecuacio

nes no lineales que. se resuelven iterativamente, lo cual en si constituye

una dificultad, a más de que se presentan limitaciones en escoger los valo

res de w y w a pesar de que M, 6-, y 62 son fijos por lo que, en vez de

escribir un juego de ecuaciones no lineales se usan técnicas iterativas pa_

ra producir un polinomio trigonométrico que tiene los valores deseados.

El proceso consiste en escoger los extremos tanto en la región pasa-

banda como en la región de la banda de detención y estimar las frecuencias

a las cuales ocurren. Los métodos, de interpolación de Lagrange se utili-

zan para calcular un polinomio que tiene los valores extremos prescritos;

este polinomio determina máximos y mínimos sobre un conjunto de frecuen-

cias discretas, si estos son iguales a los prescritos el proceso se termi

na, caso contrario se forma otro polinomio con menos extremos, se conside

ran los del último polinomio calculado, y se repite el proceso hasta obte-

ner los máximos y mínimos deseados. En .este proceso se presenta un proble

ma, por cuanto no existe un control preciso sobre los márgenes de las re-

giones pasabanda y de la banda de detención.

Con M, v/ y w fijos, el diseño del filtro selectivo de frecuencia

llega a ser un problema de -aproximación de Chebyshev, problema que es de

considerable importancia en la teoría de aproximaciones, para el cual se

han desarrollado una variedad de procedimientos.

Uno de los procedimientos ha sido demostrado por James McClellan, el

programa desarrollado en el capítulo 5 utiliza ese procedimiento para la

85

obtención de filtros selectivos de frecuencia con fase lineal.

Este procedimiento optimiza la aproximación de -Chebyshev en interva

los que corresponden a las regiones pasabanda y a las regiones de las ban

das de detención, permite también la especificación exacta de los márgenes

de frecuencia de las bandas.

Otro-método es el del diseño del muestreo de frecuencia que se basa

en que un filtro FIR tiene una representación en términos de muestras de

frecuencia, .

4.3 COMPARACIÓN DE FILTROS DIGITALES IIR, PIR '

El escogitamiento entre un filtro IIR y. un filtro FIR depende del ana

lisis de las ventajas y desventajas de cada uno de los tipos de filtros.

Los filtros IIR tienen Xa ventaja de que'una'variedad de filtros se-

lectivos de frecuencia pueden ser diseñados usando formulas de diseño de

forma cerrada, " - .

Una vez que el problema ha sido especificado en términos de un deter

minado tipo de filtro (Butterworth, Chebyshev o Elípticos), los coeficien-

tes (polos o ceros) del filtro digital deseado se obtienen por substitu-

ción de las características en el conjunto de las ecuaciones de diseño.

Esta clase de simplicidad en el procedimiento de diseño, es atractivo

si las facilidades computacionales disponibles son limitadas.

86

Una de las desventajas es la de que está limitado a filtros pasabanda.

pasabajos y pasaaltos.

Pese a que se pueden obtener filtros con excelentes características

en cuanto a amplitud, en cambio su respuesta de fase no es lineal-

En el caso.de filtros FIR se obtienen respuestas de fase lineales,, si.

se aplica el método de las "ventanas", pudiendo lograr las características,

del filtro deseado, para lo cual puede necesitarse alguna iteración. Debi

do_a estas posibles iteraciones se necesita de buenas facilidades de compu.

tación para su implementación.

Para el-diseño de cada uno de los tipos'de filtro, existen consi<te£a_

ciones que deben ser tomadas en cuenta: por ejemplo los métodos de imjjle --

mentacion y las facilidades computacionales, si se prefiere una mejor rejT

puesta en amplitud antes que una mejor respuesta en fase. A esto se suman

consideraciones de tipo económico relacionadas con la complejidad en el

hardware o velocidad en el software.

4.4 EFECTOS DE LA LONGITUD FINITA DE LOS REGISTROS EN EL PROCESAMIENTO

DIGITAL DE SEÑALES

Para la implementación de filtros digitales se utilizan registros de

almacenamiento de longitud finita, consecuentemente los valores de los cqe_

ficientes y los valores de la señal deben ser cuantizados por redondeo o

truncacion antes de ser almacenados.

87

La cuantizacion puede originar tres tipos de errores-:

a.- Errores de cuantisación de los coeficientes

b.- Errores de cuantizacion de .los productos

c.- Errores de cuantizacion de las entradas.

Los coeficientes de la función de transferencia son calculados con

bastante exactitud, al cuantizarse los coeficientesf la respuesta de fre-

cuencia del filtro digital resultante puede diferir de la respuesta desea

da, ya que se introducen perturbaciones tanto en los polos como en los ce

ros de la función de transferencia.

Los errores por cuantizacion de los productos se presentan a la sali-

da de los multiplicadores. Cada vez que una señal representada por "a" di

gitos es multiplicada por un coeficiente representado por "a-," dígitos, el

producto obtenido origina como máximo "a + a-," dígitos. Puesto que se uti

lizan registros de almacenamiento de longitud finita, cada salida de los

multiplicadores debe ser redondeada o truncada antes de continuar el proce.

so. Este tipo de error se puede considerar como fuente de ruido/ lo que

determina cierto ruido en la salida.

Los errores de la entrada se presentan en aplicaciones donde los fil-

tros digitales son usados para procesar señales continuas en el tiempo, e_s_

tos errores son inherentes.a la conversión analogica-digital.

El efecto de la cuantizacion, en la realización de un filtro digital,

es el de introducir elementos no lineales en ciertas ramas de la estructu

ra del filtro, efectos que son complejos de analizar, por lo que es prefe-

rible considerar el caso-en el cual la entrada es cero o es igual a una

constante, esto origina que a la salida la no linealidad produzca un error

periódico, debido a un comportamiento oscilatorio de la señal de salida.

Si la entrada no es constante se usa un modelo estadístico que convierte

el sistema no lineal en un sistema lineal con la adición de fuentes de rui

do.

Realización de Filtros Digitales IIR en Punto Fijo con Entrada Igual Cero

Si un filtro digital estable, con una excitación que tiene el valor

de cero para un valor de n mayor a n~ es • implementado con aritmética de

precisión infinita, se obtiene una salida que caerá asintóticamente hacia

cero para un valor de n > nQ, .

El mismo filtro implementado con registros de longitud finita, origi-

na una salida que puede caer en un rango de amplitud diferente de cero y

después tener un comportamiento oscilatorio.

.Este efecto se conoce como: ciclo límite con entrada igual a cero, es

una consecuencia de los cuantizadores no lineales en el lazo de realiraenta

ción del filtro.

El.efecto ciclo límite .de un filtro digital es complejo y difícil de

analizar, se toma como ejemplo un filtro de primer orden para su explica-

ción:

La ecuación diferencia que caracteriza al filtro de primer orden es:

89

y(n) = a y(n-l) + x(n) (4.4.1)

cuyo gráfico de flujo es:

o—Xín)

-O

(Fig. 4.12)

1

Y(h)

se asume que a = — y. que la longitud del registro de almacenamiento para

el coeficiente a, para la entrada 'x(n) y para el nodo variable .y (n-1) es

de cuatro bits.

El gráfico de flujo que representa el redondeo del producto y la nue

va salida w(n) se presenta a continuación:

Xín] Win)

(Fig. 4.13)

donde Q[ ] respresenta la operación de redondeo.

w(n) satisface la siguiente ecuación diferencia no lineal:

w(n) = Q[c¿w(n~l)] + x(n) (4.4.2)

- 1 7Si a = — - 0A100; x(0) = — - 0A111 se presentan los siguientes valo-

2 " 8 '

90

res para el redondeo de cuatro bits:.

w(0) =

w(2)

w(3)

w(4)

Q[aw(0)]

Q [aw CU ]

QCaw(2)]

Q[aw(3)]

0A011100 = — -^redondeo -*- w(l) = 0,100; x(l) = OA 16 ü

'O 010; x(2) = O

O 001; x(3) = O

O 000100 —redondeo — w(4) = O 001; x(4) = O

Para valores de n 3 el valor de O 001 se mantiene, por lo que gráfi-

camente se presenta como:

7/8

1/2

i/4

Win)

0 | 2 3 4 5

(Fig. 4.14)

1Si ct - - — se tiene que:

w(2)'

w(3)

w(4)

0A111

Q[av7(o) ]

Q[aw(l)]

Q[aw(2)]

Q[aw(3)]

1,011100 -^redondeoA

O 010; x{2) = O

1,001; x(3) = OA

O 001; x(4) = O

= O

91

1 1Existe una oscilación entre — y - —, gráficamente se presenta como:

I W í n í

7/8

1/4

1/8

(Fig. 4.15)

A las oscilaciones periódicas que se presentan en las figuras 4.14 y

4.15 se conoce como "ciclos límites", los cuales están limitados por "ban

das muertas" en la amplitud.

