diseÑo y construcciÓn de una plataforma de simulaciÓn para …
TRANSCRIPT
DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN
DE UNA PLATAFORMA DE SIMULACIÓN
PARA UN DIRIGIBLE
DAVID ALBERTO OVIEDO DE LA TORRE
Proyecto para optar al título de Ingeniero Mecánico
Profesor asesor:
CARLOS FRANCISCO RODRÍGUEZ, Ph. D.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica
Bogotá, Enero de 2008
i
TABLA DE CO NTENIDO S
1. INTRODUCCIÓN.........................................................................................................1
2. OBJETIVOS.................................................................................................................3
3. MARCO TEÓRICO ......................................................................................................4
3.1. El dirigible UrAn..................................................................................................4
3.2. Modelo dinámico del dirigible ...............................................................................5
3.2.1. Notaciones...............................................................................................5
3.2.2. Propiedades de masa.................................................................................6
3.2.3. Marcos de referencia...............................................................................10
3.2.4. Formulación de Newton-Euler.................................................................13
3.2.5. Fuerzas y momentos aplicados.................................................................14
3.2.6. Modelo en variables de estado.................................................................17
3.3. Métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales ...........................20 3.3.1. Método de Euler.....................................................................................20
3.3.2. Método de Runge-Kutta..........................................................................20
3.4. Trabajos previos.................................................................................................21
3.4.1. Simuladores ...........................................................................................21
3.4.2. Banco de pruebas....................................................................................23
4. DISEÑO .....................................................................................................................25
4.1. Banco de pruebas.........................................................................................................25
4.1.1. Sensor ATI F/T Mini45...........................................................................25
4.1.2. Proceso de diseño ...................................................................................25
4.1.3. Calibración.............................................................................................29
4.2. Simulador ..........................................................................................................30
4.2.1. Software y hardware empleados...............................................................30
4.2.2. Adquisición de datos y transducción ........................................................31
4.2.3. Simulación del modelo............................................................................33
4.2.4. Interfaz con el usuario.............................................................................33
5. RESULTADOS Y ANÁLISIS......................................................................................36
6. CONCLUSIONES.......................................................................................................47
7. TRABAJOS FUTUROS...............................................................................................48
BIBLIOGRAFÍA...............................................................................................................49
ANEXOS..........................................................................................................................51
ii
LISTA DE FIGURAS
3.1. Dimensiones del dirigible UrAn ............................................................................. 4
3.2. Modelo de doble elipsiode .......................................................................................6
3.3. Marcos de referencia E y D....................................................................................11
3.4. Marcos de referencia D y A....................................................................................12
3.5. Diagrama de bloques del simulador en Simulink ...................................................22
3.6. GUI del simulador..................................................................................................23
4.1. Diseño del banco de pruebas..................................................................................26
4.2. Modelo de la platina...............................................................................................27
4.3. (a) Marco de referencia del sensor.........................................................................29
(b) Diferencias entre marcos de referencia ............................................................29
4.4. Interfaz usuario-simulador, primera parte..............................................................34
4.4. Interfaz usuario-simulador, segunda parte.............................................................35
5.1. Respuesta del simulador para u(t) con método Euler
para un tiempo de paso de 20ms............................................................................37
5.2. Respuesta del simulador para u(t) con método RK4
para un tiempo de paso de 200ms..........................................................................38
5.3. Respuesta del simulador para u(t) con método RK4
para un tiempo de paso de 1s .................................................................................39
5.4. Respuesta del simulador para u(t) con RK4 agregando
segundo término de viento .....................................................................................40
5.5. Simulador del modelo reducido (C.I. = 0 y sin propulsión). Salida = u(t) ............41
5.6. Respuesta del simulador en Simulink para seis variables de estado......................42
5.7. Respuesta del simulador para u(t) con RK4 agregando segundo término de
viento en comparación con la respuesta del nuevo simulador de Simulink...........43
5.8. Respuesta del simulador para u(t) con RK4 agregando primer y
segundo término de viento en comparación con la respuesta del nuevo
simulador de Simulink ...........................................................................................44
5.9. Respuesta del simulador para u(t) con RK4 completo...........................................45
iii
LISTA DE TABLAS
4.1. Especificaciones básicas del sensor triaxial...........................................................25
4.2. Propiedades de algunos materiales ........................................................................28
5.1. Parámetros del simulador. Posiciones respecto a la nariz del dirigible .................36
1
1. INTRODUCCIÓN
El problema de vuelo autónomo en vehículos aéreos, como los dirigibles, es un problema
muy interesante y atractivo para cualquier ingeniero de control debido a la complejidad
de su aerodinámica y por poseer todos los grados de libertad de movimiento posibles.
Además de su atractivo teórico, el vuelo autónomo de dirigibles se proyecta con
aplicación en el campo comercial y de supervisión de fenómenos (incendios, tráfico,
búsqueda, etc.) que suman a la motivación de trabajar en él.
La Universidad de los Andes, con el fin de fomentar la investigación en el problema de
vuelo autónomo de dirigibles, adquirió un dirigible en el año 2004, bautizado con el
nombre de UrAn. Este dirigible ha sido la base de varios proyectos de pregrado y de
maestría en la universidad, en los cuales se ha trabajado en problemas como el estudio e
identificación del modelo dinámico y en el control de posición y orientación del dirigible,
logrando buenos resultados para ciertas condiciones de vuelo.
El problema de trabajar con dirigibles tan grandes como es el UrAn radica en la dificultad
de poder realizar las pruebas de vuelo. Estas pruebas necesitan de mucho tiempo y
esfuerzo para la realización, además de necesitar de un gran grupo de personas. Inflar la
carena del UrAn puede tomar horas [6] y una vez inflado se debe mantener la estabilidad,
sobretodo cuando las condiciones de viendo no son buenas. Debido a que no existe un
hangar en donde se pueda almacenar el dirigible, éste se debe inflar y desinflar en cada
sesión de prueba, lo cual además de ser una tarea tediosa significa un desperdicio de un
gas costoso como lo es el helio.
Otro problema al trabajar con UrAn se genera debido a la gran cantidad de electrónica
embarcada en él. La electrónica embarcada en la góndola se compone de muchos
elementos, incluyendo un computador, reguladores de voltaje, radio-receptores, sensores
de todo tipo y baterías. Por lo tanto si se requieren hacer pruebas únicamente sobre la
góndola se necesitaría de mucho espacio de trabajo y en cada sesión de trabajo se debe
conectar y desconectar toda la electrónica, tarea también muy tediosa.
Una solución a los dos problemas mencionados es el crear un espacio de trabajo en un
laboratorio donde la góndola pudiese estar conectada todo el tiempo sin necesidad de
conectar y desconectar elementos electrónicos. En este espacio de trabajo se podría
2
realizar todas las pruebas necesarias sobre la góndola como probar todas las señales
eléctricas de encendido de los motores y control de velocidad y control de la
vectorización. Además se aprovechar este montaje y utilizar las acciones de la góndola
para simular el vuelo real del dirigible, es decir, medir las fuerzas generadas en la
góndola por los propulsores y traducirlas en el movimiento de todo el dirigible. Esto es lo
que se busca hacer en este proyecto; construir una plataforma de simulación en el que una
sola persona, sin necesidad de mucho esfuerzo ni de un gran equipo de trabajo, se pueda
sentar en el laboratorio y realizar pruebas sobre la góndola del dirigible y al mismo
tiempo simular el vuelo en tiempo real del dirigible.
3
2. OBJETIVOS
Objetivo General
• Diseñar e instalar en el laboratorio de Ingeniería Mecánica de la Universidad de
los Andes un espacio de trabajo en el que se puedan realizar pruebas sobre la
góndola del dirigible UrAn al tiempo en que se simula por computador el vuelo
del dirigible completo
Objetivos Específicos
• Diseñar un banco de pruebas para la góndola de UrAn capaz de medir las fuerzas
y los torques generado por los propulsores de la góndola
• Estudiar el modelo dinámico del dirigible y programar el modelo en el software
computacional LabVIEW
• Realizar la adquisición digital en tiempo real de las fuerzas medidas por el banco
de pruebas y utilizar la información capturada para simular el modelo del dirigible
en LabVIEW también en tiempo real
• Analizar la veracidad del modelo de LabVIEW utilizando otros modelos
previamente realizados
4
3. MARCO TEÓRICO
3.1. EL DIRIGIBLE URAN
El dirigible de la Universidad de los Andes fue adquirido por el Departamento de
Ingeniería Eléctrica y Electrónica a la empresa suiza Minizepp en el año 2004 y ha sido la
base para varios trabajos de grado y de postgrado en la universidad.
