distribuciones comúnmente usadas
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DISTRIBUCIONES COMÚNMENTE USADAS
Distribución de Bernoulli
Introducción
La inferencia estadística consiste en extraer una muestra y analizar sus datos con el propósito de aprender acerca de ello. En este capítulo se describen algunas de estas funciones comunes y las condiciones en que es apropiado usar casa una.
Distribución de Bernoulli
Para cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable aleatoria X así: Si el experimento “éxito”, entonces X =1. De lo contrario, X=0. De ahí que X sea una variable aleatoria discreta, con función de masa de probabilidad p(x) definida por
P (0)=P(X=0) = 1-p FRACASO
P (1)= P(X=1)=p ÉXITO
Media y varianza de una variable aleatoria de Bernoulli
Es fácil calcular la media y la varianza de una variable aleatoria de Bernoulli.
Resumen
Si X Bernoulli (p), entonces
Media = (0) (1-p) + (1) (p)= P Media = p
Varianza = (0 -p)2 (1 – p) + (1 – p)2(p) = P (1-p) Varianza = p (1 – p)
En otras palabras:
Valores X=0 si el suceso no ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota
Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al aire y considerar la v. a.
Para un v. a. de Bernoulli, tenemos que su función de probabilidad es:
Distribución Binomial
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:
Experimento binomial
Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).
Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.
Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n, p).
Distribución Poisson
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.
Se trata de un modelo discreto, pero en el que el conjunto de valores con probabilidad no nula no es finito, sino numerable. Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución de Poisson si su función de densidad viene dada por:
Propiedades del modelo de Poisson
1) Esperanza: E(X) = λ.
2) Varianza: V(X) = λ.
En esta distribución la esperanza y la varianza coinciden.
3) La suma de dos variables aleatorias independientes con distribución de Poisson resulta en una nueva variable aleatoria, también con distribución de Poisson, de parámetro igual a la suma de parámetros:
X1 ~ P (λ = λ1) y X2 ~ P (λ = λ2)
Y definimos Z = X1 + X2, entonces,
Z ~ P (λ = λ1 + λ2)
Este resultado se extiende inmediatamente al caso de n variables aleatorias independientes con distribución de Poisson. En este caso, la variable suma de todas ellas sigue una distribución de Poisson de parámetro igual a la suma de los parámetros.
Distribución Normal
Se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.
La distribución normal es continua en vez de discreta. La media de una variable aleatoria normal puede tener cualquier valor y la varianza cualquier valor positivo. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria con media y varianza está dada por:
:
Ecuación 1:
Distribución Gamma
Este modelo es una generalización del modelo Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza para modelar variables que describen el tiempo hasta que se produce p veces un determinado suceso.
Su función de densidad es de la forma:
Como vemos, este modelo depende de dos parámetros positivos: α y p. La función Γ (p) es la denominada función Gamma de Euler que representa la siguiente integral:
Que verifica Γ (p + 1) = pΓ (p), con lo que, si p es un número entero positivo, Γ(p + 1) = p!
El siguiente programa permite visualizar la forma de la función de densidad de este modelo (para simplificar, se ha restringido al caso en que p es un número entero).
Propiedades de la distribución Gamma
1. Su esperanza es pα.
2. Su varianza es pα2
3. La distribución Gamma (α, p = 1) es una distribución Exponencial de
parámetro α. Es decir, el modelo Exponencial es un caso particular de la Gamma con p = 1.
4. Dadas dos variables aleatorias con distribución Gamma y parámetro α común
X ~ G (α, p1) y Y ~ G (α, p2)
Se cumplirá que la suma también sigue una distribución Gamma
X + Y ~ G (α, p1 + p2).
Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que, si tenemos k variables aleatorias con distribución Exponencial de parámetro α (común) e independientes, la suma de todas ellas seguirá una distribución G (α, k).
Distribución T de Student
La distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestréales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.
Caracterización
La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente
Donde
Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1 V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad Z y V son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .
Aparición y especificaciones de la distribución t de Student
Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea
La media muestral. Entonces
Sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,
Donde
Es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es
Donde es igual a n − 1.
La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.
El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución depende de , pero no de o , lo cual es muy importante en la práctica.
Intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student
El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el
error estándar de la media , siendo entonces el intervalo de confianza
para la media = .
Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la diferencia de las medias de muestras de dos distribuciones normales se distribuye también normalmente, la distribución t puede usarse para examinar si esa diferencia puede razonablemente suponerse igual a cero.
Para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son:
E (t(n))= 0 y Var (t(n-1)) = n/(n-2) para n > 3
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GRACIAS POR SU ATENCION