De la definición de redondeo se obtiene:

Q[ctw(n-l)] - aw(n-l) á

Además para los valores de n.en el ciclo límite se cumple:

Q[ccw(n-l)] = w(n-l)

De 4.4.3 y 4.4.4 se concluye:

(4.4.3)

(4.4.4)

w(n-l)

i2

-b

(4-4.5)

Esta ecuación define.la banda muerta para un filtro de primer orden.

92

Para sistemas de mayor orden el análisis por ciclo límite es más com

piejo, por lo que se prefiere el modelo estadístico.

Análisis Estadístico de la Cuantizacion en Punto Flotante para Filtros IIR

En este caso las fuentes de ruido se introducen debido a las adicio-

nes y multiplicaciones.

Si se presenta nuevamente el filtro de primer orden con aritmética de

precisión infinita en la siguiente figura:

Xtní Y (ni

Wl-n-J.)

(Fig. 4,16)

Si se aplican cuantizadores para el redondeo de la mantisa se obtiene

el siguiente gráfico:

Qtní

Xínl W ( n ) = Y(n)- f - f ín)

W í n - U

(Fig. 4.17)

Si se reemplazan los cuantizadores- por las fuentes ruido se obtiene

la siguiente figura:

93

Xín) W ( n J = Y í n í + f í n J

Mín)

(Fig. 4.18)

Si x(n) tiene un valor medio igual a cero y las fuentes de error se

definen por:

e (n) = £-i(n) txw(n-l)

y sin la cuantiaacion se tiene:

w(n-l) = y(n-l)

g(n) = y(n)

por lo que si los errores son pequeños, se tiene que:

ei(n) = ae^n) y(n-l)

e2(n) * e2(n) y(n)

(4.4.6)

(4.4.7)

Adicionalmente a estas aproximaciones r se asume que los errores rela_

tivos e^Cn) y £2 (n) tienen las siguientes características:

•a.- Son secuencias de ruido blanco.

~h> — tib.- Están distribuidos uniformemente en amplitud en el rango -2 a 2

94

c.- No están correlacionados con la entrada o con cualquier variable no-

dal ,

d.- No están correlacionados entre si.

Puesto que e (n) es una secuencia ruido blanco y no es correlacionado

con y(n-l) por lo que e (n) tiene una varianza igual a:

2 2 2 2.a - a a E [y (n-1) ] (4.4.8)

2 2 2 2a = a a a (4.4.9)e F v •1 1 y

para e (n) se tiene:

V = a£ ay _ (4.4.10)

el error a la salida debido a e (n) y e (n) es.-

f (n) = f1(n) + f2(n) ' (4.4.11)

debido a que no existe correlación entre los errores relativos, la varian

za a la salida es:

2 2 2 .af = af + CTF (4.4.12)

1 2

donde: •

': = ae I h^(n) (4,4.13)1 1 n=-ra

95

l = a2 2 h^ (n ) . (4 ,4.14)f 9 en 2

¿ ¿ =-co

además se tiene que:

h (n) = h 2 (n ) = a u ( n ) (4.4.15)

de lo que se concluye que:

2 2 1 2 2 2c = a — 7— (a a + a ) ' (4.4.16)f y 1 - ct¿ e £2

debido a la distribución uniforme en el rango de -2 a 2 de e (n) y

e2(n) se tiene que:

2 2 1 -2b 'a = o = — 2£n £o -3

por lo que:

2 1 -2b 2 1 + a2 ,, 1 --^a = -2 a 2 . (4.4.17)1 - a

a 1 - ay

La ecuación 4.4.18 expresa la relación de'la señal de ruido a la se-

ñal de salida sin considerar propiedades particulares de la señal de entra

da.

Para filtros más generales esta relación dependerá de la forma de la

96

señal de entrada.

Cuando la ganancia es alta se puede aproximar la relación de la señal

ruido a la señal de salida haciendo que:

a = 1 - 6; 6 « '1

por lo que la ecuación 4.4.18 queda de la siguiente manera:

=ay

Igualmente el análisis para sistemas de mayor orden es más complica-

do, la cuantización del ruido depende de los parámetros del sistema y de

la estructura usada para implementar el sistema.

Efecto en Filtros FIR

Para este tipo de filtros no existen los ciclos límite para las for-

mas de estructura directa o en cascada ya que no tienen realimentación.-

Análisis Estadístico de la Cuantización en Punto Fijo para Filtros FIR

La realización en forma directa de un sistema lineal de desplazamien-

to invariante con una respuesta h(n) _a la excitación muestreo unidad está

dada por la ecuación:

N-ly(n) = S h(k) x(n-k) (4,4.20)

97

El gráfico de flujo para el sistema lineal ideal y para el modelo es

tadxstico se presenta a continuación:

Xínn )• ^

h í O )

K . ,_ c

. . .

h d )

k ; (

h(2) ' ,

Ll _^_ C^

h(3)

(

> V,

h í H - 2 )

s • c

• h t H - l í

\ 1Yin)

(Fig. 4.19)

Xín)-O-

híO)

e,(n)

híl) hí2) h(3) jh(fí-2) j-híN-l)

W(n)= Y(n) + fin)

(Fig. 4.20)

A es una constante de ganancia, que se aplica a la entrada con'la fi

nalidad de prevenir el overflow/ adicionalmente se asume lo siguiente:

a.- Las fuentes e (n) son fuentes de ruido blanco.K.

b.- Los errores están uniformemente distribuidos en el intervalo de cuan-

tización. ' . •

c.- Las fuentes de error no son correlacionadas entre sí, ni tampoco con

la entrada-

98

E'l ruido a la salida es:í

N-lf(n) = E e, (n)

•k-o k(4.4.21)

(4.4.22)

Dé la ecuación 4.4,22 se observa que el ruido es proporcional a N,

longitud dé la respuesta a.la excitación impulso unitaria, y es 'indepen-

diente de los parámetros de'l filtro-

La aritmética de punto fijo tiene la limitación del rango dinámico,

por' lo que es necesario realizar un escalamiento de la entrada para evitar

él overflow, lo qué se' logra si es que: . • .

y (n) á x máx h (n) (4.4.23)

y(n) < 1 para todo valor de n

por lo que Se tiene que:

A <1

N-lX máx L h(n)

(4.4.24)

El escalamiento de la ecuación 4.4.24 será apropiado para señales de

banda ancha como lo son las señales de ruido blanco.

99

Análisis Estadístico de la Cuantizacion en"Punto Flotante para Filtros FIR

La aritmética de punto flotante elimina el rango dinámico, pero pre-

senta como en el caso de filtros I1R fuentes de error debidas al redondeo

de los productos y sumas.

El diagrama de flujo del sistema lineal ideal y del modelo estadísti

co se presenta a continuación;

" ~* : . Q t. -o cX C n )

) * 1

• h í O )

K — i

r • v ' s

MI)

k ?

h(2)

S c

h(3)

r\ .

h(N-I)

—oYCn)

(Pig. 4.21)

Xín)

7h(o> 'h(I) ÍIÍ3) 7MN-2) h(N-I

WínP»YínH-f(n)

(Fig. 4.22}

Como en el caso anterior se asumen las mismas condiciones para las

fuentes de error.