El dirigible tiene una longitud total de 10 metros y un diámetro máximo de 2 metros. La
carena está hecha de PVC reforzado y tiene una capacidad de 30 metros cúbicos. La
góndola es de ABS termoformado y los alerones son de espuma liviana con un marco en
balso. El peso completo del dirigible con los tanques de gasolina es de 16 kilos.
Figura 3.1. Dimensiones del dirigible UrAn
El dirigible de la universidad es manejado por 5 acciones de control, que son:
- La propulsión de las dos hélices, las cuales son movidas por motores de
combustión interna de dos tiempos
- El ángulo de vectorización del eje de los motores propulsores, µ, el cual es
controlado por un servomotor
5
- El ángulo de de elevación de los dos alerones horizontales, δe, el cual es
controlado por dos servomotores
- El ángulo de de giro de los dos alerones verticales, δg, el cual es controlado por
dos servomotores
- Una fuerza de rotación pura generada por un rotor en la cola, movido por un
motor eléctrico
Los motores de dos tiempos son de marca MVVS de 35cc, con carburadores Walbro. Las
hélices instaladas en ellos son APC 17x10 de dos aspas, 17 pulgadas de largo en el
círculo de barrido y 10 pulgadas de paso. El combustible proporcionado es una mezcla de
50:1 partes de gasolina extra a aceite para motores de dos tiempos de motocicleta.
La electrónica que realiza todo el procesamiento de las acciones de control se encuentra a
bordo del dirigible, en dos cubetas de plástico independientes a la góndola. La fuente de
alimentación de la electrónica también va incluida dentro de las cubetas.
3.2. MODELO DINAMICO DEL DIRIGIBLE
3.2.1. Notaciones
Se hacen las siguientes aclaraciones en la notación utilizada antes de entrar a explicar el
modelo dinámico del dirigible.
- Los marcos de referencia son denotados con letra mayúscula, al igual que los
puntos dentro de un marco
- Los ejes (vectores) principales de un marco X serán denotados como x1, x2 y x3
correspondientes a los ejes x, y y z de dicho marco
- Todos los vectores irán subrayados y las matrices entre corchetes
- ArB indica la posición del punto B con respecto al punto A
- VA indica el vector velocidad del punto A
- BVA indica que el la velocidad del punto A es respecto al marco B
- AωB indica el vector velocidad angular del marco B respecto al marco A
6
- dtdA
indica que la derivada del vector se realiza respecto al marco A
- IA/B es la diada de inercia del cuerpo A respecto al punto B y sus tres ejes
principales
3.2.2. Propiedades de masa
Para poder calcular las propiedades de masa del dirigible, es necesario primero entender
su geometría. La carena se modela como un doble elipsoide [7], es decir, dos mitades de
elipsoides con diferentes longitudes de eje mayor se unen dándole la forma al dirigible,
como se muestra en la figura 3.2.
Figura 3.2. Modelo de doble elipsoide
Centros de masa y volumen del doble elipsoide
Un semi-elipsoide se describe mediante la ecuación 3-1:
ax0,1cz
by
ax 222
≤≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ (3-1)
El volumen de un semi-elipsoide se calcula mediante la fórmula:
abc3π2
=∀ (3-2)
Por la simetría de esta figura respecto a los planos xy y xz se deduce que el centro de
volumen se ubica sobre el eje x. Por cálculo integral se puede calcular esta posición del
centro de volumen, definido como:
7
∫⋅∀=
Vdxdydzx
1x (3-3)
El resultado es:
a83
dydxby
ax
1cx24
xa
0
ax
1b
0
22
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅
∀= ∫ ∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
(3-4)
Usando el resultado anterior se puede calcular el centro de volumen del doble elipsoide
respecto a la nariz:
( ) 21
21
2221
21
22112
CV aa
a83
a85
aa
bcaa3π2
bca3π2a
85bca
3π2a
83a
x+
++=
+
⋅+⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
= (3-5)
Por ser mucho mayor en volumen a los otros componentes del dirigible se asume que el
centro de volumen de la carena es el mismo centro de volumen de todo el dirigible.
Es claro que al suponer densidad constante de la carena, su centro de masa coincide con
su centro de volumen.
Momentos principales de inercia del doble elipsoide
Observando la figura 3.2 se observa que debido a la simetría del semi-elipsoide respecto
a los planos xy y xz los ejes principales de inercia toman la misma orientación que los
ejes de esta figura. Al tomar esta orientación, los productos de inercia definidos como:
∫∫∫ ===V
yzV
xzV
xy dmyzI,dmxzI,dmxyI (3-6)
son todos iguales a cero. Por otra parte, los momentos de inercia, definidos como:
∫∫∫ +=+=+=V
22zz
V
22yy
V
22xx dmyxI,dmzxI,dmzyI (3-7)
se pueden calcular. Tomando como origen el punto N (nariz del dirigible) mostrado en la
figura 3.2 el resultado de los momentos de inercia para el semi-elipsoide de la derecha
(semi-elipsoide 1) es:
8
( )221
a
0
ax1b
0
by
ax1c
0
221xx cbm
51
dzdydxzyρ4I1
2
1
22
1
+=+⋅= ∫ ∫ ∫⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++=++⋅= ∫ ∫ ∫ 22
221211
4V
2221yy c
51
aaa43
a51
mdzdydxzxaρ4I
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++=++⋅= ∫ ∫ ∫ 22
221211
4V
2221zz b
51
aaa43
a51
mdzdydxyxaρ4I (3-8)
Los límites de integración son iguales en las tres ecuaciones de 3-8.
Para el semi-elipsoide de la izquierda en la figura 3.2 (semi-elipsoide 2) los momentos de
inercia respecto a la nariz son:
( )222
a
0
ax1b
0
by
ax1c
0
222xx cbm
51
dzdydxzyρ4I2
2
2
22
2
+=+⋅= ∫ ∫ ∫⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+−⋅= ∫ ∫ ∫ 22
22
4V
2221yy c
51
a209
mdzdydxzxaρ4I
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+−⋅= ∫ ∫ ∫ 22
22
4V
2222zz b
51
a209
mdzdydxyxaρ4I (3-9)
Los límites de integración son iguales en las tres ecuaciones de 3-9.
Las inercias calculadas anteriormente son respecto a los tres ejes mostrados en la figura
3.2 y respecto al punto N de la misma figura. Con esos resultados se define la diada de
inercia respecto a dichos ejes y al punto N:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
2zz1zz
2yy1yy
2xx1xx
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
II000II000II
IIIIIIIII
I (3-10)
Para el modelo dinámico del dirigible, esta diada será de gran utilidad para el cálculo de
la derivada del momentum angular respecto a la nariz del dirigible. Esta diada se calcula
conociendo a1, a2, b, c, m1 y m2.
9
Centros de masa e inercias de otros elementos
El dirigible, como se mencionó en la sección 3.1, está conformado por otros elementos
aparte de la carena que son la góndola (incluyendo todo en su interior) y los alerones.
Estos elementos aportan en las propiedades de masa de todo el dirigible.
Para calcular la posición del centro de masa de un sistema conformado de n elementos se
utiliza la ecuación:
∑=
⋅=n
1i
PiOi rm
M1
r (3-11)
donde M es la masa total, mi es la masa del elemento i y OrPi es la posición del centro de
masa del elemento i respecto al punto O, el cual en este caso es la nariz del dirigible.
De forma similar se debe calcular la diada de inercia de todo el dirigible (carena, alerones
y góndola) respecto a la nariz. Esto se hace utilizando la ecuación:
OS
SS
OS *
* III += (3-12)
La ecuación 3-12 es la forma general del Teorema de ejes paralelos y establece que la
diada de inercia de un cuerpo S respecto a un punto O equivale a la diada de inercia de
ese cuerpo respecto a su centro de masa (S*) mas la inercia de esa masa respecto al punto
O, y esta última es igual a:
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−−−+−−−+
⋅=22
22
22
SOS
yxzyzxyzzxyxxzxyzy
mI*
(3-13)
donde ms es la masa del cuerpo y (x y z) es la posición del centro de masa de S respecto a
O. ( OrS* = (x y z) )
Con las ecuaciones 3-12 y 3-13 se calculan las inercias de la góndola y de los alerones
respecto a la nariz, las cuales se suman a la inercia de la carena (ecuaciones 3-8, 3-9 y 3-
10) para obtener la inercia total del dirigible respecto a la nariz. En la realidad las inercias
de la góndola y alerones respecto a sus centros de masa son despreciables respecto a las
inercias de sus masas respecto a la nariz debido a que están posicionados muy lejos de
ella. Por lo tanto en el cálculo de las inercias se desprecia el término IS/S*
10
3.2.3. Marcos de referencia
Para poder describir el movimiento del dirigible en el espacio tridimensional, es
necesario definir unos marcos de referencia.
El primer marco de referencia es uno que está fijo en tierra denominado con la letra E.
