distancias lunares

Índice general

1. Distancias Lunares 31.1. Introducción. El problema de medir la longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Distancia lunar. Nomenclatura utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Obtención de la distancia lunar verdadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Correcciones de los ángulos medidos con el sextante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Distancia lunar calculada y obtención de la hora TU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Como medir una distancia lunar en la práctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7. Un ejemplo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8. Métodos aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.9. Longitud a partir de unas lunares: Un día de navegación a la antigua . . . . . . . . . . 301.10. Lunares sin medir alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.11. Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2. Un método alternativo 382.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2. Cálculo del error del cronómetro y de la longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3. Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. Apéndice: La Luna 46

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Capítulo 1

Distancias Lunares

On the forty-third day from land, a long time to be at sea alone, the sky being beautifully clear andthe moon being in distance with the sun, I threw up my sextant for sights. I found from the result ofthree observations, after long wrestling with lunar tables, that her longitude by observation agreed with-in five miles of that by dead reckoning. I sailed on with self-reliance unshaken, and with my tin clockfast asleep. The work of the lunarian, though seldom practiced in these days of chronometers, is beauti-fully edifying, and there is nothing in the realm of navigation that lifts ones heart up more in adoration.

Joshua Slocum, Sailing Alone Around the World, 1896

1.1. Introducción. El problema de medir la longitudAl menos desde la época de Ptolomeo1, que publicó hacia el año 150 DC su Atlas Mundial com-

puesto por veintisiete mapas, se conocen los conceptos de latitud y longitud y se utilizan para deter-minar la situación geográfica de un punto. El Atlas Mundial de Ptolomeo incluía el nombre de losdistintos lugares especificando su correspondiente latitud y longitud obtenida de lo que contaban losviajeros, incluyendo para ello paralelos y meridianos. El paralelo cero, origen de las latitudes, era yaen la época de Ptolomeo el ecuador. Las observaciones astronómicas de entonces ya habían indicadoque de manera natural ese es el origen de latitudes. Sin embargo, el meridiano principal, origen de laslongitudes, era (y en realidad es) completamente arbitrario.

Ptolomeo decidió tomar como meridiano cero uno que pasaba por las Islas Canarias. Sin embargo,a lo largo de los siglos siguientes el meridiano origen fue trasladado en repetidas ocasiones hasta quefinalmente quedó fijado en el meridiano de Greenwich. Es evidente que el movimiento de rotaciónde la Tierra establece de manera natural el ecuador como origen de las latitudes puesto que conrespecto al fondo de estrellas fijas el ecuador permanece prácticamente constante. Sin embargo, esamisma rotación es la que hace que el meridiano cero sea completamente arbitrario. Esta es la diferenciafundamental entre latitud y longitud: El origen de la primera lo establece la misma naturaleza mientrasque el meridiano cero se mueve. La consecuencia es que determinar la latitud del barco es muy sencillomientras que la determinación de la longitud cuando el barco se encuentra en el medio del mar es algomucho más complicado que, de hecho, mantuvo ocupados a los mejores pensadores de la humanidaddurante siglos.

La solución al problema de la determinación de la longitud en el mar está, como sabemos, en sercapaces de medir el tiempo con suficiente precisión. En efecto, si somos capaces de saber simultánea-mente la hora local y la hora en un punto de referencia cualquiera de longitud conocida (por ejemplo,la hora en nuestro puerto base o la hora en el meridiano de Greenwich) entonces la diferencia de

1El impulso que se dio a las ciencias, al pensamiento y a las artes en la Grecia Antigua, y después en Alejandríabajo el Imperio Romano, consiguió que los cosmógrafos, astrónomos y matemáticos pudieron desarrollar las primerasideas para la representación científica de la superficie terrestre, es decir, para la creación de mapas. Sin embargo, conrespecto a los mapas griegos, los romanos suponen un retroceso. Las escasas reproducciones medievales que se conservanmuestran una concepción centrista del Mundo Romano, completamente primitiva. El trabajo de Ptolomeo marca, sinduda, el apogeo de la cartografía antigua, pero marca también el final del gran impulso investigador de los alejandrinosen ese campo.

3

CAPÍTULO 1. DISTANCIAS LUNARES 4

Figura 1.1: Mapa Mundi del Atlas Mundial de Ptolomeo. Esta es una reproducción de 1482.

longitud entre el punto de referencia y nuestra situación actual no es más que la diferencia de horaconvenientemente expresada en grados2. Así, si tenemos tabulada en el Almanaque Náutico la horade paso del Sol por el meridiano de Greenwich y somos capaces de medir con precisión la hora a laque pasa por nuestro meridiano, entonces hemos determinado directamente la longitud que será igualal horario en Greenwich del Sol en el momento de la meridiana o, en otras palabras, a la diferencia dehoras expresada en grados.

Por contra, la determinación de la latitud es mucho más sencilla y no requiere una medición precisade la hora. En efecto, la latitud puede determinarse a partir de la altura meridiana de una estrellaconocida, dependiendo solamente del valor de la altura meridiana y de la declinación de la estrella quees prácticamente constante. Si la estrella utilizada es la Polar, entonces las cosas son aun más sencillasporque la declinación de la Polar es de prácticamente 90o así que la latitud coincide con la altura dela estrella sobre el horizonte. Incluso si utilizamos la altura meridiana del Sol en lugar de una estrellano necesitamos una medición precisa de la hora del tránsito del Sol puesto que su declinación varíade manera suficientemente lenta como para que la precisión en la hora no sea relevante. Así en laépoca de Colón en la que, evidentemente, no existían relojes útiles para la navegación astronómica,se navegaba siguiendo el dicho de paralelo correr tierra encontrar, es decir, se determinaba la latitudmidiendo la altura de un astro utilizando instrumentos como la ballestilla de la la figura 1.2 y entoncesse navegaba a rumbo esencialmente E ó W siguiendo el paralelo.

En definitiva, la determinación de la latitud fue un problema resuelto mucho antes que el cálculo dela longitud. Y ello porque este último está ligado a la cuestión, nada trivial, de la medición del tiempo.A lo largo de la historia se desarrollaron numerosos métodos, unos mecánicos otros astronómicos, conel objeto de ser capaces de determinar la hora con la mínima precisión requerida para el cálculo de lalongitud. El método de las distancias lunares fue, posiblemente, el más elaborado y más extendido delos métodos utilizados, antes de la invención del cronómetro, para determinar la hora y, con ello, lalongitud del barco. Medir una distancia lunar consiste en medir el ángulo entre la Luna y otro cuerpoceleste conocido, según el arco de círculo máximo que pasa por ambos astros. Explicar cómo se obtienela hora TU a partir de esa medida, así como otras cuestiones relacionadas con cómo se navegaba antesde la invención del cronómetro, es el objetivo básico de estas notas.

2Ya sabes: La Tierra da una vuelta, o sea, 360o, en 24 horas. Así que a cada hora de diferencia le corresponden 15o

de diferencia de longitud.


Figura 1.2: Ballestilla. Uno de los primeros instrumentos utilizados para medir la altura de un astrosobre el horizonte y, a partir de ella, determinar la latitud.

1.2. Distancia lunar. Nomenclatura utilizadaComo acabo de mencionar al final de la sección anterior, medir una distancia lunar consiste en

medir el ángulo entre la Luna y otro cuerpo celeste conocido, según el arco de círculo máximo quepasa por ambos astros, como se indica esquemáticamente en la Figura 1.3.

Como siempre que se toma una medida con el sextante, el siguiente paso será aplicarle las correc-ciones necesarias de modo que obtengamos, a partir de la medida realizada, la magnitud verdaderacorrespondiente que podamos comparar con el valor de esa magnitud calculada (estimada) y, de esacomparación, podamos extraer la información que nos interesa. Así en la práctica habitual de lanavegación astronómica medimos la altura de un astro. Aplicamos todas las correcciones necesarias yobtenemos la altura verdadera. Esa altura verdadera comparada con la altura estimada (la que tendríael astro si de verdad estuviésemos en la situación de estima en la que creemos estar), junto con elazimut del astro, nos permite trazar la recta de altura que es una línea de posición del barco. En elcaso de medir una distancia lunar, como la indicada por d en la figura 1.3, tendremos que proced-er a limpiar esa distancia lunar aplicándole las correcciones necesarias de modo que obtengamos elcorrespondiente valor D, la distancia lunar verdadera, que vería un observador situado en el centrode la Tierra a través de un planeta transparente y sin atmósfera. Pero limpiar una distancia lunar esbastante más elaborado que limpiar una medida de la altura de un astro (que ya hemos aprendido ahacer en el curso de Introducción a la Navegación Astronómica). La razón es que las correcciones porrefracción y por paralaje (esta última muy importante en el caso de la Luna debido a su proximidad)afectan, como sabemos, a la altura aparente de los astros sobre el horizonte, mientras que la distancialunar d está medida a lo largo de un círculo máximo orientado oblicuamente con respecto al horizonte.De este modo el cálculo del efecto de la refracción y del paralaje sobre d ha de hacerse indirectamente,haciendo necesario, como veremos seguidamente, conocer no sólo d sino también las alturas de la Lunay del otro astro. La notación que utilizaremos en el proceso de corrección de la distancia lunar medidahasta obtener la distancia lunar verdadera es la siguiente:


d

m

s

Figura 1.3: Distancia lunar.

Notación SignificadoEi Error de índice del sextante.Dp Corrección por depresión del horizonte.SD Semidiámetro.R Corrección por refracción.P Corrección por paralaje.m Altura aparente de la Luna: Altura medida corregida solamente por Ei, Dp y

SD.s Altura aparente del otro astro: Altura medida corregida solamente por Ei, Dp

y SD (solo si se trata del Sol, obviamente).d Distancia lunar aparente: Distancia lunar medida corregida solamente por Ei

y SD de la Luna y del Sol en su caso. No hay que corregir por Dp puesto que elhorizonte no interviene en esta medida.

M Altura verdadera de la Luna: Altura medida con todas las correcciones aplicadas.Es decir, m corregida por R y P .

S Altura verdadera del otro astro: Altura medida del otro astro con todas lascorrecciones aplicadas. Es decir, s corregida por R y P .

D Distancia lunar verdadera: Este es el objetivo de nuestro cálculo. A partir de élobtendremos la hora TU.

La diferencia entre m y M y entre s y S es que las segundas contienen ya las correcciones porrefracción y paralaje. La corrección por refracción es siempre negativa (la refracción de la luz porlas capas de la atmósfera hace aparecer al astro más alto de lo que en realidad está). Por contra,la corrección por paralaje es siempre positiva. En el caso de la Luna, la corrección por paralaje esmuy grande (puede llegar a superar un grado). Sin embargo, para los otros astros, el Sol incluido, lacorrección por paralaje es muy pequeña o despreciable. Por tanto, en general tendremos que M > my que S < s.


1.3. Obtención de la distancia lunar verdaderaEn esta sección vamos a explicar cómo se puede corregir d por refracción y paralaje con el fin de

obtener la distancia lunar verdadera D. Para ello comenzamos por representar la situación sobre laesfera celeste. Si llamamos Cm = 90o − m y Cs = 90o − s a los ángulos complementarios de m y s,respectivamente, entonces la situación es la representada en la figura 1.4.

Z

ZCm

Cs

d

∆

Horizonte

Figura 1.4: Relación entre las alturas aparentes y la distancia lunar aparente.

Puesto que todos los lados del triángulo zenit-Luna-astro son círculos máximos, podemos utilizarlos teoremas de la trigonometría esférica para resolverlo. En particular, el ángulo ∆Z en el zenit Z,que es la diferencia de azimutes entre la Luna y el astro, se puede calcular muy fácilmente utilizandoel teorema de los cosenos. Así obtenemos:

cos d = cosCm cosCs + sinCm sinCs cos∆Z (1.1)

Teniendo en cuenta ahora que cos(90o − α) = sin α y que sin(90o − α) = cosα para cualquier ánguloα, podemos escribir la ecuación anterior como:

cos d = sin m sin s + cosm cos s cos∆Z,

así que, finalmente,

cos∆Z =cos d − sin m sin s

cosm cos s(1.2)

ecuación que nos da la diferencia de azimutes entre la Luna y el otro astro utilizado en función de lasalturas y la distancia lunar aparentes.

Ahora viene el segundo paso en el proceso de limpieza de la distancia lunar medida con el objetivode obtener la distancia lunar verdadera D: Ya hemos tenido en cuenta todas las correcciones necesariasexcepto refracción y paralaje. Este segundo paso consiste en incorporar el efecto de ambas en el cálculo.

Pero, como ya he comentado anteriormente, tanto R como P producen desplazamientos del astroa lo largo de su vertical (los círculos máximos representados en color verde en las figuras), así queR y P no modifican el valor del ángulo ∆Z que forman ambos verticales en el cenit. La situaciónes entonces la representada en la figura 1.5 en la que D es la distancia lunar verdadera, objetivo denuestro cálculo, CM y CS son los complementarios de M y S, las alturas verdaderas (incluyendo todas


Z

Z

D

∆CM

CS

d

Horizonte

Figura 1.5: El efecto de la refracción y el paralaje. El efecto neto de R y P es incrementar la alturaaparente de la Luna y disminuir la altura aparente del otro astro. Se ha representado con líneasdiscontinuas la posición de ambos astros antes de corregir sus alturas por refracción y paralaje.

las correcciones) de la Luna y el otro astro, y ∆Z sigue dado por la ecuación (1.2). Aplicando de nuevoel teorema de los cosenos, tenemos:

cosD = cosCM cosCS + sin CM sin CS cos∆Z (1.3)

y volviendo a utilizar de nuevo que cos(90o − α) = sinα y que sin(90o − α) = cosα, sustituyendoademás cos∆Z por el resultado (1.2), encontramos:

cosD = sin M sin S + cosM cosScos d − sinm sin s

cosm cos s(1.4)

que es el resultado final buscado, conocido como la fórmula de Young para limpiar la distancia lunar(J. R. Young, Practical Astronomy, 1856). Teniendo en cuenta que cos(a + b) = cosacosb − sinasinbpara cualquier par de ángulos a y b, la ecuación anterior puede expresarse también de la siguientemanera:

cosD =(cos d + cos(m + s)) cosM cosS

cosm cos s− cos(M + S) (1.5)

que es la ecuación realmente conocida como fórmula de Young aunque no es más que una simplemanipulación algebraica de la ecuación (1.4) siendo, por tanto, completamente equivalente a ella.

En resumen, para corregir una distancia lunar medida con el sextante y obtener la distancia lunarverdadera a partir de la cual obtendremos la hora TU correspondiente al instante de la medición,lo que hemos de hacer es, simplemente, obtener las alturas y distancia lunar aparentes, m, s y d,obtener seguidamente las alturas verdaderas M y S y aplicar la fórmula de Young en su variante (1.4)o (1.5) según prefiramos. Para hacerlo necesitamos conocer cada una de las correcciones a aplicarseparadamente que podrás encontrar en la sección siguiente.

1.4. Correcciones de los ángulos medidos con el sextanteComo acabamos de comentar en la sección anterior, el cálculo de la distancia lunar verdadera a

partir de la distancia lunar instrumental requiere el conocimiento de cada una de las correcciones


que es necesaria aplicar a una altura instrumental, o sea, la medida con el sextante, para obtener lacorrespondiente altura verdadera que es la que utilizamos en los cálculos. Como sabemos bien porla práctica habitual de la navegación astronómica, estas correcciones nos las facilita el AlmanaqueNáutico, pero las facilita de una manera que no es útil para nuestro propósito actual puesto que paraastros como el Sol o la Luna proporciona sumadas en un único valor correcciones como las debidasa la refracción, al semidiámetro y al paralaje, correcciones que nosotros necesitamos conocer, segúnacabamos de ver en la sección anterior, separadamente. Por ello en esta sección indicaré la manera deobtener cada una de esas correcciones independientemente, aunque no entraré en ningún caso en ladiscusión del origen de las distintas ecuaciones, discusión que no sería nada trivial dado que requiereformular modelos de la atmósfera y el estudio de la propagación de la luz en ella en el caso de la cor-recciones por refracción y por depresión del horizonte, o necesita de complejos cálculos astronómicosen el caso de las correcciones por semidiámetro y paralaje, ambos aspectos completamente fuera delalcance de estas simples notas. Así que esta sección no es otra cosa que un formulario con vistas arecopilar la información necesaria para llevar a cabo el cálculo de la distancia lunar verdadera. Muchade la información contenida en esta sección es una reproducción exacta de la correspondiente seccióndel curso de Introducción a la Navegación Astronómica. Se ha incluido de nuevo aquí con el fin dehacer de estas unas notas autocontenidas.

Corrección por error de índice Ei.El sextante, como cualquier instrumento de medida, está sujeto a errores sistemáticos, debidos a defi-ciente construcción o a un pobre ajuste, que introducen un error en el valor medido de la altura de unastro. Este error, que se debe fundamentalmente a la falta de perpendicularidad de los espejos con elplano del limbo, se llama error de índice, Ei . Es importante aprender a determinar el error de índiceque afecta a nuestro sextante, de modo que podamos introducir la corrección correspondiente a losángulos que medimos con él. Con un poco de práctica se aprende también a ajustar los espejos demodo que Ei se hace muy pequeño e, incluso, se consigue eliminar (consulta el curso de Introduccióna la Navegación Astronómica). No obstante esto último, nunca hemos de medir con el sextante sinantes determinar el correspondiente error de índice, que anotaremos al lado de la lectura con el fin decorregir ésta adecuadamente. Esto es especialmente necesario cuando se utilizan sextantes de plásticoen lugar de los metálicos de alta calidad (y mucho más alto precio) pues los primeros se ven muchomás afectados por las dilataciones y contracciones que provocan los cambios de temperatura (especial-mente en medidas de la altura meridiana del Sol a mediodía). Estas dilataciones, por pequeñas quesean, modifican lo suficiente la perpendicularidad de los espejos como para introducir un Ei apreciableen un sextante que hubiésemos ajustado apropiadamente solo unas horas antes.

