distribución conjunta de variables aleatorias · independencia de variables aleatorias...
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Estadísca 2016 - Tamara Burdisso
Distribución conjunta de probabilidad
• Hasta ahora estudiamos las posibles distribuciones de una única v.a.
• Pero muchos de las aplicaciones que enfrentamos en economía, finanzas, etc. se vinculan con la relación de dos o más variables aleatorias.
• Ya vimos el comportamiento de las probabilidades bivariadas (conjunta, condicional y marginal). Consideremos ahora el estudio de v.as. que pueden estar relacionadas
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Distribución de probabilidad conjunta
• Sean X e Y un par de v.as. discretas. La distribución de probabilidad conjunta expresa la probabilidad de ue simultáneamente tome el valor un valor específico tome un valor específico . Matemáticamente
0),(),( yYxXPyxp
X Yx ey
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Distribución de probabilidad conjunta
),(),( yYxXPyxp
• Recordemos nuestro ejemplo de una familia con tres hijos. Y consideremos ahora las siguientes dos variable aleatorias. Sea X el número de mujeres en tres hijos y sea Y el número de rachas
X:" # de mujeres en una familia con tres hijos"
Y:" # de rachas en una familia con tres hijos"
1 2 3
0
1
2
3
X
Y
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Distribución de probabilidad marginal
• Sin embargo pueden necesitarse las distribuciones de probabilidad marginal de las v.as. individuales cuando se estudian v.as. distribuidas conjuntamente.
• Sean v.as. discretas con distribución de probabilidad conjunta .
• La distribución de probabilidad de la v.a. Se denomina distribución de probabilidad marginal y se obtiene como
• De la misma manera se define la distribución marginal de
y
yYxPxpxXP ),()()(
X
YX e
Y
),( yxp
x
yxXPypyYP ),()()(
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Distribución de probabilidad conjunta
• Recordemos nuestro ejemplo de una familia con tres hijos. Y consideremos ahora las siguientes dos variable aleatorias. Sea X el número de mujeres en tres hijos y sea Y el número de rachas
y
yYxPxpxXP ),()()(
x
yxXPypyYP ),()()(
X:" # de mujeres en una familia con tres hijos"
Y:" # de rachas en una familia con tres hijos"
1 2 3 p(x)
0 0.14 0.00 0.00 0.14
1 0.00 0.26 0.13 0.39
2 0.00 0.24 0.12 0.36
3 0.11 0.00 0.00 0.11
p(y) 0.25 0.50 0.25 1.00
X
Y
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Propiedades de las distribuciones de probabilidad conjunta
• Sean v.as. discretas con distribución de probabilidad conjunta .
1. La para cualquier par de valores
2.
1),(0 yxp
YX e
yx e
),( yxp
1),(),( x yx y
yxpyYxXP
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Distribución de probabilidad condicionada
• Sean v.as. discretas con distribución de probabilidad conjunta .
• La distribución de probabilidad condicionada de la v.a. , dado que la v.a. toma el valor , es
• De la misma forma, la distribución condicionada de la v.a. ,dado
YX e
),( yxp
)(
),(
)(
),()/()/(
xp
yxp
xXP
xXyYPxypxXyYP
Y X x
X yY
)(
),(
)(
),()/()/(
yp
yxp
xyYP
yYxXPyxpyYxXP
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Independencia de variables aleatorias distribuidas conjuntamente
• Sean v.as. discretas con distribución de probabilidad conjunta son independientes si y sólo si su distribución de probabilidad conjunta es el producto de las marginales para todos los posibles valores
• Por lo tanto se deduce que si son independientes
YX e
yx e
),( yxp
)()()()(),(),( yYPxXPypxpyxpyYxXP
YX e
)()()/( yYPypxXyYP
)()()/( xXPxpyYxXP
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Funciones lineales de v.as.
• Sean v.as. discretas que tienen una distribución de probabilidad conjunta
• La esperanza de la función se define como
• De especial interés es la siguiente función
x y
yxpyxgYXgE ),(),(,
YX e),( yxp
),( YXg
),( YXgbYaXW
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Funciones lineales de v.as.
• Sean v.as. discretas que tienen una distribución de probabilidad conjunta
• La esperanza de la v.a. es
• Y la varianza de
),cov(2)( 22222 YXabbaWVar YXW
YX e),( yxp
YXW baWE
bYaXW
bYaXW
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Covarianza y correlación
• La distribución bivariada o conjunta de X e Y es clave cuando las v.as. no son estadísticamente independientes.
• La dependencia de las v.as. puede ser de diversos tipos. Contar con una medida de la naturaleza y del grado de relación entre ellas sería muy útil.
• Esto es bastante difícil de obtener porque la forma en que las v.as. pueden relacionarse son diversas.
• Por eso nos limitamos a analizar la posibilidad de que tengan una relación lineal entre ellas
• La covarianza es una medida de la relación lineal que existe entre dos variables v.as. Sólo indica el sentido de la relación.
• Sin embargo existe el coeficiente de correlación que además del sentido de la relación también informa sobre la intensidad de la relación.
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Covarianza
• Sean v.as. discretas con medias respectivamente.
• El valor esperado de se llama covarianza de entre y se representa como
• Una expresión alternativa es
YX
x y
YXXY yxxypXYEYX ),(,cov
YX e XX y
),()()(
,cov
yxpyx
YXEYX
YX
x y
YXXY
YX YX YX e
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Coeficiente de correlación
• Sean v.as. discretas con distribución conjunta.
• El coeficiente de correlación entre es
YX e
YX
XY
YXYXcor
,cov,
YX e
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Coeficiente de correlación
• Sean v.as. discretas con distribución conjunta, y sea el coeficiente de correlación. Entonces
•
•
•
•
•
•
YX e
11 XY
XY
0con si 1 abaXYXY
0con si1 abaXYXY
00 XYXY
ntesindependiesean e que implica no 0XY YX
normalón distribuci tengan que siempre
e de ciaindependen tienese 0
X,Y
YXXY
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Ejemplo
• Un constructor no conoce con certeza los gastos de material y mano de obra de cierto proyecto, pero cree que los gastos de materiales siguen una v.a. con media $20000 y desvío estándar $2000. El costo de la mano de obra asciende a $1200 diarios y el número de días para realizar el proyecto puede representarse mediante una v.a. con media 20 y desvío 3 días. Suponiendo que los gastos de material y mano de obra son independientes, ¿cuál es la media y la varianza del gasto total?
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