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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
ANNA LUISA DE CASTRO
TECNOLOGIAS DIGITAIS DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NO ENSINO DE
FUNÇÕES QUADRÁTICAS:
Contribuições para compreensão das diferentes representações.
SÃO PAULO 2011
ANNA LUISA DE CASTRO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
TECNOLOGIAS DIGITAIS DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NO ENSINO DE
FUNÇÕES QUADRÁTICAS:
Contribuições para compreensão das diferentes representações.
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Universidade Bandeirante de São Paulo como
exigência parcial para obtenção de título de
MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a
Orientação da Prof.ª Dra. Maria Elisabette Brisola
Brito Prado.
SÃO PAULO 2011
Autora: Anna Luisa de Castro
Título: Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação no ensino de Funções Quadráticas: Contribuições para compreensão das diferentes representações.
Este Trabalho foi julgado e aprovado para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática – UNIBAN
São Paulo, 23 / 03 /_2011.
Dedico aos meus amigos e familiares que me
apoiaram, acreditando no meu trabalho e
compreendendo os momentos difíceis e de
ausências.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus pelo motivo maior da minha existência e por ser de fato meu “Porto Seguro”.
À Prof.ª Dra. Maria Elisabette B. B. Prado, minha orientadora, professorinha e
amiga, por sua orientação, paciência, compreensão e carinho nos momentos mais
sombrios.
À Prof.ª Dra. Angélica Fontoura G. Silva, minha querida professora (Gê), pelo
carinho, pela atenção e, principalmente, por ter sido a primeira pessoa a ter lido
meus escritos com carinho e competência.
Ao Prof. Dr. José Armando Valente, pelas sugestões dadas na qualificação.
À Prof.ª Dra. Nielce M. Lobo da Costa, pelo empenho e presteza nas correções e
grandes contribuições na qualificação.
Ao Prof. Dr. Ubiratan D’Ambrósio pelas palavras carinhosas e do estímulo no momento que mais precisei.
A todos os funcionários da pós-graduação da UNIBAN, pelo carinho, respeito e
presteza.
Às Professoras Dra. Marlene Dias e Dra. Verônica Kataoka, pelo carinho e,
principalmente, por me emprestarem com competência e muita humildade: A
Sabedoria.
À Prof.ª Dra. Tânia Maria M. Campos, pelo carinho, pelo respeito e pela condescendência rara de se ver nos dias atuais.
Aos colegas do Mestrado/Doutorado, pelo respeito em todos os momentos do curso.
Aos amigos de luta (Sirlene, Fábio, Paulo Jorge, Márcio, Paulinho, Fátima Sardeiro, Cátia, Ilydio, Rosineide, Fátima Dias, Laíde, Marinês, Elen, Rosana) pelo
companheirismo e pelos bons e verdadeiros momentos.
Aos meus familiares pelo apoio em todas as horas e pela compreensão nos
momentos difíceis.
Aos professores que participaram das oficinas, pela colaboração incansável.
A todos os meus alunos e ex-alunos, por me fazerem acreditar que através da
educação tudo é possível.
A todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização deste trabalho!
Por fim, agradecimentos especiais...
À doutoranda Rosimeire Borges, pelo carinho de mãe, pelas risadas de
amigas/irmãs, pela dedicação incansável e pelos conselhos de orientadora.
Às minhas mãezinhas paulistanas e amigas, Claudinha, Cassiana e Ratier.
“Uma grande descoberta resolve um grande
problema, mas há sempre uma pitada de
descoberta na resolução de qualquer
problema. O problema pode ser modesto,
mas se ele desafiar a curiosidade e puser em
jogo as faculdades inventivas, quem resolver
por seus próprios meios, experimentará a
tensão gozará o triunfo da descoberta.
Experiências tais, numa idade suscetível,
poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e
deixar, por toda a vida, a sua marca na mente
e no caráter”.
George Polya
(Conferência, Universidade Stanford, 1o de agosto de 1944).
RESUMO
Esta dissertação é resultado de uma pesquisa qualitativa que investigou durante o desenvolvimento de oficinas sobre o tema “Funções Polinomiais do Segundo Grau com o uso integrado das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação – TDIC” a atuação de um grupo de professores de Matemática da Educação Básica que participam do Observatório da Educação da UNIBAN, um projeto financiado pela CAPES. A pesquisa buscou delinear estratégias, recursos e metodologias a serem utilizadas nos cursos de formação continuada, visando favorecer a inserção das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação – TDIC no ensino da Matemática. Para tanto, foram elaboradas atividades pautadas na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval, além das recomendações de pesquisadores das TDIC. Para o levantamento de dados, além de observações acerca das atividades, foram utilizados questionários, registros espontâneos feitos pelos professores e vídeos gravados no desenvolvimento das sessões, bem como entrevistas semiestruturadas a fim de compreender a visão dos professores participantes deste estudo. O tratamento dos dados levou em consideração os pressupostos teóricos acerca das TDIC e o ensino de Funções Quadráticas, bem como a teoria de Lee Shulman, que considera fundamental o estudo do conhecimento do professor sob três perspectivas: o conhecimento do conteúdo especifico, o conhecimento pedagógico do conteúdo e o conhecimento curricular. Esta pesquisa mostrou que a inserção das TDIC foi bastante significativa, uma vez que possibilitou a superação da principal dificuldade apresentada pelos professores participantes: fragilidade do conhecimento pedagógico do conteúdo matemático estudado. Assim, a metodologia das oficinas e as situações didáticas utilizadas revelaram ser um caminho favorável para a formação de professores em contextos semelhantes, pelo fato de potencializar a reconstrução dos conhecimentos sobre o ensinar e aprender Matemática. Palavras-chave: Educação Matemática. Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação. Formação de Professores. Knowledge Base. Registros de Representação Semiótica. Funções Quadráticas.
ABSTRACT
This dissertation is result of qualitative research that investigated the real difficulties of the Mathematic teacher’s group during carried through workshops in the Education’s observatory (UNIBAN) which proposal was development of the concept of Second Degree´s Polynomial Functions with the integrated use of the Digital Technologies of Information and Communication - DTIC. The research searched to delineate strategies, resources and methodologies to be used in the courses of continued formation aiming at to favor the insertion of the DTIC in the education of Mathematics. In intention to reach this objective, activities had been elaborated according the Theory: “Registers of Semiotic Representation”, Raymond Duval, beyond the recommendations of researchers of the DTIC. According to the theory of semiotic representation’s Registers, the Mathematics characterizes itself by the diversity of representations for the same object; in way that the simultaneous mobilization of the least two registers of representation is an essential condition for the learning in Mathematics. For the data-collecting, beyond focal comments concerning the activities, daily pay-elaborated questionnaires, spontaneous registers were made by the professors during the workshops had been used, recorded videos in the development of the workshops, as well as semi structuralized interviews in order to fill the gaps left for the too much instruments of collection. Already the treatment of the data took in consideration the estimated theoreticians concerning the DTIC and the education of Quadratic Functions, as well as the Lee Shulman’s Knowledge Base Theory, who considers essential three teaching knowledge: the knowledge of the specific content, the general pedagogical knowledge and the pedagogical knowledge of the content. It was perceived, in this work, a possible methodology of didactic situations to be used with teacher education in similar contexts. However, the repertoire of knowledge for teaching, having as it reference the teachers’ professional knowledge as mobilized and employed by them in various contexts of the daily work. Also it was verified that the insertion of the DTIC was more revealing than a barrier, whereas the main difficulty presented for the teacher education still inside to the deficiency of knowledge base argued for Shulman (1986), in special the pedagogical knowledge of the mathematical content. Keywords: Mathematics Education. Digital Technologies of Information and Communication. Teacher Education. Knowledge Base. Register and semiotic representation. Quadratic Functions.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 3. 1 - Registro de Representação Semiótica Gráfica para a função
quadrática, f(x), x2-3x+4. ........................................................................................... 53
Figura 3. 2 - Conversão para Registro Gráfico e Tratamento Interno desse Registro.
................................................................................................................................. 54
Figura 3. 3 - Conversão de Registro e o reconhecimento que um Signo complemente
o outro. ..................................................................................................................... 55
Figura 3. 4 - Representação Cartesiana para o mesmo objeto, mas em Registros
Internamente diferentes. ........................................................................................... 56
Figura 4. 1 - Inicializando o Winplot. ......................................................................... 76
Figura 4. 2 - Winplot> 2dim> Aba “Equação” ............................................................ 77
Figura 4. 3 - Usando o menu "Ajuda" ....................................................................... 77
Figura 4. 4 - Usando o comando "Biblioteca" ........................................................... 78
Figura 4. 5 - Menu "ver" e algumas configurações ................................................... 78
Figura 4. 6 - Inserindo uma função a partir da aba "explicita". ................................. 79
Figura 4. 7 - Utilizando o inventário para facilitar edições. ....................................... 79
Figura 4. 8 - Usando o recurso de animação. ........................................................... 80
Figura 4. 9 - Visualização inicial do applet. ............................................................... 81
Figura 4. 10 - Aba de alteração nas formas de representações algébricas. ............. 82
Figura 4. 11 - Abas do menu "Transform Function". ................................................. 82
Figura 4. 12. Abas de transformações e suas respectivas funções. ......................... 83
Figura 4.13 - Abas de edições que permitem duplicar (“Duplicate”) ou criar uma nova
(“New”) função quadrática. Além dos botões "Delete" e "Delete All" que permitem
deletar, a função selecionada e todas, respectivamente. ......................................... 83
Figura 4. 14 - Botão “Step” que possibilita alterar o incremento de variação. .......... 84
Figura 4. 15 - Botão "Round" e incrementos de arredondamento. ........................... 84
Figura 4. 16 - Outras opções do comando "Trasformer Function". ........................... 85
Figura 4. 17 - comando "Trace Vertex". .................................................................... 86
Figura 4. 18 - Fotocópia da panorâmica da atividade 1. .......................................... 88
Figura 4. 19 - Fotocópia panorâmica e reduzida da atividade 2, .............................. 90
Figura 4.20 - Fotocópia panorâmica e reduzida das atividades 3 e 4, as quais
encontram-se anexas no apêndice B. ...................................................................... 92
Figura 4. 21 - Representação dos gráficos da Atividade 4. ...................................... 93
Figura 4. 22 - Representação dos gráficos da Atividade 3. ...................................... 93
Figura 4.23 - Fotocópia panorâmica e reduzida da atividade 5, para uma melhor
visualização consulte o apêndice B. ......................................................................... 96
Figura 4. 24 - esboço dos gráficos da atividade 6. ................................................... 97
Figura 4. 25 - Usando uma régua e o principio da semelhança para verificar se os
gráficos possuem mesma dilatação e concavidade.................................................. 98
Figura 4. 26 - Gráficos esperados com resposta da questão (f) da atividade 6, em (I)
construção no Winplot e em (II) construção no quadratic grapher. ........................ 100
Figura 4.27 - Fotocópia da atividade 6, para melhor visualização consulte o apêndice
B. ............................................................................................................................ 101
Figura 4. 28 - Esboço de uma função quadrática a partir de sua representação. .. 103
Figura 4. 29 - Família obtida por meio da variação do coeficiente (m) da .............. 104
Figura 4. 30 - Família obtida por meio da variação do coeficiente (n) da ............... 105
Figura 4. 31 - Fotocópia da atividade 8, para uma melhor visualização. ................ 107
Figura 4.32 - Representação Gráfica das funções quadráticas solicitadas na questão
(a) dessa oitava atividade. ...................................................................................... 107
Figura 4. 33 - Determinando as raízes graficamente. ............................................. 109
Figura 4.34 - Resolvendo inequações quadrática por Conversão de Registro,
seguido de Tratamento. .......................................................................................... 110
Figura 4. 35 - Fotocopia da oitava atividade, para uma melhor visualização consulte
o apêndice B. .......................................................................................................... 112
Figura 4. 36 - Registro gráfico, no Winplot, para a função y =(200+2x)(50-0,4x) ... 114
Figura 4. 37 - Gráfico da função depois de devidos tratamentos. .......................... 115
Figura 4. 38 - “Carinha” e “Camiseta” a serem construídas no Winplot, para ver essa
atividade na integra consulte o apêndice B. Faz-se necessário observar que esta
atividade é uma adaptação ao trabalho desenvolvido por Maia (2007). ................. 117
Figura 4. 39 - Esboço da "carinha" solicitada nesta atividade. ............................... 118
Figura 4. 40 - Esboço da "camiseta" solicitada nesta atividade. ............................. 119
Figura 4. 41 - Fotocópia da décima atividade trabalhada nas oficinas, para uma
melhor visualização consulte o apêndice B. ........................................................... 120
LISTA DE QUADROS
Quadro 3. 1 - Resolução de uma equação quadrática, ............................................ 53
Quadro 3. 2 - Conversão da Linguagem Natural para outros Registros de
Representação Semiótica. ........................................................................................ 54
Quadro 3. 3 -Mapa conceitual “Knowledge Base” de Shulman ( ALMEIDA;BIAJONE,
2005, p. 12). ............................................................................................................. 71
Quadro 4. 1 - Dedução da função dos vértices obtidos ao variar o coeficiente (b) de
uma função quadrática. .......................................................................................... 100
Quadro 4. 2 - Dedução da forma do vértice para a função quadrática genérica .... 102
Quadro 4. 3 - Duas resoluções distintas, em (I) tratamento algébrico interno e em (II)
conversão de registro de representação. ............................................................... 104
Quadro 4. 4 - Conversão entre os Registros de uma Função Quadrática, em sua
forma canônica, com a diferente de zero. ............................................................... 106
Quadro 4. 5 - Resolução via tratamento algébrico. ................................................ 108
Quadro 4. 6 - Conversão da Língua Materna para a Linguagem Matemática. ....... 113
Quadro 4. 7 - Calculando (x) dia, a partir do tratamento do registro algébrico. ...... 116
Quadro 4. 8 - Uma resolução proposta para a questão (a). ................................... 121
Sumário
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................. 14
CAPÍTULO I ................................................................................................................................................. 25
1. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS .............................................................................................. 25
1.1. PROJETO PILOTO EXPLORATÓRIO ............................................................................................................ 25
1.2. DEFININDO O TIPO DE ESTUDO ................................................................................................................. 26
1.3. SUJEITOS .................................................................................................................................................. 28
1.5. A NECESSIDADE DE UM CENÁRIO: EXPERIMENTOS DE ENSINO ................................................................ 29
1.6. AS ETAPAS DO ESTUDO ............................................................................................................................. 29
1.7. OS INSTRUMENTOS DE COLETA ................................................................................................................ 31
CAPÍTULO II ................................................................................................................................................ 34
2. O ENSINO DE FUNÇÕES ...................................................................................................................... 34
2.1. DIRETRIZES NACIONAIS PARA O ENSINO DE FUNÇÕES, EM PARTICULAR DAS QUADRÁTICAS ................. 34
2.2. A PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO ........................................................................... 39
2.4. FUNÇÕES QUADRÁTICAS: ABORDAGEM DADA PELOS LIVROS DIDÁTICOS ................................................ 41
2.5. FUNÇÕES QUADRÁTICAS: DIFICULDADES NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM ............................................ 45
CAPÍTULO III ............................................................................................................................................... 48
3. IDEIAS E SUPORTES DESSA INVESTIGAÇÃO ................................................................................ 48
3.1. OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS E A APRENDIZAGEM .............................................. 48
3.1.1.Tratamentos e Conversões ............................................................................................................ 50
3.1.2. Exemplos de Tratamentos e Conversões ................................................................................... 52
3.1.3. Implicações dessa teoria na presente pesquisa ........................................................................ 57
3.2. AS TECNOLOGIAS DIGITAIS DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO (TDIC) ................................................. 57
3.3. FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA ......................................................................................... 65
3.3.1. O “Knowledge Base” e Shulman .................................................................................................. 67
3.3.2. A formação continuada do Professor de Matemática ............................................................... 71
3.3.3. A formação de Professores para o uso das Tecnologias Digitais da Informação e
Comunicação ............................................................................................................................................. 72
CAPITULO IV ............................................................................................................................................... 75
4. O CENÁRIO DE INVESTIGAÇÃO ......................................................................................................... 75
4.1. OS SOFTWARES GRÁFICOS E APPLETS. .................................................................................................. 75
4.1.1. O software Winplot ......................................................................................................................... 75
4.1.2. O applet Quadratic Transformer ................................................................................................... 81
4.2. AS ATIVIDADES ..................................................................................................................................... 86
4.2.1. Primeira Atividade - Proposta de Ponto de Partida .................................................................. 87
4.2.2. Segunda Atividade- Conjecturas Iniciais e Formalização ........................................................ 89
4.2.3. Terceira e Quarta Atividades: Transformações geométricas aplicadas às Parábolas ........ 91
4.2.4. Quinta Atividade- A mudança de Registro de Representação e a experimentação. ........... 95
4.2.5. Sexta Atividade – Introduzindo o estudo da forma canônica ................................................. 101
4.2.6. Oitava Atividade – Reforçando importância da forma canônica da Função Quadrática ... 105
4.2.7. Oitava Atividade – Trabalhando com Registro de Representação Semiótica Natural ..... 110
4.2.8. Nona Atividade – Mobilizando as Mudanças de Registros de Representação .................. 117
4.2.9. Décima Atividade: Transformando Registro de Representação Gráfica ............................. 119
CAPÍTULO V .............................................................................................................................................. 123
5. ANÁLISE DOS DADOS E RESULTADOS ......................................................................................... 123
5.1. PERFIL DOS PROFESSORES .................................................................................................................... 123
5.2. ANÁLISE DOS DADOS GERAIS .................................................................................................................. 125
5.3. ANÁLISE DAS ATIVIDADES REALIZADAS PELOS PROFESSORES ............................................................... 127
5.3.1. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Primeira Atividade ............................................... 128
5.3.2. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Segunda Atividade .............................................. 129
5.3.3. Análise das mobilizações ponderadas acerca das Terceiras e Quarta Atividades ......................... 130
5.3.4. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Quinta Atividade .................................................. 132
5.3.5. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Sexta Atividade .................................................... 133
5.3.6. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Sétima Atividade ................................................. 135
5.3.7. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Oitava Atividade .................................................. 135
5.3.8. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Nona Atividade .................................................... 136
5.3.9. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Décima Atividade ................................................ 137
5.4. Análise das conjecturas levantadas sobre as atividades aplicadas......................................... 140
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................................................... 143
REFERÊNCIAS.......................................................................................................................................... 148
APÊNDICE A ............................................................................................................................................. 156
QUESTIONÁRIO- PERFIL ........................................................................................................................ 156
APÊNDICE B ............................................................................................................................................. 159
ATIVIDADES UTILIZADAS NAS OFICINAS NO PROJETO OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO ... 159
APÊNDICE C ............................................................................................................................................. 171
FICHA - LEVANTANDO CONJECTURAS ACERCA DAS ATIVIDADES ........................................... 171
APÊNDICE D ............................................................................................................................................. 172
FICHA - ROTEIRO DE ENTREVISTA ..................................................................................................... 172
14
INTRODUÇÃO “A informação é horizontal, o conhecimento é estruturado e hierarquizado, a sabedoria é organísmica e flexível.”
Yi-Fu Tuan (1980)
Para que se tenha uma noção completa das razões que me levaram a este
estudo e das opções tomadas no curso de sua realização considero necessário
fazer, nesta introdução, uma síntese, escrita em primeira pessoa, de minha trajetória
pessoal e profissional, bem como, tecer algumas considerações iniciais que
expressam minha percepção de alguns dos caminhos percorridos pela Educação,
atentando, em particular, para aqueles aspectos que envolvem o uso de tecnologias
nos processos de ensino e aprendizagem. Na sequência é feita uma apresentação
da estrutura dessa dissertação com breves indicações do conteúdo de cada
capítulo.
Ao sintetizar minha trajetória enquanto educadora e pesquisadora, bem como
as primeiras inquietações que motivaram essa dissertação, é imprescindível
considerar minha vivência na Educação Básica, a qual ocorreu principalmente na a
cidade de Capitólio - MG, local onde conclui o Ensino Médio Regular, em 1997.
Aliás, é importante ressaltar que o ano de 1997 fora um ano muitíssimo
movimentado na minha vida, primeiro pelas próprias decisões que tinham que ser
tomadas, por cada um de nós estudantes concluintes que desejasse prosseguir os
estudos e, depois, pelas inúmeras mudanças do próprio Sistema de Ensino. Na
época não sabia formalizar as “esquisitas” mudanças, que hoje eu entendo como a
introdução da Lei 9394/96 – a famosa Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional (LDBEN).
Creio que toda a minha Educação Escolar influenciou diretamente no meu
presente “ser ou estar professora” e “ser ou estar pesquisadora”, mas a passagem
pelo Ensino Médio foi particularmente especial. Já na primeira série fui obrigada a
mudar de escola, uma vez que arrumei um emprego na cidade vizinha e lá deveria
estudar. Embora a necessidade financeira fosse complicada para mim e toda minha
família, em menos de dois meses decidi deixar o trabalho e voltar para minha cidade
de origem, por entender que a nova escola não me motivava a estudar como a
15
anterior. Talvez, a priori, possa parecer uma decisão de pouco embasamento, mas é
justamente esse ponto que quero ressaltar.
Naquela época, momento que me faltava maturidade, julgava que minha
escola, à qual desejava retornar, era mais robusta, usava melhor os recursos
tecnológicos em prol da educação (TV e vídeo, retroprojetor, projetor de slide, livros
didáticos etc.) e os professores eram mais dedicados. Já na nova escola que
experimentara, as aulas eram truncadas, os recursos tecnológicos não eram
utilizados em sua totalidade (apenas lousa e giz) e os professores pareciam não
esperar nada da turma, além de “copiar, responder e corrigir”.
No quesito financeiro, eu era uma aluna carente e não tinha dinheiro para
livros e outros recursos didáticos e acreditava que só uma aula de qualidade poderia
me levar à Universidade, meu sonho. Era justamente isso que eu sentia na escola
da cidade de Capitólio, os professores abordavam uma aula diferenciada em que os
alunos eram protagonistas de seu próprio conhecimento, além disso, se valiam de
recursos tecnológicos da época (vídeos, slides, montagens, materiais manipuláveis
e ilustrativos etc.) para potencializar a nossa aprendizagem. O computador ainda era
algo novo naquela região e não tinha adentrado os muros da minha escola, mas
suas potencialidades já eram usadas pelos professores que contavam com um
computador em casa. Percebia-se, por exemplo, quando as fontes empregadas num
texto ou numa folha de avaliação eram perfeitas, ótimas para serem lidas e
entendidas. Também podia ser notado quando os professores traziam informações
advindas daquelas “telas fascinantes”, seja por meio de exposição oral ou
simplesmente como consequência indireta e inovadora no teor das aulas
ministradas.
Nesse nível de ensino, experimentei vários projetos em que as fitas cassetes
eram os recursos midiáticos, aulas em que os desenhos incompressíveis da lousa
eram melhores ilustrados pelo retroprojetor e até mesmo pelo projetor de slide de
tubo. É importante ressaltar que, nessas aulas, os recursos tecnológicos não eram
apenas substitutos mais práticos e modernos para a lousa, conforme critica Valente
(2007), haja vista que todos esses recursos tecnológicos, independente da
temporalidade, eram selecionados e usados de modo a favorecer a aprendizagem.
Durante a segunda série do Ensino Médio fui selecionada na escola para
realizar, então, o primeiro curso de informática. Lembro-me que as aulas eram
16
realizadas num computador Pentium I, com sistema operacional MS-DOS e com
interface para o Windows 95. A escola de informática ficava em outra cidade e eu
gastava em torno de três horas para ir e três horas para voltar, mesmo a prefeitura
tendo oferecido transporte gratuito à disposição de todos os alunos, o que com
certeza valeu muito em minha vida. Foi também nessa série, em 1996, que iniciei
como “professora”1, já que nesta época comecei a dar aulas de reforço para alunos
com dificuldades de aprendizagem na famosa área das “Ciências Exatas”.
Essa experiência como “professora” ocorreu em 1997, quando a LDBEN
exigia que todos os professores do nível primário de ensino tivessem concluído o
curso de magistério para ministrar aula. Desse modo, uma professora do Ensino
Primário, que precisou concluir o curso de magistério aos sábados e tinha
dificuldades com a Matemática, me procurou para auxiliá-la nos estudos dessa
disciplina. Assim, com minha ajuda, seis meses depois ela concluía o curso de
Magistério.
Também foi nesse ano que, aconselhada por uma professora, abandonei a
carreira de gastronomia, na qual atuava, para me dedicar exclusivamente aos
estudos, quando prestei vestibular Fuvest, da Universidade de São Paulo (USP),
campus São Carlos-SP.
Em 1998, na frente da tela do computador, dessa professora, percebi que eu
havia sido aprovada no referido vestibular para o curso Licenciatura em Ciências
Exatas. Desse modo, começou de fato a minha formação acadêmica para
professora de Matemática, já que havia atuado desde muito nova como “docente”
dessa disciplina por diversas vezes.
Nesse curso de graduação, a prática pedagógica e didática era centrada na
utilização de recursos tecnológicos. Durante as aulas de formação pedagógica
preparávamos seminários e apresentações que exploravam os mais diversos tipos
de tecnologias (vídeo, DVD, computador e Datashow, calculadoras, experimentos,
softwares etc.). Assim, meu fascínio pelo computador e suas potencialidades tornou-
se ainda mais acentuado. Foi então que decidi cursar, em regime de
complementação de estudos, as disciplinas específicas do curso de Bacharelado em
1 Embora não fosse academicamente habilitada como professora, me sentia uma iniciante.
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Matemática Aplicada e Computação Científica, no Instituto de Ciências Matemáticas
e de Computação da Universidade de São Paulo (ICMC-USP).
Diante do exposto, não foi difícil iludir-me que a escola brasileira estivesse
realmente preparada para uma educação que utilizasse as tecnologias digitais da
informação e comunicação integradas ao desenvolvimento dos conceitos
matemáticos. Porém, tive oportunidade de, após prestar provas em concurso para o
magistério na escola pública de São Paulo, e tendo sido aprovada, ingressar como
professora, dos Ensinos, Fundamental e Médio. Entretanto, enquanto professora,
percebi que ainda triunfam em sala de aula, as velhas práticas de ensino e
aprendizagem de Matemática.
Buscando na Literatura pertinente a esse tema, conhecer resultados de
investigações já realizadas, percebi que muitos estudos sobre o uso de Tecnologias
Digitais da Comunicação e Informação (TDIC), não tem chegado de forma clara às
escolas e que muitos educadores não conhecem suas potencialidades e, quando
conhecem, não se sentem seguros para utilizá-las de modo integrado nos processos
de ensino e aprendizagem. Nessa direção, Bittar (2006) afirma que são realizadas
capacitações sobre diversos assuntos, dentre os quais figuram as tecnologias e
possíveis utilizações na prática pedagógica. No entanto, o elo entre os núcleos de
capacitação e a comunidade escolar não se estreitam, dificultando e ou tornando
inexistente um trabalho mais efetivo e consistente nas unidades escolares.
Por outro lado, a sociedade atual passa por um momento de grandes
transformações em todos os campos do saber, provocado pelo rápido avanço da
ciência e da tecnologia. Tal avanço não foi, entretanto, acompanhado por alterações
consideráveis no âmbito educacional que, agora, parece exigir profunda
reformulação. Nesse sentido, o mundo passa por um momento de crise cujo cerne
explicita fases turbulentas protagonizadas pela convivência de ameaças e
possibilidades, podendo ser entendidas como uma oportunidade de evolução na
história da humanidade.
Essa evolução poderá ser positiva para a sociedade, desde que a educação
passe a ser o provimento da interação do ser humano com a tecnologia.
Já nos processos de ensino e aprendizagem da Matemática, há uma notável
bipolarização das ideias acerca das práticas pedagógicas. De um lado, a concepção
mais tradicionalista – com certa rigidez, pouca funcionalidade e muitas amarras –
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ainda domina, em grande parte, livros ou apostilas, programas e ações em sala de
aula, constituindo a concepção adotada por boa parte de professores, pais e mesmo
autores de livros e outros materiais didáticos. Por outro lado, observa-se uma
inquietação, um inconformismo, uma insatisfação crescente frente a esse ensino,
que se traduzem em busca continuada e experimentação tímida de novas
alternativas (BERTONI, 1996b).
Segundo Bertoni (1996a), os argumentos a favor dessa mudança têm sido
mais consistentes e embasados e os que nela creem a difundem proficuamente.
Tais argumentos explicitam o fracasso do ensino e da aprendizagem da matemática
quando se pauta numa pratica pedagógica tradicional, principalmente sua ênfase
numa Matemática enfadonha, excessivamente formal, mecanizada, expositiva e
distante da matemática do cotidiano. Nessa perspectiva, D'Ambrósio (2002), afirma
que essa abordagem tradicional do ensino da matemática “é desinteressante,
obsoleta e inútil aos olhos dos alunos” (p.29). Inútil não só por acharem não servir
para coisa alguma, mas principalmente por não darem aos professores qualquer
apoio ao desenvolvimento da criatividade e das capacidades cognitivas. Donde
surge o desafio aos educadores matemáticos para justificarem a presença da
grande maioria dos conteúdos dos programas quanto à sua aplicabilidade.
Acredita-se também que as virtudes do pretendido “novo” ensino, que seria
mais dinâmico, investigativo, concretizável, participativo e socialmente significativo,
são “molas” propulsoras à mudança. Por outro lado, os argumentos contrários à
mudança representam um “movimento” estranho, desorganizando que expressa um
comodismo desolador que sustenta crenças e hábitos que perduram há décadas e
são evidenciados por falas do tipo: “Matemática é difícil mesmo, o programa é
extenso, não dá tempo de ficar inventando coisas para fazer, foi sempre assim”
(BERTONI,1996b, p.3).
É importante observar que as mudanças educacionais, embora lentas, estão
chegando, seja nos Parâmetros Curriculares Nacionais, nas propostas pedagógicas,
nos livros didáticos e paradidáticos, nos planejamentos e discussões entre
professores. Assim, torna-se necessário uma formação do professor preparando-o
para que não venha se sentir lacônico e inseguro para atuar quando tais
modificações estiverem instaladas.
19
Dentro desse prospecto de mudança, diversos pesquisadores delineiam
propostas de trabalho, em aulas de Matemática, que privilegiam tanto o diálogo
como a participação ativa, possibilitando aos alunos serem sujeitos na apropriação e
produção de conhecimentos matemáticos. A abordagem investigativa, por exemplo,
é uma alternativa de ensino pautada no aluno enquanto sujeito ativo de sua própria
aprendizagem. Segundo Lerman (1996), o processo cognitivo matemático não pode
ser desprestigiado com uma valorização excessiva dos conteúdos, pois aulas
centradas em conteúdos promovem muitas desenvolturas e técnicas, porém não
valorizam o ato de pensar e fazer matemática. Assim, a abordagem investigativa no
processo de ensino e aprendizagem de Matemática poderá propiciar o envolvimento
dos alunos, pois “coloca uma ferramenta poderosa nas mãos dos indivíduos para
analisarem o que se passa nas suas vidas, oferecendo-lhes a oportunidade de o
alterarem” (p.113).
Nessa mesma linha, Alro e Skovsmose (2006), entendem que as abordagens
investigativas congregam um conjunto de propostas pedagógicas e didáticas nas
quais o aluno trabalha como um pesquisador, tentando compreender e encontrar
soluções para os problemas sem obrigatoriedade de seguir algoritmos e regras pré-
estabelecidos. Para estes pesquisadores a abordagem investigativa desafia as aulas
tradicionais de Matemática calcadas no paradigma do exercício2.
Nessa mesma perspectiva, Borba (2010) diz que:
Uma abordagem que privilegia uma postura investigativa pode possibilitar um envolvimento maior dos estudantes com o conteúdo e os levar a uma investigação de conceitos, que podem vir a obter um novo sentido quando estudados de modo a enfatizar questões qualitativas de exploração (p.4).
Diante do exposto, fica nítido que atividades preparadas e aplicadas à luz da
abordagem investigativa podem contribuir mais com a aprendizagem dos alunos que
a resolução de inúmeros exercícios que abordam uma mesma estratégia de solução.
Porém, para que isso se concretize é necessário que o educador consiga se
apropriar criticamente dessa abordagem, o que requer que a formação continuada
do professor privilegie a discussão acerca da abordagem investigativa e seus
benefícios para a aprendizagem efetiva de conhecimentos matemáticos.
2 Segundo esses autores, o Paradigma do Exercício é uma situação em que o professor transmite informações através de modelos e exemplos e, em seguida, os alunos executam exercícios de fixação semelhantes aos modelos e exemplos.
20
Em se tratando de propostas de mudanças, cabe salientar ainda, que vivendo
na era das tecnologias informáticas e digitais, existem variadas alternativas que
permitem às pessoas interagir, intercambiar opiniões, problemas ou propostas com
outros usuários, fazer consultas com especialistas e acessar informações
constantemente atualizadas, representando o conhecimento de diferentes formas.
Desse modo, a educação também deve ser afetada por essas profundas
transformações. A inserção das Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação
(TDIC) no nosso dia a dia constitui em uma das alternativas que devem passar a
integrar o processo de ensino e aprendizagem.
Nessa perspectiva, o uso do computador na Educação Matemática “deve ser
a essência do conhecimento efetivo numa sociedade baseada na informação”
(CLÁUDIO; CUNHA, 2001, p.68), o que assegura que o processo de ensino-
aprendizagem da Matemática não se restrinja a um grupo de problemas ideais, mas
também às situações reais. Acredita-se que essas situações despertem o interesse
dos alunos para que tentem entender o que estão fazendo e que pesquisem com
curiosidade sobre o assunto, de modo a desenvolver o raciocínio bem como ampliar
e aprofundar seus conhecimentos, o que pode propiciar obter resultados
satisfatórios no processo de ensino e aprendizagem.
