dispense di analisi 1 (2008-2009) - fataing.poliba.it di analisi matematica i. indice 1. teoria...

Carlo Greco

Appunti di Analisi Matematica I

Indice1. Teoria degli insiemi ed elementi di logica ... 7

1. Nozioni introduttive sugli insiemi ... 72. Proposizioni e predicati ... 83. Quantificatori ... 94. Operazioni tra insiemi ... 105. Funzioni tra insiemi ... 126. Funzioni ingettive e surgettive ... 147. Funzioni composte e restrizioni ... 178. Insiemi finiti, infiniti e numerabili ... 199. Esercizi ... 22

2. Insiemi numerici ... 281. Insiemi numerici ... 282. Intervalli ... 313. Cenni sui numeri complessi ... 314. Esercizi ... 32

3. Funzioni e loro grafici ... 351. Il concetto di funzione ... 352. Altri esempi di funzioni ... 38

† Rette ... 38† Potenza n-esima ... 38† Parabole ... 39† Radice n-esima ... 40† Iperbole ... 41† Funzioni definite "a pezzi". Funzione valore assoluto di x e funzione segno di x ... 41† Traslazioni ... 43

3. Esercizi ... 444. Funzioni pari, dispari, periodiche ... 475. Operazioni con le funzioni ... 49

† Somma, prodotto e quoziente ... 49† Relazione d'ordine ... 50† Minoranti e maggioranti; funzioni limitate e illimitate ... 50† Composizione di funzioni ... 51† Codominio di una funzione; funzioni surgettive ed ingettive; funzioni inverse ... 52

6. Esercizi ... 567. Funzioni monotone ... 598. Successioni ... 619. Esercizi ... 63

4. Disequazioni razionali e irrazionali ... 651. Generalità sulle disequazioni ... 652. Disequazioni di primo e secondo grado ... 663. Esercizi ... 694. Disequazioni di grado superiore al secondo ... 70

† Caso generale: polinomi fattorizzati ... 70† Caso generale: decomposizione in fattori ... 72† Le biquadratiche ... 75† Disequazioni del tipo xn < k, xn § k, xn > k, xn ¥ k. ... 76

5. Disequazioni razionali fratte ... 786. Sistemi di disequazioni ... 807. Disequazioni irrazionali ... 82

† Disequazioni del tipo A@xDn< B@xD oppure A@xDn

§ B@xD ... 83

† Disequazioni del tipo A@xDn> B@xD oppure A@xDn

¥ B@xD. ... 865. Funzioni elementari ... 90

1. La funzione esponenziale e la funzione logaritmo ... 90† Funzione esponenziale ... 90† Funzione logaritmo ... 92

2. Le funzioni trigonometriche e le loro inverse ... 94† La misura in radianti di un angolo ... 94† Le funzioni seno e coseno ... 95

Carlo GrecoAppunti di Analisi Matematica I 2

Settembre 2008

† Le funzioni arcoseno e arcocoseno ... 98† Le funzioni tangente e arcotangente ... 102† Altre funzioni trigonometriche ... 104† Periodicità delle funzioni trigonometriche ... 105

3. Esercizi ... 1066. Disequazioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche ... 109

1. Disequazioni esponenziali ... 1092. Disequazioni logaritmiche ... 1113. Disequazioni trigonometriche ... 114

† Disequazioni trigonometriche elementari ... 114† Disequazioni contenenti una sola funzione trigonometrica incognita ... 119† Disequazioni di secondo grado in seno e coseno ... 120† Disequazioni lineari in seno e coseno ... 121

4. Disequazioni con le funzioni trigonometriche inverse ... 1235. Disequazioni col valore assoluto ... 1246. Alcune disequazioni trascendenti ... 1287. Disequazioni varie e calcolo del dominio di definizione di una funzione ... 130

7. Limiti di funzioni e successioni ... 1361. Definizione di limite di una funzione ... 1362. Esercizi ... 1463. Funzioni che non ammettono limite ... 1474. Limite a sinistra e a destra ... 1485. Esercizi ... 1506. La definizione generale di limite ... 1517. Teoremi sui limiti ... 152

† Operazioni con i limiti ... 152† Limiti di polinomi ... 155† Limiti all'infinito di funzioni razionali ... 156† Esercizi ... 157† Funzioni continue ... 157† La forma indeterminata ê 0 ... 159† Limiti delle funzioni razionali negli zeri del denominatore ... 160† Esercizi ... 161† Limiti di funzioni composte ... 162† Limiti di alcune funzioni irrazionali ... 163† Esercizi ... 164

8. Asintoti ... 1649. Permanenza del segno, conservazione delle disuguaglianze e confronto ... 166

† Permanenza del segno e conservazione delle disuguaglianze ... 166† Confronto ... 168† Esercizi ... 169

10. Alcuni limiti notevoli ... 170† Il limite notevole limxØ0

Sin@xDx

= 1 e i limiti notevoli collegati ... 170

† Esercizi ... 172† Prodotto di una funzione infinitesima per una limitata ... 173† Somma di una funzione divergente e di una limitata ... 174† Funzioni della forma f @xDg@xD e loro limiti ... 175† Esercizi ... 177

11. Limiti di successioni ... 177† Teoremi sui limiti delle successioni ... 178

† La successione II1 + Å1nMnM

n e il numero di Nepero ... 179

12. Altri limiti notevoli ... 182† Il limite notevole limxØ≤¶ I1 + Å1

xMx e i limiti notevoli collegati ... 182

13. Esercizi ... 1848. Funzioni continue ... 186

1. Funzioni continue e punti di discontinuità di una funzione ... 186† Definizione di funzione continua e punti di discontinuità di una funzione ... 186† Prolungamento per continuità di una funzione ... 189† Esercizi ... 190

2. Minimo e massimo assoluto. Teorema di Weierstrass ... 1913. Teorema degli zeri ... 194


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4. Esercizi ... 1989. Derivate ... 200

1. Definizione di derivata ... 2002. Funzioni non derivabili; derivate a sinistra e a destra ... 2033. Derivate di alcune funzioni; operazioni con le derivate ... 2054. Esercizi ... 2095. Derivate successive ... 2096. Significato fisico della derivata ... 2117. Tangenti e approssimazioni ... 2128. Derivate delle funzioni elementari ... 214

† Derivata di xa ... 214† Derivata di ax ... 214† Derivata di Loga@xD e di Loga@ » x »D ... 215

† Derivate delle funzioni trigonometriche ... 215† Derivate delle funzioni trigonometriche inverse ... 216† Tabella delle derivate delle funzioni elementari ... 217† Derivate di funzioni della forma f @xDg@xD ... 218

9. Esercizi ... 21910. Calcolo dei limiti mediante la regola dell'Hôpital ... 21911. Esercizi ... 222

10. Applicazioni delle derivate. Studio di grafici ... 2241. Alcune applicazioni delle derivate ... 224

† Punti di minimo o massimo relativo ... 224† Ricerca del minimo o del massimo assoluto ... 226† Teoremi di Rolle, Lagrange; crescenza e decrescenza ... 227

2. Primi studi del grafico di una funzione ... 2323. Concavità e convessità, flessi, studio dei punti angolosi e cuspidali ... 235

† Convessità, concavità e flessi ... 235† Punti angolosi e cuspidali ... 238† Esercizi ... 243

4. Studio di grafici ... 244† Funzioni razionali e irrazionali ... 244† Funzioni logaritmiche ed esponenziali ... 247† Funzioni trigonometriche ... 251† Funzioni varie ... 254† Esercizi ... 257

11. Il problema dell'area. Integrali definiti ... 2581. Cenni sulla misura secondo Peano-Jordan ... 2582. Area del trapezoide e funzioni integrabili secondo Riemann ... 2593. Esercizi ... 2684. Proprietà dell'integrale ... 2685. Esercizi ... 2716. Primitive e teorema fondamentale ... 2727. Esercizi ... 277

12. Integrali indefiniti ... 2791. Integrali indefiniti immediati e integrazione per decomposizione ... 280

† Integrali indefiniti immediati ... 280† Integrali indefiniti immediati generalizzati ... 281† Integrazione per decomposizione ... 283

2. Esercizi ... 2843. Integrazione per parti ... 2854. Integrazione di alcune funzioni razionali fratte ... 288

† Integrali del tipo ‡ 1

a x2+b x+c„ x, con D < 0 ... 289

† Integrali del tipo ‡ q+p x

a x2+b x+c„ x, con D < 0. ... 290

† Integrali del tipo ‡p x+q

a x2+b x+c „ x, con D > 0. ... 291

† Integrali del tipo ‡ q+p x

a x2+b x+c„ x, con D = 0. ... 293


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† Integrali del tipo ‡ P@xDa x2+b x +c

„ x, con P@xD polinomio di grado maggiore o uguale a due ... 294

† Esercizi ... 2955. Integrali particolari ... 2956. Integrazione per sostituzione ... 2987. Esercizi ... 3018. Funzioni non integrabili elementarmente ... 301

13. Infinitesimi e Infiniti ... 3031. Generalità sugli infinitesimi ... 3032. Infinitesimi campione e ordine di infinitesimo ... 3053. Generalità sugli infiniti ... 3084. Infiniti campione e ordine di infinito ... 3095. Esercizi ... 310

14. Integrali impropri ... 3111. Funzioni limitate, intervallo @a, +¶@ ... 3112. Funzioni limitate, intervalli D - ¶, aD, e D - ¶, +¶@ ... 3173. Funzioni non limitate, intervalli D a, bD, @a, b@, o D a, b@ ... 3194. Esercizi ... 322

15. La formula di Taylor ... 3231. I polinomi di Taylor e la formula di Taylor col resto di Peano ... 3232. Esercizi ... 3273. Il test della derivata n-esima per i punti di minimo, massimo e flesso ... 3284. La formula di Taylor con il resto di Lagrange ... 3295. Esercizi ... 332

16. Indici ... 3331. Indice analitico ... 3332. Indice dei teoremi ... 3363. Indice delle definizioni ... 3374. Notazioni ... 338

Avvertenza sulle notazioni usate in questo testo

In questi appunti di Analisi Matematica le notazioni adoperate sono leggermente diverse da quelle standard; la ragione èdovuta essenzialmente al programma con cui sono stati compilati. Ad esempio si usa la notazione f @xD per indicare lefunzioni, adoperando quindi le parentesi quadre, invece della notazione più usata che è f HxL. Anche i nomi delle funzionielementari sono leggermente diversi da quelli standard: il logaritmo in base ‰, ad esempio, viene indicato con Log@xD,mentre di solito si indica con log x.

Particolare attenzione dovrà essere usata per le potenze delle funzioni elementari; ad esempio, per indicare il quadrato dellogaritmo di x usiamo il simbolo Log@xD2 invece della notazione consueta log2 x. Bisogna dunque prestare attenzione a non

confondere Log@xD2 con LogAx2E, che, con le consuete notazioni si scriverebbe invece logIx2M.Al termine di queste dispense si trova un elenco in cui sono indicate tutte le principali differenze rispetto alle notazioniconsuete. E' opportuno consultare spesso questo elenco, in modo da non avere nessun dubbio sull'interpretazione deisimboli.


Settembre 2008

11 Il problema dell'area. Integrali definiti In questo capitolo vedremo come definire la nozione di area di un sottoinsieme del piano, e studieremo come calcolarla,introducendo il concetto di integrale definito e indefinito. Vedremo inoltre le applicazioni di tali concetti a problemi difisica e di meccanica.

1. Cenni sulla misura secondo Peano-JordanSupponiamo che A sia un sottoinsieme di 2; vogliamo associare a questo sottoinsieme un numero che ne esprima in modoragionevole l'estensione. Questo numero sarà chiamato area di A, oppure, in vista di future generalizzazioni al caso in cuiA sia un sottoinsieme di 3, o, più in generale, di n, misura di A.

Se A è un rettangolo, un triangolo, o, più in generale, un poligono, cosa si debba intendere per area di A è noto dallageometria elementare. Nel caso in cui A sia invece un cerchio, si incontra una difficoltà essenziale, dovuta al fatto che uncerchio, a differenza di un poligono, non è decomponibile in triangoli. Questa difficoltà può essere superata"approssimando" dall'interno e dall'esterno il cerchio con figure geometriche di cui è nota l'area, ad esempio poligoniregolari. Si trovano, in questo modo, due classi contigue di grandezze: quella delle aree dei poligoni inscritti, e quella dellearee dei poligoni circoscritti al cerchio. Queste due classi contigue individuano un unico numero reale, che si assume, perdefinizione, come area del cerchio.

In questo consiste, in sostanza, il metodo di esaustione, noto fin dall'antichità. Esso consente, nello stesso tempo, didefinire la nozione di area per un insieme non decomponibile in triangoli o in rettangoli, e di fornire un metodo praticoper il calcolo approssimato di essa.

Una generalizzazione di questo metodo consente di definire l'area di figure piane molto più generali di un cerchio, ed èbasato sulla procedura di approssimare, sia dall'esterno che dall'interno l'insieme dato mediante "plurirettangoli", cioémediante unioni di un numero finito di rettangoli di 2.

Diamo anzitutto le seguenti definizioni.Definizione 11.1.1 (Rettangolo)Si dice rettangolo di 2 il prodotto cartesiano di due intervalli limitati di .

Per intervallo di si intende un intervallo aperto, chiuso o semiaperto, eventualmente costituito anche da un solo punto.L'area di un rettangolo R sarà indicata con » R », ed è, come al solito, il prodotto delle lunghezze dei lati.

Definizione 11.1.2 (Plurirettangolo)Si dice plurirettangolo di 2 l'unione di un numero finito di rettangoli di 2, a due a due internamente disgiunti.L'insieme dei plurirettangoli di 2 si indica con I2M.Dunque un plurirettangolo è un insieme di 2 che può essere decomposto in un numero finito di rettangoli aventi a due adue in comune, eventualmente, una parte del bordo (dunque senza che vi siano "sovrapposizioni" delle parti interne).Definizione 11.1.3 (Area di un plurirettangolo)Se P è un plurirettangolo di 2, e se R1, R2, …, Rn è una sua decomposizione in un numero finito di rettangoli, per cui siha:

P = ‹k=1

nRk,

si dice area di P, e si indica con » P », la somma delle aree dei rettangoli R1, R2, …, Rn:

» P » = ⁄k=1

n» Rk ».

Osservazione. Se P è un plurirettangolo, in generale esistono infiniti modi di decomporre P nell'unione di un numerofinito di rettangoli. Se R1, R2, …, Rn, ed S1, S2, …, Sm sono due di queste decomposizioni, per cui:

P = Êk=1

n

Rk = Êk=1

m

Sk,

si ha evidentemente che

Êk=1

n

» Rk » = Êk=1

m

» Sk »,

Carlo GrecoAppunti di Analisi Matematica I 11. Il problema dell'area. Integrali definiti 258

Settembre 2008

pertanto la definizione precedente di area di un plurirettangolo è lecita malgrado la non unicità della decomposizione.

Sia ora A un sottoinsieme limitato di 2. Indichiamo con i HAL l'insieme di tutti i plurirettangoli di 2 contenuti in A(l'indice i sta per interni), e con e HAL l'insieme di tutti i plurirettangoli di 2 che contengono A (l'indice e sta per esterni).

Definizione 11.1.4 (Insieme misurabile)Sia A un sottoinsieme limitato di 2; se i due insiemi numerici costituiti dalle aree dei plurirettangoli interni ed esterni adA:

8 » P » » P œ iHAL< e 8 » P » » P œ eHAL<sono contigui, l'insieme A si dice misurabile secondo Peano-Jordan, ed il loro elemento di separazione si dice misurasecondo Peano-Jordan (o semplicemente, nel caso bidimensionale, area) di A. In tal caso, la misura di A verrà indicatacon » A ».La definizione appena data di area di un insieme appare del tutto naturale: anzitutto consente di recuperare la nozione diarea nota dalla geometria elementare, infatti i rettangoli, i triangoli, i poligoni ecc. ecc., sono tutti misurabili secondoPeano-Jordan, e la loro misura coincide con quella già nota; analoga osservazione vale per l'area del cerchio.

La maggior parte degli insiemi che capita di considerare nelle applicazioni sono misurabili secondo Peano-Jordan; tuttaviaesistono anche insiemi che, invece, non lo sono.Esempio 11.1.1 Sia A l'insieme dei punti del quadrato unitario a coordinate razionali:

A = 8Hx, yL œ @0, 1D µ @0, 1D » x œ , y œ <

Ebbene, l'insieme A non è misurabile, infatti gli unici plurirettangoli contenuti in A sono quelli costituiti da un numerofinito di punti, ed hanno area nulla, pertanto

8 » P » » P œ i HAL< = 80<.

D'altra parte, qualunque plurirettangolo contenente A deve contenere anche il quadrato @0, 1D µ @0, 1D che ha area 1,pertanto l'insieme numerico 8 » P » » P œ 2 HAL< è costituito da numeri maggiori o uguali ad uno. Dunque tali insieminumerici non sono contigui.

2. Area del trapezoide e funzioni integrabili secondo RiemannNel paragrafo precedente abbiamo visto come è possibile definire la nozione di area per un sottoinsieme del piano; siamoora interessati a particolari sottoinsiemi del piano, chiamati trapezoidi.Definizione 11.2.1 (Trapezoide)Sia f : @a, bD Ø una funzione positiva e limitata; si dice trapezoide di base @a, bD relativo alla funzione f , l'insieme:

T f = 8Hx, yL » x œ @a, bD, 0 § y § f @xD<.Dunque il trapezoide T f non è altro che la parte di piano (limitata) compresa tra l'asse x e il grafico di f , come si vede infigura:

Vediamo come è possibile (e se è possibile) individuare opportuni plurirettangoli contenuti in T f e contenenti T f atti adapprossimare per difetto e per eccesso la sua area (ammesso che T f sia misurabile secondo Peano-Jordan).

Sia dunque f : @a, bD Ø una funzione positiva e limitata. Suddividiamo poi l'intervallo @a, bD in n intervallini mediante ipunti x0, x1, ... xn, dove a = x0 < x1 < x2 < ... xn = b (questi punti non sono necessariamente equidistanziati). Indichiamocon il simbolo c questa suddivisione dell'intervallo:


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c = 8x0, x1, ... xn<,

e indichiamo con S@a, bD l'insieme di tutte le possibili suddivisioni dell'intervallo @a, bD. Indichiamo ora con mi il minimoassoluto della funzione f @xD in ciascuno degli intervallini @xi-1, xiD della suddivisione fissata (ammesso che questo minimoassoluto esista):

mi = minxœ@xi-1,xiD

f @xD.

Consideriamo ora i vari rettangolini @xi-1, xiD µ @0, miD; la loro unione è un plurirettangolo che indichiamo con P f @cD:

Pf @cD = Êi=1

n

@xi-1, xiD µ @0, miD.

Ciò che stiamo facendo è illustrato dal seguente grafico.

Ovviamente P f @cD è un plurirettangolo "inscritto" in T f , la cui area approssima per difetto quella di T f . L'area delplurirettangolo P f @cD è:

sf @cD = ‚i=1

n

mi Hxi - xi-1L.

La sommatoria precedente si chiama somma inferiore relativa alla suddivisione c.

Naturalmente l'approssimazione è tanto migliore quanto più fitta è la suddivisione c dell'intervallo @a, bD. Indichiamo conA@ f D l'insieme numerico delle aree di tutti i plurirettangoli del tipo s f @cD al variare di c nell'insieme delle suddivisionidell'intervallo @a, bD:

A@f D = 8sf @cD » c œ S@a, bD<.

In modo analogo, posto:

Mi = maxxœ@xi-1,xiD

f @xD

(sempre ammesso che tale massimo assoluto esista in ciascuno degli intervallini @xi-1, xiD), e posto:

Qf @cD = Êi=1

n

@xi-1, xiD µ @0, MiD,

si ha un plurirettangolo "circoscritto" a T f :


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la cui area è:

Sf @cD = ‚i=1

n

Mi Hxi - xi-1L.

(La sommatoria precedente si chiama somma superiore relativa alla suddivisione c). Poniamo, di conseguenza,

B@f D = 8Sf @cD » c œ S@a, bD<.

Dunque B@ f D è l'insieme delle aree di tutti i plurirettangoli circoscritti a T f . E' chiaro che i due insiemi numerici A@ f D eB@ f D sono separati, nel senso che ogni plurirettangolo inscritto ha area minore o uguale ad ogni plurirettangolocircoscritto. Se essi sono anche contigui, il trapezoide T f è misurabile secondo Peano-Jordan, e la sua misura (la sua area)è, per definizione, l'elemento di separazione tra tali insiemi. In altri termini, è ora possibile dare la seguente definizione.Definizione 11.2.2 (Integrale secondo Riemann)Con le notazioni sopra introdotte, la funzione f : @a, bD Ø si dice integrabile (secondo Riemann) se gli insiemi numericiA@ f D e B@ f D sono contigui; in tal caso il loro elemento di separazione si chiama integrale (secondo Riemann) di f , e siindica col simbolo:

Ÿab f @xD „ x

n 1

5.93319 < Ÿabf @xD„x < 15.7683

Esempio 11.2.1 ( f @xD = k)

Consideriamo il caso di una funzione costante, a costante valore k > 0, nell'intervallo @a, bD; in questo caso T f non è altroche il rettangolo di base @a, bD e altezza k, cosicché la sua area è kHb - aL.


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Vediamo di ritrovare questo risultato col metodo dei plurirettangoli inscritti e circoscritti. Suddividiamo l'intervallo in nintervallini, e per ciascuno di essi consideriamo il minimo valore assunto dalla funzione; nel caso di una funzione costante,si ha, ovviamente: mi = k, pertanto l'area del generico plurirettangolo inscritto è:

sf @cD = ‚i=1

n

mi Hxi - xi-1L = ‚i=1

n

k Hxi - xi-1L = k ‚i=1

n

Hxi - xi-1L = k Hb - aL.

Dunque, ogni plurirettangolo inscritto ha sempre area uguale a kHb - aL; ciò è evidente dalla figura:

Dunque, l'insieme A@ f D delle aree dei plurirettangoli inscritti si riduce al solo elemento kHb - aL:

A@f D = 8k Hb - aL<.

In modo perfettamente analogo si verifica che anche l'insieme B@ f D è costituito dal solo numero kHb - aL:

B@f D = 8k Hb - aL<.

Dunque tali insiemi numerici sono ovviamente contigui, e il loro elemento di separazione non è altro che kHb - aL.Adoperando la simbologia degli integrali, possiamo scrivere:

‡a

bk „ x = k Hb - aL.

Esempio 11.2.2 ( f @xD = x)

Consideriamo ora la funzione f @xD = x nell'intervallo @0, bD; in questo caso T f è un triangolo la cui area è b2

2.

Ritroveremo nuovamente questo risultato col metodo dei plurirettangoli inscritti e circoscritti. Suddividiamo l'intervallo in


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n intervallini, questa volta di uguale lunghezza Åbn

; si ha dunque:

xi = Åbn

i, dove i = 0, 1, ..., n.

In ciascuno degli intervalli @xi-1, xiD, il minimo di f è assunto nel primo estremo xi-1, e vale proprio f @xi-1D = xi-1; si hacioé mi = xi-1:

Pertanto l'area del plurirettangolo inscritto è:

sf @cD = ‚i=1

n


n

xi-1 Hxi - xi-1L = ‚i=1

n

xi-1 Åb

n= Å

b

n ‚i=1

n

Åb

n Hi - 1L =

b2

n2 ‚i=1

n

Hi - 1L.

Ora, l'ultima sommatoria non è altro che la somma dei primi n - 1 interi naturali; poiché si ha, com'è noto:

1 + 2 + 3 + ∫ + n - 1 =n Hn - 1L

2,

abbiamo ottenuto, in definitiva:

sf @cD =b2

n2 n Hn - 1L

2= b2

Hn - 1L2 n

.

I numeri s f @cD = b2 n-12 n

approssimano per difetto l'area del triangolo; passando al limite per n Ø +¶, si ottiene b2

2. In

modo analogo, considerando le aree dei plurirettangoli circoscritti, e facendo tendere n Ø +¶, si ottiene ancora b2

2.

Abbiamo dunque dimostrato che:

‡0

bx „ x = Å

1

2 b2.

La formula ottenuta può essere facilmente generalizzata al caso di un integrale esteso all'intervallo @a, bD, infatti si ha:

‡a

bx „ x = area del triangolo di base @0, bD - area del triangolo di base @0, aD =

b2

2-

a2

2.

Esempio 11.2.3 ( f @xD = x2)

Consideriamo infine la funzione f @xD = x2 nell'intervallo @0, bD; T f è ora la parte di piano al di sotto di una parabola:


Settembre 2008

La sua area non è nota dalla geometria elementare; vedremo tuttavia che, grazie al metodo dei plurirettangoli inscritti ecircoscritti, essa potrà essere calcolata.Suddividiamo l'intervallo in n intervallini, di lunghezza uguale; prendiamo infatti xi = Åb

ni, dove i = 0, 1, ..., n.

In ciascuno degli intervalli @xi-1, xiD, il minimo di f è ancora assunto nel primo estremo xi-1, e vale proprio f @xi-1D = xi-12 ;

si ha cioé mi = xi-12 :

Pertanto l'area del plurirettangolo inscritto è:

sf @cD = ‚i=1

n


n

xi-12 Hxi - xi-1L = ‚

i=1

n

xi-12 Å

b

n= Å

b

n ‚i=1

n b2

n2 Hi - 1L2 =

b3

n3 ‚i=1

n

Hi - 1L2.

Ora, l'ultima sommatoria è la somma dei quadrati dei primi n - 1 interi naturali; poiché si ha:

1 + 22 + 32 + ∫ + Hn - 1L2 =n Hn - 1L H2 n - 1L

6,

abbiamo ottenuto, in definitiva:

sf @cD =b3

n3 n Hn - 1L H2 n - 1L

6= b3

Hn - 1L H2 n - 1L6 n2

.

