Distancia entre dos secuencias: Jukes - Cantor

posición j

posición j

posición j

k

1s

2sSecuencia 1 Secuencia 2

¿Con qué probabilidad puede ocurrir que en la secuencias 1 y 2 observadas aparezcan las bases s 1 y s2 en la posición j, suponiendo que evolucionaron de una secuencia común, y se desconoce la base en la posición j de la secuencia original? De otra forma, cuál es la verosimilitud de las bases s1 y s2 en estas dos secuencias?

)()()( 2

4

11 21

vpvpjL skk

skk

1v2v

Longitud de tiempo generacional

Longitud de tiempo generacional

Probabilidad de que la base original sea k

Probabilidad de mutar desde k hasta s1 en el tiempo v1

Probabilidad de mutar desde k hasta s2 en el tiempo v2

Si la secuencia original tiene m sitios entonces

m

j

jLL1

)(

posición j

posición j

posición j

k

ACSecuencia 1 Secuencia 2

1v2v

Longitud de tiempo generacional

Longitud de tiempo generacional

Para ver como se calcula la verosimilitud veamos un caso particular

)()()()(

)()()()()(

2121

2121

vpvpvpvp

vpvpvpvpjL

TCTATGCGAG

CCCACACAAA

Recordemos que iii ppTp )1()( ijpTp jji ;)(

Tp )1(1 Te 1

)()()()(

)()()()()(

2121

2121

vpvpvpvp

vpvpvpvpjL

TCTATGCGAG

CCCACACAAA

CATCAG

CACCAA

pppp

ppppppjL

2121

221211 )1()1()(

iii ppTp )1()( ijpTp jji ;)(

ivip )1(1 ive 1

CA ppppjL )()( 2121

)1()( )( 21 vvCA ejL

)1()( )( 21 vvCA ejL

posición j

posición j

posición j

k

ACSecuencia 1 Secuencia 2

1v2v

Longitud de tiempo generacional

Longitud de tiempo generacional

Este resultado es asombroso, bajo el modelo que hemos aceptado. Nos dice que la verosimilitud de las dos secuencias depende del tiempo v1 + v2 y no del valor de la base en el nodo inicial. Dicho de una manera más gráfica: el árbol no tiene raíz (en el proceso de estimación de los parámetros).

Trabajaremos entonces con las dos secuencias

Secuencia 1

Secuencia 2

Supongamos que4

1i

4

1p

4

1)1( pp

4

34 p

=

Mutar y asumir una base

No mutar o mutar pero elegir la misma base

m bases

s coincidencias

smspp

L

44

34

Función de verosimilitud

¿Para qué valor de p esta función de verosimilitud es máxima?

smspp

L

44

34

m

smp

p

L

3

)(4ˆ0

Estimador máximo verosímil

vem

sm

13

)(4vep 1ˆ

14

3ln

4

3ln

qms

muv

m

sq

Porcentaje de aciertos

Número esperado de mutaciones en el tiempo v

Descripción de la distancia de Jukes-Cantor de manera ingenua…

14

3ln

4

3ln

qms

mv

Hay 16 posibles mutaciones de las cuales 12 son observables, ¿de acuerdo?

AT

C

G

Luego la distancia “mutacional” esperada será

Kq

v

14

3ln

4

3

4

3