Distribuciones Discretas

Distribuciones Discretas.Variable aleatoria y distribuciones de Probabilidad.

Introduccin.

Se define un experimento como el proceso que culmina con la toma de una medicin ( o una observacin ), la mayora de los experimentos producen una medicin numrica que desde luego varia al considerar distintos puntos mustrales y esta variacin es aleatoria.La medicin es llamada una variable aleatoria, si Y es una variable aleatoria si el hecho de que tome un valor particular es en s mismo un evento aleatorio.El observar el nmero de defectos de determinado articulo de manufactura o el registro del promedio de un estudiante, son experimentos que producen variables aleatorias.Se puede pensar que la poblacin asociada a un experimento Se genera al repetir ste un nmero grande de veces y al considerar el conjunto de mediciones asociados como se ha hecho notar anteriormente, nunca se llega a medir a todos los miembros de una poblacin; si embargo, se puede concebir la idea de hacerlo. En vista de lo anterior, se desea obtener un subconjunto pequeo de esas mediciones, llamadas muestra, y con la informacin contenida de sta, describir o hacer inferencia acerca de la poblacin.

CLASIFICACION DE UNA VARIABLE ALEATORIA.

Las variables aleatorias se clasifican en dos tipos: Discretos y continuos.Definicin I.Una variable aleatoria discreta es aquella que toma a lo ms, una cantidad numerable de valores distintos.El hecho de que la cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria. Sea numerable quieres decir que estos valores se pueden asociar a los enteros 1, 2, 3, 4en otras palabras que se pueden enumerar.Ejemplos.1) El numero de automviles vendidos en un por el auto lote el Chele.2) En nmero de accidentes en una semana, en las zonas francas.3) El nmero de clientes que esperan servicio de caja en supermercado Pali.Definicin II.Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor de entre todos los contenidos en un intervalo de la recta.Como ejemplo 1) El tiempo necesario para completar el ensamblaje de un artculo.2) Cantidad de petrleo, la cual se abastece el gobierno de Nicaragua cada mes.3) La cantidad de energa elctrica producida una planta hidroelctrica en un da, en la ciudad de Managua.Es importante la diferencia que se hace entre las variables aleatorias discretas y continuas, ya que se requiere modelos probabilsticos distintos para cada una de ellas. Las probabilidades asociadas a cada valor posible de una variable discreta suman uno, y eso no es posible para las continuas.

Ejercicios. Identificar las variables aleatorias siguientes como discretas y continuas.

a) El numero de transistores defectuosos en un embarque de 10000 transistores.b) El numero de robos ocurridos en un almacn en un determinado perodo de tiempo.c) El nmero de plizas vendidas por un agente de seguros en una determinada semana.d) La cantidad de gasolina consumida por un vehculo.e) La demanda diaria de energa elctrica.f) La cantidad de turistas que visitan cada mes la isla de Ometepe.En reas de negocios y economa, abundan los ejemplos de variables aleatorias discretas, aunque son tres las distribuciones discretas de mayor utilidad como modelos, para las diversas aplicaciones. Estas tres distribuciones son las llamadas: Binomial, Poisson e hipergeomtrica. En esta unidad se estudian estas distribuciones haciendo nfasis en su derivacin como modelos de procesos discretos que aparecen con frecuencia en diversos esquemas del rea de negocios.

DEFINICION DE MODELO BINOMIAL. Un experimento binomial: Es un experimento que tiene las siguientes propiedades.

1) El experimento consiste de n ensayos idnticos.2) Cada ensayo produce uno de los dos resultados posibles. A uno se le llama acierto, y el otro falla. F3) La probabilidad de acierto en un solo ensayo es igual a P y es constante de prueba en prueba, cuya probabilidad de fracaso es igual a . q=1-P4) Los ensayos son Independientes.5) El experimento esta interesado en la variable Y que representa el nmero de aciertos observados en los n ensayos Ejemplo: Supngase que existe un poblacin de aproximadamente 1000,000 consumidores potenciales de una articulo producido por determinada empresa y que una proporcin desconocida p de ellos lo prefiere sobre los producidos por la competencia. Con el propsito de llevar a cabo un estudio del mercado, se selecciona una muestra de 1000 compradores de forma que cada una de los elementos de la poblacin tenga la misma oportunidad de ser seleccionado. A cada comprador seleccionado se le pregunta si prefiere el producto producido por esta empresa o no Es este un experimento Binomial? Solucin: Para determinar si este es un experimento binomial, se debe verificar se se satisfacen las cinco propiedades, descritas anteriormente.1) El muestreo consiste de n ensayos idnticos. Cada ensayo representa la seleccin de una persona del milln de compradores potenciales.2) Cada ensayo tiene dos resultados posibles: La persona prefiere el producto (acierto) o no (falla).3) La probabilidad de un acierto es igual a la proporcin de compradores potenciales que prefieren el producto. Por ejemplo, si del milln de compradores potenciales 400,000 prefieren el producto, entonces la probabilidad de seleccionar a una persona que lo prefiera es p=0.4 . Para efectos prcticos, esta probabilidad permanece constante de ensayo en ensayo a pesar de que en el procedimiento de muestreo no hay reemplazo.4) Para efectos prcticos, la probabilidad de un acierto en cualquier ensayo no se afecta por el resultado de los dems ( permanece muy cercana a p) 5) Nos interesa el nmero y, de personas en las muestras de 1000 que prefieren el producto.Dado que el experimento satisface razonablemente bien las 5 propiedades para los efectos prcticos se puede tomar como un experimento binomial.