¿Cuál es el signo de Ei?. Pues esto es sencillo. Si el sextante tiene un error de índice Ei entoncesla marca de la alidada, una vez alineadas las imágenes, ya no coincidirá con los 0◦ del limbo sino quenos estará indicando dónde deberían estar situados esos 0◦ de la escala del limbo. Si la marca está ala derecha del 0◦ del limbo entonces las lecturas hechas en la escala del sextante serán menores que loque deberían ser y, por tanto, para corregir hemos de tomar Ei positivo. Por contra, cuando la marcade la alidada está a la izquierda del cero del limbo, las lecturas que hagamos en la escala del limbo sonmayores de lo que deberían ser y, por consiguiente, la corrección Ei debe ser negativa. De esta forma,distinguimos entre la altura instrumental, ai, de un astro (o distancia lunar instrumental), que esla altura (distancia) tal cual la leemos del sextante sin corregir, y la altura (distancia) observada,ao, que es la altura (distancia) instrumental corregida por el error de índice:

ao = ai + Ei

Corrección por depresión del horizonte Dp.Supongamos que queremos medir la altura verdadera (es decir, con respecto al horizonte astronómico)de una estrella lejana. Dada la enorme distancia a las estrellas, los rayos de luz procedentes de ellasque llegan al observador se pueden considerar paralelos a los que llegarían al centro de la Tierra (yaveremos después como se corrige esto cuando el astro en cuestión está mucho más próximo, como elSol o la Luna, y esta afirmación deja de ser cierta).


Tierrahorizonte astronomico

observador

horizonte aparente

Luz desde

a

a estrella lejana

Figura 1.6: Medida de la altura de un astro.

Por tanto, examinando la figura 1.6, es claro que el valor a de la altura se puede medir tanto enel centro de la Tierra, con respecto al horizonte astronómico, como en la posición del observador, conrespecto al horizonte aparente. El resultado es el mismo. Pero cuando medimos la altura de la estrellacon el sextante lo hacemos con respecto al horizonte de la mar y no con respecto al horizonte aparente.La situación se representa en la figura 1.7.

Tropelio

aoDp

ahorizonte aparente

horizonte de la mar

e

Figura 1.7: Corrección por depresión del horizonte.

La altura a deseada se obtendrá entonces a partir de la altura observada con el sextante ao

aplicándole la corrección por depresión del horizonte, siempre negativa, Dp:

a = ao − Dp.

Es evidente que la corrección Dp depende de la elevación, e, del observador sobre la superficie delmar. ¿Cómo obtenemos Dp?. Pues en principio parece un problema geométrico bastante sencillo quepodríamos resolver a partir del valor del radio de la Tierra y de la elevación, e, del observador sobrela superficie del mar. Esto sería así si la Tierra no tuviese atmósfera. Entonces la luz viajaría en línea


recta (como se ha representado en las figuras) y el problema de calcular Dp sería puramente geométrico(y bastante sencillo). Sin embargo, cuando la luz viaja a través de la atmósfera su trayectoria se curvahacia la superficie del planeta. Esto es una consecuencia del hecho de que al variar (disminuir) ladensidad del aire a medida que nos elevamos, varía el índice de refracción y, como es sabido, cuandola luz pasa de un medio a otro con distinto índice de refracción su trayectoria se desvía. Para agravaraún más las cosas, esta variación depende de factores como la temperatura y la presión atmosférica,que son bastante variables. El problema se convierte así en uno bastante complicado y, por supuesto,fuera del alcance de estas notas. Se suponen unas condiciones atmosféricas (presión y temperatura)medias y se resuelve el problema, llegándose a la siguiente solución:

Dp(′ de arco) = 1,7757√

e (1.6)

con la elevación e en metros. En la práctica, como observaremos siempre desde la misma elevación,podemos calcular, como parte de nuestros preparativos igual que determinamos el error de índice delsextante, la corrección por depresión Dp que tendremos que aplicar a todas nuestras alturas.

En cualquier caso, la página 387 del Almanaque Náutico contiene una tabla con los valores de Dppara diferentes alturas del observador. Esa tabla no es más que el resultado de aplicar la ecuación(1.6) anterior.

Corrección por semidiámetro SD.La altura (o distancia lunar) verdadera que hemos de utilizar en los cálculos de navegación ha demedirse con respecto al centro del astro. Sin embargo, cuando observamos el Sol o la Luna, que vemoscon tamaño apreciable, no podemos apreciar el centro del astro con suficiente precisión. Medimosentonces con el sextante su altura (o la distancia lunar) con respecto a uno de sus limbos. En elcaso del Sol, para el que siempre apreciamos ambos limbos, podemos utilizar cualquiera ellos. En elcaso de la Luna, sin embargo, dependiendo de la fase en la que se encuentre, apreciaremos uno desus limbos nítidamente mientras que, en general, no apreciaremos el otro. Así que en el caso de laLuna tendremos que utilizar el limbo que somos capaces de ver perfectamente definido, de lo contrariointroduciremos un considerable error en la medida. Por tanto, para estos dos astros es necesaria unacorrección adicional por semidiámetro que transforme alturas medidas con respecto al limbo en alturasrespecto al centro. Será positiva si medimos la altura del limbo inferior y negativa si lo hacemos dellimbo superior. En el caso de que lo que hayamos medido es una distancia lunar, la corrección serápositiva si medimos la distancia del otro astro hasta el limbo próximo de la Luna y, obviamente, seránegativa cuando midamos la distancia hasta el limbo lejano de la Luna.

Figura 1.8: Corrección por semidiámetro.

Para la precisión necesaria en los cálculos de una recta de altura sólo los semidiámetros del Soly la Luna han de tenerse en cuenta, aunque, estrictamente hablando, Venus y Júpiter pueden llegar


a presentar un semidiámetro apreciable (del orden de 0.5’). En el caso del método de las distanciaslunares, las correcciones deben aplicarse con la mayor precisión posible (debemos trabajar con pre-cisiones de 0.1’) puesto que ello mejorará sensiblemente la precisión final obtenida para la hora TU.Sin embargo, aun así, en la medida práctica de una distancia lunar con uno de estos dos planetas,es tan difícil tangentear utilizando uno de los limbos del planeta que en la práctica se tangentea elcentro aproximado del planeta con el limbo lunar apropiado y no se incluye ninguna corrección porsemidiámetro del planeta. Así que sólo hemos de ocuparnos del semidiámetro de la Luna y, en su caso,del Sol.

Los semidiámetros del Sol y la Luna aparecen, para cada día, tabulados en el Almanaque Náu-tico. Sin embargo, con vistas a conseguir la precisión necesaria en el cálculo de la distancia lunarverdadera, es necesario tener cuidado con esos valores de SD incluidos en el AN, particularmente conel semidiámetro de la Luna. La razón es que los semidiámetros incluidos en el Almanaque son geocén-tricos, es decir, esos valores del semidiámetro corresponden a lo que vería un observador situado enel centro de la Tierra. Cuando de lo que se trata es de calcular una recta de altura esto no representaningún problema puesto que la única altura del astro que necesitamos es la altura verdadera, es decir,la altura con respecto al horizonte astronómico que vería un observador situado en el centro de laTierra. Sin embargo, el cálculo de la distancia lunar verdadera, D, necesita, como hemos visto enla sección anterior, alturas y distancia lunar aparentes, referidas al horizonte aparente trazado en laposición topocéntrica del observador (es decir, sobre la superficie de la Tierra, no en su centro). Esdecir, necesitamos los valores topocéntricos de SD para el Sol y la Luna. ¿Cómo los podemos obtenera partir de los datos del Almanaque?.

Horizonte Astronómico

Tierra

Horizonte Aparente

Semidiámetro topocéntrico

Semidiámetro geocéntrico

Observador

Figura 1.9: Semidiámetros geocéntrico y topocéntrico.

La situación es la representada en la figura 1.9 para el caso particular de la Luna o el Sol situado enel cenit del observador. En esta posición la diferencia entre semidiámetros topocéntrico y geocéntricoses la mayor posible, siendo mayor el semidiámetro topocéntrico que el geocéntrico. Este fenómeno seconoce como aumento del semidiámetro . A medida que la altura aparente del astro disminuye,acercándose al horizonte aparente, esa diferencia va disminuyendo, como puedes apreciar en la figura1.10 en la que se representa la situación cuando la altura aparente del astro es cero.

Fíjate que la figura 1.10 indica claramente que sin PHE = RT /C, donde RT es el radio de la Tierray C la distancia entre los centros de la Tierra y el astro. Por tanto, a medida que la distancia al astrocrece, haciéndose cada vez mayor comparada con el radio de la Tierra, el paralaje horizontal PHE escada vez más pequeño y, evidentemente, la diferencia entre semidiámetros geocéntrico y topocéntricoes también cada vez más pequeña.

El Sol tiene un paralaje horizontal PHE � 0,15′ lo que significa que, dentro de la precisión nece-saria en la práctica del método de las distancias lunares, podemos tomar sin problema el semidiámetrotopocéntrico del Sol igual a su semidiámetro geocéntrico, tabulado cada día en el Almanaque Náutico.


Horizonte Astronómico

PHE

Tierra

Observador

Horizonte Aparente

Semidiámetro topocéntrico

Semidiámetro geocéntrico

Figura 1.10: Semidiámetros geocéntrico y topocéntrico.

La Luna, por el contrario, tiene un paralaje horizontal mucho más grande, en torno a 1o, que,además, cambia apreciablemente con el tiempo. Así que hemos de obtener el semidiámetro topocéntricocon cuidado a partir del valor de PHE correspondiente al instante de interés. Para obtener PHE ala hora de interés lo que haremos en interpolar los datos que incluye el Almanaque. En el caso delAlmanaque español, se incluyen valores de PHE paras las 04, 12 y 20 horas TU de cada día. En otrosAlmanaques, como el inglés y algunos disponibles en la red, se incluye el valor de PHE de la Lunapara cada hora TU. A partir del valor de PHE es muy sencillo obtener el semidiámetro geocéntricoSDgeo. En efecto, si llamamos C a la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna y RL al radiode la Luna, entonces es evidente de la figura 1.10 que:

sin PHE =RT

C. (1.7)

Por otro lado, es también evidente de esa misma figura que:

sinSDgeo =RL

C,

así que combinando ambas ecuaciones obtenemos:

SDgeo = arcsin(

RL

RTsin PHE

)= arc cos(0,2725 sinPHE) ≈ 0,2725PHE (1.8)

donde hemos utilizado el resultado RL/RT = 0,2725 y tenido en cuenta los pequeños valores de losángulos para hacer la última aproximación .

El semidiámetro topocéntrico de la Luna, SDtopo, es bastante más difícil de calcular. Como hadebido quedar claro del análisis de las figuras 1.9 y 1.10, su valor dependerá del paralaje horizontalPHE y, también, de la altura de la Luna y puede expresarse como el semidiámetro geocéntrico, dadopor la ecuación (1.8), multiplicado por el aumento del semidiámetro comentado antes, aumento quees función de la altura de la Luna. La demostración de este cálculo está completamente fuera delos objetivos de estas notas así que me limitaré a dar un resultado que proporciona el semidiámetrotopocéntrico de la Luna con suficiente precisión. Es el siguiente:

SDtopo = 0,2725PHE

(1 +

155

sin a

)(1.9)


donde a es la altura de la Luna medida con el sextante corregida solamente por error de índice ydepresión del horizonte.

Corrección por refracción R.La refracción de la luz procedente de un astro al atravesar la atmósfera provoca que la trayectoria dela luz se desvíe, curvándose hacia la superficie de la Tierra. El resultado es que al mirar al astro lovemos en una posición aparente, a mayor altura sobre el horizonte, en lugar de verlo en su posiciónreal (figura1.11).

Figura 1.11: Efecto de la refracción de la luz sobre la altura de un astro.

Para corregir este efecto tendremos que restar el ángulo R a la altura observada. Como se haexplicado más arriba, el efecto de la refracción es difícil de calcular porque depende de las propiedadesde propagación de la luz en la atmósfera, cálculo que requiere elaborados modelos de la misma y dela interacción electromagnética con ella, en cualquier caso muy lejos de los objetivos de estas notas.Así que, de nuevo, me limitaré a proporcionar las ecuaciones que permiten calcular la corrección R,haciendo notar que para esta corrección podemos también utilizar la tabla de corrección por refracciónque aparece para corregir las alturas observadas de las estrellas en la página 387 del AlmanaqueNáutico.

Si llamamos a a la altura del astro corregida solamente por error de índice, depresión del horizontey semidiámetro (en su caso), entonces:

R0(′arco) =

⎧⎨⎩

0,97127 tan(90o − a) − 0,00137 tan3(90o − a) a > 15o

(34,133 + 4,197a + 0,00428a2)/(1 + 0,505a + 0,0845a2) a < 15o(1.10)

en la que la altura a está expresada en grados. Esta expresión proporciona la corrección R0 (en minutosde arco) para unas condiciones estándar de presión atmosférica (1010 mb) y temperatura (10o C). Auna presión p cualquiera y una temperatura T cualquiera, hemos de introducir un factor corrector fdado por:

f =p(mbar)

1010283

273 + T (oC)(1.11)

de modo que la corrección por refracción, R, es:

R(′) = fR0(′) (1.12)

que ha de restarse siempre a la altura aparente.


Corrección por paralaje P .Cuando el astro que nos interesa no está tan lejos como las estrellas (en la práctica, para el Sol y laLuna) no es cierta la suposición que hacemos para éstas de que es equivalente medir la altura del astroen la posición del observador (con respecto al horizonte aparente) a medirla en el centro de la Tierra.Por contra, la situación es la representada en la figura 1.12.

Tierrahorizonte astronomico

horizonte aparente

observador

va

Pa

Figura 1.12: Paralaje.

El ángulo P se llama paralaje del astro. Es evidente de la figura que la altura verdadera estárelacionada con la aparente a por medio del paralaje: av = a + P . Por consiguiente, la correcciónpor paralaje es siempre positiva. Si te imaginas ahora que alejas progresivamente el Sol de laTierra, te darás cuenta de que el ángulo de paralaje P sería cada vez más pequeño y a y av soncada vez más parecidas. Para las estrellas la distancia es tan grande que la corrección por paralaje esnula. Queda claro entonces que el paralaje es función de la distancia del astro en cuestión a la Tierra.También puedes comprobar, reproduciendo la figura 1.12 y dibujando el astro en dos posiciones a lamisma distancia pero con alturas diferentes, que el ángulo de paralaje P depende también de la alturaa del astro. Puesto que, según la ecuación (1.7), la distancia del astro a la Tierra, C, se puede escribiren función del paralaje horizontal HP, el resultado final será que la corrección por paralaje P seráfunción de PHE y de la altura a. Veamos como calcularla.

Si aplicamos el teorema de los senos en el triángulo cuyos vértices son el centro de la Tierra, elobservador y el astro en cuestión (figura 1.12), tenemos:

sin P

RT=

sin(90o + a)C

,

de donde obtenemos, utilizando la ecuación (1.7),

sinP = sin PHE cos a ⇒ P = arcsin (sin PHE cos a) � PHE cos a (1.13)

Este resultado para la corrección por paralaje sería rigurosamente exacto en el caso de que laTierra fuese una esfera perfecta. Sin embargo, dado que la Tierra se parece en realidad más a unesferoide oblato (achatado por los polos), resulta que la ecuación anterior para P debe ser corregida(haciendo depender el resultado de la latitud del observador) para tener en cuenta este efecto si unoquiere disponer de resultados suficientemente precisos para la corrección por paralaje.

En el caso del Sol, dado el valor de su paralaje horizontal (PHE = 0,15′), esta corrección no esnecesaria y la ecuación (1.13) es suficientemente precisa. Así, en nuestros cálculos utilizaremos parael Sol:


PSol(′) = 0,15 cos(a) (1.14)

Para la Luna, sin embargo, es conveniente introducir la corrección debida a la forma de la Tierrapuesto que su paralaje horizontal es significativo (en torno a 1o) y, además, el paralaje de la Luna es lacorrección que más efecto final tiene sobre la distancia lunar verdadera obtenida a partir de la medidamediante el proceso de limpieza explicado en la sección anterior. En el caso de la Luna, la correccióndebida a la forma de la Tierra puede llegar a ser de unos 0.2’, que no es despreciable, dependiendode la situación del observador. Su cálculo, sin embargo, está fuera del alcance de estas notas así queme limitaré a dar el resultado. Si llamamos OB a la corrección a P debida a la forma de la Tierra,entonces,

OB =PHE

300[sin(2l) cos(ZL) sin(a) − sin2(l) cos(a)

]

donde ZL es el azimut de la Luna y l la latitud del observador. De esta forma, la corrección total porparalaje para la Luna es:

P = PHE cos a + OB.

En realidad si observamos la ecuación anterior para OB nos daremos cuenta enseguida de que delos dos términos dentro del corchete, el primero de ellos (el que depende del azimut) es un orden demagnitud más pequeño que el segundo (porque sin(2l) = 2 sin l cos l de modo que el primer términoresulta ser el producto de cuatro números menores que uno mientras que el segundo término es elproducto de tres números menores que uno). De esta manera, podemos simplificar la expresión paraOB, manteniendo suficiente precisión para nuestros fines, despreciando el primer término del corchete.Con ello conseguimos además que la corrección por paralaje de la Luna no dependa de su azimut. Así,la expresión final que utilizaremos para la Luna es:

PLuna = PHE

[1 − 1

300sin2(l)

]cos(a) (1.15)

con HP obtenido por interpolación de los datos del Almanaque Náutico.