Passando al limite per n Ø +¶, si ottiene b3

3.

In modo analogo, considerando le aree dei plurirettangoli circoscritti, e facendo tendere n Ø +¶, si ottiene ancora b3

3.

Abbiamo dunque dimostrato che:

‡0

bx2 „ x = Å

1

3 b3.

Ragionando come alla fine dell'esempio precedente, si ottiene immediatamente:

‡a

bx2 „ x = area del trapezoide di base @0, bD - area del trapezoide di base @0, aD =

b3

3-

a3

3.

Osserviamo ora che non tutte le funzioni sono integrabili; un famoso esempio di funzione non integrabile è fornito dalla


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cosiddetta funzione di Dirichlet, che è definita nel modo seguente:

f @xD =0 se x œ

1 se x –

Il grafico di questa funzione non è disegnabile in modo completo: esso consiste di infiniti punti densamente distribuiti siasull'asse x (quelli di ascissa razionale) sia sulla retta y = 1 (quelli di ascissa irrazionale).

x

1

y

Esempio 11.2.4 (La funzione di Dirichlet)La funzione di Dirichlet, sopra definita, non è integrabile; infatti, consideriamo l'intervallo @a, bD, e suddividiamolomediante i punti a = x0, x1, ..., xn = b, come al solito; in ciascuno degli intervalli @xi-1, xiD cadono sia punti razionaliche irrazionali, pertanto il minimo mi vale 0, e il massimo Mi vale 1; dunque:

sf @cD = ‚i=1

n


n

0 Hxi - xi-1L = 0,

Sf @cD = ‚i=1

n

Mi Hxi - xi-1L = ‚i=1

n

1 Hxi - xi-1L = ‚i=1

n

Hxi - xi-1L = b - a.

Pertanto

A@f D = 80<, B@f D = 8b - a<.

Questi due insiemi numerici non sono contigui, quindi la funzione data non è integrabile.

La funzione dell'esempio precedente non è l'unica a non essere integrabile; si possono infatti immaginare molte altrevarianti dello stesso tipo; ad esempio, non è integrabile la funzione:

f @xD = : x se x œ

2 x se x –

il cui grafico è del tipo seguente:

x

y

Per fortuna, tuttavia, esistono vaste classi di funzioni integrabili, come ad esempio le funzioni continue e quelle monotone.Teorema 11.2.1 (Integrabilità delle funzioni continue)Una funzione continua in @a, bD è integrabile sullo stesso intervallo.

Teorema 11.2.2 (Integrabilità delle funzioni monotone)Una funzione monotona in @a, bD è integrabile sullo stesso intervallo.Esempio 11.2.5 Consideriamo la funzione f : @-1, 3D Ø così definita:


Settembre 2008

f @xD =

x - 1 se - 1 § x < 1

2 - 2 x + x2 se 1 § x § 2

x - 2 + 3 se 2 < x § 3

-2 -1 1 2 3x

-2-1

123

y

Essa è monotona (strettamente crescente) nell'intervallo considerato, pertanto è integrabile per il teorema sull'integrabilitàdelle funzioni monotone.

Osservazione. La definizione di integrale come elemento di separazione tra gli insiemi A@ f D e B@ f D, non deve far passarein secondo piano l'idea principale, che consiste, in sostanza, nel suddividere l'intervallo @a, bD in piccoli sottointervalli@xi-1, xiD in ciascuno dei quali la funzione f @xD (che si chiama funzione integranda) può essere considerata,approssimativamente, costante e nel sommare le aree dei rettangolini ottenuti. In altri termini, l'idea principale consiste"nell'affettare e sommare".

Osservazione. Quando abbiamo considerato la somma inferiore s f @cD (risp. la somma superiore S f @cD), abbiamo, insostanza, supposto che la funzione f @xD fosse costante, a costante valore mi (risp. Mi) su ciascuno degli intervalli @xi-1, xiD.In realtà, non è importante che tale valore costante sia necessariamente il minimo mi o il massimo Mi di f su taleintervallino; ciò è comodo solo perché, in tal caso, i numeri s f @cD e S f @cD forniscono delle approssimazioni per difetto e

per eccesso di Ÿab f @xD „ x.

Invece del minimo o del massimo, avremmo potuto scegliere il valore di f in qualsiasi punto ci dell'intervallino @xi-1, xiD.In tal caso l'area del rettangolino di base @xi-1, xiD sarebbe stata f @ciD Hxi - xi-1L, e la somma delle aree sarebbe stata:

sf @cD = ‚i=1

n

f @ciD Hxi - xi-1L Hsomma di CauchyL.

Tale numero s f @cD fornisce ancora una approssimazione di Ÿab f @xD „ x, ma non è possibile sapere a priori se per difetto o

per eccesso.

In particolare, se, ad esempio, prendiamo ci = xi-1, si ha la situazione illustrata in figura:

Come si vede, alcuni dei rettangolini sono contenuti nel trapezoide T f , altri no.

Nella successiva animazione è possibile fissare una certa suddivisione dell'intervallo @a, bD, e scegliere poisuccessivamente i punti ci in quattro modi diversi:

1°) ciascun ci coincide col primo estremo dell'intervallo @xi-1, xiD;2°) ciascun ci coincide col secondo estremo dell'intervallo @xi-1, xiD;


Settembre 2008

3°) ciascun ci è preso uguale al punto medio dell'intervallo @xi-1, xiD;4°) ciascun ci è preso a caso nell'intervallo @xi-1, xiD.

n 4

Nuova suddivisione

Nuovi ci

Scelta:ci = xi-1 ci = xi

ci =xi-1+xi

2 xi-1 § ci§xi

Osservazione. Il simbolo Ÿab f @xD „ x di integrale riflette l'idea fondamentale di "affettare e sommare". Infatti, se @x, x + „ xD

è un generico intervallino della suddivisione, di lunghezza "infinitesima" „ x e se scegliamo di prendere il valore di f nel

primo estremo di tale intervallo, l'area del rettangolino corrispondente è f @xD „ x; il simbolo Ÿab (che non è altro che una S

stilizzata) esprime il fatto che si stanno sommando le "aree infinitesime" f @xD „ x.

Osservazione. Poiché Ÿab f @xD „ x rappresenta un numero (un'area) la variabile x che compare nel simbolo di integrale è una

variabile "apparente"; essa può essere sostituita da un qualsiasi altro simbolo senza che il valore dell'integrale cambi:

Ÿabf @xD „ x = Ÿa

bf @tD „ t = Ÿabf @qD „ q, ∫.

Abbiamo introdotto il concetto di integrale partendo dal problema dell'area; tuttavia, se la funzione f @xD ha qualche

significato fisico, anche Ÿab f @xD „ x può rappresentare una grandezza fisicamente significativa.

Esempio 11.2.6 (Spazio percorso)Un punto materiale si muove su una retta con velocità proporzionale al tempo: v@tD = k t; il grafico della velocità infunzione del tempo è quindi una retta:

a bt

v

Vogliamo calcolare lo spazio percorso tra l'istante iniziale t = a e l'istante finale t = b; se la velocità fosse costante,basterebbe moltiplicarla per il tempo trascorso: spazio = velocità µ Hb - aL; poiché non è costante, suddividiamo l'intervallo@a, bD in tanti intervallini (ad esempio di uguale lunghezza) in ciascuno dei quali la velocità si può supporre costante; nelgenerico intervallino @ti-1, tiD possiamo supporre che essa sia uguale a v@ti-1D; di conseguenza, lo spazio percorso in taleintervallo temporale, è circa v@ti-1D Hti - ti-1L; la somma di tali spazi è:


Settembre 2008

sv@cD = ‚i=1

n

v@ti-1D Hti - ti-1L;

passando al limite per n Ø +¶, si ottiene lo spazio totale come integrale della velocità nell'intervallo @a, bD:

spazio = ‡a

bv@tD „ t.

Terminiamo con un'ultima osservazione. Abbiamo introdotto il concetto di funzione integrabile nel caso di funzionif : @a, bD Ø limitate e positive; in questo caso la somma inferiore e quella superiore hanno il chiaro significato di aree diplurirettangoli inscritti o circoscritti al trapezoide T f ; se invece la funzione data è negativa in @a, bD, sia la somma inferioreche quella superiore assumono valori negativi:

sf @cD = ⁄i=1

nmi Hxi - xi-1L § ⁄

i=1

nMi Hxi - xi-1L = Sf @cD § 0,

questo perché, per una funzione negativa, si ha mi § Mi § 0. E' allora naturale interpretare i numeri negativi s f @cD ed S f @cDancora come aree di trapezoidi, ma contate negativamente in quanto tali trapezoidi si trovano al di sotto dell'asse x.Conseguentemente, anche l'elemento di separazione tra le somme inferiori e quelle superiori potrà essere interpretatoancora come l'area di un trapezoide, ma cambiata di segno in quanto il trapezoide si trova al di sotto dell'asse x. Indefinitiva, la definizione di funzione integrabile si estende immediatamente alle funzioni che non sono sempre positive in@a, bD.

3. EserciziEsercizio 11.3.1 (plurirettangoli)E' data la funzione f @xD = 1 - x2, con x œ @-1, 1D; considerata la suddivisione

c = 8-1, -0.8, 0.2, 0.5, 1<

dell'intervallo @-1, 1D, calcolare le somme:

sf @cD = ‚i=1

4

f @xi-1D Hxi - xi-1L

sf @cD = ‚i=1

4

mi Hxi - xi-1L

Esercizio 11.3.2 (def. di integrale)Adoperando la definizione, calcolare i seguenti integrali:

‡1

3H2 x + 1L „ x;

‡0

1Ix2 + 1M „ x.

4. Proprietà dell'integraleIl seguente teorema riassume le principali proprietà dell'integrale.Teorema 11.4.1 (Proprietà dell'integrale)Siano f , g : @a, bD Ø due funzioni limitate integrabili. Allora:

1°) (linearità) Se c1 e c2 sono due costanti, la combinazione lineare c1 f @xD + c2 g@xD è integrabile, e si ha:

ŸabHc1 f @xD + c2 g@xDL „ x = c1 Ÿa

b f @xD „ x + c2 Ÿabg@xD „ x.

2°) (additività) Se x0 œ D a, b@, allora si ha:

Ÿab f @xD „ x = Ÿa

x0 f @xD „ x + Ÿx0

b f @xD „ x.

3°) (monotonia 1) Se f § g in @a, bD, allora si ha:


Settembre 2008

Ÿab f @xD „ x § Ÿa

bg@xD „ x.4°) (monotonia 2) Se @a , b D Õ @a, bD, e se f ¥ 0, allora si ha:


b f @xD „ x.5°) (maggiorazione) La funzione » f @xD » è integrabile e si ha:

… Ÿab f @xD „ x … § Ÿa

b … f @xD … „ x.

Non dimostriamo il teorema precedente, ma ci limitiamo ad osservare che le proprietà 2°), 3°) e 4°) hanno un'immediatainterpretazione geometrica, come si vede dai seguenti grafici:

a x0 bx

yŸa

x0 f @xD„x + Ÿx0

bf @xD„x

a a b bx

yŸa

bf @xD„x § Ÿabf @xD„x

Esempio 11.4.1 Adoperando la proprietà di linearità dell'integrale, e gli integrali che già conosciamo, possiamo, ad esempio, calcolare

Ÿ12I Å1

2 x2 - 3 xM „ x. Si ha infatti:

‡1

2Å1

2 x2 - 3 x „ x = Å

1

2 ‡

1

2x2 „ x - 3 ‡

1

2x „ x = 4

23

3-

13

3- 3

22

2-

12

2=

29

6

Dalla proprietà di linearità dell'integrale segue, in particolare, che:

‡a

b-f @xD „ x = -‡

a

bf @xD „ x.

Poiché le funzioni f @xD e - f @xD sono simmetriche rispetto all'asse x, si ottiene da tale formula l'interpretazione geometricadell'integrale di una funzione f : @a, bD Ø negativa in @a, bD: esso non è altro che l'area, cambiata di segno, della regionedi piano (al di sotto dell'asse x) compresa tra il grafico di f e l'asse delle x.

Esempio 11.4.2 Calcolare

‡-5

5 x

1 + x4 „ x.

Non è necessario eseguire alcun calcolo: infatti, poichè la funzione integranda è dispari, l'area al si sopra dell'intervallo@0, 5D è uguale a quella al di sopra dell'intervallo @-5, 0D:

-5 5x

-0.6-0.4-0.2

0.20.4

y

Pertanto:

‡-5

5 x

1 + x4 „ x = 0.

Esempio 11.4.3 Calcolare


Settembre 2008

‡0

2 p

Sin@xD „ x.

Anche in questo caso basta osservare il grafico:

p 2px

y

per concludere che

‡0

2 p

Sin@xD „ x = 0.

Un'altro teorema importante è il teorema della media.Teorema 11.4.2 (Della media)Sia f : @a, bD Ø una funzione continua, e siano m ed M il minimo ed il massimo assoluto di f in @a, bD. Si ha allora:

mHb - aL § Ÿab f @xD „ x § M Hb - aL.

Esiste inoltre c œ @a, bD tale che:Ÿa

b f @xD „ x = f @cD Hb - aL.Anche questo teorema ha un'immediata interpretazione geometrica; infatti, osservando che m Hb - aL e M Hb - aL non è altroche l'area dei due rettangoli nella figura seguente:

è evidente che l'area del trapezoide T f è compresa tra m Hb - aL e M Hb - aL. E' pure evidente che, scegliendoopportunamente il punto c œ @a, bD, l'area del rettangolo tratteggiato in figura finirà per uguagliare l'area di T f .

a c1c bx

f @cD

m

M

y

Ÿabf@xD„x < f@cDHb-aL

Dimostrazione del teorema della media. 1°) Poiché m ed M sono il minimo ed il massimo assoluto di f @xD, si ha


Settembre 2008

m § f @xD § M in @a, bD; per la prima proprietà di monotonia dell'integrale, integrando i tre membri della diseguaglianzaessa si conserva:

‡a

bm „ x § ‡

a

bf @xD „ x § ‡

a

bM „ x.

Ricordando che Ÿabk „ x = kHb - aL, si ha la prima formula del teorema.

2°) Dalla formula già dimostrata si ha immediatamente:

m §1

b - a ‡

a

bf @xD „ x § M,

cioé, posto y0 = 1b-a Ÿa

b f @xD „ x, si ha y0 œ @m, M D. Ricordando che, per il teorema di Bolzano l'intervallo @m, M D non è

altro che il codominio di f @xD, cioé l'insieme dei suoi valori, si ha, appunto, che esiste c œ @a, bD tale che

f @cD =1

b - a ‡

a

bf @xD „ x,

da cui la seconda formula del teorema. à

Il numero

1b-a

Ÿabf @xD „ x

si dice valor medio della funzione f @xD nell'intervallo @a, bD.Esempio 11.4.4 (Velocità media)Un punto si muove lungo una retta con velocità v@tD = 10 t2 (lo spazio è misurato in Km e il tempo in ore). Calcolare lospazio percorso dopo 2h e 30m, e la sua velocità media.

Lo spazio percorso è dato dall'integrale:

spazio = ‡0

5ê2v@tD „ t = ‡

0

5ê210 t2 „ t = 10 ‡

0

5ê2t2 „ t = 10 µ Å

1

3 Å

5

2

3

=625

12= 52.08 = Km.

La velocità media è data da:

1

5 ê 2 ‡

0

5ê2v@tD „ t = Å

2

5 625

12=

125

6= 20.83 = Km ê h.

5. EserciziEsercizio 11.5.1 (additività)Spiegare perché

‡0

2 p

Cos@xD „ x = 0.

Esercizio 11.5.2 (stima)Dimostrare che

‡0

p

Sin@xD „ x < p ;

Åp

4< ‡

0

p 1

3 + Sin@xD „ x < Å

p

2;

‡0

1 5

3 + ‰x „ x > 0.


Settembre 2008

Esercizio 11.5.3 (media)Dimostreremo in seguito che

‡-1

1 1

x2 + 1 „ x = Å

p

2.

Determinare il valore (o i valori) di c œ @0, 1D in modo che si abbia:

‡-1

1 1

x2 + 1 „ x = 2 f @cD.

Interpretare poi geometricamente il risultato ottenuto.

6. Primitive e teorema fondamentaleRiprendiamo i risultati ottenuti nel secondo paragrafo integrando nell'intervallo @a, bD le tre funzioni f @xD = k, g@xD = x,h@xD = x2; abbiamo ottenuto:

‡a

bk „ x = k Hb - aL.

‡a

bx „ x =

b2

2-

a2

2.

‡a

bx2 „ x =

b3

3-

a3

3.

Fissiamo l'attenzione, ad esempio, sul terzo integrale; consideriamo la funzione G@xD = x3

3, e osserviamo quanto segue:

G'@xD = x3, e ‡a

bx2 „ x = G@bD - G@aD.

La funzione G@xD si chiama primitiva o antiderivata di x3, e la formula precedente dice che il valore dell'integrale definito

Ÿabx2 „ x è dato dalla differenza tra i valori assunti dalla primitiva G@xD della funzione integranda x2 negli estremi

dell'intervallo di integrazione.

La stessa circostanza si presenta anche per il primo ed il secondo integrale. Infatti si ha:

prendendo G@xD = k x : G'@xD = k, e ‡a

bk „ x = G@bD - G@aD;

prendendo G@xD =x2

2: G'@xD = x, e ‡

a

bx „ x = G@bD - G@aD.

Vedremo tra poco che queste formule valgono per "qualsiasi" funzione integranda f @xD, e forniscono il principale metodoper il calcolo effettivo degli integrali definiti, che verrà quindi effettuato mediante la ricerca di una primitiva della funzioneintegranda. Ad esempio, supponendo che quanto detto sopra valga anche per l'integrale:

‡0

1 2 x

x2 + 1 „ x,

si potrà procedere nel modo seguente:

1°) si cerca una primitiva G@xD della funzione integranda; in questo caso prendiamo G@xD = LogAx2 + 1E, dato che:

G'@xD =2 x

x2 + 1.

2°) scriviamo la formula fondamentale:


Settembre 2008

‡0

1 2 x

x2 + 1 „ x = G@1D - G@0D = Log@2D.

Dunque:

‡0

1 2 x

x2 + 1 „ x = Log@2D.

Approfondiamo ora le considerazioni precedenti, e iniziamo col dare la seguente definizione.Definizione 11.6.1 (Primitiva o antiderivata)Sia f : X Ø una funzione definita in un intervallo X di ; una funzione derivabile G : X Ø si dice primitiva oantiderivata di f se, per ogni x œ X si ha G'@xD = f @xD.Esempio 11.6.1

La funzione G@xD = 3 x + 2 + Å1x

è una primitiva della funzione f @xD = 3 - 1

x2 , infatti G '@xD = 3 - 1

x2 .

Esempio 11.6.2

La funzione G@xD = ArcTanAx2E è una primitiva della funzione f @xD = 2 x

x4+1, infatti G '@xD = 2 x

x4+1.

Osserviamo ora che, se G@xD è una primitiva di f @xD, anche tutte le funzioni G@xD + c, dove c è una costante, sono primitive

di f , infatti D@G@xD + cD = G '@xD = f @xD. Ad esempio, le funzioni x3

3, x3

3+ 1, x3

3- 3.4, ... sono tutte primitive della stessa

funzione x2. Viceversa, due primitive della stessa funzione differiscono per una costante; più precisamente, si ha ilseguente teorema.Teorema 11.6.1 (Differenza di due primitive)Sia X un intervallo di , e siano F@xD e G@xD due primitive della stessa funzione f : X Ø . Esiste allora una costantec œ , tale che F@xD = G@xD + c.

Dimostrazione. Consideriamo la funzione j@xD = F@xD - G@xD; la sua derivata è nulla, infattij '@xD =F '@xD - G '@xD = f @xD - f @xD = 0. Per il teorema sulle funzioni a derivata nulla, la funzione j@xD è costantesull'intervallo X , dunque esiste c œ , tale che j@xD = c, cioé tale che F@xD - G@xD = c, da cui la tesi. à

Abbiamo considerato fino adesso integrali definiti su un intervallo @a, bD, quindi con a < b; è però opportuno, per un

motivo che vedremo tra poco, dare significato al simbolo Ÿab f @xD „ x anche nel caso in cui a ¥ b, in modo che si possano

considerare integrali definiti come i seguenti:

‡5

2x3 „ x, ‡

p

0Sin@xD „ x, ecc. ecc.

Si pone, a questo scopo,

‡x1

x2

f @xD „ x =-Ÿx2

x1f @xD „ x se x1 > x2

0 se x1 = x2

Dunque si ha, ad esempio:

‡5

2x3 „ x = -‡

2

5x3 „ x = -

53

3-

23

3= -39,

‡4

4 x4

1 + x6 „ x = 0,

ecc. ecc.. Molte delle proprietà dell'integrale definito enunciate precedentemente valgono anche nel caso in cui a ¥ b; adesempio la linearità, la proprietà additiva e il teorema della media, come si potrebbe verificare facilmente.

Con tale convenzione, possiamo dare la seguente fondamentale definizione.Definizione 11.6.2 (Funzione integrale)Sia X un intervallo di sia a œ X , e sia f : X Ø una funzione continua. La funzione F : X Ø così definita:

F@xD = Ÿax f @tD „ t


Settembre 2008

si dice funzione integrale.Dunque, se a < x, F@xD non è altro che l'area del trapezoide di base @a, xD relativo alla funzione f . Se invece a > x, F@xD èl'area del trapezoide di base @x, aD cambiata di segno. Si noti che, in ogni caso, F@aD = Ÿa

a f @tD „ t = 0.

Esempio 11.6.3

Sia f @xD = x2

4; la funzione F@xD = Ÿ1

x x2

4 „ t è una funzione integrale di f @xD. In questo caso, è facile calcolare esplicitamente

tale funzione; si ha infatti:

F@xD = ‡1

x t2

4 „ t = Å

1

4 ‡

1

xt2 „ t = Å

1

4

x3

3-

13

3=

1

12Ix3 - 1M.

Nella seguente figura si vede il grafico di f @xD = x2

4.

x

y

Il grafico della funzione F@xD = 112

Ix3 - 1M è invece il seguente:

a = 1

-3 -2 -1 1 2x

-1

1

2

y

Ad esempio, F@2D rappresenta l'area del trapezoide relativo alla funzione f , di base @1, 2D; in effetti, dalla figura precedente

si vede che tale area è all'incirca uguale a 59 mm2, e, d'altra parte, F@2D = 112

I23 - 1M = 712

º 0.583.

Si ha poi, ovviamente, F@1D = 0, mentre F@-2D rappresenta l'area del trapezoide di base l'intervallo @-2, 1D, cambiata disegno. Tale area è uguale (come si vede contando i quadratini) all'incirca a 76 mm2. Il calcolo conferma questo conto,infatti

F@-2D = 112

IH-2L3 - 1M = - Å34

= -0.75.

Esercizio 11.6.1 (Funzione integrale)Nei seguenti grafici, osservare come varia l'area al variare di x; osservare, in particolare, quando è positiva, negativa,quando cresce e quando decresce al crescere di x.


Settembre 2008

x -2

x

yf @xD

x a x

yF@xD = Ÿa

xf @xD„x

x a

x -2

x

yf @xD

xa x

yF@xD = Ÿa

xf @xD„x

xa


Settembre 2008

x -2

x

yf @xD

xa x

yF@xD = Ÿa

xf @xD„x

xa

Esercizio 11.6.2 Nel seguente grafico, osservare come varia la funzione integrale F@xD al variare della funzione f @xD; in particolare,osservare cosa accade alla funzione f @xD in corrispondenza dei minimi e dei massimi di F@xD.

x

Reset

x

yf @xD

xa x

yF@xD = Ÿa

xf @xD„x

xa

Il seguente fondamentale teorema mostra la relazione che sussiste tra la funzione integrale F@xD, che abbiamo definitoprecedentemente, e la funzione f @xD.Teorema 11.6.2 (Funzione integrale)Sia X un intervallo di sia a œ X , e sia f : X Ø una funzione continua. La funzione integrale

F@xD = Ÿax f @tD „ t

è una primitiva di f @xD, si ha cioé F '@xD = f @xD.In un esempio precedente abbiamo calcolato esplicitamente la funzione integrale ), ottenendo F@xD = 1

12Ix3 - 1M. Si ha, in

effetti: F '@xD = 112

3 x2 = x2

4. Il teorema sulla funzione integrale afferma che ciò è vero per qualsiasi funzione f @xD.

Dimostrazione del teorema sulla funzione integrale. Fissiamo un x0 œ X , e calcoliamo il rapporto incrementale:


Settembre 2008

F@xD - F@x0Dx - x0

=Ÿa

xf @tD „ t - Ÿax0f @tD „ t

x - x0=*

Ÿaxf @tD „ t + Ÿx0

a f @tD „ t

x - x0=**

Ÿx0

xf @tD „ t

x - x0

(l'uguaglianza * è dovuta al fatto che, per definizione, Ÿx0

a f @tD „ t = -Ÿax0 f @tD „ t, mentre la ** deriva dalla proprietà

additiva dell'integrale). Osserviamo ora che, per il teorema della media, esiste c, appartenente all'intervallo di estremi x0 edx, tale che:

‡x0

xf @tD „ t = f @cD Hx - x0L.

Dunque:

Ÿx0

xf @tD „ t

x - x0=

f @cD Hx - x0Lx - x0

= f @cD.

Per x Ø x0 si ha c Ø x0 e quindi, data la continuità di f in x0, si ha f @cD Ø f @x0D. Pertanto:

F '@x0D = limxØx0

F@xD - F@x0Dx - x0

= limcØx0

f @cD = f @x0D,

e il teorema è dimostrato. à

Vale infine il seguente fondamentale teorema.Teorema 11.6.3 (Fondamentale del calcolo integrale)Sia f : X Ø una funzione continua definita nell'intervallo X di , e sia G@xD una sua primitiva; per ogni a, b œ X, siha:

Ÿab f @xD „ x = G@bD - G@aD.

