diskretna matematika 1 / teorija grafov - 1. osnovni pojmi...osnove podgra homomor zem stopnje...
TRANSCRIPT
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Diskretna matematika 1 / Teorija grafov1. Osnovni pojmi
Vladimir Batagelj
Univerza v Ljubljani
FMF, matematika – Financna matematikaLjubljana, december 2013 / februar 2008
1 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Kazalo
1 Primeri2 Osnove3 Podgrafi4 Homomorfizem5 Stopnje6 Posebni grafi
Pajek
Ucilnica: http://ucilnica.fmf.uni-lj.si/course/view.php?id=39Razlicica: 24. december 2013
2 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Primer 1: The Tube
4
4
4
32
2
3
3
3
2
456
5
56
3 2
BCD A
1
1
Self colours
Title
Quad Royal Tube Map Version 2 Date
Size
1/9/2005
4 Colour Process + 4 Self Colours S/S
Pantone®
485 CPantone®
470 CPantone®
235 CPantone®
072 C
Process colours
River Thames
River Thames
A
B
C
D
E
F
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
B
C
D
E
F
Tubemap
D2 Acton CentralD2 Acton TownD6 AldgateD7 Aldgate EastD8 All SaintsB2 AlpertonA1 AmershamC6 AngelB5 ArchwayA6 Arnos GroveB6 Arsenal
C4 Baker Street F4 BalhamD6 BankC6 BarbicanC9 BarkingB9 BarkingsideD3 Barons CourtC3 BayswaterE9 Beckton
D9 Beckton ParkC9 BecontreeB5 Belsize ParkD6 BermondseyC7 Bethnal GreenD5 BlackfriarsB7 Blackhorse RoadD8 BlackwallC4 Bond StreetE6 BoroughD1 Boston ManorA6 Bounds GreenC8 Bow ChurchC7 Bow RoadB4 Brent CrossF5 Brixton C8 Bromley-by-BowB3 BrondesburyB3 Brondesbury ParkA8 Buckhurst Hill A4 Burnt Oak
B6 Caledonian RoadB6 Caledonian Road
& BarnsburyB5 Camden RoadB5 Camden TownD7 Canada WaterD8 Canary WharfD8 Canning TownD6 Cannon StreetB7 CanonburyA3 Canons ParkA1 Chalfont & LatimerB5 Chalk FarmC5 Chancery LaneD5 Charing CrossA1 CheshamA9 ChigwellD2 Chiswick ParkA1 ChorleywoodF4 Clapham CommonF4 Clapham North F4 Clapham SouthA6 Cockfosters
A4 ColindaleF4 Colliers WoodD5 Covent GardenE8 Crossharbour
& London ArenaA2 CroxleyD9 Custom HouseF8 Cutty SarkD9 Cyprus
B9 Dagenham EastB9 Dagenham HeathwayB7 Dalston KingslandA8 DebdenF7 Deptford BridgeC8 Devons RoadB3 Dollis Hill
C1 Ealing BroadwayD2 Ealing CommonD3 Earl's CourtC2 East ActonA2 EastcoteA5 East Finchley
C8 East HamD8 East IndiaE3 East PutneyA4 EdgwareC4 Edgware Road (Bakerloo)C4 Edgware Road
(Circle/District/H&C)E5 Elephant & CastleB9 Elm ParkF7 Elverson RoadD5 EmbankmentA8 EppingC5 EustonC5 Euston Square
B9 FairlopC6 FarringdonA5 Finchley CentralB4 Finchley RoadB4 Finchley Road & FrognalB6 Finsbury ParkE3 Fulham Broadway
E9 Gallions Reach
B8 Gants HillD3 Gloucester RoadB4 Golders GreenD3 Goldhawk RoadC5 Goodge StreetB5 Gospel OakA9 Grange Hill C5 Great Portland StreetB1 GreenfordF7 GreenwichD4 Green ParkE2 Gunnersbury
B7 Hackney CentralB7 Hackney WickA9 HainaultD3 HammersmithB5 HampsteadB5 Hampstead HeathC2 Hanger LaneB3 HarlesdenA3 Harrow & Wealdstone B2 Harrow-on-the HillE1 Hatton Cross