1.5. Distancia lunar calculada y obtención de la hora TUEn las dos secciones anteriores hemos aprendido a obtener la distancia lunar verdadera D a par-

tir de la distancia lunar medida con el sextante y las alturas de la Luna y del otro astro medidassimultáneamente con la distancia lunar. Nos resta la parte final del método que consiste en obtenerla hora TU correspondiente a la observación a partir del valor de D.

Cuando el método de las distancias fue inventado no existían relojes suficientemente precisos comopara poder ser utilizados en la determinación de la longitud del barco. El método de las distanciaslunares era el reloj. Con tal fin, el Almanaque Náutico de la época incluía tablas de distancias entrela luna y una selección de astros (estrellas, planetas, el Sol) convenientemente elegidas para cada día(en la sección siguiente discutiré que quiere decir convenientemente elegidas). Esas tablas daban ladistancia entre la Luna y el astro en cuestión a diferentes horas TU separadas por intervalos de 3 horas,como se muestra en la figura 1.13. La columna de números con título P.L. se incluía para facilitarlos cálculos, en aquella época sin calculadoras ni ordenadores realizados, mediante logaritmos, en unamal iluminada estancia del barco y bajo la presión de que un error cometido en esos cálculos podríaocasionar la pérdida del barco y su tripulación. El navegante buscaba en la columna del astro medidolas dos horas TU de manera que las distancias precalculadas de la tabla ahorquillaban a la distancialunar verdadera D que acababa de obtener. Suponía entonces que el el intervalo de 3 horas la distancialunar varía linealmente de forma que una simple interpolación lineal inversa le permitía obtener lahora TU de la observación: Si T1y T2 son las horas TU en las que las tablas indican distancias lunaresD1 y D2, respectivamente, que ahorquillan al valor D obtenido de la medida, entonces el instante TUde la observación, T , es:

T = T1 + (T2 − T1)D − D1

D2 − D1(1.16)


Figura 1.13: Tabla de distancias lunares precalculadas tal y como se publicaban en el Almanaque Náu-tico hasta 1906. Esta versión moderna de las tablas se deben a Steven Wepster y pueden encontrarseen Internet en http://www.math.uu.nl/people/wepster

Posteriormente, cuando el invento del cronómetro fue un hecho, el método de las distancias lunaressiguió utilizándose. La razón era que los cronómetros, que por aquella época debía proporcionar elcapitán (o piloto) del barco como todos los instrumentos de navegación, eran extraordinariamentecaros de modo que muchos capitanes no podían permitírselos. Para agravar aun más las cosas, si sólose dispone de un cronómetro a bordo entonces se corre el riesgo de que la hora indicada por él nosea correcta si no se dispone de un medio para comprobar periódicamente su buen funcionamiento3.Evidentemente, no existían las señales horarias radiadas que vinieron después, así que el método delas distancias lunares fue utilizado por los navegantes durante bastante tiempo para comprobar queel cronómetro seguía funcionando aceptablemente bien (recuérdese que la máxima precisión para lahora TU que se puede obtener del método de las distancias lunares es de entre 1 y 2 minutos). Así quelas tablas como la de la figura 1.13 continuaron publicándose en el Almanaque Náutico hasta 1906.

¿Cómo obtenemos hoy día TU a partir de una distancia lunar?. Pues o bien recurrimos a la versiónmoderna de las tablas (obviamente mientras su autor las publique) o bien obtenemos nosotros mismoslos datos de la tabla a partir de la información que tenemos en el Almanaque Náutico. Calcular ladistancia lunar en la época en que este método era vital no era nada fácil y de ahí la necesidad delas tablas. Hoy día, con una simple calculadora que contenga funciones trigonométricas, el problemaes trivial, como veremos seguidamente, a partir de los datos aportados por el Almanaque. Así quesupongamos que estamos practicando el método de las distancias lunares en esta época de los GPSpara determinar el error de nuestro reloj. Ese error lo supondremos suficientemente pequeño, es decir,vamos a admitir que sabemos la hora TU entera de la observación pero desconocemos el minuto ysegundo. Lo que haremos entonces es calcular Dc a la hora TU entera anterior y a la hora TU enteraposterior al momento de la observación. Suponemos entonces que Dc varía linealmente entre ambosvalores y hacemos una interpolación lineal inversa, ecuación (1.16), para obtener la hora TU a la queDc = D. Esa hora TU comparada con la leída del cronómetro en el momento de la observación permite

3Incluso disponiendo de dos cronómetros el problema no esta resuelto porque si, en un momento dado, amboscronómetros no coinciden no podremos saber cuál de los dos marca la hora correcta sin disponer de un método adicionalpara comprobarlo. Así que si solo disponemos de cronómetros para determinar la hora, necesitamos al menos tres deellos y esperar que no se rompan dos simultáneamente.


HG

P

∆

N

Dc

∆m∆ s

Ecuador Celeste

Figura 1.14: Cálculo de la distancia lunar a una hora TU dada a partir de los datos del AlmanaqueNáutico.

determinar el funcionamiento de este último. En realidad, hoy día, como el cronómetro funcionarácorrectamente, la comparación nos permitirá determinar cómo de finos hemos sido en todo el procesode las distancias lunares, desde la precisión en la medida hasta los errores cometidos en los cálculos. Asíque solo nos resta explicar como calcular Dc a una hora TU dada a partir de los datos del Almanaque.La situación está representada en la figura 1.14:

Tenemos un triángulo esférico del que conocemos dos de sus lados (las codeclinaciones de la Lunay del otro astro) y el ángulo en el polo (el ángulo opuesto a nuestra incógnita Dc) que no es más que∆HG, la diferencia de horarios en Greenwich entre la Luna y el astro. Así que aplicando directamenteel teorema de los cosenos obtenemos Dc:

cosDc = cos∆m cos∆s + sin ∆m sin ∆s cos∆HG (1.17)

Nótese que en este cálculo no interviene para nada la situación del observador. Obsérvese tam-bién que como uno de los vértices utilizamos siempre el polo norte celeste, no el polo elevado. Lascodeclinaciones serán, por tanto, iguales a 90o más o menos la declinación del astro dependiendo delhemisferio celeste en el que se encuentren. Nótese, también, que es irrelevante el orden en que restemoslos horarios en Greenwich de la Luna y el astro con el fin de obtener ∆HG puesto que este ánguloaparece como argumento de un coseno, así que en la práctica haremos la resta de la manera mássencilla.

1.6. Como medir una distancia lunar en la prácticaEn primer lugar pensemos en qué necesitamos para obtener la hora TU con la mayor precisión

posible. Incluso suponiendo que la medida de la distancia lunar y todo el proceso de cálculo quehemos explicado en las secciones anteriores se han realizado sin error alguno, la precisión de la horaTU obtenida está limitada. Y el limite lo pone la velocidad aparente a la que la Luna se desplaza por elcielo con respecto al fondo de estrellas fijas. En otras palabras, la máxima precisión posible (sin contarcon los errores de medida y aproximaciones de los cálculos) está determinada por la velocidad a la quecambia la distancia lunar con el astro utilizado. Cuanto más rápido cambie esa distancia, más precisiónse podrá teóricamente obtener4. Eso significa que debemos elegir el astro que utilicemos de maneraadecuada, de forma que la distancia lunar varíe lo más rápidamente posible y esto lo conseguiremos

4Si un reloj solo tiene las agujas de la hora y el minutero, entonces sólo podremos precisar la hora al minuto. Siqueremos más precisión hemos de incluir un segundero y entonces la precisión máxima teórica del reloj es de un segundo.


si el astro elegido se encuentra lo más próximo posible a la trayectoria aparente de la Luna en elcielo. Puesto que la Luna se encuentra siempre en una banda de unos 5o alrededor de la eclíptica,es evidente que los astros más adecuados serán aquellos que se encuentren lo más próximo posible ala eclíptica, entre ellos el Sol y los planetas. Pero solo un número limitado de estrellas se encuentranaceptablemente cerca de la eclíptica, limitando en la práctica el método de las distancias lunares a lasestrellas Altair, Fomalhaut, Hamal, Aldebarán, Pollux, Regulus, Antares, Spica y Markab.

Aun eligiendo uno de los astros idóneos anteriormente citados y midiendo la distancia lunar dela manera más exacta posible, el método de las distancias lunares proporciona la hora TU con unaprecisión hoy día ridícula comparada con la obtenida de cualquier reloj. En efecto, supongamos,poniéndonos en el mejor de los casos posibles, que el astro elegido se encuentra exactamente sobre latrayectoria aparente de la Luna. Entonces la correspondiente distancia lunar variará al mismo ritmoque se mueve la Luna en el cielo. Y este es precisamente el problema: La Luna, aun siendo el astro quemás rápido se mueve por el cielo, es un reloj que se mueve demasiado despacio. En una hora se mueveaproximadamente solamente 0.5o con respecto al fondo de estrellas fijas5 . Supongamos entonces quesomos capaces de medir la distancia lunar con una precisión de 1’ de arco. Entonces una simple reglade tres nos indica que el error que tendremos en la hora TU determinada a partir de ellas será de2 minutos. Esta es la precisión que siendo realistas podemos esperar obtener de este método. Deahí la importancia, ya comentada, de realizar los cálculos con la mayor precisión posible y también,evidentemente, la importancia de medir la distancia lunar d con el menor error posible.

Si has llegado hasta aquí leyendo estas notas entonces no cabe duda de que eres un buen aficionadoa la navegación astronómica (o tienes una paciencia a prueba de bomba). Así que supongo que habráspracticado bastante antes la medida de alturas con el sextante y conocerás toda la serie de trucosprácticos para mejorar la precisión de esas medidas. La medida de una distancia lunar, sin embargo,tiene sus dificultades y peculiaridades propias y la calidad de la medida afecta mucho más a la precisiónfinal obtenida de lo que ocurre con la medida de una altura en el resultado final para la línea de posicióndel barco obtenida (la recta de altura). Así que en el caso de la medida de una distancia lunar todaprecaución tomada con el fin de mejorar la medida es poca. Aquí van una serie de trucos y cuidadosa tener en cuenta:

Como es evidente, el horizonte no interviene en la medida de una distancia lunar. Así que tenemosmucha más libertad a la hora de colocarnos cómodamente y bien apoyados de forma que nuestraposición sea lo más estable posible, aunque esto no siempre es fácil de conseguir en un barco enmovimiento. En cualquier caso, este hecho hace que se pueda practicar la medida de una distancia lunaren cualquier lugar que, incluso, no disponga de horizonte. Hemos de colocarnos de forma que veamossimultáneamente los dos astros, pero no importa si, por ejemplo, una vela del barco se encuentra enmitad del camino de uno a otro. Cuando observemos a través del sextante y llevemos uno de los astroshacia el otro moviendo la alidada, el espejo índice se mantendrá permanente apuntando al astro quenosotros vemos moverse en el visor, así que su imagen será siempre visible aun cuando haya velas uotros obstáculos por el medio.

Normalmente enfocaremos el sextante de modo que veamos como imagen directa (es decir, a travésdel espejo de horizonte, lo que en la medida de una altura sería el horizonte) al astro menos brillante,así que si estamos utilizando una estrella (o un planeta) la enfocaremos directamente con el sextantemientras que si la distancia lunar la estamos tomando con el Sol enfocaremos a la Luna. El astromás brillante lo enfocaremos con el espejo índice (el espejo grande) y será el que llevemos, al mover laalidada, hacia el otro astro. Puesto que el arco de círculo máximo que pasa por ambos astros tendrá engeneral una dirección oblicua en el cielo, nos veremos frecuentemente obligados a colocar el sextanteen posiciones realmente incómodas y antinaturales, incluso al revés. Esto es algo inevitable a lo quehemos de acostumbrarnos con el fin de ser capaces de medir una distancia lunar con precisión.

Una vez enfocado directamente el astro menos brillante y colocado el sextante de forma quepodamos seguir el arco entre ambos astros, viene la parte inicialmente más complicada hasta quese adquiere suficiente práctica, consistente en mover la alidada hasta conseguir ver los dos astros en elvisor simultáneamente. Por supuesto, no olvides nunca utilizar los filtros oportunos en caso de

5Nótese que es el movimiento real de la Luna respecto a las estrellas fijas lo que nos interesa puesto que es estemovimiento el que hace variar la distancia lunar con una estrella. La rotación diaria aparente de la bóveda celeste nointerviene porque hace rotar por igual a la Luna y a las estrellas, dejando invariante la distancia ente la Luna y otroastro cualquiera. Recuérdese que el movimiento propio de la Luna es hacia el Este, dando una vuelta a la esfera celesteen 27.3 días, es decir aproximadamente 0.5o por hora.


Figura 1.15: Patrones aproximados de distancias angulares en el cielo. Podemos utilizar las dimen-siones angulares de constelaciones conocidas como patrón para estimar distancias angulares en el cielo.También podemos utilizar las dimensiones de nuestra mano que, manteniendo los brazos completa-mente extendidos, son aproximadamente las indicadas en la figura. Figura obtenida de la Guia delCielo 2001, cortesía de Procivel S. L.

estar observando el Sol. Recuerda que las lesiones que se pueden producir en la retina son gravese irreversibles. Puede ayudar estimar previamente el ángulo para colocar la alidada adecuadamente.Si tenemos una estimación suficientemente aproximada de la hora y disponemos de las tablas dedistancias lunares precalculadas no es difícil estimar la distancia lunar. Si no disponemos de esainformación entonces tendremos que estimar la distancia lunar directamente, observando el cielo yutilizando algún patrón de medida aproximado como los indicados en la figura 1.15.

Una vez que tenemos a ambos astros a la vista en el visor del sextante es necesario tangentearla estrella con el limbo de la Luna o bien, si se trata del Sol, tangentear ambos limbos. Esta es unaoperación que ha de hacerse con sumo cuidado porque es donde mayores errores en la medida seintroducen en caso de no hacerse apropiadamente. Al igual que hacemos al tangentear el limbo (o unastro) con el horizonte en la medida de la altura, es fundamental balancear muy ligeramente el sextantea ambos lados de forma que veamos al astro reflejado recorrer una pequeña parábola, asegurándonosentonces que el tangenteo de los limbos se produce cuando el astro reflejado se encuentra en el vérticede la parábola, momento en el que ambos limbos (en el caso de tratarse del Sol) han de tocarse,besarse, sin solapar en ningún momento. La Luna presentará, dependiendo de la fase en la que seencuentre, un limbo nítido y otro borroso o sombreado. Evidentemente, utilizaremos el limbo lunarque vemos nítidamente, aunque para ellos hayamos de hacer pasar al otro astro sobre la imagen dela Luna y hacer el tangenteo en el limbo más lejano. Anotaremos junto con la lectura del sextante ellimbo utilizado con el fin de aplicar la corrección por semidiámetro con el signo adecuado. Si estamosutilizando el método de las distancias lunares para comprobar el funcionamiento de un cronómetro o,simplemente, si lo que queremos es divertirnos con este antiguo arte de medir el tiempo (que será lomás probable), necesitaremos que alguien nos ayude y anote la lectura del cronómetro correspondienteal instante de tangenteo, como siempre a la voz de top nuestro ayudante anotará primero segundos,después minutos y finalmente la hora, para después comparar esa lectura con la hora obtenida a partirde la observación y así determinar el error del reloj o bien, si sabemos que el reloj está sincronizadocon la hora TU correcta, comprobar cómo de finos hemos sido con la medida de la distancia lunar.

Con el fin de mejorar la precisión disminuyendo los errores, es conveniente tomar varias medidassucesivas de la distancia lunar, anotando para cada una de ellas la hora indicada por el cronómetro,promediando después las distancias y los tiempos. Por otro lado, según hemos visto en las seccionesanteriores, el proceso de corrección de la distancia lunar requiere la medida simultánea de las alturas


de la Luna y del otro astro involucrado. Esto requiere en principio tres observadores, cada uno con susextante, y cierto grado de coordinación entre ellos. Pero esto solo sería posible en un barco escuela, enun barco de la Armada o algo así. En nuestro caso un solo observador ha de tomar todas las medidasy para hacerlo adecuadamente lo que debe hacer en seguir una secuencia de observaciones adecuada:Primero medir la altura del astro auxiliar, después la altura de la Luna, seguir con una secuencia devarias distancias lunares para, finalmente, volver a medir la altura de la Luna y, por último, la alturadel astro auxiliar. De esta manera, las alturas promediadas del astro y de la Luna corresponderánbastante bien al mismo instante que las distancias lunares promediadas. Es conveniente prepararpreviamente una plantilla para anotar toda la secuencia de observaciones con las correspondienteslecturas del sextante y horas indicadas por el cronómetro.

Otra cuestión relevante desde el punto de vista práctico merece ser comentada. Acabamos deexplicar cómo hacer toda una secuencia de medidas necesarias para llevar a cabo la determinación dela hora TU mediante unas lunares y entre esas medidas está la de la altura del astro auxiliar y lade la propia Luna. Pero en general estaremos midiendo distancias lunares durante la noche cuando,en general, no vemos el horizonte o la visión que tenemos de él es tan pobre que una medida de laaltura es extraordinariamente difícil, si no imposible, de realizar con la precisión suficiente para quesea útil para, por ejemplo, obtener una recta de altura. Afortunadamente, al altura más importante,la que hemos de medir con la máxima precisión posible, por su mayor efecto en la corrección de ladistancia lunar es la altura de la Luna. Y la propia Luna nos ilumina un arco de horizonte debajode ella facilitándonos así una medida mas precisa. Con el otro astro, sin embargo, tendremos quearreglárnoslas lo mejor posible, si bien en nuestra ayuda está el hecho de que su altura no se necesitacon una precisión muy grande.

