diseÑo frecuencial de controladores pid
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Fundamentos de
Control Automático
2º G. Ing. Tecn. Industrial
Tema 9Diseño frecuencial de
controladores PID
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Desarrollo del tema
Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia Control proporcional (P) Control proporcional derivativo (PD) Control proporcional integral (PI) Control proporcional integral derivativo (PID)
Elección del controlador
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Diseño frecuencial de controladores Ya sabemos cómo
El diseño de controladores en el DF consiste en modificar la respuestafrecuencial de Gba(s) para que cumpla las especificaciones
Moldeo de lazo (Loop shaping)
Importante: El moldeo de lazo sólo se puede aplicar sobre sistemas estables(con integradores en serie)Esta limitación no se da en el método del lugar de las raíces
Especificaciones de Gbc(s)en el dominio del tiempo
Especificaciones de Gba(s)en el dominio de la frecuencia
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Ejemplo motivadorVamos a usar como ejemplo articulador del tema el motor DCMCT(ver tema 7) El bode de la función de transferencia que relaciona la posición angular con la tensión de dicho motor es:
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
104
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = 15.7 dB (at 31.6 rad/sec) , Pm = 34 deg (at 11.6 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Mf=34º
wc=11.6
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: sysclTime (sec): 0.26Amplitude: 1.36
System: sysclTime (sec): 0.159Amplitude: 1
System: sysclTime (sec): 0.778Amplitude: 1.05
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
5
Ejemplo motivadorDCMCT controlado por un control P con ganancia Kc=1
Trataremos mediante dististintas técnicas de control de mejorar estos resultados
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Desarrollo del tema
Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia Control proporcional (P) Control proporcional derivativo (PD) Control proporcional integral (PI) Control proporcional integral derivativo (PID)
Elección del controlador
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Control proporcional (P)
Ley de Control
Función de transferencia
Modifica la ganancia de bode de G(s)C(s) Frecuencia de corte Estabilidad Rapidez Error en rp
19
19.2
19.4
19.6
19.8
20
20.2
20.4
20.6
20.8
21
Mag
nitu
de (
dB)
100
101
−1
−0.5
0
0.5
1
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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Control proporcional (P)Efecto sobre el sistema
Puede subir o bajar el módulo
No afecta a la fase
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
104
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = -4.28 dB (at 31.6 rad/sec) , Pm = -7.98 deg (at 40.3 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Kc=10, wc=40.3 ,Mf=-7.98º
Kc=0.1, wc=1.77 ,Mf=79ºKc=1, wc=11.6 ,Mf=34º
Para la mayoría de los sistemas (y para este en concreto) si
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Control proporcional (P)
Baja frecuencia
Régimen permanente: mejora
Menor error en régimenpermanente Mejores propiedades de seguimiento
Frecuencia de corte
Estabilidad: empeora(Disminuyen los márgenes)
Rapidez del transitorio: mejora
Sobreoscilación: empeora
Análisis según la forma de lazo
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0 0
Mag
nitu
de (d
B)
Wc
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Aplicación al DCMCTPodemos deducir la ganancia de bode de la función de transferencia teniendo en cuenta que el sistema sólo tiene un integrador (la pendiente de caída a frecuencias bajas es de 20 dB/dec)
A la mínima frecuencia disponible el módulo es debido al integrador y a la ganancia de bode
25
30
35
40
45
50
Mag
nitu
de (d
B)
System: sysFrequency (rad/sec): 0.1Magnitude (dB): 45.1
10-1
100
-98
-96
-94
-92
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
A esta frecuencia el modulo de un integrador es 20dB
El modulo de la ganancia será25.1dB
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Aplicación al DCMCTEspecificaciones de control (en posición)
Especificacionesen el
dominio del tiempo
00
Tiemp
y(t)
)()()(
..