Dimostrazione. Fissiamo a, b œ X , e consideriamo la funzione integrale F@xD = Ÿax f @tD „ t; essa è una primitiva di f ,

pertanto, per il teorema sulla differenza di due primitive, deve differire da G@xD per una costante: esiste quindi c œ taleche F@xD = G@xD + c, cioé:

‡a

xf @tD „ t = G@xD + c.

Ponendo x = a nella precedente espressione, si ha:

0 = ‡a

af @tD „ t = G@xD + c,

da cui c = -G@aD. Dunque Ÿax f @tD „ t = G@xD - G@aD, e, in particolare, ponendo x = b, si ha la tesi del teorema. à

Il teorema precedente costituisce la chiave di volta per il calcolo degli integrali definiti, e pone il problema della ricercadelle primitive di una data funzione.Esempio 11.6.4 Calcolare il seguente integrale:

‡-pê2

pê2Cos@xD „ x.

La funzione Sin@xD è, ovviamente, una primitiva di Cos@xD, e anzi, tutte le primitive di Cos@xD sono del tipo Sin@xD + c, alvariare di c œ . Posto G@xD = Sin@xD, il teorema fondamentale assicura che:

‡-pê2

pê2Cos@xD „ x = GB Å

p

2F - GB- Å

p

2F = SinB Å

p

2F - SinB- Å

p

2F = 1 - H-1L = 2.

Terminiamo osservando che, per brevità, si usa scrivere G@bD - G@aD = @G@xDDab, e quindi, ad esempio, osservando che x5

5 è

una primitiva di x4:


Settembre 2008

‡-1

2x4 „ x = B

x5

5Fa

b

=25

5-

H-1L5

5=

33

5.

7. EserciziEsercizio 11.7.1 (Primitive)

Trovare una primitiva delle seguenti funzioni: 2 x, 1

x2 , Sin@xD, 2 + 1

x2+1.

Esercizio 11.7.2 (Funzione integrale)

Basandosi sul seguente grafico di f @xD, tracciare un grafico approssimativo di F@xD = Ÿ-1x f @tD „ t.

x

y

a = -1

Esercizio 11.7.3 (Funzione integrale)

Basandosi sul seguente grafico di f @xD, tracciare un grafico approssimativo di F@xD = Ÿ0x f @tD „ t.

a = -1x

y


Settembre 2008

12 Integrali indefinitiNel capitolo precedente abbiamo visto la definizione di integrale definito, e il teorema fondamentale del calcolo integrale,che fornisce un metodo efficiente per il calcolo degli integrali definiti mediante la formula:

‡a

bf @xD „ x = G@bD - G@aD,

a patto di conoscere una "antiderivata" G@xD della funzione integranda f @xD. In questo capitolo vedremo come calcolare,appunto, le primitive, ossia le antiderivate, di alcune semplici funzioni.

Se f @xD è una funzione definita e continua in un certo intervallo X , l'insieme delle sue primitive si denota col simbolo:

‡ f @xD „ x,

che si dice integrale indefinito di f @xD.

Ad esempio, se f @xD = x2, una sua primitiva è x3

3; poiché la altre primitive di f @xD = x2 differiscono per una costante da x3

3,

esse sono del tipo: x3

3+ C, dove, appunto, C è un numero reale arbitrario. L'insieme di tutte le primitive di f @xD = x2 è

dunque la famiglia ad un parametro di funzioni x3

3+ C, al variare di C in . Il grafico di queste funzioni è il seguente.

x

y

Il tratto più spesso indica la funzione x3

3 (che si ottiene dalla formula x3

3+ C prendendo C = 0), le altre curve si ottengono

dando a C altri valori. Per definizione, questo insieme di funzioni si indica con il simbolo Ÿ x2 „ x, cioé si pone:

‡ x2 „ x =x3

3+ C.

Dunque, l'integrale indefinito di una certa funzione f @xD è l'insieme di tutte le primitive di quella funzione, e non bisognaconfonderlo con l'integrale definito, il cui significato geometrico è quello di un'area, cioé di un numero, e non certo di uninsieme di funzioni.

Calcolare un integrale indefinito è dunque sinonimo di trovare tutte le primitive di una data funzione, e tra pocovedremo come calcolare gli integrali indefiniti più semplici.

Osserviamo infine che, per definizione, vale la formula:

‡ f '@xD „ x = f @xD + C,

cioé, ovviamente, l'integrale indefinito di una derivata è la funzione stessa, più una costante additiva.

Carlo GrecoAppunti di Analisi Matematica I 12. Integrali indefiniti 279

Settembre 2008

1. Integrali indefiniti immediati e integrazione per decomposizioneIn questa sezione studieremo gli integrali definiti immediati, e una prima regola di integrazione indefinita che si chiamaintegrazione per decomposizione.

ü Integrali indefiniti immediatiLa tavola delle derivate delle funzioni elementari, letta in senso inverso, fornisce già una prima tavola di integraliindefiniti, che chiameremo immediati. Infatti, sapendo, ad esempio, che

D[Sin[x]] = Cos[x],

conosciamo anche tutte le primitive della funzione Cos@xD, che sono: Sin@xD + C. In altri termini, abbiamo calcolatol'integrale indefinito Ÿ Cos@xD „ x, e possiamo scrivere:

‡ Cos@xD „ x = Sin@xD + C.

In modo analogo si procede con le altre funzioni elementari, e si ha:

1L Ÿ xa „ x = 11+a

x1+a + C Hse a ∫ -1L

2L Ÿ Å1x „ x = Log@ » x »D + C

3L Ÿ ‰x „ x = ‰x + C

4L Ÿ ax „ x = ax

Log@aD + C

5L Ÿ Sin@xD „ x = -Cos@xD + C

6L Ÿ Cos@xD „ x = Sin@xD + C

7L ‡ 1

1-x2 „ x = ArcSin@xD + C

8L Ÿ 11+x2 „ x = ArcTan@xD + C

9L ‡ 1Cos@xD2 „ x = Tan@xD + C

Esempio 12.1.1

Calcolare l'integrale indefinito Ÿ x3 „ x;

Si deve utilizzare la prima formula, con a = 3:

‡ x3 „ x = Å1

4 x4 + C.

Esempio 12.1.2

Calcolare l'integrale indefinito Ÿ 1 „ x;

Anche in questo caso utilizziamo la prima formula con a = 0, dato che x0 = 1. Si ha:

‡ 1 „ x = Å1

1 x1 + C = x + C.

Si solito l'integrale Ÿ 1 „ x si scrive, più semplicemente: Ÿ „ x.

Esempio 12.1.3

Calcolare l'integrale indefinito Ÿ x „ x;

Essendo x = x1ê2, possiamo utilizzare la prima formula con a = Å12

:

‡ x „ x = ‡ x Å12 „ x =

1

1 + Å12

x1+ Å12 + C = Å

2

3 x3ê2 + C = Å

2

3 x x + C,


Settembre 2008

cioé:

‡ x „ x = Å2

3 x x + C.

Esempio 12.1.4

Calcolare l'integrale indefinito ‡ 1

x3

„ x;

Essendo 1

x3

= x-1ê3, utilizziamo la prima formula con a = - Å13

:

‡1

x3

„ x = ‡ x- Å13 „ x =

1

1 - Å13

x1- Å13 + C = Å

3

2 x Å

23 + C = Å

3

2 x23

+ C,

cioé:

‡1

x3

„ x = Å3

2 x23

+ C.

ü Integrali indefiniti immediati generalizzatiDalla regola di derivazione delle funzioni composte abbiamo che, ad esempio:

D[Sin[j[x]]] = Cos[j[x]] j'[x],

e analogamente per le altre funzioni elementari. Si ottiene così:

1L D@j@xDaD = a j@xDa-1 j '@xD2L D@Log@ » j@xD »DD = 1

j@xD j '@xD3L D@‰j@xDD = ‰j@xD j '@xD4L D@aj@xDD = aj@xD Log@aD j£@xD5L D@Sin@j@xDDD = Cos@j@xDD j '@xD6L D@Cos@j@xDDD = -Sin@j@xDD j '@xD7L D@ArcSin@j@xDDD = 1

1-j@xD2 j '@xD

8L D@ArcTan@j@xDDD = 11+j@xD2 j '@xD

9L D@Tan@j@xDDD = 1Cos@j@xDD2 j '@xD

Dalla precedente tabella, che possiamo chiamare delle derivate delle funzioni elementari generalizzate, si ottiene laseguente tavola dei cosiddetti integrali indefiniti immediati generalizzati:


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1L Ÿ j@xDa j '@xD „ x = 11+a

j@xD1+a + C Hse a ∫ -1L

2L Ÿ 1j@xD j '@xD „ x = Log@ » j@xD »D + C

3L Ÿ ‰j@xD j '@xD „ x = ‰j@xD + C

4L Ÿ aj@xD j '@xD „ x = aj@xD

Log@aD + C

5L Ÿ Sin@j@xDD j '@xD „ x = -Cos@j@xDD + C

6L Ÿ Cos@j@xDD j '@xD „ x = Sin@j@xDD + C

7L ‡ 1

1-j@xD2 j '@xD „ x = ArcSin@j@xDD + C

8L ‡ 11+j@xD2 j '@xD „ x = ArcTan@j@xDD + C

9L ‡ 1Cos@j@xDD2 j '@xD „ x = Tan@j@xDD + C

I seguenti esempi illustrano l'uso degli integrali indifiniti immediati generalizzati.Esempio 12.1.5 Vogliamo calcolare l'integrale indefinito:

‡ CosAx2E 2 x „ x.

Se poniamo j@xD = x2, possiamo utilizzare la 6) della tabella precedente, e ottenere immediatamente:

‡ CosAx2E 2 x „ x = SinAx2E + C.

Esempio 12.1.6 Calcolare:

‡ ‰Sin@xD Cos@xD „ x.

Questa volta utilizziamo la 3); si ha immediatamente:

‡ ‰Sin@xD Cos@xD „ x = ‰Sin@xD + C.


‡3 x2

1 + x6 „ x.

Possiamo scrivere:

‡3 x2

1 + x6 „ x = ·

1

1 + Ix3M2 DAx3E „ x;

utilizzando la 8) si ha immediatamente:

‡3 x2

1 + x6 „ x = ·

1

1 + Ix3M2 DAx3E „ x = ArcTanAx3E + C.



Settembre 2008

‡ Sin@xD2 Cos@xD „ x.

Si ha:

‡ Sin@xD2 Cos@xD „ x = ‡ Sin@xD2 D@Sin@xDD „ x;

utilizzando la 1) con a = 2, si ha:

‡ Sin@xD2 Cos@xD „ x = ‡ Sin@xD2 D@Sin@xDD „ x = Å1

3 Sin@xD3 + C.

ü Integrazione per decomposizioneDalla linearità della derivata si deduce immediatamente la seguente formula, che si dice di integrazione perdecomposizione:

‡ Hc1 f @xD + c2 g@xDL „ x = c1 ‡ f @xD „ x + c2 ‡ g@xD „ x.

In particolare, abbiamo le seguenti due formule:

‡ c f @xD „ x = c ‡ f @xD „ x,

‡ Hf @xD + g@xDL „ x = ‡ f @xD „ x +‡ g@xD „ x.

Cioé: una costante (rispetto ad x) può essere "portata fuori" dall'integrale, e l'integrale di una somma è uguale alla sommadegli integrali.

La formula di integrazione per decomposizione consente di aumentare di molto la portata delle formule viste sopra per gliintegrali indefiniti immediati e generalizzati, come è illustrato nel seguente esempio.Esempio 12.1.9 Vogliamo calcolare l'integrale indefinito:

‡ CosAx2E x „ x.

Un integrale simile a questo, e precisamente l'integrale Ÿ CosAx2E 2 x „ x è stato già calcolato in uno degli esempiprecedenti, servendoci della formula:

‡ Cos@j@xDD j '@xD „ x = Sin@j@xDD + C.

Infatti, nel caso dell'integrale Ÿ CosAx2E 2 x „ x, il ruolo della funzione j@xD è svolto da x2. Nel caso attuale, invece, manca,nell'integrale, la costante 2! per ovviare a questo inconveniente, ricorriamo al trucco di moltiplicare e dividere per duel'integrale, portando poi il fattore 2 sotto il segno di integrale:

‡ CosAx2E x „ x = Å1

2 2 ‡ CosAx2E x „ x = Å

1

2 ‡ CosAx2E 2 x „ x = Å

1

2 ISinAx2E + CM = Å

1

2 SinAx2E + C.

Si noti che, nell'ultimo passaggio, non abbiamo scritto ÅC2

, dato che, essendo C una costante arbitraria, scrivere ÅC2

oppure

soltanto C è del tutto indifferente. In definitiva abbiamo ottenuto:

‡ CosAx2E x „ x = Å1

2 SinAx2E + C.

Esempio 12.1.10Calcolare l'integrale indefinito:


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‡Log@xD

x+ x „ x.

Questa volta osserviamo anzitutto che:

‡Log@xD

x+ x „ x = ‡

Log@xDx

„ x +‡ x „ x

per la formula di decomposizione. Il primo dei due integrali è un integrale immediato generalizzato, infatti, ricordando cheD@Log@xDD = Å1

x, possiamo scrivere:

‡Log@xD

x „ x = ‡ Log@xD D@Log@xDD „ x;

ricordando poi che:

‡ j@xDa j '@xD „ x =1

1 + a j@xD1+a + C Hse a ∫ -1L

e quindi, in particolare:

‡ j@xD j '@xD „ x = Å1

2 j@xD2 + C,

si ha:

‡Log@xD

x „ x = ‡ Log@xD D@Log@xDD „ x = Å

1

2 Log@xD2 + C,

e così il primo dei due integrali è calcolato. Il secondo è immediato, essendo:

‡ x „ x = ‡ x Å12 „ x =

1

1 + Å12

x1+ Å12 + C = Å

2

3 x Å

3

2 + C = Å2

3 x x + C.

Pertanto l'integrale dato sarà uguale alla somma dei due risultati ottenuti, cioé:

‡Log@xD

x+ x „ x = ‡

Log@xDx

„ x +‡ x „ x = Å1

2 Log@xD2 + C + Å

2

3 x x + C = Å

1

2 Log@xD2 + Å

2

3 x x + C.

Si noti che, anche in questo caso, abbiamo scritto, nell'ultimo passaggio, C e non 2 C, sempre perché C è una costante deltutto arbitraria.

2. EserciziEsercizio 12.2.1 Calcolare i seguenti integrali indefiniti immediati:

‡ 3 „ x; ‡ x „ x; ‡ x3

„ x; ‡ x x4 „ x; ‡

1

x5

„ x; ‡1

x x „ x.

Esercizio 12.2.2 Calcolare i seguenti integrali indefiniti immediati generalizzati:

‡ Sin@xD Cos@xD „ x; ‡1

1 + Log@xD2 Å1

x „ x;

·-1

1 - Cos@xD2 Sin@xD „ x; ‡

1

1 + x

1

2 x „ x; ‡

1

Tan@xD

1

Cos@xD2 „ x.


Settembre 2008

Esercizio 12.2.3 Adoperando il metodo di decomposizione, calcolare i seguenti integrali indefiniti:

‡1 + x3

x „ x; ‡ Cos@xD35

Sin@xD „ x;

·1

1 + x

1

x34

„ x; ‡1

2 x + 1 „ x.

Esercizio 12.2.4 Adoperando il metodo di decomposizione, calcolare i seguenti integrali indefiniti:

‡x3 + 2

x - 3 „ x Hdividere il numeratore per il denominatoreL;

‡x + 1

x2 + 1 „ x; ‡

‰x

1 + ‰2 x „ x; ‡

5 ‰x

1 + ‰x „ x;

‡1

4 + x2 „ x; ‡

1 - x4 + x

1 + x2 „ x.

Esercizio 12.2.5 Calcolare i seguenti integrali indefiniti immediati.

Nuova tavola Reset

Esercizio 12.2.6 Calcolare i seguenti integrali indefiniti immediati generalizzati.

Nuova tavola Reset

Esercizio 12.2.7 Utilizzando gli integrali indefiniti immediati (anche generalizzati) e l'integrazione per decomposizione, calcolare i seguentiintegrali indefiniti.

Nuova funzione Soluzione Reset

3. Integrazione per partiConsideriamo la formula di derivazione del prodotto:

D[f[x]g[x]] = f'[x]g[x] + f[x]g'[x];

da essa si deduce che:

f[x]g'[x] = D[f[x]g[x]] - f'[x]g[x].


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Passando all'integrale indefinito, e ricordando che Ÿ D@ f @xD g@xDD „ x = f @xD g@xD + C, si ha la seguente formula, che vienedetta formula di integrazione per parti:

‡ f @xD g'@xD „ x = f @xD g@xD -‡ f '@xD g@xD „ x.

La formula di integrazione per parti consente dunque di calcolare l'integrale indefinito di una funzione che si presentacome prodotto di una funzione f @xD per una derivata g '@xD, purché si sappia calcolare l'integrale indefinito di f '@xD [email protected] molti casi questo secondo integrale è molto più semplice di quello dato, e quindi l'uso della formula risulta conveniente.

Il fattore f @xD prende il nome di fattore finito, mentre g '@xD si dice fattore differenziale. In pratica spesso convieneassumere, come fattore differenziale, quello del quale si sa calcolare facilmente una primitiva, e, come fattore finito, quellola cui derivata è più semplice, come si vede nel seguente esempio.Esempio 12.3.1 Calcolare l'integrale:

‡ x Log@xD „ x.

La funzione da integrare, cioé x Log@xD, si presenta come il prodotto delle due funzioni x e Log@xD; non possiamo utilizzarené gli integrali immediati, né quelli generalizzati. Volendo adoperare la formula di integrazione per parti, dobbiamoanzitutto decidere quale dei due fattori dobbiamo prendere come fattore finito e quale come fattore differenziale, tenendopresente che, del fattore differenziale dobbiamo essere capaci di calcolare una primitiva. Nel nostro caso, dobbiamoprendere x come fattore differenziale, dato che, al momento, non siamo in grado di calcolare una primitiva di Log@xD.

Invece una primitiva di x è, ovviamente, x2

2. Scriviamo dunque:

‡ x Log@xD „ x = ‡ Log@xD x „ x =

‡ Log@xD DBx2

2F „ x = Log@xD

x2

2-‡ D@Log@xDD

x2

2 „ x.

L'ultimo integrale si calcola immediatamente:

‡ D@Log@xDD x2

2 „ x = ‡ Å

1

x x2

2 „ x = ‡ Å

x

2 „ x = Å

1

4 x2 + C,

pertanto si ha:

‡ x Log@xD „ x = Log@xD x2

2- Å

1

4 x2 + C.

Esempio 12.3.2 Calcolare l'integrale:

‡ x Cos@xD „ x.

In questo caso possiamo assumere sia x che Cos@xD come fattori differenziali, infatti conosciamo sia una primitiva di x (e

cioé x2

2) che di Cos@xD (cioé Sin@xD). Assumiamo come fattore differenziale, ad esempio, Cos@xD. Si ha:

‡ x Cos@xD „ x = x Sin@xD -‡ D@xD Sin@xD „ x =

= x Sin@xD -‡ Sin@xD „ x = x Sin@xD + Cos@xD + C.

Dunque il risultato cercato è:


Settembre 2008

‡ x Cos@xD „ x = x Sin@xD + Cos@xD + C.

Osserviamo che, se avessimo invece assunto x come fattore differenziale, avremmo dovuto effettuare i seguenti passaggi:

‡ x Cos@xD „ x =

‡ Cos@xD x „ x = Cos@xD x2

2-‡ D@Cos@xDD

x2

2 „ x = Cos@xD

x2

2-‡ H-Sin@xDL

x2

2 „ x = Cos@xD

x2

2+ Å

1

2 ‡ Sin@xD x2 „ x.

Come si vede, l'ultimo integrale, cioé Ÿ Sin@xD x2 „ x, è più complicato di quello di partenza! Questo fatto ci obbliga ascegliere invece Cos@xD come fattore differenziale, come abbiamo fatto sopra.

Esercizio 12.3.1 Utilizzando la formula di integrazione per parti, calcolare i seguenti integrali indefiniti:

‡ x Sin@xD „ x; ‡ x ‰x „ x.

Talvolta può essere opportuno applicare la formula di integrazione per parti assumendo 1 come fattore differenziale, comesi vede nel seguente esempio.Esempio 12.3.3 Calcolare l'integrale:

‡ ArcSin@xD „ x.

Scriviamo:

‡ ArcSin@xD „ x =

‡ ArcSin@xD 1 „ x = ‡ ArcSin@xD D@xD „ x = ArcSin@xD x -‡ D@ArcSin@xDD x „ x = ArcSin@xD x -·1

1 - x2

x „ x.

Ora, l'ultimo integrale è un integrale immediato generalizzato, infatti:

·1

1 - x2

x „ x = - Å1

2 ·

1

1 - x2

H-2 xL „ x =

- Å1

2 ·

1

1 - x2

DA1 - x2E „ x = - Å1

2 ‡ I1 - x2M- Å

12 DA1 - x2E „ x = - Å

1

2

1

1 - Å12

I1 - x2M1- Å12 + C = -I1 - x2M Å

12 + C.

In definitiva:

‡ ArcSin@xD „ x = ArcSin@xD x + 1 - x2 + C.

Esercizio 12.3.2 Utilizzando la formula di integrazione per parti, calcolare i seguenti integrali indefiniti:

‡ ArcCos@xD „ x; ‡ ArcTan@xD „ x; ‡ Log@xD „ x.

Talvolta è necessario applicare più volte la formula di integrazione per parti, come nel seguente esempio.Esempio 12.3.4 Calcolare il seguente integrale:

‡ x2 ‰x „ x.


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Ovviamente conviene assumere ‰x come fattore differenziale:

‡ x2 ‰x „ x = ‡ x2 D@‰xD „ x = x2 ‰x -‡ 2 x ‰x „ x.

Come si vede, applicando una prima volta la formula di integrazione per parti, l'integrale dato si è semplificato (perché laderivata di x2 è 2 x), ma l'ultimo integrale da calcolare, cioé Ÿ 2 x ‰x „ x, non è ancora immediato.A quest'ultimo, tuttavia, è possibile applicare ancora la formula di integrazione per parti:

‡ 2 x ‰x „ x = 2 ‡ x ‰x „ x = 2 Kx ‰x -‡ ‰x „ xO = 2 Hx ‰x - ‰xL + C,

pertanto:

‡ x2 ‰x „ x = x2 ‰x - 2 Hx ‰x - ‰xL + C = ‰x Ix2 - 2 x - 1M + C.

Esercizio 12.3.3 Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

‡ I2 x3 + 1M ‰x „ x; ‡ x2 Sin@xD „ x;

‡ x3 Log@xD „ x; ‡ Log@xD2 „ x; ‡x

Cos@xD2 „ x.

Esempio 12.3.5

Applicando più volte l'integrazione per parti, è possibile calcolare integrali del tipo Ÿ xn ‰x „ x ed altri simili, come si vedenella tabella seguente.

n 1

Funzione: Exp Log Sin Cos

‡ x ‰x „ x = Hx - 1L ‰x

Esempio 12.3.6 Anche integrali di funzioni tipo ArcSin@xDn possono essere calcolati, in linea di principio, mediante successive integrazioniper parti.

n 1

Funzione: Log ArcSin ArcCos

‡ Log@xD „ x = -x + x Log@xD

4. Integrazione di alcune funzioni razionali fratteIn questa sezione vogliamo mostrare come si calcolano gli integrali del tipo:

‡P@xD

a x2 + b x + c „ x,

dove P@xD è un polinomio. Inizieremo a considerare, anzitutto, il caso in cui P@xD è una costante oppure un polinomio di


Settembre 2008

primo grado; se il grado di P@xD è maggiore o uguale a 2, si effettua la divisione dei polinomi, come vedremo in seguito.

Il metodo per il calcolo di tali integrali dipende dal segno del discriminante D del trinomio di secondo grado aldenominatore, pertanto dobbiamo distinguere diversi casi.

ü Integrali del tipo ‡ 1

a x2+b x+c‚ x, con D < 0

Gli integrali indefiniti del tipo:

‡1

a x2 + b x + c „ x, con D < 0,

si riconducono facilmente all'integrale:

‡1

x2 + 1 „ x = ArcTan@xD + C,

o, meglio, all'integrale indefinito immediato generalizzato:

‡1

j@xD2 + 1 j '@xD „ x = ArcTan@j@xDD + C.

Per fare ciò si adoperano semplici trasformazioni della funzione integranda, e, in qualche caso, si adopera il metodo delcompletamento del quadrato, che consente di scrivere il denominatore come somma di due quadrati.Esempio 12.4.1 Calcolare l'integrale:

‡1

x2 + 2 „ x.

In questo caso basta scrivere:

‡1

x2 + 2 „ x = Å

1

2 ·

1

x2

2 + 1 „ x = Å

1

2 ·

1

J x

2N2

+ 1 „ x = Å

1

2 2 ·

1

J x

2N2

+ 1

1

2 „ x =

2

2 ArcTanB

x

2F + C.


‡1

3 x2 + 4 „ x.

In questo caso l'integrale dato ha già, come denominatore, una somma di quadrati.

Per ricondurlo all'integrale ‡ 1

j@xD2+1j '@xD „ x = ArcTan@j@xDD + C, possiamo scrivere:

‡1

3 x2 + 4 „ x = ·

1

4 I Å34 x2 + 1M „ x = ·

1

4 K 32 xO

2+ 1

„ x =

= Å1

4

2

3 ·

1

K 32 xO

2+ 1

3

2 „ x =

1

2 3 ·

1

K 32 xO

2+ 1

DB3

2 xF „ x =

1

2 3 ArcTanB

3

2 xF + C.