Por último, un comentario final sobre el efecto que el paralaje de la Luna puede tener sobre laprecisión del método aunque se introduzca correctamente la corrección por paralaje, P , dada por laecuación (1.15). Como veremos a continuación, se trata de un efecto no trivial, conocido como retardoparaláctico de la Luna , que debemos tener en cuenta en la medida de lo posible. Como hemos visto,el paralaje hace que la Luna observada desde la superficie de la Tierra parezca más baja que si seobservara desde el centro de la Tierra. Es decir, la corrección P es siempre positiva. Además, comoindica la ecuación (1.15), P es máxima cuando la Luna se encuentra en el horizonte y es nula cuandoestá en el cenit. Pongámonos entonces en la peor situación con respecto al fenómeno que queremosdiscutir, es decir, la situación en que este efecto debido al paralaje es máximo: Supongamos que nosencontramos navegando en las proximidades del ecuador (ojalá fuese cierto) y que la Luna tiene en lafecha en cuestión una declinación cercana a cero, es decir, se encuentra directamente sobre el ecuador.Ese día veremos a la Luna salir por el Este, momento en que su paralaje es máximo (en torno a 1o).A medida que pasan las horas la Luna irá ganando altura sobre el horizonte y con ello su paralaje irádisminuyendo. Aproximadamente 6 horas después ha haber salido la Luna culminará y, dada nuestrasituación y la declinación de la Luna, lo hará pasando por el cenit. En ese momento su paralaje es cero.Después comenzará a perder altura, ganando de nuevo paralaje hasta volver a tener el máximo de 1o

en el momento de la puesta. Y no olvidemos que esta P es siempre tal que la altura que observamosdesde nuestra posición topocéntrica en el ecuador es menor que la altura que observaríamos situadosen el centro de la Tierra. Así que en el mismo tiempo la Luna ha de recorrer aproximadamente 2o

más para un observador en la superficie terrestre que para un observador en el centro de la Tierra.En resumen, el movimiento aparente de la Luna hacia el Oeste debido a la rotación de la Tierra seve acelerado para un observador topocéntrico. ¿De que orden de magnitud es este efecto?, en otraspalabras, ¿cuál es el aumento de velocidad de la Luna hacia el Oeste debido al paralaje?. Pues puestoque P no es constante sino que depende de la altura de la Luna, esta huida de la Luna hacia el Oesteno es constante sino que también depende de su altura. Es máxima cuando se encuentra en el puntomás alto, en el cenit, precisamente cuando P es mínima (cero) y ahí la velocidad extra de la Lunahacia el Oeste debida al paralaje es de unos 15 minutos de arco por hora. ¿Cómo afecta este efectoa la precisión del método de las distancias lunares?. Pues hemos de tener en cuanta que las estrellas,los planetas e, incluso, el Sol tienen un paralaje despreciable con respecto al de la Luna. Así queeste aumento de velocidad aparente de la Luna hacia el Oeste no se da para estos astros. Entoncesla velocidad de 30 minutos de arco/hora hacia el Este a la que, en principio, cambia una distancialunar con una estrella adecuadamente elegida6 se ve disminuida en los 15 minutos de arco debidos al

6Velocidad que, según discutimos anteriormente, es la que determina la precisión máxima teórica del método de unos2 minutos en la hora TU (suponiendo un error razonable en la medida de la distancia de 1 minuto de arco).


paralaje (en el peor de los casos como el elegido) porque ambos movimientos van en sentidos opuestos.Por tanto, bajo estas circunstancias desfavorables, los 2 minutos de precisión teóricamente máximaque podríamos conseguir si cometemos un error de 1 minuto de arco en la medida de la distancialunar se transforman, por efecto del paralaje de la Luna, en 4 minutos. Y un error de 4 minutos detiempo equivale a un error de 60’ en la longitud calculada a partir de ese tiempo, o sea, 60 millasde error en la posición en el ecuador. ¿Cuál es la recomendación para disminuir las consecuencias deeste efecto en la precisión obtenida?. Pues si tenemos en cuenta que P varía como el coseno de laaltura, la velocidad de variación de P irá como el seno de la altura (multiplicado por la velocidad devariación de la altura, claro). Por tanto, como comentamos arriba, este efecto es mínimo cuanto menorsea la altura y es máximo cuando la Luna se encuentra en el cenit. Así que, con respecto a este efecto,nos conviene medir la distancia lunar con la Luna lo más cerca posible del horizonte, digamos quecon altura por debajo de los 30o. Sin embargo, sabemos que para alturas por debajo de unos 10o lasaproximaciones involucradas en el cálculo de la corrección por refracción, R, no son del todo fiables demodo que es práctica común no tomar alturas de los astros por debajo de los 10o. Así que nos quedauna pequeña ventana de unos 20o de altura en la que debería encontrarse la Luna en el momento demediar la distancia lunar con el fin optimizar la precisión final resultante para el tiempo TU obtenidoa partir de la medida.

1.7. Un ejemplo realEl pasado día 5 de febrero de 2004, pasados unos minutos de las ocho de la tarde y estando situado

exactamente en 40◦44, 3′N , 003◦51, 2′W (esta es la posición proporcionada por el GPS) tomé, con lainestimable ayuda de mi hija, una serie de tres distancias lunares con Saturno (con el limbo cercanode la Luna) utilizando para ello un sextante Astra IIIB al que previamente había eliminado el error deíndice. La tabla siguiente resume las distancias medidas y las horas TU exactas de las observacionesasí como los promedios correspondientes que son los valores que se consideran como observados (esfundamental hacer varias observaciones seguidas y promediar los resultados con el fin de disminuirerrores):

Hora TU de la medida Lectura del sextanteMedida 1 19 : 07 : 44 33◦22,2′

Medida 2 19 : 10 : 11 33◦23,0′

Medida 3 19 : 11 : 47 33◦24,2′

Promedios 19 : 09 : 54 33◦23,13′

Desde la posición de observación el horizonte no es visible así que no fue posible tomar las alturasde Saturno y la Luna antes y después de la serie de lunares de la tabla anterior. Por tanto, este esun ejemplo real solo a medias. Es decir, utilizaremos la situación exacta y hora TU exacta conocidaspara calcular las alturas verdaderas exactas (S y M) de ambos astros. Calcularemos entonces lascorrecciones por refracción y paralaje que aplicaremos a S y M con los signos cambiados con el fin deobtener sus alturas aparentes s y m que entonces utilizaremos para la corrección de la distancia lunar.Este tipo de experiencias, muy fáciles de realizar desde casa, son muy interesantes, aun no siendoejemplos completamente reales, puesto que en ellas todo es exacto excepto la medida misma de ladistancia lunar. De esta manera, la diferencia que finalmente obtengamos entre la hora TU derivadade la observación y la real que hemos anotado se deberá exclusivamente al error en la medida de d.Repetir esta experiencia es entonces un método magnífico de obtener la pericia necesaria en el manejodel sextante con el fin de hacer medidas de la distancia lunar lo más precisas posible.

Comenzamos, entonces, por calcular las alturas verdaderas S y M de Saturno y la Luna en elmomento de la observación, las 19:09:54 TU del 5 de febrero de 2004, en la situación verdaderaindicada arriba, utilizando los datos proporcionados por el Almanaque Náutico. Este es un problematrivial de navegación astronómica que no vamos a discutir aquí, limitándonos a dar el resultado final:

S = 52◦44,7′ = 52,745◦


M = 25◦53,1′ = 25,885◦

Ahora calculamos, en el orden inverso al que las aplicaríamos en el caso real, las correcciones paraobtener las alturas aparentes s y m. Así que primero aplicaremos la corrección por paralaje P y de-spués la corrección por refracción R.

Saturno:Para los planetas el paralaje es cero, así que P = 0. En cuanto a la refracción, tomamos condicionesestándar de presión atmosférica y de temperatura de modo que el factor f = 1. Utilizamos la ecuación(1.10) con la pequeña trampa de tomar como altura aparente a la altura verdadera S (la alturaaparente a no la conocemos aun, es lo que estamos calculando). Obtenemos así R = 0,7′. Para pasarde altura verdadera a aparente esta corrección ha de sumarse (lo contrario a lo habitual), así que,finalmente:

s = 52◦45,4′ = 52,757◦

Luna:Para calcular la corrección por paralaje de la Luna hemos de utilizar la ecuación (1.15). Puesto quela corrección por paralaje es de casi 1◦ no parece buena idea utilizar para la Luna la trampa de tomarcomo a la altura verdadera calculada antes. Así que tomando un promedio de Pluna de 50′ concluimosque el valor de a que debemos utilizar en la ecuación (1.15) es a = M − 50′ (restamos porque estamosaplicando las correcciones al revés). El valor utilizado para el paralaje horizontal es PHE = 55,8′,obtenido del Almanaque Náutico para el momento de la observación. Entonces:

Pluna = 55,8 ×[1 − 1

300sin2(40,73833333)

]cos(25,052) = 50,5′

que nos da una altura 25◦02,6′ (hemos restado P a M para aplicar la corrección por paralaje al revés)a falta de corregir por refracción para obtener la altura aparente de la Luna m. Evidentemente, esaaltura de 25◦02,6′ es la que debemos tomar como a para obtener la corrección por refracción a partirde la ecuación (1.10). Así obtenemos R = 2,1′. Por tanto, la altura aparente de la Luna es:

m = 25◦04,7′ = 25,078◦

Estamos ahora en condiciones de utilizar la fórmula de Young, ecuación (1.5), para corregir ladistancia lunar observada y obtener la verdadera. Puesto que en la medida de la distancia lunar seutilizó el limbo cercano de la Luna, hemos de comenzar por sumar el semidiámetro de la Luna a ladistancia lunar observada. La ecuación (1.9) nos da:

SD = 0,2725 × 55,8(

1 +155

sin(25◦04,7′))

= 15,32′

Por tanto, la distancia lunar d a utilizar es d = 33◦23,13′+15,32′ = 33◦38,45′ = 33,641◦. Entonces:

cosD =(cos d + cos(m + s)) cosM cosS

cosm cos s− cos(M + S)

=(cos 33,641 + cos(25,078 + 52,757)) cos 25,885 cos52,745

cos 25,078 cos52,757− cos(25,885 + 52,745) = 0,8394146

⇒ D = 32,922◦ = 32◦55,32′

Esto termina la corrección de la distancia lunar medida. A partir de interpolar a la inversa esta Dverdadera obtendremos la hora TU de la observación.


Figura 1.16: Tabla de distancias lunares precalculadas para el 5 de febrero de 2004. Es-ta versión de las tablas se deben a Steven Wepster y pueden encontrarse en Internet enhttp://www.math.uu.nl/people/wepster

La figura 1.16 muestra la tabla de distancias lunares precalculadas para el 5 de febrero de 2004.Si este fuese un ejemplo completamente real (si hubiésemos medido las alturas de Saturno y la Luna)habríamos llegado al valor anterior de D (suponiendo, claro, que no cometiésemos ningún error enlas medidas de las alturas) sin tener conocimiento de la hora TU ni de la situación exacta del puntode observación, todo lo más tendríamos una situación de estima y, seguramente, una suposición máso menos acertada de la hora TU entera (pero ni idea de los minutos) de la observación. Un simplevistazo a la tabla nos indica ya que la distancia obtenida, 32◦55,32′ tuvo lugar entre las 18 y las 21horas TU. Haciendo la interpolación inversa, resulta:

T = T1 + (T2 − T1)D − D1

D2 − D1= 18 + (21 − 18)

32,922◦ − 32,316667◦

33,89◦ − 32,316667◦= 19,15424 = 19 : 09 : 15

que, comparando con la hora TU exacta de la observación, 19 : 09 : 54, da una diferencia de tan solo39 segundos, indicación de que la medida de la distancia lunar fue realmente buena. Por supuesto,en caso de no disponer de la tabla de distancias lunares precalculadas, procederíamos a calcular ladistancia a las 19 : 00 : 00 y a las 20 : 00 : 00 según se explicó en la sección 1.5 y haríamos de nuevola interpolación inversa entre esas dos distancias lunares calculadas. El resultado que se obtiene parala hora TU de la observación es el mismo.

Es posible descargar de Internet un programa gratuito que facilita el cálculo justamente en el casosemi-real que acabamos de desarrollar. Se trata de una hoja de Microsoft Excel que puedes conseguiraquí http://members.verizon.net/~vze3nfrm/LunarsFiles/Lunars.xls. Este programa, ademásde permitirnos obtener muy fácilmente el mismo resultado anterior, proporciona el error cometido enla medida de la distancia lunar que ha dado lugar a la diferencia de tiempos TU (todas las demásvariables son exactas). Así, utilizando este programa, encontramos que si en lugar de una distancialunar observada de 33◦23,13′ ésta hubiese sido de 33◦23,455′ entonces los tiempos TU exacto y obtenidoa partir de las lunares serían los mismos. Es decir, concluimos que el error cometido en la medida dela distancia lunar fue de −0,325′ (nos quedamos cortos en 0,325′). Teniendo en cuenta que el sextanteAstra IIIB es capaz de medir con precisión de 0,2′ concluimos que la medición fue realmente buena.

1.8. Métodos aproximadosEn la época de esplendor del método de las distancias lunares no existían calculadoras de bolsillo

con las que resolver el cálculo expresado por la ecuación (1.5) es cuestión de un par de minutos. En sulugar, el navegante solo disponía de tablas de logaritmos con las que ayudarse en el cálculo. Pero laecuación (1.5), que es exacta, no es, sin embargo, recomendable para el cálculo manual a base de log-aritmos porque si tomamos logaritmos en ella nos encontraremos con la desagradable sorpresa de que,


en ocasiones , algunos de los términos resultantes consisten en el logaritmo de un número negativo cosaque, como sabemos, no está definida. Por esta razón se dedicó en su día un gran esfuerzo al desarrollode métodos que permitiesen realizar el cálculo manualmente mediante las tablas de logaritmos y delogaritmos de las funciones trigonométricas. En esta sección se revisan, a modo de simple curiosidad,alguno de esos métodos.

Método de Borda.Jean-Charles de Borda fue un matemático y astrónomo francés, nacido en 1733 en Dax, en el suroestede Francia y muerto en París en 1799. Su método para limpiar una distancia lunar fue publicado en1787. Aunque lo he incluido en esta sección, titulada Métodos Aproximados, el método de Bordaes en realidad exacto y, por consiguiente, completamente equivalente al descrito aquí en las seccionesanteriores. Daré primero a continuación los pasos que hay que seguir para aplicar el método de Borday después, para aquellos lectores interesados, incluiré la demostración del método.

La notación utilizada, es decir, el significado de cada uno de los símbolos, es el mismo que en lassecciones anteriores y se encuentra resumido en la tabla de la sección 1.2. Para aplicar el método deBorda hemos de seguir los siguientes pasos:

Paso 1. Calculamos y anotamos los ángulos 12 (m + s + d) y 1

2 (m + s − d).Paso 2. Utilizando las tablas de logaritmos de las funciones trigonométricas (incluidas, por ejemplo,en las Tablas Náuticas de Graiño) obtenemos el valor de un ángulo Ψ auxiliar (es decir, Ψ no tieneningún significado en particular, es sólo una magnitud intermedia necesaria en el cálculo) mediante laecuación:

log cosΨ = 12

{log cos

[12 (m + s + d)

]+ log cos

[12 (m + s − d)

]

+ log cosM + log cosS + log secm + log sec s}

Para obtener el ángulo Ψ utilizando las tablas de logaritmos de funciones trigonométricas tenemosque calcular cada uno de los seis logaritmos del segundo miembro de la ecuación anterior. Después,una vez sumados los seis resultados, utilizamos de nuevo las tablas para encontrar cuál es el ánguloΨ cuyo log cos es ese número.Paso 3. Una vez obtenido el ángulo Ψ calculamos los dos ángulos siguientes: Ψ + 1

2 (M + S) y∣∣Ψ − 12 (M + S)

∣∣. Ten en cuenta que |...| significa valor absoluto, es decir, hacemos la resta y nosolvidamos del signo que resulte.Paso 4. Obtenemos finalmente la distancia lunar verdadera D de la ecuación:

log sin(D/2) =12

{log sin

[Ψ +

12(M + S)

]+ log sin

[∣∣∣∣Ψ − 12(M + S)

∣∣∣∣]}

De nuevo, para hacer este cálculo con las tablas de logaritmos de las funciones circulares, obtendremosprimero los dos logaritmos del segundo miembro. Evaluado entonces el resultado de ese segundo miem-bro utilizamos de nuevo las tablas a la inversa para obtener el ángulo D/2 cuyo log sin es el númeroobtenido del segundo miembro. Multiplicamos entonces el resultado por 2 y ya tenemos la distancialunar verdadera a partir de la cual obtendremos la hora TU.