Los tres ejes asociados a este marco se denominan e1, e2 y e3 con orientación NED
(North-East-Down), es decir, el primer eje e1 apunta hacia el norte geográfico, el segundo
hacia el este geográfico y el tercero hacia abajo (hacia el centro de la tierra).
El segundo marco de referencia utilizado es uno que está fijo al dirigible denominado con
la letra D. En este marco el eje d1 es paralelo al eje mayor del doble elipsoide y apunta
hacia la nariz del dirigible y los otros dos ejes d2 y d3 siguen la misma convención NED
con la nariz como el norte.
En este marco D se define la velocidad de la nariz del dirigible como:
321N dwdvduV ++= (3-14)
Para definir la rotación del marco D respecto a E se utiliza la convención Roll-Pitch-Yaw
representados por los ángulos φ, θ y ψ respectivamente. La matriz que transforma del
marco D al E se denomina E[R]D y es:
[ ]⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+−+++−
=φcθcφsθcθs
ψsθsφcφsψcφsψsθsφcψcψsθcφcψcθsψsφsθsψcφsφcψsθcψc
R DE (3-15)
Por simplicidad, la función sin(x) se representa con la letra s mientras que la letra c
representa la función cos(x).
Debido a que se usó representación de orientación R-P-Y la velocidad angular del marco
D respecto a E, EωD, se relaciona con los ángulos φ, θ y ψ y sus derivadas mediante:
( ) ( ) ( ) 321321
DE drdqdpdφsθφcθcψdφsθcψφcθdθsψφω ++=−+++−= &&&&&& (3-16)
O de otra forma:
11
[ ]⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
rqp
Ωrqp
θcφc
θcφs
0
φsφc0θtφcθtφs1
ψθφ
&
&
&
(3-17)
Se la ecuación anterior se observa una indeterminación para ππ
θ k+=2
que no se tiene
en cuenta debido a que en la práctica el dirigible no presentará esta condición.
Figura 3.3. Marcos de referencia E y D
Finalmente se define un último marco de referencia llamado sistema coordenado
aerodinámico y se denomina por la letra A. Este marco está asociado a la orientación del
vector de velocidad aerodinámica Va, la cual se define como la velocidad de la nariz del
dirigible respecto al viento:
WNWN
a VVVV −== (3-18) La orientación de A respecto al marco D se define mediante dos giros secuenciales, el
primer giro de un ángulo β respecto al eje d3 y el segundo giro de un ángulo -α respecto a
d2, es decir ambos giros respecto al marco original D. Dicha orientación se puede
representar mediante la matriz de rotación de A a D:
12
[ ]⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−=
αcβsαsβcαs0βcβsαsβsαcβcαc
R AD (3-19)
Figura 3.4. Marcos de referencia D y A
El marco A se define de tal forma que la velocidad aerodinámica en este marco solo tenga
componente en a1. Es decir, conociendo VD y VW se hallan los ángulos α y β de tal forma
que la dirección del vector a1 coincida con la dirección de Va para que este último se
pueda escribir como:
1aa avV = (3-20)
Los ángulos α y β, llamados ángulos de incidencia y derrapaje respectivamente [4],
jugarán un papel importante en la influencia del viento sobre el dirigible. Estos ángulos
se pueden calcular usando las ecuaciones:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
αsvαcvv
arctanβ
vv
arctanα
z,ax,a
y,a
x,a
z,a
(3-21)
donde Va = va,x d1 + va,y d2 + va,z d3.
13
3.2.4. Formulación de Newton-Euler
Para obtener las ecuaciones dinámicas del dirigible se utiliza la formulación Newton-
Euler, es decir, empleando las ecuaciones de la mecánica clásica:
ext
N
FdtPd ∑= (3-22)
OGO
ext
ON
VVmMdtHd
×+= ∑ (3-23)
donde las derivadas se hacen en un marco inercial N y donde O es un punto arbitrario.
Además se necesita emplear las ecuaciones de velocidad de puntos y del teorema de
transporte para derivada de vectores. Para dos puntos P y Q fijos en un marco B:
QPBAPAQA rωVV ×+= (3-24)
Además, para cualquier vector X, el teorema de transporte establece que:
XωdtXd
dtXd BA
BA×+= (3-25)
Utilizando las ecuaciones anteriores se halla la expresión para el cambio de momentum
lineal:
( ) ( ) NDEGNDEDEGN
DEDNDGE
extVωmrωωmr
dtωd
mdtVd
mdtVmd
F ×+××+×+==∑ (3-26)
El tercer y cuarto término representa efectos centrífugos y de Coriolis respectivamente.
El cambio de momentum angular se calcula respecto a la nariz del dirigible y se obtiene:
(3-27)
( )NV
Dω
EGr
Nm
dt
NVd
DG
rN
mD
ωEN
DI
Dω
E
dt
Dω
Ed
D
ND
Idt
NVmGrNDωEND
IdE
NextM ××+×+⋅×+⋅=
×+⋅
=∑⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
14
En donde el producto DωEND
I ⋅ se realiza como un producto normal entre matrices. Las
ecuaciones 3-26 y 3-27 son la base para todo el modelo dinámico del dirigible. Teniendo
en cuenta las expresiones para VN y EωD (ecuaciones 3-14 y 3-16) y de sus derivadas en el
marco D, las dos expresiones anteriores se pueden combinar para ser escritas de la
siguiente forma:
(3-28)
La matriz del lado izquierdo reúne todas las propiedades de masa del dirigible y se
denotará como [M].
En el lado derecho de la expresión anterior se concatenan vectores de fuerza y momento
de tamaño 3x1 para formar vectores de tamaño 6x1. Dichos vectores de fuerza y
momento deben estar expresados en el marco D para que sea válida la igualdad con el
lado izquierdo. Debido a que los vectores EωD, VN y GrN ya fueron definidos en este marco
solo hace falta definir los vectores de fuerzas y momentos externos y expresarlos en el
marco D.
3.2.5. Fuerzas y momentos aplicados
Las fuerzas que actúan sobre el dirigible son:
• Peso FG y fuerza de empuje FB
Actúan en dirección e3 y –e3 respectivamente. Como deben ser expresadas en el marco D
se multiplican por la matriz de rotación D[R]E la cual es la inversa de la matriz E[R]D de la
ecuación 3-15:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∑
∑
+
××+⋅×
×+××
−=
−
−
−−
−−
NNDEGNDEN
DDE
NDEDE
NN
NN
NN
NN
NN
NN
extM
_____extF
VωmωIω
__________________________________
VωmGrNDωEωm
rqpwvu
zIyzIxzI0mxmyyzIyIxyImx0mzxzIxyIxImymz00mxmym00
mx0mz0m0mymz000m
r&
&
&
&
&
&
15
( )[ ]321BG dθcθcdφsθcdθsgρmgFF ++−∀−=+ (3-29)
El momento generado respecto a la nariz del dirigible por estas fuerzas es:
BBN
GGNN
B,G FrFrM ×+×= (3-30)
Donde NrG y NrB son las posiciones del centro de masa y el centro de volumen desde la
nariz, respectivamente, los cuales son constantes en el dirigible (en el marco D).
• Fuerza de propulsores izquierdo y derecho, FPI y FPD
Presentan componentes en d1 y d3 que dependen de la magnitud de la fuerza de empuje y
del ángulo de vectorización:
( )[ ]31PDPIPDPI dµsdµcFFFF ++=+ (3-31)
El momento generado por estas fuerzas respecto a la nariz del dirigible:
PDPDN
PIPINN
FP FrFrM ×+×= (3-32)
Donde NrPI y NrPD son las posiciones del propulsor izquierdo y derecho desde la nariz,
respectivamente, los cuales son constantes en el dirigible (en el marco D).
• Fuerza del rotor de cola, FR C
Actúa en dirección ±d2 dependiendo del sentido de giro del rotor.
2RCRC dFF ±= (3-33)
El momento generado por esta fuerza respecto a la nariz del dirigible es:
RCRCNN
RC FrM ×= (3-34)
Donde NrRC es la posición del centro del rotor de la cola desde la nariz, la cual es
constante en el dirigible (en el marco D).