‡1

x2 + 2 x + 2 „ x.

Il trinomio x2 + 2 x + 2 ha discriminante negativo, quindi può essere scritto come somma di due quadrati. A tale scopo


Settembre 2008

basta completare x2 + 2 x aggiungendo e togliendo 1; si ha così:

‡1

x2 + 2 x + 2 „ x = ‡

1

x2 + 2 x + 1 - 1 + 2 „ x = ‡

1

Hx + 1L2 + 1 „ x.

Quest'ultimo è un integrale immediato generalizzato del tipo ‡ 1

j@xD2+1 j '@xD „ x, che è uguale a ArcTan@j@xDD + C. Dunque:

‡1

x2 + 2 x + 2 „ x = ‡

1

Hx + 1L2 + 1 „ x = ArcTan@x + 1D + C.


‡1

4 x2 - 4 x + 4 „ x.

Anche in questo caso D < 0; usando il metodo del completamento del quadrato, scriviamo:

‡1

4 x2 - 4 x + 4 „ x = ‡

1

4 x2 - 4 x + 1 - 1 + 4 „ x = ‡

1

H2 x - 1L2 + 3 „ x.

A questo punto, sempre per ricondurci all'integrale ‡ 1

j@xD2+1j '@xD „ x = ArcTan@j@xDD + C, scriviamo:

‡1

4 x2 - 4 x + 4 „ x = ‡

1

H2 x - 1L2 + 3 „ x =

Å1

3 ·

1

H2 x-1L2

3 + 1 „ x = Å

1

3 ·

1

K 2 x-1

3O

2+ 1

„ x = Å1

3

3

2 ·

1

K 2 x-1

3O

2+ 1

2

3 „ x =

1

2 3 ArcTanB

2 x - 1

3F + C.

Esercizio 12.4.1 Calcolare i seguenti integrali:

‡1

7 + 4 x + x2 „ x; ‡

1

2 + 9 x2 „ x;

‡1

2 + x2 „ x; ‡

1

29 + 10 x + x2 „ x; ‡

1

10 + 12 x + 4 x2 „ x.

ü Integrali del tipo ‡ q+ p x

a x2+b x+c‚ x, con D < 0.

Per il calcolo di integrali di questo tipo, si ricorre al trucco di far apparire, al numeratore, la derivata del denominatore, cioé2 a x + b; l'integrale si decompone allora nella somma di un integrale immediato, che ha per risultato un logaritmo, e di unintegrale del tipo precedente.Esempio 12.4.5 Calcolare l'integrale:

‡2 x - 3

2 x2 + 1 „ x.

La derivata del denominatore è 4 x, quindi conviene scrivere:

‡2 x - 3

2 x2 + 1 „ x = Å

1

2 ‡

4 x

2 x2 + 1 „ x - 3 ‡

1

2 x2 + 1 „ x.

Il primo integrale è del tipo ‡ 1j@xD j '@xD „ x = Log@ » j@xD »D + C, e il secondo è del tipo precedente, e si riconduce

facilmente ad un arcotangente. In definitiva:


Settembre 2008

‡2 x - 3

2 x2 + 1 „ x = Å

1

2 ‡

4 x

2 x2 + 1 „ x - 3 ‡

1

2 x2 + 1 „ x = Å

1

2 LogA2 x2 + 1E - 3

ArcTanB 2 xF

2+ C.


‡4 x + 3

3 x2 - 4 x + 2 „ x.

La derivata del denominatore è 6 x - 4, quindi questa volta conviene scrivere:

‡4 x + 3

3 x2 - 4 x + 2 „ x =

Å4

6 ·

Å64 H4 x + 3L3 x2 - 4 x + 2

„ x = Å4

6 ·

6 x + Å92

3 x2 - 4 x + 2 „ x = Å

4

6 ·

6 x - 4 + 4 + Å92

3 x2 - 4 x + 2 „ x = Å

4

6 ·

6 x - 4 + 172

3 x2 - 4 x + 2 „ x.

A questo punto decomponiamo l'ultimo integrale nella somma di un integrale immediato e di uno del tipo precedente:

‡4 x + 3

3 x2 - 4 x + 2 „ x = Å

4

6 ·

6 x - 4 + 172

3 x2 - 4 x + 2 „ x = Å

4

6 ‡

6 x - 4

3 x2 - 4 x + 2 „ x + Å

4

6 17

2 ‡

1

3 x2 - 4 x + 2 „ x =

= Å4

6 LogA3 x2 - 4 x + 2E +

17

3 ArcTanB -2+3 x

2F

2+ C = Å

2

3 LogA3 x2 - 4 x + 2E +

17

3 2 ArcTanB

-2 + 3 x

2F + C.


‡x + 5

7 + 4 x + x2 „ x; ‡

2 - 3 x

2 + 9 x2 „ x; ‡

x

2 + x2 „ x;

‡x + 1

29 + 10 x + x2 „ x; ‡

4 x - 3

10 + 12 x + 4 x2 „ x.

ü Integrali del tipo ‡ p x+q

a x2+b x+c ‚ x, con D > 0.

In questo caso il denominatore può essere scritto come prodotto della costante a e di due fattori di primo grado:a x2 + b x + c = a Hx - x1L Hx - x2L, dove x1 e x2 sono le due radici reali e distinte dell'equazione a x2 + b x + c = 0. La

frazione p x+q

a x2+b x+c ammette allora una decomposizione in fratti semplici del tipo:

p x + q

a x2 + b x + c=

A

a Hx - x1L+

B

x - x2,

dove le due costanti A e B possono essere calcolate col principio di identità dei polinomi. I due integrali ‡ 1x-x1

„ x e

‡ 1x-x2

„ x possono poi essere calcolati immediatamente, e danno luogo a due logaritmi.


‡3 x + 1

x2 - x - 6 „ x.

Le radici del denominatore sono x1 = -2 e x2 = 3. Cerchiamo una decomposizione del tipo:


Settembre 2008

3 x + 1

x2 - x - 6=

A

x + 2+

B

x - 3;

a tale scopo, riduciamo il secondo membro allo stesso denominatore:

A

x + 2+

B

x - 3=

A Hx - 3L + B Hx + 2LHx + 2L Hx - 3L

=HA + BL x - 3 A + 2 B

x2 - x - 6.

Ora, affinché si abbia:

3 x + 1

x2 - x - 6=

HA + BL x - 3 A + 2 B

x2 - x - 6

dev'essere, evidentemente:

: A + B = 3-3 A + 2 B = 1

Questo sistema si risolve immediatamente, e si ottiene A = 1 e B = 2, vale a dire che si ha:

3 x + 1

x2 - x - 6=

1

x + 2+

2

x - 3.

Ma allora:

‡3 x + 1

x2 - x - 6 „ x = ‡

1

x + 2+

2

x - 3 „ x = ‡

1

x + 2 „ x +‡

2

x - 3 „ x = Log@ » x + 2 »D + 2 Log@ » x - 3 »D + C.


‡x

2 x2 - 3 x - 2 „ x.

Le radici del denominatore sono x1 = - Å12

e x2 = 2. Cerchiamo una decomposizione del tipo:

x

2 x2 - 3 x - 2=

A

2 Ix + Å12 M+

B

x - 2;

riduciamo il secondo membro allo stesso denominatore:

A

2 Ix + Å12 M+

B

x - 2=

A

2 x + 1+

B

x - 2=

A Hx - 2L + B H2 x + 1LH2 x + 1L Hx - 2L

=HA + 2 BL x - 2 A + B

2 x2 - 3 x - 2.

Ora, affinché si abbia:

x

2 x2 - 3 x - 2=

HA + 2 BL x - 2 A + B

2 x2 - 3 x - 2

dev'essere:

: A + 2 B = 1-2 A + B = 0

da cui: A = Å15

e B = Å25

, vale a dire che si ha:

x

2 x2 - 3 x - 2=

Å15

2 Ix + Å12 M+

Å25

x - 2=

1

10

1

x + Å12

+ Å2

5

1

x - 2.

Ma allora:


Settembre 2008

‡x

2 x2 - 3 x - 2 „ x =

·1

10

1

x + Å12

+ Å2

5

1

x - 2 „ x =

1

10 ·

1

x + Å12

„ x + Å2

5 ‡

2

x - 2 „ x =

1

10 LogB x + Å

1

2F + Å

2

5 Log@ » x - 2 »D + C.


‡3 - x

3 x2 + 2 x - 1 „ x; ‡

1 + x

x2 - 3 x „ x; ‡

1

x2 - x - 2 „ x;

‡3 x

6 - 5 x + x2 „ x; ‡

5 x - 2

x2 - 25 „ x; ‡

3 - 2 x

x2 - x - 2 „ x.

ü Integrali del tipo ‡ q+ p x

a x2+b x+c‚ x, con D = 0.

In questo caso l'equazione a x2 + b x + c = 0 ammette due radici reali coincidenti x1 = x2 ª x0 = - b2 a

; il denominatore è

pertanto il quadrato di un binomio: a x2 + b x + c = a Hx - x0L2, quindi:

p x + q

a x2 + b x + c=

p x + q

a Hx - x0L2.

Si cerca allora una decomposizione del tipo:

p x + q

a x2 + b x + c=

A

a Hx - x0L+

B

Hx - x0L2.


‡5 x - 2

Hx + 4L2 „ x.

Cerchiamo una decomposizione della forma:

5 x - 2

Hx + 4L2=

A

x + 4+

B

Hx + 4L2.

Si ha:

A

x + 4+

B

Hx + 4L2=

A Hx + 4L + B

Hx + 4L2=

A x + 4 A + B

Hx + 4L2,

pertanto dev'essere:

: A = 54 A + B = -2

da cui: A = 5, B = -22, cioé si ha:

5 x - 2

Hx + 4L2=

5

x + 4-

22

Hx + 4L2.

Pertanto:

‡5 x - 2

Hx + 4L2 „ x = ‡

5

x + 4-

22

Hx + 4L2 „ x = ‡

5

x + 4 „ x -‡

22

Hx + 4L2 „ x = 5 Log@ » x + 4 »D +

22

x + 4+ C.


Settembre 2008


‡3 x

4 x2 - 12 x + 9 „ x.

Il denominatore è, anche in questo caso, un quadrato perfetto: 4 x2 - 12 x + 9 = H2 x - 3L2 = 4 Ix - Å32M2

. Cerchiamo allora

una decomposizione della forma:

3 x

4 x2 - 12 x + 9=

A

4 Ix - Å32 M +

B

Ix - Å32 M2.

Si ha:

A

4 Ix - Å32 M +

B

Ix - Å32 M2=

A Ix - Å32 M + 4 B

4 Ix - Å32 M 2=

A x - Å32 A + 4 B

4 x2 - 12 x + 9,

pertanto dev'essere:

:A = 3

- Å32 A + 4 B = 0

da cui: A = 3, B = Å98

, cioé si ha:

3 x

4 x2 - 12 x + 9=

3

4 Ix - Å32 M +

Å98

Ix - Å32 M2.

Pertanto:

‡3 x

4 x2 - 12 x + 9 „ x = ·

3

4 Ix - Å32 M +

Å98

Ix - Å32 M2 „ x = Å

3

4 ·

1

x - Å32

„ x + Å9

8 ·

1

Ix - Å32 M2 „ x =

= Å3

4 LogB x - Å

3

2F + Å

9

8

-1

x - Å32

+ C = Å3

4 LogB x - Å

3

2F - Å

9

4

1

2 x - 3+ C.


‡2 - 3 x

9 + 12 x + 4 x2 „ x; ‡

-5 x

1 + 4 x + 4 x2 „ x;

‡x + 1

H2 + xL2 „ x; ‡

1 - 5 x

16 + 8 x + x2 „ x;

‡3

4 - 12 x + 9 x2 „ x; ‡

x

H1 - xL2 „ x.

ü Integrali del tipo ‡ P@xDa x2+b x +c

‚ x, con P@xD polinomio di grado maggiore o uguale a due

In questo caso ci si riconduce ai casi precedenti semplicemente effettuando la divisione dei polinomi.Esempio 12.4.11Calcolare l'integrale:

‡2 x3 - x + 1

2 x2 + 1 „ x.


Settembre 2008

Eseguendo la divisione indicata, si ha immediatamente:

2 x3 - x + 1

2 x2 + 1= x +

1 - 2 x

2 x2 + 1,

da cui:

‡2 x3 - x + 1

2 x2 + 1 „ x =

‡ x +1 - 2 x

2 x2 + 1 „ x = ‡ x „ x +‡

1 - 2 x

2 x2 + 1 „ x =

x2

2+‡

1 - 2 x

2 x2 + 1 „ x =

x2

2+

ArcTanB 2 xF

2- Å

1

2LogA1 + 2 x2E + C.


‡x4 - 3 x + 2

7 + 4 x + x2 „ x; ‡

x2 + 2 x

2 + 9 x2 „ x;

‡x2 + x

29 + 10 x + x2 „ x; ‡

x3 - 1

5 + 6 x + 2 x2 „ x;

‡1 - x2

16 + 8 x + x2 „ x; ‡

x4 + 1

4 - 12 x + 9 x2 „ x.

ü EserciziEsercizio 12.4.6 Calcolare i seguenti integrali indefiniti di funzioni razionali fratte.

Nuova tavola Reset

Esercizio 12.4.7 Calcolare i seguenti integrali indefiniti di funzioni razionali fratte.

Numeratore: Pn = 1 Pn = 1 Pn ¥ 2

Tipo: D > 0 D = 0 D < 0 Casuale

Nuova funzione Soluzione Reset

5. Integrali particolariIn questa sezione vogliamo calcolare alcuni integrali che possono presentarsi nelle applicazioni.Esempio 12.5.1 Calcolare l'integrale:

Ÿ 1Sin@xD „ x.

In questo caso conviene applicare la formula: Sin@2 aD = 2 Sin@aD Cos@aD; nel nostro caso:


Settembre 2008

Sin@xD = 2 SinA Åx2E CosA Åx

2E,

quindi:

Ÿ 1Sin@xD „ x = ‡ 1

2 SinB Åx2F CosB Å

x2F

„ x = · 1

2 TanB Åx2F CosB Å

x2F2

„ x =

=· 1

TanB Åx2F

1

CosB Åx2F2

Å12

„ x =‡ 1

TanB Åx2F

DATanA Åx2EE „ x = Log[|TanA Åx

2E|]+C

In definitiva:

Ÿ 1Sin@xD „ x = Log[|TanA Åx

2E|]+C.

Più in generale, applicando esattamente lo stesso metodo dell'esempio precedente, si verifica che:

Ÿ 1Sin@x+aD „ x = Log[|TanA x+a

2E|]+C.


Ÿ 1Cos@xD „ x.

In questo caso conviene osservare che Cos@xD = SinAx + Åp2E, e applicare la formula precedente. Dunque:

Ÿ 1Cos@xD „ x = ‡ 1

SinBx+ Åp2F

„ x = Log[|TanBx+ Å

p2

2F|]+C = Log[|TanA Åx

2+ Åp

4E|]+C.


Ÿ 11+Cos@xD „ x.

Utilizziamo le formule di bisezione: Cos@aD2 = 1+Cos@2 aD2

, pertanto 1 + Cos@aD = 2 CosA Åa2E2, quindi:

Ÿ 11+Cos@xD „ x = · 1

2 CosB Åx2F2

„ x = Ÿ DATanA Åx2EE „ x = TanA Åx

2E+C.


Ÿ 11+Sin@xD „ x.

In questo caso conviene moltiplicare numeratore e denominatore per 1 - Sin@xD; si ottiene:

11+Sin@xD = 1-Sin@xD

1-Sin@xD2 = 1-Sin@xD

Cos@xD2 = 1

Cos@xD2 - 1

Cos@xD2Sin[x];

l'integrale dato diventa quindi la differenza di un integrale immediato ed uno immediato generalizzato:

Ÿ 11+Sin@xD „ x = ‡ 1

Cos@xD2- 1

Cos@xD2 Sin@xD „ x =

‡ 1

Cos@xD2 „ x + ‡ 1

Cos@xD2 D@Cos@xDD „ x =

= Tan[x] - 1Cos@xD +C.


Settembre 2008

Esempio 12.5.5 Calcolare gli integrali:

Ÿ Sin@xD2 „ x, Ÿ Cos@xD2 „ x.

Per calcolare questi integrali conviene usare la formule di bisezione:

Ÿ Sin@xD2 „ x = Ÿ 1-Cos@2 xD2

„ x = Ÿ Å12

„ x - Å14

Ÿ 2 Cos@2 xD „ x = Å12

x - Å14

Sen@2 xD + C.

Analogamente:

Ÿ Cos@xD2 „ x = Ÿ 1+Cos@2 xD2

„ x = Ÿ Å12

„ x + Å14

Ÿ 2 Cos@2 xD „ x = Å12

x + Å14

Sen@2 xD + C.

Le formule di bisezione possono essere usate per calcolare integrali del tipo

Ÿ Sin@xDn „ x, Ÿ Cos@xDn „ x,

con n pari.

Esempio 12.5.6

Calcolare l'integrale Ÿ Sin@xD4 „ x:

Ÿ Sin@xD4 „ x = Ÿ I 1-Cos@2 xD2

M2 „ x = Ÿ I Å1

4Cos@2 xD2 - Å1

2Cos@2 xD + Å1

4M „ x

= 3 x8

- Å14

Sin@2 xD + 132

Sin@4 xD + C.

Per calcolare integrali del tipo

Ÿ Sin@xDn „ x, Ÿ Cos@xDn „ x,

con n dispari, si può procedere come segue.

Esempio 12.5.7

Calcolare l'integrale Ÿ Sin@xD3 „ x.

Si ha:

Ÿ Sin@xD3 „ x = Ÿ Sin@xD2 Sin@xD „ x = Ÿ I1 - Cos@xD2M Sin@xD „ x =

= Ÿ Sin@xD „ x + Ÿ Cos@xD2 H-Sin@xDL „ x =

= -Cos@xD + Å13

Cos@xD3 + C.

In definitiva, con i metodi illustrati, è possibile calcolare gli integrali del tipo Ÿ Sin@xDn „ x, Ÿ Cos@xDn „ x con n qualsiasi.

Funzione: Sin Cos

n

‡ sinHxL „ x = -cosHxL

Vediamo ora come calcolare gli integrali del tipo Ÿ Sin@xDp Cos@xDq „ x; consideriamo anzitutto il caso in cui uno dei dueesponenti p, q, è dispari.


Ÿ Sin@xD5 Cos@xD4 „ x.


Settembre 2008

Possiamo scrivere:

Ÿ Sin@xD5 Cos@xD4 „ x = Ÿ Sin@xD4 Sin@xD Cos@xD4 „ x = =Ÿ I1 - Cos@xD2M2 Sin@xD Cos@xD4 „ x =

=Ÿ I1 - Cos@xD2M2 Cos@xD4 Sin@xD „ x =

= Ÿ ICos@xD8 - 2 Cos@xD6 + Cos@xD4M Sin@xD „ x.

A questo punto siamo ricondotti a integrali del tipo Ÿ Cos@xDn Sin@xD „ x, che sono integrali indefiniti immediatigeneralizzati, e si calcolano immediatamente. Dunque:

-Ÿ ICos@xD8 - 2 Cos@xD6 + Cos@xD4M D@Cos@xDD „ x =

= - Å1

9 Cos@xD9 - 2 Å

1

7 Cos@xD7 + Å

1

5 Cos@xD5 + C.

Nel caso in cui entrambe gli esponenti p e q sono pari, ci si riconduce facilmente ad un integrale del tipo Ÿ Sin@xDn „ x o

Ÿ Cos@xDn „ x, che abbiamo visto prima.

Esempio 12.5.9

Calcolare l'integrale: Ÿ Sin@xD4 Cos@xD2 „ x;

Possiamo scrivere:

Ÿ Sin@xD4 Cos@xD2 „ x = Ÿ Sin@xD4 I1 - Sin@xD2M „ x =

= Ÿ ISin@xD4 - Sin@xD6M „ x =

=3 x

8- Å

1

4Sin@2 xD +

1

32Sin@4 xD -

5 x

16-

15

64Sin@2 xD +

3

64Sin@4 xD -

1

192Sin@6 xD + C =

= x16

- 164

Sin@2 xD - 164

Sin@4 xD + 1192

Sin@6 xD

Possiamo così, in linea di principio, calcolare tutti gli integrali del tipo Ÿ Sin@xDp Cos@xDq „ x.

p

q

‡ cosHxL sinHxL „ x = - Å1

2cos2HxL

6. Integrazione per sostituzioneSupponiamo di voler calcolare l'integrale indefinito di una certa funzione f @xD:

‡ f @xD „ x.

Può essere conveniente, talvolta, considerare invece dell'integrale dato, il seguente integrale indefinito:

‡ f @j@tDD j '@tD „ t;

esso si ottiene da quello dato esprimendo la variabile indipendente x come funzione di un parametro t: x = j@tD, esostituendo all'espressione „ x, l'espressione j '@tD „ t.

Il nuovo integrale, nella variabile t, può essere, con una opportuna scelta della funzione j@tD, più facile da calcolare rispetto


Settembre 2008

a quello dato. In tal caso, il risultato sarà una funzione della variabile t, che chiamiamo G@tD:

‡ f @j@tDD j '@tD „ t = G@tD + C.

E' facile verificare che, indicata con F@xD una primitiva di f @xD, le due funzioni F@j@tDD e G@tD sono entrambe primitivedella stessa funzione, infatti, applicando la formula di derivazione delle funzioni composte, si ha:

(F[j[t]])' = F'[j[t]] j'[t] = f[j[t]] j'[t] = G'[t].

Da ciò consegue che le due funzioni F@j@tDD e G@tD differiscono per una costante nell'intervallo in cui varia t, cioé:

F[j[t]] = G[t] + C.

Supponiamo ora che sia possibile esprimere viceversa t in funzione di x, invertendo la funzione x = j@tD: t = y@xD; si haallora:

F[x] = G[y[x]] + C.

Quanto esposto sopra può essere riassunto nella formula:

‡ f @xD „ x = K‡ f @j@tDD j '@tD „ tOt=y@xD

che si dice formula di integrazione per sostituzione.Esempio 12.6.1 Calcolare l'integrale:

‡1

1 + ‰x „ x.

Poniamo x = Log@tD (quindi nel nostro caso j@tD = Log@tD), nonché „ x = j '@tD „ t; essendo ‰Log@tD = t, otteniamo così ilnuovo integrale:

‡1

1 + t Å1

t „ t = ‡

1

t H1 + tL „ t.

Quest'ultimo integrale, nella variabile t, si calcola facilmente:

‡1

t H1 + tL „ t = ‡ Å

1

t-

1

1 + t „ t = Log@ » t »D - Log@ » 1 + t »D + C.

Ora, essendo x = Log@tD, si ha t = ‰x, e, sostituendo nella primitiva Log@ » t »D - Log@ » 1 + t »D + C trovata, si ha:

Log@ » t »D - Log@ » 1 + t »D + C = Log@ » ‰x »D - Log@ » 1 + ‰x »D + C.

Eliminando i valori assoluti (cosa lecita in questo caso) e ricordando le proprietà dei logaritmi, si ha:

Log@ » ‰x »D - Log@ » 1 + ‰x »D + C = x - Log@1 + ‰xD + C.

Osservazione. Gli integrali indefiniti immediati generalizzati sono un tipo di integrali che si potrebbero calcolare persostituzione, se non ne conoscessimo già il risultato. Ad esempio, l'integrale:

‡Log@xD

x „ x

è un integrale indefinito immediato generalizzato, infatti possiamo scrivere:

‡Log@xD

x „ x = ‡ Log@xD Å

1

x „ x = ‡ Log@xD D@Log@xDD „ x =

Log@xD2

2+ C.

Possiamo però calcolarlo anche, in modo del tutto naturale, per sostituzione, ponendo x = ‰t; infatti in tal caso si ha:


Settembre 2008

‡Log@xD

x „ x = ‡

LogA‰tE‰t

‰t „ t = ‡ t „ t =t2

2+ C =

Log@xD2

2+ C.

Possiamo dire, in effetti che, con gli integrali indefiniti immediati generalizzati, abbiamo anticipato il metodo diintegrazione per sostituzione ad alcuni casi particolari. Esempio 12.6.2 Calcolare l'integrale:

‡1

1 + x „ x.

Poniamo x = t2, da cui, supponendo t ¥ 0, t = x :

‡1

1 + x „ x =

x=t2‡

1

1 + t 2 t „ t = 2 ‡

t

1 + t „ t = 2 ‡ 1 -

1

1 + t „ t =

2 Ht - Log@ » 1 + t »DL + C =t= x 2 I x - LogA1 + x EM + C.


‡ 3 - x2 „ x.

Conviene porre x = 3 Sin@tD, da cui, supponendo - Åp2

§ t § Åp2

:

‡ 3 - x2 „ x =x= 3 Sin@tD

‡ 3 - 3 Sin@tD2 3 Cos@tD „ t = 3 ‡ 1 - Sin@tD2 Cos@tD „ t =

3 ‡ Cos@tD2 Cos@tD „ t = 3 ‡ Ã Cos@tD Ã Cos@tD „ t = 3 ‡ Cos@tD2 „ t.

L'ultimo integrale può essere calcolato, ad esempio, ricorrendo alla formula: Cos@tD2 = Å12

H1 + Cos@2 tDL:

3 ‡ Cos@tD2 „ t = Å3

2 ‡ H1 + Cos@2 tDL „ t = Å

3

2 t + Å

1

2Sin@2 tD + C.