E1 Heathrow Terminals 1, 2, 3
E1 Heathrow Terminal 4A4 Hendon CentralD8 Heron QuaysA5 High BarnetB6 Highbury & IslingtonA5 HighgateD3 High Street KensingtonA1 HillingdonC5 Holborn C3 Holland ParkB6 Holloway RoadB7 HomertonB9 HornchurchE1 Hounslow CentralD1 Hounslow EastE1 Hounslow WestD4 Hyde Park Corner
A1 IckenhamE8 Island Gardens
E5 Kennington
B3 Kensal GreenB3 Kensal RiseD3 Kensington (Olympia)B5 Kentish TownB5 Kentish Town WestA3 KentonE2 Kew GardensB4 KilburnC3 Kilburn ParkB3 KingsburyC5 King’s Cross St. PancrasD4 Knightsbridge
C3 Ladbroke GroveE5 Lambeth NorthC4 Lancaster GateC3 Latimer RoadD5 Leicester SquareF7 LewishamB8 LeytonB8 LeytonstoneD7 LimehouseC6 Liverpool StreetD6 London Bridge
A8 Loughton
C3 Maida ValeB6 Manor HouseD5 Mansion HouseC4 Marble ArchC4 MaryleboneC7 Mile EndA5 Mill Hill EastD6 MonumentC6 MoorgateA2 Moor ParkF4 MordenB5 Mornington Crescent E8 Mudchute
B3 NeasdenB9 Newbury ParkF7 New CrossF7 New Cross GateC2 North ActonC2 North EalingD1 NorthfieldsD8 North Greenwich
A2 North HarrowB1 NortholtB3 North WembleyB3 Northwick ParkA2 NorthwoodA2 Northwood HillsE9 North WoolwichC3 Notting Hill Gate
A6 OakwoodC6 Old StreetD3 OlympiaD1 OsterleyF5 Oval C4 Oxford Circus
C3 PaddingtonC2 Park RoyalE3 Parsons GreenC1 PerivaleD5 Piccadilly CircusE4 PimlicoA2 PinnerC8 Plaistow
D8 PoplarB3 Preston RoadD9 Prince RegentC8 Pudding Mill LaneE3 Putney Bridge
A3 QueensburyB3 Queen’s ParkC3 Queensway
D3 Ravenscourt ParkB2 Rayners LaneB8 RedbridgeC4 Regent’s ParkE2 RichmondA1 RickmansworthA8 Roding ValleyD7 RotherhitheD9 Royal AlbertC3 Royal OakD9 Royal VictoriaA1 RuislipB1 Ruislip GardensA2 Ruislip Manor
C5 Russell Square
D4 St. James’s ParkC4 St. John’s WoodC6 St. Paul’sB7 Seven SistersD7 ShadwellC3 Shepherd’s Bush
(Central)D3 Shepherd’s Bush
(Hammersmith & City)C7 Shoreditch E9 SilvertownD4 Sloane SquareB8 SnaresbrookD2 South ActonD2 South EalingE3 SouthfieldsA6 SouthgateB2 South HarrowD4 South KensingtonB3 South KentonE8 South QuayB1 South Ruislip
E5 SouthwarkF4 South WimbledonB8 South WoodfordD2 Stamford BrookA3 StanmoreC7 Stepney GreenF5 StockwellB3 Stonebridge ParkC8 StratfordB2 Sudbury HillB2 Sudbury Town E7 Surrey QuaysB4 Swiss Cottage
D5 TempleA8 Theydon BoisF4 Tooting BecF4 Tooting BroadwayC5 Tottenham
Court RoadB7 Tottenham HaleA5 Totteridge &
WhetstoneD7 Tower Gateway
D6 Tower HillB5 Tufnell ParkD2 Turnham Green A6 Turnpike Lane
B9 UpminsterB9 Upminster BridgeC9 UpneyC8 Upton ParkA1 Uxbridge
E4 VauxhallD4 Victoria
B7 Walthamstow CentralB8 WansteadD7 WappingC5 Warren StreetC3 Warwick AvenueE5 WaterlooA2 WatfordB3 Wembley CentralB3 Wembley ParkC2 West Acton
C3 Westbourne ParkD3 West BromptonD7 WestferryA5 West FinchleyC8 West HamB4 West HampsteadB2 West HarrowD8 West India QuayD3 West KensingtonD5 WestminsterA1 West RuislipC7 WhitechapelC3 White CityB3 Willesden GreenB3 Willesden JunctionE3 WimbledonE3 Wimbledon ParkA8 WoodfordA6 Wood GreenA5 Woodside Park
