FABIO MASSATOSHI MARUYAMA

ANLISE ESTRUTURAL DINMICA DE UM VASO DE PRESSO (REATOR PWR) UTILIZANDO O MTODO DDAM

Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para a obteno do ttulo de Mestre em Cincias

rea de Concentrao: Engenharia Naval e Ocenica Estruturas

Orientador: Prof. Dr. Bernardo Luis Rodrigues de Andrade

So Paulo

2013

II

Este exemplar foi revisado e alterado em relao verso original, sob responsabilidade nica do autor e com a anuncia de seu orientador.

So Paulo, 15 de janeiro de 2013.

Assinatura do autor ____________________________

Assinatura do orientador _______________________

FICHA CATALOGRFICA

Maruyama, Fabio Massatoshi Anlise estrutural dinmica de um vaso de presso (reator

PWR) utilizando o mtodo DDAM / F.M. Maruyama. -- ed.rev. -- So Paulo, 2013.

111 p.

Dissertao (Mestrado) Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Departamento de Engenharia Naval e Ocenica.

1. Dinmica das estruturas I. Universidade de So Paulo. Escola Politcnica. Departamento de Engenharia Naval e Oce-nica II. t.

III

Aos meus pais,

Edson e Neuza.

IV

Agradecimentos

Ao Professor Oscar Brito Augusto por toda ajuda e orientao que contribui de forma imprescindvel para a execuo deste trabalho.

Ao Professor Bernardo Luis Rodrigues de Andrade pela orientao e pelo apoio durante todo o trabalho.

Ao Centro Tecnolgico da Marinha em So Paulo, em particular ao Comandante Antoun e ao Comandante Odilon pelo suporte quanto a informaes sobre o tema apresentado.

Marinha do Brasil, pelo incentivo e apoio pesquisa atravs da bolsa de estudos concedida.

A todos os familiares e amigos que incentivaram e colaboraram, mesmo que indiretamente, para que este estudo pudesse ser concretizado.

.

V

Resumo

O objetivo deste trabalho verificar a aplicao do Dynamic Design Analysis Method DDAM na anlise de estruturas submetidas a carregamentos de choque. Esse mtodo foi desenvolvido pela Marinha Norte Americana e se prope a estimar esforos inercias provenientes das respostas de equipamentos de bordo, sejam de navios ou submarinos, a cargas impulsivas, mais precisamente, ondas de choque submarinas. Para a compreenso plena dessa metodologia, foi necessrio um estudo sobre vibraes e espectros de resposta, tpicos tericos que fundamentam esse procedimento. Devido escassez de informaes divulgadas por se tratar de contedo militar, foi realizado um estudo de caso para uma estrutura simples, uma viga engastada e seus resultados foram comparados com um prvio trabalho publicado. Com isso, foi possvel a aplicao do DDAM em uma estrutura mais complexa como o vaso do reator nuclear do tipo PWR de um submarino, ainda que em um modelo simplificado desse equipamento. No entanto, os resultados mostraram a validade do uso do DDAM na anlise estrutural dinmica de equipamentos de uma maneira qualitativa.

Palavras-chave: Dinmica das Estruturas. Vibraes. Espectro de Resposta. Espectro de choque. DDAM. Superposio Modal.

VI

Abstract

The main purpose of this dissertation is to verify the use of the Dynamic Design Analysis Method DDAM in the study of structures subjected to shock loadings. This method was developed by the U.S. Navy and is intended to estimate inertial forces resultant from the response of shipboard equipment, from surface ships or submarines, due to impulsive loads or, more precisely, underwater pressure shock waves. To fully comprehend this method, it was necessary to acknowledge fundamentals of dynamics of structures like free vibrations, response spectrum analysis correlated topics. And due to lack of public information since it is a military technology, a case study of a cantilever beam was done with its results compared to a previous published paper. Then, the DDAM was applied to a more complex structure a PWR nuclear reactor vase simplified model, in order to show the effectiveness of the method in dynamic structural analysis.

Keywords: Dynamics of Structures. Free Vibrations. Response Spectrum. Shock Spectrum. DDAM. Mode Superposition.

VII

Sumrio

Lista de Ilustraes ........................................................................................................ IX

Lista de Grficos ........................................................................................................... XII

Lista de Tabelas ........................................................................................................... XIII

Lista de Abreviaturas ................................................................................................... XIV

Lista de Smbolos ......................................................................................................... XV

1 Introduo ...................................................................................................... 1

1.1 Objetivos ............................................................................................................ 4

1.2 Organizao do texto ......................................................................................... 4

2 Contextualizao ........................................................................................... 6

3 Metodologia ................................................................................................. 11

3.1 Introduo ........................................................................................................ 11

3.2 Dinmica de Estruturas Sistema Linear de Massas Concentradas Mltiplos Graus de Liberdade .................................................................................... 13

3.3 Dinmica Linear de Estruturas Anlise Modal ............................................... 15

3.4 Dinmica Linear de Estruturas Superposio Modal Ortogonalidade entre os modos .......................................................................................................... 17

3.5 Dinmica Linear de Estruturas Superposio Modal - Autovetores .............. 19

3.6 Dinmica Linear de Estruturas Vibraes Foradas ..................................... 20

3.7 Dinmica Linear de Estruturas Resposta a uma excitao de base ............. 21

3.8 Espectro de choque - Definio ....................................................................... 25

3.9 Espectro de choque - Anlise Espectral ........................................................... 27

VIII

3.10 Dynamic Design Analysis Method DDAM...................................................... 28

3.11 DDAM Espectro de choque de projeto .......................................................... 31

3.12 DDAM - Superposio Modal ........................................................................... 38

4 Modelos ....................................................................................................... 39

4.1 Aplicaes do DDAM ....................................................................................... 39

4.2 Viga Engastada ................................................................................................ 39

4.2.1 Modelagem analtica Sistema de Massa Concentradas ..................... 40

4.2.2 Modelagem analtica Viga Contnua ................................................... 43

4.3 Vaso do Reator ................................................................................................ 47

5 Simulaes e Resultados............................................................................. 51

5.1 Espectro de choque de projeto......................................................................... 51

5.2 Exemplo Sistema com 1 grau de liberdade ................................................... 58

5.3 Exemplo Viga engastada .............................................................................. 60

5.3.1 Resultados Modelo Analtico .............................................................. 62

5.3.2 Resultados Modelo ANSYS ................................................................ 63

5.4 Exemplo Vaso do Reator............................................................................... 69

5.4.1 Modelo Elementos de Barra (BEAM) ..................................................... 69 5.4.2 Modelo Vaso do Reator Elementos Slidos (SOLID) ......................... 74

5.5 Resultados Comparao Modelo BEAM e Modelo SOLID ............................ 77

6 Comentrios, Concluses e Recomendaes para Trabalhos Futuros ....... 89

7 Referncias Bibliogrficas............................................................................ 91

IX

Lista de Ilustraes

Figura 1 Representao das deflexes por uma soma dos modos de vibrao. Extrado de Clough, 2003 220 p. ............................................................................ 19

Figura 2 Sistema massa-mola com excitao de base Adaptado Clough, 2003 19 p. ............................................................................................................................... 22

Figura 3 Integral de Duhamel para um sistema massa-mola no-amortecido Adaptado Clough, 2003 87 p. .................................................................................... 24

Figura 4 Exemplo tpico de resposta no tempo de um sistema sujeito a um choque Cunniff & OHara (1989) ......................................................................................... 26 Figura 5 Exemplo de Espectro de Choque OHara & Cunniff (1984) 314 p. ..... 26 Figura 6 Exemplo de espectro de choque com o envelope dos mnimos e mximos. Cunniff & OHara, 1989 157 p. .................................................................................. 32

Figura 7 Esquema de obteno do espectro de choque adaptado de Alexander (2009) 5p. .................................................................................................................. 33 Figura 8 - Caractersticas da viga Adaptado de Abbey & Weinberg ....................... 40

Figura 9 Exemplo de Vaso de um Reator PWR em corte Extrado de Augusto (1985) ........................................................................................................................ 47 Figura 10 Detalhe do apoio dos internos na regio do flange superior do vaso ..... 48

Figura 11 Exemplo de Elemento Combustvel de um Reator PWR online: http://en.wikipedia.org/wiki/Pressurized_water_reactor em 06/02/2012 .................... 49

Figura 12 Esquema do Mecanismo de Acionamento das Barras de Controle ....... 49

Figura 13 Dimenses Adotadas do Vaso do Reator, segundo CTMSP ................. 50

Figura 14 Modelo de viga com 10 elementos no ANSYS 14.0 ............................... 61

Figura 15 DDAM ANSYS - Deslocamento total da viga 3 modos ........................... 64

Figura 16 DDAM ANSYS - Deslocamento total da viga 20 modos ......................... 64

Figura 17 DDAM ANSYS Fora cortante viga 3 modos ...................................... 65

Figura 18 DDAM ANSYS Fora cortante viga 20 modos .................................... 65

Figura 19 DDAM ANSYS Momento Fletor viga 3 modos .................................... 66

X

Figura 20 DDAM Momento Fletor viga 20 modos ............................................... 66

Figura 21 Modelo BEAM Vaso do Reator ANSYS Line Body .............................. 70

Figura 22 Modelo BEAM Vaso do Reator ANSYS Elementos BEAM.................. 70

Figura 23 Modelo BEAM Vaso do Reator ANSYS Detalhe Calotas .................... 71

Figura 24 Modelo BEAM Vaso do Reator ANSYS Detalhe Geometria Suporte .. 72

Figura 25 Modelo BEAM Vaso do Reator ANSYS Massa Internos - 1 ponto ...... 72

Figura 26 Modelo BEAM Vaso do Reator ANSYS Detalhe Internos Inferiores ... 73

Figura 27 Modelo BEAM Vaso do Reator ANSYS Massa Internos - 2 pontos .... 73

Figura 28 Modelo BEAM Vaso do Reator ANSYS Restrio Deslocamento Axial .................................................................................................................................. 74

Figura 29 Modelo SOLID Vaso do Reator no ANSYS Suporte Anel Flange ....... 75

Figura 30 Modelo SOLID Vaso do Reator no ANSYS Detalhe Massa Internos em 1 regio ..................................................................................................................... 76

Figura 31 Modelo SOLID Vaso do Reator no ANSYS Detalhe Massa Internos em 2 regies.................................................................................................................... 76

Figura 32 Modelo SOLID Vaso do Reator no ANSYS Elementos SOLID ........... 77

Figura 33 Modelo Vaso do Reator BEAM 1 Modo ............................................. 80

Figura 34 Modelo Vaso do Reator SOLID 1 Modo ............................................. 80