Demostración del método de Borda.Habíamos encontrado, aplicando el teorema de los cosenos en el triángulo de la figura 1.4, que, ecuación(1.2),

cos∆Z =cos d − sin m sin s

cosm cos s

Por otra parte, si aplicamos el teorema de los cosenos al triángulo esférico de la figura 1.5 obtenemosde igual manera:


cos∆Z =cosD − sin M sin sS

cosM cosS

Así que igualando los segundos miembros de ambas ecuaciones (ya que los primeros son iguales) ysumando 1 a cada lado obtenemos, después de simplificar,

cosD + cos(M + S)cosM cosS

=cos d + cos(m + s)

cosm cos s(1.18)

donde hemos hecho uso de la relación trigonométrica cos(a+b) = cos a cos b− sin a sin b para cualquierpar de ángulos a y b. Ahora hacemos uso de otras dos relaciones trigonométricas, concretamente:

sina

2= ±

√1 − cos a

2(1.19)

cosa

2= ±

√1 + cos a

2(1.20)

donde utilizaremos el signo (+) o el (-) convenientemente, es decir, según en que cuadrante se encuentreel ángulo a/2. De (1.19) es inmediato obtener que cosD = 1 − 2 sin2(D/2) mientras que de (1.20)obtenemos que cos(M + S) = 2 cos2(M+S

2 )− 1. Así, el numerador del primer miembro de la ecuación(1.18) se puede reescribir como 2 cos2(M+S

2 ) − 2 sin2(D/2). Por otra parte, tenemos que:

cos(

m + s + d

2

)cos

(m + s − d

2

)= cos

(m + s

2+

d

2

)cos

(m + s

2− d

2

)

=[cos

(m + s

2

)cos(d/2) − sin

(m + s

2

)sin(d/2)

] [cos

(m + s

2

)cos(d/2) + sin

(m + s

2

)sin(d/2)

]

= cos2(

m + s

2

)cos2(d/2) − sin2

(m + s

2

)sin2(d/2)

=1 + cos(m + s)

21 + cos d

2− 1 − cos(m + s)

21 − cos d

2=

cos d + 2 cos(m + s)2

donde hemos utilizado las ecuaciones (1.19) y (1.20) en la última línea. Como vemos, el resultado esla mitad del numerador del segundo miembro de (1.18) así que podemos reescribir esa ecuación como:

2 cos2(M+S2 ) − 2 sin2(D/2)

cosM cosS=

2 cos(

m+s+d2

)cos

(m+s−d

2

)cosm cos s

De esta última ecuación, despejando, obtenemos:

sin2(D/2) = cos2(M + S

2) − cosM cosS cos

(m+s+d

2

)cos

(m+s−d

2

)cosm cos s

Definimos ahora:

cos2 Ψ =cosM cosS cos

(m+s+d

2

)cos

(m+s−d

2

)cosm cos s

(1.21)

con lo que

sin2(D/2) = cos2(M + S

2) − cos2 Ψ


Ahora hemos de tener en cuenta que lo que se perseguía con todas estas manipulaciones (compárese conel método de Young ) es poder dejar el cálculo en términos de logaritmos de funciones trigonométricas.Así que antes de tomar logaritmos en la expresión anterior es fundamental expresar el segundo miembrocomo producto (en lugar de suma) de funciones trigonométricas. De esa forma, puesto que el logaritmode un producto es la suma de los logaritmos, el resultado final será una simple suma de números(logaritmos de funciones trigonométricas) que se obtienen en la práctica de las tablas. Así que esnecesario manipular un poco más el segundo miembro de la última ecuación. Utilizando de nuevo larelación (1.20), tenemos:

sin2(D/2) =12

[1 + cos(M + S)] − 12

[1 + cos(2Ψ)] =12

[cos(M + S) − cos(2Ψ)]

= sin(

Ψ +M + S

2

)sin

(∣∣∣∣Ψ − M + S

2

∣∣∣∣)

donde hemos vuelto a hacer uso la relación (1.19) en el último paso. Nótese, además, la presencia delvalor absoluto, necesario puesto que el primer miembro de esa ecuación es necesariamente positivo yasí ha de serlo entonces el segundo miembro. Ahora tanto esta ecuación como la ecuación (1.21) sonproductos de funciones trigonométricas. Al tomar logaritmos en ambas ecuaciones obtenemos directa-mente las expresiones que queríamos demostrar. Como indiqué más arriba y ha quedado demostradoahora, el método de Borda es rigurosamente exacto y es, por tanto, completamente equivalente a lafórmula de Young.

Método aproximado de Merrifield.El método aproximado de Merrifield es muy interesante porque expresa la distancia lunar verdaderaD como d más una corrección (corrección que, además, no requiere ninguna tabla de logaritmos sino,simplemente, una tabla de funciones trigonométricas). Esto es interesante porque significa que paraobtener la misma precisión final en D, digamos un error de 0,1′, la corrección a aplicar a d ha deser calculada con mucha más precisión si esa corrección es un factor multiplicativo (o sea, si D seexpresa como d multiplicada por una corrección) que si la corrección as aditiva como es el caso en elmétodo de Merrifield. En efecto, puesto que D y d difieren poco, la corrección es del orden de 1 siaparece como un factor multiplicativo, así que el error ∆f que podemos admitir se relaciona con elerror ∆D que deseamos a través de ∆f = ∆D/d. Como d puede ser del orden de unos 100◦, resultaque un error ∆D ∼ 0,1′ significa que ∆f ∼ 0,00001. De ahí que los cálculos utilizando los métodosexactos de Young o de Borda hayan de hacerse con cuidado, manteniendo todas las cifras decimalesy sin redondear. En particular, cuando se aplica el método de Borda utilizando tablas de logaritmos,éstas deben proporcionar los logaritmos de las funciones circulares con al menos cinco cifras decimalessignificativas, cifras que hemos de manejar en su totalidad. Por el contrario, si la corrección es aditiva,puesto que esa corrección aditiva es, como mucho, del orden de 1 grado, resulta que una precisión de0,1′ en D implica una precisión de 0,1′ en 60′, es decir, ∆f ∼ 0,001, dos órdenes de magnitud mayorque en el caso anterior y, por tanto, mucho más fácil de conseguir. Sin embargo, no es oro todo loque reluce y las cosas no son tan simples como aparentan porque el precio a pagar por expresar Dcomo d más una corrección aditiva es que el método deja de ser exacto. No se ha encontrado, porqueseguramente no existe, una manera de exacta de expresar D en la forma d + Correccion, de maneraque lo que ganamos por un lado debido a la menor exigencia de precisión en el cálculo de la correcciónlo podemos perder por el otro lado debido al carácter aproximado del método.

La notación sigue siendo la misma que hasta ahora aunque para la aplicación de este métodoes necesario introducir algunas otras magnitudes. Eso lo haremos con ayuda de la figura 1.17. Así,además de los ángulos θ y φ definidos en la figura, utilizaremos la siguiente nomenclatura:

y Distancia cenital aparente de la Luna, es decir, el arco Zm = 90◦ − m.z Distancia cenital aparente del otro astro, es decir, el arco Zs = 90◦ − s.S′ = 1

2 (y + z + d)S∗ = 1

2 (m + s + d)


��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

θ

φ

p

s

Z

m

M

S

q

Figura 1.17: Método aproximado de Merrifield para la corrección de la distancia lunar.

C Corrección de altura de la Luna debida a refracción y paralaje, es decir, el arco Mm = M − m.c Corrección de altura del otro astro debida a refracción y paralaje, es decir, el arco sS = s − S.

El método de Merrifield comienza por aproximar la distancia lunar verdadera, D (arco MS) , por elarco pq:

D � pq = sm − pm + sq = d − C cos θ + c cosφ

En la última igualdad hemos introducido dos nuevas aproximaciones, consistentes en tratar los trián-gulos Ssq y Mmp como triángulos rectángulos planos cuando, evidentemente, no lo son. Sin embargo,el error introducido por estas aproximaciones no debe ser significativo ya que en realidad los arcos Ssy Mm son muy pequeños en comparación con D o con d de forma que las correcciones pm y sq son enrealidad muy pequeñas. Utilizamos ahora la relación trigonométrica (1.19) para expresar los cosenosde θ y φ en función de los senos de los ángulos mitad. Así obtenemos, después de agrupar términos,

D = d − (C − c) + 2[C sin2(θ/2) − c sin2(φ/2)

](1.22)

Ahora volvemos a utilizar de nuevo la ecuación (1.19) y escribimos sin2(θ/2) = 12 − 1

2 cos θ. Pero θes uno de los vértices del triángulo esférico mZs en el que podemos aplicar el teorema de los cosenosempezando por el coseno del lado Zs ≡ z obteniendo así que cos θ = (cos z − cos d cos y)/(sind sin y).Entonces.

sin2(θ/2) =12− 1

2cos z − cos d cos y

sin d sin y=

12

cos(y − d) − cosz

sind sin y

Utilizamos ahora la definición de S′ para expresar z como z = 2S′ − d − y. Así,

sin2(θ/2) =12

cos(y − d) − cos(2S′ − d − y)sin d sin y

=12

cos [(S′ − d) − (S′ − y)] − cos [(S′ − d) + (S′ − y)]sin d sin y

=sin(S′ − d) sin(S′ − y)

sin d sin y=

sin [(y + z − d)/2] sin [(z + d − y)/2]sin d sin y


sin[90◦ − 1

2 (m + s − d)]sin

[12 (m + d − s)

]sin d cosm

=cosS∗ sin(S∗ − s)

sin d cosm

donde hemos vuelto a sustituir S′ por su valor, hemos sustituido z e y por los suyos y, finalmente,hemos utilizado la definición de S∗. De manera completamente análoga se obtiene una expresiónequivalente para sin2(φ/2), haciendo uso de nuevo del triángulo esférico mZs esta vez para obtenerel cosφ aplicando el teorema de los cosenos empezando por el lado opuesto. Dejo en manos del lectorobtener así el siguiente resultado:

sin2(φ/2) =cosS∗ sin(S∗ − m)

sind cos s

Con estos dos resultados tenemos:

C sin2(θ/2) − c sin2(φ/2) =C cosS∗ sin(S∗ − s)

sind cosm− c cosS∗ sin(S∗ − m)

sin d cos s

=cosS∗

sin d

[C sin(S∗ − s)

cosm− c sin(S∗ − m)

cos s

]= (M − N) csc d cos S∗

donde hemos definido:

M = C sec m sin(S∗ − s)

N = c sec s sin(S∗ − m)

Finalmente, la distancia lunar verdadera D es, según la ecuación (1.22),

D = d − (C − c) + 2(M − N) csc d cosS∗

Método aproximado de Letcher.Este es otro de los métodos que, como el anterior, expresan la distancia lunar verdadera D como ladistancia lunar observada d más una corrección aditiva. Sin embargo, es sorprendentemente simple eincluye como parte del proceso las correcciones por refracción y paralaje de ambos astros de modoque las alturas verdaderas M y S no son necesarias. El método aparece en el libro Self-containedcelestial navigation using H.O.208, por John S. Letcher, publicado en 1977. Sin embargo, el autor nocita referencia alguna sobre este método ni da tampoco su demostración, de modo que no está clara suprocedencia ni siquiera si es una invención de Letcher. En cualquier caso, es con diferencia el métodode aplicación más sencilla de todos lo que lo hace especialmente interesante.El método de Letcher utiliza solamente las variables d, m, s (cuyo significado es el mismo de siempre)y HP que es el paralaje horizontal de la Luna que obtenemos del Almanaque Náutico para el momentoestimado de la observación. El paralaje del otro astro no se tiene en cuenta, incluso aunque se tratedel Sol. Con estas variables, estas son las expresiones a utilizar:

D = d + P + R

La corrección debida al paralaje, P , se obtiene de:

B =cos d sin m − sin s

sin d


P (′) = HP × B +HP 2

[cos2 m − B2

]6900 tand

La corrección P debida al paralaje puede ser tanto positiva como negativa. La ecuación para lacorrección por refracción, R, es:

R(′) = 0,95sin s/ sinm + sinm/ sin s − 2 cosd

sin d

Este método da en ocasiones el resultado exacto que se obtendría utilizando los métodos exactos deYoung o de Borda. Sin embargo, eso no es siempre así y el mismo Letcher comenta en su libro que lasdos mayores fuentes de error del método (el desprecio del paralaje del Sol y la forma elipsoidal real dela Tierra que en el método de Letcher no es tenida en cuenta) pueden combinarse desfavorablementeen ocasiones para dar lugar a errores en D de unos 0,3′. En cualquier caso, este error es más queaceptable teniendo en cuenta la simplicidad del método y el hecho de que los errores de observacióndebidos a los movimientos del barco serán prácticamente siempre superiores.

1.9. Longitud a partir de unas lunares: Un día de navegacióna la antigua

Hasta aquí hemos aprendido la teoría básica del método de las distancias lunares, incluidos méto-dos aproximados para la corrección de la distancia observada así como la manera de obtener la horaTU a partir de esos cálculos y algunos trucos y y consideraciones prácticas a tener en cuenta paramejorar nuestros resultados. Hoy día, cuando toda la navegación astronómica no es más que un di-vertido hobby, nos plantearíamos utilizar el método de las distancias lunares para, en un momentodado, obtener la hora TU y poner nuestro cronómetro en hora, de modo que, a partir de ese mo-mento, practicaríamos navegación astronómica tal cual la entendemos actualmente, es decir, hacemosobservaciones de alturas, anotamos la hora (ahora correcta) de esas observaciones, trabajamos las cor-respondientes rectas de altura a partir de los datos aportados por el Almanaque Náutico y situamos elbarco. Pero en las épocas anteriores a la invención del cronómetro las distancias lunares se utilizabande manera diferente. No se disponía de un reloj permanentemente indicando la hora TU exacta, demodo que la longitud del barco se calculaba por medio de la diferencia entre la hora TU aparente(o sea, el horario del Sol en Greenwich expresado en horas) y la hora aparente local (el horario delSol en el lugar expresado en horas). El primero de ellos se obtenía a partir de las lunares mientrasque el segundo por medio de observaciones del Sol. En esta sección discutiremos cómo se hacía estoilustrando un día completo de navegación astronómica a la antigua.

Para ponerlo de manera más concreta, imaginamos que estamos navegando y, por la razón que sea,hemos perdido la confianza en la hora que marca nuestro reloj. Es decir, sabemos que el reloj indicacon suficiente precisión el intervalo de tiempo entre dos instantes, pero la hora que marca no tiene quever nada con la realidad. En otras palabras, imaginemos que tenemos un cronómetro pero no tenemosni idea del estado absoluto del mismo. En cuanto a nuestra posición, después de la última observacióndel día anterior, hemos estado toda la noche navegando y ahora, primeras horas de la mañana, todolo que tenemos en una situación de estima Se que, puesto que somos unos excelentes patrones, no serámuy mala (hemos anotado, como es preceptivo, cualquier cambio de rumbo y velocidad del barco demodo que podemos hacer una estima completa desde la última posición verdadera conocida) pero es-tará indudablemente afectada de algún error en latitud y en longitud que desconocemos. Disponemosde un sextante, del almanaque náutico y nos hemos estudiado cuidadosamente estas notas sobre elmétodo de las distancias lunares. ¿Qué podemos hacer para determinar la situación del barco? Enesta sección aprenderemos a navegar a la antigua, sin disponer de la hora TU en todo momento, y loharemos indicando paso a paso lo que sería un día completo de navegación astronómica en esa época.Insisto en que esto no es lo que haríamos hoy día, ni siquiera es lo que se hacía en la etapa final devigencia del método de las distancias lunares cuando, disponiendo ya de cronómetros, las lunares seutilizaban para comprobar su marcha o, en otras palabras, establecer su estado absoluto, pasandoentonces a tomar alturas y calcular rectas de altura a partir de las cuales se determina la posición del


barco en cualquier momento en que seamos capaces de medir dos o más alturas de astros.

Paso 1.Por la mañana, cuando el Sol se encuentre suficientemente alto sobre el horizonte (más de 10◦ paraminimizar los errores en la corrección por refracción), medimos la altura del Sol anotando la hora(errónea), Hm, indicada por nuestro reloj. Como la hora indicada por nuestro reloj es errónea y lalongitud de estima también tiene error, la hora TU de la observación es solo una burda aproximación.No podemos entonces pretender obtener una recta de altura útil a partir de esta medida pues el errorsería inmenso e incontrolable. Ese error se deberá fundamentalmente a la incertidumbre en el valor delhorario en el lugar del Sol, incertidumbre debida a la incertidumbre en la hora TU de la observacióny al hecho de que el horario en Greenwich del Sol varía muy rápido (15◦ por hora aproximadamentecomo sabemos bien). La declinación del Sol, sin embargo, varía mucho más lentamente así que suvalor correspondiente al momento de la observación, obtenido del Almanaque Náutico utilizando lahora TU supuesta, no será correcto pero tampoco será demasiado malo. Así que lo que haremos escorregir la altura observada del Sol y resolvemos el triángulo de posición pero calculando el horario enel lugar (o sea, el ángulo en el polo) en lugar de la altura estimada (que no nos serviría de nada). Paraello utilizamos el teorema de los cosenos empezando por la distancia cenital, Cav, que hemos medido.El hl� obtenido será oriental, como corresponde a una observación de la mañana antes del mediodíalocal, y si bien no será exacto tampoco tendrá un error desmesurado pues, como he comentado arriba,la declinación utilizada no será demasiado errónea y el valor utilizado para la latitud dependerá de lacalidad de nuestra estima.

Si el horario en el lugar, hl�, obtenido a partir de la observación, lo transformamos en tiempo (yasabes, cada 15◦ es 1 hora) habremos obtenido lo que se llama el tiempo local aparente, TLA7. El valorde TLA no será correcto pero tampoco tendrá un error más allá de unos cuantos minutos, a no serque nuestro reloj y nuestra estima estén tan descaminados que nuestra hora TU supuesta y nuestralatitud de estima sean un auténtico disparate. Puesto que el horario en el lugar es hacia el E, TLA esel tiempo que falta hasta el mediodía local si el barco permanece en reposo. Si, como será lo habitual,el barco se encuentra en movimiento, entonces hemos de tener en cuenta el desplazamiento del barcoen sentido este u oeste que hará que el tránsito del Sol se adelante o atrase, respectivamente.

R

h

∆L ∆h

h

∆L

h∆

R

l l

Figura 1.18: Paso del Sol por el meridiano del barco en movimiento.

Es evidente8 que el tiempo t que ha de transcurrir hasta el paso del Sol por el meridiano del barco7En inglés local apparent time, LAT, y también llamado en español tiempo solar verdadero u hora solar verdadera.

Como es obvio, este tiempo, si lo contamos desde el mediodía verdadero cuando el Sol verdadero se encuentra en nuestromeridiano de forma que el horario en el lugar (y, por tanto, el TLA) es cero, indica simplemente las horas que faltan (si elhorario en el lugar es E) o las horas que han transcurrido (si el horario en el lugar es W) hasta o desde el mediodía localaparente (mediodía verdadero, no las 12 del mediodía de nuestros relojes que miden tiempo solar medio, no verdadero,y, además, referido al meridiano central del huso en lugar del meridiano local).