µ:
Ÿ Á :
Ÿ Á
:
Á:
Á : µŸ :
Á µ
Á µÁ :
Á µ
Ÿ ÁÁ µ
:
ÁµÁŸ ÁÁ
Ÿ Á :Ÿ
µ
Á : µ: µÁ : µ
Ÿ Á :Ÿ Á : µ
:
Ÿ Á : µ
ÁŸ Á : µÁÁÁŸ Á :
Ÿ Á
µ
Ÿ Á :Á µÁ µÁ µ
Á: µ
Ÿ ÁÁ µµ:
Á :
µ
Ÿ :Ÿ Á
Á µÁ µÁŸ Á
µÁ µ
Ÿ Á : µ: ∏
Ÿ ::
Ÿ Á
Á :µ
Á µ
Á :Á
:
Ÿ Á :Á µ:
Á
Ÿ Á :Á µ
Á :
Ÿ µŸ Á :Ÿ Á
: µ ∏
:
µŸ Á :ÁŸ
Ÿ Á µ
Á
Ÿ ÁÁŸ : µŸ Á µ
Ÿ Á: µ
Á
: µ
Á : µÁ : µ Á :Á : ∏
ÁÁ
Á : µ:
Ÿ :µÁ : ∏: µ
Ÿ Á
Á :
Ÿ
Ÿ Á :Ÿ :
µ
:
Ÿ Á :Á µ
Ÿ Á :Á :Ÿ Á : µ
Á :Á :
Á :Ÿ Á ::
Ÿ Á :
: µŸ Á :
: :
ÁŸ Á :: ∏
Ÿ Á :Ÿ Á
Á : µ:
Á µµÁ
Ÿ Á :
ÁŸ Á :Ÿ Á :
Ÿ Á : µŸ Á :
ÁÁ µ
Á µŸ Á :Ÿ ::
Á :
Á :
Ÿ Á :
Ÿ:
µŸ Á
Á µ
Ÿ Á :Á :Ÿ Á : µ
µ:
Ÿ Á : µÁÁ
Ÿ :
Ÿ Á : µŸ Á :
µ
Ÿ Á : µ
: µ
Á µ
: ∏
Ÿ ÁŸ
Á :Ÿ Á ::
Ÿ Á :Á :
µ: µµ:
:
µ
µŸ ::
:
Á :Á : µŸ Á : µ
Ÿ Á : µÁŸ Á : µ
231124D1
2/342
131145213
35222132114
3/42232
2/32254
22
22223125C211D53B22
2/35
4312
A3
2/33
5526
2/323
33
1/2253
3/42/32/3511
1/26
2/31611
5142222
3
413212514
2/313
2252
2/333355
5/6
6
63/4252316122264451
62
2
222224
3/422411
21121
2/33
3/4211
6
22/31112411
6/A422
3422
2/333
2/3
5544663
1/2
512421
13241153
243
2/32
421
25414A52323656
1
121322
2
2314333451425
13/442522334422
16331
34
1
12
2/33
66436
1/21
342121A443
2224325221622
2/3333434
A
B
C
D
F
G
H
I
K
L
M
N
O
Q
P
R
S
T
V
W
U
E
Grid Stations Zones Grid Stations Facilities Zones
Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities ZonesIndex to stations
Sponsored by
Travel information
Step-free accessStations displaying this symbolin the index have step-freeaccess between the street andplatforms. This facility is usefulfor passengers with luggage,shopping or buggies as well asfor wheelchair users
To plan a journey in a wheelchair,see our leaflet ‘Tube access guide’ or call
0845 330 9880
For journey planning and travel advice call
µ
Station facilitiesThe index on this map also shows
Other RailwaysFor a map of all Railways in Greater London, consult the High Frequency Services Map nearby
‰ Car parksBicycle parking
Stations with toilets on siteor nearby
Á
∑
Travel Information Centres∏
Facilities
Transport for London
Key to lines and symbols
Central
Bakerloo
District
Circle
East London Docklands Light Railway
Northern
Metropolitan
Piccadilly
Victoria
Waterloo & City
National Rail
Connections withNational Rail
Connection withTramlink
Airport interchange
Connections withriverboat services
Interchange stations
Poster 09.05
OpensDecember 2005
020 7222 123424 hour travel information
020 7918 3015Textphone
www.tfl.gov.ukWebsite
020 7918 3015Textphone
www.tfl.gov.ukWebsite
Jubilee
Hammersmith & City
Covent Garden station gets very busy at weekends and in the evenings, but you can avoid the crowds by walking there from Holborn, Leicester Square or Charing Cross. The short walk is clearly signposted above ground and maps are on display at each station.