Figura 35 Modelo Vaso do Reator BEAM 2 Modo ............................................. 81

Figura 36 Modelo Vaso do Reator SOLID 2 Modo ............................................. 81

Figura 37 Modelo Vaso do Reator BEAM 3 Modo ............................................. 82

Figura 38 Modelo Vaso do Reator SOLID 3 Modo ............................................. 82

Figura 39 Modelo Vaso do Reator SOLID 1 Modo de Casca ............................. 83

Figura 40 Modelo Vaso do Reator SOLID 2 Modo de Casca ............................. 83

Figura 41 Modelo Vaso do Reator BEAM Internos em 1 Ponto Deslocamento Final na Direo do Carregamento ........................................................................... 85

XI

Figura 42 Modelo Vaso do Reator BEAM Internos em 2 Pontos Deslocamento Final na Direo do Carregamento ........................................................................... 85

Figura 43 Modelo Vaso do Reator SOLID Internos em 1 Ponto Deslocamento Final na Direo do Carregamento ........................................................................... 86

Figura 44 Modelo Vaso do Reator SOLID Internos em 2 Pontos Deslocamento Final na Direo do Carregamento ........................................................................... 86

Figura 45 Modelo Vaso do Reator BEAM Internos em 1 Ponto Fora Mxima na Direo do Carregamento .................................................................................... 87

Figura 46 Modelo Vaso do Reator BEAM Internos em 2 Pontos Fora Mxima na Direo do Carregamento .................................................................................... 87

Figura 47 Modelo Vaso do Reator SOLID Internos em 1 Ponto Fora Mxima na Direo do Carregamento .................................................................................... 88

Figura 48 - Modelo Vaso do Reator SOLID Internos em 2 Pontos Fora Mxima na Direo do Carregamento .................................................................................... 88

XII

Lista de Grficos

Grfico 1 Espectro de choque de projeto em termos de velocidade Submarino Casco Vertical ou Travs ....................................................................................... 51

Grfico 2 Espectro de choque de projeto em termos de acelerao Submarino Casco Vertical ou Travs ....................................................................................... 52

Grfico 3 Espectro de choque de projeto em termos de velocidade Submarino Convs Vertical ...................................................................................................... 52

Grfico 4 Espectro de choque de projeto em termos de acelerao Submarino Convs Vertical ...................................................................................................... 53

Grfico 5 Espectro de choque de projeto em termos de velocidade Submarino Convs Travs ....................................................................................................... 53

Grfico 6 Espectro de choque de projeto em termos de acelerao Submarino Convs Travs ....................................................................................................... 54

Grfico 7 Espectro de choque de projeto em termos de velocidade Navio Casco Vertical ........................................................................................................ 54

Grfico 8 Espectro de choque de projeto em termos de acelerao Navio Casco Vertical ........................................................................................................ 55

Grfico 9 Espectro de choque de projeto em termos de velocidade Navio Casco Travs ......................................................................................................... 55

Grfico 10 Espectro de choque de projeto em termos de acelerao Navio Casco Travs ......................................................................................................... 56

Grfico 11 Espectro de choque de projeto em termos de velocidade Navio Convs Vertical ...................................................................................................... 56

Grfico 12 Espectro de choque de projeto em termos de acelerao Navio Convs Vertical ...................................................................................................... 57

Grfico 13 Espectro de choque de projeto em termos de velocidade Navio Convs Travs ....................................................................................................... 57

Grfico 14 Espectro de choque de projeto em termos de acelerao Navio Convs Travs ....................................................................................................... 58

XIII

Lista de Tabelas

Tabela 1 Parmetros do espectro de choque de projeto Equipamentos no casco - SUBMARINOS .......................................................................................................... 35

Tabela 2 Parmetros do espectro de choque de projeto Equipamentos no convs - SUBMARINOS ........................................................................................................ 36

Tabela 3 Parmetros do espectro de choque de projeto Equipamentos no chapeamento - SUBMARINOS ................................................................................. 36

Tabela 4 Parmetros do espectro de choque de projeto Equipamentos no casco - NAVIOS ..................................................................................................................... 37

Tabela 5 Parmetros do espectro de choque de projeto Equipamentos no convs - NAVIOS ................................................................................................................... 37

Tabela 6 Parmetros do espectro de choque de projeto Equipamentos no chapeamento - NAVIOS ............................................................................................ 38

Tabela 7 - Caractersticas da barra OHara & Belsheim, 1961 45 p. ...................... 58

Tabela 8 Resultados Modelos Viga Engastada Deslocamento Mximo.............. 62

Tabela 9 Resultados Modelos Viga Engastada Fora Cortante na base ............ 62

Tabela 10 Resultados Modelos Viga Engastada Momento Fletor na base ......... 63

Tabela 11 Resultados Modelos Vaso do Reator ANSYS ....................................... 67

Tabela 12 Comparao Frequncias Naturais Viga Engastada .......................... 68

Tabela 13 Comparao Resultados Viga Engastada .......................................... 68

Tabela 14 Massa do Vaso e Seus Componentes .................................................. 69

Tabela 15 Frequncias Naturais Modelo BEAM .................................................. 78

Tabela 16 Frequncias Naturais Modelo SOLID ................................................. 78

Tabela 17 Resultados Modelos do Vaso do Reator Deslocamentos e Foras .... 79

XIV

Lista de Abreviaturas

NRL Naval Research Laboratory

DDAM Dynamic Design Analysis Method

NSSC Naval Ship Systems Command

CTMSP Centro Tcnolgico da Marinha em So Paulo

PWR

Pressurized Water Reactor

NASTRAN

NASA Structural Analysis

DAA

Double Asymtoptic Aproximation

USA

Underwater Shock Analysis

XV

Lista de Smbolos

Em geral, se utiliza negrito para representar parmetros ou funes vetoriais ou matriciais. Utilizam-se tambm as letras e para representar ndices.

Alfabeto Romano

Matriz de amortecimento

Matriz de rigidez

Matriz de massa

, ,

Vetores deslocamento, velocidade e acelerao

Vetor carregamento externo

Fora de inrcia genrica

Fora de amortecimento genrica

Fora elstica genrica

Componentes da matriz de rigidez

Componentes da matriz de massa

Componentes da matriz de amortecimento

Componentes do vetor deslocamento

Vetor amplitude de deslocamento

Tempo

Componente do vetor deslocamento no modo em coordenadas generalizadas

Massa modal para modo

Rigidez modal para modo

Carregamento externo para modo

Acelerao tomada a partir de um referencial inercial

Carregamento externo efetivo

XVI

Deslocamento total

Acelerao da gravidade

!, , "

Espectro de resposta (choque) em aceleraes, velocidades e deslocamentos #$, #%$, #$_'$(($

Peso modal (definio DDAM)

)$

Deslocamento relativo do elemento no modo ! de vibrao *

Massa modal do elemento +,, +$

Pseudo-aceleraes (espectro de choque de projeto) -,, -.

Pseudo-velocidades (espectro de choque de projeto) /

Resposta final para a soma NRL do elemento /$

Maior valor de resposta do elemento /'

Demais valores de resposta do elemento 0

Mdulo de elasticidade

1

Momento de Inrcia

23$

Vetor fora calculado por anlise espectral para o modo %

Massa por unidade de comprimento

-,

Fora cortante na base da estrutura para o modo *,

Momento fletor na base da estrutura para o modo

Alfabeto Grego

4

Frequncia natural

5

ngulo de fase 6 Vetor modo de vibrao do modo 7

Matriz de modos de vibrao

8 Funo de forma

XVII

Constante de Poisson

Densidade do material

Coeficiente de amortecimento

"=

Intervalo de integrao da Integral de Duhamel

1

1 Introduo

de conhecimento geral que a Marinha do Brasil lanou em 2008 o Programa de Desenvolvimento de Submarino com Propulso Nuclear (Prosub) cujo principal objetivo desenvolver um submarino movido energia nuclear. Atualmente, apenas seis pases dominam a tecnologia de construo de submarinos nucleares e, com a realizao desse projeto, o Brasil se incluiria nesse seleto grupo. Alm disso, a soberania sobre seu territrio de extrema importncia para um pas que acaba de descobrir uma enorme quantidade de riquezas em suas guas, as bacias petrolferas do Pr-Sal.

Para tanto, so necessrios investimentos na rea de pesquisa e desenvolvimento de tecnologia para se tornar possvel a viabilizao de um projeto dessa magnitude. Sendo assim, em um convnio com a Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, o Centro Tecnolgico da Marinha em So Paulo (CTMSP) ofereceu incentivos pesquisa para que engenheiros pudessem se especializar e estudar assuntos considerados importantes no projeto de desenvolvimento do submarino nuclear. Um desses temas de estudo levantados pelo CTMSP se direciona para a rea de projeto estrutural, mais precisamente, para uma anlise estrutural de um reator nuclear de submarino.

Para projetar e construir uma embarcao militar, deve-se levar em conta no s as condies normais de navegao e operao, mas tambm as situaes em que a embarcao submetida quando est em engajada em uma batalha. Nesse cenrio, um navio ou um submarino so expostos a uma variedade de ataques que podem causar srios danos.

Segundo Clements (1972), antes da Segunda Guerra Mundial, os danos causados aos equipamentos de bordo de uma embarcao eram provenientes, principalmente, de colises diretas de embarcaes inimigas e de seus torpedos, ou ainda, do impulso causado pelo disparo de suas prprias armas de bordo. As nicas medidas de proteo a esse tipo de dano eram a instalao dos equipamentos o mais longe possvel do casco e a colocao da maior quantidade de blindagem possvel. Durante a Segunda Guerra, esse problema se agravou, devido evoluo das bombas e minas antissubmarinas. Estas no explodiam em contato direto com a

2

embarcao, mas sim causavam uma exploso submarina distncia gerando uma forte onda de choque. Essa onda de presso era percebida por boa parte do submarino ou do navio e, embora o casco no sofresse danos graves, os equipamentos se danificavam. Nessa situao, equipamentos pesados, como os geralmente encontrados nas praas de mquinas se desalinhavam ou se tornavam inoperantes por fraturas em suas fundaes, ou ainda, se desprendiam de sua base e se lanavam pelo compartimento.

Nesse contexto, a Marinha Norte Americana, no incio da dcada de 50, passou a realizar uma srie de testes em equipamentos de bordo de diversas dimenses a fim de se estudar o comportamento dinmico de estruturas e mquinas quando submetidas a ondas de choque provenientes de carregamentos impulsivos, simulando uma exploso distncia. Os resultados experimentais possibilitaram a verificao da resistncia dos equipamentos de bordo e de suas fundaes ainda na fase de projeto.