8Puedes encontrar una discusión detallada en el Curso de Introducción a la Navegación Astronómica.


es movimiento es:

Barco con rumbo de componente Este:

t =hl�

15 + vb sin(R)60 cos(le)

Barco con rumbo de componente Oeste:

t =hl�

15 − vb sin(R)60 cos(le)

donde vb es la velocidad del barco en nudos, R es, en cada caso, el rumbo del barco medido comoindica la figura 1.18 y le es la latitud de estima en el momento de la observación del Sol por la mañana.Es evidente, teniendo en cuenta cómo varía el signo del seno de un ángulo, que midiendo el rumbo Rde manera circular (es decir, desde el Norte hacia el Este de 0◦ a 360◦), que los dos casos anterioresse pueden englobar en uno solo calculando el intervalo hasta el mediodía aparente local como:

t =hl�

15 + vb sin(R)60 cos(le)

con R medido de 0◦ a 360◦. De esta sencilla manera estimaremos entonces, con error de unos minutos,la hora de paso del Sol por el meridiano. Esto nos permitirá prepararnos con suficiente antelación parala observación del tránsito de Sol y medir la correspondiente altura meridiana.

Paso 2.Observamos el tránsito del Sol anotando la altura meridiana. La hora del tránsito es prácticamenteirrelevante porque nuestro reloj no es fiable. Sin embargo, de la hora TU estimada por la mañanaobtenemos, sumándole el tiempo t transcurrido, una estimación de la hora TU del tránsito con el finde obtener la declinación del Sol en el momento de la meridiana y así calcular la latitud del barco. Esalatitud será muy precisa porque sólo depende de la declinación del Sol cuyo valor será aceptable dadasu lenta variación (1′ por hora como mucho, así que para tener un problema relevante en el cálculo dela latitud debemos tener una estimación de la hora TU francamente desastrosa).

Paso 3.Con la latitud correcta que acabamos de calcular y los datos de rumbo y velocidad del barco que muycuidadosamente habremos ido anotando, deshacemos la estima hasta el momento de la observaciónde la mañana, obteniendo ahora una latitud esencialmente correcta para la situación del barco enel momento de la medida de la altura del Sol. Volvemos entonces a resolver el triángulo de posicióncalculando de nuevo el horario en el lugar que tenía el Sol cuando medimos su altura por la mañana.El resultado obtenido ahora será esencialmente correcto de modo que ahora, pasado a horas, tenemosel valor correcto del tiempo local aparente TLAm correspondiente al instante y situación del barcocuando medimos la altura del Sol esa mañana9. Calculamos entonces (y anotamos cuidadosamenteporque será fundamental después) la diferencia

DT ≡ Hm − TLAm

entre el tiempo local aparente y la hora (errónea) que indicaba nuestro reloj en el momento de medirla altura del Sol por la mañana. Por decirlo de otra manera, DT viene a ser el estado absoluto denuestro reloj pero con respecto al tiempo local aparente en lugar de con respecto al tiempo universal.

Atención: Como los horarios son positivos hacia el W, utilizaremos el convenio de signos siguientes:TLA es positivo cuando es hacia el W, es decir, después del paso del Sol por el meridiano, y es negati-vo cuando es hacia el E, o sea, por la mañana local. Así que en la ecuación anterior TLAm es negativo.

9Ten en cuenta que el TLA depende de la situación pues está referido al meridiano del observador.


Paso 4.Pasadas unas horas, después de la meridiana, tomamos una serie de distancias lunares, bien con elSol o bien con una estrella o planeta si ya ha anochecido. Como ya hemos discutido con anterioridad,tomar una serie de lunares significa medir primero la altura del astro auxiliar, después medir la alturade la Luna, a continuación hacemos varias medidas de la distancia lunar para, seguidamente, medir denuevo la altura de la Luna y, por último, repetir la medida de la altura del astro auxiliar. Anotamosla hora (errónea) indicada por nuestro reloj en cada uno de los tops, tanto de las lunares como delas alturas, pero sobre todo (porque se necesitarán) de las primeras. Siguiendo entonces lo que hemosaprendido en las secciones anteriores, corregimos la distancia lunar y obtenemos la hora TU. Comobien sabemos, esta hora TU que obtenemos es hora solar media en Greenwich y, sin embargo, puestoque lo que somos capaces de determinar a partir de las observaciones del Sol son horas solares ver-daderas (o sea, tiempo local aparente), necesitaremos traducir la hora TU (o sea, GMT ) obtenida dela lunar a tiempo local aparente en Greenwich (o hora solar verdadera en Greenwich), GATlunar

10

correspondiente al momento de observación de la distancia lunar, con el fin de encontrar la longituden la que se encuentra el barco a partir de la diferencia de ambas horas. La diferencia

ET ≡ GAT − GMT (1.23)

es lo que se llama en astronomía ecuación del tiempo. El valor de ET viene tabulado, para cadahora TU, en algunos Almanaques Náuticos anglosajones. En el Almanaque español no es un datoque aparezca directamente pero puede obtenerse su valor correspondiente a las 12:00 TU de maneraindirecta utilizando la hora de paso del Sol por el meridiano de Greenwich, PMG,

ET = 12 : 00 − PMG (1.24)

Observa queET es negativa cuando el Sol verdadero está atrasado con respecto al Sol medio (de modoque entonces PMG, que, evidentemente, está medido en horas solares medias, es mayor que 12 : 00). Sitenemos en cuenta que ET varía, como mucho, unos 20 segundos por día (en los días de más variación),concluimos que, de no disponer de otra fuente, podemos tomar como bueno el valor de ET obtenidode esta manera para todo el día de la fecha.

En resumen, la hora TU obtenida a partir de las lunares la transformamos en GATlunar sumándolela ecuación del tiempo (con su correspondiente signo) cuyo valor habremos obtenido del Almanaque.

Paso 5.Promediamos las horas (erróneas) indicadas por nuestro reloj en los tops de las lunares, obteniendoasí la hora (errónea) Hlunar de observación de la lunar según nuestro reloj. El tiempo local aparentecorrespondiente a la observación de la lunar será entonces:

TLAlunar = Hlunar − DT

Ahora ya tenemos todos los ingredientes para calcular la longitud del barco en el momento de lamedida de la altura del Sol por la mañana, Lm. En efecto, si han transcurrido τ horas entre lamedida de la altura del Sol por la mañana y la medida de la distancia lunar, entonces es evidente queHlunar = Hm + τ , TLAlunar = TLAm + τ y GATlunar = GATm + τ . Por tanto, si restamos:

TLAlunar − GATlunar = TLAm − GATm = Lm

o sea, de la diferencia entre tiempos local aparente en el lugar y en Greenwich del momento deobservación de la distancia lunar obtenemos la longitud del barco cuando observamos la altura del Solpor la mañana.

10GAT , de Greenwich apparent time, en contraposición a la notación habitual GMT (Greenwich mean time) parareferirse a la hora TU que, como muy bien sabemos, se mide con referencia al Sol medio y no al Sol verdadero.


Observa que el cambio de longitud ∆L que se haya producido entre la observación de la alturadel Sol por la mañana y la observación de la distancia lunar no interviene para nada. Por supuesto,si queremos obtener la longitud del barco en el momento de observación de la distancia lunar, notendremos más remedio que llevar rigurosamente la estima, anotando absolutamente toda incidenciaque le afecte (cambios de rumbo y velocidad) de manera que podamos entonces obtenerla por estimaa partir de la situación lm, Lm de la mañana (figura 1.19).

τ

meridianoGreenwich

medidalunares

medida alturaSol por la mañana

horas

Lm

TLAm

∆L

< 0TLA= 0

TLAlunar > 0

meridiana

Figura 1.19: Tiempo local aparente

Observa, también, que el tiempo local aparente correspondiente al momento de medida de ladistancia lunar, TLAlunar, será exacto si nuestro reloj, aunque completamente fuera de hora, es capazde marcar adecuadamente intervalos de tiempo, es decir, si no adelanta ni atrasa excesivamente, demanera que en las τ horas transcurridas entre la medida de la altura del Sol por la mañana (instanteal que corresponde el estado absoluto DT que hemos determinado) y la observación de la distancialunar por la tarde (necesitamos que entre ambos eventos tenga lugar la meridiana para poder calcularDT con precisión) no se ha producido un adelanto o atraso significativo del reloj y el valor de DTobtenido de la altura del Sol por la mañana sigue siendo fiable. Si tenemos la sospecha de que esto noes así, siempre podemos hacer otra medida de la altura del Sol, después de la meridiana y antes de laslunares, que podemos utilizar para recalcular DT procediendo de la misma manera explicada en el Paso3 de arriba: Resolvemos el triángulo de posición para calcular el horario en el lugar del Sol utilizandopara ello la latitud de estima, esencialmente correcta, derivada de la latitud (correcta) obtenida de lameridiana mediante la pertinente estima y la declinación del Sol obtenida del Almanaque para la horaTU estimada de la observación. Este tipo de observaciones del Sol, utilizadas para determinar la horalocal aparente en lugar de para obtener una línea de posición del barco (es decir, una recta de altura)es lo que los anglosajones llaman un time sight, es decir, algo así como una observación del tiempo.

1.10. Lunares sin medir alturasAcabamos de ver en las secciones anteriores que es posible determinar la hora TU a partir de

observaciones de la Luna y otro astro. Los únicos ingredientes necesarios son la medida más o menossimultánea de la distancia lunar y las alturas de la Luna y el otro astro utilizado, pero en ningún mo-mento interviene en todo el proceso la situación del observador, excepto para la corrección del paralajede la Luna por efecto de la forma de la Tierra pero incluso esta pequeña corrección es prescindiblesin más problemas11. Así que en principio es posible obtener la hora TU con total desconocimiento de

11De hecho, si te fijas en las tablas de las páginas 388 y 389 del Almanaque Náutico para la corrección de la alturade la Luna por refracción, semidiámetro y paralaje, la latitud del observador no interviene para nada, solo la alturaaparente de la Luna.


nuestra situación. Sin embargo, como ya he comentado en las secciones anteriores, necesitamos medirla altura de la Luna y la del otro astro y esto se verá muchas veces dificultado o, incluso, imposi-bilitado, por la falta de visión del horizonte con la suficiente nitidez. Afortunadamente, las alturasde la Luna y del otro astro solo intervienen en todo el proceso como magnitudes auxiliares en lacorrección de la distancia lunar medida para obtener la verdadera y esto hace que, en realidad, lasalturas no se necesiten con gran precisión. Por ejemplo, un error de 6 minutos de arco en la altura dela Luna produciría un error de solo unos 0.1’ en la distancia lunar verdadera D. El error producidosería incluso menos importante si ese error en la altura se comete con el otro astro. Aun así, seríamuy deseable poder aplicar el método de las distancias lunares sin tener que medir las alturas de losastros, limitándonos a medir solamente la distancia lunar. ¿Se puede conseguir esto? y, si es así, ¿cuáles el precio a pagar?. Esta sección está dedicada a discutir este punto.

Acabamos de ver en la sección anterior como hacer una sesión de navegación astronómica a lolargo de todo un día cuando disponemos de un reloj que, aunque llevando el ritmo correcto, está fuerade hora de forma que no sabemos la hora TU, y de una situación de estima, a primera hora de lamañana, que está sujeta a errores desconocidos en latitud y longitud. Hemos visto como a partir de unaobservación del Sol por la mañana, la observación de la meridiana y unas lunares por la tarde podemoscalcular la situación verdadera que tenía el barco horas antes en el momento de la observación del Solpor la mañana. Si hemos llevado correctamente las anotaciones de rumbo y velocidad eso nos permiterehacer la estima desde ese momento y disponer de una buena Se correspondiente al momento en quehemos tomado las lunares. Hemos supuesto que esas lunares se han medido con el Sol y que hemossido capaces de medir la altura del Sol y la Luna antes y después de la observación de la distancialunar así que deducir la hora TU a partir de las lunares es fácil en este caso. Pero imaginemos que noes hasta entrada la noche cuando podemos medir la distancia lunar con alguna estrella porque, porejemplo, la tarde ha estado nublada y no hemos podido ver el Sol. Para agravar las cosas, la nocheestá tan oscura que no hay manera de medir las alturas de la estrella utilizada y de la Luna. ¿Quépodemos hacer entonces?, ¿cómo corregimos la distancia lunar medida si no hemos podido medir lasalturas?.

Conocemos el horario en el lugar del Sol en el momento de observar la distancia lunar puesto que,como hemos visto,

TLAlunar = Hlunar − DT.

Además, tenemos una situación de estima cuya latitud es esencialmente correcta (la hemos corregidomediante la meridiana) aunque la longitud puede tener un serio error. Tampoco conocemos aun lahora TU. Lo que necesitamos es calcular la altura verdadera de la Luna, M , y del otro astro, S, para,después, aplicar al revés las correcciones por paralaje y refracción y obtener las alturas aparentes ycorregir la distancia lunar. Para ello lo que hemos de hacer es resolver el triángulo de posición delque necesitamos conocer colatitud, codeclinación y horario en el lugar para aplicar el teorema de loscosenos y obtener la altura. De estos tres datos conocemos con suficiente precisión la colatitud, perolos otros dos han de obtenerse del Almanaque Náutico utilizando la hora TU de la observación (quedesconocemos) y la longitud de estima (que puede estar afectada de un importante error). Consid-eremos el caso de la Luna, todo lo que sigue se aplicará de manera completamente análoga al otroastro. La declinación de la Luna no es un problema ya que podemos hacer, como en el caso del Solen la sección anterior, una suposición sobre la hora TU y obtener δ del Almanaque. Incluso si nuestrasuposición para TU tiene un error de una hora, el error máximo que cometeremos en la declinaciónde la Luna es de unos 15′. Mucho mayor sería el error cometido en el horario de la Luna, error que siconduciría a un valor inservible de M . Aquí es donde tenemos que ser inteligentes y utilizar el horariaen el lugar del Sol que conocemos ya que su valor, hl�, es TLAlunar expresado en grados. Como esobvio:

hlLuna = hl� + (hGLuna − hG�) (1.25)

Así que lo que hacemos es obtener del Almanaque Náutico los horarios en Greenwich de la Luna y delSol en el instante TU que hemos supuesto corresponde a la observación de la distancia lunar. Entoncesobtenemos el horario en el lugar de la Luna mediante la ecuación anterior con la que conseguimos dos


cosas fundamentales: En primer lugar, aunque el horario en Greenwich de la Luna y del Sol aumentancada uno muy rápidamente (unos 15◦ por hora), la diferencia que aparece en (1.25) lo hace muchomás despacio, 0,5◦ por hora como mucho. En segundo lugar, hemos eliminado la necesidad de utilizarla longitud para transformar horario en Greenwich en horario en el lugar con lo que el probable erroren la longitud de estima no nos introducirá errores en el proceso de determinar la hora TU a partirde las lunares. Entonces, si nuestra suposición para la hora TU de la observación de la distancia lunares errónea en 1 hora, el error máximo en el horario en el lugar de la Luna será de medio grado, 30′.Combinando este error con los posibles 15′ máximos de error en la declinación de la Luna inducidopor ese error en TU nos resulta un error máximo de unos 34′ en la altura de la Luna calculada. Esteerror en la altura de la Luna produciría un error, en el peor de los casos, de no más de 0,6′ de error enla distancia lunar corregida. Si tenemos en cuenta el movimiento de la Luna a razón de unos 30′ porhora ese error daría lugar a unos 72 segundos de error en la hora TU obtenida al final del proceso.

En resumen, hemos partido de un error de 1 hora en nuestra estimación de la hora TU para acabarcon un error de tan sólo 72 segundos con tan sólo tomar una serie de distancias lunares, sin medirlas alturas de la Luna y del astro auxiliar, con la única condición de que durante el día hemos hechonuestros deberes, es decir, hemos obtenido DT a partir de una altura del Sol y de la observaciónde la meridiana, además de cumplir la condición, absolutamente fundamental siempre, de llevar unexhaustivo control de cualquier cambio de rumbo y/o velocidad del barco, anotándolo en el libro debitácora, de manera que en cualquier momento pueda reproducirse la estima desde la última situaciónverdadera observada hasta el instante que nos interese. Es posible incluso mejorar este resultado puestoque siempre podremos volver a repetir el cálculo pero utilizando ahora como suposición inicial parala hora TU de la observación de la distancia lunar la hora TU que acabamos de obtener y que, comodigo, tendrá un error de unos 72 segundos (a parte, claro, de los que tenga debido a la inexactituden la medida de d). En general no será necesario esta repetición del cálculo porque esos 72 segundoscorresponden a un error de 1 hora en la hora TU supuesta cuando esperamos que ese error en lapráctica sea siempre menor.

Para finalizar, un comentario sobre cómo hacer una suposición inteligente sobre la hora TU a la quehemos observado la distancia lunar (reduciendo presumiblemente de manera considerable el supuestoerror de 1 hora y, por tanto, los 72 segundos de error causados en la hora TU finalmente obtenidade las lunares). Lo mejor que podemos hacer es lo siguiente: Obtenemos la ecuación del tiempo delAlmanaque Náutico, según explicamos en la sección anterior. Obtenemos entonces la hora civil dellugar correspondiente al instante de observación de la distancia lunar, HClunar, sin más que aplicarla ecuación (1.23)12:

HClunar = TLAlunar − ET

Conocida la hora civil en el lugar utilizamos nuestra longitud de estima para obtener el correspondienteTU:

TU = HC − L

donde, como siempre, L es negativa si es W y positiva si es E. Fíjate entonces que para tener un errorde 1 hora en el TU estimado debemos tener un error de 15◦ en la longitud de estima lo cual significaríaque hemos llevado la estima rematadamente mal.