In definitiva:

‡ 3 - x2 „ x =x= 3 Sin@tD

Å3

2 t + Å

1

2Sin@2 tD + C = Å

3

2 Ht + Sin@ tD Cos@tDL + C

Infine, invertendo la relazione x = 3 Sin@tD (cosa possibile se - Åp2

§ t § Åp2

), si ha: t = ArcSinB x

3F, ed osservando anche

che 3 - x2 = 3 Cos@xD, si ottiene:

‡ 3 - x2 „ x = Å3

2 ArcSinB

x

3F +

x

3

3 - x2

3+ C =

Å3

2 ArcSinB

x

3F + Å

x

3 3 - x2 + C.


Settembre 2008

Calcolare, col metodo di sostituzione, i seguenti integrali indefiniti:

·SinA x E

x „ x; ‡

x

1 + x „ x; ‡ ArcTanA x E „ x.

7. EserciziEsercizio 12.7.1 Calcolare i seguenti integrali.

Ÿ Sin@xD + 1 „ x, con - Åp2

< x < Åp2

(porre Sin@xD = t);

‡Log@Sin@xDD

Cos@xD2 „ x; Ÿ Tan@xD2 „ x;

‡ x6+2 x2-1

x4-1 „ x (porre x2 = t);

Ÿ 1Sin@xD Cos@xD „ x; ‡ Sin@2 xD

2+Sin@xD2 „ x; ‡ 1

x 1-Log@xD2 „ x;

· 3 x2+1

x3+x+13

„ x; ‡Log@xD

x „ x; ‡ 1

1+ x „ x;

Ÿ0pê4 Tan@xD3+Tan@xD

Tan@xD2+4 „ x.

8. Funzioni non integrabili elementarmenteUna funzione f @xD si dice integrabile elementarmente se le sue primitive sono esprimibili mediante una combinazione(somma, prodotto, quoziente, composta) di un numero finito di funzioni elementari.

Le funzioni elementari che conosciamo sono molto poche: polinomi e funzioni razionali fratte, l'esponenziale e illogaritmo, le funzioni trigonometriche e le loro inverse. E' evidente che esse non possono essere sufficienti ad esprimere leprimitive di tutte le funzioni che si possono incontrare nelle applicazioni.

Ad esempio, la funzione f @xD = ‰-x2, di cui rappresentiamo il grafico nella figura seguente:

-2 -1 1 2x

0.20.40.60.8

yf @xD = ‰-x2

è una tipica funzione il cui integrale

‡ ‰-x2 „ x

non può essere calcolato elementarmente, cioé non ammette primitive esprimibili tramite le funzioni elementari checonosciamo. Ciò non significa che tali primitive non esistano, infatti per il teorema sull'esistenza delle primitive per lefunzioni continue, sappiamo che la funzione:


Settembre 2008

F@xD = ‡0

x‰-x2

„ x

è senz'altro una primitiva di ‰-x2, solo che non è una funzione elementare di nostra conoscenza, né è esprimibile tramitefunzioni a noi note.

Allo scopo di ampliare le nostre possibilità di calcolare gli integrali, sono state introdotte varie funzioni speciali, che vannoad arricchire lo "zoo" di funzioni note. Una di esse è la cosiddetta funzione degli errori di Gauss, che è definita (a meno di

una costante), proprio come la primitiva di ‰-x2, e si indica con Erf @xD:

Erf @xD ª2

p ‡

0

x‰-x2

„ x;

il suo grafico è il seguente:

-2 -1 1 2x

-1.0

-0.5

0.5

yf @xD = Erf @xD

Essa consente non solo di calcolare l'integrale Ÿ ‰-x2„ x (in quanto, ovviamente: Ÿ ‰-x2

„ x = p

2 Erf @xD + C, ma anche

molti altri integrali simili. Ad esempio, consideriamo l'integrale:

‡ x2 ‰-x2 „ x;

integrando per parti si ha:

‡ x2 ‰-x2 „ x = -‡ Å

x

2 I-2 x ‰-x2M „ x = - Å

x

2 ‰-x2

-‡ Å1

2 ‰-x2

„ x = - Åx

2 ‰-x2

+ Å1

2 ‡ ‰-x2

„ x;

l'ultimo integrale non è calcolabile elementarmente, ma se ricorriamo alla funzione degli errori abbiamo:

‡ x2 ‰-x2 „ x = - Å

x

2 ‰-x2

+ Å1

2 ‡ ‰-x2

„ x = - Åx

2 ‰-x2

+ Å1

4p Erf @xD + C.

In modo analogo è possibile calcolare molti altri integrali importanti che coinvolgono, in qualche modo, la funzione ‰-x2.

La funzione degli errori è solo una delle molte funzioni speciali che sono state introdotte per il calcolo di integraliimportanti per la matematica e le sue applicazioni. Nella seguente tabella elenchiamo, a titolo esemplificativo, alcune diesse.

Nomefunzione

Definizione

SinIntegral@xD SinIntegral@xD = Ÿ0x Sin@tD

t „ t

FresnelS@xD FresnelS@xD = Ÿ0xSinA Åp2 t2E „ t

FresnelC@xD FresnelC@xD = Ÿ0xCosA Åp2 t2E „ t


Settembre 2008

13 Infinitesimi e Infiniti

1. Generalità sugli infinitesimiDiamo la seguente definizione.Definizione 13.1.1 (Funzione infinitesima)Sia X un intervallo, sia x0 œ X , e sia f : X \ 8x0< Ø , una funzione definita in X \ 8x0<. Se risulta:

limxØx0

f @xD = 0

si dice che la funzione f @xD è infinitesima in x0.

Dunque, una funzione infinitesima in x0 è semplicemente una funzione il cui limite, per x Ø x0, è uguale a zero.Naturalmente la funzione f @xD può essere o non essere definita anche nel punto x0, come mostrano i seguenti esempi.

Esempio 13.1.1 Le seguenti funzioni sono continue e si annullano nel punto x0, quindi sono infinitesime:

- la funzione Log@xD è infinitesima in x0 = 1;- la funzione Sin@xD è infinitesima in x0 = k p per ogni k œ .

Esempio 13.1.2 Le seguenti funzioni non sono definite nel punto x0, ma tendono comunque a zero per x Ø x0, e quindi sono infinitesime:

- la funzione ‰-

1

x2 è infinitesima in x0 = 0;

- la funzione 1Tan@xD è infinitesima in x0 = Åp

2.

Esempio 13.1.3 La seguente funzione è definita nel punto x0, non si annulla per x = x0, ma tende a zero per x Ø x0, e quindi è infinitesima:

f @xD = ‰-1íx2se x ∫ 0

0 se x = 0

La definizione precedente riguarda il caso in cui x0 è un numero reale. Nel caso in cui x0 = +¶ o x0 = -¶, la definizionedi funzione infinitesima si modifica leggermente come segue.Definizione 13.1.2 (Funzione infinitesima)Sia X un intervallo illimitato superiormente (risp. inferiormente) e sia f : X Ø una funzione definita in X . Se risulta:

limxØ+¶

f @xD = 0 (risp. limxØ-¶

f @xD = 0),

si dice che la funzione f @xD è infinitesima per x Ø +¶ (risp. per x Ø -¶).

Il motivo principale per cui si introduce il concetto di funzione infinitesima, consiste nella possibilità di effettuare unaspecie di confronto tra due funzioni entrambe infinitesime nello stesso punto x0.

Per tale motivo è fondamentale la seguente definizione.Definizione 13.1.3 (Confronto tra infinitesimi)Siano f @xD e g@xD due funzioni infinitesime in x0.

1°) Se risulta:limxØx0

f @xDg@xD = 0

si dice che la funzione f @xD è infinitesima per x Ø x0, di ordine superiore rispetto a [email protected]°) Se risulta:

limxØx0

À f @xDg@xD À = +¶,

si dice che la funzione f @xD è infinitesima per x Ø x0, di ordine inferiore rispetto a [email protected]°) Se risulta:

limxØx0

À f @xDg@xD À = ,

dove è un numero reale diverso da zero, si dice che la funzione f @xD è infinitesima per x Ø x0, dello stesso ordine di g@xD.

Carlo GrecoAppunti di Analisi Matematica I 13. Infinitesimi e Infiniti 303

Settembre 2008

Diamo i seguenti esempi.Esempio 13.1.4 Le funzioni Sin@xD ed x sono infinitesime dello stesso ordine per x Ø 0, infatti:

limxØ0

Sin@xDx

= 1,

quindi siamo nel 3°) caso della definizione.Esempio 13.1.5 Le funzioni Log@x + 1D ed x sono infinitesime dello stesso ordine per x Ø 0, infatti:

limxØ0

Log@x + 1Dx

= 1,

quindi siamo nel 3°) caso della definizione.Esempio 13.1.6 La funzione 1 - Cos@xD è infinitesima di ordine superiore rispetto a Sin@xD per x Ø 0, infatti:

limxØ0

1 - Cos@xDSin@xD

= limxØ0

1 - Cos@xDx2

x

Sin@xD x = 0,

quindi siamo nel 1°) caso della definizione.Esempio 13.1.7 La funzione Tan@xD2 è infinitesima di ordine inferiore rispetto a x3 per x Ø 0, infatti:

limxØ0

Tan@xD2

x3= lim

xØ0

Tan@xD2

x2Å1

x= +¶,

quindi siamo nel 2°) caso della definizione. Notiamo esplicitamente il ruolo del valore assoluto nella definizione

precedente: se non ci fosse stato, in questo caso avremmo avuto che il limite limxØ0Tan@xD2

x3 non esiste, infatti, come si vede

immediatamente:

limxØ0-

Tan@xD2

x3= -¶, lim

xØ0+

Tan@xD2

x3= +¶.

I precedenti esempi riguardavano il confronto tra funzioni infinitesime per x Ø x0, dove x0 œ . Diamo ora alcuni esempiin cui si confrontano funzioni infinitesime per x Ø +¶ o per x Ø -¶.

Esempio 13.1.8

Le funzioni 2 ArcTan@xD - p ed Å1x

sono infinitesime dello stesso ordine per x Ø +¶, infatti:

limxØ+¶

2 ArcTan@xD - p

Å1x

=H lim

xØ+¶

21+x2

- 1x2

= - limxØ+¶

2 x2

1 + x2= -2

quindi siamo nel 1°) caso della definizione.Esempio 13.1.9

La funzione ‰x è infinitesima di ordine superiore rispetto a 1

x2 per x Ø -¶, infatti:

limxØ-¶

‰x

1x2

=x=-y

limyØ+¶

‰-y

1y2

= limyØ+¶

y2

‰y=H lim

yØ+¶

2 y

‰y=H lim

yØ+¶

2

‰y= 0

quindi siamo nel 2°) caso della definizione.Esempio 13.1.10

La funzione 1Log@xD è infinitesima di ordine inferiore rispetto a Å1

x per x Ø +¶, infatti:


Settembre 2008

limxØ+¶

1Log@xD

Å1x

= limxØ+¶

x

Log@xD=H*L

limxØ+¶

x

Log@xD=H lim

xØ+¶

1

Å1x

= +¶

(nel passaggio indicato con (*) si può togliere il valore assoluto in quanto, in questo caso, per x > 1 la funzione xLog@xD è

positiva). Siamo dunque nel 3°) caso della definizione.

Terminiamo questo paragrafo introducendo un'utile notazione. Se f @xD è una funzione infinitesima di ordine superiorerispetto alla funzione g@xD per x Ø x0, si scrive:

f @xD = o@g@xDD per x Ø x0,

e si legge: f @xD è un "o piccolo" di g@xD per x Ø x0. Dunque, se f @xD = o@g@xDD per x Ø x0, ciò significa, semplicemente, che:

limxØx0

f @xDg@xD

= 0,

in accordo con la definizione precedente.

2. Infinitesimi campione e ordine di infinitesimoTra le varie funzioni infinitesime in un punto x0 œ , le più elementari sono quelle del tipo ga@xD = » x - x0 »a, dovea œ +; notiamo esplicitamente che, grazie al valore assoluto, queste funzioni sono definite in tutto , per qualsiasi valoredi a > 0. Nel seguente grafico si vede l'andamento di queste funzioni per diversi valori di a.

a=0.2a=0.4a=0.6a=0.8a=1.

a=1.2a=1.4a=1.6

x0x

y

||| a = 1~ a > 1~ a < 1

Come si vede, la funzione ga@xD ha un andamento "tipo" radice per 0 < a < 1, con un punto cuspidale in x0; per a = 1coincide con la funzione » x - x0 », e infine, per a > 1, ga@xD ha un andamento "tipo" parabola.

Se invece consideriamo il caso in cui x0 = +¶, oppure x0 = -¶, osserviamo che le più elementari funzioni infinitesime

per x Ø ≤ ¶ sono le funzioni del tipo ga@xD = 1» x »a , dove a œ +, che hanno un andamento "tipo" iperbole.

1 2 3 4 5x

1

2

3

y

||| a = 1~ a < 1~ a > 1


Settembre 2008

Tali funzioni ga@xD si dicono infinitesimi campione per x Ø x0, ed ha senso confrontare altre funzioni infinitesime in x0

con tali infinitesimi campione. A tale scopo, si da la seguente definizione.Definizione 13.2.1 (Ordine di infinitesimo 1)Sia f @xD una funzione infinitesima in x0, e sia a œ +; la funzione f @xD si dice infinitesima di ordine superiore, (risp. diordine inferiore) ad a se essa risulta infinitesima di ordine superiore (risp. di ordine inferiore) alla funzione ga @xD.La funzione f @xD si dice infinitesima di ordine a se essa risulta infinitesima dello stesso ordine di ga @xD.Esempio 13.2.1 Le funzioni Sin@xD, Tan@xD, ArcSin@xD sono tutte infinitesime di ordine 1 per x Ø 0.

La funzione Log@xD è infinitesima di ordine 1 per x Ø 1.

La funzione 1

x +1 è infinitesima di ordine Å1

2 per x Ø +¶.

La funzione 1 - Cos@xD è infinitesima di ordine 2 per x Ø 0.

Vediamo ora, su degli esempi, come possiamo calcolare l'ordine di infinitesimo di una data funzione per x Ø x0.

Esempio 13.2.2 Calcolare l'ordine di infinitesimo della funzione f @xD = ArcCos@xD per x Ø 1.

Intanto osserviamo che la funzione data è effettivamente infinitesima per x Ø 1, infatti

limxØ1

ArcCos@xD = ArcCos@1D = 0.

Ora, l'infinitesimo campione nel punto x0 = 1, è ga@xD = » x - 1 »a; dobbiamo dunque trovare un a > 0 tale che il limite:

limxØ1

ArcCos@xD» x - 1 »a

esista finito e diverso da zero. A tale scopo, per semplificare i calcoli e liberarci del valore assoluto, osserviamo anzituttoche tale limite coincide con:

limxØ1-

ArcCos@xDH1 - xLa

,

dato che la funzione ArcCos@xD è definita nell'intervallo @-1, 1D.Ora, si ha:

limxØ1-

ArcCos@xDH1 - xLa

=H lim

xØ1-

- 1

1-x2

-a H1 - xLa-1=

1

a limxØ1-

1

H1 - xLa-1

1

1 - x2

=

=1

a limxØ1-

1

H1 - xLa-1

1

1 - x 1 + x=

1

a limxØ1-

1

H1 - xLa- Å12

1

1 + x=

1

a 2 limxØ1-

1

H1 - xLa- Å12

.

Ora, fissiamo l'attenzione sull'ultimo limite ottenuto, il cui valore dipende, evidentemente, da a.

Si ha immediatamente:

limxØ1-

1

H1 - xLa- Å12

=

1 se a = 1 ê 2+¶ se a > 1 ê 2

0 se 0 < a < 1 ê 2

Pertanto, il limite limxØ1-ArcCos@xDH1-xLa è finito e diverso da zero se e solo se a = Å1

2; in tal caso, infatti, si ha:

limxØ1-

ArcCos@xDH1 - xL1ê2

=1

a 2= 2 ;


Settembre 2008

negli altri casi, cioé per a > Å12

, oppure per 0 < a < Å12

, si ha +¶, oppure 0. Dunque, la funzione ArcCos@xD è infinitesima di

ordine Å12

per x Ø 1.

Esempio 13.2.3

Calcolare l'ordine di infinitesimo della funzione f @xD = 2 ArcTanAx3E - p per x Ø +¶.

Osserviamo che anche in questo caso, la funzione data è effettivamente infinitesima per x Ø +¶, infatti:

limxØ+¶

I2 ArcTanAx3E - pM = 2 Åp

2- p = 0.

Questa volta dobbiamo considerare l'infinitesimo campione per x Ø +¶, che è ga@xD = x-a (non è necessario il valoreassoluto dato che x Ø +¶); dobbiamo dunque trovare un a > 0 tale che il limite:

limxØ+¶

2 ArcTanAx3E - p

1xa

esista finito e diverso da zero. Si ha:

limxØ+¶

2 ArcTanAx3E - p

1xa

=H 2 lim

xØ+¶

11+x6 3 x2

-a x-1-a= -

6

a limxØ+¶

1

x-1-a

x2

1 + x6= -

6

a limxØ+¶

xa+3

1 + x6.

E' ovvio, a questo punto, che, affinché l'ultimo limite esista finito e diverso da zero, dev'essere: a + 3 = 6, cioé a = 3.Dunque, la funzione data è infinitesima di ordine 3 per x Ø +¶.

Consideriamo ora la funzione f @xD = ‰x, che è infinitesima per x Ø -¶; è facile convincersi che essa è infinitesima diordine superiore ad a, per qualsiasi a > 0. Infatti, calcoliamo il limite:

limxØ-¶

‰x

1»x»a

= limxØ-¶

‰x

1H-xLa

=y=-x

limyØ+¶

‰-y

1ya

= limyØ+¶

ya

‰y= lim

yØ+¶

y

‰yêa

a

=H lim

yØ+¶

1

‰yêa Å1a

a

= 0.

In tal caso si dice che la funzione f @xD = ‰x è infinitesima di ordine infinitamente grande per x Ø -¶; si da infatti laseguente definizione.Definizione 13.2.2 (Ordine di infinitesimo 2)Sia f @xD una funzione infinitesima per x Ø x0. Se per ogni a > 0 essa è infinitesima di ordine superiore ad a , si dice chef @xD è infinitesima di ordine infinitamente grande per x Ø x0; analogamente, se per ogni a > 0 essa è infinitesima diordine inferiore ad a , si dice che f @xD è infinitesima di ordine infinitamente piccolo per x Ø x0.Esempio 13.2.4

La funzione f @xD = 1Log@xD è infinitesima per x Ø 0; facciamo vedere che essa è infinitesima di ordine infinitamente piccolo;

a tale scopo, fissiamo un a > 0, e consideriamo il limite:

limxØ0

1Log@xD

xa= lim

xØ0

x-a

Log@xD=H lim

xØ0

-a x-a-1

Å1x

= -a limxØ0

1

xa;

è chiaro che, per qualsiasi valore di a > 0, si ha sempre limxØ01

xa = +¶, pertanto per ogni a > 0, la funzione f @xD = 1Log@xD

è infinitesima di ordine inferiore ad a, dunque, secondo la definizione precedente, f @xD = 1Log@xD è infinitesima di ordine

infinitamente piccolo per x Ø 0.

Terminiamo questo paragrafo con un'ultima osservazione.


Settembre 2008

Osservazione. Se f @xD è una funzione infinitesima per x Ø x0, ma non di ordine infinitamente grande o infinitamentepiccolo, non è affatto detto che esista un a > 0 tale che f @xD sia infinitesima esattamente di ordine a per x Ø x0. Ad

esempio, consideriamo la funzione f @xD = 1x Log@xD ; essa è chiaramente infinitesima per x Ø +¶; vediamo se è possibile

calcolarne l'ordine; si ha:

limxØ+¶

1x Log@xD

1xa

= limxØ+¶

xa-1

Log@xD;

ora, se 0 < a < 1, il numeratore tende a zero e il denominatore a +¶, quindi il limite vale zero; se a = 1 il numeratore ècostante a costante valore 1 e il denominatore tende a +¶, quindi il limite vale ancora zero; infine, se a > 1, il limite sipresenta nella forma indeterminata ¶

¶, pertanto si ha:

limxØ+¶

1x Log@xD

1xa

= limxØ+¶

xa-1

Log@xD=H lim

xØ+¶

Ha - 1L xa-2

Å1x

= Ha - 1L limxØ+¶

xa-1 = +¶.

In definitiva:

limxØ+¶

1x Log@xD

1xa

= :0 se 0 < a § 1

+¶ se a > 1

Non esiste quindi nessun valore di a > 0 per il quale il limite sia finito e diverso da zero; la funzione data è infinitesima diordine superiore ad ogni 0 < a § 1, ma inferiore ad ogni a > 1.

3. Generalità sugli infinitiIniziamo col dare la definizione di funzione infinita per x Ø x0.

Definizione 13.3.1 (Funzioni infinite)Sia X un intervallo, sia x0 œ X , e sia f : X \ 8x0< Ø , una funzione definita in X \ 8x0<. Se risulta:

limxØx0

» f @xD » = +¶,

si dice che la funzione f @xD è infinita in x0.Definizione 13.3.2 (Funzioni infinite)Sia X un intervallo illimitato superiormente (risp. inferiormente) e sia f : X Ø una funzione definita in X . Se risulta:

limxØ+¶

» f @xD » = +¶, (risp. limxØ-¶

» f @xD » = +¶),

si dice che la funzione f @xD è infinita per x Ø +¶ (risp. per x Ø -¶).Esempio 13.3.1 Ad esempio, le funzioni:

Å1

x,

1

Sin@xD2, Log@xD,

sono infinite per x Ø 0, mentre le funzioni:

1

x2 - 1,

1

Log@xD2, TanB

p x

2F,

sono infinite per x Ø 1. Infine, le seguenti funzioni:

x4

x2 - 1, Log@xD, ‰x,

sono infinite per x Ø +¶ o per x Ø -¶ (o in entrambe i casi).

Si ha ancora la seguente definizione.


Settembre 2008

Definizione 13.3.3 (Confronto di infiniti)Siano f @xD e g@xD due funzioni infinite in x0.

1°) Se risulta:limxØx0

f @xDg@xD = 0,

si dice che la funzione g@xD è infinita per x Ø x0, di ordine superiore rispetto a f @xD.2°) Se risulta:

limxØx0

À f @xDg@xD À = +¶,

si dice che la funzione g@xD è infinita per x Ø x0, di ordine inferiore rispetto a f @xD.3°) Se risulta:

limxØx0

À f @xDg@xD À = ,

dove è un numero reale diverso da zero, si dice che la funzione f @xD è infinita per x Ø x0, dello stesso ordine di g@xD.

4. Infiniti campione e ordine di infinitoAnche nel caso degli infiniti, si introduce la nozione di infinito campione.

Se x0 œ , la funzione ga@xD = 1…x-x0»a , dove a è un qualsiasi numero reale maggiore di zero, si dice infinito campione in x0;

la funzione ga@xD = » x »a, sempre con a > 0, si dice infinito campione per x Ø ≤ ¶.

Grazie agli infiniti campione, è possibile introdurre la nozione di ordine di infinito.Definizione 13.4.1 (Ordine di infinito 1)Sia f @xD una funzione infinita in x0, e sia a œ +; la funzione f @xD si dice infinita di ordine superiore, (risp. di ordineinferiore) ad a se essa risulta infinita di ordine superiore (risp. di ordine inferiore) alla funzione ga @xD.La funzione f @xD si dice infinita di ordine a se essa risulta infinita dello stesso ordine di ga @xD.Esempio 13.4.1

Un polinomio di grado n è un infinito di ordine n per x Ø ≤¶; una funzione razionale fratta p@xDq@xD , dove p@xD e q@xD sono

polinomi di grado n ed m rispettivamente, con n > m, è un infinito di ordine n - m per x Ø ≤ ¶.

La funzione f @xD = x3

- x è un infinito di ordine Å12

per x Ø +¶.

La funzione Log@xD è un infinito di ordine minore di 110

per x Ø +¶, infatti, come si verifica immediatamente, si ha:

limxØ+¶

Log@xDx1ê10

=H lim

xØ+¶

Å1x

110 x

110

-1= 10 lim

xØ+¶

1

x1

10

= 0.

Diamo infine la seguente definizione.Definizione 13.4.2 (Ordine di infinito 2)Sia f @xD una funzione infinita per x Ø x0. Se per ogni a > 0 essa è infinita di ordine superiore ad a , si dice che f @xD èinfinita di ordine infinitamente grande per x Ø x0; analogamente, se per ogni a > 0 essa è infinita di ordine inferiore ada , si dice che f @xD è infinita di ordine infinitamente piccolo per x Ø x0.Esempio 13.4.2 Ad esempio, le funzioni:

‰x, 10x2-x, x ‰x,

sono infinite di ordine infinitamente grande per x Ø +¶; le funzioni:

Log[x], Log[x + 2],

sono infinite di ordine infinitamente piccolo sempre per x Ø +¶.


Settembre 2008

5. EserciziEsercizio 13.5.1 Calcolare l'ordine dei seguenti infinitesimi.

Log[1+x] per x Ø 0; Tan[ x ] per x Ø 0;

Cos@xDJx- Å

p2N per x Ø Åp

2; 1+Cos@xD

Hx-pL per x Ø p;

ArcTan@xD - Åp2

per x Ø ≤ ¶; LogBCosB x3 FF per x Ø 0;

x - ArcSin@xD per x Ø 0.

Esercizio 13.5.2 Calcolare l'ordine dei seguenti infiniti.

1ArcCos@xD per x Ø 1; LogBE x

3+ 1F per x Ø +¶.