Contudo, as mquinas de teste tinham, poca, uma limitao de peso do equipamento a ser avaliado (Clements, 1972) e, assim, a Marinha Norte Americana, por meio do Naval Research Laboratory NRL, props um mtodo analtico para estimar os esforos inerciais dos equipamentos de bordo que no podiam ser submetidos a testes reais. Segundo OHara & Belsheim (1961), tal mtodo foi denominado Dynamic Design Analysis Method DDAM.

No decorrer dos anos 60 e 70, inmeras pesquisas foram realizadas para se estudar com maior profundidade o comportamento de um equipamento a bordo de uma embarcao ou de um submarino quando submetido a um carregamento impulsivo. Estes estudos se aliceravam na tese desenvolvida por Biot (1943), que trata da aplicao da anlise espectral no clculo da resposta dinmica de estruturas submetidas a abalos ssmicos. Ele utilizou o conceito de espectro de resposta e definiu o espectro de choque (Shock Spectrum) e o espectro de choque de projeto (Design Shock Spectrum).

Sendo assim, o Naval Ship Systems Command - NSSC (1961), departamento da Marinha Norte Americana, divulgou o Dynamic Design Analysis Method - DDAM, um mtodo concebido para avaliar o comportamento dinmico de equipamentos de

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bordo a fim de integrar critrios de choque fase de projeto destes equipamentos e de suas fundaes. Nesse trabalho em especfico foram focados equipamentos instalados em submarinos, mas a metodologia pode tambm ser aplicada a navios.

O mtodo simples e consequncia dos recursos computacionais existentes na poca de sua criao. Consiste em efetuar uma anlise dinmica por espectro de resposta, de um modelo com poucos graus de liberdade, para se estimar os esforos inerciais provenientes de vibraes causadas por uma onda de choque gerada por exploses submarinas distncia, sem a necessidade de se realizar testes em modelos ou em escala real. A estimativa feita de acordo com parmetros pr-estabelecidos e, segundo OHara & Belsheim (1963), tais parmetros foram obtidos experimentalmente com o apoio de testes em embarcaes reais ou de ensaios em laboratrio.

O equipamento, ento, modelado por um sistema massa-mola, dependendo obviamente de sua complexidade e de seus componentes. A anlise dinmica tambm feita de acordo com sua importncia no funcionamento pleno da embarcao. Para equipamentos crticos, como aqueles relacionados propulso e gerao de energia (motores, turbinas e eixos que so mais suscetveis a falhas devido a deslocamentos de suas bases), o modelo a ser utilizado deve contemplar os componentes e suas respectivas massas de forma precisa e detalhada para que sua anlise modal apresente resultados com menores graus de incerteza.

Mais tarde, o NSSC (1976) publicou mais um trabalho sobre a aplicao do mtodo DDAM no clculo da resposta dinmica de embarcaes de superfcie. Na publicao exemplifica-se de maneira mais clara e detalhada o mtodo em si e as aplicaes em que pode ser usado. Nesse caso, ressaltou-se a anlise estrutural das fundaes de equipamentos de bordo de navios quando submetidas a carregamentos impulsivos gerados por ondas de choque.

Com o uso cada vez mais frequente do DDAM em projetos de equipamentos navais, e com o desenvolvimento de programas computacionais de anlise estrutural atravs do Mtodo dos Elementos Finitos, a anlise se torna mais eficiente. Em 1982, Hurwitz (1982) apresenta os primeiros cdigos desenvolvidos para essa incorporao do DDAM no cdigo do NASTRAN NASA Structural Analysis que

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buscavam justamente aperfeioar a anlise dinmica por esse mtodo, uma vez que o NASTRAN poderia resolver um problema via DDAM, contudo sendo necessrio a manipulao e tratamento de dados de maneira mais complicada. Em um trabalho mais recente, Tao et. al. (2009), utiliza o mtodo DDAM juntamente com um modelo em elementos finitos para comparar a eficcia do mtodo analtico para o mtodo numrico. Esse estudo confirma a validade de se utilizar o DDAM para se estimar esforos inerciais originados de vibraes.

1.1 Objetivos

O presente estudo tem como principal objetivo mostrar a relevncia do Dynamic Design Analysis Method DDAM na anlise estrutural de um equipamento complexo (reator nuclear) e avaliar sua capacidade de ser utilizado como ferramenta de projeto, tendo em vista o fato de que este equipamento e sua fundao estarem sujeitos a carregamentos impulsivos de grande magnitude.

Para tanto, um estudo aprofundado da dinmica de estruturas com nfase em vibraes, anlise modal, e anlise espectral foi feito e, com o auxlio do software ANSYS, um modelo em elementos finitos de um reator nuclear PWR foi construdo, ao qual foi aplicado o DDAM para se estimar os esforos inerciais provenientes de vibraes causadas por choque. Apesar de ser um problema que tambm aborda conceitos de mecnica dos fluidos, como exploses submarinas e ainda, a interao fluido-estrutura, o foco desse trabalho reluziu sobre a anlise dinmica da estrutura, que o cerne da metodologia proposta pela Marinha Norte Americana, o DDAM.

1.2 Organizao do texto

Este trabalho foi organizado de forma a descrever um mtodo de anlise estrutural concebido pela Marinha Norte Americana, para se prever esforos em um equipamento naval de modo a otimizar seu projeto. No captulo 2, o mtodo estudado contextualizado ao cenrio atual, atravs de uma reviso bibliogrfica e discusso dos principais trabalhos publicados. Por se tratar de um assunto que envolve sigilos militares, no h uma vasta fonte de pesquisa, contudo, diversas publicaes foram reveladas no que diz respeito concepo terica dessa metodologia. Logicamente que ao longo do texto, outras discusses bibliogrficas so inseridas de forma apropriada.

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No captulo 3 apresentado o mtodo em si, o Dynamic Design Analysis Method DDAM. Da seo 3.1 seo 3.7 uma reviso da teoria linear de dinmica das estruturas realizada, com nfase em anlise modal e matrizes modais, que so os parmetros principais utilizados por esse mtodo. Em seguida, o mtodo exemplificado, bem como algumas melhorias agregadas metodologia, ao longo dos anos.

No captulo 4, os modelos desenvolvidos que incluem o vaso do reator nuclear PWR a ser analisado so apresentados qualitativamente, com suas caractersticas fsicas, seus principais componentes. Alm do vaso, uma estrutura simples tambm foi estudada para verificao da aplicao do DDAM.

Os parmetros e resultados das simulaes so apresentados e discutidos no captulo 5. A aplicao do DDAM foi feita para um equipamento simples e espectros de choque de projeto foram levantados, de acordo com as normas da Naval Research Laboratory - NRL. Os resultados foram discutidos e analisados caso a caso.

Por fim, as concluses e comentrios finais so apresentados no captulo 6.

6

2 Contextualizao

Neste captulo, os principais temas da presente dissertao sero abordados no contexto atual dos estudos na rea de anlise dinmica de estruturas quando submetidas a exploses submarinas. Para tanto, uma reviso bibliogrfica e discusses acerca dos trabalhos desenvolvidos nesse assunto se fez necessria.

Embora as pesquisas relativas a exploses submarinas sejam anteriores primeira guerra, o primeiro trabalho sistemtico divulgado sobre o assunto foi realizado por Cole (1948). Naturalmente as pesquisas progrediram, porm, dado o interesse e patrocnio de agncias militares a esses estudos, pouco material encontra-se divulgado.

Na rea de dinmica de estruturas, Biot (1933) publica uma tese que estudou o comportamento de estruturas submetidas a abalos ssmicos. Nesse trabalho, Biot desenvolve uma metodologia de predio de esforos em uma estrutura passvel de ser atingida por um terremoto. Para tanto, se utiliza de um equipamento (Mechanical Analyzer) desenvolvido por ele na Universidade de Columbia, em 1940, que tem como funo registrar aceleraes do solo em funo da frequncia de vibrao em que ele se encontra.

Sendo assim, em uma situao de terremoto, esse equipamento registraria as aceleraes que uma estrutura alvo atingiria nesse cenrio. Desse registro, um espectro de resposta de aceleraes em funo das frequncias de vibrao da estrutura produzido. O movimento de uma estrutura era visto, ento, como uma superposio de movimentos de vrios sistemas massa-mola, e cada modo tem um peso para a resposta final, e com esses espectros podia se prever carregamentos em uma estrutura submetida a tal abalo ssmico.

Para aplicar esses conceitos da engenharia de terremotos (espectro de resposta) no estudo de vibraes em equipamentos a bordo de embarcaes, OHara (1958) efetuou uma anlise dos resultados de experimentos feitos com equipamentos de testes de impacto da Marinha Norte Americana, onde questiona a utilizao do espectro de resposta para o projeto de equipamentos que sero submetidos a cargas de impacto geradas por exploses submarinas.

7

Posteriormente, OHara (1959) divulgou seus estudos e concluses a respeito da influncia da interao equipamento/fundao (shock spectrum dip) no espectro de choque e o uso devido do espectro de choque como ferramenta de projeto de um equipamento ou de uma estrutura. Ele demonstrou que existe uma diferena significativa entre o espectro real de choque e aquele que deve ser utilizado para o projeto de um equipamento.

Ento, em 1961, OHara & Belsheim, por meio do Naval Ship Systems Command (1961), publicaram o Dynamic Design Analysis Method. Esse mtodo tem como objetivo, incorporar ao projeto de mquinas e equipamentos de bordo no sentido de estimar os esforos em uma estrutura quando submetida a um carregamento impulsivo que lhe causa vibraes. Ou seja, os esforos inerciais provenientes das vibraes so calculados de forma emprica por esse mtodo que foi desenvolvido atravs de anlises de testes em escala real de equipamentos de bordo e em experimentos feitos em escala reduzida (Clements, 1972).

Em seguida, OHara & Belsheim (1963) atravs do Naval Research Laboratory NRL publicaram um relatrio onde esse algoritmo de frmulas empricas exemplificado. especificado o parmetro Shock Design Value que o parmetro que indica a grandeza do esforo inercial premeditado para um dado equipamento. definido tambm o peso com que cada modo de vibrao contribui com a dinmica da estrutura. No documento esto propostos modelos para o clculo elstico ou elasto-plstico da resposta de um equipamento, e tratamentos diferenciados destes de acordo com sua fundao, i.e., se est instalado na estrutura primria (hastilhas e/ou longarinas), ou em um convs no reforado, por exemplo.