1.11. BibliografíaNo existe mucha bibliografía disponible sobre el método de las distancias lunares debido, segura-

mente, a que se trata de un método abandonado en la práctica desde hace aproximadamente un siglo.Las fuentes que he utilizado son:

12Aunque esta ecuación está escrita en términos de hora solar media y hora solar verdadera en Greenwich, es evidenteque la misma diferencia existe entre la hora solar media y la hora solar verdadera en cualquier otro meridiano. Es decir,la ecuación del tiempo es la distancia en horas entre el Sol medio y el Sol verdadero y, como tal distancia, no dependede que midamos la posición del Sol desde un origen o desde otro.


1. La mejor fuente de información sobre el método de las distancias lunares ha sido sin duda unaserie de discusiones sobre este tema que han venido teniendo lugar en una lista de correo a laque pertenezco. Esa lista se llama NAVIGATION-L y tiene un sitio web asociado que mantieneun archivo de discusiones antiguas así como otra información muy útil sobre navegación en gen-eral y navegación astronómica en particular. La dirección del sitio web es The Navigation-L Pagehttp://www.wa6pby.com. Si lo deseas puedes darte de alta en la lista de correo desde ese sitio web.

2. Lunar distance explained along with a starter kit for the shore bound navigator, por Arthur N.Person. Este es un artículo básico sobre el tema de las distancias lunares que puede descargarse enformato PDF del sitio web http://www.lunardistance.com

3. About Lunars, parts 1, 2, 3 y 4, por George Huxtable. Magnífica discusión del tema que fueoriginalmente distribuida a través de la lista de correo Navigation-L y que ahora puedes descargartambién de la página http://www.lunardistance.com.

4. A Short Guide to Celestial Navigation, por Henning Umland. El capítulo 2 contiene una discusiónsobre las correcciones a aplicar a las alturas medidas con el sextante.

5. The Mathematics of the Longitude, por Wong-Lee Nah. Esta es la tesina del autor presen-tada en la Universidad de Singapore. El capítulo 8 está íntegramente dedicado al método de lasdistancias lunares, con especial hincapié en los métodos aproximados desarrollados en su día conel fin de poder utilizar logaritmos. Puedes conseguir esta tesina, en formato PDF, en este sitiohttp://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/projects/wln.pdf

Capítulo 2

Un método alternativo

2.1. IntroducciónHemos discutido hasta aquí el método tradicional de las distancias lunares para la obtención de

la hora TU a partir de la observación de la distancia en el cielo entre la Luna y otro astro. Perocualquiera que haya intentado alguna vez aplicar el método en la práctica se habrá dado cuenta deque es bastante complicado, particularmente porque la medida de la distancia lunar (que ha de serextremadamente precisa) es no es fácil de hacer o, al menos, es bastante más difícil de medir conprecisión que la altura de un astro.

En este capítulo vamos a discutir un método alternativo para averiguar, mediante observacionesde la luna, el error de nuestro reloj en el momento de la observación y, de paso, obtener la longituddel barco. Este método utiliza también el hecho de que la Luna es el cuerpo celeste cuyo movimientoaparente en el cielo es el más rápido, pero en lugar de medir ese movimiento comparando la posiciónde la Luna con respecto a otro astro conocido (es decir, la distancia lunar), lo haremos teniendo encuenta el efecto de la variación del ángulo sidéreo de la Luna sobre una recta de altura calculadaa partir de una altura observada de la Luna y una hora de observación afectada del error ∆T delcronómetro, error que queremos determinar. Este método alternativo es teóricamente más complicadoque el tradicional método de las distancias lunares, pero tiene la ventaja de necesitar sólo medidas dealturas. Concretamente, hemos de medir la altura de dos astros (estrellas) para obtener una posiciónobservada del barco (afectada de error puesto que la hora de nuestro cronómetro es errónea) y laaltura de la Luna.

2.2. Cálculo del error del cronómetro y de la longitudEl horario en Greenwich de Aries, hGΥ, aumenta 902,46′ por hora. Puesto que el ángulo sidéreo

y la declinación de las estrellas cambia muy lentamente (tanto es así que, como sabemos, se tomanconstantes a lo largo de todo un mes), resulta que un círculo de alturas iguales obtenido a partir de laobservación de la altura de una estrella se desplaza hacia el oeste a la misma velocidad. Por tanto, sinuestro cronómetro tiene un error de +1 hora (o sea, está adelantado una hora), el círculo de alturasiguales estará desplazado hacia el W 902,46′ y lo mismo le ocurrirá a una recta de altura calculada apartir de esa observación de la estrella y una situación de estima dada. Así que si en lugar de medir laaltura de una única estrella medimos las alturas de dos de ellas y obtenemos la situación observada,esta situación observada estará desplazada 902,46′ hacia el oeste por cada hora de adelanto que tengael cronómetro.

El horario en Greenwich de la Luna, hGLuna, aumenta más despacio que el de las estrellas comoconsecuencia de su movimiento propio (que es hacia el este, compensando parcialmente el movimientoaparente de rotación hacia el oeste de la esfera celeste). En el Almanaque Náutico español figura ala derecha de los valores del hGLuna una columna llamada Dif . Según nos dice el AN en sus hojasexplicativas, esa Dif es la diferencia (en décimas de minuto) entre la variación real de hGLuna que estáteniendo lugar (es decir, la diferencia entre el horario en Greenwich en el momento actual y una horaTU antes) y el valor constante de 14◦19′ = 859,0′ de aumento del horario por hora que se ha tomado

38

CAPÍTULO 2. UN MÉTODO ALTERNATIVO 39

para la confección de las tablas de interpolación que figuran al final del Almanaque. En los almanaquesanglosajones también figura esta diferencia (directamente en minutos de arco en lugar de en décimasde minuto) como ν. Así que tomando ν = Dif/10 (o su valor de un almanaque anglosajón), tenemosque un círculo de alturas iguales obtenido a partir de una observación de la Luna se desplazará haciael oeste a razón de 859,0′ + ν por hora suponiendo que la declinación de la Luna es constante y eseserá, por tanto, el desplazamiento hacia el oeste que sufra la recta de altura calculada a partir deuna observación de la Luna si el cronómetro tiene una hora de adelanto (en el supuesto de que ladeclinación de la Luna fuese constante).

Teniendo ahora en cuenta la relación entre horario en Greenwich y ángulo sidéreo AS de un astro1,resulta que la variación de ángulo sidéreo de la Luna, ∆ASLuna, durante un intervalo de tiempo ∆Tes:

∆ASLuna(′ arco) = (859,0 + ν − 902,46)∆T (horas) = (ν − 43,46)∆T (horas) (2.1)

que es un cambio negativo puesto que ν es siempre menor que 43.46 minutos de arco. Es decir, elángulo sidéreo de la Luna disminuye con el tiempo.

Supongamos ahora que en un momento dado medimos la altura de dos (o más) estrellas y laaltura de la Luna. Obtenemos entonces la situación del barco mediante las alturas de las estrellas.Si nuestro cronómetro, las alturas medidas y las correcciones de las mismas son exactas, entonces larecta de altura obtenida de la observación de la Luna pasará por la situación obtenida a partir delas alturas de las estrellas si el observador permanece en reposo. Ahora bien, si el cronómetro tieneun error ∆T , entonces la situación observada por las estrellas estará desplazada 902,46∆T hacia eloeste (si el error ∆T es un adelanto) o hacia el este (si es un atraso) con respecto a la verdadera(y desconocida) situación del barco, mientras que la recta de altura de la Luna estará desplazadasolamente (859,0 + ν)∆T (suponiendo que la declinación de la Luna permanece constante durante∆T ). Por tanto, si dibujamos en la carta la situación S0 obtenida a partir de las rectas de altura de lasestrellas y la recta de altura de la Luna, observaremos que esta última estará desplazada con respectoa S0 una distancia ∆ASLuna (dada por la ecuación anterior) a lo largo del paralelo de latitud quepasa por S0. Este desplazamiento será hacia el este si ∆T es positivo (cronómetro adelantado) y seráhacia el oeste cuando ∆T sea negativo (cronómetro atrasado) puesto que S0 se desplaza más que larecta de altura de la Luna con respecto a la verdadera (y desconocida) situación del barco, quedandoentonces la recta de altura de la Luna al este de S0 cuando el cronómetro adelanta. La idea es entoncesutilizar este desplazamiento horizontal entre una situación observada mediante dos (o más) alturasde estrellas y la recta de altura obtenida de la observación de la Luna para calcular el error ∆T delcronómetro a partir de él. El procedimiento a seguir se detalla ordenadamente a continuación.

Comenzamos midiendo las alturas de dos (o más) estrellas y de la Luna anotando las horas decada observación según lo indica nuestro reloj (afectado de un error ∆T desconocido). Aplicamos lascorrecciones correspondientes con el fin de obtener las alturas verdaderas. Al igual que ocurría con laaplicación del método tradicional de las distancias lunares, la precisión finalmente obtenida dependecrucialmente de la calidad de las medidas y de la precisión en las correcciones, de modo que ambascosas han de hacerse con sumo cuidado, utilizando las ecuaciones para las correcciones de las alturasexplicadas en el capítulo anterior. Es deseable también permanecer en reposo mientras se toman lasalturas de las estrellas y la Luna de modo que el cambio de situación del barco durante el tiempoque tardamos en medir las alturas no introduzca un desplazamiento adicional de la recta de altura dela Luna con respecto a la posición observada a partir de las alturas de las estrellas. Por tanto, en lapráctica deberíamos parar el barco durante la medida de las alturas.

El siguiente paso es obtener una situación observada del barco a partir del corte de las rectas dealtura de las estrellas. Incluso si las medidas de las alturas fuesen perfectas y el reloj exacto, el cortede las rectas de altura produce un pequeño error en la situación observada debido a la curvatura delcírculo de alturas iguales. Es decir, la recta de altura es una aproximación a la verdadera línea deposición que es el círculo de alturas iguales. Para disminuir este error lo que se puede (y debe) haceres iterar el cálculo varias veces hasta obtener la misma solución en cada iteración. Es decir, partiendode la situación de estima obtenemos la situación observada a partir del corte de las rectas de altura.Ahora tomamos como nueva situación de estima la situación observada que acabamos de calcular yobtenemos una nueva situación observada recalculando las rectas de altura y así sucesivamente hasta

1hG∗ = AS + hGΥ


que la nueva situación observada coincide con la situación de estima. Normalmente basta con doso tres iteraciones. La situación observada obtenida al final de este proceso contendrá un error enlongitud desconocido debido al error desconocido del cronómetro. Sin embargo, la latitud obtenidaserá correcta puesto que la declinación de las estrellas no habrá variado en el transcurso de ∆T .

P

0

ZLuna

∆aLuna

∆AS total

∆ASLuna∆

S

dec

Recta de altura de la Luna

Figura 2.1: Desplazamiento de la recta de altura de la Luna con respecto a la posición observadamediante alturas de estrellas (ver texto).

Ahora utilizamos la situación observada obtenida de las estrellas, S0, como situación de estimapara calcular la recta de altura de la Luna. Como hemos discutido más arriba, si la declinación de laLuna fuese constante obtendríamos la recta de altura de la Luna cortaría al paralelo que pasa por S0

a una distancia dada por la ecuación (2.1), al este de S0 si el reloj está adelantado y al oeste si estáatrasado. La variación de la declinación de la Luna durante ∆T produce un desplazamiento horizontaladicional ∆Pdec de la recta de altura de la Luna con respecto a S0, como se indica en la figura 2.1, demodo que la distancia horizontal total, ∆AS total, es la suma algebraica de ambas contribuciones. Dela figura es evidente que:

∆AS total(millas) =∆aLuna(′arco)

cos(270◦ − ZLuna)= −∆aLuna(′arco)

sin ZLuna

Este desplazamiento expresado en minutos de arco se obtendrá sin más que dividir por el coseno dela latitud2:

∆AS total(′arco) = −∆aLuna(′arco)sinZLuna cos l

(2.2)

La obtención de esta ecuación, utilizando trigonometría en el triángulo de la figura 2.1, implica quehemos despreciado la curvatura del círculo de alturas iguales de la Luna, aproximándolo por la rectade altura. El error cometido será menor cuanto mayor sea el radio de dicho círculo que tiene el valor90◦−a. Por tanto el error será menor cuanto menor sea la altura de la Luna. En la práctica eso significaque debemos limitarnos a alturas de la Luna menores de unos 70◦. Por otra parte, teniendo en cuentala construcción de la figura 2.1, es claro también que el error cometido al despreciar la curvatura del

2Observa que ∆AS total(millas) es el apartamiento entre S0 y la intersección de la recta de altura de la Lunacon el paralelo de latitud. ∆AS total(

′arco) será el la diferencia de longitud correspondiente a ese apartamiento y seobtendrá entonces dividiendo por el coseno de la latitud. Por contra, la diferencia de alturas de la Luna, ∆aLuna,aparece directamente en minutos de arco puesto que al ser minutos de arco de un círculo máximo son directamentemillas náuticas.


círculo de alturas iguales es menor cuanto más perpendicular corte al paralelo de latitud, así que enla práctica será ideal utilizar este método cuando el azimut de la Luna esté lo más próximo posible alos 90◦o a los 270◦.

Para poder aplicar el método hemos de obtener ahora ∆Pdec que es el error que tenemos en ánguloen el polo P debido a un incorrecto valor de la declinación del astro inducido por estar consultando elvalor de la declinación a una hora TU que no corresponde con la de la observación de la altura, comoindica la figura 2.2.

90 − l

90 − a

90 − ao

o

o

∆∆ ∆+d

P

P∆ dec

Figura 2.2: Variación del ángulo en el polo debida a un error en la declinación del astro en el momentode la medición de su altura.

Como es evidente de la figura, ∆Pdec corresponde a la diferencial de P obtenida a altura y latitudconstantes. Como tenemos que

cos(90◦ − a) = cos∆ cos(90◦ − l) + sin ∆ sin(90◦ − l) cosP

sina = cos∆ sin l + sin∆ cos l cosP

Diferenciando esta ecuación con a y l constantes, obtenemos:

0 = (− sin ∆ sin l + cos∆ cos l cosP )d∆ − sin ∆ cos l sin PdP

despejando:

dP =(

1tan ∆ tanP

− tan l

sin P

)d∆ (2.3)

Ahora tengamos en cuenta que, puesto que ∆ = 90◦ ∓ δ, tendremos:


d∆ = ∓dδ

correspondiendo el signo (-) al caso en que la latitud del observador sea del mismo nombre (signo)que la declinación del astro y el signo (+) cuando latitud y declinación son de distinto nombre. Denuevo, la columna Dif a la derecha de las declinaciones de la Luna en el Almanaque Náutico nos dalas décimas de minuto que cambia la declinación en la hora en cuestión. Ese mismo dato figura en losalmanaques anglosajones en minutos (no en décimas de minutos) como d así que llamaremos::

d ≡ Dif

10

y d puede ser positiva o negativa según la tendencia de la declinación de la Luna en ese momento.Entonces durante el intervalo ∆T la codeclinación de la Luna habrá variado,

d∆ = ∓d∆T

donde d y ∆T tiene cada uno su signo correspondiente. Ahora reescribamos la ecuación (2.3) como:

dP = Γd∆ (2.4)

con

Γ =1

tan ∆ tanP− tan l

sin P(2.5)

De la figura 2.2 es evidente que dP es hacia el este (dP < 0 porque, por definición, los horarios crecenhacia el oeste) cuando d∆ es positiva y dP es hacia el oeste (dP > 0) cuando d∆ es negativa. Asípues, tenemos que añadir un signo (-) a la ecuación (2.4). De este modo, tenemos que:

dP = −Γ(∓)d∆T (2.6)

Por otra parte, la otra contribución a ∆AS total era

∆ASLuna(′ arco) = (ν − 43,46)∆T

que ya cumple el criterio de signos correcto: ∆T > 0 (cronómetro adelantado) produce un ∆ASLunahaciael este (o sea, negativo) porque el paréntesis de la ecuación anterior es siempre negativo. Por tanto,la condición

∆AS total = ∆ASLuna + dP

la podemos escribir finalmente como

−∆aLuna(′ arco)sinZLuna cos l

= [ν − 43,46 − Γ(∓)d] ∆T

De donde obtenemos finalmente que el error del cronómetro, en segundos, es:

∆T (seg) =3600∆aLuna(′)

[43,46 − ν + Γ(∓)d] sin ZLuna cos l(2.7)


Una vez obtenido el error del cronómetro podemos obtener la corrección a la longitud de S0 (lalatitud de S0 ya era correcta). Para ello lo que hemos de tener en cuenta es que si las rectas de alturade las estrellas estaban desplazadas 902,46′ hacia el oeste por cada hora de adelanto del cronómetro,entonces la corrección CL que hemos de aplicar a la latitud L0 obtenida de las rectas de altura de lasestrellas será:

CL =902,463600

∆T (seg) = 0,250683∆T (seg) (2.8)

Así que, finalmente, la longitud corregida es:

L = L0 + CL

de modo que si ∆T > 0 (cronómetro adelantado) CL es positiva, o sea, hacia el este, mientras que lacorrección es hacia el oeste si el cronómetro está atrasado.

Ejemplo.Vamos a ilustrar la utilización de este método mediante un ejemplo.

Supongamos que el 30 de enero de 2004 nos encontrábamos (situación verdadera Sv) en 38o 42.5’N, 0o 12.0’ E cuando eran las 19:30:00 TU. Nuestro sextante ha sido ajustado de modo que Ei = 0.Nuestra altura de observación sobre el nivel del mar es eo = 1,5 metros. Utilizando un programade navegación astronómica (yo he utilizado el excelente programa Navigator de Omar Reis) es fácilobtener que en esas condiciones tendríamos los siguientes datos:

Luna:av = 70◦37,4′ (av ≡ altura verdadera)ai = 70◦06,6′ (ai ≡ altura instrumental, o sea, lo que debe indicar el sextante).