Entretanto, não basta que o aluno seja alfabetizado apenas para o uso do
computador. É preciso que seja instigado a desenvolver raciocínios e posturas
independentes, o que o auxiliará na sua formação critica e criativa, sendo capaz de
comandar a ciência e tecnologia existente no momento e de dominar o manejo do
que ainda está por ser inventado. Nesse processo, o papel do professor é essencial.
É necessário que o educador consiga se apropriar criticamente da realidade e que
detenha informações que lhe permitam transformá-la em conhecimento. Em
consequência os cursos de formação de professores devem ser nutridos com uma
abordagem que conceba o uso das tecnologias de forma integrada ao
desenvolvimento dos conceitos de matemática.
A concepção de nova tecnologia é temporal, implica que o novo de hoje torna-
se “obsoleto” amanhã, mas não menos importante. Assim, essas tecnologias devem
ser apropriadas e devidamente inseridas nas práticas docentes no Ensino, em
particular na Educação Matemática, visto que investigar, compreender, assimilar e
apropriar da tecnologia de hoje é condição essencial para compreender e utilizar a
21
nova tecnologia de amanhã. Neste sentido, ganha força a necessidade de haver
processos de formação continuada que possam colocar os professores a par dessas
modificações e subsidiar suas práticas docentes.
Cabe trazer aqui algumas observações de minha prática docente. Em várias
escolas, que já atuei como professora, percebi que, embora os professores
convivam diariamente com o uso de tecnologias, seja para enviar ou receber e ler e-
mails, usar o caixa eletrônico, as urnas de votação, o cartão de crédito etc., existe
certa insegurança, medo e despreparo, por parte desses docentes, quanto ao uso
efetivo e integrado das tecnologias e mídias digitais nas atividades pedagógicas.
Segundo Bittar (2006), percebe-se que triunfam ainda velhas práticas de ensino e
aprendizagem, havendo um desequilíbrio entre os avanços tecnológicos e os
processos de formação para o uso de tecnologias no ensino brasileiro de forma
reflexiva.
Outro ponto a ser tocado, é sobre os programas governamentais que têm
facilitado a aquisição de computadores por escolas e educadores. As diretorias de
ensino do estado de São Paulo, por exemplo, estão conectas através do programa
Rede do Saber3. Ainda nessa perspectiva, o governo de São Paulo lançou três
novos programas com ênfase na tecnologia informática: - a Rede Aprende com a
Rede (RAR)4, que é uma extensão do programa Rede do Saber, cuja metodologia
também é baseada em Videoconferências, abordando assuntos específicos e
pedagógicos, distribuído por disciplina e, o professor, por sua vez, assiste tais
videoconferências e responde a um questionário pela internet, na plataforma do
programa; - acessa São Paulo, programa destinado à inclusão digital dos alunos e
se constitui em laboratórios de informática implantados na escola ; - Professor em
Rede5, que é a oferta de contas de e-mail institucional para os professores, bem
como a facilitação de financiamento para que estes professores possam comprar
uma Notebook. Estudos mostram que, nem sempre os cursos de formação
continuada têm surtido efeito no que tange ao uso de recursos informáticos em suas
3 Rede do Saber é um programa de formação continuada para os profissionais da educação pública de São Paulo administrado pela Secretaria de Estado da Educação (SEE-SP). Tal programa se apóia em recursos de teleconferência, videoconferência, ambientes de colaboração virtual pela internet, ferramentas administrativas integradas e expertise de gestão e educação com suporte de tecnologias de informação e comunicação. Maiores informações em: http://www.rededosaber.sp.gov.br. Acesso em 15/07/09 4 Informações adicionais em: http://www.acessasaopaulo.sp.gov.br. Acesso em 20/10/09 5 Acesse http://www.professor.sp.gov.br/ para maiores informações. Acesso em 20/01/10
22
aulas. Segundo Richit (2005), a modalidade de formação continuada, muito comum
nos anos 90, consistia em cursos de capacitação tecnológica de curta duração, que
visavam transmitir aos professores as instruções necessárias para que estes
pudessem operar alguns recursos informáticos e utilizá-los nas suas atividades.
Entretanto, a maioria dos professores, após o encerramento dos cursos e passada a
euforia do efeito novidade, retoma as suas atividades sem grandes mudanças
metodológicas e, muitas vezes, sem ao menos tentar utilizar parte do aprendizado
na sua prática. Além disso, o aprendizado adquirido durante o curso de capacitação
logo é ultrapassado por novas tecnologias.
Para Bittar (2006), é indiscutível a importância de cursos, oficinas técnicas,
como oportunidades que proporcionem ao professor uma reflexão acerca da sua
pratica diária. No entanto, várias pesquisas revelam que as práticas pedagógicas,
quando fazem o uso adequado dessas novas tecnologias, esse uso ainda não é
adequado, ou seja, o elo entre os núcleos de capacitação e a comunidade escolar
ainda é um desafio.
Considerando os pressupostos apresentados até este momento, apesar da
falta de precisão ou clareza, ainda que pareça cheia de enganos, a pergunta da
pesquisa precisa ser declarada, pois “a pergunta é a síntese desse caminho” e todo
o processo de construção da pergunta faz parte dela própria (ARAÚJO; BORBA,
2004. p. 27). Assim, eis a questão norteadora da presente investigação: durante o
desenvolvimento de uma oficina ou qualquer outra intervenção formativa do
professor, em especial aquelas com cerne no uso das Tecnologias Digitais da
Informação e Comunicação, quais são os procedimentos organizacionais e ou
metodológicos que devem e/ou podem ser alçados no intuito de preparar o
professor para utilizar os saberes mobilizados durante a formação como
fundamentos constantes de sua prática em sala de aula?
Buscando responder a supracitada questão, essa investigação foi
desenvolvida no âmbito da formação de professores de matemática e teve como
objetivo levantar e delinear aspectos, metodologias, recursos e abordagens que
venham contribuir para o gerenciamento de curso futuros de formação de
professores de matemática, em especial aqueles que buscam integrar a utilização
das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação – TDIC nos processos de
ensino e aprendizagem.
23
Indiretamente, essa pesquisa também teve como objetivo transformar o
momento de formação e discussão e uma reflexão profícua que permita estabelecer
um elo entre o núcleo de formação e a comunidade escolar, subsidiando, de alguma
forma, o uso das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação (TDIC) de
forma integrada e indissociável na prática pedagógica e didática do professor de
matemática.
Para o levantamento dos dados objetos desse estudo de pesquisa, as
atividades utilizadas nas oficinas de formação integraram o uso das TDIC ao
desenvolvimento do conceito de funções polinomiais do segundo grau, bem como a
Teoria dos Registros de Representação Semiótica, formulada por Raymond Duval.
Quanto ao desenvolvimento das oficinas e à analise dos dados, essa
investigação serviu-se do paradigma de pesquisa qualitativa cujo foco de
observação foram os professores da rede pública de São Paulo envolvidos, as
Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação – TDIC, os Registros de
Representação Semióticas e suas interações.
Assim, além do aporte teórico resultante do estudo bibliográfico acerca das
TDIC, foram realizados encontros de discussão e de reflexão com alguns
professores de Matemática da rede pública de ensino do Estado de São Paulo.
Conforme será descrito com mais detalhes no próximo capítulo, durante esses
encontros os professores produziram diversos dados escritos, bem como foram
gravados todos os momentos de interação. Então como desejado, esses dados
obtidos foram analisados em consonância com aporte teórico descrito nesse, bem
como à luz da Teoria Knowledge Base de Lee Shulman.
Essa dissertação foi estruturada em cinco capítulos, dos quais eu faço uma
breve descrição introdutória.
O Capítulo I retrata os procedimentos metodológicos e encontra-se dividido
em três partes: - descrição da metodologia utilizada na pesquisa central e na coleta
dos dados, bem como os princípios que a fundamenta - metodologia e análise do
estudo piloto e, - apresentação e análise do cenário de pesquisa. Desse modo,
nesse capitulo, a metodologia utilizada será justificada, ressaltando alguns aspectos
sobre os envolvidos na mesma: professores e observadores.
Já no Capítulo II é apresentado um breve panorama acerca do estudo do
conceito de funções, bem como destacados alguns problemas sobre os processos
24
de ensino e aprendizagem desse conceito. Embora não seja objetivo desse trabalho
fazer um estudo epistemológico sobre o conceito de função, alguns pressupostos
históricos e epistemológicos foram organizados e apresentados. A relevância das
funções polinomiais do segundo grau no currículo de matemática também será
destacada. Procura-se também, analisar os Parâmetros Curriculares Nacionais com
o intuito de verificar como este documento sugere que o ensino de funções seja
abordado nos ensinos Fundamental e Médio. Esse Capítulo II também apresenta
como alguns livros didáticos abordam sobre a função quadrática, delineando sobre
os processos de construção gráfica, que são mais utilizados e, se os autores desses
manuais apresentam mudanças da representação gráfica para algébrica e vice-
versa.
A justificativa do tema e a fundamentação teórica foram apresentadas no
capítulo III. O qual inicia com uma revisão teórica acerca dos Registros de
Representação Semiótica de Raymond Duval, seguindo, então, para pressuposto
que as Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação podem e devem ser
utilizadas de modo integrado no desenvolvimento dos conceitos matemáticos.
Também se firma na possibilidade do professor cercar-se de subsídios para fazer
um uso eficaz dessas novas ferramentas. Desse modo, essa revisão da literatura
pertinente ao tema norteia a elaboração das atividades a serem utilizadas nas
oficinas desenvolvidas com os professores, bem permitirá.
O Capítulo IV compreende a apresentação dos softwares e applets utilizado,
partindo, então para as análises prévias das atividades a serem utilizadas nas
oficinas referidas anteriormente. Tais análises pautam no ensino e na aprendizagem
de função polinomial do 2º grau pelo aluno, utilizando as TDIC. Para tanto, as
atividades serão fundamentadas nos trabalhos de Raymond Duval.
No quinto e ultimo capítulo, consta a análise de dados coletados à luz do
referencial teórico apresentado nos capítulos anteriores, tendo como premissas a
teoria Knowledge Base de Lee Shulman.
Por fim estão apresentadas as considerações finais sobre os resultados da
presente investigação e implicações para futuras pesquisas.
25
CAPÍTULO I 1. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Conforme já foi dito anteriormente, esse trabalho de pesquisa deseja delinear
aspectos, metodologias, recursos, abordagens que sirvam de indicadores para o
aprimoramento das formações continuadas ou cursos de pequena duração como as
oficinas.
Ao planejar uma investigação, os objetivos colocados exigem que sejam
eleitas metodologias a serem utilizadas na sua execução de modo a alcançá-los.
Dessa forma, este capítulo tem por objetivo destacar a metodologia de pesquisa
utilizada no tecer desse trabalho, explicitando o cenário da pesquisa: professor-
aluno, observadores, recursos de coleta, bem como justificar a escolha de cada fator
que compõe o cenário de pesquisa.
1.1. Projeto Piloto Exploratório
Segundo Gil (1999), um trabalho é de natureza exploratória quando envolver
levantamento bibliográfico ou entrevistas com pessoas que tiveram (ou tem)
experiências práticas com o problema pesquisado e análise de exemplos que
estimulem a compreensão, ou seja, as pesquisas exploratórias tendem a
proporcionar uma visão geral de um determinado fato, do tipo aproximativo.
O estudo exploratório tem ainda a finalidade básica de desenvolver,
esclarecer e modificar conceitos e ideias para a formulação de abordagens
posteriores (GIL, 1999). Dessa forma, este tipo de estudo a priori visa proporcionar
ao pesquisador um maior conhecimento acerca do assunto abordado, a fim de que
esse possa formular problemas mais precisos ou criar hipóteses que possam ser
pesquisadas por estudos posteriores.
Seguindo esses preceitos, foi desenvolvido um estudo piloto, objetivando
coletar dados fundamentais acerca da propedêutica dos envolvidos, delineando
abordagens e meios de operacionalização do paradigma de pesquisa que se
pretendia realizar. Posteriormente foram desenvolvidos minicursos com atividades, a
priori elaboradas. Nesses minicursos foi utilizada uma abordagem didática acerca do
ensino e da aprendizagem de funções quadráticas, na qual os softwares gráficos
são usados de forma integrada em todo o processo de desenvolvimento do conceito.
Essas atividades, além de contemplar o uso integrado do computador e outras
26
tecnologias, também supunham o uso da abordagem investigativa em seu
desenvolvimento com os alunos.
Os objetivos específicos de orientação para a análise do estudo-piloto foram:
� simular o tempo necessário para o desenvolvimento do minicurso,
maximizando assim, a qualidade e quantidade de dados que deveriam ser
coletados;
� observar e analisar a interação, para o ensino de funções polinomiais do
segundo grau, utilizando os softwares gráficos (Winplot, Graphmatica e Cabri
Géomètre) e Applets;
� analisar características do curso em seus aspectos didáticos (materiais,
dinâmica, sequências, tempo, apresentação, avaliação, problemas);
� analisar desenvolvimentos conceituais e instrumentais consecutivos à
formação;
� descrever ações cooperativas instrumentais.
A ênfase dada a essa fase decorre da necessidade de controle sobre o
cenário de pesquisa, bem como sobre o uso de abordagens que pudessem
favorecer a coleta de dados.
1.2. Definindo o Tipo de Estudo
Partindo da premissa que o objetivo desta investigação é analisar e descrever
procedimentos, abordagens ou mecanismos que favoreçam, ao professor em
formação, transformar seus conhecimentos construídos numa prática que contemple
os aspectos abordados durante um minicurso ou oficina, adotou-se neste estudo a
abordagem qualitativa de pesquisa, que favorece a interpretação detalhada e uma
melhor compreensão da intervenção que está sendo analisada.
Segundo Bogdan e Biklen (1994), numa pesquisa qualitativa predominam as
seguintes características:
a) fonte direta dos dados é o ambiente natural, constituindo o investigador o instrumento principal; b) os dados recolhidos são na sua essência descritivos; c) os processos merecem um interesse maior do que os resultados ou produtos; d) os dados são, sobretudo, analisados de forma indutiva; e) o ponto de vista dos participantes assume especial importância (p. 61).
27
É importante notar que a pesquisa qualitativa possibilita um conhecimento
substancial e holístico do contexto estudado, de modo que pesquisador se apropria
de compreensões acerca das atitudes e reações dos sujeitos no contexto em
questão.
Nas palavras de Ludke e André, tem-se que “a investigação qualitativa é rica
em dados descritivos, é aberta e flexível e foca a realidade de forma complexa e
contextualizada” (1986, p. 18).
Referindo a pesquisa qualitativa, Goldenberg (1999) declara não existir
algoritmos para a realização de uma pesquisa dessa natureza e o bom resultado do
paradigma em questão também depende da sensibilidade e intuição do pesquisador.
Por outro lado, Ponte (2002) afirma que
...a investigação sobre a prática visa resolver problemas profissionais e aumentar o conhecimento relativo a estes problemas, tendo por referência principal, não a comunidade acadêmica, mas a comunidade profissional (2002, p. 12).
Araújo e Borba (2004) acreditam que pesquisa qualitativa deve priorizar
procedimentos descritivos à medida que sua visão de conhecimento, explicitamente
admite a interferência subjetiva, o conhecimento como compreensão que é sempre
contingente, negociada e não é verdade rígida. Desse modo, a pesquisa qualitativa,
deve estar sintonizada com procedimentos, como entrevistas, análises de vídeos e
interpretações. Entretanto, isso não quer dizer que se deva refutar dados do tipo
quantitativo ou mesmo outros advindos de pesquisas feitas sob outra noção de
conhecimento (BORBA, 2004). Nessa perspectiva, Bogdan e Biklen (1994)
explicitam com clareza esta questão:
...embora os dados quantitativos recolhidos por outras pessoas (avaliadores, administradores e outros investigadores) possam ser convencionalmente úteis tal como foram descritos, os investigadores qualitativos dispõem-se à recolha de dados quantitativos de forma crítica. Não é que os números por si não tenham valor. Em vez disso, o investigador qualitativo tende a virar o processo de compilação na sua cabeça perguntando-se o que os números dizem acerca das suposições das pessoas que os usam e os compilam. [...] Os investigadores qualitativos são inflexíveis em não tomar os dados quantitativos por seu valor facial (p. 195).
Todas essas características se mostram adequadas ao presente trabalho,
uma vez que a fonte direta dos dados serão os professores, que buscam cursos de
formação continuada, e suas considerações relativas do uso integrado das novas
tecnologias ao ensino da Matemática.
28
1.3. Sujeitos
Nas últimas décadas, as pesquisas na área de formação de professores
ganharam força. A título de exemplo, os principais encontros da área da Educação,
cujas seções coordenadas ou plenárias, de uma forma ou de outra, abordaram o
tema Formação de Professores. Diversos pesquisadores têm desenvolvido
pesquisas calcadas principalmente nos relatos de professores, o que se
convencionou chamar de história de vida dos professores ou estudo de campo
(BORBA, 2004).
Nessa perspectiva, a presente investigação também se valerá das
concepções dos professores acerca dos processos de ensino e aprendizagem,
levantando e ponderando estratégias que realmente favoreçam ao professor de
matemática a transformar conhecimentos construídos durante uma formação numa
prática pedagógica que use as Tecnologias Digitais da Informação e da
Comunicação integradas ao desenvolvimento do conceito de funções polinomiais do
segundo grau.
Os sujeitos da presente investigação são professores da rede Pública
Estadual de São Paulo, mais especificamente, professores da Diretoria Norte 2 da
Coordenadoria de Ensino da Capital. Esses professores se inscreveram
voluntariamente para participarem do Observatório da Educação na Universidade
Bandeirante de São Paulo - UNIBAN, projeto financiado pela CAPES/SECAD/INEP
e iniciado em novembro de 2008, sob a coordenação do Prof. Dr. Ruy César
Pietropaolo.
A proposta do Projeto Observatório é a constituição de um grupo
colaborativo de formação e pesquisas, cuja finalidade é promover e analisar o
desenvolvimento profissional docente de professores de Matemática. Além disso,
esse grupo busca contribuir com propostas de apoio efetivo ao trabalho do professor
nas aulas de Matemática da Educação Básica. Os processos de formação
acontecem em momentos alternados de ações presenciais e à distância por meio da
plataforma Tidia-Ae6. Os encontros presenciais ocorrem quinzenalmente na UNIBAN,
campus Marte.
6 O projeto aprendizado eletrônico (Ae) é uma iniciativa induzida de pesquisa financiada pela FAPESP dentro do programa Tecnologia da Informação para o Desenvolvimento da Internet Avançada – TIDIA.
29
1.5. A necessidade de um cenário: experimentos de Ensino
Os estudos desenvolvidos numa sala de aula regular são complicados, uma
vez que envolvem também outras barreiras, dentre elas a dimensão ética. Segundo
Borba (2004), os estudos realizados dentro dos muros escolares:
... dificilmente permitem que se tenham modelos mais detalhados de como determinado estudante, ou dupla deles, pensam sobre um determinado assunto. Uma alternativa para superar obstáculos como esses tem sido o que se convencionou chamar experimentos de ensino. (pág.7).
Nessa perspectiva, na presente pesquisa os experimentos de ensino foram
aplicados para um grupo de professores, que de forma espontânea se inscreveram
no projeto Observatório da Educação7 da UNIBAN/SP. Nesse estudo, como sugere
Borba (2004), as atividades pedagógicas foram propostas a professores-estudantes
de forma que o pesquisador-professor pudesse "ouvir" de forma detalhada a
Matemática desenvolvida pelos professores, quando foi sugerido o uso da tecnologia
informática de modo integrado ao desenvolvimento dessas atividades. Assim, esses
experimentos de ensino aplicados, e detalhados no próximo capítulo, visam o “ouvir”
a forma como professor-aluno, ou pares de professores-aluno, lidam com as
Tecnologias Digitais da Informação e da Comunicação (TDIC).
É importante observar que esse “ouvir” transcende o escutar, já que qualquer
gesto ou expressão facial desses professores-aluno podem ser muito mais
reveladores que um texto bem escrito e articulado. Entretanto, isso não quer dizer
que o presente estudo abandonará esses relatos escritos, ou qualquer outra fonte.
Na verdade, o que ser quer é deixar claro que a coleta de dados será feita por
diversos instrumentos, inclusive os registros em vídeo.
1.6. As etapas do estudo
A pesquisa foi dividida, em algumas etapas de desenvolvimento:
1ª Etapa – estudo exploratório – projeto piloto
Este estudo se iniciou com a realização de pesquisas no intuito de encontrar e
selecionar os softwares8 gráficos que poderiam ser utilizados, bem como atividades
7 Projeto desenvolvido na Universidade Bandeirante de São Paulo e financiado pela CAPES. 8 Tais softwares foram selecionados e a descrição e discussão de suas potencialidades encontram-se no capítulo IV.
30
que visassem à integração da tecnologia informática no desenvolvimento de
conceitos matemáticos.
Nessa etapa também foram realizados minicursos em alguns congressos
nacionais9 que tiveram por objetivo testar o tempo necessário às oficinas de coleta
de dados, bem como delinear melhor as atividades a serem utilizadas. Além disso, o
estudo piloto permitiu a reorganização dos questionários, bem como uma melhor
estruturação das entrevistas, maximizando qualitativamente a Coleta de dados.
Nesses minicursos solicitou-se aos participantes que respondessem algumas
perguntas previamente elaboradas na forma de questionário objetivo e discursivo.
Em seguida foram propostas atividades de matemática para reflexão, as quais
consideram o uso das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação (TDIC)
como recurso didático e de modo integrado ao desenvolvimento do conceito de
Funções quadráticas. Assim, as expectativas e dificuldades encontradas pelos
professores participantes foram levantadas, também foram descritas as conjecturas
que emergiram sobre as atividades e abordagens propostas durante a formação, o
que contribuiu para a realização da presente investigação.
2ª Etapa – Elaboração dos questionários que visam levantamento acerca do perfil do
professor participante e do roteiro básico para a entrevista semiestruturada. Nessa
fase, foi feita também a verificação na literatura disponível, de modo a estruturar as
abordagens e coletas de dados, bem como a organização da documentação
(autorização do professor, por meio de termos de consentimento; documentação
comitê de ética etc.).
3ª Etapa – Desenvolvimento do minicurso no projeto Observatório da Educação
Esta fase, destinada à implementação das oficinas e da avaliação das
dificuldades e conjecturas colocadas pelos professores da rede pública de ensino,
foi de suma importância para esta investigação, já que para trabalhar de modo
reflexivo na formação do professor, faz-se necessário dar voz ao professor
envolvido, reconhecendo suas expectativas, experiências profissionais e seus
anseios, como ensina Zeichner (2003).
9 VII Encontro Sul Fluminense de Educação Matemática (Vassouras-RJ, 2009) e V Encontro Mineiro de Educação Matemática (Lavras - MG, 2009).
31
Para o presente trabalho de investigação foi proposto aos professores
partícipes das oficinas que, em grupo, elaborassem e /ou adaptassem e, em
seguida, simulassem uma sequência didática e apresentasse em uma sessão
própria do minicurso em questão. Desse modo, essa exposição feita por esses
professores se constituiu em um material essencial a ser analisado pela presente
investigação. Além desse retorno em forma de exposição foi solicitado aos
professores que fizessem um esboço, em forma de plano de aula, da simulação
apresentada.
Ainda nessa etapa foi solicitado aos professores participantes que
elaborassem um relatório espontâneo, no qual poderiam descrever sem artificialismo
suas primeiras impressões a respeito da oficina e da abordagem utilizada, material
este que também se integrou aos instrumentos dessa pesquisa.
4ª Etapa – Análise dos dados
Nessa última etapa foi feita a análise dos dados e dos materiais coletados e/
ou produzidos tais como desenhos, rascunhos, textos, depoimentos e respostas dos
questionários.
A análise foi feita de modo que os dados coletados foram confrontados com a
literatura disponível no intuito de contribuir de fato com o que foi proposto na
presente pesquisa. Segue então, o detalhamento dos instrumentos de coleta de
dados utilizados na presente pesquisa.
1.7. Os Instrumentos de Coleta
Neste estudo, foram selecionados seis instrumentos para a coleta de dados,
quais sejam:
• Questionário - Ficha Perfil; • Questionário - Roteiro das Atividades; • Questionário - Ficha Levantamento de Conjecturas; • Relatório Espontâneo; • Roteiro de Entrevista semiestruturada; • Gravação audiovisual.
Indica-se a seguir a natureza destes instrumentos, a finalidade com que foram
utilizados e a descrição dos procedimentos de coleta, de registro e de análise dos
dados, relativos aos mesmos.
32
O primeiro instrumento utilizado, o Questionário – Ficha Perfil (Apêndice A),
teve por objetivo caracterizar os sujeitos participantes, por meio de informações
sobre dados pessoais e profissionais, tais como sua formação, suas experiências na
Educação Básica, identificação do tipo e frequência de uso do computador. O
questionário, em questão, apresenta questões objetivas, tanto de múltipla escolha
quanto em forma de perguntas abertas.
O Segundo Questionário – Roteiro das Atividades (Apêndice B) teve por
objetivo identificar as dificuldades encontradas pelos professores-alunos no decorrer
das oficinas. As atividades abordadas nas oficinas serão discutidas detalhadamente
no próximo capítulo, porém considera-se necessário esclarecer que se trata de
atividades já testadas por outros pesquisadores, algumas delas abordadas em
várias dissertações e teses, outras abordadas em vestibulares e livros didáticos.
Assim, é possível observar que tais atividades, que supõem o uso integrado das
TDIC, foram preparadas para ser trabalhadas com alunos. Assim sendo, ao abordá-
las com os professores-alunos se pretende investigar as conjecturas desses
professores sob duas óticas: a formação do próprio professor de matemática e a
visão didática do professor, bem como suas limitações pedagógicas.
Já o terceiro instrumento, o questionário – Levantando Conjecturas (Apêndice
C), teve por objetivo complementar a coleta anterior, no que tange ao levantamento
das conjecturas dos professores envolvidos nas oficinas. Nesse questionário as
perguntas são da forma abertas, mas direcionadas, permitem identificar as
concepções mais específicas do professor.
O relatório espontâneo, que se constituiu no quarto instrumento, foi uma
maneira encontrada para coletar as concepções mais “puras” do professor-aluno
sujeito da presente investigação. Esse relatório foi solicitado no último momento da
oficina e o professor-aluno pôde, sem qualquer intervenção do pesquisador-
professor, escrever suas primeiras impressões acerca da abordagem, tecnologia
informática integrada no desenvolvimento dos conceitos de funções quadráticas,
proposta durante a oficina. Embora tal relatório pareça ingênuo, as poucas linhas
escritas podem ser verdadeiras e reveladoras.
Os vídeos, quinto instrumento, coletados durante, todas as seções das
oficinas, além de se constituir num material preciso e livre de qualquer equívoco,
33
mostram detalhes tais como gestos, posturas, reações, sensações entre outros, que
foram reveladores para a presente investigação.
O sexto e ultimo instrumento utilizado, não menos importante, a entrevista
semiestruturada (Apêndice D), teve por objetivo preencher as lacunas deixadas
pelos demais instrumentos. A potencialidade das entrevistas semiestruturadas se
deve, principalmente, ao fato de poderem ser adaptadas e readaptadas ao logo do
desenvolvimento de toda a investigação.
Tendo estabelecido os procedimentos metodológicos, segue então os aportes
teóricos fundamentais para a presente pesquisa. O próximo capítulo traz alguns
aspectos importantes acerca das funções, dentre elas, as quadráticas que é o objeto
matemático abordado nesse estudo.
34
CAPÍTULO II 2. O ENSINO DE FUNÇÕES
Neste capítulo, encontra-se a análise acerca da inserção do conhecimento de
funções no currículo da educação básica brasileira, apresentando de forma sucinta,
considerações sobre algumas pesquisas desenvolvidas na Educação Matemática,
relacionadas aos processos de ensino e aprendizagem das funções e mais
especificamente das funções quadráticas. Desse modo, faz-se necessário explanar
como o conceito de função se apresenta na literatura, tais como o seu
desenvolvimento histórico; a sua relevância no contexto das pesquisas; o ensino de
funções nos documentos educacionais oficiais; algumas ideias matemáticas
fundamentais envolvendo o conceito de função.
É importante salientar que o conceito de Função, bem como os seus
processos de ensino e aprendizagem possuem grande relevância e têm sido motivo
de muitas investigações no âmbito da Educação Matemática, as quais são
sucintamente discutidas aqui, uma vez que serviram de subsídio para o presente
trabalho, propiciando uma visão mais ampliada sobre esse tema.
2.1. Diretrizes Nacionais para o Ensino de Funções, em particular das quadráticas
O ensino do conceito de Função, até meados do século passado, ocorria
somente no Ensino Superior. Aos poucos, principalmente com intervenções do
movimento da Matemática Moderna, passou-se a ensinar Funções na Educação
Básica (TINOCO et al, 1996).
No Brasil, durante o Movimento da Matemática Moderna, o ensino das
“Funções” passou a ser realizado a partir do oitavo ano de escolaridade, já que
nessa série os alunos, com aproximadamente quatorze anos de idade, teriam a
maturidade matemática requisitada para o aprendizado deste conteúdo matemático
(TINOCO et al, 1996). Entretanto, é importante reconhecer que os alunos já
vivenciam desde muito cedo, mesmo que intuitivamente, as ideias e o conceito de
Função, inclusive no cotidiano.
35
Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (Brasil, 1998) criticam a
abordagem desse conceito de forma mecanizada já que essa maneira de conceber
o ensino de Matemática leva os alunos a se distanciarem de suas situações
cotidianas, bem como de suas vivências matemáticas do dia-a-dia, dificultando a
cognição destes. Diante disso, esse documento sugere que os processos de ensino
e aprendizagem no quarto ciclo deem ênfase ao estudo dos conteúdos algébricos os
quais devem ser abordados de forma mais intuitiva.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio - PCNEM (BRASIL,
1999) apontam que o aluno deve ser levado a ler, interpretar e utilizar diferentes
formas de representação (tabelas, gráficos, expressões etc.); identificar, analisar e
aplicar conhecimentos sobre valores de variáveis representados em gráficos,
diagramas ou expressões algébricas; transcrever mensagens matemáticas da
linguagem corrente para linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas,
fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa. Em relação às aplicações dentro e fora da
Matemática, os Parâmetros tratam do tema função destacando que:
...o conceito de função desempenha também papel importante para escrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia (BRASIL, 1999, p. 42).
O conceito de Função está presente em diversas situações cotidianas, as quais
exigem que os alunos estejam preparados para analisar e entender o mundo em sua
volta. Sendo assim, é preciso estimular a criatividade, iniciativa, investigação, análise e
argumentação dos alunos para que estes sejam capazes de resolver problemas, de
interpretar informações e de utilizar diferentes formas de representação.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais - Brasil (2002) também sugerem que
os alunos do Ensino Fundamental desenvolvam experiências de aprendizagem em
Funções e a representação gráfica também como ilustração de situações reais
diversas. Desta maneira, é muito importante apresentar aos alunos situações,
problemas, tarefas intuitivas de aplicações contextualizadas, considerando a relação
com outras áreas e também os conhecimentos prévios dos alunos. Esse documento
justifica que ao lidar com o conceito de função em situações diversas e em outras
áreas, através de uma variedade de situações-problema, o aluno é incentivado a buscar
uma solução, adaptando seus conhecimentos sobre funções a fim de construir um
modelo para interpretação e investigação em Matemática.
36
Além disso, os PCN afirmam que o estudo do conceito de Função é apresentado
como importante por permitir que os alunos se apropriem da linguagem algébrica como
a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e
modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e
permitindo várias conexões dentro e fora da própria Matemática. Segundo esse
documento, “a ênfase do estudo das diferentes Funções deve estar no conceito de
Função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus
gráficos e nas aplicações dessas Funções.” (BRASIL, 2002, p. 121).
Em relação ao papel desempenhado pelo conceito de função como facilitador
na integração das disciplinas, os PCN salientam que:
...além das conexões internas à própria Matemática, o conceito de função desempenha também papel importante para descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia. Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática (BRASIL, 1999; p.44).
É nessa direção que D’Ambrósio (1997) enfatiza ser preciso abordar o ensino da
Matemática de modo contextualizado com outras áreas do conhecimento. Assim, as
Funções e suas formas de representações são essenciais para o estudo de problemas
de diversas áreas científicas como Física, Química, Biologia, Economia, Engenharia etc.
Ainda nessa perspectiva, é importante frisar que competências e
conhecimentos são desenvolvidos em conjunto e se reforçam reciprocamente.
Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a
outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades
que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e estruturam o
pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, para
se apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar
conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações
necessárias à sua formação (BRASIL, 2002). Entretanto, fazer essa
contextualização, bem como provocar o aluno a se tornar um articulador de seu
próprio desenvolvimento, não são tarefas simples e busca no professor de
matemática uma nova desenvoltura.
