Distribuciones de probabilidad

Matemáticas aplicadas a las CCSS II

Ana PolaIES Avempace

Ley de los grandes números Al repetir, en condiciones estables, un gran número de veces un mismo experimento, las frecuencias relativas correspondientes a cada uno de los sucesos tienden a estabilizarse en un determinado valor.

Este valor recibe el nombre de probabilidad.

xi fi fri xi fi fri xi fi fri

1 14 0,117 1 173 0,144 1 736 0,153

2 16 0,133 2 201 0,168 2 806 0,168

3 18 0,150 3 221 0,184 3 835 0,174

4 29 0,242 4 177 0,148 4 766 0,160

5 20 0,167 5 202 0,168 5 825 0,172

6 23 0,192 6 226 0,188 6 832 0,173

Suma 120 1 Suma 1200 1 Suma 4800 1

Variable estadística Variable aleatoria

xi

1 1/6=0,166…

2 1/6=0,166…

3 1/6=0,166…

4 1/6=0,166…

5 1/6=0,166…

6 1/6=0,166…

Suma

pi

1

Del modelo experimental al modelo teórico

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

1 2 3 4 5 6

120 lanzamientos

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

1 2 3 4 5 6

1200 lanzamientos

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

1 2 3 4 5 6

4800 lanzamientos

Variable aleatoria Es una variable

numérica cuyo valor viene determinado por el azar.

Es una función tal que a cada suceso elemental del espacio muestral le asigna un número real.

Se lanza tres veces una moneda.Contamos el número de caras

E R

XXX

XXC

XCX

CXX

CCX

XCC

CXC

CCC

0

1

2

3

Función de probabilidad Llamamos función de probabilidad P de una variable aleatoria

X, o distribución de probabilidad de esa variable, a una función que hace corresponder a cada valor de la variable su probabilidad:

Como la variable aleatoria recorre todos los sucesos del espacio muestral, la suma de las probabilidades asociadas debe ser 1:

Distribuciones discretas de probabilidad 1 Una variable aleatoria es discreta cuando toma un

número de valores finito. Ejemplo 1:

Se tira un dado. Se define la variable aleatoria: puntuación obtenida.

A cada valor de la variable aleatoria se le asocia su probabilidad.

P(X = x1)+P(X = x2)+P(X = x3)+P(X = x4)+P(X = x5)+P(X = x6) == 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

Suceso: s 1 2 3 4 5 6

X(s)=x i 1 2 3 4 5 6

p(x i)=P(X=x i) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

0

1/6

1/3

1/2

2/3

5/6

1

1 2 3 4 5 6

Distribución uniforme

Distribuciones discretas de probabilidad 2 Ejemplo 2:

Se tira tres veces una moneda. Se define la variable aleatoria: número de caras.

P(X = x1)+P(X = x2)+P(X = x3)+P(X = x4) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.

Distribución no uniforme

Suceso: s XXX XXC XCX CXX XCC CXC CCX CCC

X(s)=x i 0 3

p(x i)=P(X=x i) 1/8 1/8

1

3/8

2

3/8

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

1 2 3 4

Valor esperado Llamamos valor esperado o esperanza matemática de la variable aleatoria X al valor:

La expresión valor esperado alude a los juegos de azar. Es la ganancia que se espera recibir, en promedio, por jugar a una sola opción en dicho juego.

Si E(X) = 0 no existe ventaja para el jugador ni para la “banca” Si E(X) > apuesta el juego es favorable al jugador Si E(X) < apuesta el juego es desfavorable al jugador

Dos ejemplos En el experimento del lanzamiento de 3 monedas:

= 0·1/8 + 1·3/8 + 2·3/8 + 3·1/8 = 12/8 = 1,5Es decir, por término medio, se espera que la mitad de las veces salga cara y la otra mitad cruz.

En una rifa de 10000 números, se vende cada uno a 10€ y hay la posibilidad de ganar un coche valorado en 12000€.La función de probabilidad es y la esperanza matemática es

Es decir, la ganancia media del jugador es 1,2 €.Para que la rifa fuera justa, cada número debería venderse a 1,2 €-

Sucesos perder ganar

X 0 12000

P(X)9999/100

001/10000

Varianza y desviación típica Dada una variable aleatoria discreta X, con su

correspondiente distribución de probabilidad, definiremos la varianza de esa distribución como:

Se puede demostrar que esta fórmula es equivalente a esta otra:

Llamaremos desviación típica de esta variable aleatoria a la raíz cuadrada de su varianza:

Un juego de azar con apuesta Una urna contiene 5 bolas: 3 rojas y 2 azules. Extraemos

dos bolas. Ganamos 100 € cuando salen 2 bolas rojas. Perdemos 20 € cuando salen de distinto color y 150 € cuando salen las azules.

En cada jugada esperamos ganar 3 €. Por tanto, en 100 jugadas la ganancia esperada sería de 300 €.El juego es arriesgado porque en una jugada la pérdida o ganancia se sitúa, muy probablemente, en el intervalo:

[3 - 74.03 , 3 + 74.03] = [-71.03 , 77.03]

r

r

ra

aa

3/5

2/5

2/4

2/4

3/4

1/4

P(rr) = 3/5·2/4 =3/10

P(ra) = 3/5·2/4 =3/10

P(ar) = 2/5·3/4 =3/10

P(aa) = 2/5·1/4 =1/10

Suceso: s rr ra ar rr

X(s)=x i 100 -150

p(x i)=P(X=x i) 3/10 1/10

-20

3/5