Em um amplo estudo, Clement (1972) divulgou os resultados de mais uma pesquisa sobre uma srie de experimentos de simulao de ondas de choque em uma parte de estrutura ou de um equipamento com vistas anlise dinmica, ou seja, testes reais foram realizados para se descrever as ondas de choque causadas por uma srie de intensidades de impacto em estruturas de diferentes dimenses.

Os testes foram divididos em trs categorias, de acordo com o peso do equipamento ou da estrutura. Dessa forma, foram obtidos os espectros de choque

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derivados de impactos de diferentes magnitudes para cada categoria. Esse estudo, porm, se mostrou limitado na medida em que os equipamentos testados teriam que ter at 27 toneladas aproximadamente, que era a capacidade da mquina de testes da marinha americana poca. Mas comprovou a eficincia do uso dos espectros de choque para auxiliar o projeto de mquinas e equipamentos de bordo. No trabalho cita-se ainda a importncia do DDAM como alternativa eficaz em resolver esse problema de dinmica estrutural.

Posteriormente, Barber P. e Arden K. (Newport News Shipbuilding), aplicaram o mtodo no projeto do leme do submarino americano da classe SSN668 utilizando o DDAM implementado em um software comercial de elementos finitos. Outro exemplo foi estudado pela Noran Engineering (Abbey T.) onde o mtodo foi aplicado tambm com o auxlio de um programa computacional para anlise dinmica de uma embarcao.

Remmers (1983) publicou um trabalho onde descreveu cronologicamente a evoluo da anlise dinmica de estruturas por meio do espectro de choque at a poca da publicao. Na realidade, essa publicao d nfase aplicao da metodologia desenvolvida por Biot, pela Marinha Norte Americana, que o desenvolvimento do mtodo DDAM e os estudos consequentes para a melhoria de projetos de equipamentos de bordo.

Daquela poca at o presente, o desenvolvimento dos computadores permitiu uma extraordinria evoluo dos mtodos numricos, tanto para a modelagem de fluidos quanto para a modelagem de estruturas, as duas disciplinas fundamentais para se conduzir este tipo de estudo.

Kwon e Fox (1992) fazem a comparao entre resultados experimentais e os de uma simulao numrica para a resposta transitria de um cilindro submetido a uma exploso subaqutica. A simulao numrica foi feita com o uso de elementos finitos para o cilindro e de elementos de contorno para a gua (meio acstico). A interao fluido-estrutura tambm modelada segundo uma tcnica de aproximao chamada doubly asymptotic approximation (DAA) (Geers, 1971). Os resultados da simulao, quando comparados aos do ensaio experimental revelaram notvel concordncia.

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Bathe et. al. (1995) desenvolveram um elemento finito (three-field finite element) a ser utilizado em clculos estruturais, onde a interao do fluido acstico e da estrutura deve ser modelada.

Ergin (1997) apresentou resultados experimentais e de clculos numricos da resposta transitria da estrutura de um cilindro submerso em gua e submetido a um impacto impulsivo. Kwon e Cunningham (1998) efetuaram esse mesmo tipo de clculo e ainda propem uma metodologia para o posicionamento de reforadores ao longo de um cilindro. Em ambos os trabalhos, a DAA foi utilizada para a modelagem da interao fluido-estrutura.

Shin Y. e Santiago L. (1998), apresentaram o clculo da resposta transitria para um modelo bidimensional de uma seo transversal de uma embarcao de superfcie da Marinha Americana (Destroyer DDG-51 Flight 1). Os autores consideraram os efeitos da cavitao do fluido e mostraram que ela relevante no estudo dinmico de estruturas de superfcie sujeitas a exploses submarinas.

Liang (2000) publicou o clculo da resposta dinmica de uma casca esfrica submetida ao impacto de uma forte onda de choque plana. Os resultados foram comparados aos dados encontrados na literatura e demonstraram que a metodologia de anlise dinmica de estruturas submetidas a cargas impulsivas pode ser aplicada a modelos lineares.

Shin Y. (2004) publicou os resultados da aplicao do mtodo numrico de anlise dinmica para obteno da resposta transitria da estrutura para um modelo 3-D de uma embarcao de superfcie quando submetido a exploses submarinas. O trabalho valida a programao desenvolvida pela Marinha Americana (Underwater Shock Analysis USA) para anlise dinmica de submarinos quando submetidos a cargas provenientes de exploses submarinas, e extrapola sua aplicao para navios de superfcie, utilizando-se, obviamente, da modelagem de fenmenos peculiares a esse tipo de embarcao, como a cavitao, por exemplo.

Liang C.C. e Tai Y.S. (2006), apresentaram um modelo numrico para a simulao do comportamento de uma embarcao de superfcie exposta a uma exploso submarina. O modelo numrico permite o clculo do comportamento do fluido devido exploso submarina, a subsequente interao fluido-estrutura com a

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resposta transitria da estrutura do casco (considerando no linearidades geomtricas), e, o comportamento elasto-plstico do material. Vale ressaltar que a diversidade de modelos fsicos para a simulao da mecnica das estruturas e da mecnica dos fluidos presentes no estudo s possvel com o uso de aplicativos computacionais de elementos finitos e de elementos de contorno de ltima gerao, que, de per si, exigem para cada disciplina um trabalho de pesquisa mais aprofundado.

Por outro lado, houve publicaes onde a aplicao do mtodo DDAM foi feita de forma mais direta como exemplificado em dois trabalhos por Tao J. et al. (2009) onde em um deles o autor, a partir de um modelo em elementos finitos, realiza diversas simulaes e faz uma comparao de resultados entre o mtodo DDAM e ensaios numricos de exploses em meio fluido, e verifica a validade do DDAM para se estimar esforos inerciais provenientes de ondas de choque.

Nestas condies, optou-se, para este trabalho de pesquisa, aprofundar-se no estudo da dinmica e na modelagem da estrutura do reator PWR instalado em um submarino nuclear, com a aplicao direta do mtodo DDAM em sua anlise estrutural.

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3 Metodologia

Este captulo ir tratar sobre a metodologia de anlise estrutural de equipamentos a bordo de embarcaes quando submetidos a excitaes transientes, como uma onda de choque. Esse mtodo foi desenvolvido pela Marinha Norte Americana no intuito de estimar esforos inerciais e inserir essas informaes na fase de projeto desses equipamentos.

3.1 Introduo

essencialmente uma anlise por espectro de resposta onde so adicionados parmetros de choque empricos, obtidos de testes de exploses submarinas em navios e tambm de estudos tericos e ensaios em laboratrio (Clements, 1972; Remmers, 1983).

Na dcada de 70, a Marinha Norte Americana, atravs de seus laboratrios e centros de estudo, desenvolveu um programa de diminuio da vulnerabilidade de seus submarinos e navios aos ataques provenientes de exploses submarinas. Um dos resultados desse programa o Dynamic Design Analysis Method DDAM que, na prtica, um complemento de uma anlise modal do equipamento com parmetros de excitao de choque obtidos empiricamente de testes de exploses submarinas em instalaes de navios e submarinos reais, estudos tericos e testes em laboratrio (OHara & Belsheim, 1961).

Dessa forma, admitido que o equipamento e sua fundao comportam-se como uma estrutura linearmente elstica em resposta excitao, descrita como um espectro (espectro de resposta). suposto tambm que a anlise seja dividida em trs direes ortogonais, correspondentes localizao das supostas cargas explosivas geradoras das ondas de choque, sendo elas, vertical, travs e longitudinalmente embarcao. Diferenciaes na capacidade de absoro de energia para diferentes tipos de carregamento e cavernamento de sees so permitidas com uso de parmetros como tenso de escoamento e critrios de falha adequados para cada caso.

Outra hiptese adotada por esse mtodo a classificao do equipamento por critrios da Marinha Norte Americana. Ela classifica os equipamentos em

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essenciais e no-essenciais, ou ainda em outra classe intermediria. Essa classificao em conjunto com as caractersticas fsicas do equipamento ir determinar o modelo estrutural equivalente para se realizar esse estudo.

importante ressaltar que esse mtodo no elimina a anlise de equilbrio esttico do equipamento. Esse estudo dinmico serve para definir os carregamentos induzidos por efeitos inerciais. As questes inerentes Teoria da Elasticidade que relacionam carregamentos com tenses, deformaes ou deflexes ainda existem e devem ser resolvidos antes que uma anlise dinmica possa ser realizada.

Sendo assim, a anlise dinmica atravs desse mtodo pode ser descrita sucintamente em quatro etapas:

1. Adota-se a estrutura inteira (casco + equipamento) como um sistema linear elstico;

2. Determinam-se os modos e as frequncias naturais de vibrao do sistema Anlise Modal;

3. Calculam-se as respostas (deslocamentos, velocidades) para cada modo natural devido aos carregamentos impulsivos - Anlise espectral (Espectro de choque);

4. Superposio de efeitos Respostas modais obtidas so combinadas para se obter a resposta total.

Pode se demonstrar que qualquer ponto (ou superfcie) da estrutura pode ser definido como referncia e, assim, pode ser considerado como uma base fixa para a outra parte da estrutura. Sendo assim, no caso de um submarino, o casco e seus reforadores pesados so considerados a base fixa e, portanto, a resposta dinmica do(s) equipamento(s) nele contido(s) obtida atravs da resposta dele(s) superposio dos modos naturais da base fixa. Ou seja, o movimento da base fixa servir como carregamento imposto para a anlise dinmica do(s) equipamento(s) fixado(s) nela. Esse movimento da base pode ser representado por um espectro de choque equivalente, e deve ser conhecido.

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3.2 Dinmica de Estruturas Sistema Linear de Massas Concentradas

Mltiplos Graus de Liberdade

Em dinmica estrutural existem diversas abordagens para se solucionar um problema. Uma delas a descrio de uma estrutura por um sistema de massas concentradas que represente de forma mais precisa os seus mltiplos graus de liberdade.

Segundo Clough (2003), a equao de movimento de um sistema com mltiplos graus de liberdade obtida atravs do equilbrio das foras que atuam na estrutura, ou melhor, em cada um de seus graus de liberdade. Sendo assim, dada uma estrutura com > graus de liberdade, ter para cada grau de liberdade , quatro foras atuantes: fora externa aplicada, ?@; fora de inrcia, ?@; fora de amortecimento, ?@; fora elstica,

?@. Logo, para cada um dos graus de liberdade, o equilbrio dinmico pode ser expresso por:

C?@ + C?@ +

C?@ = C?@F?@ + F?@ +

F?@ = F?@H?@ + H?@ +

H?@ = H?@

Essas foras resistentes podem ser representadas de outra maneira, atravs de um conjunto de coeficientes de influncia. Para a fora elstica, toma-se como exemplo a fora elstica atuante no grau de liberdade 1. O deslocamento desse ponto depender, em geral, dos deslocamentos do resto da estrutura. Dessa forma,

C = CCC + CFF + + CHH De maneira anloga, a fora elstica que atua no grau de liberdade 2 pode

ser descrita como:

F = FCC + FFF + + FHH e assim, para o -simo termo, a fora elstica atuante

= CC + FF + + HH

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onde so os coeficientes de rigidez, definidos como sendo a fora elstica correspondente ao grau de liberdade devido a um deslocamento unitrio do grau de liberdade .