Distribucin de Probabilidad Binomial.

Donde y puede tomar los valores 0, 1,2n

Su media o valor esperado es:

Varianza y desviacin estndar es.

Ejemplo1 Si p=0.56 y n es igual a 5 calcular las probabilidades de:Datos.n=15p=0.56q=1-p=1-0.56=0.44

-

Ejemplo2 Un fabricante cree que el 30% de los consumidores prefieren su producto. Para verificar lo anterior, toma una muestra 800 consumidores y determina el nmero y de ellos que prefieren su producto. Si el 30% de todos los consumidores prefiere el producto de este fabricante dentro de qu lmites esperara ud. Que estuviera el valor de y?Datos

y= nmero de consumidores que prefieren el producto.

Con base al teorema de TChebysheff y la regla emprica. Se esperara q ue y estuviera en un intervalo o . Los intervalos son (240-2*12.96 ; 240+2*12.96)(214.08 ; 265.92)

Ejemplo3Una estacin de gasolina en el departamento de Estel, vende el combustible con un descuento de 2 centavos por galn a aquellos clientes que paguen en efectivo y no con tarjeta de crdito. La experiencia indica que el 40% de los clientes pagan en efectivo. Durante un determinado da 25 clientes compraron gasolina a) Encuentre la probabilidad de que al menos 10 hayan pagado en efectivo.b) Encuentre la probabilidad de que ms de 10 y menos de 15 hayan pagado en efectivoDatos.

X=Numero de clientes que pagan en efectivo.Este tipo de probabilidad es fcil encontrarla por medio de una tabla de probabilidad acumulada. La cual muestra la suma total de las probabilidades desde x=0 hasta x=9a)

Podemos decir que la probabilidad de que al menos 10 hayan pagado en efectivo es de 0.575, el cual representa el 57.5 porciento de la muestra.b)Podemos decir que la probabilidad de que ms de 10 y menos de 15 clientes hayan pagado en efectivo en la gasolinera es de 0.401 el cual representa el 40.1 porciento de la muestra.

Ejercicios de aplicacin de distribuciones discretas.

Distribucin Binomial.1) Segn un ingeniero en sistema afirma que tiene la certeza que un 70% , un programa de contabilidad se ejecutar exitosamente. Si se eligen a 10 programadores y se les pide crear un programa para la empresa Simplemente MaderaCul es la probabilidad de que exactamente 5 programadores ejecuten exitosamente su programa?Menos de 5 programadores ejecuten bien su programa?Ocho ejecuten bien su programa?Ms de 7 ejecuten exitosamente el programa?

2) Se sabe que el 90% de las personas que compran computadoras, no hacen reclamaciones durante el perodo de garanta en las distribuidoras de equipos de computadores que existen en Nicaragua. Suponga que 22 personas compran computadoras cada una de un determinado almacn.Cual es la probabilidad de que al menos 2 de los 20 clientes hagan reclamaciones durante un periodo de garanta?Cuntos clientes se espera que reclamen durante un periodo de garanta , determine su varianza y desviacin estndar?

3) Segn un estudio del INEC el 45% de los hogares de la ciudad de Managua tienen T.V por cable. Si se analizan 18 hogares .Cul es la Probabilidad de que el nmero de ellos que tengan cable sea:a) Mayor que uno?b) Cinco o menos?c) Diecisiete o ms?d) Cunto esperara que tengan T.V por cable?