yyty
OS p
)(y
etptst
tiempo
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Apliacción al DCMCT
Especificaciones de control
Ganancia del controladorKc≥5.56 (14.9 dB)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
SO(%)Mf (grados)
Especificacionesen el
dominio del tiempo
Especificaciones en el dominio de la frecuencia
Especificaciones de control
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Apliacción al DCMCTDiseño de un control P para el DCMCT
Un controlador P no puede satisfacertodas las especificaciones
Ajustar Kc para cumplir las especificaciones1. Especificaciones en rp2. Especificaciones en ts, (wc≥15.708=w2)
3. Especificación en SO. Para que el margen de fase sea mayor que el deseado, wc < w3=7.28, |G(jw3)|dB=5.42 por lo tanto
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
System: untitled1Frequency (rad/sec): 15.7Magnitude (dB): -4.26
System: untitled1Frequency (rad/sec): 7.68Magnitude (dB): 5.42
10-1
100
101
102
103
104
-270
-225
-180
-135
-90
System: untitled1Frequency (rad/sec): 7.68Phase (deg): -132
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = 15.7 dB (at 31.6 rad/sec) , Pm = 34 deg (at 11.6 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
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Apliacción al DCMCTDado que todas las especificaciones no se pueden cumplir, sería posible que: Solo se cumpla la condición de sobreoscilación?
Sí, tomamos Kc menor que 0.5358
Se cumpla el tiempo de subida y el error en rp
Sí, tomamos la Kc más restrictiva de las dos, es decir Kc mayor que 5.56. Hay que comprobar que el sistema es estable. Con Kc=5.56 obtenemos Mf=1.56º(cerca de la inestabilidad)
Se cumpla el ts y SO
No existe una Kc que cumpla ambas condiciones
Se cumpla error en rp y la SO
No existe una Kc que cumpla ambas condiciones
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Control proporcional (P)
¿Sería posible desacoplar el ts y la SO?
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Time (s)
y(t)
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Desarrollo del tema
Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia Control proporcional (P) Control proporcional derivativo (PD) Control proporcional integral (PI) Control proporcional integral derivativo (PID)
Elección del controlador
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Control proporcional derivativo (PD)
Bajas frecuencias Ganancia como un P Fase aprox. Igual
Altas frecuencias Ganancia aumenta a razón de 20 dB/dec Fase sube hasta 90º (en teoría)
Implementación: Filtro de derivadas (red de avance). Limita el
máximo incremento de fase, (Máximo real ~ 78.5÷80º )
10-2 10-1 100 101 102
(rad/s)
Mód
ulo
(dB
)
0
45
90
(rad/s)
Fase
(gra
dos)
|Kc|dB1/Td
20 dB/dec
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Control proporcional derivativo (PD)
Ejemplos de métodos de diseño para controladores PD Los controladores PD son apropiados cuando no es posible
cumplir la especificación de SO (margen de estabilidad) a la vez que las de erp y ts
• El controlador P no consigue suficiente margen de fase o equivalentemente, para cumplir la especificación de margen de fase la wc o la ganancia de Bode son menores de las deseadas
Ejemplos• Caso 1: Al diseñar un controlador P (Kc) para cumplir ganancia de
Bode mínima y wc mínima, la diferencia entre el margen de fase del sistema resultante KcG(s) y el margen de fase deseado es menor de 45º
• Caso 2: Al diseñar un controlador P (Kc) para cumplir ganancia de Bode mínima, la diferencia entre el margen de fase del sistema resultante KcG(s) y el margen de fase deseado es mayor de 45º
• Caso 3: Al diseñar un controlador P (Kc) para cumplir ganancia la wc mínima, la diferencia entre el margen de fase del sistema resultante KcG(s) y el margen de fase deseado es mayor de 45º No hay espeficicaciones de ganancia de Bode mínima
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Caso 1 La frecuencia de corte no varía
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Control proporcional derivativo (PD)
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 18 deg (at 30.9 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
c = 'c
1/Td
C(c)
Diseñar Kc como un controlador P para satisfacer las restricciones de régimen permanente y ts
Una vez fijada Kc, queda fijada la frecuencia de corte y el margen de fase del sistema KcG(s)
Con el término dervativo es posible aumentar hasta en 45º el margen de fase para cumplir la restricción de sobreoscilación
Si el incremento de fase requerido es mayor de 45º, entonces hay que colocar el cero a la izquierda de wc (caso 2)
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Control proporcional derivativo (PD)
Caso 2 La frecuencia de corte aumenta
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 53.5 deg (at 47.8 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
c 'c
1/Td
Mf(Gba(c)) > Mf (Gba('c))
El aumento de margen de fase es menor del esperado
Suponemos un AMf mayor para compensar esta perdida
En general para incrementos de fase entre 40º y 70ºtomaremos como 5º-10º
Es necesario comprobar que el sistema resultando cumple con las especificaciones a posteriori
En este caso Kc está fijada por erp