100

La salida w(n) se expresa comor

N-lw(n) = £ A(n,k) Mk) x(nHO' (4..4.25)

k=0

donde:

N-lA(n,0) =* (l+e0(n)) U

lí-1(n))

f(n) = 2 [A(n,k)-l] h (k) x(n-k) (4.4.26)k==0

2Si la señal de entrada es aleatoria, con una varianza c , la varlanza

de la -señal de salida será:

donde:

N-l2 h2(k){E[A2(n/k)] - 1} (4.4.27)

E [A (n,0)] = -(1 H- —~) (4.4.28)

E[A2(n,k)l = (1 + —jN+l-k (4.4,29)

101

2 2E [A (n,k)] = 1+(N + 1 - k) —— = aproximación binomial

En consecuencia:

2 : 2~2b 2 N"1 2 ' k- = (N+l) — CT 2 • h (k) (1 - —-) ' (4.4.30)'f 3 x . ^ N+l

2 N 2 k 2^ T, V(k) Cl - ~r). < a

— ú (N+l) — ' . - (4,4.31)a 'y

La ecuación 4.4.31 nos da la relación de.la señal de ruido a la señal

de salida. •

Si los productos y sumas parciales son acumulados en orden del incre-

mento de la magnitud de la respuesta a la excitación impulso unitaria se

espera un error promedio pequeño en la realización de punto flotante.

CAPITULO QUINTO

líIPIíEMENTKCIOÍI' DE: UN PRO'GKSMñ PARA- EL. DISEÑO DE UN FILTRO DI.GI.TAL-

El programa desarrollado permite- realizar el diseño de, filtros dígita.

les' FIR con fase- lineal., entre estos- se- pueden, mencionar los filtros, pas^a

bajos', pa-3'a-al.tO's> pasabaud;av filtros con múltiples secciones joasaban a y

múltiples secciones con banda de detención-

SI algoritmo- original fee desarrollado por J. McClellan y permite Qb

tener la respuesta de frecuencia del filtro a una excitación impulso uni

taria, para el efecto utiliza los coeficientes de la mejor aproximación oí?

tenida mediante la subrutina Remez,

El programa ha sido desarrollado en FORTRAN IV para el diseño da

tros digitales con múltiples secciones pasabanda y múltiples secciones con

banda de detención, el mismo se ha catalogado en el computador de la Escue

la Politécnica Nacional (IBM 370/125).

En este capítulo se presenta una descripción del programa desarro-

llado , así como también resultados obtenidos de varios ejemplos de apli-

cación.

102

1-03

5.1 DESCRIPCIÓN DE LOS PROGRAMAS DESARROLLADOS

El conjunto implementado consta de un programa principal y varias furi

clones y subrutinas.

El programa principal utiliza como parámetros de entrada la longitud

del filtro, el número de bandas de frecuencia, la atenuación deseada en ca

da banda de frecuencia, factor de ponderación 'en cada banda de frecuencia,

la longitud de la densidad de la grilla. Realiza la grafización de la res

puesta de frecuencia.

Subrutinas y.Funciones utilizadas

Subrutina Remez determina en base al cálculo de la mejor aproximación

de Chebyshev los coeficientes de la función de transferencia del filtro.

Trabaja con las siguientes funciones:

Función D calcula los coeficientes de la interpolación de Lagrange'

que se necesitan en la Función G.

Función G evalúa la respuesta de frecuencia del filtro usando' la fór

muía de interpolación de Lagrange en la forma baricéntrica.

O" "••.'\Subrutina Falla entrega mensajes' relativos a fallas en la convergen- .- !. "*

cía que se pueden presentar durante el cálculo de la mejor aproxima-

ción, es activada por la subrutina Remez.

El diagrama de flujo general del algoritmo se presenta a continuación.

104

ESPECIFICACIONESDEL FILTRO

CALCULO DE LA DENSIDADDE LA GRILLA

FORMULACIÓN DEL PROBLEMADE APROXIMACIÓN

ASUME VALORES INICIALESDE LAS FRECUENCIAS EXTREMAS

COEFICIENTES DELA MEJOR APROXIMACIÓN( SUBRUTIN A REME Z )

CALCULO DE LA RESPUESTAA LA FUNCIÓN IMPULSO

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

(Fig. 5.1)

A continuación se describe el trabajo realizado por el programa

principal y las subrutinas más importantes.

PROGRAMA PRINCIPAL

Especificaciones del Filtro

Se describen las características del filtro desde la instrucción 13

105

hasta la instrucción 23- ¿leí programa principal/ dichas especificaciones

son::

ar^- Longitud del filtro, identifica el número de elementos de la se-

cuencia respuesta de frecuencia del filtro. Su valor debe ser ma

yor o igual a 3; si se omite o se asigna un valor menor, el proi

grama asume el valor igual a 3.

b.- Numero de bandas de frecuencia, se refiere al total de secciones

pasabanda o de bandas de detención, su máximo valor es igual a

10, su valor se almacena en la variable NB&NDS.

c.- Límites superior o inferior de cada una de las bandas de frecuen

cia,, se almacena en el arreglo EDGE.

d.- Magnitud de la respuesta de frecuencia deseada en cada banda/ se.

carga en el arreglo PX.

er- La magnitud-de la ponderación correspondiente a cada banda de •

frecuencia7 se almacena en el arreglo WTX,

f.~ Longitud de la densidad de la grilla, su valor debe ser mayor a

16, si se omite./ el programa asume un valor igual a 16.

*Este parámetro sirve para formar un conjunto de valores tanto de ;

frecuencia como de ponderación entre los límites superior e infe

rior de cada banda de frecuencia; esto está comprendido desde la

instrucción 36 hasta la instrucción 52 'del programa principal.

106

Calculo de la densidad- de la Grilla

La determinación de los puntos de la grilla para cada conjunto d,e; b.an

deis de frecuencia es directa/ el espacio entre los puntos de la gri.lXa v-ie.

ne dado por: 0.5/ (LGRID*NFCNS) ,. donde NFCWS es el número de fungaon s de;

aproximación, el programa considera esta construcción desde la instr.uc,ció>Ei.

29 hasta la instrucción 33.- ~

Problema de Aproximación.

Sé establece con la respuesta de magnitud deseada D(f) / la,

ponderación W(f7, ambas funciones son continuas en un subconjunto F

do por los valores O y 0.5, y con uno de los cuatro casos de fil^rgs

fase lineal expresados en G(f), de acuerdo con lo desarrollado' en el

tulo cuarto , pág. 76.

Se debe minimizar el máximo error absoluto r expresado en la ecuación

4.1,42t Tanto D(f) como W(f) son evaluados sobre los diferentes purrfeps d@

la grilla y son almacenados en los arreglos DES y WT, respectivamente,

La formulación del problema de aproximación equivalente consiste en

formar D(f) y W(f) tales que satisfagan la ecuación 4.1.43. Esto se reali

za desdé la instrucción 57 hasta la instrucción 60 en el programa princi-

Asunción inicial de Frecuencias Extremas

Se asumen tantos valores de frecuencias extremas igualmente es-

107

paciadas sobre la grilla como funciones de aproximación (NFCNS) se ten-

gan, y es realizada desde la instrucción 61 hasta, la instrucción 64 del

programa principal.

Cálculo de la respuesta Impulso'e Impresión

Luego de determinar la mejor aproximación, los coeficientes de ésta

se utilizan para calcular la respuesta de frecuencia, esto se realiza des-

de la instrucción 68 hasta la instrucción 76,

La impresión de resultados se realiza, a partir de la instrucción 77

hasta la 147; la salida comprende los valores-de la respuesta de frecaen-

cía, los valores de las frecuencias extremas, los datos de entrada y la

grafización de la respuesta de frecuencia,

SUBRUTINñ REMEZ

Coeficientes de'la'mej or aproximación

Permite resolver el problema de aproximación calculando la aproxima-

ción ponderada de Chebyshev de una función continua con una suma de cos_e

nos. En la instrucción 67 del programa principal se llama a ejecución a

la subrutina .Remez.

En base a los conceptos anteriores, se presenta un diagrama de flujo

más detallado para el algoritmo del diseño del filtro.

108

I N I C I O

ESPECIFICACIONES DE ENTRADA

1.- Longitud del filtro (NFILT)2.- Tipo de filtro (JTYPE = 1)3.-* Número de bandas de frecuencia (NBANDS)4.- Densidad de la grilla

'ESPECIFICACIONES DE ENTRADA

5.'- Márgenes de las bandas.- EDGE ( )6.- Función deseada en cada banda..- FX ( )7.- Constante de ponderación para cada banda.

WTX( ) ' .