4) Segn informes de los supervisores de las zonas francas afirman que una determinada mquina est bajo control, si el porcentaje de artculos defectuosos que producen no es mayor de un 10% . Para determinar si la maquina esta bajo control, se eligen 10 artculos al azar de entre los producidos por ella Cul es la probabilidad de exactamente 5 sean defectuosos?Al menos 4 sean defectuosos? A lo ms 7 sean defectuosos? Cuantos artculos esperara encontrar?5) Se supone saber que 10% de los vasos fabricados por determinada maquina tienen algn defecto. Si se selecciona al azar 10 de los vasos fabricados por esta maquina Cual es la probabilidad de que ninguna est defectuosa? Cuantos vasos esperara encontrar defectuosos?6) Un inversionista compra 8 viviendas como parte de su plan de inversin. Suponer que la probabilidad de obtener utilidad en cada una de ellas es de 0.8. Suponiendo que hay independencia. Cul es la probabilidad de que obtenga utilidades en cada una? Cul es la probabilidad de que pierda en cada una de ellas?7) Un fabricante de piezas las enva en lotes de 20 y los enva a sus clientes. Suponer que cada parte est defectuosas o no lo est, y que la probabilidad de que cualquiera de ellas est defectuosa es de 0.05. A- Cul es el nmero esperado de piezas defectuosas por lote?B- Cul es la probabilidad de que determinado lote no contenga piezas defectuosas?8) Suponiendo que el proveedor del problema 7) ha recibido 10 lotes.a) Cul es el nmero esperado de lotes que no tienen piezas defectuosas?b) Cul es la probabilidad de que ninguno de los 10 lotes contengan piezas defectuosas?

10) Se sabe que el 90% de las personas que compran un televisor a color no hacen reclamaciones durante un perodo de garanta. Suponga que 20 personas compraron un T.V , cada una de un determinado almacn Cul es la probabilidad de que al menos 2 de los 20 clientes hagan reclamaciones durante el perodo de garanta?

Distribucin Multinomial

El experimento multinomial se convierte en un experimento multinomial si cada prueba tiene ms de dos resultados posibles. Por ello la clasificacin de un producto fabricado como ligero, pesado o aceptable y el registro de accidente en cierta zona franca de acuerdo con el da de la semana constituyen experimentos multinomialesPropiedades del experimento multinomial.1) El experimento consiste en n pruebas idnticas.2) El resultado de cada prueba cae en una de k clases o casillas.3) La probabilidad de que el resultado de una sola prueba se localice en una casilla particular, digamos casilla i, es pi (i= 1,2,..k) y permanece igual de prueba en prueba donde: P1+P2+P3+P4+..+Pk=14) La pruebas son independientes.5) Las variables aleatorias estudiadas son Y1,Y2,Y3,Y4,Yk en donde Yi i=1,2,3.k es igual al numero de pruebas en las cuales el resultado cae en la casilla i, donde: Y1+Y2+Y3+Y4..+Yk=nDefinicin:Si una prueba dada puede conducir a k resultados E1, E2,,Ek, con probabilidades p1, p2 pk, entonces la distribucin de probabilidad de las variables aleatorias Y1 Y2 ...Yk que representa el numero de ocurrencia parta E1,E2,Ek en n pruebas independientes es:

Ejemplo:1De acuerdo con los datos ajustados del censo de 1990, las proporciones de adultos( las personas de mas de 18 aos ) en Nicaragua, clasificados en cinco categoras de edad, son como sigue:EdadProporcin

18-240.18

25-340.23

35-440.16

45-640.27

65 a ms.0.16

a)Si se selecciona al azar cinco adultos de esta poblacin, encuentre la probabilidad de que la muestra contenga a una persona entre las edades de 18 a 24, dos entre las edades de 25-34 y dos entre las edades de 45-64Para empezar numeraremos las cinco clases de edades como 1.2.3.4.5

Para n=5 y Y1=1, Y2=2, Y3=0, Y4=2, Y5=0

Conclusin: Por lo tanto la probabilidad de que podamos seleccionar a una persona entre los 18-24, dos entre las edades de 25-34, y dos entre los 45-64 es de 0.0208

Ejemplo:Un estudiante universitario cursa 5 materias en un cuatrimestre y supone que tiene probabilidades de 0.1 de obtener un 100, que tiene 0.8 de obtener un 80 y 0.1 de probabilidad de obtener un 60 en cada una de sus materias. El estudiante define con X1=100, X2= 80, X3 =60 el puntaje de su nota que obtiene en el cuatrimestre. Entonces X1, X2, X3 es una variable aleatoria multinomial con parmetros n=5 y P^1=0.1 , P2= 0.8 y P3 =0.1

Px (X) = Por tanto, la probabilidad de que solamente logre notas de 80 es :

Px (X)= (0 , 5 , 0 ) = 0 = 5 / 5 *(0.8 ) 5 = 0.32768

Por lo tanta la probabilidad de que logre solamente notas de 80 de 0.32768

La probabilidad de que logre dos notas de 100 y tres de 80 es :