37
Reconhecendo a importância da abordagem apresentada pelo professor, o
Ministério da Educação (MEC) elaborou outro documento com o objetivo de
contribuir para o diálogo entre professor e escola sobre a prática docente, as
denominadas “Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM)” que vem
apresentar um conjunto de reflexões que possam alimentar a prática docente e que
levem em consideração os diferentes propósitos da formação matemática na
educação básica. Segundo esse documento, espera-se que os alunos, ao final do
Ensino Médio, saibam usar a Matemática para resolver problemas práticos do
cotidiano; para modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento;
compreendam que a Matemática é uma ciência com características próprias, que se
organiza via teoremas e demonstrações; percebam a Matemática como um
conhecimento social e historicamente construído; saibam apreciar a importância da
Matemática no desenvolvimento científico e tecnológico (BRASIL, 2006; p. 69).
Diferente dos Parâmetros Curriculares Nacionais, as Orientações Curriculares
do Ensino Médio apresentam uma nova divisão dos temas a serem desenvolvidas
no Ensino Médio. O Estudo de Funções ganha um bloco exclusivo para suas
análises. Nesse documento, os conteúdos básicos estão organizados em quatro
blocos: Números e operações; Funções; Geometria; Análise Combinatória e
Probabilidade. Isso não significa que os conteúdos desses blocos devam ser
trabalhados de forma isolada, mas, ao contrário, deve-se buscar constantemente a
articulação entre eles.
As Orientações Curriculares do Ensino Médio também sugerem que o estudo
de funções seja iniciado “com uma exploração qualitativa das relações entre duas
grandezas em diferentes situações: idade e altura; área do círculo e raio; tempo e
distância percorrida; tempo e crescimento populacional; tempo e amplitude de
movimento de um pêndulo, entre outras” (Brasil, 2006; p. 72).
Outros aspectos também são abordados nessas Orientações, como a
importância de provocar os alunos para que apresentem outras tantas relações
funcionais e que, de início, esbocem qualitativamente os gráficos que representam
essas relações, registrando os tipos de crescimento e decrescimento (mais ou
menos rápido). E ainda a conveniência solicitar aos alunos que expressem em
palavras uma função dada de forma algébrica, por exemplo, f(x) = 2 x + 3, como a
função que associa a um dado valor real o seu dobro, acrescido de três unidades;
38
isso pode facilitar a identificação, por parte do aluno, da ideia de função em outras
situações, como, por exemplo, no estudo da cinemática, em Física. Além disso, a
importância de se destacar o significado da representação gráfica das funções,
quando alteramos seus parâmetros, ou seja, identificar os movimentos realizados
pelo gráfico de uma função quando alteramos seus coeficientes (BRASIL, 2006).
Ainda sobre o ensino de funções, as Orientações Curriculares do Ensino
Médio recomendam que seja apresentado ao aluno os diferentes modelos, tomados,
inclusive em outras áreas do conhecimento como, por exemplo, os modelos linear,
quadrático e exponencial que podem ser relacionados os movimentos estudados na
Física. Esse documento também chama atenção para a importância de convidar o
aluno a construir gráficos das funções a partir de um entendimento global da relação
de crescimento/decrescimento entre as variáveis, uma vez que a elaboração de um
gráfico por meio da simples transcrição de dados tomados em uma tabela numérica,
além de omitir informações importantes acerca do objeto matemático em estudo,
não permite avançar na compreensão do comportamento das funções.
Neste momento é interessante citarmos o que do documento apresenta sobre
algumas considerações importantes acerca do estudo de funções:
...as ideias de crescimento, modelo linear (f(x) = a.x) e proporcionalidade direta devem ser colocadas em estreita relação, evidenciando-se que a proporcionalidade direta é um particular e importante modelo de crescimento. Nesse momento, também é interessante discutir o modelo de decrescimento com proporcionalidade inversa (f(x) = a/x). O professor deve estar atento ao fato de que os alunos identificam sistematicamente, de forma equivocada, crescimento com proporcionalidade direta e decrescimento com proporcionalidade inversa, e aqui é interessante trazer situações do quotidiano para ilustrar diferentes tipos de crescimento/decrescimento de grandezas em relação. Situações em que se faz necessária a função a. m (f(x) = a.x + b) também devem ser trabalhadas. (BRASIL, 2006; p. 72-73)
Dos documentos oficiais analisados, somente as Orientações Curriculares
apresentam uma abordagem mais direta da função quadrática e seu estudo que,
segundo as OCEM, deve:
...ser motivado via problemas de aplicação, em que é preciso encontrar um certo ponto de máximo (clássicos problemas de determinação de área máxima). O estudo dessa função – posição do gráfico, coordenadas do ponto de máximo/mínimo, zeros da função – deve ser realizado de forma que o aluno consiga estabelecer as relações entre o ”aspecto” do gráfico e os coeficientes de sua expressão algébrica, evitando-se a memorização de regras. O trabalho com a forma fatorada (f(x) = a. (x - m)2 + n) pode ser um auxiliar importante nessa compreensão. Nesse estudo, também é pertinente deduzir a fórmula que calcula os zeros da função quadrática (a fórmula de Báskara) e a identificação do gráfico da função quadrática com a curva parábola, entendida esta como o lugar geométrico dos pontos do plano que
39
são equidistantes de um ponto fixo (o foco) e de uma reta (a diretriz). (Brasil, 2006, p.73)
As funções polinomiais também são tratadas nessas Orientações Curriculares
para o Ensino Médio:
... as funções polinomiais (para além das funções afim e quadrática), ainda que de forma bastante sucinta, podem estar presentes no estudo de funções. Funções do tipo f (x) = xn podem ter gráficos esboçados por meio de uma análise qualitativa da posição do ponto (x, xn) em relação à reta y = x, para isso comparando-se x e xn nos casos 0 < x < 1 ou x > 1 e usando-se simetria em relação ao eixo x ou em relação à origem para completar o gráfico. Funções polinomiais mais gerais de grau superior a 2 podem ilustrar as dificuldades que se apresentam nos traçados de gráficos, quando não se conhecem os “zeros” da função. Casos em que a função polinomial se decompõe em um produto de funções polinomiais de grau 1 merecem ser trabalhados. Esses casos evidenciam a propriedade notável de que, uma vez se tendo identificado que o número c é um dos zeros da função polinomial y = P(x), esta pode ser expressa como o produto do fator (x - c) por outro polinômio de grau menor, por meio da divisão de P por (x - c). (BRASIL, 2006; p.74)
As Orientações Curriculares ainda apontam alguns aspectos importantes a
serem trabalhados, entre os quais se destacam:
•Estudo da posição do gráfico, das coordenadas dos pontos de máximo e mínimo e dos zeros da função quadrática, que devem ser realizados de forma que o aluno consiga estabelecer as relações entre o “aspecto” do gráfico e os coeficientes de sua expressão algébrica. •A identificação do gráfico da função quadrática com a curva parábola (BRASIL, 2006, p. 73).
2.2. A proposta curricular do estado de São Paulo
Num âmbito mais específico, ou seja, fornecendo orientações para o ensino no
Estado de São Paulo, a Proposta Curricular (SÃO PAULO, 2008a), no Caderno do
Professor, propõe que o tema função quadrática seja abordado na 1ª série do Ensino
Médio. O Caderno expõe que:
... no trabalho com funções quadráticas, buscou-se favorecer a compreensão da representação gráfica e suas propriedades e o estudo de máximos e mínimos. Ao procurar contextualizar os conteúdos aqui propostos, o professor deverá utilizar situações do cotidiano, jogos, situações-problema ou mesmo situações intrínsecas à Matemática e a outras situações de aprendizagem que favoreçam o processo de ensino e aprendizagem das funções, inclusive problemas e exercícios para síntese dos conteúdos (SÃO PAULO, 2008b, p. 9).
A Proposta Curricular (SÃO PAULO, 2008a) apresenta conteúdos (temas)
como meios para o desenvolvimento das competências pessoais e para a
construção dos significados dos conteúdos estudados sugerindo, inclusive,
estratégias de ensino e recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno
para a compreensão do tema.
40
Em análise aos documentos oficiais, observa-se que os PCNEM (BRASIL,
1999) e as Orientações Curriculares (BRASIL, 2006) têm um caráter mais ideológico
e fornecem orientações gerais. Enquanto a Proposta Curricular (SÃO PAULO,
2008a) fornece orientações que abordam aspectos mais práticos, distribui conteúdos
por série e fornece orientações que estão mais próximas dos trabalhos em sala de
aula, inclusive tem o material destinado aos alunos. Essas diferentes abordagens
percebidas nos documentos oficiais não os tornam, de modo algum, contraditórios,
mas sim complementares.
Há, na realidade, consenso entre as orientações oficiais sobre a valorização
dos diversos aspectos que compõem o estudo de funções e a importância de um
trabalho cuidadoso a ser realizado em sala de aula. Entende-se que isso inclui
recorrer a metodologias e recursos variados de ensino, inclusive, as
videoconferências realizadas pela Secretaria da Educação dos estados de São
Paulo tem frisado algumas abordagens usando as TDIC, dentre elas, o software
Winplot.
No Caderno do Aluno, o da primeira série do Ensino Médio (volume 2), por
exemplo, tem vários exercícios acerca das funções quadráticas que sugerem
indiretamente o uso de softwares dinâmicos. Além disso, o material já parece
conceber teorias importantes para os processos de ensino e aprendizagem como,
por exemplo, a Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond
Duval.
No presente trabalho, o destaque é dado ao uso das Tecnologias Digitais da
Informação e Comunicação nos processos de ensino e aprendizagem do conceito
de Função quadrática. Assim sendo, evidencia a necessidade de explorar a
abordagem investigativa. Um dos aspectos essenciais para o processo de ensino e
aprendizagem do conceito de Função é a variação das situações de aprendizagem,
tanto do ponto de vista dos contextos, como dos significados que as expressões
matemáticas assumem. Desta maneira, a abordagem investigativa por meio da
informática busca nos alunos um papel fundamental para a aprendizagem de um
conceito em Matemática, pois, ao serem concebidos como investigadores
explicitarão suas ideias, pensamentos e raciocínios, estarão refletindo sobre as
mesmas e argumentando-as para justificar sua tomada de decisão (SKOVSMOSE,
2000).
41
2.4. Funções Quadráticas: abordagem dada pelos livros didáticos Como esse paradigma de pesquisa está interessado em investigar aspectos
que favoreçam a formação do professor que busca minicursos e oficinas em geral e,
quando se fala de livro didático, não se pode esquecer que estes ainda influenciam
bastante o processo de formação do professor, bem como sua tomada de decisão
didática (MAIA, 2007). Desse modo, para entender melhor o professor e suas
concepções sobre o ensino de Matemática, especificamente sobre o conceito de
funções quadráticas, tema central do presente estudo, se faz necessário uma
análise de como os livros didáticos abordam esse conceito.
Embora seja reconhecida a importância de se introduzir o estudo exploratório
de funções quadráticas no ensino fundamental, esse trabalho limitará sua análise
aos livros do Ensino Médio, em particular os do 1º ano. Visando verificar a proposta
explicitada por livros utilizados atualmente sobre o estudo da função polinomial do
segundo grau e analisar os tipos de exercícios, foram selecionados três livros do 1º
ano do Ensino Médio, os quais foram indicados pelo PNLEM-2010 e enviados para
as escolas objetivando uma análise por parte dos professores para que fossem
escolhidas as coleções que seriam utilizadas com seus alunos.
Como essa análise busca-se destacar os tipos de procedimentos e
abordagens que são considerados para um eventual estudo das funções
quadráticas, como a construção de gráficos da função polinomial do segundo grau,
as representações das funções quadráticas mais abordadas, bem como, quais são
as mudanças de Registros de Representação Semiótica abordada pelos autores.
Para enriquecer as discussões acerca das Funções polinomiais do segundo
grau, tema que o presente estudo aborda, é feita, a seguir, uma sucinta análise
sobre o desenvolvimento do tema nos livros: Dante (2009), Rubió e Freitas (2009) e
Giovanni e Bonjorno (2009) que serão chamados de X, Y e Z, respectivamente. A
escolha desses livros partiu da premissa que estes são livros clássicos, uma vez já
foram aprovados nos três últimos Programas Nacionais do Livro Didático (PNLD)
das escolas públicas, bem como vem sendo amplamente utilizado. Além disso,
esses livros foram os três escolhidos e indicados no PNLD 2009 na escola
acessada.
10 Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio.
42
� Abordagem Inicial
Os livros, X e Y, partem de problemas clássicos que envolvem área e
perímetro, coincidentemente ambos retratam área e perímetro de uma quadra de
futsal, conceituando função polinomial do segundo grau sem excesso de rigor e
formalidade. Após discussão desses problemas iniciais, os autores formalizam o
conceito de função quadrática. Já o livro Z, partiu direto para a formalização desse
conceito, apresentando e trabalhando resoluções de exercícios clássicos tais como:
“se x então f(x) e vice-versa”.
� Pontos Notáveis da Parábola
Quanto aos pontos notáveis da parábola, ou seja, intersecção com os eixos e
vértice, os livros X e Y fazem essa abordagem partindo de um estudo gráfico,
relacionando esses pontos notáveis da parábola à variação dos coeficientes a, b e c
da função quadrática, f(x) = x2 + bx +c. O Livro X vai além ao relacionar os pontos
notáveis em questão com os coeficientes, m e n, da forma canônica da função
polinomial do segundo grau. Assim, os livros, X e Y, propõem um estudo gráfico
para formalizar as propriedades desses pontos notáveis.
O livro Z define o zero da função e por meio de exercícios resolvidos ensina
determiná-lo, propondo em seguida exercícios semelhantes, demonstrando as
fórmulas do vértice, que serão usadas para resolvê-los. Desse modo, o livro z
apresenta a importância de determinar algebricamente os pontos notáveis da
parábola, ilustrando posteriormente, mas em nenhum momento, um tratamento
gráfico desses pontos.
� Máximos e Mínimos
Quanto às noções de ponto de máximo e de mínimo os três livros usaram
abordagens semelhantes. Na formalização do conceito foi utilizada a representação
algébrica associada à representação gráfica e, em seguida, foram dados alguns
exemplos de aplicações, como: custo mínimo de produção, balística, entre outros. O
livro Y buscou relacionar a variação do vértice em função dos coeficientes a, b e c
da função quadrática, f(x) = x2 + bx +c. Já o livro X, foi além, ressaltando a
interpretação gráfica aos estudos dos valores máximos e mínimos de uma função
polinomial do segundo grau.
43
Reflexões sobre a abordagem desses três livros
Dentre as três obras analisadas, nenhuma delas contém exercícios que
sugiram ao aluno a construção de vários gráficos num mesmo plano cartesiano,
diferentemente da Proposta Curricular (SÃO PAULO, 2008a) e dos aportes teóricos
escolhidos pela presente investigação e que nos próximos capítulos serão
amplamente discutidos. Nos livros X, Y e Z, nem mesmo nas orientações especificas
para os professores foi encontrada tal orientação. Essa abordagem seria essencial
para que os alunos conjecturassem padrões de variação geométrica da parábola em
virtude da variação dos coeficientes da sua representação algébrica.
A seguir, a tabela 2.1 destaca os tipos de tarefas apresentadas nos três livros
do Ensino Médio, bem como a quantidade de cada uma delas.
Tabela 2. 1 - Tipografia das atividades apresentadas nos livros analisados.
Perfil da Atividade Livro X (quant.
)
Livro Y (quant.
)
Livro Z (quant.)
Total
Identificação e introdução da função quadrática, análise de coeficientes e lei de formação
21 6 7 34
Construção de gráficos em geral 17 7 16 40 Localização e/ou determinação de pontos notáveis algebricamente 19 7 18 44 Localização e/ou determinação de pontos notáveis a partir do gráfico
1 4 2 7
Localização e/ou determinação de pontos notáveis a partir de problemas
18 5 6 29
Encontrar o domínio e/ou a imagem a partir de Interpretação algébrica
0 1 14 15
Encontrar o domínio e/ou a imagem a partir de Interpretação Gráfica
0 1 0 1
Encontrar o domínio e/ou a imagem a partir de problemas 0 1 0 1 Dedução da expressão algébrica da função quadrática partir do gráfico
0 2 1 3
Dedução da expressão algébrica da função quadrática partir de problemas
15 5 8 28
Resolução de problemas de física, química ou outra disciplina 10 3 6 19 Resolução de problemas por meio de esboço gráficos (explicitamente)
0 0 0 0
Estudo do crescimento e decrescimento a partir da representação algébrica
6 3 12 21
Estudo do crescimento e decrescimento a partir da representação gráfica.
0 2 1 3
Manipulação estritamente algébrica 30 0 19 49 Transformações geométricas das parábolas de uma função quadrática em virtude da variação de seus coeficientes
4
4
0
8
Total 141 51 110 302
Observando a tabela anterior e as atividades apresentadas pelos três livros
analisados, pode-se notar que a representação algébrica é ainda prioritária.
44
Raramente se realiza a passagem da representação gráfica da função quadrática
para sua representação algébrica. Segundo Duval (2003) a compreensão em
matemática implica na capacidade de mudar de registro, e também em saber
explicar as propriedades ou aspectos diferentes de um mesmo objeto matemático
em suas diferentes representações.
Ainda a respeito das técnicas apresentadas fica evidente que a construção do
gráfico por pontos é o procedimento predominante. Do ponto de vista cognitivo,
construir gráficos desta maneira pode tornar o aprendizado lacônico ou equivocado,
no sentido de que este procedimento implica numa visão pontual do gráfico, na qual
o aluno preocupa em encontrar pares ordenados e localizá-los no plano cartesiano,
não fazendo muitas vezes a volta, ou seja, a partir do gráfico obter a expressão
algébrica. Tratamentos como este, segundo Duval (2003), não leva o aluno a
compreender adequadamente o conceito matemático.
Percebe-se também que há uma supervalorização da manipulação algébrica,
em detrimento do tratamento gráfico. Os gráficos são sempre esboçados, ou seja,
são construídos sem qualquer tipo de precisão. Além disso, a análise desses
gráficos construídos não é sugerida pelos autores em nenhum exercício.
Quanto ao tratamento ou mesmo o esboço gráfico, em nenhum momento foi
sugerido como ferramenta para solução dos problemas. Daí, cria-se uma crença
equivocada de que a construção de gráficos não serve muito para a resolução de
problemas.
Quanto ao material de apoio, o livro (X) não o continha, o livro (Y), continha o
planejamento do curso, bastante instrucional, sem sugestões de atividades que
convidasse o professor a integrar as TDIC nos processos de ensino e
aprendizagem. Já no livro (Z), o material de apoio ao professor demonstra que o
autor reconhece a importância de se iniciar a abordagem de um conceito com um
problema do cotidiano que facilite a discussão, o levantamento de conjecturas e,
principalmente, a inserção do paradigma investigativo. Entretanto, na prática o autor
já iniciou a abordagem com a formalização do conceito de função quadrática.
Ainda nesse tópico de apoio ao professor, no livro (Z) encontra-se uma
sugestão de atividade para o estudo dos vértices das famílias das parábolas.
Segundo Giovanni e Bonjorno (2009), esse estudo será potencializado com o uso de
uma ferramenta informática, o software Winplot que permite observar as
45
representações gráficas para as funções quadráticas, bem como levantar
conjecturas e hipóteses, testá-las, validá-las e, por fim, partir para uma
demonstração.
É justamente nesse prospecto que se insere a presente investigação, uma
vez que ela parte de premissas que o ensino e a aprendizagem do conceito de
função quadrática ocorrem de modo global quando o aluno percebe o gráfico como
uma fonte de variáveis visuais que estão relacionadas com os coeficientes da
expressão algébrica, seja ela geral, canônica ou polinomial na forma fatorada.
Diante do exposto nessa análise e tendo como premissa o objetivo dessa
investigação que é delinear mecanismo que favoreçam, mesmo que indiretamente, a
superação das dificuldades enfrentadas pelos professores de matemática para
integrar o uso das TDIC no ensino de conceitos matemáticos, surgiu a necessidade
de elaborar e ou organizar uma sequência didática para permear as oficinas a serem
desenvolvidas com os professores de matemática envolvidos. Porém, para a
complementação do cenário desta pesquisa se faz necessário ainda, a partir de
investigações já realizadas, um estudo de quais são as dificuldades apontadas nos
processos de ensino e aprendizagem das funções polinomiais do segundo grau.
2.5. Funções Quadráticas: dificuldades no ensino e na aprendizagem
Várias pesquisas, relacionadas ao ensino e a aprendizagem de funções
quadráticas, tais como as de Duval (1993,1995,1996), Kieran (1992), Schwarz
(1995), Maia (2007), apontam que os alunos encontram dificuldades no que diz
respeito à construção de gráficos dessas funções.
Schwarz (1995), por exemplo, fez um estudo com alunos do último ano do
Ensino Médio acerca desse assunto e concluiu que:
...os alunos não se habituaram a ver e relacionar as diferentes representações de uma função, adquirindo habilidade de passar da representação gráfica para a representação algébrica e vice-versa,[...] eles estariam destinados a permanecer com a concepção operacional11 , ou ainda, com uma concepção elementar de função (p. 128).
Esse pesquisador, durante sua investigação, percebeu ainda que uma
quantidade ínfima, destes mesmos alunos, tentou obter a representação algébrica
das funções quadráticas ao se depararem com as representações gráficas dessas 11 Segundo Sfard (apud SCHWARZ, 1995, p.22), concepção operacional é aquela cuja noção se pauta no processo calculatório.
46
funções. Desse modo, o autor concluiu que para uma quantidade relevante desses
alunos o gráfico já se basta, ou seja, acreditam que a representação gráfica de uma
função já possui todas as informações necessárias para que se decida se é função
ou não, bem como para resolver outros problemas desejados.
Nesse contexto, Maia (2007) elaborou uma sequência didática embasada na
teoria dos Registros de Representação Semiótica e na Teoria das Situações
Didáticas, utilizando a tecnologia informática, mais especificamente o software
Winplot, integrada nos processos de ensino e da aprendizagem do conceito de
funções quadráticas. Essa sequência foi aplicada a alunos da oitava série (nono
ano) do Ensino Fundamental, que já conheciam o software.
Essa pesquisadora concluiu que a utilização dessa ferramenta computacional
potencializou a representação gráfica. A utilização do software permitiu animações,
simulações e tentativas, favorecendo a ação crítica e a capacidade de prever o
comportamento das funções, o que não é possível com uso apenas de papel e lápis.
Por fim, a autora considerou que o resultado positivo de sua pesquisa, deveu-se à
escolha do referencial teórico e reconheceu que seria impossível a construção da
sequência sem a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, uma vez que
este referencial lhe permitiu observar que as modificações na representação
algébrica acarretam mudanças na representação gráfica.
Trabalhos realizados, como este de Maia (2007), sugerem a importância do
emprego de recursos tecnológicos para o ensino e aprendizagem da função
polinomial do segundo grau. Além disso, são sugeridos estudos complementares,
bem como o uso do software em grupos maiores e, em regiões diferenciadas. É
inegável que a legitimação do uso dessas tecnologias informáticas na sala de aula
depende diretamente da formação do professor para compreendê-las e incorporá-las
em sua prática docente.
É justamente nessa perspectiva que emerge esse trabalho de pesquisa.
Semelhantemente à sequência didática proposta por Maia (2007), mas tendo como
sujeitos professores-alunos a presente investigação organiza uma sequência
envolvendo a tríade professores – pesquisadora – tecnologias, cujo objetivo maior é
favorecer a integração das mídias nas práticas docentes.
Essas atividades foram organizadas e desenvolvidas de acordo com alguns
pressupostos teóricos tais como: - a Teoria de Mudança de Registro de
47
Representação Semiótica de Raymond Duval que considera que a aprendizagem de
um conceito matemático está intrinsecamente relacionada com a capacidade que o
estudante tem de distinguir um objeto de suas representações, bem como mobilizar-
se entre essas diversas representações através de transformações denominadas
Tratamento e Conversão; - as Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação
(TDIC) e suas potencialidades diante dos processos de Ensino e Aprendizagem; o
Knowledge Base ou “base de conhecimentos docentes” de Lee Shulman que é um
repertório profissional que contém categorias de conhecimento que subjazem à
compreensão que o professor necessita para promover a aprendizagem do aluno.
No próximo capítulo segue então uma discussão mais detalhada desses aportes
teóricos servidos no tecer dessa dissertação.
48
Capítulo III
3. IDEIAS E SUPORTES DESSA INVESTIGAÇÃO
Nos capítulos anteriores foram apresentadas as justificativas e a questão de
pesquisa. Desse modo, nesse terceiro capitulo será discutida a Teoria dos registros
de representação semiótica de Raymond Duval, a importâncias das TDIC, bem
como as tendências dos cursos de formação continuada do professor de
matemática, os quais foram primordiais para o desenvolvimento do presente
trabalho de pesquisa.
3.1. Os Registros de Representações Semióticas e a Aprendizagem
O atual paradigma de ensino da matemática tem provocado nos estudantes
certa consternação, no que se refere aos saberes inerentes da Matemática. Sabe-se
que esse desânimo manifestado pelos alunos está intrinsecamente relacionado ao
fato destes não conseguirem atribuir significados para o estudo dos conceitos
matemáticos, uma vez que estes sequer conseguem relacionar os conceitos
matemáticos aos seus conhecimentos matemáticos próprios da vivência cotidiana.
Nessa perspectiva, Duval (2003) afirma que para se compreender um
conceito matemático, bem como atribuir significado a ele, é indispensável
representá-lo através de vários registros de representação semiótica, tais como:
linguagem natural, figuras geométricas, escritas algébricas formais e as
representações gráficas. A articulação entre esses diferentes registros de
representação semiótica, de acordo com este pesquisador, exerce uma função
importante na construção do conhecimento acerca do objeto em estudo, bem como
a organização do pensamento matemático. Desta forma, percebe-se a importância
de se priorizar, em sala de aula, atividades que permitam ao aluno confrontar com
diversos registros de representação semiótica para um mesmo objeto matemático,
bem como apropriar-se das possíveis articulações entre esses registros.
Entretanto, segundo Duval (2003), ao estudar um conceito matemático
fazendo tais articulações acerca do objeto em estudo é peremptoriamente
necessário que o aluno reconheça as diferenças existentes entre um objeto
matemático e suas diversas representações. Por outro lado, Duval (2003) também
afirma que não existe noésis sem semióse, ou seja, a apreensão e/ou a produção de
49
uma representação semiótica acerca de um objeto está intrinsecamente relacionada
aos atos cognitivos responsáveis pela apreensão conceitual desse objeto.
Diante disso, Duval (2003) reconhece que essa distinção entre objeto e sua
respectiva representação pode parecer um paradoxo, uma vez que o objeto e sua
representação estão intrinsecamente relacionados. Exemplificando o paradoxo
levantado por esse pesquisador, faz-se necessário reconhecer a distinção entre a
intersecção da parábola com eixo das abscissas (representação do objeto) e o
conceito de zero de uma função quadrática (objeto matemático), uma vez que o zero
de uma função pode apresentar diversas representações, mas seria impossível
qualquer representação para o objeto (zero da função quadrática) sem um domínio
conceitual desse objeto, o que sugere não existir noésis sem semióse.
Desse modo, para que o aluno ou o cognoscente represente adequadamente
um objeto matemático, articulando entre seus diversos Registros de Representação
Semiótica acredita-se veemente que, em um primeiro momento, este indivíduo
reconheça a natureza deste objeto matemático em estudo, bem como suas
propriedades e relações com outros objetos, matemáticos ou não. Em Duval (2003),
fica explícito que essa questão vai exigir um planejamento de estudo que favoreça a
abordagem simultânea de duas intervenções cognitivas as quais estão vinculadas,
por um lado, às diversas representações semiótica para um objeto matemático e,
por outro lado, ao próprio objeto em estudo e suas propriedades e características
inerentes.
Segundo Duval (2009), a mudança de um Registro de Representação
Semiótica vai depender de um desenvolvimento que permita o cumprimento de três
atividades cognitivas:
� a formação de uma representação identificável (recurso da língua
materna ou natural, desenhos, figuras, tabelas, diagramas, esboços,
esquemas ou fórmulas com símbolos próprios da ciência abordada) que parte
da constituição de um aspecto uniforme ou agrupamento de traços
perceptíveis no intuito da representação de algo em um sistema
padronizado;
� o tratamento que é uma transformação da representação interna do
registro, ou seja, são mudanças a partir de regras inerentes ao sistema
semiótico e mobilizando apenas um registro de representação, obtendo,
50
assim, outras representações que ao serem confrontadas com as
representações iniciais promovam a construção de algum conhecimento;
� a conversão é a transformação de uma dada representação de um
objeto em outra representação de um sistema semiótico distinto, mas
mantendo a referência que se tem do objeto abordado. pode-se dizer que a
conversão consiste em mudar a forma pela qual um objeto é representado, de
modo que a última representação obtida permita conjecturar e formalizar
novas significações acerca do objeto representado em outro sistema
semiótico.
Aprofundando a análise do uso das representações, a Teoria dos Registros
de Representação Semiótica de Raymond Duval (2003) diz que durante o processo
de estudo dos objetos ou conceitos matemáticos devem ser essencialmente
enfatizadas duas transformações dos Registros de Representação Semiótica: os
tratamentos e as conversões. É importante salientar que embora essas
transformações possuam pontos comuns, como o próprio objeto matemático, elas
possuem um desenvolvimento bastante antagônico. Desse modo, no próximo tópico
tem-se uma discussão mais preconizada desses dois tipos de transformações.
3.1.1.Tratamentos e Conversões
Segundo Duval (2003), reconhecer a diferença entre esses dois tipos de
transformação de representação é peremptório para a compreensão dos processos
de ensino e aprendizagem que permeia a cognição. Esse pesquisador descreve do
seguinte modo esses dois tipos de operação possíveis entre os registros:
Os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo registro: por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números; resolver uma equação ou um sistema de equações; completar uma figura segundo critérios de conexidade e de simetria. As conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação a sua representação gráfica (DUVAL, 2008, p. 16).
Desse modo, tem-se que o tratamento e a conversão são de naturezas
diferentes. O tratamento é uma transformação de uma representação em outra
representação de mesma natureza. É uma transformação interna, no próprio
registro. Por exemplo: a resolução de uma equação, a determinação do zero de uma
51
função, finalizar uma figura que exija uma transformação geométrica etc.
Já a conversão é uma transformação externa ao registro de um registro de
representação em outra representação de outra natureza, conservando a totalidade
ou parte da representação inicial, mas fazendo menção sempre ao mesmo objeto.
Por exemplo: a representação de uma função (objeto) que está em seu registro
algébrico (uma representação) em um registro gráfico no eixo cartesiano (outra
representação). Esse tipo de mudança de registro se mostra mais eficaz, em relação
à transformação por simples tratamento, favorecendo diversas situações de
aprendizagem, bem como a construção do pensamento matemático.
Segundo Duval (1995), não se deve privilegiar apenas o tratamento,
reforçando a importância da uniformidade, como se uma metodologia uniforme fosse
responsável pela descrição de uma informação precisa e coesa. Então, é importante
reconhecer que ao abordar a conversão das representações de um sistema
semiótico a outro, o confronto entre as representações, inicial e final, que se
apresentam em formas distintas, bem como as possíveis conjecturas e
formalizações levantadas acerca dessas representações propiciarão uma real
intervenção cognitiva.
Por outro lado, faz-se necessário reconhecer que a transformação de
representações a partir da conversão não é notória, tampouco cognitivamente
imparcial, seja pela necessidade de se reconhecer a semiósis como essencial para a
construção do pensamento matemático ou pelas as condições de uma distinção
entre o objeto matemático e suas representações (BRANDT, 2007).
Outra dificuldade a ser relatada centra-se no fato de que as diversas
possibilidades de registros de representação para um mesmo objeto matemático não
fazem parte de um mesmo sistema semiótico (BRANDT, 2007). No caso das
funções quadráticas (objeto matemático), ao pensar na conversão já se sabe da
importância de se representar esse objeto (a função quadrática) por meio de
registros de representação distintos, de natureza diferente e com semânticas
próprias, por exemplo, no registro algébrico e gráfico.
Desse modo, é notório que o tratamento e a conversão, transformações feitas
num registro de representação, não podem e nem devem ser confundidos, haja vista
que não são operações semelhantes, advindo de natureza e sistema semiótico
distintos, ainda que elas sejam duas formas possíveis de transformações das
52
representações semióticas para certo objeto (BRANDT, 2007).
Também é importante reconhecer que cada registro favorece um tipo de
tratamento, uma vez que cada registro de representação possui um sistema
semiótico inerente de modo que determinada transformação pode ser feita eficaz e
parcimoniosamente em um tipo específico de registro. Analogamente, registros que
comungam de um mesmo sistema semiótico apresentam representação e
tratamento equivalentemente indissociáveis (BRANDT, 2007).
Já a conversão semiótica conserva a menção que se faz ao objeto, podendo
variar apenas a visualização que se faz deste objeto enquanto conteúdo. Esta
variação no conteúdo ou nos aspectos visuais do objeto vai depender da natureza
semiótica do registro. Desse modo, a conversão implica em mudança no
procedimento de interpretação, uma vez que o conteúdo da representação final
provoca uma interpretação distinta da representação inicial. A conversão requer
percepção quanto à diferença entre a forma e o conteúdo da representação. Sem
essa percepção, a atividade de conversão torna-se inviável (DUVAL, 2009).
3.1.2. Exemplos de Tratamentos e Conversões
Conforme exposto, os Tratamentos e as conversões são transformações no
registro de representação semiótica essenciais para atividade matemática. No que
tange os processos de ensino e aprendizagem, a compreensão desses dois tipos de
transformação, bem como a distinção entre permitem ao professor a partilha
ponderada e a inserção profícua destes no desenvolvimento dos conceitos
matemáticos curriculares, não supervalorizando um em detrimento do outro, uma
vez que ambos têm sua especificidade. Desse modo, faz-se necessária, uma
discussão mais palpável e exemplificada desses processos de transformação, os
tratamentos e as conversões.
