distribuciÓn uniforme discreta 2
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2DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA
El espacio muestral tiene “n “ resultados y cada uno con igual probabilidad
1 2
1 ; , , ,
0 ;otro
nx x x xP X x n
x
Media (Esperanza)
1
2
nE X
Varianza)
22 1
12
n
3
Ejemplo 1:
Un experimento consiste en lanzar un dado y observar su resultado.
Después de realizar infinitos lanzamientos qué número se observará.
X= Resultados posibles.
1
; 1,2, ,66
0 ;otro
xP X x
x
1 6 1
3.52 2
nE X
Un almacén vende diariamente 0, 1, 2, 3, o 4 artículos con igual probabilidad.
a) Calcule la probabilidad que en algún día venda al menos 2 artículos.
1
; 0,1,2,3,45
P X x x
1 1 1 3
2 2 3 45 5 5 5
P X P X P X P X
Ejemplo 2:
X= Cantidad de artículos vendidos en un día.
b) Calcule la cantidad de artículos que se esperaría vender en un día cualquiera
1 5 1
2 22
nE X
4
Una máquina registra, en minutos completos, la diferencia de
tiempo en el paso de camiones por cierto lugar de la carretera. Se
sabe que la diferencia máxima puede ser 9 minutos. Si se asume
que los arribos son aleatorios.
a) Calcular el tiempo que se esperaría exista entre dos arribos
consecutivos, su varianza y desviación estándar.
Ejemplo 3:
Resp. E(x) =5min, Var(X) =6.67 min2 σ=2.58 min.
b) Calcular la probabilidad de que la diferencia de tiempo en los
arribos sea de a lo mucho 2 minutos
2 1 2P X P X P X
c) Calcular la probabilidad de que la diferencia de tiempo en los
arribos sea de por lo menos 2 minutos
1 8
2 1 2 1 1 19 9
P X P X P X
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DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Experimento en el que pueden haber únicamente dos
resultados: éxito( p) o fracaso (1-p)
, 1
0 11 , 0
p xP X x p
p x
p
2 1p p
Ejemplo 1:
Suponer que la probabilidad de éxito de un experimento es 0.2 y se
realizan cinco ensayos. Calcule la probabilidad que el primero y el último
ensayo sean éxitos, y los tres restantes sean fracaso.
Resp. 2.05%
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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
El experimento consiste de n pruebas de Bernoulli
La probabilidad p de un éxito permanece constante en
cada prueba.
Las pruebas que se repiten son independientes
1 ; 0,1,2, ,n xxn
xP X x p p x nC
X= Variable aleatoria discreta cuyo valor representa la
cantidad de pruebas consideras “éxitos”
np
2 1np p
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Supongamos que en una población existen igual número de hombres y de mujeres. Consideremos aquellas familias que tienen 4 hijos.a) Formar la ley de la variable aleatoria que describe el número de
hijos varones en dichas familias. b) Calcular la probabilidad de que en una de estas familias haya mas
de un hijo varón. c) ¿Cuántos hijos varones se espera que haya en una familia que tiene
4 hijos?
Resp.
X 0 1 2 3 4
p 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16
b) P(X>1)= 11/16
c) E(X)=np=2
a)
Ejemplo 1:
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Un examen consta de ocho preguntas de elección múltiple, cada una de ellas ofrece cinco alternativas, de las cuales solo una es correcta. Para aprobar el examen es necesario contestar correctamente al menos tres preguntas. Si un estudiante se propone responder a las preguntas al azar.a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente todas
las preguntas?; b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el
examen?
Ejemplo 2:
Resp. a) 0.00000256 b) 0.20308
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La probabilidad de que un producto salga de la fábrica en perfectas condiciones
es ¾. Se tiene una muestra de cuatro unidades.
a) Encuentre la probabilidad de que dos de ellas estén en perfectas condiciones.
b) Encuentre la probabilidad de que tres de ellas estén en perfectas condiciones.
c) Encuentre la probabilidad de que al menos dos de ellas estén en perfectas
condiciones.
d) Encuentre la media, varianza y desviación estándar.
Según el Journal of Higher Education, el 40% de los que terminan el bachillerato
trabajan durante el verano con objeto de ganar dinero para pagar el importe de
la enseñanza del curso siguiente. Si se eligen al azar 18 bachilleres, ¿cuál es la
probabilidad de que:
a) 12 trabajen en el verano,
b) ninguno trabaje,
c) todos trabajen
d) Encuentre la media y la varianza.
