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distribuzione normaledistribuzione normale
Si tratta della più importante distribuzione di variabili continue, in quanto:
1.1. si può assumere come comportamento di molti fenomeni casuali, tra cui gli errori accidentali;
2.2. è la forma limite di molte altre distri-buzioni di probabilità;
3.3. trasformando opportunamente delle v.c.non normali, si possono ottenere nuove variabili distribuite normalmente;
4.4. sotto determinate condizioni, delle somme di v.c. possono essere approssimate da una distribuzione normale (teorema del limite centrale).
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distribuzione normaledistribuzione normale
Una v.c. con media µ e varianza σ2
(parametri della distribuzione) ha una distribuzione normale se la sua densità èdata da
( )2
21
21 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−= σ
µ
πσ
x
exf
dove:
π costante = 3,146...
σ deviazione standard
( )2µ−x scarto dalla media elevato al quadrato
e base di logaritmi naturali = 2,183...
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Rappresentazione grafica della distribuzione normale con media µ = 3 e varianza σ2 = 4
distribuzione normaledistribuzione normale
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proprietproprietàà
1. la distribuzione normaledistribuzione normale è una distribuzione continua, con valori compresi tra -∞ e +∞;2. la curva da essa descritta è simmetrica rispetto alla media (punto di ordinata massima): ( )µf3. per valori di X che vanno a -∞ oppure a +∞ la curva tende a zero senza mai toccare l’asse delle ascisse (la probabilità di ottenere valori “molto” lontani dalla media è “molto bassa”);
5. presenta due punti di flesso in corrispon-denza a µ -σ e µ+σ, punti in cui la curva da convessa diventa concava.
4. è crescente per valori di X che vanno da -∞ a µ, decrescente per i valori da µ a +∞
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ruolo dei parametri µ e σ(1/2)
• µ è la media della normale (la punta della campana) è un indicatore di posizione. Il suo variare “sposta” la campana sulla retta dei valori
• σ2 è la varianza è un indicatore di dispersione, è legata all’”apertura” della campana (valori più alti indicano distribuzioni più disperse).
…
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ruolo dei parametri µ e σ(2/2)
Variazioni di µ
Variazioni di σ
µ=0, σ2=1
µ=0, σ2=9
µ=2, σ2=1
µ=2, σ2=9-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.05
0.1
0.15
0.2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.05
0.1
0.15
0.2
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distribuzione normale distribuzione normale standardizzatastandardizzata
Si tratta di una distribuzione semplificata, e che consente di tabulare i valori di probabi-lità in apposite tavole;
si ottiene mediante una trasformazione dei dati con la formula
( )σ
µ−=
Xz
di conseguenza la funzione di densitàdiventa:
( )2
21
21 z
exf−
=π
con µ = 0 e σ = 1.
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proprietproprietàà
1. la distribuzione normale standardizdistribuzione normale standardiz--zatazata è una distribuzione continua, con valori compresi tra -∞ e +∞, con media zero e deviazione standard 1;
2. la curva da essa descritta è perfettamente simmetrica rispetto al punto di ordinata massima: 3. per valori di X che vanno a -∞ oppure a +∞ la curva tende a zero senza mai toccare l’asse delle ascisse;
5. presenta due punti di flesso in corrispon-denza a -1 e +1, punti in cui la curva da convessa diventa concava.
4. è crescente per valori di X che vanno da -∞ a 0, decrescente per i valori da 0 a +∞
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tavole della normaletavole della normale
I valori delle aree della distribuzione normale standardizzata sono tabulati in apposite tavole;
tali tavole vengono utilizzate per due scopi:
a) per calcolare l’area compresa tra due determinati valori della variabile studiata;
b) per determinare la proporzione di punteggi compresi tra due valori di una variabile casuale (distribuita normalmente)
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la tavola della normalela tavola della normale
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esempio 3esempio 3Supponiamo di voler calcolare l’area compre-sa tra le ordinate z = 0z = 0 e z = 1,96z = 1,96.
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la tavola della normalela tavola della normale
L’area compresa tra z = 0 e z = 1,96è 0,475
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esempio 4esempio 4Supponiamo di voler calcolare l’area compre-sa tra le ordinate z = z = --11 e z = +1z = +1
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esempio 4esempio 4(2)(2)Dalla lettura della tavola rileviamo che l’area compresa tra z = 0z = 0 e z = +1z = +1 è pari a 0,3413;
dal momento che la curva è simmetrica e centrata sullo zero, l’area compresa tra z = z = --11e z = 0 z = 0 sarà identica e pari anch’essa a 0,3413;
per ottenere l’area cercata sarà sufficiente sommare le due aree:
0,3413 + 0,3413 = 0,6826
0,6826
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esempio 5esempio 5Data una serie di 500 punteggi distribuiti normalmente con media 100 e deviazione standard 15, si stimi quanti possano essere i punteggi compresi tra 88 e 130.