Para iniciar tal discussão pode ser elucidado, por exemplo, a resolução da
equação )22)(84()1)(13(2 −−=−−⋅ xxxx a qual é implicitamente uma equação
quadrática e é apresentada na linguagem algébrica. Conforme o Quadro 3.1,
percebe-se que as equações obtidas em cada etapa são equivalentes entre si. O
registro algébrico é conservado, mas, no entanto, a representação inicial sofreu
transformações até chegar em x = 7 ou x=1.
53
1=ou x 7 =x
134
734
34
9)4(
)4(7)4(42
78
14162
16248286
)161688()133(2
)22)(84()1)(13(2
2
222
2
2
22
22
∴
=⇒−=−
=⇒=−
±=−
=−
+−=+⋅⋅−
−=−
=+−
+−=+−
+−−=+−−⋅
−−=−−⋅
xx
xx
x
x
xx
xx
xx
xxxx
xxxxxx
xxxx
Quadro 3. 1 - Resolução de uma equação quadrática, sob o ponto de vista de Tratamento (DUVAL, 2003)
A partir do exemplo de resolução proposta no quadro 3.1 fica evidente que a
mudança de registro foi dada via tratamento, cujo processo de modificação do
registro prioriza a configuração, fazendo com que esse tipo de transformação seja a
mais utilizada pelos professores como mecanismo de justificativa. Entretanto, Duval
(2003) assinala que é importante reconhecer que o tratamento é uma operação
procedimental, o que exige certa ponderação em seu uso, uma vez que
supervalorizá-lo em relação às outras transformações pode ser o estampido inicial
para que o aluno conclua inadequadamente que determinado objeto possui uma
única representação, não distinguindo o objeto matemático de sua respectiva
representação.
Já a conversão trata de uma transformação de uma dada representação em
outra representação e em outro registro, mas conservando a referência ao mesmo
objeto. Por exemplo, a função quadrática do tipo y = x² - 3x + 4 está representada na
forma algébrica e pode ser representada num registro gráfico, conforme a Figura
3.1:
Figura 3. 1 - Registro de Representação Semiótica Gráfica para a função quadrática, f(x), x2-3x+4.
54
Outra exemplificação pode ser feita considerando a suposição que se tenha
solicitado a solução para o seguinte o problema: um retângulo, cuja área tem o
mesmo valor numérico que seu perímetro, tem a base duas vezes maior que a
altura. Quais são as dimensões desse retângulo?
Nota-se nesse problema uma equação a qual se encontra em linguagem
natural. Desse modo, é possível fazer conversões em busca de sua resposta.
Primeiramente pode-se fazer uma conversão da linguagem natural para o registro
figural e posteriormente para o registro de representação algébrica apresentados no
Quadro 3.1:
Quadro 3. 2 - Conversão da Linguagem Natural para outros Registros de Representação Semiótica.
Outra conversão possível, dentre tantas outras ainda, seria fazer a seguinte
representação algébrica: área do retângulo = f(x) = 2x²; e o perímetro do retângulo =
g(x) = 6x e, em seguida, fazer a conversão dessa representação algébrica para um
registro de representação gráfico e a partir da intersecção descobrir as dimensões
buscadas, conforme a Figura 3.2:
Figura 3. 2 - Conversão para Registro Gráfico e Tratamento Interno desse Registro.
55
O fato de existir uma diversidade de registros de representação semiótica, dá
à conversão a sua devida importância no processo de construção do conhecimento,
pois ajudará o aprendiz a reconhecer a existência de várias representações para um
mesmo objeto. Segundo Duval (2003), a operação de conversão favorece ao sujeito
“enxergar” a diferença entre objeto e suas respectivas representações.
Tão importante quanto à conversão está a mobilização entre os vários tipos
de registros de representação. Nessa perspectiva, Duval (2003) diz que:
... a originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação, ou na possibilidade de trocar, a todo momento, de registro de representação (DUVAL, 2003, apud MACHADO, 2003, p.13- 14).
O que Duval (2003) salienta é que não se pode garantir aprendizagem
focando o ensino apenas nos tratamentos. Estes são muito úteis para justificar
procedimentos, porém a atividade da conversão de registros de representação
permite ao sujeito ampliar a dimensão conceitual.
Considerando outro registro inicial da função quadrática, por exemplo, y = x2 -
5x + 6, que se encontra na representação semiótica gráfica, conforme a figura 3.3 :
Figura 3. 3 - Conversão de Registro e o reconhecimento que um Signo complemente o outro.
Nota-se com facilidade que nesse registro gráfico há elementos que no
registro de representação algébrica equivalente não se vê imediatamente. Na figura
3.3, os pontos vermelhos indicam os zeros da função quadrática, y = x2 - 5x + 6, o
que na representação algébrica não fica explícito. Acerca deste aspecto, Duval
(1993) frisa que ao considerar diversos Registros de Representação Semiótica para
um mesmo, é importante reconhecer que um registro complementa o outro e vice-
56
versa.
Segundo Duval (2003), a articulação entre registros garante a formalização do
conceito matemático pelo aluno, uma vez que ele percebe elementos particulares de
cada Registro de Representação Semiótica.
Suponha três funções quadráticas que gozam do registro de representação
semiótica algébrica: (I) y= x2 - 6x +5; (II) y + 4 = (x – 3)²; (III) y = (x – 5)(x –1).
Embora essas funções sejam equivalentes, elas são resultados do Tratamento
(Mudança de Registro de Representação Semiótica Interna) e trazem informações
diferentes sobre o mesmo objeto. Na primeira sobressaem os coeficientes, na
segunda o vértice da parábola fica explícito, enquanto na terceira forma enxergam-
se com facilidade as raízes.
A figura 3.4 traz as representações cartesianas das funções (I, II e III) e fica
visível que trazem informações diferentes sobre o mesmo objeto.
Figura 3. 4 - Representação Cartesiana para o mesmo objeto, mas em Registros Internamente
diferentes. Diante do exposto, fica clara a ideia defendida por Duval (2003) de que
nenhum registro por si só é completo no sentido de representar integralmente um
objeto. Desse modo, ainda que um registro de representação traduza certo objeto,
ele será parcial, uma vez que os conteúdos em questão são diferentes.
Assim, as transformações de tratamento e conversão são duas operações
cognitivas essenciais para a compreensão de objetos matemáticos e sua posterior
conceitualização.
57
3.1.3. Implicações dessa teoria na presente pesquisa
Diante do exposto, a Teoria dos Registros de Representação Semiótica
fornece suporte essencial para a elaboração e a análise das atividades propostas
nas oficinas, bem como para os procedimentos pedagógicos metodológicos durante
a realização das oficinas.
Além disso, ao analisar os dados dos professores partícipes será averiguada
também predisposição que estes têm para reconhecer e servir-se da mudança de
registros de representação semiótica nos processos de ensino e aprendizagem das
funções polinomiais do segundo grau.
3.2. As Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação (TDIC)
A palavra tecnologia é empregada na área educacional com diversos
sentidos: artefato, cultura, atividade com determinado objetivo, processo de criação,
conhecimento sobre uma técnica e seus respectivos processos etc. (ALMEIDA;
MORAN, 2005). Para Kenski (2007) diferentes equipamentos, instrumentos,
recursos, produtos, processos, ferramentas são definidos como tecnologias. Nas
palavras de Moran (2003):
...quando falamos em tecnologias costumamos pensar imediatamente em computadores, vídeo, softwares e Internet. Sem dúvida são as mais visíveis e que influenciam profundamente os rumos da educação [...]Tecnologias são os meios, os apoios, as ferramentas que utilizamos para que os alunos aprendam. [...] O giz que escreve na lousa é tecnologia de comunicação e uma boa organização da escrita facilita e muito a aprendizagem. A forma de olhar, de gesticular, de falar com os outros, isso também é tecnologia. O livro, a revista e o jornal são tecnologias fundamentais para a gestão e para a aprendizagem e ainda não sabemos utilizá-las adequadamente. O gravador, o retroprojetor, a televisão, o vídeo também são tecnologias importantes e também muito mal utilizadas, em geral (p. 151).
Para Kenski (2007), as TDIC são suportes midiáticos populares com enorme
penetração social; baseados no uso da linguagem oral, escrita e da síntese entre
som, imagem e movimento. Com o avanço tecnológico das últimas décadas
garantiu-se novas formas de uso das TDIC para a produção e propagação de
informações, a interação e a comunicação em tempo real no momento em que o fato
acontece, criando e aprimorando formas de desenvolver o conhecimento.
Ao conceber as tecnologias digitais como ferramenta para a construção do
conhecimento, percebe-se que somos influenciados pela utilização das mesmas em
todo o processo de produção, e que essas tecnologias também sofrem uma
58
atualização constante, trazendo mecanismos cada vez mais eficientes nas questões
tempo e custo. Por exemplo, já se falou em NTIC (Novas Tecnologias de Informação
e Comunicação) as quais, em curto espaço de tempo, passaram a ser chamadas de
apenas tecnologias já que o adjetivo “Novo” de “Novas” será pertinente a outras
tecnologias que ainda estão por chegar.
Sobral (1999) já dizia que nos encontrávamos na famosa “Era da Informação”,
nada melhor do que saber como obtê-la e mesmo produzi-la com rapidez. Aprender
a trabalhar com tecnologias implica em aprender em um ambiente de mudanças
constantes, onde surgem diversas possibilidades. Nesse contexto, a tecnologia está
diminuindo a distância entre as pessoas, fato este que está levando as mesmas a
uma contextualização do futuro acontecendo hoje.
Cada vez mais é possível notar a presença das tecnologias da informática no
cotidiano. Para aqueles que têm acesso às TDIC, elas podem ser notadas de modo
direto, como no acesso a computadores com o uso da Internet (seja em casa, em
lan house e até mesmo em escolas). Com essas facilidades atuais, a Internet está
acessível para pessoas de todos os poderes aquisitivos. Além disso, diversas vezes,
as pessoas utilizam as TDIC sem notar que estão fazendo uso delas, como na
utilização de cartões de crédito, “Num processo de naturalização, incorporamos
formas de trabalho sem perceber a utilização das [TDIC] [...]” (CORRÊA, 2003, p.
46). Assim, a informática representa uma alavanca que cria condições para os
processos de mudanças que podem ocorrer na sociedade, o que conduz à noção
atual de estarmos vivendo na sociedade da informação (PONTE; OLIVEIRA;
VARANDAS, 2003).
Para Lyotard (1993, 1998), grande filósofo francês, o grande desafio da
espécie humana na atualidade seria a tecnologia. Segundo esse pesquisador, a
única chance que a população humana tem, para conseguir acompanhar o
movimento do mundo, é adaptar-se à complexidade que os avanços tecnológicos
impõem a todos, sem exceção. É também esse o desafio da educação: adaptar-se
aos avanços da tecnologia e orientar o caminho de todos para o domínio e a
apropriação crítica desses novos meios (KENSKI, 2007).
A familiarização e utilização do computador e Internet são habilidades
desejáveis em qualquer professor, podendo e devendo ser desenvolvidas
independentemente de sua área de atuação. Entretanto o uso de recursos
59
computacionais em sala de aula requer alguns cuidados especiais como:
conhecimento do software a ser trabalhado e planejamento da aula para a sua
correta utilização e contextualização.
Para Moraes (2002), o processo de formação para uso da informática no
ensino está defasado, não havendo um modelo adequado na formação do professor
para o uso competente dessas tecnologias informáticas dentro das escolas. Outro
aspecto nos cursos de atualização diz respeito ao fato de os professores refletirem
sobre suas práticas educativas em sala de aula, contribuindo, dessa maneira, para
seu desenvolvimento profissional e pessoal.
Ao longo dos anos, as propostas para o ensino de Matemática já passaram
por diversas reformas visando solucionar problemas nos processos de ensino e
aprendizagem dessa disciplina. As mudanças surgidas nas propostas de ensino,
baseadas nas teorias do construtivismo desenvolvidas por Jean Piaget, passaram a
ter papel central nos processos de ensino e aprendizagem (PRADO, 2003).
Devido à influência da pedagogia crítica na década de 90, foram estimuladas
reformas curriculares que propuseram desafiar o caráter centralizador das propostas
do Ministério da Educação. Foi neste período que o Governo Federal realizou
esforços para difundir os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). O estado de
São Paulo escolheu como princípio para ordenação ou integração dos currículos a
questão da interdisciplinaridade. Este princípio deveria ocorrer no âmbito do projeto
pedagógico de cada escola, cabendo aos órgãos centrais a determinação dos
objetivos dos projetos.
Já nos PCN, são propostos programas de ensino que envolvam a formação
ética, que promovam a autonomia intelectual e a compreensão dos fundamentos
científico-tecnológicos dos processos produtivos (BRASIL, 1998). Contudo em sua
grande maioria os PCN foram deixados de lado pelas escolas, visto que os
professores continuaram a se pautar em livros didáticos disponíveis para
desenvolver seus planejamentos (DOMINGUES; TOSCHI; OLIVEIRA, 2000). Pode-
se ainda dizer que outro insucesso dos PCN diz respeito à falta de programas de
formação para professores, ausência de trabalho participativo nas escolas e
diretorias e falta de divulgação e acesso dos documentos pelos professores.
Embora haja propostas de mudanças, observa-se que no Brasil, e em
sistemas educacionais de outros países em desenvolvimento, ainda prevalecem
60
tendências de currículos tradicionalistas (MOREIRA, 2000). Mesmo as poucas
iniciativas que tentam fugir do papel autoritário do professor e passam a se basear
no outro extremo que dita “a construção do conhecimento pelo próprio aluno”
esbarram em outro problema que leva à abdicação do professor do seu papel de
orientador do aprendizado (KRASILCHIK, 2000).
Dilemas equivalentes com a implantação do uso de recursos tecnológicos,
principalmente o computador são criados. O computador pode ser fonte eficiente de
fornecimento de informações, mas seu potencial como equilibrador da relação
professor-aluno ainda é subutilizado como instrumento que pode dar ao aluno
autonomia para buscar as informações que lhe interessam, possibilitando assim seu
aprendizado. Assim o professor auxilia o educando a procurar e coordenar o que
aprende. Qualquer reforma deveria suscitar essas questões que são básicas para
uma mudança real na qualidade de ensino (KRASILCHIK, 2000).
Nesse contexto o ensino de Matemática apresenta dificuldades próprias além
das que compartilha com disciplinas afins. Em Matemática, os alunos são expostos
a um grande número de situações problemas que geram dificuldades na formação
de uma visão geral e articulada. O problema pode ser, pelo menos, amenizado por
soluções metodológicas, incluindo aqui o uso das TDIC.
Para promover um aprendizado ativo, especialmente em Matemática, que
realmente ultrapasse a memorização de fórmulas e procedimentos é importante
propor que os conteúdos sejam apresentados com problemáticas a serem resolvidas
pelos alunos.
As utilizações de softwares que foram concebidos com diferentes propósitos
educacionais; onde se destacam os softwares livres e gratuitos, têm grande
relevância nos processos de ensino e aprendizagem de Matemática. Considerando
que esses softwares têm permitida sua livre execução, distribuição e manipulação
podem contribuir com a preservação das identidades culturais e de gênero do
ciberespaço; outorgar aos usuários a possibilidade de saírem da simples função de
usuários/consumidores de tecnologia para se tornarem participantes ativos na
sociedade conhecimento; diminuir a lacuna digital, favorecendo usuários de baixos
recursos econômicos que se valem da possibilidade de acesso a um banco de
imagens e animações para a descrição de processos e características de ambientes
(CONSILI, 2003).
61
Através da leitura, observação e animação, os alunos experimentam formas
diferenciadas de obter informações sobre os conteúdos. A utilização de animações
apresenta vantagem sobre figuras convencionais quando se trata de promover a
compreensão de fenômenos essencialmente dinâmicos. Nessa categoria, por
exemplo, as famílias das funções quadráticas que necessitam de um grande número
de gráficos que possibilite a análise pretendida, onde cada um desses gráficos
consiste em objetos distintos, mas, suas visualizações devem ser simultâneas.
Além disso, as animações e resoluções de problemas presentes nos
softwares permitem aos alunos relacionar fenômenos, fatos, processos e ideias com
a Matemática, podendo elaborar conceitos, identificar padrões e regularidades ou
diferenças pontuais, permitindo assim, as generalizações. Entre varias as
estratégias, segundo Hornink (2005), destacam-se:
• a apresentação e resolução de problemas necessários para as demais
fases do programa; possibilitando a reflexão e raciocínio deixando de
lado o “adivinhar”;
• as simulações e animações que podem ser, de acordo com as
necessidades, repetidas para melhor entendimento;
• a intercalação entre conceitos previamente apropriados e questões de
explanação, ampliando assim o conteúdo estudado anteriormente;
• os questionamentos que objetivam estimular a reflexão sobre o tema
que será apresentado sequencialmente;
• os problemas a serem solucionados com a exploração dos conteúdos
dos softwares.
No acelerado desenvolvimento em que a tecnologia está presente, direta ou
indiretamente em atividades bastante comuns, a escola faz parte do mundo com a
função de contribuir para a formação de indivíduos capazes de exercer a cidadania e
ainda de participar de processos de transformação e construção da realidade
incorporando novos hábitos, comportamentos, percepções e demandas.
Os estudos relacionados à formação de professores têm avançado muito e
também tem apontado várias soluções para os problemas relacionados à duração
dos mesmos, a estrutura dos currículos que norteiam tais programas de formação ou
ainda a combinação da formação inicial e continuada como forma de preparar
melhor o profissional docente, porém, muito ainda se tem a fazer.
62
Segundo Valente (2003), a formação de professores não deve estar restrita à
transmissão de conhecimento sobre a utilização da informática de um modo
pedagógico, mas deve oferecer condições para que o professor possa elaborar seu
conhecimento sobre técnicas computacionais e ter a capacidade de integrar o
computador em sua prática pedagógica. Segundo esse pesquisador, o processo de
formação dos professores para o uso da informática no ensino deve ter quatro
metas:
• dar condições para que o professor entenda o computador como uma
nova forma de representação do conhecimento e possa rever seu
papel de professor;
• possibilitar ao professor vivenciar a contextualização de seu
conhecimento (utilizar-se das práticas vivenciadas pelos professores);
• propiciar à construção do conhecimento das técnicas computacionais e
possibilitar o entendimento da forma de integração de sua prática com
o computador;
• viabilizar um processo de recontextualização, ou seja, tudo o que foi
aprendido durante o curso de formação deve ser compatível com as
necessidades dos alunos e posto em práticas numa situação real.
É importante ressaltar que se faz necessário que o professor possa socializar
os relatos e análises realizadas sobre sua prática docente com os demais do grupo.
Baseado nesta perspectiva da formação de professores, Almeida (2002) diz que o
objetivo prioritário de um programa de capacitação para o uso das TDIC deverá ser
a promoção da autonomia para:
• aprender a aprender para resolver problemas com que se deparam na
vida e na profissão;
• aprender a pensar e tomar decisões, utilizar as TIC para a interação,
busca, seleção, articulação e troca de informações e experiências,
assim como para a representação, a reconstrução contínua do
conhecimento, a reflexão, a interação e a cooperação;
• acompanhar a evolução dos recursos tecnológicos e identificar suas
principais potencialidades e limitações para o uso educacional;
63
• participar em parceria com seus pares, da proposição, execução e
reflexão constante de projetos inovadores da escola, incluindo os
programas de formação continuada.
Diante disso temos que o livro, a cartilha, o lápis, a borracha, a caneta, o giz,
a lousa, o ábaco, a televisão, rádio, áudios e vídeos, dentre outros, também são
tecnologias. Então se verifica que diferentes tecnologias foram incorporadas aos
processos de ensino e aprendizagem ao longo do tempo e neste momento tem
ocorrido a inserção do computador na prática docente para o ensino da Matemática.
Entretanto, o tempo de trabalho do professor não segue a mesma
temporalidade da tecnologia, ou seja, as inovações nas práticas docentes não
seguem o mesmo ritmo das inovações tecnológicas. Desse modo, o professor deve
estar em constante aperfeiçoamento, necessitando de contínuos estudos nessa
área.
Além disso, fica claro que as Tecnologias Digitais da Informação e
Comunicação podem permitir um novo encantamento na escola ao abrir espaços
que possibilitem aos alunos conversar, pesquisar, enfim interagir com alunos da
mesma ou de outras cidades e países no seu próprio ritmo. Mas não basta apenas
introduzir tecnologias de informação e comunicação nas escolas por modismos. É
importante que haja uma ampla discussão entre essas tecnologias e o processo de
ensino aprendizagem para que não haja também rejeição ou supervalorização da
tecnologia, já que essa é uma produção humana.
Então fica claro que as TDIC são verdadeiras potencialidades para os
processos de ensino e aprendizagem, mas o uso profícuo depende intrinsecamente
da metodologia usada. Dentro dessa perspectiva e como um questionamento natural
sobre o papel que a as Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação exercem
nas salas de aula, Perrenoud (2000), levanta a seguinte questão:
... a verdadeira incógnita é saber se os professores irão apossar-se das tecnologias como auxílio ao ensino, para dar aulas cada vez mais bem ilustradas por apresentações multimídia, ou para mudar de paradigma e concentrar-se na criação, na gestão e na regulação de situações de aprendizagem. (p. 139)
Esse questionamento colocado pelo pesquisador Perrenoud, também foi
motivo de preocupação da presente pesquisa, principalmente naquilo que concerne
à escolha das abordagens das atividades utilizadas nas oficinas, bem como no
procedimento metodológico de desenvolvimento do curso. Nesse prospecto, é
64
importante frisar que esse trabalho adotou o uso das Tecnologias Digitais da
Informação e Comunicação para além de um recurso mediático prático e ilustrativo.
Partindo dessa reflexão, aos escolher o software e applets, foi verificada a
possibilidade desse suporte permear uma mudança de cenário cognitivo, dando
ênfase ao estudo investigativo, à atividade de prova, às possibilidades de perceber
regularidades e padrões, ao ato de conjecturar hipóteses e testá-las. Esse estudo
também se preocupou, desde suas ideias iniciais, em integrar as TDIC no processo
de ensino de um conteúdo matemático no intuito de discutir modos de ensino que
realmente propiciem a aprendizagem, uma vez que o objetivo desse trabalho é
contribuir para formação continuada do professor, em especial no que concerne o
uso das TDIC adequadamente.
Quanto ao uso de softwares educacionais, já faz algum tempo que vem se
estudando como estes interferem no processo de construção do conhecimento
matemático e ainda assim essa temática parece não se esgotar, haja vista que
muitas pesquisas continuam sendo desenvolvidas tratando de questões cada vez
mais específicas (JAVARONI, 2007; ARAÚJO, 2007; SOARES, 2009; BORBA,
2010).
Segundo Borba (2010), a principal pergunta que vem sendo feita dentro dessa
temática é: “como que um determinado software pode contribuir para que estudantes
tentem chegar a uma justificativa matemática e façam a ligação entre a exploração
indutiva e o desenvolvimento do raciocínio dedutivo?” (p. 2).
Nessa perspectiva, Santos (2008) diz acreditar que com estes softwares é
possível investigar diferentes variações de um objeto matemático, inferido padrões,
propriedades, regularidades e, consequentemente, fazer generalizações, deduzindo
fórmulas , verificando proposições e confirmando teoremas. A exemplo disso, está o
Winplot que permite verificar padrões numa família de funções quadrática, f(x) = ax2
+bx + c, a≠0, quando varia um de seus coeficientes (a, b ou c).
De acordo com Borba (2010), os softwares gráficos, como o Winplot, por
exemplo, são excelentes feedbacks no que tange, principalmente, a representação
gráfica, uma vez que o usuário pode inserir uma função, em sua representação
algébrica, e gerar um gráfico que representa o seu comportamento. Nessa mesma
perspectiva, Javaroni (2007) diz que:
A elaboração de gráficos no tratamento de dados torna-se interessante no sentido que ao analisá-los podemos observar características gerais e
65
particulares desses dados. Podemos afirmar, então, que a elaboração de gráficos, para investigar os dados, tem a finalidade de instigar a “revelação” de características importantes destes dados ( p. 154).
Essa “conversão” implicitamente anunciada por Borba (2010) converge para
as considerações discutidas anteriormente ao considerar a Teoria dos Registros de
Representação de Raymond Duval. Já o que se refere à valorização do tratamento
de dados gráficos, bem como uma inserção adequada das Tecnologias Digitais da
Informação e Comunicação, é importante reconhecer que essas possibilidades são
dependentes do poder de decisão do professor. Desse modo, tais possibilidades
estão intrinsecamente relacionadas com a Formação do Professor de Matemática.
3.3. Formação do professor de Matemática
Tendo em vista que o professor de Matemática foi o sujeito da presente
investigação, em especial no que tange a sua formação para o uso das Tecnologias
Digitais da Informação e Comunicação – TDIC. Desse modo, antes de prosseguir o
que propõe o presente trabalho de pesquisa, faz-se necessário ponderar alguns
aspectos sobre a Formação do Professor, em particular, o professor de Matemática.
Segundo Oliveira (2005), após participar no desenvolvimento de vários cursos
de formação continuada de professores de Matemática da rede pública do Estado de
São Paulo, seu grupo de pesquisa observou e ponderou alguns aspectos acerca
desses professores envolvidos da formação:
� apresentam dificuldades com o conteúdo matemático a ser
ensinado;
� boa parte dos conhecimentos da prática docente foi adquirida
quando já estavam a lecionar;
� têm dificuldade para colocar o saber adquirido na universidade em
ação do saber a ser ensinado ao seu aluno na escola;
� não se sentem preparados para entender, tampouco lidar com as
dificuldades cognitivas e disciplinares apresentadas pelos alunos;
� “foram formados sob paradigmas de Educação e de aprendizado
que não respondem às necessidades atuais” (IBID, p. 1).
Na mesma perceptiva, Fiorentini (2004) levanta problemas semelhantes em
relação à formação do professor de Matemática, dentre eles, critica o paradigma
predominante na formação de professores que é uma dicotomia, em que somente
dois saberes docentes são importantes: o conhecimento específico da disciplina e o
66
conhecimento pedagógico geral. Esse pesquisador revela que esse olhar dicotômico
acerca da formação do professor tem sido rotinas em concursos públicos para
professores, os quais dividem claramente as avaliações em dois grupos de saberes.
No cenário internacional também são apontados vários problemas na
formação inicial do professor de matemática. Ponte (2002), por exemplo, revela que
os problemas resultam dos paradigmas usados nos cursos de formação inicial do
professor. Segundo esse pesquisador, esse paradigma adotado:
� não atende às crenças, concepções e conhecimentos que os
professores trazem para esses cursos;
� não mostra o porquê na necessidade de um conhecimento
profissional;
� menospreza o conhecimento didático;
� tratam a teoria e a prática como dois “blocos” distintos, ou seja, são
conceitos diferentes e imiscíveis, devendo ficar apartados fisicamente
também;
� não ressalta devidamente a importância da prática profissional.
Quanto ao conceito de desenvolvimento profissional do professor de
Matemática, Zeichner (2003) fala do desenvolvimento genuíno do professor:
A formação reflexiva do professor que estimule o desenvolvimento genuíno do educador só deve ser apoiada se estiver vinculada à luta por mais justiça social e se contribuir de algum modo para estreitar a brecha na qualidade da Educação à disposição dos alunos de diferentes estratos. (p. 46)
De acordo com Ferreira (2003), alguns fatores são importantes para que
ocorra o desenvolvimento profissional de professores de Matemática:
Insatisfação com o modo presente de pensar e agir; Curiosidade sobre novas formas de ensinar e pensar; Contexto favorável, cenário com “espaço rico em oportunidades, aberto às demandas do professor, atento aos seus saberes e experiências e organizado de forma que possibilite o tempo e o espaço necessários para que a aprendizagem ocorra” (p. 43).
Diante disso, o processo de formação desses profissionais tem acendido
profundas reflexões e se tornou alvo de muitas pesquisas nos últimos 20 anos. Na
visão de Ferreira (2003), a formação de professores é o processo pelo qual o sujeito
aprende a ensinar, o qual é resultante da articulação entre teorias, modelos,
princípios extraídos de investigações experimentais e regras procedentes da prática
que possibilitam o desenvolvimento profissional do professor de Matemática. Assim,
67
a formação docente, inicial e contínua, engloba todos os aspectos do professor:
cognitivo, afetivo e relacional. As experiências do profissional enquanto aluno, e
depois, enquanto professor e até mesmo sua história pessoal estão intrínsecas
nessa formação.
É importante reconhecer que para ser professor, embora muito necessário,
não tem sido suficiente o domínio conceitual e procedimental da matemática
produzida historicamente. Desse modo, é desejável também que esse professor
conheça os fundamentos epistemológicos e históricos que envolvem a sua
profissão, bem como, a relação que existe entre a matemática e o cotidiano
(FIORENTINI, 2004).
Também é desejável que o professor veja a Matemática como um instrumento
de usos social e com diversas linguagens. Desse modo um mesmo conceito e/ou
objeto matemático possuem diversos modos de representação, assim como afirma a
Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval.
Ao falar da formação do professor de matemática, está também falando da
formação do professor de um modo geral. Nessa perspectiva, Lee Shulman, em
1986, publicou o artigo “Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching”,
que critica o paradigma dicotômico (conhecimento específico da disciplina e
conhecimento pedagógico geral), presente na formação, e até mesmo na seleção de
professores, introduzindo um terceiro eixo (conhecimento pedagógico do conteúdo),
o qual compreende: conhecimento sobre a matéria a ser ensinada; conhecimento
didático da matéria; e conhecimento curricular da matéria. Esse artigo foi muito
importante para a formação de professores e ainda hoje é referência mundial sobre
os saberes docentes. Esse artigo também foi o inicio da Teoria, “Knowledge Base”,
formulada por Shulman, em 1987.
3.3.1. O “Knowledge Base” e Shulman
Quando um indivíduo depara-se com a condição de professor, naturalmente
diversas duvidas tais como: Como ensinar? Como esse ensino vai afetar os alunos
envolvidos? Como ensinar para que estes, de fato, consigam aprender? Fica nítido
que se, por um lado, um entendimento pessoal de um assunto é primordial para
ensinar, por outro lado, isso não é suficiente para estar apto a ensinar.
68
Desse modo, é importante reconhecer que existe um conjunto de saberes que
é fundamental para o exercício da profissão de professor e no processo de “ensino,
a base de conhecimento é o corpo de entendimentos, conhecimentos, habilidades e
disposições que um professor precisa para atuar efetivamente numa dada situação
de ensino.” (tradução livre) (Shulman,1987, p.3).
O Knowledge base (cadeia ou base de conhecimento) enquanto teoria
deflagrou-se internacionalmente na década de 80, mas ainda hoje consiste numa
grande referencial nos estudos na área. A difusão dessa teoria tem influenciado
profusamente a formação de professores, principalmente por ser um repertório de
ações formativas que vão além de uma abordagem formalmente acadêmica,
transcendendo para as dimensões interpessoal, profissional e organizacional dos
docentes envolvidos.
Tendo em vista que as pesquisas acerca do Knowledge base geralmente
visam identificar um repertório de conhecimentos do ensino que serviriam para a
elaboração de programas de formação de professores, bem como a pergunta de
pesquisa que desencadeou a presente comunicação, é peremptoriamente relevante
discutir as implicações e repercussões dessa teoria para a formação de professores
de matemática.
Shulman (1986), ao refletir acerca dos programas de formação de professores
e nas reformas educacionais constatou que estes tinham como premissas o
agrupamento de habilidades, conhecimentos disciplinares e pedagógicos
necessários à realização das atribuições docentes num determinado contexto de
ensino. Para este pesquisador, um novo paradigma para os programas de formação
e certificação docente deve levar em consideração como esses professores
conduzem suas classes, selecionam e gerenciam suas atividades, alocam tempos e
turnos, estruturam tarefas, fazem críticas e elogios, formulam os níveis de suas
questões, planejam lições e julgam o entendimento geral dos estudantes.
Shulman (1987) discute profundamente os aspectos dessa Knowledge base
que deve integrar os saberes docentes. De um modo simplificado, esse pesquisador
acredita que o professor deva ter:
� conhecimento do conteúdo específico a ser ensinado;
� conhecimento pedagógico geral;
� conhecimento do currículo a ser trabalhado;
69
� conhecimento pedagógico do conteúdo disciplinar;
� conhecimento dos alunos e de suas características cognitivas;
� conhecimentos dos contextos educacionais;
� conhecimento dos fins, propósitos e valores educacionais.
Esses saberes podem ser agrupados em: conhecimento do conteúdo
específico, conhecimento pedagógico geral; conhecimento pedagógico do conteúdo
e conhecimento curricular.
O conhecimento do conteúdo específico refere-se a conteúdos específicos da
matéria que o professor leciona que engloba a detenção dos fatos e conceitos do
conteúdo, a compreensão dos processos de sua produção, representação e
validação epistemológica, o que requer entender a estrutura da disciplina
compreendendo o domínio atitudinal, conceitual, procedimental, representacional e
validativo do conteúdo. Desse modo, é importante que o professor não só aprenda
os conceitos, mas que os compreenda à luz do método investigativo e dos cânones
de ciência assumidos pela área de conhecimento. Nas palavras do Shulman (1986),
o professor:
... não somente precisa entender que algo é assim, e também por que é assim, bem como em que pressupostos pode ele obter garantias e sob quais circunstâncias nossa crença na justificação (desses pressupostos) pode ser enfraquecida ou até mesmo negada ... (tradução livre). (p.9)
Conhecimento pedagógico geral inclui os conhecimentos de teorias e
princípios relacionados a processos de ensinar e aprender gerais e válidos para os
processos de ensino e aprendizagem de disciplinas diversas, transcendendo uma
área específica. Esse saber toma como premissas os processos de construção do
conhecimento dos alunos tais como as características dos alunos e os seus
processos cognitivos, bem como outros conhecimentos de contextos educacionais
holísticos e diversos tais como organização de grupos de trabalho ou sala de aula,
reconhecimento de comunidades e culturas, manejo de classe e de interação com
os alunos, domínio de outras disciplinas que podem colaborar com a compreensão
dos conceitos de sua área, do currículo em relação ao conhecimento oficial e como
programas e materiais destinados ao ensino de conteúdos específicos e da
disciplina em diferentes níveis e conhecimento tais como as finalidades, as metas,
os objetivos educacionais e seus fundamentos filosóficos e históricos.