16
• Fuerzas y momentos aerodinámicos, FVA y MVA
Las fuerzas y momentos generados por efectos aerodinámicos se obtienen con el
planteamiento de la hipótesis de que un cuerpo cualquiera que está en movimiento dentro
de un fluido cumple las siguientes condiciones:
- velocidad aerodinámica (Va), número de Mach bajo
- densidad y viscosidad de un fluido constantes
- en el interior de la carena los movimientos de helio inducidos por las
aceleraciones del dirigible son despreciables debido al tamaño
Cumpliendo lo anterior, las fuerzas y momentos aerodinámicos se pueden modelar de la
siguiente forma:
[ ] [ ] staDE
A
DE
AD
VA
VAT
ω
VD
ω
V
dtd
AM
F−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⋅+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⋅−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛− (3-35)
donde el primer término del lado derecho representa fenómenos no estacionarios, función
de las aceleraciones; el segundo término representa fenómenos aerodinámicos debidos a
la fuerza centrífuga y centrípeta; y el tercer término modela esfuerzos y momentos
estacionarios debido a la fricción de un cuerpo sumergido en un fluido [1]. Los
momentos generados son respecto a la nariz del dirigible, los vectores son vectores
columna expresados en el marco D y [A] y [D] son matrices de 6x6 definidas por las
expresiones siguientes:
[ ]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
666462
555351
464442
3533
262422
1511
a0a0a00a0a0a
a0a0a00a0a00
a0a0a00a000a
A (3-36)
17
(3-37)
La matriz [A] recibe el nombre de matriz de coeficientes de fluido adicionado. Debido a
esta matriz, la masa (aparente) del dirigible puede aumentar en un 5% [1].
Las variables xm11, m13, xm22, m33, xm13 y x2m22 son también parámetros aerodinámicos
del dirigible.
El vector Tsta que modela fuerzas y momentos aerodinámicos estacionarios es:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=
nref
mref
lref
N
L
T
ref2
Asta
CLCLCL
CCC
SVρ21
T (3-38)
Las variables Lref y Sref son parámetros aerodinámicos del dirigible que modelan una
longitud y superficie aerodinámica equivalente de la carena del dirigible. Las variables
CT, CL, CN, Cl, Cm, y Cn son coeficientes aerodinámicos adimensionales que dependen de
los ángulos de deflexión de los alerones (δe y δg) y de los ángulos de incidencia del vector
de velocidad aerodinámica (α y β). Las ecuaciones que describen estas relaciones se
pueden hallar en la literatura [1] o para un modelo más simplificado de estos coeficientes
se puede consultar [3].
3.2.6. Modelo en variables de estado
El modelo dinámico descrito anteriormente es un modelo bastante complejo de
ecuaciones diferenciales altamente no-lineales. Sin embargo, existe una forma sencilla de
[ ]
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−+−−−+−−−+−+−+
−−+++−++−−−−
−−+−
=
0raqaapaqaarmxapxmaara0raapapaparaqmxa
0raaqapaqaaqaarxmapm0qarapa0paqxma0qaqapa0raxmpm
raqaraqara0
D
465544534215222
26132451
64446664156242222
35
6655642435623562131533
152624222211
153533111113
2635243322
18
convertir este modelo a uno de variables de estado para ser solucionado fácilmente por
métodos numéricos como Euler o Runge-Kutta,
( )U,XfX =& (3-39)
donde X es el vector de variables de estado con valor inicial X(0) = X0 y U es el vector
de entradas.
El vector de variables de estado para el dirigible se define como:
( )TψθφrqpwvuX =& (3-40)
Al definir este vector como el vector de variable de estado, se puede ver que si no
existiera el primer término de la ecuación 3-35, la unión de las ecuaciones 3-28 y 3-17
conformaría el modelo del dirigible en variables de estado. Esto es debido a que las
fuerzas y momentos externos aplicados al dirigible dependen de las variables de estado
mas no de sus derivadas, a excepción del primer término que conforma el vector de
fuerzas y momentos aerodinámicos. Por tal motivo se debe separar dicho término en dos
partes que tomen lados independientes en la ecuación 3-39, como se muestra en la
siguiente ecuación:
[ ] [ ] ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−+⋅=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⋅−
M
FT
1DE
AD
K
KrqpwvuM
ω
V
dtd
A &&&&&& (3-41)
En este caso el primer término de la ecuación anterior haría parte del lado izquierdo de 3-
39, mientras que el segundo término haría parte del lado derecho de 3-39.
Aplicando las ecuaciones 3-24 y 3-25 al lado izquierdo de la ecuación 3-41:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]dtVdA
ω
V
dtdA
0
V
dtdA
ω
V
dtdA
ω
V
dtdA
WD
IDE
ND
1x3
WD
DE
ND
DE
AD⋅+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⋅−=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⋅+⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⋅−=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⋅−
(3-42)
19
Donde la matriz [AI] es una matriz de 6x3 que corresponde a las tres primeras columnas
de [A]. Al comparar las dos ecuaciones anteriores se observa que si se escriben los
vectores de 3-41 en el marco D entonces [M1] = -[A] y
[ ]dtVd
AK
K WD
I
M
F⋅=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛− (3-43)
En la expresión anterior es necesario expresar el vector derivada (realizada respecto al
marco D) de la velocidad del viento en el marco D. Como esta velocidad se mide (se
conoce) en la tierra (en el marco E), resulta más fácil primero utilizar el teorema de
transporte para realizar la derivada respecto al marco E y luego hacer la rotación
correspondiente para trasladar la velocidad del viento al marco D:
( )[ ]
( )[ ] ( )( )W
EEDDE
E
WEED
D
WD
VRωdtVd
RdtVd
⋅×−⋅= (3-44)
Finalmente uniendo las ecuaciones 3-28, 3-17 y 3-41 se obtiene el modelo completo del
dirigible en variables de estado:
[ ] [ ]
( )
[ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∑
∑
+
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅
××+⋅×
×+××
⋅⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ +=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
1x3
Next
ext
DE
NDEGNDENDDE
NDEGNDEDE
1
3x33x3
3x36x6
0
_____M
_____F
ωΩ
______________________________VωrmωIω
______________________________Vωmrωωm
I0
0AM
ψθφrqpwvu
&
&&
&
&
&
&
&
&
(3-45)
donde ΣFext y ΣMNext se definen por las ecuaciones de la 3-29 a la 3-35, remplazando el
primer término de esta última ecuación por el de la ecuación 3-43. Por lo tanto, f(X,U) de
la ecuación 3-39 viene siendo todo el lado derecho de la ecuación 3-45 y esta función es
la base del modelo dinámico.
De nuevo los vectores columna del lado izquierdo se forman concatenando vectores de
tamaño 3x1. La condición inicial para todas las variables de estado es cero.
20
3.3. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
Existen varios métodos numéricos en la literatura para solucionar ecuaciones
diferenciales que se encuentran descritas mediante la ecuación 3-39. Los más conocidos
son el método de Euler y el de Runge-Kutta.
3.3.1. Método de Euler
La fórmula para el método de Euler es
( )ii1i XfhXX ⋅+=+ (3.46)
en donde h es el tiempo de paso o el step time de la solución y las soluciones para X(t) se
calculan en tiempos discretos separados en un intervalo de tiempo de magnitud h.
Este método es de primer orden, lo que significa que el error por paso es del orden de h2
mientras que el error total acumulado es del orden h. El método no es recomendado para
la mayoría de aplicaciones prácticas, debido a que no es muy preciso comparado con
otros algoritmos ni tampoco es muy estable.
3.3.2. Método de Runge-Kutta
Este método numérico fue desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C.
Runge y M. W. Kutta. En realidad consiste no solo de un método sino de una familia de
ellos, de los cuales los más conocidos son el método Runge-Kutta de orden 2 y de orden
4, comúnmente referenciados como “RK2” y “RK4” respectivamente.
El método RK2 soluciona la ecuación 3-39 para X empleando las ecuaciones:
21
( )i1 Xfhk ⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
2k
Xfhk 1i2
2i1i kXX +=+ (3-47) Mientras que el método RK4 soluciona el problema mediante la fórmula:
( )i1 Xfhk ⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
2k
Xfhk 1i2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
2k
Xfhk 2i3
( )3i4 kXfhk +⋅=
( )4321i1i kk2k2k61
XX ++++=+ (3-48)
El método RK4 es un método de cuarto orden, lo cual significa que el error por paso es
del orden de h5 mientras que el error total acumulado es del orden de h4. Es el algoritmo
que más se utiliza en la práctica para la solución de ecuaciones diferenciales, por ejemplo
es el método que utiliza por defecto el software MATLAB, aunque este utiliza además un
algoritmo de tiempo de paso adaptativo (varía en cada iteración). El RK4 es considerado
como un algoritmo que proporciona un excelente balance entre precisión y simplicidad de
programación.
3.4. TRABAJOS PREVIOS
3.4.1. Simuladores
Anteriormente ya se había desarrollado simuladores para dirigibles, en particular también
para el dirigible UrAn. En el laboratorio LAAS-CNRS1 de Toulouse, Francia, se
desarrolló un simulador construido sobre la base del modelo dinámico descrito
anteriormente e implementado en la plataforma MATLAB-Simulink. Con base en este
1 Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systèmes – Centre National de la Recherche Scienti fique
22
trabajo se desarrolló sobre la misma plataforma, un modelo de simulación de esquema
general, donde se tiene una interfase gráfica de usuario (GUI) que despliega la foto de un
dirigible y permite variar los parámetros basados en la geometría del sistema (posición
del CG, de propulsores, etc.) y variar las señales de control (fuerza de propulsores, ángulo
de vectorización, etc.). Dichas señales de control se ven limitadas a ciertos rangos de
operación basadas en las restricciones físicas de los actuadores del dirigible. Además,
este simulador permite variar la magnitud y velocidad del viento y la densidad del aire.