This diagram is an evolution of the original design conceived in 1931 by Harry Beck
Bermondsey
SouthwarkWaterloo East
Chalfont &Latimer
Moor Park
NorthwoodNorthwoodHills
Pinner
Eastcote North Harrow
Maida Vale
Queen's ParkKensal Green
Neasden
Dollis Hill
Willesden Green
Kilburn
WestHampstead
Swiss CottageSt. John's Wood
Finchley Road
Amersham
Ruislip Manor
Chesham
Chorleywood
Rickmansworth
Watford
Croxley
Harrow-on-the-Hill
PrestonRoad
Hillingdon Ruislip
Rayners Lane
West Harrow NorthwickPark Wembley
Park
Ealing Common
EalingBroadway
GreatPortland
StreetBakerStreet
FarringdonBarbican
Moorgate
Aldgate
EustonSquare
ActonTown
ChiswickPark
TurnhamGreen
WestActon
EastActon
Shepherd'sBush
StamfordBrook
RavenscourtPark
Hammersmith
WestKensington
West Brompton
Fulham Broadway
Parsons Green
Putney Bridge
East Putney
Southfields
Wimbledon Park
Wimbledon
VictoriaSouthKensington
GloucesterRoad
Embankment
Blackfriars
MansionHouse
Temple
Cannon Street
Bank
Monument
BaronsCourt
Fenchurch Street
Whitechapel
TowerGateway
TowerHill
AldgateEast
Stepney Green
Mile End
BowRoad Bow
ChurchBromley-by-Bow
West Ham
Plaistow
Upton Park
East Ham
Becontree
DagenhamHeathway
Elm Park
Upney
DagenhamEast
Hornchurch
UpminsterBridge
Upminster
High StreetKensington
NottingHill Gate
Bayswater
Kensal Rise Brondesbury
EdgwareRoad
St. James'sPark
SloaneSquare
Westminster
Barking
Latimer Road
Westbourne Park
Finchley Road& Frognal
Ladbroke Grove
Royal Oak
Shepherd'sBush
Goldhawk Road
West Ruislip
Greenford
RuislipGardens
SouthRuislip
Northolt
HangerLane
Perivale
NorthActon
WhiteCity
HollandPark
Paddington
Paddington
ChanceryLaneBond
StreetOxfordCircus
TottenhamCourt Road
St. Paul'sMarbleArch
Queensway
LancasterGate
BethnalGreen
Stratford
Leyton
Leytonstone
Snaresbrook
SouthWoodford
Woodford
Epping
Theydon Bois
DebdenLoughton
Buckhurst Hill
Redbridge
ChigwellRodingValley
Hainault
Fairlop
BarkingsideNewbury
Park
GrangeHill
Wanstead GantsHill
South Ealing
Knightsbridge
Hyde ParkCorner
Green Park
PiccadillyCircus
LeicesterSquare
RussellSquare
Caledonian Road
CaledonianRoad &
Barnsbury
DalstonKingsland
Homerton
Holloway Road
Arsenal
Manor House
Turnpike Lane
Wood Green
Bounds Green
Arnos Grove
Southgate
Oakwood
Cockfosters
Uxbridge Ickenham
ActonCentral
Waterloo
Morden
Colliers Wood Tooting Broadway
South Wimbledon
Tooting BecBalham
Clapham South ClaphamCommon
Clapham NorthClapham High Street 100m
StockwellOval
Kennington
Borough
SouthActon
Old Street
Angel
GoodgeStreet
Euston
MorningtonCrescent
Camden Town
Chalk Farm
Regent’s Park
Belsize Park
Hampstead HampsteadHeath
GospelOak
CanonburyHackneyCentral
HackneyWick
KentishTown West
CamdenRoad
Hendon Central
Colindale
BurntOak
Mill Hill East
High Barnet
Totteridge & Whetstone
Woodside Park
West Finchley
Finchley Central
East Finchley
Highgate
Archway
Tufnell Park
KentishTown
CanadaWater
Canary Wharf
Elverson Road
Deptford Bridge
Harrow &Wealdstone
Kenton
Stanmore
Canons Park
Queensbury
Kingsbury
South KentonNorth Wembley
Wembley Central
Stonebridge ParkHarlesden
Willesden Junction
Kilburn ParkWarwick Avenue
EdgwareRoad
BrondesburyPark
Marylebone
LambethNorth
Elephant & Castle
King's CrossSt. Pancras
CharingCross
Covent Garden
Highbury &Islington
BlackhorseRoad
SevenSisters
WalthamstowCentral
TottenhamHale
FinsburyPark
Pimlico
Brixton
Shoreditch
Wapping
Rotherhithe
Surrey Quays
New CrossNew Cross Gate
Vauxhall
Limehouse
Westferry
DevonsRoad
PuddingMill Lane
West IndiaQuay
Cutty Sarkfor Maritime Greenwich
Greenwich
Lewisham
Blackwall
EastIndia
Warren Street
Edgware
All Saints
Heron Quays
South Quay
Crossharbour &London Arena
Mudchute
Island Gardens
Shadwell
No service between Woodford - Hainault
after 2000 hours
Gunnersbury
Richmond
Kew Gardens
Poplar
London Bridge
Change atChalfont & Latimer
on most trains
No Piccadilly line serviceUxbridge - Rayners Lane
in the early mornings
Special fares apply forprinted single and return
tickets to and from this station
Also served byPiccadilly linetrains early
mornings andlate evenings
100m
100m
Euston 200m
150m
Charing Cross 100m
200m
HeathrowTerminals
1, 2, 3
Hounslow Central
Osterley
Northfields
Boston ManorHounslow
East
HounslowWest
LiverpoolStreet
No Hammersmith & City line serviceWhitechapel - Barking early mornings,late evenings or all day Sundays.