Px (X) =(2, 3, 0) = (0.1) 2 * ( 0.8 )3 * ( 0.1 )0 = (0.1)2 *(0.8)3* 5 / 2 * 3 = 0.0512Por lo tanta la probabilidad de que logre solamente notas de 80 de 0.32768

La probabilidad de que logre dos notas de100 y tres de 80 es de 0.0512

Determine la probabilidad de slo obtenga notas de 60:

Px (X)= ( 0 , 0 , 5 ) = (0.1) 0 * ( 0.8 )0 * ( 0.1 )5 = (0.1)5 = 0.00001La probabilidad de que logre puntajes de 60 en todas las materias es de 0.00001

Ejercicios Distribucin Multinomial.

1) Un estudiante que maneja hacia la universidad encuentra un semforo. Este semforo permanece verde por 35 segundos, anaranjado por 5 segundos y rojo por 60 segundos. Suponga que el estudiante va ha la universidad toda la semana entre las 8:00 y 8:30. cuyas probabilidades son de 0.40, 0.10 y 0.50 , Determinar la probabilidad , dado que el numero de veces que encuentra un semforo verde es 2, anaranjado 1 y rojo 3 2) La probabilidad de que un delegado a cierta convencin llegue por aire, autobs, automvil son 0.4 , 0.2 , 0.3 y 0.1 respectivamente .Cual es la probabilidad de que entre nueve delegados a esta convencin seleccionados al azar, tres lleguen por aire, tres por autobs, uno en automvil, y dos en tren? 3) Suponga que se tiran una vez 6 dados no cargados. Sea xi el numero de letras i que aparecen, con i=1,2,36. determinar la probabilidad de que cada numero aparezca una sola vez, la probabilidad de que aparezca 4 uno, y dos nmeros Dos, la probabilidad de que ocurra exactamente dos nmeros 3, dos 4, y dos cinco4) Un estudiante universitario cursa 5 materias en un semestre, en la un UNAN-MANAGUA, y supone que tiene probabilidad 0.1 de obtener una nota de excelente, 0.80 Muy bueno, y 0.10 de probabilidad de obtener Bueno en cada una de sus materias cuanto es la probabilidad de que el estudiante obtenga notas de Muy bueno.?La probabilidad de que obtenga dos notas excelente, y tres Muy bueno. La probabilidad de que no logre notas Bueno( solamente notas Excelentes, y Muy Bueno)5) Las empresas Alfa, Beta, y Gamma del departamento de Managua, tienen probabilidad de obtener un pedido de Sillas de Madera de 0.40, 0.25 y 0.35, respectivamente. Cul es la probabilidad de que la compaa Beta, reciba los tres pedidos? Qu la compaa Alfa reciba dos pedidos, y la Gamma uno? Nota dar sus conclusiones para cada uno.6) Cuatro empresas del departamento de Len, estn entrevistando a 7 universitarios para ofrecerles trabajo despus que se graden. Si se supone que los siete reciben ofertas de cada compaa, y que las probabilidades de que las compaas los contraten son iguales Cul es la probabilidad de que una compaa los emplee a los cinco? A ninguno de ellos?7) La Asociacin de cafetaleros del departamento de Matagalpa, estos interesados en el peso de costales de forraje. Especficamente, necesitamos saber si alguno de los cuatro eventos siguientes ha ocurrido:

p(T1)=0.20

p(T2)=0.20

p(T3)=0.20

p(T3)=0.40Si los costales se seleccionan al azar Cul es la probabilidad de que 4 sean menores o iguales a 10 libras, de que uno sea mayor que 10 libras pero menor o igual a 11 libras, y que dos sean ms grandes que 5.22 kilogramos?En el problema 7 Cul es la probabilidad de que los 10 costales pesen ms de 11.5 libras? Cul es la probabilidad de que 5 costales posen mas de 11.50 y los otros 5 , menos de 10 libras.

Distribucin de Poisson.

Introduccin.Los experimentos que dan valores numricos de una variable aleatoria X, el nmero de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una regin especifica, se llaman Experimento de Poisson. El intervalo dado puede se de cualquier longitud, como un minuto, un dia, una semana, un mes o incluso un ao. Por ello un experimento de Poisson puede generar observaciones para la variable aleatoria X que representa el numero de llamadas telefnicas por hora que recibe una oficina, el numero de das que una escuela esta cerrada debido a la fuerte lluvia durante el invierno. La regin especfica podra ser un segmento de lnea.