Figura 3.5. Diagrama de bloques del simulador en Simulink
Tomado de [1]
23
Figura 3.6. GUI del simulador
Tomado de [1]
Cabe resaltar que estos simuladores descritos anteriormente no son en tiempo real. En
estos simuladores la solución de las ecuaciones diferenciales del modelo se realiza en un
tiempo determinado y con una base de tiempo distinta a la real y luego de que se han
solucionado las ecuaciones se imprime la información al usuario (en gráficas o en tablas
de valores).
3.4.2. Banco de pruebas
En la literatura [5] se muestra un diseño y una construcción de un banco de pruebas para
motores y hélices de aeromodelos, en el cual se pudo medir fuerza de empuje, par
generado, velocidad angular, velocidad de viento incidente y temperatura del motor y de
los gases de salida.
24
El trabajo anteriormente mencionado expone como conclusiones que la fuerza de empuje
aumenta proporcionalmente con el aumento de velocidad angular de las hélices hasta un
valor pico en que empiezan a generarse pérdidas en ellas. Se muestra también que el
rendimiento de los motores disminuye debido a factores externos como la humedad del
aire, la presión y temperatura atmosférica y la calidad de la mezcla de combustible.
Existe también un banco de pruebas diseñado específicamente para la góndola del
dirigible UrAn. En este diseño que se puede consultar en [2] se logró medir la fuerza de
empuje generada por los propulsores para diferentes velocidades angulares a un ángulo
de vectorización de 0°.
De este trabajo se comprueba que la fuerza de empuje aumenta al aumentar la velocidad
angular. Se alcanzó una velocidad angular máxima de alrededor de 5500rpm alcanzando
una fuerza máxima cercana a los 50N.
Finalmente en la literatura [1] también se realizaron mediciones sobre los propulsores del
dirigible UrAn, aunque no se menciona el banco de pruebas utilizado. En este trabajo se
presentan unas relaciones explícitas entre la fuerza de empuje y la velocidad angular de
las hélices:
051.8n01004.0F67.30n01482.0F
PD
PI
−=−=
(3-49)
donde n es la velocidad angular (en rpm) y FPI y FPD son las magnitudes de la fuerza de
empuje (en Newton) del propulsor izquierdo y derecho respectivamente. Se alcanzó
también una velocidad angular máxima un poco menor a los 5500N y una fuerza máxima
un poco por debajo de los 50N.
25
4. DISEÑO
4.1. BANCO DE PRUEBAS
4.1.1. Sensor ATI F/T Mini45
Desarrollado por la empresa ATI-IA, el Mini45 es un sensor de carga triaxial, capaz de
medir las tres componentes de fuerza y las tres de momento usando un transductor
monolítico instrumentado. El transductor F/T usa galgas extensiométricas que le
proporcionan excelente inmunidad al ruido, tiene una elevada rigidez y una alta
tolerancia a posibles sobrecargas. Cada galga se comporta como una celda de
microdeformación, las cuales convierten cambios de deformación a cambios de voltaje.
Los (seis) voltajes son adquiridos por una tarjeta de adquisición de National Instruments
la cual finalmente se encarga de comunicarlas al computador. Para cada sensor
construido existe un archivo de calibración, proporcionado por la misma empresa
fabricante, que convierte los seis valores de voltaje en tres valores de fuerza y tres de
momento. La calibración consiste básicamente en una matriz de 6x6 que multiplica al
vector de señales de voltaje de seis elementos.
El sensor también viene compensado en temperatura para un rango de ±25°C alrededor
de temperatura de ambiente.
Fxy Max Fz Max Txyz Max Peso Diámetro Altura±N ±N ±Nm gr mm mm
580x 1160 20 90 45 15.7 Tabla 4.1.Especificaciones básicas del sensor triaxial
Tomada de [13]
4.1.2. Proceso de diseño
Para comenzar con el diseño del banco de pruebas, en primer lugar se decidió que la
góndola del dirigible debería ir colgada al banco con el propósito de que el montaje de la
góndola al banco se asimilara de la mejor forma al montaje real de la góndola al dirigible
26
en el cual la góndola se “cuelga” a la gran carena. Para minimizar el tamaño del banco de
pruebas se decidió que este iría por su parte colgado al techo del laboratorio en el que
finalmente se instalaría. Posteriormente por facilidad de instalación se estableció que el
banco no se anclaría al techo sino a unos perfiles que están sujetados cercanos al techo en
donde están instaladas las tomas de corriente.
Básicamente el objetivo del banco era el de proporcionar un acople entre la góndola y el
sensor ATI-IA Mini45 y por otra parte el acople entre el sensor y los perfiles del techo,
por lo cual el banco constaría únicamente de dos piezas relativamente fáciles de fabricar.
Como el sensor triaxial se encontraba previamente acoplado a dos placas de aluminio,
una por cada cara del sensor, las dos piezas del banco de pruebas se debían diseñar para
que pudieran ser sujetadas a dichas placas; la pieza que iría al perfil en el techo debe
conectarse a la placa superior del sensor mientras que la pieza que iría a la góndola debe
conectarse a la placa inferior. Esta segunda pieza, además de soportar a la góndola
también soportaría las dos cubetas donde se encuentra almacenada la electrónica del
dirigible.
Figura 4.1. Diseño del banco de pruebas
La figura anterior muestra el diseño final del banco de pruebas, que consta de las dos
piezas mencionadas anteriormente. La pieza superior se atornilla al perfil en el techo, el
27
cual tiene unos agujeros similares a los de esta pieza, mientras que la pieza inferior se
atornilla a la góndola del dirigible a la cual se le fueron maquinados cuatro agujeros.
Además esta última pieza tiene unas extensiones a donde se cuelgan las dos cubetas de la
electrónica, por medio de un pasador roscado que se fija por medio de dos tuercas.
Selección del material
El material empleado en la construcción del banco se escogió basado en la sección de la
pieza que más soporta esfuerzos. La pieza superior solamente sufre esfuerzos de tensión
debido al peso de la góndola y de las cubetas, dado que su área es muy grande este
esfuerzo es despreciable. La segunda pieza también sufre esfuerzos de tensión que se
desprecian por la misma razón, pero además el peso de las cubetas genera momentos
flectores a lo largo de la platina que atraviesa esta pieza. Por lo tanto esta platina se
convierte en pieza crítica en el diseño.
La platina se comporta básicamente en una barra con un extremo empotrado y otro libre,
como se muestra a continuación:
Figura 4.2. Modelo de la platina
Se desarrolló entonces una figura de mérito para minimizar el peso de la estructura
debido a que está siendo soportada desde el techo a una altura de más de tres metros y
cuanto menor sea su peso, menor es la probabilidad de que se desplome al piso.
Para iniciar este procedimiento se fijan ciertas variables:
- longitud de la platina, L: debe ser un poco mayor a media longitud de la góndola
más la longitud de la cubeta. Por lo tanto se fija a un valor de 0.5m.
- peso de la cubeta, P: el peso de la cubeta y la electrónica en ella es de 3Kg.
- ancho de la platina, b: se fija en 1in.
Por lo tanto la variable de diseño es la altura de la platina, h.
28
El momento flector máximo generado en la platina es en el extremo empotrado y se
calcula mediante la ecuación:
nS
bhPL6 y
2 ==σ (4-1)
Donde n es el factor de seguridad y Sy es el esfuerzo de falla de material, que se considera
como el esfuerzo de fluencia para materiales dúctiles o el esfuerzo de ruptura para
materiales frágiles que no presenten fluencia.
Al despejar h de la ecuación anterior y reemplazando en la ecuación para la masa de la
platina, m=ρLbh, se obtiene:
y
3
SbnPL6m
ρ⋅= (4-2)
Por lo tanto la figura de mérito a considerar es:
ySf
ρ= (4-3)
Se consideran principalmente tres materiales para la construcción del banco de pruebas,
para los cuales se calcula la figura de mérito de la ecuación anterior. Los resultados se
indican en la tabla siguiente:
Densidad Esfuerzo (kg/m³) (Mpa)
Acero 7800 550 332,6
Aluminio 2700 300 155,9
Madera estructural 800 2,5 506,0
MaterialyS
ρDensidad Esfuerzo (kg/m³) (Mpa)
Acero 7800 550 332,6
Aluminio 2700 300 155,9
Madera estructural 800 2,5 506,0
MaterialyS
ρ
Tabla 4.2. Propiedades de algunos materiales
Tomada de [10]
De la tabla anterior se observa que el aluminio es el mejor material para la construcción
del banco, seguido por el acero. Sin embargo, debido a la mayor dificultad de obtención
de piezas de aluminio a la medida y debido al mayor costo de este material, se decidió
finalmente que las platinas serían de acero, particularmente de acero AISI 1020.