Settembre 2008

14 Integrali impropriNel capitolo sugli integrali definiti abbiamo considerato una funzione f : @a, bD Ø , limitata, e abbiamo dato ladefinizione di integrale definito di f @xD esteso all'intervallo @a, bD. Abbiamo anche visto che non tutte le funzioni sonointegrabili (anche se lo sono certamente le funzioni continue e quelle monotone), ma, se una certa funzione f : @a, bD Ø èintegrabile, l'integrale definito

‡a

bf @xD „ x

è l'area (la misura secondo Peano-Jordan) del trapezoide T f , cioé della parte di piano compresa tra l'intervallo @a, bD ed ilgrafico di f @xD. Naturalmente, nelle ipotesi assunte in quel capitolo, tale parte di piano è limitata.

Ci proponiamo ora di considerare alcune situazioni in cui T f non è più limitato, come illustrato nella seguente figura:

x

y

In questo caso l'insieme T f non è limitato né "orizzontalmente", perché la funzione f @xD non è definita su un intervallolimitato, né "verticalmente", a causa della presenza di asintoti verticali.Ha ancora senso parlare di "area" di T f ? Ci dobbiamo aspettare che essa sia sempre infinita, dato che T f è illimitato?

Ebbene, vedremo che potremo dare ancora un significato naturale alla nozione di area anche per insiemi illimitati, e chel'area di un insieme di questo tipo non è necessariamente infinita.E' opportuno osservare che il problema che ci stiamo ponendo non ha certo solo un interesse "geometrico", ma intervienein molte applicazioni concrete della matematica; ad esempio, nella Teoria della Probabilità, si utilizza l'integrale:

1

p ‡

-¶

+¶

‰-x2 „ x = 1;

la funzione integranda rappresenta, a meno di qualche costante, la Distribuzione Normale di Gauss, rappresentata nellaseguente figura:

x

yf @xD = ‰-x2

Nei paragrafi seguenti inizieremo a considerare il caso in cui l'intervallo su cui è data la funzione è del tipo @a, +¶@, perpoi passare a funzioni definite su tutto , come quella della figura precedente, e poi a funzioni dotate di asintoti verticali.

1. Funzioni limitate, intervallo @a, +•@Per chiarire meglio il problema in questo caso, consideriamo, ad esempio, la funzione f @xD = 1

x2+1, il cui grafico è

rappresentato nella seguente figura:

Carlo GrecoAppunti di Analisi Matematica I 14. Integrali impropri 311

Settembre 2008

x

y

f @xD =1

x2 + 1

Vogliamo attribuire un significato all'integrale:

‡1

+¶

f @xD „ x,

che chiameremo in seguito integrale improprio di f @xD esteso all'intervallo @1, +¶@. A tale scopo, fissiamo un punto

c œD 1, +¶@, e consideriamo l'integrale definito Ÿ1c f @xD „ x; nel caso della funzione f @xD = 1

x2+1 sappiamo facilmente

calcolarne il valore, che è:

‡1

cf @xD „ x = ‡

1

c 1

1 + x2 „ x = ArcTan@cD - ArcTan@1D = ArcTan@cD - Å

p

4.

Tale integrale rappresenta, geometricamente, l'area della regione di piano compresa tra l'intervallo @1, cD sull'asse x, e ilgrafico di f @xD:

c1x

y

f @xD =1

1 + x2

Osserviamo ora che, passando al limite per c Ø +¶, si ha:

limcØ+¶

‡1

cf @xD „ x = lim

cØ+¶ArcTan@cD - Å

p

4= Å

p

2- Å

p

4= Å

p

4;

è pertanto naturale definire l'integrale

‡1

+¶

f @xD „ x,

come il limite, per c Ø +¶, di Ÿ1c f @xD „ x, limite che, in questo caso, vale Åp

4. Il valore dell'integrale improprio Ÿ1

+¶ f @xD „ x

può essere interpretato, dal punto di vista geometrico, come "l'area" della regione di piano illimitata compresa tral'intervallo @1, +¶@, e il grafico di f @xD. Nel caso della funzione presa in esame, tale "area" vale, appunto, Åp

4.

Osserviamo che non sempre le cose vanno come nell'esempio precedente: può capitare infatti che il limite

limcØ+¶

‡a

cf @xD „ x

sia infinito, o che non esista, nel qual caso l'integrale improprio Ÿa+¶ f @xD „ x si dice divergente o indeterminato. Inoltre,

talvolta si può desiderare di conoscere se tale limite esiste finito oppure no, senza calcolare esplicitamente l'integrale


Settembre 2008

Ÿac f @xD „ x. Di tali questioni ci occuperemo tra poco.

Ricordiamo ora che, se f : X Ø è una funzione definita in un insieme X , essa si dice limitata se esistono due costanti k1

e k2 tali che, per ogni x œ X , si abbia:

k1 § f @xD § k2;

ciò significa, geometricamente, che il grafico di f @xD è tutto compreso nella striscia orizzontale tra le due rette y = k1 ey = k2. Evidentemente la presenza di asintoti verticali, ad esempio, esclude che la funzione f @xD sia limitata.

Diamo la seguente definizione.Definizione 14.1.1 (Integrale improprio in [a, + •[)Sia f : @a, +¶@ Ø una funzione limitata, definita sull'intervallo illimitato @a, +¶@, integrabile in ogni intervallo@a, cD Õ @a, +¶@. Si dice integrale improprio di f @xD esteso all'intervallo @a, +¶@, il limite:

limcØ+¶

Ÿac f @xD „ x,

ed esso si indica col simbolo Ÿa+¶ f @xD „ x:

limcØ+¶

Ÿac f @xD „ x = Ÿa

+¶ f @xD „ x.

Se tale limite esiste finito, la funzione f @xD si dice integrabile (impropriamente) in @a, +¶@, e l'integrale improprio

Ÿa+¶ f @xD „ x si dice convergente; se invece esso è infinito o non esiste, l'integrale improprio Ÿa

+¶ f @xD „ x si dice, risp.,divergente (positivamente o negativamente) o indeterminato.Esempio 14.1.1 Dimostriamo che:

‡1

+¶ 1

x2 „ x = 1.

Infatti, consideriamo un punto c œD 1, +¶@; si ha:

‡1

c 1

x2 „ x = 1 - Å

1

c;

passando al limite in entrambe i membri:

limcØ+¶

‡1

c 1

x2 „ x = lim

cØ+¶1 - Å

1

c= 1,

cioé, appunto:

‡1

+¶ 1

x2 „ x = 1.

Dunque possiamo dire che l'integrale improprio Ÿ1+¶ 1

x2 „ x è convergente, e il suo valore è 1.

Esempio 14.1.2 Dimostriamo che:

‡1

+¶ 1

x „ x = +¶.

Infatti, consideriamo un punto c œD 1, +¶@; si ha:

‡1

c 1

x „ x = -2 + 2 c ;

passando al limite in entrambe i membri:

limcØ+¶

‡1

c 1

x „ x = lim

cØ+¶I-2 + 2 c M = +¶,

cioé, appunto:


Settembre 2008

limcØ+¶

‡1

c 1

x „ x = +¶.

In questo caso dunque l'integrale improprio Ÿ1+¶ 1

x „ x è divergente.

Esempio 14.1.3 Dimostriamo che l'integrale improprio:

‡0

+¶

Cos@xD „ x

è indeterminato. Infatti, consideriamo ancora un punto c œD 0, +¶@; si ha:

‡0

cCos@xD „ x = Sin@cD;

poiché il limite:

limcØ+¶

‡0

cCos@xD „ x = lim

cØ+¶Sin@cD

non esiste, si ha l'asserto.

Diamo ora il seguente esempio, particolarmente importante.Esempio 14.1.4

Consideriamo la famiglia di funzioni fa@xD = 1xa , con a > 0; ci chiediamo per quali valori di a tali funzioni risultano

integrabili nell'intervallo @1, +¶@. A tale scopo, fissiamo come al solito un punto c œD 1, +¶@, e calcoliamo l'integrale

definito Ÿ1c 1

xa „ x; si ha:

‡1

c 1

xa „ x =

1-a+1 Ic-a+1 - 1M se a ∫ 1

Log@cD se a = 1

Osserviamo ora che

limcØ+¶

c-a+1 =+¶ se - a + 1 > 0, cioé 0 < a < 10 se - a + 1 < 0, cioé 1 < a

pertanto:

limcØ+¶

‡1

c 1

xa „ x =

+¶ se 0 < a § 11

a-1 se a > 1

Dunque, l'integrale improprio Ÿ1+¶ 1

xa „ x è convergente se e solo se a > 1; se invece 0 < a § 1, esso è divergente.

L'esempio precedente mostra che la convergenza dell'integrale Ÿa+¶ f @xD „ x dipende dalla "velocità" con cui la funzione

f @xD tende a zero all'infinito. Preciseremo questo concetto in seguito.


Settembre 2008

a 1

c

cx

y

Ÿ1+¶ 1

x1.0 „x = + ¶

Ÿ16 1

x1.0 „x = 1.792

1

1

x1.0

Osserviamo ora che non sempre è possibile calcolare esplicitamente l'integrale Ÿac f @xD „ x; questo può accadere sia perché

la funzione f @xD può non avere primitive elementarmente calcolabili, oppure, semplicemente, perché il calcolo esplicito ètroppo complicato. Il seguente teorema ci consente talvolta di stabilire se un dato integrale improprio è convergente o no,anche in tal caso.Teorema 14.1.1 (Confronto per gli integrali impropri)Siano f @xD e g@xD due funzioni limitate, definite sull'intervallo @a, +¶@, e integrabili in ogni intervallo @a, cD Õ @a, +¶@.Supponiamo che, per ogni x œ @a, +¶@, si abbia: 0 § f @xD § [email protected], se la funzione g@xD è integrabile in @a, +¶@, anche la funzione f @xD lo è, e si ha:

Ÿa+¶ f @xD „ x § Ÿa

+¶ g@xD „ x.

Dimostrazione. Prendiamo c œD a, +¶@, e osserviamo anzitutto che, essendo 0 § f @xD, la funzione:

F@cD = ‡a

cf @xD „ x

è monotona cresente in @a, +¶@; infatti, se consideriamo c1, c2 œ @a, +¶@, con c1 < c2, si ha:

F@c2D = ‡a

c2

f @xD „ x = ‡a

c1

f @xD „ x +‡c1

c2

f @xD „ x ¥ ‡a

c1

f @xD „ x = F@c1D,

cioé:

F@c1D § F@c2D.

Per il teorema sul limite delle funzioni monotone, il limite di F@cD per c Ø +¶, esiste certamente, quindi l'integraleimproprio:

‡a

+¶

f @xD „ x

non può essere indeterminato, ma può essere solo convergente o divergente positivamente. Per completare ladimostrazione del teorema, basta ora osservare che, per ogni c œD a, +¶@, essendo f @xD § g@xD nell'intervallo @a, cD, per laprima proprietà di monotonia dell'integrale definito, si ha:

‡a

cf @xD „ x § ‡

a

cg@xD „ x.

Passando al limite in entrambe i membri, e ricordando il teorema sulla conservazione delle disuguaglianze, si ha:


Settembre 2008

‡a

+¶

f @xD „ x § ‡a

+¶

g@xD „ x,

e quindi la funzione f @xD è integrabile in @a, +¶@. àOsservazione. Osserviamo che il teorema precedente non fornisce un metodo per il calcolo dell'integrale improprio

Ÿa+¶ f @xD „ x, ma fornisce solo una "stima superiore" del suo valore, attraverso la maggiorazione Ÿa

+¶ f @xD „ x § Ÿa+¶g@xD „ x.

Osservazione. E' importante osservare che l' ipotesi 0 § f @xD § g@xD del teorema precedente può essere alquantoindebolita; è infatti sufficiente che essa sia soddisfatta almento a partire da un certo x0 œ @a, +¶@ in poi, e nonnecessariamente in tutto l'intervallo @a, +¶@.Esempio 14.1.5 Dimostrare che l'integrale improprio:

‡0

+¶ 1 + CosA x E1 + x2

„ x

è convergente, e stimarne il valore.

La funzione integranda in questo caso non è facilmente integrabile; cerchiamo di maggiorarla con una più semplice; si ha,ad esempio:

0 §1 + CosA x E

1 + x2§

2

1 + x2,

da cui, per il teorema precedente:

‡0

+¶ 1 + CosA x E1 + x2

„ x § ‡0

+¶ 2

1 + x2 „ x;

il secondo integrale improprio è facilmente calcolabile, e vale p, pertanto possiamo dire che anche l'integrale dato èconvergente, e si ha:

‡0

+¶ 1 + CosA x E1 + x2

„ x § p.

Naturalmente non abbiamo ottenuto il "vero" valore dell'integrale dato, ma solo una maggiorazione per esso. Si potrebbedimostrare che, in effetti:

‡0

+¶ 1 + CosA x E1 + x2

„ x = 2.1586 …

Dal teorema precedente scaturisce il seguente criterio di integrabilità.Teorema 14.1.2 (Criterio dell'infinitesimo per integrali impropri)Sia f : @a, +¶@ Ø una funzione limitata, positiva, e integrabile in ogni intervallo @a, cD Õ @a, +¶@. Allora:1°) se f @xD è infinitesima, per x Ø +¶, di ordine maggiore o uguale ad a , con a > 1, è anche integrabile in @a, +¶@;2°) se f @xD è infinitesima, per x Ø +¶, di ordine minore o uguale ad 1, l'integrale improprio è divergente positivamente.

Dimostrazione. Supponiamo che f @xD sia infinitesima di ordine maggiore o uguale ad un certo a œ , con a > 1; si haallora:

limxØ+¶

f @xD1xa

= ,

con = 0 oppure con œ , > 0. In entrambe i casi, fissato un ¶ > 0, per definizione di limite esiste un certox œ @a, +¶@, che possiamo supporre anche maggiore di zero, tale che, per ogni x ¥ x, si abbia:


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f @xD1xa

< + ¶,

da cui:

per ogni x ¥ x, 0 § f @xD <+ ¶

xa.

Per il teorema del confronto degli integrali impropri, ricordando che la funzione +¶

xa è integrabile se a > 1, si ha

immediatamente la prima affermazione del teorema.

Per dimostrare la seconda affermazione, supponiamo ora che f @xD sia infinitesima di ordine minore o uguale ad 1; si haallora:

limxØ+¶

f @xDÅ1x

= ,

con = +¶ oppure con œ , > 0. In entrambe i casi, fissato un numero k, con 0 < k < , per definizione di limite esisteun certo x œ @a, +¶@, con anche x > 0, tale che, per ogni x ¥ x, si abbia, questa volta:

f @xDÅ1x

> k,

cioé:

Åk

x< f @xD.

E' chiaro allora che la funzione f @xD non può essere integrabile in @a, +¶@, altrimenti, sempre per il teorema del confronto

per gli integrali impropri, tale dovrebbe essere anche la funzione Å1x

, mentre invece sappiamo che essa non è

impropriamente integrabile. Dunque Ÿa+¶ f @xD „ x = +¶, e ciò completa la dimostrazione del teorema. à

Esempio 14.1.6 Adoperando il criterio dell'infinitesimo, dire quali dei seguenti integrali impropri è convergente.

‡0

+¶ x3 + 3

5 x5 + 3 x2 + 1 „ x, ‡

0

+¶ Sin@xD + Cos@xD + 4 x

1 + x2 „ x, ‡

2

+¶ 1

Log@xD „ x, ‡

0

+¶

‰-x2 „ x.

Il primo è convergente, dato che la funzione x3+3

5 x5+3 x2+1 è infinitesima di ordine 2 all'infinito; invece la funzione

Sin@xD+Cos@xD+4 x

x2+1 è infinitesima di ordine 1, infatti:

Sin@xD+Cos@xD+4 x1+x2

Å1x

=x

1 + x2 HSin@xD + Cos@xDL +

4 x2

1 + x2Ø 4,

pertanto il corrispondente integrale improprio è divergente positivamente. La funzione 1Log@xD è infinitesima di ordine

infinitamente piccolo, quindi l'integrale improprio diverge positivamente; invece la funzione ‰-x2 è infinitesima di ordineinfinitamente grande, quindi il corrispondente integrale improprio converge.

2. Funzioni limitate, intervalli D - •, aD, e D - •, +•@Nel paragrafo precedente abbiamo considerato integrali impropri del tipo:

‡a

+¶

f @xD „ x;

con considerazioni analoghe è possibile definire la nozione di integrale improprio per funzioni definite in intervalli del tipo


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D - ¶, aD, e i teoremi visti precedentemente continuano ad essere validi anche in tale caso, con ovvie modifichenell'enunciato.Esempio 14.2.1 Calcolare il seguente integrale improprio:

‡-¶

0x2 ‰x „ x.

In questo caso utilizziamo la definizione: fissiamo c œD - ¶, 0D, e calcoliamo l'integrale definito:

‡c

0x2 ‰x „ x.

Integrando per parti, si ha:

‡ x2 ‰x „ x = x2 ‰x -‡ 2 x ‰x „ x = x2 ‰x - 2 Kx ‰x -‡ ‰x „ xO = x2 ‰x - 2 Hx ‰x - ‰xL = ‰x Ix2 - 2 x + 2M,

pertanto:

‡c

0x2 ‰x „ x = 2 - ‰c Ic2 - 2 c + 2M.

Passando al limite per c Ø -¶, si ha:

‡-¶

0x2 ‰x „ x = 2.

Vediamo ora come possiamo definire un integrale improprio esteso a tutto : a tale scopo basterà prendere un punto

qualsiasi a œ , e definire l'integrale Ÿ-¶+¶ f @xD „ x come la somma dei due integrali impropri Ÿ-¶

a f @xD „ x + Ÿa+¶ f @xD „ x,

purché non si abbia +¶ - ¶ o -¶ + ¶.

Definizione 14.2.1 (Integrale improprio in )Sia f : Ø una funzione limitata, integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato; se a œ e se i due integrali impropri:

Ÿ-¶a f @xD „ x e Ÿa

+¶ f @xD „ xnon sono uno divergente positivamente e l'altro negativamente, si dice integrale (improprio) di f @xD esteso ad , e siindica col simbolo Ÿ-¶

+¶ f @xD „ x, la somma di tali integrali, cioé si pone:

Ÿ-¶+¶ f @xD „ x = Ÿ-¶

a f @xD „ x + Ÿa+¶ f @xD „ x.

Se anche uno solo dei due integrali a secondo membro è indeterminato, si dice indeterminato anche l'integrale improprioa primo membro. Negli altri casi esso si dirà convergente, o divergente (positivamente o negativamente) a seconda chetale risulti il secondo membro.Osservazione. La definizione appena data è lecita in quanto, come si potrebbe facilmente dimostrare, essa non dipende dalpunto a œ scelto.

Esempio 14.2.2 Calcolare il seguente integrale improprio esteso ad :

‡-¶

+¶ 1

x2 - 2 x + 2 „ x.

Prendiamo un qualsiasi punto a œ , e calcoliamo, separatamente, i due integrali impropri:

‡-¶

a 1

x2 - 2 x + 2 „ x e ‡

a

+¶ 1

x2 - 2 x + 2 „ x.

A tale scopo, osserviamo che:

‡1

x2 - 2 x + 2 „ x = ‡

1

1 + Hx - 1L2 „ x = ArcTan@x - 1D + C,

pertanto:


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‡-¶

a 1

x2 - 2 x + 2 „ x = lim

cØ-¶HArcTan@a - 1D - ArcTan@c - 1DL = ArcTan@a - 1D + Å

p

2,

‡a

+¶ 1

x2 - 2 x + 2 „ x = lim

cØ+¶HArcTan@c - 1D - ArcTan@a - 1DL = Å

p

2- ArcTan@a - 1D.

Dunque:

‡-¶

+¶ 1

x2 - 2 x + 2 „ x = KArcTan@a - 1D + Å

p

2O + K Å

p

2- ArcTan@a - 1DO = p.

Grafico:

x

y

f @xD =1

x2 - 2 x + 2

3. Funzioni non limitate, intervalli D a, bD, @a, b@, o D a, b@Diamo la seguente definizione.Definizione 14.3.1 (Integrale improprio in ]a, b])Sia f :D a, bD Ø una funzione definita sull'intervallo limitato D a, bD, integrabile in ogni intervallo @c, bD Õ D a, bD. Si diceintegrale improprio di f @xD esteso all'intervallo @a, bD, il limite:

limcØa

Ÿcb f @xD „ x,

ed esso si indica ancora col simbolo Ÿab f @xD „ x:

limcØa

Ÿcb f @xD „ x = Ÿa

b f @xD „ x.

Se tale limite esiste finito, la funzione f @xD si dice integrabile (impropriamente) in @a, bD, e l'integrale improprio

Ÿab f @xD „ x si dice convergente; se invece esso è infinito o non esiste, l'integrale improprio Ÿa

b f @xD „ x si dice, risp.,divergente (positivamente o negativamente) o indeterminato.Esempio 14.3.1 Calcolare il seguente integrale improprio:

‡0

1 1

x „ x.

La funzione integranda f @xD = 1

x ha un asintoto per x Ø 0:

1x

y

f @xD =1

x


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Utilizziamo la definizione: fissiamo c œD 0, 1D, e calcoliamo l'integrale definito:

‡c

1 1

x „ x,

che rappresenta l'area della regione di piano indicata in figura:

c 1x

y

f @xD =1

x

L'integrale sull'intervallo @c, 1D si calcola immediatamente:

‡c

1 1

x „ x = 2 - 2 c

pertanto, passando al limite per c Ø 0, si ha:

limcØ0

‡c

1 1

x „ x = lim

cØ0I2 - 2 c M = 2,

cioé:

‡0

1 1

x „ x = 2.

In questo caso l'integrale improprio considerato è convergente.Esempio 14.3.2

Generalizziamo ora quanto visto nell'esempio precedente al caso delle funzioni del tipo 1xa , con 0 < a; esse, considerate in

un intervallo del tipo D 0, aD, hanno tutte un asintoto verticale per x Ø 0. Procedendo come nell'esempio precedente,prendiamo c œD 0, aD; poiché:

‡1

xa „ x =

11-a

x1-a se a ∫ 1

Log@xD se a = 1

si ha:

‡c

a 1

xa „ x =

11-a

Ia1-a - c1-aM se a ∫ 1

Log@aD - Log@cD se a = 1

Ora, ricordiamo che:

limcØ0

c1-a =+¶ se 1 - a < 0, cioé se a > 10 se 1 - a > 0, cioé se a < 1

Si ha pertanto:

limcØ0

‡c

a 1

xa „ x =

+¶ se a ¥ 11

1-a a1-a se 0 < a < 1

Dunque, l'integrale improprio considerato diverge se a ¥ 1 (quindi la funzione integranda è infinita di ordine maggiore o


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uguale ad 1), converge invece se 0 < a < 1 (la funzione integranda è un infinito di ordine minore di 1).

a 0.5

c

x

y

Ÿ01 1

x0.5 „x = 2.

Ÿ0.51 1

x0.5 „x = 0.585786

1c

1

x0.5

Anche per gli integrali impropri considerati in questo paragrafo vale un teorema del confronto e un criterio dell'infinito.Teorema 14.3.1 (Criterio di confronto per gli integrali impropri)Siano f @xD e g@xD due funzioni, definite sull'intervallo limitato D a, bD, e integrabili in ogni intervallo @c, bD Õ D a, bD.Supponiamo che, per ogni x œ D a, bD, si abbia: 0 § f @xD § [email protected], se la funzione g@xD è integrabile in @a, bD, anche la funzione f @xD lo è, e si ha:


bg@xD „ x.

Osservazione. Anche per questo teorema è sufficiente che l'ipotesi 0 § f @xD § g@xD sia soddisfatta solo in un intervallo deltipo D a, b0@ (cioé solo in un intorno destro di a), invece che in tutto l'intervallo.

Teorema 14.3.2 (Criterio dell'infinito per gli integrali impropri)Sia f :D a, bD Ø una funzione limitata, positiva, e integrabile in ogni intervallo @c, bD Õ D a, bD. Allora:1°) se f @xD è infinita, per x Ø a, di ordine minore o uguale ad a , con a < 1, è anche integrabile in @a, bD;2°) se f @xD è infinita, per x Ø a, di ordine maggiore o uguale ad 1, l'integrale improprio è divergente positivamente.Esempio 14.3.3 Applicando il criterio dell'infinito, stabilire quali dei seguenti integrali impropri è convergente.

‡1

10 1

Log@xD „ x; ‡

1

10 x2 + 2

x - 14

„ x; ‡0

1H-Log@xDL „ x;

La funzione 1Log@xD è infinita di ordine 1 per x Ø 1, pertanto il corrispondente integrale improprio diverge positivamente.

Invece, la funzione x2+2

x-14 è infinita di ordine Å1

4, e l'integrale converge. Infine, la funzione Log@xD è infinita di ordine

infinitamente piccolo per x Ø 0, quindi l'integrale improprio considerato converge (in quest'ultimo caso, in effetti, sarebbefacile calcolarne anche il valore).

Osserviamo infine che, con considerazioni analoghe a quelle sviluppate nei casi precedenti, è facile definire la nozione diintegrale improprio anche nel caso di funzioni definite su intervalli semiaperti del tipo @a, b@, così come anche su intervalliaperti del tipo D a, b@. In quest'ultimo caso, si considera un qualsiasi punto c œD a, b@, e si considerano i due integraliimpropri:

‡a

cf @xD „ x, e ‡

c

bf @xD „ x.

Se essi non sono uno divergente positivamente e l'altro negativamente, si porrà, per definizione:


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‡a

bf @xD „ x = ‡

a

cf @xD „ x +‡

c

bf @xD „ x.

4. EserciziEsercizio 14.4.1 Adoperando la definizione, calcolare seguenti integrali impropri.

Ÿ0+¶ 1

1+x2 „ x; Ÿ-¶+¶ 1

1+x2 „ x; Ÿ0+¶ 1

1+x „ x; Ÿ0

+¶ x1+x

„ x;

Ÿ01 1

x2 „ x; Ÿ01 Å1

x „ x; Ÿ0

1 1

x „ x;

Ÿ12 1

2-x „ x; Ÿ0

2 1

4-x2 „ x; Ÿ0

9 1

Hx-1L23

„ x;

Ÿ0+¶ 1

x Log@xD2 „ x; Ÿ0

+¶x ‰- 1+x2 „ x (porre 1 + x2 = t);

Ÿ1+¶ ‰x-1

‰2 x-‰-x „ x; Ÿ-¶+¶ ‰x

‰2 x+1 „ x; Ÿ-¶

+¶ 1

x2-2 x+10 „ x;

Esercizio 14.4.2 Adoperando il criterio di confronto, studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri.