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Si Kc no está fijada por la especificación de ganancia de Bode mínima, es decir, por la especificación de régimen permanente, es posible compensar el incremento en el módulo producido por el cero del PD bajando la ganancia Kc de forma apropiada
En este caso Kc la determinaremos para que wc sea la frecuencia de corte elegida, el incremento de margen de fase será el esperado independiemtemente del valor del AMf
Caso 3 El controlador no tiene restricciones de ganancia de Bode mínima
21
Control proporcional derivativo (PD)
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 118 deg (at 11.7 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
1/Td c
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Efecto sobre el sistema
A bajas frecuencias como un P A frecuencias medias
A altas frecuencias aumenta• El módulo 20 dB/dec• La fase sube hasta 80º
22
Control proporcional derivativo (PD)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Un buen ajuste puedeproporcionar unarespuesta más rápida y menos oscilatoria
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Control proporcional derivativo (PD)
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0 0
Mag
nitu
de (d
B)
Wc
Análisis del moldeo de lazo
Baja frecuencia
Régimen permanente:mejora (Igual que el control P)
Menor error en régimenpermanente Mejores propiedades de seguimiento
Frecuencia de corte
Estabilidad: mejora(Aumentan los márgenes)
Rapidez del transitorio:mejora
Sobreoscilación: mejora
Alta frecuencia
Efecto del ruido: empeora
(La pendiente aumenta20 dB/dec)
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Aplicación al DCMCT Ejemplo 1
Ajustar Kc para cumplir las especificaciones
1. Especificaciones en rp
2. Especificaciones en ts, (wc≥15.708)
Tomamos el valor mayor de Kc
Especificaciones de control
Sistema es tipo 1 (se sabe por la pendiente del módulo a frecuencias bajas). El error en velocidad está acotado
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 25
Aplicación al DCMCT
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
104
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = 0.821 dB (at 31.6 rad/sec) , Pm = 1.56 deg (at 30.2 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Kc=5.56, wc=30.2 ,Mf=1.56º5.56G(j)
G(j)
Kc=5.56, la frecuencia de corte aumenta y además es > 15.708. Se cumple la condición del tiempo de subida y de error en rp
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Aplicación al DCMCTPuesto que Kc esta determinada, paso esta al sistema y diseño (1+Tds) para controlar Kc*G(S)
-
U(s)R(s)
Sistema sin compensar
C(s)/Kc
Ym(s)=Y(s)
Del bode de Kc*G(S) sacamos wc y Mf y diseño (1+j.Td.wc) para que me aporte la fase necesaria para tener el margen de fase deseado
(1+jTdwc) Debe proporcionar la fase necesaria para que C.G tenga el margen de fase deseado.(1+jTdwc) Debe proporcionar la fase necesaria para que C.G tenga el margen de fase deseado.(1+jTdwc) Debe proporcionar la fase necesaria para que C.G tenga el margen de fase deseado.
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Como
El incremento de margen de fase será menor del esperado. Incrementamos una cantidad para compensar esa disminución
= 10 en este caso
Calculamos Td a partir del AMf
Comprobamos el margen de fase resultante haciendo el bode de CG
Nota: Suponemos un valor de ∆, comprobamos el Mf de CG y si nos es suficiente rediseñamos con un valor mayor de ∆. Puede aumentarse ∆ mientras AMf sea menor de 80º. Si ocurriese esto no podríamos cumplir especificaciones con un PD
27
Aplicación al DCMCT
Td wc
AMf
1Re
Im
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Aplicación al DCMCT
Faltaría comprobar la sobreoscilación y el tiempo de subidaPara ello simulamos la respuesta ante escalón de Gbc
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4System: sysclTime (sec): 0.0601Amplitude: 1.18
System: sysclTime (sec): 0.0372Amplitude: 1
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Se cumple la condición sobre el Mf
-150
-100
-50
0
50
100M
agni
tude
(dB)
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 53.5 deg (at 47.8 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
C(s)
C(s)
C(S)G(s)
C(S)G(s)
KcG(s)
KcG(s)
Mf=53.3º
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Aplicación al DCMCTEspecificaciones de control
El sistema es tipo 1, el error en posición es siempre cero (caso 3)
Ejemplo 2
(1+jTdwc) Debe proporcionar la fase necesaria para que C(s)G(s) tenga el margen de fase deseado
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
System: untitled1Frequency (rad/sec): 17.6Magnitude (dB): -6.02
10-1
100
101
102
103
104
-270
-225
-180
-135
-90 System: untitled1Frequency (rad/sec): 17.6Phase (deg): -160
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = 15.7 dB (at 31.6 rad/sec) , Pm = 34 deg (at 11.6 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Buscamos en el bode de G(s) una frecuencia w’c ≥ wcd tal que si fuese la nueva frecuencia de corte el AMf fuese realizable
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En este caso Kc la determinaremos para que w’c sea la frecuencia de corte elegida, el incremento de margen de fase será el esperado independiemtemente del valor del AMf.