Na forma matricial, o vetor de foras elsticas expresso por:

J

C

F

HK = LCC CF CM CHFCHC

FFHFFMHM

FHHHO PCFHQ

ou

2 = onde a matriz de rigidez da estrutura e , o vetor de deslocamentos nodais.

Analogamente, para as foras de inrcia, elas podem ser descritas como sendo:

2 = onde os coeficientes da matriz de massa so definidos como sendo a fora inercial correspondente ao grau de liberdade devido a uma acelerao unitria do grau de liberdade .

Finalmente, para as foras de amortecimento,

2 = onde os coeficientes da matriz de amortecimento so definidos como sendo a fora de amortecimento correspondente ao grau de liberdade devido a velocidade unitria do grau de liberdade .

Desse modo, a equao do movimento tem todos seus componentes descritos:

?@ + ?@ + ?@ = ?@

(3.1)

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3.3 Dinmica Linear de Estruturas Anlise Modal

Para uma anlise modal, considera-se um sistema em vibrao livre no-amortecida, e omite-se, assim, a parcela das foras de amortecimento e das foras externas aplicadas. A equao do movimento (3.1) fica:

?@ + ?@ = R

(3.2)

A soluo desse tipo de anlise consiste em se determinar as condies sob as quais o equilbrio da equao de movimento alcanado, isto , os modos e suas respectivas frequncias de vibrao.

Para tanto, admite-se como resposta da vibrao livre no-amortecida harmnica e pode ser escrita da seguinte forma.

?@ = ST?4 + 5@

(3.3)

Obtendo a segunda derivada e substituindo na equao diferencial:

?@ = 4 ST?4 + 5@ = 4?@

(3.4)

A equao diferencial fica:

4 sen?4 + 5@ + sen?4 + 5@ = R

(3.5)

Como o termo em ST arbitrrio, ele pode ser omitido, e a equao diferencial reescrita da seguinte forma:

Z 4F[ = R

(3.6)

Encontrar os valores para 4 significa encontrar os autovalores desse sistema e estes correspondem s frequncias naturais de vibrao. Para isso, necessrio resolver o seguinte determinante:

4F = 0

(3.7)

que leva equao caracterstica do sistema.

As razes da equao caracterstica correspondem s frequncias naturais de vibrao, sendo a menor delas a frequncia do primeiro modo, a prxima mais alta,

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ao segundo, e assim por diante, e so arranjadas em sequncia no vetor de frequncia ^:

^ =_`a`b4C4F4M4c`d`

e

(3.8)

Segundo Clough (2003), pode-se demonstrar que para matrizes de massa, e rigidez reais, simtricas, positivas e definidas (matrizes para sistemas estruturais estveis), todas as frequncias tero valores reais e positivos.

Uma vez determinadas as frequncias de vibrao do sistema, podem-se obter os modos de vibrao associado a cada frequncia. necessrio ento resolver a equao matricial (3.6) para 4 igual a um valor de freqncia natural obtida. Como a eq. (3.6) uma identidade, ou seja, as frequncias das vibraes foram obtidas por tal condio, os valores de deslocamento so indeterminados. Porm, as amplitudes relativas dos > graus de liberdade podem ser determinadas em termos de qualquer coordenada. Sendo assim, para um modo , adota-se um valor unitrio para um grau de liberdade, o primeiro por exemplo, e resolve-se a equao de modo a determinar os outros valores de deslocamentos.

=_`a`bfCfFfMfHc`d`

e =_`a`b 1fFfMfHc`d`

e

Substituindo em (3.6), a forma matricial pode ser escrita como:

h = R

(3.9)

onde h = 4F. Expandindo a eq. (3.9), tem-se:

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ijjjjk

TCC | TCF TCM TCHTFCTMC|||

TFFTMFTFMTMM

TFHTMHTHC | THF THM THHmnn

nno_`a`b 1fFfMfHc`d`

e =_`a`b0000c`d`

e

na qual se elimina a primeira linha e coluna, e, resolvendo para , obtm-se os deslocamentos proporcionais de todos os outros graus de liberdade para um determinado modo . O mesmo procedimento repetido substituindo os outros valores de frequncia natural na equao (3.6). Assim, neste exemplo, para o modo , o vetor deslocamento fica: = _`a`

b 1fFCfMCfCc`d`e

(3.10)

Pode se definir 6 como o modo normal de vibrao, onde 6 = f fp

(3.11)

e a norma euclidiana de . Dessa forma, a matriz dos modos de vibrao definida como:

7 = Z6C 6F 6M 6[

(3.12)

que a matriz de autovetores utilizada na aplicao da superposio modal na anlise dinmica linear de um sistema.

3.4 Dinmica Linear de Estruturas Superposio Modal Ortogonalidade

entre os modos

Para ser possvel representar a resposta do sistema dinmico atravs da combinao linear dos modos de vibrao, ou seja, utilizar o mtodo da superposio na resoluo do sistema dinmico linear, necessrio provar que os modos de vibrao so ortogonais s matrizes de massa e de rigidez. Para tanto,

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considera-se dois modos de vibrar de uma estrutura 6 e 6, que correspondem respectivamente s freqncias de vibrao 4 e 4.

Cada modo deve satisfazer a equao de equilbrio (3.6), de modo que:

6 = 46

(3.13) 6 = 46

(3.14)

Multiplicando a eq. (3.13) por 6 q eq. (3.14) por 6q, tem-se: 6q6 = 46q6

(3.15)

6q6 = 46q6

(3.16)

Como e so simtricas, ou seja, q = e q = , lembrando que o produto de matrizes das equaes (3.15) e (3.16) so escalares e podem ser transpostas arbitrariamente, e, ainda, observando as regras de transposio, e o teorema da reciprocidade de Betti, tem-se que:

46q6 = 46q6

(3.17)

termos que representam as foras inerciais dos modos e , respectivamente. evidente que,

r4F 4Fs6q6 = 0

(3.18)

Como 4 4, a eq. (3.18) resulta na primeira condio de ortogonalidade: 6q6 = 0

(3.19)

A segunda condio de ortogonalidade pode ser obtida pr-multiplicando a eq. (3.14) por 6q, e aplicando a primeira condio. Assim, tem-se: 6q6 = 0

(3.20)

com .

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As equaes (3.19) e (3.20) representam a ortogonalidade entre os modos naturais, com relao s matrizes de massa e de rigidez.

3.5 Dinmica Linear de Estruturas Superposio Modal - Autovetores

Uma vez encontrada a matriz dos modos de vibrao, o vetor deslocamento pode ser escrito como uma superposio das deflexes dos modos de vibrao, como mostra a Figura 1. Isto :

= 6CC + 6FF + + 6HH = u 6

(3.21)

Em forma matricial:

= 7 v?@

(3.22)

onde v?@ o vetor de amplitude modal, funo do tempo.

Figura 1 Representao das deflexes por uma soma dos modos de vibrao. Extrado de Clough, 2003 220 p.

Substituindo a eq. (3.22) na equao do movimento, tem-se

7v ?@ + 7w?@ = R

(3.23)

Multiplicando a esquerda a equao (3.23) por 6q e, devido ortogonalidade com respeito massa, ou seja, 6q 6x = 0 para , todos os termos da somatria implcita na equao (3.23) se anulam exceto o termo 6q 6, e a equao se resume a:

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6q 6 + 6q 6 = R

(3.24)

que semelhante equao de equilbrio dinmico de um sistema no-amortecido com um nico grau de liberdade.

Concluindo, com o mtodo se calcula a resposta de um sistema linear com graus de liberdade com a soma da resposta de sistemas lineares com um nico grau de liberdade.

Sendo ?0@ e ?0@ as condies iniciais para o sistema livre, pode-se, utilizando-se uma das condies de ortogonalidade dos modos de vibrao, determinar as condies iniciais para cada equao diferencial dos modos desacoplados. Assim,

= 6q 6q 6

(3.25)

?0@ = 6q ?0@6q 6

(3.26)

?0@ = 6q ?0@6q 6

(3.27)

Uma vez conhecidas as condies iniciais, basta resolver a equao de movimento para as coordenadas generalizadas v. 3.6 Dinmica Linear de Estruturas Vibraes Foradas

O mtodo da superposio pode ser utilizado para o clculo da resposta de um sistema submetido a um esforo externo. Considere a equao do movimento de um sistema massa-mola forado no amortecido de mltiplos graus de liberdade:

+ = ?@

(3.28)

Introduzindo a equao (3.22) na equao do movimento tem-se:

7 v ?@ + 7 v?@ = ?@

(3.29)

21

Observa-se que o modo de vibrao no depende do tempo (y = 7 z ). Multiplicando a esquerda pelo vetor 6q , a equao fica: 6q7 v ?@ + 6q7 v?@ = 6q ?@

(3.30)

Mas expandindo os dois termos do lado esquerdo da equao (3.30), observa-se que todos eles se anulam exceto pelo -simo termo, devido ortogonalidade da matriz dos modos de vibrao. Assim, a equao resulta em:

6 q 6?@ + 6q 6?@ = 6q ?@

(3.31)

Redefinindo os coeficientes da equao do movimento para -simo modo de vibrao:

= 6 q 6

(3.32) = 6q 6

(3.33) ?@ = 6q ?@

(3.34)

E a equao do movimento em coordenadas generalizadas, para um modo pode ser escrita como:

?@ + ?@ = ?@

(3.35)

que uma equao de um grau de liberdade para o modo , onde os coeficientes e , so denominados de massa e rigidez modal equivalente. Dessa forma, cada modo de vibrao tem uma equao do movimento

independente. Para se alcanar a resposta dinmica, podem-se obter as solues de cada modo e sobrep-las utilizando a equao (3.22). Existem ainda outros mtodos de combinar as respostas modais Denomina-se tal procedimento de Mtodo de Superposio Modal.

3.7 Dinmica Linear de Estruturas Resposta a uma excitao de base

A equao do movimento para um sistema linear massa-mola amortecedor de um grau de liberdade pode ser escrita da seguinte forma.

?@ + ?@ + ?@ = ?@ (3.36)

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onde a massa, a constante de amortecimento, a rigidez e ?@ o deslocamento que o sistema sofre em funo do tempo. ?@ a excitao do sistema.