Calcula el número de funciones de aproximación(NFCNS). Depende del tipo y longitud del filtro

Construye la densidad de la grilla.- GRID( ).-Espacios entre puntos de la grilla igual a-.0.5/(LGRID) (NFCNS)

Construye dos arreglos DES( ) y WT( ), contie-nen el valor de la función deseada y la funciónponderación en cada punto de la grilla

Longi-1. ud Impar Longitud Par

Cambio de los arreglos DES y WTDES(j) =DES(j)/cos [-nGRID(j)]WT(j) = WT(j) eos [TrGRID(j)]

109

Asunción inicial para la localización de lasfrecuencias extremas. La localización es grabada para guardar el índice de la frecuenciaen la densidad de la grilla GRID( ).Los índices son almacenados en el arreglo IEXT.La suposición inicial es: NFCNS + 1, igualmen.te' espaciados los valores índices -

Subrutina Remez para el cálculo de la mejoraproximación

Longitud Impar Longitud Par

H(j) = * a (NFCNS + 1 - j)

H (NFCNS) = a(l)El arreglo a contiene loscoeficientes de la mejoraproximación coseno.

H ( j ) = i [a (NFCNS + 1+ a (NFCNS + 2

H.(l) = é a (NFCNS)H (NFCNS) = i a(l) + t

- j) +- J ) ]

\ (2)

SALIDA:

1.- Título2.- Tipo de filtro3.- Longitud del filtro4.- Respuesta impulso5.- Límites de las bandas6.- Valor deseado en cada banda7.- Ponderación en cada banda8.- Desviación en cada banda9.- Desviación en DB para tipo 1 .10,- Frecuencias extremas11.- Graf ilación de la magnitud de la respuesta

F I N

(Fig. 5.2)

110

Las entradas a la subrutina son: densidad de grilla, función deseada

sobre esta grilla/ función ponderada sobre la grilla, frecuencias extremas

inicialmente asumidas y el número de funciones de aproximación.

Dentro de la .implementación del filtro digital desempeña un papel im

portante la subrutina Remez, la misma que calcula la aproximación pondera^

da de Chebyshev de una función continua con una suma de cosenos.

La teoría de la aproximación dé Chebyshev sobre un conjunto compacto

F, establece que el problema expresado en la ecuación 4.1.42 tiene una so_

lución única, y-más importante es el hecho de que la condición necesaria y

suficiente que caracteriza la mejor aproximación está dada por el teorema

de alternación (capítulo cuarto, pág. 79).

La subrutina minimiza el error de Chebyshev determinando la mejor lo-

calización de las frecuencias extremas y en base a estas frecuencias calcu

la sus coeficientes.

El diagrama de flujo de la subrutina Remez se presenta a continuación:

111

I N I C I O

ITRMAX =25NITER = 0NZ = NPCNS + 1

NITER = NITER + 1

Calcula abscisa para interpolación deLagrange. F(j) son frecuencias extremas

X(j) = cos(2irF(j))

Calcula interpolación de Lagrange delos coeficientes usando subrutina D

mAD(j) - n fx(i) - x(j)] (i * j)

JLCalcula el valor corriente de la desviación (DEV)

AD(j) DES[IJEXT(j)]

DEV =mS (-1)J AD(j)/WT[IEXT(j)]

GRABA SGN(DEV), DEV ~' ]DEV|

Calcula ordenadas para interpolación deLagrange(j) = DES[IEXT(j)] + (-1)3 DEV/WT[IEXT (j)]

112

FALLAMensaje de Error

Para la Ira. FrecuenciaExtrema se asigna límitessuperior (KÜP) e inferiorsobre la grilla (KLOW)KUP=IEXT'(2) ; KLOW-0; J=l

Evalúa la respuesta de 'frecuenciausando subrutina G en GRID(K-fl)donde K=IEXT(J) y calcula el errorERR=WT(K+l)[G(K-KL)-DES(K-KL)]

Busca en K+2,K+3...KüPhasta que el máximo seaencontrado

Calcula respuesta defrecuencia y pondera-ción de error en K-l

Busca en K-2,K-3...KLOW el máximo

Cambia Frecuencia ExtremaActualiza KLOW y KUP parapróxima iteraciónKLOW=max[nuevo IEXT(J)-17IEXT(J)-1]KUP=min[IEXT(J-2),HGRID]JCHNGE=JCHNGE+1

Busca en K-2,K-3..KLOW el máximo

Actualiza KUP,KLOW

113

Actualiza KDP,KLOW

Busca en K+2,K+3...KUP el máximo

Í200 j

Busca índices menores al min[IEXT(1),nuevo IEXT(1)] para unerror con signo - a(l) y mayorque el error en el nuevo IEXT{n)

Si

Almacena el índicevalor de error

y el

Busca índices max[IEXT(n),NuevoIEXT(n)] para un máximo de la curvaerror con signo - CT(n) y un error^al error del nuevo IEXT{1) y del e-rror encontrado en 300

Encontrómáximoen 300

IEXT(l)=nuevo IEXT (2)

ÍEXT(n~l)=nuevo IEXT(n)IEXT(n)=índice encontrado

IEXT para próxima ite-raciónIEXT(l)=índice encon-tradoIEXT(2)=nuevo IEXT(1)

IEXT(n)=nuevo lEXT(n-l)

IEXT(J)=nuevo IEXT(J)

Evalúa G en NFCMS puntos igual-mente espaciados en el intervalo

Calcula transformada discreta in-versa de Fourier para obtener loscoeficientes de la mejor aproximación

RETURN

F1G. 5.3

115

La subrutina1 Remez realiza como máximo 25 iteraciones, en caso de que

el número de iteraciones sea mayor a 25 (instrucción 169) se bifurca a 400

(instrucción 317), donde se realiza el cálculo de los coeficientes de la

mejor aproximación usando la transformada discreta inversa de Fourier.

En base a las frecuencias extremas inicialmente asumidas en el progra

ma principal, se realiza desde la instrucción 170 hasta la instrucción 173

el cálculo de las abscisas de las frecuencias extremas para la interpola-

ción de Lagrange,

La interpolación de Lagrange de los coeficientes; usando la función

D, se realiza desde la instrucción 174 hasta la instrucción 176.

El cálculo de la desviación (DEV) de las frecuencias extremas se rea-

liza desde la instrucción 177 hasta la instrucción 187.

Se obtiene el modulo de la desviación (DEV) desde la instrucción

188 hasta la instrucción 190.

En base a las frecuencias extremas se calculan las ordenadas para la

interpolación de Lagrange desde la instrucción 191 hasta la instrucción

196,

En la instrucción 197 se compara el valor de la desviación (DEV) con

la desviación anteriormente calculada (DEVL) T si es menor imprime un mens_a_

je por medio de la subrutina FALLA por posible error en la convergencia de

la desviación y va a la instrucción 400 desde la cual se realiza el cálcu-

lo -de los coeficientes de la mejor aproximación, si es mayor asigna para

116

la primera frecuencia extrema límites superior e inferior e inicia la bus_

queda de la mejor aproximación para cada frecuencia extrema, para lo " cual

evalúa la respuesta de frecuencia usando la función G y calcula la función

de error (4.1.42) desde la instrucción 200 hasta la instrucción 316.

Desde la instrucción 317 hasta la instrucción 398 se calculan los coe

ficientes de la mejor aproximación que servirán para el cálculo de la res

puesta de frecuencia del filtro. . •

Función D.- Llamada a ejecución por la ' subrutina Remez realiza el

cálculo de la interpolación de Lagrange de los coeficientes, . los diferen-

tes pasos de esta función se presentan desde la instrucción 399 hasta la

instrucción 416. • .

Función G.- --Llamada a ejecución por la subrutina Remez para evaluar

la respuesta de frecuencia usando la fórmula de interpolación de Lagrange

en la forma baricéntrica, la misma se presenta desde la instrucción 417

hasta la 435.

SUBRUTINA FALLA ' '

Constituye una salida a impresora, con un conjunto de mensajes sobre

posibles fallas en la convergenciar estos son:

- Probable causa está en un error de redondeo de la máquina

La respuesta impulso puede ser correcta

Chequee con la respuesta de frecuencia.

Se presenta desde la instrucción 436 hasta la 440 y es llamada a eje.

117

cución por la subrutina Remez..

El listado del programa desarrollado de acuerdo con los diagramas de

flujo de las figuras 5,1, 5.2 y 5T3 se presenta en el ANEXO 1.