Propiedades del proceso de Poisson.a El numero de resultados que ocurren en un intervalo o regin especifica es independiente del numero que ocurre en cualquier otro intervalo o regin del espacio disjunto. Por lo cual el proceso de Poisson no tiene antecedentes.b La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una regin pequea es proporcional a la longitud del intervalo o al tamao de la regin y no depende del numero de resultados que ocurren fuera de este intervalo o regin.c La probabilidad de que ocurra mas de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal regin pequea es insignificante .Los siguientes casos son ejemplos de experimentos en los cuales la variable aleatoria y puede ser considerada como de Poisson.1. El numero de llamadas recibidas en un conmutador telefnico durante un periodo corto de tiempo.2. El numero de reclamaciones contra Unin Fenosa durante una semana.3. El numero de llegadas tardes a clases por parte de los profesores durante un da determinado.4. El numero de ventas hechas por un agente de Seguros en la capital en un determinado da.5. El numero de ventas realizadas por una dependiente del mercado Oriental durante el mes.

En cada caso, y representa el numero de eventos raros que ocurren durante un periodo de tiempo en el cual se espera que un promedio de ellos ocurra. La nica suposicin que ud. Debe de manejar es que los eventos ocurran en forma aleatoria e independiente unos de otros.

La distribucin de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el nmero de resultados que ocurren en un intervalo dado o regin especifica que se denota con t, es.Donde es el nmero promedio de resultados por unidad de tiempo o reginMedia ==npVarianza.Desviacin Estndar.

Emplo1: Calcular las probabilidades de una distribucin de Pisson con =2, para las siguientes probabilidades.

Ejemplo: 2El gerente local de una empresa de renta de automviles en Mangua compra neumticos en lotes de 500 para aprovechar los descuentos por compras al mayoreo. El gerente sabe por experiencias anteriores, que el 1% de los neumticos nuevos adquiridos en un determinado almacn salen defectuosos y se deben reemplazar durante la primera semana de uso. Cuantos neumticos espera encontrar defectuoso el gerente, Encuentre la probabilidad de que en un envo de 500 neumticos haya solamente uno defectuoso. No mas de tres neumticos defectuosos, ningn neumtico defectuoso, ms de cuatro neumticas defectuoso.

5

Datos. Por lo cual el gerente espera encontrar 5 neumticos defectuosos de un envo de 500 X= nmero de neumticos defectuosos

Por lo tanto, la probabilidad de que en un envo de 500 neumticos haya solamente uno defectuoso, es de 3.37%

=0.0067+0.0337+0.0842+0.1404=0.2650=26.50%

Por lo cual la probabilidad de que no ms de tres neumticos sean defectuosos, es de 0.2650

La probabilidad de que ningn neumtico salga defectuoso de un envo de 500, es de 0.0067 el cual representa el 0.67% del total.

Por lo tanto la probabilidad de que ms de 4 neumticos salgan defectuoso es de 0.7350 = 73.50%

Distribucin Poisson

1) En una planta de Textil de las zonas francas de Managua, los accidente industriales ocurren en forma aleatoria e independiente a razn de 5 por cada 10 das laborales .Encuentre la probabilidad de que no ocurra ms de 1 accidente serio en la planta durante los prximos 30 das laborales.2) El nmero de clientes que llegan por hora al auto lavado El buen Precio en la ciudad de Managua se supone que sigue una distribucin de poisson .Con media igual a 7 por hora.a) Calcular la probabilidad de que exactamente 10 clientes lleguen en un perodo de 2 horas b) Cul es la probabilidad de que menos de 4 clientes visiten el auto lavado c) Calcular la probabilidad de que exactamente 8 clientes visiten el lugar en una horad) Cuntos clientes se esperara que lleguen en un periodo de 2 horas.3) Un conmutador telefnico de la central telefnica de Enitel puede manejar un mximo de 5 llamadas por minuto. Si la experiencia indica que se recibe un promedio de 120 llamadas por hora, encontrar la probabilidad de que en un determinado minuto el conmutador est sobrecargado. 4) La probabilidad de que un taxi cualquiera de Managua sufra un accidente en cualquier mes es de 0.04 si una cooperativa de taxis tiene 75 vehculos en la calle . cual es la probabilidad de que menos de 7 taxis sufran de accidentes.?Cuantos taxis esperara que sufran accidentes en este mes?