Además debido a que la platina va unida a otra placa para dar finalización a la pieza
inferior del banco, se decidió que esta placa también sería de acero para facilitar la unión,
29
la cual se haría por soldadura. Con soldadura además se garantiza una unión fuerte y más
segura que una solución con elementos de sujeción.
Finalmente la pieza superior también se decidió hacer de acero para no mezclar
materiales en la construcción y así no degradar su aspecto visual.
4.1.3. Calibración
Una vez instalado el sensor al banco de pruebas y el banco de pruebas al techo, se debía
solucionar un último problema de instalación generado a la diferencia que existe entre los
marcos de referencia del sensor y del banco.
El banco de pruebas se instaló de tal forma que el marco de referencia de la góndola (que
es el mismo marco D del dirigible de la sección 3.2.3.) no coincide con el marco de
referencia del sensor triaxial. Esto sucedió debido a que se desconocía la orientación de
referencia del sensor, que no viene indicada sobre este.
(a) (b)
Figura 4.3. (a) Marco de referencia del sensor, Tomado de [8]
(b) Diferencias entre marcos de referencia
Entre los dos marcos únicamente coincide el eje z. Para medir el ángulo de rotación θ
entre los dos marcos, el cual era desconocido, se aplicó con un dinamómetro una fuerza
conocida en el marco D y se mide la fuerza en el marco del sensor, dado a que el sensor
reporta la fuerza en este marco.
SSD yN5.49xN7xN50F ⋅−⋅=⋅= (4-4)
Por lo tanto:
30
°==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 9.8143.1
75.49
arctanθ (4-5)
Con lo que se define la matriz de rotación del marco S (marco de referencia del sensor) al
marco D:
[ ]⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛θθθ−θ
=100014.099.0099.014.0
1000cs0sc
R SD (4-6)
Por lo tanto los vectores de fuerza y momento medidos por el sensor se multiplican por la
matriz de rotación anterior y así medir las fuerzas y momentos en el marco D.
4.2. SIMULADOR
4.2.1. Software y hardware empleados
Como se ha mencionado anteriormente, en el diseño del banco de pruebas se decidió usar
el sensor ATI-IA Mini45 debido a que permite medir fuerzas y torques en los tres ejes con
una instalación muy fácil. Para poder transmitir los datos al computador, el sensor
incorpora su propia tarjeta de adquisición de datos y funciona a una frecuencia de
muestreo de hasta 40kHz.
El software empleado para la lectura y visualización de los datos fue LabVIEW, debido a
que es un programa especialmente dedicado a la adquisición y procesamiento de señales
digitales provenientes de cualquier puerto del computador, ya sea el puerto serial, puerto
paralelo, USB y hasta VGA, tarjeta de sonido y los puertos de expansión internos del
computador. En este caso se usó el último de los puertos mencionados, donde se instaló
la tarjeta de adquisición del sensor. La programación en este software es en la mayoría
gráfica en donde lo que se hace es crear una especie de diagrama de bloques, contrario a
los otros lenguajes de programación convencionales como C o Java donde el código se
escribe normalmente.
El software de instalación de la tarjeta de adquisición del sensor incluía un archivo de
LabVIEW también conocido como un VI (virtual instrument) que traía toda la
31
configuración necesaria de la tarjeta para poder adquirir los datos del sensor y poderlos
ver y manipular dentro de LabVIEW. En este archivo se podía establecer la tasa de
muestreo desde 1Hz hasta 40KHz como además escoger el archivo de calibración del
sensor y dentro del mismo programa se hacía la multiplicación del vector de voltajes por
la matriz de calibración. Finalmente en este archivo se podía ver los datos de fuerza y
momento medidos por el sensor y se podía establecer un valor de referencia (bias value)
a partir de los cuales se mediría estas fuerzas y momentos. Esto último es de gran utilidad
para lograr que el sensor no tenga en cuenta el peso del banco de pruebas ni el de la
góndola al momento de medir, y que solo se dedique a registrar los cambios de fuerza
generados por los propulsores de la góndola.
4.2.2. Adquisición de datos y transducción
La adquisición de los datos se hizo con base al archivo explicado anteriormente, que se
convierte en el archivo principal del simulador. En la adquisición se hicieron algunos
cambios menores, como el de dejar la ruta al archivo de calibración fija. Sin embargo, al
vector de fuerzas y momentos arrojados por el sensor se le hicieron cambios mayores. En
primer lugar se multiplican por la matriz de rotación de la expresión 3-15 para
transformarlos al marco de referencia D. Luego, una vez en este marco, las fuerzas y los
momentos leídos por el sensor se traducen en la fuerza que esta siendo generada por los
propulsores y en el ángulo de vectorización de eje de los propulsores.
Para realizar esta transducción se planean las ecuaciones que relacionan las fuerzas y
momentos leídas por el sensor (denotadas FS y M S respectivamente) con las fuerzas y
momentos generados por los propulsores:
( ) ( ) 3z,PDz,PI1x,PDx,PIS dFFdFFF +++=
( ) ( )3z,PD1x,PDPDS
3z,PI1x,PIPIS
S dFdFrdFdFrM +×++×= (4-7)
donde SrPI = xId1 + yId2 + zId3 y SrPD = xDd1 + yDd2 + zDd3 son las los vectores de posición
del propulsor izquierdo y derecho con respecto al sensor, respectivamente. Realizando los
productos cruz e igualando componente a componente las ecuaciones se pueden escribir
de forma algebraica como:
32
[ ]⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
z,PD
x,PD
z,PI
x,PI
z,PD
x,PD
z,PI
x,PI
DI
DI
z,S
x,S
z,S
x,S
FFFF
T
FFFF
y0yy0y010100101
MMFF
(4-8)
y
0F y,S = (4-9)
y además
x,PDDz,PDDx,PIIz,PIIy,S FzFxFzFxM +−+−= (4-10)
Entonces se utiliza la ecuación 4-8 para despejar las componentes de fuerza de los
propulsores conociendo las componentes de fuerza y momento captadas por el sensor.
Observando a la matriz T de esta ecuación se puede ver rápidamente que las fuerzas se
pueden despejar siempre que se cumpla yI ≠ yD. Esto se cumple en el banco de pruebas
dado que los motores están a lados opuestos de la góndola y a lados opuestos del sensor.
De hecho por estar a lados opuestos se cumple que yI = -yD.
La relación 4-9 se debe cumplir debido a que los propulsores no ejercen fuerza lateral y la
relación 4-10 también se debe cumplir a no ser de que hayan otras fuerzas actuando sobre
el sensor. Estas dos relaciones se utilizan para verificar el buen comportamiento del
sensor y del banco de pruebas en general.
Finalmente conociendo las componentes de fuerza de los propulsores se halla el ángulo
de vectorización de dos maneras:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=µ
x,PI
z,PI
FF
arctan y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=µ
x,PD
z,PD
FF
arctan (4-11)
Ambos valores de µ en 4-11 deben ser iguales y esto es una tercera forma de verificar la
veracidad de los datos del sensor.
33
4.2.3. Simulación del modelo
Una vez calculadas las fuerzas de propulsión y el ángulo de vectorización, estos datos se
introducen a otro archivo de LabVIEW que contiene todo el modelo dinámico del
dirigible explicado en el capítulo 2. Además de recibir esto, este archivo también recibe
como entradas:
- la fuerza generada por el rotor de cola, la cual se puede variar en tiempo real a
medida que avanza la simulación
- la velocidad del viento en tierra (en el marco E), a la cual se le puede asignar una
función en el tiempo (a cada una de las tres componentes) para ser introducida
dentro del modelo
- todos los parámetros aerodinámicos del dirigible, incluyendo densidad del aire y
volumen de la carena
- la posición de los propulsores y del rotor de cola respecto a la nariz
- la posición del centro de masa de la góndola, de los alerones, del rotor de cola y
de la carena respecto a la nariz
- la inercia de la carena respecto a la nariz
Los ángulos de elevación y giro de los alerones se asumen siempre constantes e iguales a
cero. Esto simplifica en gran medida el modelo dinámico ahorrándose así tiempo valioso
de computación.
Las salidas del modelo dinámico son las nueve variables de estado, las cuales se calculan
a la tasa de muestreo del sensor y se imprimen en una gráfica contra tiempo. Los valores
iniciales de las variables de estado son todos cero.