No caso particular de um sistema massa-mola que sofre excitao de base, a equao (3.36) pode ser reescrita como:

? ?@ + ?@@ + ?@ + ?@ = 0

(3.37)

onde ?@ a acelerao da base do sistema (sempre tomada em relao a um referncial inercial) e ?@ = ?@ + ?@ o deslocamento total da estrutura, como mostra a Figura 2.

Figura 2 Sistema massa-mola com excitao de base Adaptado Clough, 2003 19 p.

Como a acelerao da base pode ser vista como uma excitao dinmica do sistema, a eq. (3.37) pode ser reescrita como:

?@ + ?@ + ?@ = ?@

(3.38)

onde o termo ?@ o carregamento efetivo devido ao movimento da base do sistema. Ou seja, as deformaes estruturais causadas pela acelerao ?@ sero as mesmas produzidas se houvesse uma carga externa ?@ = ?@. O sinal negativo dessa carga se deve ao fato de que sua direo se ope ao sentido de acelerao da base.

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No estudo de terremotos, a acelerao de base ?@ obtida por meio de aferies realizadas em estruturas submetidas a abalos ssmicos. Com essas aferies, possvel se obter um espectro de carregamentos de excitao e, assim, todas as variveis do problema se tornam conhecidas. Essa abordagem pode ser utilizada tambm na anlise dinmica de estruturas submetidas a carregamentos impulsivos, como ondas de choque provenientes de exploses submarinas.

No entanto, a resposta de um sistema massa-mola amortecido para um carregamento genrico deriva da resposta de um sistema massa-mola no-amortecido. Sendo assim, desconsiderando o amortecimento a equao do movimento fica:

?@ + ?@ = ?@

(3.39)

Pelo teorema do impulso, em um sistema massa-mola linear elstico submetido a um carregamento {?@, partindo do repouso, tem-se que: | {?@"}, = ?C@ ?0@

(3.40)

onde C a durao do carregamento. Tomando {?@ = ?@ ?@, tem-se que, para valores de C pequenos, a

variao da velocidade ?@ muito maior que o deslocamento ?C@. Logo, a eq. (3.40) pode ser reescrita como:

| ?@"}, = ?C@

(3.41)

Assim,

?C@ = 1 | ?@"},

(3.42)

A resposta do sistema aps o trmino do carregamento uma vibrao livre no-amortecida, com condies iniciais ?C@ e ?C@, ?@ = ?C@4 ST?4@ + ?C@cos?4@ (3.43)

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onde = C. Mas como ?C@ desprezvel, a eq. (3.42) fica, ?@ = 14 | ?@"}, ST?4@

(3.44)

Uma maneira de se resolver o problema utilizando a integral de Duhamel. Segundo Clough (2003), dado um carregamento genrico ?@ aplicado a um sistema linear elstico e no-amortecido (na dinmica de um sistema submetido a um carregamento impulsivo de curta durao, o amortecimento pode ser desprezado, pois pouco influenciar na resposta), e considerando um instante = neste espectro, tem-se que em um intervalo "=, ?=@"= representa um impulso de curta durao que age na estrutura, como mostra a Figura 3.

Sendo assim, pode se utilizar o procedimento de aproximao da resposta de um sistema de um grau de liberdade submetida a um carregamento impulsivo, para se avaliar os deslocamentos provenientes de um carregamento genrico.

Figura 3 Integral de Duhamel para um sistema massa-mola no-amortecido Adaptado Clough, 2003 87 p.

25

Usando a eq. (3.44), tem-se que, no intervalo infinitesimal "=, a resposta produzida pelo impulso ?=@"= igual a: "?@ = ?=@"= 4 sen 4? =@

(3.45)

com =. Nessa expresso, "?@ representa a resposta no tempo do sistema para todo

intervalo =. No a variao de durante o intervalo de tempo ". Para se determinar a resposta ?@, basta considerar o carregamento no

tempo como uma sucesso de impulsos de curta durao, cada um deles produzindo sua prpria resposta diferencial, da forma de (3.45). Logo, para esse sistema massa-mola linear elstico, a resposta total pode ser obtida somando-se as respostas diferenciais, ou seja, integrando a eq. (3.45) de modo que:

?@ = 14 | ?=@ sen 4? =@ "=,

(3.46)

com 0. ?@ = 14 | ?=@ sen 4? =@ T?@"=,

(3.47)

Essa equao conhecida como Integral de Duhamel, e descreve a resposta de um sistema linear elstico a um carregamento qualquer. E uma vez conhecida a resposta, pode-se construir o espectro de resposta, que consiste na descrio dos mximos deslocamentos em funo da frequncia de vibrao da estrutura.

3.8 Espectro de choque - Definio

Segundo Clements (1972), dentro do contexto do DDAM, um espectro de choque definido com sendo um espectro de resposta especfico onde esto expressos os mximos valores absolutos de deslocamentos, velocidades ou aceleraes de uma estrutura sujeita a um carregamento de choque como excitao de base em funo das diferentes frequncias de vibrao. Ou seja, dada uma resposta de um sistema a esse carregamento, nesse caso especfico, um choque

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(Figura 4), o espectro de choque a representao dessa resposta em termos das mximas amplitudes absolutas de deslocamentos, velocidades ou aceleraes em funo da frequncia, como mostra a Figura 5.

Figura 4 Exemplo tpico de resposta no tempo de um sistema sujeito a um choque Cunniff & OHara (1989)

Figura 5 Exemplo de Espectro de Choque OHara & Cunniff (1984) 314 p.

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3.9 Espectro de choque - Anlise Espectral

A definio matemtica de um espectro de choque apresentada a seguir. Considerando um oscilador de massa e rigidez sua freqncia natural 4 = . A resoluo desse problema similar quela desenvolvida no captulo 3.7.

Adaptando a eq. (3.38) para esse oscilador desprezando o amortecimento, tem-se:

?@ + ?@ = ?@

(3.48)

onde ?@ o deslocamento relativo do oscilador e ?@ a acelerao imposta na base do sistema.

Resolvendo a eq. (3.48) pela Integral de Duhamel, tem-se:

?@ = 14 | ?=@ sen 4? =@ "=,

(3.49)

Usando a relao (3.54),

?@ = 4 | ?=@ sen 4? =@ "=,

(3.50)

Assim, a relao entre a acelerao total do sistema e a excitao fica estabelecida. definido ento o espectro de choque de aceleraes como sendo:

! = 4 | ?=@ sen 4? =@ "=, x$

(3.51)

definido tambm o espectro de choque de velocidades:

= | ?=@ sen 4? =@ "=, x$

(3.52)

E, da equao (3.49), tem-se a definio do espectro de choque de deslocamentos:

" = 4

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3.10 Dynamic Design Analysis Method DDAM

Segundo OHara & Belsheim (1961), uma das tarefas mais complicadas para se realizar uma anlise estrutural a escolha e criao de um modelo que represente dinamicamente o equipamento a ser estudado. E para tanto, deve se ter em mente que, na maioria dos casos, apenas os primeiros modos de vibrao de um sistema contribuem significativamente para as tenses e deformaes resultantes dos esforos inerciais. Essa afirmao to mais exata na medida em que todos os componentes de um sistema, ou a maior parte deles, podem ser considerados como corpos rgidos, ou seja, sua prpria estrutura no relevante frente aos esforos solicitantes e, desse modo, apenas sua contribuio dinmica (inrcia) se torna importante para a anlise.

A abordagem do problema se inicia com a classificao do equipamento a ser analisado. Essa classificao deve ser feita de acordo com a importncia do equipamento para a operao contnua seja do submarino ou do navio. OHara & Belsheim (1961), sugerem a classificao da seguinte forma:

Categoria A Itens no necessrios para a operabilidade da embarcao, ou seja, equipamentos suprfluos;

Categoria B Itens cuja perda na prejudicaria de forma grave a operao da embarcao;

Categoria C Itens cuja perda implicaria em srias falhas de operao do navio, ou at a perda total da embarcao.

Assim sendo, um modo adequado para se modelar um equipamento representar regies dele que se comportam como rgidas (dinamicamente) por massas concentradas em seu centro de gravidade. Dessa forma, a anlise matricial dos modos naturais da estrutura realizada de forma direta, porm, a preciso nas repostas reduzida na medida em que toda uma regio descrita por um nico ponto.

O`Hara & Belsheim (1961), sugerem, ento, que o equipamento seja modelado por um sistema massa-mola no-amortecido de forma a simplificar os clculos. O nmero de graus de liberdade desse sistema d uma noo de quo

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complicada ser a anlise modal desse sistema. poca da criao desse algoritmo, os recursos computacionais eram mais limitados, que implicava em maiores simplificaes na modelagem do equipamento.

Deve-se ento obter as propriedades do equipamento atravs de suas matrizes caractersticas, as matrizes de massa e de rigidez, que so utilizados para se calcular as frequncias e modos naturais de vibrao do equipamento em estudo. Alm disso, sua fundao de v ser especificada como: casco, deck ou chapeamento. Os esforos estimados variam de acordo com a estrutura a qual o equipamento fixado (OHara & Belsheim, 1963)

Construdo o modelo fsico do sistema, a prxima etapa a atribuio dos carregamentos para esse sistema. Os conceitos de espectro de choque e espectro de choque para projeto so utilizados na montagem desse tipo de anlise estrutural. Como j comentado na introduo, esses parmetros foram concebidos e inseridos na engenharia de estruturas por Biot (1943) que desenvolveu uma tese sobre predio de esforos em estruturas submetidas a abalos ssmicos.

Em sua tese, Biot se utilizou do espectro de choque como principal parmetro de clculo para os esforos inerciais, e o definiu como sendo os valores de mxima resposta ao movimento gerado pela excitao do abalo ssmico.

Reescrevendo a equao do movimento para um sistema dinmico em vibrao forada:

+ r s = 0

(3.53)

Como 4 = , reescreve-se a equao: = 4

(3.54)

onde = . A definio de espectro de choque resulta da expresso (3.54), que dividida

pela acelerao da gravidade para se chegar a um valor adimensional. Como os valores podem variar de sinal dependendo da direo em que ocorre o movimento, a expresso que define os valores do espectro de choque resulta em:

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x$ = 4

(3.55)

Isto , a mxima acelerao absoluta (medida em ) igual ao mximo deslocamento relativo entre o oscilador e a base (variao de comprimento da mola). importante ressaltar que essa equao mostra que o valor do espectro de choque independe da massa do oscilador, contanto que tenha a frequncia 4.