Mondays - Fridays open0700 - 1030 and 1530 - 2030
Saturdays closedSundays open 0700 - 1500
No entry from the streeton Sundays 1300 - 1730
(exit and interchange only)
Waterloo & City lineMondays - Fridays 0615 - 2130
Saturdays 0800 - 1830Sundays closed
At off-peak times most trains run to/from Morden via the Bank branch.To travel to/from the Charing Cross branch please change at Kennington.
Open Mondays -Saturdays
200m
South Harrow
Sudbury Hill
North Ealing
Park Royal
Alperton
Sudbury Town
Mondays - Saturdaysopen 0700-2345
Sundaysopen 0800-2345
Kensington(Olympia)
Earl'sCourt
Holborn
King George V
LondonCityAirport
WestSilvertown
PontoonDock
Opens
December 2005
Opens December 2005
Silvertown
North Woolwich
Royal Victoria
Custom Housefor ExCeL
Prince Regent
Royal Albert
Beckton Park
Cyprus
GallionsReach
Beckton
Canning TownBus to London City Airport
OpenMondays - Fridays
until 2100 onlySaturdays 0730 - 1930
Golders Green
Brent Cross
HeathrowTerminal 4
Hatton Crossfor Heathrow Terminal 4
Bus ser
vice
Improvement work to tracks and stations mayaffect your journey, particularly at weekends.
For help planning your journey look forpublicity at stations, call 020 7222 1234
or visit www.tfl.gov.uk
Closed until May 2006
Sudbury Hill Harrow150m
Station in Zone 11
Station in Zone 2
3
4
5
6
Station in Zone 3
Station in Zone 5
Station in Zone 6
2
Station in Zone 4
A Station in Zone A
B Station in Zone B
C Station in Zone C
D Station in Zone D
Station in Zone 6 and Zone A
Station in both zones
Station in both zones
Explanation of zones
TM Quad 2n Version 2 1/9/05 4 Colour Process + 4 Self Colours
NorthGreenwich
3 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Primer 2: They Rule
4 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Primer 3: Molekule
5 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Graf, vozlisce, povezave
Graf imenujemo trojicoG “ pV ,E ,Aq , kjer so V ,Ein A paroma locene (koncneali stevno neskoncne)mnozice. Mnozica V jemnozica vozlisc (ali tock)grafa G ; mnozici E in Apa zaporedoma mnozicaneusmerjenih povezav inmnozica usmerjenih povezavgrafa G . Mnozici E in A stalahko tudi prazni.
Graf lahko narisemo tako, da za vsako vozlisce narisemo krogec, povezavepa prikazemo s crtami, ki vezejo ustrezna vozlisca. Ce je povezavausmerjena, nakazemo smer s puscico. Pogosto tudi tako dobljeni sliki grafapravimo kar graf.
6 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Usmerjene in neusmerjene povezave, zanke
Vsaki povezavi iz L “ E Y A pri-padata dve vozlisci - njeni krajisci.Ce je povezava usmerjena, je enokrajisce zacetek, drugo pa konecpovezave.
Da ima neusmerjena povezava p krajisci u in v bomo zapisalippu : vq, oziroma enakovredno ppv : uq; in apy , xq, da je vozlisce yzacetek in vozlisce x konec usmerjene povezave a. Rekli bomo tudi,da povezava p P E veze svoji krajisci, in da povezava a P A gre (vodi)od svojega zacetka do svojega konca. V primeru, ko predstavlja obekrajisci povezave isto vozlisce, pravimo taki povezavi zanka. Vozlisce,ki ni krajisce nobene povezave, je osamljeno (izolirano) vozlisce.
7 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Opis grafa – mnozice
V “ ta, b, c , d , e, f , g , h, i , j , k , lu
A “ tpa, bq, pa, dq, pa, f q, pb, aq,
pb, f q, pc , bq, pc , cq, pc , gq1,
pc , gq2, pe, cq, pe, f q, pe, hq,
pf , kq, ph, dq, ph, lq, pj , hq,
pl , eq, pl , gq, pl , hqu
E “ tpb : eq, pc : dq, pe : gq, pf : hqu
G “ pV ,E ,Aq
L “ AY E
8 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Krajisce, zacetek, konec, dvojcek
Oznacimo z V p2q “ ttu, vu : u, v P V u mnozico vseh eno ali dvoelementnih podmnozic mnozice vozlisc V . Pri opisu zvez med vozlisciin povezavami bomo uporabljali naslednje funkcije:
ext : LÑ V p2q – krajisci povezaveinit : AÑ V – zacetek povezaveterm : AÑ V – konec povezavetwin : V ˆ LÑ V – drugo krajisce povezave
ki zadoscajo naslednjim zahtevam:
extpppu : vqq “ tu, vu extpapu, vqq “ tu, vuinitpapu, vqq “ u termpapu, vqq “ vtwinpu, apu, vqq “ v twinpu, apv , uqq “ vtwinpu, ppu : vqq “ v
9 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Razsiritev zapisa na vse povezave
V nadaljnem nam bosta prisli prav naslednji razsiritvi zapisa povezav:naj bo p P L, potem pomeni
ppu, vq ” pp P E ^ ppu : vqq _ pp P A^ ppu, vqq
inppu : vq ” ppu, vq _ ppv , uq
Povezavi sta vzporedni, ce imata isti krajisci.Ce je A “ H, pravimo, da je graf neusmerjen; in je usmerjen, ce jeE “ H.