Calculamos Td a partir del AMf
Calculamos Kc para que w’c sea la frecuencia de corte
Comprobamos el margen de fase resultante haciendo el bode de CG
30
Aplicación al DCMCT
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Aplicación al DCMCT
Comprobamos SO y tsNo se cumplenRediseñamos suponiendo un Mfd mayor y una wcmayor
Se cumple la condición sobre el Mf y wc
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4System: sysclTime (sec): 0.172Amplitude: 1.13
System: sysclTime (sec): 0.109Amplitude: 1
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 58 deg (at 17.5 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
C
CG
CG
C
KcG
KcG
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Aplicación al DCMCT
♦ En el caso que cumpliéndose la condición sobre el margen de fase no se cumpla la de SO. Rediseño suponiendo un Mfd mayor
♦ En el caso en el que AMf fuese mayor de 80º, el PD no es capaz de aportar ese AMf y por lo tanto no se pueden cumplir las especificaciones
Aumentamos el Mfd para cumplir la SO y la wc Para cumplir con el ts
Escogemos una nueva frecuencia de corte
Aunque AMf > 45º como conozco la nueva frecuencia de corte el AMfes el esperado
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Aplicación al DCMCT
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: sysclTime (sec): 0.102Amplitude: 1.05
System: sysclTime (sec): 0.0704Amplitude: 1
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 68 deg (at 31.6 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Mf de fase es el esperado
Comprobamos SO y tsse cumplen
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Ejemplo PD
2
( 5)( )( 0.1)( 2 2)
sG ss s s
Especificaciones: erp ante escalón < 1% SO < 20%, Mfd > 48º
Especificación en eprp
Se toma Kc=4
No se puede satisfacer las especificaciones con un P
Un PD introduce fase por lo que es una buena posibilidad
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de (d
B)10
-310
-210
-110
010
110
2
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = -8.37 dB (at 1.93 rad/sec) , Pm = -15 deg (at 2.81 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Mf=-15º
Kc G(s)
G(s)
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 35
Ejemplo PD
2
( 5)( )( 0.1)( 2 2)
sG ss s s
eprp < 1%, SO < 20%
Se toma Kc=4
Especificación en SO Mfd=48º
Mf=-15º, wc=2.81 rad/s Mf=48+15+10=73 >45 Lo que implica caso b) 1/Td<wc Td=tan(73º)/2.81=1.1640 1/Td = 0.8591rad/s El resultado obtenido se caracteriza por:
Mf= 62.6o
Mg= inf wc = 6.08 rad/s
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-180
-90
0
90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf , Pm = 62.6 deg (at 6.08 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
C(s)
C(s)
Mf= 62.6º
C(s) G(s)
C(s) G(s)
Kc G(s)
Kc G(s)
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 36
Control proporcional derivativo (PD)
Mediante simulación es posible obtener: SO= 14% ts= 0.32 s
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 37
Ejemplo PD
2
( 5)( )( 0.1)( 2 2)
sG ss s s
Especificaciones: erp ante escalón < 1% SO < 20%, Mfd > 48º
Especificación en eprp
Se toma Kc=4Especificación en SO. Mfd=48ºMf=5º, wc=3 rad/sMf=48-5+10=53 >45Lo que implica caso 2 1/Td<wcTd=tan(52º)/3=0.4423
Supongamos que no tengo disponible Matlab. ¿Cómo diseño el controlador?. Usamos diagramas asintóticos que nos dan una buena aproximación.
