8/20/2019 Distribuciones de Propabilidad Discretas

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UNIVERSIDAD ADOLFO IBAÑEZ

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

LEC de Probabilidades (Viña) - Sesión 5

Primer Semestre 2012

Distribuciones de probabilidad (Discretas)

Una distribución de probabilidad se define como una función que describe la probabilidad de que unavariable aleatoria tome ciertos valores. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto detodos los eventos, cada uno de los cuales es el rango de valores de la variable aleatoria.

Sea X  una v.a. su función de distribución de probabilidad se define como:

F X(x) = P (X  ≤ x)

En esta sesión veremos algunas de las principales distribuciones para variables aleatorias discretas.

Distribución BernoulliSu función es

f (x) = px(1 − p)1−x

con x  ∈ {0, 1} y nos entrega la probabilidad de éxito de un experimento con solo dos posibles resultados(éxito y fracaso respectivamente). Su esperanza es E (X ) = p  y su varianza  V ar(X ) = p(1 − p).

Distribución Binomial

Su función es

f (x) =

n

x

 pn(1 − p)n−x

con  x  = 0, 1, 2, ...,  n, que nos entrega la probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos Bernoulli. Suesperanza es E (x) = np  y su  V ar(X ) = np(1 − p). Notar que si  n = 1 estamos en el caso Bernoulli.

Distribución Geométrica

Nos entrega la probabilidad del número de ensayos necesarios hasta obtener un éxito (en un ensayoBernoulli). Su función viene dada por:

(a)   P (X  = x) = f (x) = p(1 − p)x−1 (probabilidad de x intentos para obtener un xito con  x = 1, 2, 3,...)

(b)   P (X  = x) = f (x) = p(1 − p)x (probabilidad de obtener x fayos antes del primer xito, con  x  = 0, 1,2, 3...)

Su esperanza viene dada por  E (X ) = 1/p para la forma (a), o  E (x) = (1 − p)/p para la forma (b); suvarianza es  V ar(X ) = (1 − p)/p2 para ambos casos.

Distribución Binomial negativa

Muy parecida a la anterior, sólo que esta vez se busca la probabilidad del número de ensayos Bernoulli(con probabilidad de exito  p) necesarios para obtener k  éxitos consecutivos.

Su función viene dada por

f (x) =

x − 1

k − 1

 pk(1 − p)x−k

. Su esperanza es E (X ) = k(1 − p)/p si pensamos en el número de fracasos o E (X ) = k/p si se consideranlos k-1 éxitos y su varianza es  V ar(X ) = k(1 − p)/p2.

Notar que si k = 1 estamos ante la distribución geométrica.

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Distribución de Poisson

La distribución de Poisson nos da la probabilidad de que ocurra un número dado de eventos en unintervalo fijo de tiempo, siendo cada evento independiente y conociendo de antemano la tasa de ocurrenciamedia del evento.

Su función es

f (x) = λxe−λ

x!

donde  λ  es la tasa de ocurrencia media y  x  el número de eventos  x  = 0, 1, 2, 3... . Su esperanza viene

dada por E (X ) = λ  y su varianza por  V ar(X ) = λ

Distribución Hipergeométrica

Esta distribución nos entrega la probabilidad de obtener x éxitos de n extracciones desde una poblaciónfinita de tamaño  N   (sin reemplazo).

Su función es

f (x) = P (X  = x) =

m

x

N −m

n−x

N 

n

donde  N   es el tamaño de la población total, m el número de objetos pertenecientes a la categoŕıa

de interés (sacar un elemento de esta categora se considera una extracción exitosa), n es el númerode extracciones y x el número de éxitos. Su esperanza es  E (X ) =  nm/N   y su varianza es  V ar(x) =

nm(N  − m)(N  − n)N 2(N  − 1)

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