10 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Enostavni grafi
Kadar veze vsak par vozlisc v danemgrafu kvecjemu ena neusmerjenapovezava ali pa vodi v vsako smernajvec po ena usmerjena povezavain graf nima neusmerjenih zank,pravimo da je graf enostaven. Enos-tavnim usmerjenim grafom pravimotudi relacijski ali Bergeovi grafi.
Pri enostavnih grafih je vsaka povezava enolicno dolocena s krajiscema invrsto (usmerjena/neusmerjena). Zato lahko neusmerjeno povezavo skrajiscema u in v oznacimo kar z pu : vq; usmerjeno povezavo z zacetkomu in koncem v pa z pu, vq. Potemtakem je mnozica povezav A relacijskegagrafa G “ pV ,H,Aq povratno enolicno povezana z relacijo:
RA “ tpu, vq : Da P A : apu, vqu Ď V ˆ V
Tako smo prisli do obicajne definicije relacijskega grafa kot dvojice pV ,Rq,pri cemer je R Ď V ˆ V dvomestna relacija nad V .
11 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Koncni grafi
Ce so vse tri mnozice V ,E in A koncne, je tudi graf koncen. V temsestavku se bomo v glavnem ukvarjali le s koncnimi grafi, zato bomota pridevnik opuscali. Stevilo vozlisc grafa bomo oznacevali z n,stevilo povezav pa z m. Torej
n “ cardpV q in m “ cardpLq
12 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Graf – Matrika
a b c d e f g h i j k l
a 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
b 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
c 0 1 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0
d 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
e 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0
f 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
g 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
h 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1
i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
j 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
l 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
Graf G je enostaven ntk. vse vrednosti v matriki so 0 ali 1.
13 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Slika grafa / Matricni prikaz
usa
can
cub
hai
dom
jam
tri
mex
guahon
els
nic
cos
pan
col
ven
ecu
per
bra
bol
par
chi
arguru
uki
ire
net
bel
lux
fra
swi
spa
porwge
ege
pol
aus
hun
czeita
mat
alb
yug
gre
cyp
bul
rum
usr
fin
swe
nor
den
ice
mli
sen
dah
nau
nir
ivo
gui
upv
lib
sie
gha
tog
cam
nig
gab
car
chd
con
zai
uga
ken
bur
rwa
som
eth
saf
maa
mor
alg
tun
liy
sud
irn
tur
irq
egy
syr
leb
jor
isr
sau
yem
kuw afg
cha
mon
tai
kod
kor
japind
pak
brm
sri
nep tha
kmr
lao
vnd
vnr
mla
phi
ins
aut
nze
Pajek - shadow [0.00,1.00]
ukifrawgejapnetitausabelluxswedenswicannorspairnirqpakireauthunisrsaukuwausfinporbraargpolczeusregeyugindchagreturegybulrumsyrlebcypicetuncubliymoralgnigugakenethbrmthasudsrighakorvnrphinzetaimlainssafmexcoluruperchiveneculibdomzaijamtripansenivoelscosguahonniccarchdnautogdahnirgabsieconhaiguimatbolparcammaayemkodlaomonnepburrwavndsomafgmliupvalbkmrjor
uki
fra
wge
jap
net
ita usa
bel
lux
swe
den
swi
can
nor
spa
irn irq pak
ire aut
hun
isr
sau
kuw
aus
fin por
bra
arg
pol
cze
usr
ege
yug
ind
cha
gre
tur
egy
bul
rum
syr
leb
cyp
ice
tun
cub
liy mor
alg
nig
uga
ken
eth
brm
tha
sud
sri
gha
kor
vnr
phi
nze
tai
mla
ins
saf
mex
col
uru
per
chi
ven
ecu
lib dom
zai
jam
tri
pan
sen
ivo
els
cos
gua
hon
nic
car
chd
nau
tog
dah
nir
gab
sie
con
hai
gui
mat
bol
par
cam
maa
yem
kod
lao
mon
nep
bur
rwa
vnd
som
afg
mli
upv
alb
kmr
jor
Na sliki je prikazan graf trgovine med izbranimi drzavami sveta. Pri vecjih
grafih z veliko povezavami postane slika grafa nepregledna; v matricnem
prikazu, za ustrezni vrstni red vozlisc, pa lahko opazimo pravilnosti in
vzorce.