5.2 APLICACIÓN DE LOS PROGRAMAS Y MODO DE EMPLEO DE LOS MISMOS

5.2.1 Aplicación'de'los Programas

La aplicación básica del programa aquí implementado es la ob-

tención de la respuesta de frecuencia a una excitación impulso

unitaria de un filtro digital/ para lo cual se realiza .una se

rie de aproximaciones hasta conseguir minimizar la función de

error-expresada en la ecuación 4,1.42 tal que ERR á DBV, todo

esto lo realiza la subrutina Remez.

Previamente se calcula el número de funciones de aproximación,

se construye una grilla, sobre la cual se calcula la magnitud

de la respuesta deseada y la función de ponderación.

Realiza una suposición inicial para la localizacion sobre la

grilla de las frecuencias extremas, que servirán como punto de

partida para resolver el.problema de aproximación; la mejor

apr< .cimación se determina de acuerdo con el teorema de alterna.

cié':

Luego se realiza el cálculo de los coeficientes de la mejor

118

aproximación usando la transformada discreta inversa de

Fourier.

A continuación se realiza el cálculo de la respuesta impulso

unitaria, luego se imprime la información de los parámetros

de entrada, de la respuesta impulso unitaria, y la grafisación

de la respuesta de frecuencia que permite visualizar su magni

tud.

5-2.2 Modo de empleo

Para el diseño del filtro es necesario suministrar al computa

dor la información que permita obtener él filtro digital desea.

do, se deben proporcionar los siguientes datos:

Tarjeta f 1.- Longitud del filtro, numero de bandas de fre-

cuencia, longitud de la densidad de la grilla.

Tarjeta # 2.- Los límites superior e inferior en cada una de

las bandas de frecuencia.

Tarjeta $ 3.- La atenuación deseada en cada una de las bandas

de frecuencia.

Tarjeta'# 4.- El valor de la ponderación para cada una de las

bandas de frecuencia.

Se debe procede/. •;'-. perforar las tarjetas de datos de acuerdo

con lo señalado o.i la Tabla A2-1 del ANEXO 2, igualmente se

119

presenta el código de las tarjetas de control que permiten que

se ejecute el programa.

En caso de que se presente algún error en las tarjetas de da

tos, imprimé un mensaje de error y se cancela el trabajo; esto

sucede especialmente si la longitud del filtro está fuera de

los límites.

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Se considera el siguiente diseno

IHO :

(Fió. 5.4-)

120

Las características deseadas presentadas en la figura 5.4 son :'

N° Banda 1 2 3

Limite inferior 0.0 0.2 0.425

Límite Superior 0.1 0.35 0.5

Atenuación deseada 0 1 O

Valor de ponderación 10 1 10

Como parámetros adicionales se dan:

Longitud del Filtro 32

Longitud de la Grilla 32

Se desea deerrainar:

1.- -La respuesta a una excitación impulso unitaria

2.- El gráfico de la respuesta de frecuencia

SOLUCIÓN

Como se puede observar en el resultado presentado en la Tabla A2-2

(Anexo 2), las características del filtro obtenido difieren de las caracte

rísticas deseadas, así en las zonas de las bandas de detención se desea

que la magnitud de la respuesta sea cercana al valor cero o sea que la ate

nuación en los puntos de la zona eliminabanda sea más negativa (en DB),

Con el objeto de obtener una mejor respuesta/ se realizaron variacio_

nes en ciertos parámetros como son: el valor de la ponderación, la longi-

tud de la densidad de la grilla y la longitud del filtro.

121

Los resultados obtenidos al realizar dichas variaciones son también

presentados en la Tabla A2-2 (Anexo 2). Así al variar la ponderación en

las zonas eliminabanda se observa que si este valor aumenta la atenuación

aumenta, mientras que la atenuación disminuye en las zonas pasabanda, es

to se debe a que el error en que se incurre es menor. En otras palabras,

a mayor valor de ponderación en las zonas de las bandas de detención la

respuesta de frecuencia obtenida se acercará más a la respuesta de fre-

cuencia deseada.

En forma similar se hizo variar la longitud de la densidad de la gri

lia y se mantuvieron constantes los parámetros restantes/ el resultado in

dica que cuando se tiene un menor número de puntos en la grilla el error

máximo evaluado en esos puntos es menor que en el caso en que se tenga

una grilla con mayor cantidad de puntos, esto se debe a que al tener ma-

yor cantidad de puntos la interpolación es susceptible de un mayor error.

Se debe considerar que para obtener un resultado aceptable la longitud de

la grilla debe tener un valor mínimo, en el presente trabajo se ha asumi-

do igual a 16.

Al variar la longitud del filtro y mantener el resto de parámetros

constantes se observó que al aumentar la longitud del filtro la atenua-

ción en las zonas de bandas de detención disminuye, igual comportamiento

se presenta en las zonas pasabanda.

CAPITULO SEXTO

CONCLUSIONES

El presente trabajo trata de dar una herramienta que sirva de ayuda pa

ra la obtención de las características deseadas en el diseño de un filtro -

digital (FIR) con fase lineal, lo que se logra con el método de intercambio

Remez que es utilizado en el programa, el cual a su vez brinda la facilidad

para la variación de ciertos parámetros de entrada como son: la longitud de

la densidad de la grilla, longitud del filtro y variación del valor de la -

ponderación en cada banda de frecuencia, lo que permite obtener resultados

que sirven para un mejor análisis; lo cual 'quedo demostrado en el ejemplo

de aplicación de que se obtendrá una mejor respuesta de frecuencia si es

que se aumenta el valor de la longitud del filtro.

Indudablemente que el algoritmo tiene sus limitaciones que pueden -

ser solucionadas, así se tiene que el programa permite el diseño solamen-

te de un tipo de filtro como son los filtros selectivos de frecuencia, pu

diendo ser implementado el diseño de otros tipos de filtros. Otra limita-

ción es el valor máximo que puede tener la longitud del filtro, dicho valor

es igual a 128 y podría ser modificador para lo cual se debe tener la pre-

caución de que no se sobrepase el área común en memoria ya que paralelamen

te se debería modificar el dimensionamiento de ciertos arreglos.

Otra limitación se tiene en la grafización de la respuesta de frecuen-

122

123

cia ya que no se puede obtener un gráfico que permita, observar de una inane-

ra mas exacta los efectos de la atenuación, por cuanto no se dispone de un

grafizador,

El diseño de un filtro digital (FIR) constituye una parte dentro del

procesamiento digital de señales/ por lo que el presente trabajo puede ser

mejorado, superando las limitaciones anteriormente señaladas. Puede servir

como referencia para el diseño de un filtro digital (IIR). La respuesta de

frecuencia obtenida sirve para que se realice el proceso de convolución con

señales de entrada y así obtener señales filtradas.

B - I B L I O G R A F - I A ; - '

1, " OPPENHEIM, A,V., Digital Signal Processing, Prentice Hall,Inc.,

N.J,. 1975 _ • • ' • .

2, LIU, A., Digital.Signal Processing, John Wiley S Sons, 1976

3, . ANTONIOU, A,f.Digital Filters: Analysis and Design, McGraw-Hill,

1979 . . . . . .

4, ' LIU, C,Lrf'Linear Systems Analysis, McGravr-Hill, 1975

5,- - GELB, A,, Applied Optimal Estimation, Gelb Editor, 1974

6.. OPPENHE1M, A.V,f Applications of Digital Signal Processing, Pren

' tice'Hall, Inc.f N,J.. 1978 • ' " • ' - ; -

.7,-. ' McCLELLAW^J.,; PARKS7T,: RABIWER.L, 7 A Computer Procjram for Desig

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• On Audio and Electroacoustics, Vol.AU-217pp.506-5257 December 1973• ' . - j • •

' 8V McCLELLAKfJ{; PARKS,T-, Chebyshev aproximation for nonrecursive

Digital Filters. witK-i Linear Phase7 IEEE, Transactions on Circuit

.Theory, Vol,CT-19, pp.189-194, March 1972,

9, ' RABINERf Lr f Linear Program Design of Finita Impulse Response

(FIR) Digital Filter.s^ IEEE, Transactions on Audio and Electro-

acoustics, Vol, AU-20, pp.280-288, October 1972. ' . '

A N E X O 1

LISTADO DE LOS PROGRAMAS

Al-1

17-

13-

19~

30

72 ""

33

. P-20 . - . -CSOPTrONS T=20 00, PAGE=50 -

C**************v***V5<***** *****************C**PROGRAMA PARA EL DISEÑO DE UN FILTRO 'DIGITAL OE RESPUESTA.. F I N I TAC**A FUNCIÓN IMPULSO Í F I R ) » E L FILTRO TIENE FASE LINEA "

C**PROGRAMA QUE FORMA PARTE DE LA TESIS PRESENTADA'COMO1 vRE.fcJU T S.IJ.Q VC#*PREVÍO A .LA- OBTENCIÓN 'DEL'TITULO DE INGEN IERO.: EN' ELECTRÓNICA' VY/">C**T£LECOMUNrC¿CiaNeS,OTORGADO POR L A 'ESCUE.UA <POL ITECN I CA NAC tON^AÍ/

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140

C**TRABAJO REALiZADO -POR: - WILSÜN ANDRADE APUNTE*C**D.tR£CTOR DE TESIS-: ING. JORGE VILLA .