4.2.4. Interfaz con el usuario
La interfaz del simulador de diseñó de tal forma que estuviese bien ordenada y a la vez
presentara la mayor información posible. En esta interfaz el usuario puede ver los datos
de fuerza y momento que están siendo capturados por el sensor y los datos de velocidad
lineal y angular del dirigible. Estos datos se actualizan en tiempo real a una frecuencia
definida por el usuario que debe ser mayor a frecuencia de adquisición del sensor. En la
34
interfaz se cuenta con una celda en donde el usuario puede definir estos valores (tiempo
de adquisición y de visualización de datos), además de otras celdas donde el usuario
define la posición de los propulsores de la góndola respecto al sensor.
Figura 4.4. Interfaz usuario-simulador, primera parte
La interfaz también cuenta con un pulsador para activar los valores de referencia (bias
value) del sensor y esto es lo que el usuario debe hacer apenas empiece a correr el
modelo para ignorar la fuerza que hace el peso del banco de pruebas y de la góndola.
Finalmente se cuenta con un controlador tipo perilla para la señal de fuerza del rotor de
cola. Esta señal opera en un rango entre los 0 y 10N y puede ser manipulada en tiempo
real por el usuario mientras se corre la simulación.
35
Figura 4.5. Interfaz usuario-simulador, segunda parte
La información desplegada en la interfaz es abundante y no cabe en una sola pantalla del
computador. Por lo tanto el usuario debe correr el scroll horizontal de la pantalla para
poder ver toda la información.
Además de contar con una interfaz gráfica para la visualización de la información, el
simulador también almacena los datos mostrados en un archivo de texto a medida que
avanza la simulación. Estos datos pueden ser luego importados desde MATLAB o Excel
para su posterior análisis.
36
5. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Durante el transcurso del proyecto se realizaron varias pruebas sobre el simulador para ir
verificando su correcto funcionamiento. Los parámetros utilizados en la simulación son
mostrados a continuación:
PARÁMETRO Valor Unidades
mas a ale rones 2,5 kgmas a góndola 13,2 kgmas a ca rena 6,5 kgPos ic ión CM alerones [x, y, z ] [‐8 .491, 0, 0] mPos ic ión CM góndola [x, y, z ] [‐3.48, 0 1 .252] mPos ic ión CM carena [x, y, z ] [‐4.2713, 0, 0] mPos ic ión de propuls or iz quie rdo [x, y, z ] [‐3.48, ‐0.6, 1 .252] mPos ic ión de propuls or derecho [x , y, z] [‐3.48 , 0.6, 1.252 ] mC V dirigib le [x , y, z] [‐4.2713, 0, 0] mIxx carena /nariz 2,3962 kg∙m²Iyy carena /nariz 135,6815 kg∙m²Izz carena /nariz 135,6815 kg∙m²a11 1,528 kga22 21,093 kga33 20,422 kga44 16,391 kg∙m²a55 382,129 kg∙m²a66 388,097 kg∙m²a15 0 kg∙ma24 ‐1,508 kg∙ma26 ‐69,694 kg∙ma35 67,705 kg∙ma46 4,481 kg∙m²m13 1,721 kgm33 ‐49,702 kgxm11 25,692 kgxm22 23,688 kgxm13 ‐4,558 kgx2m11 ‐173,491 kgx2m22 ‐166,354 kgS ref 2,8953 m²L re f 9,39 mrho (dens idad del aire) 1,225 kg/m³g (gra vedad) 9,8 m/s²·Volumen carena 18,45 m³
Tabla 5.1. Parámetros del simulador Posiciones respecto a la nariz del dirigible
37
Todas las corridas de simulación son en tiempo real, se hicieron con condiciones iniciales
iguales a cero y sin entradas de fuerza de propulsión ni viento. Las simulaciones en
Simulink no son en tiempo real.
En primer lugar, del simulador se programó la ecuación 3-45 únicamente teniendo como
fuerzas y momentos externos los generados por el peso y la fuerza de empuje, es decir,
sin los efectos del viento (por lo tanto con la matriz de fluido adicionado [A] igual a
cero). Esta primera simulación fue empleando el método numérico de Euler para la
solución, con un tiempo de paso de 20ms. Se decidió comenzar con este método debido a
que es el más fácil de implementar y el que necesita menor tiempo de cómputo. Se
comparó la solución obtenida con la respuesta del simulador de la sección 3.4.1 (editado
para que no tuviera en cuenta el viento) y estos fueron los resultados para una variable de
estado en particular:
Figura 5.1. Respuesta del simulador para u(t) con método Euler para un tiempo de paso de 20ms
0 100 200 300 400 500 600-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
Tiempo (seg)
U (m
/s)
MATLABLabVIEW (50Hz)
38
En la gráfica anterior se observa una clara diferencia entre ambas soluciones. Analizando
con un poco más de detalle se observa que en los primeros 100 segundos de simulación
ambas soluciones concuerdan, dando un indicio de que la programación de las ecuaciones
del modelo está bien y lo que falla es el método numérico empleado.
Para comprobar esta hipótesis se decidió cambiar el método numérico a Runge-Kutta de
orden 4. Sabiendo que es un algoritmo mejor a Euler, se decidió probar incluso con un
tiempo de paso mayor al anterior. Este tiempo se estableció en 200ms y este fue el
resultado:
Figura 5.2. Respuesta del simulador para u(t) con método RK4 para un tiempo de paso de 200ms
Se puede observar que las respuestas de ambos simuladores son prácticamente idénticas,
lo cual confirma que la programación se hizo correctamente pero el método de Euler no
es muy preciso. Por lo tanto se decide descartarlo por el resto del desarrollo del
simulador.
0 100 200 300 400 500 600-100
0
100
200
300
400
500
600
700
Tiempo (seg)
U (m
/s)
MATLABLabVIEW RK4 (5Hz)
39
Figura 5.3. Respuesta del simulador para u(t) con método RK4 para un tiempo de paso de 1s
Para ver la eficacia del método RK4 se simuló incluso con un tiempo de paso de 1
segundo, 50 veces mayor al tiempo usado en la simulación con Euler. Se puede de la
gráfica 5.3 que aún así, los resultados son muchísimo mejores. En esta gráfica Las dos
respuestas siguen siendo muy parecidas aunque se logra observar mayor error a medida
que avanza la simulación. Debido a la exactitud de este método se decidió implementarlo
para el resto de las simulaciones, con un tiempo de paso de 20ms.
Aunque en las gráficas 5.2 y 5.3 se obtuvieron muy buenos resultados, se debe recordar
que son simulaciones de un modelo incompleto, donde hace falta la fuerza que genera el
viento. Esto se puede evidenciar en estas gráficas dado la inestabilidad del sistema; el
dirigible se comporta similar a un péndulo, impulsado por el peso y la fuerza de empuje
que hacen que el sistema se acelere hasta alcanzar velocidades físicamente imposibles.
El siguiente paso fue entonces agregar al modelo los tres términos de la ecuación 3-35, de
a uno en uno e ir simulando para comprobar que no hubiera errores durante el desarrollo.
0 100 200 300 400 500 600 700 800-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Tiempo (seg)
U (m
/s)
Respuesta MATLABRespuesta LabVIEW con RK4 (1Hz)
40
Se agregó el segundo término primero, dado que era el más fácil de implementar. Se
simuló y se compararon los resultados con el mismo simulador de Simulink de las
pruebas anteriores (editado para que incluyera sólo este término también en los efectos
del viento):
Figura 5.4. Respuesta del simulador para u(t) con RK4 agregando segundo término de viento
De la gráfica anterior se observa que el efecto del viento se empieza a notar mucho.
Gracias al viento, las velocidades alcanzadas por el dirigible son muy bajas y el dirigible
está casi quieto. Sin embargo al comparar los resultados de ambos simuladores se nota
una diferencia significativa.
Luego de intensas revisiones en ambos simuladores se llega a la conclusión de que la
falla puede estar en el modelo de Simulink. La razón es que en el modelo del dirigible, al
suponer condiciones iniciales nulas y sin fuerzas de propulsión, se puede comprobar que
0 20 40 60 80 100 120-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10x 10
-3
Tiempo (seg)
u (m
/s)
MATLABLABVIEW
41
las variables de estado v, p, r, φ y ψ deben permanecer en cero siempre. Esto sucedía en
el modelo programado en LabVIEW pero no en el de Simulink, como lo muestra la figura
5.6, donde se puede observar que en simulador de Simulink estas variables de estado
toman valores que aunque muy pequeños (menores a 10-3) afectan la precisión de la
solución. Por lo tanto se optó por hacer otro modelo en Simulink mucho más sencillo, que
sólo tuviese en cuenta las variables de estado que sí cambiaban en el tiempo (u, w, q y θ).