10-3 10-2 10-1 100 101 102
-50
0
50
(rad/s)
Mód
ulo
(dB
)
10-3 10-2 10-1 100 101 102-225-180-135-90-45
0
(rad/s)
Fase
(gra
dos)
c=3
Mf=5º
Bode asintótico de KcG
No se comprueba el diseño del controlador
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 38
Ejemplo PD
Especificaciones evrp ≤1% SO ≤ 20% → Mf ≥ 48o
Tiempo de subida mínimo
El sistema realimentado unitariamente es inestable pues Mf<0
Además este sistema no se puede controlar con un P, pues la fase del sistema es siempre inferior a -180o
Ejemplo de diseño
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (d
B)
System: untitled1Frequency (rad/sec): 2.29Magnitude (dB): -15.2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
System: untitled1Frequency (rad/sec): 2.29Phase (deg): -205
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = -Inf dB (at 0 rad/sec) , Pm = -11.2 deg (at 0.99 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
|G(j2.29)|dB
=-15.2
Mf(G(j2.29))=-25º
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 39
Ejemplo PD El sistema es tipo 2, por lo que se
cumple la especificación en régimen permanente para todo Kc
Minimizar el tiempo de subida, implica maximizar la wc (a wc mayores Mfmenor) Con un Mfd=48º, imponemos Mf~75º, entonces ω’c=2.29 rad/s, Mf=-25º y |G(j ω’c)|dB=-15.2
AMf=Mfd-Mf=48-(-25)=73Td=tan(73)/2.26=1.44731/Td = 0.691 rad/s
Finalmente, Kc se toma para que la frecuencia de corte sea ω’c=2.26 rad/s
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-180
-90
0
90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = -Inf dB (at 0 rad/sec) , Pm = 48.6 deg (at 2.31 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
C(s)
C(s)
C(s) G(s)
C(s) G(s)
G(s)
G(s)
Mf= 48.6º, wc=2.31
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 40
Ejemplo PDDiagrama de Bode de C(s)G(s)
Wc = 2.31Margen de fase = 48.6º
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 41
Ejemplo PD
La respuesta ante escalón del sistema controlado en bucle cerrado es tal que
• SO= 28%• ts= 0.709 s
La sobreoscilación mayor que la deseada se debe al cero que añade el controlador PD
0 2 4 6 8 10 12 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4System: sysclTime (sec): 1.32Amplitude: 1.28
System: sysclTime (sec): 0.709Amplitude: 1.01
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
¿Por qué no cumple las especificaciones?
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 42
Ejemplo PD
Análisis de Gbc(s)
Polos-1.047-1.9765 + 2.0324i-1.9765 - 2.0324i
Ceros-0.7
- No cumple que los polos dominantes sean complejos conjugados- El polo dominante estáen -1- El cero (introducido por el término derivativo) es dominante (genera la SO)
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 43
Ejemplo PD
Esto ocurre por forzar al máximo las posibilidades del PD Añadir 78º
En general, el diseño basado en el dominio de la frecuencia tendrá mayor probabilidad de cumplir la suposición de dar como resultado un sistema en bucle cerrado con dos polos complejos conjugados dominantes cuanto menos fase tenga que añadir el PD Colocar el cero lo más lejos posible del origen, es decir 1/Td lo
más grande posible Esto en general motiva que el PD de buenos resultados y
sea más fácil de diseñar cuando el incremento de fase es pequeño (menor de 45º) y las especificaciones de régimen permanente no fijan una ganancia del controlador Kcmínima Para cumplir las especificaciones de ganancia de Bode mínima,
es más apropiado un controlador con término integral
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 44
Desarrollo del tema
Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia Control proporcional (P) Control PD Control PI Control PID
Elección del controlador
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 45
Control PI
Módulo asintótico
(rad/s)
dB
-90
-75
-60
-45
-30
-15
0Fase
grad
os
1/Ti
Kc- 20 dB/dec
Efectos:
♦ Incrementa el tipo del sistema(número de polos en el origen)
♦ Reduce la fase a frecuenciasmenores a 1/Ti
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 46
Control PI
Efectos en el sistema
♦ A bajas frecuencias la magnitudsube debido al polo en el origen.
♦ A altas fecuencias la magnitudno se modifica.
♦ Para frecuencas inferiores a 1/Tila fase decrece.