C****** ******* **^ *****************COWWON DES , V;T , ALPHA , I EXT .NFCNS-.NGRDF-MENS ION' I EX Tí 66 ) , A D Í 6 6 . ) 3 ALPHA C 6 6 ) , X ( 6 ó ) , Y í 6 6 } , H ( 6 6 ) :DIMENSIÓN. OES í 1045 > , GRID £1 045)- i W T Í 104-5 í , , • . •DIMENSIÓN EDGEÍ 20 ) ,FXÍ 10 }, W T X Í 1.0 ) , DEV.IATÍ 10 ) * ¡ ; . , ' -V ,'J- 1 ' ' ' ; 1 1 i .DIMENSIÓN OMEGA (50) , RESPA( 50 }J;-'.; . •'.',','•' í . ; ; ' 'Ü¡ ' íCHARACTER*! VL I NC 100 ) / LO O* ' .-' / V AST /" * './ , L.I NV '-'/, BLAN/ ' • . ' ' /DOUQLE PRECISIÓN OMEGAi SUH AR >SUMAC > RESPA . ATTN ,R topLE . SVR I POOUBLE PRECISIÓN PI2.PIDOUSLE PRECISIÓN A D - . O E V . X í YPI 2=6.-28-3I85307179586-. ,'Pl=3.1 41 5926S3S39979 '• ' ..

LONGITUD MÁXIMA' DEL FILTRANFMAX-128 . ' :. \' •' -yCONTIN.UE • - - ; : -*-LEE LONGITUD DEL FILTRO,/* DE BANDAS,LONGITUDGRILLA • ' ' - , . \• - • • - , ¿- /.„JTYPE=1 ' : • • - . . .R E A D Í 1 ,1-01 a END= 900.JNFILTiNS ANOS .LGRIDFORMATÍ 13,212) • . -. ,IF ÍNF ILT.GT.NFMAX . OR .NF IL T . £Q ,3 ):. CALLIF (NBANDS.LE.O) NBAN05=i , '- - LONGITUD DE LA- GR ÜLLA--SE ASUME l'6-S IIF ÍLGRÍ D.LE. O J - LGR ID = 16 .

MARGENES SUPERIOR £ INFERIOR DE L'AS 3ANDASV-JB=2*NBANDS - - . ' -.. ••-,. ' - . ,-•,READÍ1 ,* )• (EDGEf J-) . J=l » JH) ' • • « ' , • .

FUNCIÓN DESEADA EN CADA BANDA.- FX (- ) • "*--•>,READÍ1 , $ } ( F X ( J ) , J = l , N 3 A N D S )

FUNCIÓN DE PONDERACIÓN PARA CADA BANDA .-READÍ1 ,* ) ( W T X Í J ) , J-1-^NBANDS )CALCULO DEL NUMERO OE FUNCIONES DE A P R O X I M A C I Ó N

NFCMS SIEMPRE SE BUSCA QUE SEA PARNEG=0 - ' • 'NODOsNFI LT/-2--"1- ——• T -— '--N O D O = M F I U T - 2 * N O D DNFCNS=NF ILT/2I F Í N O D D . E Q . 1 ) NFCNS=NFCNS+ t ' 'CONSTRUCCIÓN D£ LOS PUNTOS • OE-OENS I DAD-DS--LA-.-GR-I-LLAEL NUMERO DE PUNTOS EN LA GRILLA ES T CNFILT+1J*LGRID/2

EL ESPACIO ENTRE LOS PUNTOS DE LA GRILLA ES:DELF-0. 5/ÍLGRID*NFCNS ) .. .- , ' " •

GR IDf 1-)=EDGE{ 1 ) —DELF=LGRID^NFCMSOELF=0 ,5/DE'LFCONTINUÉL8 AND= 1- — ~J=lL=IFUP=EDGEÍL+1)

14-5--TEWP=GR-t-OÍ J >-CALCULO DE LA MAGNITUD DE LA RESPUESTA DESEADA • C D E S ( J ) )

Al-2

38

17

3

4

5

J

a9

10

unÍ3

14

15

u

t a15

23

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Y DE LA FUNCIÓNDES(J)=FX(LBAND}

- WT Í J ) s = W T X ( LBANÜ í

DE PONDERACIÓN Í W T Í J ) J SOBRE CADA PUNTG DE LA GRILLA

GRIOCJ3=TEMP+DELFCOMPARA SI EL VALOR DEL PUNTO DE LA GRILLA

- - A L LIMITE SUPERIOR DE LA" E ANDA' ED GE (- }IF Í G R I D ( J ) * G T . F U P ) GO TQ 150GO TO 145G R I D í J — 1 ) — F U P 'DES (J-l ) =FX (LBAND ) —:- ••-. .—W T í J - l ) = WTX ÍL'BAND ) . . ' • . - - --LBAND=LB AND + 1

NGR ID=NGRID-1

ÍGR ID í J ) ) ES M A Y O R

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IF ( LBAND .GT^.NBANDS J--GO—TO—16-0-GR IDÍJJ = EDGEÍL) :GQ TQ 140NGRID=J-ÍIF( NEG «N 6. NODO) ' GO"TQ'"l-65IFÍ G R L D Í NGR ID ) » GT . { O . 5-DELF ) )CONTINUÉCONSTRUCCIÓN DE UN MUEVO PROBLEMAEQU EVALENTE- AL PROBLEMA OR ÍGÍNAL '-,"?--—;

COMPARA SI LA LONGITUD DEL FILTRO ES P A R . " S I ES PARREALIZA UN CAMBIO TANTO EN LA FUNCIÓN • DESEADA C O N O .EN LA FUNCIÓN DE PONDERACIÓN SOBRE CADA PUNTO DE LA

IF ÍNODD-EQ.13 GU TO 200—- - 'DO 175 J=l , N G R ID - . l ' SCHANCEAD CUS ÍPI*GRID( J ) ) • • .-' .D E S Í J ) = O E S Í J 1 / C H A N G E - ' - /'W T Í J >=WT (J)*CHANGE ' ~ . ' .-- /rAVvO

SUPOSICIÓN INICIAL PARA LA LOCAL I "¿ACION^ÜE LAS FRECUENCI ÁS'VEXTREMA'SIGUALMENTE E S P A C I A D A S A LQ LARGO DE- 'bA GRILLA • - ' . ^ff FRECUENCIAS EXTREMAS ES IGUAL AL\ DE FUNCIONES D E ^ Á P R O X I M A C

- - -200 - TEMPsFLOAT í NGR I D- 1 ) / FLOAT ( NFCNS }DO 21.0 J = l , NFCNS ' ' / . .• -,IEXTÍJ)-ÍJ-1}*TEMP+1I EXTíNFCNS+1 )=NGRID * ,NMl=NFCMS-i-NZ = NFCNS + 1 ' L^f¡LLAMA AL ALGORITMO REMEZ PARA^REAL C Z A R ELCALL REMEZÍ EDGE .NBANDS ) U^? •'> - -CALCULA LA RESPUESTA IMPULSO-,

TO 3 1--0

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PROBLEMA

IFÍ NQDD, E O . O ) G ODO . 305 J=L »NM1H í J )«0 , S*Al-PHAtNZ-J )Hí NFCNS) =ALPHAt I.)-GO TO 350 .Hí 1 )=0 .2 5* ALPHA (NFCMS ) \/ , ~r-\,DO 315 J=2,NH1 ' i4,.,\ -