70
Já o conhecimento pedagógico do conteúdo está intrinsecamente relacionado
com o processo de ensino, envolvendo fatores inerentes às ações educativas. Trata-
se do modelo do raciocínio pedagógico e retrata como os conhecimentos são
acessados, relacionados e construídos durante os processos de ensinar e aprender.
É concebido sob a perspectiva do professor e é constituído por seis processos
comuns ao ato de ensinar: compreensão, transformação, instrução, avaliação,
reflexão e nova compreensão.
Este saber é o conhecimento o qual se refere à compreensão docente do que
facilita ou dificulta a construção do conhecimento do aluno acerca de um conteúdo
em particular. Assim, o conhecimento do conteúdo pedagógico também inclui o
entendimento do que faz a aprendizagem de determinado tópico fácil ou difícil, bem
como o surgimento de paradigmas errôneos e suas implicações na aprendizagem do
aluno.
O conhecimento curricular, por sua vez, abarca o domínio dos programas
elaborados para o ensino de assuntos e tópicos específicos em um dado nível, bem
como a variedade de materiais instrucionais disponíveis relacionados para o
desenvolvimento destes programas. Shulman (1987) diz que os professores
precisam dominar o conhecimento curricular para poder ensinar aos seus alunos, da
mesma forma que um médico precisa conhecer os remédios disponíveis para poder
receitar.
Desse modo, verifica-se de modo coeso e claro que os trabalhos de Shulman
acerca dos saberes docente têm contribuído para a organização e redirecionamento
das questões tratadas no campo da pesquisa de formação dos professores e suas
implicações para os cursos de formação inicial e continuada de docente e no
contexto das reformas curriculares. Entretanto, é preciso reconhecer que a pesquisa
e a formação de professores são dois processos indissociáveis, ou seja, um implica
diretamente no aprimoramento do outro.
Segundo Almeida e Biajone (2007), essas concepções acerca dos “saberes
docente” permitem destacar alguns pressupostos de caráter teórico e metodológico
que têm influenciado o “pensar” e o “fazer” na formação de professores.
Pensando nisso e preocupados, esses pesquisadores articulam a teoria e a
prática para a formação de professores, elaborando um mapa conceitual, conforme
o Quadro 3.3.
71
Quadro 3. 3 -Mapa conceitual “Knowledge Base” de Shulman ( ALMEIDA;BIAJONE, 2007, p. 12).
KNOWLEDGE BASEPROPOSTAS DEFORMAÇÃO DE PROFESSORES
Profs. como sujeitos do conhec. e produtores de saberes
Subjetividade dos professores
Repertório de conhecimentosdo ensino
PESQUISAS
Os professores profissionais como colaboradores/ parceiros
Os conhecimentos dos práticos dentro
do currículo
Modelo aplicacionista do conhecimento
Para uma lógica de formação profissional
Nível de conhecimento dos professoresPara a reformulação dos cursos
de formação inicial
Que a formação cultural e científica estejam vinculadas à formação prática
PROPOSTAS
DE
FORMAÇÃO
do que os prof. são, fazem e sabem
Pesquisas
reconhecem
ênfase
legitimar
Art ifact of scholarship
(repertór io de exper iências)
As bases para a elaboração de programas de formação
constituir
Vivências, estudos de caso, erros,acertos e estratégias baseados na
prática dos professores profissionais
reconhecer
superarelevar
Possibilitando espaço
a partir
Promover subsídios
Que supõe Transformações nas práticasformativas
que insira
a partir
Learning from experience(aprendizado a partir da experiência)
Proporcionando
Portanto, é preciso garantir
consolidandoUma Teoria do Ensino
Um Ofício feito de saberes
ao estabelecer que redirecionará
Esse mapa conceitual revela que as pesquisas acerca dos saberes
mobilizados pelo professor em sala podem e devem modificar as concepções em
relação à formação do professor. Então, é importante reconhecer os professores
como portadores do conhecimento e produtores de saberes. Portanto, os programas
de formação de professores, precisa e devem valorizar os conhecimentos prévios do
professor em formação, bem como o que, enquanto pessoas, são, fazem e sabem
(ALMEIDA; BIAJONE, 2007).
3.3.2. A formação continuada do Professor de Matemática
Embora seja consenso entre pesquisadores que uma das soluções mais
plausíveis para uma melhor formação docente é privilegiar a formação inicial, sabe-
se também que não é possível ter uma formação inicial que dê conta de todos os
72
problemas que a prática escolar revelará. Além disso, é consenso entre educadores
e pesquisadores que a formação continuada não foi prevista para substituir a inicial,
mas sim para complementá-la. Desse modo, a formação continuada, que é o
conjunto de saberes docentes agregado ao fazer docente, desde seu inicio
profissional, ainda cumpre um papel importante na formação docente contínua
(RICHIT, 2005).
Além disso, tais encontros podem ser enriquecidos se estiverem sob
orientação de pesquisadores ou professores de instituições de ensino superior,
comprometidos com cursos de formação profissional docente e devem privilegiar
discussões sobre a necessidade de mudança nestes ambientes, partindo do
pressuposto que mudanças somente são possíveis se os docentes estiverem
realmente envolvidos com a mesma.
Sobre a atuação das instituições de formação de professores, Almeida (2006)
diz que estas pecam por não evidenciar as condições objetivas de exercício da
docência em suas propostas. Ainda assim, a constatação não diminui a importância
da formação continuada, quando estruturada em torno de outras finalidades. Nesse
sentido, a formação continuada deve romper com modelos padronizados e criar
sistemas diferenciados que permitam ao professor dar sentido aos seus processos
de formação no quadro de suas histórias de vida (NÓVOA, 1995).
Nas últimas décadas, iniciativas desenvolvidas pelos órgãos governamentais
buscam promover mudanças no cenário educacional, em virtude do fracasso escolar
verificado em diversos níveis de ensino e, principalmente, devido à presença das
tecnologias informáticas nos ambientes educacionais. Nesse cenário, a qualificação
docente em nível nacional tem sido um grande desafio para as políticas
educacionais (RICHIT, 2005).
3.3.3. A formação de Professores para o uso das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação
O autor Lévy (1993) diz que a “escrita, leitura, visão, audição, criação,
aprendizagem são capturados por uma informática cada vez mais avançada”, num
73
processo de expansão contínua, pois a todo o tempo surgem novas aprendizagens
que, consequentemente, reforça a necessidade formação contínua (p.7).
No que tange as Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação, ainda
predomina um desequilíbrio entre os avanços tecnológicos e os processos de
formação para o uso de tecnologias no ensino brasileiro de forma reflexiva.
Entretanto, precisa-se reconhecer a importância das primeiras iniciativas de
formação do professor para atuar com a informática na educação, tais como o
projeto EDUCOM12. O desenvolvimento desse projeto, além de propiciar a
implantação das tecnologias informática nas escolas públicas, envolvia também o
preparo dos professores para utilizar essas tecnologias, já que não existiam
profissionais preparados para desenvolver atividades pedagógicas usando o
computador (PRADO, 2003).
Nesse sentido, Almeida (1997) argumenta que o currículo dos programas de
formação precisa incluir atividades que venham proporcionar momentos de reflexão
sobre sua prática, além de incluir experiências com os recursos da informática nas
situações de ensino e aprendizagem. Assim, a formação de professores de
Matemática que irão utilizar o computador em sua prática, deve ser repensada por
todos os envolvidos em educação e formação. Para Almeida (2002), a formação
desse professor em tecnologias informáticas deve ser um processo que o prepare
para incitar seus alunos a:
...aprender a aprender; ter autonomia para solucionar as informações pertinentes à sua ação; refletir sobre uma situação-problema e escolher a alternativa adequada de atuação para resolvê-la; refletir sobre os resultados obtidos e depurar seus procedimentos, reformulando suas ações; buscar compreender os conceitos envolvidos ou levantar hipóteses (p.110).
Se o professor de Matemática optar por utilizar a máquina como ferramenta
apenas para transmitir conhecimentos, o computador se torna simplesmente um
caderno mais prático ou um quadro de giz mais moderno. No entender de Valente
(1995), o aluno seria apenas “um virador de páginas eletrônicas”. A segunda opção
é o professor de Matemática tornar o computador um novo ambiente, facilitador da
12 O EDUCOM, implantado em 1984, foi projeto voltado para a criação de núcleos interdisciplinares de pesquisa e formação de recursos humanos e contou com cinco centros: Universidade Federal de Pernambuco, Universidade Federal de Minas Gerais, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Universidade Federal do Rio Grande do Sul e Universidade Estadual de Campinas.
74
aprendizagem, permitindo ao aluno compreender que, no contexto digital, mudam as
formas de pensar e aprender. Porém, para isso é preciso que haja escolha de
software adequado e que o professor tenha um profundo conhecimento do conteúdo
a ser trabalhado. Então, faz-se necessário que, na formação do professor, este seja
levado a refletir a respeito de diferentes concepções sobre o uso do computador nos
processos ensino e aprendizagem: como transmissor de conhecimento ou como
auxiliar do aluno na construção do seu próprio conhecimento.
Almeida (2002) propõe que com a utilização das tecnologias informáticas na
prática pedagógica, esperava-se uma transformação educacional, o que significa
uma mudança de paradigma, que favoreça a formação de cidadãos mais críticos,
com autonomia para construir o próprio conhecimento. E que, assim, possam
participar da construção de uma sociedade mais justa, com qualidade de vida mais
igualitária. O uso dos computadores em Educação pode potencializar tais
mudanças.
Esta visão é partilhada também por Skovsmose (2000) que enfatiza o papel
transformador das TDIC no cenário educacional, considerando que estas, além de
promoverem novas possibilidades de ensinar e aprender, podem também auxiliar o
professor na tarefa de formar cidadãos conscientes de seu papel social e político na
sociedade.
Tomando esses pressupostos como aportes primordiais, no próximo capítulo
segue a apresentação e discussão do cenário de pesquisa criado e desenvolvido
durante essa investigação.
75
CAPITULO IV
4. O CENÁRIO DE INVESTIGAÇÃO Este capítulo está dividido em dois momentos, o primeiro refere-se à
apresentação dos softwares utilizados nas oficinas e o segundo centra-se a discutir
as atividades desenvolvidas para e pelo presente trabalho de pesquisa.
4.1. Os Softwares Gráficos e Applets.
É importante salientar que as TDIC aplicadas à Educação, por si só, não
garantem um sucesso no aprendizado. O êxito na utilização do software Winplot e
dos applets gráficos depende das atividades que são propostas aos alunos pelo
professor.
Para melhor compreensão, a seguir serão descritas algumas funções desses
recursos, bem como as potencialidades de cada um desses Softwares/applets
utilizados na presente pesquisa.
4.1.1. O software Winplot
A palavra Winplot (win = Windows + plot = plotar em ambiente Windows)
indica que este programa é utilizado para construir gráficos de funções em
Matemática, dentro do sistema operacional Windows. Segundo Souza (2004), deve-
se utilizar o Winplot por ser detentor das seguintes características:
- É de simples utilização, seus menus são de fácil entendimento e apresenta
ajuda em todas as partes do programa;
- É muito pequeno, menos de 600 Kb, cabe em qualquer disquete ou pendrive
e roda em sistema Windows;
- É sempre atualizado;
- Possui versão em português.
A versão do Winplot em português foi um resultado da pesquisa do professor
Adelmo Ribeiro de Jesus. É um programa simples, mas ao ser explorado demonstra
grandes potencialidades. Uma de suas vantagens é ser gratuito e de fácil acesso.
Este software foi projetado para reconhecer a maioria das operações, constantes e
funções elementares. Trabalha com duas e três dimensões, com equações
explícitas, implícitas, paramétricas e polares. Cria pontos, segmento e reta, cria
76
equações recursivas, diferenciais e polinomiais, cilindros, esferas, entre outros.
Ainda permite trocar de cores e espessura, fazer aproximações e anotações, bem
como salvar as produções para possível consulta ou alteração. Destaca com
facilidade as raízes das funções, as intersecções das retas, calcula integrais e
apresenta as coordenadas de cada ponto que se procura. Pela praticidade e opções
que oferece, pode ser utilizado por professores do Ensino Fundamental, Médio e
Superior.
A seguir são apresentadas descritivamente algumas das funções do Winplot,
as quais vão desde interface inicial até algumas das funções que são usadas nesta
pesquisa.
Ao abrir o programa (Figura 4.1) o usuário encontrará as guias janela e ajuda.
No menu “ajuda” são apresentadas dicas de utilização e alguns lembretes básicos,
bem como uma breve descrição do software em questão. Já ao clicar na guia
“janela” tem como opções: “2-dim”, “3-dim”, “Adivinhar”, “Mapeador” etc. Os
comandos “2-dim” e “3-dim” permitem trabalhar com funções no plano e no espaço
respectivamente. Já o comando “Adivinhar” mostra gráficos de funções para que se
possa escrever sua representação algébrica, e a opção “Mapeador” permite
trabalhar com transformações no plano.
Figura 4. 1 - Inicializando o Winplot.
Neste momento, será enfatizada a opção “2-dim” e suas potencialidades, haja
vista que esta foi a usada para o desenvolvimento da presente pesquisa. Ao
selecionar a opção “2-dim”, será aberto o plano cartesiano, com as abas “Arquivo”,
“Equação”, “Ver”, “Mouse”, “Um”, “Dois”, “Anim” e “Outros”. Ao selecionar a aba
“Equação” (figura 4.2), é possível escolher o tipo de equação algébrica que deseja
utilizar na construção dos gráficos, ou seja, pode-se optar pela forma cartesiana
(y=f(x)), polar (r=f(t)), paramétrica (x=f(t), y=g(t)) ou implícita (0=f(x, y)). Aparece,
77
também, a possibilidade de se trabalhar com as coordenadas de pontos, os
segmentos de reta, a equação da reta, sequências no plano, equações diferenciais e
polinômio.
Figura 4. 2 - Winplot> 2dim> Aba “Equação”
No final de cada guia, assim como na guia “equação”, existe a opção “Ajuda”,
cujo acesso permite ao usuário esclarecer eventuais dúvidas acerca da utilização
dos comandos apresentados na guia “equação” deste software. Por exemplo, na
figura 4.3, através do menu “ajuda” é possível saber como utilizar os comandos na
opção “Explícita” ou “Paramétrica”.
Figura 4. 3 - Usando o menu "Ajuda"
78
Na opção “Biblioteca” (figura 4.4), o usuário encontra as funções que são
utilizadas pelo programa, bem como o modo de digitá-las.
Figura 4. 4 - Usando o comando "Biblioteca"
No menu “Ver” (Figura 4.5) encontra a opção “Grade” que permite configurar
detalhes relacionados ao sistema de coordenadas, ou seja, mostrar os eixos
cartesianos, modificar a escala, mostrar linhas de grade etc.
Figura 4. 5 - Menu "ver" e algumas configurações
Destes comandos, as atividades propostas por esse trabalho de pesquisa
serviram-se especialmente da forma cartesiana que é obtida ao acionar o comando
“Explícita”, na guia “equação”, sobre o qual procederá a um esclarecimento maior.
79
Quando se propõe inserir uma função no Winplot utiliza-se a opção “Explícita”
na guia “Equação” (figura 4.6). Ao acionar o comando “explicita” abrirá um quadro,
conforme mostrado na figura, no qual o usuário deve imputar a representação
algébrica da função a ser esboçada.
Figura 4. 6 - Inserindo uma função a partir da aba "explicita".
Para inserir outras funções no mesmo eixo cartesiano pode se utilizar da
opção “Inventário” (Figura 4.7).
Figura 4. 7 - Utilizando o inventário para facilitar edições.
80
Quando selecionada esta opção, é aberta uma caixa de diálogo, da qual podem
ser utilizados os seguintes botões:
� Editar: permite fazer alterações na equação digitada, como por exemplo, fixar um
intervalo para a função, alterar a cor ou espessura de exibição do gráfico.
� Apagar: apaga a expressão algébrica selecionada.
� Duplicar: permite duplicar a expressão anterior sem apagá-la, ou seja, permite
visualizar vários gráficos num mesmo plano cartesiano.
� Mostrar gráfico: esconde e mostra o gráfico sem apagar a equação do inventário.
� Mostrar equação: esconde e mostra a equação na área do gráfico e , quando
mostrada a equação, essa será explicitada da mesma cor da curva, facilitando a
associação de cada curva com sua respectiva representação algébrica.
Outro recurso utilizado nas atividades propostas na presente pesquisa é a
animação que pode ser acionado na guia “Anim”, conforme ilustrado na figura 4.8. Este
recurso permite animar os parâmetros da representação algébrica da função, por
exemplo, dada a função f(x) = ax2, pode-se atribuir aleatoriamente alguns valores para o
parâmetro a, mostrando o que acontece quando esses valores são positivos ou
negativos e aumentam ou diminuem.
Figura 4. 8 - Usando o recurso de animação.
Do menu “Arquivo” destacamos as opções: abrir arquivo, salvar, formatar
impressão, imprimir e copiar o gráfico para ser utilizado em outro programa do Windows.
Também é importante ressaltar que este software permite visualizar vários gráficos num
mesmo plano cartesiano, e ainda o recurso de animação possibilita a generalização das
famílias de curvas estudadas em nosso trabalho, o que é imprescindível para determinar
as propriedades envolvidas na proposta desta investigação. Entretanto, para usar o
81
recurso de animação espera-se do usuário um domínio robusto do conceito de função,
em especial no que tange o aspecto algébrico das funções abordadas.
4.1.2. O applet Quadratic Transformer
Esse applet foi desenvolvido pelo Concord Consortium13 e está disponível
num sítio da rede mundial de computadores denominado Seeing Math14. Na mesma
linha do Winplot, o Quadratic Transformer visa apoiar a aprendizagem de funções
quadráticas e, em particular, favorecer as conexões entre os Registros de
Representação Semiótica algébricos e os Registros Semióticos gráficos.
Quando o applet Quadratic Transformer se abre, surge uma janela com duas
representações para a função quadrática padrão que é algebricamente representada
por f(x) = x2 e graficamente por uma parábola, conforme a figura 4.9:
Figura 4. 9 - Visualização inicial do applet.
Na janela do gráfico, ou seja, no eixo cartesiano, é apresentada uma parábola
vermelha com o vértice no ponto (0,0). Daí é o momento de interação entre usuário
e applet.
13 O consórcio Concord é uma organização para o desenvolvimento educacional sem fins lucrativos que desde 1994 vem desenvolvendo tecnologias para aprimorar os processos de ensino e aprendizagem. 14 O Seeing Math pode ser visitado através do endereço < http://seeingmath.concord.org/resources.html>. Acesso em 23 de agosto de 2009.
82
Veja algumas funcionalidades gerais:
• À direita, na imagem do applet tem-se a lista de representação algébrica,
cujas cores das representações referem-se a uma mesma função nos seus
diversos registros de representação.
• Na parte inferior da janela é apresentada uma aba que permite alterar os
coeficientes de suas formas polinomiais explícitas ou canônicas das raízes
ou dos vértices (figura 4.10).
Figura 4. 10 - Aba de alteração nas formas de representações algébricas.
Esse applet, além de intuitivo, favorece a verificação acerca das relações
entre as formas gráficas e simbólicas da função quadrática. Essa capacidade de ver
como as mudanças de uma forma afetam a outra e, até mesmo, de conjecturar
padrões, leva o individuo participante a construção de seus conhecimentos. Já na
aba “transform Function” (figura 4.11) é possível fazer mudanças nos registros
gráficos de uma função, as quais manifestam automaticamente em alterações na
forma simbólica álgebra.
Figura 4. 11 - Abas do menu "Transform Function".
83
Ao clicar em uma das opções (figura 4.12) e arrastar a parábola é possível ver
alterações acerca da orientação concavidade, bem como refletir, dilatar e transladar
horizontal ou verticalmente.
Figura 4. 12. Abas de transformações e suas respectivas funções.
Outra praticidade desse applet refere-se às abas de edição “New, Duplicate”,
“Delete” e “Delete All’’ (figura 4.13) que permitem construir, duplicar funções e
apagá-las no mesmo eixo cartesiano. Ao abrir o applet Quadratic Transformer
apenas a função padrão f(x)= x2 exibida (parábola e expressão algébrica).
Entretanto, é possível adicionar e excluir outras funções quadráticas para comparar
suas diferentes formas gráficas e algébricas. Para adicionar ou excluir funções e
comparar diferentes formas e expressões parabólicas quadráticas, use os botões na
parte inferior do lado direito da interface como mostra a figura 4.13.
Figura 4. 13 - Abas de edições que permitem duplicar (“Duplicate”) ou
criar uma nova (“New”) função quadrática. Além dos botões "Delete" e "Delete All" que permitem deletar, a função selecionada e todas, respectivamente.
84
Uma das limitações desse applet refere-se à ausência de uma caixa de
entrada para a inserção dos coeficientes, ou seja, só é possível alterá-los através de
setas que os indexam crescente ou decrescentemente. Desse modo, para facilitar a
variação dos coeficientes é possível mudar os incrementos em centésimos, décimos,
ou unidade inteira. Basta, para isso, clicar no botão “Step’’ e selecionar o incremento
mais adequado (figura 4.14).
Figura 4. 14 - Botão “Step” que possibilita alterar o incremento de variação.
Já o botão “Round” permite arredondar os números até o décimo lugar ou até
mesmo para um número inteiro. Para isso, acione tal botão e, em seguida, selecione
o modo de arredondamento (figura 4.15).
Figura 4. 15 - Botão "Round" e incrementos de arredondamento.
O comando “Transformer function” permite comparar, mais detalhadamente,
uma parábola transformada com a sua original. Sua utilização consiste em acioná-lo
com dois cliques e será apresentada uma nova janela (figura 4.16).
85
Figura 4. 16 - Outras opções do comando "Trasformer Function".
Pode-se observar que na parte inferior da janela, na seção denominada
“original function”, são apresentadas guias para alterar a forma para polinomial,
canônica do vértice e da raiz. Mais abaixo, no quadro "Transformed function", estão
dispostas três expressões que representam aspectos da nova função criada.
No lado esquerdo e superior dessa mesma janela estão disponíveis três tipos
de transformações: Translações, dilatações das aberturas, ou reflexões, com duas
formas disponíveis para cada um.
As Translações permitem mover o vértice em torno do plano de coordenadas,
sem alterar a dilatação ou a direção da parábola. Ao selecionar a opção f (x +a) o
vértice da parábola moverá ao longo do eixo X, já a opção f(x) +a moverá o vértice
ao longo do eixo Y. As Dilatações permitem alterar a abertura das parábolas através
das abas f(a.x) e a.f(x). Já as reflexões permitem refletir a parábola sobre eixo x ou
y.
O botão “Start Over” é importante porque ao ser clicado, a interface é
reiniciada permitindo selecionar outras opções de transformações. Ao selecionar as
transformações translações e dilatações é possível manipular a nova parábola via
mouse e ver as respectivas transformações algébricas.
Outra potencialidade do applet centra-se na opção “trace vertex” (figura 4.17)
que funciona como um efeito Ghost, marcando a transformação geométrica do
86
vértice quando se varia um dos coeficientes da função quadrática. Também quando
a função é alterada com uma das ferramentas de transformação esta característica
mostra-lhe uma "trilha" ou um traço de posições de uma parábola de vértice no
gráfico. O traço aparece como uma série de pequenos pontos ou cruzes como
mostra a figura 4.17:
Figura 4. 17 - comando "Trace Vertex".
Tendo introduzido algumas das potencialidades dos softwares e applets, bem
como a justificativa por tê-los escolhidos, segue a análise das atividades adotadas
no presente trabalho de pesquisa.
4.2. AS ATIVIDADES
Embora o objetivo dessa pesquisa não seja validar uma sequência didática, é
importante apresentá-la e justificá-la, uma vez que ela se constituirá no cenário para
a presente investigação. Tais atividades foram organizadas pensando no
protagonista principal da Educação, o aluno. Entretanto, para que atividades como
87
essas sejam desenvolvidas com os alunos há um longo percurso, o qual depende da
apropriação e aceitação do professor e é justamente nesse contexto que tece o
presente paradigma de pesquisa.
Desse modo, nesse capítulo, cada atividade tal como foi apresentada aos
professores envolvidos nessa pesquisa e, em seguida, são analisadas as
expectativas prévias ao desenvolvê-las com seus alunos, bem como que espera
esse estudo, a priori, ao apresentá-las ao professores.
As atividades propostas visaram o estudo das características das funções
utilizando-se de applets e do software gráfico Winplot que trazem outras formas de
introduzir e desenvolver o conceito de função quadrática, favorecendo uma
abordagem investigativa acerca das transformações geométricas sofridas pelas
parábolas em virtude da variação dos coeficientes das suas respectivas funções
representadas de forma algébrica. Além disso, essas tecnologias informáticas
permitem que alguns conceitos, tais como as noções de intervalo, domínio e imagem
da função, sejam introduzidos sem exageros formais, utilizando para isso recursos
do Winplot que permitem uma abordagem lúdica. A utilização dessas ferramentas
digitais também favorece a manipulação da representação gráfica, de funções
quadráticas, de modo instantâneo e preciso o que não é viável com a utilização de
lápis e papel, permitindo que o aluno desloque seu papel para o de observador
crítico que faz simulações em busca de um resultado que satisfaça o objetivo
proposto, desenvolvendo a capacidade analítica de fazer previsões e questionar
resultados.
Segue então, a análise proposta descrita anteriormente, por este estudo.
4.2.1. Primeira Atividade - Proposta de Ponto de Partida
Essa primeira atividade (fig. 4.18), na íntegra no apêndice B, usa uma
animação que se constituiu no ponto de partida para nosso estudo. Nesse applet, a
partir de um exemplo lúdico do cotidiano é feita a introdução do conceito de função
quadrática, cujo gráfico no plano cartesiano é uma parábola e, em seguida, propõe-
se que sejam levantadas conjecturas de modo a auxiliar a construção desse
conceito.
88
Figura 4. 18 - Fotocópia da panorâmica da atividade 1.
Nessa perspectiva, D’Ambrósio (1986) propõe que a matemática,
informalmente construída, seja utilizada como ponto de partida para o ensino formal.
Segundo este pesquisador, tal abordagem rompe com o paradigma tradicional no
qual todo conhecimento matemático do indivíduo será adquirido na situação escolar
e, não obstante, de que o aluno chega à escola sem nenhuma pré-conceituação de
ideias matemáticas.
Atividades como essa, permitem ao aluno, mesmo antes de qualquer
formalização conceitual, ocupar o papel de investigador, visto que a partir de uma
simples observação é possível levantar conjecturas e compará-las com seus
respectivos pares e, até mesmo, coletivamente.
Ao propor essa atividade ao professor, desejava-se investigar como os
professores consideram os recursos da informática como ponto de partida para o
89
estudo do conceito da função polinomial do segundo grau. Outro fator a ser
investigado trata-se de verificar como o professor lida com a atividade exploratória
investigativa. Nessa atividade, o professor passa a ocupar o lugar do aluno e é dele
que se espera o levantamento de conjecturas e hipóteses as quais serão testadas e,
cabe ao professor refutá-las ou construir conceitos e/ou generalizações a partir das
mesmas. Desse modo, a própria conduta do professor ao pensar nessa atividade foi
reveladora. Faz-se necessário observar que para o professor propor um estudo
exploratório-investigativo ao aluno, antes de qualquer coisa, o professor precisa
enxergar tal possibilidade.
4.2.2. Segunda Atividade- Conjecturas Iniciais e Formalização
Tanto Skovsmose (2000) como Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) acreditam
que os alunos constroem conhecimentos matemáticos através de atividades
pautadas numa abordagem investigativa. Assim, os papéis de professor e alunos
são bastante distintos daqueles presentes numa aula de abordagem tradicional. Na
abordagem investigativa, o professor propõe um cenário de investigação e os
alunos, ao aceitarem a proposta, assumem a responsabilidade em procurar
soluções, de forma mais autônoma, mas dispondo da orientação do professor para a
solução adequada dos problemas colocados.
Dentro dessa perspectiva, o uso do applet “Quadratic Transformer” é
estratégico, uma vez que o que se quer é, antes mesmo de qualquer formalização
acerca das funções quadráticas, observar de modo investigativo, intuitivo e
exploratório as relações e padrões existentes entre a formas de registros de
representação. Nessa atividade, conforme a figura 4.19, foi solicitado que o
professor manipulasse o applet sem um roteiro, ou seja, de maneira espontânea e,
a partir dessa manipulação, respondesse algumas questões de localização, bem
como propusesse padrões e, na medida do possível, os discutisses.
90
Figura 4. 19 - Fotocópia panorâmica e reduzida da atividade 2,
Ao propor atividades como essa aos alunos propicia-se a estes sujeitos a
oportunidade de ocupar outro papel no seu processo cognitivo, o papel de
investigador. De acordo com Skovsmose (2000), propor cenários para investigação,
em sala de aula, contribui para o envolvimento dos alunos, incentivando-os para se
sentirem motivados a compreender uma determinada situação. Por outro lado, a
preocupação do professor em desenvolver esta competência possibilita, no
ambiente de sala de aula, uma reflexão crítica sobre a utilização social da
Matemática.
Quando se propõe essa atividade ao professor, busca-se ampliar e
complementar a investigação iniciada com a questão anterior. Além disso, se quer
com essa atividade, investigar também o nível do conhecimento do professor acerca
91
do conteúdo a ser ensinado, bem como avaliar o nível do conhecimento pedagógico
do conteúdo agregado nas práticas docentes desses professores. A investigação
proposta com essa questão, apoia-se, principalmente, na base de conhecimento do
professor, estudo desenvolvido por Shulman(1987). Segundo este pesquisador, o
conhecimento pedagógico do conteúdo
...abarca os aspectos do assunto que são mais férteis para o ensino. Dentro da categoria de conhecimento pedagógico do conteúdo eu incluo, para os tópicos mais regularmente ensinados na área do conteúdo de cada um, as mais úteis formas de representação dessas ideias, as mais poderosas analogias, ilustrações, exemplos, explicações e demonstrações – em uma palavra a forma de representar e formular o assunto que o torna compreensível para outros [...] Isso também inclui um entendimento do que faz o ensino de tópicos específicos fáceis ou difíceis: as concepções e preconcepções que estudantes de diferentes idades e repertórios trazem com eles para o aprendizado (SHULMAN, 1987 apud OLIVEIRA, 2005, p. 5).
Ainda segundo Shulman (1987), é preciso que os professores articulem o
conteúdo curricular com aquele abarcado pelos alunos. Para realizar esta tarefa, é
necessário que o professor tenha uma compreensão profunda, flexível e aberta do
conteúdo, que esteja atento para as dificuldades mais prováveis dos alunos perante
os conteúdos; que compreendam as variações de métodos de ensino que podem
ajudar os alunos na construção do conhecimento e que estejam abertos para rever
seus objetivos, planejamento e procedimentos à medida que desenvolvem a
interação com os estudantes.
Desse modo, essa questão proposta embora pareça simples e sem grandes
pretensões pode ser reveladora, pois se esperava do professor participante da
oficina uma articulação entre os saberes como proposto por Shulman (1987). Além
disso, por se tratar de uma atividade que traz em seu âmago a integração das TDIC
com o conhecimento matemático, viabiliza a identificação das dificuldades
apresentadas pelos professores de matemática que participaram das oficinas.
4.2.3. Terceira e Quarta Atividades15: Transformações geométricas aplicadas às Parábolas
Segundo Maia (2007), essas duas atividades (figura 4.19) proporcionam ao aluno
condições de construir a forma canônica da função polinomial do 2º grau, bem como o
possibilita perceber que modificações na escrita algébrica da função acarretam
mudanças na representação gráfica e vice-versa.
15 Estas atividades são adaptações às originais contidas na Dissertação de mestrado de Maia (2007).
92
Figura 4. 20 - Fotocópia panorâmica e reduzida das atividades 3 e 4, as quais se encontram anexas
no apêndice B. Segundo Duval (2003), a proposta de formação matemática, durante a
Educação Básica, não é formar futuros matemáticos, tampouco consiste em
colecionar instrumentos que servirão eventualmente muito mais tarde, mas sim,
contribuir para o desenvolvimento geral das capacidades de raciocínio dos alunos,
acerca de suas análises e visualizações. Desse modo, faz necessária uma
abordagem para os professores que valoriza a capacidade cognitiva de formação do
aluno.
De acordo com esse pesquisador, uma real abordagem cognitiva está sempre
a buscar um funcionamento cognitivo que possibilite ao aluno compreender, efetuar
e controlar, por si mesmo, a diversidade dos processos matemáticos que lhe são
propostos em situação de ensino. Ele vai além, explicando que a atividade cognitiva
matemática requer outros domínios do conhecimento, os quais devem ser
procurados em duas características: na importância das representações semióticas,
ou seja, a possibilidades de tratamento matemático depende do sistema de
representação utilizado, uma vez que os objetos matemáticos não são objetos
espontaneamente perceptíveis ou visualizáveis com a ajuda de equipamentos; e na
93
grande variedade de representações semióticas utilizadas na matemática, ou seja,
nos sistemas de numeração, figuras geométricas, escritas algébricas e analíticas,
representações gráficas e a linguagem natural.