6)Un conmutador telefnico de un centro de llamadas de ENITEL puede manejar un mximo de 5 llamadas por minuto. Si la experiencia indica que se reciben un promedio de 120 llamadas por hora, encontrar la probabilidad de que en un determinado minuto el conmutador este sobre cargado. Determine la probabilidad que menos de 30 llamadas reciba en un lapso de 30 minutos. Dar su interpretacin.7)El estudio de inventario determina que, en promedio, las demandas de un artculo particular en un almacn se realizan cinco veces al da. Cul es la probabilidad de que en un da dado se pida este artculo.1. Ms de cinco veces?2. Ninguna vez?8)En promedio en cierta interseccin ocurren tres accidentes transito por mes. Cul es la probabilidad de que para cualquier mes dado en esta interseccin1. Ocurran exactamente cinco accidentes?2. Ocurran menos de tres accidentes?3. Ocurran al menos dos accidentes?9)En un intento para minimizar la posibilidad de prdidas en los prstamos, los bancos, uniones de crditos y otras instituciones de prstamos emplean un conjunto de criterios muy rgido para evaluar las solicitudes de prstamos. Un banco comercial reporta que las prdidas en prstamos personales menores de $2500 han ocurrido en forma aleatoria e independiente desde enero de 2000 a razn de 1.5 por mes en promedio.a) Encuentre la probabilidad de que no haya prdidas en prstamos personales menores de $2500 durante determinado mes.b)Encuentre la probabilidad de que no ocurra ms de 1 prdida durante un perodo determinado de dos meses.

10)Un fabricante de calculadoras electrnicas de escritorio sabe por experiencia que el 1% de las calculadoras que fabrican y venden estn defectuosas y deben reemplazarse dentro de un perodo de garanta. Una distribuidora de artculos escolares que se encuentra en Managua, recibe de un pedido de una firma de contados res de 500 calculadoras para ser usada por sus empleados.a) Encuentre la probabilidad de que ninguna de las calculadoras deba ser reemplazada.b) Encuentre la probabilidad de que no mas de 4 tengan que ser reemplazadas.c) Encuentre la probabilidad de que al menos 2 tengan que ser reemplazadas.d) Cul es el nmero esperado de calculadoras que deben ser reemplazadas durante el perodo de garanta?11)En una gran planta manufacturera que encuentra en el departamento de Chinandega, los accidentes industriales serios ocurren en forma aleatoria e independiente a razn de 1 por cada 10 das laborales. Encuentre la probabilidad de que no ocurra ms de 1 accidente serio en la planta durante los prximos 30 das laborales.12)Los camiones para el transporte de madera tienen problemas especiales con las fallas de los neumticos, debido a los malos caminos por que deben circular en la regin norte de Nicaragua. Suponga que una empresa maderera con 100 camiones tiene razones para pensar que el nmero promedio de camiones que tienen al menos una falla de neumticos durante un determinado da es 5.a) Encuentre la probabilidad de que durante determinado da ningn camin tenga falla de neumticos.b) Encuentre la probabilidad de que durante determinado da no ms de tres tengan determinada falla.c) Encuentre la probabilidad de que durante determinado da, 5 tenga fallas.

Distribucin continua

Distribucin Normal

La distribucin continua de probabilidad ms importante en todo el campo de la estadstica es la distribucin normal. Su grfica que se denomina curva norma o gausiana en forma de campana. La cual describe muchos fenmenos que ocurren en la naturaleza, industria, economa y la investigacin Una variable aleatoria normal continua X que tiene la distribucin en forma de campana, se llama variable aleatoria normal. La ecuacin matemtica para la distribucin depende de dos parmetros y , su media y desviacin estndar. De aqu, denotamos los valores de la densidad de X con ( , )

La funcin de densidad de la variable aleatoria norma X, con media y varianza , esN(x; ,)= -

Una vez que se especifique y la curva normal queda determinado por completo.

Propiedades de la curva Normal.

1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva es un mximo ocurre en x=2. La curva es simtrica alrededor de un eje vertical a travs de la media 3. La curva tiene sus puntos de inflexin en x=, es cncavo hacia abajo si - X+.4. La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asinttica conforme nos alejamos de la media en cualquier direccin.5. El rea total abajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1.

Area bajo la curva normal.

La curva de cualquier distribucin continua de probabilidades o funcin de densidad se construye de modo que el rea bajo la curva limitada por las dos ordenadas x=, x=, es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entre x=, x=, As, para la curva normal de la figura A.

Esta representa el rea de la regin sombreada.

x1 x2

El rea bajo la curva va entre cualquier dos ordenadas tambin debe depender de los valores y , esto es evidente donde sombreamos la regin que corresponde a para diferentes curvas con diferentes medias y varianzas. La , donde X es la variable aleatoria que describe la distribucin del grfico anterior La dificultad que se encuentra al resolver las integrales de funciones de densidad normal necesita de la tabulacin de las reas de la curva normal para una referencia rpida. Sin embargo, sera tarea sin fin intentar establecer tablas separadas para cada valor concebible de y . Afortunadamente, somos capaces de transformar todas las observaciones de cualquier variable aleatoria normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Z con media cero y varianza uno. Esto se puede realizar por medio de la transformacin.Siempre y cuando X tome un valor x, el valor correspondiente de Z est dado por . Por tanto, si X cae entre los valores x=, x=, la variable aleatoria Z caer entre los valores correspondientes y , en consecuencia podemos escribir.