Ÿ0+¶‰x2

„ x = +¶; Ÿ-10 - ‰x

x3

„ x; Ÿ-¶0 ‰x CosAx2E2 „ x;

Ÿ13 1

Hx-1L2 3-x „ x

Esercizio 14.4.3 Adoperando il criterio dell'infinitesimo o dell'infinito, studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri.

Ÿ1+¶ x-1

x3+x+5 „ x; Ÿ0

1 x

Hx-1L2 „ x; Ÿ0

+¶x3 ‰- x „ x; Ÿ0pê4 1

Tan@xD „ x;

Ÿpê2p 1

Sin@xD „ x; Ÿ01 1

‰x-1 „ x; Ÿ1

2 1

Log@xD3 „ x;

Ÿ1+¶ Sin@xD2

x2 „ x; Ÿ0+¶ Cos@xD2

x3+1 „ x; Ÿ0

1 1ArcSin@xD „ x; Ÿ0

1 1x Log@xD „ x;

Ÿ0+¶ ArcTan@xD

1+x x + x „ x.


Settembre 2008

15 La formula di TaylorIn questo capitolo vedremo come è possibile approssimare una funzione f @xD nelle vicinanze di un punto x0 mediantepolinomi, che vengono detti polinomi di Taylor, generalizzando così quanto si è già visto a proposito della retta tangente inP0 = Hx0, f @x0DL.

1. I polinomi di Taylor e la formula di Taylor col resto di PeanoUna funzione derivabile nel punto x0 può essere approssimata in un intorno di tale punto mediante la retta tangente diequazione p1@xD = f '@x0D Hx - x0L + f @x0D. Il grafico di tale retta, che passa per il punto P0 = Hx0, f @x0DL, è infatti quasiidentico a quello di f @xD in un piccolo intorno di x0.

Ad esempio, la tangente al grafico di Log@xD nel punto x0 = 1 è y = x - 1, pertanto Log@xD º x - 1 se x º 1. Si ottiene così[email protected] º 0.05, il che costituisce un'ottima approssimazione, dato che il "vero" valore di [email protected] è 0.0488 ...

Dato il grande interesse pratico di questo tipo di approssimazioni, è naturale cercare di ottenerne di più soddisfacenticonsiderando, ad esempio, parabole passanti per P0 invece che rette. L'equazione di una generica parabola passante perP0 = Hx0, f @x0DL è:

p2@xD = a Hx - x0L2 + b Hx - x0L + f @x0D.

Infatti, p2@xD è un polinomio di secondo grado in x (almeno se il coefficiente a ∫ 0), e passa per P0 dato che p2@x0D = f @x0D.Nella seguente figura sono mostrate alcune di tali parabole, per vari valori dei coefficienti a e b.

a 1

b 1

Tangente Parabola

Parametri Reset

x0x

f @x0D

y

P0

p2@xD = aHx-x0L2+bHx-x0L+f @x0D

Al fine di ottenere una parabola p2@xD che approssimi ragionevolmente f @xD nelle vicinanze di P0, è naturale imporre che:

1°) p2 '@x0D = f '@x0D, cioé che sia la funzione f che la parabola p2@xD abbiano la stessa tangente in P0;

2°) p2 ''@x0D = f ''@x0D, cioé che la funzione f e la parabola p2@xD abbiano la stessa convessità o concavità in P0.

Poiché si ha:

p2 '@xD = 2 a Hx - x0L + bp2 ''@xD = 2 a,

le condizioni precedenti si traducono nel sistema:

Carlo GrecoAppunti di Analisi Matematica I 15. La formula di Taylor 323

Settembre 2008

;p2 '@x0D = b = f '@x0Dp2 ''@x0D = 2 a = f ''@x0D

che fornisce i seguenti valori per i coefficienti a e b:

b = f '@x0D

a =f ''Ax0E

2

Pertanto la parabola p2@xD = Å12

f ££@x0D Hx - x0L2 + f £@x0D Hx - x0L + f @x0D non solo passa per il punto P0, ma ha anche le

prime due derivate coincidenti con quelle di f in x0. Nella seguente figura è mostrato, oltre al grafico di f @xD, quello della

retta tangente p1@xD, e della parabola p2@xD = Å12

f ££@x0D Hx - x0L2 + f £@x0D Hx - x0L + f @x0D.

x0x

f @x0D

y

P0

p1@xD

p2@xD

Come si può vedere, l'approssimazione ottenuta mediante la parabola p2@xD è sensibilmente migliore di quella ottenuta conla retta tangente. Si capisce, a questo punto, che il passo successivo consiste nel considerare una generica cubica passanteper P0, la cui equazione è:

p3@xD = a Hx - x0L3 + b Hx - x0L2 + c Hx - x0L + f @x0D,

e nel determinare i coefficienti a, b e c in modo che:

p3 '@x0D = f '@x0Dp3 ''@x0D = f ''@x0Dp3 '''@x0D = f '''@x0D

Essendo:

p3 '@x0D = 3 a Hx - x0L2 + 2 b Hx - x0L + cp3 ''@x0D = 3 ÿ 2 a Hx - x0L + 2 bp3 '''@x0D = 3 ÿ 2 a

si ottiene facilmente:

c = f '@x0D

b =f ''Ax0E

2

a =f '''Ax0E

3!

e quindi la cubica cercata è:

p3@xD =f '''@x0D

3! Hx - x0L3 +

f ''@x0D2

Hx - x0L2 + f '@x0D Hx - x0L + f @x0D.

Nella figura seguente si vede il grafico di f @xD (linea spessa), quello di p1@xD (retta tangente) e quelli di p2@xD e p3@xD (risp.una parabola e una cubica).


Settembre 2008

x0x

f @x0D

y

P0

p1@xD

p2@xDp3@xD

Le precedenti considerazioni inducono a dare la seguente definizione. Definizione 15.1.1 (Polinomio di Taylor)Sia X un intervallo di , sia x0 œ X, e sia f : X Ø una funzione derivabile n volte in x0. Si dice polinomio di Taylor diordine n, relativo alla funzione f @xD, di punto iniziale x0, il polinomio:

pn@xD = ⁄k=0

n f HkLAx0Ek!

Hx - x0Lk.

Osservazione. Il grado di pn@xD è sempre minore o uguale ad n; è esattamente n se f HnL@x0D ∫ 0.

Osservazione. Si ha, evidentemente:

pn@xD = pn-1@xD +f HnL@x0D

n! Hx - x0Ln,

cioé ogni polinomio di Taylor di ordine n si ottiene dal precedente aggiungendo il termine f HnLAx0E

n! Hx - x0Ln.

Osservazione. Si ha immediatamente, per costruzione: pn@x0D = f @x0D.

n 3

p3@xD = f @x0D + f '@x0DHx-x0L +f H2L@x0D

2Hx-x0L2 +

f H3L@x0D6

Hx-x0L3

Vale il seguente teorema, che considera il caso particolare in cui la funzione f @xD è, essa stessa, un polinomio.

Teorema 15.1.1 (Formula di Taylor per i polinomi)Sia f @xD un polinomio di grado n; allora, se x0 œ , il polinomio di Taylor di ordine n relativo ad f @xD, di punto inizialex0, coincide con f @xD.Dunque, se la funzione f @xD è, in particolare, un polinomio di grado n, allora pn@xD = f @xD, come si vede nel seguenteesempio.Esempio 15.1.1 Sia f @xD = 2 x3 - x2 + 2 x - 1; scrivere il polinomio di Taylor di ordine 3 relativo ad f @xD, di punto iniziale x0 = 1.

Dobbiamo calcolare, anzitutto, il valore della funzione e quello delle sue prime tre derivate nel punto x0 = 1. Si ha:

f H0L@x0D = 2 f H1L@x0D = 6 f H2L@x0D = 10 f H3L@x0D = 12

quindi:

p3@xD =12

3! Hx - 1L3 +

10

2! Hx - 1L2 +

6

1! Hx - 1L + 2 = 2 Hx - 1L3 + 5 Hx - 1L2 + 6 Hx - 1L + 2

Ciò che abbiamo ottenuto, cioé p3@xD = 2 Hx - 1L3 + 5 Hx - 1L2 + 6 Hx - 1L + 2, non è altro che un modo diverso di scrivere ilpolinomio f @xD; infatti, sviluppando i calcoli, si vede subito che 2 Hx - 1L3 + 5 Hx - 1L2 + 6 Hx - 1L + 2 = 2 x3 - x2 + 2 x - 1.Osserviamo esplicitamente che, avendo calcolato p3@xD, abbiamo calcolato anche i polinomi pn con n < 3, infatti:

p1@xD = 6 Hx - 1L + 2


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p2@xD = 5 Hx - 1L2 + 6 Hx - 1L + 2p3@xD = 2 Hx - 1L3 + 5 Hx - 1L2 + 6 Hx - 1L + 2.

Osserviamo anche che, essendo f '''@xD = 12, f HkL@xD = 0 per ogni k > 3. In altri termini, la derivata terza di f @xD è costante,e quindi tutte le sue derivate successive sono nulle. Di conseguenza, i polinomi di Taylor pn@xD, con n > 3, coincidono tutticon [email protected] previsto dal teorema precedente, la stessa circostanza si verifica per qualsiasi polinomio, come si può vederenell'animazione che segue.

x2 + 3 x - 5

x0 = 1

p@xD = x2 + 3 x - 5p0@xD = -1p0@xD = -1

n 0

Naturalmente, se f @xD non è un polinomio, nessun polinomio di Taylor pn@xD potrà essere uguale a f @xD. Posto allora:

rn@xD = f @xD - pn@xD,

si può scrivere:

f @xD = pn@xD + rn@xD.

La formula precedente rappresenta una decomposizione della funzione f @xD nella somma del polinomio di Taylor di ordinen e di un "resto" rn@xD, che rappresenta, ovviamente, l'errore che si commette approssimando la funzione data con [email protected] decomposizione f @xD = pn@xD + rn@xD viene chiamata formula di Taylor di ordine n, e rn@xD si dice, appunto, reston-esimo della formula di Taylor.

Nel caso in cui x0 = 0, la formula di Taylor viene talvolta chiamata formula di McLaurin.

Il seguente teorema precisa in che senso il polinomio pn@xD approssima "bene" la funzione f @xD nelle vicinanze del puntox0.

Teorema 15.1.2 (Resto n-esimo della formula di Taylor)Sia X un intervallo di , x0 œ X , e sia f : X Ø una funzione derivabile n volte in x0. Si ha allora:

limxØx0

f @xD- pn@xDIx-x0Mn = 0,

dove pn@xD è il polinomio di Taylor di ordine n relativo alla funzione f @xD, di punto iniziale x0.

Dimostrazione. Poiché pn@x0D = f @x0D, il limite:

limxØx0

f @xD - pn@xDHx - x0Ln

si presenta nella forma indeterminata Å00

. Per dimostrare che tale limite è uguale a zero, applichiamo n - 1 volte la regola

dell'Hôpital:

limxØx0


= limxØx0

f Hn-1L@xD - pnHn-1L@xD

DHn-1L@Hx - x0LnD.

Ora, osserviamo che, ovviamente:

DHn-1L@Hx - x0LnD = n! Hx - x0L.


Settembre 2008

Inoltre, essendo pn@xD un polinomio di grado n, si ha:

pnHn-1L@xD = n!

f HnL@x0Dn!

Hx - x0L + Hn - 1L! f Hn-1L@x0DHn - 1L!

= f HnL@x0D Hx - x0L + f Hn-1L@x0D.

In definitiva, applicando n - 1 volte la regola dell'Hôpital, si ottiene:

limxØx0


=

limxØx0

f Hn-1L@xD - pnHn-1L@xD

DHn-1L@Hx - x0LnD= lim

xØx0

f Hn-1L@xD - f HnL@x0D Hx - x0L - f Hn-1L@x0Dn! Hx - x0L

=1

n! limxØx0

f Hn-1L@xD - f Hn-1L@x0Dx - x0

- f HnL@x0D =H*L

0.

L'ultima uguaglianza, indicata con H*L, è dovuta al fatto che, essendo la funzione f @xD derivabile n volte nel punto x0, si ha,ovviamente:

limxØx0

f Hn-1L@xD - f Hn-1L@x0Dx - x0

= f HnL@x0D,

e pertanto il teorema è dimostrato. à

Dunque il teorema precedente afferma che il resto n-esimo rn@xD non solo tende a zero per x Ø x0, ma è addiritturainfinitesimo di ordine superiore a Hx - x0Ln per x Ø x0. Possiamo pertanto scrivere:

f @xD = pn@xD + o@Hx - x0LnD.

Osservazione. Nelle ipotesi del teorema precedente, possiamo considerare la funzione w : X Ø così definita:

w@xD =

f @xD-pn@xDIx-x0Mn

se x ∫ x0

0 se x = x0

Tale funzione è ovviamente continua in tutto X , compreso il punto x0 proprio grazie al teorema precedente, e risulta:

w@xD Hx - x0Ln = rn@xD in X,

infatti, se x ∫ x0, ciò è vero perché w@xD =f @xD- pn@xDIx-x0Mn ; se invece x = x0, si ha w@x0D = 0 = rn@x0D.

Dunque, come ovvio corollario del teorema precedente, si ha quanto segue.Teorema 15.1.3 (Formula di Taylor con il resto di Peano)Sia X un intervallo di , x0 œ X , e sia f : X Ø una funzione derivabile n volte in x0. Esiste allora una funzionecontinua w : X Ø , con w@x0D = 0, tale che:

f @xD = pn@xD + w@xD Hx - x0Ln,dove pn@xD è il polinomio di Taylor di ordine n relativo alla funzione f @xD, di punto iniziale x0.

In altri termini, il teorema precedente afferma che il resto n -esimo rn@xD della formula di Taylor può essere scritto nellaforma rn@xD = w@xD Hx - x0Ln, che viene appunto detta "di Peano".

2. EserciziEsercizio 15.2.1 (Polinomi)Dato il polinomio f @xD = x3 - 3 x2 + 2, scrivere i polinomi di Taylor di ordine 3 relativi ad f @xD, di punti iniziali,rispettivamente, x0 = -1 e x0 = 2, e controllare che entrambe coincidono con la funzione data.

Esercizio 15.2.2 Scrivere i primi tre addendi non nulli dei polinomi di Taylor di punto iniziale x0, relativi alle seguenti funzioni.

f @xD = ArcTan@xD, con x0 = 0;

f @xD = Log@xD, con x0 = 1;

f @xD = x Cos@xD, con x0 = 0.


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(Formula di Taylor)Data la funzione f @xD = ArcTan@xD, scriverne il polinomio di Taylor p3@xD di punto iniziale x0 = 0. Tracciare inoltre ilgrafico di f @xD insieme con quelli di p1@xD, p2@xD e [email protected] 15.2.4 (Resto)

Sia f @xD = 11-x

; scrivere il polinomio di Taylor p3@xD di punto iniziale x0 = 0, e verificare, mediante il calcolo diretto, che:

limxØx0

f @xD - p3@xDHx - x0L3

= 0.

Esercizio 15.2.5 (Resto)Giustificare la seguente formula:

‰x = 1 + x +x2

2+

x3

6+ oAx3E.

Esercizio 15.2.6 (Sin@xD e Cos@xD)Scrivere il polinomio di Taylor p5@xD di punto iniziale x0 = 0, relativo alla funzione f @xD = Sin@xD e alla funzioneg@xD = Cos@xD.

3. Il test della derivata n-esima per i punti di minimo, massimo e flessoTra le varie applicazioni della formula di Taylor col resto di Peano, vista nei paragrafi precedenti, vi è un teorema cheriguarda la possibilità di studiare i punti di massimo, di minimo o di flesso di una funzione f @xD, calcolando le derivatesuccessive di f @xD in tali punti. Si ha infatti il seguente teorema.

Teorema 15.3.1 (Test della derivata n-esima)Sia X un intervallo di , x0 un punto interno ad X , e sia f : X Ø una funzione derivabile n volte in x0. Supponiamo chesi abbia:f ''@x0D = ∫ = f Hn-1L@x0D = 0, e f HnL@x0D ∫ 0.Si ha allora che, se n è pari, f @xD è convessa o concava in x0 a seconda che sia f HnL@x0D > 0, oppure f HnL@x0D < 0; seinvece n è dispari, il punto x0 è di flesso.In particolare, se anche f '@x0D = 0, se n è pari, f @xD ha un punto di minimo o di massimo relativo proprio in x0 a secondache sia f HnL@x0D > 0, oppure f HnL@x0D < 0; se invece n è dispari, il punto x0 è di flesso a tangente orizzontale.

Dimostrazione. Poiché f @xD è derivabile n volte in x0, per la formula di Taylor col resto di Peano, si ha:

f @xD = pn@xD + w@xD Hx - x0Ln,

dove pn@xD è il polinomio di Taylor relativo alla funzione f @xD, di punto iniziale x0, e w@xD è una funzione continua che siannulla in x0. Ciò premesso, passiamo alla dimostrazione del teorema. Supponiamo dunque che si abbia:

f ''@x0D = ∫ = f Hn-1L@x0D = 0, e f HnL@x0D ∫ 0.

Dunque tutte le derivate della funzione, a partire dalla seconda, fino a quella di ordine n - 1, si annullano nel punto x0,mentre f HnL@x0D ∫ 0. In tal caso il polinomio pn@xD si riduce ad essere:

f @xD = f @x0D + f '@x0D Hx - x0L +f HnL@x0D

n! Hx - x0Ln,

pertanto si ha:

f @xD = f @x0D + f '@x0D Hx - x0L +f HnL@x0D

n! Hx - x0Ln + w@xD Hx - x0Ln,

da cui:

f @xD - Hf '@x0D Hx - x0L + f @x0DL =f HnL@x0D

n!+ w@xD Hx - x0Ln.

Osserviamo che la funzione tra parentesi nel primo membro, cioé y = f '@x0D Hx - x0L + f @x0D, non è altro che la tangente al


Settembre 2008

grafico di f @xD nel punto di ascissa x0. Supponiamo ora, ad esempio, che n sia pari e che f HnL@x0D > 0; essendo w@x0D = 0,per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno I di x0, tale che, per ogni x œ I › X , si abbia:

f HnL@x0Dn!

+ w@xD > 0.

Pertanto, essendo n pari, si ha, sempre per ogni x œ I › X :

f @xD - Hf '@x0D Hx - x0L + f @x0DL =f HnL@x0D

n!+ w@xD Hx - x0Ln : > 0 se x ∫ 0

= 0 se x = 0

Dunque, per ogni x œ I › X \ 8x0<, si ha:

f @xD > f '@x0D Hx - x0L + f @x0D,

e ciò dimostra che f @xD è convessa nel punto x0. In modo analogo si dimostrano le altre affermazioni del teorema. à

Dal teorema precedente discende immediatamente il seguente corollario.Teorema 15.3.2 (Minimi, massimi, flessi)Sia X un intervallo di , x0 un punto interno ad X , e sia f : X Ø una funzione derivabile 3 volte in x0. Supponiamo chesi abbia:

f '@x0D = 0, e f ''@x0D ∫ 0.Si ha allora che il punto x0 è di minimo o di massimo relativo proprio a seconda che sia f ''@x0D > 0, oppure f ''@x0D < 0.Se invece:

f ''@x0D = 0, e f '''@x0D ∫ 0,il punto x0 è di flesso.Esempio 15.3.1

Consideriamo la funzione f @xD = x4

4+ CosAx2E.

Calcoliamo la derivata prima:

f '@xD = x3 - SinAx2E 2 x = x Ix2 - 2 SinAx2EM.

E' immediato osservare che f '@0D = 0, mentre non è altrettanto semplice determinare la natura di questo punto critico

attraverso lo studio del segno della derivata prima; infatti lo studio del segno del fattore x2 - 2 SinAx2E comporta larisoluzione di una disequazione trascendente.

Per studiare la natura del punto x = 0 calcoliamo le derivate seconda, terza e quarta in tale punto. Si ha:

f ''@xD = x2 + x I2 x - 4 x CosAx2EM - 2 SinAx2E;f '''@xD = 4 x - 8 x CosAx2E + x I2 - 4 CosAx2E + 8 x2 SinAx2EM;

f H4L@xD = 6 - 12 CosAx2E + 24 x2 SinAx2E + x I16 x3 CosAx2E + 24 x SinAx2EM

Pertanto:

f ''@0D = 0, f '''@0D = 0, f H4L@0D = -6.

Dunque, essendo n pari, e f H4L@0D < 0, l'origine è un punto di massimo relativo proprio per f @xD.

4. La formula di Taylor con il resto di LagrangeNelle sezioni precedenti abbiamo visto che, sotto opportune ipotesi, si ha la possibilità di "decomporre" una funzione f @xDnella somma del polinomio di Taylor pn@xD e di un "resto" che tende a zero velocemente, tanto più quanto più è grande n.Ciò fornisce la possibilità di approssimare f @xD col polinomio pn@xD nelle vicinanze del punto x0; tuttavia, affinché taleapprossimazione sia utile, è necessario saper stimare l'errore che si commette in tale approssimazione. Per questo motivodiamo un'altra versione della formula di Taylor, detta formula di Taylor col resto di Lagrange, utile a tale scopo.Teorema 15.4.1 (Formula di Taylor con il resto di Lagrange)Sia X un intervallo di , x0 œ X, e sia f : X Ø una funzione di classe CHn+1LHX L, cioé derivabile n + 1 volte in X , conderivata f Hn+1L@xD continua. Per ogni x œ X , con x ∫ x0, esiste un opportuno punto c, appartenente all'internodell'intervallo di estremi x0 ed x, tale che:


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f @xD = pn@xD +f Hn+1L@cDHn+1L! Hx - x0Ln+1,

dove pn@xD è il polinomio di Taylor di ordine n relativo alla funzione f @xD, di punto iniziale x0.

Il teorema precedente afferma dunque che l'errore che si commette approssimando f @xD con pn@xD, è uguale al resto diLagrange:

f Hn+1L@cDHn + 1L!

Hx - x0Ln+1.

In tale espressione compare la quantità Hx - x0Ln+1 che è nota (perché sono dati x0, x ed n), e compare la quantità f Hn+1L@cD,cioé la derivata di ordine n + 1 di f @xD calcolata in un opportuno punto c intermedio tra x0 ed x. Quest'ultimo punto c non ènoto, tuttavia in molti casi è possibile stimare ugualmente f Hn+1L@cD, come si vede negli esempi seguenti.

Esempio 15.4.1 Vogliamo utilizzare la formula di Taylor col resto di Lagrange per calcolare il valore della costante numerica ‰, cioé delnumero di Nepero. A tale scopo, consideriamo la funzione f @xD = ‰x, prendiamo x0 = 0, x = 1, e scriviamo la formula diTaylor col resto di Lagrange in questa situazione. Si ha:

f @xD = pn@xD +f Hn+1L@cDHn + 1L!

Hx - x0Ln+1 ï f @1D = pn@1D +‰c

Hn + 1L!ï ‰ = pn@1D +

‰c

Hn + 1L!,

cioé:

‰ = pn@1D +‰c

Hn + 1L!,

dove c œD 0, 1@ è un punto opportuno. Nel secondo membro di questa espressione compare il polinomio di Taylor pn@xDcalcolato per x = 1, cioé:

pn@1D = ‚k=0

n f HkL@0Dk !

H1 - 0Lk = ‚k=0

n 1

k !;

compare inoltre la quantità ‰c

Hn+1L! , che rappresenta l'errore che si commette approssimando ‰ con la quantità ⁄k=0n 1

k!.

Osservando che 0 < ‰c < ‰ < 3, si ha:

0 <‰c

Hn + 1L!<

3

Hn + 1L!.

In definitiva:

0 < ‰ - ‚k=0

n 1

k!<

3

Hn + 1L!.

Ad esempio, se si vuole calcolare il valore numerico di ‰ con un errore minore di 11 000 000

, si deve anzitutto trovare n in

modo che:

3

Hn + 1L!<

1

1 000 000,

cioé Hn + 1L! > 3 000 000, e, a tale scopo, basta prendere n = 9, infatti 10 != 3 628 800. Scrivendo poi la formula precedentecon n = 9, si ha:

0 < ‰ - ‚k=0

9 1

k !<

3

10!

cioé:


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0 < ‰ -98 641

36 288<

1

1 209 600<

1

1 000 000

0 < ‰ - 2.71828 < 8.2672 µ 10-7

Dunque il numero 27 182 815 è una approssimazione di ‰ esatta a meno di un milionesimo, cioé fino alla sesta cifra dopo lavirgola. Il "vero" valore di ‰ è infatti:

‰ = 2.718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 97……

e si può ottenere con una precisione grande a piacere, aumentando il valore di n.

Esempio 15.4.2 In questo esempio ci proponiamo di approssimare la funzione f @xD = Sin@xD con un opportuno suo polinomio di Taylor, di

punto iniziale x0 = 0, in tutto l'intervallo A0, Åp2E. A tale scopo, prendiamo un x œD 0, Åp

2E, e scriviamo la formula di Taylor:

f @xD = pn@xD +f Hn+1L@cDHn + 1L!