• calcoliamo i punti zeta corrispondenti a 88 e 130, che saranno:
( ) 8,015
1008888 −=−
=z
( ) 215
100130130 +=−
=z
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esempio 5esempio 5(2)(2)
• dalla lettura delle tavole ricaviamo che l’area compresa tra z = z = --0,80,8 e z = 0z = 0 è pari a 0,2881;
• l’area compresa tra z = 0z = 0 e z = +2z = +2 è 0,4772;
• l’area complessiva tra z = z = --0,80,8 e z = +2z = +2 sarà0,2881 + 0,4772 = 0,7653;
• tale valore 0,7653 può essere letto sia come proporzione dei casi compresi tra i valori 88 e 130, sia come la probabilità che il punteggio di un soggetto cada all’interno di tale intervallo;
• in conclusione, per ottenere il numero di punteggi che ci si attende nell’intervallo com-preso tra 88 e 130 si calcola:
38365,3825007653,0 ≅=×
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distribuzione chidistribuzione chi--quadratoquadrato
Si tratta di una distribuzione continua con densità data dalla relazione:
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
= 2222
21 χν
ν χχ eCf
dove:
( )νC costante tale da assicurare che l’area delimitata sotto la curva sia pari a 1
ν gradi di libertà della distribuzione
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distribuzione chidistribuzione chi--quadratoquadrato
Quando νν = 1= 1 il grafico della curva è
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distribuzione chidistribuzione chi--quadratoquadrato
Quando νν = 2= 2 il grafico della curva è
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distribuzione chidistribuzione chi--quadratoquadrato
Quando νν = 3 = 3 il grafico della curva è
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proprietproprietàà
1.1. la distribuzione distribuzione χχ2 2 è una distribuzione continua, con valori compresi tra 0 e +∞;
2.2. al crescere dei gradi di libertà la curva tende ad assumere la forma della normale;
3.3. dato che la v.c. χ2 è generata da una somma dei quadrati di n valori indipen-denti di una v.c. normale standardizzata, quando tali valori non sono indipendenti ènecessario stabilire le condizioni che li vincolano; sottraendo ad n tali vincoli, si ottiene il numero di gradi di libertà, cioèil numero di valori, tra loro indipendenti, della v.c. normale standardizzata.
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distribuzione t di Studentdistribuzione t di Student
Si tratta di una distribuzione continua con densità data dalla relazione:
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
21
2
1
ν
νtCtf
dove:
C costante tale da assicurare che l’area delimitata sotto la curva sia pari a 1
ν gradi di libertà della distribuzione
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distribuzione t di Studentdistribuzione t di Student
Quando νν = 1= 1 il grafico della curva è
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distribuzione t di Studentdistribuzione t di Student
Quando νν = 10 = 10 il grafico della curva è
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proprietproprietàà
1.1. la distribuzione tdistribuzione t è una distribuzione continua, con valori compresi tra -∞ e +∞;
2.2. si rivela particolarmente utile nello studio di fenomeni casuali relativi a campioni piccoli (n < 30);
3.3. il valore dei gradi di libertà è dato da νν = n = n -- 11
4.4. con νν →→ ∞∞ la distribuzione tende alla distribuzione normale
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distribuzione F di distribuzione F di SnedecorSnedecor
Si tratta di una distribuzione continua con densità data dalla relazione:
( ) ( )2
2
1
2
,21
11
21
1
νν
ν
νν
νν
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
−
F
FCFf
dove:
( )21 ,ννC costante tale da assicurare che l’area delimitata sotto la curva sia pari a 1
21,νν gradi di libertà della distribuzione
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distribuzione F di distribuzione F di SnedecorSnedecor
Quando νν11 = 2 = 2 e νν22 = 4= 4 il grafico della curva è
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distribuzione F di distribuzione F di SnedecorSnedecor
Quando νν11 = 4 = 4 e νν22 = 4= 4 il grafico della curva è
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distribuzione F di distribuzione F di SnedecorSnedecor
Quando νν11 = 12 = 12 e νν22 = 12= 12 il grafico della curva è
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proprietproprietàà
1.1. la distribuzione Fdistribuzione F è una distribuzione continua, con valori compresi tra 0 e +∞;
2.2. si dimostra che il rapporto tra due varianze campionarie si distribuisce con questa forma;
3.3. con νν11 = 1 = 1 e νν2 2 →→ ∞∞ la distribuzionetende alla normale standardizzata
4.4. con νν11 = 1 = 1 e νν2 2 = = νν la distribuzione èuguale alla distribuzione t di Student
5.5. con νν11 = = νν e νν2 2 →→ ∞∞ la distribuzionetende a quella del χ2