14 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Podgrafi
Graf H “ pV 1,E 1,A1q, za katerega velja V 1 Ď V in L1 Ď L,
imenujemo podgraf grafa G “ pV ,E ,Aq in zapisemo H Ď G . Pozor,
ker je H graf, so vsa krajisca povezav iz L1 v V 1.
15 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
. . . Podgrafi
Ce je V 1 “ V , govorimo o vpetem podgrafu. Poleg vpetih podgrafovpoznamo se podgrafe, porojene z mnozico vozlisc V 1 Ď V :
L1 “ LpV 1q “ tp P L : Du, v P V 1 : ppu : vqu, extppq Ď V 1
oziroma z mnozico povezav L1 Ď L:
V 1 “ V pL1q “ tv P V : Dp P L1Du P V : ppu : vqu
“ YpPL1 extppq “ extpL1q
16 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Homomorfizmi in izomorfizmi
Imejmo grafa G “ pV ,E ,Aq inH “ pV 1,E 1,A1q. Preslikavi ϕ :V Ñ V 1 in ψ : L Ñ L1 dolocatasibki homomorfizem grafa G v grafH natanko takrat, ko velja:
@u, v P V @p P L : pppu : vq ñ ψppqpϕpuq : ϕpvqqq
oziroma doloca (krepki) homomorfizem grafa G v graf H natankotakrat, ko velja:
@u, v P V @p P L : pppu, vq ñ ψppqpϕpuq, ϕpvqqq
Pri enostavnih grafih je krepki homomorfizem dolocen ze s preslikavo
ϕ.
17 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Izomorfizmi in stalnice
V primeru, ko sta ϕ in ψ bijekciji in v ustreznem pogoju veljanamesto implikacije ekvivalenca, pa govorimo o izomorfizmu grafovG in H . Da sta grafa sibko izomorfna zapisemo G „ H; da sta(krepko) izomorfna pa G « H. Obe izomorfnosti sta ekvivalencnirelaciji in velja «Ă„.Stalnica ali invarianta grafa imenujemo vsako grafu prirejeno stevilo,ki je enako za vse med seboj izomorfne grafe. Stalnice imajopomembno vlogo pri postopkih za ugotavljanje izomorfnosti grafov.V nadaljevanju bomo spoznali vec stalnic.
18 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Homomorfizem
a
b
c
d
e
f
g
i
h
j
lk
m
A
E
J
F
BC
G
D
H
I
1
2
3
4
5
6
7
89
t
u
v
x
y
z
Pajek
ϕ1 2 3 4 5 6 7 8 9t y z x v u z y t
Pajek: homoEna.net
ψa b c d e f g h i j k l mE J D H G C H G B F J I E
19 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Izomorfna grafa
1
2
34
5
6
7
89
10
Pajek
b
h
ja
g
c
e
id
f
Pajek
ϕ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10b h j a g c e i d f
Pajek: izoPet.net
20 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Zvezde, kratnosti in stopnje
Stevila vseh povezav izbranevrste (usmerjene/neusmerjene,vstopajoce/ izstopajoce, vse, . . . )s krajiscem v danem vozliscu,oziroma stevila povezav, ki vezejodani vozlisci, imenujemo kratnostipovezav.
Formalno vpeljemo kratnosti s pomocjo zvezd. Zvezda v danemvozliscu je mnozica vseh povezav, ki imajo to vozlisce za krajisce:
Lpvq “ tp : v P extppqu
21 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Zvezde, kratnosti in stopnje
Pravzaprav poznamo vec vrst zvezd. Npr.:
L0pvq “ tp : extppq “ tvuu
E pvq “ tp : p P E ^ v P extppqu
Atermpvq “ tp : p P A^ termppq “ vu
Tako lahko definiramo kratnost povezav v vozliscu u ali stopnjovozlisca u
dpuq “ cardpLpuqq
kratnost povezav med vozliscema u in v
dpu, vq “ cardpLpuq X Lpvqq
in kratnost usmerjenih povezav iz vozlisca u v vozlisce v
Adoutpu, vq “ cardpAinitpuq X Atermpvqq
22 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Zveze
Med kratnostmi velja cel kup zvez. Na primer:
dpu, vq “ dpv , uq
indpuq “
ÿ
vPV
dpu, vq
Kadar zelimo posebej povedati, da se neko stevilo nanasa na graf G ,mu dodamo oznako grafa. Tako na primer z oznako dpu, v ;G qpoudarimo, da gre za kratnost povezav med vozliscema u in v gledena graf G .Ce je za vsako vozlisce v P V stopnja dpvq koncna, pravimo, da jegraf lokalno koncen.