Segundo Remmers (1983), essas aceleraes e deslocamentos podiam ser medidos por um pndulo torsional e registrados por um equipamento desenvolvido pelo prprio Biot (1941). Dessa forma, os clculos da integral de Duhamel que estimavam os deslocamentos da estrutura analisada, eram substitudos por uma simples leitura do espectro registrado pelo equipamento, no intervalo em que ela est sendo excitada por um abalo ssmico.

Biot (1941) se utiliza do fato que, quando um sistema massa-mola no-amortecido excitado por um impulso transiente, a resposta final pode ser representada pela superposio de oscilaes livres, cada qual com amplitude proporcional a uma deformao esttica e proporcional ao valor da intensidade espectral da frequncia correspondente, isto , a amplitude de vibrao do impulso em uma dada frequncia.

A vantagem dessa abordagem que, para o clculo da resposta do sistema, ele substitui a resposta no tempo que possui uma forma complicada, por uma distribuio espectral que sempre uma funo analtica da frequncia.

Este conceito de espectro de choque foi aplicado em testes de equipamentos de submarinos e navios visando a melhora de seus projetos. Equipamentos de dimenses variadas foram submetidos a testes de campo com embarcaes reais ou em ensaios em laboratrio com mquinas que simulam ondas de choque (Clements, 1972). Com esses dados, a Marinha Norte Americana, desenvolveu um algoritmo que estima os esforos inerciais provenientes de uma onda de choque a partir das caractersticas do equipamento e de suas fundaes (OHara & Belsheim, 1963).

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A grande vantagem deste procedimento que ele necessita apenas das caractersticas do equipamento em estudo para se modelar um problema. Os carregamentos de uma anlise estrutural so estimados de acordo com uma extrapolao dos dados coletados de testes reais em embarcaes ou experimentos em laboratrios com equipamentos especficos (OHara & Belsheim, 1961; OHara, 1963; Clements, 1972).

3.11 DDAM Espectro de choque de projeto

Como j mencionado espectro de choque um espectro de resposta de um equipamento quando submetido a uma onda de choque. Consiste em, a partir de um experimento controlado ou de dados reais obtidos de abalos ssmicos, computar os deslocamentos, velocidades ou aceleraes de um equipamento quando submetido a um carregamento impulsivo em funo das suas frequncias de vibrao.

a partir de um conjunto de espectros de choque que o design shock spectrum estabelecido. O design shock spectrum ou espectro de choque de projeto uma extrapolao do espectro de choque. um grfico que, dado o modo de vibrao, contm os valores de mximo deslocamento, velocidade ou acelerao que um equipamento responde a uma excitao, mas agora em funo da sua massa. Assim, o estudo desse equipamento pode ser feito se utilizando somente das caractersticas fsicas, no sendo necessrios parmetros de excitao.

Esse conceito foi criado, pois o clculo do espectro de choque se mostra trabalhoso se for levado em conta que este procedimento seria feito para cada um dos equipamentos de bordo. Outro problema relacionado ao desenvolvimento do espectro de choque o carregamento utilizado para excitar o sistema. Simular uma exploso submarina, ou ainda, realizar testes de exploses reais em embarcaes se mostrou trabalhoso e dispendioso (Clements, 1972).

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Figura 6 Exemplo de espectro de choque com o envelope dos mnimos e mximos. Cunniff & OHara, 1989 157 p.

Ento, a partir de conceitos da engenharia de terremotos (Biot, 1948), foram desenvolvidos equipamentos que pudessem construir esse espectro de forma experimental, atravs da aplicao de uma onda de choque, como carregamento na fundao onde deve estar montado um conjunto de osciladores de massa desprezvel e de diferentes frequncias naturais conhecidas. Dessa forma, ter-se- o registro dos mximos deslocamentos, velocidades ou aceleraes de cada oscilador em funo de suas frequncias naturais de vibrao, e, assim, o espectro de choque construdo. A Figura 7 resume qualitativamente o procedimento de obteno do espectro de choque a partir de um carregamento de choque conhecido.

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Figura 7 Esquema de obteno do espectro de choque adaptado de Alexander (2009) 5p.

O espectro de choque de projeto pode ser obtido ento a partir de um conjunto de espectros de choque conhecidos na medida em que esse conjunto de espectros utilizado (OHara, 1958, 1959, 1984) para se gerar outro espectro (espectro de choque de projeto) que contenha agora os valores de resposta em deslocamentos, velocidades ou aceleraes em funo do peso do equipamento ou estrutura analisado (Cunniff & OHara, 1989). Desse modo, equipamentos ou estruturas que no possuem um espectro de choque conhecido, mas que tm seu peso na mesma faixa de outros sistemas que j o possuem, podem ser estudados dinamicamente pelo DDAM.

Sendo assim, o espectro de choque de projeto se mostra como uma alternativa para estimar esforos inerciais devido a um carregamento impulsivo em outros equipamentos que no possuem um espectro de choque calculado.

A Figura 6 mostra um exemplo de um envelope de espectro de choque onde esto plotados os mximos e os mnimos valores de velocidade em funo da

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frequncia. Os pontos correspondem aos valores de choque de projeto considerados para o clculo de esforos inerciais na fundao, provenientes do carregamento impulsivo do qual esse espectro foi construdo. Foi demonstrado que, para utilizar um espectro de choque na estimativa de esforos inerciais de uma estrutura ou equipamento, deve-se levar em conta apenas os valores do espectro de choque correspondentes s frequncias naturais de vibrao da fundao/base dessa estrutura ou equipamento (OHara, 1959; OHara & Cunniff, 1984).

Como j comentado, o algoritmo desenvolvido para estimar os esforos inerciais provenientes de carregamentos impulsivos se utiliza apenas das caractersticas dinmicas da estrutura em estudo.

Para um sistema de 1 grau de liberdade, basta calcular a frequncia natural 4 = , onde, em geral, considerada a rigidez da fundao e , a massa do equipamento somado a uma parte da fundao. O peso modal definido como o peso do equipamento.

J para um sistema de mltiplos graus de liberdade, deve-se calcular as matrizes de massa, bem como os modos e frequncias de vibrao, para se obter os pesos modais.

Sendo assim, estritamente para a aplicao do DDAM, o peso modal #$ definido como:

#$ = r *)$ sF *)$F Z[

(3.56)

onde * a massa modal do elemento , )$ o deslocamento relativo do elemento no modo ! de vibrao. Ser mostrado adiante que o denominador dessa expresso ( *)$F ) definido como sendo a massa modal do modo !.

Com esses valores #$, os valores do espectro de choque de projeto podem ser estimados. Contudo, o DDAM divide os equipamentos a serem estudados em 2 categorias, de acordo com seu comportamento estrutural, definido pela sua importncia e/ou caractersticas:

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Regime Elstico o equipamento e fundao a serem estudados devem se comportar dentro do limite de deformaes elsticas, ou seja, no devem haver deformaes plsticas residuais.

Regime Elasto-plstico o equipamento e fundao a serem estudados podem ter pequenas deformaes plsticas residuais aps a aplicao do esforo calculado.

O mtodo ainda exige que se determine o tipo da fundao onde o equipamento ser fixado, se no casco, em um convs, ou no chapeamento da embarcao ou do submarino. So essas as definies dos tipos de fundao, segundo OHara & Belsheim (1963):

Casco (Hull) Equipamentos fixados diretamente na estrutura primria, como cavernas, anteparas estruturais abaixo da linha dgua, e no chapeamento acima da linha dgua;

Convs (Deck) Equipamentos fixados diretamente em convses, anteparas no estruturais ou anteparas estruturais acima da linha dgua;

Chapeamento (Shell Plating) Equipamentos fixados diretamente no chapeamento.

Segue, ento, o algoritmo para o clculo dos valores de espectro. necessrio ressaltar que o sistema de unidades utilizado no desenvolvimento desse algoritmo o ingls, sendo obrigatria sua utilizao. Esse algoritmo fornece o espectro de choque de projeto em termos de velocidade (-$) e acelerao (+$), a partir do peso modal #%$. OHara & Belsheim (1961, 1963) definem como pseudo-velocidades e pseudo-aceleraes esses valores calculados pelo algoritmo.

Tabela 1 Espectro de choque de projeto Equipamentos no casco - SUBMARINOS

Localizao Direo Aa Va Aa Va

Vertical 1,0 A0 1,0 A0 1,0 A0 0,5 A0Travs 1,0 A0 1,0 A0 1,0 A0 0,5 A0

Longitudinal 0,4 A0 0,4 A0 0,4 A0 0,2 A0

Elstico Elasto-Plstico

Casco

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+, = 10,4 480 + #%$20 + #%$ ZSF[

(3.57)

-, = 20 480 + #%$100 + #%$ ZS [

(3.58)

#%$ = #$1000

(3.59)

importante observar que esses valores da Tabela 1 so especficos para serem utilizados no estudo de equipamentos de submarinos e aqueles classificados como fixados ao casco da embarcao, ou seja, em sua estrutura primria. Esse o caso do reator PWR de propulso do submarino.

Para um equipamento preso a um convs, o espectro de choque de projeto pode ser descrito na Tabela 2. A Tabela 3 mostra o espectro de choque de projeto para um equipamento de submarino fixado ao chapeamento.

Tabela 2 Espectro de choque de projeto Equipamentos no convs - SUBMARINOS

+, = 5,2 480 + #%$20 + #%$ ZSF[

(3.60)

-, = 10 480 + #%$100 + #%$ ZS [

(3.61)

Tabela 3 Espectro de choque de projeto Equipamentos no chapeamento - SUBMARINOS

Localizao Direo Aa Va Aa Va

Vertical 1,0 A0 1,0 A0 1,0 A0 0,5 A0

Travs 2,0 A0 2,0 A0 2,0 A0 1,0 A0

Longitudinal 0,8 A0 0,8 A0 0,8 A0 0,4 A0

Deck

Elstico Elasto-Plstico

Localizao Direo Aa Va

Vertical 1,0 A0 1,0 A0

Travs 0,2 A0 0,2 A0

Longitudinal 0,08 A0 0,08 A0

Elstico

Chapeamento

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+, = 52 480 + #%$20 + #%$ ZSF[

(3.62)

-, = 100 480 + #%$100 + #%$ ZS [

(3.63)

J para embarcaes de superfcie, a Tabela 4, a Tabela 5 e a Tabela 6 e as equaes de (3.64) (3.69) mostram como os valores do espectro de choque de projeto so calculados.