Ainda segundo Duval (2003), a compreensão da matemática se deve à
coordenação e transformação de registros. Segundo esse pesquisador, existem dois
tipos diferentes de transformações de representações semióticas:
Os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo registro: por exemplo, efetuar cálculos ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números; resolver uma equação ou sistema de equações; completar uma figura segundo critérios de conexidade e de simetria. As conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica. (DUVAL, 2003, p.16).
Desse modo, nas atividades, três e quatro, propostas pela presente pesquisa,
o objeto de estudo continua a ser a função quadrática enquanto o que se esperava
do professor era a concepção da conversão da representação gráfica para a
representação algébrica e vice-versa.
A primeira conversão a ser compreendida, efetuada e controlada pelo aluno,
no caso desse estudo, pelo professor, está representada nas figuras 4.21 e 4.22,
que retratam a mudança do registro de representação algébrica de um grupo de
funções quadráticas, para seus respectivos registros de representações gráficas.
Figura 4. 21 - Representação dos gráficos da Atividade 4.
Figura 4. 22 - Representação dos gráficos da Atividade 3.
Ao propor essa atividade com professores, esperava-se que estes, após
construírem os gráficos, os observassem e verificassem, em primeiro lugar, que
todos eles são curvas denominadas parábolas. Esperava-se também que
94
verificassem que na função f(x) = ax2+ bx + c, a≠0, conforme o coeficiente (a) da
função quadrática aumenta o gráfico vai se “fechando” cada vez mais e quanto
menor o valor do coeficiente (a) da função quadrática mais “aberta” se torna a
parábola apresentada no gráfico, ou seja, a variação no coeficiente (a) promove uma
dilatação na parábola. Outro padrão a ser observado, em relação à variação do
coeficiente (a), conforme a figura 4.20, é que todos os gráficos têm um ponto
comum: a origem e, em se tratando de professores, esperava-se que estes
soubessem justificar algebricamente o porquê desse padrão.
Ainda a respeito da variação do coeficiente (a), seria necessário que o
professor entendesse que a dilatação das parábolas (figura 4.20) está
intrinsecamente relacionada com suas concavidades, uma vez que se o coeficiente
(a) tende a zero, temos um gráfico parabólico tendendo a uma reta coincidente com
o eixo (x) do plano cartesiano. Desse modo, o professor poderá ultrapassar a
barreira do tradicional onde se ensina e assimila que: - se a>0, tem-se uma parábola
com a concavidade “voltada para cima”; - se a<0, tem-se uma parábola concavidade
“voltada para baixo”, promovendo uma aprendizagem de fato já que o aluno é levado
a entender que a dilatação numa parábola, que depende do coeficiente (a), a leva a
mudar de posição em relação ao eixo (x). Por fim, em relação aos gráficos da figura
4.20, seria importante que o professor reconhecesse as reflexões e simetrias como
padrões de agrupamentos, uma vez que isso será observado por seu aluno mesmo
que este não reconheça os porquês algébricos.
Ao observar os gráficos obtidos na atividade 4, figura 4.21, nota-se que as
parábolas não sofrem quaisquer alterações acerca de suas concavidades e
aberturas. O que para o aluno, pode não parecer tão óbvio, uma vez que na parte
aparente de cada parábola poderá levar o aluno sofrer uma “ilusão ótica”, crendo,
então, numa variação. Diante disso, o professor precisa reconhecer que ao somar
uma constante (negativa ou positiva) à função quadrática f(x) = x2, a≠0, ocorre
apenas uma translação vertical, cujo vetor tem o mesmo módulo que a referida
constante. A animação no Winplot, sugerida nessa atividade, torna-se importante
para que o aluno visualize tal translação vertical, bem como a não dilatação das
parábolas ao variar o coeficiente (c).
Em ambas às atividades, esperava-se que o professor estivesse consciente
da importância de permitir ao aluno que transcendesse a compreensão geométrica,
95
articulando sua visualização com representações algébricas. Para isso, seria
importante que professor reconheça que em situações como essa, em que o aluno é
levado a analisar tais transformações e, por meio de levantamento de conjecturas e
validação ou não das mesmas, explicar as propriedades de desse mesmo objeto em
diferentes representações, este constrói de fato um conhecimento matemático
(DUVAL, 2003).
Segundo Brousseau (1986): ...uma concepção de ensino requer que o professor provoque uma adaptação em seus estudantes mediante uma escolha racional de problemas que são colocados diante deles. Estes problemas são escolhidos de tal maneira que permitam ao aluno: agir, falar, pensar e evoluir por seus próprios meios [...] (p.46).
Fica evidente que o professor precisa estar preparado para fazer uso de
atividades como essas, aproveitando ao máximo das Tecnologias Digitais da
Informação e da Comunicação e suas potencialidades, uma vez que cumpre ao
professor propor para aos alunos um ambiente (atividades, metodologias, recursos
didáticos, abordagens, agrupamento etc.) que favoreça a cada um destes o
desenvolvimento de sua aprendizagem.
4.2.4. Quinta Atividade- A mudança de Registro de Representação e a experimentação.
Segundo Borba e Penteado (2007), as TDIC, além de permitir que a
visualização potencialize a aprendizagem matemática, cumprem um papel essencial
na proposta pedagógica: a experimentação. Então, ao trabalhar com as funções
quadráticas é importante criar situações para que o aluno possa experimentar, assim
como ocorre nas aulas de Física e Biologia. Desse modo, a experimentação permite
que os alunos levantem várias conjecturas e esbocem argumentos, os quais devem
ser confrontados com os de colegas e professor. Nessa perspectiva, fica evidente a
importância do papel do professor, haja vista que cumpre a ele, juntos com os
alunos, validar, descartar e alterar as argumentações conjecturadas.
Dentro desse contexto, em especial, está a quinta atividade (figura 4.23), cujo
cerne está em estabelecer um padrão de variação para função quadrática f(x) = ax2
+bx, a≠0, quando se varia o valor do coeficiente (b), dentro do conjunto dos números
reais.
96
Figura 4. 23 - Fotocópia panorâmica e reduzida da atividade 5, para uma melhor visualização
consulte o apêndice B.
Embora atividade semelhante a essa não tenha sido desenvolvida em
pesquisa que abordam o tema, como a de Maia (2007), é importante reconhecer
que, além de convidar o aluno à experimentação, favorece o uso da mudança de
registros de representação semiótica, bem como a utilização das próprias
Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação como recurso investigativo de
demonstração e prova (LABORDE,1993).
Nessa perspectiva, Duval (2003) revela que a potencialidade de uma
abordagem cognitiva está, inicialmente, em procurar desenvolver o funcionamento
cognitivo que possibilite ao aluno compreender, efetuar e controlar, de forma
independente, a diversidade dos processos matemáticos que lhe são propostos na
situação de ensino.
De acordo com Franchi (1995):
... o processo de aquisição do conhecimento matemático (assim como o conhecimento humano de maneira geral) tem várias etapas. Somente percorrendo essas etapas o aluno conhece: iniciando pelo aspecto afetivo (onde ele deve sentir a matemática presente e ter dela uma compreensão prévia), passando pela interpretação e busca de significado, pela compreensão e chegando até a comunicação (que é a manifestação da compreensão) (p. 40).
Duval (1996) considera que os objetos matemáticos só são acessíveis por
meio de representações, e os tratamentos dependem das possibilidades dadas
97
pelas representações, elas não podem ser consideradas secundárias em relação
aos objetos matemáticos propriamente ditos. Desse modo, ao propor essa atividade
para ser desenvolvida nas oficinas, num primeiro momento, esperava-se do
professor partícipe uma construção, no Winplot, conforme os gráficos da figura 4.24:
Figura 4. 24 - esboço dos gráficos da atividade 6.
Entretanto, sabe-se que a construção pela construção usar-se-ia de modo
pouco potencializado a tecnologia disponível. Desse modo, o que se queria do
professor é que este ultrapassasse o mecanismo de construção, ou seja, a própria
formulação da questão convidava o professor a investigar padrões, levantar
conjecturas e testá-las, usando para isso as TDIC disponíveis, bem como seus
conhecimentos algébricos.
Segundo Duval (1996) considerando que os objetos matemáticos só são
acessíveis por meio de suas representações, e os tratamentos dependem das
possibilidades dadas pelas representações, elas não podem ser consideradas
secundárias em relação aos objetos matemáticos propriamente ditos.
98
Na questão (b) dessa atividade, por exemplo, o professor é indagado acerca
da “dilatação” e da “concavidade” das parábolas dos gráficos obtidos. Pergunta essa
que pode ser respondida a partir de diversos pontos de vistas, dentre eles:
(I) a análise do registro de representação semiótico gráfico (Tratamento);
(II) a mudança do registro de representação semiótico gráfico para outro
registro (conversão);
(III) a mudança para o registro de representação semiótico algébrico, ou
seja, conversão e tratamento.
Visivelmente, conjeturar acerca das concavidades seria desnecessário, haja
vista que todas as concavidades estão explícitas. Entretanto, a “dilatação” ou
“abertura” é questionável, sendo necessária uma articulação a partir do registro de
representação semiótico gráfico que é apresentado.
O professor que opta pelo primeiro ponto de vista, observa os gráficos obtidos
e pode iniciar uma estratégia de tratamento apenas. Uma estratégia de tratamento
seria padronizar segmentos na primeira parábola e verificar se a proporcionalidade
mantém nas demais quanto tomados segmentos semelhantes (mesma inclinação e
paralelos), conforme mostra a figura 4.25:
Figura 4. 25 - Usando uma régua e o principio da semelhança para verificar se os gráficos possuem
mesma dilatação e concavidade.
99
É possível ainda que a articulação utilizada na figura 4.24 não seja concreta o
suficiente para alguns alunos, talvez até mesmo para alguns professores. Desse
modo, uma solução concreta e fácil de fazer seria usar uma folha de papel
semitransparente e copiar um dos gráficos e, em seguida, partir para o método da
sobreposição que também levará a concluir que as aberturas denotadas nos gráficos
são idênticas. Concluindo, assim, que a variação do coeficiente (b), numa função
quadrática do tipo f(x) = ax2+bx+c, a≠0, não altera a “concavidade” e nem a abertura
dos gráficos transformados.
Por outro lado, mais uma vez, tem-se um ambiente propicio para usar das
TDIC de modo investigativo e exploratório, principalmente no momento em que os
registros de representação semiótica gráfica são tratados, sem conversão.
Do mesmo modo, quando se questiona acerca dos vértices na questão(c),
esperava-se do professor um tratamento no registro de representação semiótico
gráfico. Também seria possível acreditar que o professor respondesse tal questão
utilizando o tratamento no registro algébrico inicial, usando para isso as fórmulas do
vértice. Entretanto, a presente pesquisa tem o professor como sujeito, então,
esperava-se dele uma articulação entre ao menos dois registros de representação.
Já as questões (d) e (e), têm por objetivo verificar as conjecturas e
argumentações levantadas pelos professores, além de investigar o seu domínio
acerca dos conteúdos matemática, conforme levantado por Shulman (1986). Por
exemplo, na questão (e), pergunta se os vértices dos gráficos descrevem um
movimento linear, que é absurdo, uma vez que o próprio registro de representação
gráfica deixa explícito que seria impossível obter uma reta ao conectar tais vértices.
Quanto ao questionamento se é ou não uma função, espera-se que professor tente
enxergar padrões no gráfico, conjecture, faça teste e validações antes de responder.
Também na questão (e) é solicitada a representação algébrica da função que
contem todos os vértices dos gráficos da função quadrática f(x) = x2+bx+c, a≠0, com
b variando dentro dos números reais. Na verdade, o que se quer aqui do professor é
principalmente a sua mobilidade em articular os vários registros de representação
semiótica da função quadrática, indo além do tratamento, ou seja, espera-se a
conversão do Registro de Representação Semiótica Gráfica para o Registro de
Representação Semiótica Algébrico, seguido do devido Tratamento.
100
Desse modo, esperava-se uma resposta semelhante à apresentada no
quadro 4.1:
Quadro 4. 1 - Dedução da função dos vértices obtidos ao variar o coeficiente (b) de uma função quadrática.
Percebe-se, desse modo, que a função descrita pelo vértice também é uma
função quadrática e que independe do coeficiente (b). No caso particular dessa
atividade, a parábola que contem todos os vértices da família dada é representada
pela função quadrática: y = -x2.
A questão (f) volta a solicitar que se sirva das potencialidades dos softwares
envolvidos na presente investigação. Desse modo, esperava-se do professor a
construção de algum dos gráficos contidos na figura 4.26:
Figura 4. 26 - Gráficos esperados com resposta da questão (f) da atividade 6, em (I) construção no
Winplot e em (II) construção no quadratic grapher.
101
Por fim, na questão (g), o professor devia fazer uma institucionalização acerca
das mudanças de Registros de Representação Semiótica Gráfico, mais
especificamente, ao tratamento desses registros, conforme discutido por (DUVAL,
2003). Onde se esperava que o professor reconhecesse que o coeficiente (b), da
função quadrática, f(x)=x2+bx, a≠0, está intrinsecamente relacionado com o “zero” da
função, mas que não altera o comportamento gráfico acerca das “dilatações” e
“concavidade”.
4.2.5. Sexta Atividade – Introduzindo o estudo da forma canônica
Nessa atividade, ao contrário das anteriores, esperava-se que professor,
antes de utilizar o Winplot, desse um tratamento algébrico nas funções
apresentadas, ou seja, conforme discutido por Duval (2003) seria desejável que o
professor estivesse preparado para fazer uma transformação de registro
internamente.
Figura 4. 27 - Fotocópia da atividade 6, para melhor visualização consulte o apêndice B.
Na questão (a) dessa sexta atividade, conforme a figura 4.27, as funções,
cujo registro é algébrico, já se encontram explicitamente na forma do vértice, forma
102
essa pouco explorada em livros didáticos, conforme analisado no capitulo anterior.
Ainda assim, desejava-se que o professor utilizasse seus conhecimentos algébricos,
deduzindo a forma do vértice para a função genérica f(x)= x2 +bx+c, conforme o
quadro 4. 2:
Quadro 4. 2 - Dedução da forma do vértice para a função quadrática genérica
Já na questão(b), dessa atividade, solicita a construção, no software Winplot,
do gráfico de uma função quadrática a partir de sua representação algébrica na
“forma canônica do vértice”: y = (x+3)2- 5. Embora pareça uma atividade tradicional,
a construção solicitada permite que o observador levante conjecturas e utilize o
próprio software para investigar padrões e testar hipóteses, construindo, assim, seu
103
próprio conhecimento dentro de uma abordagem investigativa (SKOVSMOSE,
2000). Um padrão a ser observado nessa questão é que a forma canônica de uma
função quadrática é dada por f(x)= a(x – m)2 + n, com a ≠ 0, em que os coeficientes
(m) e (n) formam um ponto v( m, n) que também é o vértice da parábola. Desse
modo, para essa questão o ponto v(-3, -5) é o vértice da parábola descrita pela
função y = (x+3)2- 5, conforme a figura 4.28:
Figura 4. 28 - Esboço de uma função quadrática a partir de sua representação.
A proposta da questão (c) não deixa dúvidas que nenhum registro de
representação semiótica é completo, ideia defendida por Duval (2003). Ao deparar
com a função quadrática, f(x) = x2+6x+4, por exemplo, temos um registro o qual não
traz explicitamente informações acerca do vértice. Desse modo, requeria, mais uma
vez, que o professor usasse a mudança de registro de representação semiótica.
Assim, caberia ao professor optar pelo “tratamento”, que implicaria em alterar
internamente o registro, ou então, servir-se da “conversão” que mudaria o registro de
representação para outro signo. Entretanto, seria muito importante que o professor
soubesse mobilizar tais registros, conforme o quadro 4.3:
104
Quadro 4. 3 - Duas resoluções distintas, em (I) tratamento algébrico interno e em (II) conversão de registro de representação.
As demais questões dessa atividade funcionam como um roteiro para que o
professor institucionalize as mudanças de registro de representação semiótica
abordadas nessa atividade. Ou seja, esperava que o professor articulasse a
informações gráficas com as informações algébricas. Dentre as institucionalizações,
esperava-se que o professor verificasse que a forma canônica da função quadrática,
f(x) = a.(x – m)+ n, a≠0, ao variar (m) e (n) permitem, respectivamente, a translação
horizontal e vertical, conforme as figuras 4.29 e 4.30:
Figura 4. 29 - Família obtida por meio da variação do coeficiente (m) da
função quadrática, f(x) = (x - m)2+1.
105
Figura 4. 30 - Família obtida por meio da variação do coeficiente (n) da
função quadrática, f(x) = (x - 1)2+n.
Embora a observação a respeito das translações seja importante, também se
esperava que o professor articulasse mais profundamente o porquê as alterações
dos coeficientes (m) e (n) provocam tais translações nos gráficos. Em outras
palavras, o professor precisava entender o vértice como um ponto notável da
parábola e por isso a forma canônica de representação algébrica para a função
quadrática se faz tão importante.
4.2.6. Oitava Atividade – Reforçando importância da forma canônica da Função Quadrática
A atividade anterior tinha por objetivo introduzir a articulação entre os diversos
Registros de Representação Semiótica da função quadrática. Entretanto, seria
possível ainda, que o professor envolvido ainda não tenha conseguido “enxergar” as
conversões entre esses registros, bem como a importância dessa conversão.
Conforme discute Duval (2003), nenhum Registro de Representação Semiótica por
106
si só é completo no sentido de representar integralmente um objeto matemático. Isto
quer dizer que, ainda que um registro de representação transpareça um dado objeto
matemático, ele será parcial, pois os conteúdos em questão são diferentes,
comprometendo a análise que se quer fazer de tal objeto.
É imprescindível que o professor entenda que um Registro de Representação
Semiótica pode omitir informações importantes para a resolução de alguns
problemas que são propostos. No que tange a Função Quadrática, em sua forma
canônica, espera-se que o professor entenda que ela traz informações distintas da
sua forma entendida, f(x) = ax2 + bx + c, a≠0, em especial quando estas estão em
suas representações gráficas. Desse modo, espera-se que o professor saiba
mobilizar entre os Registros de Representação Semiótica da função quadrática, em
sua forma canônica, conforme o Quadro 4.4:
Quadro 4. 4 - Conversão entre os Registros de uma Função Quadrática, em sua forma canônica, com a diferente de zero.
107
Diante do exposto, a oitava atividade (Figura 4.31), teve por objetivo reforçar
a importância de trabalhar com a função quadrática, em sua forma canônica.
Figura 4. 31 - Fotocópia da atividade 8, para uma melhor visualização.
A questão (a) dessa atividade convida o professor a construir, num mesmo
eixo cartesiano do software Winplot, cinco funções quadráticas, em sua forma
canônica, f(x) = a.(x-m)2 +n, com a≠0 e, nesse caso particular, todas tem n = 0. Ao
seguir o solicitado, o professor obteria algo semelhante à figura 4.32:
Figura 4. 32 - Representação Gráfica das funções quadráticas solicitadas na questão (a) dessa
oitava atividade.
108
Percebe-se, de acordo com a representação gráfica, uma família de “família”
de parábolas em que uma é obtida como translação horizontal da outra, cujo módulo
é exatamente igual ao módulo da variação de seus coeficientes (m). Pode ser
verificando também que pelo fato do coeficiente (n) ser nulo, o vértice de y é sempre
zero.
Quando indagado acerca das raízes, na questão (b), era esperado que o
professor verificasse que o próprio coeficiente (m) é a raiz única de cada uma das
funções abordadas até aqui, nessa atividade. Ou seja, as raízes são 0, 1, 5, ½ e 2/
3, respectivamente.
Ao propor a questão (c), seria provável que uma quantidade razoável de
professores optasse por fazer apenas as Mudanças de Registro Internas, ou seja,
apenas tratamento dentro do registro algébrico. O Quadro 4.6 mostra esse
“procedimento” pelo o qual muitos tentam, alguns conseguem e, desses,
pouquíssimos entendem de fato o que significa tais respostas.
Quadro 4. 5 - Resolução via tratamento algébrico.
Ainda assim, esperava-se que o professor resolvessem as questões
propostas por meio do tratamento do registro gráfico, uma vez que a conversão do
Registro de Representação Semiótica Algébrico para o Registro Gráfico, discutido
por Duval (2003), favorece um maior domínio do objeto matemático, propiciando a
real construção do conhecimento. Além disso, o tratamento gráfico permite uma
visualização mais concreta quando proposto ao aluno. Desse modo, o professor
precisava perceber a vantagem em mobilizar essas Mudanças de Registro, uma vez
que estas mobilizações permitem que o aluno compreenda sua resposta que nem
109
sempre fica clara quando tratada internamente dentro do Registro Algébrico. A figura
4.33 mostra a conversão de Registro e tratamento esperado, por meio do software
Winplot, para a equação 2
2
2
1)2(
−=− xx
Figura 4. 33 - Determinando as raízes graficamente.
Essa conversão e tratamento não são explícitos e exige do professor um
domínio acerca do conteúdo matemático, conforme discutido por Shulman (1987).
Primeiramente, ao deparar com a equação (x – 2)2 = (x – ½)2, o professor precisaria
reconhecer cada membro dessa equação como uma função quadrática, de modo
que estas possam ser esboçadas. Além disso, esperava-se do professor domínio do
conceito acerca das condições de igualdade entre duas funções quaisquer, em que
as intersecções graficamente apresentadas são exatamente os pontos ou lócus que
as funções gozam de uma mesma correspondência, ou seja, nessa(s) intersecção
(ões) tem-se que uma mesma variável independente (x) apresenta um mesmo valor
para a variável dependente (y) em ambas as funções.
Nesse caso específico, de acordo com a figura 4.32, fica explicito que a
intersecção apresentada é dada apenas no ponto (x, y) = (1.25, 0.56). Fica evidente
a importância do software Winplot nessa articulação entre os Registros de
Representação Semiótica para equação proposta por esse estudo, haja vista que
apenas o esboço em papel comum, sem precisão, das referidas funções que
compõem a equação, embora permita uma visualização, compromete uma
resolução profícua a partir apenas da manipulação dos registros gráficos.
Nessa perspectiva, ao solicitar que o professor resolva graficamente a
inequação: (x-5)2 ≥(x-2/3)2, esperava-se também que este reconhecesse a
importância de incorporar as Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação em
110
seu fazer didático, para além de uma esboço rápido e preciso apenas, propiciando
que o aluno construa seu próprio conhecimento a partir de uma situação mais
concreta de conceitos matemáticos mais abstratos, tais como as inequações. Desse
modo, fica nítido que o esboço feito no Winplot, por si só, não responde à questão
colocada, conforme a figura 4.34:
Figura 4. 34 - Resolvendo inequações quadrática por Conversão de Registro, seguido de
Tratamento.
Sendo yverde = (x-2/3)2 e yamarelo = (x-5)2, duas funções que representam a
inequação (x-2/3)2 ≥ (x-5)2, o que se quer é quando a função “verde” é maior que a
função “amarela”. Desse modo, como um bom ponto de partida tem-se a intersecção
dessas duas funções que se dá no ponto (2,83; 4,69), ponto que representa uma
equivalência entre elas de modo que nos demais lócus uma obrigatoriamente é
maior que a outra. A partir de uma observação detalhada, percebe que à direita de
x= 2.83 tem-se que a função “amarela” é sempre maior que a função “verde”. Desse
modo fica fácil de generalizar que (x-2/3)2 ≥ (x-5)2 sempre que o valor de (x) for
inferior ou igual a fração ideal duzentos e vinte e um de setenta e oito avos (221/78)
que é aproximadamente dois inteiros e oitenta e três centésimos (2,83).
4.2.7. Oitava Atividade – Trabalhando com Registro de Representação Semiótica Natural
Segundo os PCN (1999), nas aulas de Matemática deverão ser propostas
aos alunos atividades que propiciem o desenvolvimento de suas capacidades de
raciocínio relativas à resolução de problemas de diferentes tipos, de modo que
possam elaborar conjecturas e reconhecer regularidades, fundamentais no processo
111
de “formalização do conhecimento matemático”, como também no “desenvolvimento
de habilidades essenciais à leitura e interpretação da realidade e de outras áreas do
conhecimento” (p.84).
Nesse processo, se estabelecerão aproximações contínuas ao conceito
matemático para a solução, e assim, o aluno utilizar-se-á de conhecimentos
anteriores para resolvê-los, fazendo transferências, correções e rupturas, o que lhe
permitirá construir “um campo de conceitos que tomam sentido num campo de
problemas”, visto que “um conceito matemático se constrói articulado com outros
conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações” (PCN,1997,
p.44).
Ainda segundo os PCN (1997), no processo de resolução de um problema:
“aprender a dar uma resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para
que ela seja aceita a até seja convincente, mas não é garantia de apropriação do
conhecimento envolvido”. Vale salientar também que, nessa forma de trabalho, é de
relevante importância a apresentação do valor da resposta quando o aluno deve ser
incitado a “questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a transformar
um dado problema numa fonte de novos problemas” tem a comprovação de “uma
compreensão de ensino e aprendizagem por meio da ação pensada que auxilia na
construção dos conhecimentos” (p.45).
No que tange a prática de resolução de problemas, é comum ouvir de
professores depoimentos do tipo: “os alunos não sabem interpretar o que o
problema pede”, ou então, “fulano mal leu a questão, apenas pegou todos os
números e fez uma continha de adição, colocando o resultado como resposta ao
problema”. Daí fica a questão: será que os alunos são estimulados a ler e interpretar
textos em linguagem matemática?
É importante reconhecer que na matemática também a leitura é fundamental
para estimular e aperfeiçoar tanto a escrita quanto a interpretação de textos.
Entretanto, a matemática tem suas particularidades o que exige do aluno uma
conversão entre a linguagem materna e a linguagem matemática. Porém essa
conversão não é singular para os alunos (DUVAL, 2003).
Ao desempenhar seu trabalho em sala de aula, o professor precisa ter
consciência que a língua natural e a linguagem matemática são indissociáveis,
conforme sintetiza Machado (2001):
112
Entre a Matemática e a Língua Materna existe uma relação de dependência mútua. Ao considerarem-se esses dois temas enquanto componentes curriculares, tal impregnação se revela através de um paralelismo nas funções que desempenham, uma complementaridade nas metas que perseguem, uma imbricação nas questões básicas relativas ao ensino de ambas. É necessário conhecer a essencialidade dessa impregnação e tê-la como fundamento para a proposição de ações que visem à superação das dificuldades com o ensino de Matemática. (p. 10)
Desse modo, o professor tem um papel dentro dessa teoria, uma vez que se
ele não a leva em consideração pode acabar fazendo uma avaliação indesejada do
conteúdo ministrado. Mais especificamente, o professor pode apenas priorizar o
tratamento que é utilizado para responder uma atividade proposta, induzindo os
alunos a memorizarem regras e algoritmos a serem utilizados, mas que não fazem
nenhum sentido para eles.
Nessa perspectiva, a atividade oito, conforme a figura 4.35, convoca o
professor a refletir sobre a Língua Materna e sua “simbiose” com a Linguagem
Matemática, bem como o incentiva a priorizar a conversão da linguagem natural
para um registro de representação semiótica matemático. A atividade também
explora a importância da validação de uma resposta, além de discutir várias
metodologias e linhas de raciocínios para a resolução de um mesmo problema.
Figura 4. 35 - Fotocopia da oitava atividade, para uma melhor visualização consulte o apêndice B.
113
A questão (a) dessa atividade solicita ao professor que determine a função
que relaciona o preço de venda com o tempo de engorda. Entretanto, não é caminho
simples a percorrer. Já que temos um problema que se encontra na linguagem
natural e para resolvê-lo é necessário reescrevê-lo na Linguagem Matemática, bem
como fazer as devidas transformações de registros de representação.
O ponto de partida inicial para a solução é entender há duas grandezas, o
preço por quilograma e a massa em quilograma, que variam e sentido oposto e,
além disso, ambas dependem do tempo. Em outras palavras, quanto mais tempo
passar mais “gordo estará o bezerro”, mas em contra partida, menos valerá o
bezerro.
Até aqui, a partir da leitura e interpretação, foi apresentado apenas um
tratamento em cima da informação que se encontra na Linguagem Materna.
Entretanto, antes de iniciar a conversão é preciso interpretar os conceitos
matemáticos que estão nas entrelinhas da língua natural. Percebe que há
grandezas dependentes e independentes, ou seja, trata-se de uma função
matemática. Desse modo, pode iniciar por escrever as funções utilizando signos
matemáticos, conforme o Quadro 4.6:
Quadro 4. 6 - Conversão da Língua Materna para a Linguagem Matemática.
Já a questão (b), dessa mesma atividade, solicita ao professor que construa
o gráfico para essa função. Ao construir, no Winplot, tal gráfico que representa essa
114
função, que por ora se encontra nos seu registro de representação semiótica
algébrico, obtém algo semelhante à figura 4.36:
Figura 4. 36 - Registro gráfico, no Winplot, para a função y =(200+2x)(50-0,4x)
Diante de um gráfico estranho é um bom momento para o professor
reconhecer que as TDIC são frutos humanos e também possuem limitações, como
explicita Hadas (2000), sendo assim, cumpre ao professor criar ferramentas,
mecanismos ou qualquer outro subterfúgio para superar tal limitação tecnológica.
Para superar esse ponto crítico, pode o professor voltar ao lápis e papel e fazer sua
construção, ou então, ver uma maneira de “manipular” o software em busca de uma
melhor visualização, mexendo nas escalas, por exemplo.
Entretanto, independente do caminho tomado pelo professor, é importante
reconhecer que tal superação ou não pode ser reveladora, uma vez que para
superar o desafio, o professor precisa antes de qualquer reconhecer que tal função é
uma função quadrática e, assim sendo, tem características próprias que são
primordiais para êxito na superação. Obviamente, a presente pesquisa não vai
recorrer à tecnologia do lápis e do papel, o que também se esperava do professor.
Desse modo, a figura 4.37, mostra o gráfico após algumas transformações no seu
registro (tratamento, segundo Duval (2003)).
115
Figura 4. 37 - Gráfico da função depois de devidos tratamentos.
Ao observar o gráfico várias informações podem ser lidas e ao serem
confrontadas com informações de outros Registros de Representação Semiótica
para o objeto matemático surgem algumas conjecturas, tais como:
• O objeto matemático em questão pode ser representado graficamente;
• A função quadrática, y =(200+2x)(50-0,4x), é representada
graficamente por uma parábola;
• É importante lembrar que o signo (x) representa uma dia a partir de
hoje, então, x≥0;
• A parte azul da parábola não faz sentido algum dentro da semântica do
problema, mas pode ser importante para identificar padrões;
116
• Percebe que o valor de venda aumenta um pouco, no decorrer do
tempo, mas depois de atingir seu máximo esse valor apenas
decresce;
• O vértice dessa parábola representa um extremo, ou seja, o valor
máximo;
• A partir da construção é possível visualizar o vértice v(12,5; 10).
Quanto à questão (c), espera-se que o professor mobilize pelo menos dois
tipos de registros de representação. O primeiro registro pode ser o gráfico solicitado
na questão anterior, de onde é possível verificar que entre o 12º e 13º dia está o
melhor momento para a venda do bezerro. Uma segunda opção de registro é
mostrada no quadro 4.7:
Quadro 4. 7 - Calculando (x) dia, a partir do tratamento do registro algébrico.
Ainda em relação à questão(c), fica claro que, através da mobilização de
diversos Registros de Representação Semiótica para um mesmo objeto matemático,
o melhor momento para a venda do bezerro, pensando no lucro, é entre o décimo
segundo e décimo terceiro dia.
Já em relação à questão(d) dessa atividade as articulações anteriores entre
os diversos registros de representação permitem afirmar que o melhor preço de
117
venda do bezerro corresponde a R$ 10125,00. Entretanto, o professor que optou
pelo tipo de tratamento dado no item (II) do quadro 4.6 ainda precisaria recorrer à
fórmula do vértice para calcular o preço máximo da venda do bezerro.
4.2.8. Nona Atividade – Mobilizando as Mudanças de Registros de Representação
Para a determinação dos objetos dessa atividade, conforme a figura 4.38, os
conhecimentos articulados nas atividades anteriores são essenciais. Além de exigir
uma compreensão das transformações sofridas nos gráficos de uma função
quadrática em virtude de se manter dois coeficientes constantes e variar o terceiro.
Também é exigida a interação com a forma canônica da função quadrática.
Figura 4. 38 - “Carinha” e “Camiseta” a serem construídas no Winplot, para ver essa atividade na
integra consulte o apêndice B. Faz-se necessário observar que esta atividade é uma adaptação ao trabalho desenvolvido por Maia (2007).
Os conhecimentos matemáticos acerca das funções que permitem a
construção dos objetos são: dilatações, translações verticais e/ou horizontais;
mudanças na concavidade da parábola; reflexão em relação ao eixo das abscissas,
bem como a noção de intervalos que serão ferramentas essenciais para as
construções. Para facilitar as construções também pode ser usado o recurso de
animação no Winplot.
118
Nessa atividade, se espera do professor que, ao levantar estratégias para a
construção, leve em consideração as relações existentes entre cada “parábola” que
representam uma função quadrática e compõem o desenho.