23 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Graf – Sosedi
NApaq “ tb, d , f uNApbq “ ta, f uNApcq “ tb, c , g , guNApeq “ tc , f , huNApf q “ tkuNAphq “ td , luNApjq “ thuNAplq “ te, g , hu
NE peq “ tb, guNE pcq “ tduNE pf q “ thu
Npvq “ NApvq Y NE pvq
24 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Valence
Na povezave s krajiscem v danem vozliscu lahko gledamo na dvenacina (povezave v celoti; ali pa cisto lokalno, kot polpovezave –zanke stejemo dvakrat). Zato vpeljemo se pojem valence:
vpuq “ dpuq ` d0puq
kjer je d0puq “ cardpL0puqq stevilo zank v vozliscu u.Poglejmo si vsoto vseh valenc. Vzemimo povezavo p s krajiscema uin t. Ce je u ‰ t, stejemo povezavo enkrat v valenci vozlisca u indrugic v valenci vozlisca t; ce pa je u “ t, je p zanka in jo, podefiniciji valence, stejemo dvakrat v vozliscu u. V vsakem primeru jov vsoti vseh valenc stejemo natanko dvakrat. Torej je:
ÿ
uPV
vpuq “ 2m oziroma pÿ
uPV
vpuqq mod 2 “ 0
25 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Lema o rokovanjih
Od tu izhaja naslednja ugotovitev:V vsakem grafu je sodo vozlisc lihe valence.
Dokaz: Naj bo V0 mnozica vozlisc sode valence in V1 mnozicavozlisc lihe valence. Velja V0 Y V1 “ V in V0 X V1 “ H. Zato je
0 “ pÿ
uPV
vpuqq mod 2 “ pÿ
uPV0
vpuq `ÿ
uPV1
vpuqq mod 2
“ ppÿ
uPV0
vpuqq mod 2` pÿ
uPV1
vpuqq mod 2q mod 2
“ cardpV1q mod 2
l
Gornji izrek pogosto imenujejo tudi lema o rokovanjih, kar izhaja iznaslednje “preobleke”: Na nekem srecanju se je vec ljudi med sebojrokovalo. Vselej se je sodo izmed njih rokovalo z lihim stevilomudelezencev srecanja.
26 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Sosedi
Vozlisci sta sosednji, ce sta krajisci skupne povezave. Podobno kotobstaja vec vrst zvezd, obstajajo tudi ustrezne mnozice sosedov danevozlisce. Tako je na primer:
extpLpvqqztvu – (pravi) sosedi vozlisca vextpE pvq Y Atermpvqq – (neposredni) predhodniki vozlisca vextpE pvq Y Ainitpvqq – (neposredni) nasledniki vozlisca v. . .
V koncnem grafu je sodo vozlisc, ki ima liho pravih sosedov. To lahkosprevidimo takole. Grafu G “ pV ,E ,Aq priredimo ogrodje (skelet), toje enostaven neusmerjen graf SpG q “ pV ,E 1,Hq, pri cemer je:
E 1 “ tpu : vq : u, v P V , u ‰ v , Dp P L : ppu : vqu
Ker je vpu;Sq enaka stevilu pravih sosedov vozlisca u v grafu G , je,po prejsnji trditvi, trditev dokazana.
27 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
δpG q in ∆pG q
S stopnjo vozlisca sta povezani dve stalnici grafa: najmanjsa valencaδpG q in najvecja valenca ∆pG q
δpG q “ minuPV
vpuq in ∆pG q “ maxuPV
vpuq
Ce imajo vsa vozlisca grafa isto valenco r , pravimo, da je grafr–regularen (pravilen). 3–regularnim grafom pravimo tudi kubicnigrafi. Na sliki je prikazanih nekaj kubicnih grafov.
Drugi izmed njih jePetersenov graf, ki imav teoriji grafov pomem-bno vlogo kot “dezurni”protiprimer.
28 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Nicelni graf in polni graf
Pajek
Poglejmo si se nekaj primerkov enostavnih neusmerjenih grafov:Nicelni graf na n vozliscih: Nn “ pV ,Hq , cardpV q “ nPolni graf na n vozliscih: Kn “ pV ,E q, cardpV q “ n,E “ tpu : vq : u, v P V ^ u ‰ vuNa sliki sta prikazana grafa N4 in K5.
29 / 31
DiMa 5Osnovno o
grafih
V. Batagelj
Primeri
Osnove
Podgrafi
Homomorfizem
Stopnje
Posebni grafi
Kocke
000
001
010
011
100
101
110
111
Pajek
Na sliki sta prikazana grafa trirazsezne kockeQ3 in stirirazsezne kocke Q4.k–razsezno kocko Qk lahko opisemo na primertakole. Za mnozico vozlisc V vzamemo nar-avna stevila od 0 do 2k ´ 1. Naj bo u “
uk´1uk´2 . . . u2u1u0 p2q dvojiski zapis stevila-vozlisca u. Tedaj mnozico povezav k–razseznekocke opisemo takole
E “ tpu : vq :k´1ÿ
i“0
pui Y vi q “ 1u
Dvojiski stevilki krajisc povezave se razlikujetanatanko na enem mestu.
30 / 31