Hx - x0Ln+1 ï Sin@xD = pn@xD +f Hn+1L@cDHn + 1L!

xn+1.

dove c è un punto intermedio tra zero ed x. Osserviamo ora che f Hn+1L@cD = ≤Sin@cD, oppure f Hn+1L@cD = ≤Cos@cD, pertanto

… f Hn+1L@cD … < 1; poiché anche xn+1 < I Åp2Mn+1, si ha, per ogni x œ A0, Åp

2E:

» Sin@xD - pn@xD » =f Hn+1L@cDHn + 1L!

xn+1 <1

Hn + 1L! K Å

p

2O

n+1.

Supponiamo ora di voler approssimare f @xD = Sin@xD con pn@xD a meno di 1100

in tutto l'intervallo A0, Åp2E; bisognerà

anzitutto prendere n in modo che sia:

1

Hn + 1L! K Å

p

2O

n+1<

1

100,

il che si verifica per n = 6:

1.

Hn + 1L! K Å

p

2O

n+1=

n=6 1

7! K Å

p

2O

7= 0.00468175 < 0.01;

si ha dunque, per ogni x œ A0, Åp2E;

Sin@xD - p6@xD <1

100.

Il polinomio p6@xD scritto esplicitamente, è:

p6@xD = x -x3

6+

x5

120;

nella seguente figura sono messi a confronto il grafico di Sin@xD e quello di p6@xD (linea tratteggiata).

Åp2x

1

y

Come si vede, nell'intervallo A0, Åp2E, non vi è quasi differenza visibile tra i due grafici.


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EserciziEsercizio 15.5.1 Usando il test della derivata n -esima, studiare le seguenti funzioni nel punto x0 indicato.

f @xD = ‰x2- 1 - x2 in x0 = 0;

f @xD = x + Sin@xD3 in x0 = p.

Esercizio 15.5.2 Data f @xD = Cos@xD, scrivere il polinomio di Taylor p7@xD, di punto iniziale x0 = 0; utilizzando poi la formula ti Taylor colresto di Lagrange, stimare la differenza p7@xD - Cos@xD nell'intervallo @-1, 1D.


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16 Indici

1. Indice analiticoI numeri di pagina in grassetto e in colore verde si riferiscono alle definizioni, quelli in corsivo e in colore marrone aiteoremi; tutti gli altri a parole contenute nel testo.

Accelerazione ... 211 Interi relativi ... 28Affettare e sommare ... 266 Intersezione di grafici ... 198Allineamenti decimali ... 28 Intersezione di insiemi ... 10Angoli notevoli ... 97, 99, 101, 103 Intervalli ... 10Antiderivata ... 272, 273, 273 Intervallo ampliato ... 151Antiderivate ... 279 Intorno di ≤ ¶ ... 151Appartiene ... 7 Intorno Hsinistro o destroL di un punto ... 151Approssimazione numerica degli zeri ... 196 Ipotesi e tesi ... 8Approssimazioni ... 323, 214 Irrazionalità di radice di 2 ... 8Arcocosecante ... 105 Lagrange ... 228, 329Arcocotangente ... 105 Limite a destra ... 149Arcosecante ... 105 Limite a sinistra ... 148Area ... 258, 259 Limite che non esiste ... 147, 148Area di un insieme illimitato ... 311 Limite Hdef . generaleL ... 151Area di un plurirettangolo ... 258 Limite delle funzioni composte ... 162Area settore circolare ... 170 Limite delle successioni monotone ... 178Aritmetica nell ' insieme dei numeri reali ampliato ... 154 Limite di H1 + 1 êxL^x ... 182, 183Asintoti obliqui ... 164 Limite di H1 - Cos@xDL êx^2 ... 171Asintototi orizzontali ... 145 Limite di H1 + xL^1 êx ... 183Asintototi verticali ... 144 Limite di HH1 + xLâ - 1L êx ... 184Bolzano ... 197 Limite di ArcSin@xD êx ... 171Calcolo del limite per sostituzione ... 157 Limite di ArcTan@xD êx ... 171Cauchy ... 266 Limite di Ha^x - 1L êx ... 183Cerchio goniometrico ... 119 Limite di a^x êxâ ... 184Classe di una funzione ... 211 Limite di Log@1 + xD êx ... 183Classi contigue ... 258 Limite di Log@xD êxâ ... 184Codominio ... 14, 52 Limite di Sin@xD êx ... 170Coefficiente angolare ... 38, 201 Limite di successioni ... 177Complementare di un insieme ... 10 Limite di HxâL Log@xD ... 184Concavità ... 236, 235, 328 Limite finito in più o meno infinito ... 144Condizione necessaria e sufficiente ... 8 Limite finito in un punto ... 138Confronto di infiniti ... 309 Limite infinito in più o meno infinito ... 146Confronto per gli integrali impropri ... 315 Limite infinito in un punto ... 143Confronto per le funzioni ... 168, 169 Limiti delle funzioni elementari ... 153Confronto per le successioni ... 178, 179 Limiti notevoli ... 170, 170Confronto tra infinitesimi ... 303 Logaritmi neperiani ... 93Connettivi logici ... 22 Maggioranti ... 51Conservazione delle disuguaglianze ... 167 Matematica Finanziaria ... 180Continuità delle funzioni derivabili ... 206 Media ... 270Convessità ... 236, 235, 328 Metodo del completamento del quadrato ... 289Coppie ordinate ... 11, 35 Metodo di esaustione ... 258Cosecante ... 104 Metodo grafico ... 128Cotangente ... 104 Minimo HmassimoL assoluto ... 191, 193Criterio dell ' infinitesimo per gli integrali impropri ... 316 Minoranti ... 51Criterio dell ' infinito per gli integrali impropri ... 321 Minuti ... 94Criterio di confronto per gli integrali impropri ... 321 Misura ... 258, 259Derivata ... 201 Misura di un angolo ... 94Derivata a sinistra Ha destraL ... 203, 240, 203 Monomio dominante ... 155Derivata del logaritmo ... 215 Negazione di una proposizione ... 8Derivata di ArcCos@xD ... 216 Nepero ... 92, 180, 93Derivata di ArcSin@xD ... 216 Numeri complessi ... 31Derivata di ArcTan@xD ... 216 Numeri razionali ... 28, 28Derivata di a^x e di ‰^x ... 215 Numeri trascendenti ... 180Derivata di Cos@xD ... 216 Numero di Nepero ... 92, 180, 93Derivata di f @xD^g@xD ... 218 Operazioni con funzioni periodiche ... 105Derivata di Sin@xD ... 215 Operazioni con i limiti ... 154Derivata di Tan@xD ... 216 Operazioni con le derivate ... 207Derivata di xâ ... 214 Operazioni con le funzioni continue ... 186Derivata infinita ... 204 o piccolo ... 305Derivata seconda ... 209 Ordine di infinito ... 309Derivate delle funzioni elementari ... 205, 217 Ordine di un infinitesimo ... 306Derivate delle funzioni elementari generalizzate ... 217 Ordine infinitamente grande o piccolo di infinito ... 309

Carlo GrecoAppunti di Analisi Matematica I 16. Indici 333

Settembre 2008

Derivate successive ... 209 Ordine infinitamente grande HpiccoloL di infinitesimo ... 307Derivazione delle funzioni composte ... 208 Parcheggio ... 41, 44Differenza di due primitive ... 273 Parte immaginaria ... 32Dimostrazione per assurdo ... 8 Parte intera ... 181Dirichlet ... 265 Parte reale ... 32Discontinuità di prima specie ... 186 Peano - Jordan ... 259Discontinuità di seconda specie ... 186 Pendenza ... 201Discontinuità eliminabile ... 186 Pendenza infinita ... 40Discriminante ... 66 Periodo ... 47Disequazioni equivalenti ... 65 Periodo minimo ... 49, 49, 105Disequazioni incompatibili ... 82 Permanenza del segno per i limiti ... 166Distribuzione Normale ... 311 Permanenza del segno per le funzioni continue ... 189Divisione dei polinomi ... 294 Per ogni ... 9Elemento di separazione ... 30, 90, 91 Plurirettangolo ... 258Elemento di un insieme ... 7 Plurirettangolo circoscritto ... 260Equazione trascendente ... 128 Plurirettangolo inscritto ... 260Erf @xD ... 302 Polinomi ... 155, 325Errore ... 212 Polinomio di grado n ... 72Esiste ... 9 Polinomio di Taylor ... 325Esiste uno ed un solo ... 9 Potenza con esponente reale ... 90Fattore differenziale ... 286 Potenza del continuo ... 21Fattore finito ... 286 Potenza dell ' insieme delle parti ... 21Fermat ... 225 Potenza minore ... 21Flesso ... 236, 329, 328 Predicati ... 9Forma indeterminata 0 ê0 ... 201 Predicato ... 65Forma indeterminata della somma ... 154 Prezzi benzina ... 44Forma indeterminata del prodotto ... 155 Primitiva ... 272, 273, 273Forma indeterminata del quoziente ... 155 Primitive ... 279Forma indeterminata ê0 ... 155, 159, 160 Principio di identità dei polinomi ... 291Forme indeterminate ... 154, 176, 160 Prodotto cartesiano di insiemi ... 11Forme indeterminate per f @xD^g@xD ... 176 Prodotto di una funzione infinitesima per una limitata ... 173Formula del cambiamento di base ... 113 Progressione aritmetica ... 62Formula di integrazione per decomposizione ... 283 Progressione geometrica ... 62Formula di integrazione per parti ... 286 Prolungamento per continuità di una funzione ... 189Formula di integrazione per sostituzione ... 299 Proprietà dell ' addizione ... 29Formula di McLaurin ... 326 Proprietà della moltiplicazione ... 29Formula di Taylor ... 326, 327, 329 Proprietà di completezza ... 30, 91Formula ridotta ... 69 Punto angoloso o cuspidale ... 205Formule parametriche ... 121 Punto critico ... 225Formule trigonometriche ... 97, 103 Punto di flesso ... 236Frazione generatrice ... 28 Punto di minimo HmassimoL relativo ... 224FresnelC@xD ... 302 Punto di minimo HmassimoL relativo proprio ... 224, 329FresnelS@xD ... 302 Radianti ... 94Funzione ... 37 Radice ennesima ... 29Funzione arcocoseno ... 100 Radici razionali ... 72, 73, 72Funzione arcoseno ... 98 Ragione ... 62Funzione arcotangente ... 104 Rapporto incrementale ... 201Funzione bigettiva ... 17 Regola dei segni ... 67Funzione composta ... 17 Regola dell ' Hôpital ... 219Funzione coseno ... 96 Regola di Ruffini ... 73Funzione degli errori ... 302 Resto della formula di Taylor ... 326Funzione di Dirichlet ... 265 Resto di Lagrange ... 329Funzione esponenziale ... 91, 91, 181 Resto di Peano ... 327Funzione ingettiva ... 53, 15 Resto n - esimo della formula di Taylor ... 326Funzione integrale ... 273, 276 Restrizione ... 37Funzione integranda ... 266 Restrizione di una funzione tra insiemi ... 19, 37Funzione inversa ... 54, 17 Rettangolo ... 258Funzione logaritmo ... 92, 94 Retta secante ... 200Funzione pari o dispari ... 47 Retta tangente ... 200, 213, 214Funzione periodica ... 48, 47 Ricerca del minimo e del massimo assoluto ... 226Funzione potenza di esponente a ... 176 Risolvere una disequazione ... 65Funzione seno ... 96 Rolle ... 227Funzione Sin@1 êxD ... 147 Ruffini ... 73Funzione surgettiva ... 53, 14 Salto ... 186Funzione tangente ... 102 Secante ... 104Funzione tra insiemi ... 12 Secondi ... 94Funzioni composte ... 162, 208 Segno ... 159, 42

Funzioni continue ... 157, 186, 158,158, 186, 194, 197, 197, 265, 270, 193

Sign@xD ... 43, 159

Funzioni convesse HconcaveL ... 235 Simmetrie ... 47Funzioni crescenti HdecrescentiL ... 61 SinIntegral@xD ... 302


Settembre 2008

Funzioni discontinue ... 186, 186, 186 Somma dei primi n termini di una progressione geometrica ... 62Funzioni elementari ... 205, 217 Somma di Cauchy ... 266Funzioni illimitate ... 192 Somma di una funzione divergente e una limitata ... 174Funzioni infinite ... 308, 308 Somma inferiore ... 260Funzioni infinitesime ... 303, 303, 173 Somma superiore ... 261Funzioni integrabili ... 261 Sottoinsieme di un insieme ... 7Funzioni integrabili elementarmente ... 301 Sottoinsieme proprio di un insieme ... 8Funzioni irrazionali ... 163 Spazio percorso ... 267Funzioni limitate ... 173, 51 Studio dei punti angolosi o cuspidali ... 238, 242Funzioni maggioranti ... 169 Successioni ... 62Funzioni minoranti ... 169 Successioni HstrettamenteL crescenti HdecrescentiL ... 63Funzioni razionali ... 156, 160 Successioni HstrettamenteL monotone ... 63, 178Funzioni speciali ... 302 Suddivisioni di un intervallo ... 260Funzioni strettamente crescenti HdecrescentiL ... 60 Tabella di verità ... 22Funzioni HstrettamenteL monotone ... 61, 230, 265 Tangente a sinistra Ha destraL ... 203Gauss ... 311, 302 Tangente verticale ... 204Grado ... 94 Tasso di interesse ... 180Grafico ... 37 Tavola degli integrali immediati ... 280Grafico di una funzione tra insiemi ... 14 Tavola degli integrali immediati generalizzati ... 282Grafico di Venn ... 10 Taylor ... 325, 325Hôpital ... 219 Teorema di esistenza ... 193Implicazione ... 8, 23 Teorema fondamentale dell ' algebra ... 32Infinitesimi campione ... 306 Teoria della Probabilità ... 311Infiniti campione ... 309 Test della derivata n - esima ... 328Insieme dei numeri reali ampliato ... 151 Test per i punti di minimo o massimo relativo ... 232Insieme delle parti ... 8, 21 Titolo ... 1Insieme di arrivo ... 13 Trapezopide ... 259Insieme di definizione ... 37 Trinomio ... 66Insieme di partenza ... 13, 37 Unicità del limite ... 152Insieme infinito ... 19 Unione di insiemi ... 10Insiemi contigui ... 30, 90, 258, 91, 259 Unità immaginaria ... 32Insiemi equipotenti ... 19 Valore assoluto ... 42Insiemi numerabili ... 20 Valori intermedi ... 197Insiemi separati ... 30 Valor medio ... 271Insiemi uguali ... 7 Variabile apparente ... 267Integrabilità delle funzioni continue ... 265 Variabile dipendente ... 35Integrabilità delle funzioni monotone ... 265 Variabile indipendente ... 35Integrale definito ... 268, 277, 261 Velocità istantanea ... 211Integrale improprio ... 312, 313, 318, 319 Velocità media ... 271Integrale indefinito ... 279 Venn ... 10Integrali indefiniti immediati generalizzati ... 299 Weierstrass ... 193Interi naturali ... 28 Zeri ... 194


Settembre 2008

2. Indice dei teoremiI numeri dopo la parola Teorema si riferiscono, rispettivamente, al Capitolo, alla Sezione e al numero del Teoremaall'interno della sezione. L'ultimo è il numero di pagina.

Teorema 1.2.1 HIrrazionalità di 2 L ... 8 Teorema 9.3.2 HOperazioni con le derivateL ... 207

Teorema 1.8.1 HPotenza dell'insieme delle partiL ... 21 Teorema 9.3.3 HDerivazione delle funzioni composteL ... 208

Teorema 4.4.1 HRadici razionali 1L ... 72 Teorema 9.7.1 HApprossimazione lineareL ... 214

Teorema 4.4.2 HRadici razionali 2L ... 73 Teorema 9.10.1 HRegola dell'HôpitalL ... 219

Teorema 5.1.1 HProprietà di axL ... 91 Teorema 10.1.1 HDi FermatL ... 225

Teorema 5.1.2 HProprietà dei logaritmiL ... 94 Teorema 10.1.2 HRicerca del minimo e del massimo assolutoL ... 226

Teorema 7.7.1 HUnicità del limiteL ... 152 Teorema 10.1.3 HDi RolleL ... 227

Teorema 7.7.2 HOperazioni con i limitiL ... 154 Teorema 10.1.4 HDi LagrangeL ... 228

Teorema 7.7.3 HContinuità delle funzioni elementariL ... 158 Teorema 10.1.5 HCriterio di monotoniaL ... 230

Teorema 7.7.4 HOperazioni con le funzioni continueL ... 158 Teorema 10.1.6 HTest per i punti di minimo o massimo relativoL ...232

Teorema 7.7.5 HForma indeterminata ê0L ... 160 Teorema 10.3.1 HConvessità e concavitàL ... 236

Teorema 7.7.6 HLimite delle funzioni composteL ... 162 Teorema 10.3.2 HDerivata a sinistra e a destraL ... 240

Teorema 7.9.1 HPermanenza del segno per i limitiL ... 166 Teorema 11.2.1 HIntegrabilità delle funzioni continueL ... 265

Teorema 7.9.2 HConservazione delle disuguaglianzeL ... 167 Teorema 11.2.2 HIntegrabilità delle funzioni monotoneL ... 265

Teorema 7.9.3 HConfronto per le funzioni 1L ... 168 Teorema 11.4.1 HProprietà dell'integraleL ... 268

Teorema 7.9.4 HConfronto per le funzioni 2L ... 169 Teorema 11.4.2 HDella mediaL ... 270

Teorema 7.11.1 HLimite delle successioni monotoneL ... 178 Teorema 11.6.1 HDifferenza di due primitiveL ... 273

Teorema 7.11.2 HConfronto per le successioni 1L ... 178 Teorema 11.6.2 HFunzione integraleL ... 276

Teorema 7.11.3 HConfronto per le successioni 2L ... 179 Teorema 11.6.3 HFondamentale del calcolo integraleL ... 277

Teorema 7.11.4 HNumero di NeperoL ... 180 Teorema 14.1.1 HConfronto per gli integrali impropriL ... 315

Teorema 7.11.5 HFunzione esponenzialeL ... 181 Teorema 14.1.2 HCriterio dell'infinitesimo per integrali impropriL ...316

Teorema 8.1.1 HOperazioni con le funzioni continueL ... 186 Teorema 14.3.1 HCriterio di confronto per gli integrali impropriL ...321

Teorema 8.1.2 HPermanenza del segno per le funzioni continueL ...189

Teorema 14.3.2 HCriterio dell'infinito per gli integrali impropriL ...321

Teorema 8.2.1 HDi WeierstrassL ... 193 Teorema 15.1.1 HFormula di Taylor per i polinomiL ... 325

Teorema 8.3.1 HDegli zeriL ... 194 Teorema 15.1.2 HResto n-esimo della formula di TaylorL ... 326

Teorema 8.3.2 HDei valori intermediL ... 197 Teorema 15.1.3 HFormula di Taylor con il resto di PeanoL ... 327

Teorema 8.3.3 HDi BolzanoL ... 197 Teorema 15.3.1 HTest della derivata n-esimaL ... 328

Teorema 8.3.4 HIntersezione di graficiL ... 198 Teorema 15.3.2 HMinimi, massimi, flessiL ... 329

Teorema 9.3.1 HContinuità delle funzioni derivabiliL ... 206 Teorema 15.4.1 HFormula di Taylor con il resto di LagrangeL ... 329


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3. Indice delle definizioniI numeri dopo la parola Definizione si riferiscono, rispettivamente, al Capitolo, alla Sezione e al numero della Definizioneall'interno della sezione. L'ultimo è il numero di pagina.

Definizione 1.1.1 HInsiemi ugualiL ... 7 Definizione 7.1.1 HLimite con x0 œ , ed œ L ... 138

Definizione 1.1.2 HSottoinsieme di un insiemeL ... 7 Definizione 7.1.2 HLimite con x0 œ , ed = ≤¶L. ... 143

Definizione 1.4.1 HUnione di insiemiL ... 10 Definizione 7.1.3 HLimite con x0 = ≤¶, ed œ L ... 144

Definizione 1.4.2 HIntersezione di insiemiL ... 10 Definizione 7.1.4 HLimite con x0 = ≤¶, ed ≤¶L ... 146

Definizione 1.4.3 HComplementare di un insiemeL ... 10 Definizione 7.4.1 HLimite a sinistraL ... 148

Definizione 1.4.4 HProdotto cartesiano di insiemiL ... 11 Definizione 7.4.2 HLimite a destraL ... 149

Definizione 1.5.1 HFunzione tra insiemiL ... 12 Definizione 7.6.1 HDefinizione generale di limiteL ... 151

Definizione 1.5.2 HGrafico di una funzione tra insiemiL ... 14 Definizione 7.7.1 HFunzione continuaL ... 157

Definizione 1.6.1 HCodominioL ... 14 Definizione 7.11.1 HLimite di una successioneL ... 177

Definizione 1.6.2 HFunzione surgettivaL ... 14 Definizione 8.1.1 HFunzione continuaL ... 186

Definizione 1.6.3 HFunzione ingettivaL ... 15 Definizione 8.2.1 HMinimo e di massimo assolutoL ... 191

Definizione 1.6.4 HFunzione inversaL ... 17 Definizione 9.1.1 HDerivataL ... 201

Definizione 1.6.5 HFunzione bigettivaL ... 17 Definizione 9.2.1 HDerivata a sinistra o a destraL ... 203

Definizione 1.7.1 HFunzione compostaL ... 17 Definizione 9.2.2 HPunto angoloso o cuspidaleL ... 205

Definizione 1.7.2 HRestrizione di una funzione tra insiemiL ... 19 Definizione 10.1.1 HPunto di minimo o massimo relativoL ... 224

Definizione 1.8.1 HInsiemi equipotentiL ... 19 Definizione 10.1.2

HPunto di minimo o massimo relativo proprioL ... 224

Definizione 1.8.2 HInsieme infinitoL ... 19 Definizione 10.1.3 HPunto criticoL ... 225

Definizione 1.8.3 HInsiemi numerabiliL ... 20 Definizione 10.3.1 HFunzione convessa o concavaL ... 235

Definizione 1.8.4 HPotenza minoreL ... 21 Definizione 10.3.2 HPunto di flessoL ... 236

Definizione 2.1.1 HInsiemi separatiL ... 30 Definizione 11.1.1 HRettangoloL ... 258

Definizione 3.1.1 HFunzione tra insiemi numericiL ... 37 Definizione 11.1.2 HPlurirettangoloL ... 258

Definizione 3.4.1 HFunzione pari o dispariL ... 47 Definizione 11.1.3 HArea di un plurirettangoloL ... 258

Definizione 3.4.2 HFunzione periodicaL ... 48 Definizione 11.1.4 HInsieme misurabileL ... 259

Definizione 3.4.3 HPeriodo minimoL ... 49 Definizione 11.2.1 HTrapezoideL ... 259

Definizione 3.5.1 HMinoranti, maggioranti, funzioni limitateL ...51

Definizione 11.2.2 HIntegrale secondo RiemannL ... 261

Definizione 3.5.2 HCodominioL ... 52 Definizione 11.6.1 HPrimitiva o antiderivataL ... 273

Definizione 3.5.3 HFunzione surgettivaL ... 53 Definizione 11.6.2 HFunzione integraleL ... 273

Definizione 3.5.4 HFunzione ingettivaL ... 53 Definizione 13.1.1 HFunzione infinitesimaL ... 303

Definizione 3.5.5 HFunzione inversaL ... 54 Definizione 13.1.2 HFunzione infinitesimaL ... 303

Definizione 3.7.1 HStretta crescenza o decrescenzaL ... 60 Definizione 13.1.3 HConfronto tra infinitesimiL ... 303

Definizione 3.7.2 HCrescenza e decrescenzaL ... 61 Definizione 13.2.1 HOrdine di infinitesimo 1L ... 306

Definizione 3.7.3 HMonotoniaL ... 61 Definizione 13.2.2 HOrdine di infinitesimo 2L ... 307

Definizione 3.8.1 HSuccessioneL ... 62 Definizione 13.3.1 HFunzioni infiniteL ... 308

Definizione 3.8.2 HMonotonia per le successioniL ... 63 Definizione 13.3.2 HFunzioni infiniteL ... 308

Definizione 5.1.1 HEsponenzialeL ... 91 Definizione 13.3.3 HConfronto di infinitiL ... 309

Definizione 5.1.2 HLogaritmoL ... 92 Definizione 13.4.1 HOrdine di infinito 1L ... 309

Definizione 5.2.1 HSeno e CosenoL ... 96 Definizione 13.4.2 HOrdine di infinito 2L ... 309

Definizione 5.2.2 HArcosenoL ... 98 Definizione 14.1.1 HIntegrale improprio in @a, + ¶@L ... 313

Definizione 5.2.3 HArcocosenoL ... 100 Definizione 14.2.1 HIntegrale improprio in L ... 318

Definizione 5.2.4 HTangenteL ... 102 Definizione 14.3.1 HIntegrale improprio in Da, bDL ... 319

Definizione 5.2.5 HArcotangenteL ... 104 Definizione 15.1.1 HPolinomio di TaylorL ... 325


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4. NotazioniSegnaliamo le principali differenze tra le notazioni usate in queste dispense e quelle standard.

Notazione usata nelle dispense Significato Notazione standardf @xD Simbolo di funzione f HxL

‰ Numero di Nepero e‰x Funzione esponenziale ex

Log@xD Logaritmi naturali log xSin@xD Funzione seno sen xCos@xD Funzione coseno cos xTan@xD Funzione tangente tg x

ArcSin@xD Funzione arcoseno arcsen xArcCos@xD Funzione arcocoseno arccos xArcTan@xD Funzione arcotangente arctan x

Sec@xD Funzione secante H 1cos x

L sec x

Csc@xD Funzione cosecante H 1sin x

L cosec x

Cot@xD Funzione cotangente H 1tg x

L cotg x

Sin@xD2 Seno al quadrato sin2 x

Sin@x2D Seno di x al quadrato sinHx2L


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dispense di analisi 1 (2008-2009) - fataing.poliba.it di analisi matematica i. indice 1. teoria...

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