Tabela 4 Espectro de choque de projeto Equipamentos no casco - NAVIOS

+, = 20 ?37,5 + #%$@?12 + #%$@?6 + #%$@ ZSF[

(3.64)

-, = 60 12 + #%$6 + #%$ ZS [

(3.65)

Tabela 5 Espectro de choque de projeto Equipamentos no convs - NAVIOS

+, = 10 ?37,5 + #%$@?12 + #%$@?6 + #%$@ ZSF[

(3.66)

-, = 30 12 + #%$6 + #%$ ZS [

(3.67)

Localizao Direo Aa Va Aa Va

Vertical 1,0 A0 1,0 A0 1,0 A0 0,5 A0

Travs 0,4 A0 0,4 A0 0,4 A0 0,2 A0

Longitudinal 0,2 A0 0,2 A0 0,2 A0 0,1 A0

Elstico Elasto-Plstico

Casco

Localizao Direo Aa Va Aa Va

Vertical 1,0 A0 1,0 A0 1,0 A0 0,5 A0

Travs 0,4 A0 0,4 A0 0,4 A0 0,2 A0

Longitudinal 0,4 A0 0,4 A0 0,4 A0 0,2 A0

Deck

Elstico Elasto-Plstico

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Tabela 6 Espectro de choque de projeto Equipamentos no chapeamento - NAVIOS

+, = 40 ?37,5 + #%$@?12 + #%$@?6 + #%$@ ZSF[

(3.68)

-, = 120 12 + #%$6 + #%$ ZS [

(3.69)

Sendo assim, obtm-se os valores de -$ e +$. So as mximas pseudo-velocidades e aceleraes em cada modo de vibrao causadas por uma onda de choque. O menor valor entre -$4$ e +$ utilizado na estimativa de esforos inerciais sobre a estrutura como o valor do espectro de choque ( !) definido em 3.9, at o limite inferior de 2316 in/s (6). Vale ressaltar que os dados das ondas de choque que geraram esses valores no foram divulgados pela Marinha Norte Americana.

3.12 DDAM - Superposio Modal

Com os valores dos espectros de choque definidos bem como os deslocamentos e tenses de cada elemento em cada modo !, necessria a superposio dos resultados para se obter a resposta final da estrutura. Para tanto, a Soma NRL utilizada e os deslocamentos e tenses podem ser superpostos da seguinte forma:

/ = |/$| + u?/'@'

(3.70)

onde /$ maior valor de resposta do elemento dentre os modos considerados e /' so os demais valores de resposta do elemento .

Localizao Direo Aa Va

Vertical 1,0 A0 1,0 A0

Travs 0,2 A0 0,2 A0

Longitudinal 0,1 A0 0,1 A0

Elstico

Chapeamento

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4 Modelos

Este captulo ir tratar da caracterizao das estruturas estudadas. Um modelo simplificado de 1 grau de liberdade foi feito a fim de se verificar a aplicao do DDAM. Em seguida, um modelo de viga engastada foi avaliado dinamicamente por 2 abordagens distintas, uma analtica e outra pelo mtodo de elementos finitos (ANSYS) para se avaliar novamente a aplicao do DDAM. Por fim, um modelo simplificado do vaso do reator foi feito no software ANSYS com a aplicao do DDAM.

4.1 Aplicaes do DDAM

Primeiramente, foram criados os espectros de choque de projeto definidos NRL, e, uma vez conhecidos os modos e frequncias naturais, pode se calcular os espectros de resposta provenientes de um choque. Em um primeiro momento o modelo estudado foi um modelo analtico de um sistema de 1 grau de liberdade qualquer fixado no casco, descrito pela NSSC.

Em seguida, o DDAM foi aplicado a um modelo em elementos finitos de viga engastada (ANSYS) para uma comparao de resultados com exemplos da literatura e com um modelo analtico. Os conceitos tericos que fundamentam essa soluo analtica da dinmica de uma viga sero explicitadas nesse captulo tambm.

Por fim, o vaso do reator foi modelado no ANSYS, atravs de 2 abordagens diferentes a fim de se conhecer a dinmica do vaso, e se verificar a aplicao do DDAM em uma estrutura mais complexa. Em uma delas, o vaso foi representado por elementos de viga tubulares, enquanto o outro modelo utilizou-se de elementos slidos para compor a geometria da estrutura.

4.2 Viga Engastada

Um dos casos estudados foi a anlise de uma viga engastada submetida a uma excitao transversal em sua base. Este exemplo foi realizado de acordo com o trabalho de Abbey, T. & Weinberg, D., da Noran Engeneering.

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Figura 8 - Caractersticas da viga Adaptado de Abbey & Weinberg

O trabalho faz uma aplicao direta do DDAM em uma viga engastada a fim de se verificar a aplicao do mtodo e os resultados que ele gera. Sendo assim, um estudo analtico da dinmica da viga foi feito para dar sustentao ao modelo em elementos finitos que tambm foi desenvolvido no ANSYS.

A abordagem analtica desse problema foi realizada de duas formas. A primeira delas foi considerando a viga como uma estrutura contnua e a segunda, como um sistema de massas concentradas. Seguem as modelagens matemticas para ambos os casos.

4.2.1 Modelagem analtica Sistema de Massa Concentradas

Levando essa definio para um sistema com mltiplos graus de liberdade no-amortecido, considera-se a equao do movimento:

?@ + ?@ = ?@

onde o carregamento, nesse caso, uma acelerao na base da estrutura

?@ = {}?@

e o vetor {} representa a direo na qual se d a acelerao da base. Relembrando o captulo 3.6, transforma-se a equao do movimento para

coordenadas generalizadas que, para o modo , resulta em: ?@ + ?@ = ?@

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onde = 6 q 6, = 6q 6 e ?@ = 6q {}?@. Dessa forma, determina-se a resposta de cada modo a partir dos resultados

para um sistema de 1 G.L. Utilizando a resposta de um sistema pela Integral de Duhamel tem-se :

?@ = 14 | ?=@ sen 4? =@ "=, Substituindo o valor de , a resposta do sistema em coordenadas

generalizadas fica:

?@ = 6q {}4 | ?=@ sen 4? =@ "=,

Utilizando agora a definio de espectro de choque (3.52), a resposta em coordenadas generalizadas, para o modo , obtida: = 4

(4.1)

onde o espectro de choque de velocidade do modo , e = 6q {}. Utilizando um espectro de acelerao, a equao fica:

= !

(4.2)

E, portanto, o vetor deslocamento da estrutura, no modo , obtido pela multiplicao do modo de vibrao 6.

?@ = 6 ?@ importante ressaltar que o autovetor, nesse caso, normalizado pela matriz

de massa, ou seja:

6 q (x 6(x = 1 onde 6(x = + 6 o autovetor normalizado pela matriz de massa.

42

Dessa forma, a massa modal unitria em todos os modos, simplificando os clculos das respostas. Sendo assim, deve-se multiplicar o autovetor 6 por uma constante +, de modo que a massa modal seja unitria.

Assim,

+ = 1 6 6 Uma vez calculado os autovetores normalizados, pode-se obter no s os

vetores deslocamento, mas tambm as foras e momentos que atuam na estrutura quando esta submetida a um carregamento de choque e tem seu espectro de resposta conhecido.

Nesse caso, as foras elsticas provenientes do carregamento podem ser calculadas a partir dos deslocamentos e da rigidez da estrutura:

2?@ = ?@ = 7 v?@ Mas, as foras elsticas tambm podem ser expressas em funo das foras

de inrcia do sistema, segundo a relao imposta na equao (3.6):

7 = 7 onde a matriz diagonal das frequncias quadrticas 4. Logo,

2?@ = 7 v?@ = 7 4 ?@ Mas, o espectro utilizado no DDAM um valor mximo e no depende do

tempo. Alm disso, o mtodo fornece como parmetro o espectro de acelerao para o clculo da resposta dinmica do sistema. Logo, o vetor fora elstica do modo pode ser calculado como sendo: 2 = 6 ! = 23$

Uma vez conhecida a distribuio das foras pelos elementos do sistema, a fora cortante -, na base da estrutura calculada por:

43

-, = u 3$HC = 23$

onde um vetor linha de valores unitrios. Nota-se tambm que: 7 = C F

Logo, a fora cortante -, pode ser expressa como: -, = u

HC !

(4.3)

E o momento fletor *, no engaste da viga : *, = 23$ = 6 !

(4.4)

onde um vetor linha composto pelas distncias da massa em relao base. 4.2.2 Modelagem analtica Viga Contnua

Segundo Clough (2003), a equao do movimento que rege a dinmica de um sistema contnuo em vibrao livre escrita da seguinte forma:

01 ?, @ + % ?, @ = 0 onde 01 a rigidez a flexo do sistema e % a massa por unidade de comprimento, que, nesse caso, so constantes. Essa equao obtida pelo equilbrio de foras e momentos de um elemento infinitesimal " da viga analisada.

Dividindo a equao por 01, e adotando outra notao, a eq. (4.4) fica: ?, @ + %01 ?, @ = 0

(4.5)

Mas, como % 01 constante, uma forma de se obter a soluo para essa equao separando as variveis da funo ?, @. Assim:

?, @ = 8?@?@

(4.6)

44

onde 8?@ uma funo de forma e ?@ uma amplitude que varia no tempo. Substituindo na eq. (4.5), tem-se:

8?@?@ + %01 8?@ ?@ = 0

(4.7)

Dividindo por 8?@?@, a eq. (4.7) resulta em: 8?@8?@ + %01 ?@?@ = 0

(4.8)

Como o primeiro termo da equao (4.8) depende apenas de e o segundo termo uma funo de apenas, a soluo dessa equao pode ser satisfeita por valores arbitrrios de e somente se cada um dos termos forem constantes e de acordo com:

8?@8?@ = %01 ?@?@ = !

(4.9)

onde a constante designada na forma ! por convenincia matemtica. Essa equao resulta em duas equaes diferenciais ordinrias:

?@ + 4F?@ = 0

(4.10)

8?@ !8?@ = 0

(4.11)

onde

4 !01% A soluo para a equao (4.11) da forma:

8?@ = exp ?S@ Substituindo, tem-se,

?S !@ exp?S@ = 0 onde S = ! e S = !.

45

Incorporando as razes na equao e compondo a resposta, pode-se obter:

8?@ = C exp?!@ + F exp?!@ + M exp?!@ + exp ?!@ onde C, F, M e so constantes complexas. Expressando as funes exponenciais em termos das funes trigonomtricas e hiperblicas equivalentes, e anulando a parte imaginria, tem-se:

8?@ = +Ccosh?!@ + +F cos?!@ + +M senh?!@ + +ST?!@ onde agora +C, +F, +M e + so constantes reais e dependem das condies de contorno do problema.

Do equilbrio de foras e momentos do elemento, pode se deduzir tambm:

*?, @ = 01?, @ -?, @ = *?, @