Procyon:av = 31◦46,9′

ai = 31◦50,6′

Menkar:av = 52◦17,9′

ai = 52◦20,8′

Estos datos son exactos. Es decir, si estamos situados en Sv el día de la fecha y a la hora TU in-dicada y tomamos las alturas de esos tres astros con un sextante sin error de índice y a 1.5 metrossobre el agua, entonces obtendremos las alturas instrumentales indicadas (suponiendo, evidentemente,que no comentemos ningún tipo de error en el manejo del sextante).

Lo que haremos para ilustrar la utilización de este método es suponer que estamos navegando yque realmente estamos en Sv (aunque nosotros la desconocemos y en su lugar tenemos una situaciónde estima Se) el 30 de enero de 2004 a las 19:30:00 TU. Suponemos también que nuestro manejo delsextante es exacto así que, por lo tanto, al tomar las alturas de los tres astros en cuestión obten-dremos los valores indicados arriba. Supongamos, sin embargo, que nuestro reloj tiene un atraso de,digamos, 10 minutos. Entonces como resultado de nuestra observación de alturas tendremos las al-turas instrumentales anteriores pero habremos anotado como instante de observación las 19:20:00 TU.Supongamos, además, que nuestros cálculos de estima indican que en el momento de la observaciónla situación del barco es 38◦42,0′N , 0◦10,0′E. En resumen, que nuestros datos, obtenidos en plenanavegación, son:

30/Enero/200419:20:00 TU


Se ={

38◦42,0′N000◦10,0′E

Luna Procyon Menkarai = 70◦06, 6′ ai = 31◦50,6′ ai = 52◦20,8′

Con estos datos queremos aplicar el método alternativo a las lunares tradicionales, según acabamos deexplicar en este capítulo, para obtener como resultado el error del cronómetro (o sea, los 10 minutosde atraso) y la verdadera situación del barco.

Paso 1. Calculamos una situación observada S0 a partir de las rectas de altura de las estrellas,iterando las veces necesarias hasta que obtengamos la misma situación observada que la situación deestima de partida. Los datos que obtenemos son:

Iteración 1. Partiendo de la Se anterior, obtenemos:

Procyon: ∆a = +111,6′, Z = 109◦

Menkar: ∆a = −51,8′, Z = 204◦

Con estas rectas de altura obtenemos una situación observada S0 ={

38◦46,3′N002◦43,2′E

Es interesante observar los enormes valores de ∆a que obtenemos para ambas estrellas, consecuenciadel error en la hora de la observación.

Iteración 2. Ahora tomamos la situación S0 anterior como situación de estima y volvemos a cal-cular los determinantes de las rectas de altura de ambas estrellas y una nueva situación observada apartir de ellos. Los resultados son:

Procyon: ∆a = +0,8′, Z = 111◦

Menkar: ∆a = +3,6′, Z = 208◦

Con estas rectas de altura obtenemos una situación observada S0 ={

38◦42,5′N002◦42,4′E

Una tercera iteración conduce a diferencias de altura ∆a nulas para ambas estrellas y, por tantoa la misma situación observada S0 anterior. Fíjate como la latitud observada es la correcta, a pesarde los enormes valores iniciales de ∆a, mientras que el error en longitud es considerable, como corre-sponde a tener un serio error en el tiempo de la observación.

Paso 2. Ahora utilizamos la situación S0 obtenida de las estrellas como situación de estima parael cálculo de los determinantes de la recta de altura de la Luna. Los resultados obtenidos, junto conlos datos necesarios sacados del Almanaque Náutico son:

∆a = +2,9′

ZLuna = 201,66◦

δ = 20◦23,9′N ⇒ ∆ = 69,601666666◦

hG = 4◦49,0′ ⇒ hL = 4◦49,0′ + 2◦42,4′ = 7◦31,4′ ⇒ P = 7,5233333◦(W )ν = 13,5d = +9,3

Con estos datos obtenemos, utilizando la ecuación (2.5),

Γ =1

tan(69,6016666666) tan(7,5233333333)− tan(38,7083333333)

sin(7,5233333333)= −3,305030756

El error del cronómetro, ∆T , es entonces, según la ecuación (2.7):


∆T =3600 × 2,9

[43,46 − 13,5 + (−3,305030756)× (−)9,3] sin(201,66) cos(38,70833333333)= −597,2 seg

O sea, 9.95 minutos de atraso. Como se ve el resultado es excelente. Procedamos ahora a corregir lalongitud:

CL =902,463600

597,2 = 149, 7′ = 2◦29,7′ W

La corrección es hacia el W puesto que el cronómetro está atrasado. Por tanto, el resultado final parala longitud del barco es:

L = 2◦42,4′ − 2◦29,7′ = 000◦12,7′E

que difiere tan sólo en 0.7’ de la verdadera longitud del barco.

2.3. BibliografíaEl método alternativo a las lunares tradicionales descrito en este capítulo se basa casi íntegramente

en el capítulo 7 de las magníficas notas A Short Guide to Celestial Navigation por Henning Umland.

Capítulo 3

Apéndice: La Luna

La Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita elíptica (a una distancia media de unos60 radios terrestres y con una excentricidad comprendida entre 55 y 66 radios terrestres) que recorre,de Oeste a Este, en un periodo de 27 días 7 horas 43 minutos 11.5 segundos (27,321 días) llamadoperiodo sidéreo. Este tiempo coincide con el que tarda en girar sobre si misma, motivo por el cualpresenta siempre la misma cara a un observador situado sobre la Tierra. De acuerdo con las leyes deKepler que rigen el movimiento orbital, la Tierra se encuentra en uno de los focos de la elipse, así queexiste un punto de máxima distancia Tierra-Luna (el apogeo) y uno de mínima distancia (el perigeo).

La órbita de la Luna forma un ángulo de unos 5o (5o8′ 43,4′′para ser exactos) con respecto alplano de la órbita de la Tierra alrededor del Sol (la eclíptica). Consecuentemente, el círculo que dibujaaparentemente sobre la bóveda celeste está inclinado esos 5o con respecto a la eclíptica (que sobre labóveda celeste aparece como el círculo aparente recorrido por el Sol sobre la esfera celeste a lo largode un año) cortándola en dos puntos que se llaman nodos (figura 3.1 ) .

Figura 3.1: Órbita de la Luna.

Si en lugar de dar vueltas alrededor de la Tierra la Luna estuviese fija en el cielo, entonces cada díaveríamos a la Luna en el mismo punto del cielo con respecto a las estrellas. Sin embargo, su movimientoalrededor de la Tierra se traduce para un observador terrestre en un movimiento aparente a lo largode la bóveda celeste (o sea, con respecto a las estrellas) de unos 13o diarios, es decir, aproximadamentemedio grado por hora. Así que si observamos la Luna unas cuantas horas seguidas a lo largo de unanoche veremos como se desplaza unos cuantos grados con respecto a las estrellas fijas.

A medida que la Luna se va moviendo en su órbita en las proximidades de la eclíptica su posiciónrelativa a la Tierra y al Sol va variando. Con ello varía la porción de la cara visible de la Lunaque es iluminada por el Sol dando lugar a lo que llamamos fases de la Luna. Cuando la Luna yel Sol ocupan posiciones opuestas en el cielo con respecto a la Tierra (posición 1 en la figura 3.2)podemos ver la totalidad de la cara visible de la Luna iluminada por el Sol durante toda esa noche

46

CAPÍTULO 3. APÉNDICE: LA LUNA 47

��

��

Cuarto CrecienteLuna Nueva

Cuarto MenguanteLuna Llena

8765

4321

8

76

5

43

2

1

Cuarto Creciente

Luna

Cuarto Menguante

NuevaLuna Llena

Figura 3.2: Fases de la Luna. En la parte de abajo se representa la imagen que ve un observadorterrestre en cada una de las posiciones.

(Luna Llena). La imagen que ve un observador terrestre se muestra en la parte de abajo de la figura3.2. Aproximadamente una semana después la Luna se coloca en la posición 3 mostrándonos mediacara brillante y la otra media oscura en lo que llamamos Cuarto Menguante que, dado el sentido derotación de la Tierra, veremos durante la última parte de la noche y por la mañana. Posteriormente,en la posición 5, la cara visible de la Luna está completamente oscura con lo cual no es visible (LunaNueva). A medida que sigue pasando el tiempo la Luna llega a la posición 7 en la que de nuevomedia cara visible está iluminada y la otra mitad oscura (sólo que las mitades oscura y visible son lascontrarias vistas desde la Tierra a las correspondientes al Cuarto Menguante) dando lugar al CuartoCreciente que veremos por la tarde y durante la primera parte de la noche.

Hemos de tener en cuenta que mientras la Luna da una vuelta completa alrededor de la Tierra (unavuelta completa en su órbita aparente sobre la esfera celeste), pasando de la situación 1 a la situación2 indicadas en la figura 3.3, la Tierra ha continuado su translación alrededor del Sol recorriendo unos30o. De esta manera, una vez que la Luna ha completado su órbita alrededor de la Tierra resulta queel sistema Sol-Tierra-Luna no se encuentra en las mismas posiciones relativas de partida (en la figura3.3 partimos de Luna llena y una vuelta después, en 2, no estamos en Luna llena). Por tanto, paraque el sistema Sol-Tierra-Luna se encuentre en la misma posición de partida y se repita la fase dela Luna esta última ha de recorrer esos 30o más en lo que invierte unos 2 días. Por consiguiente, elperiodo de repetición de la fase lunar es de 29 días, 12 horas y 44 minutos (29,53 días) y es lo que sellama periodo sinódico o mes lunar. A la secuencia de fases desde una dada hasta que esa misma


fase se repite, es decir a la secuencia que tiene lugar durante un periodo sinódico, se le da tambiénel nombre de lunación. Se llama edad de la Luna al número de días (o fracción) transcurridosdesde la última Luna Nueva. Puede variar, evidentemente, desde 0 hasta 29,5 días (correspondientesal periodo sinódico). De este modo, la Luna Llena se produce un poco antes de que cumpla 15 días.La edad de la Luna se puede encontrar, para cada día, en el Almanaque Náutico.

Figura 3.3: Periodo sinódico.

El eje de rotación de la Luna está inclinado con respecto al plano de su órbita alrededor de laTierra, es decir el eje de rotación no es perpendicular al plano de la órbita, igual que le ocurre al ejede rotación de la Tierra con respecto al plano de la eclíptica, inclinación que en el caso de la Tierraes la causa, como bien sabemos, de la existencia de las diferentes estaciones. La inclinación del ejede rotación de la Luna con respecto al plano de su órbita tiene también ciertas consecuencias conrespecto a la superficie de la cara visible de la Luna que somos capaces de ver desde la Tierra: Habrámomentos a lo largo de una lunación en los que el polo norte lunar está inclinado hacia la Tierra conlo que veremos incluso una pequeña parte, próxima al polo norte lunar, de la cara oculta. Duranteotro tramo de su órbita alrededor de la Tierra será el polo sur lunar el que está inclinado hacia laTierra, dejándonos ver una pequeña parte de la cara oculta cercana a ese polo. Este fenómeno, quenos permite observar algo más de la mitad de la superficie lunar si observamos a lo largo de unalunación completa, es lo que se conoce como libración en latitud. Pero hay más tipos de libración.En efecto, hemos dicho que la Luna nos muestra siempre la misma cara porque tarda el mismo tiempoen dar una vuelta completa a su órbita alrededor de la Tierra que en dar una vuelta sobre si misma,o sea, que el periodo sidéreo coincide con el día lunar. Sin embargo, para que, en sentido horizontalo, si se prefiere, este-oeste, veamos siempre la misma fracción de la superficie lunar es necesario quetanto la velocidad de rotación de la Luna como su velocidad de translación alrededor de la Tierrasean uniformes, es decir, que no cambien, que gire siempre a la misma velocidad. Esta condición secumple para la velocidad de rotación alrededor de su eje. Ahora bien, la órbita de la Luna es elíptica(si bien con una excentricidad muy pequeña, es decir, que es casi circular). Entonces, de acuerdocon la segunda ley de Kepler1, la velocidad de translación a lo largo de su órbita ha de ser mayorcuando la Luna se encuentra más próxima a la Tierra (en su perigeo) que cuando se encuentra en suapogeo (más lejana de la Tierra), de forma que compense recorriendo más o menos arco de la órbitala disminución o aumento de la distancia a la Tierra y, de esta manera, las áreas barridas por el radiode la órbita en tiempos iguales sean iguales de acuerdo con la ley de Kepler. Así que cuando la Lunase encuentra en el perigeo se adelanta ligeramente en su movimiento de translación con respecto alde rotación mostrándonos de esta manera una pequeña porción de superficie que permanecería ocultade no producirse este adelantamiento. Análogamente, cuando la Luna se encuentra en su apogeo,la translación se retrasa con respecto a la rotación y nos muestra de nuevo una pequeña porción de

1La ley de la velocidad areolar constante: Las áreas barridas por la línea que une el centro de la Tierra con el centrode la Luna en tiempos iguales han de ser iguales.


superficie (por el lado contrario al caso anterior) que permanecería de otro modo oculto. Este fenómenose conoce como libración en longitud. Finalmente, un tercer aspecto a tener en cuenta es el hechode que de la Tierra está rotando sobre si misma llevando con ella en su rotación al observador que estámirando a la Luna y produciendo con ello un cambio en la posición del observador con respecto a laLuna. La cuantía de este fenómeno, llamado libración diaria, depende de la situación del observadorsobre la Tierra. Por entenderlo de algún modo, es algo así como el efecto de paralaje que tendría lugarsi colocamos una pelota de tenis a unos 10 metros de distancia y miramos la pelota alternativamentecon el ojo derecho y el izquierdo. El resultado conjunto de estos tres fenómenos de libración es que esposible observar desde la Tierra algo más de la mitad de la superficie lunar, concretamente el 59 %.

G

GG

1 En un instante dado: 1 En un instante dado:

2 Un dia sidereo despues:

G

*

*f=1º b=13.2º

R=12.2º

2 Un dia solar medio (TU) despues:

*

*RetardoAc. fijas

Figura 3.4: Retardo de la Luna y aceleración de las fijas.

Los datos referentes a la posición de la Luna en el cielo en un momento dado los podemos obtener,como para el resto de astros de interés en navegación, del Almanaque Náutico. Cada página diariacontiene, para cada hora de tiempo universal, el horario en Greenwich y la declinación. Asimismo, elAlmanaque proporciona los valores del paralaje horizontal, HP , en tres instantes de cada día, la horade paso por el meridiano de Greenwich y las horas de salida y puesta para diferentes latitudes delobservador. Asimismo el Almanaque proporciona el retardo diario, R, que se produce tanto en la horade paso por el meridiano de Greenwich como en las horas de salida y puesta. ¿En qué consiste esteretardo? Pues la distancia relativa entre la Luna y el Sol medio sobre la esfera celeste no es constantesino que cambia. Este cambio habrá que tenerlo en cuenta a la hora de calcular la hora a la que laLuna se encuentra en una posición dada (sobre nuestro meridiano en el caso del retardo en la horade paso por el meridiano) o, también, en el cálculo de las horas de su salida y puesta. El problema esahora un poco más complicado, simplemente porque el cambio de posición relativa entre el Sol y laLuna no es constante sino que, debido a que la Luna tiene también su movimiento propio, son ahoraambos astros, la Luna y el Sol medio, los que se desplazan sobre la esfera celeste. La combinación deambos movimientos propios se traduce en que la Luna presenta un Retardo (con respecto al Sol medio,o sea, en tiempo TU) entre dos pasos consecutivos por el meridiano de Greenwich. Evidentemente,


toda efeméride relativa a la Luna está afectada de su correspondiente retardo que, como hemos vistocon anterioridad, viene tabulado en el AN. Veamos un poco más detenidamente el origen del Retardoen el paso por el meridiano de Greenwich:

Imaginemos un instante dado en el que el Sol, la Luna y una estrella fija se encuentran sobreel meridiano de Greenwich (secuencia 1 de la izquierda en la figura 3.4, visto desde el Polo Norte.G representa el meridiano de Greenwich). Pasado un día sidéreo la estrella vuelve a estar frente aGreenwich, pero el Sol medio aún no ha llegado pues, como sabemos, huye por la eclíptica (hacia el E)a razón de, aproximadamente, 1◦ (4 minutos) diario. Este ángulo, que se ha representado por f en lafigura, es la aceleración de las fijas. La Luna da vueltas alrededor de la Tierra de forma que tarda 27,3días en una vuelta completa (este tiempo se conoce como periodo sidéreo de la Luna, como hemos vistomás arriba). Así que la Luna también huye aparentemente por la esfera celeste (en la misma direcciónque el Sol, hacia el E). Pero huye mucho más rápido pues lo hace a razón de 360◦/27,3 = 13,2◦ = 52minutos diarios (ángulo b en la figura). Así que, pasado un día sidéreo a la Luna aún le faltan 13,2◦

para llegar a Greenwich . Es evidente que, puesto que medimos el tiempo respecto al Sol medio yno a las estrellas, la situación es la representada en la parte de la derecha de la figura: Pasado undía solar medio (un día TU), la estrella se ha adelantado unos 4 minutos y la Luna se ha retrasado13,2◦ − 1◦ = 12,2◦ = 48,8 minutos. Este es el Retardo que figura en el AN. Si te fijas en la figura 3.4comprenderás, además, que el horario en Greenwich del Sol un día dado a una hora TU dada debe sermuy parecido al del día anterior a la misma hora. Sin embargo, si hacemos la misma comparación conla Luna, el horario en Greenwich de la Luna a una hora TU dada debe haber disminuido con respectoal del día anterior a la misma hora en 12,2◦, y este es el comportamiento que puedes observar en elAN2.

2Evidentemente, no esperes que los 12,2◦ sean exactos ni, tampoco, que el horario del Sol a una hora TU no cambiede un día a otro. Como ya hemos dicho varias veces, hay otros fenómenos y movimientos de los astros que no hemostenido en cuenta en nuestra explicación pero que si se tienen en cuenta, obviamente, en los cálculos que dan lugar alAN.

distancias lunares

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