El diagrama de bloques de este nuevo simulador se muestra a continuación:
Figura 5.5. Simulador del modelo reducido (C.I. = 0 y sin propulsión)
Salida = u(t)
42
Figura 5.6. Respuesta del simulador en Simulink para seis variables de estado
43
Se comparó la respuesta de LabVIEW de la figura 5.4 con la respuesta de este nuevo
pequeño simulador y se obtuvo el resultado de la figura 5.7, donde se puede observar una
mejoría notoria con respecto a la figura 5.4. El nuevo simulador es más preciso porque es
más sencillo y presenta salidas nulas para las variables de estado v, p, r, φ y ψ.
Figura 5.7. Respuesta del simulador para u(t) con RK4 agregando segundo término de viento en comparación con la respuesta del nuevo simulador de Simulink
Los resultados de la gráfica anterior si son los esperados. Por lo tanto se comprueba que
el modelo de LabVIEW no presenta fallas en lo hecho hasta el momento y se comprueba
que para efectos de validación de la respuesta del simulador de LabVIEW el segundo
modelo hecho en Simulink funciona mejor que el primero.
Estando seguros de que el simulador de LabVIEW funcionaba hasta el momento, se le
agregó al modelo el primer término de la ecuación 3-35 y luego de observar que no había
discrepancias con el modelo de Simulink (ver figura 5.8) se agregó el tercer término de la
0 20 40 60 80 100 120-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10-3
Tiempo (seg)
u (m
/s)
MATLABLabVIEW
44
ecuación completando así todo el modelo del simulador del dirigible. Al simular todo el
modelo completo se obtuvo el resultado de la figura 5.9.
Figura 5.8. Respuesta del simulador para u(t) con RK4 agregando primer y segundo término de
viento en comparación con la respuesta del nuevo simulador de Simulink
0 20 40 60 80 100 120-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3
Tiempo (seg)
u (m
/s)
MATLABLabVIEW
45
0 20 40 60 80 100 120-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 10-3
Tiempo (seg)
u (m
/s)
MATLABLabVIEW
Figura 5.9. Respuesta del simulador para u(t) con RK4 completo
La gráfica anterior muestra la simulación en tiempo real que se hizo en LabVIEW de todo
el modelo dinámico del dirigible, con condiciones iniciales nulas y sin entradas de viento
ni de propulsión. Se puede observar que es prácticamente idéntica a la respuesta teórica
de Simulink. Todas las simulaciones se hicieron para una sola variable de estado con el
supuesto de que las demás soluciones están bien si una sola de ellas está bien.
Por último es necesario aclarar que no se puede establecer un tiempo de paso
arbitrariamente pequeño para los algoritmos numéricos en las simulaciones. Esto es
debido que el modelo dinámico del dirigible es complejo y tarda alrededor de 5ms en
cada llamada al modelo. Por lo tanto, si se emplea el algoritmo de Euler el tiempo de
paso mínimo es de 5ms, mientras que con RK4 este tiempo se cuadruplica, debido a que
este método necesita hacer cuatro llamadas al modelo dinámico en cada iteración.
46
El mínimo tiempo de paso para el algoritmo RK4 es por lo tanto de 20ms y es el tiempo
con el que se obtiene el mínimo error posible en el simulador respecto a las respuestas
reales del dirigible.
47
6. CONCLUSIONES
Al finalizar el proyecto se cumplió con los objetivo de construir e instalar el banco de
pruebas para la góndola del dirigible UrAn y de instalar el sensor triaxial para medir las
fuerzas generadas por los propulsores en la góndola. El resultado fue un montaje robusto
que asegura que toda la fuerza producida se transmita al sensor, adquiriendo así una
información confiable.
Con el montaje del banco de pruebas se logra hacer una caracterización de la fuerza de
empuje generada por los motores a diferentes condiciones de operación, como puede ser
la calidad del combustible y la temperatura de los motores.
Por otro lado se logró implementar el modelo dinámico completo del dirigible en el
software LabVIEW, el cual corre en tiempo real con los datos de fuerza producidos por la
góndola y captados por el sensor. Se comprobó que la solución de este modelo es
prácticamente igual a la solución teórica calculada en MATLAB aún cuando la primera se
hace en tiempo real a un tiempo de paso fijo y con entradas reales, mientras que MATLAB
utiliza un algoritmo adaptativo para calcular el paso en cada iteración.
Del modelo dinámico del dirigible se concluye que este funciona muy bien. Se comprobó
el efecto estabilizador del viento sobre el dirigible; sin viento se alcanzaron velocidades
físicamente imposibles mientras que con el efecto de la fuerza del viento el dirigible
estaba prácticamente quieto. Debido a que el modelo es muy completo y funciona muy
bien el simulador tiene como función principal el de probar algoritmos de control en
tiempo real sobre los actuadores de la góndola, trabajando con las acciones reales de
propulsión y vectorización. Además, dado que es el modelo completo del dirigible y no
un modelo reducido asumiendo ciertas condiciones de vuelo, se pueden probar algoritmos
de control para el despegue, aterrizaje o giros en el aire. Finalmente el simulador es muy
flexible, permitiendo variar todos los parámetros del dirigible lo cual aumenta las
posibilidades de uso del simulador.
48
7. TRABAJOS FUTUROS
Este proyecto está en posibilidad de mejoras. Principalmente se debe mejorar el ruido de
las señales del sensor triaxial. Este ruido es debido a ruido eléctrico y también por las
vibraciones que generan los motores cuando están encendidos; el sensor capta esas
pequeñas vibraciones y son leídas como ruido. Para mejorar este problema, se debe
diseñar un filtro digital pasabajas para eliminar las altas componentes frecuenciales del
ruido y de las vibraciones mecánicas. También se pueden instalar unos absorbedores de
vibraciones en el banco para minimizarlas. Todo esto es con el fin de que la lectura del
sensor sea la más limpia posible para que el simulador funcione de la mejor manera.
Una vez se tenga el simulador en sus óptimas condiciones, se deben hacer pruebas de la
respuesta del modelo dinámico ya con los motores encendidos y variando la fuerza de
propulsión y el ángulo de vectorización, y comparando la solución arrojada por el
simulador con soluciones de otros modelos en MATLAB, para asegurarse que el
simulador funcione completamente. Una vez hecho esto, el banco se puede usar para todo
tipo de pruebas, desde la caracterización de los motores propulsores hasta pruebas de
control con señales reales e identificación del modelo con funciones de transferencia.
49
BIBLIOGRAFÍA
[1] SOLAQUE, Leonardo E. Modelado, control y navegación para el vuelo autónomo de
dirigibles. Tesis doctoral de la Universidad de los Andes y l’Institut National des
Sciences Appliquées de Toulouse, 2007.
[2] CADENA, César D. Estudio del modelo e identificación de un dirigible. Proyecto de
grado en Ingeniería Electrónica. Universidad de los Andes, 2005.
[3] PATIÑO, Diego A. Fusión sensórica y simulación para el direccionamiento de un
dirigible. Tesis de maestría en Ingeniería Electrónica y de Computadores.
Universidad de los Andes, 2005.
[4] PATIÑO, Maria C. Diseño de un sistema de control de vuelo de un blimp. Tesis de
maestría en Ingeniería Electrónica. Universidad de los Andes, 2004.
[5] CABANA, Sandra C. Diseño y construcción de un banco de pruebas para motores y
hélices de aeromodelos. Proyecto de grado en Ingeniería Mecánica. Universidad de
los Andes, 2000.
[6] LOPERA, Luís I. Arquitectura de navegación, planificación y supervisión para un
dirigible no tripulado. Universidad de los Andes, 2005.
[7] ARRIETA, Andrés F. Identification of the dynamic parameters and design of a
control system for a surveillance airship. Proyecto de grado en Ingeniería Mecánica.
Universidad de los Andes, 2006.
[8] VARGAS, Jorge I. Diseño y desarrollo de un instrumento para pruebas de medición
de fuerzas del brazo humano. Proyecto de grado en Ingeniería Mecánica. Universidad
de los Andes, 2006.
50
[9] GÓMEZ, Alberto A. Diseño e implementación de la electrónica de instrumentación
de un dirigible, basado en la aplicación de nuevas tecnologías y orientado a la
reducción de espacio, peso y energía en el marco de la tesis Doctoral de Leonardo
Solaque. Proyecto de grado en Ingeniería Electrónica. Universidad de los Andes,
2006.
[10] SHIGLEY, Joseph A. Mechanical Engineering Design. McGraw-Hill. Fifth edition,
2002.
[11] HIBBELER, Russel C. Engineering Mechanics: Dynamics. Prentice Hall. Tenth
edition, 2004.
[12] BURDEN, Richard L. Análisis Numérico. Thomson Learning. Séptima edición,
2004.
[13] ATI-INDUSTRIAL AUTOMATION, Multi-axis force/torque sensor. 2007 catalog.
51
ANEXOS
La góndola en el banco de pruebas
Montado en el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de los Andes
52
El sensor AIT-IA F/T Mini45
53
Montaje de la plataforma de simulación