Mejora el rechazo a perturbaciones y laspropiedades de seguimiento de referencia
Puede introducirinestabilidad(menor margen de fase)
−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
Mag
nitu
de (
dB)
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
−270
−180
−90
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Sin modificación
Descenso de fase
Incremento de pendiente
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 47
Control PI
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0 0
Mag
nitu
de (d
B)
Alta frecuencia
La respuesta a altasfrecuencias no se modifica.
Baja frecuencia:
-A baja frecuencia la respuestamejora. Lapendiente se incrementa en -20dB/dec.
-Rechazo a perturbaciones mejora
-Seguimiento mejora
Frecuencia media
- El margen de estabilidad puedeempeorar
- El margen de fase decrece parabajas frecuencias. La sobreoscilación puedeaumentar.
Wc
Análisis del moldeo de lazo
-20 dB/dec
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 48
Control PI
♦ El control PI se usa principalmente para mejorarel rp y el rechazo a perurbaciones. Especialmentecuando se requiere el aumento de tipo de sistema.♦ Debido a que el PI reduce la fase haremossiempre:
Con objeto de que la reducción de fase caiga lejos de la frecuencia de corte y reduzca poco el margen de fase
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0Ph
ase
(deg
)
Bode DiagramGm = Inf , Pm = -180 deg (at Inf rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Fase sist pocomodificada
KG
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 49
Control PI
♦ 1/Ti es el termino quepondera la integral.Si 1/Ti es pequeño el rechazo de lasperturbaciones es lento y el tiempo de establecimiento alto.Por ello:
0 5 10 15 20 25 300.99
1
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
1/Ti
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 50
Aplicación al DCMCT Ejemplo 1
Especificaciones de control
Ajustar Kc para cumplir las especificaciones en rp
El tipo es 2 (1 del sistema + 1 del controlador). El error en aceleración está acotado
-
U(s)R(s)
Sistema sin compensar
C(s)/Kc
Ym(s)=Y(s)Diseñamos (1+Tis) para Diseñamos (1+Tis) para
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 51
Aplicación al DCMCT Dibujamos el bode de
-300
-200
-100
0
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
104
-360
-315
-270
-225
-180
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = -Inf dB (at 0 rad/sec) , Pm = -6.27 deg (at 0.997 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
(1+jTiwc) Debe proporcionar la fase necesaria para que C.Gtenga el margen de fase deseado.
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 52
Aplicación al DCMCT Kc=K.Ti
Comprobamos Mf de CG
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: sysclTime (sec): 1.83Amplitude: 1.2
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = 35.7 dB (at 30.6 rad/sec) , Pm = 60.4 deg (at 1.75 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
C
G
G
C
CG
CG
Comprobamos SO
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 53
Aplicación al DCMCT Ejemplo 2
Especificaciones de control
♦ El tipo es 2 (1 del sistema + 1 del controlador).
♦ El error en velocidad es cero siempre. (No se podría conseguir con un PD). No existe condición sobre la ganancia proporcional debido a la especificación en rp.
♦ PI no aporta fase. El margen de fase ha de aportarlo el sistemaBuscamos w que sea mayor que wcd y que si fuera la frecuencia de corte tendría un margen de fase mayor que MFd
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 54
Aplicación al DCMCT
Bode DiagramGm = 15.7 dB (at 31.6 rad/sec) , Pm = 34 deg (at 11.6 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
-150
-100
-50
0
50
100System: untitled1Frequency (rad/sec): 5.15Magnitude (dB): 9.86
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
103
104
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg) System: untitled1
Frequency (rad/sec): 5.15Phase (deg): -120
Dibujamos el bode de G(s)
Calculamos Ti
Calculamos Kc para que w’c sea la frecuencia de corte. Como
5º de más es debido a la reducción de fase del PI
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 55
Aplicación al DCMCT
Comprobamos Mf de CG
Comprobamos SO
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 System: sysclTime (sec): 0.56Amplitude: 1.18
System: sysclTime (sec): 0.347Amplitude: 1
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = 25.1 dB (at 30.7 rad/sec) , Pm = 54.1 deg (at 5.16 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
C
C
G
G
CG
CG
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 56
Ejemplo de diseño de un PI
Especificaciones:♦ evrp 0.01♦ SO 20%
1( )( 1)( 10)
G ss s s
Si quisiéramos satisfacer especificaciones con un P o un PD
Kv = 0.1Kc 100 Kc =1000
Hacemos el bode de KcG
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
System: untitled1Frequency (rad/sec): 0.636Magnitude (dB): -17.5
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg) System: untitled2
Frequency (rad/sec): 0.636Phase (deg): -126
Bode DiagramGm = -19.2 dB (at 3.16 rad/sec) , Pm = -34.3 deg (at 8.66 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
1000G
1000G
G
G
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 57
Ejemplo de diseño de un PI
Márgen de fase de 1000G(s) = -34.3ºSO 20% Mfd48º♦ Un controlador proporcianal no puede estabilizar el sistema y satisfacer lasespecificaciones de error en valocidad.♦ Se puede incrementar la fase añadiendo un PD?AMf = Mfd – Mf = 48- (-34.3) = 82.3º No se puede usar un PD
Solución: Usar un controlador PI. El PI incrementa el tipo de Gba y por lo tanto la especificación de error en régimen permanente se satisfaceautomáticamente.