3 L5 H í J i=0,2S*(ALPHAt NZ-J )+ALPHAíMFCNS + 2-J) )Hí NFCMS) =0 . 5*ALPHA< 1 ) +0 . 25* ALPHA ( 2) .;' "..--, ?'

SALIDA • "f ,PRINT 360 • ^ "--FORMAT(1H l , 70 (1H* ) / / 25X , 'RESPUESTA IMPULSO FINITA

I 'DISEÑO DE UN FILTRO DIGITAL CON FASE L INEAL ' /25X2TERCAMBÍO REMEZ ' /25X , ' F ILTRQ P A S A B A M D A ' / ) • ,. '. :

PQINT 378iNFÍLT*LGRIDFORMAT (1 5X, ' LONGITUD DEL FILTRO ~ J ».I3 » S X » ' DENS J.DA.D

* f i 13,// ) ' ' ' ' • : } ' • - } í ^PR [NT 380 • • . - :o \¿J ¿j* iF O R M A T ( 2 0 X , ' * * * * # RESPUESTA IMPULSODO 381 J=l, NFCMS -

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IF íKUP.GT.NBANDS) KUP=N8ANDSPR [NT 335, ( J , J=K,KUP ) • • - - - - - -F O R M A T Í / 2 4 X , 4 Í ' BANDA ' , 13 ,8X) / )PR INT 3-50, í EDtíE(2*J- 1 ) . J=K .KUP )F O R M A T ( 2 X , ' B A N D A INFERIOR ' ,SF15-PRINT 395, í E D G E £ 2 * J } 3J=K ,KUP)

j , , ...

9)

FORMAT ( 2 X , ' B A N D A SUPERIOR 5f=I5. 9 )PR INT • 40 O »FORMAT (2X,PRINT 41 O, ÍF O R M A T Í 2 X , 'DO 420 J=K,

í FX í J ) > J=K » KUP )VALOR DESEADO ' , 2X,SF15 . 9 )V / T X ; J) , J = K,KUP) . . r ..PONDERACIÓN 1 , 4 X , 5F1 5 . 9 )- .KUP - ' ' -

DEV IAT í J ) = D E V / W T X t J )PRINT 425, í DE VI AT £ J) •, J=K ,KUP.) • ---------FORMAT ( 2 X , ' DESV ÍAC ION ' , S X » 5F15.9)DO 430 J=K , KUPD E V I A T C J. ) = 2U , O t f A L O G l O ÍDEVI AT( J ) JPRINT 435, ( ÜEVI AT Í J ) , J=K » K U P ) ......FORMATl 2X. ' DESV I A C I Ó N DB ' .5F.V5. 9)

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CALCULO DE LA RESPUESTA DE FRECUENCIA- . . ' .PRINT f l O • " - - ' - - • 'FORMAT í 1 Hl . 5X, ' *********** RESPUESTA DE FRECUENCIA **** *******

*'• ,.//,4X , 'FN ' » 8 X , ' DB» ) . . . • - 'D O 610 I KA=1 .50 ' • • • ' . ' • • ' : 'O MEGA C IK A ) — O . - O I O O O O O Q O - M I K A 1 ) • • , • • . - *

üUMAK -0 .U "".SUMAC = 0 , 0 , • ' . - ' . • . ' . . -

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SUMAC» SU MAC >H £ N IK )*í DS CNÍP I 2*0 MEGA í IK A ) * ( N IK- 1 ) ) + • . ' ' . • •'• •IOS J N £ P I 2 # O M E G A Í IKA)*ÍNFILT-NIK) J ).. ,' .CONTINUÉ . . . - . . ' . . . - •

• i t- • (NÜDD.HU. l ) SU MAR=SUM AR— H ( NFCNS) ; - L D C O 5 Í P I 2 + O M E G A Í I K A ) - * Í N F C M S 1 ) ) •IF (NÜDO.EO-1. ) SUMAC=SUMAC-H(NFCNS )*DS IN(PI2*OMEGA( IKA)*Í .NFCNS-1 ) ):RESPAÍ t K A ) = DSORTÍ SUMAR**2 + SUMAC**2)^ - -^-v— t - ~\Í I K A ) = 20 . 0 *DLOG 1 0 ( RESPA í IKA) ) .-' ,.,.:\'N v *- • '— ^•"'^-^^ ^\- ' '' "

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CONTINUÉ • ' . ' ".^o? .' .* ' • j ih'í;! •r':í"X\í''-í¡fi¡ • \ ^2 \$\- -PkíN'l 630 . 0 MEGA ( IKA }» RESPA ( IKA } •> VL IN > ' ' ' i - ' . '• !i P • ¡ 1 1 ' .-•• s*~\ • •'"FORMATÍ3X .F5 .3 ,3X,F9.3 ,4X, 100AT) , , ' i. í ¡ ', ¡ i ' •' '<; -'•' "-'' f. i 1 1 ¡í .. ;-.J (¿& J >H \O 613 J9=1 ,JA • - ... rij ' ,',' . í i r ;¡ 1- H ií • ' ''f.i|l 1 { í ) ! ! ' ' ' --•' ' ' r^-n *^ j ' \L [N£ J9)=BLAN ? ^ ! IZ^J r , ! i'¡ J | ; ¡ ; 1? ' : '.' ' ' | ¡ Ü ;; |¡ ! VS \*~^ \ ¿\

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ESTA SUS RUT I NA IMPLEMENTA EL ALGORITMO DE INTERCAMBÍO REMEZ PARA b***f /LA A P R O X I M A C I Ó N PONDERADA DE CHESYCHEV DE UNA FUNCIÓN CONTINUA CON f /

UNA SUMA DE COSENOS. , _ _ . . . ..... .„ _ - >"""'"/' /

SUBSTlfUYE AL EJE -DE F3ECUENC I A S , LA FUNC ION ;DE.SEADA1J SOBRE ESTA^" / - - • 'G R I L L A R L A FUNCIÓN PONDERADA SOBRE LA GR ILLA', EL , NUMERO -DE COSENOS S • •Y UNA SUPOSICIÓN INICIAL DE LAS^FRECUENCI^AS^EXTREM AS * t - j- j" X . - " - " ; ' ' _ -.tL HHÜGRAMA' MINIMIZA EL ERROR DE CHEBYCÍ ICV DETERMINANDO LA MEJOR . ' " 'LOCALIZACIOM DE LAS FRECUENCIAS E X T R E M A S (PUNTOS DE. MÁXIMO- ERROR)Y CALCULA LOS COEFICIENTES DE LA MEJOR A P R O X I M A C I Ó N . ^<"COMMOM DES , WT , ALPHA.» IEXT, NFCNS, NGRID-.P 12. AD ,DEV ,X,, Y ,GRID''

•D IMENSIÓN HDGE(20) •- - - • • >DIMENS ION I EX Tí 66) , A Di 66 ) , ALPHA í 66 ) , X í 6 6 ) . Y í 66 )DIMENSIÓN DES í 1045 ) , GRIDÍ I 045') , W T ( 1045 ) ' . . -DIMENSIÓN A ( 6 6 ) vP í 65 ) t O Í 65 ) - ,

- DOUBLE PRECISIÓN P I2>DNUM, DDEM > DTEMP » A * P j Q • • • •DOUBLE PRECISIÓN AD , DEV , X . Y , ERR , D , G : .

NUMERO M Á X I M O DE . I T ERAC IONES ES DE 25 -. • •• ¡ITRMAX=25 . - , ' • . .'

NZZ=NFCNS+2 - - . . ' ' ' ; " 'NITER = 0 ' . " • . • _ ' • • - • • . • !