Donde Z se ve como una variable aleatoria normal con media cero y varianza 1.

Definicin: La distribucin de una variable aleatoria normal con media cero y varianza uno se llama distribucin normal estndar.

Ejemplo 1. Encontrar la probabilidad de los siguientes incisos, utilizando la tabla de distribucin normal. :

Ejemplo 2. El tiempo de vida de una lavadora automtica OSTER tiene una distribucin aproximadamente normal con media y desviacin estndar iguales a 3.1 y 1.2 aos, respectivamente. Si el Gallo ms Gallo, vende el artculo con garanta de un ao. Que fraccin de las lavadoras vendidas tendrn que ser reemplazadas? Datos

=3.1 aos=1.2 aos.X= tiempo de vida de la lavadora.X= 1 ao. Donde la formula para encontrar la probabilidad es;

Por lo cual la fraccin de lavadores Oster que sern cambiadas dentro del perodo de garanta es del 4% del total que vendieron durante un ao.Distribucin continua.Distribucin NormarObjetivo: Desarrollar habilidades para resolucin de las aplicaciones de la distribucin continua.

1)Si X sigue una distribucin normal con una media de 500 y una desviacin estndar de 125 encontrar la probabilidad de que sea:

a)

b)

c)

d)2)Las puntuaciones de un examen de programacin Pascal siguen una distribucin normal, revelan una media de 79 y una desviacin estndar de 35 Cul es la probabilidad de que sus puntuacin sea:1) Mayor que 92?2) Inferior a 85?3) Intermedio entre 60 y 90?4) Intermedio entre 50 y 55?

3) La probabilidad de que los operadores del departamento de cmputo del banco de crditos financiero ACODEP pulse la tecla de un carcter incorrectamente es igual a 0.001 .Calcular la probabilidad de que se pulse errneamente a lo ms una tecla en un documento que tenga 10,000 caracteres.

4)Peridicamente se suspende los servicios de un computador para darle mantenimiento instalar nuevo equipo, etc . El equipo que permanece inactivo un computador en particular, esta distribuido normalmente con media 1.5h y desviacin estndar igual a 0.4h Cul es el porcentaje de perodos de inactividad ,mayores de 2 horas , entre 1 y 2 horas.

5) Una mquina llenadora de la empresa PANAMCO ( Coca-Cola) esta ajustado para llenar botellas con una media de contenido de 32 (onzas) y una varianza igual a 0.003.Peridicamente se verifica la cantidad de gaseosa contenida en una botella. Suponiendo que la cantidad esta distribuida normalmente Cul es la probabilidad de que la prxima botella que se seleccione aleatoriamente para su inspeccin contenga ms de 32.02 onzas.

6) Los conectores elctricos duran 18.2 meses de media y S=1.7 . El vendedor est de acuerdo en sustituir uno si falla dentro de los 19 primeros meses. De 500 unidades Cuntos tendrn que ser sustituidos por trmino medio?

7) Los gastos semanales que el personal de ventas realiza en visitar a los clientes de un banco de crdito Crdito fcil .Justifica cada semana una media de C$ 950.25 y S=C$ 30.35. El jefe ha ofrecido unas vacaciones de dos semanas a quien justifique gastos que se encuentren en el 15% inferior. Ud. a gastado C$ 712 Conseguir unas vacaciones?

8) Las ventas diarias del restaurante Mirador en el departamento de Masaya tiene una distribucin aproximadamente normal con media igual a $530 y desviacin estndar igual a $120.1) Cul es la probabilidad de que las ventas excedan los $700 en un da dado?2) El restaurante debe tener por lo menos $300 en ventas por da para poder cubrir sus costos Cul es la probabilidad de que el restaurante no pueda cubrir sus costos en un da dado?

9) Ciertos estudios realizados en Nicaragua, con respecto al consumo de gasolina por autos livianos tienen una distribucin aproximadamente norma con un consumo medio de 25.5 km por galn y una desviacin estndar de 4.5 km por galn Qu porcentaje de autos obtienen 30 o ms km por galn?10) El gerente de personal de una empresa de ventas de ropa fina, en la capital de Managua requiere que los aspirantes a un puesto efecten cierta prueba y alcancen una calificacin 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media de 485 y desviacin estndar de 30 Qu porcentaje de los estudiantes pasaran la prueba?