Ejercicio propuesto 1
Ejercicio propuesto 2 Resp. a) 21,09% b) 42,2% c) 94,92%
Resp. a) 1,45%% b) 0,01% c) 0%
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Distribución Binomial Negativa
• X: Número de pruebas de Bernoulli necesarias hasta obtener k éxitos.
1( ) (1 )
1
k x kx
P X x C p pk
2
2,
( )
k 1r p
p p
Suponiendo que la probabilidad de que una persona contraiga cierta
enfermedad a la que está expuesta es 30%, calcule la probabilidad de que
la décima persona expuesta a la enfermedad sea la cuarta en contraerla.
Ejemplo:
Resp. 0.08
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Una máquina, que está dañada, envasa latas de conserva de una en una y
de manera independiente. Se considera que el 5% de la envasado resulta
defectuoso. Si la máquina se detiene apenas produce el tercer artículo
defectuoso:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina se detenga en la novena lata
producida?
b) Cuál es la probabilidad que se detenga sin producir ninguna lata buena?
c) Cuál es el número de latas producida hasta que se detiene la máquina
Ejemplo:
Resp. a) 0.00257 b) 0.000125 c) E(X)=60
12Distribución Geométrica
Consideremos una secuencia de pruebas de Bernoulli, con probabilidad de
éxito p, pero en lugar de contar el número de éxitos, nos interesa conocer el
número de intentos hasta obtener el primer éxito.
1( ) (1 )
1
k x kx
P X x C p pk
1k
11 1
1( ) (1 ) 1
1 1
xxx
P X x C p p p p
Un caso del la Binomial Negativa
Los registros indican que cierto vendedor tiene éxito en formalizar una
venta en 30% de sus entrevistas. Supóngase que una venta en una
entrevista es independiente de una venta en cualquier otro momento. Cuál
es la probabilidad de que el vendedor tenga que tratar con 10 personas
antes de hacer su primera venta.
Ejemplo:
Resp. 0.012
13Distribución de Poisson
Mide la probabilidad de un evento aleatorio sobre algún intervalo de
tiempo o espacio
La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos
intervalos cualesquiera de tiempo o espacio
La ocurrencia del evento en un intervalo es independiente de la
ocurrencia de otro intervalo cualquiera
x: número de veces que ocurre el evento
λ: número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio
e: base del logaritmo natural
2
!)(
x
exXP
x
14Determine la probabilidad de que exactamente 5
clientes lleguen durante la siguiente hora laboral. La
observación simple de las últimas 80 horas ha
demostrado que 800 clientes han entrado al negocio.
0378.0!5
71828.2105
105
P
Por tanto, λ =10 por hora.
Utilizando la fórmula
Ejemplo 1:
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El promedio de llamadas que recibe una central telefónica en un minuto es
de 1.5. Halle la probabilidad de que en cuatro minuto se reciban:
a) Tres llamadas
b) Menos de 3 llamadas.
c) No menos de cuatro y no más de siete
Ejemplo 2:
Resp. λ =6, a) 0.089235; b) 0.061969; c) 0.59278
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Distribución HipergeométricaConsiste en tomar una muestra n, sin reemplazo, de un conjunto de N elementos
que tiene k éxitos y determinar la probabilidad de que x elementos de la muestra
tenga existos
( )k N k
x n x
N
n
C CP X x
C
2 11
k nk k N n
nN N N N
Una Caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen estado y las
restantes defectuosas. Se toma al azar una muestra de 3 baterías. Calcule
la probabilidad que en la muestra se obtengan:
a) Ninguna batería en buen estado.
b) Al menos una batería en buen estado.
c) No más de dos baterías en buen estado.
Ejemplo:
Resp.a) 0.119 b) 0.881 c) 0.9523
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1. Cinco ejemplares de una población animal considerados en vía de extinción
han sido atrapados, marcados y puestos en libertad para que se mezclen en
la población. Después de que habían tenido una oportunidad de mezclarse,
se seleccionó una muestra aleatoria de 10 de estos animales. Sea X = número
de animales marcados de la segunda muestra. Si hay en realidad 25
animales de este tipo en la región, ¿cuál es la probabilidad de que a) X = 2, b)
X 2 ? Encuentre además la media y la varianza.
2. Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen
más de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la
selección de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un
componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre
exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el
lote?
Ejercicos propuestos