No caso da carinha, por exemplo, é importante reconhecer que o gráfico que
compõe o contorno “facial” e o gráfico que forma o contorno da “cabeça” se
relacionam por meio de uma translação e uma dilatação. Se o professor iniciou a
coeficiente (c) da função quadrática, f(x) = ax2 +c, bem como diminuir o valor do
coeficiente (a) dessa mesma função. Em relação aos “olhos”, o melhor caminho será
partir da forma canônica da função quadrática, f(x) = a (x – m) + n, uma vez que são
gráficos simétricos em que um é o resultado da translação vertical do outro. E
finalmente para a construção da boca, deve verificar a distância relativa ao “queixo”
para deixar a máscara com uma aparência triste, seria o resultado de uma
translação seguida de uma reflexão do gráfico de um dos olhos.
Essa atividade, entre outras possibilidades, “permite avaliar a utilização das
variáveis visuais relativas à função quadrática juntamente com sua unidade
simbólica correspondente, isto é, mostrar que o aluno está aplicando o procedimento
de interpretação global das propriedades figurais” (MAIA, 2007, p104).
O propósito aqui não é o desenho pelo desenho, mas sim, a possibilidade de
investigar as mobilizações entre os registros de representação semiótica articuladas
pelos professores para chegar a tal desenho, bem como verificar as reais
dificuldades ao usar as TDIC. Esboços semelhantes aos esperados estão
apresentados na figura 4.39 e 4.40:
Figura 4. 39 - Esboço da "carinha" solicitada nesta atividade.
119
Figura 4. 40 - Esboço da "camiseta" solicitada nesta atividade.
4.2.9. Décima Atividade: Transformando Registro de Representação Gráfica
A solução de um problema depende diretamente de análise e interpretação
dos dados, bem como do desenvolvimento cognitivo e das noções que o aluno
possui. Dessa forma “o que é um problema para um aluno pode não ser para outro”
(PCN,1997, p.44). Assim, torna-se necessário que o aluno elabore “um ou vários
procedimentos de resolução” e compare “seus resultados com os de outros alunos”
e valide “seus procedimentos” (PCN,1997, p.45).
O ensino de matemática deve ter por objetivo principal, levar o aluno a
reconhecer as representações análogas de um mesmo conceito, o que
proporcionará a promoção da realização pessoal, oferecendo segurança relativa à
sua capacidade matemática, desenvolvendo capacidades de cooperação, essencial
em sua formação. Assim sendo, torna-se necessário que os alunos concebam a
Matemática como sendo “um sistema de códigos e regras que a tornam uma
linguagem de comunicação de ideias e permita modelar a realidade e interpretá-la”
(PCN, 1999, p.82).
A situação-problema deve expressar aspectos chaves para o conceito que se
quer estudar, o aluno deve ser levado a interpretar o enunciado da questão,
estruturar a situação que lhe é apresentada, utilizar o que aprendeu para resolver
120
outros problemas, o que exige transferências, retificações e rupturas. Desse modo,
um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos mediante uma
série de generalizações (ONUCHIC, 1999, apud CASTRO; TEIXEIRA, 2010).
Dentro dessas perspectivas apresentadas, a décima atividade, conforme a
Figura 4.41, traz uma situação problema cujo objeto matemático está no Registro de
Representação Semiótica Gráfica. Nesse problema as informações principais são
gráficas, entretanto, não devem ser ignoradas as demais informações que podem
estar codificadas em outros Registros de Representação, bem como o cotidiano da
abordagem pode ser um diferencial facilitador nas estratégias de solução.
Figura 4. 41 - Fotocópia da décima atividade trabalhada nas oficinas, para uma melhor visualização
consulte o apêndice B.
121
Ao propor a questão (a), tem-se um convite implícito, para o professor
mobilizar os Registros de Representação Semiótica, ou seja, esperava-se que o
professor fizesse a conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
Não se tratava de uma questão simples, haja vista que para determinar
algebricamente a função quadrática que, por ora, encontra-se no registro gráfico
seriam necessários três pontos bem definidos para escrevê-la através de um
sistema de equações, em seguida, chegar então à representação algébrica.
Por outro lado, mesmo que houvesse um terceiro ponto bem definido na
curva representada no gráfico dessa atividade, os sistemas ou as matrizes não seria
o melhor16 ponto de partida. Uma estratégia de solução, apresentada pela autora
desse estudo, no quadro 4.9, requer subsídios de outros conhecimentos conceituais
interdisciplinares e transdisciplinares, dentre eles a aceleração da gravidade.
Quadro 4. 8 - Uma resolução proposta para a questão (a).
A solução apresentada no quadro 4.8 não é trivial, mas é mais simples que
16 Quando se diz melhor, nenhum momento é intenção da autora dessa pesquisa desprestigiar qualquer outro tipo de solução, mesmo porque a presente pesquisa valoriza a diversidade de estratégia, desde que coerente.
122
uma solução analítica vetorial, uma vez que um tratamento excessivamente
algébrico e formal pode dificultar consideravelmente a compreensão do aluno,
consequentemente, comprometendo a aprendizagem.
De um modo geral, essas dez atividades trazem em seu cerne de resolução a
teoria das Mudanças de Registros de Representação Semiótica e propõem um
tratamento curricular especial em que os tratamentos normalmente feitos com lápis
e papel podem e devem ser feitos com os recursos das Tecnologias Digitais da
Informação e da Comunicação, potencializando os processos de ensino e
aprendizagem.
De acordo com a análise prévia que foi feita até o momento e tendo em vista
as possibilidades e expectativas esperadas em relação ao tratamento a ser feito
pelos professores sujeitos do estudo focal dessa dissertação, bem como à luz dos
aportes metodológicos servidos segue no próximo capítulo a análise feita acerca dos
dados coletados. Também serão apresentadas algumas considerações e
ponderações que podem ser úteis para estudos futuros, em especial aqueles que
buscam uma intervenção na formação de professores de matemática para uso das
Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação, bem como aqueles que buscam
favorecer a integração da Teoria das Mudanças de Registro de Representação
Semiótica nos processos de ensino e aprendizagem.
123
CAPÍTULO V
5. ANÁLISE DOS DADOS E RESULTADOS
Este capítulo é dedicado à apresentação e análise dos dados obtidos no
decurso dessa investigação, os quais são contrastados com o referencial teórico
adotado, bem como são feitas considerações sobre o trabalho desenvolvido com os
professores de matemática, descritos no capítulo anterior, acerca das funções
quadráticas com o uso integrado das Tecnologias Digitais da Informação e
Comunicação – TDIC. Também estão destacados outros fatores que influenciaram
direta ou indiretamente nesta dissertação.
Ainda constam comentários pertinentes aos aspectos positivos e negativos
observados no decorrer da investigação, os quais poderão complementar o
processo de formação inicial e continuada do Professor de Matemática.
5.1. Perfil dos professores
Essa pesquisa contou com 29 professores de matemática, dos quais um era
aposentado, outro encontrava-se na função de Coordenador Pedagógico e os
demais estavam atuando em salas de aula da rede estadual de São Paulo.
Entre os professores envolvidos nesse estudo, todos são usuários de algum
tipo de TDIC no dia a dia. Entretanto, 5 entre os 29 afirmaram não utilizar nenhuma
das TDIC nas suas atividades docentes. Percebe-se ainda que dentro desse grupo o
uso das TDIC enquanto recurso pedagógico é mais comum que o uso enquanto
recursos didáticos, ou seja, esses professores usam as Tecnologias para preparar
uma lista de exercícios, preencher requerimentos, elaborar textos e avaliações, por
exemplo, mas incluir as TDIC de forma integrada com o desenvolvimento dos
conceitos matemáticos na sala de aula ainda é pouco concebível.
Alguns professores, quando questionados acerca da não utilização do
computador e outras mídias digitais em suas atividades pedagógicas e didáticas,
foram contundentes ao dizerem que não se sentem preparados para utilizar essas
mídias em suas aulas. Alguns até disseram não utilizar as mídias digitais, como o
computador, por não encontrá-las disponíveis ou acessíveis em suas unidades de
trabalho. Já respostas como a segunda foram mais evasivas, já que esses mesmos
professores reconhecem, mais adiante no questionário, que necessitam melhorar
124
sua competência em manipular tais mídias ou, então, sentem-se carentes de
situações didáticas práticas que favoreçam o uso de softwares matemáticos na aula
de matemática.
Um ponto positivo a ser observado é que esses professores de matemática
acreditam veemente que necessitam de uma formação que o favoreça a incluir, de
fato, tais mídias em suas atividades pedagógicas e didáticas. Muitos relataram que
se sentem inseguros em utilizar as TDIC, integradas ao desenvolvimento dos
conceitos matemáticos e, provavelmente não o faz, ou seja, se sentem melhor na
zona de conforto a batalhar numa zona de risco (BORBA; PENTEADO, 2007).
Os registros digitais também comprovaram que esses professores se
queixavam da falta dessas TDIC no cotidiano escolar. Foi possível captar algumas
falas, das quais, uma está transcrita no protocolo 1:
Protocolo 5. 1 – Transcrição da fala de um professor, durante a exposição da pesquisadora.
É plenamente acreditável que existam barreiras como essas expostas no
protocolo, o que não quer dizer que deva ser assim. Isso apenas revela que serão
necessários muitos estudos para convencer o professor que o ambiente escolar só
estará nutrido de computadores e outras mídias digitais quando realmente o
professor “gritar” por essas tecnologias. Entretanto, esse “gritar” significa também
que o professor reconheça as verdadeiras potencialidades das Tecnologias Digitais
da Informação e da Comunicação, bem como estar capacitados para usá-las
adequadamente.
Em relação ao favorecimento do uso das Tecnologias Digitais da Informação
e Comunicação integradas nos processos de ensino e aprendizagem, todos os
professores acreditam ser positiva tal integração. Dentre esses, a maioria deles
ressaltou ser importante, porque as TDIC permitem uma melhor visualização,
principalmente de desenhos e gráficos. Outros preferiram falar que a atenção e/ou o
interesse do aluno será maior como uso dessas TDIC. Outros até reconheceram que
as animações proporcionadas pelas TDIC favorecem a compreensão dos alunos.
Alguns professores observaram que as TDIC podem favorecer a comparação entre
125
diversos modos de resolver determinada situação problema. Apenas um desses
professores acredita que a tecnologia favorece a rapidez na informação. Outro
professor reconheceu que as TDIC permitem um ambiente de ensino mais prático,
como um laboratório faz como ensino de Física.
Diante disso, da mesma forma que foi discutido no capitulo III, as
potencialidades das TDIC são várias, depende apenas do professor decidir quando,
como e porque usá-las, mas tendo em mente que elas sozinhas não garantem o
aprendizado do aluno e nem facilita o trabalho docente, uma vez que a inserção
dessas no fazer pedagógico e didático também requer adequação metodológica e
preparo de aulas.
Quanto à participação em outros cursos que envolvem as Tecnologias Digitais
da Informação e Comunicação, apenas treze dos vinte e nove participantes
afirmaram não terem participado de nenhum curso nessa semântica. Mesmo assim,
todos os partícipes acreditam que as oficinas, minicursos ou outra modalidade de
formação continuada semelhante são importantes para conferir ao professor a
possibilidade de uso das mídias digitais integradas ao desenvolvimento dos
conceitos matemáticos.
5.2. Análise dos dados gerais
Durante a realização das atividades, foi possível observar que alguns
participantes se depararam com dificuldades de origens variadas. Algumas dúvidas
por eles manifestadas, por mais simples que fossem, chegavam a impedir a
continuidade das tarefas caso não fossem esclarecidas. Desse modo, as
dificuldades manifestadas pelo grupo de participantes dos minicursos foram
divididas em três tipos: - dificuldades no gerenciamento do computador; - não
domínio dos softwares e; - não compreensão de alguns conceitos matemáticos, em
particular das funções polinomiais do segundo grau. Segue, então a analise sobre
cada uma dessas dificuldades apresentadas.
� Dificuldades no gerenciamento do Computador
Apesar de o computador estar cada vez mais disseminado na vida humana,
apropriar-se da lógica inerente ao seu modelo e suas funções é algo que requer
126
exercício e alguns esclarecimentos básicos. Veja abaixo algumas dificuldades
identificadas no desenvolvimento das atividades desse estudo:
� utilizar o mouse de maneira adequada (direita e esquerda);
� interpretar a janela inicial do computador: funções dos ícones e das opções
dos menus;
� salvar, nomear e localizar arquivos, principalmente na pendrive;
� localizar e abrir programas;
� manipular arquivos e pastas no gerenciador de arquivos;
� interpretar as variações e funções das teclas etc.
� Dificuldades no domínio dos softwares gráficos
Os resultados dessas análises sugerem que a apropriação da manipulação
dos softwares Winplot e dos applets por parte dos professores participantes não foi
tão complicado como se esperava ser. Entretanto, verificou-se que algumas
dificuldades foram mais persistentes e comuns entre os partícipes
A seguir, está alguns exemplos dos casos mais recorrentes:
� colocar a grade no eixo cartesiano;
� duplicar plotagens via inventário;
� representar frações e raízes quadradas de modo legível ao
computador;
� localizar o gráfico quando a plotagem estava fora do campo de
visão, o que também revela não domínio de alguns conceitos acerca das
funções quadrática;
� mudar a escala de plotagem;
� construir funções de domínio limitado;
� construir uma animação para a função quadrática de acordo com
um parâmetro que também é um coeficientes (a, b ou c).
� Dificuldades com os conceitos de Funções quadráticas Embora mais camufladas, tais dificuldades também apareceram
constantemente. Em se tratando de professores tais dificuldades foram simples e
não prejudicaram o desenvolvimento das atividades. Entretanto, diversas vezes
essas mínimas dificuldades revelaram ser um obstáculo didático futuro ou até
127
mesmo na recusa de desenvolver tais atividades com seus alunos. Algumas
observações em relação aos comportamentos dos professores, sujeitos dessa
pesquisa, foram:
� incerteza e ausência de um mecanismo para a verificação da abertura das
parábolas e, consequentemente, surgimento de um obstáculo didático;
� crença de que para toda resolução de um problema existe uma fórmula
matemática, diante disso foi ouvido pessoalmente e/ou na gravação digital
que, frequentemente, um participante perguntava para o outro regras e
fórmulas ao invés de tentar compreende-las através da mobilização entre os
Registros de Representação que é totalmente favorecida pelas TDIC;
� crença de que o erro é algo ruim e imperdoável, umas vez que muitos
deixaram respostas em branco por que não tinham certeza da resposta,
prejudicando a discussão que é tão importante para o conhecimento;
� desconhecimento da importância dos diversos registros de representação
para uma mesma função quadrática;
� dificuldade em fazer tratamentos algébricos e demonstrações;
� análise muito superficial dos Registros Gráficos;
� dificuldade em fazer a conversão entre os diversos Registros de
Representação Semiótica das funções quadrática;
� crença que para o professor de matemática não precisa ter domínios de
outras áreas de conhecimento, como a Física e a Química.
Diante do exposto, nota-se que, durante as referidas oficinas, as dificuldades
em relação aos saberes docente do professor de matemática foram bem além do
esperado, comprometendo inclusive o uso adequado dos recursos oferecidos pelas
Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação. Conforme será melhor discutido
adiante, percebe-se que, como já apontado por alguns pesquisadores, o professor
ainda não está preparado para usar a tecnologia de modo a tirar o máximo proveito
de suas possibilidades ( HORNINK, 2005;BITTAR, 2006).
5.3. Análise das atividades realizadas pelos professores
Nas oficinas, cenário da presente investigação, foram realizadas dez
atividades que propunham o desenvolvimento do conceito das Funções Polinomiais
do Segundo Grau com uso integradas das Tecnologias Digitais da Informação e
128
Comunicação, mais especificamente, o Winplot e o Applet Quadratic Transformer.
Desse modo, como parte desse trabalho de pesquisa, as resoluções propostas pelos
professores estão analisadas à Luz das Teorias: “Knowledge Base” proposta por
Lee Shulman e Registros de Representação Semiótica desenvolvida por Raymond
Duval, conforme fora discutido no capitulo IV.
5.3.1. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Primeira Atividade
Ao propor essa atividade, desejava investigar como os professores enxergam
os recursos da informática como ponto de partida, antes da formalização do conceito
a ser estudado, bem como, verificar como o professor concebe a possibilidade de se
usar uma abordagem investigativa. Dentro desse prospecto, esperava-se que o
professor valorizasse tais abordagens e, consequentemente, se manifestasse como
investigador, uma vez que este papel é importante para aprendizagem do individuo
em cognição.
Infelizmente, nesse aspecto, os resultados não foram favoráveis, haja vista
que nenhum dos 29 participantes foi além do responder o obvio. A parte que pedia
que esses fizessem comentários acerca das conjecturas e possibilidades, bem como
tentar explicar o fenômeno, foi deixada em branco, prejudicando inclusive a
possibilidade de uma analise mais contundente.
Quando questionados verbalmente, boa parte desses professores disse que a
atividade era interessante, já que permitia a visualização mais concreta de uma
parábola, alguns até chegaram a mencionar o conceito de referencial. Se por um
lado, todos os envolvidos reconheceram a existência da parábola nessa atividade,
por outro lado, nenhum professor reconheceu que tal parábola observada
representava a função descrita pela posição em virtude do tempo, para um corpo em
queda livre, ou seja, não houve nesse grupo o reconhecimento da importância de
diferenciar o objeto matemático (função quadrática, no caso, o deslocamento da bola
em função do tempo) de sua representação natural (uma trajetória vertical, que
dependendo do observador será vista em forma de parábola) e de sua
representação gráfica.
Desse modo, é importante observar que, pelo menos para o grupo de
professores, sujeitos dessa investigação, a abordagem investigativa ainda é pouco
129
valorizada em suas práticas docentes. E não será as Tecnologias Digitais da
Informação e Comunicação que vai transformar suas crenças e metodologias.
De acordo com a discussão de Shulman (1987), percebe-se que a formação
desses professores, até o momento, não os nutriu do conhecimento pedagógico do
conteúdo.
5.3.2. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Segunda Atividade
Ao propor essa atividade, esperava que professor levantasse algumas
conjecturas acerca do comportamento do gráfico da função quadrática, f(x) = ax2 +
bx + c, a ≠0, quando se altera cada um de seus coeficientes (a, b ou c).
Quanto à variação do coeficiente (a), os comentários dos professores foram
peremptoriamente convergentes a um e somente um comentário semanticamente
falando, dos quais, um está transcrito abaixo no protocolo 5.2:
Protocolo 5. 2- Conjectura levantada acerca da variação do coeficiente (a) da função quadrática
A conjectura levantada está correta, mas como se trata de professores,
poderia ser mais amplamente discutida. Seria importante que o professor
observasse que o coeficiente (a) da função quadrática, f(x) = ax2+bx +c, a≠0, quando
alterado faz com que a parábola que a representa graficamente sofra alterações em
sua “dilatação”, ou seja, a abertura da parábola também altera com a variação do
coeficiente (a) e, mais ainda, quando o coeficiente ( a ) tende a zero a parábola
tende a uma reta. Enfim, com essa resposta evasiva a análise fica comprometida,
Entretanto, as três próximas atividades focaram melhor esses aspectos.
Já em relação à variação do coeficiente (b) apenas 2 dos 29 participantes
fizeram conjecturas, as quais são semelhantes e, uma delas está transcrita no
protocolo 5.3:
Protocolo 5. 3 - Conjectura apresentada pelos professores em relação à variação do coeficiente (b).
130
Percebe-se que as únicas respostas quanto à variação do coeficiente (b) são
imprecisas, uma vez que descrevem um movimento horizontal, como se fosse uma
translação, o que não é verdade, haja vista que o que ocorre na verdade é uma
composição de movimentos horizontais e verticais, simultaneamente.
Já em relação ao coeficiente (c), os professores, de modo geral foram mais
precisos ao afirmarem que a variação desse coeficiente faz com que a parábola
inicial sofra uma translação vertical, e que, ainda essa parábola cortará o eixo y num
ponto distinto do ponto observado na intersecção desse mesmo eixo com a parábola
inicial.
5.3.3. Análise das mobilizações ponderadas acerca das Terceiras e Quarta Atividades
Ao propor essas atividades aos professores, esperava-se que estes
construíssem os gráficos no mesmo plano cartesiano e os observem
minuciosamente. Em relação gráficos da atividade 3, esperava-se que o professor
verificasse que:
� todos eles são curvas denominadas parábolas, cuja variação dos
coeficientes (a, b ou c) da função quadrática, f(x) = ax2+ bx + c, a≠0, é
também acompanhada por uma variação gráfica ;
� conforme o coeficiente (a) da função quadrática aumenta o gráfico vai
se “fechando” cada vez mais e quanto menor o valor do coeficiente (a)
da função quadrática mais “aberta” se torna a parábola apresentada no
gráfico, ou seja, a variação no coeficiente (a) promove uma dilatação
na parábola;
� todos os gráficos têm um ponto comum: a origem e, em se tratando de
professores, espera-se que estes saibam justificar algebricamente o
porquê desse padrão;
� a dilatação das parábolas está intrinsecamente relacionada com suas
concavidades, uma vez que se o coeficiente (a) tende a zero, tem-se
um gráfico parabólico tendendo a uma reta coincidente com o eixo (x)
do plano cartesiano. a entender que a dilatação numa parábola, que
depende do coeficiente (a), a leva a mudar de posição em relação ao
eixo (x);
131
� as reflexões e simetrias são padrões de agrupamentos, uma vez que
isso será observado por seu aluno mesmo que este não reconheça os
porquês algébricos.
Ao confrontar as articulações esperadas dos professores com as
mobilizações de fato levantadas, pode-se considerar que de um modo geral houve
convergência. As respostas apresentadas pelos professores foram bastante
semelhantes, o que sugere que há uma crença predominante adquirida na formação
inicial e no fazer docente desses professores. Dentre os quesitos iniciais de
observação, para essa atividade só faltou por parte dos professores uma articulação
mais profunda entre a variação do coeficiente (a), da função f(x) = ax2, como por
exemplo, que esse coeficiente funciona como um indexador de crescimento da
função e quanto maior o valor de (a) mais ao infinito tenderá o gráfico da função,
conceito essencial para a compreensão dos conceitos de limites de funções.
Outra observação que era esperada dos professores refere-se a relação entre
as raízes de uma função quadrática e o valor do coeficiente (a), de onde se pode
concluir que várias funções quadráticas podem ter a mesma raiz e, desse modo, não
se pode, a partir das raízes apenas, se chegar a uma determinada função conforme
fora proposto na décima atividade.
Já em relação à observação dos gráficos obtidos na atividade 4, o professor
deveria notar que:
� as parábolas não sofrem quaisquer alterações acerca de suas
concavidades e aberturas;
� ao somar uma constante (negativa ou positiva) à função quadrática f(x)
= x2, a≠0, ocorre apenas uma translação vertical, cujo vetor tem o mesmo
módulo que a referida constante;
� a animação no Winplot, sugerida nessa atividade, é essencial para que
aluno visualize tal translação vertical, bem como a não dilatação das
parábolas ao variar o coeficiente (c).
De modo bastante uniforme os professores cumpriram integralmente as
observações sugeridas por essa quarta atividade. É provável que o resultado
apresentado esteja relacionado ao fato de o coeficiente (c) de uma função
quadrática ter sido mais explorado em livros didáticos, em especial o seu significado
graficamente.
132
Em ambas as atividades, esperava-se que o professor reconhecesse a
importância de permitir uma compreensão geométrica pelo aluno ao desenvolver o
conceito das funções quadráticas, bem como articulasse a visualização com
representações algébricas, construindo de fato um conhecimento matemático
(DUVAL, 2003). Entretanto, tal articulação se quer foi feita proficuamente pelo
professor, o que sugere um desafio a ser cumprido pela formação do professor de
matemática, seja ela inicial ou continuada.
5.3.4. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Quinta Atividade
Ao propor essa atividade ao professor, esperava-se que este fizesse uma
institucionalização acerca das mudanças de Registros de Representação Semiótica
Gráfico, mais especificamente, ao tratamento desses registros, conforme discutido
por Duval (2003). Era importante que o professor reconhecesse que:
� o coeficiente (b), da função quadrática, f(x)=x2+bx, a≠0, está
intrinsecamente relacionado com o “zero” da função, mas que não
altera o comportamento gráfico acerca das “dilatações” e
“concavidade”.
� o tratamento no registro de representação semiótico gráfico é
importante para conjecturar, padronizar e fazer generalizações;
� a articulação entre os vários registros de representação semiótica da
função quadrática, indo além do tratamento, é fundamental para o
aprendizado de um conceito, uma vez que para escrever a função
descrita pelo vértice dos gráficos dessa atividade é necessário um
conhecimento profundo acerca das funções em geral;
� as potencialidades das Tecnologias Digitais da Informação e da
Comunicação envolvidas na presente investigação são importantes
para os processos de ensino e aprendizagem, uma vez que elas
favorecem o processo de conversão discutido por Duval (2003).
Diante das mobilizações esperadas pelos professores, pode-se considerar
que de um modo geral estas foram minimamente dentro do adequado. As respostas
apresentadas pelos professores foram bastante truncadas e semelhantes entre si, o
que já era esperado, uma vez que os livros didáticos não abordam a relação
existente entre o coeficiente (b) da função quadrática, f(x) = ax2+bx+c, a≠0, e o
133
comportamento gráfico dessa parábola. Conforme Penteado e Borba (2007), embora
os aspectos apresentados nessa atividade sejam importantes, poucos estudos os
têm discutido.
Dentre as dificuldades apresentadas nessa atividade está a dificuldade em
interpretar e tratar as funções quadráticas quando estas estão representadas por
seus Registros de Representação Semiótica Gráficos. Entretanto, a maior
dificuldade apresentada pelos professores defronte a essa atividade refere-se à
Conversão (DUVAL, 2003), uma vez que nenhum dos participantes conseguiu
escrever adequadamente, a partir do tratamento algébrico, a função descrita pelos
vértices da família das funções quadráticas, f(x) = x2+ bx, com (b) pertencente aos
números reais. Alguns até elucidaram a função quadrática em sua forma algébrica
explícita na folha de resposta, mas ficou nítido que não houve um tratamento, mas
sim uma generalização a partir das manifestações gráficas obtidas por meio das
TDIC.
Desse modo, fica evidente que o professor ainda não reconhece as reais
potencialidades das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação, uma vez
que nesse caso espera-se que o professor fosse além das respostas rápidas
fornecidas pelos softwares, confrontando-as com a conversão e o tratamento
algébrico (DUVAL, 2003).
5.3.5. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Sexta Atividade
Nessa atividade esperava-se que professor, antes mesmo de utilizar o
Winplot, fizesse um tratamento algébrico nas funções apresentadas, fazendo uma
transformação de registro internamente conforme discutido em Duval (2003).
Entretanto, nenhum professor fez esse tratamento inicial conforme se esperava. Os
cinco professores que resolveram essa atividade optaram por fazer a “volta”, ou
seja, preferiram transformar a representação da função quadrática na forma
canônica, f(x) = a(x-m)2 +n, com a ≠0, para o registro de representação da função
quadrática na sua forma geral, f(x) = ax2 +bx +c, com a ≠0. Tal preferência sugere
que estes estejam mais habituados a manipular a forma geral da função quadrática
e não reconhecem a importância da forma canônica conforme fora discutido
previamente no capitulo IV.
134
Ciente das escassas discussões acerca da forma canônica de representação
algébrica para uma função quadrática, em especial nos livros didáticos que são
materiais mais acessíveis a esses professores, seria compreensível que estes
participantes encontrassem dificuldades para trabalhar com tal Registro de
Representação Semiótica. Diante disso, a sexta atividade ainda propiciou ao
professor participante uma oportunidade de investigar a forma canônica da função
quadrática, usando para isso o software Winplot.
Os registros, dados coletados durante este paradigma de pesquisa,
evidenciaram que esses professores até construirão os gráficos das funções
quadráticas a partir de sua forma canônica de representação algébrica, mas não se
interessaram em mobilizar-se entre os dois Registros de Representação Semiótica
para um mesmo objeto, conforme discutido por Duval (2003). Desse modo, fica
evidente que o professor não está preparado para propor ao aluno um cenário de
investigação, conforme discutido em Skovsmose (2000), haja vista que nem mesmo
o professor fora capaz de se colocar no papel de investigador.
Ainda acerca dessa sexta atividade, suas questões (c) e (d) convidaram o
professor a escrever a forma canônica de representação quadrática. Dos partícipes,
dez não responderam nada e dezenove responderam essas questões
inadequadamente e de modo homogêneo convergindo para uma única
representação, a qual está descrita no protocolo:
Protocolo 5. 4 - exemplo de conjectura apresentada por diversos professores.
Essa resposta obtida sugere certo desconhecimento do professor acerca da
forma canônica de representação da função quadrática e de suas potencialidades.
Diante do exposto, nas entrevistas alguns professores foram convidados a comentar
sobre essa forma de representação e como sugeriu a análise dos dados anteriores
houve uma confirmação que todos os participantes desconheciam a forma canônica
de representação algébrica para uma função quadrática.
135
5.3.6. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Sétima Atividade
Ao propor essa atividade esperava-se que o professor se apropriasse das
conversões entre os Registros de Representação Semiótica, bem como a
importância das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação nessa
conversão.
No que tange a Função Quadrática, em sua forma canônica, se esperava que
o professor entendesse que ela traz informações distintas da sua forma entendida,
f(x) = ax2 + bx + c, a≠0, em especial quando estas estão em suas representações
gráficas. Desse modo, foi solicitado aos professores que resolvessem uma equação
“(x – 2)2 = (x – ½)” e uma inequação “(x-2/3)2 ≥ (x-5)2” a partir do tratamento gráfico,
usando assim o software Winplot. Entretanto, antes disso foi propiciado a esses
professores um repertorio de construções gráficas, a partir do mesmo software, de
algumas funções quadráticas em sua forma canônica, bem como foram colocadas
as questões (a) e (b)17no intuito de convidar o professor a fazer algumas
observações, conjecturá-las, estabelecendo padrões e validando-os de modo a
generalizar algum conhecimento.
Embora o desejado fosse a apresentação de uma solução gráfica por parte do
professor, infelizmente, isso não ocorreu. Muitos não resolveram a questão (c) e
alguns poucos que resolveram escolheram o método tradicional, ou seja, o
tratamento algébrico. De modo que, a conversão discutida por Duval (2003) ainda é
muito difícil de ser praticada, até mesmo pelos professores.
Na institucionalização, quando questionados acerca dessa questão, os
professores demonstraram dificuldades em interpretá-la graficamente conforme está
discutido no capítulo IV do presente trabalho. O que sugere um predomínio do
tratamento algébrico em detrimento do tratamento gráfico que, conforme discutido
em Duval (2003) e Maia (2007) é fundamental para a aprendizagem do aluno acerca
de um conceito matemático.
5.3.7. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Oitava Atividade
Desse modo, o professor tem um papel dentro dessa teoria, uma vez que se
ele não a leva em consideração pode acabar fazendo uma avaliação indesejada do
17 Consultar a atividade 7, no apêndice B.
136
conteúdo ministrado. Mais especificamente, o professor pode apenas priorizar o
tratamento que é utilizado para responder uma atividade proposta, induzindo os
alunos a memorizarem regras e algoritmos a serem utilizados, mas que não fazem
nenhum sentido para eles.
A oitava atividade buscou convocar o professor para refletir sobre a Língua
Materna e sua “simbiose” com a Linguagem Matemática, bem como o incentiva a ver
como prioridade a conversão da linguagem natural para um registro de
representação semiótica matemático. A atividade também buscou explorar a
importância da validação de uma resposta, bem como convidou o professor a refletir
acerca das diversas metodologias e linhas de raciocínios para a resolução de um
mesmo problema.
Tal atividade, conforme já discutido anteriormente, foi uma adaptação feita a
partir da original retirada do livro do aluno, distribuído pela Secretaria da Educado do
Estado de São Paulo. Desse modo, esperava-se que a conversão dos Registros em
linguagem natural para a linguagem algébrica fosse uma tarefa simples para os
professores envolvidos, mas não foi o que aconteceu, uma vez que muitos deles
tiveram dificuldades em escrever a função algebricamente correta. Conforme
discutido em Shulman (1986), fica evidente que a formação desses professores
ainda apresentam fragilidades, nesse caso, o conhecimento do conteúdo a ser
ensinado.
Ainda nessa atividade, entre os poucos professores que conseguiram
escrever a função adequadamente, nenhum deles conseguiu fazer a conversão e o
tratamento gráfico adequado. Todas as respostas foram obtidas pela manipulação
algébrica, de modo que, a manipulação gráfica proposto não foi usada nem mesmo
para confrontar os resultados, fortalecendo assim a abordagem investigativa que
tem sido demonstrada como uma grande estimuladora da aprendizagem
(SKOVSMOSE, 2000). Assim, fica nítida a fragilidade desses professores acerca de
outro saber docente, o conhecimento pedagógico do conteúdo (SHULMAN, 1986).
5.3.8. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Nona Atividade
Ao propor essa atividade aos professores, esperava que estes
reconhecessem os conhecimentos matemáticos essenciais na construção dos
desenhos solicitados, tais como: as dilatações, as translações verticais e/ou
137
horizontais; as mudanças na concavidade da parábola; a reflexão em relação ao
eixo das abscissas, bem como a noção de intervalos que serão ferramentas
essenciais para as construções.