• ••COMriHUE ' " . . . . . . jI E X T C N Z Z ) = N G R I D + 1 . . . . ¡NITER = NITER-t-l . - - . :IF (NITER/GT. ITRMAX ) GO TO 400 ' ' • - - - -

DO 1 10 J = l , NZ .DTEMP=GRID( IEXTÍ J ) ) . , - ' . , ;DTEMP=:OCCSÍ OTEMP*PI2 ) / . ' ^ . -X - \ J ) — DTC/^P • - i . -jET=íNFCNS-.i:)/is+i • : . . . . . . - . • . . . ; .,.,.,.,- . . ' . . . . . - ' • :

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20 3 'CHEQUEE CON UNA RESPUESTA DE FRECUENCI?) 440n~ 441 END

23 " SENTRY

A N E X O 2

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

TABLA A2-1 '(CONTINUACIÓN)

El formato variable almacena en precisión simple; los datos de entrada deben ir separados, por una.

coma y se debe perforar el punto decimal. Los datos pueden ocupar una Q más tarjetas, en cuyo caso

la tercera tarjeta se convertiría en cuarta y así sucesivamente,

NOTAS:

Formato I (enteros) perforar el valor justificado a la derecha

'

TARJETAS DE CONTROL

Se deben perforar desde la columna 1:

// JOB Nombre. H° Cuenta

// EXEC WATFIV

$JOB

Tarjetas de datos

/* /& * $$ EOJ

í Columna 1

ATABLA

PERFORACIÓN DE LAS TARJETAS DE DATOS

TARJETAS

DE DATOS

Primera

LUMN&S

1 a 3

4 a 5

6 a 7

FORMATO

13 12

12

NOMBRE DE

VARIABLE

WFILT

ÑBANDS

¿GRID

CONTENIDO Y OBSERVACIONES

Longitud del filtro

Numero de bandas de frecuencia

Longitud de la densidad de la grilla, si se

perfora un cero o si se omite, el programa

asume un valor igual a 16

•Segunda

Variable

EDGE( )

Arreglo de 20 elementos. Determina los ma:r

genes superior e inferior en cada una de -

las bandas.

Tercera

Variable

FX( )

Arreglo de 10 elementos. Determina la ate-

nuación deseada en cada una de las bandas.

Cuarta

Variable

WTX( )

Arreglo de 10 elementos. Determina la pon-

deración deseada en cada una de las bandas-

para una mejor visualizacion en la grafizji

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NOMBRE DEL PROGRAMA:

ELECFDAR

TARJETAS DE DATOS VARIANDO LA PONDERACIÓN

Se deben perforar desde la columna 1:

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Se deben perforar desde la columna 1;

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A N E X O 3

MANUAL DE UTILIZACIÓN PEL PROGRAMA ELECFDAR

Í N D I C E

OBJETIVO " ' M - 1

MÉTODO DE SOLUCIÓN . M - 1

Descripción del Programa

NOMENCLATURA M - 3

Variables de Entrada

Variables de Salida

FORMA DE PROPORCIONAR LOS DATOS

AL PROGRAMA (INGRESO DE DATOS) M - 3

FORMA DE UTILIZAR EL PROGRAMA M - 4

N

M - 1

OBJETIVO

El objetivo al diseñar un filtro digital es el de determinar su fun

-~1ción de transferencia; la cual es una función racional en Z en el caso

-ide filtros recursivos (IIK) o es un polinomio en Z en el caso de fil-

tros no recursivos (FIR).

La función de transferencia debe generar una respuesta de frecuencia

que cumpla con las especificaciones de diseño/ sino exactamente, por lo

menos determinar la mejor aproximación.

El programa diseña un filtro digital (FIR) con fase lineal.

MÉTODO DE SOLUCIÓN

El algoritmo utiliza el método-de intercambio Remez, mediante el cual

se obtiene la respuesta de frecuencia deseada que corresponde a los coefi-

cientes de la mejor aproximación de Chebyshev.

El programa consta de las siguientes partes:

Programa Principal

Determina los coeficientes del filtro; genera la grilla de frecuen-

cias; llama a ejecución a la subrutina Remez; calcula la respuesta a la

función impulso unitaria/ asi como también la respuesta de frecuencia del

filtro; por último imprime los resultados obtenidos.

M - 2

Subrutina Remez

Calcula la mejor aproximación de Chebyshev hasta conseguir minimizar

la función de error, para el efecto utiliza la función D, la función G,

que se necesitan para la interpolación de Lagrange.

Determina la transformada discreta inversa de Fourier de la respuesta

de frecuencia para.obtener los coeficientes de la mejor aproximación.

Función D

Calcula los coeficientes de la interpolación de Lagrange que serán

usados en la función G.

Función G

Evalúa la respuesta de frecuencia utilizando la fórmula de interpola'

ción de Lagrange en la forma baricéntrica.

Subrutina Error

Es llamada a ejecución por el programa principal si es que se presen

ta un error en los datos de entrada.

Subrutina Falla

Es llamada a ejecución por la subrutina Remez cuando existen fallas

en la convergencia.

M T 3

NOMENCLATURA

Variables de Entrada

NFILT-- Longitud del filtro

NB&NDS.- Numero de bandas de frecuencia

LGRID.- Longitud de la densidad de la grilla

EDGE ( ).- Límites superior e inferior de las bandas de frecuencia

FX ( ) .- Atenuación deseada en cada banda de frecuencia

WTX( ).- Valor de la ponderación en cada banda de frecuencia

Variables de Salida

H( ).- Respuesta impulso unitaria

DEVI&T.- Desviación en cada par de bandas de frecuencia

IEXT( ) .- '• Valor de las frecuencias extremas (arreglo)

RESPA( ).- Valor de la respuesta de frecuencia (arreglo)

INGRESO DE DATOS

Se deben tomar en cuenta las siguientes consideraciones:

La longitud máxima del filtro es de 128

- El numero máximo de bandas de frecuencia es de 10

El límite de las bandas'de frecuencia oscila entre 0.0 y 0.5

El valor de la ponderación deseada en cada banda debe ser mayor que

cero

- El margen superior de cada banda no debe ser menor que el límite infe

rior

Los datos de las bandas de frecuencia deben darse en forma ascendente

En la Tabla M-.1 se presenta el contenido que deben tener tanto las

tarjetas de datos como las tarjetas de control.

FORMA DE UTILIZAR E£ PROGRAMA

El presente -érabajo ha sido catalogado en el computador de la Escue

la Politécnica Nacional (IBM 370/125) y estará almacenado tanto en disco

como en cinta, por lo que para su utilización es necesario codificar tar

jetas de controlf las cuales se encuentran en la Tabla M - 2.

-3?ABLA

PERFORACIÓN DE LAS TARJETAS DE DATOS

TARJETAS

DE DATOS

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CONTENIDO Y OBSERVACIONES

Longitud del filtro

Numero de bandas de frecuencia

Longitud de la densidad de la grilla, si se

perfora, un cero o si se omite, el programa

asume un valor igual a 16

•Segunda

Variable

EDGE( )

Arreglo de 20 elementos. Determina los már_

genes superior e inferior en cada una de -

las bandas.

Tercera

Variable

FX (' )

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Arreglo de 10 elementos. Determina la ate-

nuación deseada en cada una de las bandas.

Cuarta

Variable

WTX( )

Arreglo de 10 elementos. Determina la pon-

deración deseada en cada una de las bandas

'para una mejor visualización en la grafiza

ción.

TABliA M-l '{CONTINUACIÓN)

El formato variable almacena en precisión simple; los datos ¿e entrada deben ir separados por una

coma y se debe perforar el punto decimal, Los datos puedan ocupar una Q más tarjeta.s, en cuyo caso

la tercera tarjeta se convertiría en cuarta y así suces-iyamente.

NOTAS:

Formato I (enteros) perforar el valor'justificado a la derecha

!

TARJETAS DE CONTROL

Se deben perforar desde la columna 1:

// JOB Nombre N° Cuenta

// ÉXEC WATFIV

SJOB

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Tarjetas de datos

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TABLA

M - 2

TARJETAS DE CONTROL PARA UTILIZAR EL PROGRAMA GRABADO EN DISCO

Se deben perforar desde la columna 1:

CÓDIGO DE CUENTA

// EXEC ELECFDAR

DATOS

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TARJETAS DS CONTROL PARA UTILIZAR EL PROGRAMA GRABADO EN CINTA

Se deben perforar desde la columna 1;

CÓDIGO DE CUESTA

* OPERADOR CARGUE LA CINTA DE ELÉCTRICA

* EN LA UNIDAD 280 GRACIAS

// PAUSE CARGAR CINTA DE EELECTRICA EN LA UNIDAD 280 GRACIAS

MTC FSF/Xl-280l-,4

// ASSGN SYSIPT,X'2£

TABLA

M - 2

(CONTINUACIÓN)

// OPTION LINK,NOLIST

ACTION CANCEL,NOMAP

// EXEC FFORTRAN

// EXEC LNKEDT

// ASSGN SYSIPT,X100C[

// EXEC

DATOS

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