PI no aporta fase. El margen de fase ha de aportarlo el sistema.Buscamos w tal que si fuera la frecuencia de corte tendría un margen de fase mayor que MFd. Hacemos el bode G(s)
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 58
Ejemplo de diseño de un PITi se elige para garantizar que el término integral no disminuye el margen de fase del sistema controlado:
Calculamos Kc para que w’csea la frecuencia de corte. Como
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-180
-90
0
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = 22.7 dB (at 3.05 rad/sec) , Pm = 48.2 deg (at 0.635 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
C
CG
CG
C
G
G
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 59
Ejemplo de diseño de un PIRespuesta temporal del sistema en bucle cerrado:
SO= 24%Habría que rediseñar. Como el MF > Mfd y aún así no se cumple la SO, rediseñamos un MFd =55
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4System: sysclTime (sec): 4.5Amplitude: 1.24
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
-200
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (d
B) System: untitled1Frequency (rad/sec): 0.427Magnitude (dB): -13.3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
System: untitled1Frequency (rad/sec): 0.427Phase (deg): -116
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = 40.8 dB (at 3.16 rad/sec) , Pm = 83.7 deg (at 0.0995 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 60
Ejemplo de diseño de un PI
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: sysclTime (sec): 4.27Amplitude: 1
System: sysclTime (sec): 6.8Amplitude: 1.14
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 61
Ejemplo de diseño de un PI
Especificaciones:♦ earp 0.01♦ SO 20%
1( )( 1)( 10)
G ss s s
El sistema es tipo 1. Para cumplir la especificación en régimen permanente necesitamos un control que aumente el tipo en 1. Necesariamente un PI o un PID
Error en aceleración 0.01 fija la mínima ganancia de bode Kc del
controlador:
Diseñamos (1+Tis) para
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 62
Ejemplo de diseño de un PI
-200
-100
0
100
200
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
-360
-315
-270
-225
-180
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = -Inf dB (at 0 rad/sec) , Pm = -101 deg (at 4.47 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
El incremento de margen de fase es mayor de 80º.
Con un PI no se pueden satisfacer las especificaciones
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 63
Ejemplo de diseño de un PI
Especificaciones♦ evrp < 0.01♦ SO < 60%, Mfd=20º
El sistema es tipo 0. Para cumplir la especificación en régimen permanente necesitamos un control que aumente el tipo en 1. Necesariamente un PI o un PID
Error en velocidad 0.01 fija la mínima ganancia de bode Kc del
controlador:
Diseñamos (1+Tis) para
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 64
Ejemplo de diseño de un PI
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = -19.2 dB (at 3.16 rad/sec) , Pm = -34.3 deg (at 8.66 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 65
Aplicación al DCMCT
Mf de fase es el esperado
Comprobamos SO y no cumple. Como la condición de margen de fase si se cumple rediseñamos con un Mfd mayor.
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 20.5 deg (at 12.8 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
C
C
G
G
CG
CGStep Response
Time (sec)
Ampl
itude
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8System: sysclTime (sec): 0.238Amplitude: 1.62
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 66
Aplicación al DCMCT
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
System: sysclTime (sec): 0.212Amplitude: 1.58
Se cumple la especificación de SO
Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.
Desarrollo del tema
Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia Control proporcional (P) Control PD Control PI Control PID
Elección del controlador
67