Essa atividade foi feita pelos participantes, no laboratório e com a presença
da pesquisadora responsável pelo presente estudo. Desse modo, todos executaram
essa atividade, mas com muita dificuldade. Foi observado que as principais
dificuldades foram advindas das dificuldades em mobilizar entre os diversos
Registros de Representação Semiótica para um mesmo objeto matemática, no caso,
uma função quadrática. Dentre esses registros, a forma canônica de representação
algébrica da função quadrática, a qual os professores menos dominam, seria a mais
eficiente para a construção desses desenhos, haja vista que permite uma conversão
quase automática entres os registros algébricos e gráficos, conforme discutido no
Capítulo IV.
5.3.9. Análise das mobilizações ponderadas acerca da Décima Atividade
Dentro dos mesmos objetivos discutidos anteriormente, a décima atividade,
serviu-se de uma situação problema cujo objeto matemático está no Registro de
Representação Semiótica Gráfica, convidando o professor a se mobilizar entre os
Registros de Representação Semiótica, donde se esperava que o professor fizesse
a conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
Diferentemente do desejado poucos professores conseguiram resolver essa
atividade adequadamente, bem como usar das Tecnologias Digitais da Informação e
Comunicação para validar sua solução apresentada. Dos vinte e nove professores,
embora sejam reconhecidas as respostas aproximadas que muitos obtiveram pelo
método: tentativa e erro18, apenas três propuseram de fato uma solução algébrica
para essa atividade, dentre esses somente dois conseguiram apresentar uma
solução parcialmente adequada, o que é justificável, haja vista que conforme
analisado no capitulo II, esse tipo de conversão entre registros (gráfico para
18 Segundo Musser e Shaughnessy (1997), o método tentativa e erro, também conhecido como método de força-bruta, é uma das estratégias de Resolução de Problemas não qual testa-se todas as soluções possíveis para o problema. Resumidamente esse método tem três passos: 1º) Escolher uma operação plausível; 2º) Executar a operação com os dados; 3º) Verificar se a meta foi alcançada. Se a resposta ao terceiro item for negativa, deve-se repetir o processo até que se atinja a meta ou se evidencie a insolubilidade do problema.
138
algébrico) tem sido pouco privilegiado nos livros didáticos, que ainda é o principal
acervo para o professor de Matemática (MAIA, 2007).
Ambos os professores que resolveram essa décima atividade, partiram de
três pontos, dos quais dois são pontos bem definidos e o terceiro lido
aproximadamente no gráfico, dando em seguida o devido tratamento algébrico.
Segue então a apresentação e discussão das resoluções que foram apresentadas
pelos dois professores.
O professor A iniciou a solução dessa atividade a partir dos pontos: (0,0),
(0,3;1,2) e (0;1,1). A partir de três equações determinou os valores dos coeficientes
(a), (b) e (c) da função quadrática, cbxaxxf ++= 2)( . A solução apresentada por
esse professor encontra-se no protocolo 5.5:
Protocolo 5. 5 - Transcrição da resolução apresentada pelo professor A.
O outro professor, B, que respondeu parcialmente essa atividade, também
partiu de três pontos: (0,0), (0,8;1,2) e (1,1; 0), dos quais o último fora abandonado e
substituído pela equação que relaciona o valor do vértice em (x) com os coeficientes
139
incógnitos (a) e (b) da função procurada. Abaixo, no protocolo 5.6, está
apresentada a solução esboçada pelo professor B:
Protocolo 5. 6 - Transcrição da resolução apresentada pelo professor B.
Analisando esses protocolos verificam-se estratégias de solução muito
próxima às utilizados nos livros didáticos, em especial os que foram ressaltados no
capitulo II. Em relação às questões (d) e (e), esses professores não apresentaram
respostas. A ausência da resposta a questão (d) sugere que estes não tenham
reconhecido a função encontrada acima como a função horária, altura em função do
tempo, do movimento de Daiane dos Santos, donde o coeficiente (b) representa a
velocidade inicial e o coeficiente (a) representa a metade da aceleração da
gravidade.
Quanto à questão (e), surgem alguns questionamentos no que tange o
conceito da função quadrática e a parábola. Será que toda parábola representa de
fato uma função quadrática? Quando uma bola e lançada e descreve um movimento
oblíquo tem-se uma parábola, essa parábola se refere a qual função? Será que os
140
professores, A e B, não reconhecem isso? Ou apenas tiveram dificuldades em
descrever tais esboços?
Desse modo, a análise das resoluções apresentadas para essa décima
atividade sugere a necessidade de se promover discussões acerca da formação dos
professores de Matemática, desenvolvendo programas de capacitação e pesquisas
que permitam a construção de conhecimentos e de metodologia interdisciplinares,
bem como propiciar uma revisão curricular que promova a integração entre as
diversas áreas de conhecimento. Que as Diretrizes Curriculares contemplem a
proposta interdisciplinar e transdiciplinar como elementos importantes para a
formação dos profissionais que se almeja com uma visão global e sistêmica
(D’AMBRÓSIO, 1986; 1997; 1999).
Segundo D’Ambrosio et al. (1999), a transdisciplinaridade está conectada com
a responsabilidade pela criação de um contato com a realidade e da própria
realidade:
... a criatividade é um elemento-chave da transdisicplinaridade porque reconduz o ser humano à posição de cocriador da realidade. E, como a realidade se coloca em permanente transformação, esse movimento criativo também se sucede incessantemente. O conhecimento estático, fechado e acabado deixa de ter lugar, pois tudo está em permanente transformação, permeando todas as áreas do conhecimento (p. 46).
Após essa discussão acerca dos esboços feitos pelos professores acerca das
atividades propostas segue então a análise das conjecturas levantadas por esses
professores.
5.4. Análise das conjecturas levantadas sobre as atividades aplicadas
Questão 1. Para quais séries ou segmento de ensino estas atividades estariam apropriadas? Descreva todas as possibilidades. Todos os professores de matemática que participaram das oficinas
consideraram as atividades interessantes e/ou adequadas epistemologicamente
para serem desenvolvidas com alunos da primeira série do ensino médio. A maioria
declarou que também aplicaria as atividades propostas para alunos da nona série do
Ensino Fundamental. Isso revela que o estudo poderá não sofrer grandes
resistências por parte dos professores abordados, já que a tendência apresentada
pelos mesmos é que aplicariam tais atividades.
Questão 2.
141
Ao aplicarmos uma atividade aos nossos alunos, precisamos ter claro em que momento do processo cognitivo em que ela melhor se encaixa. Diante disso, tente localizar em qual momento do curso de funções quadráticas deve ser inserida essa atividade?
Diversos estudos apontam que, equivocadamente, as atividades que
contemplam o uso das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação,
geralmente, são deixadas para finalizar o desenvolvimento dos conceitos
matemáticos em questão, servindo apenas como um algo a mais ou mesmo uma
ilustração. O que pareceu nessas oficinas é que pode haver mudanças, pois os
professores consultados assumiram a importância de iniciar o desenvolvimento de
um conceito matemático com atividades com cerne nas tecnologias digitais. Boa
parte dos professores consultados também se manifestou ser a favor do uso das
tecnologias digitais de forma integrada ao desenvolvimento dos conceitos
matemáticos. Entretanto, alguns professores disseram que tais atividades seriam
melhores inseridas para alunos que já estudaram pares ordenados e já praticaram a
construir método pelo “método” dos pontos, reforçando a ideia da supervalorização
do esboço ponto a ponto, que muitas vezes é imprecisa e desfavorável, discutida por
Duval (1993).
Questão 3. Sugira aqui algumas adaptações dessa atividade para uma série específica:
Os professores tiveram dificuldades em responder a essa questão. Alguns
deles até fizeram sugestões, mas de modo bem vago, o que pode ter indicado
insegurança por parte desses professores de matemática. Alguns sugeriram abordar
mais o comportamento dos “zeros das funções” ao variar um dos coeficientes, cujas
atividades poderiam ser também indicadas aos alunos no nono ano do Ensino
Fundamental.
Desse modo, as lacunas deixadas pelos professores ao responder a essa
questão sugere a existência de uma grande dificuldade para elaborar ou adaptar
atividades para serem trabalhadas com seus alunos. Essa dificuldade ficou mais
nítida ainda quando foi sugerido a esses professores aplicassem atividades
semelhantes a essas com seus alunos e a recusa foi unânime, embora os motivos
para tal fossem diversos.
142
Nessa perspectiva ainda, foi solicitado aos que os professores se agrupassem
e elaborassem uma atividade ou pequena sequência didática que usasse as
Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação de modo integrado e
simulassem uma apresentação em um dos encontros no “Projeto Observatório”. Os
registros acerca dessas apresentações reforço ainda mais a hipótese de que esses
professores possuem uma profunda dificuldade em elaborar e adaptar atividades.
Alguns inseriram as TDIC para resolver problemas, mas de modo substitutivo aos
outros métodos de resolução. Em nenhuma das proposições foi possível visualizar o
desenvolvimento do conceito matemático com as TDIC de modo integrado. Também
foi possível constatar que houve equívocos ao abordar o lançamento oblíquo de uma
bola não explicitado de fato o objeto em questão, a função quadrática.
Por fim, esses professores não manifestaram em nenhum momento situações
de conversão entre os Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2003),
tampouco usaram de uma abordagem investigativa (SKOVSMOSE, 2000).
As questões quatro e cinco dessas conjecturas demonstraram ser muito
complexas o que poderia ir além do que se pretende com esse trabalho, de modo
que, foram desprezadas ao longo desse paradigma de pesquisa. Desse modo, este
trabalho encaminha-se para algumas considerações finais.
143
CONSIDERAÇÕES FINAIS “não há uma última resposta, uma solução definitiva, não há compreensão e interpretações plenamente desenvolvidas e que dão conta de todas as dimensões do fenômeno interrogado. Mas há sempre o “andar em torno... outra vez e outra ainda...” (BICUDO, 1993, p. 18).
Enfim, chega o momento de tecer as considerações finais, fruto desta
pesquisa. Por fim, destacar algumas perspectivas futuras com relação ao processo
de formação continuada do professor de Matemática a partir dos resultados
apontados neste estudo.
No intuito de melhor situar as considerações aqui explicitadas, primeiramente
é necessário retomar alguns direcionamentos que o estudo realizado tomou. Esta
pesquisa teve como objetivo delinear metodologias, aspectos, procedimentos que
pudessem ser aplicados em cursos de formação continuada, tais como minicurso e
oficinas que buscam preparar o professor para integrar as Tecnologias Digitais da
Informação e Comunicação (TDIC) no desenvolvimento de conceitos matemático em
suas aulas, de modo a estabelecer e aprimorar o elo entre os núcleos de formação e
as práticas promovidas no ambiente escolar. Em outras palavras, este estudo
buscou contribuir, mesmo que indiretamente, para que o currículo tradicionalmente
prescrito para ser desenvolvido com lápis e papel seja adaptado e desenvolvido na
semântica das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação.
Com esse propósito em mente, foi dado então o inicio aos estudos em busca
de teorias que subsidiasse as problemáticas levantadas por essa pesquisa. Em
seguida, foi organizada uma sequência de atividades sobre as funções quadráticas a
qual serviu-se das TDIC e da Teoria dos Registros Semióticos de Raymond Duval,
buscando enfatizar a complementaridade existente entre as dimensões do
conhecimento matemático, do conhecimento em pedagógica geral e do
conhecimento pedagógico do conteúdo que são essenciais para o processo de
formação de professores de matemática.
Com o propósito de promover a integração entre a formação específica e
tecnológica, foram selecionados o software Winplot e o applet Quadratic
Transformer como recurso mediador na abordagem das funções quadráticas. Essas
144
tecnologias escolhida, cujas potencialidades foram discutidas no capítulo IV,
favoreceram muito a visualização de conceitos e propriedades, levantamento de
padrão e regularidade, fomentando as conjecturas que foram essenciais para
responder a questão que essa pesquisa se propôs.
As oficinas realizadas no Observatório da Educação se constituíram em
momentos maravilhosos de discussão e autocrítica. Aliás, considera-se relevante
destacar a mudança de postura da professora pesquisadora ao longo do processo
de pesquisa, seja pelas leituras relativas ao assunto e/ou pelas virtudes das
reflexões acerca das distintas possibilidades de uso pedagógico das Tecnologias
Digitais da Informação e Comunicação, bem como pelo empenho em organizar a
sequencia de atividade. Mudança essa que acabou por desencadear alterações na
postura da pesquisadora em seus afazeres docentes.
Espera-se também que o momento de convivência nas oficinas tenha sido
importante para os professores também, bem como almeja-se que a abordagem
usada nas oficinas, bem como as atividades que foram organizadas com muito
carinho, permita a cada um desses professores que participaram a refletir sobre sua
própria pratica docente, conforme discutido por Zeichner (2003), bem como a forma
de abordar estes conteúdos na prática pedagógica escolar, em especial no que
tange à integração das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação.
Almeja-se ainda, com esse estudo, estar contribuindo para reforçar a
necessidade das tecnologias informáticas serem incorporadas à pratica docente na
área de Matemática, bem com instigar novas reflexões sobre os processos de
formação docente nas modalidades inicial e continuada, em função das novas
demandas da sociedade tecnológica.
Diante do exposto, faz-se necessário ponderar algumas das observações
essenciais a serem consideradas quando se prepara um curso de formação para o
professor de matemática. Primeiro ponto a ser considerado refere-se ao tempo, uma
vez que quando se preparar um curso de formação, não diferente do planejamento
de professor da Educação Básica, superestima-se a capacidade de indivíduo em
formação e isso pode comprometer o rendimento esperado.
O segundo ponto refere-se ao cenário de implantação do curso, em particular,
quando se pretende integrar as Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação.
Isso porque, de um modo geral, nas Universidades acabam tendo um suporte maior
145
quanto as TDIC e, diante disso, o professor acaba considerando toda a formação
como uma utopia, impossível de ser aplicada com seus alunos. Desse modo, é
necessário que o professor faça as devidas adaptações nas atividades, bem como
quanto aos recursos didáticos e tecnológicos utilizados. Creio que a escola seja um
cenário mais adequado, haja vista que quando o professor enxerga essas
possibilidades de um modo mais concreto ele se encoraja mais a sair da zona de
conforto, conforme discutido em Borba e Penteado (2007).
Outro aspecto ao ser ressaltado e que ficou nítido no tecer dessa
investigação, gira em torno da falsa crença de que, ao focar a importância da
integração Tecnologias Digitais da Informação e da Comunicação na formação de
professores de Matemática, as principais barreiras estão em torno das tecnologias
usadas. Durante as oficinas, os maiores obstáculos deflagrados referem-se ao
conhecimento matemático e, principalmente, aos conhecimentos pedagógicos do
conteúdo matemático. Desse modo, sem generalizar, sugere-se que isso seja levado
em consideração e com certeza pesquisas futuras com certeza poderão aferir
melhor esse hipótese que a partir do presente paradigma de pesquisa foi colocada.
Também foi observado durante essa investigação que os professores tiveram
muita dificuldade em montar uma atividade que integrasse um conceito matemático
com o software Winplot. Entretanto, a dificuldade apresentada não foi na
operacionalização do software, mas sim, na ausência da apropriação da integração,
na dificuldade em adaptar atividade do currículo prescrito, bem como o
desconhecimento de alguns saberes pedagógicos próprios do conceito matemático
a ser ensinado. Diante disso, é fundamental que numa futura formação para o uso
das TDIC, as oficinas ou minicurso tenham espaço para discutir as teorias
essenciais como foi a Teoria da Mudança de Registros de Raymond Duval e a
Teoria da Transposição Didática. Além disso, é essencial que o formador deixe um
tempo disponível para auxiliar o professor na elaboração de atividades que usem as
TDIC integradas com o desenvolvimento do conceito matemático.
Demonstra ser importante e desejável que o formador/pesquisador antes de
iniciar um minicurso ou oficina, ouça os anseios desse professor, suas dúvidas e
expectativas, além de inserir uma avaliação diagnóstica, que não foi feita na
presente pesquisa e, com certeza, teria potencializando ainda mais a formação dos
professores envolvidos.
146
Com base nos resultados apontados neste estudo e apoiando na revisão da
literatura apresentada nos capítulos iniciais, recomenda-se uma reformulação nos
programas de formação continuada do professor que buscam a inserção das
Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação nas atividades docentes, de
modo que sejam promovidas novas maneiras de relacionar e formar esses
professores de Matemática, que os coloquem no comando de seu processo de
formação e, que seja promovida uma formação integral que contemple as
dimensões específica, pedagógica e tecnológica e, principalmente, a dimensão do
conhecimento pedagógico da matemática, conforme discutido por Shulman (1987).
Embora não tenha sido o foco do presente estudo, verificou-se que os
professores de matemática têm muita dificuldade em transformar seus saberes
docente adquiridos em formações iniciais e/ ou continuadas numa atividade
pedagógica prática que comtemple tais conhecimentos. Desse modo, teorias como a
“Transposição didática” precisam ser trazidas ao professor em formação de modo
acessível e que favoreça a esse professor a se protagonizar na “arte” de elaborar
atividades mais substanciais no que tange à promoção da aprendizagem, a partir de
currículos prescritos, como os livros didáticos e outros materiais de apoio fornecidos
por órgãos regionais de Educação.
Além de reforçar a necessidade de investigarmos distintas possibilidades de
uso das tecnologias informáticas no contexto das experiências educacionais dos
futuros professores de Matemática, consideramos iminente ampliar e modificar os
cursos de formação continuada, pois é a combinação destes dois processos de
formação que pode contribuir para a concretização de mudanças significativas nos
processos educacionais estabelecidos e para a formação de cidadãos conscientes e
ativos nas ações de transformação social.
Ao escrever esse resultado de pesquisa, almeja-se estar colaborando com as
discussões que permeiam o processo de formação continuada do professor de
Matemática. Porém, são necessários ainda outros estudos e reflexões sobre esta
questão, devido às constantes modificações que as Tecnologias Digitais da
Informação e Comunicação inserem no contexto social e no meio educacional, as
quais suscitam mudanças no papel e na prática docente.
Partindo das colocações anteriores, conclui-se importante também uma
reformulação nos currículos das licenciaturas no intuito de integrar as tecnologias
147
informáticas às atividades de sala de aula durante todo o período de formação e que
estas sejam baseadas na autonomia, criatividade e investigação, assim como é
importante que este uso seja contextualizado, de modo que os recursos tecnológicos
façam parte das práticas educativas de diversas disciplinas.
Quanto à mobilização entre os diversos Registros de Representação
Semiótica para um objeto matemática, foi possível notar um avanço nas concepções
dos professores envolvidos, uma vez que todos reconheceram a importância de usar
a teoria da mudança dos Registros de Representação, bem como, mesmo que ainda
timidamente, tentaram aplicá-la na sequência didática por eles elaborada.
Entretanto, ficou nítido que essa teoria precisava ser mais amplamente trabalhada
nas oficinas, haja vista que, no caso dos professores envolvidos, a discussão
transpareceu como uma novidade tanto do ponto de vista epistemológico e filosófico
quanto no desenvolvimento empírico. Desse modo, teria sido extremamente
importante, nessa oficina, um momento para a discussão dessa teoria, desde suas
concepções no campo de pesquisa até na sua aplicabilidade prática o que,
consequentemente, implicaria num tempo maior a ser dedicado para o desenvolvido
do curso.
Para finalizar, é sugerido que outros estudos sejam desenvolvidos no âmbito
da formação continuada de professores de Matemática, focando a implementação
do trabalho com projetos sob diferentes condições, como estratégia para introduzir
novos conceitos e que tragam as Tecnologias Digitais da Informação e
Comunicação em seu seio. Do mesmo modo, avalia-se também a necessidade
promover a formação dos próprios professores formadores, incluindo o uso prático
das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação numa sequência completa
de atividades de Matemática, pois só assim, vivenciando o outro lado é que se
poderá realmente aproximar do professor que há muito tempo vem clamando por
socorro.
Dessa forma, acredita-se ter contribuído para a construção de uma resposta
acerca da questão de pesquisa propulsora desse estudo. É reconhecido também
que as dúvidas não se esgotaram com o tecer dessas páginas, tampouco fora
colocado um ponto final nessa questão levantada, mas sim organizada mais uma
“pecinha” no gigante “quebra-cabeça” que é a formação do professor de Matemática,
requisito essencial para uma Educação Matemática de qualidade e para todos.
148
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SOUZA, S. A. Usando o Winplot. 2004. Disponível em <http://www.mat.ufpb.br/~sergio/winplot/winplot.html> acesso em 23 de janeiro 2010.
TINOCO, L. A. A (Org.). Construindo o Conceito de Função no 1º Grau. Equipe do Projeto Fundão Rio de Janeiro: Instituto de Matemática – UFRJ, 1996.
TUAN, Y. Topofilia: um estudo sobre percepção atitudes e valores do meio ambiente. (trad. Lívia de Oliveira) São Paulo: Difel, 1980.
VALENTE, J. A. Informática na educação: conformar ou contornar a escola. Perspectiva. Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, ano 13, n. 24, 1995.
________, J. A. (org.). Formação de Educadores para o uso da informática na escola. Campinas: Núcleo de Informática Aplicada à Educação/UNICAMP 2003.
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ZEICHNER, K. M. Formando professores reflexivos para a educação centrada no aluno: possibilidades e contradições. In: BARBOSA, R. L. L. (org.). Formação de educadores: desafios e perspectivas. São Paulo: Unesp, 2003.
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APÊNDICE A Questionário- Perfil
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APÊNDICE B
ATIVIDADES UTILIZADAS NAS OFICINAS NO PROJETO OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO
Participante:____________________________Data: ____/____/____ Atividade 1 - Introdução Clique na figura abaixo e abra o applet o qual o guiará.Ou acesse http://www.ideiasnacaixa.com/laboratoriovirtual/flash4_01_trenzinho.swf
� Para um observador sito num local externo ao trenzinho, como será a
trajetória da maça no ultimo quadro da animação?
� Levante hipóteses junto aos colegas, conjecture-as e procure justificar:
1. Por que um mesmo objeto parecer ser visto diferente por observadores diversos?
2. Por que um observador fora do trem visualiza uma curva tipo parábola?
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Atividade2- Conjecturas Iniciais e Formalização Utilizando o applet quadraticgrapher19 varie os coeficientes a, b e c e observe o que acontece com a Parábola, para facilitar sua visualização clique em “trace vertex”.
Algumas conjecturas iniciais:
• Quando a concavidade da parábola ficará voltada para cima ou para baixo? • Descreva algumas variações que fazem com o vértice da parábola se movimente no
cartesiano? • Quando a parábola cortará o eixo das ordenadas em dois pontos? • Se houver outras observações, descreva-as.
19 Applet desenvolvido pela Seeing Math, disponível em
http://seeingmath.concord.org/sms_interactives.html, para uso online e offline. Acesso em 10 de out. de 2010
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Atividade 3- Transformações geométricas aplicadas às Parábolas20 1. Utilizando o Winplot, construa abaixo o gráfico das funções, definidas no conjunto do Reais, num mesmo sistema de eixos cartesianos (x,y):
²)(1 xxf =
²)(6 xxf −=
²2
1)(2 xxf ⋅=
²
2
1)(7 xxf ⋅−=
²3)(3 xxf ⋅=
²3)(8 xxf ⋅−=
²10)(4 xxf ⋅=
²10)(9 xxf ⋅−=
²4
1)(5 xxf ⋅=
²
4
1)(10 xxf ⋅−=
a) Observando as curvas obtidas, crie um padrão de classificação, ou seja, distribua-as em grupos de acordo com características e semelhanças. b) O que é possível concluir sobre as curvas dos gráficos quando o coeficiente de x² for maior que zero? E quando for menor que zero? c) Os gráficos de cada uma das funções construídas nesta atividade possuem algum ponto de intersecção? Qual? Justifique.
d) Antes de construir no Winplot, imagine a construção da curva da função ²4)( xxf ⋅= . Onde ela se situaria em relação às curvas construídas anteriormente, nesta atividade? Verifique sua estimativa construindo no Winplot, ela estava correta? e) Dada uma função f: IR →IR tal que f(x) = a.x2 com ∈a R. Vamos construir no Winplot uma animação que represente todas as funções decorrentes dessa genérica. Observe o movimento da curva ao variar o valor do coeficiente a e generalize algumas conjecturas:
� A variação do coeficiente a e o zero da função: � A variação do coeficiente a e a concavidade da parábola: � A variação do coeficiente a e a curvatura da parábola:
20 Esta atividade é uma adaptação da atividade contida na Dissertação de mestrado de Maia (2007).
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Atividade 4- Transformações geométricas aplicadas às Parábolas21 1) Dada uma função f: IR →IR tal que f(x) = ax2+ bx+ c, com a=1, b=0 e c ∈ IR . Construir, utilizando o Winplot, no mesmo par de eixos cartesiano os gráficos das seguintes funções:
a) O que acontece com a curva do gráfico da função ²)(1 xxf = quando se soma ou subtrai uma constante? b) Quais são as coordenadas dos vértices das parábolas em cada um dos casos? c) Ao alterar o valor coeficiente c das funções quadráticas, o que ocorre com a curvatura e concavidade? d) Que tipo de deslocamento, no eixo cartesiano, sofre a parábola quando ocorre a variação do coeficiente c?
e) Dada uma função f: IR →IR tal que f(x) = x2 + c com ∈c IR. Vamos construir no Winplot uma animação que represente todas as funções decorrentes dessa genérica. Observe o movimento da curva ao variar o valor do coeficiente c e generalize algumas conjecturas:
� A variação do coeficiente c e o zero da função: � A variação do coeficiente c e a concavidade da parábola: � A variação do coeficiente c e a curvatura da parábola:
21 Esta atividade é uma adaptação da atividade contida na Dissertação de mestrado de Maia (2007).
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Atividade 5- Transformações geométricas aplicadas às Parábolas22 1) Dada uma função f: IR →IR tal que f(x) = ax2+ bx+ c, com a=1, c = 0 e b∈IR . Construir, utilizando o Winplot, no mesmo par de eixos cartesiano os gráficos das seguintes funções:
a) O que acontece com a curva do gráfico da função bxxxf += ²)( quando se altera o valor de b?
b) Ao alterar o coeficiente b da bxxxf += ²)( , o que ocorre com a concavidade e curvatura das parábolas? c) Quais são as coordenadas dos vértices das parábolas em cada um dos casos? d) Observando a construção feita para essa atividade, que tipo de deslocamento descreve o
vértice da parábola quando variamos o valor do coeficiente b, da bxxxf += ²)( ? Tal deslocamento pode ser generalizado para outro ponto da parábola? Justifique.
e) A variação do conjunto de coordenadas dos vértices das funções do tipo bxxxf += ²)( , com b ∈ IR, pode ser padronizada? É uma função? Essa variação é linear? Se for uma função, represente-a algebricamente. f) Utilizando o winplot ou outro software gráfico mostre (verifique) graficamente a sua representação algébrica obtida no item e. Você pode usar o applet quadraticgrapher e,
22 Atividade elaborada em consonância com a discussão promovida em Borba e Penteado (2007).
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antes de variar o valor de b, clique na caixa “ trace vertex” cujo mecanismo mostrará a transformação sofrida pelo vértice em virtude da variação de b g) Dada uma função f: IR →IR tal que f(x) = x2 + b com b∈ IR. Vamos construir no winplot uma animação que represente todas as funções decorrentes dessa genérica. Observe o movimento da curva ao variar o valor do coeficiente b e generalize algumas conjecturas:
� A variação do coeficiente b e o zero da função: � A variação do coeficiente b e a concavidade da parábola: � A variação do coeficiente b e a curvatura da parábola:
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Atividade 6- Transformações geométricas aplicadas às Parábolas23
a) Sem utilizar o Winplot descreva a partir da função ²)(1 xxf = , como ficará as curvas dos gráficos das funções abaixo? E responda quais são as coordenadas do vértice da parábola em cada caso?
4)²3(2)(2 −+= xxf 3
1)²
4
5(3)(3 −−−= xxf
b) Construa, no eixo cartesiano do winplot, o gráfico de 5)²3()(4 −+= xxf
c) Você consegue prever a disposição da curva no gráfico de 46)(5 2 ++= xxxf , em relação aos gráficos construídos anteriormente no cartesiano do winplot? d) Escreva uma função polinomial do segundo grau genérica em função dos parâmetros a, m e n, de modo que seja fácil a visualização de seu gráfico. e) O que cada um dos parâmetros (a, m e n) faz com o gráfico da função inicial f1? f) Relacione os parâmetros da função que vocês encontraram no item d com os coeficientes
da função .)( 2 cbxaxxg ++= Descrevas suas conclusões.
23 Esta atividade também é uma adaptação da atividade contida na Dissertação de mestrado de Maia (2007).
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Atividade 7- Transformações geométricas aplicadas às Parábolas24 Num mesmo par de eixos cartesianos e utilizando o Winplot, construa os gráficos das funções: y=x2, y = (x-1)2 , y =(x-5)2 , y =(x-1/2)2 e y = (x –2/3)2. a) Descreva o que acontece com o gráfico inicial y=x2, quando subtraímos uma constante
positiva da variável independente x.
b) Cada uma das funções possui raízes reais? Quantas e quais?
c) Resolva a equação (x-2)2 = (x-1/2)2 e a inequação (x-5)2 ≤ (x-2/3)2, utilizando-se dos
gráficos obtidos.
24 Essa atividade também foi elaborada em consonância com a discussão promovida em Borba e Penteado (2007).
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Atividade 8 – Resolução de Problemas integrando as TDIC e aprofundando as mudanças de Registro25 Um criador de gado tem um bezerro de uma determinada raça para vender. Esse bezerro “pesa” atualmente 200 kg e, engorda 2kg por dia. Inicialmente, o criador acha que, quanto mais tempo esperar para vender o bezerro, melhor será, pois o bezerro ganhará mais “peso”. Entretanto, um de seus funcionários lembra o criador de que o preço da venda, que hoje é de R$ 50,00 por kg, está caindo R$ 0,40 por dia, atualmente. A escolha da melhor data para vender o bezerro depende, então, de duas variáveis: a engorda diária e a queda nos preços pagos por kg. Com base nas informações fornecidas, mantida a situação atual, pede-se:
a) determine a função que representa o valor de venda em função do tempo de engorda, contado a partir de hoje que o bezerro atingir 200kg.
b) usando o Winplot, construa a curva dessa função e levante algumas conjecturas.
c) Determinar a melhor data para vender o bezerro, contado a partir de hoje.
d) Calcular o valor em R$ que será arrecadado em tal venda.
25 Esta atividade é uma adaptação da atividade contida no livro aluno, conforme a Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2009).
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Atividade 9- Institucionalizando alguns Conceitos acerca das Funções Quadráticas26 Usando os seus conhecimentos acerca de funções quadráticas, no Winplot, construa os objetos abaixo:
Figura 1 – Carinha Triste Figura 2 – Camiseta a) Descreva os conceitos matemáticos prévios necessários para o desenvolvimento dessa
atividade.
26 Esta atividade também é uma adaptação da atividade contida na Dissertação de mestrado de Maia (2007).
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b) Descreva, algebricamente, as funções e seus intervalos para a construção de casa
desenho:
Atividade 10
O famoso salto27 duplo twist carpado de Daiane dos Santos foi analisado durante um dia de
treinamento no Centro Olímpico em Curitiba, através de
sensores e filmagens que permitiram reproduzir a
trajetória do centro de gravidade de Daiane na direção
vertical (em metros), assim como o tempo de duração do
salto. De acordo com o gráfico ao lado, determine:
a) a função que representa o movimento de Daiane.
b) a altura máxima atingida pelo centro de gravidade de Daiane.
c) A velocidade média horizontal do salto, sabendo-se que a distância percorrida nessa
direção é de 1,3m.
27 Atividade adaptada da original retirada da prova de física do vestibular da Unicamp do ano de 2008.
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d) A velocidade vertical de saída do solo.
e) Um equívoco comum entre os estudantes é confundir a trajetória de um corpo sob efeitos
da gravidade com o gráfico que representa a variação posição vertical desse corpo em
função do tempo. Usando o winplot, construa cada uma dessa curvas.
Faça aqui comentários, ou esboce um gráfico semelhante ao encontrado no winplot
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Apêndice C Ficha - Levantando conjecturas acerca das atividades
1. Para quais séries ou segmento de ensino estas atividades estariam apropriadas? Descreva todas as possibilidades.
2. Ao aplicarmos uma atividade aos nossos alunos, precisamos ter claro em que momento do processo cognitivo em que ela melhor se encaixa. Diante disso, tente localizar em qual momento do curso de funções quadráticas deve ser inserida essa atividade?
3. Sugira aqui algumas adaptações dessa atividade para uma série específica:
4. Você incluiria ou já inclui integralmente abordagem como essa discutida em suas aulas?
Fale um pouco sobre a importância dessa inclusão.
5. Embora algumas atividades apresentadas em cursos de formação continuada e oficinas sejam deslumbradas por muitos, sabe-se que muitas vezes elas não chegam, de fato, na sala de aula. Evidenciam-se vários percalços encontrados entre as capacitações e a prática docente na sala de aula. Descreva, sob sua ótica, algumas dificuldades iniciais ao tentar aplicar atividades como essas aos seus alunos.
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APÊNDICE D
Ficha - Roteiro de Entrevista
� Fale sobre a utilização de novas tecnologias em aulas de Matemática.
� Delineie sobre cursos de formação continuada para o uso de novas tecnologias no
ensino de Matemática.
� Faça referência sobre a possível integração do uso das novas tecnologias e a prática
docente.
� Comente sobre a influência do uso da tecnologia no processo de aprendizagem de
Matemática.
� Relacione as novas tecnologias e avaliação.
� Saliente sobre possíveis benefícios do uso das novas tecnologias para a formação
dos alunos no que tange as competências e habilidades.