11) Un auditor encontr que los errores en las cuentas de crdito de la empresa de calzado Blue Shoes, tiene una distribucin normal con media $0 y desviacin estndar$1. Suponga que se elige una cuenta de crdito al azar de los registros de la empresa.a) Encuentre la probabilidad de que tenga un error entre $0 y $1.50.b) Encuentre la probabilidad de que tenga un error entre -$2 y $0.c) Encuentre la probabilidad de que tenga un error de al menos $1.75d) Encuentre la probabilidad de que tenga un error entre -$1.50 y $1.25e) Encuentre la probabilidad de que tenga un error entre-$2 y -$1

12) Los departamentos de prestamos de una gran cadena de bancos en Nicaragua han encontrado que los prstamos para viviendas otorgados en el 2007 tienen una distribucin aproximadamente normal con media $43000 y desviacin estndar $8500. Si las condiciones de prstamos permanecen iguales el prximo ao. Qu proporcin de los prstamos se espera que sean menores de 35000? Qu proporcin de los prstamos se espera que sean mayores de 50000? Qu proporcin de los prstamos se espera que estn entre $30000 y $45000? Qu proporcin de los prstamos se espera que estn entre $35000 y $45000? Qu proporcin de los prstamos se espera que estn entre $41000 y $45000? Qu proporcin de los prstamos se espera que sean menores de 30000?

13) Suponiendo que el salario de los contadores pblicos tiene una distribucin aproximadamente normal con media $15089 al ao y desviacin estndar $1035a) Qu proporcin de los contadores pblicos gana mas de $17000?b) Qu proporcin de los contadores pblicos gana mas de $15000?

Distribucin continua.Aproximacin normal de la distribucin Binomial.

1) En cual de las siguientes distribuciones binomiales constituye una aproximacin razonable la distribucin normal?an=10, p= 0.3b. n=100, p=0.005c. n=500, p=0.1 d. n=50, p=0.22)obtenga la aproximacin normal para la probabilidad binomial P(X=6), donde n=12 y P=0.6

3)Encuentre la aproximacin normal para la probabilidad binomial P( donde n=14 y p=0.44)Se espera que la fabrica MIL COLORES al confeccionar un lote de camisetas se tenga un 5% con algn defecto .Si se seleccionan 100 camisetas aleatoriamente.a)Cul es la media y la desviacin estndar de la distribucin binomial cuando se toman muestras de tamao 100?b)Cul es la probabilidad de que no haya camisetas defectuosas en la muestra?c)Cul es la probabilidad de que la muestra contenga no ms de dos prendas defectuosas?5)La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre en el hospital Berta Caldern es de 0.4 si se sabe que 100 personas contraen esta enfermedad Cul es la probabilidad de que menos de 30 sobrevivan? 6)Una prueba de opcin mltiple de la clase de informtica tiene 200 preguntas cada una con 4 respuestas posibles de las que solo uno es la correcta Cul es la probabilidad de que con pura conjeturas se obtenga de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de los 200 problemas acerca de los que el estudiante no tiene conocimiento.7) Se supone que la probabilidad de que una persona sobreviva a un ataque de clera ( con asistencia mdica en el hospital Lenin Fonseca ( con asistencia medica) es de 0.4 Cual es la probabilidad de que cuando menos la mitad de 100 pacientes con este mal sobreviva?8)La probabilidad de que una persona tiene de ganar cuando apuesta al negro en la ruleta es a razn 9 de 19, en cada vuelta. Suponer que se hacen 100 juegos en la ruleta por hora Cul es la probabilidad (aproximada) de que el nmero negro aparezca al menos 45 veces?

9)Algunos estudios indican que el 40% de la poblacin de la ciudad de Managua ha utilizado una marca de dentfrico al menos en alguna ocasin. Un investigador que desea verificar la validez de este porcentaje reuni correctamente una muestra aleatoria y encontr que 220 de los 600 individuos entrevistados haban utilizado la marca. Si en realidad es correcto el dato relativo al 40% Cul es la probabilidad de que una muestra de 600 contenga menos de 221 individuos que se hayan servido de dicho producto?

10) Se cree que un conjunto de estudiantes de la UNAN MANAGAU esta dividido en dos facciones aproximadamente iguales con respecto a una propuesta estudiantil de UNEN. Suponiendo que as es en efecto Cul es la probabilidad de que la encuesta realizada con 100 estudiantes por la mesa directiva de la sociedad de alumnos indique que por lo menos 60% est a favor de la propuesta?